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13.2 三角形全等的条件(HL)-

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13.2.1全等三角形及全等三角形的判定条件

13.2.1全等三角形及全等三角形的判定条件

提示：同学们可以结合
30°50°30° B
图形旋转的性质和全等 三角形的性质加以思考！
40°
C D
E
如图，△ABD≌△ACE，若∠ADB=100°，∠B=30°，请 求出△ACE中各角的大小。
解：∵ △ABD≌△ACE，
∴∠AEC= ∠ADB=1000 ， ∠C= ∠B=300， 又∵∠A+∠AEC+∠C=180° ∴∠A=1800∠AEC- ∠C =1800-1000-300=500
A
E B D C
全等三角形的判定条件
我们知道：若两个三角形的三条边与三个角都分别对 应相等，那么这两个三角形一定可以互相重合，即全等。
从刚刚的复习可以知道，六个元素（三条边、三个角）都要对应相等 ，两个三角形才会全等。能否再减少一些条件,找到更为简便的判定三角形 全等的方法？
思考：对两个三角形来说，六个元素（三条边、三个角）中
活动探究：请同桌分别画出一个三角形，使得它们有两个角 （ 45°， 60° ）或两条边（3cm ， 5cm ）或一角一边分别
对应相等（ 30°， 4cm ） ，观察所画的两个三角形能完全重 合（全等）吗？
问题：如果有两组元素对应相等，两个三角形一定全等吗？
小结：有两组元素对应相等，这两个三角形也不一定全等。
第13章
13.2.1
全等三角形
全等三角形 及全等三角形的判定条件
全等三角形
完成教材59页的“做一做”
一个三角形经过平移、旋转、翻折后所得到的三角形与原三角形完全重合.
•能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 D A
B C
记作： △ABC ≌△DEF
F E 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

直角三角形全等判定hl证明过程

直角三角形全等判定hl证明过程

直角三角形全等判定hl证明过程在几何学中，全等三角形是指具有相同边长和角度的两个三角形。

直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。

本文将通过证明过程来证明直角三角形的全等判定条件hl，即如果两个直角三角形的斜边和一个锐角边分别相等，则这两个三角形全等。

证明过程如下：假设有两个直角三角形ABC和DEF，其中∠A、∠D为直角。

已知AC = DF，BC = EF，AB = DE。

我们需要证明三角形ABC ≌ 三角形DEF。

证明步骤如下：步骤1：根据直角三角形的定义，我们知道∠A= ∠D = 90度。

步骤2：根据已知条件AC = DF，BC = EF，我们可以得到两个等式。

步骤3：根据三角形的边-角-边（SAS）全等定理，如果两个三角形的一对角度和它们对应的两对边分别相等，则这两个三角形全等。

步骤4：根据步骤1中的结论，我们知道∠A = ∠D = 90度。

根据步骤2中的已知条件，我们得到AC = DF，BC = EF。

步骤5：根据SAS全等定理，我们可以得出三角形ABC ≌ 三角形DEF。

通过以上步骤，我们证明了直角三角形的全等判定条件hl。

全等三角形的概念在几何学中非常重要，它可以帮助我们解决许多与三角形相关的问题。

在实际应用中，我们经常需要判断两个三角形是否全等，以便进行进一步的推导和计算。

通过掌握全等三角形的判定条件，我们可以更准确地分析和解决这类问题。

除了全等三角形的判定条件hl，还有其他几个全等三角形的判定条件，如SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）、ASA（角-边-角）等。

这些判定条件在不同的情况下具有不同的适用范围，我们需要根据具体的问题选择合适的判定条件。

在几何学中，证明是非常重要的一部分。

通过证明过程，我们可以推导出几何定理和公式，从而解决各种几何问题。

在证明过程中，我们需要运用各种几何知识和推理方法，如等式、等角、全等、相似等。

通过不断练习和思考，我们可以提高自己的证明能力，更深入地理解几何学的原理和概念。

直角三角形的全等判定方法hl

直角三角形的全等判定方法hl

直角三角形的全等判定方法hl
具体来说，假设有两个直角三角形ABC和DEF，其中∠BAC =
∠EDF = 90°。

如果这两个三角形满足以下条件：
1. 三角形ABC和DEF的斜边AB和DE相等，即AB = DE；
2. 三角形ABC和DEF的高BC和EF相等，即BC = EF。

那么根据直角三角形的全等判定方法hl，可以得出三角形ABC
和DEF是全等的。

这种全等判定方法hl的原理是基于直角三角形的性质和全等三
角形的定义。

直角三角形的斜边和高可以唯一确定一个直角三角形，因此当两个直角三角形的斜边和高分别相等时，这两个三角形就是
全等的。

需要注意的是，这种判定方法只适用于直角三角形，对于一般
的三角形，需要使用其他的全等判定方法，如SSS、SAS、ASA等。

综上所述，直角三角形的全等判定方法hl是利用斜边和高来判
定两个直角三角形是否全等，通过对斜边和高的相等性进行比较来判断三角形的全等关系。

hl定理是证明两个直角三角形全等的定理,

hl定理是证明两个直角三角形全等的定理,

hl定理是证明两个直角三角形全等的定理, 是的，HL定理是证明两个直角三角形全等的定理。

HL定理的内容是：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

HL定理的简写是“Hypotenuse-Leg”，其中H是斜边（Hypotenuse），L是直角边（Leg）。

这个定理是证明两个直角三角形全等的一种特殊判定方法，可以通过证明两个三角形的斜边和一条直角边对应相等来证明两个三角形全等。

它可以通过SSS （Side-Side-Side）或者SAS（Side-Angle-Side）等其他全等判定定理进行转换。

在证明两个直角三角形全等时，HL定理可以提供一种简单而有效的方法。

前提是一定要确保所比较的两个三角形都是直角三角形，否则这个定理不适用。

12.2直角三角形全等判定(HL)

12.2直角三角形全等判定(HL)

练习1：如图，AB=CD，AE ⊥BC，DF ⊥BC，
CE=BF.
求证AE=DF.
C
D
F
A
E
B
练习2：如图，C是路段AB的中点，两人从 C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线 行走，并同时到达D，E两地，DA⊥AB， EB⊥AB，D、E与路段AB的距离相等吗？ 为什么？ D 实际问题 数学问题 A C B E
判断两个直角三角形全等的方法有：
(1)： SSS ； (2)： SAS ；
(3)： ASA ； (4)： AAS ；
(5)： HL ；
如图，有两个长度相同的滑梯 ，左边滑梯的高度AC与右边滑 梯水平方向的长度DF相等，两 个滑梯的倾斜角∠ABC和 ∠DFE的大小有什么关系？
实际应用
AB =DE AC=DF ∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)
D
E F
通过刚才的探索，发现工作人员 的做法 是完全正确的。
把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整. A AC=DF (1) _______,∠A=∠D ( ASA )
BC=EF (SAS) (2) AC=DF,________ (3) AB=DE,BC=EF ( HL ) AB=DE ( HL ) (4) AC=DF, ______ (5) ∠A=∠D, BC=EF ( AAS ) B=∠E (6) ∠ ________,AC=DF ( AAS ) F E D C B
M B´
C N A´
∟ ∟
C´
直角三角形全等的判定
斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或“HL”.
在使用“HL”时,同学们应注意什么?
(1)“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.

hl判断三角形全等的条件

hl判断三角形全等的条件

hl判断三角形全等的条件HL判断三角形全等的条件在学习初中数学时，我们经常会接触到三角形和它们的性质。

其中一个重要的性质就是三角形的全等。

在几何学中，全等是指两个几何图形的形状和大小完全相同，它是几何学中最基本也是最重要的一种关系。

在判断三角形是否全等时，我们可以运用不同的方法，其中一种方法就是HL方法。

HL法是指三角形两侧分别相等，夹角相等，又或者是其中一边上的高线相等，那么这两个三角形就是全等的。

下面我们将详细讲解HL法判断三角形全等的条件。

1. 侧边和夹角相等在HL法中，两个三角形的侧边和夹角相等时，就可以判断它们是全等的。

具体来说，如果两个三角形的一条边和相邻的两个角分别和另一个三角形的一条边和相邻的两个角相等，那么这两个三角形就是全等的。

2. 一边上的高线相等在HL法中，如果两个三角形的一边上的高线相等，那么这两个三角形也是全等的。

一般情况下，高度指的是从底边垂直到高度所在的点的距离。

当两个三角形的一条边上的高线分别相等时，这两个三角形就可以看作是一个平行四边形的对角线。

在使用HL法判断两个三角形是否全等时，我们需要注意以下几点：1. 两个三角形必须具有相同的形状和大小，才能判断它们是全等的。

2. 在判断两个三角形是否全等时，需要充分考虑它们的各个方面，包括边和角的大小以及位置。

3. HL法只是判断三角形全等的一种方法，其他方法如SSS、SAS和ASA等也可以运用，但需要根据具体情况并结合题目要求使用。

综上所述，HL法可以帮助我们快速准确地判断三角形是否全等，而且其原理简单易懂，非常适合初学者掌握。

在学习三角形全等理论的同时，我们也需要多做练习，以加深对三角形全等的理解，提高运用判断方法的能力。

13.2 三角形全等的判定hl课件.ppt

3.能运用H.L解决一些实际问题.
1题：
①条件：AB=A′B′,AC=A′C′，理由：S.A.S
②条件：∠A= ∠ A′,AC=A′C′,理由：A.A.S
③条件： ∠ C= ∠ C′,AC=A′C′,理由： A.A.S
④条件：BC=B′C′, ∠ C= ∠ C′,理由：A.S.A
⑤2题条：件：AB=A完′预B′,成∠习导A=教∠学A材案′,理自由7：3主A-7.S预.5A 页习 ， 勾画重点部分， 斜边 一条直角边 H.L 斜边直角边 仔细看74页例7 直角 公共边 H.L
你得出的结论是？
结论1：当直一角个三直角角形三全角等形的的斜条边件和一直角边
确立后，直角三角形就确定了。
结论2：如果两个直角三角形的斜边和一条直 角边分别对应相等，那么这两个直角三角形 全等。简写成“斜边、直角边”或“H.L” 。
想一想
你能够用几种方法说明两个直角三角 形全等？
直角三角形是特殊的三角形，所以不 仅有一般三角形判定全等的方法:S.A.S、 A.S.A、A.A.S、S.S.S，还有直角三角形 特殊的判定方法——H.L。
议一议
∠ABC+∠DFE=90°
. 你能写出整个求证 过程吗？尝试着写 一写。
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF, AC=DF . ∴Rt△ABC≌Rt△DEF (H.L).
∴ ∠ABC=∠DEF (全等三角形对应角相等). ∵∠DEF+∠DFE=90°, ∴ ∠ABC+∠DFE=90°.
2、如图，RtABC中，直角边 BC 、 AC ，斜
边 AB 。
A
B
C
1-8小组各组合作完成：
教材74页做一做，将所给两条 线段长度改为6cm和9cm，将 图画在一张空白纸上(每小组至 少完成两幅图）

rt△全等判定定理 HL

rt△全等判定定理 HL
HL全等判定定理是三角形全等的一个重要条件。

如果两个三
角形的直角边（即与直角相对的边）和另一个相对的边（即不与直角相邻的那一边）全部相等，则这两个三角形全等。

具体来说，设∆ABC和∆DEF都是直角三角形，其中∠A=90°，∠D=90°，且有以下对应边相等：
AB=DE（直角边）
AC=DF（直角边）
BC=EF（相对边）
则有∆ABC≌∆DEF，即两个三角形全等。

HL全等判定定理比较容易理解和应用，但需要注意以下几点：
该定理只对直角三角形成立，不能用于一般三角形的全等判定。

直角边必须对应，否则该定理不成立。

该定理只是全等的一个判定条件，而不是全等的定义。

全等的定义包括SSS、SAS、ASA和AAS四种情形。

三角形全等的判定HL

详细描述
在两个三角形中，如果有三条边分别相等，那么这两个三角形必然是全等的。这 种判定方法通常称为“边边边”或“SSS”。在证明两个三角形全等时，如果已 知三条边都相等，那么可以确定这两个三角形全等。
边角边判定方法
总结词
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
详细描述
在两个三角形中，如果有两条边对应相等，并且这两条边的夹角也相等，那么这两个三角形必然是全等的。这 种判定方法通常称为“边角边”或“SAS”。在证明两个三角形全等时，如果已知两条边对应相等，并且它们 的夹角也相等，那么可以确定这两个三角形全等。
03
在三角形全等的判定中，平行线段判 定定理可以用来判断两个三角形是否 相似。如果两个三角形对应边上的高 相等，那么这两个三角形全等。此外 ，在几何学中，平行线段判定定理也 是非常重要的定理之一，可以用来判 断平行四边形、梯形等几何图形是否 具有平行性质。
中点判定定理
中点判定定理：如果一个中点到一条直线上任意两点的距离相等，那么这条直线上的所有 点到中点的距离都相等。
角平分线判定定理适用于确定某点到 角两边的距离。
在三角形全等的判定中，角平分线判 定定理可以用来确定两个三角形是否 相似。如果两个三角形对应角平分线 上的点到角两边的距离相等，那么这 两个三角形全等。此外，在几何学中 ，角平分线判定定理也是非常重要的 定理之一，可以用来证明某点到角两 边的距离相等。
03
应用举例
题目一：求证两个三角形全等
总结词
根据三角形全等的判定方法，我们可以证明两个三角形全等 。
详细描述
首先，我们需要确定两个三角形的对应边和对应角相等。然 后，我们可以选择适当的判定方法，如SSS、SAS、ASA、 AAS或HL，根据这些方法可以证明两个三角形全等。

第十三讲 三角形全等的判定定理4(HL)(含解析) (人教版)

第十三讲三角形全等的判定定理4（“HL”）【学习目标】1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．【新课讲解】知识点1：直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）1.文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）.2.几何语言：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC ≌ Rt△A′B′C′ (HL).方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．在直角三角形中，只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）【例题】如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD.【答案】见解析。

【解析】证明：∵ AC⊥BC， BD⊥AD，∴∠C与∠D都是直角.在Rt△ABC 和Rt△BAD 中，∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).∴ BC﹦AD.三角形全等的判定定理4问题新课程过关检测满分100分，答题时间60分钟一、选择题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）1.下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（）A. 两条直角边对应相等B. 斜边和一锐角对应相等C. 斜边和一直角边对应相等D. 两个直角三角形的面积相等【答案】D【解析】如果在两个直角三角形中，两条直角边对应相等，那么根据SAS即可判断两三角形全等，故选项A正确；如果如果在两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，那么根据AAS可判断两三角形全等，故选项B正确；如果如果在两个直角三角形中，斜边和一直角边对应相等，那么根据HL可判断两三角形全等，故选项C正确；如果两个直角三角形的面积相等，那么无法判定两个直角三角形全等，故D错误；故选：D．2．要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有( )①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等.A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】C【解析】根据全等三角形的判定，逐个分析即可.①有两条直角边对应相等;根据SAS，可判定两个直角三角形全等；②有两个锐角对应相等; 没有边，不能判定两个直角三角形全等；③有斜边和一条直角边对应相等; 根据HL，可判定两个直角三角形全等；④有一条直角边和一个锐角相等; 根据AAS，可判定两个直角三角形全等；⑤有斜边和一个锐角对应相等; 根据AAS，可判定两个直角三角形全等；⑥有两条边相等.边位置不确定，不能判定两个直角三角形全等.故选C3．如图，在∠AOB 的两边上，分别取OM=ON ，再分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则OP 平分∠AOB 的依据是（ ）A ．HLB ．SASC ．AASD ．SSS【答案】A 【解析】利用判定方法“HL ”证明Rt △OMP 和Rt △ONP 全等，进而得出答案．在Rt △OMP 和Rt △ONP 中，OM ON OP OP =⎧⎨=⎩， ∴Rt △OMP ≌Rt △ONP （HL ），∴∠MOP=∠NOP ，∴OP 是∠AOB 的平分线．故选择：A.4．如图，∠ACB=90°，AC=BC ．AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD=3，BE=1，则DE 的长是（ ）A ．B ．2C ．2D ．【答案】B ．【解析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB ≌△ADC ，就可以得出BE=DC ，就可以求出DE 的值．∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°．∵∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠DCA．在△CEB和△ADC中，，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE=DC=1，CE=AD=3．∴DE=EC﹣CD=3﹣1=25.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点 E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则 CH 的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】△AEH≌△CEB，EH=BE=3CE=AE=4CH=CE-HE=4-3=1二、填空题（每空4分，共28分）6．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是．【答案】AC=BC．【解析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC 可利用AAS判定△ADC≌△BEC．添加AC=BC，∵△ABC的两条高AD，BE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，∴∠EBC=∠DAC，在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC（AAS）7．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF，这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）．【答案】AB=ED．【解析】根据等式的性质可得BC=EF，根据平行线的性质可得∠B=∠E，再添加AB=ED可利用SAS判定△ABC ≌△DEF．添加AB=ED，∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，即BC=EF，∵AB∥DE，∴∠B=∠E，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）8.如图，，，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，，，，则________．【答案】7解析：，，，，在和中，≌，，，．故答案为7．9.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的关系是_______。

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13.2
三角形全等的条件（4）
1.我们知道,判定两个三角形全等的条件有哪些? 答 : SSS SAS AAS ASA 2.根据这些条件,对于两个直角三角形,除了直角相等的条件,还要 满足几个条件,这两个直角三角形就全等了? D A 仔细观察图(1)(2),知道再满足一边一 锐角对应相等,就可以用“AAS”或“ASA” 证全等了. 还有,再满足两直角边对应相等,也就 能用“SAS”证全等了.
A
﹕ ﹕ ﹕ ﹕ D
E
∴Rt△BDF≌△RtCDE(HL) BF=CE ∴ 在R△ADF和R△ADE中 AD=AD DF=DE
∴R△tADF≌Rt△ADE() ∴AF=AE ∴AF+BF=AE+EC,即AB=AC
B
C
小结: 有何收获? 三角形全等的证明共有几种方法 作业：作业本
C
所以BE⊥AC（垂直定义）
2.已知:在ABC中,D是BC中点,DF⊥AB,DE⊥AC,垂足 分别是F,E,DF=DE. 求证:AB=AC 证明:连 AD,∵DF⊥AB,DE⊥AC,∠AFD=∠BFD=90, ∴∠AED=∠CED=90 在Rt△BDF和Rt△CDE中, BD=CD DF=DE F
D
AE=AE
△ACB≌△ADB（SAS） ∴∴E=DE
2
练习 1已知：AD为ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有
BF=AC，FD=CD。求证 ∠BE⊥AC。 。 证明：AD⊥BC ∠BDA=∠ADC=90 ∠ 1+∠2=90（） A E 在Rt△BDF和△RtADC中 BF=AC F FD=CD 2 所以 Rt△BDF≌∠Rt△ADC（HL） 1 ＼ 所以∠2=∠C D 。 。 B 因为∠1+∠2=90 所以∠1+∠C=90 。 因为∠1+∠C+∠BEC=180 。 所以∠BEC=90
在Rt△ABC和RBAD(HL) BC=AD（全等三角形的对应边相等）
A
B
已知：∠ACB=∠ADB=90，AC=AD
求证：CE=DE
C
△
证明：在RT△ACB和RT△ADB中， AC=ADA AB=AB
E
B
∴RT△ACB≌RT△ADB（HL） ∴∠CAB=∠DAB 在△ACE和△ADE中， AC=AD ∠ CAB=∠DAB
2.在射线OM上取FE=BC. 3.以E为圆心,AC为半径画弧,交射线FN于D. 4.连接DE. N D
结论
斜边和一条直角边对应相等 的两个直角三角形相等(简写 成“斜边、直角”或“HL”)
A
B
C
F
E
M
例一 已知：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证BC=AD D C 证明：AC⊥BC，BD⊥AD， ∠C与∠D都是直角。
B (1)
C
E
问:如果满足斜边和一条直角边对应相 等,这两个直角三角形全等吗?
(2)
F
探究
。 任意画出一个Rt ∠ △ABC,使∠C=90, 再画一个Rt△DEF，使 EF=BC，DE=AC。把画好的Rt△DEF剪下，放到Rt△ABC上， 它们全等吗？ 画一个Rt∠△DEF，使EF=BC，DE=AB： 。 1.画∠MFN=90。