空间中的垂直关系

空间几何中的垂直关系空间几何是数学中的一个重要分支，研究了在三维空间中的图形、形态和位置关系。

其中垂直关系是几何中的基本概念之一，它在建筑、工程、设计等领域都有广泛的应用。

本文将介绍空间几何中的垂直关系及其相关概念和性质。

1. 垂直关系的定义在空间几何中，两条直线、两个平面或者两个曲面相互垂直，意味着它们的方向互相垂直，不在同一平面上，并且它们的夹角是90度。

具体来说，垂直关系可以分为以下几种情况：1.1 直线的垂直关系空间中的两条直线相互垂直的判定条件有多种，最常用的方法是利用两条直线的方向向量之间的垂直性。

设直线L1的方向向量为a，直线L2的方向向量为b，若a·b=0，则直线L1与直线L2垂直。

1.2 平面的垂直关系两个平面相互垂直的判定方法一般都涉及到它们的法向量。

设平面P1的法向量为n1，平面P2的法向量为n2，若n1·n2=0，则平面P1与平面P2垂直。

1.3 直线与平面的垂直关系直线与平面相互垂直的条件也涉及到它们的方向向量和法向量。

设直线L的方向向量为a，平面P的法向量为n，若a·n=0，则直线L与平面P垂直。

2. 垂直关系的性质垂直关系有一些重要的性质，下面将介绍几个常见的性质。

2.1 垂直平面的夹角如果两个平面相互垂直，则它们的夹角是90度。

这一性质在空间几何中非常重要，可以用来判断两个平面是否相互垂直。

2.2 垂直直线与平面的关系如果一条直线垂直于一个平面，那么它一定位于该平面上的某条直径上。

这一性质可以应用到建筑设计、物理力学等领域。

2.3 垂直向量与平面的关系设一个向量与平面上的任意一条向量都垂直，那么这个向量一定垂直于该平面。

这一性质常用于计算向量与平面的垂直关系。

3. 应用实例垂直关系在实际应用中有很多场景，下面举几个例子进行说明。

3.1 平面墙与地板的垂直关系在建筑设计中，我们常常需要确保墙面与地板垂直，以保证建筑的稳定性和美观性。

3.2 直线与曲面的垂直关系在机械制造中，我们需要确保某些直线与曲面垂直，来实现零件的配合与连接。

空间中垂直关系的判定与性质一．基础知识整合1.直线与平面存垂直（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α.直线l 叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫作垂足．（2）画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图（3）判定定理文字语言 符号语言 图形语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b a αb αa ∩b ＝P ⇒l ⊥α2.二面角（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．（2）二面角的记法：如图，记作：二面角α－AB －β，也可记作2∠α—AB —β.（3）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角．3.平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（2）判定定理文字语言符号语言 图形语言 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫a αa ⊥β⇒α⊥β 4.直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言 符号语言 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b文字语言图形语言 符号语言 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝l a αa ⊥l ⇒a ⊥β 题型一：线面垂直的判定 例1：如图所示，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且S 为所在平面外一点，满足SA ＝SB ＝SC .D为AC 的中点．求证：SD ⊥平面ABC . 证明：∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且D 为AC 的中点，∴BD ＝AD ＝DC .又∵SA ＝SB ＝SC ，SD 为公共边，∴△SBD ≌△SAD ≌△SCD ，∴∠SDB ＝∠SDA ＝∠SCD ＝90°，∴SD ⊥AD ，SD ⊥BD ，∵AD ∩BD ＝D ，∴SD ⊥平面ABC .变式训练1：如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的点，P A ⊥⊙O 所在的平面，AF ⊥PC 于F ，求证：BC ⊥平面PAC . 证明：因为AB 为⊙O 的直径，所以BC ⊥AC .因为P A ⊥平面ABC ，BC平面ABC ，所以P A ⊥BC .因为P A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面P AC .题型二：面面垂直的判定例2：已知四面体ABCD 的棱长都相等，E ，F ，G ，H 分别为AB ，AC ，AD ，BC 的中点．求证：平面EHG ⊥平面FHG .证明：如图，取CD 的中点M ，连接HM ，MG ，FM ，则四边形MHEG为平行四边形．连接EM 交HG 于O ，连接FO .在△FHG 中，O 为HG的中点，且FH ＝FG ，所以 FO ⊥HG .同理可证FO ⊥EM .又HG ∩EM ＝O ，所以FO ⊥平面EHMG .又FO 平面FHG ，所以平面EHG ⊥平面FHG .变式训练2：如图，在空间四边形ABDC 中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E 、F 、G 分别为CD 、DA 和对角线AC 的中点．:求证：平面BEF ⊥平面BDG .证明：∵AB ＝BC ，CD ＝AD ，G 是AC 的中点，∴BG ⊥AC ，DG ⊥AC ，又EF ∥AC ，∴EF ⊥BG ，EF ⊥DG .∴EF ⊥平面BGD .∵EF 平面BEF ，∴平面BDG ⊥平面BEF .题型三：垂直关系的综合应用例3：如图，在三棱锥P—ABC中，P A⊥底面ABC，P A＝AB，∠BCA＝90°.点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．证明：(1)∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.(2)存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角．由(1)知BC⊥平面P AC，又∵DE∥BC，∴DE⊥平面P AC.又∵AE平面P AC，PE平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．又∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥AC.∴∠P AC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时，∠AEP＝90°.故存在点E使得二面角A—DE—P是直二面角．变式训练3：如图所示，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝6，求二面角P—BC—A的大小．解：∵P A⊥平面ABC，BC平面ABC，∴P A⊥BC.又AC⊥BC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.又PC平面P AC，∴BC⊥PC.又BC⊥AC，∴∠PCA为二面角P—BC—A的平面角．在Rt△PBC中，∵PB＝6，BC＝2，∴PC＝2.在Rt△ABC中，∵AB＝2，BC＝2，∴AC＝ 2.∴在Rt△P AC中，cos∠PCA＝2，∴2∠PCA＝45°，即二面角P—BC—A的大小为45°.题型四：线面垂直性质定理的应用例4：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.证明：如图所示，连接AB1、B1C、BD.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD.∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1.∵BD1平面BDD1，∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥B1C.∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.变式训练3：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.若G是AB的中点，则E在A1D上什么位置时，能使EG⊥平面AB1C?解：若EG⊥平面AB1C，因为BD1⊥平面AB1C，所以EG∥BD1.因为G为AB的中点，所以E为AD1的中点，即E为A1D的中点时，EG⊥平面AB1C.题型五：面面垂直性质定理的应用例5：已知平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，求证：P A⊥平面ABC.证明：如图所示，在BC上任取一点D，作DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，∵平面P AC⊥平面ABC，且平面P AC∩平面ABC＝AC，∴DF⊥平面P AC，又∵P A平面P AC，∴DF⊥P A，同理DG⊥P A，又∵DF∩DG＝D且DF平面ABC，DG平面ABC，∴P A⊥平面ABC.变式训练5：如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．求证：AM⊥PM.证明：如图连接AP.矩形ABCD中，AD⊥DC，BC⊥DC，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝DC，∴AD⊥平面PDC，BC⊥平面PDC，又∵PD平面PDC，PC平面PDC，∴AD⊥PD，BC⊥PC，在Rt△P AD和Rt△PMC中，易知AP2＝AD2＋PD2＝(22)2＋22＝12，PM2＝PC2＋MC2＝22＋(2)2＝6，又∵Rt△ABM中，AM2＝AB2＋BM2＝22＋(22)2＝6，∴AP2＝PM2＋AM2，∴AM⊥PM.题型六：垂直关系的综合应用例6：如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，F A＝FE，∠AEF＝45°.(1)求证：EF⊥平面BCE；(2)设线段CD、AE的中点分别为P，M，求证：PM∥平面BCE.证明：(1)因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD ＝AB，所以BC⊥平面ABEF.所以BC⊥EF.因为△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，所以∠AEB＝45°.又因为∠AEF＝45°，所以∠FEB＝90°，即EF⊥BE.因为BC平面BCE，BE平面BCE，BC∩BE＝B，所以EF⊥平面BCE.(2)取BE的中点N，连接CN，MN，则MN綊12AB綊PC，所以PMNC为平行四边形．所以PM∥CN.因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，所以PM∥平面BCE.变式训练6：如图，四棱锥S－ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD ＝1，SD＝2，BC⊥BD，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC.(1)证明：DE⊥平面SBC；(2)证明：SE＝2EB.证明：(1)连接BD，∵SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，又∵BC⊥BD，BD∩SD＝D，∴BC⊥平面BDS，∴BC⊥DE. 作BK⊥EC，K为垂足，因平面EDC⊥平面SBC，故BK⊥平面EDC，BK⊥DE. 又∵BK平面SBC，BC平面SBC，BK∩BC＝B，∴DE⊥平面SBC. (2)由(1)知DE⊥SB，DB＝2AD＝ 2.∴SB＝SD2＋DB2＝6，DE＝SD·DBSB＝233，EB＝DB2－DE2＝63，SE＝SB－EB＝263，∴SE＝2EB.三.方法规律总结1．线面垂直的判定定理是证明线面垂直的主要方法，证明的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直．2．在证明面面垂直时，一般方法是从一个平面内寻找另一个平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决(所作辅助线要有利于题目的证明)，即由线面垂直证面面垂直．3．空间中线线、线面、面面之间的垂直关系可以相互转化，其转化关系如下：4．会用线面垂直的性质定理证明平行问题，用面面垂直的性质定理证明垂直问题．四：课后练习作业一、选择题1．设l、m为不同的直线，α为平面，且l⊥α，下列为假命题的是(B)A．若m⊥α，则m∥l B．若m⊥l，则m∥αC．若m∥α，则m⊥l D．若m∥l，则m⊥α【解析】A中，若l⊥α，m⊥α，则m∥l，所以A正确；B中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或mα，所以B错误；C中，若l⊥α，m∥α，则m⊥l，所以C正确；若l⊥α，m∥l，则m⊥α，所以D正确．2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(A)A．平面A1DCB1 B．平面DD1C1C C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB【解析】连接A1D、B1C，由ABCD—A1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB1.3．如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是(C)A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面P AE⊥平面ABC【解析】由题意知BC∥DF，且BC⊥PE，BC⊥AE.∵PE∩AE＝E，∴BC⊥平面P AE，∴BC∥平面PDF成立，DF⊥平面P AE成立，平面P AE⊥平面ABC也成立．4．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是(C) A．若l⊥α，α⊥β，则lβB．若l∥α，α∥β，则lβC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【解析】A错，可能l∥β；B错，可能l∥β；C正确；D错，不一定l⊥β.5．设平面α⊥平面β，且α∩β＝l，直线aα，直线bβ，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与b (B)A．可能垂直，不可能平行B．可能平行，不可能垂直C．可能垂直，也可能平行D．不可能垂直，也不可能平行【解析】当a，b都平行于l时，a与b平行，假设a与b垂直，如图所示，由于b与l不垂直，在b上任取一点A，过点A作b′⊥l，∵平面α⊥平面β，∴b′⊥平面α，从而b′⊥a，又由假设a⊥b易知a⊥平面β，从而a⊥l，这与已知a不与l垂直矛盾，∴假设不正确，a与b不可能垂直．6．空间四边形ABCD，若AB、AC、AD与平面BCD所成角相等，则A点在平面BCD的射影是△BCD的(A)A．外心B．内心C．重心D．垂心【解析】设A点在平面BCD内的射影为O.可知，△OAB≌△OAC≌△OAD.∴OB＝OC＝OD，∴点O为外心．7．下列说法中正确命题的个数为(B)①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；③如果一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面必相交；④如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必在这个平面内；⑤如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任一直线．A．0B．1C．2D．3【解析】如图(1)所示，l与α相交(不垂直)，此时也有无数条直线与l垂直．故①②错误；如图(2)所示，l与α平行，此时平面内也存在无数条直线与l垂直，故③④错误；如图(3)所示，直线l与平面α的垂线m垂直，但l不在平面α内；由线面垂直的定义可知，⑤正确．8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点，现沿AE、AF，EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是(A)A．AG⊥平面EFG B．AH⊥平面EFGC．GF⊥平面AEF D．GH⊥平面AEF【解析】∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE＝G，∴AG⊥平面EFG.9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列命题正确的是(B)A．平面ADC⊥平面BDCB．平面ABD⊥平面ABCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC【解析】在图①中，∵∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABD＝45°.∵AD∥BC，∴∠DBC＝45°.又∵∠BCD＝45°.∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD.在图②中，此关系仍成立．∵平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD.∵BA平面ADB，∴CD⊥AB.∵BA⊥AD，∴BA⊥平面ACD.∵BA平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.10．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P在(A)A．线段B1C上B．线段BC1上C．BB1中点与CC1中点的连线上D．B1C1中点与BC中点的连线上【解析】连接AC，B1C，AB1，由线面垂直的判定可知BD1⊥平面AB1C.若AP平面AB1C，则AP⊥BD1.这样只要P在B1C上移动即可．二、填空题11．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是________．垂直【解析】∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵D1D⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴D1D⊥AC.∵D1D∩DB＝D，∴AC⊥平面BB1D1D.∵AC平面ACD 1，∴平面ACD1⊥平面BB1D1D.12．如图所示，已知P A⊥平面α，PB⊥平面β，垂足分别为A、B，α∩β＝l，∠APB＝50°，则二面角α－l－β的大小为________．130°【解析】如图，设平面P AB∩l＝O，连接AO，BO，AB，∵P A⊥α，lα，∴P A⊥l.同理PB⊥l，而PB∩P A＝P，∴l⊥平面P AB，∴l⊥AO，l⊥BO，∴∠AOB即为二面角α－l－β的平面角．结合图形知∠AOB＋∠APB＝180°，∴∠AOB＝130°.13．如图，已知平面α⊥平面β，在α与β的交线l上，取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，则CD＝______.13 cm【解析】连接BC.因为平面α⊥平面β，且α∩β＝l，又因为BD平面β，且BD⊥l，所以BD⊥平面α.又∵BC平面α，∴BC⊥BD.所以△CBD也是直角三角形．在Rt△BAC中，BC＝32＋42＝5.在Rt△CBD中，CD＝52＋122＝13.所以CD长为13 cm.14．α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α与β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.若①③④，则②(或若②③④，则①)【解析】利用面面垂直的判定，可知①③④⇒②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④⇒①为真．15．如图平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD ＝_______a【解析】如图所示，取BC 的中点E ，连接ED ，AE ，∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC ，∵平面ABC ⊥平面BDC .∴AE ⊥平面BDC ，∴AE ⊥ED .在Rt △ABC 和Rt △BCD 中，AE ＝ED ＝12BC ＝22a ，∴在Rt △AED 中，AD ＝AE 2＋ED 2＝a .三、解答题16．如图所示，AB 是圆O 的直径，P A 垂直于圆O 所在的平面，M 是圆周上任意一点，AN⊥PM ，垂足为N .求证：AN ⊥平面PBM .证明:设圆O 所在的平面为α，∵P A ⊥α，且BM α，∴P A ⊥BM .又∵AB 为⊙O 的直径，点M 为圆周上一点，∴AM ⊥BM ，∵直线P A ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面P AM .又AN 平面P AM ，∴BM ⊥AN .这样，AN 与PM ，BM 两条相交直线垂直．故AN ⊥平面PBM .17．如图所示，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA ，SB ，SC 且∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∠BSC ＝90°.求证：平面ABC ⊥平面BSC .【证明】（法一）取BC 的中点D ，连接AD ，SD .∵∠ASB ＝∠ASC ，且SA ＝SB＝AC ，∴AS ＝AB ＝AC .∴AD ⊥BC .又△ABS 是正三角形，△BSC 为等腰直角三角形，∴BD ＝SD .∴AD 2＋SD 2＝AD 2＋BD 2＝AB 2＝AS 2.由勾股定理的逆定理，知AD ⊥SD .又∵SD ∩BC ＝D ，∴AD ⊥平面BSC .又AD 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC .（法二）同法一证得AD ⊥BC ，SD ⊥BC ，则∠ADS即为二面角A —BC —S 的平面角．∵∠BSC ＝90°，令SA＝1，则SD ＝22，AD ＝22，∴SD 2＋AD 2＝SA 2.∴∠ADS ＝90°.∴平面ABC ⊥平面BSC .18．如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，分别交AC 、SC 于D 、E ，且SA ＝AB ＝a ，BC ＝2a . (1)求证：SC ⊥平面BDE ；(2)求平面BDE 与平面BDC 所成二面角的大小．(1)证明：∵SA ⊥平面ABC ，又AB 、AC 、BD 平面ABC ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，SA ⊥BD ，∴SB ＝SA 2＋AB 2＝2a .∵BC ＝2a ，∴SB＝BC .∵E 为SC 的中点，∴BE ⊥SC .又DE ⊥SC ，BE ∩DE ＝E ，∴SC ⊥平面BDE .(2)由(1)及BD 平面BDE ，得BD ⊥SC .又知BD ⊥SA ，∴BD ⊥平面SAC .∴BD ⊥AC 且BD ⊥DE .∴∠CDE 为平面BDE 与平面BDC 所成二面角的平面角．∵AB ⊥BC ，AC ＝AB 2＋BC 2＝3a .∴Rt △SAC 中，tan ∠SCA ＝SA AC ＝33，∴∠SCA ＝30°.∴∠CDE ＝60°，即平面BDE 与平面BDC 所成二面角为60°.19.如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M为AB 中点，D 为PB 中点，且PMB ∆为正三角形.（1）求证：DM APC ∥平面；（2）求证：ABC APC ⊥平面平面.证明:（1）∵M 为AB 中点，D 为PB 中点，∴MD //AP ,又MD不在平面APC 上，∴MD //平面APC .（2）∵△PMB 为正三角形，又D 为PB 中点. ∴MD ⊥PB .又由（1）知MD //A P , ∴AP ⊥PB . 又AP ⊥PC , 且PB ∩PC =P ，∴AP ⊥平面PBC , ∴AP ⊥BC , 又∵AC ⊥BC , 且AP ∩AC =A ∴BC ⊥平面APC , 又BC 在平面ABC 内，∴平面ABC ⊥平面APC .20．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中 点，MN ⊥平面A 1DC .求证：(1)MN ∥AD 1；(2)M 是AB 的中点．证明：(1)∵ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，AD 1平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1.∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC .又∵MN ⊥平面A 1DC ，∴MN ∥AD 1. MD B P C A(2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC .∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM .又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM .∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．21．如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，ABCD 是∠DAB ＝60°且边长为a 的菱形，侧面P AD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD . (1)若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面P AD ；(2)求证：AD ⊥PB .证明：(1)连接PG ，BD .由题知△P AD 为正三角形，G 是AD 的中点，∴PG ⊥AD .又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PG 平面P AD ，∴PG ⊥平面ABCD ，∴PG ⊥BG .又∵四边形ABCD 是菱形且∠DAB ＝60°，∴△ABD 是正三角形，∴BG⊥AD .又AD 平面P AD ，PG 平面P AD ，且AD ∩PG ＝G ，∴BG ⊥平面P AD .(2)由(1)可知BG ⊥AD ，PG ⊥AD .又BG 平面PBG ，PG 平面PBG ，且BG ∩PG ＝G ，AD ⊥平面PBG ，∴AD ⊥PB .。

空间中的垂直关系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解空间中三种垂直关系的定义；掌握空间中三种垂直关系判定及性质；用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题．一、直线与平面垂直1.如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互垂直．2.如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内过点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作AB⊥α，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离3.直线和平面垂直的判定4.(1)判定定理：如果一条直线和一个平面内的任何两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．符号语言：l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α⇒l⊥α，如图：(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．符号语言：a∥b，a⊥α⇒b⊥α，如图：5．直线与平面垂直的性质(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b，如图：(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，如图：6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点．(2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．(3)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心．7．(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．二、直线和平面平行1．平面与平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作α⊥β.2．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．符号表示：a⊥α，a⊂β⇒α⊥β，如图：3．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．符号表示：α⊥β，α∩β＝CD，BA⊂α，BA⊥CD，B为垂足⇒BA⊥β，如图：推论：如果两个平面垂直，那么过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．类型一线面垂直例1：如图，直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.解析：由于D是AC中点，SA＝SC，∴SD是△SAC的高，连接BD，可证△SDB≌△SDA.由AB＝BC，则Rt△ABC是等腰直角三角形，则BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理即可得证．答案：(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，连接BD，则AD＝DC＝BD，又∵SB＝SA，SD＝SD，∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥面ABC.(2)∵BA＝BC，D为AC中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥面ABC，∴SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，∴BD⊥平面SAC.练习1：((2014·河南南阳一中高一月考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：EF⊥平面PCD.答案：如图，取PD的中点H，连接AH、HF.∴FH 12 CD，∴FH AE，∴四边形AEFH是平行四边形，∴AH∥EF. ∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD.又∵PA⊥底面ABCD，∴PA ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD .又∵AH ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AH .又∵PA ＝AD ，∴AH ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， ∴AH ⊥平面PCD ，又∵AH ∥EF ，∴EF ⊥平面PCD .练习2：如右图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为ABCD 的中心， 求证：1B O ⊥平面PAC 答案：连结111,,PO PB B D ,由正方体的性质可知，1,AC BD AC BB ⊥⊥,且1BD BB B =I ∴AC ⊥面11BDD B 又∵BO ⊂面11BDD B ∴1B O AC ⊥ 设AB a =，则11121,2,2OB OD a B D a PD PD a ===== ∵2222222222221113113,22424OB OB BB a a a OP PD DO a a a =+=+==+=+= 222222111119244PB B D PD a a a =+=+=∴2221OB PO PB += ∴1B O PO ⊥ ∵PO AC O =I∴1B O ⊥平面PAC练习3：在如右图，在空间四边形ABCD 中，,AB AD BC CD ==, 求证：AC BD ⊥答案：设E 为BD 的中点，连结,AE EC∵AB AD = ∴BD AE ⊥ 同理可证：BD EC ⊥又∵AE EC E =I ∴BD ⊥面AEC∵AE ⊂面AEC ∴BD AC ⊥例2：如图在△ABC 中，∠B ＝90°，SA ⊥平面ABC ， 点A 在SB 和SC 上的射影分别是N 、M ，求证：MN ⊥SC .解析：根据直线平面垂直的性质，找到所求垂直的线段中的 一条与另一条所在的平面垂直，即可证明这两条线段互相垂直． 答案：证明：∵SA ⊥平面ABC ， ∴SA ⊥BC ，又∠ABC ＝90°， ∴BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面SAB ， ∴AN ⊥BC ，又AN ⊥SB ，∴AN ⊥平面SBC ，E ABCDOP D 1C 1B 1A 1DCBA∴AN ⊥SC ，又AM ⊥SC ， ∴SC ⊥平面AMN ， ∴MN ⊥SC .练习1：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1D 、AC 上的点，且EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .求证：EF ∥BD 1. 答案：如图所示，连接A 1C 1、C 1D 、BD 、B 1D 1. 由于AC ∥A 1C 1，EF ⊥AC ，∴EF ⊥A 1C 1. 又EF ⊥A 1D ，A 1D ∩A 1C 1＝A 1， ∴EF ⊥平面A 1C 1D . ∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴BB 1⊥A 1C 1.又∵四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1. ∵BB 1∩B 1D 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1D . 而BD 1⊂平面BB 1D 1D ，∴BD 1⊥A 1C 1. 同理，DC 1⊥BD 1，DC 1∩A 1C 1＝C 1， ∴BD 1⊥平面A 1C 1D . 由①②可知EF ∥BD 1.练习2：在空间中，下列命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②垂直与同一直线的两条直线平行；③平行与同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的由___． 答案：①④练习3：已知,,a b c 及平面β，则下列命题正确的是（ ）A 、////a a b b ββ⎫⇒⎬⊂⎭B 、a a b b ββ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭C 、//a c a b b c ⊥⎫⇒⎬⊥⎭D 、//a a b b ββ⊂⎫⇒⎬⊂⎭ 答案：B例3：如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.求证：BD ⊥平面PAC .解析：通过计算得到直角，进而得到垂直． 答案：∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA .∵∠BAD 和∠ABC 都是直角，∴tan ∠ABD ＝AD AB ＝33，tan ∠BAC ＝BCAB＝3， ∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°.∴∠AEB ＝90°，即BD ⊥AC ， 又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC .练习1：在正方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点， O 为底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面PAC . 答案：如图所示，连接AB 1、CB 1、B 1D 1、PB 1、PO .设AB ＝a ，则AB 1＝CB 1＝B 1D 1＝2a ，AO ＝OC ＝22a ， ∴B 1O ⊥AC .∵B 1O 2＝OB 2＋BB 21＝⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＋a 2＝32a 2，PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋(2a )2＝94a 2，OP 2＝PD 2＋DO 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＝34a 2，∴B 1O 2＋OP 2＝PB 21，∴B 1O ⊥OP . 又PO ∩AC ＝O ，∴B 1O ⊥平面PAC . 练习2:如图，若测得旗杆PO ＝4，P A ＝PB ＝5，OA ＝OB ＝3，则旗杆PO 和地面α的关系是________．答案：∵PO ＝4，OA ＝OB ＝3，P A ＝PB ＝5，∴PO 2＋AO 2＝P A 2，PO 2＋OB 2＝PB 2， ∴PO ⊥OA ，PO ⊥OB .又OA ∩OB ＝O ，∴PO ⊥平面AOB ，∴PO ⊥地面α.类型二平面与平面垂直例4：(2014·山东临沂高一期末测试)如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点，求证：平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1.解析：运用平面垂直的判定．答案：∵△ABC 为正三角形，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC .又∵CC 1⊥底面ABC ，AD ⊂平面ABC ， ∴CC 1⊥AD .又BC ∩CC 1＝C ， ∴AD ⊥平面BCC 1B 1. 又AD ⊂平面AC 1D ，∴平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1.练习1：三棱锥S －ABC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝60°，∠ASC ＝60°，SA ＝SB ＝SC . 求证：平面ABC ⊥平面SBC .答案：解法一：取BC 的中点D ，连接AD 、SD .由题意知△ASB 与△ASC 是等边三角形，则AB ＝AC . ∴AD ⊥BC ，SD ⊥BC .令SA ＝a ，在△SBC 中，SD ＝22a ， 又∵AD ＝AC 2－CD 2＝22a ，∴AD 2＋SD 2＝SA 2. 即AD ⊥SD .又∵AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面SBC . ∵AD ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面SBC .解法二：∵SA ＝SB ＝SC ＝a ， 又∵∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∴△ASB 、△ASC 都是等边三角形． ∴AB ＝AC ＝a .作AD ⊥平面SBC 于点D ，∵AB ＝AC ＝AS ，∴D 为△SBC 的外心． 又∵△BSC 是以BC 为斜边的直角三角形， ∴D 为BC 的中点，故AD ⊂平面ABC . ∴平面ABC ⊥平面SBC .练习2：如右图,在四面体ABCD 中，2,BD a AB AD CB CD a =====．求证：平面ABD ⊥平面BCD ． 答案：取BD 的中点E ，连结,AE EC∵AB AD = ∴AE BD ⊥同理CE BD ⊥ 在△ABD 中，12,2AB a BE BD a === ∴2222AE AB BE a =-=同理22CE a = 在△AEC 中，2,2AE CE a AC a ===∴222AC AE CE =+ ∴AE CE ⊥ ∵BD CE E =I ∴AE ⊥平面BCD ∵AE ⊂平面ABD ∴平面ABD ⊥平面BCD 练习3：空间四边形ABCD 中，若,AD BC BD AD ⊥⊥，那么有（ ） A 、平面ABC ⊥平面ADC B 、平面ABC ⊥平面ADBC 、平面ABC ⊥平面DBCD 、平面ADC ⊥平面DBC 答案：D例5：已知P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥AC .解析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条放入一平面中，使另一条直线与该平面垂直，即由线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到：面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直． 答案：如图，在平面P AC 内作AD ⊥PC 于点D ，∵平面P AC ⊥平面PBC ，AD ⊂平面P AC ，且AD ⊥PC ， ∴AD ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴P A ⊥BC ，∵AD ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ， 又AC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥AC .练习1：已知三棱锥P －ABC 中，侧面PAC 与底面ABC 垂直，PA ＝PB ＝PC . (1)求证：AB ⊥BC ；(2)若AB ＝BC ，过点A 作AF ⊥PB 于点F ，连接CF ，求证：平面PBD ⊥平面AFC .ABCDE答案：如图所示：(1)取AC的中点D，连接PD、BD，∵PA＝PC，∴PD⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，∴PD⊥平面ABC，D为垂足．∵PA＝PB＝PC，∴DA＝DB＝DC，∴AC为△ABC的外接圆的直径，故AB⊥BC.(2)∵PA＝PC，AB＝BC，PB＝PB，∴△ABP≌△CBP.∵AF⊥PB，∴CF⊥PB，又AF∩CF＝F，∴PB⊥平面AFC，又PB⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面AFC.练习2：已知平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，如图所示．求证：P A⊥平面ABC.答案：如图所示，在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴DF⊥平面PAC，又∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥DF，同理可证：DG⊥PA，∵DF∩DG＝D，且DF⊂平面ABC，DG⊂平面ABC，∴PA⊥平面ABC.1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是() A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定答案：B2．若一条直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l与α的关系是()A．平行B．相交C．垂直D．不确定答案：D3．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列四个命题：①α∥β，l⊄β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β其中正确的两个命题是()A．①②B．③④C．②④D．①③答案：D4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC 答案：D5．若有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是()A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α 答案：D6.Rt △ABC 所在平面α外一点P 到直角顶点的距离为24，到两直角边的距离都是610，那么点P到平面α的距离等于__________．答案：12_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是()A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．不能确定 答案：B2．直线a ⊥直线b ，a ⊥平面β，则b 与β的位置关系是()A ．b ⊥βB ．b ∥βC ．b ⊂βD ．b ⊂β或b ∥β 答案：D 3．下列命题①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b ； ②⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ∥b ⇒b ⊥α； ③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ∥α⇒a ⊥b; ④⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥ba ⊥b b ⊂αc ⊂α⇒a ⊥α； ⑤⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α； ⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥a ⇒b ∥α. 其中正确命题的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案：A4.．若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，那么a、b的位置关系是()A．无公共点B．平行C．既不平行也不相交D．相交答案：A5．直线a与平面α内的两条直线都垂直，则a与α的位置关系是()A．垂直B．平行C．a在平面α内D．不确定答案：D6．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则() A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直答案：C7．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为____________________．答案：MN⊥AB8．如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的面对角线A1B⊥B1C，求证B1C⊥C1A.答案：如图所示，连接A1C，交AC1于点D，则点D是A1C的中点．取BC的中点N，连接AN、DN，则DN∥A1B.又A1B⊥B1C，∴B1C⊥DN.又△ABC是正三角形，∴AN⊥BC.又平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABCD∩平面BB1C1C＝BC，AN⊂平面ABC，∴AN⊥平面BB1C1C.又B1C⊂平面BB1C1C，∴B1C⊥AN.又AN⊂平面AND，DN⊂平面AND，AN∩DN＝N，∴B1C⊥平面AND.又C1A⊂平面AND，∴B1C⊥AC1.能力提升9．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A．有且只有一个B．至多有一个C．有无数多个D．一定不存在答案：B10.已知三棱锥S－ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝2r，则球的体积与三棱锥体积之比是()A．πB．2πC．3πD．4π答案：D11.(2014·浙江文，6)设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α答案：C12.已知平面ABC外一点P，且PH⊥平面ABC于H.给出下列4个命题：①若P A⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若P A、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则P A＝PB＝PC；④若P A＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案：D13.平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹为________．(填直线、圆、其它曲线)答案：直线14.如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，P A⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．答案：215.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD.底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________________时，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的即可)答案：BM⊥PC（其它合理答案亦可）16.如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中点．(1)求证：DE＝DA；(2)求证：平面BDM⊥平面ECA；(3)求证：平面DEA⊥平面ECA.答案：(1)取EC的中点F，连接DF.∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF.∵BD ∥CE ，∴BD ⊥平面ABC .在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，EF ＝12CE ＝DB ，DF ＝BC ＝AB ， ∴Rt △EFD ≌Rt △DBA .故DE ＝DA .(2)取AC 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN CF . ∵BD CF ，∴MN BD ，∴N ∈平面BDM . ∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN .又∵AC ⊥BN ，EC ∩AC ＝C ，∴BN ⊥平面ECA . 又∵BN ⊂平面BDM ，∴平面BDM ⊥平面ECA .(3)∵DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ，∴DM ⊥平面ECA .又∵DM ⊂平面DEA ，∴平面DEA ⊥平面ECA .。

空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。

2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。

推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。

一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。

（一）空间中的垂直关系1. 两条直线互相垂直线线垂直分为共面与不共面。

不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

2. 直线与平面垂直（1）定义：直线与平面垂直是指直线和平面相交且和这个平面过交点的任何直线都垂直。

这里的“任何直线”能代表平面内的所有直线．需要注意的是：无数条直线不能代表所有直线，即一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，直线不一定与平面垂直，因为这无数条直线可以是互相平行的。

（2）直线与平面垂直的判定方法①定义：②判定定理：③推论：（3）直线与平面垂直的性质①定理：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行，即：②定义：若线面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的任一条直线，即：③垂直于同一条直线的两个平面平行。

④过一点和已知平面垂直的直线只有一条。

⑤过一点和已知直线垂直的平面只有一个。

⑥若于A，，则。

（4）学习中应注意的问题直线与平面垂直的一般定义是根据线段的所有垂直平分线构成的集合来给出的。

需要注意，如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内任意一条直线垂直。

用直线和平面垂直的判定定理来证明时，需特别注意平面内的两条相交直线，否则会产生错误。

3. 平面与平面互相垂直（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直。

平面α、β互相垂直，记作α⊥β。

画两个互相垂直的平面，把直立平面的竖边画成和水平面的横边垂直，如图1，2所示。

（2）两个平面垂直的判定定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

实质：线面垂直，则面面垂直。

表示式为：。

（3）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

符号表示：说明：要特别注意定理中这一条件，这一条件易被我们忽略，而少了这一条件，定理的结论是不成立的。

（4）证明面面垂直的常用思路：①利用两平面垂直的定义。

空间中垂直关系的判定与性质一．基础知识整合1.直线与平面存垂直（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l ⊥α.直线l 叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫作垂足．（2）画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图（3）判定定理 ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b a αb αa ∩b ＝P ⇒l ⊥α从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．（2）二面角的记法：如图，记作：二面角α－AB －β，也可记作2∠α—AB —β.（3）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角．3.平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（2）判定定理⎭⎪⎬⎪⎫a αa ⊥β⇒α⊥β符号语言⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝l a αa ⊥l ⇒a ⊥β 题型一：线面垂直的判定 例1：如图所示，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且S 为所在平面外一点，满足SA ＝SB ＝SC .D为AC 的中点．求证：SD ⊥平面ABC .证明：∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且D 为AC 的中点，∴BD ＝AD ＝DC .又∵SA ＝SB ＝SC ，SD为公共边，∴△SBD ≌△SAD ≌△SCD ， ∴∠SDB ＝∠SDA ＝∠SCD ＝90°，∴SD ⊥AD ，SD ⊥BD ，∵AD ∩BD ＝D ，∴SD ⊥平面ABC .变式训练1：如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的点，P A ⊥⊙O 所在的平面，AF ⊥PC 于F ，求证：BC ⊥平面PAC .证明：因为AB 为⊙O 的直径，所以BC ⊥AC .因为P A ⊥平面ABC ，BC平面ABC ，所以P A ⊥BC .因为P A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面P AC .题型二：面面垂直的判定例2：已知四面体ABCD 的棱长都相等，E ，F ，G ，H 分别为AB ，AC ，AD ，BC 的中点．求证：平面EHG ⊥平面FHG .证明：如图，取CD 的中点M ，连接HM ，MG ，FM ，则四边形MHEG为平行四边形．连接EM 交HG 于O ，连接FO .在△FHG 中，O 为HG的中点，且FH ＝FG ，所以 FO ⊥HG .同理可证FO ⊥EM .又HG ∩EM ＝O ，所以FO ⊥平面EHMG .又FO 平面FHG ，所以平面EHG ⊥平面FHG .变式训练2：如图，在空间四边形ABDC中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E 、F 、G 分别为CD 、DA 和对角线AC 的中点．:求证：平面BEF ⊥平面BDG .证明：∵AB ＝BC ，CD ＝AD ，G 是AC 的中点，∴BG ⊥AC ，DG ⊥AC ，又EF ∥AC ，∴EF ⊥BG ，EF ⊥DG .∴EF ⊥平面BGD .∵EF 平面BEF ，∴平面BDG ⊥平面BEF .题型三：垂直关系的综合应用例3：如图，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝AB ，∠BCA＝90°.点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)是否存在点E 使得二面角A —DE —P 为直二面角？并说明理由．证明：(1)∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥BC .又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC .又P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC .(2)存在点E 使得二面角A —DE —P 为直二面角．由(1)知BC ⊥平面P AC ，又∵DE ∥BC ，∴DE ⊥平面P AC .又∵AE 平面P AC ，PE 平面P AC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE .∴∠AEP 为二面角A —DE —P 的平面角．又∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC .∴∠P AC ＝90°.∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC .这时，∠AEP ＝90°.故存在点E 使得二面角A —DE —P 是直二面角．变式训练3：如图所示，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AB ＝2，BC ＝2，PB ＝6，求二面角P —BC —A 的大小．解：∵P A ⊥平面ABC ，BC 平面ABC ，∴P A ⊥BC .又AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC .又PC 平面P AC ，∴BC ⊥PC .又BC ⊥AC ，∴∠PCA 为二面角P —BC —A 的平面角．在Rt △PBC 中，∵PB ＝6，BC ＝2，∴PC ＝2.在Rt △ABC 中，∵AB ＝2，BC ＝2，∴AC ＝ 2.∴在Rt △P AC 中，cos ∠PCA ＝22，∴∠PCA＝45°，即二面角P —BC —A 的大小为45°.题型四：线面垂直性质定理的应用例4：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别在A 1D 、AC 上，且EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .求证：EF ∥BD 1.证明：如图所示，连接AB 1、B 1C 、BD .∵DD 1⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD .∴DD 1⊥AC .又∵AC ⊥BD ，且BD ∩DD 1＝D ，∴AC ⊥平面BDD 1. ∵BD 1平面BDD 1，∴BD 1⊥AC .同理可证BD 1⊥B 1C .∴BD 1⊥平面AB 1C .∵EF ⊥A 1D ，A 1D ∥B 1C ，∴EF ⊥B 1C .又EF ⊥AC ，且AC ∩B 1C ＝C ，∴EF ⊥平面AB 1C ，∴EF ∥BD 1.变式训练3：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别在A 1D 、AC上，且EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .若G 是AB 的中点，则E 在A 1D 上什么位置时，能使EG ⊥平面AB1C?解：若EG⊥平面AB1C，因为BD1⊥平面AB1C，所以EG∥BD1.因为G为AB的中点，所以E为AD1的中点，即E为A1D的中点时，EG⊥平面AB1C.题型五：面面垂直性质定理的应用例5：已知平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，求证：P A⊥平面ABC.证明：如图所示，在BC上任取一点D，作DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，∵平面P AC⊥平面ABC，且平面P AC∩平面ABC＝AC，∴DF⊥平面P AC，又∵P A平面P AC，∴DF⊥P A，同理DG⊥P A，又∵DF∩DG＝D且DF平面ABC，DG平面ABC，∴P A⊥平面ABC.变式训练5：如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．求证：AM⊥PM.证明：如图连接AP.矩形ABCD中，AD⊥DC，BC⊥DC，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝DC，∴AD⊥平面PDC，BC⊥平面PDC，又∵PD平面PDC，PC平面PDC，∴AD⊥PD，BC⊥PC，在Rt△P AD和Rt△PMC中，易知AP2＝AD2＋PD2＝(22)2＋22＝12，PM2＝PC2＋MC2＝22＋(2)2＝6，又∵Rt△ABM中，AM2＝AB2＋BM2＝22＋(22)2＝6，∴AP2＝PM2＋AM2，∴AM⊥PM.题型六：垂直关系的综合应用例6：如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，F A＝FE，∠AEF＝45°.(1)求证：EF⊥平面BCE；(2)设线段CD、AE的中点分别为P，M，求证：PM∥平面BCE.证明：(1)因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD ＝AB，所以BC⊥平面ABEF.所以BC⊥EF.因为△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，所以∠AEB＝45°.又因为∠AEF ＝45°，所以∠FEB ＝90°，即EF ⊥BE .因为BC 平面BCE ，BE 平面BCE ，BC ∩BE ＝B ，所以EF ⊥平面BCE .(2)取BE 的中点N ，连接CN ，MN ，则MN 綊12AB 綊PC ，所以PMNC 为平行四边形．所以PM ∥CN . 因为CN 在平面BCE 内，PM 不在平面BCE 内，所以PM ∥平面BCE .变式训练6：如图，四棱锥S －ABCD 中，SD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD＝1，SD ＝2，BC ⊥BD ，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .(1)证明：DE ⊥平面SBC ；(2)证明：SE ＝2EB .证明：(1)连接BD ，∵SD ⊥平面ABCD ，故BC ⊥SD ，又∵BC ⊥BD ，BD ∩SD ＝D ，∴BC ⊥平面BDS ，∴BC ⊥DE . 作BK ⊥EC ，K 为垂足，因平面EDC⊥平面SBC ，故BK ⊥平面EDC ，BK ⊥DE . 又∵BK 平面SBC ，BC 平面SBC ，BK ∩BC ＝B ，∴DE ⊥平面SBC .(2)由(1)知DE ⊥SB ，DB ＝2AD ＝ 2.∴SB ＝SD 2＋DB 2＝6，DE ＝SD ·DB SB ＝233，EB ＝DB 2－DE 2＝63，SE ＝SB －EB ＝263，∴SE ＝2EB . 三.方法规律总结1．线面垂直的判定定理是证明线面垂直的主要方法，证明的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直．2．在证明面面垂直时，一般方法是从一个平面内寻找另一个平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决(所作辅助线要有利于题目的证明)，即由线面垂直证面面垂直．3．空间中线线、线面、面面之间的垂直关系可以相互转化，其转化关系如下：4．会用线面垂直的性质定理证明平行问题，用面面垂直的性质定理证明垂直问题．四：课后练习作业一、选择题1．设l、m为不同的直线，α为平面，且l⊥α，下列为假命题的是(B) A．若m⊥α，则m∥l B．若m⊥l，则m∥αC．若m∥α，则m⊥l D．若m∥l，则m⊥α【解析】A中，若l⊥α，m⊥α，则m∥l，所以A正确；B中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或mα，所以B错误；C中，若l⊥α，m∥α，则m⊥l，所以C正确；若l⊥α，m∥l，则m⊥α，所以D正确．2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(A)A．平面A1DCB1 B．平面DD1C1C C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB【解析】连接A1D、B1C，由ABCD—A1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB1.3．如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是(C)A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面P AE⊥平面ABC【解析】由题意知BC∥DF，且BC⊥PE，BC⊥AE.∵PE∩AE＝E，∴BC⊥平面P AE，∴BC∥平面PDF成立，DF⊥平面P AE成立，平面P AE⊥平面ABC也成立．4．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是(C) A．若l⊥α，α⊥β，则lβB．若l∥α，α∥β，则lβC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【解析】A错，可能l∥β；B错，可能l∥β；C正确；D错，不一定l⊥β.5．设平面α⊥平面β，且α∩β＝l，直线aα，直线bβ，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与b (B)A．可能垂直，不可能平行B．可能平行，不可能垂直C．可能垂直，也可能平行D．不可能垂直，也不可能平行【解析】当a，b都平行于l时，a与b平行，假设a与b垂直，如图所示，由于b与l不垂直，在b上任取一点A，过点A作b′⊥l，∵平面α⊥平面β，∴b′⊥平面α，从而b′⊥a，又由假设a⊥b易知a⊥平面β，从而a⊥l，这与已知a不与l垂直矛盾，∴假设不正确，a与b不可能垂直．6．空间四边形ABCD，若AB、AC、AD与平面BCD所成角相等，则A点在平面BCD的射影是△BCD的(A)A．外心B．内心C．重心D．垂心【解析】设A点在平面BCD内的射影为O.可知，△OAB≌△OAC≌△OAD.∴OB＝OC＝OD，∴点O为外心．7．下列说法中正确命题的个数为(B)①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；③如果一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面必相交；④如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必在这个平面内；⑤如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任一直线．A．0B．1C．2D．3【解析】如图(1)所示，l与α相交(不垂直)，此时也有无数条直线与l垂直．故①②错误；如图(2)所示，l与α平行，此时平面内也存在无数条直线与l垂直，故③④错误；如图(3)所示，直线l与平面α的垂线m垂直，但l不在平面α内；由线面垂直的定义可知，⑤正确．8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点，现沿AE、AF，EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是(A)A．AG⊥平面EFG B．AH⊥平面EFGC．GF⊥平面AEF D．GH⊥平面AEF【解析】∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE＝G，∴AG⊥平面EFG.9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列命题正确的是(B)A．平面ADC⊥平面BDCB．平面ABD⊥平面ABCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC【解析】在图①中，∵∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABD＝45°.∵AD∥BC，∴∠DBC＝45°.又∵∠BCD＝45°.∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD.在图②中，此关系仍成立．∵平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD.∵BA平面ADB，∴CD⊥AB.∵BA⊥AD，∴BA⊥平面ACD.∵BA平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.10．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P在(A)A．线段B1C上B．线段BC1上C．BB1中点与CC1中点的连线上D．B1C1中点与BC中点的连线上【解析】连接AC，B1C，AB1，由线面垂直的判定可知BD1⊥平面AB1C.若AP平面AB1C，则AP⊥BD1.这样只要P在B1C上移动即可．二、填空题11．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是________．垂直D⊥平面ABCD，AC平面【解析】∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵DABCD，∴D1D⊥AC.∵D1D∩DB＝D，∴AC⊥平面BB1D1D.∵AC平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BB1D1D.12．如图所示，已知P A⊥平面α，PB⊥平面β，垂足分别为A、B，α∩β＝l，∠APB＝50°，则二面角α－l－β的大小为________．130°【解析】如图，设平面P AB∩l＝O，连接AO，BO，AB，∵P A⊥α，lα，∴P A⊥l.同理PB⊥l，而PB∩P A＝P，∴l⊥平面P AB，∴l⊥AO，l⊥BO，∴∠AOB即为二面角α－l－β的平面角．结合图形知∠AOB＋∠APB＝180°，∴∠AOB＝130°.13．如图，已知平面α⊥平面β，在α与β的交线l上，取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，则CD＝______.13 cm【解析】连接BC.因为平面α⊥平面β，且α∩β＝l，又因为BD平面β，且BD⊥l，所以BD⊥平面α.又∵BC平面α，∴BC⊥BD.所以△CBD也是直角三角形．在Rt △BAC 中，BC ＝32＋42＝5.在Rt △CBD 中，CD ＝52＋122＝13.所以CD 长为13 cm.14．α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α与β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.若①③④，则②(或若②③④，则①)【解析】利用面面垂直的判定，可知①③④⇒②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④⇒①为真．15．如图平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD ＝_______a【解析】如图所示，取BC 的中点E ，连接ED ，AE ，∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC ，∵平面ABC ⊥平面BDC .∴AE ⊥平面BDC ，∴AE ⊥ED .在Rt △ABC 和Rt △BCD 中，AE ＝ED ＝12BC ＝22a ，∴在Rt △AED 中，AD ＝AE 2＋ED 2＝a .三、解答题16．如图所示，AB 是圆O 的直径，P A 垂直于圆O 所在的平面，M 是圆周上任意一点，AN ⊥PM ，垂足为N .求证：AN ⊥平面PBM .证明:设圆O 所在的平面为α，∵P A ⊥α，且BM α，∴P A ⊥BM .又∵AB 为⊙O 的直径，点M 为圆周上一点，∴AM ⊥BM ，∵直线P A ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面P AM .又AN 平面P AM ，∴BM ⊥AN .这样，AN 与PM ，BM 两条相交直线垂直．故AN ⊥平面PBM .17．如图所示，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA ，SB ，SC 且∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∠BSC ＝90°.求证：平面ABC ⊥平面BSC .【证明】（法一）取BC 的中点D ，连接AD ，SD .∵∠ASB ＝∠ASC ，且SA ＝SB＝AC ，∴AS ＝AB ＝AC .∴AD ⊥BC .又△ABS 是正三角形，△BSC 为等腰直角三角形，∴BD ＝SD .∴AD 2＋SD 2＝AD 2＋BD 2＝AB 2＝AS 2.由勾股定理的逆定理，知AD ⊥SD .又∵SD ∩BC ＝D ，∴AD⊥平面BSC .又AD 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC .（法二）同法一证得AD ⊥BC ，SD ⊥BC ，则∠ADS 即为二面角A —BC —S 的平面角．∵∠BSC ＝90°，令SA ＝1，则SD ＝22，AD ＝22，∴SD 2＋AD 2＝SA 2.∴∠ADS ＝90°.∴平面ABC ⊥平面BSC .18．如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，分别交AC 、SC 于D 、E ，且SA ＝AB ＝a ，BC ＝2a .(1)求证：SC ⊥平面BDE ；(2)求平面BDE 与平面BDC 所成二面角的大小．(1)证明：∵SA ⊥平面ABC ，又AB 、AC 、BD 平面ABC ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，SA ⊥BD ，∴SB ＝SA 2＋AB 2＝2a .∵BC ＝2a ，∴SB ＝BC .∵E 为SC 的中点，∴BE ⊥SC .又DE ⊥SC ，BE ∩DE ＝E ，∴SC ⊥平面BDE .(2)由(1)及BD 平面BDE ，得BD ⊥SC .又知BD ⊥SA ，∴BD ⊥平面SAC .∴BD ⊥AC 且BD ⊥DE .∴∠CDE 为平面BDE 与平面BDC 所成二面角的平面角．∵AB ⊥BC ，AC ＝AB 2＋BC 2＝3a .∴Rt △SAC中，tan ∠SCA ＝SA AC ＝33，∴∠SCA ＝30°.∴∠CDE ＝60°，即平面BDE 与平面BDC 所成二面角为60°.19.如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M为AB 中点，D 为PB 中点，且PMB ∆为正三角形.（1）求证：DM APC ∥平面；（2）求证：ABC APC ⊥平面平面.证明:（1）∵M 为AB 中点，D 为PB 中点，∴MD //AP ,又MD不在平面APC 上，∴MD //平面APC.（2）∵△PMB 为正三角形，又D 为PB 中点. ∴MD ⊥PB .又由（1）知MD //A P , ∴AP ⊥PB . 又AP ⊥PC , 且PB ∩PC =P ，∴AP ⊥平面PBC , ∴AP ⊥BC , 又∵AC ⊥BC , 且AP ∩AC =A ∴BC ⊥平面APC , 又BC 在平面ABC 内，∴平面ABC ⊥平面APC .20．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中 点，MN ⊥平面A 1DC .求证：(1)MN ∥AD 1；(2)M 是AB 的中点．证明：(1)∵ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，AD 1平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1.∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC .又∵MN ⊥平面A 1DC ，∴MN ∥AD 1. MD B P C A(2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC .∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM .又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM .∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点． 21．如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，ABCD 是∠DAB ＝60°且边长为a 的菱形，侧面P AD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .(1)若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面P AD ；(2)求证：AD ⊥PB .证明：(1)连接PG ，BD .由题知△P AD 为正三角形，G 是AD 的中点，∴PG ⊥AD .又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PG 平面P AD ，∴PG ⊥平面ABCD ，∴PG ⊥BG .又∵四边形ABCD 是菱形且∠DAB ＝60°，∴△ABD 是正三角形，∴BG ⊥AD .又AD 平面P AD ，PG 平面P AD ，且AD ∩PG ＝G ，∴BG ⊥平面P AD .(2)由(1)可知BG ⊥AD ，PG ⊥AD .又BG 平面PBG ，PG 平面PBG ，且BG ∩PG ＝G ，AD ⊥平面PBG ，∴AD ⊥PB .。

空间中的垂直关系●知识梳理线面垂直1.如果一条直线与平面相交并且与平面内的所有直线都垂直，那么就说这条直线与这个平面垂直.2.直线与平面垂直的判定：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.3.直线与平面垂直的性质：如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线平行.面面垂直1.两个平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直.2.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.3.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直.【基础练习】1.m、n表示直线，α、β、γ表示平面，给出下列四个命题，其中正确命题为①α∩β=m，n α，n⊥m，则α⊥β②α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m⊥n③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，则m⊥α④m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βA.①②B.②③C.③④D.②④答案：C2．“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l α⊥”的 必要 条件。

3．如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是 平行或相交 。

4.在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是 6 。

5．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是平行、相交或在另一个平面内 。

6．在正方体1111ABCD A BC D -中，写出过顶点A 的一个平面__AB 1D 1_____，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。

7.设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则（1）A 点到CD 1的距离为________； （2）A 点到BD 1的距离为________；（3）A 点到面BDD 1B 1的距离为_____________； （4）A 点到面A 1BD 的距离为_____________； （5）AA 1与面BB 1D 1D 的距离为__________.答案：（1）26（2）36（3）22（4）33（5）22【范例导析】例1．如图,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD =DC ,E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F .（1）证明PA //平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD . 解析：本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.证明：（1）连结AC ,AC 交BD 于O ,连结EO .∵底面ABCD 是正方形,∴点O 是AC 的中点 在PAC ∆中,EO 是中位线,∴PA // EO 而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB , 所以,PA // 平面EDB（2）∵PD ⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ,∴DC PD ⊥∵PD =DC ,可知PDC ∆是等腰直角三角形,而DE 是斜边PC 的中线, ∴PC DE ⊥. ①同样由PD ⊥底面ABCD ,得PD ⊥BC .∵底面ABCD 是正方形,有DC ⊥BC ,∴BC ⊥平面PDC . 而⊂DE 平面PDC ,∴DE BC ⊥. ②由①和②推得⊥DE 平面PBC . 而⊂PB 平面PBC ,∴PB DE ⊥ 又PB EF ⊥且E EF DE = ,所以PB ⊥平面EFD .例2．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝A CCA＝2 BD，M是EA的中点，求证：（1）DE＝DA；（2）平面BDM⊥平面ECA；（3）平面DEA⊥平面ECA。

空间中的垂直关系1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直 推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭。

注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。

2．线面垂直定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面的垂线，平面α叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。

直线l 与平面α垂直记作：l ⊥α。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

3．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

题型1：线线垂直问题例1．如图1所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、L 、M 、N 分别为A 1D 1，A 1B 1，BC ，CD ，DA ，DE ，CL 的中点，求证：EF ⊥GF 。

例2．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点，证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线。

空间中的垂直关系一、直线与平面垂直 （一）定义 1．定义 2．过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直。

（二）判定方法 1．定义 2．判定定理： 3．其他方法：（1）}αα⊥⇒⊥b ba b // （2）}αβαβ⊥⇒⊥l l //（3）ααβαβα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊥⊂=⊥l a l l a （4）向量法：na →→//（三）性质：1．}ba ab //⇒⊥⊥αα2．}ba a b ⊥⇒⊥⊂αα二、平面与平面垂直（一）定义 （二）判定 (3)性质三、几个重要结论：若ABCD 为空间四边形，则有：①若AB=AC=AD ，则A 在面BCD 内的射影为∆BCD 的外心 ②若A 到BC 、CD 、BD 边的距离相等，且射影在∆BCD 内部，则A 在面BCD 内的射影为∆BCD 的内心 ③若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则A 在面BCD 内的射影为∆BCD 的垂心 ④若AB ，AC ，AD 两两互相垂直，则A 在面BCD 内的射影为∆BCD 的垂心 ⑤若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则AD ⊥BC 。

四、举例 （一）直线和平面垂直的定义、性质有关问题1．（05郑州）已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①α//β⇒ l ⊥m ； ②α⊥β⇒ l //m ；③ l //m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α//β其中正确的两个命题是 （ ） A ．①与② B ．③与④ C ．②与④ D ．①与③ 练习：已知直线a 、b ，平面α、β、γ，则下列条件中能推出α//β的是 （ ） A ．a//α，b//β，a//b B ．a ⊥γ，b ⊥γ，a ⊂α，b ⊂β C ．a ⊥α，b ⊥β，a//b D ．a ⊂α，b ⊂β，a//β，b//α （二）线线垂直2．如图所示，正三棱柱ABC —A'B'C'中，若AB'⊥BC'，求证：AB'⊥A'C 。

空间中的垂直关系1．两条直线互相垂直定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a⊂αb⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α推论1如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面⎭⎪⎬⎪⎫a∥ba⊥α⇒b⊥α推论2如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b3. 平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β(3)平面与平面垂直的性质定理：文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊂βα∩β＝al ⊥a⇒l ⊥α1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( ) (2)若直线a ⊥平面α，直线b ∥α，则直线a 与b 垂直． ( ) (3)直线a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b . ( ) (4)若α⊥β，a ⊥β⇒a ∥α. ( ) (5)a ⊥α，a ⊂β⇒α⊥β.( )2． (2013·广东)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，，则m ∥nC ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β3． 设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( )A ．a ⊥c ，b ⊥cB ．α⊥β，a ⊂α，b ⊂β C ．a ⊥α，b ∥αD ．a ⊥α，b ⊥α4． 将图1中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 的中线折起得到空间四面体ABCD (如图2)，则在空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是( )A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．异面且垂直D ．异面但不垂直5． α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________________________.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是() A．l∥m，l⊥αB．l⊥m，l⊥αC．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α2. 如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A．P A＝PB>PCB．P A＝PB<PCC．P A＝PB＝PCD．P A≠PB≠PC3．在空间内，设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是()A．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γB．l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥mC．α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，若l∥m，则l∥nD．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β4．正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于()A．A′C′B．BDC．A′D′D．AA′又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.5. 如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长，其中正确的是()A．①②B．①②③C．①D．②③二、填空题6．已知P为△ABC所在平面外一点，且P A、PB、PC两两垂直，则下列命题：①P A⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________．7．在正三棱锥P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．8．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)三、解答题9．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝3，BC＝BE＝7，△DCE是边长为6的正三角形．(1)求证：平面DEC⊥平面BDE；(2)求点A到平面BDE的距离．B组专项能力提升1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则() A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直2．(2012·江苏)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________ cm3.3．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．。

空间几何中的垂直关系垂直关系是空间几何中的重要概念之一，它与直线和平面的相互关系密切相关。

本文将就空间几何中的垂直关系进行详细探讨。

一、垂直关系的定义和性质在空间几何中，我们称两条直线或一个直线和一个平面相互垂直，当且仅当它们的夹角为90度（或称直角）。

垂直关系具有以下性质：1. 垂直关系是相对的：两条直线或一个直线和一个平面相互垂直，可以理解为它们相互垂直的方向互为补角，即互为垂线。

2. 垂直关系具有传递性：如果直线AB垂直于直线BC，那么直线AB也将垂直于直线AC。

这个性质可以通过夹角定义和垂线的性质进行推导。

3. 平面与直线的垂直关系：当一条直线与一个平面垂直时，它与该平面的任意直线均垂直。

这一性质为建立空间几何中的垂直关系提供了便利。

4. 垂直关系与平行关系之间的关系：如果两个平面相互垂直，那么它们的任意一条公共直线与这两个平面都垂直；反之，如果两个平面的任意一条公共直线与这两个平面都垂直，那么这两个平面互相垂直。

二、垂直关系的应用垂直关系在几何学和实际生活中都有广泛的应用。

以下列举了几个常见的应用场景：1. 建筑学中的垂直关系：在建筑设计与施工中，垂直关系是十分重要的，用来确保建筑结构的稳定和整体美观。

例如，墙面的垂直性要求、柱子与楼梯之间的垂直关系等都是基于几何理论的。

2. 地质学中的垂直关系：地层与地层之间的垂直关系是地质学家研究地壳演化和地层分析的基础。

通过研究地质层的垂直关系，可以推断出地层的变动和地质历史的变迁。

3. 数学建模中的垂直关系：在数学建模中，垂直关系被广泛应用于平面几何、三维几何以及向量分析等学科中。

它在描述和解决实际问题时，起到了重要的作用。

4. 导航和测量中的垂直关系：在导航和测量领域，垂直关系被用于确定方向、角度和高度。

例如，地球上的经线与纬线垂直相交，使得我们可以准确测量位置和方向。

三、总结空间几何中的垂直关系是一种重要的几何概念，它与直线和平面之间的关系密不可分。

空间中的垂直关系
在三维空间中，直线和平面之间的垂直关系可以通过以下方式定义:
1. 直线和平面相交，且交线的夹角为 90 度，则直线和平面垂直。

2. 直线和平面相交，且交线是斜线，则直线和平面不垂直。

3. 直线和平面相交，且交线是一条直线，则直线和平面垂直。

对于平面和平面之间的垂直关系，可以使用以下方式定义:
1. 如果两个平面互相垂直，则它们的交线是直线，且这两条直线互相垂直。

2. 如果两个平面互相垂直，则其中一个平面的垂线穿过另一个平面，且这两条垂线互相垂直。

在三维空间中，直线和直线之间的垂直关系可以通过以下方式定义:
1. 如果两条直线互相垂直，则它们的交角为 90 度。

2. 如果两条直线互相平行，则它们不一定垂直，但如果它们在某一点相交，则它们的交线是直线，且这两条直线互相垂直。

垂直关系在三维空间中非常重要，因为它们可以用来定义物体之间的相对位置和方向。

在建筑设计、机械设计、航空航天等领域，垂直关系经常被应用到。