竖直面上圆周运动

竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。

2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。

物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋F N＝mv2R mg±F N＝mv2R临界特征F N＝0mg＝mv2minR即v min＝gRv＝0即F向＝0F N＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥gR v≥0【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。

小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则()A ．小球的质量为aRbB ．当地的重力加速度大小为RbC ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】： ACD【典例2】用长L ＝ 0.6 m 的绳系着装有m ＝ 0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。

G ＝10 m/s 2。

求：(1) 最高点水不流出的最小速度为多少？(2) 若过最高点时速度为3 m/s ，此时水对桶底的压力多大？ 【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。

这是最小速度即是过最高点的临界速度v 0。

以水为研究对象， mg ＝m v 20L解得v 0＝Lg ＝0.6×10 m/s ≈ 2.45 m/s(2) 因为 v ＝ 3 m/s>v 0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。

竖直平面内的圆周运动及实例分析竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外)，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置──最高点和最低点。

一、两类模型——轻绳类和轻杆类1．轻绳类。

运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。

由于绳子只能提供拉力而不能提供支持力，质点在最高点所受的合力不能为零，合力的最小值是物体的重力。

所以：（1）质点过最高点的临界条件：质点达最高点时绳子的拉力刚好为零，质点在最高点的向心力全部由质点的重力来提供，这时有，式中的是小球通过最高点的最小速度，叫临界速度；（2）质点能通过最高点的条件是；（3）当质点的速度小于这一值时，质点运动不到最高点高作抛体运动了；（4）在只有重力做功的情况下，质点在最低点的速度不得小于，质点才能运动过最高点；（5）过最高点的最小向心加速度。

2．轻杆类。

运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点作变速圆周运动，由于轻杆能对质点提供支持力和拉力，所以质点过最高点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平衡状态。

所以质点过最高点的最小速度为零，（1）当时，轻杆对质点有竖直向上的支持力，其大小等于质点的重力，即；（2）当时，；（3）当，质点的重力不足以提供向心力，杆对质点有指向圆心的拉力；且拉力随速度的增大而增大；（4）当时，质点的重力大于其所需的向心力，轻杆对质点的竖直向上的支持力，支持力随的增大而减小，；（5）质点在只有重力做功的情况下，最低点的速度，才能运动到最高点。

过最高点的最小向心加速度。

过最低点时，轻杆和轻绳都只能提供拉力，向心力的表达式相同，即，向心加速度的表达式也相同，即。

质点能在竖直平面内做圆周运动（轻绳或轻杆）最高点的向心力最低点的向心力，由机械能守恒，质点运动到最低点和最高点的向心力之差，向心加速度大小之差也等于。

专题十一模型专题（3）竖直面上的圆周运动【典型模型解读】1.竖直面内匀速圆周运动：注意匀速圆周运动的条件2.竖直平面内非匀速圆周运动的两类典型模型分析轻绳模型轻杆模型实例如球与绳连接、沿内轨道运动的球等如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等图示最高点无支撑最高点有支撑最高点受力特征重力、弹力，弹力方向指向圆心重力、弹力，弹力方向指向圆心或背离圆心受力示意图力学方程mg+F N=mrv2mg±F N=mrv2临界特征F N=0,v min=gr竖直向上的F N=mg,v=0过最高点条件v≥gr v≥0速度和弹力关系讨论分析①能过最高点时，v≥gr，F N+mg=mrv2，绳、轨道对球产生弹力F N②不能过最高点时，v<gr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动①当v=0时，F N=mg，F N为支持力，沿半径背离圆心②当0<v<gr时，-F N+mg=mrv2，F N背离圆心，随v的增大而减小③当v=gr时，F N=0④当v>gr时，F N+mg=mrv2，F N指向圆心并随v的增大而增大【典例讲练突破】【例1】（2019高考江苏卷物理6）如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱（）A.运动周期为2πRω B.线速度的大小为ωRC.受摩天轮作用力的大小始终为mgD.所受合力的大小始终为m ω2R【解析】由于座舱做匀速圆周运动，由公式2πTω=，解得：2πT ω=，故A 错误；由圆周运动的线速度与角速度的关系可知，v R ω=，故B 正确；由于座舱做匀速圆周运动，所以座舱受到摩天轮的作用力是变力，不可能始终为mg ，故C 错误；由匀速圆周运动的合力提供向心力可得：2F m R ω=合，故D 正确。

【答案】BD【练1】在考驾驶证的科目二阶段，有一项测试叫半坡起步，这是一条类似于凸型桥面设计的坡道。

竖直平面内的圆周运动模型考点规律分析(1)竖直平面内的圆周运动模型在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况，可分为三种模型。

一是只有拉(压)力，如球与绳连接、沿内轨道的“过山车”等，称为“轻绳模型”；二是只有推(支撑)力的，称为“拱桥模型”；三是可拉(压)可推(支撑)，如球与杆连接，小球在弯管内运动等，称为“轻杆模型”。

(2)三种模型对比典型例题例1长度为L＝0.50 m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0 kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0 m/s，g取10 m/s2，则此时细杆OA受到()A．6.0 N的拉力B．6.0 N的压力C．24 N的拉力D．24 N的压力[规范解答]设小球以速率v0通过最高点时，球对杆的作用力恰好为零，即mg ＝m v 20L得v 0＝gL ＝10×0.50 m/s ＝ 5 m/s 。

由于v ＝2.0 m/s< 5 m/s ，可知过最高点时，球对细杆产生压力，细杆对小球为支持力，如图所示，为小球的受力情况图。

由牛顿第二定律mg －N ＝m v 2L ，得N ＝mg －m v 2L ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3.0×10－3.0×2.020.50 N ＝6.0 N 由牛顿第三定律知，细杆OA 受到6.0 N 的压力。

[完美答案] B例2 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与水一起以细绳的另一端点为圆心在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m ＝0.5 kg ，水的重心到转轴的距离l ＝50 cm ，g 取10 m/s 2。

求：(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)(2)若在最高点水桶的速率v ＝3 m/s ，求水对桶底的压力大小。

[规范解答] (1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小。

1、轻绳或细杆作用下物体在竖直面内的圆周运动（1）轻杆作用下的运动如图所示，杆长为L，杆的一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端在竖直平面内做圆周运动，小球在最高点A时，若杆与小球m之间无相互作用力，那么小球做圆周运动的向心力仅由重力提供：得=，由此可得小球在最高点时有以下几种情况：当=0时，杆对球的支持力F N = mg，此为过最高点的临界条件。

②当=时，，=0③当0＜＜时，m g＞＞0且仍为支持力，越大越小④当＞时，＞0，且为指向圆心的拉力，越大越大（2）细绳约束或圆轨道约束下的运动：如图所示为没有支撑的小球（细绳约束、外侧轨道约束下）在竖直平面内做圆周运动过最高点时的情况。

①当，即当==时，为小球恰好过最高点的临界速度。

②当＜，即＞=时（绳、轨道对小球还需产生拉力和压力），小球能过最高点③当＞，即＜=时，小球不能通过最高点，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了圆周轨道。

竖直面内的圆周运动一般不是匀速圆周运动，而是变速圆周运动，此时由物体受到的合力沿半径方向的分力来提供向心力，一般只研究最高点和最低点，此情况下，经常出现临界状态，应注意：（1）绳模型：临界条件为物体在最高点时拉力为零（2）杆模型：临界条件为物体在最高点时速度为零例1、一根绳子系着一个盛水的杯子，演员抡起绳子，杯子就在竖直面内做圆周运动，到最高点时，杯口朝下，但杯中的水并不流出来，如图所示，为什么呢？解析：对杯中水，当=时，即=时，杯中水恰不流出，若转速增大，＜时，＞时，杯中水还有远离圆心的趋势，水当然不会流出，此时杯底对水有压力，即N+=，N=－；而如果＞，＜时，水会流出。

例2、如图所示，轻杆OA长l=0.5m，在A端固定一小球，小球质量m=0.5kg，以O点为轴使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时，小球的速度大小为=0.4m/s，求在此位置时杆对小球的作用力。

（g取10 m／s 2）解法一：先判断小球在最高位置时，杆对小球有无作用力，若有作用力，判断作用力方向如何小球所需向心力==0.5×=0.16 N小球受重力=0.5×10=5 N重力大于所需向心力，所以杆对小球有竖直向上的作用力F，为支持力以竖直向下为正方向，对小球有－F=解得：F= 4.84 N解法二：设杆对小球有作用力F，并设它的方向竖直向下，对小球则有－F=F=－=－4.84 N“－”表示F方向与假设的方向相反，支持力方向向上。

竖直面内的圆周运动模型
圆周运动是一种常见的物理运动，也是许多物理运动中最重要的基础组成之一。

它出
现在自然界中的各个角落，给人们惊喜和鼓舞，引发科学家们深远的思考。

本文中，我们
将讨论竖直面内的圆周运动模型。

竖直面内的圆周运动是指空间坐标内的跟踪运动，它满足物体存在平方摩擦力（当它
的线速度与圆心的位置有关时）的要求。

在这种情况下，可以用以下方程来描述物体在竖直面上的圆周运动：
其中F是重力力，m是物体的质量，ω是角速度，θ是指定的时刻的角度，t是时间，a0是速度的初始值，∆t是时间间隔，R是圆的半径。

平方摩擦力的方程为：
其中μ是空气阻力系数，v是物体的速度，∆v是物体速度变化的量。

由于圆周运动中存在着速度，加速度和受力等变量，所以可以将其表示成动量方程：
根据以上方程，可以得出物体在竖直面内的圆周运动的具体运动轨迹，即：
从上面的计算公式可以看出，竖直面内的圆周运动模型是一个复杂的数学模型，其中
包括外力矩、时间等因素，它可以用来描述物体在单位机械作用下的数量运动规律，同时
还涉及到空气阻力和摩擦力等概念。

总而言之，竖直面内的圆周运动模型是一种综合的物理运动模型。

它可以满足大多数
物理实验的要求，并且可以用来更好地揭示物体在空间中的动态变化规律。

它也将为人类
在研究物理运动规律中提供更多新的思路。

竖直平面内的圆周运动一.竖直平面内的圆周运动属于圆周运动二.两种情况：1、没有支撑物的物体在竖直平面内的圆周运动①临界条件：小球到达最高点时绳的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球重力提供其圆周运动的向心力，即mg=mv02/R∴刚过最高点的临界速度（最小速度）v=②当v≥v0时小球通过最高点③当v＜v0时小球不能到达最高点。

2、有支撑物的物体在竖直平面内的圆周运动v=0弹力的大小b图中的弹力a图中的弹力速度范围课堂练习1、绳系着装水的桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳长=0.4m.求（1）桶在最高点水不流出的最小速率？（2）水在最高点速率=3m/s时水对桶底的压力？(g取10m/s2)2、细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（）A．a处为拉力，b处为拉力B．a处为拉力，b处为推力C．a处为推力，b处为拉力D．a处为推力，b处为推力作业1.长度为0.5m的轻质细杆，A端有一质量为3kg的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，小球通过最高点时的速度为2m/s，取g=10m/s2，则此时轻杆OA将（）A．受到6.0N的拉力B．受到6.0N的压力C．受到24N的拉力D．受到54N的拉力2.一轻杆一端固定一质量为m的小球，另一端以O为圆心，使小球做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是()A、小球过最高点时，杆所受的弹力可以等于0B、小球过最高点时的最小速度为√gRC、小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定大于杆对球的作用力D、小球过最高点时，杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反3.质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度值为V，当小球以2V的速度经过最高点时，对轨道的压力值是（）（A）0 （B）mg (C)3mg (D)5mg4.一质量为0.5kg的小球，用0.4m长的细线拴住在竖直面内作圆周运动，求：当小球在圆上最高点速度为4m/s时，细线的拉力是多少？（g=10m/s2）5. 如图，质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度是v，当小球以3v 的速度经过最高点时，对轨道的压力大小是多少？6.用钢管做成半径为R=0.5m的光滑圆环（管径远小于R）竖直放置，一小球（可看作质点，直径略小于管径）质量为m=0.2kg在环内做圆周运动，求:小球通过最高点A时，下列两种情况下球对管壁的作用力. 取g=10m/s2(1) A的速率为1.0m/s (2) A的速率为4.0m/s。

专题二：竖直平面内的圆周运动的综合问题学习目标】1. 了解竖直平面内的圆周运动的特点．2. 了解变速圆周的运动物体受到的合力产生的两个效果，知道做变速圆周运动的物体受到的合力不指向圆心．3. 掌握处理变速圆周运动正交分解的方法．4. 学会用能量观点研究竖直平面内圆周运动．教材解读】1. 竖直平面内的圆周运动的特点竖直平面内的圆周运动分为匀速圆周运动和变速圆周运动两种．常见的竖直平面内的圆周运动是物体在轨道弹力（或绳、杆的弹力）与重力共同作用下运动，多数情况下弹力（特别是绳的拉力与轨道的弹力）方向与运动方向垂直对物体不做功，而重力对物体做功使物体的动能不断变化，因而物体做变速圆周运动．若物体运动过程中，还受其他力与重力平衡，则物体做匀速圆周运动．2. 变速圆周运动所受合外力产生两个效果做变速圆周运动的物体受到的合力不指向圆心（图6-12-1），它产生两个方向的效果．半径方向的分力F1产生向心加速度改变速度的方向合切线方向的分力F2产生切线方向加速度改变速度的大小F因此变速圆周运动的合外力不等于向心力，只是在半径方向的分力F1 提供向心力．3. 变速圆周运动中的正交分解应用牛顿运动定律解答圆周运动问题时，常采用正交分解法，其坐标原点是做圆周运动的物体（视为质点）所在的位置，建立相互垂直的两个坐标轴：一个沿法线（半径）方向，法线方向的合力F 1改变速度的方向；另一个沿切线方向，切线方向的合力F2 改变速度的大小．（想一想，图6-12-1 中物体的速度在增大还是减小？）4. 处理竖直平面内圆周运动的方法如前所述，通常情况下，由于弹力对物体不做功，只有重力（或其他力）对物体做功，因此，运用能量观点（动能定理、机械能守恒定律）和牛顿运动定律相结合是解决此类问题的有效方法．另外要注意在不同约束条件下物体能完成圆周运动的条件不同：在绳（或沿圆轨道内侧运动）的约束下，最高点速度v gR ；在杆（或管）的约束下，最高点速度v ≥0．【案例剖析】例1．如图6-12-2 所示，质量为m的小球自半径为R 的光滑半圆形轨道最高点A 处由静止滑下，当滑至最低点B 时轨道对小球的支持力是多大？解析：小球下滑过程中轨道对小球的弹力不做功，只有重力对小球做功，所以小球的机械能守恒．1由机械能守恒定律得 : mgR mv 222在B 点, 根据牛顿第二定律有 :F mg m v, 由可解得 F 3mg R例 2．如图 6-12-3 所示，长为 l 的细绳一端固定在 O 点，另一端拴质量为 m 的小球， 在 O 点正下方距离 O 点 d 处有一钉子． 将细绳拉成水平无初速释放小球， 子后小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，d 应满足什么条件？解析：为使小球能绕钉子做完整的圆周运动， 小球必须能通过圆周 的最高点， 设小球运动的轨道半径为 R ，则小球在最高点的速度应满足： v gR ．根据机械能定律有 : mgl 2mgR 1mv 2由此可解得： R ≤0.4 l ．所以， d 满足的条件是： 0.6 l ≤ d < l ．例 3 ．风洞实验室中可产生大小、 方向可调节的风力． 用长为 l 的细 线拴一小球将其放入风洞实验室，调节风力方向为水平向右(如图 6-12-4 所示)，当小球静止在 A 点时，悬线与竖直方向夹角为 α．试求：⑴ 水平风力的大小；⑵ 若将小球从竖直位置由静止释放， 当悬线与竖直方向成多大角度时， 小球的速度最大？最大速度是多少？解析： ⑴参照图 6-12-5 ，根据平衡知识，可求得风力大小 F = mgtan α， 同时还可求得风力与重力的合力为 mg/cos α．⑵当小球运动到细线与竖直方向夹角为 β时，建立如图 6-12-6 所示的 坐标系：在 x 轴方向，当 Fcos β>mgsin β时，小球速度在增大； 当 Fcos β<mgsin β 时，小球速度在减小．当 Fcos β= mgsin β时小球的速度达到最大，将第⑴问中的 F 代入即12根据动能定理得 : Fl sin mgl (1 cos ) 2 mv思考： ⑴小球静止在 A 点时，给小球多大的速度才能使它在竖直平面内做完整的圆周运动？ B F 如图 6-12-7 所示，小球必须能通过 B 点才能做完整的圆周运动， 设通过 B 点时小球的最小速度为v min ，则此时绳上拉力恰好为零．mg2mgvminm (1)mg2l 1 mv 2 1 mv m 2in(2)cos lcos 2 2 min由 (1)(2) 可解得: v 5glA图6 12 7 ⑵若将风力方向调节为竖直向上，并使风力大小恰好等于小球 重力，那么，在最低点给小球水平方向的初速度，试分析小球的运动情况．可解得： β =α．将 F mg tan 代入可解得2gl (1 cos )cos为使细绳碰到钉图6 12 3图 6 12 4 mg 图6 126x分析：因为合力对小球始终不做功，故动能不变，所以小球做匀速圆周运动． 【知识链接】飞行员在进行特技飞行表演时，会发生黑视现象．当飞行员从俯冲 状态往上拉时（图 6-12-8 ），血液处于超重状态，视重增大，心脏无法 象平常一样运输血液，导致血压降低，从而导致视网膜缺血． 【目标达成】1．如图 6-12-9 所示，小球在竖直放置的光滑圆弧轨道内侧做圆周运动， 球加速度方向的说法中，正确的是（ ）A. 一定指向圆心B. 一定不指向圆心C. 只有在最高点和最低点指向圆心D. 除最高点和最低点外，肯定不指向圆心解析：对小球受力分析可知，只有小球处于最高点和最低点时，弹力与重力的合力才 指向圆心，其他位置均不指向圆心，故选项C 、D 正确．2．上海锦江乐园新建的“摩天转轮”是在直径为 98m 的圆周上每隔一定位置固定 座舱，每座舱有 6 个座位．游人乘坐时，转轮始终不停地在竖直平面内匀速转动，试判断 下列说法中正确的是（ ）A. 每时每刻，乘客受到的合力都不为零B. 每个乘客都在做加速度为零的匀速运动C. 乘客在乘坐过程中对座位的压力始终不变D. 乘客在乘坐过程中的机械能始终保持不变 解析：由于乘客随座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，故受到合力指向圆心，选项 A 正确、 B 错误．将加速度沿水平、竖直方向分解可知：人位于转轴以下时，人处于超重状 态，人对座位的压力大于人的重力；人位于转轴以上时，人处于失重状态，人对座位的压 力小于人的重力，故选项 C 错误．在运动过程中，人动能始终不变，而势能在变化，所以 选项 D 错误．故本题正确选项为 A ．3．如图 6-12-10 所示，细线长为 l ，一端固定在 O 点，另一端系一小球，把线拉至水平位置，然后无初速释放小球，在达到最低点时小球加速度为 之间的关系为（ ）A ． l 越长， a 越大， F 也越大B ．l 越长， a 越大， F 不变C ． l 越长， F 越大， a 不变D ．a 、F 均不随 l 的变化而变化解析：根据机械能守恒定律和牛顿第二定律可求得：F = 3mg ，a = 2g ，故选项 D 正确．4．如图 6-12-11 所示，将完全相同的两个小球 A 、B ，用长 0.8m 的细线悬于以 v = 4m/s 向右匀速行驶的车厢顶部，两球分别与小车前后壁接触，由于某种原因，车厢突然停止， 此时前后悬线的拉力之比为（ ）A. 1： 1B. 1： 2C. 1： 3图6 12 11图 6 12 8a ，D. 1： 4解析：车厢停止时，前面小球也静止，故拉力等于重力；后面小球由于惯性开始做圆 周运动，根据牛顿第二定律可解得此时绳上拉力是其重力的 3 倍，故选项 C 正确．5．如图 6-12-12 所示， 质量为 m 的小球用细绳拴住， 在竖直平面内做 圆周运动，已知小球运动到最高点时对绳的拉力为 mg ，则小球运动到最低点时对绳的拉力为（ ）A ． 3mg C ．7mgD ． 9mg22解析：在最高点： mg mg m v 1 ，在最低点： F mg m v 2 RR由机械能守恒定律：2mgR 1 mv 22 1 mv 12；由此可得正确选项为 C ．2 22 16．如图 6-12-13 所示，从光滑的 1/4 圆弧槽的最高点滑下的小滑块，滑出槽口时速度方向为水平方向，槽口与一个半球顶点相切，半球底面为水平，若要使小物块滑出槽口后7．童非是我国著名的体操运动员，首次在单杠项目上实现了“单臂大回环”，即用一只手抓住单杠，伸展身体以单杠为轴做圆周运动．假设童非的质量为 65kg ，那么，在完成 “单臂大回环”的过程中，童非的单臂至少要能够承受 N 的力（ g 取 10m/s 2）解析：设童非做圆周运动的轨道半径为 其最小速度可为 0．2在最低点： F mg m vR （R 为其重心离转轴的距离） ，则在最高点，1由机械能守恒定律： 2mgRmv 2，由此解得 F = 5mg=3250N ．28．如图 6-12-14 所示，支架质量为 M ，放在水平地面上，转轴 O 处用长 l 的细绳悬挂质量为 m的小球．⑴ 把小球拉起到细绳水平的位置， 然后释放小球， 当它运动到最低 点时地面对支架的支持力多大？⑵若小球在竖直平面内摆动到最高点时，支架恰对地面无压力，则 小球在最高点的速度是多大？图 6 12 14B ． 5mg 不沿半球面下滑，已知圆弧轨道的半径为 R 1，半球的半径为 是（ ）R 2，则 R 1和 R 2应满足的关系 A. R 1 R 2 C. R 1 R 2B. D.R 1 R 22R 1R 2解析：为使小物块不沿半球面下滑，则它在球顶端的速度v gR 2 ，由机械能守恒定律可得： mgR 11mv 2，联立解得2D 为正确选项．图6 12 12解析：⑴设小球运动到最低点速度为 v ，由机械能守恒定律和牛顿第二定律得：mgl 1 mv 2 ; F mg m v 由此可得 F 3mg 2l 所以此时地面对支架的支持力 F N = Mg + F = Mg +3mg ⑵ 运动到最高点时，支架恰对地面无压力，说明细绳上的拉力 2 对小球 : mg F m v解得 :v (M m)glF = Mg 拓展提高】 9．如图 6-12-15 所示，半径为 R 、内径很小的光滑半圆管置于竖直平面内，两个质量 均为 m 的小球 A 、B ，以不同的速度进入管内， 3mg ，B 通过最高点 C 时，对管壁的下部压力为 解析：设 第二定律， A 、 B 两球到达最高点时速度分别为A 通过最高点 C 时，对管壁上部的压力为 0.75mg ，求 A 、B 两球落地点间的距离． v A 、v B ，根据牛顿2v A mg 3mg m 2 vBmg 0.75mg mA 、B 两球离开C 后做平抛运动， x (v A v B ) t 解得 x 3R对 A 球 :解得 :v A 2 gR 解得 :v B 1gR落地点间距设为 △x ，根据平抛运动规律有：122R gt 22 10．如图 6-12-16 所示，光滑水平面 AB 与竖直平面内半圆形导轨在 B 点衔接，导轨 半径为 R ．一个质量为 m 的物块静止在 A 处压缩弹簧，在弹力作用下获得向右的初速度， 当它经过 B 点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的 7 倍，之后向上运动恰能完成半圆周 运动到达 C 点．求： ⑴ ⑵⑶ 解： 第二定律得： 弹簧对物块的弹力做的功；物块从 B 至 C 克服阻力做的功； 物块离开 C 点后落回水平面时的动能是多大？ 物块在 B 点时受力 mg 和导轨的支持力 F N =7mg ，由牛顿图6 12 16 v B 2 1 2m E KBmv B 3mgRR2物块到达 C 点时仅受重力 mg ，由牛顿第二定律得：7mg mg2 vc mg m cRE KC 1 mv C 21 mgR22⑴根据动能定理，可求得弹簧弹力对物块做功为W 弹= E KB 3mgR⑵物体从 B 到 C 只有重力和阻力做功，根据动能定理有：W阻2mgR E KC E KB 解得:W阻0.5 mgR 即物体从B 到C 克服阻力做功为0.5mgR⑶物体离开轨道后做平抛运动，仅有重力做功，机械能守恒．E K E KC E pC 0.5mgR 2mgR 2.5mgR章末综合。