高中物理重要方法典型模型突破15-模型专题(7)--杆+导轨模型(解析版)

ʏ河南省郑州市第三十一高级中学 董卫刚 王梦娜电磁感应现象中的杆+导轨 模型是近几年高考中的常见考点之一,比如2020年高考全国Ⅰ卷第21题㊁全国Ⅲ卷第24题,2021年高考全国乙卷第25题㊁北京卷第7题,2022年高考全国甲卷第20题㊁辽宁卷第15题,2023年高考全国甲卷第25题㊁湖南卷第14题㊁辽宁卷第10题等㊂涉及杆+导轨 模型的物理试题几乎涵盖了高中物理所有的核心内容,综合性较强,区分度较高㊂下面将涉及 杆+导轨 模型的物理试题进行系统梳理,总结求解此类问题的思路和方法,为同学们的复习备考提供参考㊂一㊁电磁感应核心知识梳理1.感应电流方向的判断方法:2.感应电动势大小的求法:法拉第电磁感应定律的三种表达式分别为E =n ΔΦΔt ,E =n ΔBΔt S (面积不变,磁感应强度变化),E =n BΔS Δt (磁感应强度不变,面积变化)㊂如图1所示,当一段直导线(等效直导线)垂直磁场做切割磁感线运动时,产生的感应电动势E =B l v ㊂如图2所示,当绕一端转动的一段导体棒在磁场内做切割磁感线运动时,产生的感应电动势E =12B l 2ω㊂如图3所示,当绕与磁场方向垂直的轴转动的导线框在磁场中做切割磁感线运动产生交变电流时,从图示时刻开始计时产生的感应电动势E =n B S ωc o s ωt㊂图1 图2 图33.感应电荷量的计算:因磁通量变化而产生的感应电荷量q =I Δt =E R Δt =n ΔΦR Δt Δt =nΔΦR ,说明感应电荷量q 仅由回路电阻R 和磁通量的变化量ΔΦ决定㊂4.动量定理在 杆+导轨 模型中的应用:对单根导体棒应用动量定理得m v -m v 0=-B I L ㊃Δt =-B L q ㊂二㊁ 杆+导轨 模型梳理模型一:单杆,无电源,受恒定外力图4如图4所示,金属杆MN 放在水平放置的光滑导轨上,空间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场,金属杆MN 受到恒定的外力作用㊂以金属杆MN 为研究对象,根据牛顿第二定律得F -B 2L 2v R =m a ,解得a =F m -B 2L2m R v ,因此随着速度v 的增大,加速度a 逐渐减小,当a =0的时候,金属杆MN 达到平衡状态,以恒定的速度做匀速直线运动㊂上述规律不仅适用于水平面内的运动,竖直平面内的运动或斜面上的运动也适用,只不过是将恒力稍微变化了一下㊂例1 如图5所示,两根足够长的光滑导轨竖直放置,间距为L ,顶端接阻值为R 的电阻㊂匀强磁场方向垂直于导轨所在平面解题篇 经典题突破方法 高考理化 2023年11月图5(纸面)向里,磁感应强度为B ,质量为m ㊁电阻为r 的金属棒在距磁场上边界某处由静止释放,金属棒和导轨始终接触良好㊂不计导轨的电阻,重力加速度为g ,则下列说法中正确的是( )㊂A.金属棒在磁场中运动时,通过电阻R 的电流方向为a ңbB .金属棒刚进入磁场时一定做加速运动C .金属棒的速度为v 时,金属棒所受的安培力大小为B 2L 2vR D .金属棒以稳定的速度下滑时,电阻R 的热功率为m g B L2R思路点拨:金属棒进入磁场后,产生的感应电动势E =B L v ,回路中的感应电流I =E R +r =B L v R +r ,通过电阻R 的电流方向为b ңa ,金属棒所受的安培力大小F =B I L =B 2L 2vR +r,当金属棒稳定下滑时,F =m g ,电阻R 的热功率P =B L v R +r 2R ,解得P =m g B L2R ㊂答案:D模型二:单杆,无电源,有初速度如图6所示,给金属杆e f 一个初速度图6(初始冲量),让金属杆e f 运动起来,金属杆e f 切割磁感线,在回路c b e f 中产生感应电流,金属杆e f 相当于电源,此时金属杆e f 受到一个与运动方向相反的安培力,阻碍金属杆e f 的运动,金属杆e f 做减速运动,速度减小会让安培力随着减小,加速度就跟着减小,因此金属杆e f 做加速度减小的减速运动,直到速度减为零,停止运动㊂若导轨是光滑的,则金属杆e f 的初动能全部转化为电阻R 产生的焦耳热,即Q =12m v 20,金属杆e f 通过克服安培力做功把机械能转化为了电能㊂同时还可以根据动量定理得-B I L Δt =0-m v 0,又有q =I ㊃Δt ,求出在此过程中通过电阻R 的电荷量q =m v 0B L㊂图7例2 (2021年高考北京卷)如图7所示,在竖直向下的匀强磁场中,水平U 型导体框左端连接一阻值为R 的定值电阻,质量为m ㊁电阻为r 的导体棒a b 置于导体框上㊂不计导体框的电阻㊁导体棒与框间的摩擦㊂导体棒以水平向右的初速度v 0开始运动,最终停在导体框上㊂在此过程中( )㊂A.导体棒做匀减速直线运动B .导体棒中感应电流的方向为a ңbC .电阻R 消耗的总电能为m v 2R 2(R +r )D .导体棒克服安培力做的总功小于12m v 20思路点拨:导体棒做加速度减小的减速运动,导体棒中感应电流的方向为b ңa ㊂安培力的变化会引起加速度的变化,根据能量守恒定律和动能定理可知,电阻R 消耗的总电能为m v 2R 2(R +r ),导体棒克服安培力做的总功等于12m v 20㊂答案:C模型三:单杆,有电容,受恒定外力如图8所示,水平放置的光滑平行导轨左侧接电容为C 的电容器,空间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场,金属棒MN 和导图8轨的电阻忽略不计,摩擦力不计,金属棒MN 在水平向右的恒定拉力F 的作用下,由静止开始做加速运动,持续对电容器充电,则存在充电电流时,有F -B I l =m a ,I =ΔQ Δt,ΔQ =C ΔU ,ΔU =ΔE =B l Δv ,整理得F -C B 2l 2ΔvΔt=m a ,其中解题篇 经典题突破方法 高考理化 2023年11月Δv Δt =a ,解得a =Fm +C B 2l 2,因此金属棒MN 做加速度恒定的匀加速直线运动㊂从能量的角度分析,存在功能关系W F =12m v 2+E 电㊂例3 如图9所示,间距为L的金属导图9轨竖直平行放置,空间存在垂直于导轨所在平面向里的匀强磁场,磁感应强度为B ,在导轨上端接一电容为C 的电容器,一质量为m 的金属棒与导轨始终保持良好接触㊂将金属棒距地面高度为h 处由静止开始释放,已知重力加速度为g ,一切摩擦及电阻均不计㊂在金属棒下滑至地面的过程中,下列说法正确的是( )㊂A.若h 足够大,则金属棒最终匀速下落B .金属棒下滑至地面时,电容器储存的电势能为m gh C .金属棒做匀加速直线运动,加速度为m gm g +C 2B 2L2D .金属棒下滑至地面时,电容器储存的电势能为m g h C B 2L 2m +C B 2L2思路点拨:根据牛顿第二定律得m g -B I L =m a ,又有B L v =QC,v =a t ,Q =I t ,解得a =m g m +C B 2L 2,金属棒在下降过程中做匀加速直线运动,金属棒下滑至地面时的动能E k =12m v 2,又有v 2=2a h =2m g h m +C B 2L 2,根据能量守恒定律得电容器储存的电势能E =m g h -12m v 2=m g h C B 2L 2m +C B 2L2㊂答案:D模型四:双杆,等长,有初速度图10如图10所示,光滑导轨上放置两根导体棒,给导体棒1一个初速度,导体棒1受安培力的作用做加速度减小的减速运动,导体棒2受安培力的作用做加速度减小的加速运动,最后两导体棒以相同的速度做匀速直线运动,对两导体棒运用动量守恒定律可以求出最终的共同速度㊂从能量的角度分析,导体棒1动能的减少量=导体棒2动能的增加量+焦耳热㊂例4 如图11所示,两根足够长的平图11行光滑导轨固定在绝缘水平面上,所在空间存在方向垂直于水平面㊁磁感应强度为B ㊁范围足够大的匀强磁场,导轨的间距为L ,电阻不计;导轨上静置两根有效长度均为L 的导体棒P Q 和MN ,其中导体棒P Q 的质量为2m ㊁阻值为R ,导体棒MN 的质量为m ㊁阻值为2R ㊂若在t =0时刻给导体棒P Q 一个平行于导轨向右的初速度v 0,不计运动过程中两导体棒的相互作用,则( )㊂A.t =0时刻,两导体棒的加速度大小相等B .t =0时刻,导体棒P Q 两端的电压为23B L v 0C .导体棒P Q 匀速运动时的速率为13v 0D .从t =0时刻到导体棒P Q 匀速运动的过程中,导体棒MN 中产生的焦耳热为29m v 20思路点拨:导体棒P Q 向右运动,产生的感应电动势E =B L v 0,此时路端电压为23B L v 0,回路中的感应电流I =ER +2R,两导体棒受到的安培力大小均为F =B I L ,则a MN =F m ,a P Q =F2m ,因此t =0时刻,两导体棒的加速度大小不相等,受到的安培力大小相等,方向相反,两导体棒在运动过程中满足动量守恒定律,则2m v 0=(m +2m )v 共,最终两导体棒以速度v 共=23v 0做匀速直线运动㊂两导体棒中的电流相等,产生的焦耳热分别为Q MN =2I 2有R t ,Q P Q =I 2有R t ,则Q MN ʒ 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2023年11月Q P Q =2ʒ1㊂根据能量守恒定律可知,在整个运动过程中产生的总热量等于系统总动能的减少量,即Q =12ˑ2m v 20-12ˑ(m +2m )v 2共,解得Q MN =29m v 20㊂答案:B D模型五:双杆,等长,受恒定外力如图12所示,足够长的光滑导轨上放置图12两根导体棒,导体棒1受到一个恒定的力F 的作用,导体棒1做加速度逐渐减小的加速运动,导体棒2做加速度逐渐增大的加速运动,最终两导体棒以相同的加速度做匀加速直线运动,两导体棒的速度差恒定,回路中存在恒定的感应电流,两导体棒受到的安培力大小相等,对整体有F =(m 1+m 2)a ,对导体棒2有B 2L 2(v 1-v 2)R 1+R 2=m 2a ,联立以上两式可以求出两导体棒的速度差值㊂从能量的角度分析,外力做的功=导体棒1的动能+导体棒2的动能+焦耳热㊂例5 (2020年高考全国Ⅰ卷)如图13所示,U 型光滑金属框a b c d置于水平绝缘平图13台上,a b 边和d c 边平行,和b c 边垂直㊂a b ㊁d c 边足够长,整个金属框的电阻可忽略㊂一根具有一定电阻的导体棒MN 置于金属框上,用水平恒力F 向右拉动金属框,运动过程中,装置始终处于竖直向下的匀强磁场中,导体棒与金属框保持良好接触,且与b c 边保持平行㊂经过一段时间后( )㊂A.金属框的速度大小趋于恒定值B .金属框的加速度大小趋于恒定值C .导体棒所受安培力的大小趋于恒定值D .导体棒到金属框b c 边的距离趋于恒定值思路点拨:金属框向右的加速度与导体棒的加速度不同,同一时刻两者速度也不同,设金属框的质量为m 1,速度为v 1,导体棒的质量为m 2,速度为v 2,则回路中的感应电流i =B l (v 1-v 2)R ,感应电流从0开始增大,导体棒的加速度a 2从零开始增大,金属框的加速度a 1从F m 1开始减小,二者的加速度差值减小,当a 1=a 2时,有F =(m 1+m 2)a ,则a =Fm 1+m 2恒定,根据F 安=m 2a 可知,安培力不再变化,感应电流不再变化,金属框与导体棒的速度差保持不变,但导体棒的速度小于金属框的速度,则导体棒到金属框b c 边的距离越来越大㊂答案:B C模型六:双杆,不等长,有初速度如图14所示,光滑导轨水平放置,匀强磁场垂直于水平面向下,左侧导轨间距为L ,图14右侧导轨间距为2L ,且两侧导轨均足够长㊂现给金属杆c d 一水平向右的初速度v 0,金属杆c d 做切割磁感线运动,产生感应电流,金属杆c d 受到的安培力阻碍它的运动,金属杆a b 受到的安培力使它做加速运动,两金属杆长度不同,所受安培力大小不相等,系统动量不守恒,一旦金属杆a b 开始运动,金属杆a b 也要做切割磁感线运动,产生一个反电动势,使得回路中的感应电流减小,当感应电流为零时,两金属杆均做匀速运动,此时两金属杆的速度关系为v a b =2v c d ,分别对两金属杆应用动量定理可以求出最终的速度㊂例6 如图15所示,光滑导轨水平放置,匀强磁场垂直于水平面向下,磁感应强度图15为B ,左侧导轨间距为L ,右侧导轨间距为2L ,且两侧导轨均足够长㊂质量为m 的导体棒a b 和质量为2m 的导体棒c d 均垂直于导轨放置,处于静止状态㊂导体棒a b 接入电路的电阻(下转第45页)点左侧与感光板相切,则此切点P 1就是α粒子能打中的左侧最远点㊂为定出P 1点的位置,可作平行于感光板的直线c d ,直线c d 到感光板的距离为R ,以S 为圆心,R 为半径作弧,交直线c d 于Q 点,过Q 点作感光板的垂线,它与感光板的交点即为P 1㊂根据几何关系得N P 1=R 2-(l -R )2=8c m ㊂再考虑N 点的右侧,任何α粒子在运动中到S 点的距离不可能超过2R ,以2R 为半径,S 为圆心作圆,交感光板于N 点右侧的P 2点,P 2点就是α粒子能打中的右侧最远点㊂根据几何关系得N P 2=(2R )2-l 2=12c m ㊂因此P 1P 2=N P 1+N P 2=20c m ㊂12.(1)金属棒MN 滑过圆环直径O O '的瞬时,切割磁感线的有效长度为2ɑ,金属棒MN 中的感应电动势E 1=B ㊃2ɑ㊃v 0=0.8V ,流过灯泡L 1的电流I 1=E 1R 0=0.4A ㊂(2)撤去金属棒MN ,将右侧半圆环以直径O O '为轴向上翻转90ʎ,根据法拉第电磁感应定律得E 2=ΔФΔt =πa 22㊃ΔB Δt=0.32V ,则灯泡L 1的电功率P =E 222R 0=1.28ˑ10-2W ㊂13.(1)设金属棒甲向右运动的最大速度为v m a x ,对应电流为I ,金属棒甲受到的安培力为F 安,则F =F 安=B I L ,I =B L v m a xR +2R ,解得v m a x =3R FB 2L 2㊂金属棒甲中产生焦耳热的功率的最大值P m a x =13F 安v m a x =F 2RB 2L2㊂(2)当力F 作用时间为t 时,设金属棒甲和乙的速度大小分别为v 1和v 2,对金属棒甲应用动量定理得F t -B I L t =m v 1,对金属棒乙应用动量定理得2B I L t =2m v 2,此时回路中的感应电流I =B L v 1-2B L v 2R +2R ,对金属棒甲应用牛顿第二定律得F -B I L =m a ,解得v 2=F t3m -(F -m a )RB 2L2㊂(责任编辑 张 巧)(上接第39页)为R ,导体棒c d 接入电路的电阻为2R ,两导体棒始终在对应的导轨部分上运动,并始终与导轨垂直且接触良好,导轨电阻不计㊂现瞬间给导体棒c d 一水平向右的初速度v 0,则对此后的运动过程,下列说法中正确的是( )㊂A.两导体棒组成的系统动量守恒B .导体棒c d 最终的速度为23v 0C .整个过程中,通过导体棒c d 的电荷量为2m v 03B LD .从导体棒c d 获得初速度到二者稳定运动的过程中,系统产生的焦耳热为23m v 20思路点拨:因为导体棒a b 和c d 的长度不同,所以受到的安培力大小不相等,两导体棒组成的系统动量不守恒㊂当导体棒a b 和c d 产生的感应电动势大小相等时,两导体棒都做匀速直线运动,则B L v a b =B ㊃2L v c d ,对两导体棒分别应用动量定理得B I ㊃L Δt =m v a b ,-B I ㊃2L Δt =2m v c d -2m v 0,解得v c d =v 03,v a b =2v 03㊂结合q =I Δt ,解得q =2m v 03B L ㊂根据能量守恒定律得整个过程中系统产生的焦耳热Q =12ˑ2m v 20-12ˑ2m v 2c d -12m v 2a b ,解得Q =23m v 20㊂答案:C D总结: 杆+导轨 是一个经典的模型,涉及知识点比较多㊂在以 杆+导轨 模型为素材的电磁感应问题中,若满足动量守恒条件,则应优先选用动量守恒定律列式求解;若已知位移,则需结合动能定理列式求解;若已知时间,则需结合动量定理列式求解;若需要求电荷量,则需要应用安培力的冲量I 安=B L q ,并结合能量守恒定律列式求解㊂总之,求解以 杆+导轨 模型为素材的电磁感应问题时,需要充分挖掘题目隐含条件,使复杂的问题简单化,将难点逐个突破㊂(责任编辑 张 巧)。

热点专题系列(六) 电磁感应中的“杆和导轨”模型热点概述：电磁感应中的“杆－轨”运动模型，是导体切割磁感线运动过程中动力学与电磁学知识的综合应用，此类问题是高考命题的重点。

[热点透析]单杆模型初态v0≠0v0＝0示意图质量为m、电阻不计的单杆ab以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为L轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定续表初态v0≠0v0＝0运动分析导体杆做加速度越来越小的减速运动，最终杆静止当E感＝E时，v最大，且v m＝EBL，最后以v m匀速运动当a＝0时，v最大，v m＝FRB2L2，杆开始匀速运动Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝CBLΔv电流I＝ΔqΔt＝CBLΔvΔt＝CBLa安培力F安＝BLI＝CB2L2a F－F安＝ma，a ＝Fm＋B2L2C，所以杆以恒定的加速度匀加速运动能量分析动能转化为内能，12m v2＝Q电能转化为动能和内能，E电＝12m v2m＋Q外力做功转化为动能和内能，W F＝12m v2m＋Q外力做功转化为电能和动能，W F＝E电＋12m v2注：若光滑导轨倾斜放置，要考虑导体杆受到重力沿导轨斜面向下的分力作用，分析方法与表格中受外力F时的情况类似，这里就不再赘述。

(2020·山东省聊城市一模)(多选)如图所示，宽为L的水平光滑金属轨道上放置一根质量为m的导体棒MN，轨道左端通过一个单刀双掷开关与一个电容器和一个阻值为R的电阻连接，匀强磁场的方向垂直于轨道平面向里，磁感应强度大小为B，电容器的电容为C，金属轨道和导体棒的电阻不计。

现将开关拨向“1”，导体棒MN在水平向右的恒力F作用下由静止开始运动，经时间t0后，将开关S拨向“2”，再经时间t，导体棒MN恰好开始匀速向右运动。

电磁感应现象中的“杆+导轨”模型问题解决电磁感应电路问题的关键就是借鉴或利用相似原型来启发理解和变换物理模型，即把电磁感应的问题等效转换成稳恒直流电路，把产生感应电动势的那部分导体等效为内电路.感应电动势的大小相当于电源电动势.其余部分相当于外电路，并画出等效电路图.此时，处理问题的方法与闭合电路求解基本一致，惟一要注意的是电磁感应现象中，有时导体两端有电压，但没有电流流过，这类似电源两端有电势差但没有接入电路时，电流为零。

变换物理模型，是将陌生的物理模型与熟悉的物理模型相比较，分析异同并从中挖掘其内在联系，从而建立起熟悉模型与未知现象之间相互关系的一种特殊解题方法.巧妙地运用“类同”变换，“类似”变换，“类异”变换，可使复杂、陌生、抽象的问题变成简单、熟悉、具体的题型，从而使问题大为简化.电磁感应现象部分的知识历来是高考的重点、热点，出题时可将力学、电磁学等知识溶于一体，能很好地考查学生的理解、推理、分析综合及应用数学处理物理问题的能力．通过近年高考题的研究，此部分每年都有“杆+导轨”模型的高考题出现。

一、命题演变“杆+导轨”模型类试题命题的“基本道具”：导轨、金属棒、磁场，其变化点有： 1．导轨（1）导轨的形状：常见导轨的形状为U 形，还可以为圆形、三角形、三角函数图形等； （2）导轨的闭合性：导轨本身可以不闭合，也可闭合； （3）导轨电阻：不计、均匀分布或部分有电阻、串上外电阻； （4）导轨的放置：水平、竖直、倾斜放置等等．[例1]（2003·上海·22）如图1所示，OACO 为置于水平面内的光滑闭合金属导轨，O 、C 处分别接有短电阻丝（图中粗线表法），R 1= 4Ω、R 2=8Ω（导轨其它部分电阻不计）．导轨OAC 的形状满足方程y =2sin （3x ）（单位：m ）．磁感强度B=0.2T 的匀强磁场方向垂直于导轨平面．一足够长的金属棒在水平外力F 作用下，以恒定的速率v=5.0m/s 水平向右在导轨上从O 点滑动到C 点，棒与导轨接触良好且始终保持与OC 导轨垂直，不计棒的电阻．求：（1）外力F 的最大值；（2）金属棒在导轨上运动时电阻丝R 1上消耗的最大功率； （3）在滑动过程中通过金属棒的电流I 与时间t 的关系．解析：本题难点在于导轨呈三角函数图形形状，金属棒的有效长度随时间而变化，但第（1）（2）问均求的是某一状态所对应的物理量，降低了一定的难度．解第（3）问时可根据条件推导出外力F 的表达式及电流I 与时间t 的关系式，由三角函数和其他条件求出需要的量即可．（1）金属棒匀速运动F 外=F 安 ，当安培力为最大值时，外力有最大值． 又∵E=BLv总R EI =∴F 安=BIL=总R vL B 22即当L 取最大值时，安培力有最大值 ∵L max =22sinπ =2（m ）38R 2121=+=R R R R 总（Ω）∴总R v L B F 2max 2max = 代入数据得F max =0.3（N ）（2）R 1、R 2相并联，由电阻丝R 1上的功率121R E P =，可知当max L L =时P 1有最大功率，即140.522.0 222122max 212max max =⨯⨯===R v L B R E P （W ） （3）金属棒与导轨接触点间的长度随时间变化 L =2sin （3πx ）（m ）且x=vt ，E=BLv ∴ I=总总R BLv R E == 43sin （35πt ）（A ） 2．金属棒（1）金属棒的受力情况：受安培力以外的拉力、阻力或仅受安培力；图1（2）金属棒的初始状态：静止或运动；（3）金属棒的运动状态：匀速、匀变速、非匀变速直线运动，转动； （4）金属棒割磁感线状况：整体切割磁感线或部分切割磁感线；（5）金属棒与导轨的连接：金属棒可整体或部分接入电路，即金属棒的有效长度问题． 3．磁场（1）磁场的状态：磁场可以是稳定不变的，也可以均匀变化或非均匀变化． （2）磁场的分布：有界或无界． 二、模型转换电磁感应现象考查的知识重点是法拉第电磁感应定律，根据法拉第电磁感应定律的表达式tBS nt nE ∆∆=∆∆Φ=)(，有下列四个模型转换： 1．B 变化，S 不变 （1）B 均匀变化 ①B 随时间均匀变化如果B 随时间均匀变化，则可以写出B 关于时间t 的表达式，再用法拉第电磁感应定律解题，如例2第（1）问．②B 随位置均匀变化B 随位置均匀变化的解题方法类似于B 随时间均匀变化的情形． （2）B 非均匀变化B 非均匀变化的情况在高中并不多见，如例2第（3）问．如果题目给出了B 非均匀变化的表达式，也可用后面给出的求导法求解．[例2]（2000·上海·23）如图2所示，固定于水平桌面上的金属框架cdef ，处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab 搁在框架上，可无摩擦滑动．此时abed 构成一个边长为l 的正方形，棒的电阻为r ，其余部分电阻不计．开始磁感强度为B 0．（1）若从t =0时刻起，磁感强度均匀增加，每秒增量为k ，同时棒保持静止．求棒中的感应电流．在图上标出感应电流的方向；（2）在上述（1）情况中，始终保持棒静止，当t =t 1末时需加的垂直于棒的水平拉力为多大？（3）若t =0时刻起，磁感强度逐渐减小，当棒以恒定速度v 向右做匀速运动时，可使棒中不产生感应电流，则磁感强度应怎样随时间变化（写出B 与t 的关系式）？解析：将加速度的定义式和电磁感应定律的表达式类比，弄清k 的物理意义，写出可与at v v t +=0相对照的B 的表达式kt B B +=0；第（3）问中B 、S 均在变化，要能抓住产生感应电流的条件（①回路闭合；②回路中有磁通量的变化）解题．（1）磁感强度均匀增加，每秒增量为k ，得k tB=∆∆ ∵感应电动势2S kl tBt E =∆∆=∆∆Φ=∴感应电流rkl r E I 2==由楞次定律可判定感应电流方向为逆时针，棒ab 上的电流方向为b →a ． （2）t=t 1时，B=B 0+kt 1 又∵F=BIl∴rkl kt B F 310)(+=（3）∵棒中不产生感应电流 ∴回路中总磁通量不变 ∴Bl （l+vt ）=B 0l 2 得vtl lB B +=02．B 不变，S 变化（1）金属棒运动导致S 变化金属棒在匀强磁场中做切割磁感线的运动时，其感应电动势的常用计算公式为BLv E =，此类题型较常见，如例3．[例3]（2002·上海·22）如图3所示，两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，d图2距离为l =0.2m ，在导轨的一端接有阻值为R =0.5Ω的电阻，在x ≥0处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感强度B =0.5T ．一质量为m =0.1kg 的金属直杆垂直放置在导轨上，并以v 0=2m/s 的初速度进入磁场，在安培力和一垂直于杆的水平外力F 的共同作用下做匀变速直线运动，加速度大小为a =2m/s 2、方向与初速度方向相反．设导轨和金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好．求：（1）电流为零时金属杆所处的位置；（2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F 的大小和方向；（3）保持其他条件不变，而初速度v 0取不同值，求开始时F 的方向与初速度v 0取值的关系．解析：杆在水平外力F 和安培力的共同作用下做匀变速直线运动，加速度a 方向向左．杆的运动过程：向右匀减速运动→速度为零→向左匀加速运动；外力F 方向的判断方法：先假设，再根据结果的正负号判断．（1）感应电动势E=Blv ，感应电流I=RBlvR E =∴I=0时v=0∴x =av 2 2=1（m ）（2）当杆的速度取最大速度v 0时，杆上有最大电流I m =RBlv 0RBlv I I m 22'0==安培力F 安=BI ’l=Rv l B 2022=0.02（N ）向右运动时F+F 安=ma ，得F=ma- F 安=0.18（N ），方向与x 轴相反 向左运动时F- F 安=ma ，得F=ma+F 安=0.22（N ），方向与x 轴相反（3）开始时v=v 0，F 安=BI m l=R v l B 022F+F 安=ma ，F=ma- F 安=ma- Rv l B 022∴当v 0<22l B maR=10m/s 时，F >0，方向与x 轴相反当v 0>22l B maR=10m/s 时，F <0，方向与x 轴相同 （2）导轨变形导致S 变化常常根据法拉第电磁感应定律解题，如例4.[例4] （2001·上海·22）如图4所示，半径为a 的圆形区域内有均匀磁场，磁感强度为B ＝0.2T ，磁场方向垂直纸面向里，半径为b 的金属圆环与磁场同心地放置，磁场与环面垂直，其中a ＝0.4m ，b ＝0.6m ，金属环上分别接有灯L 1、L 2，两灯的电阻均为R 0＝2Ω，一金属棒MN 与金属环接触良好，棒与环的电阻均忽略不计（1）若棒以v 0＝5m/s 的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径OO ’的瞬时（如图所示），MN 中的电动势和流过灯L 1的电流．（2）撤去中间的金属棒MN 将右面的半圆环OL 2O ’以OO ’为轴向上翻转90º，若此时磁场随时间均匀变化，其变化率为π4=∆∆t B （T/s ），求L 1的功率． 解析：（1）当棒滑过圆环直径OO ’的瞬时，棒的有效长度为2a ，灯L 1、L 2是并联的． E 1＝B 2av ＝0.2×0.8×5 ＝0.8（V ）4.028.011===R E I （A ） （2）将右面的半圆环OL 2O ’以OO ’为轴向上翻转90º后，圆环的有效面积为半圆．其中B 随时间是均匀变化的，注意此时灯L 1、L 2是串联的．32.0222=⨯∆∆=∆∆Φ=a t B t E π （V ）RE P 221)2(=＝1.28×102（W ） 另外还可在S 不规则变化上做文章，如金属棒旋转、导轨呈三角形等等． 3. “双杆+导轨”模型[例5]足够长的光滑金属导轨E F ，P Q 水平放置，质量为m 电阻为R 的相同金属棒ab ，cd 与导轨垂直且接触良好，磁感强度为B 的匀强磁场垂直导轨平面向里如图5所示。

电磁感应中的“杆+导轨”模型电磁感应中的“杆+导轨”模型一、单棒模型阻尼式：在单棒模型中，导体棒相当于电源，根据洛伦兹力的公式，可以得到安培力的特点为阻力，并随速度减小而减小，加速度随速度减小而减小，最终状态为静止。

根据能量关系、动量关系和瞬时加速度，可以得到公式B2l2v R rF和q mv/Bl，其中q表示流过导体棒的电荷量。

需要注意的是，当有摩擦或者磁场方向不沿竖直方向时，模型的变化会受到影响。

举例来说，如果在电阻不计的光滑平行金属导轨固定在水平面上，间距为L、导轨左端连接一阻值为R的电阻，整个导轨平面处于竖直向下的磁感应强度大小为B的匀强磁场中，一质量为m的导体棒垂直于导轨放置，a、b之间的导体棒阻值为2R，零时刻沿导轨方向给导体棒一个初速度v，一段时间后导体棒静止，则零时刻导体棒的加速度为0，零时刻导体棒ab两端的电压为BLv，全过程中流过电阻R的电荷量为mv/Bl，全过程中导体棒上产生的焦耳热为0.二、发电式在发电式中，导体棒同样相当于电源，当速度为v时，电动势E＝Blv。

根据安培力的特点，可以得到公式22Blv/l＝Blv/(R＋r)。

加速度随速度增大而减小，最终特征为匀速运动。

在稳定后的能量转化规律中，F-BIl-μmg=m*a，根据公式可以得到a=-(F-μmg)/m、v=0时，有最大加速度，a=0时，有最大速度。

需要注意的是，当电路中产生的焦耳热为mgh时，电阻R中产生的焦耳热也为mgh。

1.如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为θ，N、Q两点间接有阻值为R的电阻。

整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。

将质量为m、阻值也为R的金属杆cd垂直放在导轨上，杆cd由静止释放，下滑距离x时达到最大速度。

重力加速度为g，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。

求：1)杆cd下滑的最大加速度和最大速度；2)上述过程中，杆上产生的热量。

高中物理经典解题模型归纳高中物理24个经典模型1、"皮带"模型:摩擦力.牛顿运动定律.功能及摩擦生热等问题.2、"斜面"模型:运动规律.三大定律.数理问题.3、"运动关联"模型:一物体运动的同时性.独立性.等效性.多物体参与的独立性和时空联系.4、"人船"模型:动量守恒定律.能量守恒定律.数理问题.5、"子弹打木块"模型:三大定律.摩擦生热.临界问题.数理问题.6、"爆炸"模型:动量守恒定律.能量守恒定律.7、"单摆"模型:简谐运动.圆周运动中的力和能问题.对称法.图象法.8.电磁场中的"双电源"模型:顺接与反接.力学中的三大定律.闭合电路的欧姆定律.电磁感应定律.9.交流电有效值相关模型:图像法.焦耳定律.闭合电路的欧姆定律.能量问题.10、"平抛"模型:运动的合成与分解.牛顿运动定律.动能定理(类平抛运动).11、"行星"模型:向心力(各种力).相关物理量.功能问题.数理问题(圆心.半径.临界问题).12、"全过程"模型:匀变速运动的整体性.保守力与耗散力.动量守恒定律.动能定理.全过程整体法.13、"质心"模型:质心(多种体育运动).集中典型运动规律.力能角度.14、"绳件.弹簧.杆件"三件模型:三件的异同点,直线与圆周运动中的动力学问题和功能问题.15、"挂件"模型:平衡问题.死结与活结问题,采用正交分解法,图解法,三角形法则和极值法.16、"追碰"模型:运动规律.碰撞规律.临界问题.数学法(函数极值法.图像法等)和物理方法(参照物变换法.守恒法)等.17."能级"模型:能级图.跃迁规律.光电效应等光的本质综合问题.18.远距离输电升压降压的变压器模型.19、"限流与分压器"模型:电路设计.串并联电路规律及闭合电路的欧姆定律.电能.电功率.实际应用.20、"电路的动态变化"模型:闭合电路的欧姆定律.判断方法和变压器的三个制约问题.21、"磁流发电机"模型:平衡与偏转.力和能问题.22、"回旋加速器"模型:加速模型(力能规律).回旋模型(圆周运动).数理问题.23、"对称"模型:简谐运动(波动).电场.磁场.光学问题中的对称性.多解性.对称性.24、电磁场中的单杆模型:棒与电阻.棒与电容.棒与电感.棒与弹簧组合.平面导轨.竖直导轨等,处理角度为力电角度.电学角度.力能角度.高中物理11种基本模型题型1：直线运动问题题型概述：直线运动问题是高考的热点，可以单独考查，也可以与其他知识综合考查。

电磁感应现象中的杆4导轨模型一、单棒问题、含容式单棒问题三、无外力双棒问题竇力愣况分析动力学观点 *动量现点 运动情况伽能冒观点 牛輛定律 平衡羞件动能定理〕 幡■守恒无外力等距式1¥杆1做a渐小的加速运动杆2做a渐小的减速运动V1=V2I = 0无外力不等距式» 1杆1做a渐小的减速运动杆2做a渐小的加速运动a= 0I = 0L1V1 = L2V2四、有外力双棒问题题型一阻尼式单棒模型如图。

1 •电路特点：导体棒相当于电源。

4.运动特点：速度如图所示。

a减小的减速运动基本模型运动特点有外力等距式i厂F12杆1做a渐大的加速运动杆2做a渐小的加速运动有外力不等距式杆1做a渐小的加速运动杆2做a渐大的加速运动最终特征a i=a2, A v 恒定I恒定a i M a2, a i、a2恒定I恒定2•安培力的特点：安培力为阻力，并随速度减小而减小。

F B=BII= B+r3.加速度特点：加速度随速度减小而减小,a==5 •最终状态：静止 6.三个规律（1）能量关系：「'• ■ , -0 = Q ,=【典例1】如图所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽为 L 的区域内,那么（【答案】B由上述二式可得' ,- •，即B 选项正确。

【典例2】如图所示，AB 杆受一冲量作用后以初速度 V 0=4m/s 沿水平面内的固定轨道运动，经一段时间后而停止. AB 的质量为m=5g 导轨宽为L=0.4m ，电阻为R=2Q ，其余的电阻不计，磁 感强度B=0.5T ,棒和导轨间的动摩擦因数为卩=0.4 ,测得杆从运动到停止的过程中通过导线的（2）动量关系:BII t 0 mv 0（3）瞬时加速度: a ==-有一个边长为a （ a<L ）的正方形闭合线圈以初速V 0垂直磁场边界滑过磁场后速度变为V （ V<V 0）A. 完全进入磁场中时线圈的速度大于（ v o +v ) /2B. 安全进入磁场中时线圈的速度等于（ V o +V ) /2C. 完全进入磁场中时线圈的速度小于（V o +V ) /2D. 以上情况A B 均有可能，而C 是不可能的【解析】设线圈完全进入磁场中时的速度为对于线圈进入磁场的过程，据动量定理可得:对于线圈穿出磁场的过程，据动量定理可得:V x 。

核心素养提升——模型方法系列杆轨模型1．模型特点“杆＋导轨”模型是电磁感应问题高考命题的“基本道具”，也是高考的热点。

“杆＋导轨”模型问题的物理情境变化空间大，涉及的知识点多。

2．分析思路类型一“单杆＋水平轨道”模型物理模型匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为B，棒ab长为L，质量为m，初速度为零，拉力恒为F，水平导轨光滑，除电阻R外，其他电阻不计动态分析设运动过程中某时刻棒的速度为v，由牛顿第二定律知棒ab的加速度为a ＝Fm－B2L2vmR，a、v同向，随速度的增加，棒的加速度a减小，当a＝0时，v最大，I＝BLvR恒定收尾状态运动形式匀速直线运动力学特征a＝0，v恒定不变电学特征I恒定【典例1】如图，水平面(纸面)内间距为l的平行金属导轨间接一电阻，质量为m、长度为l的金属杆置于导轨上。

t＝0时，金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动。

t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动。

杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ。

重力加速度大小为g。

求：(1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；(2)电阻的阻值。

【解析】(1)设金属杆进入磁场前的加速度大小为a，由牛顿第二定律得ma ＝F －μmg ①设金属杆到达磁场左边界时的速度为v ，由运动学公式有v ＝at 0②当金属杆以速度v 在磁场中运动时，由法拉第电磁感应定律，杆中的电动势为E ＝Blv ③联立①②③式可得E ＝Blt 0(Fm－μg )④(2)设金属杆在磁场区域中匀速运动时，金属杆中的电流为I ，根据欧姆定律I ＝E R⑤式中R 为电阻的阻值。

金属杆所受的安培力为F A ＝BlI ⑥因金属杆做匀速运动，由牛顿运动定律得F －μmg －F A ＝0⑦联立④⑤⑥⑦式得R ＝B 2l 2t 0m答案：(1)Blt 0(F m －μg ) (2)B 2l 2t 0m金属杆在力F 作用下匀加速运动了t 0，在匀强磁场匀速运动，产生恒定电流，结合欧姆定律可求解。

物理杆模型总结归纳物理杆模型是物理学中常用的一种模型，用来描述和解决与杆、杠杆、旋转等相关的物理问题。

通过对物理杆模型的总结和归纳，我们可以更好地理解和应用这一模型。

一、物理杆模型的基本概念和特点物理杆是指一个具有质量、长度和能够绕其中一点转动的刚体。

在物理杆模型中，一般有以下几个基本概念和特点：1. 杆的长度：杆的长度是指杆的实际长度，相对于其他物体来说，杆可以是短的，也可以是长的。

2. 杆的质量：杆的质量是指杆所具有的质量，它可以影响杆的惯性和稳定性。

3. 杆的转动轴：杆的转动轴是指杆固定或支撑的点，它可以是杆的一端，也可以是杆的中点或其他位置。

4. 杆的转动惯量：杆的转动惯量是指杆围绕转动轴旋转时的惯性量度，它与杆的质量和形状有关。

二、物理杆模型的应用物理杆模型在解决各种与杆、杠杆、旋转有关的物理问题中具有广泛的应用。

以下是几个常见的应用例子：1. 杠杆平衡问题：杆可以用来解决平衡问题，例如天平的平衡、杠杆的平衡等。

通过对力的平衡条件的分析，可以推导出物体在杆上的力的大小和方向。

2. 转动力矩计算：杆的转动惯量和力矩的概念密切相关。

在物理杆模型中，利用杆的转动惯量和力矩的概念可以计算物体的转动力矩，进而解决与杆的转动有关的问题。

3. 杆的振动问题：杆不仅可以进行转动，还可以进行振动。

通过对杆的自由振动进行分析，可以求解杆的固有频率和振动模态。

三、物理杆模型的分析方法在使用物理杆模型解决问题时，可以采用以下几种分析方法：1. 力的平衡条件：根据杆的平衡状态和力的平衡条件，可以列出力的方程式，并解出未知力的大小和方向。

2. 动量守恒：对于杆的碰撞或其他动态问题，可以利用动量守恒定律，结合杆的特性，求解出问题中的未知量。

3. 转动惯量的计算：根据杆的形状和质量分布，可以计算出杆的转动惯量，从而得到杆的特性参数。

四、物理杆模型的局限性虽然物理杆模型具有广泛的应用，但也存在一定的局限性。

1. 实际情况的假设：在使用物理杆模型解决问题时，常常需要进行一些假设，例如忽略空气阻力、摩擦力等。

黑龙江省哈尔滨市木兰高级中学高中物理 经典复习资料 电磁感应现象中的“杆+导轨”模型问题解决电磁感应电路问题的关键就是借鉴或利用相似原型来启发理解和变换物理模型，即把电磁感应的问题等效转换成稳恒直流电路，把产生感应电动势的那部分导体等效为内电路.感应电动势的大小相当于电源电动势.其余部分相当于外电路，并画出等效电路图.此时，处理问题的方法与闭合电路求解基本一致，惟一要注意的是电磁感应现象中，有时导体两端有电压，但没有电流流过，这类似电源两端有电势差但没有接入电路时，电流为零。

变换物理模型，是将陌生的物理模型与熟悉的物理模型相比较，分析异同并从中挖掘其内在联系，从而建立起熟悉模型与未知现象之间相互关系的一种特殊解题方法.巧妙地运用“类同”变换，“类似”变换，“类异”变换，可使复杂、陌生、抽象的问题变成简单、熟悉、具体的题型，从而使问题大为简化.电磁感应现象部分的知识历来是高考的重点、热点，出题时可将力学、电磁学等知识溶于一体，能很好地考查学生的理解、推理、分析综合及应用数学处理物理问题的能力．通过近年高考题的研究，此部分每年都有“杆+导轨”模型的高考题出现。

一、命题演变“杆+导轨”模型类试题命题的“基本道具”：导轨、金属棒、磁场，其变化点有： 1．导轨（1）导轨的形状：常见导轨的形状为U 形，还可以为圆形、三角形、三角函数图形等； （2）导轨的闭合性：导轨本身可以不闭合，也可闭合； （3）导轨电阻：不计、均匀分布或部分有电阻、串上外电阻； （4）导轨的放置：水平、竖直、倾斜放置等等．[例1]（2003·上海·22）如图1所示，OACO 为置于水平面内的光滑闭合金属导轨，O 、C 处分别接有短电阻丝（图中粗线表法），R 1= 4Ω、R 2=8Ω（导轨其它部分电阻不计）．导轨OAC 的形状满足方程y =2sin （3x ）（单位：m ）．磁感强度B=0.2T 的匀强磁场方向垂直于导轨平面．一足够长的金属棒在水平外力F 作用下，以恒定的速率v=5.0m/s 水平向右在导轨上从O 点滑动到C 点，棒与导轨接触良好且始终保持与OC 导轨垂直，不计棒的电阻．求：（1）外力F 的最大值；（2）金属棒在导轨上运动时电阻丝R 1上消耗的最大功率； （3）在滑动过程中通过金属棒的电流I 与时间t 的关系．解析：本题难点在于导轨呈三角函数图形形状，金属棒的有效长度随时间而变化，但第（1）（2）问均求的是某一状态所对应的物理量，降低了一定的难度．解第（3）问时可根据条件推导出外力F 的表达式及电流I 与时间t 的关系式，由三角函数和其他条件求出需要的量即可．∵L max =22sinπ=2（m ）38R 2121=+=R R R R 总（Ω）∴总R v L B F 2max 2max = 代入数据得F max =0.3（N ）（2）R 1、R 2相并联，由电阻丝R 1上的功率121R E P =，可知当max L L =时P 1有最大功率，即140.522.0 222122max 212max max =⨯⨯===R v L B R E P （W ） （3）金属棒与导轨接触点间的长度随时间变化 L =2sin （3πx ）（m ）且x=vt ，E=BLv ∴ I=总总R BLv R E == 43sin （35πt ）（A ） 2．金属棒（1）金属棒的受力情况：受安培力以外的拉力、阻力或仅受安培力；（2）金属棒的初始状态：静止或运动；（3）金属棒的运动状态：匀速、匀变速、非匀变速直线运动，转动； （4）金属棒割磁感线状况：整体切割磁感线或部分切割磁感线；（5）金属棒与导轨的连接：金属棒可整体或部分接入电路，即金属棒的有效长度问题． 3．磁场（1）磁场的状态：磁场可以是稳定不变的，也可以均匀变化或非均匀变化． （2）磁场的分布：有界或无界． 二、模型转换电磁感应现象考查的知识重点是法拉第电磁感应定律，根据法拉第电磁感应定律的表达式tBS nt nE ∆∆=∆∆Φ=)(，有下列四个模型转换： 1．B 变化，S 不变 （1）B 均匀变化 ①B 随时间均匀变化如果B 随时间均匀变化，则可以写出B 关于时间t 的表达式，再用法拉第电磁感应定律解题，如例2第（1）问．②B 随位置均匀变化B 随位置均匀变化的解题方法类似于B 随时间均匀变化的情形．（2）B 非均匀变化B 非均匀变化的情况在高中并不多见，如例2第（3）问．如果题目给出了B 非均匀变化的表达式，也可用后面给出的求导法求解．[例2]）如图2所示，固定于水平桌面上的金属框架cdef ，处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab 搁在框架上，可无摩擦滑动．此时abed 构成一个边长为l 的正方形，棒的电阻为r ，其余部分电阻不计．开始磁感强度为B 0．（1）若从t =0时刻起，磁感强度均匀增加，每秒增量为k ，同时棒保持静止．求棒中的感应电流．在图上标出感应电流的方向；（2）在上述（1）情况中，始终保持棒静止，当t =t 1末时需加的垂直于棒的水平拉力为多大？（3）若t =0时刻起，磁感强度逐渐减小，当棒以恒定速度v 向右做匀速运动时，可使棒中不产生感应电流，则磁感强度应怎样随时间变化（写出B 与t 的关系式）？解析：将加速度的定义式和电磁感应定律的表达式类比，弄清k 的物理意义，写出可与at v v t +=0相对照的B 的表达式kt B B +=0；第（3）问中B 、S 均在变化，要能抓住产生感应电流的条件（①回路闭合；②回路中有磁通量的变化）解题．（1）磁感强度均匀增加，每秒增量为k ，得k tB=∆∆ ∵感应电动势2S kl tBt E =∆∆=∆∆Φ=∴感应电流rkl r E I 2==由楞次定律可判定感应电流方向为逆时针，棒ab 上的电流方向为b →a ． （2）t=t 1时，B=B 0+kt 1 又∵F=BIl∴rkl kt B F 310)(+=（3）∵棒中不产生感应电流 ∴回路中总磁通量不变 ∴Bl （l+vt ）=B 0l 2得vtl lB B +=02．B 不变，S 变化（1）金属棒运动导致S 变化金属棒在匀强磁场中做切割磁感线的运动时，其感应电动势的常用计算公式为BLv E =，此类题型较常见，如例3．[例3]（2002·上海·22）如图3所示，两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，距离为l =0.2m ，在导轨的一端接有阻值为R =0.5Ω的电阻，在x ≥0处有一与水平面× ×× ×d××××××××a b 图2B 0 cfmav 0 × × × ×× × × × B图3× × × × ×× × × xO l垂直的均匀磁场，磁感强度B =0.5T ．一质量为m =0.1kg 的金属直杆垂直放置在导轨上，并以v 0=2m/s 的初速度进入磁场，在安培力和一垂直于杆的水平外力F 的共同作用下做匀变速直线运动，加速度大小为a =2m/s 2、方向与初速度方向相反．设导轨和金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好．求：（1）电流为零时金属杆所处的位置；（2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F 的大小和方向；（3）保持其他条件不变，而初速度v 0取不同值，求开始时F 的方向与初速度v 0取值的关系．解析：杆在水平外力F 和安培力的共同作用下做匀变速直线运动，加速度a 方向向左．杆的运动过程：向右匀减速运动→速度为零→向左匀加速运动；外力F 方向的判断方法：先假设，再根据结果的正负号判断．（1）感应电动势E=Blv ，感应电流I=RBlvR E =∴I=0时v=0∴x =av 2 2=1（m ）（2）当杆的速度取最大速度v 0时，杆上有最大电流I m =RBlv 0RBlv I I m 22'0==安培力F 安=BI ’l=Rv l B 2022=0.02（N ）F+F 安=ma ，F=ma- F 安=ma- Rv l B 022∴当v 0<22l B maR=10m/s 时，F >0，方向与x 轴相反当v 0>22l B maR=10m/s 时，F <0，方向与x 轴相同 （2）导轨变形导致S 变化常常根据法拉第电磁感应定律解题，如例4.[例4] （2001·上海·22）如图4所示，半径为a 的圆形区域内有均匀磁场，磁感强度为B ＝0.2T ，磁场方向垂直纸面向里，半径为b 的金属圆环与磁场同心地放置，磁场与环面垂直，其中a ＝0.4m ，b ＝0.6m ，金属环上分别接有灯L 1、L 2，两灯的电阻均为R 0＝2Ω，一金属棒MN 与金属环接触良好，棒与环的电阻均忽略不计（1）若棒以v 0＝5m/s 的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径OO ’的瞬时（如图所示），MN 中的电动势和流过灯L 1的电流．（2）撤去中间的金属棒MN 将右面的半圆环OL 2O ’以OO ’为轴向上翻转90º，若此时磁场随时间均匀变化，其变化率为π4=∆∆t B （T/s ），求L 1的功率． 解析：（1）当棒滑过圆环直径OO ’的瞬时，棒的有效长度为2a ，灯L 1、L 2是并联的．E 1＝B 2av ＝0.2×0.8×5 ＝0.8（V ）4.028.011===R E I （A ） （2）将右面的半圆环OL 2O ’以OO ’为轴向上翻转90º后，圆环的有效面积为半圆．其中B 随时间是均匀变化的，注意此时灯L 1、L 2是串联的．32.0222=⨯∆∆=∆∆Φ=a t B t E π （V ）RE P 221)2(=＝1.28×102（W ） 另外还可在S 不规则变化上做文章，如金属棒旋转、导轨呈三角形等等． 3. “双杆+导轨”模型[例5]足够长的光滑金属导轨E F ，P Q 水平放置，质量为m 电阻为R 的相同金属棒ab ，cd 与导轨垂直且接触良好，磁感强度为B 的匀强磁场垂直导轨平面向里如图5所示。

物理建模10.电磁感应中的“杆＋导轨”模型模型构建“杆＋导轨”模型是电磁感应问题高考命题的“基本道具”，也是高考的热点，考查的知识点多，题目的综合性强，物理情景变化空间大，是我们复习中的难点．“杆＋导轨”模型又分为“单杆”型和“双杆”型(“单杆”型为重点)；导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜；杆的运动状态可分为匀速、匀变速、非匀变速运动等．模型分类及特点1．单杆水平式F B2L2vE解决电磁感应中综合问题的一般思路是“先电后力再能量”．【典例】图9－2－13(2013·安徽卷，16)如图9－2－13所示，足够长平行金属导轨倾斜放置，倾角为37 °，宽度为0.5 m，电阻忽略不计，其上端接一小灯泡，电阻为1 Ω.一导体棒MN垂直于导轨放置，质量为0.2 kg，接入电路的电阻为1 Ω，两端与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为0.5.在导轨间存在着垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为0.8 T．将导体棒MN由静止释放，运动一段时间后，小灯泡稳定发光，此后导体棒MN的运动速度以及小灯泡消耗的电功率分别为(重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6)()．A．2.5 m/s 1 W B．5 m/s 1 WC．7.5 m/s9 W D．15 m/s9 W解析导体棒MN匀速下滑时受力如图所示，由平衡条件可得F安＋μmg cos θ＝mg sin θ，所以F安＝mg(sin θ－μcos θ)＝0.4 N，由F安＝BIL得I＝F安BL＝1 A，所以E＝I(R灯＋R MN)＝2 V，导体棒的运动速度v＝EBL＝5 m/s，小灯泡消耗的电功率为P灯＝I2R灯＝1 W．正确选项为B.答案 B图9－2－14即学即练如图9－2－14所示，质量m1＝0.1 kg，电阻R1＝0.3 Ω，长度l＝0.4 m 的导体棒ab横放在U型金属框架上．框架质量m2＝0.2 kg，放在绝缘水平面上，与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2.相距0.4 m的MM′、NN′相互平行，电阻不计且足够长．电阻R2＝0.1 Ω的MN垂直于MM′.整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝0.5 T．垂直于ab施加F＝2 N的水平恒力，ab从静止开始无摩擦地运动，始终与MM ′、NN ′保持良好接触．当ab 运动到某处时，框架开始运动．设框架与水平面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取10 m/s 2. (1)求框架开始运动时ab 速度v 的大小；(2)从ab 开始运动到框架开始运动的过程中，MN 上产生的热量Q ＝0.1 J ，求该过程ab 位移x 的大小．解析 (1)ab 对框架的压力，F 1＝m 1g ① 框架受水平面的支持力，F N ＝m 2g ＋F 1②依题意，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则框架受到最大静摩擦力，F 2＝μF N ③ ab 中的感应电动势，E ＝Bl v ④ MN 中电流，I ＝ER 1＋R 2⑤ MN 受到的安培力，F 安＝IlB ⑥ 框架开始运动时，F 安＝F 2⑦由上述各式代入数据解得，v ＝6 m/s ⑧ (2)闭合回路中产生的总热量，Q 总＝R 1＋R 2R 2Q ⑨ 由能量守恒定律，得，Fx ＝12m 1v 2＋Q 总⑩代入数据解得x ＝1.1 m 答案 (1)6 m/s (2)1.1 m附：对应高考题组(PPT 课件文本，见教师用书)1．(2011·北京理综，19)某同学为了验证断电自感现象，自己找来带铁芯的线圈L 、小灯泡A 、开关S 和电池组E ，用导线将它们连接成如图所示的电路．检查电路后，闭合开关S ，小灯泡发光；再断开开关S ，小灯泡仅有不显著的延时熄灭现象．虽经多次重复，仍未见老师演示时出现的小灯泡闪亮现象，他冥思苦想找不出原因．你认为最有可能造成小灯泡未闪亮的原因是( )．A ．电源的内阻较大B ．小灯泡电阻偏大C ．线圈电阻偏大D ．线圈的自感系数较大解析 由自感规律可知在开关断开的瞬间造成灯泡闪亮以及延时的原因是在线圈中产生了与原电流同向的自感电流且大于稳定时通过灯泡的原电流．由题图可知灯泡和线圈构成闭合的自感回路，与电源无关，故A 错误；造成不闪亮的原因是自感电流不大于稳定时通过灯泡的原电流，当线圈电阻小于灯泡电阻时才会出现闪亮现象，故B 错误，C 正确；自感系数越大，则产生的自感电流越大，灯泡更亮，故D 错误． 答案C2．(2012·课标全国，19)如图所示，均匀磁场中有一由半圆弧及其直径构成的导线框，半圆直径与磁场边缘重合；磁场方向垂直于半圆面(纸面)向里，磁感应强度大小为B 0.使该线框从静止开始绕过圆心O 、垂直于半圆面的轴以角速度ω匀速转动半周，在线框中产生感应电流．现使线框保持图中所示位置，磁感应强度大小随时间线性变化．为了产生与线框转动半周过程中同样大小的电流，磁感应强度随时间的变化率ΔBΔt 的大小应为( )．A.4ωB 0π B.2ωB 0π C.ωB 0π D.ωB 02π解析 当线框绕过圆心O 的转动轴以角速度ω匀速转动时，由于面积的变化产生感应电动势，从而产生感应电流．设半圆的半径为r ，导线框的电阻为R ，即I 1＝E R ＝ΔΦR Δt ＝B 0ΔS R Δt ＝12πr 2B 0R πω＝B 0r 2ω2R 当线框不动，磁感应强度变化时，I 2＝E R ＝ΔΦR Δt＝ΔBS R Δt ＝ΔB πr 22R Δt ，因I 1＝I 2，可得ΔB Δt ＝ωB 0π，C 选项正确． 答案 C3．(2012·四川理综，20)半径为a 、右端开小口的导体圆环和长为2a 的导体直杆，单位长度电阻均为R 0.圆环水平固定放置，整个内部区域分布着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B .直杆在圆环上以速度v 平行于直径CD 向右做匀速直线运动，直杆始终有两点与圆环良好接触，从圆环中心O 开始，直杆的位置由θ确定，如图所示．则( )．A ．θ＝0时，直杆产生的电动势为2Ba vB ．θ＝π3时，直杆产生的电动势为3Ba vC ．θ＝0时，直杆受的安培力大小为2B 2a v(π＋2)R 0D ．θ＝π3时，直杆受的安培力大小为3B 2a v(5π＋3)R 0解析 当θ＝0时，直杆切割磁感线的有效长度l 1＝2a ，所以直杆产生的电动势E 1＝Bl 1v ＝2Ba v ，选项A 正确．此时直杆上的电流I 1＝E 1(πa ＋2a )R 0＝2B v(π＋2)R 0，直杆受到的安培力大小F 1＝BI 1l 1＝4B 2a v (π＋2)R 0，选项C 错误．当θ＝π3时，直杆切割磁感线的有效长度l 2＝2a cos π3＝a ，直杆产生的电动势E 2＝Bl 2v ＝Ba v ，选项B错误．此时直杆上的电流I 2＝E 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2πa －2πa 6＋a R 0＝3B v(5π＋3)R 0，直杆受到的安培力大小F 2＝BI 2l 2＝3B 2a v(5π＋3)R 0，选项D 正确．答案AD4．(2012·山东卷，20)如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为θ，上端接有定值电阻R ，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B .将质量为m 的导体棒由静止释放，当速度达到v 时开始匀速运动，此时对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力，并保持拉力的功率恒为P ，导体棒最终以2v 的速度匀速运动．导体棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为g .下列选项正确的是( )． A ．P ＝2mg v sin θ B ．P ＝3mg v sin θC ．当导体棒速度达到v 2时加速度大小为g2sin θD ．在速度达到2v 以后匀速运动的过程中，R 上产生的焦耳热等于拉力所做的功 解析 导体棒由静止释放，速度达到v 时，回路中的电流为I ，则根据平衡条件，有mg sin θ＝BIL .对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力，以2v 的速度匀速运动时，则回路中的电流为2I ，有F ＋mg sin θ＝2BIL ，所以拉力F ＝mg sin θ，拉力的功率P ＝F 2v ＝2mg v sin θ，故选项A 正确、选项B 错误；当导体棒的速度达到v2时，回路中的电流为I 2，根据牛顿第二定律，得mg sin θ－B I 2L ＝ma ，解得a ＝g2sin θ，选项C 正确；当导体棒以2v 的速度匀速运动时，根据能量守恒定律，重力和拉力所做的功之和等于R 上产生的焦耳热，故选项D 错误． 答案 AC5．(2012·广东理综，35)如图所示，质量为M 的导体棒ab ，垂直放在相距为l 的平行光滑金属导轨上．导轨平面与水平面的夹角为θ，并处于磁感应强度大小为B 、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中．左侧是水平放置、间距为d 的平行金属板．R 和R x 分别表示定值电阻和滑动变阻器的阻值，不计其他电阻． (1)调节R x ＝R ，释放导体棒，当棒沿导轨匀速下滑时，求通过棒的电流I 及棒的速率v .(2)改变R x ，待棒沿导轨再次匀速下滑后，将质量为m 、带电量为＋q 的微粒水平射入金属板间，若它能匀速通过，求此时的R x .解析 (1)导体棒匀速下滑时，Mg sin θ＝BIl ① I ＝Mg sin θBl②设导体棒产生的感应电动势为E 0，E 0＝Bl v ③ 由闭合电路欧姆定律得：I ＝E 0R ＋R x④ 联立②③④，得v ＝2MgR sin θB 2l 2⑤(2)改变R x ，由②式可知电流不变．设带电微粒在金属板间匀速通过时，板间电压为U ，电场强度大小为E U ＝IR x ⑥ E ＝U d ⑦mg ＝qE ⑧联立②⑥⑦⑧，得R x ＝mldBMq sin θ⑨答案 (1)Mg sin θBl 2MgR sin θB 2l 2 (2)mldBMq sin θ。

高中物理解题常用经典模型1、'皮带'模型:摩擦力，牛顿运动定律，功能及摩擦生热等问题.2、'斜面'模型:运动规律，三大定律，数理问题.3、'运动关联'模型:一物体运动的同时性，独立性，等效性，多物体参与的独立性和时空联系.4、'人船'模型:动量守恒定律，能量守恒定律，数理问题.5、'子弹打木块'模型:三大定律，摩擦生热，临界问题，数理问题.6、'爆炸'模型:动量守恒定律，能量守恒定律.7、'单摆'模型:简谐运动，圆周运动中的力和能问题，对称法，图象法.8.电磁场中的'双电源'模型:顺接与反接，力学中的三大定律，闭合电路的欧姆定律.电磁感应定律.9.交流电有效值相关模型:图像法，焦耳定律，闭合电路的欧姆定律，能量问题.10、'平抛'模型:运动的合成与分解，牛顿运动定律，动能定理(类平抛运动).11、'行星'模型:向心力(各种力)，相关物理量，功能问题，数理问题(圆心.半径.临界问题).12、'全过程'模型:匀变速运动的整体性，保守力与耗散力，动量守恒定律.动能定理.全过程整体法.13、'质心'模型:质心(多种体育运动)，集中典型运动规律，力能角度.14、'绳件.弹簧.杆件'三件模型:三件的异同点,直线与圆周运动中的动力学问题和功能问题.15、'挂件'模型:平衡问题，死结与活结问题,采用正交分解法,图解法,三角形法则和极值法.16、'追碰'模型:运动规律，碰撞规律，临界问题，数学法(函数极值法.图像法等)和物理方法(参照物变换法.守恒法)等.17.'能级'模型:能级图，跃迁规律，光电效应等光的本质综合问题.18.远距离输电升压降压的变压器模型.19、'限流与分压器'模型:电路设计，串并联电路规律及闭合电路的欧姆定律，电能，电功率，实际应用.20、'电路的动态变化'模型:闭合电路的欧姆定律，判断方法和变压器的三个制约问题.21、'磁流发电机'模型:平衡与偏转，力和能问题.22、'回旋加速器'模型:加速模型(力能规律)，回旋模型(圆周运动)，数理问题.23、'对称'模型:简谐运动(波动)，电场，磁场，光学问题中的对称性，多解性，对称性.24、电磁场中的单杆模型:棒与电阻，棒与电容，棒与电感，棒与弹簧组合，平面导轨，竖直导轨等,处理角度为力电角度，电学角度，力能角度。

专项突破：动量在电磁感应中的应用一、基础知识、基本题型梳理1. 自己创设情景，推导安培力冲量公式I 安=BLq2.电磁感应中流过导体截面的电荷量总总R BLX R q =∆Φ=（导体棒模型，,匝数为1，故上式中匝数n 取了1）将上式带入I=BLq 得：总安R x L B I 22=二、基本题型 （本部分的情景要尝试着自己逐个取推导分析，深刻理解，真正掌握！）（一）单棒问题1. 无容式单棒问题（结合受力分析、牛顿第二定律分析各情景的运动性质）分析情景2电动式需要考虑导体棒向右运动会产生反电动势。

常考情景为阻尼式和发电式！！典型例题：例1.如图所示，电阻为r、质量为m的金属棒垂直放置在水平光滑导轨上，导轨间距为L2，电阻不计，左端接阻值为R的电阻。

AB、CD之间存在匀强磁场，磁感应强度为B，其间距为L1。

金属棒以υ0进入匀强磁场区域，求：以下情况中通过电阻R的电荷量。

(1)金属棒最终冲出磁场区域(2)金属棒最终没有冲出磁场区域例题2.如图所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽度为L的区域内，现有一个边长为a(a﹤L)的正方形闭合线圈以初速度v0垂直磁场边界滑过磁场后，速度为v(v﹤v0)，那么线圈A.完全进入磁场中时的速度大于(v0+v)/2B.完全进入磁场中时的速度等于(v0+v)/2C.完全进入磁场中时的速度小于(v0+v)/2D.以上情况均有可能例题3.如图所示，MN、PQ是两条水平放置彼此平行的金属导轨，匀强磁场的磁感线垂直导轨平面。

导轨左端接阻值R=1.5Ω的电阻，电阻两端并联一电压表，垂直导轨跨接一金属杆ab，ab的质量m=0.1kg，电阻r=0.5Ω。

ab与导轨间动摩擦因数μ=0.5，导轨电阻不计，现用F=0.7N的恒力水平向右拉ab，使之从静止开始运动，经时间t=2s 后，ab开始做匀速运动，此时电压表示数U=0.3V。

重力加速度g=10m／s 2。

求：(1)ab匀速运动时，外力F的功率；(2)ab杆加速过程中，通过R的电量；(3)ab杆加速运动的距离。