人口模型(马尔萨斯__vs__logistic)分解

毕业设计——第一章绪论1.研究背景2.国内外研究现状3.人口概念介绍人口增长模型及其应用孙建锋第二章人口增长模型的概述1.马尔萨斯模型（人口指数增长模型）2.Logistic 模型（人口阻滞增长模型）3.年龄移算法模型4.L eslie 人口增长模型5.灰色 GM（1，1）预测模型6.人口发展方程7.各模型的优缺点对比第三章基本人口预测1.出生人数的预测2.死亡人数的预测3.分年龄分性别人口数预测4.人口总数预测第四章人口实例预测1.数据准备2.模型应用与求解3.结果分析4.结论及相关建议第一章绪论1.1研究背景人口问题是联系社会经济发展最基本、最复杂问题，受到世界各国诸多领域的关注.就人口规模的发展而言存在极大地差异，如，某些发展中国家人口生育率过高；而某些发达国家的生育率过低，甚至为负増长，这些现象会引发一系列社会经济问题，如，失业、老龄化，进而影响社会稳定.人口问题事关国计民生，是影响经济社会发展全局的重大问题。

以人为本的科学发展观必然要求我们在一切发展序列中首先关注人口发展，中国人口发展在中国经济社会发展框架中具有绝对优先的工具价值和目的意义。

人口发展对一个国家经济、社会协调和可持续发展具有重要影响。

发现人口问题、制定相应政策、采取合适措施对人口发展进行调节，是政府保证经济社会协调和可持续发展的重要内容。

众所周知，人口众多是我国基本的国情，人口问题一直以来就是中国经济发展的绊脚石，中国是人口第一大国，固然有地大物博，资源丰富的美誉，但按人口数量平均下来，也就成了人均占有量不足的基本国情。

中国在世纪之交的2000 年进行了全国第五次人口普查，国家许多重大社会、政治，经济问题的研究都要依据人口的数量。

为此，进行人口预测是有效地控制人口发展与资源关系不可缺少的手段之一，同时也是人口决策的重要依据.对人口进行预测，做到人口有计划地发展不仅能有效地处理好人类与资源的关系，而且对于经济发展的预测，各个生态专项规划及制定建设决策都有重要的借鉴意义，也是我国经济稳定、高效、协调发展的保证。

Malthus模型和Logistic 模型随着社会的发展，人口问题与经济、资源、环境、社会的冲突日益成为制约国家发展的瓶颈，了解了人口增长函数，也就掌握了人口的发展动态和发展规律，这对国家的发展有重要意义。

1798年.英国人口学家和政治经济学家马尔萨斯以两个假设为前提：第一，食物为人类生存所必须；第二，人的性本能几乎无法限制，提出了闻名于世的人口指数增长模型，即Malthus人口模型：人口总数为p(t),人口的出生率为b,死亡率为d。

任取时段【t, t + dt ],在此时段中的出生人数为b p(t)dt ,死亡人数为d p(t)dt。

假设出生数及死亡数与p(t)及dt均成正比，而且以矩形取代了曲边梯形的面积。

在时段【t, t+dt ]中，人口增加量为p(t dt)- p(t)〜d p(t), 它应等于此时段中的出生人数与死亡人数之差，即d p(t) =b p(t) dt —d p(t) dt = a p(t) dt,其中a=b—d称为人口的净增长率。

于是p(t)满足微分方程^=ap(t). (1)dt若已知初始时刻t=t0时的人口总数为P0,那么p(t)还满足初始条件t=t0 时，p(t) =p0. (2)可以求得微分方程(1)满足初始条件⑵ 的解为(设a是常数) p(t)=p c e a(t _t0), ⑶即人口总数按指数增长。

模型参数的意义和作用：t0为初始时刻(初始年度)，P0为初始年度t0的人口总数，a为每年的人口净增长率，b为人口出生率，d 为人口死亡率。

Malthus 人口模型所说的人口并不一定限于人，可以是认可一个生物群体，只要满足类似的性质即可。

现在讨论模型的应用和正确性。

例如，根据统计数据知在1961 年全世界人口为30.6 亿，1951 年-1961 年十年每年人口净增长率约为0.02。

取t o=1961, p o=3.06*109和a =0.02，就有9 0.02(t-t0)p(t)=3.06*10 *e ，用这个公式倒计算全世界在1700-1961 年间的人口总数，并把计算结果与实际统计数据作比较可以发现它们是比较符合的。

马尔萨斯模型公式马尔萨斯模型马尔萨斯模型人类社会进入21世纪以来，在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口也空前的规模增长。

我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有一个中成富强民主文明的社会主义国家的想需要，而且对全人类社会的美好理想来说，也是义不容辞的责任。

认识人口数量的变化规律，建立人口模型，做出准确的预报，是有效控制人口增长的前提。

年1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 人口 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 年1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 人口38.6 50.2 62.9 76 92 10.6.5 123.2 131.7 年1950 1960 1970 1980 1990 2000 人口150.7 179.3 204 226.5 251.4 281.4 表1 美国人口统计数据1）马尔萨斯模型最简单的人口模型是人所共知的：记今年人口为x0，k年后人口为xk，年增长率为r，则xk x0(1 r)k （1）显然，这个公式的基本条件是年利率r保持不变。

模型建立记时刻t的人口为x t，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，x t是一个较大的整数。

为了利用积分这一数学工具，将x t视为连续、可微函数。

记初始时刻（t=0）的人口为x0。

假设人口增长率为常数r，即单位时间内x t的增量等于x t乘以r。

考虑到t到t t时间内的增量，显然有x t t x t rx t t令 t 0，得到x t满足微分方程dx rx，x 0 x0 （2）dt由这个方程容易解出x t x0ert （3）R>0时（3）式表示人口将按指数规律时间无限增长，称为指数增长模型。

参数估计（3）的参数r和x0可以用表1的数据估计。

为了用简单的线性最小二乘法，将（3）事取对数，可得y rt a，y lnx，a lnx0 （4）以1790年至1900年的数据拟合（4）式，用MATLAB软件计算可得r=0.2743/10年，x0=4.1884。

马尔萨斯生物定律与人口增长模型马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数)(t N 的变化率与生物总数成正比，其数学模型为⎪⎩⎪⎨⎧==00)()()(N t N t rN dt t dN （1） 其中r 为常数. 方程（1）的解为)(00)(t t r e N t N -=（2）因此，遵循马尔萨斯生物总数增长定律得任何生物都是随时间按指数方式增长，在此意义下，马尔萨斯方程（1）又称指数增长模型。

人作为特殊的生物总群，人口的增长也应满足马尔萨斯生物总数增长定律，此时的（1）式称为马尔萨斯人口方程。

英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了人口指数增长模型。

根据国家统计局1990年10月30日发布的公告，1990年7月1日我国人口总数为11.3368亿，今年的人口平均增长率为14.8‰. 假设人口的增长率保持不变，那么2000年我国的人口数量将达到13.45亿。

事实上，将 0148.0,2000,19900===r t t 代入到（2）式得45.133368.11)()19902000(0148.0==-e t N （亿）显然根据马尔萨斯人口方程预测2000年我国人口数量与全国第五次人口普查公报公布的12.9533亿，相差较大。

造成误差过大的主要原因是人口的增长率r 不是常数，它是随时间而变化的，很多试验和事实也证明r 是时变的。

为此修改马尔萨斯人口方程为⎪⎩⎪⎨⎧=--=000)()())(()(N t N t N t t B A dt t dN (3) 其中)()(0t t B A t r r --==为时变人口增长率，B A ,为定常参数。

求解微分方程（3），得其特解为200)(21)(0)(t t B t t A e N t N ---=（4）要利用（4）式对人口进行预测，首先应估计参数B A ,。

第三次人口普查结果（1982年）：我国人口总数为10.3188亿，人口增长率为2.10%；第四次人口普查结果（1990年）：我国人口总数为11.3368亿，人口增长率为1.48%；第五次人口普查结果（2000年）：我国人口总数12.9533亿，人口增长率为1.07%。

⼈⼝预测模型⼈⼝预测模型想要预测未来某⼀年的⼈⼝数量，我们要建⽴⼈⼝增长模型，⼈⼝增长模型常见的有以下⼏种： 1)马尔萨斯(Malthus)模型——指数模型已知单位时间内⼈⼝增长率为r 。

设t 时刻时⼈⼝数为x(t),则t ?时间内增长的⼈⼝数为： )()()()()()(t rx tt x t t x t t rx t x t t x =?-?+??=-?+当0→?t 时，得微分⽅程0)0(,x x rx dtdx== 求解得rtex t x 0)(=待求参数r x ,0.2) 罗杰斯特(Logistic)模型-阻滞型⼈⼝模型已知环境能容纳的最⼤⼈⼝数为m x ，⼈⼝净增长率随⼈⼝数量的增加⽽线性减少，即)1()(mx x r t r -= 设t 时刻时⼈⼝数为x(t)，由此建⽴为微分⽅程：0)0(),1(x x x xrx dt dx m=-= 求解得rtmme x x x t x --+=)1(1)(0待求参数r x x m ,,0. 举例说明：下⾯是美国近两个世纪的⼈⼝统计数据（百万），试建⽴数学模型，预测2010年美国的⼈⼝数。

⼀建模分析⽬标：寻找⼈⼝数量随时间变化的规律,即函数关系式.⼈⼝的变化规律有其内在的规律，如Malthus 模型,Logistic 模型.题⽬中给的数据有什么作⽤呢？⽤这些数据做散点图，观察散点图分布规律，确定⼈⼝模型.散点图Matlab 程序：x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4,281.4]; t=1:22; plot(t,x,'*')% scatter(t,x)图形⾛势很像指数模型，所以我们先选择指数模型，即Malthus 模型.⼆建⽴模型Malthus 模型:0)0(,x x rx dtdx== rtex t x 0)(=要预测,得确定参数r x ,0.⽅法⼀：（最⼩⼆乘法⾮线性拟合）C = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,...)fun 是需要拟合的函数； x0是对函数中各参数的猜想值；xdata 则是横轴坐标的值；ydata 是纵轴的值；C 为fun 中待预测的系数。

人口增长的L o g i s t i c模型分析及其应用人口增长的Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型分析及其应用作者：熊波来源：《商业时代》2008年第27期◆中图分类号：C923 文献标识码：A内容摘要：本文运用迭代的方法计算出人口极限值xm和人口增长率r，用 Logistic模型预测了我国人口未来的发展趋势，并根据预测的结果提出了相应的对策与建议。

关键词：人口 Logistic模型迭代人口增长问题相关研究最早注意人口问题的是英国经济学家马尔萨斯，他在1798 年提出了人口指数增长模型。

这个模型的基本假设是：人口的增长率是一个常数。

记t时刻的人口总数为x(t)。

初始时刻t=0时的人口为x0。

人口增长率为r，r表示单位时间内x(t)的增量与x(t)的比例系数。

那么，时刻t到时刻t+Δt内人口的增量为x(t+Δt)-x(t)=rx(t)Δt。

于是x(t)满足下列微分方程的初值问题，他的解为x(t)=x0ert。

在r>0时，人口将按指数规律增长。

但是不管生物是按算术级数、几何级数还是按指数曲线变化，随着时间增长生物数量将趋于无穷大。

然而，实际情况却不然，实验指出在有限的空间内，一开始生物以较快速度增长，到一定时期生物增长量就会减缓，生物数量趋于稳定。

历史上的人口统计数据也表明，当一个国家的社会稳定时，一定时期内马尔萨斯模型是符合实际的，但是如果时间比较长或社会发生动荡时，马尔萨斯模型就不能令人满意了。

原因是随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长开始起阻滞作用，因而人口增长率不断下降。

基于以上考虑荷兰生物学家Verhaust对原人口发展模型进行了改造，于1838 年提出了以昆虫数量为基础的Logistic 人口增长模型。

这个模型假设增长率r是人口的函数，它随着x的增加而减少。

最简单的假定是r是x的线性函数，其中r称为固有增长率，表示x→0时的增长率。

由r（x）的表达式可知，x=xm时r=0。

xm表示自然资源条件能容纳的最大人口数。

中国人口增长预测模型班级：071221姓名：***学号：********摘要以2010年11月1日零时为标准时点，中国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共13.397亿。

13亿是一个忧虑的数字。

13亿人要吃饭、要穿衣、要上学、要就业、要住房……，消费的需求乘以13亿，就是一个庞大的数目，而我国的耕地、水资源、森林以及矿产资源本来就稀缺，再除以13亿，就少得可怜。

平均每人耕地面积只有1.4亩，水资源只相当于世界人均水平的1/4…….、中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。

当前中国的人口存在着最为明显的三大特点：（1）人口基数大，人口数量的控制难度仍很大。

（2）人口整体素质不高，特别是县域及以下农村人口素质普遍偏低。

（3）人口结构不合理，城乡差别、地区差别和人口素质差别很大。

人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源配置、社会保障、社会稳定和城市活力。

在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展，进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。

对此，单纯的人口数量控制（如已实施多年的计划生育）不能体现人口规划的科学性。

政府部门需要更详细、更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。

我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人，在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快，如下表：有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。

长期以来，对人口年龄结构的研究仅限于粗线条的定性分析，只能预测年龄结构分布的大致范围，无法用于分析年龄结构的具体形态。

随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制和预测。

常微分方程在数学建模中的应用这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.例1（ 马尔萨斯 （Malthus ） 模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ∆+时间段内,人口的增长量为t t rN t N t t N ∆=-∆+)()()(,并设0t t =时刻的人口为0N ,于是⎪⎩⎪⎨⎧==．，00)(d d N t N rN t N这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为)(00e )(t t r N t N -=,此式表明人口以指数规律随时间无限增长.模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为91006.3⨯,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3⨯=N ,02.0=r ,于是)1961(02.09e1006.3)(-⨯=t t N .这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）．但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.例2（逻辑Logistic 模型） 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数m N ,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而m N 就越大）,并假设将增长率等于⎪⎪⎭⎫⎝⎛-m N t N r )(1,即净增长率随着)(t N 的增加而减小,当m N t N →)(时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.解 由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为00d 1d ()m N N r N t N N t N ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，， 上式就是逻辑模型,该方程可分离变量,其解为,)(00e 11)(t t r m mN N N t N --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=.下面,我们对模型作一简要分析.（1）当∞→t ,m N t N →)(,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值m N ； （2）当m N N <<0时,01d d >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N N N r t N m ,这说明)(t N 是时间t 的单调递增函数；（3）由于N N N N N r t N m m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211d d 222,所以当2m N N <时,0d d 22>t N ,t N d d 单增；当2m N N >时,0d d 22<t N ,t N d d 单减,即人口增长率tNd d 由增变减,在2m N 处最大,也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期；（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是m N 不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富, m N 的值也就越大；(5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计,029.0=r ,又当人口总数为91006.3⨯时,人口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m N N r t N N 1d d 1, 即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=m N 91006.31029.002.0, 从而得 91086.9⨯=m N ,即世界人口总数极限值近100亿.值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着广泛的应用.二、市场价格模型对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.例3 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型解 假设在某一时刻t ,商品的价格为)(t p ,它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格)(t p 的变化率tpd d 与需求和供给之差成正比,并记),(r p f 为需求函数,)(p g 为供给函数（r 为参数）,于是()()[]⎪⎩⎪⎨⎧=-=，，0)0(,d d p p p g r p f tpα 其中0p 为商品在0=t 时刻的价格,α为正常数.若设b ap r p f +-=),(,d cp p g +=)(,则上式变为⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=，，0)0()()(d d p p d b p c a t pαα ① 其中d c b a ,,,均为正常数,其解为ca db c a d b p t p t c a +-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-)(0e)(α.下面对所得结果进行讨论:（1）设p 为静态均衡价格 ,则其应满足0)(),(=-p g r p f ,即d p c b p a +=+-,于是得ca db p +-=,从而价格函数)(t p 可写为 p p p t p t c a +-=+-)(0e )()(α , 令+∞→t ,取极限得p t p t =+∞→)(lim这说明,市场价格逐步趋于均衡价格.又若初始价格p p =0,则动态价格就维持在均衡价格p 上,整个动态过程就化为静态过程；（2）由于t c a c a p p tp)(0e )()(d d +-+-=αα , 所以,当p p >0时,0d d <t p ,)(t p 单调下降向p 靠拢；当p p <0时, 0d d >tp ,)(t p 单调增加向p 靠拢.这说明：初始价格高于均衡价格时,动态价格就要逐步降低,且逐步靠近均衡价格;否则,动态价格就要逐步升高.因此,式①在一定程度上反映了价格影响需求与供给,而需求与供给反过来又影响价格的动态过程,并指出了动态价格逐步向均衡价格靠拢的变化趋势.三、混合溶液的数学模型 例 4 设一容器内原有100L 盐,内含有盐10kg,现以3L/min 的速度注入质量浓度为0.01kg/L 的淡盐水,同时以2L/min 的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.解 设t 时刻容器内的盐量为)(t x kg,考虑t 到t t d +时间内容器中盐的变化情况,在dt 时间内容器中盐的改变量=注入的盐水中所含盐量－抽出的盐水中所含盐量容器内盐的改变量为x d ,注入的盐水中所含盐量为t d 301.0⨯,t 时刻容器内溶液的质量浓度为tt x )23(100)(-+,假设t 到t t d +时间内容器内溶液的质量浓度不变（事实上,容器内的溶液质量浓度时刻在变,由于t d 时间很短,可以这样看）.于是抽出的盐水中所含盐量为t tt x d 2)23(100)(-+,这样即可列出方程t txt x d 1002d 03.0d +-=,即txt x +-=100203.0d d . 又因为0=t 时,容器内有盐10kg,于是得该问题的数学模型为d 20.03d 100(0)10x x t tx ⎧+=⎪+⎪⎨⎪⎪=⎩，, 这是一阶非齐次线性方程的初值问题,其解为24)100(109)100(01.0)(t t t x +⨯++=. 下面对该问题进行一下简单的讨论,由上式不难发现:t 时刻容器内溶液的质量浓度为34)100(10901.0100)()(t t t x t p +⨯+=+=, 且当+∞→t 时,01.0)(→t p ,即长时间地进行上述稀释过程,容器内盐水的质量浓度将趋于注入溶液的质量浓度.溶液混合问题的更一般的提法是：设有一容器装有某种质量浓度的溶液,以流量1V 注入质量浓度为1C 的溶液 （指同一种类溶液,只是质量浓度不同）,假定溶液立即被搅匀,并以2V 的流量流出这种混合溶液,试建立容器中质量浓度与时间的数学模型.首先设容器中溶质的质量为)(t x ,原来的初始质量为0x ,t =0时溶液的体积为2V ,在d t 时间内,容器内溶质的改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量,即t V C t V C x d d d 2211-=,其中1C 是流入溶液的质量浓度, 2C 为t 时刻容器中溶液的质量浓度,，tV V V xC )(2102-+=于是,有混合溶液的数学模型11220d d (0)xC V C V tx x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，． 该模型不仅适用于液体的混合,而且还适用于讨论气体的混合.四、振动模型振动是生活与工程中的常见现象.研究振动规律有着极其重要的意义.在自然界中,许多振动现象都可以抽象为下述振动问题.例5 设有一个弹簧,它的上端固定,下端挂一个质量为m 的物体,试研究其振动规律. 解 假设（1）物体的平衡位置位于坐标原点,并取x 轴的正向铅直向下（见图4）.物体的平衡位置指物体处于静止状态时的位置.此时,作用在物体上的重力与弹性力大小相等,方向相反；（2）在一定的初始位移0x 及初始速度0v 下,物体离开平衡位置,并在平衡位置附近作没有摇摆的上下振动；（3）物体在t 时刻的位置坐标为)(t x x =,即t 时刻物体偏离平衡位置的位移；（4）在振动过程中,受阻力作用.阻力的大小与物体速度成正比,阻力的方向总是与速度方向相反,因此阻力为txhd d -,h 为阻尼系数；（5）当质点有位移)(t x 时,假设所受的弹簧恢复力是与位移成正比的,而恢复力的方向总是指向平衡位置,也就是总与偏离平衡位置的位移方向相反,因此所受弹簧恢复力为kx -,其中k 为劲度系数；（6）在振动过程中受外力)(t f 的作用.在上述假设下,根据牛顿第二定律得)(d d d d 22x f kx t xh tx m +--= , ①这就是该物体的强迫振动方程.由于方程①中, )(t f 的具体形式没有给出,所以,不能对式 ①直接求解.下面我们分四种情形对其进行讨论.1. 无阻尼自由振动在这种情况下,假定物体在振动过程中,既无阻力、又不受外力 作用.此时方程①变为0d d 22=+kx txm ,令2ω=mk,方程变为 0d d 222=+x tx ω,特征方程为 022=+ωλ, 特征根为ωλi 2,1±=,通解为 t C t C x ωωcos sin 21+=,或将其写为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=t C C C t C C C C C x ωωcos sin 22212222112221图4()t t A ωϕωϕcos sin sin cos +=，)sin(ϕω+=t A 其中 2221C C A +=,22212sin CC C +=ϕ,22211cos CC C +=ϕ.这就是说,无阻尼自由振动的振幅2221C C A +=,频率mk=ω均为常数. 2.有阻尼自由振动在该种情况下,考虑物体所受到的阻力,不考虑物体所受的外力.此时,方程①变为0d d d d 22=++kx t xh tx m ,令2ω=m k ,δ2=mh,方程变为 0d d 2d d 222=++x t xtx ωδ, 特征方程为0222=++ωδλλ,特征根 222,1ωδδλ-±-=.根据δ与ω的关系,又分为如下三种情形：(1)大阻尼情形, δ>ω.特征根为二不等实根,通解为ttC C x )(2)(12222eeωδδωδδ-+--+-+=(2)临界阻尼情形,ωδ=.特征根为重根,通解为tt C C x δ-+=e)(21这两种情形,由于阻尼比较大,都不发生振动.当有一初始扰动以后,质点慢慢回到平衡位置,位移随时间t 的变化规律分别如图5和图6所示.图5 图6(3)小阻尼情形,δ<ω.特征根为共轭复根,通解为)sin C sinC (e 222221t t x t δωδωδ-+-=-将其简化为)sin(e 22ϕδωδ+-=-t A x t其中,cos ,sin ,22211222122221C C C C C C C C A ++=+=ϕϕ振幅A tδ-e 随时间t 的增加而减小.因此,这是一种衰减振动.位移随时间t 的变化规律见图7.3.无阻尼强迫振动在这种情形下,设物体不受阻力作用,其所受外力为简谐力pt m t f sin )(=,此时,方程①化为pt m kx t xm sin d d 22=+,pt x tx sin d d 222=+ω, 根据p i 是否等于特征根ωi ,其通解分为如下两种情形：（1）当ω≠p 时,其通解为 图7t C t C pt px ωωωcos sin sin 12122++-=, 此时,特解的振幅221p -ω为常数,但当p 接近于ω时,将会导致振幅增大,发生类似共振的现象；（2）当ω=p 时,其通解为t C t C pt t px ωωcos sin cos 2121++-=, 此时,特解的振幅t p21随时间t 的增加而增大,这种现象称为共振,即当外力的频率p 等于物体的固有频率ω时,将发生共振.4.阻尼强迫振动在这种情形下,假定振动物体既受阻力作用,又受外力pt m x f sin )(=的作用,并设ωδ<,方程①变为pt x t xtx sin d d 2d d 222=++ωδ ,特征根0,i 22≠-±-=δδωδλ,则p i 不可能为特征根,特解为pt B pt A x cos sin *+=,其中22222224)(p p p A δωω+--=,222224)(2pp pB δωδ+--=, 还可将其化为*22222221[()sin 2cos ]()4x w p pt p pt w p pδδ=---+, 由此可见,在有阻尼的情况下,将不会发生共振现象,不过,当ω=p 时,pt px cos 21*δ-=, 若δ很小,则仍会有较大的振幅；若δ比较大,则不会有较大的振幅.。