基础强化练习
班级 姓名 得分
基本不等式
一、填空题（本大题共１０小题，每小题５分，共计５０分）
１．函数 ＝＝＝２ ＋２。一的最小值为
２．若ｌｏｇ２ｚ＋１ｏｇ２ｙ＝４，则 ＋ 的最小值为
３．若正数Ｘ，Ｙ满足ｚ＋３ 一５ｚ ，则３ｚ＋４．ｙ的最小值为
４．若正数ｎ，ｂ满足口＋６—１，则，／ｇｇ－＋－－ｆ，／Ｗ４－１－的最大值为
５．￣／ｋＡＢＣ ｏｐ，Ａ－－－ （， １，￣ｌｆａ Ａ的对边口的最小值为
６．现有两个定值电阻，串联后等效电阻值为Ｒ，并联后等效电阻值为ｒ，若Ｒ＝ｋｒ，则实
数ｋ的取值范围是 ．
７．若函数厂（ｚ）一 ＋ ，ｚ≠ （忌∈ｚ），则厂（ｚ）的最小值为
８．已知函数 ＝＝＝口 一 （口＞０，口≠１）的图象恒过定点Ａ，若点Ａ在直线ｍｘ＋ 一１＝＝＝０
（ ＞０）上，则 ＋ 的最小值为 ｍ
９．设Ｘ，Ｙ为正数，若４ｚ ＋ 。＋ｚ 一１，则２ｚ＋ 的最大值为
１０．从等腰直角三角形纸片ＡＢＣ上，剪下如图所示的两个正
方形，其中ＢＣ＝２，ＬＡ＝９０Ｏ，则这两个正方形的面积之和的最小Ｂ
值为——． 二、解答题（本大题共３小题，共计５０分） （第ｌＯ题） Ｃ
１１．（本小题满分１４分）已知关于Ｘ的方程ａ ＩｘＩ— 。＋２在（一Ｃｘ。，０）上有解，求实数口
的取值范围．
・
２１ ・ １２．（本小题满分１６分）某厂生产某种产品的年固定成本为２５０万元，每生产 千件，
需另投入成本ｃ（ｚ），当年产量不足８０千件时，ｃ（ｚ）一寺 。＋ｌＯｘ（万元）；当年产量不小于
８０千件时，ｃ（ ）一５１ ＋ 一１ ４５ｏＣＤ￣）．通过市场分析，若每件售价为５００元时，该
厂年内生产该产品能全部销售完．
（１）写出年利润Ｌ（ ）（万元）关于年产量 （千件）的函数解析式；
（２）年产量为多少千件时，该厂这一产品的生产所获得的利润最大？
１３．（本小题满分２Ｏ分）已知正实数ｚ，Ｙ满足ｉｎ ｘ－－｝－ｌｎ ｙ＝Ｏ，且ｋ（ｘ＋２ｙ）￣ｘ。＋４ ，求
基本不等式的第四个加强
张祖华
平阴县职业教育中心济南平阴250400
摘要：基本不等式的第四个加强被发现。
关键词:不等式基本不等式加强
基本不等式来源于非负数，在解题过程中被发扬光大。本文发现
了基本不等式的第四个加强。设a,b为正数，下面先介绍几个引理。
引理1,a3
+b3
≥3ab-1.
引理2,a4
+b4
≥4ab-2.
引理3,a5
+b5
≥5ab-3.
从而，有如下加强定理：
定理ab≤min{(a2+b2)/2,(a3
+b3
+1)/3,(a4
+b4
+2)/4,(a5
+b5
+3)/5}.
参考文献：
[1]张祖华.一类丢番图方程解的存在性.《教学研究》初审通过.
[2]张祖华.柯西不等式的加强.《教育研究》2017年第2
期.
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基本不等式
作者：谈杰
来源：《数学金刊·高考版》2013年第11期
重点难点
掌握基本不等式，能利用基本不等式求最大（小）值问题；能应用基本不等式证明不等式的问题；能应用基本不等式解决实际问题；能应用基本不等式解决相关综合性问题；突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练；训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养.
方法突破
1. 一个技巧
2. 两个变形
这两个不等式链用处很大，注意掌握它们.
3. 三个注意
（1）使用基本不等式求最值，失误的主要原因是对其存在的前提“一正、二定、三相等”的忽视. 要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.
（2）在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.
（3）连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母的取值存在且一致.
典例精讲
思索 解决问题（1），关键在于利用基本不等式求出p的取值范围；解决问题（2），关键在于恰当应用基本不等式的变形形式.
评注 本题（2）中的结论是由基本不等式简单推导而来的一个不等式链，可作为结论使用.
评注 在利用基本不等式“和式≥积式”求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和式为定值；三是考虑等号成立的条件. 龙源期刊网
思索 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到.
评注 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理转化为需要证明的问题.
基本不等式：2abab
一 基本不等式2abab
（1）重要不等式222(,)abababR
一般地，对于任意实数,ab，都有222abab，当且仅当ab时等号成立.
注：①取等的条件是ab，若果,ab不能相等，则222abab中的等号不能成立.
②重要不等式可变形为222abab，2()2abab，2222()()abab.
例：已知实数,,abc满足0abc，2221abc，则a的最大值是_____.63
（2）基本不等式(,)2abababR
基本不等式公式：如果0,0ab，那么2abab，当且仅当ab时，等号成立.其中2ab叫做正数,ab的算术平均数，ab叫做正数,ab的几何平均数.
注：①基本不等式成立的条件是：0,0ab.
②基本不等式可变形为：2abab，2()2abab.
例1 若0,0ab，证明2221122abababab.
例2 下列说法正确的是（）
.A函数2yxx的最小值为22.
.B函数2sin(0)sinyxxx的最小值为22.
.C函数2yxx的最小值为22.
.D函数2lglgyxx的最小值为22.
练习1下列不等式：①12xx；②12xx；③若01ab，loglog2abba，④若01ab，则loglog2abba.其中正确的是____.②③
练习2 已知1(2)2maaa，222(0)bnb ，则m___n.（填",,"）
二 利用不等式求最值
（1）最值定理
已知,xy都是正实数.
①如果积xy是定值P，那么当xy时，xy有最小值2P;
②如果xy是定值S，那么当xy时，积xy有最大值214S.
“积定和最小，和定积最大” （2）利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”.
