高三数学考前大题综合训练(二)

山西省大同市实验中学2023届高三上学期高考考前模拟（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}02,{1}A xx B x x =≤≤=>∣∣，则A B =I （ ） A ．(],1-∞ B ．(]1,2 C ．(],2-∞ D ．[]0,22．若复数z 满足()()2+323i z z z z +-=+，则z =（ ） A ．11i 22+B ．11i 22-C ．22i +D ．22i -3．ABC V 中，90C ∠=︒，2AC =，P 为线段BC 上任一点，则AP AC ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．8B ．4C ．2D ．64．“01t <<”是“曲线2211x y t t +=-表示椭圆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（ ） A ．30B ．36C ．360D ．12966．过圆2264x y +=上的动点作圆22:16C x y +=的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C 不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（ ） A ．4πB ．6πC ．8πD ．12π7．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则10N =A ．1020B ．1010C ．510D ．5058．若关于x 的方程22e ln (eln )0()x a x x x a ++=∈R 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．(,2)(2,)-∞-+∞U B ．(,2][2,)-∞-+∞U C ．(2,2)-D ．[2,2]-二、多选题9．“中国最具幸福感城市调查推选活动”由新华社《瞭望东方周刊》、瞭望智库共同主办，至今已连续举办15年，累计推选出80余座幸福城市，现某城市随机选取30个人进行调查，得到他们的收入、生活成本及幸福感分数（幸福感分数为0~10分），并整理得到散点图（如图），其中x 是收入与生活成本的比值，y 是幸福感分数，经计算得回归方程为 1.50114ˆ.51x y=+.根据回归方程可知（ ）A ．y 与x 成正相关B ．样本点中残差的绝对值最大是2.044C ．只要增加民众的收入就可以提高民众的幸福感D ．当收入是生活成本3倍时，预报得幸福感分数为6.04410．已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像关于6x π=对称，则a的最小值是3π D ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，则12x x -的最大值为2π11．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1232f x f x +=-，当[]0,2x ∈时，()2f x x =-，设函数()()2e26x g x x --=-<<，则（ ）A ．函数()f x 图象关于直线2x =对称B ．函数()f x 的周期为6C ．()()202320221f f +=-D ．()f x 和()g x 的图象所有交点横坐标之和等于812．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -顶点处有一质点Q ，点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q 的初始位置位于点A 处，记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为n P ，则下列说法正确的是（ ）A ．259P =B ．12133n n P P +=+ C ．点Q 移动4次后恰好位于点1C 的概率为0D ．点Q 移动10次后仍在底面ABCD 上的概率为10111()232+三、填空题13．已知0,0a b >>，若不等式313ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为________．14．P 是抛物线28y x =上的动点，P 到y 轴的距离为1d ，到圆22:(3)(3)4C x y ++-=上动点Q 的距离为2d ，则12d d +的最小值为________．15．已知四面体ABCD ，平面ABD ⊥平面ABC ，DB BC ⊥，1DA DB ==，120ADB ∠=︒，且四面体ABCD 外接球的表面积为36π，则四面体ABCD 的体积为______．16．如图，一建筑工地有墙面α与水平面β垂直并交于l ，长为α内一点A 与平面β内一点B ，点,A B 距l 均为3米，,E F 分别为AB 的三等分点，若在平面α内一点P 向点,E F 连绳子，则PE PF +的最短长度为__________米.四、解答题17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=.（1）求sin sin AC的值 （2）若1cos 4B =，b ＝2，求△ABC 的面积S . 18．从①12n a S n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②23S a =，412a a a =；③12a =，4a 是2a ，8a 的等比中项这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差d 不等于零，______． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若122n n n b S S +=-，数列{}n b 的前n 项和为n W ，求n W ．19．如图，在四棱锥E -ABCD 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，O ､M 分别为线段AD ､DE 的中点，四边形BCDO 是边长为1的正方形，AE =DE ，AE ⊥DE.(1)求证：CM //平面ABE ；(2)求直线CM 与BD 所成角的余弦值；(3)点N 在直线AD 上，若平面BMN ⊥平面ABE ，求线段AN 的长.20．某工厂两条生产线分别生产甲、乙两种元件，元件质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为正品，小于76为次品.现分别从两条生产线随机抽取元件甲和元件乙各100件进行检测，检测结果统计如下：(1)试分别估计生产一件元件甲、一件元件乙为正品的概率；(2)生产一件元件甲，若是正品则盈利90元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，若是正品则盈利100元，若是次品则亏损20元，则在（1）的前提下： ①求生产5件元件乙所获得的利润不少于300的概率；②记X ，Y 分别为生产1000件元件甲和1000件元件乙所得的总利润，试比较()E X 和()E Y 的大小.（结论不要求证明）21．已知函数()21e 2x f x ax =-，其中a R ∈．(1)若函数()f x 在()0,∞+上单调递增，求a 的取值范围； (2)若函数()f x 存在两个极值点1x ，()212x x x <，[]212,e ∈x x 时，求12x x +的取值范围. 22．已知椭圆C 的方程为22142x y +=，过点203Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，作直线与椭圆交于A ，B 两点.（1）求证：P A ⊥PB ；（2）求|P A|·|PB|的最大值.。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2013.5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知集合{}0,1,3M =，集合{}3,N x x a a M ==∈，则M N =A.{}0B.{}0,3C. {}1,3,9D. {}0,1,3,9 【答案】D【解析】{}3,{0,3,9}N x x a a M ==∈=，所以{0,1,3,9}M N = ，选D.（2）若120()d 0x mx x +=⎰，则实数m 的值为A ．13-B ．23- C ．1- D ．2- 【答案】B 【解析】12321001111()d ()03232x mx x x mx m +=+=+=⎰，解得23m =-，选B.（3）执行如图所示的程序框图．若输出的结果是16，则判断框内的条件是A. 6n >？B. 7n ≥？C. 8n >？D. 9n >？ 【答案】C【解析】第一次循环，1,3S n ==，不满足条件，循环。

第二次循环，134,5S n =+==，不满足条件，循环。

第三次循环，459,7S n =+==，不满足条件，循环。

第四次循环，9716,9S n =+==，满足条件，输出。

所以判断框内的条件是8n >，选C.（4）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(1,3]D ．(1,3) 【答案】A【解析】双曲线的渐近线为b y x a =±，不妨取b y x a =，代入抛物线得22b x x a=+，即220b x x a -+=，要使渐近线与抛物线22y x =+有公共点，则2()80ba∆=-≥，即228b a ≥，又22228b c a a =-≥，所以229c a ≥，所以29,3e e ≥≥。

广东金山中学 高三数学（理）考前习题精选二 201307 整理1．下列结论错误．．的是 （ ） A ．命题“若p ，则q ”与命题“若p q ⌝⌝则,”互为逆否命题B ．命题“0,2>-∈∃x x R x ”的否定是“0,2≤-∈∀x x R x ” C ．命题“直棱柱每个侧面都是矩形”为真D ．“若b a bm am <<则,22”的逆命题为真 2.ABC ∆的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，已知sin 1B =，向量()a b =，，(12)=，。

若q p //，则C ∠角的大小为（ ）Ａ．6π Ｂ． 3π Ｃ． 2π Ｄ． 32π3．若)232cos(,31)6sin(απαπ+=-则的值为（ ）A ．31B ．31-C ．97D ．97- 4.10(1)i -(i 为虚数单位)的二项展开式中第七项为（ ）A ．210- B ．210 C ．120i - D ．120i 5. 已知各项不为0的等差数列{}n a ，满足23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（ ） A.2 B.4 C.8 D.166. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题中①α∥m l ⊥⇒β；②l ⇒⊥βα∥m ；③l ∥m αβ⇒⊥；④α⇒⊥m l ∥β.其中正确的是（ ） A ．①②③B ．②③④C ．②④D ．①③7．已知y x z c y x y x x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≥++-≤+≥302,42,且目标函数满足的最小值是5，则z 的最大值是（ ）A ．10B ．12C ．14D ．158．设函数,))((为奇函数R x x f ∈=+=+=)5(),2()()2(,21)1(f f x f x f f 则 （ ）A ．0B ．1C ．25D ．59．当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B 处救援，则θsin 的值等于 （ ） A ．721 B ．22 C ．23 D ．1475 10．已知2{|10}x ax ax φ-+<=，则实数a 的取值范围是 11．函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是12.已知某个几何体的三视图如右（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 .13．如图，△12OA A 是等腰直角三角形，1121AO A A ==,以2OA 为直角边作等腰直角三角形△23OA A ，再以3OA 为直角边作 等腰直角三角形△34OA A ，如此继续下去得等腰直角三角形 △45OA A ……．则△910OA A 的面积为 ．14、已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为(10,0)F ,两条渐近线的方程为43y x =±,则该双曲线的标准方程为 . 15、定义函数CONRND(,a b )是产生区间(,a b )内的任何一个实数的随机数函数.如图所示的程序框图可用来估计π的值.现在N 输入的值为100,结果m 的输出值为21,则由此可估计π的近似值为 .16．若不等式121x a x+>-+对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 ．17．已知锐角△ABC 中，点A （-1，0），B （1，0），C （x ，y ）。

韶关市2024届高三综合测试（二）数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前、考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号、学校和班级填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内和应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}116,07A x x B x x ⎧⎫=<≤=<⎨⎬-⎩⎭，则()R A B ⋂=ð（）A.{1x x ≤或}67x ≤≤B.{1x x ≤或}67x <<C.{1x x <或}67x ≤< D.{1x x <或}67x <≤【答案】B 【解析】【分析】先利用题给条件求得集合R A ð和集合B ，进而求得()A B R ð.【详解】{}16A x x =<≤，则{R 1A x x =≤ð或}6x >，又{}1077B xx x x ⎧⎫=<=<⎨⎬-⎩⎭，则()R A B ⋂=ð{1x x ≤或}6x >{}7x x ⋂<={1x x ≤或}67x <<.故选：B2.设α，β，γ是三个互不重合的平面，m ，n 是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是（）A.若//m α，//m β，则//αβB.若//m α，//n α，则//m nC.若m α⊥，m β⊥，则//αβD.若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】利用空间中点线面之间的位置关系即可对每个选项做出判断，从而选出正确选项.【详解】对于选项A ：若//m α，//m β，则α与β平行或相交，故选项A 不正确；对于选项B ：若//m α，//n α，则m 与n 可平行、异面、或相交；故选项B 不正确；对于选项C ：若m α⊥，m β⊥，则//αβ,由垂直于同一条直线的两个平面平行，知故选项C 正确；对于选项D ：若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，故选项D 不正确；故选：C【点睛】本题主要考查了线线平行、面面平行的判断，属于中档题.3.已知一组数据：12，16，22，24，25，31，33，35，45，若去掉12和45，将剩下的数据与原数据相比，则（）A.极差不变B.平均数不变C.方差不变D.上四分位数不变【答案】D 【解析】【分析】根据原数据和现数据的相关数字特征计算即可对选项一一判断.【详解】在这组数据：12，16，22，24，25，31，33，35，45中去掉12和45后，得到16，22，24，25，31，33，35，显然极差由451233-=变成了351619-=，故A 项错误；原平均数为121622242537412343()13329595x ===++++++++，现平均数为162224253133351186()2777x '==≠++++++，故B 项错误；原方差为222222222221216222425391824[1333542799]5s ++++⨯=-=++++，现方差为222222222186162224253133357()11916[]7497s ++'+-⨯==+++，显然方差不同，故C 项错误；对于D 项，由19 2.254⨯=，知原数据的上四分位数是第三个数据22，又由17 1.754⨯=，知现数据的上四分位数是第二个数据22，即D 项正确.故选：D.4.过点()2,3P -作斜率为2-的直线，若光线沿该直线传播经x 轴反射后与圆222:(3)(2)(0)C x y r r -+-=>相切，则r =（）A.B.C.2D.【答案】D 【解析】【分析】如图，根据直线的点斜式方程求出直线PA ，进而求出点A ，利用反射光线的性质求出直线BA ，结合点到直线的距离公式计算即可求解.【详解】如图，设经过点P 的直线交x 轴于点A ，反射直线与圆C 相切于点B ，直线:32(2)PA y x -=-+，即21y x =--，令0y =，解得12x =-，即1(,0)2A -，又0PA BA k k +=，所以2BA k =，所以直线1:02()2BA y x -=+，即210x y -+=，则点C (3,2)到直线直线:210BA x y -+=的距离为d ==，即r =.故选：D5.在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W （单位：平方米）的计算公式是()()44W =+⨯+长宽，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（）A.10000 B.10480C.10816D.10818【答案】C 【解析】【分析】设矩形场地的长为x 米，则40000410016W x x=++，结合基本不等式计算即可求解.【详解】设矩形场地的长为x 米，则宽为10000x米，1000040000(4)(4)4100161001610816W x x x x =++=++≥=，当且仅当400004x x=，即100x =时，等号成立.所以平整这块场地所需的最少费用为11081610816⨯=元.故选：C6.在ABC 中，13tan ,tan 45A B ==．若ABC．则最短边的长为（）A.B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】求出tan 10C=-<，C 为钝角，故c =a b <，求出sin sin A C ,，由正弦定理求出答案.【详解】因为()13tan tan 45tan tan 10131tan tan 145A B C A B A B ++=-+=-=-=-<--⨯，又tan 0,tan 0A B >>，故,A B 为锐角，C 为钝角，故c =因为tan y x =在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，tan tan A B <，故A B <，所以a b <，又sin 1tan cos 4A A A ==，22sin cos 1AA +=，解得sin A =2sin 2C =，由正弦定理得sin sin a c A C=，即122a =，解得a =.故选：A7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，过点F 的直线:340l x y m ++=与y 轴交于点B ，与双曲线C 交于点A （A 在y 轴右侧）．若B 是线段AF的中点，则双曲线C 的渐近线方程为（）A.33y x =±B.12y x =±C.y =D.2y x=±【答案】C 【解析】【分析】利用题给条件得到,a b 的关系，进而得到双曲线C 的渐近线方程.【详解】设双曲线右焦点为2F ，连接2AF .又2AFF 中，2,FO OF FB BA ==，则22//,=2AF OB AF OB ,由直线:340l x y m ++=可得,0,0,34m m F B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,32m m A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又由双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>可得2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2,32m b m c a =-=-，则有232b c a =，即232b ac=又222c a b =+，则有44224990b a a b --=，整理得223430b b a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，解之得ba =则双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y =.故选：C 8.定义{}{},,max ,,min ,,,a a b b a ba b a b b a b a a b ≥≥⎧⎧==⎨⎨<<⎩⎩，对于任意实数0,0x y >>，则2211min max 2,3,49x y x y ⎧⎫⎧⎫+⎨⎨⎩⎭⎩⎭的值是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】设2211max{2,3,}49x y M x y +=，则2211323(2)(3)M x y x y ≥+++，构造函数21()(0)f x x x x=+>，利用导数求出函数()f x 的最小值进而得23632M ≥，化简即可求解.【详解】设2211max{2,3,}49x y M x y +=，则22112,3,49M x M y M x y ≥≥≥+，得222211113232349(2)(3)M x y x y x y x y ≥+++=+++，设21()(0)f x x x x =+>，则33322()1x f x x x-'=-=，令()00f x x '<⇒<<()0f x x '>⇒>所以函数()f x在上单调递减，在)+∞上单调递增，故min 233()2f x f ==，即233()2f x ≥，得223333(2),(3)22f x f y ≥≥，所以2222233311336323(2)(3)(2)(3)222M x y f x f y x y ≥+++=+≥+=，得2322M ≥=，即2211min{max{2,3,}}49x y x y +=.故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查导数在函数中的综合应用，本题解题的关键是由222211113232349(2)(3)M x y x y x y x y ≥+++=+++构造函数21()(0)f x x x x=+>，利用导数求得M ≥即为题意所求.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数12,z z ，则下列命题正确的是（）A.若12=z z ，则12=±z z B.若21z z =，则2121z z z =C.若1z 是非零复数，且2112z z z =，则12z z =D.若1z 是非零复数，则1110z z +≠【答案】BC 【解析】【分析】对于A 项，可以举反例说明；对于B 项，可以设1i z a b =+，则2i z a b =-，代入等式两边验证即可判定；对于C 项，可将题设条件等价转化，分析即得；对于D 项，可通过举反例1i z =对结论进行否定.【详解】对于A 项，若11i z =+，2z =，显然满足12=z z ，但12=±z z ，故A 项错误；对于B 项，设()1i ,R z a b a b =+∈，则2i z a b =-，2212(i)(i)=z z a b a b a b =+-+，故2212||z z a b =+而2221||z a b =+，故B 项正确；对于C 项，由2112z z z =可得：2112112()0z z z z z z =--=，因1z 是非零复数，故120z z -=，即12z z =，故C 项正确；对于D 项，当1i z =时，1z 是非零复数，但1111i i i 0iz z ==-++=，故D 项错误.故选：BC.10.设函数()22sin 3sin 1f x x x =-+，则（）A.()f x 是偶函数B.()f x 在[]2π,2π-上有6个零点C.()f x 的是小值为18- D.()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】ABC 【解析】【分析】求得()f x 的奇偶性判断选项A ；求得()f x 在[]2π,2π-上的零点个数判断选项B ；求得()f x 的最小值判断选项C ；举特例否定选项D.【详解】选项A ：函数()f x 定义域为R ，由()()()222sin3sin 12sin 3sin 1f x x x x x f x -=---+=-+=，可得()f x 是偶函数.判断正确；选项B ：当0x ≥时，()22sin 3sin 1f x x x =-+，由22sin 3sin 10x x -+=，可得1sin 2x =，或sin 1x =，则当[]0,2πx ∈时，π6x =或π2x =或5π6x =，又()f x 是偶函数，则当[]2π,0x ∈-时，π6x =-或π2x =-或5π6x =-，则()f x 在[]2π,2π-上有6个零点.判断正确；选项C ：当0x ≥时，()22312sin 3sin 12sin 48f x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，则当3sin 4x =时()f x 取得最小值18-，又()f x 是偶函数，则()f x 的最小值为18-.判断正确；选项D ：2πππ2sin 3sin 1111444f ⎛⎫⎛⎫⎛-=---+=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝，()202sin 03sin 011f =-+=则()π04f f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调递减.判断错误.故选：ABC11.已知定义在R 上的函数()(),f x g x 的导函数分别为()(),f x g x ''，且()()4f x f x =-，()()()()14,10f x g x f x g x ''+-=++=，则（）A.()g x 关于直线1x =对称 B.()31g '=C.()f x '的周期为4 D.()()()0f n g n n ''⋅=∈Z 【答案】ACD 【解析】【分析】由题意，根据函数的对称性，合理赋值即可判断A ；利用导数求导可得()(2)g x g x ''=--、(1)()0f x g x ''+-=，通过合理赋值即可判断BCD.【详解】由()(4)f x f x =-，得(1)(3)f x f x +=-①，(1)()4f x g x +-=②，得(3)(2)4f x g x ---=③，由①②③，得()(2)g x g x =-，所以函数()g x 图象关于直线1x =对称，故A 正确；由()(2)g x g x =-，得()(2)g x g x ''=--，令1x =，得(1)0g '=；由(1)()4f x g x +-=，得(1)()0f x g x ''+-=，令1x =，得(2)(1)0f g ''==，∴(2)(1)0f x g x ''+-+=④，又()(1)0f x g x ''++=⑤，令2x =，得(2)(3)0f g ''==，故B 错误；④⑤两式相加，得(2)()0f x f x ''++=，得(4)(2)0f x f x ''+++=，所以()(4)f x f x ''=+，即函数()f x '的周期为4，故C 正确；由(2)()0f x f x ''++=，令2x =，得(4)(2)0f f ''+=，所以(4)0f '=，所以(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)()()0()f g f g f g f g f n g n n ====''''''''=''=∈Z ，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的对称性和周期性，结合导数的运算，寻找关系式()(2)g x g x =-、(2)(1)0f x g x ''+-+=和(2)()0f x f x ''++=是解题的关键，原函数与导函数的联系，对称性与周期性的联系，都是解题的思路.三、填空题：本题共3小题、每小题5分、共15分．12.二项式()2nx -的展开式中，2x 项的系数是常数项的2.5倍，则n =___．【答案】5【解析】【分析】利用题给条件列出关于n 的方程，解之即可求得n 的值.【详解】二项式()2nx -的展开式通项为C 2(1)rn rr r n x --，则2x 项的系数是22C 2n n -，常数项是0C 2nn ，由题意得2205C 2C 22n nn n -=，即2(1)52222n n n n --⋅=⋅，整理得2200n n --=，解之得5n =或n =-4（舍）故答案为：513.已知平面向量a b c 、、均为单位向量，且||1a b += ，则向量a 与b 的夹角为______，()()a b b c+⋅- 的最小值为______．【答案】①.2π3##120︒②.12-##0.5-【解析】【分析】由21a b += 可得12a b ⋅=- ，根据平面向量数量积的定义即可求出a 与b 的夹角；根据数量积的运算律可得1()()cos ,2a b b c b c +⋅-=-+ ，结合cos ,a b c + 的取值范围即可求解.【详解】由题意知，1a b c ===，由22221a b a a b b +=+⋅+= ，得12a b ⋅=- ，所以1cos ,2a b a b a b ⋅==-，又,],0π[a b ∈ ，所以2π,3a b = ，即a 与b 的夹角为2π3；211()()()cos ,cos ,22a b b c a b b a b c a b c a b c a b c +⋅-=⋅+-+⋅=-++=-+ ，又cos ,[1,1]a b c +∈- ，所以11cos ,22a b c -+≥- ，当且仅当a b + 与c同向时，等号成立.所以()()a b b c +⋅-的最小值为12-.故答案为：2π3；12-14.在三棱锥-P ABC 中，侧面所在平面与平面ABC 的夹角均为π4，若2,4=+=AB CA CB ，且ABC 是直角三角形，则三棱锥-P ABC 的体积为______．【答案】14或12或34或32【解析】【分析】过P 作PO ⊥面ABC 于O ，过O 作,,OE AC OD BC OF AB ⊥⊥⊥，根据题设可得π4OEP ∠=，ππ,44PFO PDO ∠=∠=，分O 为三角形的内心或旁心讨论，设ABC S t = ，利用几何关系得到V ，再根据条件得到C 在以,A B 为焦点的椭圆上，再利用ABC 是直角三角形，即可求出结果.【详解】如图，过P 作PO ⊥面ABC 于O ，过O 作,,OE AC OD BC OF AB ⊥⊥⊥，因为PO ⊥面ABC ，AC ⊂面ABC ，所以PO AC ⊥，又OE PO O ⋂=，,OE PO ⊂面POE ，所以AC ⊥面POE ，又PE ⊂面POE ，所以AC PE ⊥，故PEO ∠为二面角的平面角，由题知，π4OEP ∠=，同理可得ππ,44PFO PDO ∠=∠=，当O 在三角形ABC 内部时，由OE OF OD ==，即O 为三角形的内心，设ABC S t = ，则1()32t AB BC AC OD OD =++⋅=，得到3t OD =，所以3t OP OD ==，三棱锥-P ABC 的体积为21139ABC V S OP t == ；又因为42CA CB AB +=>=，所以点C 在以,A B 为焦点的椭圆上，如图，以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则(1,0),(1,0)A B -，由题知，椭圆中的1,2,3===c a b 22143x y +=，设(,)C x y ，因为ABC 是直角三角形，当π2A =时，易知=1x -，此时32AC =，所以1322t AB AC =⋅=，得到21194V t ==，当π2B =时，易知1x =，此时32AC =，所以1322t AB BC =⋅=，得到21194V t ==，又因为3,1b c ==，故以O 为圆心，1为半径的圆与椭圆没有交点，即π2C ≠，综上所述，14V =；同理，当O 在三角形ABC 外部时，由OE OF OD ==，即O 为三角形的旁心，设ABC S t = ，则13()22t AB BC AC OD OD =+-⋅=，得到23t OD =，所以23t OP OD ==，三棱锥-P ABC 的体积为2121392ABC V S OP t === ；或1()2t BC AC AB OD OD =+-⋅=，得到OD t =，所以OP OD t ==，三棱锥-P ABC 的体积为2113334ABC V S OP t === ；或11()22t AC AB BC OD OD =+-⋅=，得到2OD t =，所以2OP OD t ==，三棱锥-P ABC 的体积为2123332ABC V S OP t === .故答案为：14或12或34或32.【点睛】关键点点晴：本题的关键点在于，设出ABC S t = 后，得出219V t =，再将问题转化到以,A B 为焦点的椭圆上来求ABC 的面积，即可解决问题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()32ln f x ax x x=++在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴．（1）求实数a ；（2）求()f x 的单调区间和极值．【答案】（1）1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，依题意只需使()10f '=即可求得实数a ；（2）利用（1）写出函数解析式，求导并分解因式，在定义域内分类讨论导函数的符号，即得单调区间和函数的极值.【小问1详解】由()32ln f x ax x x =++可得：()232f x a x x'=-+，由题意，()110f a -'==，解得1a =；【小问2详解】由（1）得()32ln f x x x x =++，(0)x >，则()22223223(3)(1)1x x x x f x x x x x+-+-=-+'==，当01x <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,1)上是减函数；当1x >时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上是增函数.故1x =时，函数()f x 有极小值为(1)4f =，无极大值.故函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，递减区间为(0,1)，函数有极小值为(1)4f =，无极大值.16.小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率是13，击中区域乙的概率是14，击中区域丙的概率是18，区域甲，乙、丙均没有重复的部分．这次射击比赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖．获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号．（1）求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率；（2）小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X ，求X 分布列和数学期望．【答案】（1）1124（2）分布列见解析；()1E X =【解析】【分析】（1）根据概率已知条件记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件A ；射击一次获得一等奖为事件B ；射击一次获得一等奖为事件C ，分析可知A B C = ，利用互斥事件的概率加法计算公式所以求()P B C ⋃即可.（2）根据题意判断144X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，，根据二项分布求概率、期望公式计算即可.【小问1详解】记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件A ；射击一次获得一等奖为事件B ；射击一次获得一等奖为事件C ，所以有A B C = ，所以()13P B =，()111428P C =⨯=，所以()()()()11113824P A P B C P B P C =⋃=+=+=.【小问2详解】获得三等奖的次数为X ，X 的可能取值为0，1，2，3，4；记“获得三等奖”为事件D ，所以()11118424P D =+⨯=，所以()04413810C 44256P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()131413271C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22241354272C 44256128P X ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()334131233C 4425664P X ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()441314C 44256P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X1234P812562764271283641256显然144X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，，()1414E X =⨯=.17.如图，圆柱1OO 内有一个直三棱柱111ABC A B C -，三棱柱的底面三角形内接于圆柱底面，已知圆柱1OO的轴截面是边长为6的正方形，AB AC ==P 在线段1OO 上运动．（1）证明：1BC PA ⊥；（2）当1PA PB =时，求BC 与平面1A PB 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析.（2）1111.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出向量BC 和1A P的坐标，由10A P BC ⋅= 得到1BC PA ⊥；（2）先由1PA PB =，得到点P 是线段1O O 的中点，求出BC 的一个方向向量和平面1A PB 的一个法向量的坐标夹角余弦的绝对值，即为BC 与平面1A PB 所成角的正弦值.【小问1详解】连接AO 并延长，交BC 于M ，交圆柱侧面于N ，1111A O B C ⊥ ，1OO 为圆柱的高，11111A O B C OO ∴、、两两垂直，以1O 为原点，过点1O 做11B C 平行线为x 轴，以11AO 为y 轴，以1O O 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系1O xyz -，116OO AA AN ===，30AB AC ==在ABC 中，由射影定理得2305AC AM AN AM =⋅=⇒=，2OM AM AO =-=，从而()223055CM BM ==-=，())()()10,3,0,5,2,6,5,2,6,5,0,0A B C BC ∴-∴=-，设()0,0,P λ，()10,3,A P λ∴=，10A P BC ∴⋅=，1BC PA ∴⊥.【小问2详解】由（1）可得，()5,2,6BP λ=--，()21,9546A P BP λλ∴=+++- ，得3λ=，即点P 是线段1O O 的中点，()10,3,3A P ∴=，()5,2,3BP =-- ，设平面1A PB 的一个法向量为(),,n x y z =，则330230y z y z +=⎧⎪⎨--=⎪⎩，取1y =，得,1,15n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设BC 的一个方向向量为()1,0,0m =，于是得：11cos ,11n m ==，设BC 与平面1A PB 所成角为θ，则11sin cos ,11n m θ==，所以BC 与平面1A PB 所成角的正弦值为1111.18.记R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()()*1n n n n f x x x n f x +=-'∈N 的数列{}n x 称为函数()f x 的“牛顿数列”.已知数列{}n x 为函数()2f x x x =-的牛顿数列，且数列{}n a 满足12,ln,11nn n n x a a x x ==>-.（1）求2a ；（2）证明数列{}n a 是等比数列并求n a ；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式2(1)14n nn tS S -⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，求t 的取值范围.【答案】（1）4（2）证明见解析，2n n a =（3）2593t -≤≤【解析】【分析】（1）求出导函数，化简数列递推式，根据对数运算及递推式求解即可；（2）对递推式变形结合对数运算求得12n na a +=，利用等比数列定义即可证明，代入等比数列通项公式求解通项公式；（3）先利用等比数列求和公式求和，再把恒成立问题转化为14(1)nn nt S S -⋅≤+对任意的n *∈N 恒成立，令()14g x x x=+，()0,x ∞∈+，利用导数研究函数的单调性，然后根据单调性求解函数最值，根据n 的奇偶性分别求解范围即可.【小问1详解】因为()2f x x x =-，则()21f x x '=-，从而有()()2212121n n n nn n n n n n f x x x x x x x f x x x +'-=-=-=--，由12,ln1n n n x a a x ==-，则112ln 1x x =-，则211e 1x x =-，解得212e e 1x =-则有124124e 2e 11x x x ==--，所以21221ln 2ln 411x x a x x ===--；【小问2详解】由2121nn n x x x +=-，则2221221211211121nn n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x ++⎛⎫-=== ⎪--+-⎝⎭--，所以2111ln ln 2ln 2(1)111n n n n n n n n n x x xa a x x x x +++⎛⎫====> ⎪---⎝⎭，故12n na a +=（非零常数），且120a =≠，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以1222n n n a -=⨯=；【小问3详解】由等比数列的前n 项和公式得：()12122212n n nS +-==--，因为不等式2(1)14n n n tS S -⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，又0n S >且n S 单调递增，所以14(1)nn n t S S -⋅≤+对任意的n *∈N 恒成立，令()14g x x x=+，()0,x ∞∈+，则()22214141x g x x x-=-='，当(x ∈时，()0g x '<，()g x 是减函数，当)x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 是增函数，又1226S S =<<=，且()29g =，()2563g =，()()62g g <，则()()min 2563g x g ==，当n 为偶数时，原式化简为14n n t S S ≤+，所以当2n =时，253t ≤；当n 为奇数时，原式化简为14n nt S S -≤+，所以当1n =时，9t -≤，所以9t ≥-；综上可知，2593t -≤≤.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，长轴长为4，,A B 是其左、右顶点，F 是其右焦点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设()()000,0P x y y >是椭圆C 上一点，PFB ∠的角平分线与直线AP 交于点T ．①求点T 的轨迹方程；②若TPF △面积为94，求0x ．【答案】（1）22143x y +=（2）014(0)21x y x =>= ；【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率和长轴的概念建立方程组，解之即可求解；（2）①易知当01x =时()4,3T ；当01x ≠时，利用两点表示斜率公式和点斜式方程表示出直线FT 、AT 方程，联立方程组，化简计算求出点T 的坐标，即可求解点T 的轨迹方程；②利用面积公式建立关于0x 的方程，化简计算即可求解.【小问1详解】由题意知，2221224c e a a a b c ⎧==⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；【小问2详解】①：由（1）知，00(2,0),(2,0),(1,0),(,)A B F P x y -，设BFT θ∠=，则2PFB θ∠=，易知当01x =时，3(1,2P ，1FT k =，此时1:1,:12AP y x FT y x =+=-，由1121y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，即()4,3T ；当01x ≠时，00tan 21FP y k x θ==-，0sin 2y PF θ==，设直线FT 的斜率为k ，则00003(2)1cos 211tan sin 2sin 2tan 22x k y θθθθθ--===-=，所以直线FT方程为003(2)(1)2x y x y -=-，又直线AT 方程为00(2)2y y x x =++，由00003(2)(1)2(2)2x y x y y y x x -⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪+⎩，得00003(2)(1)(2)22x y x x y x --=++，即22000000003(4)23(4)42(2)2(2)x y x y x x y x y ---+=++，解得22220000022220000031234(3)3(4)42(123)44313(4)21232(3)(123)42x x x y x x x y x x x -+--+-====------，将4x =代入直线AT 方程，得0062y y x =+，即06(4,)2y T x +，又000,22y x >-<<，所以0602y x >+，故点T 的轨迹方程为4(0)x y =>；②：由3AF =，得00000066113(22222TPF TAF PAF y y S S S AF y AF y x x =-=-⋅=-++ ，又94TPF S =，所以000693()422y y x =-+，得0006322y y x =-+，整理得0003(2)82x y x +=-，又0y =003(2)82x x +=-整理得320001035260x x x -+-=，即2000(1)(926)0x x x --+=，由022x -<<，解得01x =.【点睛】关键点点睛：本题主要考查椭圆的标准方程、动点得轨迹方程以及面积问题，第二问关键是寻找点00(,)P x y 与直线FT 的斜率之间的关系，即003(2)2x k y -=是求出直线FT 方程的解题关键，表示出T x 的代数式，需要扎实的计算能力才可以化简求解.。

黑龙江省哈尔滨德强高级中学2024届高三下学期考前仿真模拟数学试题（二）一、单选题1．已知集合1,,1,22kM x x k k N x x k ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ，则（ ）A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．M N =D ．M N ⋂=∅2．在复平面内，12i1i+-对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．双曲线221-=x ay （0a >）的一条渐近线方程为0x =，则=a （ ）AB C ．3D 4．掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A 为：至少一个点数是奇数；事件B 为：点数之和是偶数；事件A 的概率为()P A ，事件B 的概率为()P B ；则()1P A B -⋂是下列哪个事件的概率（ ）A ．两个点数都是偶数B ．至多有一个点数是偶数C ．两个点数都是奇数D ．至多有一个点数是奇数5．命题P ：1x ，2x ，…，10x 的平均数与中位数相等；命题Q ：1x ，2x ，…，10x 是等差数列，则P 是Q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数4e ln ()x xf x x⋅=，其中e 为自然对数的底数，下列四个图象中()f x 的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖．如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为4，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A ．36πB ．C ．72πD ．8．已知函数()43212ln 432a f x x x x x x =-+-在1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为（ ） A ．22e 1,e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],2-∞C ．22e 1,e -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),2-∞二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200B ．数据1，3， 4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10C ．线性回归方程中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越强D ．根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得到2 3.937χ=，根据小概率值0.05α=的独立性检验()0.05 3.841=x ，可判断x 与y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.0510．已知函数()()ππcos cos cos 03322x x f x x x ωωωωω⎛⎫⎛⎫=++-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．若()f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则2ω=B ．当()f x 的最小正周期为2π，ππ212x -≤≤时，()1f x ≤C ．当2ω=时，()f x 的图象向右平移π3个单位长度得到函数解析式为2cos 2y x =-D ．若()f x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，则1117ω≤<11．已知2510a b ==，则下列关系正确的是（ ）A ．e 1a b ->B ．a b ab +<C ．49a b +<D ．2211128a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、填空题12．二项式62x⎛⎝的展开式中的常数项为．13．已知圆台12O O 的体积为14π，其上底面圆1O 半径为1，下底面圆2O 半径为4，则该圆台的母线长为.14．如图，在ABC V 中，已知120BAC ∠=︒，其内切圆与AC 边相切于点D ，且1AD =，延长BA 到E ，使BE BC =，连接CE ，设以E ，C 为焦点且经过点A 的椭圆的离心率为1e ，以E ，C 为焦点且经过点A 的双曲线的离心率为2e ，则12e e 的取值范围是．四、解答题15．已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a n -=+（2n ≥）． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <．16．如图，直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB DC ，且2,,AB DC E F =分别是棱AB ，AD 的中点.(1)证明：平面1//D EF 平面1C BD ；(2)已知11,60AA AD DC DAB ∠====o ，求直线1DC 与平面1A EF 所成角的正弦值. 17．某商场推出“云闪付”购物活动，由于推广期内优惠力度较大，吸引了越来越多的顾客使用这种支付方式.现统计了活动刚推出一周内每天使用“云闪付”支付的人数，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用该支付方式的人数，统计数据如下表所示：根据散点图判断，在推广期内，支付的人数y 关于天数x 的回归方程适合用x y c d =⋅表示. (1)求该回归方程，并预测活动推出第8天使用“云闪付”的人数；（lg ,lg c d 的结果精确到0.01） (2)推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表： 商场规定：使用会员卡支付的顾客享8折，“云闪付”的顾客随机优惠，其它支付方式的顾客无优惠，根据统计结果得知，使用“云闪付”的顾客，享7折的概率为13，享8折的概率为16，享9折的概率为12.设顾客购买标价为a 元的商品支付的费用为X ，根据所给数据用事件发生的频率估计相应事件发生的概率，写出X 的分布列，并求()E X .参考数据：设770.63 1.92111lg , 1.59,51.30,10 4.27,1083.187i i i i i i i v y v v x v ====≈⋅≈≈≈∑∑.参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,n n u v u v u v L ，其回归直线ˆˆˆvu βα=⋅+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221,ˆˆˆniii nii u v nu vv u unu βαβ==⋅-⋅==-⋅-∑∑. 18．如图，在平面直角坐标系中，M 和N 是x 轴上关于原点对称的两个点，过点M 倾斜角为θ的直线l 与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点，且MB NB ⊥．(1)若N 为C的焦点，求证：cos22θ；(2)过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，若2ABH θ∠=，求直线l 的方程． 19．已知函数21()sin 2f x x x ax =-+． (1)当1a =时，求()f x 的最小值； (2)①求证：()f x 有且仅有一个极值点；②当(,1]a ∈-∞时，设()f x 的极值点为0x ，若21()2sin 22g x x x x =-+-．求证：()()00f x g x ≥．。

北京市东城区2022-2023学年度第二学期高三综合练习（二）数学2023.5本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{15}A x x =∈-<<N ，{0,1,2,3,4,5}B =，则(A)A ⫋B (B)A B=(C)B A ∈(D)B A⊆（2）已知椭圆2213x y m m+=的一个焦点的坐标是(2,0)-，则实数m 的值为（A ）1（B（C ）2（D ）4（3）已知数列{}n a 中，11a =，+121=0n n a a -，n S 为其前n 项和，则5S =（A ）1116（B ）3116（C ）11（D ）31（4）在复平面内，O 是原点，向量OZ 对应的复数是1i -+，将OZ 绕点O 按逆时针方向旋转4π，则所得向量对应的复数为(A)(B)(C)1-(D)i-（5）已知点M 在圆22:C x y m +=上，过M 作圆C 的切线l ，则l 的倾斜角为（A ）30 （B ）60（C ）120 （D ）150（6）某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（A ）13种（B ）14种（C ）15种（D ）16种（7）设函数22,,(),.x x a f x x x a ⎧≤=⎨>⎩若()f x 为增函数，则实数a 的取值范围是（A ）(0,4]（B ）[2,4]（C ）[2,+)∞（D ）[4,)+∞（8）“cos 0θ=”是“函数()sin()cos f x x x θ=++为偶函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）已知三条直线1:220l x y -+=，2:20l x -=，3:0l x ky +=将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）无数个（10）设0.01e , 1.01,ln1.01a b c ===，其中e 为自然对数的底数，则（A ）a b c >>（B ）b a c>>（C ）b c a >>（D ）a c b>>。

二轮大题专练6—三角函数与解三角形（综合练习二）1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）若a，b，c成等差数列，求cos B的值；（2）是否存在△ABC满足B为直角？若存在，求sin A的值；若不存在，请说明理由．2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos C﹣c sin A＝b．（1）求A；（2）若c＝2，且BC边上的中线长为，求b．3．设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）最小正周期为2π，且f（x）的图象过坐标原点．（1）求ω、φ的值；（2）在△ABC中，若2f2（B）+3f2（C）＝2f（A）•f（B）•f（C）+f2（4），且三边a、b、c所对的角依次为A、B、C，试求的值．4．已知在△ABC中，sin（A+B）＝1+2sin2．（1）求角C的大小；（2）若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值．5．已知f（x）＝cos2x﹣1+sin x cos x，x∈R．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c cos B+b cos C＝1且f（A）＝0，求△ABC的面积的最大值．6.已知函数的最小值为﹣2，其图象经过点（0，﹣1），且图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣k＝0在上有且仅有两个实数根x1，x2，求实数k的取值范围，并求出x1+x2的值．7．已知函数21()sin sin()cos ()6122f x x x x ππ=++--． （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3(),32B f b ==，求cos cos a B b C -的取值范围．8．已知函数f （x ）＝4cos ωx sin （ωx +φ）﹣1（0＜φ＜π，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为． （Ⅰ）求函数y ＝f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若x ∈[0，π]时，函数g （x ）＝f （x ）﹣b 有两个不同的零点x 1，x 2，求b 的取值范围及x 1+x 2的值．二轮大题专练6—三角函数与解三角形（综合练习二）答案1.解：（1）若a ，b ，c 成等差数列，所以a +c ＝2b ，由于．所以cos B ＝＝，由于，所以．（2）假设B为直角，则sin B＝1，sin C＝cos A，由于，根据正弦定理（sin A+sin C）sin B＝，即sin A+cos A＝，上式两边平方得：，所以（9sin2A+5）（4sin2A﹣5）＝0，由于0＜sin2A≤1，所以9sin2A+5＞0，4sin2A﹣5＜0，与（9sin2A+5）（4sin2A﹣5）＝0矛盾，故不存在△ABC满足B为直角．2.解：（1）因为a cos C﹣c sin A＝b，由正弦定理可得sin A cos C﹣sin C sin A＝sin B，因为B＝π﹣A﹣C，所以sin A cos C﹣sin C sin A＝sin A cos C+cos A sin C，可得﹣sin C sin A＝cos A sin C，因为sin C≠0，所以sin A＝﹣cos A，可得tan A＝﹣，又因为A∈（0，π），可得A＝．（2）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+4+2b，①又在△ABC中，cos B＝＝，设BC的中点为D，在△ABD中，cos B＝＝，可得＝，可得a2+4﹣2b2＝0，②由①②可得b2﹣2b﹣8＝0，解得b＝4．3.解：（1）依题意，得，ω＝1．故f（x）＝sin（x+φ）．因为f（x）的图象过坐标原点，所以f（0）＝0，即sinφ＝0，∵﹣＜φ＜，∴φ＝0．（2）由（1）知f（x）＝sin x，因为2f2（B）+3f2（C）＝2f（A）•f（B）•f（C）+f2（4），所以2sin2B+3sin2C＝2sin A sin B sin C+sin2A，由正弦定理可得：2b2+3c2＝2sin A•bc+a2，又a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴＝，又，∴sin A﹣cos A＝，且b＝，∴A＝．∴＝＝．4.解：（1）∵sin（A+B）＝1+2sin2，且A+B+C＝π，∴sin C＝1+1﹣cos C＝2﹣cos C，即sin C+cos C＝2，∴2sin（C+）＝2．∵C∈（0，π），∴C+∈（，），∴C+＝，即C＝．（2）∵△ABC的外接圆半径为2，∴由正弦定理知，＝＝2×2＝4，∴AB＝，∵∠ACB＝，∴∠ABC+∠BAC＝，∵∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，∴∠ABI+∠BAI＝，∴∠AIB＝，设∠ABI＝θ，则∠BAI＝﹣θ，且0＜θ＜，在△ABI中，由正弦定理得，＝＝＝＝4，∴BI＝4sin（﹣θ），AI＝4sinθ，∴△ABI的周长为2+4sin（﹣θ）+4sinθ＝2+4（cosθ﹣sinθ）+4sinθ＝2+2cosθ+2sinθ＝4sin（θ+）+2，∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，∴当θ+＝，即时，△ABI的周长取得最大值，为4+2，故△ABI的周长的最大值为4+2．5.解：（1）f（x）＝cos2x﹣1+sin x cos x＝cos2x﹣+sin2x＝sin（2x+）﹣，令2x+∈[+2kπ，+2kπ]，k∈Z，则x∈[+kπ，+kπ]，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z．（2）∵f（A）＝sin（2A+）﹣＝0，∴sin（2A+）＝，∵A∈（0，π），∴A＝，∵c cos B+b cos C＝1，∴c•+b•＝1，即a2＝a，∵a≠0，∴a＝1，由正弦定理知，＝＝＝＝，∴b＝sin B，c＝sin C，∴bc＝sin B sin C＝sin B sin（+B）＝sin B（cos B+sin B）＝sin2B﹣cos2B+＝sin（2B﹣）+，∵B∈（0，），∴2B﹣∈（﹣，），sin（2B﹣）∈（，1]，∴bc≤1，∴△ABC的面积S＝bc sin A≤×1×sin＝，故△ABC的面积的最大值为．6.解：（Ⅰ）由题意，得A＝2，．∴T＝π，．∴f（x）＝2sin（2x+φ）．又函数f（x）的图象经过点（0，﹣1），则2sinφ＝﹣1．由，得．∴．（Ⅱ）由题意，关于x的方程f（x）﹣k＝0在上有且仅有两个实数根x1，x2，即函数y＝f（x）与y＝k的图象在上有且仅有两个交点．由（Ⅰ）知．令，则y＝2sin t．∵，∴．则y∈[﹣2，2]．其函数图象如图所示．由图可知，实数k的取值范围为．①当k ∈[1，2）时，t 1，t 2，关于对称，则． 解得．②当时，t 1，t 2关于对称，则． 解得．综上，实数k 的取值范围为，x 1+x 2的值为或．7.解：（1）由题意可得21()sin sin()cos ()6122f x x x x ππ=++-- 311sin (cos )cos(2)226x x x x π++- 3(1cos2)131sin 2sin 244x x x x -=++ 13sin 22x =+， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==， 令322222k x k ππππ++，k Z ∈，解得344k x k ππππ++，k Z ∈， 故函数()f x 的单调递减区间为[4k ππ+，3]4k ππ+，k Z ∈．（2）由（1）知133()sin 22B f B =+=，解得3sin B =， 因为(0,)2B π∈，所以3B π=， 由正弦定理可知32sin sin sin 3a b c A B C ====，则2sin a A =，2sin c C =， 所以3331cos cos 3cos sin 3cos()sin 3cos()sin cos sin cos sin cos()233226a a B b C C A A A A A A A A A A ππππ-=-=---=++=+-=-=+，在锐角ABC ∆中，可得230,202A C A C πππ+=⎧⎪<<⎪⎨⎪<<⎪⎩可得62A ππ<<， 因此2363A πππ<+<，则1cos()(62A π+∈-，1)2， 故cos cos a B b C -的取值范围为1(2-，1)2． 8.解：（Ⅰ）f （x ）＝4cos ωx sin （ωx +φ）﹣1＝4cos ωx （sin ωx cos φ+cos ωx sin φ）﹣1＝4sin ωx cos ωx cos φ+4cos 2ωx sin φ﹣1＝2sin2ωx cos φ+2（1+cos2ωx ）sin φ﹣1＝2sin2ωx cos φ+2cos2ωx sin φ+2sin φ﹣1＝2sin （2ωx +φ）+2sin φ﹣1，因为两相邻对称中心之间的距离为，所以函数f （x ）的周期为π，则，所以ω＝1，则f（x）＝2sin（2x+φ）+2sinφ﹣1，又f（x）的图象关于直线对称，所以有φ＝，解得φ＝，因为0＜φ＜π，所以φ＝，故，令，解得，所以函数y＝f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ）当x∈[0，π]时，函数g（x）＝f（x）﹣b有两个不同的零点x1，x2，即当x∈[0，π]时，方程＝有两个不同的根x1，x2，令t＝，则t∈，所以方程sin t＝在上有两个不同的根t1，t2，作出函数的图象如图所示，①当，即1＜b＜2时，y＝与y＝sin t有两个交点，则t1+t2＝，即，解得；②当，即﹣2＜b＜0时，y＝与y＝sin t有两个交点，则t1+t2＝，即，解得；综上可得，当﹣2＜b＜0时，；当1＜b＜2时，．。

2024年普通高等学校招生全国统一考试考前演练二数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知{}{}20,1,2,0A B xx x ==+=∣，则A B ⋃为（）A.∅B.{}0C.{}0,1,2D.{}1,0,1,2-2.已知复数2i1iz +=+，则复数z 的实部与虚部之和为（）A.0B.1D.23.某骑行爱好者在专业人士指导下对近段时间骑行锻炼情况进行统计分析，统计每次骑行期间的身体综合指标评分x 与骑行用时y （单位：小时）如下表：身体综合指标评分()x 12345用时(/y 小时）9.58.87.876.1由上表数据得到的正确结论是（）参考数据：()()()()5552211110,7.06,8.4,8.402.ii i i i i i x x y y x xy y ===-=-=--=-∑∑∑.参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑.A.身体综合指标评分x 与骑行用时y 正相关B.身体综合指标评分x 与骑行用时y 的相关程度较弱C.身体综合指标评分x 与骑行用时y 的相关程度较强D.身体综合指标评分x 与骑行用时y 的关系不适合用线性回归模型拟合4.已知二项式(12)n x +（其中*n ∈N 且5n ）的展开式中3x 与4x 的系数相等，则n 的值为（）A.5B.6C.7D.85.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，对任意实数()(),2x f x f x -=.当[]1,2x ∈时.()21log f x x =-.则()21f 的值为（）A.0B.1C.21log 21- D.210log 21+6.已知点()4,1M ，抛物线22(0)y px p =>的焦点为,F P 为抛物线上一动点，当P 运动到()2,t 时，4PF =，则PM PF +的最小值为（）A.6B.5C.4D.37.湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C 点和一建筑物DE 的楼顶E 为测量观测点，已知点A 为塔底，A ，C ，D 在水平地面上，来雁塔AB 和建筑物DE 均垂直于地面（如图所示）.测得18m,15m CD AD ==，在C 点处测得E 点的仰角为30°，在E 点处测得B 点的仰角为60°，则来雁塔AB 的高度约为（）（ 1.732≈，精确到0.1m ）A.35.0mB.36.4mC.38.4mD.39.6m8.已知圆22:(4)4C x y -+=，点M 在线段()04y x x = 上，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，以AB 为直径作圆C '，则圆C '的面积的最大值为（）A.πB.2πC.5π2D.3π二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知函数()()πcos 202f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象经过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.π3ϕ=-C.函数()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D.函数()f x 在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭单调递减10.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，()g x 是定义域为R 的奇函数，且()()2xf xg x e +=.函数()()()22F x f x mf x =-在[)0,∞+上的最小值为-2.则下列结论正确的是（）A.()e exxf x -=+ B.()g x 在实数集R 单调递减C.3m =D. 3.3m =-或13411.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M N ､分别是侧棱11BB CC ､的中点，P 是侧面11BCC B （含边界）内一点，则下列结论正确的是（）A.若点P 与顶点1C 重合，则异面直线1AA 与DP 所成角的大小为60B.若点P 在线段MN 上运动，则三棱锥11C PDB -的体积为定值C.若点P 在线段1B C 上，则1AP BD ⊥ D.若点P 为1BC 的中点，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为82π3三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.在ABC 中，,AB c AC b == ，点M 满足(01)BM BC λλ=<<，若1233AM b c =+ ，则λ的值为__________.13.已知π1sin 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于__________.14.已知12,F F 是椭圆C 的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且()121260,23F PF PF m PF m ∠==，则椭圆C 的离心率取值范围为__________.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且497,81a S ==.等比数列{}n b 是正项递增数列，且1231238,7b b b b b b =++=.（1）求数列{}n a 的通项n a 和数列{}n b 的通项n b ；（2）若1,,,,n n n n n a b n c a b n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和.16.（本小题满分15分）如图1，在五边形ABCDP 中，连接对角线,AD AD∥,,224BC AD DC PA PD AD BC DC ⊥=====，将三角形PAD 沿AD 折起，连接,PC PB ，得四棱锥P ABCD -（如图2），且PB E =为AD 的中点，M 为BC 的中点，点N 在线段PE 上.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若平面AMN 和平面PAB的夹角的余弦值为29，求线段EN 的长.17.（本小题满分15分）三人篮球赛是篮球爱好者的半场篮球比赛的简化版，球场为1511⨯米，比赛要求有五名球员.某高校为弘扬体育精神，丰富学生业余生活､组织“挑战擂王”三人篮球赛，为了增强趣味性和观赏性，比赛赛制为三局二胜制，即累计先胜两局者赢得最终比赛胜利（每局积分多的队获得该局胜利，若积分相同则加时决出胜负）.每局比赛中犯规次数达到4次的球员被罚出场（终止本场比赛资格）.该校的勇士队挑战“擂王”公牛队，李明是公牛队的主力球员，据以往数据分析统计，若李明比赛没有被罚出场，公牛队每局比赛获胜的概率都为34，若李明被罚出场或李明没有上场比赛，公牛队每局比赛获胜的概率都为12，设李明每局比赛被罚出场的概率为p 且11,62p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）若李明参加了每局的比赛，且13p =（i ）求公牛队每局比赛获胜的概率；（ii ）设比赛结束时比赛局数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）为了增强比赛的娱乐性，勇士队和公牛队约定：李明全程上场比赛，但若李明被罚出场，则李明将不参加后面的所有局次比赛.记事件A 为公牛队2：0获得挑战赛胜利，求事件A 的概率的最小值.18.（本小题满分17分）已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左､右焦点为12F F ､，点()0P y 在双曲线E 的右支上.且124PF PF -=，三角形12PF F 的面积为（1）求双曲线E 的方程；（2）已知直线:1l x =与x 轴交于点M ，过M 作斜率不为0的直线12l l ､，直线1l 交双曲线E 于,A B 两点，直线2l 交双曲线E 于,C D 两点.直线AC 交直线l 于点G ，直线BD 交直线l 于点H .试证明：MG MH为定值，并求出该定值.19.（本小题满分17分）已知函数()2e 3(,0,e xf x a ax a a =-∈≠R 是自然对数的底数，e 2.71828)= .（1）当1a =时，求函数()f x 的零点个数；（2）当1a =时，证明：()cos 2f x x x - ；（3）证明：若[)1,,a x ∞∈+∈R ，则()12sin f x x - .2024年普通高等学校招生全国统一考试考前演练二数学参考答案一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1.D 【解析】由{}20B xx x =+=∣，得{}0,1B =-，又集合{}0,1,2A =，所以{}1,0,1,2A B ⋃=-，故选D.2.B 【解析】因为()()()()2i 1i 2i 31i1i 1i 1i22z +-+===-++-，所以复数z 的实部与虚部之和31122⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，故选B .3.C 【解析】因为相关系数()()51iix x y y r --=-∑.即相关系数近似为1,y -与x 负相关，且相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.所以选项ABD 错误，C 正确.故选C.4.A【解析】因为*n ∈N 且5n ，由题意知33442C 2C n n =，得()()()()()3412123223!4!n n n n n n n -----⋅=⋅，求得5n =，故选A .5.B 【解析】由已知()y f x =为偶函数，所以()()f x f x -=，又()()2f x f x -=，所以()()2f x f x -=-，所以()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数，()()()221210111log 11f f f =⨯+==-=.故选B.6.A 【解析】由抛物线的定义可知，422pPF ==+，所以4p =，所以抛物线的方程为28y x =，过点P 作PP '垂直抛物线的准线，垂足为P '，则426PM PF PM PP MP ''+=++= ，当且仅当P P '､和M 三点共线时等号成立，故选A.7.B 【解析】过点E 作EF AB ⊥，交AB 于点F ，在Rt ECD 中，因为30ECD ∠=，所以tan 18tan30DE CD DCE ∠==⨯= ，在Rt BEF 中，因为60BEF ∠= ，所以tan 15tan60BF EF FEB ∠==⨯= 则()36.4m AB BF AF BF ED =+=+=+=≈.故选B.8.D【解析】依题意圆C '是以AB 为直径的圆，当AB 最大时，圆C '的面积最大，因为11222AMC AB S MC AM AC =⋅⋅=⋅⋅ ，得2224||4441||MA AC MC AB MCMC MC -===-，又24MC ，当4MC =时，此时()0,0M 或(4,4)M ，AB 取最大值3C '的面积最大值为2π3)3π⋅=，故选D.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.）9.ABD 【解析】依题意函数()f x 的周期为2ππ2T ==，所以选项A 正确；因为()102f =，即1cos 2ϕ=，又π02ϕ-<<，所以π3ϕ=-，所以选项B 正确；因为()πcos 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，又()5π5ππcos 2cos 2π1663f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以选项C 错误；因为ππ62x <<，所以π2π02π33x <-<<，所以函数()f x 在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以选项D 正确，故选ABD.10.AC 【解析】()f x 为偶函数，()()f x f x ∴-=，又()g x 为奇函数，()()g x g x ∴-=-，()()2e x f x g x += ，①()()2e x f x g x -∴-+-=，即()()2e x f x g x --=，②由2+①②得：()e e x xf x -=+，所以选项A 正确；因为函数e ,e x x y y -==-在R 上均为增函数，故()e exxg x -=-在R 上单调递增，所以选项B 错误；因为()()2222e e e e 2x x x xf x --=+=+-，所以()()()2e e 2e e 2x xx x F x m --=+-+-，又()e e 2x x f x -=+ ，当e e x x -=，即0x =时等号成立，令[)e e 2,xxt ∞-=+∈+，设()22222()2h t t mt t m m =--=---，对称轴t m =，（1）当2m >时，函数()h t 在[)2,m 上为减函数，在(),m ∞+上为增函数，则()2min ()211h t h m m ==--=-，解得3m =或3m =-（舍）；（2）当2m 时，()h t 在[)2,∞+上单调递增，()min ()22411h t h m ==-=-，解得：1324m =>，不符合题意.综上3m =，所以选项C 正确，D 错误.故选AC .11.BCD【解析】对于选项A ，因为1AA ∥1CC ，又点P 与顶点1C 重合，所以1DC C ∠是异面直线1AA 与DP 所成角，其大小为45 ，故选项A 错误；对于选项B ，因为,M N 是侧棱11,BB CC 的中点，所以MN ∥11B C ，又点P 在线段MN 上，所以三棱锥11C PDB -的体积1111112221323C PDBD PC B V V --==⨯⨯⨯⨯=（定值），故B 正确；对于选项C ，因为点P 在线段1B C 上，连接111,,,AC AB BD B D ，因为1BB ⊥平面,ABCD AC ⊂平面ABCD ，则1BB AC ⊥，又因为ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，且11,,BB BD B BB BD ⋂=⊂平面11BB D D ，则AC ⊥平面11BB D D ，且1BD ⊂平面11BB D D ，可得1AC BD ⊥，同理可得11AB BD ⊥，且11,,AC AB A AC AB ⋂=⊂平面1AB C ，则1BD ⊥平面1AB C ，因为AP ⊂平面1AB C ，所以1AP BD ⊥，故C 正确；对于选项D ，因为点P 为1BC 的中点，连接BD ，记AC 与BD 的交点为O ，取BC 的中点为F ，连接,PF OF ，则222OP OF PF =+=，又2OA OB OC ===，所以点O 为三棱锥P ABC -的外接球的圆心，所以三棱锥P ABC -的外接球的半径为2，所以三棱锥P ABC -的外接球的体积为342ππ2)33⨯=，故D 正确.故选BCD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.13【解析】由题意可得：()()()121133AM AB BM AB BC AB AC AB AC AB b c b c λλλλλλ=+=+=+-=+-=+-=+.所以13λ=.13.2325【解析】22ππππ123cos 2cos 2cos212sin 123366525αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.14.37,34⎣⎦【解析】因为12PF m PF =，由椭圆的定义可得()12212PF PF m PF a +=+=，所以2122,11a ma PF PF m m ==++.又因为1260F PF ∠=，由余弦定理可得：22222222cos6041111a ma a ma c m m m m ⎛⎫⎛⎫+-⋅= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.化简得22233111(1)2c m a m m m=-=-+++，又因为函数()12f m m m =++在区间[]2,3上单调递增，所以9116223m m ++ ，所以2217316c a .可得3734e ，所以椭圆C 的离心率取值范围为37,34⎣⎦.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.【解析】（1）由题意，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，又497,81a S ==，所以1137,98981,2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩故()1121n a a n d n =+-=-.因为数列{}n b 为各项为正的递增数列，设公比为q ，且1q >，因为1238b b b =，所以3318b q =，得122b q b ==，又1237b b b ++=，所以2227q q++=，即()()2120q q --=，解得2q =，从而11b =，所以1112n n n b a q --==.（2）由（1）得()()1212,,212,,nn n n n c n n -⎧--⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数所以()()212122124324122n n n n n c c n n ---+=--+-=，所以数列{}n c 的前2n 项和21234212n n nS c c c c c c -=++++++ ()()()2421234212222n n n c c c c c c -=++++++=+++ ()22221424143nn +--==-（或1443n +-）.16.【解析】（1）连接BE ，则12BC AD DE ==，因为AD ∥,BC AD DC ⊥，所以四边形BCDE 为矩形，所以2BE CD ==，因为PA PD ==，且E 为AD 的中点，所以PE AD ⊥，且2PE ==，所以22222228PE BE PB +=+==，即,PE BE ⊥又因为AD BE E ⋂=，所以PE ⊥平面ABCD ，又PE ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .（2）以E 为原点，EA 为x 轴，EB 为y 轴，EP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()2,0,0,0,2,0,1,2,0,0,0,2A B M P -，设EN t =，则()0,0,N t ，所以()()2,2,0,2,0,2AB AP =-=- ，设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z = ，则0,0,m AB m AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1111220,220,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩取()1,1,1,m = 又()()3,2,0,2,0,AM AN t =-=- ，设平面AMN 的法向量为()222,,n x y z = ，则0,0,n AM n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2222320,20,x y x tz -+=⎧⎨-+=⎩取3,,22t n t ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，所以323872|cos ,|||||29t t m n m n m n ++⋅〈〉==⋅ ，所以1t =，或10441t =（舍），线段EN 的长为1.17.【解析】（1）（i ）记i A 表示事件“第i 局公牛队获胜”，i B 表示事件“球员李明第i 局没有被罚出场”，1,2,3i =.由全概率公式公牛队每局比赛获胜的概率为()()()()023********i i i i i i P P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=∣∣.（ii ）由已知随机变量X 的可能取值为2，3.()2222521339P X ⎛⎫⎛⎫==+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()112222222243C 1C 113333339P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-⋅+⋅⋅-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，随机变量X 的分布列如下表：X23P 5949()542223999E X =⨯+⨯=.（2）依题意事件A 擂王公牛队2:0获得挑战赛胜利的可能情形是：两局比赛李明均没有被罚出场；第一局李明没有被罚出场，第二局被罚出场；第一局李明被罚出场，第二局不能参加比赛.所以()()()2331111144222P A p p p p ⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⋅+⋅⋅⎢⎥⎣⎦2141131633p ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.又11,62p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则当12p =时()min 2364P A =.即事件A 的概率的最小值为2364.18.【解析】（1）因为124PF PF -=，所以24a =，得2a =，又三角形12PF F120012F F y ⋅==0y =，得P ⎛⎫ ⎝代入双曲线方程得2225414b b +-=，得221,5b b ==-（舍），所以双曲线E 的方程为：2214x y -=.（2）由题意，()1,0M ，且12,l l 斜率存在且不为0，设()()()()112233441122,,,,,,,,:1,:1A x y B x y C x y D x y l x m y l x m y =+=+，由几何性质可知122,2m m >>，联立方程221440,1,x y x m y ⎧--=⎨=+⎩得()22114230m y m y -+-=，Δ0>恒成立，11212221123,44m y y y y m m --+==--，同理可得：23434222223,44m y y y y m m --+==--，直线AC 方程：()311131y y y y x x x x --=--，令1x =，得()()211331311111131231123111G m m y y y y y y y y x y m y x x m y m y m y m y ---=+-=-=---，同理：()21242412H m m y y y m y m y -=-，因为()()2113212423112412G H m m y y m m y y y y m y m y m y m y --+=+--()()()()()1324122423112123112412y y m y m y y y m y m y m m m y m y m y m y -+-=---()()()()()23412112342123112412m y y y y m y y y y m m m y m y m y m y +-+=---()()()2112222221122123112412323244440m m m m m m m m m m m y m y m y m y ----⋅-⋅----=-=--，所以G H y y =-，所以1GHMGy MH y ==.19.【解析】（1）因为()e 3x f x x =-，所以()e 3x f x '=-，当ln3x <时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当ln3x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以()()()ln3min ln3e3ln331ln30f x f ==-=-<，又()()020e 10,2e 60f f ==>=->，所以()f x 有两个不同零点.（2）当1a =时，()e 3xf x x =-，由()cos 2f x x x - ，得e cos x x x - ，令()e x h x x =-，则()e 1xh x '=-，当0x <时，()()0,h x h x '<在(),0∞-上为减函数，当0x >时，()()0,h x h x '>在()0,∞+上为增函数，所以()()01h x h = ，而cos 1x ，且()0cos0h =，所以e cos x x x - ，即()cos 2f x x x - .（3）由已知()12sin f x x - ，即2e 32sin 10x a ax x -+- ，因为[)1,a ∞∈+，令()2e 32sin 1x g a a xa x =-+-为开口向上的二次函数，对称轴为32e xx a =，令()32e x x x ϕ=，所以()()312ex x x ϕ-='，当1x <时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ单调递增；当1x >时，()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减，所以()()max 3112e x ϕϕ==<，即3312e 2ex x a =< ，故()g a 在区间[)1,∞+上单调递增，所以()()1e 32sin 1x g a g x x =-+- ，从而只需证明e 32sin 10x x x -+- 即可，即证32sin 110e xx x -+- ，令()32sin 11e x x x F x -+=-，则()232sin 2cos e x x x x F x '-+-=，令()232sin 2cos q x x x x =-+-，则()π32cos 2sin 304q x x x x '⎛⎫=-++=+-< ⎪⎝⎭，所以函数()q x 单调递减，且()00q =，所以当0x <时，()0F x '>，当0x >时，()0F x '<，所以函数()F x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，故()()00F x F = ，即32sin 110e x x x -+- ，。

湖南省名校2023届高三考前仿真模拟（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
7．随着2022年卡塔尔世界杯的举办，中国足球也需要重视足球教育．某市为提升学生的足球水平，特地在当地选拔出几所学校作为足球特色学校，开设了“5人制”“7人制”“9人制”“11人制”四类足球体验课程．甲、乙两名同学各自从中任意挑选
两门课程学习，设事件A=“甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件B=“甲乙两人所选课程完全不同”，事件C=“甲乙两人均未选择‘5人制’课程”，则（）A．A与B为对立事件B．A与C互斥C．A与C相互独立D．B与C相互独立
8．若经过点(),a b可以且仅可以作曲线ln
=的一条切线，则下列选项正确的是
y x
（）
A．0
a£或a£B．ln
a b
=D．0
=C．ln
b a
=
ln
b a
故()0
0h x m -=有两个不同的根13,x x 且1301x x <<<，综上所述，方程()()()2e e 2f x f x f x -=共有三个不等实根
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是令[)22ln 1,m x x =-Î+¥，将问题转化为关于m 的方程()h m m =有两根，数形结合判断关于m 的方程的根的情况。

数学大练习试题（理科）选择题（每小题5分，共50分）1．复数13z i =+，21z i =-，则复数12z z 的虚部为（ ）A ．2B ．2i -C ．2-D ．2i2．已知全集U R =，则正确表示集合{|(1)(2)0}M x R x x =∈-->和2{|0}N x R x x =∈+<的关系的韦恩（Venn ）图是（ ）3．2000辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，时速在[50,60)的汽车大约有（ ） A ．300辆 B ．400辆C ．600辆D ．800辆4．“6x π=”是“1sin 2x =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（单位：cm3）（A ．πB ．2πC ．4πD ．8π6．2011案共有（ ）A ．240种B ．36种C ．24种D ．48种7．已知函数()sin(2)()4f x x x R π=+∈，为了得到函数()cos 2g x x =的图像，只需将()y f x =的图像（ ）A ．向左平移8π个单位B ．向右平移8π个单位AB C D俯视图2cm 左视图C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位8．已知函数42,1()31, 1xx x f x x -≤⎧=⎨->⎩，则下列式子成立的是（ ） A ．13()(1)()22f f f << B ．13(1)()()22f f f << C ．31()(1)()22f f f << D ．13()()(1)22f f f <<9．阅读右边所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）A ．20B ．21C ．200D ．21010．设点P 为双曲线22112y x -=上的一点，1F ，2F 是该双曲线的左、右焦点，若12PF F ∆ 的面积为12，则12F PF ∠等于（ ）A ．4πB ．3πC ． 2πD ．23π二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上． （一）必做题（11～14题）11．若55432543210(1)(1)(1)(1)(1)(1)x a x a x a x a x a x a -=++++++++++，则 12345a a a a a ++++= ．12．函数()1log (0,1)a f x x a a =+>≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny +-= 上，其中0mn >，则11m n +的最小值为 ．13．在区间(0,1)内随机取两个数m ，n ，则关于x的一元二次方程20x m +=有实数根的概率为 ．14．直线0ax by c ++=与圆224x y +=相交于两点A 、B ，若222c a b =+，O 为坐标原点，则OA OB →→⋅= ．（二）选做题（考生只能从A 、B 、C 三小题中选做一题，若多做，则按所做的第一题评阅给分） 15．A ．（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA = 2．AC 是圆O的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB = 1，则AB = ；B ．（不等式选讲选做题）已知关于x 的不等式|1|||x x k -+≤无解，则实数k 的取值范围是 ；C ．（坐标系与参数方程选做题）已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的参数方程为{2cos sin x y θθ==，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ-=，则直线l 与曲线C 的交点个数为 ．三、解答题：共6道题，共75分．要求写出演算和推理过程． 16．（本小题满分12分）数列{}n a 满足11a =，1122n nn nn a a a ++=+（n N +∈）. （Ⅰ）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）设(1)n nb nn a =+，求数列{}n b 的前n项和n S .17．（本小题满分12分）函数()s i n ()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><在区间5[,]66ππ-上的图象如图所示。

昆明市2022-2023学年高三下学期省统测考前模拟数学试卷2考试时间：120分钟第I 卷（选择题）一、单选题 1．已知集合(){}22,2,,A x y xy x N y N =+≤∈∈，则A 中元素的个数为A ．3B ．4C ．8D ．92．设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ）A ．15B ．25C ．12D ．453．设{}n a 是首项为1-的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知点()11,0F -，()21,0F ，动点P 到直线2x =的距离为d，2PF d =） A ．点P 的轨迹是圆B ．点P 的轨迹曲线的离心率等于12 C ．点P 的轨迹方程为2212x y +=D ．12PF F △的周长为定值5．已知:250p x ->，2:20q x x -->，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知M 是圆22:1C x y +=上一个动点，且直线1:30l mx ny m n --+=与直线222:30(,R,0)l nx my m n m n m n +--=∈+≠相交于点P ，则PM 的取值范围是（ ） A．1]B．1]C．1]D．1]7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，直线l 过坐标原点并与双曲线交于,P Q 两点（P 在第一象限），过点P 作l 的垂线与双曲线交于另一个点A ，直线QA 交x 轴于点B ，若点B 的横坐标为点Q 横坐标的两倍，则双曲线的离心率为（ ） A ．1BCD8．设函数()f x 的定义域为R ，且()()113f x f x =+，当(]1,0x ∈-时，()()1f x x x =+，若对任意(],x m ∈-∞，都有()8116f x ≥-，则实数m 的取值范围是（ ） A ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．11,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(],3-∞二、多选题9．下列命题的否定中，是真命题的有（ ） A ．某些平行四边形是菱形B ．2R,330x x x ∃∈-+<C ．2R,0x x x ∀∈+≥D ．2R,10x x ax ∀∈-+=有实数解10．关于变量x ，y 的n 个样本点1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 及其线性回归方程．ˆˆˆ,ybx a =+下列说法正确的有（ ） A ．相关系数r 的绝对值|r |越接近0，表示x ，y 的线性相关程度越强 B ．相关指数2R 的值越接近1，表示线性回归方程拟合效果越好 C ．残差平方和越大，表示线性回归方程拟合效果越好D ．若1111,nni i i i x x y y n n ====∑∑，则点(,).x y 一定在线性回归方程ˆˆˆy bx a =+上11．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C 相交于,A B 两点，下列结论正确的是（ ） A ．若()4,4A ，则5AF =B ．若()2,3E ，则AE AF +的最小值为5C ．以线段AB 为直径的圆与直线1y =-相切D ．若3AF FB =，则直线AB的斜率为12．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列{}n a ，正方形数构成数列{}n b ，则下列说法正确的是（ ）A ．12311111n n a a a a n ++++=+ B ．1225既是三角形数，又是正方形数C ．12311112nb b b b ++++< D ．N*m ∀∈，2m ≥，总存在p ，N*q ∈，使得m p q b a a =+成立第II 卷（非选择题）三、填空题13．已知函数()1,0213,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，则()()1f f -=___________；若()()2235f a f a ->，则实数a 的取值范围是___________.14．写出一个同时满足下列条件①②的双曲线的标准方程：_______.①焦点在x 轴上；②离心率为2. 15．在三棱锥-P ABC 中，60ABC ∠=︒，90PBAPCA ∠=∠=︒，点P 到底面ABC -P ABC 的外接球表面积为6π，则AC 的长为__________.16．已知P ､Q 分别在直线1:10l x y -+=与直线2:10l x y --=上，且1PQ l ⊥，点()4,4A -，()4,0B ，则AP PQ QB ++的最小值为___________.四、解答题17．已知函数()cos 2sin f x ax x x =-，其中a ∈R . (1)当2a =时，讨论()f x 在()0,2π上的单调性；(2)若对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都有()3f x x <，求实数a 的取值范围.18．某人发现人们在邮箱名称里喜欢用数字，于是他做了调查，结果如下表：（1）填写上表中的频率（结果保留到小数点后两位）； （2）人们在邮箱名称里使用数字的概率约是多少？19．2020 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足 x = 4−21m +. 已知生产该产品的固定成本为 8万元，生产成本为16万元 / 万件，厂家将产品的销售价格定为816xx+万元 / 万件 (产品年平均成本)的1.5倍.(1)将2022年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？20．已知抛物线C :22y px =(0p >)的准线过双曲线2211x y a a-=-(01a <<)的左焦点.（1）求抛物线C 的方程；（2）设抛物线C 的焦点为F ，直线l :2y x =-与C 交于不同的两点A ，B ，求11||||FA FB +的值. 21．已知过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的椭圆C ：()222210x ya b a b+=>>上的点到焦点的最大距离为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 的切线方程为00221xx yy a b +=.已知点M 为直线4x =-上任意一点，过M 点作椭圆C 的两条切线MA ，,,MB A B 为切点，AB 与OM （O 为原点）交于点D ，当M D B ∠最小时求四边形AOBM 的面积. 22．已知函数()2e 1x f x m =++. (1)若函数()f x 为奇函数，求实数m 的值.(2)当1m =时，求()()()()()()()()()432101234f f f f f f f f f -+-+-+-+++++的值.参考答案：1．B 2．A 3．B 4．C 5．A 6．B 7．C 8．C 9．BD 10．BD 11．AC 12．BCD 13． 5- 132a -<< 14．2213y x -=(答案不唯一).15．16．17．(1)()f x 在()0,π上单调递减，在(),2ππ上单调递增 (2){}|5a a ≤ （1）当2a =时，()2cos 2sin f x x x x =-，则()2sin f x x x '=-，令()0f x '=，当()0,2x π∈时，解得x π=，故当()0,x π∈时，()0f x '<；当(),2x ∈ππ时，()0f x ¢>. 所以，()f x 在()0,π上单调递减，在(),2ππ上单调递增. （2）令()32sin cos g x x x ax x =+-，则()()32cos sin g x a x ax x =+'+-. 当0a …时，cos 0ax x …，所以()()00g x g >=.当05a <…时，()33cos sin 0g x x ax x +'->…，故()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 又()00g =，故()()00g x g >=.当5a >时，令()()()32cos sin h x g x a x ax x =+-+'=，则()()22sin cos 0h x a x ax x +'=->，故()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.()050,30.22a h a h ππ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭故存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00h x =，且当()00,x x ∈时()0h x <，即()g x 在()00,x 上单调递减，所以当()00,x x ∈时，()()00g x g <=，故不符合 . 综上所述，a 的取值范围为{}|5a a ≤. 18．（1）见解析；（2）0.60.【解析】(1)用频数除以总数求出频率；(2)由(1)观察到频率均在常数0.60左右摆动，所以所求概率越为0.60.【详解】（1）由频率公式可算出表格中的频率从左向右依次为0.60，0.60，0.62，0.61，0.59，0.61，0.60，0.60.（2）由（1）知，虽然计算出的频率不全相同，但都在常数0.60左右摆动，因此，中国人在邮箱名称里使用数字的概率约为0.60.【点睛】本题考查频率的计算，用频率估计概率，属于基础题. 19．(1)1636(0)1y m m m =--≥+ (2)3万元【分析】（1）依据题意列出该产品的利润y 万元关于年促销费用m 万元的解析式即可； （2）依据均值定理即可求得促销费用投入3万元时，厂家的利润最大. 【详解】（1）由题意知，每万件产品的销售价格为8161.5x x +⨯（万元），x = 4−21m + 则2022年的利润816161.581636(0)1x y x x m m m x m +=⨯---=--≥+． （2）∵当0m ≥时，10m +>，∴16(1)81m m ++≥=+，（当且仅当3m =时等号成立）∴83729y ≤-+=，当且仅当3m =万元时，max 29y =（万元）．故该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元． 20．（1）24y x =（2）1013【解析】（1）由题意可知，双曲线的左焦点为(1,0)-，所以12p-=-，求出p 的值，即可得答案；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，利用焦半径公式代入计算，即可得答案. 【详解】（1）由题意可知，双曲线的左焦点为(1,0)-， 所以12p-=-，即2p =. 所以抛物线的方程为24y x =.（2）把直线l 的方程2y x =-代入24y x =得2840x x -+=. 所以2(8)16480∆=--=>.设()11,A x y ，()22,B x y .所以128x x +=，124x x =.所以121212122111110||||11113x x FA FB x x x x x x +++=+==+++++. 【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解、抛物线焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.21．(1)22143x y +=.(2)【分析】（1）根据题意列出关于,,a b c 的方程组，即可求得答案；（2）设()04,M y -，()00y >，()11,A x y ，()22,B x y ，根据题意结合切线方程求得AB 方程，设AB 与x 轴交于点E ，则有MDB DEO DOE ∠=∠+∠，利用两角和正切公式表示出tan MDB ∠ ，结合基本不等式确定其最小值，即可求得0y，进而确定(4,M -±，从而联立AB 方程和椭圆方程，得根与系数关系，求得弦长AB ，借助于三角形面积即可求得四边形AOBM 的面积.【详解】（1）依题意有3a c +=，221914a b+=，222a b c =+，则2222(3),69a b a b a =+∴=--, 由221914a b+=得2222494b a a b +=，即2294(1)(69)a a a =--， 整理得2(2)(86)0a a a -+-= ，解得2a =，或a =， 由于33,0,2a c a c a +=>>∴>，故a =舍去， ∴2a =，1c =，b =椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）设()04,M y -，()00y >，()11,A x y ，()22,B x y ， 依题意有切线MA 方程为11143x x y y+=，切线MB 方程为22143x x y y +=，又切线都过M 点， ∴10113y y x -+=，20213y yx -+=， ∴AB 方程为：013y yx -+=， ∴03AB k y =，04OD OM y k k =-=, 设AB 与x 轴交于点E ，则有MDB DEO DOE ∠=∠+∠,∴0000343tan 431414AB ODAB ODy k k y y MDB k k y +⎛⎫-∠===+≥ ⎪+⎝⎭-当且仅当0y =MDB ∠为锐角， 同理根据对称性可求得00y <时0y =-故AB 方程为：20y -20y +=，∴(4,M -±，根据对称性可以取(M -，则OM =tan MDB ∠=sin MDB ∠=联立22203412y x y -=+=⎪⎩ ，得22230x x +-=， ∴121x x +=-，2132x x =-，∴1272AB x =-=， 又11||sin ||sin 22AOBMS DB DM MDB DA DM MDA =∠+∠四边形 11||sin ||sin 22DB DO ODB DA DO ODA +∠+∠ 11||sin ||sin 22AB DM MDB AB DO MDB =∠+∠ 1sin 2OM AB MDB =∠,∴117sin 222AOBM S OM AB MDB =∠=⨯=四边形故MDB ∠最小时四边形AOBM 的面积为【点睛】关键点点睛：本题关键突破在于求四边形AOBM 的面积时，要确定MDB ∠最小时M 的坐标，解答时利用题意求得AB 方程，从而得其斜率，进而用两角和的正切公式表示tan MDB ∠，结合基本不等式求得其最小值，即可求得M 的坐标，即可得AB 方程，再联立椭圆方程求弦长，这样问题就将迎刃而解. 22．(1)1m =-； (2)18.【分析】（1）由奇函数(0)0f =求参数m ，并验证.（2）由（1）易知()()2g x f x =-为奇函数，结合()()0g x g x -+=即可求结果. 【详解】（1）由()f x 定义域为R 且为奇函数，则(0)10f m =+=，可得1m =-，所以21e ()1e 1e 1xx x f x -=-=++，则11e e 1e ()()e 11e e 1x x x xx x f x f x -----===-=--+++满足， 所以1m =-.（2）当1m =时，令()()2g x f x =-，则()()221e 1x g x f x =-=-+， 由（1）知()g x 为奇函数，则()()()()()()()()()4321012340g g g g g g g g g -+-+-+-+++++=，所以()()()()()()()()()43210123418f f f f f f f f f -+-+-+-+++++=.。

南京市2019届高三数学考前综合训练题一、填空题1．数列{a n }为等比数列，其前n 项的乘积为T n ，若T 2＝T 8，则T 10＝ ． 【答案】1【提示】法一：由T 2＝T 8得a 3·a 4·…·a 8＝1，则(a 3·a 8)3＝1，a 3·a 8＝1．从而T 10＝a 1·a 2·…·a 10＝(a 1·a 10)5＝(a 3·a 8)5＝1； 法二：(特殊化思想)，取a n ＝1，则T 10＝1．【说明】本题考查等比数列的运算性质．可一般化：{a n }为正项等比数列，其前n 项的乘积为T n ，若T m ＝T n ，则T m ＋n ＝1；可类比：{a n }为等差数列，其前n 项的和为S n ，若S m ＝S n ，则S m ＋n ＝0．(其中m ，n ∈N *，m ≠n )．2．已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0上的动点，点P 到某直线l 的最大距离为5．若在直线l 上任取一点A 作圆C 的切线AB ，切点为B ，则AB 的最小值是________． 【答案】5．【提示】由P 到直线l 的最大距离为5，得圆心C 到直线l 的距离为3，从而直线l 与圆C 相离．过A 引圆C 的切线长AB ＝AC 2－r 2＝AC 2－4≥32－4＝5．【说明】点､直线与圆的相关问题常转化为圆心与点､直线问题．3．已知直线l ：x －2y ＋m ＝0上存在点M 满足与两点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为－34，则实数m 的值是___________． 【答案】[－4，4]．【提示】点M 的轨迹为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．把直线l ：x ＝2y －m 代入椭圆方程得，16y 2－12my ＋(3m 2－12)＝0．根据条件，上面方程有非零解，得△≥0，解得－4≤m ≤4．【说明】求曲线方程的直接法，研究直线与椭圆位置关系中基本方法是方程思想．4．已知数列{a n }为正项等差数列，满足1a 1＋4a 2k －1≤1(其中k ∈N *且k ≥2)，则a k 的最小值为_________．【答案】92．【提示】因为{a n }为正项等差数列，则a k ＝a 1 ＋ a 2k －1 2≥a 1 ＋ a 2k －1 2·(1a 1＋4a 2k －1)＝12·(5＋a 2k －1a 1＋4 a 1a 2k －1)≥12·(5＋2a 2k －1a 1·4 a 1a 2k －1)＝92(当且仅当1a 1＋4a 2k －1＝1，且a 2k －1a 1＝4 a 1a 2k －1， 即a 1＝3，a 2k －1＝6时取“＝”号)．【说明】本题将等差数列的运算性质(等差中项)与基本不等式进行综合．5． 以C 为钝角的△ABC 中，BC ＝3，→BA ·→BC ＝12，当角A 最大时，△ABC 面积为__________． 【答案】3【提示】过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，则→BA ·→BC ＝|→BA ||→BC |cos B ＝BDBC ＝3BD ＝12， 所以BD ＝4，又BC ＝3，所以CD ＝1．设AD ＝y (y ＞0)，则tan ∠BAC ＝4y －1y 1＋4y 2＝3y ＋4y≤34，且仅当y ＝4y，即y ＝2时取“＝”，由正切函数的单调性知此时∠BAC 也最大．【说明】学会从向量的数量积处理的三种手法：定义法､基底法和坐标法中选择，本题用定义法最为简洁，用坐标法也可以得出同上结论，另由两个直角三角形拼接的平面图形，计算角的最值，可转化到直角三角形用两角和与差的正切来解决，体现了化归与转化的思想．6．计算：4sin20︒＋tan20︒＝ ． 【答案】3．【提示】原式＝4sin20︒＋sin20︒cos20︒＝4sin20︒ cos20︒＋sin20︒cos20︒＝2sin40︒＋sin20︒cos20︒＝2sin(60︒－20︒)＋sin20︒cos20︒＝3cos20︒－sin20︒＋sin20︒cos20︒＝3．【说明】切化弦､向特殊角转化､向单一的角转化是三角恒等变换(求值)的一般思路． 7．设α是锐角，且cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为 ．【答案】17250【提示】因为α是锐角，所以π6＜α＋π6＜2π3，因为cos(α＋π6)＝45，所以sin(α＋π6)＝35．sin2(α＋π6)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425，cos2(α＋π6)＝1－2sin 2(α＋π6)＝725．ABCDsin(2α＋π12)＝sin[2(α＋π6)－π4]＝sin2(α＋π6)cos π4－cos2(α＋π6)sin π4＝2425×22－725×22＝17250．【说明】考查同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数，重点突出角之间的互化，设法将所求角转化为已知角，用已知角表示所求角．8．等比数列{a n }中，首项a 1＝2，公比q ＝3，a n ＋a n ＋1＋…＋a m ＝720(m ，n ∈N *，m ＞n )，则m ＋n ＝ ． 【答案】9．【提示】因为a n ＝2·3n －1，则a n ＋a n ＋1＋…＋a m ＝2·3n －1·(1－3m－n ＋1)1－3＝3n －1·(3m －n ＋1－1)＝720＝32×24×5，则⎩⎨⎧n －1＝2m －n ＋1＝4，解得n ＝3，m ＝6，则m ＋n ＝9． 【说明】本题考查等比数列中的基本运算，涉及到简单的数论知识（整数的分解）．9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋4，x ＜a ，x 2－2x ，x ≥a，若任意实数b ，总存在实数x 0，使得f (x 0)＝b ，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】－5≤a ≤4．【提示】“任意实数b ，总存在实数x 0，使得f (x 0)＝b ”等价于函数f (x )的值域为R ．在平面直角坐标系xOy 中，分别作出函数y ＝x ＋4及y ＝x 2－2x 的图像， 观察图像可知－5≤a ≤4．【说明】本题要注意条件的等价转化．一般情况下涉及到分段函数的问题都要有意识的作出图像，运用数形结合的方法解决问题，学会从特殊值验证，再到一般结论的发展．10．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】（－∞，－2）【提示】解法一：若a ＝0，解得x ＝±33，不合题意． 若a ＞0，则f (－1)＝－a －2＜0，f (0)＝1＞0，所以f (x )存在负的零点，不合题意． 若a ＜0，则f ′(x )＝3ax (x －2a )，可得f (2a )＝1－4a 2为极小值，则满足1－4a 2＞0，解得a ＞2或a ＜－2．此时，取得a ＜－2． 综上，a 的取值范围是（－∞，－2）．解法二：f (x )＝0，即ax 3＝3x 2－1，分离参数a ＝3x －1x3，同样可得a ＜－2．【说明】考查零点概念、零点存在性定理；函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，学会利用导数来研究函数的图象和性质．11．设函数f (x )＝ln x ＋mx ，（m ∈R ），若对任意b ＞a ＞0，f (b )－f (a )b －a ＜1恒成立，则m 的取值范围是 ．【答案】[14，＋∞）．【提示】对任意的b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a＜1恒成立，等价于f (b )－b ＜f (a )－a 恒成立．函数h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋mx－x 在(0，＋∞)是单调减函数，即h ′(x )＝1x －m x 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m ≥－x 2＋x ＝－(x －12)2＋14（x ＞0）恒成立，解得：m ≥14．所以m 的取值范围是[14，＋∞）．【说明】考查求常见函数的导数，利用导数研究函数的单调性，会用分离常数的方法来研究不等式恒成立问题，不等式、方程、函数三者之间相互转化是高考考查的重点，要培养用函数的观点来研究不等式、方程的意识，体现数形结合思想．二、解答题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知tan A ＝13．设向量x ＝(3a ，cos A )，y ＝(2c ，cos C )，且x ∥y ．（1）若b ＝5，求c 2－a 2的值； （2）求B 的值．解：（1）因为x ∥y ，所以3a cos C ＝2c cos A ．用余弦定理代入，化简可得：b 2＝5(c 2－a 2)． 因为b ＝5，所以c 2－a 2＝1．（2）因为3a cos C ＝2c cos A ，由正弦定理得：3sin A cos C ＝2sin C cos A ，即3tan A ＝2tan C ． 因为tan A ＝13，所以tan C ＝12，从而tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C1－tan A tan C＝－1．因为B ∈(0，π)，所以B ＝3π4．【说明】考查向量的平行，正弦、余弦定理，两角和与差的正切公式．能够根据题目的要求正确实现边角互化．2．三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，面积为S ． （1）若AB →·AC →≤23S ，求A 的取值范围；（2）若tan A ∶tan B ∶tan C ＝1∶2∶3，且c ＝1，求b ． 解：（1）由题意知，AB →·AC →＝bc cos A ，S ＝12bc sin A ，所以bc cos A ≤3bc sin A ，即cos A ≤3sin A ，（或也可根据cos A 的正负，转化为关于tan A 的不等式）． 即3sin A －cos A ≥0，2sin(A －π6)≥0．因为A 为三角形内角，则A －π6∈(－π6，5π6)，所以0≤A －π6＜5π6，从而A ∈[π6，π)．（2）设tan A ＝m ，tan B ＝2m ，tan C ＝3m ，由题意知，m ＞0． 因为tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B ，则3m ＝－ 3m1－2m 2，解得m ＝1，则tan B ＝2，tan C ＝3，从而sin B ＝255，sin C ＝31010，所以AC AB ＝sin B sin C ＝22 3，则AC ＝223．【说明】本题第（1）问考查数量积､三角形面积公式､两角和差公式及简单的三角不等式．第（2）问的目的是考查斜三角形三内角A ，B ，C 满足的一个恒等式(tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C )． 还可联想到一类求值问题(两角和差正切公式的变形)，如tan37︒＋tan23︒＋3tan37︒·tan23︒等问题．3．某高速公路收费站出口处依次有编号为1､2､3､4､5的五个收费窗口．（1）若每天随机开放其中的3个收费窗口，则恰有两个相邻窗口开放（如：1，2，4）的概率是多少? （2）经统计，在某个开放的收费窗口处排队等侯的车辆数及相应概率如下：①该收费窗口处至多有2辆车排队等侯的概率是多少? ②该收费窗口处至少有3辆车排队等侯的概率是多少?解：（1）记事件A 为“开放3个收费窗口，恰有两个相邻窗口开放”，用(i ，j ，k )表示编号分别为i ，j ，k的三个收费窗口开放．则本题的基本事件包括：(1，2，3)，(1，2，4)(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)， (2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)， 共10个基本事件；而事件A 包括：(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，4，5)，(2，3，5)，(2，4，5)， 共6个基本事件．因此P (A )＝610＝35．答：随机开放其中三个收费窗口，恰有两个相邻窗口开放的概率为35．（2）记事件B i 为“该收费窗口处有i 辆车排队等侯”，其中i ＝0，1，2，3，4，5．则由题意知，上述6个事件为互斥事件．记事件C 为“该收费窗口处至多有2辆车排队等侯”， 事件D 为“该收费窗口处至少有3辆车排队等侯”．则P (C )＝P (B 0＋B 1＋B 2)＝ P (B 0)＋P (B 1)＋P (B 2)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56， P (D )＝P (B 3＋B 4＋B 5)＝ P (B 3)＋P (B 4)＋P (B 5)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44． （另解：由题意知事件C ，D 为对立事件，则P (D )＝P (－C )＝1－P (C)＝0.44）答：该收费窗口处至多2辆车排队等侯的概率为0.56，至少3辆车排队等侯的概率为0.44． 【说明】本题考查古典概型和互斥事件的概率计算，主要要注意规范表述． 4．如图，四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，三角形BCD为正三角形． （1）当∠BAD ＝π3时，设AC →＝x AB → ＋ yAD →，求x ，y 的值；（2）设∠BAD ＝α，则当α为多少时，四边形ABCD 的面积S 最大，并求出最大值．解：（1）在△ABD 中，由于AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝π3，易得BD ＝3，∠ABD ＝π6，∠ADB ＝π2，∠ABC ＝π2，∠ADC ＝5π6．下面提供三种解法：法一：如图，过点C 作CE //AD 交AB 于点E ，在△BCE 中，BC ＝3，∠ABC ＝π2，∠BEC ＝π3，则CE ＝2，BE ＝1，则AE ＝1，所以AC →＝AE →＋EC →＝12AB →＋2AD →，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2．法二：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如图直角坐标系．ACDBACDB则D (12，32)，B (2，0)，C (2，3)，则AC →＝(2，3)，AB →＝(2，0)，从而AD →＝(12，32)，则⎩⎨⎧2x ＋12y ＝2 32y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2．法三：因为AC →·AB →＝x AB →2＋y AD →·AB →＝4x ＋y ，又AC →·AB →＝(AB →＋BC →)·AB →＝AB →2＋BC →·AB →＝4， 则4x ＋y ＝4．因为AC →·AD →＝x AB →·AD →＋yAD →2＝x ＋y ，又AC →·AD →＝(AD →＋DC →)·AD →＝AD →2＋DC →·AD →＝1＋1×3×cos π6＝52，则x ＋y ＝52．从而⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝4x ＋y ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2．（2）在△ABD 中，由余弦定理知，BD ＝5－4cos α，则S △ABD ＝sin α，S △BDC ＝34BD 2＝34(5－4cos α)， 则S ＝ sin α－ 3cos α＋ 534＝2sin(α－ π3)＋534，α∈(0，π)， 所以S max ＝2＋534，此时α－ π3＝π2，即α＝5π6． 【说明】第（1）问考查平面向量基本定理，将向量AC →用基底AB →，AD →线性表示．此类问题通常的处理方法：利用“平行四边形法则”或“三角形法则”分解；将向量用坐标表示；将向量与基底进行运算（数量积､平方等）．第（2）问考查三角形面积､三角恒等变换及三角函数在给定区间上的最值问题． 5．某隧道长2150m ，通过隧道的车辆速度不能超过20m /s ．一列有55辆车身长都为10m 的同一车型的车队(这种型号车能行驶的最高速度为40m /s )，匀速通过该隧道，设车队的速度为xm /s ，根据安全和车流量的需要，当0＜x ≤10时，相邻两车之间保持20m 的距离；当10＜x ≤20时，相邻两车之间保持(16x 2＋13x )m 的距离．自第1辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y (s )． （1）将y 表示为x 的函数；（2）求车队通过隧道时间y 的最小值及此时车队的速度．(3≈1.73)． 解：（1）当0＜x ≤10时，y ＝2150＋10×55＋20×(55－1)x ＝3780x(s )；当10＜x ≤20时，y ＝2150＋10×55＋(16x 2＋13x )×(55－1)x ＝2700＋9x 2＋18xx＝18＋9x ＋2700x(s )．所以y ＝⎩⎨⎧3780x，0＜x ≤10，18＋9x ＋2700x，10＜x ≤20．（2）当x ∈(0，10]时，在x ＝10时，y min ＝378010＝378(s )． 当x ∈(10，20]时，y ＝18＋9x ＋2700x≥18＋29x ⋅2700x＝18＋1803≈329.4(s )． 当且仅当9x ＝2700x，即x ＝103≈17.3时取等号．因为17.3∈(10，20]，所以当x ＝17.3m /s 时，y min ＝329.4(s )．因为378＞329.4，所以当车队的速度为17.3m /s 时，车队通过隧道时间y 有最小值329.4s ．【说明】注意半建模型的应用问题，其中变量在不同范围内，对应的函数关系不一样，处理问题的方法也有区别，可与多项式函数､分式函数､三角函数等综合，也可用不等式､导数､三角变换等工具研究其最值．6．在平面直角坐标系xOy 中，圆O :x 2＋y 2＝1，P 为直线l ：x ＝t (1＜t ＜2)上一点． （1）已知t ＝43．①若点P 在第一象限，且OP ＝53，求过点P 圆O 的切线方程；②若存在过点P 的直线交圆O 于点A ，B ，且B 恰为线段AP 的中点，求点P 纵坐标的取值范围； （2）设直线l 与x 轴交于点M ，线段OM 的中点为Q ．R 为圆O 上一点，且RM ＝1，直线RM 与圆O交于另一点N ，求线段NQ 长的最小值．解：（1）设点P 的坐标为(43，y 0)．①因OP ＝53，所以(43)＋y 02＝(53)2，解得y 0＝±1．又点P 在第一象限，所以y 0＝1，即P 的坐标为(43，1)．易知过点P 圆O 的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k ，则切线为y －1＝k (x －43)，即kx －y ＋1－43k ＝0，于是有|1－43k |k 2＋1 ＝1，解得k ＝0或k ＝247．因此过点P 圆O 的切线为:y ＝1或24x －7y －25＝0． ②设A (x ，y )，则B (x ＋432，y ＋y 02)．因为点A ，B 均在圆上，所以有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，(x ＋432)2＋(y ＋y 02)2＝1．即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，(x ＋43)2＋(y ＋y 0)2＝4． 该方程组有解，即圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋43)2＋(y ＋y 0)2＝4有公共点．于是1≤169 ＋y 02≤3，解得－65 3≤y 0≤65 3， 即点P 纵坐标的取值范围是[－65 3，653]． （2）设R (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 22＋y 22＝1，(x 2－t )2＋y 22＝1．解得x 2＝t 2，y 22＝1－t 24． RM 的方程为：y ＝－2y 2t(x －t )． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1， y ＝－2y 2t (x －t )．可得N 点横坐标为t (3－t 2)2，所以NQ ＝(2t －t 32)2＋1－(3t －t 32)2＝122t 4－5t 2＋4． 所以当t 2＝54即t ＝ 5 2时，NQ 最小为148．【说明】本题考查了直线与圆的位置关系､圆与圆的位置关系．其中第二问要能体会将方程组有解问题转化为圆与圆有公共点问题；第三问要能会求在已知一个交点的情况下直线与曲线的另一个交点的坐标．最后需要注意解析几何当中求范围问题．7． 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1过点D (1，32)，且右焦点为F (1,0)，右顶点为A ．过点F 的弦为B C ．直线BA ，直线CA 分别交直线l :x ＝m,(m ＞2)于P ､Q 两点． （1）求椭圆方程；（2）若FP ⊥FQ ，求m 的值．解：（1）1a 2＋94b 2＝1,a 2－b 2＝1,解之得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1；（2）设B (x 0，y 0)，则BC ：y ＝y 0x 0－1(x －1)，与椭圆E ：x 24＋y 23＝1联立方程组：⎩⎨⎧y ＝y 0x 0－1(x －1)， x 24＋y 23＝1．解得x ＝x 0，y ＝y 0或x ＝8－5x 05－2x 0，y ＝－3y 05－2x 0，所以C (8－5x 05－2x 0,－3y 05－2x 0)．k AB k AC ＝y 0x 0－2⋅－3y 05－2x 08－5x 05－2x 0－2＝y 0x 0－2⋅3y 0x 0＋2＝3y 02x 02－4＝9(1－x 024)x 02－4＝－94．显然k AB ＝k AP ,k AC ＝k AQ ，所以k AP k AQ ＝－94．设Q (m,y 1)k FQ ＝y 1m －1＝y 1m －2⋅m －2m －1＝m －2m －1k AQ ，同理k FP ＝m －2m －1 k AP ．所以k FP k FQ ＝(m －2m －1)2k AP k AQ ＝－94(m －2m －1)2＝－1,又m ＞2，所以m －2m －1＝23，所以m ＝4．【说明】本题考查了椭圆的标准方程､直线的斜率．重点考查学生的计算能力，即应用解析的方法证明圆锥曲线性质的能力．本题中要证明FP ⊥FQ ，即证明k FP k FQ ＝－1，通过分析可以发现k FQ 与k AQ 成比例，同理k FP 与 k AP 成比例，故只需证明k AB k AC 即可．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的离心率e ＝22，右焦点､下顶点､左顶点分别为F 2，B ，A ．AB ＝3．直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，直线AP 与BQ 交于点M ． （1）求a ，b 的值；（2）当BP 过点F 2时，求过A ､B ､P 三点的圆的方程； *（3）当AM MP ＝BMMQ 时，求F 2M 的最小值．解：（1）根据条件得，⎩⎨⎧c a ＝22，a 2＋b 2＝3，a 2＝b 2＋c 2．解得a ＝2，b ＝1．（2）由（1）知，F 2，B 的坐标分别为(1，0)，(0，－1)．所以BP 方程为y ＝x －1． 代入C ：x 22＋y 2＝1得3x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝43．所以P (43，13)．设过A ，B ，P 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A (－2，0)，B (0，－1)，P (43，13)代入得，⎩⎨⎧－2D ＋F ＝－2，－E ＋F ＝－1，43D ＋13E ＋F ＝－179．解得⎩⎨⎧D ＝13(2－1)，E ＝－13(2＋1)，F ＝－13(2＋4)．所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋13(2－1)x －13(2＋1)y －13(2＋4)＝0．（3）设P ，Q ，M 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 0，y 0)，且AM MP ＝BMMQ＝λ，根据条件得，→AM ＝λ→MP ，→BM ＝λ→MQ ．由→AM ＝λ→MP 得，即(x 0＋2，y 0)＝λ(x 1－x 0，y 1－y 0)． 所以⎩⎨⎧x 0＋2＝λ(x 1－x 0)，y 0＝λ(y 1－y 0)．解得⎩⎨⎧x 1＝(1＋1λ)x 0＋2λ，y 1＝(1＋1λ)y 0．同理，由→BM ＝λ→MQ 得，⎩⎨⎧x 2＝(1＋1λ)x 0，y 2＝(1＋1λ)y 0＋1λ．因为P (x 1，y 1)在椭圆C 上，所以x 12＋2y 12＝2．代入得，[(1＋1λ)x 0＋2λ]2＋2[(1＋1λ)y 0]2＝2．同理得，[(1＋1λ)x 0]2＋2[(1＋1λ)y 0＋1λ]2＝2．把上面两式相减得，(1＋1λ)(x 0－2y 0)＝0．因为1＋1λ≠0，所以x 0－2y 0＝0．即点M 的轨迹是直线x －2y ＝0在椭圆内的一段．所以F 2M 的最小值即为F 2到直线x －2y ＝0距离．即F 2M min ＝∣1⋅1－2⋅0∣12＋(－2)2＝33． 【说明】（1）椭圆中的a ，b ，c 与各种几何量之间关系要熟记，它们是求椭圆标准方程与几何量的基础； （2）注意求方程的待定系数法，合理选择方程的形式；（3）在进行关系转化时，一定要分清主次，要求什么量关系，需要消去哪些量，先想明白，再变形． 9．已知函数f (x )＝(x －1)e x ，g (x )＝ln x ，其中e 是自然对数的底数． （1）求函数f (x )的极值；（2）求函数h (x )＝f (x )＋e ∣g (x )－a ∣(a 为常数)的单调区间；解：（1）因为f '(x )＝x e x ，所以当x ＞0时，f '(x )＞0；当x ＜0时，f '(x )＜0． 因此f (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减， 所以f (x )有极小值为f (0)＝－1，无极大值．（2）h (x )＝f (x )＋e ∣g (x )－a ∣＝(x －1)e x ＋e ∣ln x －a ∣．当x ≥e a 时，h (x )＝(x －1)e x ＋e(ln x －a )，h '(x )＝x e x ＋ex ＞0恒成立，h (x )在(e a ，＋∞)上单调递增，当0＜x ≤e a 时，h (x )＝(x －1)e x ＋e(a －ln x )，h '(x )＝x e x －e x ，[h '(x )]'＝(x ＋1) e x ＋ex 2＞0恒成立．所以h '(x )在(0，e a ]上单调递增，注意到h '(1)＝0． 因此当a ≤0时，h '(x )≤0恒成立．当a ＞0时，当x ∈(0，1)时，h '(x )＜0；当x ∈[1，e a ]时，h '(x )≥0．综上有：当a ≤0时，h (x )减区间为(0，e a ]，增区间为(e a ，＋∞)． 当a ＞0时，h (x )减区间为(0，1)，增区间为[1，＋∞)．【说明】本题以指对函数为载体，考查了导数的运用､分类讨论思想､函数的零点等相关知识．其中第3问要能感受与体会存在性和唯一性的证明方法．10．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 是实数集R 上的奇函数，且在x ＝1处取得极小值－2． （1）求f (x )的表达式；（2）已知函数g (x )＝|x |－2，判断关于x 的方程f (g (x ))－k ＝0解的个数． 解：（1） f (－x )＝－ax 3＋bx 2－cx ＋d ，－f (x )＝ －ax 3－bx 2－cx －d ，对任意x ∈R ，f (－x )＝ －f (x )，即－ax 3＋bx 2－cx ＋d ＝－ax 3－bx 2－cx －d ，bx 2＋d ＝0， 所以b ＝d ＝0，f (x )＝ax 3＋cx ． f ' (x )＝3ax 2＋c,由题意f ' (1)＝3a ＋c ＝0，f (1)＝a ＋c ＝－2,所以a ＝1，c ＝－3， f (x )＝x 3－3x ；（2）令t ＝g (x ),则f (t )＝k ．f ' (t )＝3t 2－3＝3(t ＋1)(t －1),令f ' (t )＝0，则t ＝－1或t ＝1， t ＜－1，则f ' (t )＞0,所以f (t )在(－∞，－1)上单调增， －1＜t ＜1, 则f ' (t )＜0,所以f (t )在(－1，1)上单调减， t ＞1, 则f ' (t )＞0,所以f (t )在(1，＋∞)上单调增． 计算得f (－2)＝f (1)＝－2,f (2)＝f (－1)＝2．1o k ＜－2时,f (t )＝k 仅有一小于－2的解t 1，g (x )＝t 1,即|x |－2＝t 1，|x |＝t 1＋2无解；即f (g (x ))－k ＝0无解．2o k ＝－2时,f (t )＝k 有两解t 1＝－2，t 2＝1，g (x )＝t 1,即|x |－2＝－2，x ＝0， g (x )＝t 2,即|x |－2＝1，x ＝3或x ＝－3，即f (g (x ))－k ＝0有3解；3 o －2＜k ＜2时,f (t )＝k 有三解t 1，t 2，t 3，且－2＜ t 1＜t 2＜t 3＜2，g (x )＝ t i ,即|x |－2＝t i ，|x |＝t i ＋2,有两解，(i ＝1,2,3)，即f (g (x ))－k ＝0有6解；4o k ＝2时,f (t )＝k 有两解t 1＝－1，t 2＝2，g (x )＝t 1,即|x |－2＝－1，x ＝－1或x ＝1， g (x )＝t 2,即|x |－2＝2，x ＝4或x ＝－4，即f (g (x ))－k ＝0有4解；5o k ＞2时,f (t )＝k 仅有一大于2的解t 1，g (x )＝t 1,即|x |－2＝t 1，|x |＝t 1＋2，有2解； 即f (g (x ))－k ＝0有2解．综上，方程f (g (x ))－k ＝0解的个数如下：k ＜－2时0解；k ＝－2时3解；－2＜k ＜2时6解；k ＝2时4解；k ＞2时2解．【说明】本题考查了函数的奇偶性，单调性与极值．重点考查复合函数的零点个数，体现了数形结合与化归的思想．处理复合函数的问题一般用换元法，就复合函数的零点个数而言，一般先求外函数的零点个数，再分别代入内函数即可．研究函数零点问题，重点是利用好数形结合． 11．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，且S n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋k 22对n ∈N *成立．（1）求常数k 的值以及数列{a n }的通项公式；（2）设数列{a n }中的部分项a k 1，a k 2，a k 3，…a k n，…，恰成等比数列，其中k 1＝，,k 3＝14，求a 1k 1＋a 2k 2＋…＋a n k n 的值．解：（1）法一：条件化为2S n ＝a n ＋k 对n ∈N*成立． 设等差数列公差为d ，则2na 1＋n (n －1)d2＝ a 1＋(n －1)d ＋k ．分别令n ＝1，2，3得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝a 1＋k ，①22a 1＋d ＝a 1＋d ＋k ，②23a 1＋3d ＝a 1＋2d ＋k ．③由①＋③－2⨯②得，a 1＋3a 1＋3d ＝22a 1＋d ．两边平方得，4a 1＋d ＝23a 12＋3a 1d ． 两边再平方得，4a 12－4a 1d ＋d 2＝0．解得d ＝2a 1． 代入②得，4a 1＝3a 1＋k ，④由④－①得，a 1＝a 1．所以a 1＝0，或a 1＝1． 又当a 1＝0时，d ＝0不合题意．所以a 1＝1，d ＝2． 代入①得k ＝1．而当k ＝1，a 1＝1，d ＝2时，S n ＝n 2，a n ＝2n －1，等式 S n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋k 22对n ∈N *成立．所以k ＝1，a n ＝2n －1．法二：设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )．代入S n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋k 22得，d 2n 2＋(a 1－d 2)n ＝14[dn ＋(a 1＋k －d )]2，即2dn 2＋(4a 1－2d )n ＝d 2n 2＋2d (a 1＋k －d )n ＋(a 1＋k －d )2．因为上面等式对一切正整数n 都成立，所以由多项式恒等可得，⎩⎪⎨⎪⎧2d ＝d 2，4a 1－2d ＝2d (a 1＋k －d )，a 1＋k －d ＝0．因为d ≠0，所以解得，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝1，k ＝1．所以常数k ＝1，通项公式a n ＝2n －1．（2）设c n ＝ a k n，则数列{c n }为等比数列，且c 1＝a k 1＝a 2＝3，c 3＝a k 3＝a 14＝27．故等比数列{c n }的公比q 满足q 2＝c 3c 1＝9．又c n ＞0，所以q ＝3．所以c n ＝c 1q n －1＝3⨯3n －1＝3n ．又c n ＝a k n＝2k n －1，所以2k n －1＝3n ．由此可得k n ＝12⨯3n ＋12．所以a n k n ＝2n －12⨯3n ＋2n －12．所以a 1k 1＋a 2k 2＋…＋a n k n＝(12⨯31＋12)＋(32⨯32＋32)＋(52⨯33＋52)＋…＋(2n －12⨯3n ＋2n －12) ＝12⨯[1⨯31＋3⨯32＋5⨯33＋…＋(2n －1)⨯3n ]＋12[1＋3＋5＋…＋(2n －1)] ＝12⨯[1⨯31＋3⨯32＋5⨯33＋…＋(2n －1)⨯3n ]＋12n 2． 法一：令S ＝1⨯31＋3⨯32＋5⨯33＋…＋(2n －1)⨯3n则3S ＝ 1⨯32＋3⨯33＋…＋(2n －3)⨯3n ＋(2n －1)⨯3n ＋1，两式相减得:－2S ＝3＋2⨯32＋2⨯33＋…＋2⨯3n －(2n －1)⨯3n ＋1，S ＝－12[2⨯3(1－3n)1－3－3－(2n －1)⨯3n ＋1]＝－12[－3(1－3n )－3－(2n －1)⨯3n ＋1]＝－12[－2(n －1)⨯3n ＋1－6]＝(n －1)⨯3n ＋1＋3，代入得a 1k 1＋a 2k 2＋…＋a n k n ＝12⨯[(n －1)⨯3n ＋1＋3]＋12n 2＝(n －1)⋅3n ＋1＋n 2＋32．法二：因为(2k －1)⋅3k ＝[(k ＋1)－2]⋅3k ＋1－(k －2)⋅3k ＝(k －1)⋅3k ＋1－(k －2)⋅3k ．所以S ＝[0⋅32－(－1)⋅31]＋[1⋅33－0⋅32]＋[2⋅34－1⋅33]＋…＋[(n －1)⋅3n ＋1－(n －2)⋅3n ]＝(n －1)⋅3n ＋1＋3．【说明】（1）等差数列或等比数列中的基本量问题，通常转化为方程组求解，但在解方程组要注意一些消元的方法；（2）等差数列注意前n 项和与通项的形式，有时可根据其特征，转化为多项式恒等问题； （3）数列求和中两类比较重要的方法错位相减法与裂项相消法．12．已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项的和为S n ，且rS n ＋1－(r ＋1)S n ＝ra 1对任意正整数n 都成立，其中r 为常数，且r ∈N *． （1）求证：数列{a n }为等比数列；*（2）若r ≥2，且a 1，a t (t ≥3)均为正整数，如果存在正整数q ，使得a 1≥q t －1，a t ≤(q ＋1)t －1，求证：S t ＝(q ＋1)t －q t ．解：（1）由rS n ＋1－(r ＋1)S n ＝ra 1得rS n ＋2－(r ＋1)S n ＋1＝ra 1，两式相减得ra n ＋2＝(r ＋1)a n ＋1，即a n ＋2 a n ＋1＝r ＋1r ．又rS 2－(r ＋1)S 1＝ra 1，得a 2 a 1＝r ＋1r ．综上可知{a n }为等比数列，且公比为r ＋1r．（2）由于a t ＝a 1(r ＋1r )t －1及a 1均为正整数，所以存在正整数k ，使得a 1＝kr t －1，所以a t ＝k (r ＋1)t －1．由a t ≤(q ＋1)t －1得(q ＋1)t －1≥k (r ＋1)t －1≥(r ＋1)t －1，于是q ≥r ．又由a 1≥qt －1，a t ≤(q ＋1)t －1得a t a 1≤(q ＋1)t －1q t －1，于是(r ＋1r )t －1≤(q ＋1)t －1 q t －1，从而r ＋1r ≤q ＋1q ，即q ≤r ． 由上可知:q ＝r ．所以a t ＝a 1(r ＋1r )t －1＝a 1(q ＋1 q)t －1≤(q ＋1)t －1，于是a 1≤q t －1，又a 1≥q t －1．所以a 1＝q t －1．于是S t ＝a 1 1－(r ＋1r )t 1－r ＋1r＝a 1 r ((r ＋1r )t －1)＝q t －1q ( (q ＋1q )t －1) ＝(q ＋1)t －q t ．【说明】本题考查了S n 与a n 之间的转化､等比数列､简单的不等式等相关知识，具有一定的综合性．第（2）问要能体会由不等推相等的方法．13．设数列{a n }的各项都是正数，且对任意n ∈N *都有a 13＋a 23＋a 33＋…＋a n 3＝S n 2＋2S n ，其中S n 为数列{a n }的前n 项和． （1）求a 1，a 2；（2）求数列{a n }的通项公式；*（3）b n ＝S n ＋3S n ，c n ＝2a n2a n－1＋a n ，试找出所有即在数列{b n }中又在数列{c n }中的项．解：（1）令n ＝1，则a 13＝ S 13＋2S 1，即a 13＝ a 12＋2a 1，所以a 1＝2或a 1＝－1或a 1＝0． 又因为数列{a n }的各项都是正数，所以a 1＝2．令n ＝2，则a 13＋a 23＝ S 22＋2S 2，即a 13＋a 23＝(a 1＋a 2)2＋2(a 1＋a 2)，解得a 2＝3或a 2＝－2或a 2＝0． 又因为数列{a n }的各项都是正数，所以a 2＝3． （2）因为a 13＋a 23＋a 33＋…＋a n 3＝S n 2＋2S n (1)所以a 13＋a 23＋a 33＋…＋a n －13＝S n －12＋2S n －1(n ≥2) (2)由(1)－(2)得a n 3＝( S n 2＋2S n )－(S n －12＋2S n －1)＝(S n －S n －1)( S n ＋ S n －1＋2)＝a n ( S n ＋S n －1＋2)， 因为a n ＞0,所以a n 2＝S n ＋S n －1＋2 (3) 所以a n －12＝S n －1＋S n －2＋2(n ≥3) (4)由(3)－(4)得a n 2－a n －12＝a n ＋a n －1，即a n －a n －1＝1(n ≥3)， 又a 2－a 1＝1，所以a n －a n －1＝1(n ≥2)．所以数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列． 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋1．（3）S n ＝n (n ＋3)2，所以b n ＝S n ＋3S n ＝n (n ＋3)＋6n (n ＋3),c n ＝2an2a n－1＋a n ＝2n ＋12n ＋n ＋1．不妨设数列{b n }中的第n 项b n 和数列{c n }中的第m 项c m 相同，则b n ＝c m ． 即n (n ＋3)＋6n (n ＋3)＝2m ＋12m ＋m ＋1，即6n (n ＋3)＝2m －m －12m ＋m ＋1．1o若2m －m －12m ＋m ＋1＝6n (n ＋3)≥13，则n 2＋3n －18≤0，所以1≤n ≤3，n ＝1时,2m －m －12m ＋m ＋1＝32，无解；n ＝2时，2m －m －12m ＋m ＋1＝35，即5·2m －5m －5＝3·2m ＋3m ＋3，所以2m ＝4m ＋4，m ＝1,2,3,4时2m ＜4m ＋4；m ≥5时,令f (m )＝2m －4m －4,则f (m ＋1)－f (m )＝2m －4＞0，所以f (m )单调增，所以f (m )≥f (5)＝8＞0,所以2m ＝4m ＋4无解； n ＝3时2m －m －12m ＋m ＋1＝13，即2m ＝2m ＋2，m ＝1,2时，2m ＜2m ＋2； m ＝3时，2m ＝2m ＋2； m ＝4时，2m ＞2m ＋2； m ≥5时，2m ＞4m ＋4＞2m ＋2． 所以，m ＝3，n ＝3．2o若 2m －m －12m ＋m ＋1＝6n (n ＋3)＜13，即2m ＜2m ＋2．由1 知，当m ≥3时，2m ≥2m ＋2。

高三数学客观题综合练习题(二)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |0≤x ≤2}，则A ∪B ＝( ) A.{x |0≤x <1} B.{x |－1<x ≤2} C.{x |1<x ≤2} D.{x |0<x <1}答案 B解析 由集合并集的定义可得A ∪B ＝{x |－1<x ≤2}，故选B.2.已知z ＝2－i ，则z (z －＋i)＝( ) A.6－2i B.4－2i C.6＋2i D.4＋2i答案 C解析 因为z ＝2－i ，所以z (z －＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i ，故选C.3.已知点(1，1)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，则抛物线C 的焦点到其准线的距离为( ) A.14 B.12 C.1 D.2答案 B解析 因为点(1，1)在抛物线C 上，所以1＝2p ，p ＝12，故抛物线C 的焦点到其准线的距离为12.故选B.4.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.某园林建筑为六角攒尖，如图，它主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥.设这个正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱长与 底面外接圆半径的比为( )A.33sin θB.33cos θ C.12sin θ D.12cos θ答案 C解析 设底面边长为a ，则其外接圆的半径为a .在侧面等腰三角形中，顶角为2θ，两腰为侧棱，底边长为a ，所以侧棱长为a2sin θ，所以侧棱长与底面外接圆半径的比为a 2sin θa ＝12sin θ.故选C.5.手机屏幕面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在0～1(不含0，1).设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该手机的“屏占比”和升级前相比( ) A.“屏占比”不变 B.“屏占比”变小 C.“屏占比”变大 D.变化不确定 答案 C解析 根据题意，不妨设升级前该手机的手机屏幕面积为a ，整机面积为b ，b >a ，则升级前的“屏占比”为ab ，升级后的“屏占比”为a ＋m b ＋m ，其中m 为升级后增加的面积，因为a ＋m b ＋m －a b ＝m （b －a ）b （b ＋m ）>0，所以升级后“屏占比”变大，故选C.6.已知函数f (x )＝sin 4x －2cos 4x ，若对任意的x ∈R 都有f (x )≥f (x 0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π8＝( )A.0B. 5C.－ 5D.1答案 A解析 法一 由题意得f (x )＝sin 4x －2cos 4x ＝5sin(4x －φ)(其中tan φ＝2)， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π4＝π2.因为对任意的x ∈R ，都有f (x )≥f (x 0)，所以f (x )在x ＝x 0处取得最小值，又x 0＋14T ＝x 0＋π8，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π8，0是f (x )图象的一个对称中心，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π8＝0.法二 由题意可得f (x )＝sin 4x －2cos 4x ＝5sin(4x －φ)(其中tan φ＝2)，因为对任意的x ∈R ，都有f (x )≥f (x 0)，所以f (x )在x ＝x 0处取得最小值，于是4x 0－φ＝2k π－π2，k ∈Z ，则x 0＝k π2－π8＋φ4，k ∈Z ，所以x 0＋π8＝k π2＋φ4，k ∈Z ， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π8＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋φ4－φ＝5sin 2k π＝0.7.若曲线y ＝－x ＋1在点(0，－1)处的切线与曲线y ＝ln x 在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为( ) A.(e ，1) B.(1，0) C.(2，ln 2) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－ln 2 答案 D 解析 y ＝－x ＋1的导数为y ′＝－12x ＋1，可得曲线y ＝－x ＋1在点(0，－1)处的切线斜率为－12.设P (m ，ln m )，由y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，得曲线y ＝ln x 在点P 处的切线斜率为k ＝1m ，由两切线垂直可得1m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得m ＝12，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－ln 2.故选D.8.某地举办“迎建党100周年”乒乓球团体赛，比赛采用新斯韦思林杯赛制(5场单打3胜制，即先胜3场者获胜，比赛结束).现有两支球队进行比赛，前3场依次分别由甲、乙、丙和A 、B 、C 出场比赛.若经过3场比赛未分出胜负，则第4场由甲和B 进行比赛；若经过4场比赛仍未分出胜负，则第5场由乙和A 进行比赛.假设甲与A 或B 比赛，甲每场获胜的概率均为0.6；乙与A 或B 比赛，乙每场获胜的概率均为0.5；丙与C 比赛，丙每场获胜的概率均为0.5.各场比赛的结果互不影响.那么，恰好经过4场比赛分出胜负的概率为( ) A.0.24 B.0.25 C.0.38 D.0.5答案 C解析 记“恰好经过4场比赛分出胜负”“恰好经过4场比赛甲所在球队获胜”“恰好经过4场比赛A 所在球队获胜”分别为事件D ，E ，F ，则E ，F 互斥，且P (D )＝P (E )＋P (F ).若事件E 发生，则第4场比赛甲获胜，且前3场比赛甲所在球队恰有一场比赛失利，由于甲与A 或B 比赛每场获胜的概率均为0.6，乙与A 或B 比赛每场获胜的概率均为0.5，丙与C 比赛每场获胜的概率均为0.5，且各场比赛结果相互独立，所以甲所在球队恰好经过4场比赛获得胜利的概率P (E )＝0.6×(0.4×0.5×0.5＋0.6×C 12×0.5×0.5)＝0.24.若事件F 发生，则第4场比赛B 获胜，且前3场比赛A 所在球队恰有一场比赛失利，由于甲与A 或B 比赛每场获胜的概率均为0.6，乙与A 或B 比赛每场获胜的概率均为0.5，丙与C 比赛每场获胜的概率均为0.5，且各场比赛结果相互独立，所以A 所在球队恰好经过4场比赛获得胜利的概率P (F )＝0.4×(0.6×0.5×0.5＋0.4×C 12×0.5×0.5)＝0.14，所以P (D )＝P (E )＋P (F )＝0.38，故选C.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)9.已知(2x －a )9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9且展开式中各项系数和为39.则下列结论正确的是( ) A.a ＝1 B.a 0＝1C.a 2＝36D.a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝39＋12答案 ABD解析 令x －1＝t ，∴x ＝t ＋1，原展开式为(2t ＋2－a )9＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a 9t 9， 令t ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(4－a )9＝39， ∴a ＝1，故A 正确；∴(2t ＋1)9＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a 9t 9， 令t ＝0，得a 0＝1，故B 正确；(2t ＋1)9的展开式中含t 2的项为C 79(2t )2·17＝144t 2， ∴a 2＝144，故C 错误；令t ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＋a 9＝39，① 令t ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9＝－1，② ①－②2得，a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝39＋12，故D 正确.10.已知△PAB 中，AB ＝2，PA ＝PB ，C 是边AB 的中点，Q 为△PAB 所在平面内一点.若△CPQ 是边长为2的等边三角形，则AP →·BQ →的值可能是( )A.3＋ 3B.1＋ 3C.3－ 3D.1－ 3答案 BD解析 如图(1)，若点Q 与点B 在CP 的同侧，则AP →·BQ →＝(AC →＋CP →)·(BC→＋CQ →)＝AC →·BC →＋CP →·BC →＋AC →·CQ →＋CP →·CQ →＝－1＋0＋1×2×cos π6＋2×2×cos π3＝3＋1.如图(2)，若点Q 与点B 在CP 的异侧，则AP →·BQ →＝(AC →＋CP →)·(BC →＋CQ →)＝AC →·BC →＋CP →·BC →＋AC →·CQ →＋CP →·CQ →＝－1＋0＋1×2×cos 5π6＋2×2×cos π3＝ －3＋1.故选BD.11.下列选项中，是关于x 的不等式ax 2＋(a －1)x －2>0有实数解的充分不必要条件的是( ) A.a ＝0 B.a ≥－3＋2 2 C.a >0 D.a ≤－3－2 2答案 AC解析 设y ＝ax 2＋(a －1)x －2， 令ax 2＋(a －1)x －2＝0.当a >0时，显然y >0有实数解；当a ＝0时，y ＝－x －2，由y >0解得x <－2；当a <0时，若y >0有实数解，则需Δ＝(a －1)2＋8a ＝a 2＋6a ＋1>0，得a <－3－22或－3＋22<a <0.综上所述，当a >－3＋22或a <－3－22时，不等式ax 2＋(a －1)x －2>0有实数解.结合选项可知，a ＝0，a >0是不等式ax 2＋(a －1)x －2>0有实数解的充分不必要条件.12.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E ，F 分别是棱AB ，A 1B 1的中点，点P 在四边形ABCD 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是( ) A.若P 是线段BC 的中点，则平面AB 1P ⊥平面DEFB.若P 在线段AC 上，则D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2C.若PD 1∥平面A 1C 1E ，则点P 的轨迹的长度为 2D.若PF ∥平面B 1CD 1，则线段PF 长度的最小值为62 答案 AC解析 对于A ，如图1，P ，E 分别是线段BC ，AB 的中点，故△ABP ≌△DAE ，则∠PAB ＝∠ADE ，∠PAB ＋∠DEA ＝∠ADE ＋∠DEA ＝π2，所以AP ⊥DE .易知EF ⊥平面ABCD ，又AP ⊂平面ABCD ，所以EF ⊥AP ，又DE ∩EF ＝E ，从而AP ⊥平面DEF ，又AP ⊂平面AB 1P ，所以平面AB 1P ⊥平面DEF ，故A 正确.图1对于B ，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1∥AC ，所以D 1P 与A 1C 1所成的角为D 1P 与AC 所成的角.连接D 1A ，D 1C ，则△D 1AC 为正三角形，所以D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，故B 错误.对于C ，如图2，设平面A 1C 1E 与直线BC 交于点G ，连接C 1G ，EG ，则G 为BC 的中点，分别取AD ，DC 的中点M ，N ，连接D 1M ，MN ，D 1N ，易知D 1M ∥C 1G ，又D 1M ⊄平面A 1C 1E ，C 1G ⊂平面A 1C 1E ，所以D 1M ∥平面A 1C 1E .同理可得D 1N ∥平面A 1C 1E ，又D 1M ∩D 1N ＝D 1，所以平面D 1MN ∥平面A 1C 1E ，由此结合PD 1∥平面A 1C 1E ，可得直线PD 1⊂平面D 1MN ，所以点P 的轨迹是线段MN ，易得MN ＝2，故C 正确.图2对于D，如图3，取BB1的中点R，BC的中点G，DC的中点N，连接FN，因为FB1∥NC，FB1＝NC，所以四边形FB1CN为平行四边形，所以FN∥B1C，又FN⊄平面B1CD1，B1C⊂平面B1CD1，所以FN∥平面B1CD1.连接BD，NG，则NG∥BD，又BD∥B1D1，所以NG∥B1D1，又NG⊄平面B1CD1，B1D1⊂平面B1CD1，所以NG∥平面B1CD1.连接FR，GR，易知GR∥B1C，又B1C∥FN，所以GR∥FN，故F，N，G，R四点共面，所以平面FNGR∥平面B1CD1.因为PF∥平面B1CD1，所以PF⊂平面FNGR，所以点P的轨迹为线段NG.由AB＝2知，FN＝22，NG＝ 2.连接FB，FG，在Rt△FBG中，FG2＝FB2＋BG2＝(5)2＋1＝6，所以FG＝6，所以FN2＝NG2＋FG2，得∠FGN为直角，故线段FP长度的最小值为6，故D错误.故选AC.图3三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.请写出满足条件“f(x)≤f(1)对任意的x∈[0，1]恒成立，且f(x)在[0，1]上不是增函数”的一个函数：________.答案f(x)＝sin 5π2x(答案不唯一)解析 答案不唯一，如f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142，f (x )＝sin 5π2x 等.14.已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积是________. 答案 12解析 设椭圆C 的左焦点为F 1，连接PF 1，若|OP |＝|OF |，则点P 在以F 1F 为直径的圆上，所以PF 1⊥PF ，故S △OPF ＝12S △FPF 1＝12b 2tan π4＝12×1×1＝12. 15.如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，M 为AC 的中点.将△ABM 沿BM 折起到△PBM 的位置，当三棱锥P-BCM 体积最大时，三棱锥P-BCM 外接球的表面积为________.答案 5π解析 当三棱锥P-BCM 体积最大时，平面PBM ⊥平面BCM .如图，三棱锥P-BCM 为长方体的一角，故其外接球的半径R ＝MP 2＋MC 2＋MB 22＝52.外接球的表面积为4πR 2＝4×π×54＝5π.16.若∀x >0，不等式ln x ＋2＋a x ≥b (a >0)恒成立，则ba 的最大值为________. 答案 e 2解析 设f (x )＝ln x ＋2＋a x ，则f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2.因为a >0，所以当x ∈(0，a )时，f ′(x )＝x －a x 2<0，则函数f (x )单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＝x －ax 2>0，则函数f (x )单调递增.所以f (x )min ＝f (a )＝ln a ＋3≥b ，则b a ≤ln a ＋3a .令g (a )＝ln a ＋3a ，则g ′(a )＝1－ln a －3a 2＝－2＋ln aa 2.由g ′(a )＝0可得，a ＝e －2.所以当a ∈(0，e －2)时，g ′(a )＝－2＋ln aa2>0，则函数g (a )单调递增；当a ∈(e －2，＋∞)时，g ′(a )＝－2＋ln a a 2<0，则函数g (a )单调递减.所以g (a )max ＝g (e －2)＝ln e －2＋3e －2＝e 2，即ba 的最大值为e 2.。

【新结构】吉林市第一中学2024届高三高考适应性训练（二）数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.佛兰德现代艺术中心是比利时洛默尔市的地标性建筑，该建筑是一座全玻璃建筑，整体成圆锥形，它利用现代设计手法令空间与其展示的艺术品无缝交融，形成一个统一的整体，气势恢宏，美轮美央.佛兰德现代艺术中心的底面直径为8m，高为30m，则该建筑的侧面积为()A. B. C. D.3.已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为()A.24B.18C.12D.64.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为()A. B. C. D.6.已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为()A. B. C. D.7.已知为第一象限角，若函数的最大值是，则()A. B. C. D.8.在三棱锥中，平面平面PBC，和都是边长为的等边三角形，若M为三棱锥外接球上的动点，则点M到平面ABC距离的最大值为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知复数满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是()A. B.C.的最小值为3D.的最小值为310.已知，且是方程的两根，下列选项中正确的是()A. B.C. D.11.设三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：成立．我们把叫做基底，把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．已知三棱锥以A为坐标原点，以为x轴正方向，以为y轴正方向，以为z轴正方向，以同方向上的单位向量为基底，建立斜坐标系，则下列结论正确的是()A. B.的重心坐标为C.若，则D.异面直线AP与BC所成角的余弦值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

⾼三数学⾼考⼤题专项训练全套（15个专项）（典型例题）（含答案）1、函数与导数（1）2、三⾓函数与解三⾓形3、函数与导数（2）4、⽴体⼏何5、数列（1）6、应⽤题7、解析⼏何8、数列（2）9、矩阵与变换10、坐标系与参数⽅程11、空间向量与⽴体⼏何12、曲线与⽅程、抛物线13、计数原理与⼆项式分布14、随机变量及其概率分布15、数学归纳法⾼考压轴⼤题突破练 (⼀)函数与导数(1)1．已知函数f (x )＝a e xx＋x .(1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值；(2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极⼤值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2，∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1.∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线⽅程为 y －(a e ＋1)＝x －1，⼜直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1，解得a ＝－1e.(2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成⽴，函数在(－∞，0)上⽆极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成⽴，函数在(0,1)上⽆极值．⽅法⼀当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极⼤值f (x 0)，则x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0，则00000200201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ?> +> -+ = ?①②③由③得0e x a ＝－x 20x 0－1，代⼊②得－x 0x 0－1＋x 0>0，结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0e x a x ＋x 0>0，得a >－020e x x ，设h (x )＝－x 2e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ，当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数，∴a >h (x 0)>h (2)＝－4e2.⼜a <0，故当极⼤值为正数时，a ∈－4e 2，0，从⽽不存在负整数a 满⾜条件．⽅法⼆当x ∈(1，＋∞)时，令H (x )＝a e x (x －1)＋x 2，则H ′(x )＝(a e x ＋2)x ，∵x ∈(1，＋∞)，∴e x ∈(e ，＋∞)，∵a 为负整数，∴a ≤－1，∴a e x ≤a e ≤－e ，∴a e x ＋2<0，∴H ′(x )<0，∴H (x )在(1，＋∞)上单调递减．⼜H (1)＝1>0，H (2)＝a e 2＋4≤－e 2＋4<0，∴?x 0∈(1,2)，使得H (x 0)＝0，且当10，即f ′(x )>0；当x >x 0时，H (x )<0，即f ′(x )<0.∴f (x )在x 0处取得极⼤值f (x 0)＝0e x a x ＋x 0.(*)⼜H (x 0)＝0e x a (x 0－1)＋x 20＝0，∴00e x a x ＝－x 0x 0－1，代⼊(*)得f (x 0)＝－x 0x 0－1＋x 0＝x 0(x 0－2)x 0－1<0，∴不存在负整数a 满⾜条件．2．已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a >0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )(1)求函数f (x )的极值；(2)若g (x )＝xf ′(x )，且?x ∈[1,2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围．解 (1)∵函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，∴f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0或x 2＝2a ，∵a >0，∴x 1当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的极⼤值为f (0)＝1，极⼩值为f 2a ＝8a 2－12a 2＋1＝1－4a 2. (2)g (x )＝xf ′(x )＝3ax 3－6x 2，∵?x ∈[1,2]，使h (x )＝f (x )，∴f (x )≥g (x )在[1,2]上有解，即ax 3－3x 2＋1≥3ax 3－6x 2在[1,2]上有解，即不等式2a ≤1x 3＋3x在[1,2]上有解，设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1x3(x ∈[1,2])，∵y ′＝－3x 2－3x 4<0对x ∈[1,2]恒成⽴，∴y ＝1x 3＋3x 在[1,2]上单调递减，∴当x ＝1时，y ＝1x 3＋3x 的最⼤值为4，∴2a ≤4，即a ≤2.⾼考中档⼤题规范练 (⼀)三⾓函数与解三⾓形1．(2017·江苏宿迁中学质检)已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x ＋sin x ＋π4sin x －π4，x ∈R . (1)求f (x )的最⼩正周期和值域；(2)若x ＝x 00≤x 0≤π2为f (x )的⼀个零点，求sin 2x 0的值．解 (1)易得f (x )＝sin 2x ＋3sin 2x ＋12(sin 2x －cos 2x )＝1－cos 2x 2＋3sin 2x －12cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x ＋12＝2sin 2x －π6＋12，所以f (x )的最⼩正周期为π，值域为－32，52. (2)由f (x 0)＝2sin 2x 0－π6＋12＝0，得 sin 2x 0－π6＝－14<0，⼜由0≤x 0≤π2，得－π6≤2x 0－π6≤5π6，所以－π6≤2x 0－π6<0，故cos 2x 0－π6＝154，此时sin 2x 0＝sin 2x 0－π6＋π6 ＝sin 2x 0－π6cos π6＋cos 2x 0－π6sin π6 ＝－14×32＋154×12＝15－38.2．(2017·江苏南通四模)已知向量m ＝sin x 2，1，n ＝1，3cos x2，函数f (x )＝m ·n . (1)求函数f (x )的最⼩正周期；(2)若f α－2π3＝23，求f 2α＋π3的值．解 (1)f (x )＝m ·n ＝sin x 2＋3cos x2＝212sin x 2＋32cos x2＝2sin x 2cos π3＋cos x 2sin π3 ＝2sin x 2＋π3，所以函数f (x )的最⼩正周期为T ＝2π12＝4π.(2)由f α－2π3＝23，得2sin α2＝23，即sin α2＝13. 所以f 2α＋π3＝2sin α＋π2＝2cos α＝2?1－2sin 2α2＝149. 3．(2017·江苏南师⼤考前模拟)已知△ABC 为锐⾓三⾓形，向量m ＝cos A ＋π3，sin A ＋π3，n ＝(cos B ，sin B )，并且m ⊥n . (1)求A －B ；(2)若cos B ＝35，AC ＝8，求BC 的长．解 (1)因为m ⊥n ，所以m ·n ＝cos A ＋π3cos B ＋sinA ＋π3sin B＝cosA ＋π3－B ＝0. 因为0所以A ＋π3－B ＝π2，即A －B ＝π6.(2)因为cos B ＝35，B ∈0，π2，所以sin B ＝45，所以sin A ＝sin B ＋π6＝sin B cos π6＋cos B sin π6 ＝45×32＋35×12＝43＋310，由正弦定理可得BC ＝sin A sin B×AC ＝43＋3.4．(2017·江苏镇江三模)在△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )(sin A ＋sin C )＝(b －3c )sin B . (1)求⾓A ；(2)若f (x )＝cos 2(x ＋A )－sin 2(x －A )，求f (x )的单调递增区间．解 (1)由(a －c )(sin A ＋sin C )＝(b －3c )sin B 及正弦定理，得(a －c )(a ＋c )＝(b －3c )b ，即a 2＝b 2＋c 2－3bc . 由余弦定理，得cos A ＝32，因为06.(2)f (x )＝cos 2(x ＋A )－sin 2(x －A ) ＝cos 2x ＋π6－sin 2x －π6 ＝1＋cos 2x ＋π32－1－cos ?2x －π32＝12cos 2x ，令π＋2k π≤2x ≤2π＋2k π，k ∈Z ，得π2＋k π≤x ≤π＋k π，k ∈Z . 则f (x )的单调增区间为π2＋k π，π＋k π，k ∈Z .(⼆)函数与导数(2)1．设函数f (x )＝2(a ＋1)x (a ∈R )，g (x )＝ln x ＋bx (b ∈R )，直线y ＝x ＋1是曲线y ＝f (x )的⼀条切线． (1)求a 的值；(2)若函数y ＝f (x )－g (x )有两个极值点x 1，x 2. ①试求b 的取值范围；②证明：g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤1e 2＋12.解 (1)设直线y ＝x ＋1与函数y ＝f (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，y 0＝2(a ＋1)x 0，a ＋1x 0＝1，解得a ＝0. (2)记h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )＝2x －ln x －bx .①函数y ＝f (x )－g (x )有两个极值点的必要条件是h ′(x )有两个正零点． h ′(x )＝1x －1x－b ＝－bx ＋x －1x ，令h ′(x )＝0，得bx －x ＋1＝0(x >0)．令x ＝t ，则t >0.问题转化为bt 2－t ＋1＝0有两个不等的正实根t 1，t 2，等价于Δ＝1－4b >0，t 1t 2＝1b >0，t 1＋t 2＝1b>0，解得04.当04时，设h ′(x )＝0的两正根为x 1，x 2，且x 1则h ′(x )＝－bx ＋x －1x ＝－b (x －x 1)(x －x 2)x ＝－b (x －x 1)(x －x 2)x (x ＋x 1)(x ＋x 2).当x ∈(0，x 1)时，h ′(x )<0；当x ∈(x 1，x 2)时，h ′(x )>0；当x ∈(x 2，＋∞)时，h ′(x )<0.所以x 1，x 2是h (x )＝f (x )－g (x )的极值点，∴b 的取值范围是0，14. ②由①知x 1x 2＝x 1＋x 2＝1 b.可得g (x 1)＋g (x 2)＝－2ln b ＋1b －2，f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，所以g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)＝12－b ln b －b .记k (b )＝12－b ln b －b 0令k ′(b )＝0，得b ＝1e 2∈0，14，且当b ∈0，1e 2时，k ′(b )>0，k (b )单调递增；当b ∈1e 2，14时，k ′(b )<0，k (b )单调递减，且当b ＝1e 2时，k (b )取最⼤值1e 2＋12，所以g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤1e 2＋12.2．设函数f (x )＝2ax ＋bx＋c ln x .(1)当b ＝0，c ＝1时，讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝3x ＋3a －6且函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1解 (1)f (x )＝2ax ＋bx＋c ln x ，x >0，f ′(x )＝2a －b x 2＋c x ＝2ax 2＋cx －bx 2.当b ＝0，c ＝1时，f ′(x )＝2ax ＋1x. 当a ≥0时，由x >0，得f ′(x )＝2ax ＋1x >0恒成⽴，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <0时，令f ′(x )＝2ax ＋1x >0，解得x <－12a ；令f ′(x )＝2ax ＋1x <0，解得x >－12a，所以，函数f (x )在0，－12a 上单调递增，在－12a ，＋∞上单调递减．综上所述，①当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a <0时，函数f (x )在? 0，－12a上单调递增，在－12a ，＋∞上单调递减． (2)①函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝3x ＋3a －6，所以f (1)＝2a ＋b ＝3a －3，f ′(1)＝2a ＋c －b ＝3，所以b ＝a －3，c ＝－a ，f ′(x )＝2a －b x 2＋c x ＝2ax 2－ax ＋3－ax 2，函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1则⽅程2ax 2－ax ＋3－a ＝0有两个⼤于0的解，Δ＝(－a )2－8a (3－a )>0，a 2a >0，3－a2a >0，解得83所以a 的取值范围是83，3. ②2ax 22－ax 2＋3－a ＝0， x 2＝a ＋9a 2－24a 4a ＝141＋9－24a ，由832x 22－x 2－1.f (x 2)＝2ax 2＋a －3x 2－a ln x 2＝a 2x 2＋1x 2－ln x 2－3x 2 ＝－32x 2＋1x 2－ln x 22x 22－x 2－1－3x 2. 设φ(t )＝－32t ＋1t －ln t2t 2－t －1－3t，t ∈14，12，φ′(t )＝－32－1t 2－1t (2t 2－t －1)－2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2＋3t2 ＝－31t 2(2t 2－t －1)2＋32t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2＋3t 2＝32t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2. 当t ∈14，12时，2t ＋1t－ln t >0,4t －1>0，φ′(t )>0，所以φ(t )在14，12上单调递增，φ(t )∈163ln 2，3＋3ln 2，所以f (x 2)的取值范围是163ln 2，3＋3ln 2. (⼆)⽴体⼏何1．(2017·江苏扬州调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底⾯ABCD 为梯形，CD ∥AB ，AB ＝2CD ，AC 交BD 于O ，锐⾓△P AD 所在平⾯⊥底⾯ABCD ，P A ⊥BD ，点Q 在侧棱PC 上，且PQ ＝2QC .求证：(1)P A ∥平⾯QBD ； (2)BD ⊥AD .证明 (1)如图，连结OQ ，因为AB ∥CD ，AB ＝2CD ，所以AO ＝2OC . ⼜PQ ＝2QC ，所以P A ∥OQ . ⼜OQ ?平⾯QBD ，P A ?平⾯QBD ，所以P A ∥平⾯QBD .(2)在平⾯P AD 内过P 作PH ⊥AD 于点H ，因为侧⾯P AD ⊥底⾯ABCD ，平⾯P AD ∩平⾯ABCD ＝AD ，PH ?平⾯P AD ，所以PH ⊥平⾯ABCD .⼜BD ?平⾯ABCD ，所以PH ⊥BD .⼜P A ⊥BD ，P A ∩PH ＝P ，所以BD ⊥平⾯P AD . ⼜AD ?平⾯P AD ，所以BD ⊥AD .2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底⾯ABCD 是正⽅形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底⾯ABCD ，E 为PB 上⼀点，G 为PO 的中点．(1)若PD∥平⾯ACE，求证：E为PB的中点；(2)若AB＝2PC，求证：CG⊥平⾯PBD.证明(1)连结OE，由四边形ABCD是正⽅形知，O为BD的中点，因为PD∥平⾯ACE，PD?平⾯PBD，平⾯PBD∩平⾯ACE＝OE，所以PD∥OE. 因为O为BD的中点，所以E为PB的中点．(2)在四棱锥P－ABCD中，AB＝2PC，因为四边形ABCD是正⽅形，所以OC＝22AB，所以PC＝OC.因为G为PO的中点，所以CG⊥PO.⼜因为PC⊥底⾯ABCD，BD?底⾯ABCD，所以PC⊥BD.⽽四边形ABCD是正⽅形，所以AC⊥BD，因为AC，PC?平⾯P AC，AC∩PC＝C，所以BD⊥平⾯P AC，因为CG?平⾯P AC，所以BD⊥CG.因为PO，BD?平⾯PBD，PO∩BD＝O，所以CG⊥平⾯PBD.3．(2017·江苏怀仁中学模拟)如图，在四棱锥E－ABCD中，△ABD为正三⾓形，EB＝ED，CB＝CD.(1)求证：EC⊥BD；(2)若AB⊥BC，M，N分别为线段AE，AB的中点，求证：平⾯DMN∥平⾯BCE.证明(1)取BD的中点O，连结EO，CO.∵CD＝CB，EB＝ED，∴CO⊥BD，EO⊥BD.⼜CO∩EO＝O，CO，EO?平⾯EOC，∴BD⊥平⾯EOC.⼜EC?平⾯EOC，∴BD⊥EC.(2)∵N是AB的中点，△ABD为正三⾓形，∴DN⊥AB，∵BC⊥AB，∴DN∥BC.⼜BC?平⾯BCE，DN?平⾯BCE，∴DN∥平⾯BCE.∵M为AE的中点，N为AB的中点，∴MN∥BE，⼜MN?平⾯BCE，BE?平⾯BCE，∴MN∥平⾯BCE.∵MN∩DN＝N，∴平⾯DMN∥平⾯BCE.4．(2017·江苏楚⽔中学质检)如图，在三棱锥P－ABC中，点E，F分别是棱PC，AC的中点．(1)求证：P A∥平⾯BEF；(2)若平⾯P AB⊥平⾯ABC，PB⊥BC，求证：BC⊥P A.证明(1)在△P AC中，E，F分别是棱PC，AC的中点，所以P A∥EF.⼜P A?平⾯BEF，EF?平⾯BEF，所以P A∥平⾯BEF.(2)在平⾯P AB内过点P作PD⊥AB，垂⾜为D.因为平⾯P AB ⊥平⾯ABC ，平⾯P AB ∩平⾯ABC ＝AB ，PD ?平⾯P AB ，所以PD ⊥平⾯ABC ，因为BC ?平⾯ABC ，所以PD ⊥BC ，⼜PB ⊥BC ，PD ∩PB ＝P ，PD ?平⾯P AB ，PB ?平⾯P AB ，所以BC ⊥平⾯P AB ，⼜P A ?平⾯P AB ，所以BC ⊥P A .(三)数列(1)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝4，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知c n ＝2n ＋3(n ∈N *)，记d n ＝c n ＋log C a n (C >0且C ≠1)，是否存在这样的常数C ，使得数列{d n }是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由．(3)若数列{b n }，对于任意的正整数n ，均有b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n a 1＝12n －n ＋22成⽴，求证：数列{b n }是等差数列． (1)解 a 1＝4－a 1，所以a 1＝2，由S n ＋a n ＝4，得当n ≥2时，S n －1＋a n －1＝4，两式相减，得2a n ＝a n －1，所以a n a n －1＝12，数列{a n }是以2为⾸项，公⽐为12的等⽐数列，所以a n ＝22－n (n ∈N *)．(2)解由于数列{d n }是常数列， d n ＝c n ＋log C a n ＝2n ＋3＋(2－n )log C 2 ＝2n ＋3＋2log C 2－n log C 2＝(2－log C 2)n ＋3＋2log C 2为常数，则2－log C 2＝0，解得C ＝2，此时d n ＝7.(3)证明 b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n a 1 ＝12n －n ＋22，①当n ＝1时，b 1a 1＝12－32＝－1，其中a 1＝2，所以b 1＝－12.当n ≥2时，b 1a n －1＋b 2a n －2＋b 3a n －3＋…＋b n －1a 1＝12n －1－n ＋12，②②式两边同时乘以12，得b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n －1a 2＝12n －n ＋14，③由①－③，得b n a 1＝－n －34，所以b n ＝－n 8－38(n ∈N *，n ≥2)，且b n ＋1－b n ＝－18，⼜b 1＝－12＝－18－38，所以数列{b n }是以－12为⾸项，公差为－18的等差数列．2．在数列{a n }中，已知a 1＝13，a n ＋1＝13a n －23n ＋1，n ∈N *，设S n 为{a n }的前n 项和．(1)求证：数列{3n a n }是等差数列； (2)求S n ；(3)是否存在正整数p ，q ，r (p ""(1)证明因为a n ＋1＝13a n －23n ＋1，所以3n ＋1a n ＋1－3n a n ＝－2.⼜因为a 1＝13，所以31·a 1＝1，所以{3n a n }是⾸项为1，公差为－2的等差数列． (2)解由(1)知3n a n ＝1＋(n －1)·(－2)＝3－2n ，所以a n ＝(3－2n )13n ，所以S n ＝1·131＋(－1)·132＋(－3)·133＋…＋(3－2n )·13n ，所以13S n ＝1·132＋(－1)·133＋…＋(5－2n )·13n ＋(3－2n )·13n ＋1，两式相减，得23S n ＝13－2132＋133＋…＋13n －(3－2n )·13n ＋1＝13－219×1－13n －11－13＋(2n －3)·13n ＋1＝2n ·13n ＋1，所以S n ＝n3n .(3)解假设存在正整数p ，q ，r (p ""3q ＝p 3p ＋r 3r. 当n ≥2时，a n ＝(3－2n )13n<0，所以数列{S n }单调递减．⼜p ""①当q ≥3时，p 3p ≥q －13q －1≥2q 3q ，⼜r 3r >0，所以p 3p ＋r 3r >2q3q ，等式不成⽴．②当q ＝2时，p ＝1，所以49＝13＋r 3r ，所以r 3r ＝19，所以r ＝3({S n }单调递减，解惟⼀确定)．综上可知，p ，q ，r 的值为1,2,3.(三)应⽤题1．已知某⾷品⼚需要定期购买⾷品配料，该⼚每天需要⾷品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需⽀付运费236元．每次购买来的配料还需⽀付保管费⽤，其标准如下：7天以内(含7天)，⽆论重量多少，均按10元/天⽀付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克⽀付．(1)当9天购买⼀次配料时，求该⼚⽤于配料的保管费⽤P 是多少元？(2)设该⼚x 天购买⼀次配料，求该⼚在这x 天中⽤于配料的总费⽤y (元)关于x 的函数关系式，并求该⼚多少天购买⼀次配料才能使平均每天⽀付的费⽤最少？解 (1)当9天购买⼀次时，该⼚⽤于配料的保管费⽤ P ＝70＋0.03×200×(1＋2)＝88(元)．。

2025届安徽省庐江县部分示范高中高三综合测试（二）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，若12PF F ∆223，则双曲线的离心率为（ ） A 3B ．2C 5D ．33．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．32D ．14．已知向量(1,0)a =，(1,3)b =，则与2a b -共线的单位向量为( )A ．13,2⎛ ⎝⎭B ．13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．321⎫-⎪⎪⎝⎭或321⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ．13,2⎛⎝⎭或132⎛- ⎝⎭5．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．56⎛ ⎝⎦B ．5,15⎫⎪⎪⎣⎭ C ．250,5⎛ ⎝⎦D ．25,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭6．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ） A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②7．函数()()sin ωϕ=+f x x 的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．51,,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎦∈⎣B ．512,2,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦C ．51,,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦D ．512,2,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦8．,,a b αβαβ//////，则a 与b 位置关系是 ( ) A ．平行 B ．异面C ．相交D ．平行或异面或相交9．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ） A ．3B ．123C ．3D ．18310．复数1z 在复平面内对应的点为()22,3,2,z i =-+则12z z =（ ） A ．1855i -+ B ．1855i -- C ．815i -+D ．815i --11．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A 3B ．23C 2D ．112．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019届山西省高三考前适应性训练二(二模)数学(理)试题一、单选题1.已知集合［A -txlo 2!B ={X I X--X-2O}，则A.B —A . Ill v x v 2 } B. W 2 二 I：门C. GlO v x v 1 丨D . txl 「12}【答案】C【解析】解一元二次不等式求得集合B,然后求两个集合的交集•【详解】由疋4-X-2 (x + 2)(x-l) < €，解得-2-x<}，所以 A n B = to,l)|,故选 C.【点睛】本小题主要考查两个集合交集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2 .设命题P：m血「0. C B1-KO J，则片为A . 上0尼= 1 B. V x< < 1C . m别M W 1 D. 3xo< ①严-No < 1【答案】B【解析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，判断出正确选项【详解】原命题是特称命题，否定是全称命题，注意要否定结论，故本小题选 B.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定是全称命题，属于基础题•3 •已知向量卜环满足I- I '■•:卜：，则与的夹角为'JL川 2 DiA . 7 B.舌 C .码 D ..；【答案】A【解析】对两边平方，利用数量积的运算公式，求得两个向量的夹角【详解】对肚El = 两边平方得' 5 + b2- 3 ,即I +4 = 3,解得沁紅於=宙6> = J故选A.【点睛】本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，考查向量夹角的计算，属于基刍▼台=1 G > b > 0）的右焦点为F ，过F 作弋轴的垂线交椭圆 C 于A , B 两点，若△ OAB 是直角三角形（0为坐标原点），贝U C 的离心率为B .【答案】C【解析】根据题意得出两点的坐标，利用 M 页 •列方程，化简后求得椭圆的离【详解】础题•过作 轴的垂线交椭圆匕于卜/两点，故 ■B ,由于三角形加吋是直角三b 1角形，故西，即oXW = o ,也即（£?） ft ，化简得 c 4-3a 2c" 4 J = (J ,『一晁'+ l 二 0，解得 e 2 =— ，故选C. 【点睛】本小题主要考查直线与椭圆的交点， 考查椭圆离心率的计算，考查化归与转化的数学思 想方法，属于基础题• 5•下列函数中，既是奇函数，又在区间 （0, i ）内是增函数的是A • - - - I'- D • y = e s -c? x 【答案】D 【解析】根据函数的奇偶性和在 内的单调性，对选项逐一分析排除， 由此得出正确 选项• 【详解】 对于A 选项，由于函数的定义域为 ，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，排 除A 选项.对于B 选项，由于iW-泣/ f （xJ ，所以函数不是奇函数，排除 B 选项. 对于C 选项，眼熟y - sinZx 在G 刖上递增，在 选项不正确，故本小题选 D. 【点睛】上递减，排除C 选项.由于A,B,C 三个 本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查函数的定义域，属于基础题 6•如图1 ,已知正方体 ABCD-A i B i C i D i 的棱长为 2, M , N , Q 分别是线段 AD i , B i C , C i D i 上的动点，当三棱锥Q — BMN 的正视图如图 2所示时，此三棱锥俯视图的面积为4 •椭圆C :S2【解析】根据三棱锥的正视图确定QUMN的位置，由此画出俯视图并计算出俯视图的面积•【详解】由正视图可知，拥为一丄的中点，Ki":.两点重合，匕|是的中点.画出图像如下图所示, 三角形Q L BM I即是几何体）BMM的俯视图H = 2況2-片 K—* 1 K I-7、I x2 = ; .故£△』4选D.【点睛】本小题主要考查由三视图还原原图，考查俯视图面积的计算，考查空间想象能力，属于基础题.7 •执行如图所示的程序框图，则输出的：M直为1 JA 2 B.扌 C . 3 D . - J【答案】A【解析】运行程序，计算[寸的值，当.[J"时，输出的值•【详解】运行程序，i = = £, x =三】=2，判断否，崔==3，判断否，x • 3.i 4 ,判断否，x = ^.i = 5,判断否，周期为乩以此类推，兀=三1 =过17，判断否，兀=三1 = 2018，判断否，k=-2.] 2019,判断是，输出X = -2.故选A.【点睛】本小题主要考查计算循环结构程序框图输出结果，属于基础题&以正方体各面中心为顶点构成一个几何体, 从正方体内任取一点P，则P落在该几何体内的概率为【答案】C【解析】计算出题目所给几何体的体积，除以正方体的体积，由此求得相应的概率【详解】E GHIJ F，为正四棱锥•设正方体的边长为2，故画出图像如下图所示，几何体为GH 2，故 j 2「2& 1 4-，所以概率为3VE GHIJ FVABCD A, B1C1D11，故选C. 6【点睛】 本小题主要考查几何概型概率计算，考查椎体的体积计算，属于基础题9 .函数丫电〕一忧旅十切朋在 上的值域为【答案】B【解析】 利用特殊角的三角函数值，对选项进行排除，由此得出正确选项 【详解】由于孔0)= cosO--p?inC> -【，故排除 A,C 选项.由于K 兀)=c 俳丁申朝口兀=- 1，故排除 D 选 项•故本小题选B.【点睛】 本小题主要考查特殊角的三角函数值，考查三角函数的值域，属于基础题 £『 J I 10.双曲线>0左、右焦点为Fi , F2,直线y-y^b 与C 的右支相交于P , 若-：- I …「，则双曲线C 渐近线方程为A .CB .【答案】C【解析】求得p点的坐标，利用双曲线的定义求得I PF J,并由此列方程，解方程求得扌的值，进而求得的值，由此求得双曲线的渐近线方程.【详解】由，解得，根据双曲线的定有，双曲线的焦点慎如,故I PF J忑irF亠(¥?b)"-為，两边平方化简得kc I-4r(c-3 a" - 0，即4e2-4e -3 = 0,解得匚=£故- e2-l -:，所以:-牛，即双曲线的渐近线方程为丫 =土*, 故选C.【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查双曲线和直线交点坐标的求法，考查双曲线的渐近线方程的求法，属于中档题•11 •电子计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一•计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是位(bit) : 1位只能存放2种不同的信息：0或I，分别通过电路的断或通实现. 字节(Byte) 是更大的存储单位，1Byte=8bit，因此1字节可存放从00000000(2)至11111111(2共256种不同的信息.将这256个二进制数中，所有恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的所有数相加，则计算结果用十进制表示为A. 254B. 381C. 510 D . 765【答案】B【解析】将符合题意的二进制数列出，转化为十进制，然后相加得出结果【详解】恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的二进制数为1IOWOW ,110000 , HKX), 1100, 110, 11,共7个•转化为十进制并相加得(27 +沪)+ (严+刃+(23+刃+ G斗车卫1 +(2仃辺+(22+ ^0 + @ + 2°) ⑻，故选B.【点睛】本小题主要考查二进制转化为十进制，阅读与理解能力，属于基础题12 .函数代乂)二孑+訂長2x 2的零点个数是A . 0 B. 1 C. 2 D .与a 有关【答案】A【解析】禾U用导数求得函数的最小值，这个最小值为正数，由此判断函数没有零点・【详解】1256, 1346, 1356, 2346, 2356, 1456, 2456, 3456，共9种.令你 丸，解得* = In;,故函数rfx ）在（-皿；）上递减，在（听- *上递增，函数在x =吠 处取得极小值也即是最小值，t （ln ：） = I 十-21听-2 = -2访，由于｝＞2,故-诟、0 ,也 即是函数杠总|的最小值为正数，故函数卜扮|没有零点•故选A. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点问题， 考查利用导数研究函数的单调区间、极值和最值，综合性较强，属于中档题•二、填空题13 .如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为 数分别是卜..5\,则 -V ■■-【解析】 根据图像求得点 A,B 对应的复数，然后求|旧'%的值. 【点睛】本小题主要考查复数的减法运算，考查复数模的运算，考查复数与复平面内点的对应， 属于基础题.14 .某校高三（1）班，高三（2）班，高三（3）班分别有3人，2人，1人被评为该校 三好学 生”现需从中选出4人入选市级 三好学生”，并要求每班至少有 1人入选，则不同的 人选方案共有 ____ 种（用数字作答）. 【答案】9【解析】利用列举法列举出所有可能的方法数 •【详解】给学生编号，（1）班为】23〔，（2）班为丄5，（3）班为（3,则符合题意的选法为：1246,第7页共15页，侬）二宀,1,点A , B 对应的复【点睛】本小题主要考查利用列举法求解简单的排列组合问题111 1 115 -—------ 十 --------- + ------------- 十…十----------------------- =2 2.^4 2 十4 十& 21-4 + 6-18 2 + 4 + 6+301S ----------- ・【答案】誥【解析】先求得Z斗斗亠召斗…斗观的和，然后利用裂项求和法求得表达式的值•【详解】由于？十4十白十…十2n =匚\r""= n（Ti十］），而詁：D -》占，所以所求表达式I 11 11^1 10（H）］亍十亍彳十十11H0= 1 —1010 =【点睛】本小题主要考查等差数列前项和，考查裂项求和法，属于基础题•16 .已知四面体ABCD的四个顶点均在球O的表面上，AB为球O的直径，AB=4 ,AD=2 , BC=2逸，则四面体ABCD体积的最大值为___________ 。

珠海市2013年5月高三综合试题（二）理科数学本试卷共4页，21小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|12},{|0},A x x B x x =-≤-<=-≥则A B 等于 A ．{|02}x x ≤<B ． {|21}x x -<≤-C ．{|20}x x -<≤D ． {|10}x x -<≤2．设i 为虚数单位，则复数43ii+的虚部为 A ．－4 B ．－4i C ．4 D ．4i3．已知非零向量a ，b 满足a b ⊥ ，则函数()()()2f x ax bx R =+∈是A.偶函数B. 奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数4．设随机变量ξ服从正态分布),2(2σN ，若a c P =>)(ξ，则)4(c P ->ξ等于A. B.C. D.5．已知变量x y 、满足030330x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =-的值域是A ．[03]，B ．(03)，C ．3(3)2-， D ．3[3]2-， ks5u 6．已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线 A B C 77．如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积是 A 8．已知)(x f 是R 上的偶函数，2)0(=f ，若)(x f 的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，那么)9()7()5()3()1(f f f f f ++++的值为a 21-a a -1a 2第7题A ．1B ．0C ．-1D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是 ．10. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表。