相信很多同学都知道，解析几何其实并不难，解题思路也相对简单，但是它却折磨着大多数的考生们！
为什么？因为它的计算量实在是太大了，想找个简单快捷的方法去做都是很不容易的一件事。
在高考数学中，解析几何属于必考题，而且其所占的分值和函数也相差不大，都是在3 0分左右，但是它并没有像函数压轴题一样，让人看了就想放弃。
但是只要找对方法，你会发现其实解析几何也没有想象中的那么折磨人，而且出乎意料的简单。
今天，学长就为同学们整理了高考数学中解析几何的热点常考题和解题方法的汇总，希望同学们好好把握，在高考中取得一个更好的成绩！
需要电子打印版的同学可以私信发送，解析几何，就可以打印出来了！用起来超方便！！！。
解析几何题型命题趋向：解析几何例命题趋势：1. 注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以填空题的形式出现，每年必考2. 考查直线与二次曲线的普通方程，属容易题，对称问题常以填空题出现3. 考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以填空题的形式出现，有时会出现有一定灵活性和综合性较强的题，如求轨迹，与向量结合，与求最值结合，属中档题考点透视一．直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．3．了解二元一次不等式表示平面区域．4．了解线性规划的意义，并会简单的应用．5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程．二．圆锥曲线方程1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质．2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．4．了解圆锥曲线的初步应用．考点1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.2 2x y 的右焦点重合，则p 的值为例1．若抛物线y2 2px的焦点与椭圆1 6 2考查意图:本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.解答过程：椭圆2 2x y 的右焦点为(2,0)，所以抛物线16 2y2 2px 的焦点为(2,0)，则p 4 ，考点2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之.2+3 上存在关于直线x+y=0 对称的相异两点A、B，则|AB|等于例2．已知抛物线y-x考查意图:本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.解：设直线AB 的方程为y x b，由2y xy x b3 2x x b 3 0 x x 11 2，进而可求出AB 的中点1 1M ( , b) ，又由2 21 1M ( , b) 在直线x y 0上可求出 b1，2 2∴ 2 2 0x x ，由弦长公式可求出2 2AB 1 1 1 4 ( 2) 3 2 ．2 2例3．如图，把椭圆x y 的长轴125 16AB 分成8 等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部P P P P P P P 七个点， F 是椭圆的一个焦点，, 2, 3, 4 , 5, 6, 7 分于1则P F P F PF P F P F P F P F ____________.1 2 3 4 5 6 7考查意图:本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.解答过程：由椭圆 2 2x y 的方程知a2 25, a 5.125 16∴7 2aPF P F PF P F P F P F P F 7 a 7 5 35.1 2 3 4 5 6 72故填35.考点3. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用:(1)椭圆的离心率e＝c∈(0,1) (e越大则椭圆越扁);a(2) 双曲线的离心率e＝结合有关知识来解题. c ∈(1, ＋∞) (e 越大则双曲线开口越大). a例4．已知双曲线的离心率为2，焦点是( 4,0) ，(4,0) ，则双曲线方程为考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念.解答过程： e c 2,c 4,所以 a 2,b2 12. a小结: 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会.例5．已知双曲线3x2 y2 9,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于考查意图:本题主要考查双曲线的性质和离心率e＝c∈(1, ＋∞) 的有关知识的应用能力.a解答过程：依题意可知 a 3,c a2 b2 3 9 2 3 ．考点4.求最大(小)值求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值: 特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.2=4x,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22 的最小值例6．已知抛物线y是.考查意图:本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法.解:设过点P(4,0)的直线为y k x 4 , k2 x2 8x 16 4x,2 2 2 2k x 8k 4 x 16k 0,28k 4 1 2 2y y 4 x x 4 16 2 32.1 2 2 2 1 2k k考点5 圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心.例7．在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线y=x 相切于坐标原点O.椭圆x=1 与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.2 y 2a 92（1）求圆 C 的方程；（2）试探究圆 C 上是否存在异于原点的点Q，使Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段O F 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.[考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．[解答过程] (1) 设圆 C 的圆心为(m, n)则m n,n 2 2 2, 解得2,mn 2.所求的圆的方程为 2 2(x2) ( y 2) 8(2) 由已知可得2a 10， a 5．2 2x y , 右焦点为F( 4, 0) ; 椭圆的方程为125 9假设存在Q 点 2 2 2 cos ,2 2 2 sin 使QF OF ,2 22 2 2 cos 4 2 2 2 s in 4 ．整理得si n 3 c o s 2，2代入 2 2sin cos 1．得: 10cos2 12 2 cos 7 0 , cos 12 2 8 12 2 2 2 1．10 10因此不存在符合题意的Q 点.例8．如图,曲线G 的方程为y2 2x( y 0) .以原点为圆心，以t(t 0)为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的正半轴相交于 A 与点B. 直线AB 与x 轴相交于点 C.（Ⅰ）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关系式；（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为 a 2 ,求证：直线CD 的斜率为定值.[考查目的]本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力.[解答过程]（I）由题意知，A( a, 2a ).因为|OA | t,所以a2 2a t 2.由于t 0,故有t a2 2a. （1）x y由点B（0，t），C（c，0）的坐标知，直线BC 的方程为 1.c t又因点 A 在直线BC 上，故有 2 1,a ac t将（1）代入上式，得1,a a 解得 c a 2 2(a 2) .2ca(a 2)（II）因为D(a 2 2(a 2)) ，所以直线CD 的斜率为2(a 2) 2(a 2) 2(a 2)k CD ，1 a2 c a 2 (a 2 2(a 2) ) 2(a 2)所以直线CD 的斜率为定值.2 2x y例9．已知椭圆，AB 是它的一条弦，M(2,1) 是弦AB 的中点，若以点M(2,1) E : 1(a b 0)2 2a b为焦点，椭圆 E 的右准线为相应准线的双曲线 C 和直线AB 交于点N(4, 1)，若椭圆离心率 e 和双曲线离心率e之间满足1 ee 1，求：1（1）椭圆 E 的离心率；（2）双曲线 C 的方程.解答过程：（1）设A、B 坐标分别为A(x , y ),B(x , y ) ，1 12 2则2 2x y1 12 2a b，12 2x y2 22 2a b1，二式相减得：k2y y (x x )b1 2 1 2AB 2x x (y y )a1 2 1 222b 1 ( 1)，k 12MNa 2 4所以 2 2 22a2b 2(ac )，a2c ， 则 e c2 22a2； 122a( 2c)（2）椭圆 E 的右准线为e2 ，双曲线的离心率1x2cecc 设P(x, y) 是双曲线上任一点，则：，22| PM |(x 2)(y 1) | x 2c || x 2c|2，两端平方且将 N(4, 1)代入得： c 1或 c 3，当 c 1时，双曲线方程为：2 2(x 2) (y 1) 0，不合题意，舍去； 当 c 3时，双曲线方程为：(x 10)2 (y 1)2 32，即为所求 . 小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法； （2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义. 考点 6 利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算 .典型例题：例 10．双曲线 C 与椭圆 (1)求双曲线 C 的方程； 2 2 x y 有相同的焦点，直线 y= 3x 为 C 的一条渐近线 .184(2)过点 P (0,4)的直线 l ，交双曲线 C 于 A,B 两点，交 x 轴于 Q 点（Q 点与 C 的顶点不重合） .当 PQ QA QB ，且12128 3时，求 Q 点的坐标 . 考查意图 : 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力 .解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为 2 2 x y,221ab22x y,求得两焦点为 ( 2,0),(2,0) ， 由椭圆1 84对于双曲线 C :c 2，又 y 3x 为双曲线 C 的一条渐近线b a 3 解得 2 1, 2 3 a b ，双曲线 C 的方程为2y 21 x3（Ⅱ）解法一：由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零 .设l 的方程：y kx A x y ， B(x 2 , y 2 ) ,则Q ( 4 ,0)4, ( , )11k.PQQA,14 4.( , 4) ( x , y )1 1 1k kx4 4( x)1 1k k41y y1 1 14 4 k k141A x y 在双曲线 C 上，( , )1 1 16 1 16.12( ) 1 0 2k1 1162 2 2 216 32 16 k k 0.1 13162 2 2 (16 k ) 32 16 k 0.1 1316同理有： 2 2 2(16 k ) 32 16 k 0.2 2316 k 0,则直线l 过顶点，不合题意.2若216 k 0,1, 2 是二次方程 2 2 16 2(16 ) 32 16 0.k x x k 的两根.332 8 1 2 2k 16 3 , 2 4k ，此时0, k 2.所求Q的坐标为( 2,0) .解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零设l 的方程，y kx A x y B x y ，则Q( 4 ,0)4, ( , ), ( , )1 12 2k.PQ QA，Q 分PA 的比为 1 .1由定比分点坐标公式得4 x 41 1x (1 )1 1k 1 k1 10 4 y 41 1y111 1下同解法一解法三：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零设l 的方程：y kx A x y B x y ，则Q( 4 ,0)4, ( , ), ( , )1 12 2k.PQ QA QB ，1 24 4 4 ( , 4) ( x , y ) (x , y )1 1 12 2 2k k k.4 y y ，1 12 2 1 4y1，24y2，又1 2 83，1 1 2y y1 23,即3( y y ) 2y y .1 2 1 2将y kx 4代入2yx2 1得32 2 2(3 k )y24y 48 3k 0 .3 k 0 ，否则l 与渐近线平行.22 24 48 3k. y y , y y1 2 2 1 2 23 k 3 k224 48 3k. k 2 3 22 23 k 3 kQ .( 2,0)解法四：由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：y kx 4 ，A x y B x y ,则Q( 4 ,0)( , ), ( , )1 12 2kPQ QA,14 4. ( , 4) ( x , y )1 1 1k k1x1 44k4 4kx1k.同理14kx24.4 4 8.1 2kx 4 kx 4 31 2即 22k x x 5k( x x ) 8 0 . （*）1 2 1 2y kx 又 22yx3 4 1消去y 得(3 k 2)x2 8kx 19 0.当3 k2 0 时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意， 23 k 0 .由韦达定理有：8k x x1 2 23 k19 x x1 2 23 k代入（*）式得k2 4,k 2 .所求Q 点的坐标为( 2,0) .例11．设动点P 到点A(－l，0)和B(1，0)的距离分别为d1 和d2，2∠APB＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d1d2 sinθ＝λ．（1）证明：动点P 的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；（2）过点 B 作直线交双曲线 C 的右支于M、N 两点,试确定λ的范围,使OM ·ON ＝0,其中点O 为坐标原点．[考查目的]本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．[解答过程]解法1：（1）在△PAB 中，AB 2 ，即 2 2 22 d d 2d d cos21 2 1 24 (d d ) 4d d sin ，即2 21 2 1 2 d d d d （常数），21 2 4 4 1 2 sin 2 1 2点P 的轨迹C是以A，B 为焦点，实轴长2a 2 1 的双曲线．方程为： 2 2x y ．11（2）设M x，y ，( )1 1 N( x，y )2 2①当MN 垂直于x轴时，MN 的方程为x 1，M (1，1) ，N (1，1) 在双曲线上．即 1 1 1 2 1 0 1 5 ，因为0 1，所以 5 11 2 2②当MN 不垂直于x轴时，设MN 的方程为y k(x 1) ．．由12 2x y 1得：(1 )k 2 x2 2(1 )k 2x (1 )(k 2 ) 0 ，y k(x1)由题意知：(1 )k 2 0 ，所以 22k (1 )x x1 2 2(1 )k ， 2(1 )(k )x x1 2 2(1 ) k．于是： 2 2k2y1 y2 k (x1 1)(x2 1) 2(1 )k．因为OM ON 0，且M ，N 在双曲线右支上，所以(1 )x x y y 0 k (1 )21 2 1 2 212x x 0 1 11 22 2x x 0 1 0k1 21 5 1 22 3．由①②知， 5 1 2≤．23解法2：（1）同解法 1（2）设M x，y ，N (x2，y2 ) ，MN 的中点为( )1 1 E x ，y ．( )0 0①当x1 x2 1时，MB 2 1 2 1 0，1因为0 1，所以 5 12；②当x x 时，1 2112x122x2y122y11k MN1xy．y 又0 k kMN BEx0 1 ．所以(1 ) y2 x2 x ；0 0 0由∠得MON22MNx y ，由第二定义得2 20 022 2MN e( x x ) 2a1 22 221 12x x x ．1 (1 ) 20 0 01 1所以(1 ) y2 x2 2(1 )x (1 )2 ．0 0 0于是由 2 2(1 ) y x x ,0 0 02 2 2(1 ) y x 2(1 )x (1 ) ,0 0 0 得x(1 )2 32.因为x0 1，所以 2(1 )2 3，又0 1，1解得： 5 1 22 3 ．由①②知 5 1 2≤．2 3考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易.例12．设椭圆 E 的中心在坐标原点O，焦点在x 轴上，离心率为 3，过点C( 1,0) 的直线交椭圆 E 于3 A、B 两点，且CA 2BC ，求当AOB 的面积达到最大值时直线和椭圆 E 的方程.解答过程：因为椭圆的离心率为 33，故可设椭圆方程为2x2 3y 2 t(t 0) ，直线方程为my x 1，由 2 22x 3y t 得：(2m 2 3)y2 4my 2 t 0 ，设A(x 1,y1),B(x 2 ,y2) ，my x 14m 则y y1 2 22m 3 ,,,, ①yA又CA 2BC，故(x 1,y ) 2( 1 x , y ) ，即y1 2y2 ,,,, ②1 12 2C8m4m 由①②得：，，yy1 22 22m 32m 31 m则＝ 6 6 S | y y | 6 | |AOB 1 2 22 2m 33 22 | m || m | ，Box当m2 32 ，即m 62时，AOB 面积取最大值，此时 22 t 32my y1 2 2 2 22m 3 (2m 3) ，即t 10 ，所以，直线方程为x 6 y 1 02，椭圆方程为2x2 3y2 10.小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易.例13．已知PA (x 5, y) ，PB (x 5, y) ，且| PA | | PB| 6 ，求| 2x 3y 12 | 的最大值和最小值. 解答过程：设P(x, y) ，A( 5,0) ，B( 5,0) ，因为| PA | | PB| 6，且| AB| 2 5 6 ，所以，动点P 的轨迹是以A、B 为焦点，长轴长为 6 的椭圆，椭圆方程为 2 2x y9 4，令x 3cos , y 2sin ，1则| 2x 3y 12 |＝| 6 2 cos( ) 12 |， 4当cos( )14时，| 2x 3y 12|取最大值12 6 2，当cos( ) 1时，|2x 3y 12|取最小值12 6 2 . 4小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算.考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题.2x例14．已知椭圆y 的左焦点为F，O 为坐标原点.2 12（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（II）设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x轴交于点G，求点G 横坐标的取值范围.考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.解答过程：（I）a2 2,b2 1, c 1,F ( 1,0), l : x 2.圆过点O、F，圆心M 在直线 1x 上.2 y设M ( 1 ,t ), 则圆半径( 1)( 2) 3.r2 2 2B由OM r, 得解得t 2.1 32 2( ) t ,2 2l AF G O x所求圆的方程为 1 92 2(x ) ( y 2) .2 4 （II）设直线AB 的方程为y k( x1)(k 0),代入 2 x2 y2 1,整理得 2 2 2 2(1 2k )x 4k x 2k 2 0.直线AB 过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根.记A(x , y ), B(x , y ), AB中点1 12 2 N(x , y ),0 0则 24kx x1 2 22k 1,AB的垂直平分线NG 的方程为 1y y ( x x ).0 0k 令y 0,得2 2 22k k k 1 1x x kyG 0 0 2 2 2 22k 1 2k 1 2k 1 2 4k 21k 0, x 0,G2.点G 横坐标的取值范围为( 1 ,0).2 2 2x y例15．已知双曲线C：，B 是右顶点， F 是右焦点，点 A 在x 轴正半轴上，且满1(a 0,b 0) 2 2a b足|OA |,| OB|,| OF| 成等比数列，过 F 作双曲线 C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P，（1）求证：PA OP PA FP；（2）若l 与双曲线 C 的左、右两支分别相交于点D,E，求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围.解答过程：（1）因|OA |,| OB|,| OF| 成等比数列，故|OA | 2 2|OB | a| OF| c ，即2aA( ,0)c，直线l ：y a (x c)b ，y由ay (x c)2a abbP( , )b c cy xa，DPE F故：则：2 2ab a ab b abPA (0, ),OP ( , ), FP ( , )，c c c c c2 2a b，即P A OP PA FP ；PA OP PA FP2cO AB x（或PA (OP FP) PA (PF PO) PA OF 0，即PA OP PA FP）（2）由a4 4 4 2y (x c) a a a c2 2 2 2b (b )x 2 cx ( a b ) 02 2 2b b b2 2 2 2 2 2b x a y a b，4 2a c2 2( a b )2bx x 0 由1 2 4a2b4 4 2 2 2 2 2b a bc a a e 2 e 2. 得：2 2 2 2 2b c a a e 2 e 2 ）2ba bk k（或由DF DOb a小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标.例16．已知 a (x,0) ，b (1, y) ，(a 3b) (a 3b) ，（1）求点P(x, y) 的轨迹 C 的方程；（2）若直线y kx m(m 0) 与曲线 C 交于A、B 两点，D(0, 1) ，且|AD | | BD |，试求m 的取值范围.解答过程：（1）a3b ＝(x,0) 3(1, y) (x 3, 3y) ，a 3b ＝(x,0) 3(1, y) (x 3, 3y) ，因(a 3b) (a 3b) ，故(a 3b) (a 3b) 0 ，即(x 3, 3y)(x 3, 3y)x 3y 3 0，x 故P点的轨迹方程为32y 1.（2）由y kx m2 2x 3y 3得： 2 2 2(1 3k )x 6kmx 3m 3 0 ，设A(x ,y ),B(x ,y ) ，A、B 的中点为M(x 0,y0)1 12 2则 2 2 2 2 2 (6km) 4(1 3k )( 3m 3) 12(m 1 3k ) 0，6km x x1 2 21 3k ，xx x 3km1 20 22 1 3k，my kx m0 0 21 3k，3km m即A 、B 的中点为( 2 , 2 )1 3k 1 3k，则线段AB 的垂直平分线为：m 1 3kmy ( )(x )2 21 3k k 1 3k，将D(0, 1) 的坐标代入，化简得： 24m 3k 1，则由2 2m 1 3k 0得：24m 3k 12m 4m 0，解之得m 0 或m 4 ，又 24m 3k 1 1，所以m 1 4 ，故m 的取值范围是1( ,0) (4, ) 4.小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象.考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立.例17．已知A,B,C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点，点 A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O，且AC BC 0，| BC| 2|A C| ，（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点P,Q使PCQ 的平分线垂直于OA ，是否总存在实数λ，使得P Q λAB ？请说明理由；解答过程：（1）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A(2,0) ，2 2x y1，不妨设在轴上方，C x2 yOCWORD文档4 b设椭圆方程为A 由椭圆的对称性，| B C | 2 | A ，又AC BC 0 AC OC ，即ΔO C A为等腰直角三角形，B PQx由A(2,0) 得：C(1,1)，代入椭圆方程得： 2 4b3，即，椭圆方程为2 2x 3y4 41；（2）假设总存在实数λ，使得PQ λAB ，即A B // PQ ，由C(1,1)得B( 1, 1) ，则kAB 0 ( 1) 1 2 ( 1) 3，若设CP：y k(x 1) 1，则CQ：y k(x 1) 1，由2 2x 3y4 41 2 2 2(1 3k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1 0 ，y k(x 1) 1由C(1,1)得x 1是方程 2 2 2(1 3k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1 0的一个根，由韦达定理得：23k 6k 1x x 1P P 21 3k，以k 代k 得x23k 6k 1Q 21 3k，故k PQ y y k(x x ) 2k 1P Q P Qx x x x 3P Q P Q，故AB // PQ，即总存在实数λ，使得PQ λAB .评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题.考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围.例18．设G、M 分别是ABC 的重心和外心，A(0, a) ，B(0,a)(a 0) ，且G M AB ，（1）求点 C 的轨迹方程；（2）是否存在直线m，使m 过点(a,0) 并且与点 C 的轨迹交于P、Q 两点，且OP OQ 0？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由.解答过程：（1）设C(x, y) ，则x yG( , )3 3，因为G M AB ，所以GM // AB ，则xM( ,0)3，由M 为ABC 的外心，则| MA | | MC |，即x x2 2 2 2 ( ) a ( x) y3 3，2 2x y整理得：；1(x 0)2 23a a（2）假设直线m 存在，设方程为y k(x a) ，y k(x a)由 2 2x y2 2 1(x 0)得： 2 2 2 2 2(1 3k )x 6k ax 3a (k 1) 0，3a a设P(x1,y1),Q(x 2 ,y2) ，则26k ax x1 2 21 3k，2 23a (k 1)x x1 2 21 3k，2 22k a 2 2 2y y k ( x a ) ( x a ) k [ x x a ( x ＝x ) a ]，1 2 1 2 1 2 1 2 21 3k由OP OQ 0得：x1x2 y1y2 0，即2 2 2 23a (k 1) 2k a2 21 3k 1 3k0 ，解之得k 3，又点(a,0) 在椭圆的内部，直线m 过点(a,0) ，故存在直线m，其方程为y 3(x a) .小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断；（2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题.专题训练1．如果双曲线经过点(6, 3) ，且它的两条渐近线方程是y 1 x3，那么双曲线方程是2 2 2 2x y x y2．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为1 12 22 23m 5n 2m 3n2 2x y3．已知F1,F2 为椭圆MF 垂直于x 轴，的焦点，M 为椭圆上一点，1(a b 0)12 2a b且F1MF2 60 ，则椭圆的离心率为2 2x y4．二次曲线，当m [ 2, 1]时，该曲线的离心率 e 的取值范围是14 m2 25．直线m 的方程为y kx 1，双曲线 C 的方程为x y 1，若直线m 与双曲线 C 的右支相交于不重合的两点，则实数k 的取值范围是x2 y2 4 ，若抛物线过点A( 1,0) ，B(1,0) ，且以圆的切线为准线，则抛物线的6．已知圆的方程为焦点的轨迹方程为2 2x y 上一点，若0 1 7．已知P 是以F1 、F2 为焦点的椭圆1( 0)PF ，则a b PF1 PF tan 1 F222 2a b 2 椭圆的离心率为______________ .2 28．已知椭圆x +2y =12，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长4 ，点 A 的坐标是______________ .13为32 2x y9．P 是椭圆上的点，F ,F 是椭圆的左右焦点，设11 24 3差是______________ . |PF | |PF | k ，则k 的最大值与最小值之1 210．给出下列命题：2 2①圆(x 2) (y 1) 1关于点M( 1,2) 对称的圆的方程是2 2(x 3) (y 3) 1；2 2x y右支上一点P 到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为29②双曲线116 9 2③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点( 4, 3) 的抛物线方程只能是y2 9 x；4；④P、Q 是椭圆x2 4y2 16上的两个动点，O 为原点，直线OP,OQ 的斜率之积为 14等于定值20 .把你认为正确的命题的序号填在横线上_________________ .，则|OP |2 | OQ|211．已知两点A( 2,0) ，B( 2,0) ，动点P 在y 轴上的射影为Q，P A PB 2PQ ，2 （1）求动点P 的轨迹 E 的方程；（2）设直线m 过点A，斜率为k，当0 k 1时，曲线 E 的上支上有且仅有一点 C 到直线m 的距离为 2 ，试求k 的值及此时点 C 的坐标.12．如图，F1( 3,0) ，F2 (3,0) 是双曲线 C 的两焦点，直线x 4是双曲线 C 的右准线，A1,A 2 是双曲3线C 的两个顶点，点P 是双曲线 C 右支上异于A的一动点，直线A1P、A2P交双曲线 C 的右准线2分别于M,N 两点，y（1）求双曲线 C 的方程；P（2）求证：F M F N 是定值.1 2 MF1 F2A1 oA2x13．已知OFQ的面积为S，且OF FQ 1 ，建立如图所示坐标系，N y（1）若S 1，| OF| 2，求直线FQ 的方程；Q 2（2）设| OF| c(c 2) ，S 3 c，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆过点Q，求当4oF| O Q取| 得最小值时的椭圆方程.x14．已知点H( 3,0) ，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP PM 0 ，，3PM MQ2（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C；（2）过点T( 1,0) 作直线m 与轨迹 C 交于 A 、B 两点，若在x 轴上存在一点y E(x ,0) ，使得ABE 为等边三角形，求x0 的值. Po Q EHT2 2M x x y 的长、短轴端点分别为A、B，从此椭A15．已知椭圆1( 0)a b2 2a bB 圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点 F ，向量AB与OM 是共线向1量．（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q 是椭圆上任意一点，F1 、F2 分别是左、右焦点，求∠F1QF 的取值范围；216．已知两点M （-1，0），N（1，0）且点P 使MP MN, PM PN, NM NP 成公差小于零的等差数列，（Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？（Ⅱ）若点P 坐标为(x0 , y0 ) ，为PM与PN 的夹角，求tanθ．【参考答案】1．提示，设双曲线方程为(1 x y)( 1 x y)，将点(6, 3) 代入求出即可.3 32．因为双曲线的焦点在x 轴上，故椭圆焦点为 2 2( 3m 5n ,0) ，双曲线焦点为(2m 3n ,0) ，由2 2.3m 5n 2m 3n 得| m | 2 2 |n|，所以，双曲线的渐近线为y 6 | n | 3 x2 2 2 22 |m | 43．设|MF1 | d ，则| MF2 | 2d，| F1F2 | 3d， e c 2c | FF | 3d 3.1 2a 2a | MF | |MF | d 2d 31 24.曲线为双曲线，且 5 12 ，故选C；或用 2a 4 ，2b m 来计算.5．将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组. 6．数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义.7．解：设c 为为椭圆半焦距，∵PF1 PF 0 ，∴2 PF1 PF .2又 1tan PF1 F2 ∴2 P F1PF12PF2PF222a(2 c) 2PF21PF12c 2 5 c 59, 3解得：．( ) ea a8．解：设A（x0，0）（x0＞0），则直线l 的方程为y=x-x 0，设直线l 与椭圆相交于P（x1，y1），Q（x2、y2），由y=x-x 0 可得3x2-4x0x+2x 02-12=0，x2+2y2=124x0x ，x1 2322x 12x ，则x1 232 216x 8x 48 22 20 0| 1 x | ( x x ) 4x x 36 2xx ．2 1 2 1 2 09 3 34 14 4 14 2x2 x x ，即∴ 1 | | 21 23 3 3 ∴x02=4，又x0＞0，∴x0=2，∴A（2，0）．36 22x ．9．1； 2 2 2k |PF | | PF | (a ex)(a ex) a e x .1 210．②④.11．解（1）设动点P 的坐标为(x, y) ，则点Q(0, y) ，PQ ( x,0) ，PA ( 2 x, y) ，PB ( 2 x, y) ， 2 2PA PB x 2 y ，因为 2PA PB 2PQ ，所以2 2 2x 2 y 2x ，即动点P的轨迹方程为： 2 2y x 2 ；（2）设直线m：y k(x 2)(0 k 1) ，依题意，点 C 在与直线m 平行，且与m 之间的距离为 2 的直线上，设此直线为m : y kx b，由1 |2k b |2k 12 ，即2b 2 2kb 2，,, ①把y kx b 代入 2 2y x 2 ，整理得：2 2 2(k 1)x 2kbx (b 2) 0，则 2 2 2 24k b 4(k 1)(b 2) 0，即2 2b 2k 2 ，,,,, ②由①②得：k 2 55 ，b 105，此时，由方程组2 5 10y x5 52 2y x 2C(2 2, 10).12．解：（1）依题意得： c 3，2a 4c 3，所以a 2 ， 2b 5 ，所求双曲线 C 的方程为2 2x y4 51；（2）设P(x ,y ) ，M(x 1,y1) ，N(x 2,y2 ) ，则A1( 2,0) ，A 2(2,0) ，0 0A P (x 2,y )，1 0 0 A P (x 2,y ) ，2 0 010A M ( ,y )1 13， 2A N ( , y )2 23，因为10A P与A1M 共线，故(x 0 2)y 1 y 013，y110y3(x 2)，同理：y22y3(x 2)，13则F1M ( , y1)35，F2N ( ,y2)3，所以65FM F N ＝y1y 21 29＝26520y29 9(x 4)＝25(x 4)2065 4 1029 9(x 4).13．解：（1）因为| O F| 2 ，则F(2,0) ，OF (2,0) ，设Q(x ,y ) ，则0 0 FQ (x 2,y ) ，0 0OF FQ 2(x 2) 1，解得0x0 5 2，1 1 1 5 1由S | OF | |y| | y | yQ( , )，得，故0 0 02 2 2 2 2所以，PQ 所在直线方程为y x 2 或y x 2 ；，（2）设Q(x ,y ) ，因为| O F| c(c 2) ，则FQ (x 0 c,y0) ，0 0由OF FQ c(x c) 1得：x0 c0 1 c ，1 3S c | y | c 又02 4y，则032，1 3 Q(c , )c 2 ，2 1 2 9| OQ | (c )c 4，易知，当 c 2时，|OQ |最小，此时5 3Q( , )2 2，2 2x y2 2a b 1,(a b 0)，则2 2a b 425 92 24a 4b，解得12a 102b 6设椭圆方程为，2 2x y所以，椭圆方程为 1 .10 63 14．解：（1）设M(x, y) ，由PM MQ2 得：yP(0, )2，xQ( ,0)3，由HP PM 0得：y 3y(3, )(x, ) 02 2，即 2y 4x ，由点Q 在x 轴的正半轴上，故x 0，即动点M 的轨迹 C 是以(0,0) 为顶点，以(1,0) 为焦点的抛物线，除去原点；（2）设m: y k(x 1)(k 0) ，代入y2 4x 得：2 2 2 2k x 2(k 2)x k 0 ,,,, ①设A(x ,y ) ，B(x 2 ,y2 ) ，则x1,x2 是方程①的两个实根，1 122(k 2)x x ，x1x2 1，所以线段AB 的中点为则1 2 2k22 1 2 k线段AB 的垂直平分线方程为，y (x )2k k k22 k 2 ( , )2k k，令y 0， 2，得x 10 2k2E( 1,0)2k，因为ABE 为正三角形，则点 E 到直线AB 的距离等于 3 |AB |2 ，又 2 2 | AB | (x x ) (y y ) ＝1 2 1 224 1 k2k21 k，所以，42 3 1 k 22k |k|21 k，解得：k 32x，0113.15．解：（1）∵2bF c x c y 1 ( , 0),则, ，∴1 ( , 0), 则, ，∴M MakOM2bac.bk AB , 与是共线向量，∴∵OM ABaFQ r , F Q r , F QF , （2）设 1 1 2 2 1 2r r 2a, F F 2c,1 2 1 22bacba，∴b=c,故 2e .22 2 2 2 2 2 2r r 4c (r r ) 2r r 4c a a1 2 1 2 1 2cos 1 1 0r r2 2 ( )r r r r r r1 221 2 1 2 1 22当且仅当r1 r2 时，cosθ=0，∴θ][0, .216．解：（Ⅰ）记P（x,y），由M （-1，0）N（1，0）得PM MP x y PN NP ( 1 x, y) ，MN NM (2,0) .( 1 , ),2 y2所以MP MN 2(1 x) . PM PN x 1 ，NM NP 2(1 x) .于是，MP MN ,PM PN, NM NP 是公差小于零的等差数列等价于2 x 2(12yx)12(112[ 2(1x) 0x) 2(1 x)]即2xx 02y 3 .所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆.2 2（Ⅱ）点P 的坐标为(x0 , y0 ) 。
解析几何大题（原创版）目录1.解析几何大题的概述2.解析几何大题的解题思路3.解析几何大题的解题技巧4.解析几何大题的例题解析5.总结正文解析几何大题是高中数学中非常重要的一部分，也是高考数学中的热点题型。
这种题型主要考察学生的解析几何知识和解题能力，包括对解析几何概念的理解，对解析几何方法的应用，以及对解析几何题目的解析能力。
一、解析几何大题的概述解析几何大题主要涉及到解析几何中的直线、圆、椭圆、双曲线等几何图形，以及它们之间的关系。
这种题型的难度较大，需要学生有较强的逻辑思维能力和数学运算能力。
二、解析几何大题的解题思路解析几何大题的解题思路主要包括以下几个步骤：1.认真阅读题目，理解题意，确定题目要求的解。
2.分析题目，找出题目中的已知条件和待求解的问题。
3.根据已知条件，运用解析几何的相关知识和方法，进行逻辑推理和数学运算。
4.得出结论，并对结论进行验证。
三、解析几何大题的解题技巧解析几何大题的解题技巧主要包括以下几个方面：1.对解析几何中的基本概念和公式有深入的理解，熟练掌握解析几何的方法和技巧。
2.能够灵活运用解析几何中的几何方法、代数方法和几何与代数的结合方法。
3.在解题过程中，要注意保持思路的清晰和逻辑的严密，避免因为粗心大意而造成错误。
四、解析几何大题的例题解析例如，解析几何中的一道经典题目：已知直线 l：y=2x+1，圆 O：(x-1)+(y-2)=5，求直线 l 与圆 O 的交点。
解：首先，根据题目中的已知条件，我们可以列出直线 l 和圆 O 的方程。
然后，通过解析几何中的方法，我们可以求出直线 l 和圆 O 的交点。
五、总结解析几何大题是高中数学中的重点和难点，对学生的逻辑思维能力和数学运算能力有较高的要求。
圆锥曲线中的定点问题思路引导处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立,k m 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．母题呈现考法1参数法求证定点【例1】(2022·临沂、枣庄二模联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为坐标平面内的一点，且|OP →|＝32PF 1→·PF 2→＝－34，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π2.证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．【解题指导】【解析】(1)设P 点坐标为(x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)．由题意得x 20＋y 20＝94，x 0＋cx 0－c＋y 20＝－34，解得c 2＝3，∴c ＝ 3.又e ＝c a ＝32，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝1.∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线AB 方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．y 2＝1，kx ＋m ，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.又由α＋β＝π2，∴tan α·tan β＝1，设直线MA ，MB 斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝1，∴y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝1，即(x 1＋2)(x 2＋2)＝y 1y 2.∴(x 1＋2)(x 2＋2)＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )，∴(k 2－1)x 1x 2＋(km －2)(x 1＋x 2)＋m 2－4＝0，∴(k 2－1)4m 2－44k 2＋1＋(km －2)28()41kmk -+＋m 2－4＝0，化简得20k 2－16km ＋3m 2＝0，解得m ＝2k ，或m ＝103k .当m ＝2k 时，y ＝kx ＋2k ，过定点(－2,0)，不合题意(舍去)．当m ＝103k 时，y ＝kx ＋103k 10,0)3-，∴直线AB 恒过定点10(,0)3-【例2】（2022·福建·漳州三模）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，M 为l 上一动点，过点M 作抛物线C 的切线，切点分别为,A B .（1）求证：MAB ∆是直角三角形；（2）x 轴上是否存在一定点P ，使,,A P B 三点共线.【解题指导】【解析】（1）由已知得直线l 的方程为1x =-，设()1,M m -，切线斜率为k ，则切线方程为()1y m k x -=+，（2分）将其与24y x =联立消x 得244()0ky y m k -++=.所以1616()0k m k ∆=-+=，化简得210k mk +-=，（4分）所以121k k =-，所以MA MB ⊥.即MAB ∆是直角三角形.（6分）（2）由（1）知1616()0k m k ∆=-+=时，方程244()0ky y m k -++=的根为2y k=设切点221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则121222,y y k k ==.因为121k k =-，所以121244y y k k ==-.（10分）设:AB l x ny t =+，【点拨】由M 点出发向抛物线作量条切线，则切点A,B 所在直线与抛物线有两个焦点且其斜率不为零与24y x =联立消x 得2440y ny t --=，则124y y t =-，所以44t -=-，解得1t =，所以直线AB 过定点()1,0P .即x 轴上存在一定点()1,0P ，使,,A P B 三点共线.（12分）【解题技法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【跟踪训练】（2020·新课标Ⅰ卷理科）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ∴(),1AG a = ，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭.同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．考法2先求后证法求证定点【例4】（2022·全国乙T21）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()0,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【解题指导】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）斜率不存在时探究定点→设出直线方程→与椭圆C 的方程联立→求HN 的方程→是否过定点.【解析】（1）设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得26(1,)3M ，26(1,3N-，代入AB方程223y x=-，可得263,3T+，由MT TH=得到265,)3H.求得HN方程：(223y x=--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P-的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y--+=.联立22(2)0,134kx y kx y--+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k+-+++=，可得1221226(2)343(4)34k kx xkk kx xk+⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34ky ykk ky yk-+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x yk-+=+联立1,223y yy x=⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2yT y H y x y++-可求得此时1222112:()36y yHN y y x xy x x--=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y+-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k+++---+--=显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).-【解题技法】(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.(2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参.【跟踪训练】模拟训练（2）方法一：设PQ 方程为x my =()2222234433x my m y my x y =-⎧⇒-+⎨-=⎩以PQ 为直径的圆的方程为(1x x -()(22121212x x x x x x y y y -+++-+由对称性知以PQ 为直径的圆必过()21212120x x x x x x y y -+++=，而()21212212431m x x m y y m +=+-=-()()212121222x x my my m y y =--=22222434931313m x x m m m --∴-++---()()22313510m x m x ⎡⎤⇒-+--=⎣⎦∴以PQ 为直径的圆经过定点(1,0方法二：设PQ 方程为2,x my P =-()22222311233x my m y my x y =-⎧⇒--⎨-=⎩由对称性知以PQ 为直径的圆必过设以PQ 为直径的圆过(),0E t ，()()1210EP EQ x t x t y ∴⋅=⇒--+ 而()()21212122x x my my m y =--=2229122431313m m m m m -=⋅-⋅+=--【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线等于零，得出定点．7．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线为双曲线E的左、右顶点，P为直线(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．理得1112,y y y y +（或1212,x x x x +），代入交点坐标后可得结论，如果是求动直线过定点，则可以引入参数求得动直线方程后，观察直线方程得定点．。
