勾股定理四种证明方法

证明勾股定理的4种方法

证明勾股定理的4种方法

勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。以下是小编整理的证明勾股定理的4种方法，仅供参考，大家一起来看看吧。

证明勾股定理的4种方法

勾股定理是一个基本的几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。

“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。当整数a,b,c满足a^2;+b^2;=c^2;这个条件时，(a,b,c)叫做勾股数组。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a^2;+b^2;=c^2;。在中国数学史中同样源远流长，是中算的重中之重。《周髀算经》中已有“勾三股四弦五”的记述，赵爽的《周髀算经》中将勾股定理表述为“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”

勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。下面我们一起来欣赏其中一些证明方法：

方法一：赵爽“弦图”

三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明。

2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就。 方法二：刘徽“青朱出入图”

约公元263年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理。

方法三：欧几里得“公理化证明”

希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》给出一个公理化的证明。

证明勾股定理的六种方法

嘿，朋友们！今天咱就来聊聊证明勾股定理的六种超厉害的方法！

咱先说说第一种，拼图法。这就好像搭积木一样，把一些图形巧妙地拼在一起，然后哇塞，勾股定理就出现啦！你看，通过把几个直角三角形和正方形拼来拼去，就能发现它们之间的奇妙关系，这多有意思呀！

第二种呢，是面积法。就好像我们分蛋糕一样，把图形的面积算来算去，嘿，就找到勾股定理的秘密啦！通过比较不同部分的面积，那真理就藏不住咯！

还有一种叫相似三角形法。哎呀，这就像找朋友一样，找到那些相似的三角形，然后从它们的关系里一点点挖出勾股定理。这可需要我们有一双善于发现的眼睛呢！

接着说第四种，射影定理法。这听起来是不是有点高深莫测呀？哈哈，其实也不难理解啦！就好像是光线照下来留下的影子，从影子里能看出很多奇妙的东西哦，勾股定理就是其中之一呢！

再讲讲第五种，余弦定理法。这就像是解开一道复杂的谜题，通过余弦定理这个工具，一点点推导，最后得出勾股定理。是不是很神奇呀？ 最后一种，是梯形面积法。把图形变成梯形，然后通过计算梯形的面积，哈哈，勾股定理就蹦出来啦！

这六种方法，各有各的奇妙之处，各有各的乐趣。就好像是打开知识大门的六把钥匙，每一把都能让我们看到不一样的精彩。证明勾股定理，不只是为了得到一个结果，更是在享受探索的过程呀！我们在这个过程中可以感受到数学的魅力，感受到思维的跳动。

想想看，我们的老祖宗们是多么聪明呀，能发现这么神奇的定理，还能想出这么多种方法来证明它。我们作为后人，是不是也应该好好去研究、去体会呢？

数学的世界就是这么奇妙，勾股定理只是其中的一小部分。还有很多很多的奥秘等着我们去发现呢！所以呀，大家可不要小瞧了数学，它里面的乐趣可多着呢！我们要带着好奇的心，去探索，去发现，去感受数学带给我们的惊喜和快乐！这六种证明勾股定理的方法，不就是最好的例子吗？难道不是吗？

1 / 2 勾股定理的证明方法

勾股定理的证明方法。

这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳话。

的平方=3的平方+4的平方

在图一中，D ABC 为一直角三角形，其中 A 为直角。我们在边 AB、BC 和 AC 之上分别画上三个正方形 ABFG、BCED 和 ACKH。过

A 点画一直线 AL 使其垂直於 DE 并交 DE 於 L，交 BC 於 M。不难证明，D FBC 全等於 D ABD(S.A.S.)。所以正方形 ABFG 的面积 = 2 D FBC 的面积 = 2 D ABD 的面积 = 长方形 BMLD

的面积。类似地，正方形 ACKH 的面积 = 长方形 MCEL 的面积。即正方形 BCED 的面积 = 正方形 ABFG 的面积 + 正方形

ACKH 的面积，亦即是 AB2 + AC2 = BC2。由此证实了勾股定理。

这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以 ML 将正方形分成 BMLD 和 MCEL 的两个部分!

这个证明的另一个重要意义，是在於它的出处。这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。

欧几里得(Euclid of Alexandria)约生於公元前 325 年，卒於约公元前 265 年。他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，并完成了2 / 2 著作《几何原本》。《几何原本》是一部划时代的著作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对后世数学发展产生深远的影响。而书中的第一卷命题 47，就记载著以上的一个对勾股定理的证明。

图二中，我们将4个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内，留意大正方形中间的浅黄色部分，亦都是一个正方形。设直角三角形的斜边长度为 c，其余两边的长度为 a 和 b，则由於大正方形的面积应该等於 4 个直角三角形和中间浅黄色正方形的面积之和，所以我们有

勾股定理的10种证明方法

一、赵爽弦图证明法。

这可是我国古代数学家赵爽的智慧结晶呢。想象一下，有一个大正方形，它的边长是直角三角形的斜边c 。然后在这个大正方形里，用四个一模一样的直角三角形拼一拼，就会发现中间还空出了一个小正方形。

这四个直角三角形的面积那就是4×(1/2)ab ，中间小正方形的边长是b a ，它的面积就是(b a)² 。而大正方形的面积呢，就是c² 。

因为大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，所以就有c² = 4×(1/2)ab+(b a)² 。把这个式子展开化简一下，就得到a² + b² = c² 啦，是不是挺神奇的。

二、毕达哥拉斯证明法。

毕达哥拉斯这位大神也有自己独特的证明方法哦。假设有两个全等的直角三角形，它们的直角边分别是a和b ，斜边是c 。

把这两个三角形拼成一个梯形，梯形的上底是a ，下底是b ，高是a + b 。那这个梯形的面积就是(1/2)(a + b)(a + b) 。

同时呢，这个梯形的面积又等于三个三角形的面积之和，这三个三角形两个是原来的直角三角形，面积和是2×(1/2)ab ，还有一个是边长为c的等腰直角三角形，面积是(1/2)c² 。

所以(1/2)(a + b)(a + b)=2×(1/2)ab+(1/2)c² ，整理一下这个式子，就又得到a² + b² = c² 啦。

三、总统证法。

你没听错，这是美国总统加菲尔德证明的哦。他的证明方法还挺巧妙的呢。 有一个直角梯形，上底是a ，下底是b ，高是a + b 。这个梯形是由三个直角三角形组成的，两个小的直角三角形直角边分别是a和b ，还有一个大的直角三角形斜边是c 。

梯形的面积是(1/2)(a + b)(a + b) ，三个三角形的面积和是(1/2)ab+(1/2)ab+(1/2)c² 。

因为梯形的面积等于三个三角形的面积和，所以(1/2)(a + b)(a +