高三数学人教A版选修2-3教学案 ：复习课(一) 计数原理 Word版含解析

1．2排列与组合1．2.1排列整体设计教材分析分类加法计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类加法计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类．分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事．分步乘法计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的地位是有区别的，分类加法计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步．在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌啰嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题．只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础．分类加法计数原理和分步乘法计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题．这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终．搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性．排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题．排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关．与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要．排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系．课时分配3课时第一课时教学目标知识与技能了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，并能运用排列数公式进行计算．过程与方法经历排列数公式的推导过程，从中体会“化归”的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．重点难点教学重点：排列、排列数的概念．教学难点：排列数公式的推导．教学过程引入新课提出问题1：前面我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，请同学们回顾两个原理的内容，并回顾两个原理的区别与联系．活动设计：教师提问，学生补充．活动成果：1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，每一种方法只属于某一类，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤，只有各个步骤都完成才算做完这件事．应用两种原理解题：①分清要完成的事情是什么；②是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；③有无特殊条件的限制．设计意图：复习两个原理，为新知识的学习奠定基础．提出问题2：研究下面三个问题有什么共同特点？能否对下面的计数问题给出一种简便的计数方法呢？问题一：从5人的数学兴趣小组中选2人分别担任正、副组长，有多少种不同的选法？问题二：用1,2,3,4,5这5个数字组成没有重复数字的两位数，共有多少个？问题三：从a，b，c，d，e这5个字母中，任取两个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？活动设计：先独立思考，后小组交流，请同学发言、补充．活动成果：共同特点：问题三中把字母a，b，c，d，e分别代表人，就是问题一；分别代表数，就是问题二．把上面问题中所取的对象叫做元素，于是问题一、二、三都变成问题：从五个不同的元素中任取两个，然后按顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？我们把这一类问题称为排列问题，这就是我们今天要研究的内容．设计意图：通过三个具体的实例引入新课．探究新知提出问题1：你能把上述三个问题总结一下，概括出排列的定义吗？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．说明：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同．从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号A m n只表示排列数，而不表示具体的排列．设计意图：引导学生通过具体实例总结概括出排列和排列数的概念，培养学生的抽象概括能力．提出问题2：从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，这是不是个排列问题，排列数怎么求？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，是排列问题．解决这一问题可分两个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人中去选，于是有2种方法．根据分步乘法计数原理，在3名同学中选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3×2＝6种，如右图所示．设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题3：从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数，是不是排列问题，怎样求排列数？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这显然是个排列问题，解决这个问题分三个步骤：第一步先确定百位上的数，在4个数中任取1个，有4种方法；第二步确定十位上的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定个位上的数，从余下的2个数中取，有2种方法．由分步乘法计数原理共有：4×3×2＝24种不同的方法，用树形图排出，并写出所有的排列．由此可写出所有的排法．显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：第1步，确定百位上的数字，在1,2,3,4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法．根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有4×3×2＝24种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数，如图所示．由此可写出所有的三位数：123,124,132,134,142,143，213,214,231,234,241,243，312,314,321,324,341,342，412,413,421,423,431,432.设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题4：由以上两个问题我们发现：A 23＝3×2＝6，A 34＝4×3×2＝24，你能否得出A 2n 的意义和A 2n 的值？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：由A 2n 的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n 个元素a 1，a 2，…，a n 中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A 2n .由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n －1)种填法，∴A 2n ＝n(n －1)．设计意图：由特殊到一般，引导学生逐步推导出排列数公式．提出问题5：有上述推导方法，你能推导出A 3n ，A m n 吗？活动设计：学生自己推导，学生板演．活动成果：求A 3n 可以按依次填3个空位来考虑，∴A 3n ＝n(n －1)(n －2)，求A m n 可以按依次填m 个空位来考虑：A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，由此可以得到排列数公式：A m n＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(m ，n ∈N ，m≤n)． 说明：(1)公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n －m ＋1，共有m 个因数；(2)全排列：当n ＝m 时即n 个不同元素全部取出的一个排列．全排列数：A n n ＝n(n －1)(n －2)…2·1＝n ！(叫做n 的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.所以A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！＝A n n A n －m n －m. 设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出排列数公式．理解新知分析下列问题，哪些是求排列数问题？(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(3)用0,1,2,3,4这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(4)用1,2,3,4,5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(5)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？(6)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？活动设计：学生自己完成，没有把握的问题和同桌讨论．教师巡视，找同学说出答案和理由．活动成果：(1)是 (2)不是 (3)是 (4)是 (5)不是 (6)不是(2)不是从5个不同的元素中选出三个不同的元素，而是从多个可以相同的元素中，选出三个元素排成一列，不符合排列中元素不同的规定．(3)是排列问题，但排列数中有一部分0在百位的不是三位数．(5)中选出的两个元素的和与顺序无关，不符合排列的定义．设计意图：加深对排列和排列数的理解．应用新知例1解方程：3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x .思路分析：利用排列数公式求解即可．解：由排列数公式得：3x(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x(x －1)，∵x≥3，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0，解得x ＝5或x ＝23，∵x≥3，且x ∈N ，∴原方程的解为x ＝5. 点评：解含排列数的方程和不等式时要注意排列数A m n 中，m ，n ∈N 且m≤n 这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围．【巩固练习】1．解不等式：A x 9>6A x －29.2．求证：(1)A n n ＝A m n ·A n －m n －m (2)（2n ）！2n ·n ！＝1·3·5…(2n －1)． 解答或证明：1.解：原不等式即9！(9－x)！>6·9！(11－x)！， 也就是1(9－x)！>6(11－x)·(10－x)·(9－x)！，化简得：x 2－21x ＋104>0， 解得x<8或x>13，又∵2<x≤7，且x ∈N ，所以，原不等式的解集为{3,4,5,6,7}．2．证明：(1)A m n ·A n －m n －m ＝n ！(n －m)！(n －m)！＝n ！＝A n n ，∴原式成立． (2)2n ！2n ·n ！＝2n·(2n －1)·(2n －2)…4·3·2·12n ·n ！＝2n n·(n －1)…2·1·(2n －1)(2n －3)…3·12n ·n ！＝n ！·1·3…(2n －3)(2n －1)n ！＝1·3·5…(2n －1)＝右边， ∴原式成立．点评：公式A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)常用来求值，特别是m ，n 均为已知时；公式A m n ＝n ！(n －m)！常用来证明或化简．【变练演编】化简：(1)12！＋23！＋34！＋…＋n －1n ！；(2)1×1！＋2×2！＋3×3！＋…＋n×n ！. (1)解：原式＝1！－12！＋12！－13！＋13！－14！＋…＋1n －1！－1n ！＝1－1n ！. (2)提示：由(n ＋1)！＝(n ＋1)n ！＝n×n ！＋n ！，得n×n ！＝(n ＋1)！－n ！， 原式＝(n ＋1)！－1.【达标检测】1．计算：(1)A 310；(2)A 812A 712. 2．若A m n ＝17×16×15×…×5×4，则n ＝______，m ＝______.3．若n ∈N *，且55＜n ＜69，则(55－n)(56－n)…(68－n)(69－n)用排列数符号表示为______．答案：1.(1)720 (2)5 2.17 14 3.A 1569－n课堂小结1．知识收获：排列概念、排列数公式．2．方法收获：化归．3．思维收获：分类讨论、化归思想．补充练习【基础练习】1．若x ＝n ！3！，则x ＝( ) A ．A 3n B ．A n －3n C ．A n 3 D ．A 3n －32．与A 310·A 77不等的是( ) A ．A 910B ．81A 88C ．10A 99D ．A 10103．若A 5m ＝2A 3m ，则m 的值为( )A ．5B ．3C ．6D ．74．计算：2A 59＋3A 699！－A 610＝________；(m －1)！A n －1m －1·(m －n)！＝________. 【拓展练习】5．若2<(m ＋1)！A m －1m －1≤42，则m 的解集是________． 6．(1)已知A m 10＝10×9×…×5，那么m ＝__________； (2)已知9！＝362 880，那么A 79＝__________；(3)已知A 2n ＝56，那么n ＝____________；(4)已知A 2n ＝7A 2n －4，那么n ＝____________.答案：1.B 2.B 3.A 4.1 1 5.{2,3,4,5,6}6．(1)6 (2)181 440 (3)8 (4)7设计说明本节课是排列组合的第一课时，本节课的主要内容就是用两个原理推导出排列数公式．本节课的特点是学生自己发现并总结定义，自主探究，自主完成排列数公式的推导．备课资料可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题．在这类问题使用住店处理的策略中，关键是正确判断哪个是底数，哪个是指数．例1 (1)将6个不同的小球放到3个不同的盒子中，有多少种不同的方法？(2)6个人争夺3个项目的冠军，有多少种不同的方法？解析：(1)36；(2)63.例2由1,2,3,4,5,6这6个数字共可以组成多少个不同的7位数？解析：完成此事共分7步，第一步：从6个数字中任取一个数字放在首位，有6种不同的办法，第二步：从6个数字中任取一个数字放在十万位，有6种不同的办法，依次类推，由分步乘法计数原理知共可以组成67个不同的7位数．(设计者：殷贺)。

XX中学课时教学设计模板XX中学课时教学设计模板XX中学课时教学设计模板一、复习知识点：1、分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……由第k种途径有n k种方法可以完成。

那么，完成这件工作共有n1+n2+……+n k种不同的方法。

2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有n K种不同的方法。

那么，完成这件工作共有n1×n2×……×n k种不同方法二、典型例题1、.用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色, 规定一个区域只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有种。

2、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，若只有5种颜色可用，则不同的染色方法共有多少种？3、用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为_______.4、用0,1,2,3,4五个数字（1）可以排出多少个三位数字的电话号码？（2）可以排成多少个三位数？（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？5、用0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字的比2000大的四位奇数______个。

XX中学课时教学设计模板求以按依次填个空位来考虑，排列数公式：=（）说明：（1）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个 少1，最后一个因数是，共有个因数；（2）全排列：当时即个不同元素全部取出的一个排列全排列数：（叫做n 的阶乘）4.例子：例1．计算：（1）； （2）； （3）． 解：（1） ＝＝3360 ； （2） ＝＝720 ； （3）＝＝360例2．（1）若，则 ， ．（2）若则用排列数符号表示 ． 解：（1） 17 ， 14 ． （2）若则＝ ．例3．（1）从这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？解：（1）； （2）； （3）课堂练习：P20 练习 第1题mn A m (1)(2)(1)m n A n n n n m =---+(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+!()!n n m -,,m n N m n *∈≤n 1n m -+m n m =n (1)(2)21!nn A n n n n =--⋅=316A 66A 46A 316A 161514⨯⨯66A 6!46A 6543⨯⨯⨯17161554m n A =⨯⨯⨯⨯⨯n =m =,n N ∈(55)(56)(68)(69)n n n n ----n =m =,n N ∈(55)(56)(68)(69)n n n n ----1569n A -2,3,5,7,11255420A =⨯=5554321120A =⨯⨯⨯⨯=2141413182A =⨯=XX 中学课时教学设计模板解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；问题可以用“捆绑法”；“分离”2)(n m -+(1)(2)21!n n n n =-⋅=等．解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”．互斥分类——分类法先后有序——位置法反面明了——排除法相邻排列——捆绑法分离排列——插空法例1求不同的排法种数：（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．例2在3000与8000之间，数字不重复的奇数有多少个？分析符合条件的奇数有两类．一类是以1、9为尾数的，共有P21种选法，首数可从3、4、5、6、7中任取一个，有P51种选法，中间两位数从其余的8个数字中选取2个有P82种选法，根据乘法原理知共有P21P51P82个；一类是以3、5、7为尾数的共有P31P41P82个．解符合条件的奇数共有P21P51P82+P31P41P82=1232个．答在3000与8000之间，数字不重复的奇数有1232个．例3 某小组6个人排队照相留念．(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？分析：(1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题．(2)先确定甲的排法，有P21种；再确定乙的排法，有P41种；最后确定其他人的排法，有P44种．因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P21·P41·P44种不同排法．(3)采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P55种不同排法．然后甲、乙两人之间再排队，有P22种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有P55·P22种排法．(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P66种排法．(5)采用“插空法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如____女____女____女____，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了．这样男生有P43种排法，女生有P33种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有P43·P33种排法．(6)符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人任意排有P55种排法；一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有P41种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有P41种排法，中间4个位置无限制有P44种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有P41P41P44种排法．XX 中学课时教学设计模板一、复习引入：1．排列数公式及其推导：（）2、解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等．二、典型例题1.满足不等式>12的n 的最小值为 ( ) A .7 B . 8C .9D .10【解析】选D .由排列数公式得:>12，即(n -5)(n -6)>12， 整理得n 2-11n +18>0， 所以n <2(舍去)或n >9. 又因为n ∈N *，所以n min =10. 2.若=89，则n =______.【解析】原方程左边==(n -5)(n -6)-1.(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+,,m n N m n *∈≤所以原方程可化为(n-5)(n-6)-1=89，即n2-11n-60=0，解得n=15或n=-4(舍去).15>7满足题意.3.解关于x的不等式:>6.【解析】原不等式可变形为>，即(11-x)(10-x)>6，(x-8)(x-13)>0，所以x>13或x<8，又所以2<x≤9且x∈N*，所以2<x<8且x∈N*，所以原不等式的解集为.4.求证:+m+m(m-1)=(n，m∈N*，n≥m>2).【证明】因为左边=+m+m(m-1)======右边，所以等式成立.习题1.2 B组第2、3题XX 中学课时教学设计模板组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个不同元素中取出个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2)(n m -+(1)(2)21!n n n n =-⋅=n m（2）；2)(1)!n m m -+710C2)(1)!n m m -+,m N ∈*且XX 中学课时教学设计模板．2)(1)!n m m -+mn n C -=XX 中学课时教学设计模板．＝+2)(1)!n m m -+mn n C -=m C．2)(1)!n m m -+,N m ∈*且mn n C -=XX 中学课时教学设计模板a+b ）相乘，每个（a+b ）在相乘时，有两种选择，(r n r rn nn n C a b C b n N -++++∈叫二项式系数表示，即通项0,1,)n 1+1)1n r rn n n C C x x =+++++23344111)()()C x x x++(r n r rn nn n C a b C b n N -++++∈XX 中学课时教学设计模板9)的展开式常数项； (r n r r n nn n C a b C b n N -++++∈(r n r r n nn n C a b C b n N -++++∈XX 中学课时教学设计模板．二项展开式的通项公式：二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表）增减性与最大值．的增减情况由二项式系数逐渐增大．的，且在中间取得最大值；(r n r r n n n n C a b C b n N -++++∈1r n r rr n T C a b -+=n 1,2,32)(1)!n k k -+n，的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项，，，的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系说明：由性质（3）及例1知.，求：；）； （.时，，展开式右边为，，∴ ，r r n n C x x ++++12rnn n n n C C C C ++++++(nr n r r n nn n a b C a b C b n N -++++∈23(1)n nn n n C C C +-++-13)()n n C C +-++13n n C C +=++021312n n n n n C C C C -++=++=7277(12)x a a x a x a x -=++++7a ++1357a a a a +++7||a ++1x =7(122)1-=-127a a a ++++27a a +++1=-1=127a a a +++=-0127a a a ++++1=-234567a a a a a a +-+-+-77)13a +=--(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)+3x+2)5的展开式中，求本节课学习了二项式系数的性质 7||a ++=61)(a a +-。

第二课时 两个计数原理的综合应用错误!选(抽)取与分配问题[典例]某外语组有人，每人至少会英语和日语中的一门，其中人会英语，人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？[解] 由题意人中既会英语又会日语的“多面手”有人．则可分三类： 第一类：“多面手”去参加英语时，选出只会日语的一人即可，有种选法． 第二类：“多面手”去参加日语时，选出只会英语的一人即可，有种选法．第三类：“多面手”既不参加英语又不参加日语，则需从只会日语和只会英语中各选一人，有×＝(种)方法．故共有＋＋＝(种)选法．选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法()当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法．()当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．[活学活用]．甲、乙、丙个班各有三好学生名，现准备推选名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有种不同的推选方法．解析：分为三类：第一类，甲班选一名，乙班选一名，根据分步乘法计数原理有×＝种选法；第二类，甲班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有×＝种选法； 第三类，乙班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有×＝种选法． 综合以上三类，根据分类加法计数原理，共有＋＋＝种不同选法． 答案：．图书馆有本不同的有关励志教育的书，任选本分给个同学，每人本，有种不同的分法．解析：分三步进行：第一步，先分给第一个同学，从本书中选一本，共有种方法；第二步，再分给第二个同学，从剩下的本中任选本，共有种方法；第三步，分给第三个同学，从剩下的本中任选本，共有种方法．所以不同分法有××＝种．答案：用计数原理解决组数问题[典例] 用五个数字，()可以排出多少个三位数字的电话号码？()可以排成多少个三位数？()可以排成多少个能被整除的无重复数字的三位数？[解]()三位数字的电话号码，首位可以是，数字也可以重复，每个位置都有种排法，共有××＝＝(种)．()三位数的首位不能为，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除外共有种方法，第二、三位可以排，因此，共有××＝(种)．()被整除的数即偶数，末位数字可取，因此，可以分两类，一类是末位数字是，则有×＝(种)排法；一类是末位数字不是，则末位有种排法，即或，再排首位，因不能在首位，所以有种排法，十位有种排法，因此有××＝(种)排法．因而有＋＝(种)排法．即可以排成个能被整除的无重复数字的三位数．组数问题的常见类型及解决原则()常见的组数问题①组成的数为“奇数”“偶数”“被某数整除的数”；②在某一定范围内的数的问题；③各位数字和为某一定值问题；④各位数字之间满足某种关系问题等．()解决原则①明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解．②要注意数字“”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位．[活学活用]．从中选一个数字，从中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为( )．．。

复习课(一)计数原理对应学生用书P48(1)两个计数原理是学习排列与组合的基础，高考中一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等．(2)运用两个计数原理解题的关键在于正确区分“分类”与“分步”．分类就是能“一步到位”——任何一类中任何一种方法都能完成这件事情，而分步则只能“局部到位”——任何一步中任何一种方法都不能完成这件事情，只能完成事件的某一部分，只有当各步全部完成时，这件事情才完成．[考点精要]计数原理(1)分类加法计数原理：N＝n1＋n2＋n3＋…＋n m；(2)分步乘法计数原理：N＝n1·n2·n3·…·n m．[典例]如图所示，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多的栽种方案有()A．180种B．240种C．360种D．420种[解析]由题意知，最少用三种颜色的花卉，按照花卉选种的颜色可分为三类方案，即用三种颜色，四种颜色，五种颜色．①当用三种颜色时，花池2,4同色和花池3,5同色，此时共有A35种方案．②当用四种颜色时，花池2,4同色或花池3,5同色，故共有2A45种方案．③当用五种颜色时有A55种方案．因此所有栽种方案为A35＋2A45＋A55＝420(种)．[答案] D[类题通法]使用两个原理解决问题时应注意的问题(1)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．(2)当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步．[题组训练]1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有()A．24种B．18种C．12种D．6种解析：选B法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2＝6种不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18种．法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有不同的种植方法24－6＝18种．2．有红、黄、蓝旗各3面，每次升一面、二面或三面在旗杆上纵向排列表示不同的信号，顺序不同则表示不同的信号，共可以组成的信号有________种．解析：每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．根据分类加法计数原理，共可组成3＋9＋27＝39种不同的信号．答案：39(1)高考中往往以实际问题为背景，考查排列与组合的综合应用，同时考查分类讨论的思想方法，常以选择题、填空题形式出现，有时与概率结合考查．(2)解决排列组合问题的关键是掌握四项基本原则①特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置的解题原则．②先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列中，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．③正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题的原则．④先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配．[考点精要]1．排列与组合的概念2．排列数与组合数的概念3．排列数与组合数公式 (1)排列数公式①A m n ＝n (n －1)…(n －m ＋1)＝n ！(n －m )！；②A n n ＝n ！． (2)组合数公式C mn ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！．4．组合数的性质(1)C m n ＝C n－mn；(2)C m n ＋C m －1n＝C mn ＋1． [典例] (1)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A ．3×3!B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9!(2)(重庆高考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A ．72B ．120C ．144D ．168(3)从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )A ．9B ．14C ．12D ．15[解析] (1)把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．(2)依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A 33A 34＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A 22A 22A 33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B ．(3)法一：(直接法)分两类，第一类张、王两同学都不参加，有C 44种选法；第二类张、王两同学中只有1人参加，有C 12C 34种选法．故共有C 44＋C 12C 34＝9种选法．法二：(间接法)C46－C24＝9种．[答案](1)C(2)B(3)A[类题通法]排列与组合综合问题的常见类型及解题策略(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列．(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．(3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．[题组训练]1．有5盆各不相同的菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是()A．12 B．24C．36 D．48解析：选B2盆黄菊花捆绑作为一个元素与一盆红菊花排列，2盆白菊花采用插空法，所以这5盆花的不同摆放共有A22A22A23＝24种．2．某班准备从含甲、乙的7名男生中选取4人参加4×100米接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们在赛道上顺序不能相邻，那么不同的排法种数为()A．720 B．520C．600 D．360解析：选C根据题意，分2种情况讨论．①只有甲乙其中一人参加，有C12C35A44＝480种情况；②若甲乙两人都参加，有C22C25A44＝240种情况，其中甲乙相邻的有C22C25A33A22＝120种情况，不同的排法种数为480＋240－120＝600种，故选C．(1)求二项展开式中的项或项的系数是高考的热点，通常以选择题、填空题形式考查，难度中低档．(2)解决此类问题常遵循“知四求一”的原则在二项式的通项公式中共含有a, b，n，k，T k＋1这五个元素，只要知道其中的4个元素，便可求第5个元素的值，在有关二项式定理的问题中，常常会遇到这样的问题：知道这5个元素中的若干个(或它们之间的关系)，求另外几个元素．这类问题一般是利用通项公式，把问题归结为解方程(组)或不等式(组)．这里要注意n为正整数，k为自然数，且k≤n．[考点精要]1．二项式定理2．二项式系数的性质[典例](1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()A．－4 B．－3C．－2 D．－1(2)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝()A．5 B．6C．7 D．8(3)若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＋a2＋a3＋a4＝________．[解析](1)展开式中含x2的系数为C25＋a C15＝5，解得a＝－1，故选D．(2)由题意得：a＝C m2m，b＝C m2m＋1，所以13C m2m＝7C m2m＋1，∴13·(2m)！m！·m！＝7·(2m＋1)！m！·(m＋1)！，∴7(2m＋1)m＋1＝13，解得m＝6，经检验为原方程的解，选B．(3)令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1，令x＝0，可得a0＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＝0．[答案](1)D(2)B(3)0[类题通法]求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可． (2)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数．(3)与二项式各项系数的和有关的问题一般用赋值法求解．[题组训练]1．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15D ．10解析：选C 只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可，而含x 2项的系数为C 26＝15，故选C ．2．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．6D ．5解析：选B 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，∴a 0＋a 2＋a 4＝8．1．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋3x n 的展开式各项系数的和为a ，所有二项式系数的和为b ，若a ＋2b ＝80，则n 的值为( )A ．8B ．4C ．3D ．2解析：选C 由题意a ＝4n ，b ＝2n ，∵a ＋2b ＝80， ∴4n ＋2×2n －80＝0，即(2n )2＋2×2n －80＝0，解得n ＝3．2．教室里有6盏灯，由3个开关控制，每个开关控制2盏灯，则不同的照明方法有( ) A ．63种 B ．31种 C ．8种D ．7种解析：选D 由题意知，可以开2盏、4盏、6盏灯照明，不同方法有C 13＋C 23＋C 33＝7(种)．3．分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道．要求4名水暖工都分配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有( )A ．A 34种B ．A 33A 13种 C ．C 24A 33种D ．C 14C 13A 33种解析：选C 先将4名水暖工选出2人分成一组，然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家，故有C 24A 33种．4．(x ＋2)2(1－x )5中x 7的系数与常数项之差的绝对值为( ) A ．5 B ．3 C ．2D ．0解析：选A 常数项为C 22·22·C 05＝4，x 7系数为C 02·C 55(－1)5＝－1，因此x 7系数与常数项之差的绝对值为5．5．⎝⎛⎭⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( ) A ．－54B ．54C ．－1516D ．1516解析：选D T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝⎛⎭⎫－12x r ＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 6x 12－13r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4． ∴常数项为⎝⎛⎭⎫－124C 46＝1516．故选D ． 6．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )A ．10种B ．20种C ．36种D ．52种解析：选A 分为两类：①1号盒子放入1个球，2号盒子放入3个球，有C 14＝4种放球方法；②1号盒子放入2个球，2号盒子放入2个球，有C 24＝6种放球方法．∴共有C 14＋C 24＝10种不同的放球方法．7．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________．解析：不妨设1＋x ＝t ，则x ＝t －1，因此有(t －1)5＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3＋a 4t 4＋a 5t 5，则a 3＝C 25(－1)2＝10．答案：108．农科院小李在做某项试验中，计划从花生、大白菜、大豆、玉米、小麦、高粱这6种种子中选出4种，分别种植在4块不同的空地上(1块空地只能种1种作物)，若小李已决定在第1块空地上种玉米或高粱，则不同的种植方案有________种．(用数字作答)解析：由已知条件可得第1块地有C 12种种植方法，则第2～4块地共有A 35种种植方法，由分步乘法计数原理可得，不同的种植方案有C 12A 35＝120种．答案：1209．(北京高考)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．解析：将A ，B 捆绑在一起，有A 22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A 44种摆法，共有A 22A 44＝48种摆法，而A ，B ，C 3件在一起，且A ，B 相邻，A ，C 相邻有CAB ，BAC 两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A 33＝12种摆法，故A ，B 相邻，A ，C不相邻的摆法有48－12＝36种．答案：3610．若(2x ＋3)3＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋a 3(x ＋2)3，求a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3的值． 解：由(2x ＋3)3＝[2(x ＋2)－1]3＝C 03[2(x ＋2)]3(－1)0＋C 13[2(x ＋2)]2(－1)1＋C 23[2·(x ＋2)]1(－1)2＋C 33[2(x ＋2)]0(－1)3＝8(x ＋2)3－12(x ＋2)2＋6(x ＋2)－1 ＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋a 3(x ＋2)3． 则a 0＝－1，a 1＝6，a 2＝－12，a 3＝8． 则a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝5．11．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中． (1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？ (2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C 36＝20种不同的放入方式．(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C 310＝120种放入方式．12．已知(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992． (1)求展开式中二项式系数的最大项； (2)求展开式中系数最大的项．解：(1)令x ＝1，则二项式各项系数和为(1＋3)n ＝4n ， 展开式中各项的二项式系数之和为2n ． 由题意，知4n －2n ＝992．∴(2n )2－2n －992＝0．∴(2n ＋31)(2n －32)＝0． ∴2n ＝－31(舍)或2n ＝32，∴n ＝5． 由于n ＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是 T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223．(2)展开式通项公式为T r ＋1＝C r 53r·(x 23)5－r (x 2)r ＝C r 5·3r ·x 103＋4r 3．假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3.∴⎩⎨⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92． ∵r ∈N *，∴r ＝4．∴展开式中系数最大项为T 5＝C 45·34·x 103＋4×43＝405x 263．。

复习课(一)计数原理对应学生用书P48(1)两个计数原理是学习排列与组合的基础，高考中一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等．(2)运用两个计数原理解题的关键在于正确区分“分类”与“分步”．分类就是能“一步到位”——任何一类中任何一种方法都能完成这件事情，而分步则只能“局部到位”——任何一步中任何一种方法都不能完成这件事情，只能完成事件的某一部分，只有当各步全部完成时，这件事情才完成．[考点精要]计数原理(1)分类加法计数原理：N＝n1＋n2＋n3＋…＋n m；(2)分步乘法计数原理：N＝n1·n2·n3·…·n m．[典例]如图所示，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多的栽种方案有()A．180种B．240种C．360种D．420种[解析]由题意知，最少用三种颜色的花卉，按照花卉选种的颜色可分为三类方案，即用三种颜色，四种颜色，五种颜色．①当用三种颜色时，花池2,4同色和花池3,5同色，此时共有A35种方案．②当用四种颜色时，花池2,4同色或花池3,5同色，故共有2A45种方案．③当用五种颜色时有A55种方案．因此所有栽种方案为A35＋2A45＋A55＝420(种)．[答案] D[类题通法]使用两个原理解决问题时应注意的问题(1)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．(2)当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步．[题组训练]1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有()A．24种B．18种C．12种D．6种解析：选B法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2＝6种不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18种．法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有不同的种植方法24－6＝18种．2．有红、黄、蓝旗各3面，每次升一面、二面或三面在旗杆上纵向排列表示不同的信号，顺序不同则表示不同的信号，共可以组成的信号有________种．解析：每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．根据分类加法计数原理，共可组成3＋9＋27＝39种不同的信号．答案：39(1)高考中往往以实际问题为背景，考查排列与组合的综合应用，同时考查分类讨论的思想方法，常以选择题、填空题形式出现，有时与概率结合考查．(2)解决排列组合问题的关键是掌握四项基本原则①特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置的解题原则．②先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列中，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．③正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题的原则．④先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配．[考点精要]1．排列与组合的概念2．排列数与组合数的概念3．排列数与组合数公式(1)排列数公式①A m n＝n(n－1)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！；②A n n＝n！．(2)组合数公式C mn ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！．4．组合数的性质(1)C m n ＝C n－mn；(2)C m n ＋C m －1n＝C mn ＋1． [典例] (1)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A ．3×3! B ．3×(3！)3 C ．(3！)4D ．9!(2)(重庆高考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A ．72B ．120C ．144D ．168(3)从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )A ．9B ．14C ．12D ．15[解析] (1)把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．(2)依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A 33A 34＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A 22A 22A 33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B ．(3)法一：(直接法)分两类，第一类张、王两同学都不参加，有C 44种选法；第二类张、王两同学中只有1人参加，有C 12C 34种选法．故共有C 44＋C 12C 34＝9种选法．法二：(间接法)C 46－C 24＝9种．[答案] (1)C (2)B (3)A [类题通法]排列与组合综合问题的常见类型及解题策略(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列．(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．(3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．[题组训练]1．有5盆各不相同的菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是( )A ．12B ．24C ．36D ．48解析：选B 2盆黄菊花捆绑作为一个元素与一盆红菊花排列，2盆白菊花采用插空法，所以这5盆花的不同摆放共有A22A22A23＝24种．2．某班准备从含甲、乙的7名男生中选取4人参加4×100米接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们在赛道上顺序不能相邻，那么不同的排法种数为() A．720 B．520C．600 D．360解析：选C根据题意，分2种情况讨论．①只有甲乙其中一人参加，有C12C35A44＝480种情况；②若甲乙两人都参加，有C22C25A44＝240种情况，其中甲乙相邻的有C22C25A33A22＝120种情况，不同的排法种数为480＋240－120＝600种，故选C．(1)求二项展开式中的项或项的系数是高考的热点，通常以选择题、填空题形式考查，难度中低档．(2)解决此类问题常遵循“知四求一”的原则在二项式的通项公式中共含有a, b，n，k，T k＋1这五个元素，只要知道其中的4个元素，便可求第5个元素的值，在有关二项式定理的问题中，常常会遇到这样的问题：知道这5个元素中的若干个(或它们之间的关系)，求另外几个元素．这类问题一般是利用通项公式，把问题归结为解方程(组)或不等式(组)．这里要注意n为正整数，k为自然数，且k≤n．[考点精要]1．二项式定理2．二项式系数的性质[典例](1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()A．－4 B．－3C．－2 D．－1(2)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8(3)若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝________．[解析] (1)展开式中含x 2的系数为C 25＋a C 15＝5，解得a ＝－1，故选D ． (2)由题意得：a ＝C m 2m ，b ＝C m 2m ＋1， 所以13C m 2m ＝7C m 2m ＋1，∴13·(2m )！m ！·m ！＝7·(2m ＋1)！m ！·(m ＋1)！，∴7(2m ＋1)m ＋1＝13，解得m ＝6，经检验为原方程的解，选B ．(3)令x ＝1可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，令x ＝0，可得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0． [答案] (1)D (2)B (3)0 [类题通法]求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可．(2)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数．(3)与二项式各项系数的和有关的问题一般用赋值法求解．[题组训练]1．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15D ．10解析：选C 只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可，而含x 2项的系数为C 26＝15，故选C ． 2．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．6D ．5解析：选B 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，∴a 0＋a 2＋a 4＝8．1．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋3xn 的展开式各项系数的和为a ，所有二项式系数的和为b ，若a ＋2b ＝80，则n 的值为( )A ．8B ．4C ．3D ．2解析：选C 由题意a ＝4n ，b ＝2n ，∵a ＋2b ＝80，∴4n ＋2×2n －80＝0，即(2n )2＋2×2n －80＝0，解得n ＝3．2．教室里有6盏灯，由3个开关控制，每个开关控制2盏灯，则不同的照明方法有( ) A ．63种 B ．31种 C ．8种D ．7种解析：选D 由题意知，可以开2盏、4盏、6盏灯照明，不同方法有C 13＋C 23＋C 33＝7(种)．3．分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道．要求4名水暖工都分配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有( )A ．A 34种B ．A 33A 13种 C ．C 24A 33种D ．C 14C 13A 33种解析：选C 先将4名水暖工选出2人分成一组，然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家，故有C 24A 33种．4．(x ＋2)2(1－x )5中x 7的系数与常数项之差的绝对值为( ) A ．5 B ．3 C ．2D ．0解析：选A 常数项为C 22·22·C 05＝4，x 7系数为C 02·C 55(－1)5＝－1，因此x 7系数与常数项之差的绝对值为5．5．⎝⎛⎭⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( ) A ．－54B ．54C ．－1516D ．1516解析：选D T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝⎛⎭⎫－12x r ＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 6x 12－13r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4． ∴常数项为⎝⎛⎭⎫－124C 46＝1516．故选D ． 6．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )A ．10种B ．20种C ．36种D ．52种解析：选A 分为两类：①1号盒子放入1个球，2号盒子放入3个球，有C 14＝4种放球方法；②1号盒子放入2个球，2号盒子放入2个球，有C 24＝6种放球方法．∴共有C 14＋C 24＝10种不同的放球方法．7．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________．解析：不妨设1＋x ＝t ，则x ＝t －1，因此有(t －1)5＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3＋a 4t 4＋a 5t 5，则a 3＝C 25(－1)2＝10．答案：108．农科院小李在做某项试验中，计划从花生、大白菜、大豆、玉米、小麦、高粱这6种种子中选出4种，分别种植在4块不同的空地上(1块空地只能种1种作物)，若小李已决定在第1块空地上种玉米或高粱，则不同的种植方案有________种．(用数字作答)解析：由已知条件可得第1块地有C12种种植方法，则第2～4块地共有A35种种植方法，由分步乘法计数原理可得，不同的种植方案有C12A35＝120种．答案：1209．(北京高考)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：将A，B捆绑在一起，有A22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A44种摆法，共有A22A44＝48种摆法，而A，B，C 3件在一起，且A，B相邻，A，C相邻有CAB，BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A33＝12种摆法，故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有48－12＝36种．答案：3610．若(2x＋3)3＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3，求a0＋a1＋2a2＋3a3的值．解：由(2x＋3)3＝[2(x＋2)－1]3＝C03[2(x＋2)]3(－1)0＋C13[2(x＋2)]2(－1)1＋C23[2·(x＋2)]1(－1)2＋C33[2(x＋2)]0(－1)3＝8(x＋2)3－12(x＋2)2＋6(x＋2)－1＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3．则a0＝－1，a1＝6，a2＝－12，a3＝8．则a0＋a1＋2a2＋3a3＝5．11．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C36＝20种不同的放入方式．(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C310＝120种放入方式．12．已知(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992．(1)求展开式中二项式系数的最大项；(2)求展开式中系数最大的项．解：(1)令x＝1，则二项式各项系数和为(1＋3)n＝4n，展开式中各项的二项式系数之和为2n．由题意，知4n－2n＝992．∴(2n)2－2n－992＝0．∴(2n＋31)(2n－32)＝0．∴2n＝－31(舍)或2n＝32，∴n＝5．由于n ＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是 T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223．(2)展开式通项公式为T r ＋1＝C r 53r·(x 23)5－r (x 2)r ＝C r 5·3r ·x 103＋4r 3． 假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3.∴⎩⎨⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92． ∵r ∈N *，∴r ＝4．∴展开式中系数最大项为T 5＝C 45·34·x 103＋4×43＝405x 263．。

模块复习课[核心知识回顾]一、计数原理 1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法．那么完成这件事共有N ＝m ＋n 种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m ×n 种不同的方法．3．排列数(1)从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用A mn 表示；(2)排列数公式A mn ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！n －m ！.4．组合数(1)从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符合C mn 表示．(2)组合数公式C mn ＝n n －n －n －m ＋m ！＝n ！m ！n －m ！组合数性质：①C m n ＝C n －mn .②C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n . 5．二项式定理 (1)二项式定理 公式(a ＋b )n＝C 0n a n＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n叫做二项式定理．(2)相关概念①公式右边的多项式叫做(a ＋b )n的二项展开式； ②各项的系数C kn 叫做二项式系数； ③展开式中的C k n a n －k b k 叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1，它表示展开式的第k ＋1项．6．杨辉三角 (1)杨辉三角的特点①在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn .(2)各二项式系数的和 ①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n； ②C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.二、随机变量及其分布 1．离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列的定义及性质(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格形式表示为：P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n ，离散型随机变量分布列还可以用图象表示．(2)离散型随机变量分布列的性质：(ⅰ)p i ≥0，i ＝1,2，…，n ；(ⅱ) i ＝1np i ＝1.3．特殊分布 (1)两点分布两点分布，并称P ＝p (x ＝1)为成功概率．(2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k m C n －kN －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，即如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布． 4．条件概率 (1)条件概率的定义一般地，设A ，B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝P ABP A为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．P (B |A )读作A 发生的条件下B 发生的概率．(2)条件概率的性质①任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P (B |A )≤1. ②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 5．事件的相互独立性 (1)相互独立事件的概念设A ，B 为两个事件，若P (AB )＝P (A )·P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)相互独立事件的性质如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立．6．独立重复试验与二项分布 (1)n 次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验． (2)二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n .此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．7．离散型随机变量的均值与方差(1)一般地，若离散型随机变量X 的分布列为则称E (X )＝∑i ＝1nx i p i 为随机变量X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．则把D (X )＝∑i －1n(x i －E (X ))2p i 叫做随机变量X 的方差，D (X )的算术平方根DX 叫做随机变量X 的标准差，随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．(2)两点分布与二项分布的均值①若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝p ；D (X )＝p (1－p )； ②若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )． (3)性质若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则E (Y )＝E (aX ＋b )＝aE (X )．D (aX ＋b )＝a 2D (X )． 8．正态分布 (1)定义一般地，如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )dx ，则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N (μ，σ2)．如果随机变量X 服从正态分布，则记为N (μ，σ2)．(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率及3σ原则 ①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.6827；P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)≈0.9545； P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)≈0.9973.三、统计案例 1．回归分析 (1)回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)回归直线方程方程y ^＝b ^x ＋a ^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中a ^，b ^是待定参数，其最小二乘估计分别为：其中，(x －，y －)称为样本点的中心．2．独立性检验 (1)2×2列联表．一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为(2)K 2＝a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量．[易错易混辨析]1．将3个不同的小球放入4个盒子中，则有不同的放法种数有34个．(×)[提示] 本题是一个分步计数问题．对于第一个小球有4种不同的放法，第二个小球也有4种不同的放法，第三个小球也有4种不同的放法，跟据分步乘法计数原理知共有4×4×4＝64种不同的放法．2．从甲、乙等6人中选出3名代表，甲一定当选，则有20种选法．(×)[提示] 因为甲一定当选，所以只要从剩下的5人中选出2人即可，因此有C 25＝10种选法．3．三个人踢球，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，球又回给甲，则不同的传递方式共有10种． (√)[提示] 可利用树状图进行求解． 式子A mn ＝n ！n －m ！中m ≠n .(×)[提示] 当m ＝n 时，(n －m )！＝0！＝1，即求n 个元素的全排列数．5．由0,1,2,3这4个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有3×43－A 34＝168(个)(×)[提示] 首位不含0，有3种选法，其余3位都有4种选法，共有3×43＝192个四位数；其中没有重复数字的有3×3×2×1＝18个，故有重复数字的四位数共有192－18＝174个．6．3名医生和6名护士被分配到三所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法有540种．(√)7．(a ＋b )n的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．(√)8．在⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 6的二项展开式中，常数项为－160.(√) 9．在(1－x )9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项．(×)[提示] 由通项公式得T r ＋1＝C r 9(－1)r x r故第r ＋1项的系数为(－1)r·C r9. 故当r ＝4时，即第5项的系数最大．10．若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.[提示] 当x ＝0时，a 0＝－1， 当x ＝1时a 7＋a 6＋a 5＋…＋a 1＋a 0＝27， ∴a 7＋a 6＋a 5＋…＋a 1＝27＋1＝129.11．若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x n的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且x 4的系数为7，则实数a ＝12.(√) 12．离散型随机变量是指某一区间内的任意值． (×)[提示] 随机变量的取值都能一一列举出来．13．在区间[0,10]内任意一个实数与它四舍五入取整后的整数的差值是离散型随机变量．(×)[提示] 可以取区间[0,10]内的一切值，无法按一定次序一一列出，故其不是离散型随机变量．14．离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等．(×)[提示] 因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件．15．在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1. (√)[提示] 由分布列的性质可知，该说法正确． 16．超几何分布的模型是不放回抽样． (√) 17．超几何分布的总体里可以有两类或三类特点．(×) [提示] 超几何分布的模型特征是“由较明显的两部分组成”． 18．若事件A 发生的条件下，事件B 发生，相当于A ，B 同时发生．(√) 19．小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P ＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝49. (×)[提示] 所求概率应为P ＝23×23×13＝427.20．试验之前可以判断离散型随机变量的所有值．(√)[提示] 因为随机试验所有可能的结果是明确并且不只一个，只不过在试验之前不能确定试验结果会出现哪一个，故该说法正确．21．必然事件与任何一个事件相互独立．(√)[提示] 必然事件的发生与任何一个事件的发生，没有影响． 22．二项分布中随机变量X 的取值是小于等于n 的所有正整数． (×) [提示] 二项分布中随机变量X 的取值是小于等于n 的所有自然数．23．若a 是常数，则D (a )＝0. (√) 24．已知Y ＝3X ＋2，且D (X )＝10，则D (Y )＝92. (×)[提示] ∵D (X )＝10，且Y ＝3X ＋2 ∴D (Y )＝D (3X ＋2)＝9D (X )＝90.25．离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述．(×)[提示] 因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述．26．正态曲线是单峰的，其与x 轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的． [提示] 正态曲线与x 轴围成的面积是1，它不随μ和σ变化而变化．27．若K 2的观测值k >6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病．[提示] K 2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故此说法不正确．28．如果两个变量x 与y 之间不存在着线性关系，那么根据它们的一组数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )不能写出一个线性方程．(×)[提示] 任何一组(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都能写出一个线性方程，只是有无意义的问题，因此这个说法错误，线性关系是可以检验的，可以画出带状散点图，可以写出一个拟合效果最好的线性方程．29．利用线性回归方程求出的值是准确值．(×)[提示] 因为利用线性回归方程求出的值为估计值，而不是真实值． 30．变量x 与y 之间的回归直线方程表示x 与y 之间的真实关系形式．(×) [提示] 因为变量x 与y 之间的线性回归直线方程仅表示x 与y 之间近似的线性关系，x 与y 之间满足y ＝bx ＋a ＋e ，其中e 为随机误差．[高考真题感悟]1．(2017·全国卷Ⅰ，6)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( )【导学号：95032268】A ．15B ．20C ．30D ．35C [因为(1＋x )6的通项为C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋x )6展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x2·C 46x 4.因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为30.故选C.]2．(2017·全国卷Ⅱ，6)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种D [由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C 13·C 24·A 22＝36(种)，或列式为C 13·C 24·C 12＝3×4×32×2＝36(种)．故选D.]3．(2017·全国卷Ⅲ，4)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80C [因为x 3y 3＝x ·(x 2y 3)，其系数为－C 35·22＝－40，x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23＝80.所以x 3y 3的系数为80—40＝40. 故选C.]4．(2017·浙江卷，8)已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1,2.若0<p 1<p 2<12，则( )【导学号：95032269】A ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2)B ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2)C ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2) D ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2)A [由题意可知ξi (i ＝1,2)服从两点分布，∴E (ξ1)＝p 1，E (ξ2)＝p 2，D (ξ1)＝p 1(1－p 1)，D (ξ2)＝p 2(1－p 2)． 又∵0<p 1<p 2<12，∴E (ξ1)<E (ξ2)．把方差看作函数y ＝x (1－x )， 根据0<ξ1<ξ2<12知，D (ξ1)<D (ξ2)．故选A.]5．(2017·全国卷Ⅱ，13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX ＝________.1.96 [由题意得X ～B (100,0.02)， ∴DX ＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.]6．(2016·全国卷Ⅰ，14)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________． (用数字填写答案)【导学号：95032270】10 [利用二项展开式的通项公式求解． (2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r(x )r＝25－r·C r5·x 5－r2.令5－r2＝3，得r ＝4.故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10.]7．(2017·全国卷Ⅰ，19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： x i －2＝116∑16i ＝1x 2i －16x 2)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2，…，16. 用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z ＜μ＋3σ)＝0.997 4,0.997416≈0.959 2，0.008≈0.09.[解] (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16,0.002 6)．因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8.X 的数学期望EX ＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.∑16i ＝1x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134， 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.8．(2017·全国卷Ⅱ，18)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图1：图1(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；，K2＝a ＋b c＋d a＋c b＋d(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)．[解](1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”．由题意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)．旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故P (C )的估计值为0.66.因此，事件A 的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表K 2＝100×100×96×104≈15.705.由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为 (0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5， 箱产量低于55 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5， 故新养殖法产量的中位数的估计值为 50＋0.5－0.340.068≈52.35(kg)．9．(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？[解] (1)由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P (X ＝200)＝2＋1690＝0.2，P (X ＝300)＝3690＝0.4，P (X ＝500)＝25＋7＋490＝0.4.因此X的分布列为200≤n≤500.当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此EY＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.当200≤n<300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，因此EY＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．10．(2016·全国卷Ⅰ，19)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？【导学号：95032271】[解](1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列为故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040；当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.11．(2016·全国卷Ⅱ，18)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．[解](1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P (B )＝0.1＋0.05＝0.15.又P (AB )＝P (B )， 故P (B |A )＝P AB P A ＝P B P A ＝0.150.55＝311.因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为1.23a .因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.。