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北京一零一中2022—2023学年度第一学期期中练习初二数学一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分．1.下面四个图形是我校校训“百尺竿头，更进一步”中某个字的小篆体，其中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.在Rt △ABC 中，已知∠ACB 是直角，∠B ＝55°，则∠A 的度数是（）A.55°B.45°C.35°D.25°3.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A.3，4，7B.6，7，12C.6，7，14D.3，4，84.如图所示，小青书上的三角形被墨逆污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A.ASAB.SASC.AASD.SSS5.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()3,1A -，则点A 关于x 轴的对称点的坐标是（）A.()3,1 B.()3,1- C.()3,1-- D.()1,3-6.如图△ABC ≌△ADE ，若∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=25°，则∠EAC 的度数为（）A.45°B.40°C.35°D.25°7.等腰三角形的一个角是80︒，它的底角的大小为（）A.80︒B.50︒ C.80︒或20︒D.80︒或50︒8.如图，BE =CF ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，要根据“HL ”证明Rt △ABE ≌Rt △DCF ，则还需要添加一个条件是（）A.AE =DFB.∠A =∠DC.∠B =∠CD.AB =DC9.如图，等边ABC 的边长为8，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若4AE =，则当EF CF +取得最小值时，ECF ∠的度数为（）A.22.5︒B.30︒C.45︒D.15︒10.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，过C 点作CG AB ⊥于点G ，交AD 于点E ，过D 点作DF AB ⊥于点F ．下列结论中正确的个数是（）①CED CDE ∠=∠②::AEC AEG S S AC AG =△△③2ADF FDB∠=∠④CE DF=A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本大题共8小题，每题3分，共24分．11.若一个多边形的边数是7，则该多边形的内角和是________．12.如图，点D 在ABC 的边BC 的延长线上，若45B ∠=︒，150ACD ∠=︒，则A ∠的大小为______．13.如图，ABC ∆中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，20ABC S ∆=，则阴影部分的面积是____.14.如图，AD BC ⊥，BD CD =，点C 在AE 的垂直平分线上，若5AB =，3BD =，则BE 的长为_________．15.如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝60°，点D 为AB 边的中点，DE ⊥BC 于E ，若BE ＝1，则AC 的长为_____．16.如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D ，E ，当AD ＝3，BE ＝1时，则DE 的长为________．17.如图，已知等边△ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是____度．18.如果一条线段将一个三角形分割成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”．（1）如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在AC 边上，且AD BD BC ==，则A ∠=_________度；（2）在ABC 中，27B ∠=︒，AD 和DE 是ABC 的“好好线”，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，则C ∠的度数为_________．三、解答题：本大题共7小题，第19题5分，第21、22题每题6分，第20、23、24题每题7分，第25题8分，共46分．19.如图，已知AB BC =，BCD ABD ∠=∠，点E 在BD 上，BE CD =．求证：AE BD =．20.如图，在平面直角坐标系中，()1,2A ，()3,1B ，()2,1C --．（1）在图中作出ABC 关于y 轴对称的111A B C △；（2）写出点1A ，1B ，1C 的坐标；（3）求111A B C △的面积．21.下面是小东设计的尺规作图过程．已知：如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=°．求作：点D ，使得点D 在BC 边上，且到AB 和AC 的距离相等．作法：①如图，以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ；②分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 为半径画弧，两弧交于点P ；③画射线AP ，交BC 于点D ．所以点D 即为所求．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：过点D 作DEAC ⊥于点E ，连接MP NP ，．在 AMP 和ANP 中，∵AM AN =，MP NP =，AP AP =，∴ AMP ≌ANP （SSS ）．∴∠=∠.∵∠ABC =90°，∴DB AB ⊥.∵DEAC ⊥，∴DB DE =（）．22.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F ．（1）若∠C ＝36°，求∠BAD 的度数．（2）求证：FB ＝FE ．23.我们规定在网格内的某点进行一定条件操作到达目标点：H 代表所有的水平移动，1H 代表向右水平移动1个单位长度，H 1-代表向左平移1个单位长度；S 代表上下移动，1S 代表向上移动1个单位长度，S 1-代表向下移动1个单位长度，(__)P H S →表示点P 在网格内先一次性水平移动，在此基础上再一次性上下移动．（1）如图1，在网格中标出()24A H S →移动后所到达的目标点A '；（2）如图2，在网格中的点B 到达目标点A ，写出点B 的移动方法__________________；（3）如图3，在网格内有格点线段（即端点在格点上的线段）AC ，现需要由点A 出发，到达目标点D ，使得A 、C 、D 三点构成的格点三角形（即顶点在格点上的三角形）是等腰直角三角形，在图中标出所有符合条件的点D 的位置并写出点A 的移动方法．24.在等边ABC 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为D ，连接BD ，CD ，其中CD 交直线AP 于点E ．（1）如图1，若30PAB ∠=︒，则ACE ∠=_________；（2）如图2，若6090PAB ︒<∠<︒，请补全图形，判断由线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有多少度角的三角形，并说明理由．25.如图，在平面直角坐标系xOy 中，经过点()0,M m 并且平行于x 轴的直线可以记作直线y m =．我们给出如下的定义：点(),P x y 先关于x 轴对称得到点1P ，再将点1P 关于直线y m =对称得到点P '，则称点P '为点P 关于x 轴和直线y m =的二次反射点．（1）点()2,4A 关于x 轴和直线2y =的二次反射点A '的坐标是_________；（2）若点()5,2B -关于x 轴和直线y m =的二次反射点B '的坐标是()5,6，那么m =_________；（3）若点C 的坐标是30,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中0m >，点C 关于x 轴和直线y m =的二次反射点是C '，求线段CC '的长（用含m 的式子表示）；（4）已知一个三角形的三个顶点坐标分别为()0,0、()3,0、()2,2，如果点()2,1P ，()2,2Q 关于x 轴和直线y m =的二次反射点分别为P '，Q '，且线段P Q ''与三角形的边没有公共点，直接写出m 的取值范围．北京一零一中2022—2023学年度第一学期期中练习初二数学一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分．1.下面四个图形是我校校训“百尺竿头，更进一步”中某个字的小篆体，其中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据轴对称的定义，结合所给图形进行判断即可．【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；故选：A．【点睛】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2.在Rt△ABC中，已知∠ACB是直角，∠B＝55°，则∠A的度数是（）A.55°B.45°C.35°D.25°【答案】C【分析】根据直角三角形两锐角互余，即可求解．【详解】解：∵∠ACB是直角，∴∠ACB=90°，∵∠B＝55°，∴∠A=90°-∠B=35°．故选：C【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．3.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A.3，4，7B.6，7，12C.6，7，14D.3，4，8【答案】B【分析】直接利用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，进而判断得出答案．+=，不能构成三角形，不符合题意；【详解】解：A．∵347B ．∵6+712＞，能构成三角形，符合题意；C ．∵6+714＜，不能构成三角形，不符合题意；D ．∵3+48＜，不能构成三角形，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较短的两条线段的长度之和是否大于第三条线段的长．4.如图所示，小青书上的三角形被墨逆污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A.ASAB.SASC.AASD.SSS【答案】A【分析】根据全等三角形的判定理进行解答即可．【详解】解：有图形可知，图中有两角以及两角所夹的边相等，故这两个三角形完全一样的依据是“ASA ”，故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解本题的关键．5.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()3,1A -，则点A 关于x 轴的对称点的坐标是（）A.()3,1 B.()3,1- C.()3,1-- D.()1,3-【答案】A【分析】利用关于x 轴的对称点的坐标特点可得答案．【详解】解：∵点()3,1A -，∴点A 关于x 轴的对称点的坐标是()3,1，故选：A ．【点睛】此题主要考查坐标的对称，解题的关键是熟知关于x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．6.如图△ABC ≌△ADE ，若∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=25°，则∠EAC 的度数为（）A.45°B.40°C.35°D.25°【答案】A【详解】∵△ABC≌△ADE，∴∠D=∠B=80°，∠E=∠C=30°，∴∠DAE=180°−∠D−∠E=70°，∴∠EAC=∠EAD−∠DAC=45°，故选A.点睛：本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等、对应边相等是解题的关键.7.等腰三角形的一个角是80︒，它的底角的大小为（）A.80︒B.50︒C.80︒或20︒D.80︒或50︒【答案】D【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分两种情况进行分析．【详解】解：①当顶角是80︒时，它的底角1(18080)502=︒-︒=︒；②底角是80︒．所以底角是50︒或80︒．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．8.如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（）A.AE=DFB.∠A=∠DC.∠B=∠CD.AB=DC【答案】D【分析】根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，由已知BE CF=，直角边对应相等，根据HL全等三角形的判定定理缺少斜边即可．【详解】解：添加的条件是AB＝CD；理由如下：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD ＝∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 和Rt △DCF 中，AB CD BE CF =⎧⎨=⎩，∴Rt ABE Rt DCF ≅ (HL )．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．9.如图，等边ABC 的边长为8，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若4AE =，则当EF CF +取得最小值时，ECF ∠的度数为（）A.22.5︒B.30︒C.45︒D.15︒【答案】B 【分析】根据对称性和等边三角形的性质，作BE AC ⊥于点E ，交AD 于点F ，此时BF CF =，EF CF +最小，进而求解．【详解】解：如图：过点B 作BE AC ⊥于点E ，交AD 于点F ，连接CF ，ABC ∆ 是等边三角形，边长为8，若4AE =，4AE EC ∴==，AF FC ∴=，FAC FCA ∴∠=∠，AD 是等边ABC ∆的BC 边上的中线，30BAD CAD ∴∠=∠=︒，30ECF ∴∠=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点E 和F 的位置．10.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，过C 点作CG AB ⊥于点G ，交AD 于点E ，过D 点作DF AB ⊥于点F ．下列结论中正确的个数是（）①CED CDE∠=∠②::AEC AEG S S AC AG =△△③2ADF FDB ∠=∠④CE DF =A.1B.2C.3D.4【答案】C 【分析】由90ACB ∠=︒，CG AB ⊥得ACE B ∠=∠，再由三角形外角的性质得CED CDE ∠=∠，得CE CD =；根据角平分线的性质，得CD DF =，根据等高的两个三角形面积之比等于底边之比得出::AEC AEG S S AC AG =△△；等量代换得CE DF =，从而得出答案．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，CG AB ⊥，∴9090ACE BCG B BCG ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴ACE B ∠=∠，∵CED CAE ACE CDE B DAB ∠=∠+∠∠=∠+∠，，AE 平分CAB ∠，∴CED CDE ∠=∠，①正确；∴CE CD =，又AE 平分CAB ∠，90ACB ∠=︒，DF AB ⊥于F ，∴CD DF =．∵E 到AC 与AG 的距离相等，∴::AEC AEG S S AC AG =△△，②正确；∵CE CD CD DF ==，，∴CE DF =，④正确．无法证明2ADF FDB ∠=∠．正确的结论有：①②④，故选：C ．【点睛】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形的性质和三角形外角的性质．二、填空题：本大题共8小题，每题3分，共24分．11.若一个多边形的边数是7，则该多边形的内角和是________．【答案】900 ##900度【分析】多边形的内角和可以表示成（n -2）×180°【详解】解：（7-2）×180°=900°．故这个多边形的内角和为900°．故答案为：900°【点睛】本题考查了多边形内角内角和公式，熟记公式是解题的关键．12.如图，点D 在ABC 的边BC 的延长线上，若45B ∠=︒，150ACD ∠=︒，则A ∠的大小为______．【答案】105︒【分析】根据三角形外角的性质求解即可．【详解】解：ACD A B ∠∠∠=+ ，又45B ∠=︒ ，150ACD ∠=︒，15045105A ∠∴=︒-︒=︒，故答案为：105︒．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．13.如图，ABC ∆中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，20ABC S ∆=，则阴影部分的面积是____.【答案】5【分析】根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：△ADC 是阴影部分的面积的2倍，△ABC 的面积是△ADC 的面积的2倍，依此即可求解．【详解】解：∵D 、E 分别为BC 、AD 的中点，∴S △ADC =12S △ABC ，S △ACE =12S △ACD ，∴S △ACE =14×S △ABC =14×20=5∴阴影部分的面积等于5．故答案为：5【点睛】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为相等的两部分．14.如图，AD BC ⊥，BD CD =，点C 在AE 的垂直平分线上，若5AB =，3BD =，则BE 的长为_________．【答案】11【分析】由AD BC ⊥，BD DC =知，点C 在AE 的垂直平分线上，由垂直平分线的性质得AB AC CE ==，即可得到结论．【详解】解：AD BC ⊥ ，BD CD =，AB AC ∴=；又 点C 在AE 的垂直平分线上，AC EC ∴=，5AB AC CE ∴===；3BD CD == ，33511BE BD CD CE ∴=++=++=，故答案为：11．【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．15.如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝60°，点D 为AB 边的中点，DE ⊥BC 于E ，若BE ＝1，则AC 的长为_____．【答案】4【分析】根据直角三角形的性质得到BD ＝2BE ＝2，求出AB ，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答即可．【详解】解：∵DE ⊥BC ，∠B ＝∠C ＝60°，∴∠BDE ＝30°，∴BD ＝2BE ＝2，∵点D 为AB 边的中点，∴AB ＝2BD ＝4，∵∠B ＝∠C ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AC ＝AB ＝4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB ＝2BD 是解题的关键.16.如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D ，E ，当AD ＝3，BE ＝1时，则DE 的长为________．【答案】2【分析】由题意易得ACD CBE ∠=∠，易证ACD CBE ≌，然后可得3,1AD CE CD BE ====，进而问题可求解．【详解】解：∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴90ADC CEB ∠=∠=︒，∵∠ACB ＝90°，∴90ACD BCE BCE CBE ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACD CBE ∠=∠，∵AC ＝BC ，∴ACD CBE ≌（AAS ），∴3,1AD CE CD BE ====，∴2DE CE CD =-=；故答案为2．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．17.如图，已知等边△ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是____度．【答案】60【分析】先证明ABD BCE ∆≅∆，进而得BAD CBE ∠=∠，再运用外角的性质代换即可求解．【详解】证明：ABC ∆ 是等边三角形，AB BC ∴=，60ABD C ∠=∠=︒，在ABD ∆和BCE ∆中，60AB BC ABC C BD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABD BCE SAS ∴∆≅∆，BAD CBE ∴∠=∠，60APE BAD ABP ABP PBD ABD ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒．故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形外角与内角的关系等知识，证明三角形全等是解题关键．18.如果一条线段将一个三角形分割成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”．（1）如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在AC 边上，且AD BD BC ==，则A ∠=_________度；（2）在ABC 中，27B ∠=︒，AD 和DE 是ABC 的“好好线”，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，则C ∠的度数为_________．【答案】①.36②.18︒或42︒【分析】（1）利用等边对等角得到三对角相等，设A ABD x ∠=∠=，表示出BDC ∠与C ∠，列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即可确定出A ∠的度数；（2）用量角器，直尺标准作27︒角，而后确定一边为BA ，一边为BC ，根据题意可以先固定BA 的长，而后可确定D 点，再分别考虑AD 为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A 、E 、C 在同一直线上，易得2种三角形ABC ；根据图形易得C ∠的值．【详解】解：（1）AB AC = ，ABC C ∴∠=∠，BD BC AD == ，A ABD ∴∠=∠，C BDC ∠=∠，设A ABD x ∠=∠=，则2BDC x ∠=，1(180)2C x ∠=︒-，可得12(180)2x x =︒-，解得：36x =︒，则36A ∠=︒，故答案为：36；（2）分两种情况：①如图所示：当AD AE =时，22727x x +=︒+︒ ，18x ∴=︒；②如图所示：当AD DE =时，27272180x x ︒+︒++=︒ ，42x ∴=︒；故答案为：18︒或42︒．【点睛】本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题．三、解答题：本大题共7小题，第19题5分，第21、22题每题6分，第20、23、24题每题7分，第25题8分，共46分．19.如图，已知AB BC =，BCD ABD ∠=∠，点E 在BD 上，BE CD =．求证：AE BD =．【答案】见解析【分析】根据题目中的条件和全等三角形判定的方法，可以写出△ABE ≌△BCD 成立的条件，然后即可得到AE ＝BD ．【详解】证明：∵∠BCD ＝∠ABD ，∴∠BCD ＝∠ABE ，在ABE 和BCD △中，AB BC ABD BCD BE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE BCD SAS ≅△△．∴AE BD =．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20.如图，在平面直角坐标系中，()1,2A ，()3,1B ，()2,1C --．（1）在图中作出ABC 关于y 轴对称的111A B C △；（2）写出点1A ，1B ，1C 的坐标；（3）求111A B C △的面积．【答案】（1）见解析（2）()11,2A -；()13,1B -；()12,1C -（3）92【分析】（1）根据题意找到,,A B C 关于y 轴的对称点1A ，1B ，1C ，顺次连接即可，（2）根据（1）写出1A ，1B ，1C 的坐标即可；（3）根据坐标与网格的特点用长方形减去三个三角形的面积求解即可．【小问1详解】解：如图：【小问2详解】解：由图可知()11,2A -()13,1B -()12,1C -【小问3详解】解：11111153251233222A B C S =⨯-⨯⨯-⨯-⨯⨯ 92=【点睛】本题考查了画轴对称图形，关于y 轴对称的点的坐标，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解题的关键．21.下面是小东设计的尺规作图过程．已知：如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=°．求作：点D ，使得点D 在BC 边上，且到AB 和AC 的距离相等．作法：①如图，以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ；②分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 为半径画弧，两弧交于点P ；③画射线AP ，交BC 于点D ．所以点D 即为所求．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：过点D 作DE AC ⊥于点E ，连接MP NP ，．在 AMP 和ANP 中，∵AM AN =，MP NP =，AP AP =，∴ AMP ≌ANP （SSS ）．∴∠=∠.∵∠ABC =90°，∴DB AB ⊥.∵DE AC ⊥，∴DB DE =（）．【答案】（1）补全图形见解析（2）∠PAM ，∠PAN ，角的平分线上的点到角的两边的距离相等【分析】（1）按照要求补全图形即可；（2）读懂证明中的每一个步骤及推理的依据，即可完成．【小问1详解】补全的图形如下：【小问2详解】过点D 作DE AC ⊥于点E ，连接MP NP ，．在 AMP 和ANP 中，∵AM AN =，MP NP =，AP AP =，∴ AMP ≌ANP （SSS ）．∴∠PAM =∠PAN ．∠=90°，∴ABC⊥.∴DB AB⊥，∵DE AC=（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）．∴DB DE故答案为：∠PAM，∠PAN，角的平分线上的点到角的两边的距离相等【点睛】本题考查了用尺规作角平分线，三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理等知识，灵活运用它们是关键．22.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC 交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．（2）求证：FB＝FE．【答案】（1）54°，（2）见解析【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．（2）利用角平分线性质和平行线性质证明∠FBE＝∠FEB即可．【详解】解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣36°＝54°．（2）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE ＝∠EBC ，又∵EF ∥BC ，∴∠EBC ＝∠BEF ，∴∠EBF ＝∠FEB ，∴BF ＝EF ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和判定，熟练运用平行线进行角的推导和证明．23.我们规定在网格内的某点进行一定条件操作到达目标点：H 代表所有的水平移动，1H 代表向右水平移动1个单位长度，H 1-代表向左平移1个单位长度；S 代表上下移动，1S 代表向上移动1个单位长度，S 1-代表向下移动1个单位长度，(__)P H S →表示点P 在网格内先一次性水平移动，在此基础上再一次性上下移动．（1）如图1，在网格中标出()24A H S →移动后所到达的目标点A '；（2）如图2，在网格中的点B 到达目标点A ，写出点B 的移动方法__________________；（3）如图3，在网格内有格点线段（即端点在格点上的线段）AC ，现需要由点A 出发，到达目标点D ，使得A 、C 、D 三点构成的格点三角形（即顶点在格点上的三角形）是等腰直角三角形，在图中标出所有符合条件的点D 的位置并写出点A 的移动方法．【答案】（1）见解析（2）(32)B H S -→-或(23)B S H -→-（3）图见解析过程，(24)A H S -→、(12)A H S -→、(21)A H S →、(31)A H S →-、(42)A H S →．【分析】（1）点A 向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到A '；（2）点B 向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到A 或向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到A ；（3）有5种情况，满足A 、C 、D 三点构成的格点三角形是等腰直角三角形，写出从点A 出发到点D 的移动方法即可．【小问1详解】解：如图1所示：【小问2详解】解：点B 向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到A ，即(32)B H S -→-，向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到A ，(23)B S H -→-，故答案为：(32)B H S -→-或(23)B S H -→-；【小问3详解】解：如图3，符合条件的点D 有5个，(24)A H S -→、(12)A H S -→、(21)A H S →、(31)A H S →-、(42)A H S →．【点睛】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质，理解新定义，解题的关键是熟知平移的符号表示．24.在等边ABC 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为D ，连接BD ，CD ，其中CD 交直线AP 于点E ．（1）如图1，若30PAB ∠=︒，则ACE ∠=_________；（2）如图2，若6090PAB ︒<∠<︒，请补全图形，判断由线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有多少度角的三角形，并说明理由．【答案】（1）30︒（2）补图见详解，线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60︒角的三角形，理由见详解【分析】（1）根据题意可得30DAP BAP ∠=∠=︒，然后根据AB AC =，60BAC ∠=︒，得出AD AC =，120DAC ∠=︒，最后根据三角形的内角和公式求解；（2）由线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60度角的三角形，连接AD ，EB ，根据对称可得EDA EBA ∠=∠，然后证得AD AC =，最后即可得出60BAC BEC ∠=∠=︒．【小问1详解】解：连接AD ，如图，在等边ABC 中，60BAC ABC BCA ∠=∠=∠=︒，AB BC CA ==，∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD AB =，30DAP BAP ∠=∠=︒，∵AB AC =，60BAC ∠=︒，∴AD AC =，120DAC DAP BAP BAC ∠=∠+∠+∠=︒，∴120180ACE ADC ∠+∠+︒=︒，120ACE ADC ∠=∠+︒，∴30ACE ∠=︒，故答案为：30︒；【小问2详解】解：补全图形如下：线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60︒角的三角形．证明：连接AD ，EB ，如图2．在等边ABC 中，60BAC ABC BCA ∠=∠=∠=︒，AB BC CA ==，∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD AB =，DE BE =，∴BDA DBA ∠=∠，EDB EBD ∠=∠，∴EDA EBA ∠=∠，∵AB AC =，AB AD =，∴AD AC =，∴ADE ACE ∠=∠，∴ABE ACE =∠∠．设AC ，BE 交于点F ，又∵AFB CFE ∠=∠，∴60BAC BEC ∠=∠=︒，结合：AB BC =，DE BE =，可知以线段AB ，CE ，ED 构成的三角形必与EBC 全等，∵60BEC ∠=︒，∴线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60︒角的三角形．【点睛】本题考查了根据轴对称变换作图，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解答本题的关键是根据轴对称的性质作出对应点的位置以及掌握等腰三角形的性质．25.如图，在平面直角坐标系xOy 中，经过点()0,M m 并且平行于x 轴的直线可以记作直线y m =．我们给出如下的定义：点(),P x y 先关于x 轴对称得到点1P ，再将点1P 关于直线y m =对称得到点P '，则称点P '为点P 关于x 轴和直线y m =的二次反射点．（1）点()2,4A 关于x 轴和直线2y =的二次反射点A '的坐标是_________；（2）若点()5,2B -关于x 轴和直线y m =的二次反射点B '的坐标是()5,6，那么m =_________；（3）若点C 的坐标是30,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中0m >，点C 关于x 轴和直线y m =的二次反射点是C '，求线段CC '的长（用含m 的式子表示）；（4）已知一个三角形的三个顶点坐标分别为()0,0、()3,0、()2,2，如果点()2,1P ，()2,2Q 关于x 轴和直线y m =的二次反射点分别为P '，Q '，且线段P Q ''与三角形的边没有公共点，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）()2,8（2）4（3）2m （4）12m >或102m -<<或1m <-【分析】（1）直接根据坐标系中对称点的性质求解即可；（2）根据二次反射点的定义得出B '()5,22m -，确定一元一次方程求解即可；（3）结合（1）（2）结论，由特定到一般即可得出点C '30,22m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，确定线段CC '的长；（4）先确定出P '()2,21m +，Q '()2,22m +，得出P Q y ''∥，1P Q ''=，2221m m +>+，然后结合图象分三种情况讨论：①当P Q ''在点C 上方时；②当P Q ''在点三角形内时；③当P Q ''在点三角形下方时；分别列出不等式求解即可．【小问1详解】解：点()2,4A 关于x 轴的对称点为()12,4A -，点()12,4A -关于2y =的对称点为A '()2,8，故答案为：()2,8；【小问2详解】点()5,2B -关于x 轴的对称点为()15,2B ，点()15,2B 关于y m =的对称点为B '()5,22m -，∴226m -=，∴4m =，故答案为：4；【小问3详解】∵点C 的坐标是30,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中0m >，∴点C 关于x 轴的对称点为130,2m C ⎛⎫-⎪⎝⎭，∴点130,2m C ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于y m =的对称点为C '30,22m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴CC '332222m m m m =+-=；【小问4详解】∵()2,1P ，()2,2Q ，∴P 、Q 关于x 轴的反射点为()11,1P -，()12,2Q -，∴()11,1P -，()12,2Q -关于y m =的对称点为P '()2,21m +，Q '()2,22m +，∴P Q y ''∥，1P Q ''=，2221m m +>+，三角形如图所示：∵线段P Q ''与三角形的边没有公共点，∴分三种情况：①当P Q ''在点（2，2）上方时，212m +>时，解得：12m >；②当P Q ''在点三角形内时，222210m m +<⎧⎨+>⎩，解得：102m -<<；③当P Q''在点三角形下方时，220m+<时，解得：1m<-；综上可得：线段P Q''与三角形的边没有公共点时，12m>或102m-<<或1m<-．【点睛】题目主要考查坐标与图形，轴对称的性质及不等式的应用，理解题意，掌握坐标系中轴对称的点的特点是解题关键．。
2022北京二中初二（上）期中数学考查目标1．知识：人教版八年级上册《三角形》《全等三角形》、《轴对称》《整式的乘法与因式分解》的全部内容．2、能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力．A 卷面成绩90%(满分90分)B 过程性评价(满分10分)学业成绩总评=AB(满分100分)考生须知1．本试卷分为第I 卷、第II 卷和答题卡，共16页；其中第1卷2页，第I卷6页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题．2，本试卷满分100分，考试时间120分钟．3．在第1卷、第II 卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号．4．考试结束，将答题卡交回．第I 卷(选择题共16分)一、选择题(共16分，每题2分，以下每题只有一个．．．．正确的选项)1.2022年，北京中轴线申遗进入加速阶段，北京中轴线北起钟鼓楼，南至永定门，贯穿老城南北，直线距离长约7.8公里，是我国现存最完整、最古老的中轴线．这条中轴线一路向北延伸，鸟巢、冰立方为这条古老的中轴线注入了新的生命力，它正向世界述说着这座千年古都的时代新貌，下列关于中轴线建筑的简笔画，其中是轴对称图形的是（）A . B. C. D.2.下列运算正确的是（）A.()236a a a -⋅=- B.()235 a a =C.933()x x x ÷-=- D.()341228a a -=-3.如图，用三角尺作ABC 的边AB 上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（）A. B.C. D.4.如图，1∠，2∠，3∠是五边形ABCDE 的三个外角，边CD ，AE 的延长线交于点F ，如果123225∠+∠+∠=︒，那么DFE ∠的度数是（）A.45︒B.55︒C.65︒D.75︒5.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A.21234a b a ab=⋅ B.222469(23)x xy y x y -+=-C.22(21)xy xy y y xy x -+-=--+ D.2(3)(3)9x x x +-=-6.为估计池塘两岸A 、B 间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了点O ，测得18m OA =，12m OB =，那么A 、B 间的距离不可能是（）A .5m B.13m C.21mD.29m 7.如图，∠EAF ＝18°，AB BC CD ==，则∠ECD 等于（）A.36°B.54°C.72°D.108°8.一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（）A.2abB.abC.a 2﹣4b 2D.（a ﹣2b ）2第II 卷(非选择题共84分)二、填空题(共16分，每题2分)9.平面直角坐标系中，点()3,1P -关于x 轴对称的点的坐标是______．10.在数学课上，小明计算()()2x x +-■时，已正确得出结果，但课后不小心将第二个括号中的常数染黑了，若结果中不含有一次项，则被染黑的常数为__________．11.若()24s t -=，()216s t +=，则st =__________．12.如图，ABC 中AD ，BE 分别是ABC 的高和角平分线，若70C ∠=︒，95AEB ∠=︒，则BAD ∠=_____°．13.如图，在ABC 中，MN 是AC 的垂直平分线，若3cm CM =，ABC 的周长是16cm ，则ABN 的周长是__________cm ．14.如图，一块三角形玻璃裂成①②两块，现需配一块同样的玻璃，为方便起见，只需带上碎片__________即可，你的理由是__________(请你利用定理的完整文字叙述作答)15.甲、乙两人共同计算一道整式：()()2x a x b ++，由于甲抄错了a 的符号，得到的结果是2232x x +-，乙漏抄了第二个多项式中x 的系数，得到的结果是232x x -+．则本题的正确结果是__________．16.如图，已知30AOB ∠=︒，点M 、N 是射线OA 上的两个动点()OM ON <，且4MN =，点P 是边OB 上的点，若使点P 、M 、N 构成等腰三角形的点P 恰好只有一个，则OM 的取值范围是__________．三、解答题(共68分，其中第17-18、20-24题每题5分，第19、25题每题6分，第26-28题7分)17.计算：()()2324323x x x x ++-⋅．18.计算：(2)(2)2()a b a b a b a +-+-．19.化简求值：2(23)(23)(2)x y x y x y y ⎡⎤+---÷⎣⎦，其中 2530x y -+=．20.因式分解：2416x -．21.因式分解：32221218x x y xy -+．22.如图，已知EC DB =，AEB ADC ∠=∠．（1）求证：OD OE =；（2）连接AO ，求证：BAO CAO ∠=∠．23.已知：如图，线段AB 和射线BM 交于点B ．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹．(不要求写作法)①在射线BM 上求作一点C ，使得点A 在线段BC 的垂直平分线上．②在线段AB 上求作一点D ，使点D 到BC ，AC 的距离相等；（2）上述尺规作图的主要依据是(用定理作答)：①的依据：_____________________________________________________；②的依据：_____________________________________________________；24.如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 为BC 边的中点，过点D 作，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为,E F ．（1）求证：DE DF =；（2）连接EF ，若60A ∠=︒，1BE =，请你直接写出AEF ∆的周长．25.ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A 、B 、C 三点在格点上．（1）作出ABC 关于x 轴对称的111A B C △，并写出点1C 的坐标；（2）在y 轴上求作点D ，使得AD BD +最小，请你直接写出D 点坐标；（3）若点P 为x 轴上一动点，且满足BCP 的面积为1，请你直接写出P 点坐标．26.阅读下列材料，回答问题：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等，例如：分解因式223x x +-，我们可以进行以下操作：()()2222321414x x x x x +-=++-=+-，再利用平方差公式可得()()22331x x x x +-=+-；再如：求代数式2246x x +-的最小值，我们可以将代数式进行如下变形：()()222246223218x x x x x +-=+-=+-，于是由平方的非负性可知，当=1x -时，2246x x +-有最小值8-．根据阅读材料，用配方法解决下列问题：（1）若多项式24x x k -+是一个完全平方式，则常数k =___________．（2）分解因式：2412x x --=________，代数式22824x x --的最小值为___________．（3）试判断代数式22211a b ++与224ab a b ++的大小，并说明理由．27.已知：ABC 为等边三角形，D 为射线BC 上一点(不与B 、C 重合)，作射线AD ．在射线AD 上取一点E ，使CE CA =，直线CE 与直线AB 交于F ．设BAD ∠=α．（1）当点D 在如图1所示位置时，请你依据题意，补全图形；①求BCF ∠的度数(用含有α的代数式表示)；②试判断线段AF 、BD 和CF 之间的数量关系，并证明；（2）当点D 在射线BC 上运动时，(1)中线段AF 、BD 和CF 之间的数量关系是否发生变化？若变化，请你直接写出结论；若无变化，请你给出证明．28.在平面直角坐标系xOy 中，若点P 和点1P 关于y 轴对称，点1P 和点2P 关于直线l 对称，则称点2P 是点P 关于y 轴、直线l 的“二次对称点”．（1）已知：点(1,0)M -．'M ，①若点N 是点M 关于y 轴，直线1:3l x =的“二次对称点”，则点N 的坐标为_____________；②若点()1,3Q 是点M 关于y 轴，直线2:l y a =的“二次对称点”，则a 的值为__________；（2）已知直线3l 为第一、三象限角平分线，直线4l 为过点()0K k ,且与3l 平行的一条直线．①如图1，在正方形ABCD 中，已知点()1,0A ，点()3,2C ．设点T 为直线x t =上一点，若正方形ABCD 的内部(不含边界)存在点T '，使得点T '是点T 关于y 轴，直线3l 的“二次对称点”，则点T 的横坐标t 的取值范围是__________；②如图2，在正方形EFGH 中，已知点()5,1E --，点()3,1G -．若正方形EFGH 的边上存在点S ，使得点'S 是点S 关于y 轴，直线4l 的“二次对称点”，且点'S 在坐标轴上，请直接写出k 的取值范围．2022北京二中初二（上）期中数学第I 卷(选择题共16分)一、选择题(共16分，每题2分，以下每题只有一个．．．．正确的选项)1.2022年，北京中轴线申遗进入加速阶段，北京中轴线北起钟鼓楼，南至永定门，贯穿老城南北，直线距离长约7.8公里，是我国现存最完整、最古老的中轴线．这条中轴线一路向北延伸，鸟巢、冰立方为这条古老的中轴线注入了新的生命力，它正向世界述说着这座千年古都的时代新貌，下列关于中轴线建筑的简笔画，其中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可得出答案．【详解】解：根据轴对称图形的定义，四个选项中，只有A 选项中的图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，B ，C ，D 选项均不符合，因此只有A 选项中的图形是轴对称图形．故选A ．【点睛】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．2.下列运算正确的是（）A.()236a a a -⋅=- B.()235 aa =C.933()x x x ÷-=- D.()341228a a -=-【答案】D 【分析】根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方以及积的乘方的知识进行解答即可．【详解】A ．()23235aa a a +-⋅=-=-，故选项错误，不符合题意；B ．()33262 a a a ⨯==，故选项错误，不符合题意；C ．69393()x x x x -÷-==--，故选项错误，不符合题意；D ．()4312343822a a a ⨯⨯=--=-，故选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方以及积的乘方等知识，解题的关键是掌握相关知识，注意符号的运算．的边AB上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（）3.如图，用三角尺作ABCA. B.C. D.【答案】B【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据高线的定义即可得出结论．中BC边上的高线，故本选项错误，不符合题意；【详解】解：A、作出的是ABC中AB边上的高线，故本选项正确，符合题意；B、作出的是ABC中AB边上的高线，故本选项错误，不符合题意；C、不能作出ABC中AC边上的高线，故本选项错误，不符合题意；D、作出的是ABC故选：B．【点睛】本题考查了三角形高线的定义，熟练掌握三角形高线的定义是解题的关键．∠+∠+∠=︒，4.如图，1∠，2∠，3∠是五边形ABCDE的三个外角，边CD，AE的延长线交于点F，如果123225∠的度数是（）那么DFEA.45︒B.55︒C.65︒D.75︒【答案】A【分析】利用多边形的外角和为360°即可求解．【详解】解：∵多边形的外角和为360°，∴∠DEF＋∠EDF＝360°−225°＝135°，∵∠DEF＋∠EDF＋∠DFE＝180°，∴∠DFE＝180°−135°＝45°，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和与三角形的内角和定理，任意多边形的外角和等于360°．5.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A.21234a b a ab=⋅ B.222469(23)x xy y x y -+=-C.22(21)xy xy y y xy x -+-=--+ D.2(3)(3)9x x x +-=-【答案】C 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，逐一进行判定即可．【详解】解：A 、左边不是多项式，因此不是因式分解，故此选项不符合题意；B 、左边与右边不相等，因此不是因式分解，故此选项不符合题意；C 、提取公因式y -后，将多项式化成了两个整式积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；D 、左边是积的形式，右边是多项式，因此不是因式分解，故此选项不符合题意；故选C ．【点睛】此题考查了因式分解的概念，正确理解因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式是解答此题的关键．6.为估计池塘两岸A 、B 间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了点O ，测得18m OA =，12m OB =，那么A 、B 间的距离不可能是（）A.5mB.13mC.21mD.29m【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得18121812AB -<<+，再解即可．【详解】解：连接AB ，根据三角形的三边关系可得：18121812AB -<<+，即630AB <<，故选：A ．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．7.如图，∠EAF ＝18°，AB BC CD ==，则∠ECD 等于（）A.36°B.54°C.72°D.108°【答案】B 【分析】根据等边对等角求出∠BCA ，∠BDC ，再利用外角性质求出∠ECD ．【详解】解：∵∠EAF ＝18°，AB=BC ，∴∠BCA =∠EAF ＝18°,∴∠CBD =∠A +∠BCA =36°，∵CB=CD ，∴∠BDC=∠CBD =36°，∴∠ECD =∠A +∠BDC =54°，故选：B ．【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形外角的性质，熟记等腰三角形等边对等角的性质是解题的关键．8.一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（）A.2abB.abC.a 2﹣4b 2D.（a ﹣2b ）2【答案】B 【分析】设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y ，列方程求解，用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可．【详解】解：设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y ，则：22x y a y x b +=⎧⎨-=⎩，解得：42a b x a by -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴阴影面积=（2a b +）2﹣4×（4a b -）22222224444a ab b a ab b ab ++-+=-=＝ab ．故选B【点睛】本题考查了整式的混合运算，求得大正方形的边长和小正方形的边长是解题的关键．第II 卷(非选择题共84分)二、填空题(共16分，每题2分)9.平面直角坐标系中，点()3,1P -关于x 轴对称的点的坐标是______．【答案】()3,1--【分析】关于x 轴的对称点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此可得结论．【详解】解：∵关于x 轴的对称点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴点P （−3，1）关于x 轴对称的点的坐标是（−3，−1）．故答案为：（−3，−1）．【点睛】本题主要考查了关于x 轴的对称点的坐标特点，解题的关键是掌握点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P ′的坐标是（x ，−y ）．10.在数学课上，小明计算()()2x x +-■时，已正确得出结果，但课后不小心将第二个括号中的常数染黑了，若结果中不含有一次项，则被染黑的常数为__________．【答案】2【分析】设被染黑的常数为a ，利用乘法公式展开()()2x x a +-，根据一次项系数为0即可求出a 的值．【详解】解：设被染黑的常数为a ，则()()22()22222x ax x a x a x a x x a -+-=-+=+--，∵结果中不含有一次项，∴20a -=，∴2a =，故答案为：2．【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式乘以多项式的运算法则，本题也可以通过平方差公式快速求解．11.若()24s t -=，()216s t +=，则st =__________．【答案】3【分析】利用完全平方公式化简()()22s t s t +--，即可求解．【详解】解：∵()24s t -=，()216s t +=，∴()()2216412s t s t -=-=+-，∵()()()()222222224s t t s st t s t s s t s -=++-+=+--，∴412st =，∴3st =．故答案为：3．【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式()()2222a a a b b b ±=±+．12.如图，ABC 中AD ，BE 分别是ABC 的高和角平分线，若70C ∠=︒，95AEB ∠=︒，则BAD ∠=_____°．【答案】40【分析】根据AD ，BE 分别是ABC 的高和角平分线，得90ADC ∠=︒，ABE CBE ∠=∠；根据三角形的外角，得AEB CBE C ∠=∠+∠，ADC ABD BAD ∠=∠+∠，即可．【详解】∵AD ，BE 分别是ABC 的高和角平分线，∴90ADC ∠=︒，ABE CBE ∠=∠，∵70C ∠=︒，95AEB ∠=︒，∴AEB CBE C ∠=∠+∠，∴9570CBE ︒=∠+︒，∴25CBE ∠=︒，∴25ABE CBE ∠=∠=︒，∴50ABD ∠=︒，∵ADC ABD BAD ∠=∠+∠，∴9050BAD ︒=︒+∠，∴40BAD ∠=︒．故答案为：40．【点睛】本题考查了三角形的知识，三角形的外角和定理，角平分线的定义，高线的定义，解题的关键是掌握三角形的外角和定理，三角形角平分线和高线的性质．13.如图，在ABC 中，MN 是AC 的垂直平分线，若3cm CM =，ABC 的周长是16cm ，则ABN 的周长是__________cm ．【答案】10【分析】ABN 的周长是AB BN AN ++，AN NC =，所以求ABN 的周长其实就是求AB BC +，由此即可求出答案．【详解】解：∵MN 是AC 的垂直平分线，且3cm CM =，∴AN NC =，3AM CM ==，即336AC AM CM =+=+=，∵ABC 的周长是16cm ，即16AB BC AC ++=，∴1616610AB BC AC +=-=-=，∵ABN 的周长是AB BN AN ++，AN NC =，∴ABN 的周长是10AB BN NC AB BC ++=+=，故答案是：10．【点睛】本题主要考查的是垂直平分线的性质，解题的关键是通过垂直平分线的性质将所求线段转化为已知线段的关系．14.如图，一块三角形玻璃裂成①②两块，现需配一块同样的玻璃，为方便起见，只需带上碎片__________即可，你的理由是__________(请你利用定理的完整文字叙述作答)【答案】①.②②.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等【分析】根据全等三角形的判定方法“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”即可解．【详解】②中满足两边夹一角完整，即可得到一个与原来三角形全等的新三角形，所以只需带②去即可；理由是：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．故答案为：②；两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．【点睛】本题考查了三角形全等的应用；能够灵活运用全等三角形的判定，解决一些实际问题，注意认真读图．15.甲、乙两人共同计算一道整式：()()2x a x b ++，由于甲抄错了a 的符号，得到的结果是2232x x +-，乙漏抄了第二个多项式中x 的系数，得到的结果是232x x -+．则本题的正确结果是__________．【答案】2252x x -+【分析】根据甲的描述利用多项式乘以多项式的计算法则得到23b a -=，根据乙的描述可得3a b +=-，由此得到关于a 、b 的二元一次方程组，求出a 、b 的值代入原多项式中求解即可．【详解】解：∵由于甲抄错了a 的符号，得到的结果是2232x x +-，∴()()22232x a x b x x -+=+-，∴2222232x ax bx ab x x -+-=+-，∴23b a -=，∵乙漏抄了第二个多项式中x 的系数，得到的结果是232x x -+，∴()()232x a x b x x ++=-+，∴2232x ax bx ab x x +++=-+，∴3a b +=-，∴233b a a b -=⎧⎨+=-⎩，∴21a b =-⎧⎨=-⎩，∴原多项式为()()221x x --，()()22221242252x x x x x x x --=--+=-+，故答案为：2252x x -+．【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组，正确理解题意得到关于a 、b 的二元一次方程组是解题的关键．16.如图，已知30AOB ∠=︒，点M 、N 是射线OA 上的两个动点()OM ON <，且4MN =，点P 是边OB 上的点，若使点P 、M 、N 构成等腰三角形的点P 恰好只有一个，则OM 的取值范围是__________．【答案】4OM =或8OM >【分析】根据等腰三角形的性质分类讨论，分别求解范围即可．【详解】设OM x =，则4ON x =+，如图1，当4x =时，即4OM MN ==，以M 为圆心，以4为半径的弧交OB 于P 点，此时4MP PN MN ===，则点P ，M ，N 构成的是等边三角形，则此时构成等腰三角形的点P 恰好只有一个．如图2．当8x =时，即8OM =，过M 点作MP OB ⊥于P 点，∵30AOB ∠=︒，∴142MP OM ==．∴4MP MN ==，作MN 的垂直平分线交OB 于P '点，则P M P N ''=．此时，以P ，M ，N 构成的等腰三角形的点P 恰好有2个．则当8x >时，以P ，M ，N 构成的等腰三角形恰好只有一个．综上，OM 的取值范围是4OM =或8OM >．故答案为：4OM =或8OM >【点睛】本题考查等腰三角形的判定，主要通过数形结合的思想解决问题，解题关键在于熟练掌握已知一边，作等腰三角形的画法．三、解答题(共68分，其中第17-18、20-24题每题5分，第19、25题每题6分，第26-28题7分)17.计算：()()2324323x x x x ++-⋅．【答案】625x -【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方化简，然后再合并同类项，即可得到答案．【详解】解：()()2324323x x xx ++-⋅=()3242332(3)x x x +⨯-++=66627x x x +-=625x -．【点睛】此题考查了幂的运算法则与合并同类项等知识，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等运算法则是解答此题的关键．18.计算：(2)(2)2()a b a b a b a +-+-．【答案】22ab b --【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则，合并同类项即可求解．【详解】解：原式22224222a ab ab b ab a =-+-+-22ab b =--，故答案是：22ab b --．【点睛】本题主要考查整式的四则混合运算，解题的关键是理解和掌握整式四则运算法则．19.化简求值：2(23)(23)(2)x y x y x y y ⎡⎤+---÷⎣⎦，其中 2530x y -+=．【答案】410x y -，6-【分析】先利用平方差公式和完全平方公式对原式进行化简，再将 253x y -=-整体代入，即可求解．【详解】解：2(23)(23)(2)x y x y x y y ⎡⎤+---÷⎣⎦()()22224944x y x xy y y⎡⎤=---+÷⎣⎦()22224944x y x xy y y=--+-÷()2104y xy y=-+÷410x y =-，∵ 2530x y -+=，∴ 253x y -=-，∴原式410x y=-()225x y =-()23=⨯-6=-．【点睛】本题考查整式的化简求值，平方差公式，完全平方公式等知识点，解题的关键是熟练掌握整体代入思想．20.因式分解：2416x -．【答案】()()422x x +-【分析】先提取公因数4，然后根据平方差公式因式分解即可．【详解】解：2416x -()244x =-()()422x x =+-．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是掌握平方差公式()()22a b a b a b -=+-．21.因式分解：32221218x x y xy -+．【答案】22(3)x x y -【分析】先提取公因式2x ，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：32221218x x y xy -+=222(69)x x xy y -+=22(3)x x y -【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法、公式法等方法是解答此题的关键．22.如图，已知EC DB =，AEB ADC ∠=∠．（1）求证：OD OE =；（2）连接AO ，求证：BAO CAO ∠=∠．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）先由AAS 证明BOD COE △≌△，从而得到OD OE =；（2）首先证得ACD ABE △≌△，得到AC AB =，然后证明AOC AOB △≌△，从而证得BAO CAO ∠=∠．【小问1详解】证明：∵AEB ADC ∠=∠，∴CEO BDO ∠=∠，在BOD 和COE 中，COE BOD CEO BDO EC DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BOD COE △≌△，∴OD OE =．【小问2详解】证明：连接AO ，如图所示：由（1）的证明，得BOD COE △≌△，∴B C ∠=∠，OB OC =，OD OE =，∴BE CD =，在ACD 和ABE 中，∵B C CAD BAE BE CD ∠∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩＝＝，∴ACD ABE △≌△（AAS ），∴AC AB =，在AOC 和AOB 中，AC AB OC OB AO AO =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴AOC AOB △≌△（SSS ），∴BAO CAO ∠=∠．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出三角形全等的条件是解题的关键．23.已知：如图，线段AB 和射线BM 交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹．(不要求写作法)①在射线BM 上求作一点C ，使得点A 在线段BC 的垂直平分线上．②在线段AB 上求作一点D ，使点D 到BC ，AC 的距离相等；（2）上述尺规作图的主要依据是(用定理作答)：①的依据：_____________________________________________________；②的依据：_____________________________________________________；【答案】（1）①图见详解；②图见详解（2）①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；②角平分线上的点到角两边的距离相等【分析】（1）①以A 为圆心AB 长为半径画弧，进而得出C 点位置；②利用角平分线的作法得出即可；（2）直接根据题意可进行求解．【小问1详解】解：①如图所示：AC AB =；②D 点即为所求；【小问2详解】解：由作图可知：①的依据是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；②的依据是角平分线上的点到角两边的距离相等；故答案为线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；角平分线上的点到角两边的距离相等．【点睛】本题主要考查角平分线及线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握尺规作图是解题的关键．24.如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 为BC 边的中点，过点D 作，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为,E F ．（1）求证：DE DF =；（2）连接EF ，若60A ∠=︒，1BE =，请你直接写出AEF ∆的周长．【答案】（1）见解析（2）9【分析】（1）利用AAS 证明BED ∆CFD ≅∆，即可推出DE DF =；（2）先证ABC ∆是等边三角形，推出=60B ∠︒，再利用含30︒角直角三角形的性质得出22BD BE ==，进而求出4AB AC BC ===，根据BED ∆CFD ≅∆可得1CF BE ==，进而可证AEF ∆是边长为3的等边三角形，即可求出AEF ∆的周长．【小问1详解】证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴90BED CFD ∠=∠=︒，∵D 为BC 边的中点，∴BD CD =，在BED ∆和CFD ∆中，BED CFD B C BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BED ∆CFD ≅∆()AAS ，∴DE DF =；【小问2详解】解：如图，∵AB AC =，60A ∠=︒，∴ABC ∆是等边三角形，∴=60B ∠︒，AB AC BC ==，∴906030BDE ∠=︒-︒=︒，∴12BE BD =，∵1BE =，∴2BD =，∴24BC BD ==，∴4AB AC BC ===，∵BED ∆CFD ≅∆，∴1CF BE ==，∴413AE AB BE =-=-=，413AF AC CF =-=-=，∴3AE AF ==，又∵60A ∠=︒，∴AEF ∆是等边三角形，∴3EF AE AF ===，∴9EF AE AF ++=，即AEF ∆的周长是9．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是证明AEF ∆和ABC ∆是等边三角形．25.ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A 、B 、C 三点在格点上．（1）作出ABC 关于x 轴对称的111A B C △，并写出点1C 的坐标；（2）在y 轴上求作点D ，使得AD BD +最小，请你直接写出D 点坐标；（3）若点P 为x 轴上一动点，且满足BCP 的面积为1，请你直接写出P 点坐标．【答案】（1）图见解析，点1C 的坐标是(3,2)-（2）图见解析，D 点坐标是(0,2)（3）()1,0P 【分析】（1）根据题意和图形，可以画出ABC ∆关于x 轴对称的111A B C ∆，并写出点1C 的坐标；（2）根据轴对称和两点之间线段，可以得到使得AD BD +最小时点D 所在的位置，然后写出D 点坐标即可；（3）分3种情况结合图形求解即可．【小问1详解】解：如图所示，111A B C △即为所求，点1C 的坐标是(3,2)-；【小问2详解】解：作点A 关于y 轴的对称点A '，连接BA '与y 轴交于点D ，则此时AD BD +最小，D 点坐标是(0,2)．【小问3详解】解：如图，当()1,0P 时，12112BCP S =⨯⨯= ．如图，当P 点横坐标大于1，时，1212BCP BCD BDP S S S BD BD =+=⨯⨯=> ，不符合题意；当P 点横坐标小于1时，同理可求1BCP S < ，不符合题意；综上可知，当BCP 的面积为1时，P 点坐标()1,0．【点睛】本题考查作图-轴对称图象、最短路径问题，坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．26.阅读下列材料，回答问题：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等，例如：分解因式223x x +-，我们可以进行以下操作：()()2222321414x x x x x +-=++-=+-，再利用平方差公式可得()()22331x x x x +-=+-；再如：求代数式2246x x +-的最小值，我们可以将代数式进行如下变形：()()222246223218x x x x x +-=+-=+-，于是由平方的非负性可知，当=1x -时，2246x x +-有最小值8-．根据阅读材料，用配方法解决下列问题：（1）若多项式24x x k -+是一个完全平方式，则常数k =___________．（2）分解因式：2412x x --=________，代数式22824x x --的最小值为___________．（3）试判断代数式22211a b ++与224ab a b ++的大小，并说明理由．【答案】（1）4（2）2)(6)x x +-（；32-（3）22211224a b ab a b ++>++，理由见解析．【分析】（1）根据完全平方公式即可求解；（2）把多项式进行配方，化成完全平方式，再运用平方差公式进行因式分解；（3）用作差法比较大小，先将两个多项式相减，再进行配方化成完全平方式，最后利用偶次方非负性的性质进一步求的结果．【小问1详解】24x x k -+是一个完全平方式，∴2224222x x k x x -+=-⨯⨯+∴k =4故答案为：4；【小问2详解】2222241244412(2)16(2)4(24)(24)(2)(6)x x x x x x x x x x --=-+--=--=--=-+--=+-；2222228242(412)2(444)242(2)8242(2)32x x x x x x x x --=--=-+--=---=-- 2(2)0x -≥∴22(2)3232x --≥-∴22824x x --的最小值为32-故答案为：2)(6)x x +-（；32-；【小问3详解】将22211a b ++与224ab a b ++相减得：22(211)(224)a b ab a b ++-++22211224a b ab a b=++---222(22)(21)610a ab a b b b b =+--++++-+2222(1)(1)(69)1a ab b b b =-++++-++22(1)(3)1a b b =--+-+ 2(1)0a b --≥，2(3)0b -≥∴22(1)(3)11a b b --+-+≥∴22211224a b ab a b++>++【点睛】本题主要考查了配方法的应用，偶次方非负性的性质，因式分解．本题是阅读型题目，读懂材料并熟练相应的方法是解题的关键．27.已知：ABC 为等边三角形，D 为射线BC 上一点(不与B 、C 重合)，作射线AD ．在射线AD 上取一点E ，使CE CA =，直线CE 与直线AB 交于F ．设BAD ∠=α．（1）当点D 在如图1所示位置时，请你依据题意，补全图形；①求BCF ∠的度数(用含有α的代数式表示)；②试判断线段AF 、BD 和CF 之间的数量关系，并证明；（2）当点D 在射线BC 上运动时，(1)中线段AF 、BD 和CF 之间的数量关系是否发生变化？若变化，请你直接写出结论；若无变化，请你给出证明．【答案】（1）①2BCF α∠=，②AF CF BD =+，证明见解析（2）BD CF AF =+，证明见解析【分析】（1）①根据等边三角形的性质得60BAC ABC ACB ==︒=∠∠∠，求出EAC ∠，根据等边对等角得60AEC EAC α∠=∠=︒-，利用三角形内角和定理求出ACE ∠，进而求出BCF ∠；②作ACG α∠=，交AB 于点G ．根据ASA 证明ACG BAD ≅ ，推出AG BD =，再证明FGC FCG ∠=∠，推出CF GF =，进而可得AF GF AG CF BD =+=+．（2）以AF 为边作等边AFH ∆，连接BH 并延长，交EA 的延长线于点G ，连接BE ．通过导角证明120GAH GDB α∠=∠=︒-，根据SAS 证明AHB AFC ≅ ，推出BH CF =，ABH ACF ∠=∠，进而得到G GDB GAH ∠=∠=∠，利用等角对等边得出BD BG =，GH AH =，通过等量代换可得BD BG BH GH CF AF ==+=+．【小问1详解】解：根据题意，补全后的图形如下图所示：①∵ABC ∆为等边三角形，∴60BAC ABC ACB ==︒=∠∠∠，AB AC BC ==，∵BAD ∠=α，∴60EAC BAC BAD α∠=∠-∠=︒-，∵CE CA =，∴60AEC EAC α∠=∠=︒-，∴()180180260602ACE AEC EAC αα∠=︒-∠-∠=︒-︒-=︒+，∴602602BCF ACE ACB αα∠=∠-∠=︒+-︒=，②AF CF BD =+．证明如下：如图所示，作ACG α∠=，交AB 于点G ．在ACG ∆和BAD ∆中，ACG BAD AC BA GAC DBA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ACG BAD∆≅∆()ASA ，∴AG BD =．∵60FGC GAC ACG α∠=∠+∠=︒+，()60260FCG ACE ACG ααα∠=∠-∠=︒+-=︒+，∴FGC FCG ∠=∠，∴CF GF =．∴AF GF AG CF BD =+=+．【小问2详解】解：BD CF AF =+．证明如下：如图，以AF 为边作等边AFH ∆，连接BH 并延长，交EA 的延长线于点G ，连接BE ．∵AFH ∆为等边三角形，∴60AFH AHF FAH ∠=∠=∠=︒，AH AF HF ==．∵BAD ∠=α，∴60CAD BAD BAC α∠=∠-∠=-︒，∵CE CA =，∴60AEC EAC α∠=∠=-︒，∴2120ACF AEC EAC α∠=∠+∠=-︒．∴()6060120GDB ACB CAD αα∠=∠-∠=︒--︒=︒-．∵60HAF ABC ∠=∠=︒，∴HA BD ∥，∴120GAH GDB α∠=∠=︒-．在AHB ∆和AFC ∆中，HA FA HAB FAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AHB AFC ∆≅∆()SAS ，∴BH CF =，2120ABH ACF α∠=∠=-︒．∵HA BD ∥，∴212060260GHA GBD ABH ABC αα∠=∠=∠+∠=-︒+︒=-︒．∴()()180180260120120G GHA GAH ααα∠=︒-∠-∠=︒--︒-︒-=︒-．∴G GDB GAH ∠=∠=∠，。
2022-2023学年八年级上学期期中考前必刷卷01数学（考试时间：90分钟试卷满分：100分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：八年级上册第11-13章5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．（2021·重庆市璧山中学校八年级期中）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下列4个汉字中，可以看作“沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合”的是（）A ．B ．C ．D ．2．（2021·四川·东坡区实验中学八年级期中）如图，△ABC≌△DEF，若∠A=132°，∠FED=15°，则∠C等于（）A．13°B．23°C．33°D．43°3．（2022·江西赣州·八年级期中）若a、b、c为△ABC的三边长，且满足|a﹣5|+2b-=0，则c的值可以为（）A．6B．7C．8D．94．（2021·山东烟台·七年级期中）如图，要使ABC ABD△≌△，下面给出的四组条件，错误的一组是（）A．C D∠=∠，BAC BAD∠=∠B．BC BD=，AC AD=C．BAC BAD∠=∠，ABC ABD∠=∠D．BD BC=，BAC BAD∠=∠5．（2021·浙江·平阳苏步青学校八年级阶段练习）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是()A．B．C．D．6．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学八年级阶段练习）如图，∠O=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠7，∠8=90°则∠O的度数为（）A．10°B．15°C．18°D．20°7．（2021·黑龙江·同江市第三中学八年级期中）如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为（）厘米．A．16B．18C．26D．288．（2022·辽宁·丹东第九中学八年级期末）如图，ABC的三边AB，BC，CA的长分别为15，20，25，点O是ABC三条角平分线的交点，则ABOS：BCOS△：CAOS△等于（）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：59．（2022·宁夏·中宁县第三中学八年级期末）如图，在ABC 中，4AB AC ==，15B ∠=︒，CD 是腰AB 上的高，则CD 的长（ ）A ．4B ．2C ．1D ．1210．（2022·北京一七一中八年级阶段练习）如图所示，ABC 的两条角平分线相交于点D ，过点D 作EF ∥BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，若AEF 的周长为30cm ，则AB AC +=（ ）cm ．A ．10B ．20C ．30D ．4011．（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ，AC 的垂直平分线交BC 边于点N ，若∠BAC ＝70︒，则∠EAN 的度数为（ ）A ．35︒B ．40︒C ．50︒D ．55︒12．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校八年级期中）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°∠B ＝30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧交AB 于M 、AC 于N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于D ，下列四个结论：①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC =60°；③点D 在AB 的中垂线上；④1:3ACDACBSS=：．其中正确的有（ ）A ．只有①②③B ．只有①②④C ．只有①③④D ．①②③④13．（2021·重庆市璧山中学校八年级期中）如图，过边长为1的等边三角形ABC 的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥于点E ，Q 为BC 延长线上一点，当AP CQ =时，PQ 交AC 于点D ，则DE 的长为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．不能确定14．（2022·陕西·西安爱知初级中学七年级期末）如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB AC =，点D 是线段AB 的中点，将一块锐角为45︒的直角三角板按如图()ADE 放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连接BE 、CE ，CE 与AB 交于点.F 下列判断正确的有（ ）①ACE ≌DBE ；②BE CE ⊥；③DE DF =；④DEFACFSS=A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④第Ⅱ卷二、填空题：本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上.15．（2020·福建省福州延安中学八年级期中）已知点Р(a ，3)和点Q (4，b )关于x 轴对称，则()2021a b +=________．16．（2022·福建省龙岩市永定区第二初级中学九年级期中）如图，将一个正六边形与一个正五边形如图放置，顶点A 、B 、C 、D 四点共线，E 为公共顶点．则∠BEC ＝_____．17．（2021·福建·福州教院二附中八年级期末）如图，将等边△ABC 的三条边向外延长一倍，得到第一个新的111A B C △，第二次将等边111A B C △的三边向外延长一倍，得到第二个新的222A B C △，依此规律继续延长下去，若△ABC 的面积01S =，则第2022个新的三角形的面积2022S 为________18．（2021·江苏南京·八年级阶段练习）如图，已知△ABC ，AB ＝AC ＝10cm ，∠B ＝∠C ，BC ＝8cm ，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段AC 上由C 点向A 点运动．若点Q 的运动速度为v cm/s ，则当△BPD 与△CQP 全等时，v 的值为_______cm/s ．三、解答题：本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分.19．（2021·重庆·巴川初级中学校八年级期中）如图，已知点B ，E ，C ，F 在一条直线上，BE ＝CF ，AC DE ∥，A D ∠=∠．(1)求证：△ABC ≌△DFE ； (2)若BF ＝12，EC ＝4，求BC 的长．20．（2019·北京市八一中学八年级期中）在直角坐标系中，ABC 的三个顶点的位置如图所示．(1)请画出ABC 关于y 轴对称的A B C '''（其中A '，B '，C '分别是A ，B ，C 的对应点，不写画法）； (2)直接写出A '，B '，C '三点的坐标：A '（ ），B '（ ），C '（ ）(3)在x 轴上找出点P ，使得点P 到点A 、点B 的距离之和最短（保留作图痕迹）(4)点Q 在坐标轴上，且满足BCQ △是等腰三角形，则所有符合条件的Q 点有__________个．21．（2022·黑龙江大庆·八年级期末）如图△ABC 为等边三角形，直线a ∥AB ，D 为直线BC 上任一动点，将一60°角的顶点置于点D 处，它的一边始终经过点A ，另一边与直线a 交于点E ．(1)若D 恰好在BC 的中点上(如图1) ①求证CD =CE ；②求证：△ADE 是等边三角形；(2)若D 为直线BC 上任一点(如图2）其他条件不变，“△ADE 是等边三角形”的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．22．（2022·江苏·宜兴外国语学校八年级阶段练习）（1）如图，在7×6的方格中，△ABC 的顶点均在格点上．试只用不带刻度的直尺，按要求画出线段EF （E ，F 均为格点），各画出一条即可．（2）如图，△ABC 的顶点均在正方形网格格点上．只用不带刻度的直尺，作出△ABC 的角平分线BD （不写作法，保留作图痕迹）．23．（2022·河南信阳·八年级期中）我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC ，求作一个△DEF ，使EF =BC ，∠F =∠C ，DE =AB （即两边和其中一边所对的角分别相等）．(1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）： ①画EF =BC ；②在线段EF 的上方画∠F =∠C ； ③画DE =AB ；④顺次连接相应顶点得所求三角形．(2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与△ABC 明显不全等；(3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______．24．（2021·重庆·巴川初级中学校八年级期中）如图，△ABC 中，点D 在边BC 延长线上，100ACB ∠=︒，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，过点E 作EH ⊥BD ，垂足为H ，且50CEH ∠=︒．(1)求∠ACE 的度数； (2)求证：AE 平分∠CAF ； (3)若AC+CD ＝14，AB ＝8.5，且21ACDS=，求△ABE 的面积．25．（2022·全国·八年级专题练习）（1）如图①，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 内部点A '的位置时，∠A 、∠1、∠2之间有怎样的数量关系？并说明理由．（2）如图②，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 外部点A '的位置时，∠A 、∠1、∠2之间有怎样的数量关系？并说明理由．（3）如图③，把四边形ABCD 沿EF 折叠，当点A 、D 分别落在四边形BCFE 内部点A '、D 的位置时，你能求出∠A '、∠D 、∠1与∠2之间的数量关系吗？并说明理由．26．（2021·辽宁葫芦岛·八年级期中）如图，在三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点A ，B 分别在坐标轴上．（1）如图①，若点C 的横坐标为﹣3，点B 的坐标为 ；（2）如图②，若x 轴恰好平分∠BAC ，BC 交x 轴于点M ，过点C 作CD 垂直x 轴于D 点，试猜想线段CD 与AM 的数量关系，并说明理由；（3）如图③，OB ＝BF ，∠OBF ＝90°，连接CF 交y 轴于P 点，点B 在y 轴的正半轴上运动时，△BPC 与△AOB 的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．2022-2023学年八年级上学期期中考前必刷卷01（人教版2022）数学·全解全析【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．C【分析】根据△ABC△△DEF，△FED=15°，得△CBA=15°，再根据三角形内角和即可得答案．【详解】解：△△ABC△△DEF，△FED=15°，△△CBA=△FED=15°，△△A=132°，△△C=180°-132°=15°=33°，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形全等的性质．3．A【分析】先根据非负数的性质，求出a、b的值，进一步根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，从而确定c的可能值．【详解】解：△|a﹣，△a﹣5=0，a=5；b﹣2=0，b=2；则5﹣2＜c＜5+2，3＜c＜7，6符合条件；故选：A．【点睛】本题考查非负数的性质和三角形三条边的关系，准确求出a、b的值是解题的关键.4．D【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判定即可．【详解】解：A 、△C D ∠=∠，BAC BAD ∠=∠，AB =AB ，△ABC ABD △≌△(AAS )，正确，故此选项不符合题意；B 、△BC BD =，AC AD =，AB =AB ，△ABC ABD △≌△(SSS )，正确，故此选项不符合题意； C 、△BAC BAD ∠=∠，ABC ABD ∠=∠，AB =AB ，△ABC ABD △≌△(ASA )，正确，故此选项不符合题意；D 、BD BC =，BAC BAD ∠=∠，AB =AB ，两边以及一边对角对应相等，不能判定ABC ABD △≌△，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查全靠等三角形的判定，熟练掌握全靠三角形判定定理：SSS ，SAS ，ASA ，AAS ，HL 是解题的关键． 5．D【分析】若使PA +PC ＝BC ，则PA =PB ,点P 在线段AB 的垂直平分线上，需要做线段AB 的垂直平分线．【详解】解：A.由作图可知BA =BP ，△BC =BP +PC =BA +PC ，故A 不符合题意； B.由作图可知PA =PC ，△BC =BP +PC =BP +PA ，故B 不符合题意； C.由作图可知AC =PC ，△BC =BP +PC =BP +AC ，故C 不符合题意； D.由作图可知PA =PB ，△BC =BP +PC =PA +PC ，故D 符合题意； 故选：D.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质及作图，熟练掌握垂直平分线的作图方法是解题关键． 6．C【分析】设△O=x ，进而根据三角形外角的性质表示出△2，即可表示出△3，同理表示出△4，可得△5，再表示出△6，即可△7，最后根据△8=△O +△7得出答案即可． 【详解】设△O=x ，△△2是△ABO 的外角，且△O =△1， △△2=△O +△1=2x ， △△3=△2=2x ． △△4是△BCO 的外角， △△4=△O +△3=3x ， △△5=△4=3x ． △△6是△CDO 的外角， △△6=△O +△5=4x ， △△7=△6=4x ．△△8是△DEO 的外角， △△8=△O +△7=5x ， 即5x =90°， 解得x =18°． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质，根据三角形外角的性质得出待求角之间的等量关系是解题的关键． 7．B【分析】根据垂直平分线的性质可得EC =AE ，据此即可作答． 【详解】△ED 是边AC 的垂直平分线， △AE =EC ，△AB =10厘米，BC =8厘米，△BC +CE +EB =BC +AE +EB =BC +AB =18厘米， 即△BEC 的周长为18厘米， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质可得EC =AE ，是解答本题的关键． 8．D【分析】过O 点作⊥OD AB 于D ，OE BC ⊥于E ，OF CA ⊥于F ，如图，利用角平分线的性质得到OD OE OF ==，然后根据三角形面积公式得到ABOS：BCO S △：CAOS AB =：BC ：AC ．【详解】过O 点作⊥OD AB 于D ，OE BC ⊥于E ，OF CA ⊥于F ，如图，点O 是ABC 三条角平分线的交点， OD OE OF ∴==，ABO S∴：BCO S △：12CAOSAB OD ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭：12OE BC ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭：12OF AC AB ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭：BC ：15AC =：20：253=：4：5．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积公式． 9．B【分析】根据三角形外角的性质得30DAC ∠=︒，再利用含30角的直角三角形的性质可得CD的长． 【详解】解：AB AC =，15B ∠=︒，15ACB B ∴∠=∠=︒，30DAC ∴∠=︒，CD 是腰AB 上的高， CD AB ∴⊥，122CD AC ∴==， 故选：B【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，含30角的直角三角形的性质等知识，求出30DAC ∠=︒是解题的关键．10．C【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义得到△EBD ＝△EDB ，证出ED ＝EB ，同理DF ＝FC ，则△AEF 的周长即为AB +AC ，可得出答案． 【详解】解：△EF ∥BC ， △△EDB ＝△DBC ， △BD 平分△ABC ， △△ABD ＝△DBC ， △△EBD ＝△EDB ， △ED ＝EB ， 同理：FD ＝FC ，△AE +AF +EF ＝AE +EB +AF +FC ＝AB +AC ＝30cm ， 即AB +AC ＝30cm ， 故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，证出ED ＝EB ，FD ＝FC 是解题的关键． 11．B【分析】根据三角形内角和定理可求△B +△C ，根据垂直平分线性质，EA ＝EB ，NA ＝NC ，则△EAB ＝△B ，△NAC ＝△C ，从而可得△BAC ＝△BAE +△NAC －△EAN ＝△B +△C －△EAN ，即可得到△EAN ＝△B +△C －△BAC ，即可得解． 【详解】解：△△BAC ＝70︒ ， △△B +△C ＝18070110︒︒︒﹣＝ ， △AB 的垂直平分线交BC 边于点E ，AC 的垂直平分线交BC 边于点N ， △EA ＝EB ，NA ＝NC ，△△EAB ＝△B ，△NAC ＝△C ，△△BAC ＝△BAE +△NAC －△EAN ＝△B +△C －△EAN ， △△EAN ＝△B +△C －△BAC ， ＝11070︒︒﹣ ＝40︒． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，角的和差关系，能得到求△EAN 的关系式是关键． 12．D【分析】①根据作图的过程可以判定AD 是△BAC 的角平分线；②利用角平分线的定义可以推知△CAD =30°，则由直角三角形的性质来求△ADC 的度数；③利用等角对等边可以证得△ADB 的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可以证明点D 在AB 的中垂线上；④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比． 【详解】解：①根据作图的过程可知，AD 是△BAC 的平分线． 故①正确； ②如图，△在△ABC 中，△C =90°，△B =30°， △△CAB =60°．又△AD 是△BAC 的平分线， △△1=△2=12△CAB =30°，△△3=90°-△2=60°，即△ADC =60°． 故②正确； ③△△1=△B =30°， △AD =BD ，△点D 在AB 的中垂线上． 故③正确；④△如图，在直角△ACD 中，△2=30°， △CD =12AD ，△BC =CD +BD =12AD +AD =32AD ，DACS=12AC •CD =14AC •AD ．△ABCS =12AC •BC =12AC •32AD =34AC •AD ．△DACS：ABCS=14AC •AD ：34AC •AD =1：3． 故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④， 故选D ．【点睛】本题考查了角平分线的判定、线段垂直平分线的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及作图-基本作图．解题时，需要熟悉线段垂直平分线的判定和性质． 13．B【分析】根据题意先过点Q 作AD 的延长线的垂线QF ，证明AEP ≅CFQ ，再证明DEP ≅DFQ 得到DE =DF ，最后可以得到DE =12AC ，求出最终结果． 【详解】如图，过点Q 作AD 的延长线的垂线于点F ， △△ABC 是等边三角形， △△A =△ACB =60°， △△ACB =△QCF ， △△QCF =60°， 又△PE △AC ，QF △AC ， △△AEP =△CFQ =90° ， 又AP =CQ ，△△AEP △△CFQ (AAS ) ， △AE =CF ，PE =QF ， 同理可证，△DEP △△DFQ ， △DE =DF ，△AC =AE +DE +CD =DE +CD +CF =DE +DF =2DE ， △DE =12AC =12 ． 故选B ．【点睛】本题属于全等三角形的综合问题，考查作辅助线、全等三角形的判定和等边三角形的性质，熟练掌握和运用全等三角形的判定定理是关键．14．C【分析】利用ADE 为等腰直角三角形得到45EAD EDA ∠∠==︒，EA ED =，则135EAC EDB ∠∠==︒，则可根据“SAS ”判断ACE △DBE SAS （），从而对①进行判断；再利用AEC DEB ∠∠=证明90BEC DEA ∠∠==︒，则可对②进行判断；由于9090DEF BED AEC ∠∠∠=︒-=︒-，90DFE AFC ACE ∠∠∠==︒-，而AC AD AE =>得到AEC ACE ∠∠>，所以DEF DFE ∠∠<，于是可对③进行判断；由ACE △DBE 得到ACE DBE S S =，由BD AD =得到DAE DBE S S =，所以ACE DAE S S =，从而可对④进行判断．【详解】解：2AB AC =，点D 是线段AB 的中点，BD AD AC ∴==， ADE 为等腰直角三角形，45EAD EDA ∠∠∴==︒，EA ED =，4590135EAC EAD BAC ∠∠∠=+=︒+︒=︒，180********EDB EDA ∠∠=︒-=︒-︒=︒， EAC EDB ∠∠∴=，在ACE 和DBE 中，EA ED EAC EDB AC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ACE ∴△SAS DBE （），所以①正确；AEC DEB ∠∠∴=，90BEC BED DEC AEC DEC DEA ∠∠∠∠∠∠∴=+=+==︒，BE EC ∴⊥，所以②正确；90DEF BED ∠∠=︒-．而AEC DEB ∠∠=，90DEF AEC ∠∠∴=︒-，90DFE AFC ACE ∠∠∠==︒-，而AC AD AE =>，AEC ACE ∠∠∴>，DEF DFE ∠∠∴<，DE DF ∴>，所以③错误； ACE △DBE ，ACE DBE S S ∴=，BD AD =，DAE DBE S S ∴=，ACE DAE SS ∴=， DEF ACFS S ∴=，所以④正确． 故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．15．1【分析】直接利用关于x 轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出a ，b 的值，进而得出答案．【详解】解：△点P （a ，3）和点Q （4，b ）关于x 轴对称，△a =4，b =-3，则20212021()(43)1a b +=-=．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了关于x 轴对称点的性质，正确得出a ，b 的值是解题关键． 16．48°##48度【分析】根据多边形的内角和，分别得出△ABE ＝120°，△DCE ＝108°，再根据平角的定义和三角形的内角和算出△BEC ．【详解】解：由多边形的内角和可得，△ABE ＝()621806-⨯︒ ＝120°， △△EBC ＝180°﹣△ABE ＝180°﹣120°＝60°，△△DCE ＝()521805-⨯︒＝108°，△△BCE ＝180°﹣108°＝72°，由三角形的内角和得：△BEC ＝180°﹣△EBC ﹣△BCE ＝180°﹣60°﹣72°＝48°．故答案为：48°．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，掌握定理是解题的关键．17．20227【分析】连接1CB ，根据等底同高可得1111112,2,2B BC A CC A AB S S S ===，从而可得17S =，同样的方法可得227S =，再归纳类推出一般规律即可得．【详解】解：如图，连接1CB ，1AB BB =，ABC 的面积01S =，101BCB ABC S S S ∴===，又1BC CC =，1111B CC BCB SS ∴==， 112B BC S ∴=，同理可得：11112,2A CC A AB SS ==， 111122217A B C S S ∴==+++=，同理可得：2221112277A B C A B C S S S ===，归纳类推得：7n n n A B n C n S S==，其中n 为非负整数，202220227S ∴=， 故答案为：20227．【点睛】本题考查了图形类规律探索、三角形中线与面积，正确归纳类推出一般规律是解题关键．18．3或154【分析】分情况讨论BPD △，CQP 全等：①设运动了t 秒，BPD CQP ≅△△，得BP CQ =，3t vt =，算出v ；②设运动了t 秒，BDP QCP ≅，得BD CQ =，PB PC =；得34t =，5vt =，解出v ，即可．10AB AC ==，8BC =【详解】①设运动了t 秒，BP CQ =，BPD CQP ≅△△，△点D 是AB 的中点 △152BD AB == △BD PC =△()853BP cm =-=△B 点向C 点运动了33t =，1t =秒△BPD CQP ≅△△△BP CQ =△31v =⨯△3/s v cm =②设运动了t 秒，当BD CQ =时，BDP QCP ≅△5BD =，142PB PC BC === △34t = 解得43t =秒 △BD CQ = △453v =⨯ △15/s 4v cm = 故答案为：3或154． 【点睛】本题考查全等三角形、动点问题，解题的关键是以静制动，利用全等三角形的性质进行解答．19．(1)证明见解析(2)8【分析】（1）先根据平行线的性质可得ACB DEF ∠=∠，再根据线段和差可得BC FE =，然后根据AAS 定理即可得证；（2）先根据线段和差可得8BE CF +=，从而可得4BE =，再根据BC BE EC =+即可得．（1）证明：AC DE ∥，ACB DEF ∠=∠∴，BE CF =，BE CE CF CE ∴+=+，即BC FE =，在ABC 和DFE △中，A D ACB DEF BC FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ABC DFE ∴≅．（2）解：12,4BF EC ==，8BE CF BF EC ∴+=-=，BE CF =，4BE ∴=，448∴=+=+=．BC BE EC【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定，线段和差，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．20．(1)见解析；(2)4，1；2，3；−1，−2；(3)见解析；(4)10．【分析】（1）由点的对称性，作出图形即可；（2）关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标变为相反数，纵坐标不变，即可求解；（3）作A点关于x轴的对称点A''，连接A B''交x轴于点P，P点即为所求；（4）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解．（1）如图1：（2）由图可知A（−4，1），B（−2，3），C（1，−2），△A点关于y轴对称的点为（4，1），B点关于y轴对称的点为（2，3），C点关于y轴对称的点为（−1，−2），△A′（4，1），B′（2，3），C′（−1，−2），故答案为：4，1；2，3；−1，−2；（3）如图2：作A点关于x轴的对称点A''，连接A B''交x轴于点P，△AP BP A P BP A B ''''+=+=，此时PA ＋PB 值最小；（4）如图：以B 为圆心，BC 长为半径做圆，此圆与坐标轴有4个交点，以C 为圆心，BC 长为半径做圆，此圆与坐标轴有4个交点，作线段BC 的垂直平分线，此线与坐标轴有2个交点，△△BCQ 是等腰三角形时，Q 点坐标有10个，故答案为：10．【点睛】本题考查轴对称作图，图形与坐标，熟练掌握轴对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键．21．(1)①见解析；②见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）①利用等边三角形的性质得到BD=CD，AD△BC，进一步求出△EDC=30°，然后根据三角形内角和定理推出△DOC=90°，再根据三角形的外角性质可求出△DEC=30°，从而得出△EDC=△DEC，再根据“等角对等边”即可证明结论；②由SAS证明△ABD△△ACE得出AD=AE，然后根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断出△ADE是等边三角形的结论；（1）在AC上取点F，使CF=CD，连结DF，先证得△ADF△△EDC得出AD=ED，再运用已证的结论“△ADE=60°”和根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可证明出△ADE是等边三角形的结论．（1）①证明：△a∥AB，且△ABC为等边三角形，△△ACE=△BAC=△ABD=60°，AB=AC，△D是BC中点，即BD=CD，△AD△BC，△△ADC=90°，△△ADE=60°，△△EDC=△ADC-△ADE=90°-60°=30°，△△DOC=180°-△EDC-△ACB=90°，△△DEC=△DOC-△ACE=90°-60°=30°，△△EDC=△DEC，△CD=CE；②△BD=CD，CD=CE，△BD=CE，在△ABD和△ACE中，△AB ACABD ACEBD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABD△△ACE（SAS），△AD=AE，又△△ADE=60°，△△ADE是等边三角形；（2）解：“△ADE是等边三角形”的结论仍然成立．证明如下：在AC上取点F，使CF=CD，连结DF，如图2所示：，△△ACB=60°，△△DCF是等边三角形，△DF=CD，△△ADF+△FDE=△EDC+△FDE=60°，△△ADF=△EDC，△△DAF+△ADE=△DEC+△ACE，△ACE=△ADE=60°，△△DAF=△DEC，△△ADF△△EDC（AAS），△AD=ED，又△△ADE=60°，△△ADE是等边三角形．【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质．解题关键是注意熟练掌握及熟练等边三角形的判定定理与性质定理、全等三角形的判定与性质．22．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据题目要求，利用数形结合的思想画出线段EF即可；（2）取格点Q，连接AQ，取AQ的中点J，作射线BJ交AC于点D，线段BD即为所求．【详解】解：（1）如图，线段EF即为所求：（2）如图，线段BD即为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．23．(1)见解析'；(2)2，D EF(3)两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等【分析】（1）根据尺规作线段，作一个角等于已知角的步骤作图即可；（2）根据所画图形填空即可；（3）根据探究过程结合全等三角形的判定可得出结论．（1）解：如图所示：（2）'（填三角形的名称）与观察所画的图形，发现满足条件的三角形有2个；其中三角形D EF△ABC明显不全等，'；故答案为：2，D EF（3）经历以上探究过程，可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，故答案为：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等．【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握尺规作图的方法和全等三角形的判定定理是解题的关键．24．(1)40︒(2)证明见解析(3)514【分析】（1）先求出80ACD ∠=︒，再根据直角三角形的两个锐角互余可得40DCE ∠=︒，然后根据ACE ACD DCE ∠=∠-∠即可得；（2）过点E 作EM BF ⊥于点M ，作EN AC ⊥于点N ，先根据角平分线的性质可得,EM EH EN EH ==，从而可得EM EN =，再根据角平分线的判定即可得证； （3）过点E 作EM BF ⊥于点M ，作EN AC ⊥于点N ，则EM EH EN ==，设EM EH EN x ===，再根据21ACE DCE ACD S S S +==和三角形的面积公式可得x 的值，从而可得EM 的值，然后利用三角形的面积公式即可得．（1）解：100ACB ∠=︒，18080ACD ACB ∴∠=︒-∠=︒，,50EH BD CEH ⊥∠=︒，9040DCE CEH ∴∠=︒-∠=︒，40ACE ACD DCE ∴∠=∠-∠=︒．（2）证明：如图，过点E 作EM BF ⊥于点M ，作EN AC ⊥于点N ，BE 平分ABC ∠，,EM BF EH BD ⊥⊥，EM EH ∴=，由（1）可知，40ACE DCE ∠=∠=︒，即CE 平分ACD ∠， EN EH ∴=，EM EN ∴=，又点E 在CAF ∠的内部，AE ∴平分CAF ∠．（3）解：如图，过点E 作EM BF ⊥于点M ，作EN AC ⊥于点N ，由（2）已得：EM EH EN ==，设EM EH EN x ===，21ACD S =， 21ACE DCE S S +∴=，112221AC EN CD EH ∴⋅+⋅=，即()1221x AC CD +=， 又14AC CD +=，211223142x AC CD ⨯=∴⨯==+， 3EM ∴=，8.5AB =，ABE ∴的面积为11518.53224AB EM ⋅=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．25．（1）2△A ＝△1+△2；见解析；（2）2△A ＝△1﹣△2；见解析；（3）2（△A +△D ）＝△1+△2+360°，见解析【分析】（1）根据翻折的性质表示出△3、△4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出△3、△4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（3）先根据翻折的性质表示出△3、△4，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．【详解】解：（1）如图，根据翻折的性质，△3=EDA '∠=12（180-△1），△4=DEA '∠=12（180-△2），△△A +△3+△4=180°，△△A +12（180-△1）+12（180-△2）=180°，整理得，2△A =△1+△2；（2）如图，同理，根据翻折的性质，△3=12（180-△1），△4=12（180+△2），△△A+△3+△4=180°，△△A+12（180-△1）+12（180+△2）=180°，整理得，2△A=△1-△2；（3）如图，同理，根据翻折的性质，△3=12（180-△1），△4=12（180-△2），△△A+△D+△3+△4=360°，△△A+△D+12（180-△1）+12（180-△2）=360°，整理得，2（△A+△D）=△1+△2+360°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，多边形的内角与外角，翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键．26．（1）（0，3）；（2）AM ＝2CD ，理由见解析；（3）不变，12【分析】（1）过点C 作CH △y 轴于H ，由全等三角形的判定定理可得ABO BCH ≌，可得3CH BO ==，即可求解； （2）延长AB ，CD 交于点N ，由全等三角形的判定定理可得ADN ADC ≌，得出CD DN =，再依据全等三角形判定定理证明ABM CBN ≌，可得AM CN =，即可得结论；（3）如图③，作CG △y 轴于G ，由全等三角形判定定理可得BAO CBG ≌，得出BG AO =，CG OB =，再依据全等三角形的判定可证CGP FBP ≌，得出PB PG =，可得1122PB BG AO ==，由三角形面积公式可求解． 【详解】解：（1）如图①，过点C 作CH △y 轴于H ，△90BHC ABC ∠=︒=∠，△90BCH CBH ABH CBH ∠+∠=∠+∠=︒，△BCH ABH ∠=∠，△点C 的横坐标为﹣3，△3CH =，在ABO 和BCH 中，BCH ABH BHC AOB BC AB ∠=∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝，△ABO BCH ≌，△3CH BO ==，△点B （0，3）；故答案为：（0，3）；（2）2AM CD =，如图②，延长AB ，CD 交于点N ，△AD 平分BAC ∠，△BAD CAD ∠=∠，在ADN 和ADC 中，90BAD CAD AD AD ADN ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， △ADN ADC ≌，△CD DN =，△2CN CD =，△90BAD ∠+∠=︒N ，90BCN ∠+∠=︒N ，△BAD BCN ∠=∠，在ABM 和CBN 中，BAM BCN BA BC ABM CBN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △ABM CBN ≌，△AM CN =，△2AM CD =；（3）△BPC 与△AOB 的面积比不会变化，理由：如图③，作CG △y 轴于G ，△90BAO OBA ∠+∠︒＝，90OBA CBG ∠+∠︒＝，△BAO CBG ∠∠＝，在BAO 和CBG 中，90AOB BGC BAO CBG AB BC ∠=∠=︒⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝，△BAO CBG ≌，△BG AO ＝，CG OB ＝，△OB BF ＝，△BF GC ＝，在CGP 和FBP 中，90CPG FPB CGP FBP CG BF ∠=∠⎧⎪∠∠=︒⎨⎪=⎩＝，△CGP FBP ≌，△PB PG ＝， △1122PB BG AO ==， △12AOB S OB OA ∆=⨯⨯，111222PBC S PB GC OB OA ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯， △12PBC AOB S S ∆∆=：． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定定理和性质，理解题意，作出相应辅助线，充分运用全等三角形的判定是解题关键．。
2022-2023学年第一学期初二年级数学学科期中试卷一、选择题1.下列长度的三条线段能组成三角形的是()A.1，2，3B.2，2，4C.3，4，5D.3，4，82.不一定在三角形内部的线段是（）A.三角形的角平分线B.三角形的中线C.三角形的高D.以上皆不对3.张师傅不小心将一块三角形玻璃打破成如图中的三块，他准备去店里重新配置一块与原来一模一样的，最省事的做法是（）A.带Ⅰ去B.带Ⅱ去C.带Ⅲ去D.三块全带去4.已知图中的两个三角形全等，则α∠等于（）A.72︒B.60︒C.58︒D.50︒5.如图，如果△ABC≌△FED，那么下列结论错误的是（）A.EC=BDB.EF∥ABC.DF=BDD.AC∥FD6.在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B等于（）A.50°B.100°C.75°D.125°7.下列条件，可以确定△ABC是直角三角形的是（）A.∠A+∠B+∠C＝180°B.∠A+∠B＝∠CC.∠A ＝∠B ＝∠CD.∠A ＝∠B ＝2∠C8.如图，在ABC 中，P 为BC 上一点，PR AB ⊥，垂足为R ，PS AC ⊥，垂足为S ，CAP APQ ∠=∠，PR PS =，下面的结论：①AS AR =；②QP AR ∥；③BRP CSP ∆≅∆．其中正确的是（）A.①②B.②③C.①③D.①②③9.如图，在五边形ABCDE 中，A B E α∠+∠+∠=，DP 、CP 分别平分EDC ∠、BCD ∠，则P ∠的度数是（）A.1902α- B.1902α︒+C.12α D.15402α︒-10.如图，正方形ABCD 的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A 处，该三角板的两条直角边与CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ，四边形AECF 的面积是（）．A.16B.12C.8D.4二、填空题11.已知△ABC 的一个外角为50°，则△ABC 一定是__________三角形．12.1.如图，在ABC 中，BD 是角平分线，BE 是中线，若24AC =cm ，则AE =_______cm ，若72ABC ∠=︒，则ABD ∠=_____︒．13.已知等腰三角形的两边是3和5，则它的周长为________或_______．14.若一个多边形的每个外角均为36︒，则这个多边形的内角和为_______度．15.如图，直线AB CD ∥，155∠=︒，232∠=︒，则3∠=____________．16.如图所示，要测量河岸相对的两点A ，B 之间的距离，先从B 处出发与AB 成90︒角方向，向前走50米到C 处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D 处，在D 处转90︒沿DE 方向再走17米，到达E 处，通过目测发现A ，C 与E 在同一直线上，那么A ，B 之间的距离为________米．17.ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为50︒，底角B ∠的度数为_______________．18.在ABC 中，AD 是中线，已知7AB =，4AC =，则中线AD 的取值范围是___________．三、解答题：19.已知：如图，12,.C D AC AD∠=∠∠=∠=求证：20.如图，校园有两条路OA 、OB ，在交叉口附近有两块宣传牌C 、D ，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P 离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P ．（请保留作图痕迹）21.如图所示，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于E ，F 在AC 上，BD DF =．证明：（1）CD ED =；（2）2AB AF EB =+．22.如图，ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作DE BC ∥，交AB 于点E ，交AC 于点D ．（1）试确定BE 、ED 、CD 之间的数量关系；（2）若AB AC a +=，求AED △的周长．23.如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD 称为“基本图形”，且各点的坐标分别为()4,4A ，()1,3B ，()3,3C ，()3,1D ．（1）画出四边形1111D C B A ，使它与“基本图形”关于x 轴成轴对称，并求出1A ，1B 的坐标．1A （，），1B （，）；（2）画出四边形2222A B C D ，使它与“基本图形”关于y 轴成轴对称；并求出2C ，2D 的坐标2C （，），2D （，）；（3）画出四边形3333A B C D ，使之与前面三个图形组成的图形是轴对称图形．24.如图，AD 平分BAC ∠，EF 垂直平分AD 交BC 的延长线于F ，交AD 于E ，连接AF ，试判断B ∠、CAF ∠的大小关系，并说明理由．25.【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ．（1）如图①，在△ABC 和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E =90°，根据，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC ≌△DEF ．（2）如图②，在△ABC 和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角，求证：△ABC ≌△DEF ．第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等．（3）在△ABC 和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF ，使△DEF 和△ABC 不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B 还要满足什么条件，就可以使△ABC ≌△DEF ？请直接写出结论：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，若，则△ABC ≌△DEF ．26.在平面直角坐标系中，△ABC 是等腰直角三角形，且90ACB ∠=︒，AC BC =，顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上．（1）如图，已知点()0,2A -，()1,0C ，点B 在第四象限时，则点B 的坐标为；（2）如图，点C、A分别在x轴、y轴的负半轴上，BC边交y轴于点D，AB边交x轴于点E，若AD平分∠BAC，点B坐标为(),m n．探究线段AD、OC、OD之间的数量关系．请回答下列问题：①点B到x轴的距离为，到y轴的距离为；②写出点C的坐标为，点A的坐标为，点D的坐标为；③直接写出线段AD、OC、OD之间的数量关系：．2022-2023学年第一学期初二年级数学学科期中试卷一、选择题1.下列长度的三条线段能组成三角形的是()A.1，2，3B.2，2，4C.3，4，5D.3，4，8【答案】C【详解】A、1+2=3，不能构成三角形，故A错误；B、2+2=4，不能构成三角形，故B错误；C、3+4＞5，能构成三角形，故C正确；D、3+4＜8，不能构成三角形，故D错误．故选C．2.不一定在三角形内部的线段是（）A.三角形的角平分线B.三角形的中线C.三角形的高D.以上皆不对【答案】C【详解】试卷解析：三角形的角平分线、中线一定在三角形的内部，直角三角形的高线有两条是三角形的直角边，钝角三角形的高线有两条在三角形的外部，所以，不一定在三角形内部的线段是三角形的高.故选C.3.张师傅不小心将一块三角形玻璃打破成如图中的三块，他准备去店里重新配置一块与原来一模一样的，最省事的做法是（）A.带Ⅰ去B.带Ⅱ去C.带Ⅲ去D.三块全带去【答案】B【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带Ⅱ去．【详解】解：由图形可知，Ⅱ有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，所以，最省事的做法是带Ⅱ去．故选B．【点睛】此题考查了全等三角形的应用．4.已知图中的两个三角形全等，则α∠等于（）A.72︒B.60︒C.58︒D.50︒【答案】D【分析】直接根据全等三角形的性质即可得到答案．【详解】解： 图中的两个三角形全等，=50α∴∠︒，故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．5.如图，如果△ABC ≌△FED ，那么下列结论错误的是（）A.EC =BDB.EF ∥ABC.DF =BDD.AC ∥FD【答案】C【详解】∵△ABC ≌△FED ，∴DE =CB ，DF =AC ，∠E =∠B ，∠ACB =∠FDE ，∴DE -CD =CB -CD ，EF ∥AB ，AC ∥FD ，∴EC =BD ，∴选项A 、B 、D 都正确，而DF 和BD 不能确定是否相等，故选C ．6.在△ABC 中，∠A=55°，∠B 比∠C 大25°，则∠B 等于（）A.50°B.100°C.75°D.125°【答案】C【详解】∵∠B 比∠C 大25°，∴设∠B=x ，则∠C=x-25°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=55°，∴55°+x+x-25°=180°，解得x=75°，故选C.7.下列条件，可以确定△ABC 是直角三角形的是（）A.∠A +∠B +∠C ＝180°B.∠A +∠B ＝∠CC.∠A ＝∠B ＝∠CD.∠A ＝∠B ＝2∠C【答案】B【分析】根据直角三角形的定义“有一个角为90︒的三角形，叫做直角三角形”逐项分析即可.【详解】A.180A B C ∠+∠+∠=︒，三个角的度数不确定，此项不符合题意B.A B C ∠∠=∠+，根据三角形内角和定理可得90C ∠=︒，此项符合题意C.A B C ∠=∠=∠，则ABC ∆是等边三角形，此项不符合题意D.2A B C ∠=∠=∠，根据三角形内角和定理可得72,36A B C ∠=∠=︒∠=︒则ABC ∆是等腰三角形，此项不符合题意故选：B.【点睛】本题考查了直角三角形的定义，熟记定义是解题关键.8.如图，在ABC 中，P 为BC 上一点，PR AB ⊥，垂足为R ，PS AC ⊥，垂足为S ，CAP APQ ∠=∠，PR PS =，下面的结论：①AS AR =；②QP AR ∥；③BRP CSP ∆≅∆．其中正确的是（）A.①②B.②③C.①③D.①②③【答案】A【分析】利用角平分线定理的逆定理可证AP 平分BAC ∠，通过等量代换得出BAP APQ =∠∠，即可证明QP AR ∥，推出②正确；利用AAS 证明RAP SAP ∆≅∆，可得AS AR =，推出①正确；仅一组对边相等，一组对角相等不足以证明BRP CSP ∆≅∆，推出③错误．【详解】解：∵PR AB ⊥，PS AC ⊥，PR PS =，∴AP 平分BAC ∠，∴BAP CAP ∠=∠，∵CAP APQ ∠=∠，∴BAP APQ =∠∠，∴QP AR ∥，故②正确；在RAP ∆和SAP ∆中，90RAP SAP ARP ASP AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴()AAS RAP SAP ∆≅∆，∴AS AR =，故①正确；∵BRP ∆和CSP ∆中，仅一组对边相等，一组对角相等，∴现有条件不能够证明BRP CSP ∆≅∆，故③错误；综上，正确的是①②．故选A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线定理的逆定理，平行线的判定等知识点，难度不大，能够综合运用上述知识点是解题的关键．9.如图，在五边形ABCDE 中，A B E α∠+∠+∠=，DP 、CP 分别平分EDC ∠、BCD ∠，则P ∠的度数是（）A.1902α- B.1902α︒+C.12α D.15402α︒-【答案】A【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=α，可求∠BCD+∠CDE 的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC 与∠PCD 的角度和，进一步求得∠P 的度数．【详解】∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=α，∴∠BCD+∠CDE=540°-α，∵∠BCD 、∠CDE 的平分线在五边形内相交于点O ，∴∠PDC+∠PCD=12（∠BCD+∠CDE ）=270°-12α，∴∠P=180°-（270°-12α）=12α-90°．故选：A ．【点睛】此题考查多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．10.如图，正方形ABCD 的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A 处，该三角板的两条直角边与CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ，四边形AECF 的面积是（）．A.16B.12C.8D.4【答案】A 【分析】由四边形ABCD 为正方形可以得到∠D=∠B=90°，AD=AB ，又∠ABE=∠D=90°，而∠EAF=90°由此可以推出∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，进一步得到∠DAF=∠BAE ，所以可以证明△AEB ≌△AFD ，所以S △AEB =S △AFD ，那么它们都加上四边形ABCF 的面积，即可四边形AECF 的面积=正方形的面积，从而求出其面积．【详解】∵四边形ABCD 为正方形，∴∠D =∠ABC =90°，AD =AB ，∴∠ABE =∠D =90°，∵∠EAF =90°，∴∠DAF +∠BAF =90°，∠BAE +∠BAF =90°，∴∠DAF =∠BAE ，在△AEB 和△AFD 中BAE DAF AB AD ABE D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEB ≌△AFD (ASA )，∴S △AEB =S △AFD ，∴它们都加上四边形ABCF 的面积，可得到四边形AECF 的面积=正方形的面积=16.故答案为A考点：1、正方形的性质.2、三角形全等的判定.二、填空题11.已知△ABC 的一个外角为50°，则△ABC 一定是__________三角形．【答案】钝角【详解】解：因为△ABC 的一个外角为50°，所以和它相邻的内角=130°，所以△ABC 一定是钝角三角形．故答案为：钝角．12.1.如图，在ABC 中，BD 是角平分线，BE 是中线，若24AC =cm ，则AE =_______cm ，若72ABC ∠=︒，则ABD ∠=_____︒．【答案】①.12②.36【详解】∵BD 是角平分线，24AC =cm ，∴1122AE AC ==（cm ），BE 是中线，72ABC ∠=︒，∴1362ABD ABC ∠=∠=︒．故答案为：12，36．13.已知等腰三角形的两边是3和5，则它的周长为________或_______．【答案】①.13②.11【分析】因为等腰三角形的两边分别为3和5，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【详解】当3为底时，其它两边都为5，3、5、5可以构成三角形，周长为13；当3为腰时，其它两边为3和5，3、3、5可以构成三角形，周长为11；故答案为：13或11．【点睛】此题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题关键在于对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．14.若一个多边形的每个外角均为36︒，则这个多边形的内角和为_______度．【答案】1440【分析】依据多边形外角和为360︒求得边数，再依据多边形内角和公式代入求解即可．【详解】解：因为多边形的每个外角均为36︒，且外角和为360︒，所以这个多边形边数：3603610︒÷︒=，则这个多边形的内角和为：()1021801440-⨯︒=︒，故答案为：1440．【点睛】本题考查了多边形内角和公式、外角和为360︒；通过外角和求得边数是解题的关键．15.如图，直线AB CD ∥，155∠=︒，232∠=︒，则3∠=____________．【答案】87︒【分析】利用平行线的性质可得155C ∠=∠=︒，利用三角形外角的定义和性质可得32C ∠=∠+∠，代入数值即可得解．【详解】解：∵AB CD ∥，∴155C ∠=∠=︒，∴32553287C =+=︒+∠︒=∠∠︒，故答案为：87︒．【点睛】本题考查平行线的性质及三角形外角的定义和性质，难度较小，解题的关键是熟练掌握“两直线平行，内错角相等”“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”．16.如图所示，要测量河岸相对的两点A ，B 之间的距离，先从B 处出发与AB 成90︒角方向，向前走50米到C 处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D 处，在D 处转90︒沿DE 方向再走17米，到达E 处，通过目测发现A ，C 与E 在同一直线上，那么A ，B 之间的距离为________米．【答案】17【分析】根据已知条件证得ABC ≌EDC △，再利用全等三角形对应边相等的性质即可求得AB ．【详解】解： 先从B 处出发与AB 成90︒角方向，∴90ABC ∠=︒，50BC m = ，50CD m =，90EDC ∠=︒，ABC EDC ∴∠=∠，BC DC =．ACB ECD ∠=∠ ，∴ABC ≌()ASA EDC ，∴AB DE =．沿DE 方向再走17米，到达E 处，即17DE =，∴17AB =米．故答案为：17．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形对应边相等的性质，是解答本题的关键．17.ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为50︒，底角B ∠的度数为_______________．【答案】70︒或20︒【分析】当ABC 为锐角三角形时，设AB 的垂直平分线交线段AC 于点D ，交AB 于点E ，先求得A ∠，再由三角形内角和定理可求得B ∠；同理，当ABC 为钝角三角形时，可求得DAB ∠的度数，再利用等腰三角形和三角形外角的性质可知12B DAB ∠=∠，由此可解．【详解】解：分两种情况：当ABC 为锐角三角形时，如图1，设AB 的垂直平分线交线段AC 于点D ，交AB 于点E ，∵50ADE ∠=︒，DE AB ⊥，∴905040A ∠=︒-︒=︒，∵AB AC =，∴()1180702B ACB A ∠∠︒-∠︒===；当ABC 为钝角三角形时，如图2，设AB 的垂直平分线交线段AC 于点D ，交AB 于点E ，∵50ADE ∠=︒，DE AB ⊥，∴905040DAB ∠=︒-︒=︒，∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵B C DAB ∠+∠=∠，∴1202B DAB ∠=∠=︒；综上可知B ∠的度数为70︒或20︒，故答案为：70︒或20︒．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，以及三角形外角的性质，注意分类讨论是解题的关键，否则就会漏解．18.在ABC 中，AD 是中线，已知7AB =，4AC =，则中线AD 的取值范围是___________．【答案】31122AD <<【分析】通过倍长中线，构造ABD ECD ∆≅∆，从而得到7AB CE ==，利用三角形三边关系可得CE AC AE CE AC -<<+，再通过12AD AE =即可求解．【详解】解：如图，延长AD 至E ，令DE AD =，连接CE，∵AD 是ABC 的中线，∴BD CD =，在ABD △和ECD 中，AD EDADB EDC BD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABD ECD ∆≅∆，∴7AB CE ==，在AEC △中，根据三角形的三边关系可得CE AC AE CE AC -<<+，即7474AE -<<+，∴311AE <<，∵DE AD =，∴12AD AE =，∴31122AD <<．故答案为：31122AD <<．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用等，通过倍长中线构造全等三角形是解题的关键．三、解答题：19.已知：如图，12,.C D AC AD∠=∠∠=∠=求证：【答案】证明见解析【分析】结合已知条件再加上公共边AD 根据“AAS”即可证得△CAB ≌△DAB ，根据全等三角形的对应边相等即得结果．【详解】证明:,12,AB AB C D=∠=∠∠=∠ CAB DAB∴∆≅∆AC AD∴=20.如图，校园有两条路OA 、OB ，在交叉口附近有两块宣传牌C 、D ，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P 离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P ．（请保留作图痕迹）【答案】见解析【分析】分别作线段CD 的垂直平分线和AOB ∠的角平分线，它们的交点即为点P ．【详解】解；如图，点P 为所作．【点睛】本题考查了作图——应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．21.如图所示，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于E ，F 在AC 上，BD DF =．证明：（1）CD ED =；（2）2AB AF EB =+．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）根据角平分线的性质即可证明；（2）通过HL 证明Rt CDF Rt EBD ≌，Rt ACD Rt AED ≌，得AC AE =，再进行等量代换即可．【小问1详解】证明：∵90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，∴DE DC =；【小问2详解】证明：在Rt CDF 与Rt EBD 中，CD DE DF BD =⎧⎨=⎩，∴()HL Rt CDF Rt EDB ≌，∴CF EB =；在Rt ACD 和Rt AED 中，AD AD CD ED =⎧⎨=⎩，∴()HL Rt ACD Rt AED ≌，∴AC AE =，∵CF BE =，∴2AB AC EB AF EB =+=+．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，熟记角平分线的性质是解题的关键．22.如图，ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作DE BC ∥，交AB 于点E ，交AC 于点D ．（1）试确定BE 、ED 、CD 之间的数量关系；（2）若AB AC a +=，求AED △的周长．【答案】（1）ED BE CD=+（2）AED △的周长为a【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质，通过等量代换可得EFB EBF ∠=∠，DFC DCF ∠=∠，进而得到BE EF =，CD DF =，即可推出ED BE CD =+．（2）利用（1）中结论，通过等量代换可得AE AD ED a ++=．【小问1详解】解：由题意知，BF 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，∴EBF CBF ∠=∠，DCF BCF ∠=∠，∵DE BC ∥，∴EFB CBF ∠=∠，DFC BCF ∠=∠，∴EFB EBF ∠=∠，DFC DCF ∠=∠，∴BE EF =，CD DF =，∴BE CD EF DF ED +=+=，即ED BE CD =+．【小问2详解】解：∵AB AC a +=，∴AE BE AD CD a +++=，由（1）知ED BE CD =+，∴AE AD ED a ++=，即AED △的周长为a ．【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，以及等腰三角形“等角对等边”等知识点，掌握上述知识点，熟练进行等量代换是解题的关键．23.如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD 称为“基本图形”，且各点的坐标分别为()4,4A ，()1,3B ，()3,3C ，()3,1D ．（1）画出四边形1111D C B A ，使它与“基本图形”关于x 轴成轴对称，并求出1A ，1B 的坐标．1A （，），1B （，）；（2）画出四边形2222A BCD ，使它与“基本图形”关于y 轴成轴对称；并求出2C ，2D 的坐标2C （，），2D （，）；（3）画出四边形3333A B C D ，使之与前面三个图形组成的图形是轴对称图形．【答案】（1）4，4-，1，3-；图形见解析（2）3-，3，3-，1；图形见解析（3）见解析【分析】（1）根据关于x 轴对称的点横坐标相等、纵坐标互为相反数，即可得到对应点的坐标，描点连线即可；（2）根据关于y 轴对称的点纵坐标相等、横坐标互为相反数，即可得到对应点的坐标，描点连线即可；（3）根据轴对称图形的特点可知，四边形1111D C B A 关于y 轴的轴对称图形即为四边形3333A B C D ．【小问1详解】解：根据四边形1111D C B A 与四边形ABCD 关于x 轴对称，可知对应点的横坐标相等、纵坐标互为相反数，因此()14,4A -，()11,3B -，()13,3C -，()13,1D -，描点连线可得四边形1111D C B A ；【小问2详解】解：根据四边形2222A B C D 与四边形ABCD 关于y 轴对称，可知对应点的纵坐标相等、横坐标互为相反数，因此()24,4A -，()21,3B -，()23,3C -，()23,1D -，描点连线可得四边形2222A B C D ；【小问3详解】解：如图所示，作四边形1111D C B A 关于y 轴的轴对称图形，该图形即为四边形3333A B C D ．【点睛】本题考查作轴对称图形，解题的关键是熟练掌握关于x 轴，y 轴成轴对称图形的对应点坐标的特点．24.如图，AD 平分BAC ∠，EF 垂直平分AD 交BC 的延长线于F ，交AD 于E ，连接AF ，试判断B ∠、CAF ∠的大小关系，并说明理由．【答案】CAF B ∠=∠．理由见解析【分析】根据垂直平分线的性质得FA FD =，再根据等边对等角得∠∠FAD FDA =，利用外角的性质得FDA B BAD ∠=∠+∠，再利用角平分线的定义和角的和差关系，即可推出CAF B ∠=∠．【详解】解：CAF B ∠=∠．理由如下：∵EF 垂直平分AD ，∴FA FD =，∴∠∠FAD FDA =，∵FDA B BAD ∠=∠+∠，FAD CAF DAC ∠=∠+∠，又∵AD 平分BAC ∠，∴BAD DAC ∠=∠，∴CAF B ∠=∠．【点睛】本题考查角平分线的定义，垂直平分线的性质，三角形外角的定义和性质等，难度不大，解题的关键是通过等量代换得出B ∠与CAF ∠的联系．25.【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ．（1）如图①，在△ABC 和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E =90°，根据，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC ≌△DEF ．（2）如图②，在△ABC 和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角，求证：△ABC ≌△DEF ．第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等．（3）在△ABC 和△DEF ，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF ，使△DEF 和△ABC 不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B 还要满足什么条件，就可以使△ABC ≌△DEF ？请直接写出结论：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，若，则△ABC ≌△DEF ．【答案】（1）HL ；（2）证明见解析；（3）作图见解析；（4）∠B ≥∠A ．【分析】（1）根据直角三角形全等的方法“HL ”证明；（2）过点C 作CG AB ⊥交AB 的延长线于G ，过点F 作FH DE ⊥交DE 的延长线于H ，根据等角的补角相等求出CBG FEH ∠=∠，再利用“角角边”证明CBG ∆和FEH ∆全等，根据全等三角形对应边相等可得CG FH =，再利用“HL ”证明Rt ACG ∆和Rt DFH ∆全等，根据全等三角形对应角相等可得A D ∠=∠，然后利用“角角边”证明ABC ∆和DEF ∆全等；（3）以点C 为圆心，以AC 长为半径画弧，与AB 相交于点D ，E 与B 重合，F 与C 重合，得到DEF ∆与ABC ∆不全等；（4）根据三种情况结论，B ∠不小于A ∠即可．【详解】解：（1）在ABC ∆和DEF ∆，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠=︒，根据斜边直角边对应相等的两个三角形全等可以知道Rt ABC Rt DEF ∆≅∆，故答案为：斜边直角边对应相等的两个三角形全等或HL ．（2）如图，过点C 作CG AB ⊥交AB 的延长线于G ，过点F 作FH DE ⊥交DE 的延长线于H ，ABC DEF ∠=∠ ，且ABC ∠、DEF ∠都是钝角，180180ABC DEF ∴︒-∠=︒-∠，即CBG FEH ∠=∠，在CBG ∆和FEH ∆中，90CBG FEH G H BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()CBG FEH AAS ∴∆≅∆，CG FH ∴=，在Rt ACG 和Rt DFH 中，AC DF CG FH =⎧⎨=⎩，()Rt ACG Rt DFH HL ∴ ≌，A D ∴∠=∠，在ABC ∆和DEF ∆中，A D ABC DEF AC DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC DEF AAS ∴∆≅∆；（3）如图，DEF ∆和ABC ∆不全等；以点C 为圆心，以AC 长为半径画弧，与AB 相交于点D ，E 与B 重合，F 与C 重合，得到DEF ∆与ABC ∆不全等．（4）若B A ∠∠，则ABC DEF ∆≅∆，故答案为：B A ∠∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．26.在平面直角坐标系中，△ABC 是等腰直角三角形，且90ACB ∠=︒，AC BC =，顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上．（1）如图，已知点()0,2A -，()1,0C ，点B 在第四象限时，则点B 的坐标为；（2）如图，点C 、A 分别在x 轴、y 轴的负半轴上，BC 边交y 轴于点D ，AB 边交x 轴于点E ，若AD 平分∠BAC ，点B 坐标为(),m n ．探究线段AD 、OC 、OD 之间的数量关系．请回答下列问题：①点B 到x 轴的距离为，到y 轴的距离为；②写出点C 的坐标为，点A 的坐标为，点D 的坐标为；③直接写出线段AD 、OC 、OD 之间的数量关系：．【答案】（1）（3，-1）（2）①n ，m ；②（-n ，0），（0，-m -n ），（0，m n -）；③22AD OC OD=+【分析】（1）过B 点作x 轴垂线，垂足为D ，由题意可证得()OCA DBC AAS ≅ ，故CD =OA =2,BD =OC =1，OD =OC +CD =3，即可知B 点坐标为（3，-1）．（2）过B 点作x 轴垂线，垂足为F ，连接DE①因为B 点在第一象限，故B 点横坐标为B 点到y 轴的距离，B 点纵坐标为B 点到x 轴的距离．②由题意可证得()OCA FBC AAS ≅ ，故可求ACE △为等腰三角形，则可证得()ODE FEB AAS ≅ ，便可知OC =n ，OA =OF +OC =m +n ，DO =OF -OE =m -n 即点C 的坐标为（-n ，0），点A 的坐标为（0，-m -n ），点D 的坐标为（0，m n -）．③由②问知AD =OD +AO =m -n +m +n =2m ，OC =n ，OD =m -n ，故有22AD OC OD =+．【小问1详解】过B 点作x 轴垂线，垂足为D由题意知AO =2，OC =1，AC =BC ，90COA BDC ∠=∠=︒∵∠OCA +∠OAC =90°，∠OCA +∠DCB =90°∴∠OAC =∠BCD ，在OCA 和DBC △中有90OAC BCD COA BDC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()OCA DBC AAS ≅ ∴CD =OA =2,BD =OC =1，OD =OC +CD =3故B 点坐标为（3，-1）【小问2详解】过B 点作x 轴垂线，垂足为F ，连接DE①∵点B 坐标为(),m n ，且点B 在第一象限∴m ＞0，n ＞0故点B 到x 轴的距离为n ，到y 轴的距离为m ．②由题意知BC =AC ，90COA BFC ∠=∠=︒∵∠BCF +∠OAC =90°，∠OCA +∠OAC =90°∴OAC BCF∠=∠在OCA 和FBC 中有90OAC BCF COA BFC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()OCA FBC AAS ≅ ∴BF =CO ，OA =CF由①知BF =n ，OF =m故OC =n ，OA =OF +OC =m +n∵AD 平分∠BAC∴∠OAC =∠OAE∴∠OCA +∠OAC =∠OEA +∠OAE∴AC =AE∴ACE △为等腰三角形，AD 为角平分线，中线，高线三线合一，故DCE △也为等腰三角形．∴CO =OE =BF ，∠DCO +∠OCA =∠DEO +∠OEA =90°∵∠ODE +∠OED =90°，∠OED +∠BEF =90°∴∠ODE =∠BEF在ODE 和FEB 中有90ODE BEF DOE BFE OE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()ODE FEB AAS ≅ ∴EF =DO∴DO =OF -OE =m -n则点C 的坐标为（-n ，0），点A 的坐标为（0，-m -n ），点D 的坐标为（0，m n -）．③由②可知AD =OD +AO =m -n +m +n =2m ，OC =n ，OD =m -n故有22AD OC OD=+【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，坐标轴中点坐标的性质，点到坐标轴的距离点P 的坐标为(,)x y ，那么点P 到x 轴的距离为这点纵坐标的绝对值，即y ．点P 到y 轴的距离为这点横坐标的绝对值，即x ．AAS 表示角角边,即已知两个三角形的两个角都相同,且两角夹边以外的任意一条边长度相等,即可证明两个三角形全等．。
北京市海淀实验中学八年级第一学期期中练习数学一、选择题（本大题共30分，每小题3分）1.图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】D 【分析】根据轴对称的性质可进行求解．【详解】解：由题意可知该图的对称轴如图所示：由图可知该图形的对称轴有5条；故选D ．【点睛】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．2.点(1,2)M 关于y 轴对称的点的坐标为（）A.(1,2)- B.(1,2)-- C.(1,2)- D.(2,1)-【答案】C【分析】根据平面直角坐标系中，点的对称变换特征求解；【详解】解：(1,2)M 关于y 轴对称的点的坐标为(1,2)-故选：C ．【点睛】本题考查点的坐标变换，掌握平面直角坐标系中，点的对称变换口诀“关于谁，谁不变，关于原点都改变”是解题的关键．3.以厘米为单位，下列各组数中，以它们为边能构成三角形的是（）A.3，5，8B.8，8，18C.，1 D.3，40，8【答案】C【分析】根据三角形的三边关系求解即可；【详解】解：A 、358+=，不能构成三角形；不符合题意；B 、881618+=<，不能构成三角形；不符合题意；C 、+=2221，可以构成直角三角形；符合题意；D 、+=<381140，不能构成三角形；不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，勾股定理；熟练掌握三角形的任意两边之和大于第三边是解题的关键．4.下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据多边形的内角和公式和多边形的外角和等于360︒求解即可；【详解】解：多边形的外角和等于360︒不变；A 、三角形的内角和为：180︒，不符合题意；B 、四边形的内角和为：360︒，符合题意；C 、五边形的内角和为：540︒，不符合题意；D 、六边形的内角和为：720︒，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了多边形的内角和、多边形的外角和；熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．5.如图，△ABC ≌△FDE ，∠C=40°，∠F=110°，则∠B 等于（）A.20°B.30°C.40°D.150°【答案】B 【详解】∵△ABC ≌△FDE ，∠C =40°，∴∠E =∠C =40°，∵40E ∠=︒，110F ∠=︒∴∠EDF=180°-∠E-∠F=30°∵△ABC ≌△FDE∴∠B =∠EDF=30°故选B.【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的对应角相等，三角形的内角和为180°.6.如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点．若4PA =，则PQ 的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【分析】由垂线段最短可知：PQ 的最小值为点P 到射线OM 的垂线段的长度；根据角平分线的性质定理求解即可；【详解】解：当PQ OM ⊥时，PQ 有最小值；∵OP 平分MON ∠，PA ON⊥∴PQ PA ==4故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、垂线段最短；熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．7.如图，经过直线AB 外一点C 作这条直线的垂线，作法如下：（1）任意取一点K ，使点K 和点C 在AB 的两旁．（2）以点C 为圆心，CK 长为半径作弧，交AB 于点D 和E ．（3）分别以点D 和点E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧相交于点F ．（4）作直线CF ．则直线CF 就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定．．．是等腰三角形的为（）A.△CDFB.△CDKC.△CDED.△DEF【答案】A 【分析】根据作图过程和等腰三角形的定义进行分析即可.【详解】由作图过程可得：CD=CD,DF=EF,CD=CK所以，是等腰三角形的有△CDK ，△CDE ，△DEF ；△CDF 不一定是等腰三角形.故选：A【点睛】考核知识点：等腰三角形.理解等腰三角形的定义是关键.8.一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形【答案】B【详解】根据三角形的内角和为180°，可知最大角为90°，因式这个三角形是直角三角形．故选B．9.如图，由若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（）A.△AEGB.△ADFC.△CEGD.△FDG【答案】D【分析】利用勾股定理分别计算出所有三角形的边长，然后根据“SSS”对各选项进行判断．【详解】解：在△ABC中，BC=AC=，AB＝3，在△AEG中，EG=AG＝2，AE=在△ADF中，AD=DF＝3，AF=在△CEG中，EG=CG＝CE=，在△FDG中，DG=，FG=，DF＝3，所以BC＝DG，AC＝FG，AB＝DF，所以△ABC≌△FDG（SSS）．故选D．【点睛】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定，解决本题的关键是要熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定和性质。
