高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型导学案 新人教A版必修1

1 §3.2.1几类不同增长的函数模型(2)

学习目标

1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；

2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；

3. 恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、列表）并借助信息技术解决一些实际问题.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P98~ P101，找出疑惑之处）

复习1：用石板围一个面积为200平方米的矩形场地，一边利用旧墙，则靠旧墙的一边长为___________米时，才能使所有石料的最省.

复习2：三个变量123,,yyy随自变量x的变化情况如下表：

x 1 3 5 7 9 11

y1 5 135 625 1715 3645 6633

y2 5 29 245 2189 19685 177149

y3 5 6.1 6.61 6.95 7.20 7.40

其中x呈对数型函数变化的变量是________，呈指数型函数变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________.

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务：幂、指、对函数的增长差异

问题：幂函数(0)nyxn、指数函数(1)xyaa、对数函数log(1)ayxa在区间(0,)上的单调性如何？增长有差异吗？

实验：函数12xy，22yx，2logyx，试计算：

x 1 2 3 4 5 6 7 8

y1

y2

y3 0 1 1.58 2 2.32 2.58 2.81 3

由表中的数据，你能得到什么结论？

思考：22log,2,xxx大小关系是如何的？增长差异？

2 (1)xyaa，log(1)ayxa和结论：在区间(0,)上，尽管(0)nyxn都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一(1)xyaa的增长速度越来越快，会个“档次”上，随着x的增大，超过并远远大于(0)nyxn的增长速度．而log(1)ayxa的增长存在一个0x，当0xx时，就有速度则越来越慢．因此，总会lognxaxxa．

第 1 页 共 5 页 课题： §3.2.1几类不同增长的函数模型

教学目标：

知识与技能 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．

过程与方法 能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用．

情感、态度、价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．

教学重点：

重点 将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．

难点 怎样选择数学模型分析解决实际问题．

教学程序与环节设计：

创设情境

组织探究

探索研究

巩固反思

作业回馈

课外活动 实际问题引入，激发学生兴趣．

选择变量、建立模型，利用数据表格、函数图象讨论模型，体会不同函数模型增长的含义及其差异．

总结例题的探究方法，并进一步探索研究幂函数、指数函数、对数函数的增长差异，形成结论性报告．

师生交流共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤．

强化基本方法，规范基本格式．

收集一些社会生活中普遍使用的函数模型，了解函数模型的广泛应用．

第 2 页 共 5 页 教学过程与操作设计：

环节 教学内容设计 师生双边互动

创

设

情

境 材料：澳大利亚兔子数“爆炸”

在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气． 师：指出：一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的

- 1 - §3.2 几类不同增长的函数模型

编制人叶愈森审核人张志勇使用时间一、学习目标

二、知识归纳

三种函数模型的性质。函数性质y=ax

(a>1) y=logax (a>1) y=xn (n>0)

在(0,+∞)上的单

调性增长的速度快慢相对平稳

图象和变化随x的增大逐渐与y轴平行随x的增大逐渐与x轴平行随n值不同而不同

三、预习自测1.当x越来越大，下列函数增长速度最快的应该是( ) A. y=100x B. y=100lnx C. y=x100 D. y=100×2x

2.在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年比上一年增长10%，专家预测经过x年增长

到第一年的y倍，则函数y=f(x)的大致图象为( )

A B C D

3.某动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到________只。

§3.2 函数模型及其应用

1．几类不同增长的函数模型及其增长差异

分别作出函数y=2x，y=log2x，y=x2在第一象限的图象如图．函数y=log2x刚开始增长得最快，随后增长的速度越来越慢；函数y=2x刚开始增长得较慢，随后增长的速度越来越快；函数y=x2增长的速度也是越来越快，但越来越不如y=2x增长得快．函数y=2x和y=x2的图象有两个交点(2,4)和(4,16)．在x∈(2,4)时，log2x<2x4时，log2x

一般地，在区间(0，+∞)上，尽管函数y=ax (a>1)，y=logax (a>1)和y=xn (n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．

随着x的增大，y=ax (a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn (n>0)的增长速度，而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．

因此，总会存在一个x0，使当x>x0时，就有logax

这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增长．

[例]下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )

A．y＝1，x∈Z B．y＝x C．y＝2x D．y＝ex

解析 指数函数模型增长速度最快，并且e>2，因而y＝ex增长速度最快．

答案 D

2．几类常见的函数模型

(1)一次函数模型：f(x)＝kx＋b (k、b为常数，k≠0)；

(2)反比例函数模型：f(x)＝kx＋b (k、b为常数，k≠0)；

(3)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c (a、b、c为常数，a≠0)；

注意：二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见．

(4)指数函数模型：f(x)＝abx＋c (a、b、c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；

(5)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n (m、n、a为常数，a>0，a≠1)；

说明：随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色．