malthus人口模型

malthusian动态方程
Malthusian动态方程是一种描述人口增长的数学模型，由英国
经济学家托马斯·罗伯特·马尔萨斯于18世纪末提出。

该模型假设
人口增长以指数形式进行，而资源增长则以线性形式进行。

Malthusian动态方程可以表示为：
dP/dt = rP - c
其中，dP/dt表示人口数量P随时间t的变化率，r是人口增长率，c是资源消耗率。

这个方程可以解释为，人口数量的变化率等于人口增长率减去
资源消耗率。

人口增长率r是一个正常数，表示每个时间单位内人
口数量的增加量。

资源消耗率c也是一个正常数，表示每个时间单
位内资源的消耗量。

根据这个方程，我们可以得出以下结论：
- 当人口增长率大于资源消耗率时（r > c），人口数量将会增加。

这是因为人口增长的速度大于资源消耗的速度，导致资源供应
过剩。

- 当人口增长率小于资源消耗率时（r < c），人口数量将会减少。

这是因为资源消耗的速度大于人口增长的速度，导致资源供应
不足。

需要注意的是，Malthusian动态方程是一个简化的模型，它没
有考虑到其他因素对人口增长的影响，例如技术进步、社会发展等。

因此，在实际应用中，需要结合其他因素进行综合分析和预测。

Malthus 模型和Logistic 模型随着社会的发展，人口问题与经济、资源、环境、社会的冲突日益成为制约国家发展的瓶颈，了解了人口增长函数，也就掌握了人口的发展动态和发展规律，这对国家的发展有重要意义。

1798年．英国人口学家和政治经济学家马尔萨斯以两个假设为前提：第一，食物为人类生存所必须；第二，人的性本能几乎无法限制，提出了闻名于世的人口指数增长模型，即Malthus 人口模型：人口总数为)(t p ,人口的出生率为b ，死亡率为d 。

任取时段【t ,t +dt 】，在此时段中的出生人数为b )(t p dt ，死亡人数为d )(t p dt 。

假设出生数及死亡数与)(t p 及dt 均成正比，而且以矩形取代了曲边梯形的面积。

在时段【t ,t +dt 】中，人口增加量为)(dt t p +-)(t p ≈d )(t p ，它应等于此时段中的出生人数与死亡人数之差，即d )(t p =b )(t p dt －d )(t p dt =a )(t p dt ,其中a =b －d 称为人口的净增长率。

于是)(t p 满足微分方程dtt dp )(=a )(t p . (1) 若已知初始时刻t =t 0时的人口总数为p 0，那么)(t p 还满足初始条件t =t 0时，)(t p =p 0. (2)可以求得微分方程(1)满足初始条件(2)的解为（设a 是常数）)(t p =p 0e )0(t t a -, (3)即人口总数按指数增长。

模型参数的意义和作用：t 0为初始时刻（初始年度），p 0为初始年度t 0的人口总数，a 为每年的人口净增长率，b 为人口出生率，d为人口死亡率。

Malthus人口模型所说的人口并不一定限于人，可以是认可一个生物群体，只要满足类似的性质即可。

现在讨论模型的应用和正确性。

例如，根据统计数据知在1961年全世界人口为30.6亿，1951年-1961年十年每年人口净增长率约为0.02。

malthus模型方程Malthus模型方程及其应用引言：Malthus模型是由英国经济学家托马斯·罗伯特·马尔萨斯于1798年提出的一种人口增长理论。

该模型基于两个基本假设：人口会以指数增长，而食物供应只能以线性增长。

本文将详细介绍Malthus 模型方程及其应用。

Malthus模型方程：Malthus模型方程可以用以下数学表达式表示：dP/dt = rP - aP^2其中，P代表人口数量，t代表时间，r代表人口的自然增长率，a 代表人口的调控系数。

该方程的含义是，人口数量的变化率等于人口的自然增长率减去人口数量与调控系数的乘积。

Malthus模型方程的理论基础：Malthus模型方程的提出基于马尔萨斯对人口与食物供应之间的关系的观察和思考。

马尔萨斯认为，人口数量呈指数增长，而食物供应只能以线性增长，因此必然会导致人口数量与食物供应之间的不平衡。

当人口数量超过食物供应能力时，将会出现人口危机，例如饥荒、疾病等。

Malthus模型方程的应用：Malthus模型方程在人口学、生态学和环境科学等领域都有重要的应用价值。

在人口学领域，Malthus模型方程可以用来预测人口的增长趋势。

通过测量人口的自然增长率和调控系数，可以估计未来人口数量的变化。

这对于政府制定人口政策、规划社会资源分配等方面具有指导意义。

在生态学领域，Malthus模型方程可以用来研究物种的增长和调控。

通过将人口数量替换为物种数量，可以分析物种数量的变化规律，预测物种灭绝和生态平衡的可能性。

这有助于保护生物多样性和维持生态系统的稳定性。

在环境科学领域，Malthus模型方程可以用来研究资源的可持续利用和环境容量的限制。

通过将人口数量替换为资源消耗量或环境负荷，可以评估资源的供需关系和环境承载能力，为可持续发展提供科学依据。

Malthus模型方程的局限性：尽管Malthus模型方程具有一定的应用价值，但也存在一些局限性。

常微分方程在数学建模中的应用这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.例1（ 马尔萨斯 （Malthus ） 模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ∆+时间段内,人口的增长量为t t rN t N t t N ∆=-∆+)()()(,并设0t t =时刻的人口为0N ,于是⎪⎩⎪⎨⎧==．，00)(d d N t N rN t N这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为)(00e )(t t r N t N -=,此式表明人口以指数规律随时间无限增长.模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为91006.3⨯,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3⨯=N ,02.0=r ,于是)1961(02.09e1006.3)(-⨯=t t N .这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）．但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.例2（逻辑Logistic 模型） 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数m N ,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而m N 就越大）,并假设将增长率等于⎪⎪⎭⎫⎝⎛-m N t N r )(1,即净增长率随着)(t N 的增加而减小,当m N t N →)(时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.解 由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为00d 1d ()m N N r N t N N t N ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，， 上式就是逻辑模型,该方程可分离变量,其解为,)(00e 11)(t t r m mN N N t N --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=.下面,我们对模型作一简要分析.（1）当∞→t ,m N t N →)(,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值m N ； （2）当m N N <<0时,01d d >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N N N r t N m ,这说明)(t N 是时间t 的单调递增函数；（3）由于N N N N N r t N m m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211d d 222,所以当2m N N <时,0d d 22>t N ,t N d d 单增；当2m N N >时,0d d 22<t N ,t N d d 单减,即人口增长率tNd d 由增变减,在2m N 处最大,也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期；（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是m N 不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富, m N 的值也就越大；(5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计,029.0=r ,又当人口总数为91006.3⨯时,人口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m N N r t N N 1d d 1, 即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=m N 91006.31029.002.0, 从而得 91086.9⨯=m N ,即世界人口总数极限值近100亿.值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着广泛的应用.二、市场价格模型对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.例3 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型解 假设在某一时刻t ,商品的价格为)(t p ,它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格)(t p 的变化率tpd d 与需求和供给之差成正比,并记),(r p f 为需求函数,)(p g 为供给函数（r 为参数）,于是()()[]⎪⎩⎪⎨⎧=-=，，0)0(,d d p p p g r p f tpα 其中0p 为商品在0=t 时刻的价格,α为正常数.若设b ap r p f +-=),(,d cp p g +=)(,则上式变为⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=，，0)0()()(d d p p d b p c a t pαα ① 其中d c b a ,,,均为正常数,其解为ca db c a d b p t p t c a +-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-)(0e)(α.下面对所得结果进行讨论:（1）设p 为静态均衡价格 ,则其应满足0)(),(=-p g r p f ,即d p c b p a +=+-,于是得ca db p +-=,从而价格函数)(t p 可写为 p p p t p t c a +-=+-)(0e )()(α , 令+∞→t ,取极限得p t p t =+∞→)(lim这说明,市场价格逐步趋于均衡价格.又若初始价格p p =0,则动态价格就维持在均衡价格p 上,整个动态过程就化为静态过程；（2）由于t c a c a p p tp)(0e )()(d d +-+-=αα , 所以,当p p >0时,0d d <t p ,)(t p 单调下降向p 靠拢；当p p <0时, 0d d >tp ,)(t p 单调增加向p 靠拢.这说明：初始价格高于均衡价格时,动态价格就要逐步降低,且逐步靠近均衡价格;否则,动态价格就要逐步升高.因此,式①在一定程度上反映了价格影响需求与供给,而需求与供给反过来又影响价格的动态过程,并指出了动态价格逐步向均衡价格靠拢的变化趋势.三、混合溶液的数学模型 例 4 设一容器内原有100L 盐,内含有盐10kg,现以3L/min 的速度注入质量浓度为0.01kg/L 的淡盐水,同时以2L/min 的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.解 设t 时刻容器内的盐量为)(t x kg,考虑t 到t t d +时间内容器中盐的变化情况,在dt 时间内容器中盐的改变量=注入的盐水中所含盐量－抽出的盐水中所含盐量容器内盐的改变量为x d ,注入的盐水中所含盐量为t d 301.0⨯,t 时刻容器内溶液的质量浓度为tt x )23(100)(-+,假设t 到t t d +时间内容器内溶液的质量浓度不变（事实上,容器内的溶液质量浓度时刻在变,由于t d 时间很短,可以这样看）.于是抽出的盐水中所含盐量为t tt x d 2)23(100)(-+,这样即可列出方程t txt x d 1002d 03.0d +-=,即txt x +-=100203.0d d . 又因为0=t 时,容器内有盐10kg,于是得该问题的数学模型为d 20.03d 100(0)10x x t tx ⎧+=⎪+⎪⎨⎪⎪=⎩，, 这是一阶非齐次线性方程的初值问题,其解为24)100(109)100(01.0)(t t t x +⨯++=. 下面对该问题进行一下简单的讨论,由上式不难发现:t 时刻容器内溶液的质量浓度为34)100(10901.0100)()(t t t x t p +⨯+=+=, 且当+∞→t 时,01.0)(→t p ,即长时间地进行上述稀释过程,容器内盐水的质量浓度将趋于注入溶液的质量浓度.溶液混合问题的更一般的提法是：设有一容器装有某种质量浓度的溶液,以流量1V 注入质量浓度为1C 的溶液 （指同一种类溶液,只是质量浓度不同）,假定溶液立即被搅匀,并以2V 的流量流出这种混合溶液,试建立容器中质量浓度与时间的数学模型.首先设容器中溶质的质量为)(t x ,原来的初始质量为0x ,t =0时溶液的体积为2V ,在d t 时间内,容器内溶质的改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量,即t V C t V C x d d d 2211-=,其中1C 是流入溶液的质量浓度, 2C 为t 时刻容器中溶液的质量浓度,，tV V V xC )(2102-+=于是,有混合溶液的数学模型11220d d (0)xC V C V tx x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，． 该模型不仅适用于液体的混合,而且还适用于讨论气体的混合.四、振动模型振动是生活与工程中的常见现象.研究振动规律有着极其重要的意义.在自然界中,许多振动现象都可以抽象为下述振动问题.例5 设有一个弹簧,它的上端固定,下端挂一个质量为m 的物体,试研究其振动规律. 解 假设（1）物体的平衡位置位于坐标原点,并取x 轴的正向铅直向下（见图4）.物体的平衡位置指物体处于静止状态时的位置.此时,作用在物体上的重力与弹性力大小相等,方向相反；（2）在一定的初始位移0x 及初始速度0v 下,物体离开平衡位置,并在平衡位置附近作没有摇摆的上下振动；（3）物体在t 时刻的位置坐标为)(t x x =,即t 时刻物体偏离平衡位置的位移；（4）在振动过程中,受阻力作用.阻力的大小与物体速度成正比,阻力的方向总是与速度方向相反,因此阻力为txhd d -,h 为阻尼系数；（5）当质点有位移)(t x 时,假设所受的弹簧恢复力是与位移成正比的,而恢复力的方向总是指向平衡位置,也就是总与偏离平衡位置的位移方向相反,因此所受弹簧恢复力为kx -,其中k 为劲度系数；（6）在振动过程中受外力)(t f 的作用.在上述假设下,根据牛顿第二定律得)(d d d d 22x f kx t xh tx m +--= , ①这就是该物体的强迫振动方程.由于方程①中, )(t f 的具体形式没有给出,所以,不能对式 ①直接求解.下面我们分四种情形对其进行讨论.1. 无阻尼自由振动在这种情况下,假定物体在振动过程中,既无阻力、又不受外力 作用.此时方程①变为0d d 22=+kx txm ,令2ω=mk,方程变为 0d d 222=+x tx ω,特征方程为 022=+ωλ, 特征根为ωλi 2,1±=,通解为 t C t C x ωωcos sin 21+=,或将其写为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=t C C C t C C C C C x ωωcos sin 22212222112221图4()t t A ωϕωϕcos sin sin cos +=，)sin(ϕω+=t A 其中 2221C C A +=,22212sin CC C +=ϕ,22211cos CC C +=ϕ.这就是说,无阻尼自由振动的振幅2221C C A +=,频率mk=ω均为常数. 2.有阻尼自由振动在该种情况下,考虑物体所受到的阻力,不考虑物体所受的外力.此时,方程①变为0d d d d 22=++kx t xh tx m ,令2ω=m k ,δ2=mh,方程变为 0d d 2d d 222=++x t xtx ωδ, 特征方程为0222=++ωδλλ,特征根 222,1ωδδλ-±-=.根据δ与ω的关系,又分为如下三种情形：(1)大阻尼情形, δ>ω.特征根为二不等实根,通解为ttC C x )(2)(12222eeωδδωδδ-+--+-+=(2)临界阻尼情形,ωδ=.特征根为重根,通解为tt C C x δ-+=e)(21这两种情形,由于阻尼比较大,都不发生振动.当有一初始扰动以后,质点慢慢回到平衡位置,位移随时间t 的变化规律分别如图5和图6所示.图5 图6(3)小阻尼情形,δ<ω.特征根为共轭复根,通解为)sin C sinC (e 222221t t x t δωδωδ-+-=-将其简化为)sin(e 22ϕδωδ+-=-t A x t其中,cos ,sin ,22211222122221C C C C C C C C A ++=+=ϕϕ振幅A tδ-e 随时间t 的增加而减小.因此,这是一种衰减振动.位移随时间t 的变化规律见图7.3.无阻尼强迫振动在这种情形下,设物体不受阻力作用,其所受外力为简谐力pt m t f sin )(=,此时,方程①化为pt m kx t xm sin d d 22=+,pt x tx sin d d 222=+ω, 根据p i 是否等于特征根ωi ,其通解分为如下两种情形：（1）当ω≠p 时,其通解为 图7t C t C pt px ωωωcos sin sin 12122++-=, 此时,特解的振幅221p -ω为常数,但当p 接近于ω时,将会导致振幅增大,发生类似共振的现象；（2）当ω=p 时,其通解为t C t C pt t px ωωcos sin cos 2121++-=, 此时,特解的振幅t p21随时间t 的增加而增大,这种现象称为共振,即当外力的频率p 等于物体的固有频率ω时,将发生共振.4.阻尼强迫振动在这种情形下,假定振动物体既受阻力作用,又受外力pt m x f sin )(=的作用,并设ωδ<,方程①变为pt x t xtx sin d d 2d d 222=++ωδ ,特征根0,i 22≠-±-=δδωδλ,则p i 不可能为特征根,特解为pt B pt A x cos sin *+=,其中22222224)(p p p A δωω+--=,222224)(2pp pB δωδ+--=, 还可将其化为*22222221[()sin 2cos ]()4x w p pt p pt w p pδδ=---+, 由此可见,在有阻尼的情况下,将不会发生共振现象,不过,当ω=p 时,pt px cos 21*δ-=, 若δ很小,则仍会有较大的振幅；若δ比较大,则不会有较大的振幅.。

malthus模型方程Malthus模型方程引言Malthus模型方程是由英国经济学家托马斯·罗伯特·马尔萨斯于18世纪末提出的，用于描述人口与资源之间的关系。

该模型方程对人口增长和资源供给的平衡进行了预测，揭示了人口增长可能引发的问题和限制。

本文将详细介绍Malthus模型方程的背景、假设和应用，并探讨其对人类社会发展的启示。

背景在18世纪末，人口增长迅速成为社会关注的焦点。

马尔萨斯观察到，人口呈指数增长，而资源供给增长缓慢，因此提出了马尔萨斯模型方程。

他认为，人口将以指数方式增长，而资源供给则以线性方式增长，这种不平衡将导致人口过剩和资源匮乏的问题。

假设Malthus模型方程基于以下假设：1. 人口增长率是指数函数，即人口数量以指数方式增长。

2. 资源供给增长率是线性函数，即资源供给以固定的速度增长。

3. 人口和资源之间的平衡取决于人口增长率和资源供给增长率之间的关系。

4. 当人口增长率大于资源供给增长率时，将发生人口过剩和资源匮乏的问题。

Malthus模型方程可以表示为：dP/dt = rP - k其中，dP/dt表示人口数量随时间的变化率，r表示人口增长率，P 表示人口数量，k表示资源供给增长率。

解读与应用Malthus模型方程的解释和应用可以从以下几个方面进行探讨：1. 人口过剩与资源匮乏根据Malthus模型方程，当人口增长率大于资源供给增长率时，将导致人口过剩和资源匮乏。

这意味着人口数量超过了资源供给的可持续范围，人们将面临食物、水源、能源等资源的短缺问题。

这对人类社会的可持续发展构成了挑战，需要采取相应的措施来调整人口增长和资源利用的平衡。

2. 人口控制与资源管理Malthus模型方程的应用之一是提醒人们注意人口控制和资源管理的重要性。

通过控制人口增长率，可以避免人口过剩和资源匮乏的问题。

此外，合理利用和管理资源，提高资源利用效率，也是解决人口与资源平衡问题的关键。

一、微分方程模型1.人口模型一、指数增长模型 （Malthus ）1.模型假设人口自然增长率 r 为常数，即单位时间内人口的增长量与当时的人口呈正比。

()x t :t 时刻的人口数 r :人口增长率2.模型建立 0(0)dx rx dtx x ⎧=⎪⎨⎪=⎩3.模型求解 0()r t x t x e =4.模型分析0r >⇒()x t →+∞ 人口将按指数规律无限增长！ 0r =⇒0()x t x ≡ 人口将始终保持不变！ 0r <⇒()0x t → 人口将按指数规律减少直至绝灭。

M a l t h u s 模型预测的优点是短期预报比较准确，但是不适合中长期预报，原因是预报时假设人口增长率 r 为常数。

没有考虑环境对人口增长的制约作用。

二、阻滞增长模型 (Logistic)1.模型假设假设人口增长率 r (x )是人口 x (t ) 的减函数 ：()1m x r x r x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中: x m 为自然资源条件所能容纳的最大人口数量r 为固有增长率2.模型建立01(0)m d x x rx dt x x x ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩ 3.模型求解：0()11mrt m x x t x e x -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭4.模型分析（定性分析）0m x x >⇒()m x t x ↓→ 人口将递减并趋向于x m ，0m x x =⇒()m x t x ≡ 人口将始终保持x m 不变 ，00m x x <<⇒()mx t x ↑→ 人口将递增并趋向于x m ， 无论在哪种情况下，人口最终将趋向于最大人口容量！阻滞增长模型预测对中期预报比较准确，理论上很好，但是实用性也不强，原因在于预报时假设固有人口增长率 r 以及最大人口容量 x m 为定值。

实际上这两个参数（特别是 x m ）很难确定，而且会随着社会发展情况变化而变化。