美丽奇妙的勾股树

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THANKS
感谢观看
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图案。
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复杂勾股树图案
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分形勾股树
利用分形几何的原理，构 造出具有自相似性的复杂 勾股树形结构，展现出数 学的无穷魅力。
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勾股幻方
将勾股数填入幻方中，使 每行、每列及两条对角线 上的数字之和相等，形成 独特的数学艺术。
立体勾股树
在三维空间中构造勾股树 形结构，通过透视和光影 效果，呈现出立体感和空 间感。
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创意性勾股树图案
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结合其他数学元素的勾股树
将勾股定理与其他数学元素如圆周率、黄金分割 等相结合，创造出独具特色的数学艺术图案。
以著名数学问题为主题的勾股树
以费马大定理、哥德巴赫猜想等著名数学问题为 主题，设计具有象征意义和内涵的勾股树图案。
交互式勾股树
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利用计算机技术和交互设计，制作出可以与用户 互动的勾股树图案，让观众在参与中感受数学的 魅力。
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拓展数学研究领域
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数学美学研究
勾股树所展现的和谐与美感，为数学美学研究提供有力支持，推 动数学与艺术领域的交叉研究。
数学史研究
勾股树作为古代数学的重要成果，对于研究数学史、了解数学发展 历程具有重要意义。
数学与其他学科的交叉研究
勾股树在物理学、工程学等领域的应用，促进了数学与其他学科的 交叉融合，推动多学科协同发展。
生物运动学
在生物运动分析中，勾股定理可用于计算生物体的运动轨 迹、速度和加速度等参数，有助于揭示生物运动的规律和 机制。
生物医学工程
勾股定理在生物医学工程中应用于医疗器械的设计和优化 ，如手术导航系统的精度计算、医学影像的三维重建等。

（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
思考2 怎样求出C的面积?
C A
B
图1
分割成若干个直角边为整数的三角形 S正方形C = 4×12×3×3 =18（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
练一练 通过对图1的学习，
求出图2正方形A,B,C中面积
各是多少?
C A
解：正方形A的面积是4个 单位面积，正方形B的面积 是4个单位面积，正方形C 的面积是8个单位面积.
探究新知
素养考点 1 利用勾股定理求直角三角形的边长
例1 如果直角三角形两直角边长分别为 BC=5厘米,AC=12厘米,
求斜边AB的长度.
A
解：在Rt△ABC中根据勾股定理, AC²+BC²=AB²， AC=12，BC=5
b
c
所以12²+5²=AB²，
C aB
所以AB²=12²+5²=169， 所以AB=13厘米. 答：斜边AB的长度为13厘米.
勾股树
A
B
素养目标
3.学生初步运用勾股定理进行简单的计算和实际的 应用. 2.在探索过程中，学生经历了“观察-猜想-归纳” 的教学过程，将形与数密切联系起来. 1.通过数格子的方法探索勾股定理；学生理解勾股定 理反映的是直角三角形三边之间的数量关系.
探究新知
知识点 勾股定理的探索
做一做
在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形， 分别测量它们的三条边长，并填入下表.看看三边长 的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流.
_2_4___,斜边为上的高为__4_._8__.
A D
C
B
课堂检测
基础巩固题

（2）三个 ） 正方形A， 正方形 ， B，C的面 ， 的面 积之间有什 么关系？ 么关系？
A
C
B
图1-3
C A B
图1-4
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
幻灯片 7
议一议
（1）你能用 ） C 三角形的边长表 A 示正方形的面积 吗？ C B (2）你能发 ） A 现直角三角形三 图1-3 边长度之间存在 B 什么关系吗？ 什么关系吗？与 图1-4 同伴进行交流。 同伴进行交流。 厘米、 厘米为直角边作出 （3）分别以 厘米、12厘米为直角边作出 ）分别以5厘米 一个直角三角形，并测量斜边的长度。（ 。（2） 一个直角三角形，并测量斜边的长度。（ ） 中的规律对这个三角形仍然成立吗？ 中的规律对这个三角形仍然成立吗？
勾股定理（gou勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、 如果直角三角形两直角边分别为 、b, 斜边为c， 斜边为 ，那么 c 2 2 2 a
a +b = c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。 于斜边的平方。 在西方又称毕达 哥拉斯定理耶！ 哥拉斯定理耶！
图1-4
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
幻灯片 7
议一议
（1）你能用三 ） 角形的边长表示 正方形的面积吗？ 正方形的面积吗？
（2）你能发现 ）
A
C
直角三角形三边 长度之间存在什 么关系吗？ 么关系吗？与同 伴进行交流。 伴进行交流。
B
图1-3
C A B
图1-4
C A B C 图1-1 A B 图1-2

勾股定理奇闻异事历史的误会大约在公元前l100年左右，我国周朝初年，周武王的弟弟周公与数学家商高进行了一次伟大的历史性对话。

周公问商高：“听说您对数很精通，请问古代伏羲如何测定天体的位置?要知道天是不可能用梯子攀登上去的，地也无法用尺子来测量，请问数是从哪里来的呢?”商高回答说：“数的方法是从研究圆形和方形开始的，圆形是由方形产生的，而方形又是由折成直角的矩尺产生的。

在研究矩形前需要知道九九口诀。

设想把一个矩形沿对角线切开，使得短直角边(勾)长为3，长直角边(股)长为4，斜边(弦)长则为5。

以弦为边作一正方形，并用四个与上述直角三角形一样的半矩形把它围成一个方形盘。

从它的总面积49中，减去由勾股弦均分别为3、4、5的四个直角三角形构成的2个矩形的面积24，便得到最初所作正方形的面积25。

这种方法称为‘积矩’。

”这个故事记载于我国古代“算经十书”之一的《周髀算经》，其含义就是对直角三角形(图1．1)的特例即勾3、股4、弦5作出了直观的、简捷易懂的说明，它表明世界上最早发现并深入研究勾股定理的历史可以追溯到我国的周朝时期。

然而，在西方，直到公元前6世纪，古希腊数学家、天文学家、哲学家毕达哥拉斯才发现了“直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方”，千百年来，西方人却把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”。

殊不知，历史的真相是毕达哥拉斯的发现晚了中国人的发现500—600年。

这种历史的误会不能不令人感到十分遗憾!“弦图”与勾股定理对于商高所说的“积矩”，三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，以我国古代证明几何问题的一种独特方法——割补原理，做了进一步的直观演算。

他画“弦图’’，将图形的各部分分别涂以不同的颜色，然后经过适当地拼补搭配，使其“出入相补，各从其类”，如图1．2所示。

图1．2赵爽的“弦图”商高的“积矩”可用现代数学表述为：如图1．3所示，把矩形ADBC用对角线AB分成两个直角三角形，然后以AB为边长作正方形BMNA，再用与直角三角形BAD相同的三角形把这个正方形围起来，形成一个新的正方形(方形盘)DEFG，其面积为(3+4)2=49，而这四个直角三角形的面积等于两个矩形ADBC的面积之和，即2×3×4=24。

勾股定理在建筑学中的应用
水利工程师在设计水坝、桥梁等工程时，需要利用勾股定理来计算水流对结构的作用力。
勾股定理在水利工程中的应用
机械工程师在设计机械零件时，需要利用勾股定理来计算零件的精度和配合间隙。
勾股定理在机械工程中的应用
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勾股定理在计算机图形学中的应用
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计算机图形学中的很多算法都涉及到向量的计算，而勾股定理是向量计算的基础。
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勾股树在三角函数中的应用
勾股树可以用来推导三角函数的基本性质和公式，如正弦、余弦、正切等函数的定义和性质。
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CHAPTER
勾股树在其他领域应用
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建筑师在设计建筑时，需要利用勾股定理来计算结构的稳定性和承重能力。
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勾股定理是初等几何中的一个基本定理，也是数学中的重要内容之一。
它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，如计算三角形的面积、求解直角三角形中的未知边长等。
勾股定理及其逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要方法，具有极高的实用性和理论价值。
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CHAPTER
欧拉勾股树
瑞士数学家欧拉对勾股定理做出了重要贡献，以他的名字命名的欧拉勾股树在数学界享有盛誉。
毕达哥拉斯勾股树
古希腊数学家毕达哥拉斯提出的勾股定理，以他的名字命名的勾股树具有深远的历史意义。
中国古代勾股树
中国古代数学家在《周髀算经》等著作中提出了具有中国特色的勾股定理证明方法，相应的中国古代勾股树也独具魅力。

数学内涵
勾股树不仅具有外在的美感，还蕴含着丰 富的数学内涵。通过勾股树，可以深入理 解勾股定理、无理数、分数等数学概念。
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美丽勾股树应用领域
数学教育
美丽勾股树可以作为数学教育的辅 助工具，帮助学生更直观地理解抽 象的数学概念，提高数学学习的兴 趣和效果。
艺术创作
艺术家们可以从美丽勾股树中汲取 灵感，创作出具有数学美感的艺术 作品，展现数学与艺术的交融之美。
的重要作用。
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总结与回顾
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关键知识点总结
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勾股定理的定义与证明
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勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是数学中的
重要定理之一。
勾股树的构造方法
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通过不断在直角三角形上构造新的直角三角形，可以生成一棵
美丽的勾股树。
勾股树在数学中的应用
03
勾股树不仅具有美学价值，而且在数学中有广泛应用，如用于
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下一步学习计划
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拓展勾股树的应用领域
进一步探索勾股树在数学中的应用，如研究其在三角函数、解析 几何等领域的作用。
学习相关数学知识
为了更好地理解和应用勾股树，我需要学习更多相关的数学知识， 如三角函数、数列与极限等。
提高解题能力
通过大量练习和参加数学竞赛等方式，提高自己的解题能力和数学 素养。
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数学中简洁美体现
勾股定理的简洁性
勾股定理是数学中最著名的定理 之一，它用简单的语言和符号表 达了直角三角形三边之间的关系， 这种简洁性使得勾股定理易于理
解和应用。
数学符号的简洁性
数学符号的使用大大简化了数学 表达和计算的过程，如加减乘除、 等号、不等号等符号，它们以简 洁的形式传递着复杂的数学信息。

几何画板：如何绘制勾股树————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：几何画板课件：如何绘制勾股树美丽奇妙的勾股树，又称毕达哥拉斯树，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名。

下面将讲解利用几何画板绘制勾股树的制作方法。

几何画板制作勾股树的具体的步骤如下：1、用旋转的方法画正方形ABCD（1）绘制出线段AB。

（2）双击点A，把点A标记为旋转中心。

选中点B，选择“变换”—“旋转”命令，将点B旋转90度，得到点D。

（3）双击点D，把点D标记为旋转中心。

选中点A，选择“变换”—“旋转”命令，将点A旋转－90度，得到点C。

（4）绘制出线段AD、DC、BC。

在几何画板中用旋转的方法画正方形ABCD示例2、构造DC的中点E，并以点E为圆心，EC为半径构造圆（1）选中线段DC，选择“构造”—“中点”命令，绘制出DC的中点E。

（2）依次选中点E和点C，选择“构造”—“以圆心和圆周上点绘圆”命令。

构造DC的中点E并构造圆E3、构造圆弧CD，并在弧CD上取点F（1）选中点C、D和圆E，选择“构造”—“圆上的弧”命令。

（2）保持弧的选中状态，选择“构造”—“弧上的点”命令，任意绘制出点F。

构造圆弧CD，并在弧CD上取点F4、构建勾股树动画按钮（1）选择点F，单击“编辑”—“操作类按钮”—“动画”，打开“操作类按钮动画点的属性”对话框，选择“动画”选项卡，将“方向”设为“双向”；“速度”设为“慢速”。

（2）再选择“标签”选项卡，在标签栏输入“勾股数动画按钮”，单击“确定”。

（3）把按钮的位置调整，如下图所示。

构建勾股树动画按钮并调整到相应位置5、隐藏部分对象隐藏圆E、圆弧CD、点E，如下图所示。

隐藏圆E、圆弧CD、点E6、度量出FD的长度，构造出正方形的内部（1）选择动点F和定点D，单击“度量”——“距离”，测出距离FD；（2）选择点A、B、C、D，单击“构造”—“四边形内部”。

传播。
THANKS
感谢您的观看
图形渲染与可视化效果 为了实现勾股树的高质量可视化效果，需要研究高效的图 形渲染技术和可视化算法。
跨平台应用与兼容性 为了满足不同用户的需求，需要开发跨平台的应用程序， 并确保在各种设备和操作系统上的兼容性。
推广应用前景展望
教育领域
将勾股树作为数学、艺术、计算 机科学等多个学科的教学工具， 帮助学生更好地理解相关概念和
当达到预设的递归深度或满足特定条件时，递归过程终止。
无限分支结构特性分析
分支生长规律
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勾股树的分支按照特定规律生长，形成无限分支结构。
分支长度与角度关系
02
不同分支的长度和角度之间存在一定的关系，可通过数学模型
进行描述。
无限性与有限性辩证统一
03
虽然勾股树具有无限分支结构，但在实际绘制和计算中需要考
计算机科学与可视化技术
利用计算机科学和可视化技术，模拟和呈现勾股树的生长过程，为 科学研究和教育提供直观、生动的工具。
生物学与生态学的启示
借鉴勾股树的分形结构和生长规律，研究生物学和生态学中的相关 问题，如生物形态、生态系统稳定性等。
技术实现难题及解决方案
数据处理与计算能力 勾股树的复杂结构需要强大的数据处理和计算能力支持， 可通过优化算法、提高计算效率等方式解决。
数学教育
勾股树作为数学美的体现， 可以用于数学教育中，帮 助学生更直观地理解勾股 定理。
艺术设计
艺术家可以利用勾股树的 形态美感进行创作，设计 出独特的艺术品或装饰品。
计算机图形学
在计算机图形学中，勾股 树可以作为一种基本的图 形元素，用于构建更复杂 的图形或场景。
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美学价值：对称与

第章!勾股定理 **)"一般认为这个定理是毕达哥拉斯"^V -Q)X ,*)&#学派首先证明的&因而称为毕达哥拉斯定理!勾股定理曾引起很多人的兴趣&人们对这个定理的证明找到了很多方法!/410年卢米斯"Z A <AT ,,%F &#专门编辑了一本证明勾股定理的小册子///,毕氏命题-&收集了这个著名定理的250种证明&其中包括大画家达+芬奇和美国第"0任总统詹姆士+阿+加菲尔德"_)%+&B ;*)%Y )*M F +H W &/92//99/#的证法!美丽的勾股树!!你可能去过森林公园&看到过许许多多千姿百态的植物!可是你是否见过如下的勾股树呢%你知道这是如何画出来的吗%仔细观察&你就会发现那一个个细小的部分正是我们学过的勾股图&它们一个接着一个连在一起&构成了多么奇妙美丽的勾股树.动手画画看&相信你也能画出其他形态的勾股树!*!," 第 章!勾股定理!勾股定理的应用勾股定理能解决直角三角形的许多问题!因此在现实生活和数学中有着广泛的应用!!如图/18"8/!一圆柱体的底面周长为"0$%!高:;为1$%!;<是上底面的直径!一只蚂蚁从点:出发!沿着圆柱的侧面爬行到点<!试求出爬行的最短路程!"精确到0!0/$%#图*$+!+*!蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行!如果将这半个侧面展开"如图/18"8"#!得到长方形:;<>!根据%两点之间!线段最短&!所求的最短路程就是这一展开图///长方形:;<>的对角线:<之长!图*$+!+!!如图/18"8"!在U -*:;<中!;<7底面周长的一半7/0$%!由勾股定理!可得:<#:;"';<槡"#1"'/0槡"#槡//:%/0!55"$%#!答(爬行的最短路程约为/0!55$%!。

第14章勾股定理§14.1勾股定理1. 直角三角形三边的关系2. 直角三角形的判定阅读材料勾股定理史话美丽的勾股树§14.2勾股定理的应用小结复习题课题学习勾股定理的“无字证明”第14章勾股定理还记得2002年在北京召开的国际数学家大会（ＩＣＭ２００２）吗?在那个大会上，到处可以看到一个简洁优美的图案在流动，那个远看像旋转的纸风车的图案就是大会的会标．那是采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图．§14.1 勾股定理1. 直角三角形三边的关系本章导图中的弦图隐含着直角三角形三边之间的一种奇妙的关系，让我们首先观察经常使用的两块直角三角尺．试一试测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：三角尺直角边a直角边b斜边c 关系12根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、 b、 c之间的关系．图14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，很显然，两个小正方形P、 Q的面积之和等于大正方形R 的面积．即AC2＋ＢＣ2＝ＡＢ2，图14.1.1这说明，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的平方和等于斜边的平方．那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?试一试观察图14.1.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积＝平方厘米；正方形Q的面积＝平方厘米；（每一小方格表示1平方厘米）图14.1.2正方形R的面积＝平方厘米．我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是．由此，我们得出直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间存在关系．做一做在图14.1.3的方格图中，用三角尺画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立．（每一小格代表1平方厘米）图14.1.3概括数学上可以说明：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c，那么一定有a2＋b2＝c2，这种关系我们称为勾股定理．勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系．例1如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离ＡＢ．（精确到0.01米）图14.1.4 解 如图14.1.4，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝２.１６米， ＡＣ＝５.４１米，根据勾股定理可得ＡＢ＝ －ＢＣ AC 22 ＝22 １６.－２ ４１.５≈４.９６（米）． 答： 梯子上端A 到墙的底边的垂直距离 ＡＢ 约为4.96米． 练习1. 在Rt△ＡＢＣ中， ＡＢ＝c ， ＢＣ＝a ， AC ＝b ， ∠B＝90°．（1） 已知a ＝6， b ＝10， 求c ；（2） 已知a ＝24， c ＝25， 求b ．2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米?试一试剪四个与图14.1.5完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图14.1.6所示的图形．大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 ．对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论．图14.1.5 图14.1.6 用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成如图14.1.7所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的．读一读我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦．图14.1.7称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的．图14.1.8是在北京召开的2002年国际数学家大会（ICM2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就．图14.1.7 图14.1.8例2如图14.1.9，为了求出位于湖两岸的两点A 、 B 之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ＡＢＣ恰好为直角三角形．通过测量，得到AC 长160米，ＢＣ长128米．问从点A 穿过湖到点B 有多远?图14.1.9 解 如图14.1.9，在直角三角形ＡＢＣ中，AC ＝１６０米， ＢＣ＝１２８米，根据勾股定理可得ＡＢ＝22BC AC -＝22128160-＝96（米）．答： 从点A 穿过湖到点B 有96米．练习1. 如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ＡＢＣD的面积与周长．2. 假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米?（第1题）（第2题）2. 直角三角形的判定古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图14.1.10那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗?图14.1.10试一试试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：（1） a＝3， b＝4， c＝5；（2） a＝4， b＝6， c＝8；（3） a＝6， b＝8， c＝10．可以发现，其中按（1）、（3）所画的三角形都是直角三角形，而按（2）所画的不是直角三角形．在这三组数据中，（1）、（3）两组都满足a2＋b2＝c2，而组（2）不满足．以后我们会证明一般的结论：如果三角形的三边长a、 b、 c有关系： a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．古埃及人所画的三角形的三边长恰好满足这样的关系，所以其中一个角是直角．例 3 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形：（1） 7， 24， 25；（2） 12， 35， 37；（3） 13， 11， 9．解因为 252＝２４2＋７2，３７2＝３５2＋１２2，１３2≠１１2＋９2，所以根据前面的判定方法可知，以（1）、（2）两组数为边长的三角形是直角三角形，而以组（3）的数为边长的三角形不是直角三角形．练习1. 设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形．若是，指出哪一条边所对的角是直角．（1） 12， 16， 20；（2） 8， 12， 15；（3） 5， 6， 8．2. 有哪些方法可以判断一个三角形是直角三角形?习题14.11. 将图14.1.6沿中间的小正方形的对角线剪开，得到如图所示的梯形．利用此图的面积表示式验证勾股定理．（第1题）2. 已知△ＡＢＣ中，∠B＝９０°， AC＝１３cm，ＢＣ＝５cm，求ＡＢ的长．３. 已知等腰直角三角形斜边的长为2cm，求这个三角形的周长．４. 如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆．试探索这三个圆的面积之间的关系．（第４题）（第5题）5. 如图，已知直角三角形ＡＢＣ的三边分别为6、８、10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积．6. 试判断以如下的a、 b、 c为边长的三角形是不是直角三角形?如果是，那么哪一条边所对的角是直角?（1） a＝25， b＝20， c＝15；（2） a＝1， b＝2， c＝3；（3） a＝40， b＝9， c＝40；（4）a∶b∶c＝5∶12∶13．阅读材料勾股定理史话勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史．远在公元前三千年的巴比伦人就已经知道和应用它了．我国古代也发现了这个定理．据《周髀算经》记载，商高（公元前1120年）关于勾股定理已有明确的认识，《周髀算经》中有商高答周公的话：“勾广三，股修四，径隅五．”同书中还有另一位学者陈子（公元前六七世纪）与荣方（公元前六世纪）的一段对话：“求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（如图所示），即邪至日＝勾２＋股２．这里陈子已不限于“三、四、五”的特殊情形，而是推广到一般情形了．人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，其特殊情况，在世界很多地区的现存文献中都有记载，很难区分这个定理是谁最先发明的．国外一般认为这个定理是毕达哥拉斯（Pythagoras）学派首先发现的，因而称为毕达哥拉斯定理．勾股定理曾引起很多人的兴趣，世界上对这个定理的证明方法很多．1940年卢米斯（E.S. Loomis）专门编辑了一本证明勾股定理的小册子——《毕氏命题》，作者收集了这个著名定理的370种证明，其中包括大画家达·芬奇和美国第２０任总统詹姆士·阿·加菲尔德（James Abram Garfield， 1831～1881）的证法．美丽的勾股树你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你是否见过如下的勾股树呢?你知道这是如何画出来的吗?仔细看看，你就会发现那一个个细小的部分正是我们学过的勾股图，一个一个连接在一起，构成了多么奇妙美丽的勾股树!动手画画看，相信你也能画出其他形态的勾股树．§14.2 勾股定理的应用勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用．例1如图14.2.1，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．图14.2.1分析 蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图14.2.2），得到矩形 ＡＢＣD ，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩形对角线AC 之长．（精确到０.０１cm ）图14.2.2解 如图14.2.2，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm ， ∴ AC＝22BC AB +＝22104+＝229≈１０．７７（cm ）（勾股定理）．答： 最短路程约为１０．７７cm ．例2一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图14.2.3的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?图14.2.3分析由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH ．如图１４.２.３所示，点D 在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ， 与地面交于H ．解 在Rt△OCD 中，由勾股定理得ＣＤ＝22OD OC -＝228.01-＝０.６米，C Ｈ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．做一做图14.2.4如图14.2.4，以直角三角形ＡＢＣ的三边为边分别向外作正方形，其中一个正方形划分成四个形状与大小都一样的四边形．试将图中5个带色的图形拼入到大正方形中，填满整个大正方形．练习1. 如图，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆，求地面钢缆固定点A 到电杆底部B 的距离．2. 现准备将一块形为直角三角形的绿地扩大，使其仍为直角三角形，两直角边同时扩大到原来的两倍，问斜边扩大到原来的多少倍?（第１题）例3如图14.2.5，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1）从点A出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；（2）画出所有的以（1）中的ＡＢ为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．分析只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求．图14.2.5 图14.2.6解（1）图14.2.6中ＡＢ长度为22．（2）图14.2.6中△ＡＢＣ、△ＡＢD就是所要画的等腰三角形．例4如图14.2.7，已知CD＝６m， AD＝８m，∠ADC＝９０°， BC ＝２４m，ＡＢ＝２６m．求图中阴影部分的面积．图14.2.7解在Rt△ADC中，AC2＝ＡＤ2＋ＣＤ2＝６2＋８2＝１００（勾股定理），∴ AC＝１０m．∵ ＡＣ2＋ＢＣ2＝１０2＋２４2＝６７６＝ＡＢ2，∴ △ACB为直角三角形（如果三角形的三边长a、 b、 c有关系： a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形），∴ S阴影部分＝Ｓ△ACB－Ｓ△ACD＝1/2×１０×２４－1/2×６×８＝９６（m2）．练习1. 若直角三角形的三边长分别为2、 4、 x，试求出x的所有可能值．2. 利用勾股定理，分别画出长度为3和5厘米的线段．习题14.21. 若等腰直角三角形的斜边长为2cm，试求出它的直角边和斜边上的高的长度．2. 下图由４个等腰直角三角形组成，其中第１个直角三角形腰长为1cm，求第4个直角三角形斜边长度．（第２题）（第3题）3. 如图，为了加固一个高2米、宽3米的大门，需在相对角的顶点间加一块木条．求木条的长度．4. 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝２， ＢＣ＝４， ＡＣ＝23， ∠C＝３０°， 求∠B 的大小．5. 已知三角形的三边分别是n ＋1、 n ＋2、 n ＋3，当n 是多少时，三角形是一个直角三角形?6. 如图，AD⊥CD， ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１２，ＣＤ＝４，ＡＤ＝３， 若∠CＡＢ＝５５°，求∠B 的大小．（第6题）小结一、 知识结构二、 概括本章研究了揭示直角三角形三条边之间关系的勾股定理和由此产生的一种判定直角三角形的方法．如果知道了直角三角形任意两边的长度，那么应用勾股定理可以计算出第三边的长度；如果知道了一直角三角形 勾股定理应用判定直角三角形的一种方法个三角形的三边的长，也可以判断这个三角形是否是直角三角形．勾股定理可以解决直角三角形中的许多问题，在现实生活中有许多重要的应用．复习题A组1. 求下列阴影部分的面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．（第1题）2. 如图，以Rt△ＡＢＣ的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．（第2题）3. 试判断下列三角形是否是直角三角形：（1）三边长为m2＋n2、 mn、 m2－n2（m＞n＞0）；（2）三边长之比为1∶1∶2；（3）△ＡＢＣ的三边长为a、 b、 c，满足a2－b2＝c2．4. 一架 2.5米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物０.7米，如果梯子的顶部滑下０.4米，梯子的底部向外滑出多远?5. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，求正方形A、 B、 C、D的面积和．（第5题）B组6. 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０， BD是AC边的高，DC＝２，求BD的长．（第7题）7. 有一块四边形地ＡＢＣD（如图），∠B＝９０°，ＡＢ＝４m，ＢＣ＝３m， CD＝１２m， DA＝１３m，求该四边形地ＡＢＣD的面积．8. 能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数．请你写出5组勾股数．9. 已知△ＡＢＣ中，三条边长分别为a＝n2－１， b＝2n， c＝n2＋１（n＞1）．试判断该三角形是否是直角三角形，若是，请指出哪一条边所对的角是直角．C组10. 如图，四边形ＡＢＣD中，ＡＢ＝ＢＣ＝２， CD＝３，ＤＡ＝１，且∠B＝９０°，求∠DＡＢ的度数．（第10题）（第11题）11. 如图，在矩形ＡＢＣD中，ＡＢ＝５cm，在边CD上适当选定一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边ＢＣ上一点F处，且△ＡＢF的面积是30cm2．求此时AD的长．（第12题）12. 折竹抵地（源自《九章算术》）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何?意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原长竹子处3尺远．问原处还有多高的竹子?课题学习勾股定理的“无字证明”在勾股定理的学习过程中，我们已经学会运用以下图形，验证著名的勾股定理：整个大正方形的面积可以表示为里面小正方形的面积与四边上的４个直角三角形的面积之和，即为(a+b) 2=c2+4·（１/２ab）,由此可以推出勾股定理a2+b2=c2．这种根据图形可以极其简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．对于勾股定理，我们还可以找到一些用于“无字证明”的图形．现在请你和大家一起，查阅课本和其他有关书籍，上网查询各种相应的资料，相信你一定能够发现更多的有趣图形，验证勾股定理．实际上你还可以发现“无字证明”也可以用于验证数与代数、空间与图形等领域中的许多数学公式和规律！- 21 -。

神奇的合欢树
本文是关于小学作文的神奇的合欢树，感谢您的阅读！
我家楼下小草坪周围有许多神奇的合欢树。

合欢树的树干很粗大，像一只巨人的大手，凹凸不平，摸着像鸡皮疙瘩，远望去像一把张开的大伞，给人们遮挡阳光。

合欢树的叶子不是和其它叶子那样是一整片的，而是由小片叶子组成的像羽毛，椭圆形的叶片对着生，白天叶子神采奕奕，可是到了晚上就像玩累的小孩子一样合起来，早早的进入梦乡。

合欢树的花底下是白色的，往上面慢慢变成粉色的，由许多花丝组成，像蒲公英一样成伞状，秋风一吹，花慢慢飘下来像一只只蝴蝶在风舞，美丽极了。

到了秋天，合欢树上果实累累，那一串串的果实像绿扁豆，扁扁的，长长的，挂满了枝头，从远外看像一串串的小香蕉。

你说合欢树神奇不神奇呀，它的叶子白天张开晚上合上。

3.培养学生团队合作意识，学会与他人分享、互相帮助，形成良好的集体氛围。
4.引导学生认识到数学知识在实际生活中的广泛应用，培养学生的应用意识和实践能力。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地投入到勾股定理的学习中，教师将采用以下情景创设策略：
1.利用多媒体展示勾股树的美丽图案，让学生在视觉上感受到数学的美，引发学生对勾股定理的兴趣。
2.结合生活实例，如建筑设计、家具制作等，让学生了解勾股定理在实际生活中的应用，提高学生对数学知识实用性的认识。
3.创设数学故事情境，如讲述古希腊数学家毕达哥拉斯发现勾股定理的传说，激发学生的探究欲望。
（二）问题导向
问题导向是本章节教学策略的核心，具体措施如下：
1.设计具有启发性的问题，引导学生思考勾股定理的原理，如：“为什么直角三角形的两条直角边平方和等于斜边平方？”
1.教师通过多媒体展示勾股树的图片，引导学生观察并思考：“大家觉得这些图案有什么特别之处？”
2.学生分享观察到的特点，教பைடு நூலகம்总结并引出勾股定理的概念：“这些图案都遵循一个神奇的数学定理，那就是勾股定理。”
3.教师简要介绍勾股定理的历史背景及其在数学史上的地位，激发学生的学习兴趣。
（二）讲授新知
1.教师通过具体的直角三角形示例，引导学生观察直角三角形三边的关系，提出勾股定理的表达式。
2.问题导向的教学策略
本案例以问题导向为核心，设计了丰富多样、具有启发性的问题，引导学生主动探究勾股定理的原理和应用。这种教学策略有助于培养学生的问题意识和批判性思维，提高学生解决问题的能力。
3.小组合作学习
小组合作学习在本案例中得到了充分运用，学生通过合作探讨、共同解决问题，提高了团队协作能力和沟通能力。同时，小组合作学习也使得学生在讨论中相互启发，拓宽了解题思路。

专题一飞向太空的勾殷定理学海搜奇历史的误会大约在公元前l100年左右，我国周朝初年，周武王的弟弟周公与数学家商高进行了一次伟大的历史性对话。

周公问商高：“听说您对数很精通，请问古代伏羲如何测定天体的位置?要知道天是不可能用梯子攀登上去的，地也无法用尺子来测量，请问数是从哪里来的呢?”商高回答说：“数的方法是从研究圆形和方形开始的，圆形是由方形产生的，而方形又是由折成直角的矩尺产生的。

在研究矩形前需要知道九九口诀。

设想把一个矩形沿对角线切开，使得短直角边(勾)长为3，长直角边(股)长为4，斜边(弦)长则为5。

以弦为边作一正方形，并用四个与上述直角三角形一样的半矩形把它围成一个方形盘。

从它的总面积49中，减去由勾股弦均分别为3、4、5的四个直角三角形构成的2个矩形的面积24，便得到最初所作正方形的面积25。

这种方法称为‘积矩’。

”这个故事记载于我国古代“算经十书”之一的《周髀算经》，其含义就是对直角三角形(图1．1)的特例即勾3、股4、弦5作出了直观的、简捷易懂的说明，它表明世界上最早发现并深入研究勾股定理的历史可以追溯到我国的周朝时期。

然而，在西方，直到公元前6世纪，古希腊数学家、天文学家、哲学家毕达哥拉斯才发现了“直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方”，千百年来，西方人却把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”。

殊不知，历史的真相是毕达哥拉斯的发现晚了中国人的发现500—600年。

这种历史的误会不能不令人感到十分遗憾!操作与演示“弦图”与勾股定理对于商高所说的“积矩”，三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，以我国古代证明几何问题的一种独特方法——割补原理，做了进一步的直观演算。

他画“弦图’’，将图形的各部分分别涂以不同的颜色，然后经过适当地拼补搭配，使其“出入相补，各从其类”，如图1．2所示。

图1．2赵爽的“弦图”商高的“积矩”可用现代数学表述为：如图1．3所示，把矩形ADBC 用对角线AB 分成两个直角三角形，然后以AB 为边长作正方形BMNA ，再用与直角三角形BAD 相同的三角形把这个正方形围起来，形成一个新的正方形(方形盘)DEFG ，其面积为(3+4)2=49，而这四个直角三角形的面积等于两个矩形ADBC 的面积之和，即2×3×4=24。

新加坡滨海花园擎天大树作文哎呀，听说你要了解一下新加坡滨海花园的擎天大树呀？那真的是个非常酷的地方呢！我上次去的时候，真的是被惊艳到了，完全不愧是全球最具未来感的景点之一。

我记得那天我们一行人，四个好朋友，决定去探索这个神奇的地方。

我们刚走进花园，就被那些巨大的擎天大树给震撼到了。

你知道那种感觉吗？就像是走进了科幻电影里一样。

巨大的树干，像是未来科技的产物，超有震撼感！“哇，这是什么呀？是树吗？还是某种外星生物？”小张一边眨巴眼睛一边问我。

我笑了笑，拿出手机，随便查了一下，才知道这些大树其实是“超级树”，主要是为了美观和环保设计的。

“哎，你们快看！”小李指着旁边的一个小型展示牌说，“这些擎天大树其实还可以当太阳能板用呢！白天吸收阳光，晚上就会发光，真是太高科技了！”我们站在那儿，一边看着巨大的树干，一边看着周围五颜六色的灯光。

小王一脸兴奋地说：“要是我家后院也有这么一棵树，那可真是太赞了！”大家都笑了，觉得他这话说得特别搞笑。

其中，小张还被一个特别酷的装置吸引了。

他好奇地走过去，发现那个装置是用来模拟树上虫子和小动物的生活状态的。

小张突然间变成了“昆虫专家”，一个劲儿地给我们讲解这些“树虫子”的生活习惯。

我们在一旁笑得前仰后合，觉得他简直就是个生动的自然课教科书。

更有趣的是，到了晚上，我们赶上了一个特别的光影秀。

那些擎天大树通过灯光和音乐，像是进行了一场盛大的派对。

树上的灯光变幻莫测，像极了一个大型的灯光秀。

小李站在树下，兴奋得跳起了舞，完全忘了周围有多少路人。

我问他们：“你们觉得这些擎天大树怎么样？”小王抬头看了一下，感叹道：“这真的是把未来感和自然融为一体了！”小张点点头：“是啊，这种设计既美观又环保，真的很赞！”最后，我们在擎天大树下拍了不少照片，每个人脸上都挂着大大的笑容。

离开时，我们对这些大树的印象依旧是满满的震撼和喜悦。

真的，滨海花园的擎天大树就像是新加坡的一张独特名片，给人留下了深刻的记忆。

美丽的勾股树----勾股定理的探索与应用教材分析勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，它可以解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，同时在实际生活中具有广泛的用途，“数学源于生活，又用与生活”是这章书所体现的主要思想。

教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际操作，使学生获得较为直观的印象；通过联系比较、探索、归纳，帮助学生理解勾股定理，以利于进行正确的应用。

学情分析学生通过对勾股定理的学习，已基本掌握了勾股定理及其逆定理，了解了勾股定理的文化背景，体验了勾股定理的证明过程，为进一步探索应用勾股定理做好了铺垫.教学目标1. 经历对问题情景的观察、分析、一般化等思维活动，提出猜想，体验勾股定理的应用.2. 能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.3. 通过问题的探索，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用.4. 在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体现数形结合的思想.5. 体会勾股定理的应用价值，体会数学来源于生活，又应用到生活中去，增强学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受，同时在学习的过程中体会获得成功的喜悦，提高了学生学习数学的兴趣和信心.教学重点应用勾股定理解决实际问题.教学难点勾股定理的灵活运用.教学过程一、创设情境，激发兴趣教师创设情境，导入新课.同学们，在我们美丽的地球王国上，原始森林，参天古树给我们以神秘的遐想；绿树成荫，微风习习，给我们以美的享受.你知道吗？在古老的数学王国里，有一种树木，它很奇妙，生长速度大的惊人，它是什么呢？下面让我们带着这个疑问一同到数学王国去欣赏吧！【设计意图】教师利用多媒体播放视频，欣赏美丽的勾股树图片，设置疑问：这些美丽的勾股树是怎样做出来的呢？激发学生对勾股定理的应用的探索兴趣和热情.二、回顾与练习师生活动：教师利用多媒体出示问题，学生思考后回答问题：1. 请说说勾股定理的内容.2. 如图所示，a2+b2=,a=,b= ,c= .3. 边长为6cm的正方形的对角线长 .4. 直角三角形两直角边为3和4，则斜边上的高为 .5. 下列各组数据能否构成直角三角形？(1) 5 7 9(2)√2 √3 √5(3) 12 14 18(4) 3a 4a 5a6. 求下列阴影部分的面积（1）阴影部分是正方形（2）阴影部分是矩形（3）阴影部分是半圆7. 等边三角形ABC的边长为a，求它的面积为多少？师生活动：教师指导学生完成第7题的证明过程.【设计意图】通过对勾股定理的回顾与练习，为向下面的问题探索做好知识准备.三、探索与思考问题1 如图1，分别以Rt∆ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？图 1师生活动：教师利用多媒体出示问题，学生思考后回答问题.问题2 如图2，分别以Rt∆ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，猜想S1、S2、S3之间有什么关系？请加以说明.图 2师生活动：教师鼓励学生进行大胆猜想，并利用勾股定理来证明.问题3 如图3 ，分别以Rt∆ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，猜想S1、S2、S3之间有什么关系？请加以说明.师生活动：教师鼓励学生进行大胆猜想，并利用勾股定理、回顾与练习7和三角形面积公式等知识加以证明.【设计意图】 1. 问题1由学生独立完成，问题2和3，让学生经历猜想、证明的过程，用类比的方法进行研究.2. 引导学生建立数学模型，提高学生分析问题、解决问题的能力.3. 规范学生的解题步骤.四、应用与巩固1. 如图，这是一棵奇妙的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形M 的边长是9cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积和是多少？师生活动：学生独立思考，然后口答．2S 1S 3S A B C 图 32. 如图，分别以直角三角形的三边为边长作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆.试探索三个圆的面积之间的关系.师生活动： 指导学生独立完成并请一名学生板书解答过程．3. 如图，已知直角三角形ABC 的三边分别为6、8、10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积.师生活动：指导学生独立完成并请一名学生板书解答过程．【设计意图】 练习对学生来说，达到了进一步巩固所学知识的目的. 问题2和问题3的设计师让学生有更开阔的思维空间，让所学到的知识进一步得到深化.五、欣赏图片，布置作业1. 欣赏美丽的勾股树在琅琊山4A 级国家森林公园里，有许许多多千姿百态的植物.1S 2S 3S CBA可是你是否见过数学王国里的树-----勾股树呢？【设计意图】多媒体出示勾股树图片，让学生在图片欣赏中感受数学美，体会生活中处处有数学，进一步体会数学来源于生活，应用到生活的道理.2. 布置作业必做题：你知道这是如何画出来的吗？仔细看看，你就会发现那一个个细小的部分正是我们学过的勾股图，一个一个连接在一起，构成了多么奇妙美丽的勾股树！动手画画看，相信你也能画出其他形态的勾股树.选做题：如图，分别以Rt∆ABC三边为边向外作三个一般的三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，为使S1、S2、S3仍具有与问题3相同的关系，所作三角形应满足什么条件？【设计意图】必做题是运用所学知识解决实际问题，选做题是在问题3的基础上将题目的条件稍作改动，引发学生对问题的探索兴趣，从而积极主动的去完成探索和思考.。

外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、
正方形边长的一半为半径作圆，试探索三个圆的面积
之间的关系。
解： s 1
AB 2
2
1 4
AB
2
B
s 2
AC 2
2
1 4
AC
2
S1
S3
A
S2 C
s 3
BC 2
2
1 4
BC
2
s2 s3
1 4
AC
2
1 4
BC
2
1 4
AC
2 BC
的高分别为ｈ
1、ｈ 2、ｈ 3则可以求出：
C
S2
S3
ｈ1
3 2
AB
、
h2
3 2
AC
、
h3
3 2
BC
A
S１
1 2
AB
ｈ 1
3 4
AB
2
SB 1
S2
1 2
AC
ｈ 2
3 4
AC
2
S3
1 2
AB
ｈ 3
3 4
BC
2
S 2 S 3
3 4
AC
2
3 4
BC
2
图3
3 4
(
AC
2 BC
2)
3 4
AB
2
编辑课件
12
即： S 1 S 2 S 3
应用与巩固
1.如图，这是一棵奇妙
的勾股树，其中所有的四边
形都是正方形，所有的三角
形都是直角三角形，其中最
B
大的正方形M的边长是9cm， A 则正方形A、B、C、D的面积

b
c
E
c
a-b
1a21ab1c21ab1b2 22 222
Bb C
注:这一方法是向常春
从 而 得 到 :a2b2c2
于1994年3月20日构想发 现的新法．
约 一 滴 水 、 一度
可如是果，在它树与上勾挂股一有串什彩么
关色系灯呢泡？，仔再细挂看上看些，小你
会铃发铛现、，小奥彩妙球在、树小干礼和
树盒枝、上小，的整圣棵诞树老都人是，由
下就图会的成这为个一基棵本圣图诞形树组．
成可的是：，一它个与直勾角股三有角什形么， 以一关及边系分向呢别外？以所它 作的 的每 正边方为形．
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过 反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．
总统巧证勾股定理
C
D
c
a
cb
Ab
Ea B
美国第二十任 总统伽菲尔德
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精彩纷呈的证明方法
（欧几里得证明）
“新娘的椅子”
H
a
F a A
G
C
b M
K b B
c
D
Lc
探索勾股定理
假如我们一旦和外星人见面，该使用 什么语言呢？使用“符号语言”与外星人 联系是最经济和最有效的，外星人也最可 能使用这种语言,并且最可能是数学语言。 中国数学家华罗庚认为，我们可以用两个 图形作为与外星人交谈的媒介，一个是 “数”，另一个是“数形关系”（勾股定 理）。因为这种自然图形所具备的“数形 关系”在整个宇宙中是普遍的。
1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步， 欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突 然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争 论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个 小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角 形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生， 如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到： “是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的 斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方 加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时 语塞，无法解释了，心理很不是滋味．