勾股定理三种证明方法

1 初中数学综合实践活动课

一、实践活动主题：勾股定理的证明方法

二、实践活动背景：

1、背景说明：此内容为学生提供自主活动、自主探索的机会，有助于积累数学活动经验、培养创新意识,从而获取知识与技能.

2、课题的意义：勾股定理的数学教育价值绝不仅仅是公理体系中的一环，一般的几何定理教学环节包括：发现定理、证明定理和应用定理。而勾股定理承载了太多，它是一个引导学生与数学史上智者们对话的绝佳契机。通过勾股定理的学习能够了解知识背后的数学文化和数学史，体验数学美，感受数学的无穷魅力。而且，勾股定理的研究是我国古代杰出数学研究成果之一，为世界所瞩目，获得高度评价，在勾股定理的学习过程中感受到能够感受到民族自豪感，激发爱国热情。

3、课题介绍: 本次实践活动所研究的勾股定理，是直角三角形的一条非常重要的性质，它也是几何学中重要的定理之一。勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。通过探索勾股定理的活动，体验由特殊到一般地探索数学问题的方法，尝试用数形结合来解决数学问题的思想。

三、实践活动目标：

1. 理解勾股定理的内容，知道勾股定理的五种重要证明方法，（赵爽弦图法、毕达哥拉斯证法、总统证法、青朱出入图法、欧几里得法）了解与勾股定理有关的一些数学史，体会数形结合.

2. 在勾股定理证明方法的赏析过程中感受数学文化，拓展思维，培养数学兴趣，感受数学美.

3. 在对勾股定理的独立自学、小组合作、展示交流过程中，逐步提高综合实践能力.

四、实践活动时间

五、学生特征分析

勾股定理的证明方法很多，本节课采用的是面积证法。首先由于前面没有系统学习面积证法，这种证明方法学生感到很陌生，尤其是觉得推理根据不明确不像证明，没有教师的启发引领，学生不容易独立想到。

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六、实践活动资源准备

网络、或书籍等渠道对勾股定理有初步的了解；制作三角形和正方形学具（或几何画板课件）。

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勾股定理的三种验证方法

1．赵爽“弦图”验证法

三国时期的数学家赵爽，利用图1验证了勾股定理，这个图形被称为“弦图”．在边长为c的正方形中有四个斜边为c的全等直角三角形，已知它们的直角边长分别为a，b．你能利用这个图形验证勾股定理吗？

验证：大正方形可以看成边长为c的正方形；也可以看成4个全等的直角三角形与一个小正方形的和，且小正方形的边长为(a－b)．

S大正方形=21ab×4＋(a－b)2，同时也有S大正方形=c2，所以21ab×4＋(a－b)2＝c2 ．

整理得a2＋b2＝c2．

2．火柴盒推倒验证法

一个直立的火柴盒在桌面倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图2，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到DCBA的位置，连接CC，设AB = a，BC = b，AC = c，请利用四边形DCBC的面积验证勾股定理：a2 + b2 = c2.

验证：因为四边形DCBC为直角梯形，所以S梯形BCC′D′

=21(BC+2)()2baDBDC.

因为Rt△ABC ≌ Rt△AB′C′，所以∠BAC =∠B′AC′.

所以∠CAC′ = ∠CAB′ +∠B′AC′ =∠CAB′ +∠BAC = 90°.

所以S梯形BCC′D′ = S△ABC + S△CAC′ + S△D′AC′ =21ab +21c2 +21ab =222abc.

所以222)(22abcba，所以a2 + b2 = c2.

3．面积割补验证法

如图3，可以用面积割补法来验证勾股定理．

因为S正方形CDEF＝S正方形MNOP，而S正方形CDEF＝2142cab，S正方形MNOP＝22142abab，所以222=abc．

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第 1 页 共 1 页 ◎吴育弟

勾股定理的三种验证方法

1．赵爽“弦图”验证法

三国时期的数学家赵爽，利用图1验证了勾股定理，这个图形被称为“弦图”．在边长为c的正方形中有四个斜边为c的全等直角三角形，已知它们的直角边长分别为a，b．你能利用这个图形验证勾股定理吗？

验证：大正方形可以看成边长为c的正方形；也可以看成4个全等的直角三角形与一个小正方形的和，且小正方形的边长为(a－b)．

S大正方形=21ab×4＋(a－b)2，同时也有S大正方形=c2，所以21ab×4＋(a－b)2＝c2 ．

整理得a2＋b2＝c2．

2．火柴盒推倒验证法

一个直立的火柴盒在桌面倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图2，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到DCBA的位置，连接CC，设AB = a，BC = b，AC

= c，请利用四边形DCBC的面积验证勾股定理：a2 + b2 = c2.

验证：因为四边形DCBC为直角梯形，所以S梯形BCC′D′

=21(BC+2)()2baDBDC.

因为Rt△ABC ≌ Rt△AB′C′，所以∠BAC =∠B′AC′.

所以∠CAC′ = ∠CAB′ +∠B′AC′ =∠CAB′ +∠BAC = 90°.

所以S梯形BCC′D′ = S△ABC + S△CAC′ + S△D′AC′ =21ab +21c2

+21ab =222abc.

所以222)(22abcba，所以a2 + b2 = c2.

3．面积割补验证法

如图3，可以用面积割补法来验证勾股定理．

因为S正方形CDEF＝S正方形MNOP，而S正方形CDEF＝2142cab，S正方形MNOP＝22142abab，所以222=abc． b

予镶　

高凤仙　（张家口市高新区新区中学，河北张家Ｉ；３　０７５０００）　

摘要：勾股定理是几何学的基石，在高等数学和其他学科　

中也有着相当广泛的应用。本文通过测量、数方格、拼图这些过　

程．力图“再现”勾股定理证明方法的探究过程。　

关键词：勾股定理；证明方法；测量；数方格；拼图　

勾股定理是几何学中的一颗明珠．在高等数学和其他学科　

中也有着极其广泛的应用。追溯勾股定理之源我们发现，在更　

早期的人类活动中．人们就已经认识到这一定理的某些特例。　

如《周髀算经》上说：“故禹之所以治天下者，此数之所由生也。”　

“此数”指的是“勾三股四弦五”．也就是说勾三股四弦五这种关　

系是在大禹治水时发现的。由于它具有无限的魅力，千百年来，　

人们对其证明趋之若骛．其中赵爽的证明可谓匠心别用　他用　

几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，不仅　

严密而且直观．为中国古代数学的“形数统一”树立了一个典　

范　勾股定理对世界数学的发展具有独特的贡献和地位．下面　

笔者从以下几方面对勾股定理进行证明：　

一　测量法　测量法：让学生在纸上利用三角板画多个直角三角形并测　

量三边长度，看看三边的平方之间有怎样的关系？学生不难得　

出猜想：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。但是　

这种方法有误差．为了使学生更为深刻地、确切地认识勾股定　

理．笔者将在下面进一步阐明　

二、数方格法　

“数学来源于生活，但又高于生活。”笔者首先引入（图１）　

地板砖示意图．使学生从中找到直角三角形．看看直角三角形　

三边的平方分别是多少？它们是否满足上面猜想的数量关系？　

学生较易得出结论：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的　

平方。　

进一步发展到在方格纸上探索勾股定理的正确性．在这一　

部分我们将要通过观察、计算、探讨、归纳等方法发现一般直角　

三角形的性质　在图２中由于正方形Ｃ的面积计算是一个难　

点。为此我们将主要对图２中的左图具体分析如下：　

匪　日　

图１　图２　图３　图４　图５