第二课时 定点、定值、探索性问题

专题研究（二）圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题专题概述：1.证明直线过定点，应根据已知条件建立直线方程中斜率k或截距b的关系式，此类问题中的定点多在坐标轴上；2•解决定值问题应以坐标运算为主，需建立相应的目标函数，然后代入相应的坐标运算，结果即可得到；3•无论定点或定值问题，都可先用特殊值法求出，然后再验证即可，这样可确定方向和目标；4•探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，贝加素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在.［专题讲解］题型一定点问题【典例1】（2019甘肃兰州模拟）已知椭圆C：a2+ ^2= 1（a>b>0）短轴的一个端点与其两个焦点构成面积为3的直角三角形.（1）求椭圆C的方程；⑵过圆E: x2+ y2= 2上任意一点P作圆E的切线I, I与椭圆C 交于A, B 两点，以AB为直径的圆是否过定点，若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由.［审题程序］第一步：待定系数法求C的方程；第二步：依据特殊情形确定定点；第三步：应用根与系数的关系，转化证明方向；第四步：计算推证.［规范解答］（1）因为椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成1 1 2直角三角形，所以b = c , S =㊁2c b = 2a = 3,所以 a=，6, b = , 3. x 2 y故椭圆C 的方程为§ + 3 = 1.(2)圆E 的方程为x 2 + y 2 = 2,设0为坐标原点，当直线I 的斜率不存在时，不妨设直线 AB 的方程为x = 2, 则 A(,2, 2), B(.2,—「2)，所以Z AOB =扌， 所以以AB 为直径的圆过坐标原点.当直线I 的斜率存在时，设其方程为y = kx + m , A(x i , y i ), B (X 2, y 2)•因为直线与相关圆相切， 所以 d =—^=爲=飞=J 2,所以 m 2 = 2 + 2k 2.p 1 + k 2 \l 1+ ky = kx + m ,联立方程组 x 2 y得 x 2 + 2(kx + m)2= 6,即(1 + 2k 2)x 2 + 〔石 +3 = 1,4kmx + 2m 2— 6 = 0,A= 16k 2m 2— 4(1 + 2k 2)(2m 2— 6)= 8(6k 2— m 2 + 3)=8(4k 2 + 1)>0,4km 1 + 2k 2,X1^ =由根与系数的关系得2m 2 — 6所以X1X2 + y〃2 = (1 + k )X1X2 + km(X1 + X2)+ m1 + k2 2m 2- 6 4k 2m 2 2 3m 2 — 6k 2— 6= --------- : -- —+ m = -------- : - = 0. 所以OA 丄OB ,所以以AB 为直径的圆恒过坐标原点 O.［答题模板］解决这类问题的答题模板如下:［题型专练］1. (2019 广东佛山一中第二次段考)椭圆C :肇+ £ = 1(a>b>0)1的离心率为刁 其左焦点到点P(2,1)的距离为10.(1) 与椭圆C 的标准方程；(2) 若直线I : y = kx + m 与椭圆C 相交于A , B 两点(A , B 不是左 右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线I 过定 点，并求出该定点的坐标.［解］(1)v 左焦点(—c,0)到点P(2,1)的距离为.石， —2+c 2+ 1= 10,解得 c = 1.又 e = a = 2，解得 a = 2,「・b 2= a 2 — c 2 = 3.一x 2 y 2m 2= 1+ 2k 21 + 2k2 1 + 2k 2定目标选参数建联系v确定与参数无关的点中即为所求.•••所求椭圆C的方程为：4 + 3 = 1.⑵证明：设 A(x i , y i ), B(X 2, y 2),y = kx + m由 x 2 y 得(3+ 4『)x 2 + 8mkx + 4(m 2 — 3) = 0,4 + 3 = 1A= 64m 2k 2— 16(3 + 4k 2)(m 2— 3)>0, 化简得3+ 4k 2>m 2.2 2y 〃2 = (kx i + m)(kx 2 + m)= k X 1X 2 + mk(x i + 血)+ m =•••以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0),kADkBD一2 X —2= — 1，：沁2 + X 1X 2 — 2(X 1 + X 2)+ 4= 0,3m2—4k 24 m 2—316mk •- 2+2+2+ 4= 0.3 + 4k 2 3+ 4k 2 3 + 4k 2化简整理得 7m 2 + 16mk + 4k 2= 0,解得 m 1 = — 2k , m 2 =—于, 且满足 3+ 4k 2 — m 2>0.当m = — 2k 时，I : y = k(x — 2),直线过定点(2,0)与已知矛盾； 2k ( 2) 2\当m = — y 时，I : y = k x — 7J,直线过定点J, 0J.(2综上可知，直线I 过定点，定点坐标为 J, 0 .—8km•・X l + X 2 2 3 + 4k 2x i x 2 = 4 m 2— 33+4k 23 m 2 —4k 23 + 4k 2题型二定值问题2 2【典例2] (2019北京石景山区一模)已知椭圆E:字+1(a>b>0)过点(0,1)，且离心率为守3.(1)求椭圆E的方程；1⑵设直线I: y= 2X+ m与椭圆E交于A, C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线I与x轴的交点为N,问B，N两点间的距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.［审题程序］第步：待定系数法求出椭圆方程；第二步：弦长公式求|AC|;第三步：求出中点M，利用勾股定理求出|BN|.［规范解答］(1)由题意可知，椭圆的焦点在x轴上，椭圆过点(0,1),则b= 1.由椭圆的离心率e= £= ... 1 —字=~2，解得a= 2,所以椭圆E 一x22的标准方程为+ y = 1.(2)设A(X1, y) C(X2, yj，线段AC 的中点为M(x。

第3课时 定点、定值、探索性问题【例1】 (1)求圆心M 的轨迹方程；(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．[解] (1)由题意，得点M 与点(0,1)的距离始终等于点M 到直线y ＝－1的距离，由抛物线定义知圆心M 的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，则p2＝1，p ＝2.∴圆心M 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)证明：由题知，直线l 的斜率存在，∴设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (－x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧ x 2＝4y ，y ＝kx －2，得x 2－4kx ＋8＝0，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8.k AC ＝y 1－y 2x 1＋x 2＝x 214－x 224x 1＋x 2＝x 1－x 24，则直线AC 的方程为y －y 1＝x 1－x 24(x －x 1)，即y ＝y 1＋x 1－x 24(x －x 1)＝x 1－x 24x －x 1(x 1－x 2)4＋x 214＝x 1－x 24x ＋x 1x 24.∵x 1x 2＝8，∴y ＝x 1－x 24x ＋x 1x 24＝x 1－x 24x ＋2，已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，O 的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．[解] (1)因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为(1,0)，所以p2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎝⎛⎭⎫t 24，t ，B ⎝⎛⎭⎫t 24，－t .因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t 24·－t t 24＝－12，化简得t 2＝32.所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立方程组⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b消去x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0.由根与系数的关系得y A y B ＝4bk ，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ·y B x B ＝－12，即x A x B ＋2y A y B ＝0，即y 2A 4·y 2B4＋2y A y B ＝0，解得y A y B ＝－32或y A y B ＝0(舍去)．所以y A y B ＝4bk ＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8)． 【例2】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1，过点A (2,0)，B (0,1)两点． (1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．[解] (1)由椭圆过点A (2,0)，B (0,1)知a ＝2，b ＝1.所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1，又c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆离心率e ＝c a ＝32.(2)证明：设P 点坐标为(x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4，由B 点坐标(0,1)得直线PB 方程为：y －1＝y 0－1x 0(x －0)，令y ＝0，得x N ＝x 01－y 0，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1，由A 点坐标(2,0)得直线P A 方程为y －0＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝2y 02－x 0，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2，所以S 四边形ABNM ＝12|AN |·|BM |＝12(2＋x 0y 0－1)(1＋2y 0x 0－2)＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42(x 0y 0－x 0－2y 0＋2)＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . 证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．[解] (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得 (2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM【例3】 如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )．又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2.解得a ＝2，b ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1.从而，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)]＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝(－2λ－4)k 2＋(－2λ－1)2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3.此时OA →·OB →＋λOA →·PB →＝－3为定值．②当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝→→→→(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解] (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎨⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎨⎧c ＝2.a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t .由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0. 因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得|t |94＋1＝4，解得t ＝±213. 由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在.(2017·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . [解] (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)． 由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1. 因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则 OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ， OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )． 由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1. 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .课后限时集训(五十一) (建议用时：60分钟) A 组 基础达标 1．(2019·湖北部分学校联考)已知椭圆D ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点，且|OA |＝|OF |，△AOF 的面积为1(其中O 为坐标原点)．(1)求椭圆D 的标准方程；(2)过椭圆D 长轴左端点C 作直线l 与直线x ＝2交于点M ，直线l 与椭圆D 的另一交点为P ，证明：OM →·OP →为定值．[解] (1)因为|OA |＝|OF |，所以b ＝c ，而△AOF 的面积为1，所以12bc ＝1，解得b ＝c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝4，所以椭圆D 的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题意可知直线MC 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x ＋2)，代入x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2－22k 2＋1，4k 2k 2＋1.又M (2,4k )，所以OM →·OP →＝(2,4k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2－22k 2＋1，4k 2k 2＋1＝4，为定值．2．(2019·东北三校联合模拟)已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且OA →·OB →＝－16，求证：直线AB 恒过定点． [解] (1)设P (x ，y )，则x 2＋(y －2)2＝(y ＋1)＋1⇒x 2＝8y . 所以E 的方程为x 2＝8y .(2)证明：易知直线AB 的斜率存在，设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将直线AB 的方程代入x 2＝8y 中，得x 2－8kx －8b ＝0，所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b .OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 2264＝－8b ＋b 2＝－16⇒b ＝4，所以直线AB 恒过定点(0,4)．3．(2019·湖南五市十校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为35，过左焦点F 且垂直于长轴的弦长为325.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P (m,0)为椭圆C 的长轴上的一个动点，过点P 且斜率为45的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，证明：|P A |2＋|PB |2为定值．[解] (1)由⎩⎨⎧e ＝c a ＝35，2b 2a ＝325，a 2＝b 2＋c 2，可得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝4，c ＝3，故椭圆C 的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)证明：设直线l 的方程为x ＝54y ＋m ，代入x 225＋y 216＝1， 消去x ，并整理得25y 2＋20my ＋8(m 2－25)＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－45m ，y 1y 2＝8(m 2－25)25，又|P A |2＝(x 1－m )2＋y 21＝4116y 21，同理可得|PB |2＝4116y 22.则|P A |2＋|PB |2＝4116(y 21＋y 22)＝4116[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2] ＝4116⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫－4m52－16(m 2－25)25＝41.所以|P A |2＋|PB |2是定值．B 组 能力提升1．(2019·邢台模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为25，离心率为32，圆E 的圆心在椭圆C 上，半径为2，直线y ＝k 1x 与直线y ＝k 2x 为圆E 的两条切线．(1)求椭圆C 的标准方程； (2)试问：k 1·k 2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．[解] (1)由2b ＝25得b ＝5，∵e ＝c a ＝32，∴c 2a 2＝34，∵a 2＝b 2＋c 2，∴a 2－5a 2＝34，解得a 2＝20，b 2＝5，∴椭圆C 的标准方程为x 220＋y 25＝1.(2)设E (x 0，y 0)，∵直线y ＝k 1x 与圆E ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝4相切， ∴|k 1x 0－y 0|k 21＋1＝2，整理得(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－4＝0， 同理可得(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－4＝0，∴k 1，k 2为方程(x 20－4)x 2－2x 0y 0x ＋y 20－4＝0的两个根，∴k 1k 2＝y 20－4x 20－4.又∵E (x 0，y 0)在椭圆C ：x 220＋y 25＝1上，∴y 20＝5⎝⎛⎭⎫1－x 2020，∴k 1k 2＝y 20－4x 20－4＝5⎝⎛⎭⎫1－x 2020－4x 20－4＝－14，故k 1k 2的定值为－14.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝22，短轴长为2 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过定点(与直线PQ 的斜率无关)？请证明你的结论．[解] (1)由短轴长为22，得b ＝2，由e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22， 得a 2＝4，b 2＝2.所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)以MN 为直径的圆过定点F (±2，0)． 证明如下：设P (x 0，y 0)，则Q (－x 0，－y 0)， 且x 204＋y 202＝1，即x 20＋2y 20＝4，因为A (－2,0)，所以直线P A 方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0＋2，直线QA 方程为y ＝y 0x 0－2(x ＋2)，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0－2，以MN 为直径的圆为(x －0)(x －0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2y 0x 0＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2y 0x 0－2＝0，即x 2＋y 2－4x 0y 0x 20－4y ＋4y 2x 20－4＝0，因为x 20－4＝－2y 20，所以x 2＋y 2＋2x 0y 0y －2＝0， 令y ＝0，则x 2－2＝0，解得x ＝±2.所以以MN 为直径的圆过定点F (±2，0)．第3课时定点、定值、探索性问题【例1】1相切．(1)求圆心M的轨迹方程；(2)动直线l过点P(0，－2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，O的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．定值问题【例2】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1，过点A (2,0)，B (0,1)两点． (1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . 证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．【例3】 如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．(·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .课后限时集训(五十一) (建议用时：60分钟) A 组 基础达标 1．(2019·湖北部分学校联考)已知椭圆D ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点，且|OA |＝|OF |，△AOF 的面积为1(其中O 为坐标原点)．(1)求椭圆D 的标准方程；(2)过椭圆D 长轴左端点C 作直线l 与直线x ＝2交于点M ，直线l 与椭圆D 的另一交点为P ，证明：OM →·OP →为定值．2．(2019·东北三校联合模拟)已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且OA →·OB →＝－16，求证：直线AB 恒过定点．3．(2019·湖南五市十校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为35，过左焦点F 且垂直于长轴的弦长为325.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P (m,0)为椭圆C 的长轴上的一个动点，过点P 且斜率为45的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，证明：|P A |2＋|PB |2为定值．B 组 能力提升1．(2019·邢台模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为25，离心率为32，圆E 的圆心在椭圆C 上，半径为2，直线y ＝k 1x 与直线y ＝k 2x 为圆E 的两条切线．(1)求椭圆C 的标准方程； (2)试问：k 1·k 2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．2．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝22，短轴长为2 2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线P A，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？请证明你的结论．。

考点11 定点、定值、探索性问题1. （15泰州一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，离心率为22的椭圆C ：22x a +22y b =1（a＞b ＞0）的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．若直线PQ 斜率为22时，PQ =23． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．第1题 JSY29【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题． 【解】（1）设002,2p x x ⎛⎫⎪⎪⎝⎭， ∵直线PQ 斜率为22时，PO =3，∴2200232x x ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，∴202x =，20212x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，∴22211a b+=， ∵2222c a b e a a -===，化为222a b =． 联立22222211a b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，∴2242ab ==，．∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． （2）以MN 为直径的圆过定点()2,0F ±．下面给出证明：设00P x y （，），则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即20024x y +=， ∵A （－2，0），∴直线PA 方程为：()0022y y x x =++， ∴0020,2y Mx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，直线QA 方程为：()0022y y x x =+-， ∴0020,2y N x ⎛⎫⎪-⎝⎭， 以MN 为直径的圆为()()00002200=022y y x x y y x x ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭即222000220044044x y y x y y x x +-+=--∵220042x y -=-， ∴220220x xy y y ++-=， 令y =0，220x -=，解得2x =±，∴以MN 为直径的圆过定点()2,0F ±．2. （15淮安市金湖中学高三上学期第一次学情检测数学试卷）已知椭圆E ：22184x y +=的左焦点为F ，左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心，圆C 恰好经过坐标原点O ，设G 是圆C上任意一点．（1）求圆C 的方程；（2）若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长；（3）在平面上是否存在一点P ，使得12GF GP =？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．【解】（1）∵a =22，b =2 ∴c =2∴左准线方程为x =2a c-=－4∴圆心为（－4，0）∵圆C 恰好经过坐标原点O 故半径为4∴圆C 的方程为22416x y ++=（）（2）由题意知，得G （－3，G y ），代入22416x y ++=（），得y =15±所以FG 的斜率为k =15±，FG 的方程为y =15±（x +2）所以C （－4，0）到FG 的距离d =152，直线FG 被圆C 截得弦长为215216()72-= 故直线FG 被圆C 截得弦长为7．（3）设P （s ，t ），G （00x y ，），则由12GF GP =，得22002200(2)12()()x y x s y t ++=-+-， 整理得222200003(162)2160x y s x ty s t +++++=()--①又G （00x y ，）在圆C ：22416x y ++=（）上，所以2200080x y x ++=② ②代入①得2200282160s x ty s t ++=（-）--又G （00x y ，）为圆C 上任意一点可知，2s －8=0，2t =0，22160s t =--解得s =4，t =0． 所以在平面上存在一点P ，其坐标为（4，0）．3. (15江阴市高三上学期月考数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：2234x y ++=（）和圆2C ：22444x y +=（-）（-）． （1）若直线l 过点A （4，－1），且被圆1C 截得的弦长为23，求直线l 的方程； （2）是否存在一个定点P ，使过P 点有无数条直线l 与圆1C 和圆2C 都相交，且l 被两圆截得的弦长相等，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．【解】（1）由于直线x =4与圆1C 不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y=k （x －4）－1，圆1C 的圆心到l 的距离为d ，则由2222(3)d =-得d =1由点到直线l 的距离公式得2711k d k+=+，从而k （24k +7）=0.所以k =0或724k =-，所以直线l 的方程为y =－1或7x +24y －4=0． （2）假设存在，设点P 的坐标为P （a ，b ），l 的方程为y －b =k （x －a ），因为圆C 1和圆C 2的半径相等，被l 截得的弦长也相等，所以圆1C 和圆2C 到l 的距离相等，即2234411k b akk b akk k -+--+-=++，整理得：2147814328160a k a b k b ++=(-)-(-)-，因为k 的个数有无数多个，所以14708143208160a a b b -=⎧⎪+-=⎨⎪-=⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩综上所述，存在满足条件的定点P ，且点P 的坐标为1(,2)2P ．4. (15江阴市高三上学期月考数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=（a＞b ＞0）的右准线为直线l ，动直线y =kx +m （k ＜0，m ＞0）交椭圆于A ，B 两点，线段AB的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于P ，Q 两点，如图．若A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点，上顶点时，点Q 的纵坐标为1e（其中e 为椭圆的离心率），且OQ =5OM ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）如果OP 是OM ，OQ 的等比中项，那么mk是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．JSY102 第4题图【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【解】（1）椭圆E ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右准线为直线l ，动直线y =kx +m （k ＜0，m ＞0）交椭圆于A ，B 两点，当A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点和上顶点时， 则A （a ，0），B （0，b ），∵线段AB 的中点为M ，∴M （,22a b）． 射线OM 分别交椭圆及直线l 于P ，Q 两点，∴Q （21,a c e），由O ，M ，Q 三点共线， 得21be aa c=，化简，得b =1． ∵OQ =5OM ，∴252a c a =，化简，得2a =5c ．由222125a b c b a c⎧=+⎪=⎨⎪=⎩，解得2254a c ==， ∴椭圆E 的标准方程为225x y +=1. （2）把y =kx +m ，（k ＜0，m ＞0），代入225x y +=1，得 2225110550k x mkx m +++=（）-．当∆＞0，22510k m +-＞时，2551M mk x k =-+，251Mmy k =+， 从而点M （225,5151mk mk k -++）． ∴直线OM 的方程y =15x k-． 由221515y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2222551P k x k =+．∵OP 是OM ，OQ 的等比中项，∴2OP OM OQ =⋅， 从而22252(51)P M Q mkx x x k ==-+．由2222525512(51)k mkk k =-++，得m =－2k ，从而2m k =-，满足∆＞0． ∴mk为常数－2．JSY103 第4题图5. （15南京师大附中高三上学期12月月考数学试卷）已知抛物线D 的顶点是椭圆C ：2211615x y +=的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线D 的方程；(2)过椭圆C 右顶点A 的直线l 交抛物线D 于M 、N 两点． ①若直线l 的斜率为1，求MN 的长；②是否存在垂直于x 轴的直线m 被以MA 为直径的圆E 所截得的弦长为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【解】(1)由题意，可设抛物线方程为y 2=2px (p ＞0)．由a 2﹣b 2=4﹣3=1，得c =1． ∴抛物线的焦点为(1，0)， ∴p =2．∴抛物线D 的方程为24y x =． (2)设M (1x ，1y )，N (2x ，2y )． ①直线l 的方程为：y =x ﹣4，联立244y x y x=-⎧⎨=⎩，整理得：212160x x -+=， 12121216x x x x +==，．∴2212122[()4]2(12416)410MN x x x x =+-=⨯-⨯=．②设存在直线m ：x =a 满足题意，则圆心114(,)22x y E +， 过E 作直线x =a 的垂线，垂足为F ，设直线m 与圆E 的一个交点为G ．可得：222FG EG FE =-，即222222111(4)4()42x y x FG EA FE a -++=-=-- 22221111(4)(4)1(4)44x x y a x a --+=+++- 2211114(4)(3)4x x a x a a x a a =-++-=-+-，当a =3时，23FG =，此时直线m 被以MA 为直径的圆M 所截得的弦长恒为定值23． 因此存在直线m ：x =3满足题意．6. （15南京市湖滨中学高三上学期10月学情检测数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为22，右顶点为A ，直线BC 过原点O ，且点B 在x 轴上方，直线AB 与AC 分别交直线l ：x =a +1于点E 、F ． （1）若点B (2,3)，求△ABC 的面积；（2）若点B 为动点，设直线AB 与AC 的斜率分别为1k 、2k ．①试探究：1k ·2k 是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由； ②求△AEF 的面积的最小值．Abc7第6题图【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用．【解】（1）由题意得2222212231b a a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2a =22b =8，则△ABC 的面积S =1223262AOB S a =⨯⨯⨯=△； （2）①1k ·2k 为定值，下证之：证明：设B （0x ，0y ），则C （－0x ，－0y ），且2200221x y a b +=，而20001222000y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==-+-220222220(1)x b b a x a a -=-- 由（1）得2a =8，2b =4，所以1k ·2k =12-； ②设直线AB 的方程为y =1k （x －a ），直线AC 的方程为y =2k （x －a ）， 令x =a +1得，E y =1k ，F y =2k ，则△AEF 的面积2111=122AEF S EF k k ⨯⨯=-△， 因为点B 在x 轴上方，所以1k ＜0，2k ＞0， 由1k ·2k =12-得2112112()2222AEF S k k k k =-⨯-=△≥（当且仅当2k =－1k 时等号成立） 所以，△AEF 的面积的最小值为22． 7. （15南通市如东县栟茶高级中学高三上学期第二次学情调研）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A 、B ，且四边形1F A 2F B 是边长为2的正方形．(1)求椭圆的方程；(2)若C 、D 分别是椭圆长的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD ，连接CM ，交椭圆于点P ．证明：OM OP ⋅为定值．(3)在(2)的条件下，试问x 轴上是否存异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．第7题图 FGQ61【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【解】(1)a =2，b =c ，222a b c =+，∴22b =；∴椭圆方程为22142x y +=. (2)C (-2，0)，D (2，0)，设M (2，0y )，P (x 1，y 1)，则11()OP x y = ，,0(2)OM y =，直线CM ：0(2)4y y x =+，即00142y y x y =+，代入椭圆方程2224x y +=， 得222200011(1)40822y x y x y +++-= ∵22000112220004(8)2(8)812888y y y x y y y y --=-=-⇒=+++ ∴20022002(8)8(,)88y y OP y y -=-++ ∴2220002220004(8)84324888y y y OP OM y y y -+⋅=-+==+++ (定值) (3)设存在Q (m ，0)满足条件，则MQ ⊥DP0(2,)MQ m y =-- ,200220048(,)88y yDP y y =-++ 则由22002200480(2)088y y MQ DP m y y ⋅=⇒---=++ ，从而得m =0.∴存在Q (0，0)满足条件.8．（15宿迁市沭阳县银河学校高三上学期开学试卷）设椭圆方程22x a +22y b=1（a ＞b ＞0），椭圆上一点到两焦点的距离和为4，过焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，AB =2． （1）求椭圆方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上的点，且直线OM 与ON 的斜率之积为12-，是否存在动点P （0x ，0y ），若OP =OM +2ON，有20x +220y 为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【解】（1）因为2a =4，所以，a =2，∵过焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，AB =2．∴由椭圆的对称性知，椭圆过点（c ，1），即22114c b+=， 且2c =4－2b ，解得2b =2， 椭圆方程为22142x y +=．（2）存在这样的点P （0x ，0y ）． 设M （1x ，1y ），N （2x ，2y ）， 则OM ON k k ⋅=1212y y x x ⋅=12-，化简为12x x +212y y =0，∵M ，N 是椭圆C 上的点，∴2211142x y +=，2222142x y +=， 由OP =OM +2ON ，得01201222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，∵22002x y +=212(2)x x ++2212(2)y y +=（22112x y +）+4（22222x y +）+4（12x x +212y y ）=4+4×4+0=20， 即存在这样的点P （0x ，0y ）．9. （15南京一中等五校联考）已知椭圆C ： 22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为55，短轴长为4， 1F 、2F 为椭圆左、右焦点，点B 为下顶点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 00(,)x y 是椭圆C 上第一象限的点．①若M 为线段1BF 上一点，且满足6PO OM =⋅，求直线OP 的斜率；②设点O 到直线1PF 、2PF 的距离分别为1d 、2d ，求证： 0012y yd d +为定值，并求出该定值．第9题图 RNN-11【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【解】（1）由题意知，2b =4，∴b =2，又∵55c e a ==，且222a b c =+，解得：a =5，c =1，∴椭圆C 的标准方程为22154x y +=； （2）①由（1）知：B （0，-2），1F （-1，0），∴1BF ：y =-2x -2 设M （t ，-2t -2），由6PO OM =⋅ ，得 00626(1)x ty t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩代入椭圆方程得： 2266(1)15t t ++=， ∴23660250t t ++=，∴2(65)0t +=，∴t =56-，∴M （56-，13-） ∴OM 的斜率为25，即直线OP 的斜率为25； ②由题意， 1PF ： 00(1)1y y x x =++，即000(1)0y x x y y -++= ∴012200(1)y d y x =++，同理可得：022200(1)y d y x =+-∴0012y y d d +=1PF +2PF =2a =25.10．(2015·合肥模拟)已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b +=>>的离心率63e =,A ,B 是椭圆T 上两点,N (3,1)是线段AB 的中点,线段AB 的垂直平分线与椭圆T 相交于C ,D 两点. (1)求直线AB 的方程.(2)是否存在这样的椭圆,使得以CD 为直径的圆过原点O ?若存在,求出该椭圆方程;若不存在,请说明理由.【解】(1)由离心率63e =,可得椭圆222:3(0)T x y a a +=>, 设1122(,),(,)A x y B x y ,直线AB 的方程为y =k (x -3)+1,代入2223x y a +=, 整理得2222(31)6(31)3(31)0k x k k x k a +--+--=.①2224(31)3(31)0a k k ⎡⎤∆=+-->⎣⎦,②1226(31)31k k x x k -+=+,由N (3,1)是线段AB 的中点,得122x x +=3.解得k =-1,代入②得,2a >12, 直线AB 的方程为y -1=-(x -3),即x +y -4=0. (2)因为CD 垂直平分AB ,所以直线CD 的方程为y -1=x -3,即x -y -2=0,代入椭圆方程,整理得22412120x x a -+-=. 又设3344(,),(,)C x y D x y ,所以23434123,4a x x x x -+==,234344(2)(2)4a y y x x -=--=,假设存在这样的椭圆,使得以CD 为直径的圆过原点O ,则34340x x y y +=得2a =8, 又2a >12,故不存在这样的椭圆.11.已知椭圆E 的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴,且抛物线2x =42-y 的焦点是它的一个焦点,又点A (1,2)在该椭圆上.(1)求椭圆E 的方程.(2)若斜率为2的直线l 与椭圆E 交于不同的两点B ,C ,当△ABC 的面积最大时,求直线l 的方程.【解】(1)由已知得抛物线的焦点为(0,2-),故设椭圆方程为22221(2)2y x a a a +=>-. 将点A (1,2)代入方程得22211(2)2a a a +=>-, 整理得42540a a -+=,解得2a =4或2a =1(舍去),故所求椭圆方程为22142y x +=. (2)设直线l 的方程为y =2x +m ,B ,C 的坐标分别为11(,)x y ,22(,)x y ,由222,1,42y x m y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得2242240x mx m ++-=,则222816(4)8(8)0m m m ∆=--=->, 所以0≤2m <8.由12x x +=22m -, 21244m x x -=, 得212316232m BC x x ⋅-=-=.又点A 到BC 的距离为3m d =,故22(162)124ABCm m S BC d -=⋅=△ ≤2212(162)2242m m +-⋅=,当且仅当22m =16-22m ,即m =±2时取等号.当m =±2时,满足0≤2m <8. 故直线l 的方程为22y x =±.12．已知椭圆M : 22163x y +=,直线x +y 3-=0交椭圆M 于A ,B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12.C ,D 为椭圆M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线满足CD ⊥AB ,则四边形ACBD 面积的最大值为 . 【答案】863. 【分析】因为CD ⊥AB ,直线AB 的方程为x +y 3-=0,所以可设直线CD 的方程为y =x +m ,将x +y 3-=0代入22163x y +=得, 23430x x -=,不妨设A (0,3),B 433,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,所以|AB |=463;将y =x +m 代入22163x y +=得, 2234260x mx m ++-=,设C 33(,)x y ,D 44(,)x y ,则|CD |=22343442()493x x x x m ⨯+-=-，又221612(26)m m ∆=-->0,即-3<m <3,所以当m =0时,|CD |取得最大值4,所以四边形ACBD 面积的最大值为12|AB |·|CD |=863. 13.如图,椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12,其左焦点到点P (2,1)的距离为10,不过原点O 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,且线段AB 被直线OP 平分.第13题图 RNN-22(1)求椭圆C 的方程.(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程.【解】(1)左焦点(c -,0)到点P (2,1)的距离为2(2)+1=10c +,解得c =1.又离心率为12,可得24a =,则23b =,所以椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)由题意可知,直线l 不垂直于x 轴,故可设直线l :y =kx +m ,交点1122(,),(,)A x y B x y ,由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得222(43)84120k x kmx m +++-=,所以21212228412,,4343km m x x x x k k -+=-=++121226()2,43m y y k x x m k +=++=+ 所以AB 的中点为2243,4343kmm k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭, 而直线OP :y =12x ,可得2343m k +=2243km k -+，解得k =32-,即直线l :y =32-x +m . |AB |=2121291()44x x x x +⋅+- =132·22222644(43)(412)43k m k m k -+-+ =213·222123943k m k -++=2133636m -. 而点P (2,1)到直线l :y =32-x +m 的距离为d =8213m -, 所以△ABP 的面积为S =12|AB |·d =236312m -·|8-2m |=243636m m --=223(12)(4)6m m --其中m ∈(23-,0) (0,23),令f (m )=(12-2m )(4-m )2,m ∈ (23-，0) (0, 23),则2()4(26)(4)f m m m m '=--- =4(17)(17)(4)m m m ---+-,所以当且仅当m =17-时,f (m )取得最大值,即S 取得最大值, 此时直线l :3x +2y +272-=0.14.如图,椭圆E : 22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为1F ,右焦点为2F ,离心率e =12.过1F 的直线交椭圆于A ,B 两点,且△2ABF 的周长为8.第14题图 RNN-23(1)求椭圆E 的方程.(2)设动直线l :y =kx +m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ,且与直线x =4相交于点Q .试探究:在坐标平面内是否存在定点M ,使得以PQ 为直径的圆恒过点M ?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.【解】(1)因为|AB |+|2AF |+|2BF |=8, 即|1AF |+|1F B |+|2AF |+|2BF |=8, 又|1AF |+|2AF |=|1BF |+|2BF |=2a , 所以4a =8,a =2. 又因为e =12,即c a =12,所以c =1, 所以b =22a c -=3.故椭圆E 的方程是22143x y +=. (2)由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(43)84120k x kmx m +++-=.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (00,x y ), 所以m ≠0且Δ=0,即2222644(43)(412)0k m k m -+-=, 化简得22430k m -+=.(*) 此时0002443,43km k x y kx m k m m=-=-=+=+, 所以P 43,k m m ⎛⎫-⎪⎝⎭. 由4,,x y kx m =⎧⎨=+⎩得Q (4,4k +m ).假设平面内存在定点M 满足条件,由图形对称性知,点M 必在x 轴上.设M (1x ,0),则MP MQ ⋅=0对满足(*)式的m ,k 恒成立.因为MP =143,k x mm ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,MQ =(14x -,4k +m ),由MP MQ ⋅=0,得21114161243kx k kx x m m m-+-+++=0, 整理,得2111(44)430k x x x m-+-+=.(**)由于(**)式对满足(*)式的m ,k 恒成立,所以1211440,430,x x x -=⎧⎨-+=⎩解得1x =1.故存在定点M (1,0),使得以PQ 为直径的圆恒过点M .。

第二课时 定点、定值、探索性问题考点一 定点问题【例1】 (2020·兰州一模)设M 点为圆C ：x 2＋y 2＝4上的动点，点M 在x 轴上的投影为N .动点P 满足2PN →＝3MN →，动点P 的轨迹为E . (1)求E 的方程；(2)设E 的左顶点为D ，若直线l ：y ＝kx ＋m 与曲线E 交于A ，B 两点(A ，B 不是左、右顶点)，且满足|DA →＋DB →|＝|DA →－DB →|，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标.解 (1)设点M (x 0，y 0)，P (x ，y )，由题意可知N (x 0，0)， ∵2PN →＝3MN →，∴2(x 0－x ，－y )＝3(0，－y 0)， 即x 0＝x ，y 0＝23y ， 又点M 在圆C ：x 2＋y 2＝4上，∴x 20＋y 20＝4，将x 0＝x ，y 0＝23y 代入得x 24＋y 23＝1，即轨迹E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知D (－2，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，Δ＝(8mk )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝16(12k 2－3m 2＋9)＞0， 即3＋4k 2－m 2＞0，∴x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4（m 2－3）3＋4k 2.y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－12k23＋4k 2.∵|DA→＋DB →|＝|DA →－DB →|，∴DA →⊥DB →，即DA →·DB →＝0，即(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝0， ∴4m 2－123＋4k 2＋2×－8mk 3＋4k 2＋4＋3m 2－12k 23＋4k 2＝0， ∴7m 2－16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝2k ，m 2＝27k ，且均满足3＋4k 2－m ＞0. 当m ＝2k 时，l 的方程为y ＝kx ＋2k ＝k (x ＋2)， 直线恒过点(－2，0)，与已知矛盾；当m ＝27k 时，l 的方程为y ＝kx ＋27k ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋27，直线恒过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，0.∴直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，0.规律方法 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【训练1】 (2020·湖南三湘名校联考)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ≥1)的离心率为22，其上焦点到直线bx ＋2ay －2＝0的距离为23. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.试探究以线段AB 为直径的圆是否过定点.若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由. 解 (1)由题意得，e ＝c a ＝22，又a 2＝b 2＋c 2， 所以a ＝2b ，c ＝b . 又|2ac －2|4a 2＋b 2＝23，a ＞b ≥1，所以b ＝1，a 2＝2，故椭圆C 的方程为y 22＋x 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，以线段AB 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2＝169. 当AB ⊥y 轴时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1. 可得两圆交点为Q (－1，0).由此可知， 若以线段AB 为直径的圆恒过定点，则该定点为Q (－1，0). 下证Q (－1，0)符合题意. 设直线l 的斜率存在，且不为0， 其方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13，代入y 22＋x 2＝1，并整理得(k 2＋2)x 2－23k 2x ＋19k 2－2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 23（k 2＋2），x 1x 2＝k 2－189（k 2＋2），所以QA →·QB →＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13k 2(x 1＋x 2)＋1＋19k 2＝(1＋k 2)·k 2－189（k 2＋2）＋⎝⎛⎭⎪⎫1－13k 2·2k 23（k 2＋2）＋1＋19k 2＝0， 故QA→⊥QB →，即Q (－1，0)在以线段AB 为直径的圆上.综上，以线段AB 为直径的圆恒过定点(－1，0). 考点二 定值问题【例2】 (2019·洛阳高三统考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，其焦点为F ，O 为坐标原点，直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，M 为AB 的中点. (1)若p ＝2，M 的坐标为(1，1)，求直线l 的方程.(2)若直线l 过焦点F ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求证：2|MN |2|FN |为定值. (1)解 由题意知直线l 的斜率存在且不为0， 故设直线l 的方程为x －1＝t (y －1) 即x ＝ty ＋1－t ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎨⎧x ＝ty ＋1－t ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4＋4t ＝0， ∴Δ＝16t 2＋16－16t ＝16(t 2－t ＋1)＞0，y 1＋y 2＝4t ， ∴4t ＝2，即t ＝12.∴直线l 的方程为2x －y －1＝0.(2)证明 ∵抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，∴焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.由题意知直线l 的斜率存在且不为0，∵直线l 过焦点F ，故设直线l 的方程为x ＝ty ＋p2(t ≠0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋p 2y 2＝2px ，得y 2－2pty －p 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2pt ，Δ＝4p 2t 2＋4p 2＞0.∴x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋p ＝2pt 2＋p ，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫pt 2＋p 2，pt .∴MN 的方程为y －pt ＝－t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －pt 2－p 2.令y ＝0，解得x ＝pt 2＋3p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫pt 2＋3p 2，0，∴|MN |2＝p 2＋p 2t 2，|FN |＝pt 2＋3p 2－p2＝pt 2＋p ，∴2|MN |2|FN |＝2（p 2＋p 2t 2）pt 2＋p＝2p ，为定值.规律方法 圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法 (1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值. (2)两大解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②引起变量法：其解题流程为变量→选择适当的动点坐标或动线中系数为变量 ↓函数→把要证明为定值的量表示成上述变量的函数 ↓定值→把得到的函数化简，消去变量得到定值【训练2】 (2020·昆明诊断)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为13，左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为椭圆C 上一点，AF 2⊥F 1F 2，且|AF 2|＝83. (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C 的一条切线l ：y ＝kx ＋m 与l 1，l 2分别交于M ，N 两点，求证：∠MF 1N 为定值.(1)解 由AF 2⊥F 1F 2，|AF 2|＝83，得b 2a ＝83.又e ＝c a ＝13，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝9，b 2＝8，故椭圆C 的标准方程为x 29＋y 28＝1.(2)证明 由题意可知，l 1的方程为x ＝－3，l 2的方程为x ＝3.直线l 分别与直线l 1，l 2的方程联立得M (－3，－3k ＋m )，N (3，3k ＋m )， 所以F 1M →＝(－2，－3k ＋m )，F 1N →＝(4，3k ＋m )， 所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2.联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 28＝1，y ＝kx ＋m ，得(9k 2＋8)x 2＋18kmx ＋9m 2－72＝0.因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝(18km )2－4(9k 2＋8)(9m 2－72)＝0， 化简得m 2＝9k 2＋8.所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2＝0， 所以F 1M →⊥F 1N →，故∠MF 1N 为定值π2. 考点三 探索性问题【例3】 (2019·广州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个端点为P ，△PF 1F 2内切圆的半径为b3，设过点F 2的直线l 与被椭圆C 截得的线段为RS ，当l ⊥x 轴时，|RS |＝3. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)在x 轴上是否存在一点T ，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于x 轴对称？若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)由内切圆的性质，得12×2c ×b ＝12×(2a ＋2c )×b 3，得c a ＝12. 将x ＝c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，所以2b 2a ＝3. 又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝3， 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 垂直于x 轴时，显然x 轴上任意一点T 都满足TS 与TR 所在直线关于x 轴对称.当直线l 不垂直于x 轴时，假设存在T (t ，0)满足条件，设l 的方程为y ＝k (x －1)，R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2). 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，①其中Δ>0恒成立，由TS 与TR 所在直线关于x 轴对称，得k TS ＋k TR ＝0(显然TS ，TR 的斜率存在)， 即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0.② 因为R ，S 两点在直线y ＝k (x －1)上， 所以y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，代入②得 k （x 1－1）（x 2－t ）＋k （x 2－1）（x 1－t ）（x 1－t ）（x 2－t ）＝k [2x 1x 2－（t ＋1）（x 1＋x 2）＋2t ]（x 1－t ）（x 2－t ）＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，③ 将①代入③得8k 2－24－（t ＋1）8k 2＋2t （3＋4k 2）3＋4k 2＝6t －243＋4k 2＝0，④则t ＝4，综上所述，存在T (4，0)，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于x 轴对称. 规律方法 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论. 【训练3】 (2020·重庆调研)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其左、右焦点分别为F 1(－2，0)及F 2(2，0)，过点F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D ，E 两点，且|AF 1|，|F 1F 2|，|AF 2|构成等差数列.(1)求椭圆C 的方程.(2)记△GF 1D 的面积为S 1，△OED (O 为坐标原点)的面积为S 2.试问：是否存在直线AB ，使得S 1＝S 2？请说明理由.解 (1)∵|AF 1|，|F 1F 2|，|AF 2|构成等差数列， ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝2|F 1F 2|＝8，∴a ＝4. 又c ＝2，∴b 2＝12， ∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在直线AB ，使得S 1＝S 2，显然直线AB 不能与x ，y 轴垂直.设AB 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ≠0)，将其代入x 216＋y 212＝1，整理得(4k 2＋3)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－16k 23＋4k 2，∴点G 的横坐标为x 1＋x 22＝－8k 23＋4k 2，∴G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 23＋4k 2，6k 3＋4k 2.∵DG ⊥AB ，∴6k 3＋4k 2－8k 23＋4k 2－x D ×k ＝－1，解得x D ＝－2k 23＋4k 2，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 23＋4k 2，0. ∵Rt △GDF 1和Rt △ODE 相似，∴若S 1＝S 2， 则|GD |＝|OD |， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 23＋4k 2－－2k 23＋4k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 3＋4k 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k 23＋4k 2，整理得8k 2＋9＝0. ∵方程8k 2＋9＝0无解，∴不存在直线AB ，使得S 1＝S 2.A 级 基础巩固一、选择题1.(2019·石家庄模拟)已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM →|＝1，且OM →·PM →＝0，则当|PM →|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( ) A.95B.125C.4D.5解析 由OM →·PM →＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值，当|OP |取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x ±3y ＝0，∴所求的距离d ＝125. 答案 B2.直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，且满足k 1k 2＝23，则直线l 过定点( ) A.(－3，0) B.(0，－3) C.(3，0)D.(0，3)解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为k 1k 2＝23，所以y 1x 1·y 2x 2＝23.又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，所以y 1y 2＝6.设直线l ：x ＝my ＋b ，代入抛物线C ：y 2＝2x 得y 2－2my －2b ＝0，所以y 1y 2＝－2b ＝6，得b ＝－3，即直线l 的方程为x ＝my －3，所以直线l 过定点为(－3，0). 答案 A3.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点，则k 1·k 2的值为( ) A.2B.3C. 3D. 6解析 由题意知，e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝2⇒b 2＝3a 2，则双曲线方程可化为3x 2－y 2＝3a 2，设A (m ，n )，M (x 0，y 0)(x 0≠±m )，则B (－m ，－n )，k 1·k 2＝y 0－n x 0－m ·y 0＋n x 0＋m ＝y 20－n2x 20－m 2＝3x 20－3a 2－3m 2＋3a2x 20－m 2＝3.答案 B4.已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线左支上任一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( ) A.1B.2C.4D.12解析 如图所示，延长F 1H 交PF 2于点Q ，由PH 为∠F 1PF 2的平分线及PH ⊥F 1Q ，可知|PF 1|＝|PQ |，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2，从而|QF 2|＝2，在△F 1QF 2中，易知OH 为中位线，故|OH |＝1.答案 A5.已知抛物线M ：y 2＝4x ，过抛物线M 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，且交抛物线的准线于点E .若AE →＝2BE →，则直线l 的斜率为( ) A.3B.2 2C. 3D.1解析 分别过A ，B 两点作AD ，BC 垂直于准线，垂足分别为D ，C ， 由AE→＝2BE →，得B 为AE 的中点，∴|AB |＝|BE |， 则|AD |＝2|BC |，由抛物线的定义可知|AF |＝|AD |，|BF |＝|BC |， ∴|AB |＝3|BC |，∴|BE |＝3|BC |，则|CE |＝22|BC |， ∴tan ∠CBE ＝|CE ||CB |＝22，∴直线l 的斜率k ＝tan ∠AFx ＝tan ∠CBE ＝2 2. 答案 B 二、填空题6.若双曲线x 2－y2b 2＝1(b ＞0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________. 解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ，则有|0－2|1＋b 2≥1，解得b 2≤3，则e 2＝1＋b 2≤4，∵e ＞1，∴1＜e ≤2. 答案 (1，2]7.(2020·东北三省四校模拟)已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM→＝0，则|PM →|的最小值是________. 解析 ∵PM →·AM→＝0，∴AM →⊥PM →. ∴|PM→|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1， ∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP →|min ＝2，∴|PM →|min ＝ 3. 答案 38.(2019·湘中名校联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足F A →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k AC ＋1k BC＝________. 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由F A →＋FB →＋FC →＝0，得y 1＋y 2＋y 3＝0.因为k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2p y 1＋y 2，所以k AC ＝2p y 1＋y 3，k BC ＝2p y 2＋y 3，所以1k AB ＋1k AC ＋1k BC ＝y 1＋y 22p ＋y 3＋y 12p ＋y 2＋y 32p ＝0.答案 0三、解答题9.(2019·全国Ⅰ卷)已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB |＝4，⊙M 过点A ，B 且与直线x ＋2＝0相切.(1)若A 在直线x ＋y ＝0上，求⊙M 的半径.(2)是否存在定点P ，使得当A 运动时，|MA |－|MP |为定值？并说明理由.解 (1)因为⊙M 过点A ，B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线x ＋y ＝0上，且A ，B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y ＝x 上，故可设M (a ，a ).因为⊙M 与直线x ＋2＝0相切，所以⊙M 的半径为r ＝|a ＋2|.连接MA ，由已知得|AO |＝2.又MO ⊥AO ，故可得2a 2＋4＝(a ＋2)2，解得a ＝0或a ＝4.故⊙M 的半径r ＝2或r ＝6.(2)存在定点P (1，0)，使得|MA |－|MP |为定值.理由如下：设M (x ，y )，由已知得⊙M 的半径为r ＝|x ＋2|，|AO |＝2.由于MO ⊥AO ，故可得x 2＋y 2＋4＝(x ＋2)2, 化简得M 的轨迹方程为y 2＝4x .因为曲线C ：y 2＝4x 是以点P (1，0)为焦点，以直线x ＝－1为准线的抛物线，所以|MP |＝x ＋1.因为|MA |－|MP |＝r －|MP |＝x ＋2－(x ＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P .10.(2020·合肥质检)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若椭圆E 的离心率为22，△ABF 2的周长为4 6.(1)求椭圆E 的方程；(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB 的直线交椭圆E 于点C ，D ，设弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，证明：O ，M ，N 三点共线.(1)解 由题意知，4a ＝46，a ＝ 6.又e ＝22，∴c ＝3，b ＝3，∴椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)证明 当直线AB ，CD 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M ，N 在x 轴上，O ，M ，N 三点共线，当直线AB ，CD 的斜率存在时，设其斜率为k ，且设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 213＝1，x 226＋y 223＝1，两式相减，得x 216＋y 213－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 226＋y 223＝0， ∴x 21－x 226＝－y 21－y 223，（x 1－x 2）（x 1＋x 2）6＝－（y 1－y 2）（y 1＋y 2）3，∴y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－36，y 1－y 2x 1－x 2·y 0x 0＝－36， 即k ·k OM ＝－12，∴k OM ＝－12k .同理可得k ON ＝－12k ，∴k OM ＝k ON ，∴O ，M ，N 三点共线.B 级 能力提升11.(2019·成都诊断)设点Q 是直线l ：x ＝－1上任意一点，过点Q 作抛物线C ：y 2＝4x 的两条切线QS ，QT ，切点分别为S ，T ，设切线QS ，QT 的斜率分别为k 1，k 2，F 是抛物线的焦点，直线QF 的斜率为k 0，则下列结论正确的是( )A.k 1－k 2＝k 0B.k 1k 2＝2k 0C.k 1－k 2＝2k 0D.k 1＋k 2＝2k 0解析 设点Q (－1，t )，由过点Q 的直线y －t ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x 相切，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y －t ＝k （x ＋1），整理得k 2x 2＋2(k 2＋kt －2)x ＋(k ＋t )2＝0，则Δ＝4(k 2＋kt －2)2－4k 2(k ＋t )2＝0，化简得k 2＋tk －1＝0.显然k 1，k 2是关于k 的方程k 2＋tk －1＝0的两个根，所以k 1＋k 2＝－t .又k 0＝－t 2，故k 1＋k 2＝2k 0.答案 D12.(2020·郑州模拟)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝6(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A.1723 B.3 C.338 D.3132解析 设直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 与x 轴的交点为M (m ，0)，将x ＝ty ＋m 代入y 2＝x ，可得y 2－ty －m ＝0，则y 1·y 2＝－m .∵OA →·OB →＝6，∴x 1x 2＋y 1y 2＝6，从而(y 1y 2)2＋y 1y 2－6＝0.∵点A ，B 位于x 轴的两侧，∴y 1y 2＝－3，故m ＝3.不妨令点A 在x 轴上方，则y 1＞0，又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，∴S △ABO ＋S AFO ＝12×3×(y 1－y 2)＋12×14y 1＝138y 1＋92y 1≥29×1316＝3132，当且仅当138y 1＝92y 1，即y 1＝61313时，取“＝”，∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3132，故选D.答案 D13.若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP→的最小值为________. 解析 点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，依题意得左焦点F (－1，0)，∴OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP→＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x 29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234. ∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152，∴94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤2254， ∴14≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤22536，∴6≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234≤12，即6≤OP →·FP →≤12，故最小值为6. 答案 614.(2020·沈阳高三质检)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，M (－2，y 0)是C 上一点，且|MF |＝2.(1)求C 的方程.(2)过点F 的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作抛物线C 的切线l 1，l 2，两条切线相交于点P ，点P 关于直线AB 的对称点为Q ，判断四边形P AQB 是否存在外接圆？如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由.解 (1)根据题意知，4＝2py 0，①因为|MF |＝2，所以y 0＋p 2＝2.②联立①②，解得y 0＝1，p ＝2.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)四边形P AQB 存在外接圆.由(1)知F (0，1)，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入x 2＝4y 中，得x 2－4kx －4＝0，Δ＝16(k 2＋1)＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝4(k 2＋1).因为C ：x 2＝4y ，即y ＝x 24，所以y ′＝x 2，因此切线l 1的斜率k 1＝x 12，切线l 2的斜率k 2＝x 22.所以k 1k 2＝x 1x 24＝－1，所以P A ⊥PB ，即△P AB 是直角三角形，所以△P AB 的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是外接圆的直径，由于点Q 与点P 关于直线AB 对称，所以点Q 一定在△P AB 的外接圆上，即四边形P AQB 存在外接圆.又|AB |＝4(k 2＋1)，所以当k ＝0时，线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.C 级 创新猜想15.(多选题)如图，由抛物线y 2＝8x 与圆E ：(x －2)2＋y 2＝9的实线部分构成图形Ω，过点P (2，0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB |的取值可能为( )A.4B.5C.6D.7 解析 由题意可知抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2，0)，圆(x －2)2＋y 2＝9的圆心为E (2，0)，因此点P ，F ，E 重合，所以|P A |＝3.设B (x 0，y 0)，则由抛物线的定义可知|PB |＝x 0＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，（x －2）2＋y 2＝9得(x －2)2＋8x ＝9，整理得x 2＋4x －5＝0，解得x 1＝1，x 2＝－5(舍去)，设圆E 与抛物线交于C ，D 两点，所以x C ＝x D ＝1，因此0≤x 0≤1，又|AB |＝|AP |＋|BP |＝3＋x 0＋2＝x 0＋5，所以|AB |＝x 0＋5∈[5，6]，故选BC.答案 BC。

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解与训练专题56定点、定值、探索性问题考点知识要点1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2.了解圆锥曲线的简单应用．3.理解数形结合的思想.重点难点突破【题型一】定点问题【典型例题】已知双曲线T1：的离心率为，若抛物线的焦点到双曲线T1的渐近线的距离为．已知点E（2，0）为抛物线T2内一定点，过E作两条直线交抛物线T2于A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点．（Ⅰ）求抛物线T2的方程；（Ⅱ）若k AB+k CD＝2，证明：直线MN过定点．【再练一题】已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）与椭圆C2：1有一个相同的焦点，过点A（2，0）且与x轴不垂直的直线l与抛物线C1交于P，Q两点，P关于x轴的对称点为M．（1）求抛物线C1的方程；（2）试问直线MQ是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．思维升华圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．【题型二】定值问题【典型例题】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点F2与抛物线y2＝4x的焦点重合，且其离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN中点为P，问k MN•k OP（O为坐标原点）是否为定值？请说明理由．【再练一题】已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）与椭圆C：有相同的焦点F，且两曲线相交于点，过F作斜率为k（k≠0）的动直线l，交椭圆C于M，N两点．（Ⅰ）求抛物线E和椭圆C的方程；（Ⅱ）若A为椭圆C的左顶点，直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：为定值，并求出该定值．思维升华圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．【题型三】探索性问题【典型例题】已知圆A：x2+y2+2x﹣15＝0和定点B（1，0），M是圆A上任意一点，线段MB的垂直平分线交MA于点N，设点N的轨迹为C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线y＝k（x﹣1）与曲线C相交于P，Q两点，试问：在x轴上是否存在定点R，使当k变化时，总有∠ORP＝∠ORQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．【再练一题】已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若P ，Q 的中点为N ，在线段OF 2上是否存在点M （m ，0），使得MN ⊥PQ ？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，说明理由． 思维升华 解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．基础知识训练1．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月高考冲刺模拟】椭圆C:22221x y a b+=(a>b>0)的左、右焦点分别为12,F F 32F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点M （0，-1），直线l 经过点N （2，1）且与椭圆C 相交于A,B 两点（异于点M ），记直线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，证明12k k + 为定值，并求出该定值.2．【北京市昌平区2019年高三年级第二次统一练习】已知椭圆()222210x y G a b a b +=：＞＞的离心率为32，经过点B （0，1）．设椭圆G 的右顶点为A ，过原点O 的直线l 与椭圆G 交于P ，Q 两点（点Q 在第一象限），且与线段AB 交于点M ． （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得△BOP 的面积是△BMQ 的面积的3倍？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．3．【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三)】已知点()1,0F ，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设直线y kx b =+与轨迹C 交于两点，()11,A x y 、()22,B x y ，且12y y a -= (0a >，且a 为常数)，过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ，连接AD 、BD .试判断ABD ∆的面积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由4．【2019年湖北省武汉市高考数学(5月份)】如图，O 为坐标原点，椭圆22221x y C a b=+=（0a b >>）的焦距等于其长半轴长，,M N 为椭圆C 的上、下顶点，且||23MN =（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,1P 作直线l 交椭圆C 于异于,M N 的,A B 两点，直线,AM BN 交于点T ．求证：点T 的纵坐标为定值3．5．【广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，()2,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且0AC BC ⋅=，||2||OC OB AB BC -=+． （1）求椭圆的标准方程；（2）设P 、Q 为椭圆上不重合的两点且异于A 、B ，若PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴，问是否存在实数λ，使得PQ AB =λ？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ 的长．6．【湖南省桃江县第一中学2019届高三5月模拟考试】已知曲线G 上的点到点(1,0)F 的距离比它到直线3x =-的距离小2.（1）求曲线G 的方程.（2）是否存在过F 的直线l ，使得l 与曲线G 相交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A '，且A BF '∆的面积等于4？若存在，求出此时直线l 的方程；若不存在，请说明理由.7．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试（一)】已知椭圆C ：()222211x y a b a b +=>>直线1x =（1）求椭圆方程；（2）设直线y kx m =+交椭圆C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 在直线1x =上，求证：线段AB 的中垂线恒过定点.8．【晋冀鲁豫中原名校2019年高三第三次联考】已知椭圆2:2(0)C y px p =>，点F 为抛物线的焦点，焦点F 到直线3x-4y+3=0的距离为d 1，焦点F 到抛物线C 的准线的距离为d 2，且1235d d =。

高三数学当堂训练定点、定值、探索性问题1．(优质试题·辽宁盘锦一中月考)如图，已知点A (1，2)是离心率为22的椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，斜率为2的直线交椭圆C 于B ，D 两点，且A ，B ，D 三点互不重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：直线AB ，AD 的斜率之和为定值．解：(1)由题意，可得e ＝c a ＝22，将A (1，2)代入椭圆C 的方程，得2a 2＋1b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝c ＝2，所以椭圆C 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)证明：设直线BD 的方程为y ＝2x ＋m ，∵A ，B ，D 三点不重合，∴m ≠0，设D (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧ y ＝2x ＋m ，2x 2＋y 2＝4，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，由Δ＝－8m 2＋64>0，得－22<m <22，∴x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44.设直线AB ，AD 的斜率分别为k AB ，k AD ，k AD ＋k AB ＝y 1－2x 1－1＋y 2－2x 2－1＝22＋m ·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝22＋m ·－22m －2m 2－44＋22m ＋1＝22－22＝0， 即直线AB ，AD 的斜率之和为定值．2．(优质试题·甘肃高台县一中检测)如图，设直线l ：y ＝k (x ＋p 2)与抛物线C ：y 2＝2px (p >0，p 为常数)交于不同的两点M ，N ，且当k ＝12时，弦MN 的长为415.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 过点B (1，－1)，求证：直线NQ 过定点．解：(1)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，当k ＝12时，直线l ：y ＝12(x ＋p 2)，即x ＝2y －p 2，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y －p 2，y 2＝2px ，即y 2－4py ＋p 2＝0.∴y 1＋y 2＝4p ，y 1y 2＝p 2，于是得|MN |＝1＋4|y 1－y 2|＝5×(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝215|p |＝415，因为p >0，所以p ＝2，即抛物线C 的标准方程为y 2＝4x .(2)证明：设点M (4t 2,4t )，N (4t 21，4t 1)，Q (4t 22，4t 2)，易得直线MN ，MQ ，NQ 的斜率均存在，则直线MN 的斜率是k MN ＝4t －4t 14t 2－4t 21＝1t ＋t 1， 从而直线MN 的方程是y ＝1t ＋t 1(x －4t 2)＋4t ，即x －(t ＋t 1)y ＋4tt 1＝0.同理可知MQ 的方程是x －(t ＋t 2)y ＋4tt 2＝0，NQ 的方程是x －(t 1＋t 2)y ＋4t 1t 2＝0.又易知点(－1,0)在直线MN 上，从而有4tt 1＝1，即t ＝14t 1，点B (1，－1)在直线MQ 上，从而有1－(t ＋t 2)×(－1)＋4tt 2＝0，即1－(14t 1＋t 2)×(－1)＋4×14t 1×t 2＝0， 化简得4t 1t 2＝－4(t 1＋t 2)－1.代入NQ 的方程得x －(t 1＋t 2)y －4(t 1＋t 2)－1＝0.所以直线NQ 过定点(1，－4)．3．(优质试题·广西三市第一次联考)已知右焦点为F 2(c,0)的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(1，32)，且椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(12，0)作直线l 与椭圆C 交于E ，F 两点，线段EF 的中点为M ，点A 是椭圆C 的右顶点，求直线MA 的斜率k 的取值范围．解：(1)∵椭圆C 过点(1，32)，∴1a 2＋94b 2＝1，①∵椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点，∴a ＝2c ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝34a 2，②由①②得a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)依题意，直线l 过点(12，0)且斜率不为零，故可设其方程为x＝my ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋12，x 24＋y 23＝1消去x ，并整理得4(3m 2＋4)y 2＋12my －45＝0.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，∴y 1＋y 2＝－3m 3m 2＋4， ∴y 0＝y 1＋y 22＝－3m2(3m 2＋4)， ∴x 0＝my 0＋12＝23m 2＋4， ∴k ＝y 0x 0－2＝m 4m 2＋4. ①当m ＝0时，k ＝0；②当m ≠0时，k ＝14m ＋4m，∵|4m ＋4m |＝4|m |＋4|m |≥8，。

第2课时 定点、定值、探索性问题考点一 定点问题【例1】 (2019·咸阳二模)已知A (－2，0)，B (2，0)，点C 是动点，且直线AC 和直线BC 的斜率之积为－34.(1)求动点C 的轨迹方程；(2)(一题多解)设直线l 与(1)中轨迹相切于点P ，与直线x ＝4相交于点Q ，判断以PQ 为直径的圆是否过x 轴上一定点.规律方法 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【训练1】 已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A (1，2)为抛物线C 上一点.(1)求抛物线C 的方程；(2)若点B (1，－2)在抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的两条弦BP 与BQ ，如k BP ·k BQ ＝－2，求证：直线PQ 过定点.考点二 定值问题【例2】 (2019·河北省“五个一”名校联盟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，y 1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，y 2，m ·n ＝0. (1)求证：k 1·k 2＝－14；(2)试探求△OPQ 的面积S 是否为定值，并说明理由.规律方法 圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.(2)两大解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②引起变量法：其解题流程为 变量→选择适当的动点坐标或动线中系数为变量↓函数→把要证明为定值的量表示成上述变量的函数↓定值→把得到的函数化简，消去变量得到定值【训练2】 (2019·长春质量监测)已知直线l 过抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l 与抛物线两交点间的距离为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P (2，2)，过点(－2，4)的直线m 与抛物线C 相交于A ，B 两点，设直线P A 与PB 的斜率分别为k 1和k 2.求证：k 1k 2为定值，并求出此定值.考点三 探索性问题【例3】 (2019·福州四校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个端点为P ，△PF 1F 2内切圆的半径为b 3，设过点F 2的直线l 与被椭圆C 截得的线段为RS ，当l ⊥x 轴时，|RS |＝3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)在x 轴上是否存在一点T ，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于x 轴对称？若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.规律方法此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.【训练3】(2019·银川检测)已知动点P到定点F(1，0)和到直线x＝2的距离之比为2 2，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y＝mx＋n与曲线E交于C，D两点，与AB相交于一点(交点位于线段AB上，且与A，B不重合).(1)求曲线E的方程；(2)当直线l与圆x2＋y2＝1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由.[思维升华]1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.3.求解范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.4.圆锥曲线中常见最值的解题方法(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.[易错防范]1.求范围问题要注意变量自身的范围.2.利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系.注意特殊关系、特殊位置的应用.3.在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.4.解决定值、定点问题，不要忘记特值法.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM →|＝1，且OM →·PM→＝0，则当|PM →|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( )A.95B.125C.4D.52.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点，则k 1·k 2的值为( )A.2B.3C. 3D. 63.直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，且满足k 1k 2＝23，则直线l 过定点( )A.(－3，0)B.(0，－3)C.(3，0)D.(0，3)4.设点Q 是直线l ：x ＝－1上任意一点，过点Q 作抛物线C ：y 2＝4x 的两条切线QS ，QT ，切点分别为S ，T ，设切线QS ，QT 的斜率分别为k 1，k 2，F 是抛物线的焦点，直线QF 的斜率为k 0，则下列结论正确的是( )A.k 1－k 2＝k 0B.k 1k 2＝2k 0C.k 1－k 2＝2k 0D.k 1＋k 2＝2k 05.已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线左支上任一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A.1B.2C.4D.12二、填空题6.已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM→＝0，则|PM→|的最小值是________. 7.(2019·东北三省四校模拟)若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________.8.(2019·湘中名校联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足F A →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k AC ＋1k BC＝________. 三、解答题9.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线x ＋y －1＝0与抛物线相交于A ，B 两点，且|AB |＝8611.(1)求抛物线的方程；(2)在x 轴上是否存在一点C ，使△ABC 为正三角形？若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由.10.(2019·江西九校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1过A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上不同的三点，F A →＋FB →＋FC →＝0，O 为坐标原点，且△OF A ，△OFB ，△OFC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 21＋S 22＋S 23等于( )A.2B.3C.6D.912.已知直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相切于点P ，l 与双曲线的两条渐近线交于M ，N 两点，则OM →·ON→的值为( ) A.3B.4C.5D.与P 的位置有关13.若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP→的最小值为________. 14.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与上、下顶点两两相连构成直角三角形，以椭圆C 的长轴长为直径的圆与直线x ＋y －2＝0相切.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过椭圆右焦点且不重合于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，探究在x 轴上是否存在定点E ，使得EA →·EB→为定值？若存在，试求出定值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由.。

第2课时 定点、定值、探索性问题圆锥曲线中的定值问题(师生共研)(2019·沈阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1，F 2，离心率为12，点P 为其上一动点，且三角形PF 1F 2面积的最大值为3，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点M ，N 为C 上的两个动点，求常数m ，使OM →·ON →＝m 时，点O 到直线MN 的距离为定值，求这个定值．【解】 (1)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝a 2－b 2，bc ＝3，c a ＝12，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝m ，当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋n ，则点O 到直线MN 的距离d ＝|n |k 2＋1＝n 2k 2＋1， 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝kx ＋n ，消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0，由Δ>0得4k 2－n 2＋3>0，则x 1＋x 2＝－8kn 4k 2＋3，x 1x 2＝4n 2－124k 2＋3，所以x 1x 2＋(kx 1＋n )(kx 2＋n )＝(k 2＋1)x 1x 2＋kn (x 1＋x 2)＋n 2＝m ，整理得7n 2k 2＋1＝12＋m （4k 2＋3）k 2＋1.因为d ＝n 2k 2＋1为常数，则m ＝0，d ＝127＝2217，此时7n 2k 2＋1＝12满足Δ>0. 当MN ⊥x 轴时，由m ＝0得k OM ＝±1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝±x ，消去y ，得x 2＝127，点O 到直线MN 的距离d ＝|x |＝2217亦成立．综上，当m ＝0时，点O 到直线MN 的距离为定值，这个定值是2217.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．(2019·昆明调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，P ⎝⎛⎭⎫2，55是椭圆C 上的点．(1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，A ，B 是椭圆C 上不关于坐标轴对称的两点，设OD →＝OA →＋OB →，证明：直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意知2c ＝4，即c ＝2，则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，因为点P ⎝⎛⎭⎫2，55在椭圆C 上，所以4a 2＋15（a 2－4）＝1，解得a 2＝5或a 2＝165(舍去)，所以椭圆C 的方程为x 25＋y 2＝1.(2)证明：法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋n (n ≠0，k ≠0)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋n ，x 25＋y 2＝1，消去y ，整理得(5k 2＋1)x 2＋10knx ＋5n 2－5＝0， 则Δ＝100k 2n 2－4(5k 2＋1)(5n 2－5)＝100k 2－20n 2＋20>0，x 1＋x 2＝－10kn 5k 2＋1，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2n ＝2n5k 2＋1，由OA →＋OB →＝OD →得，D (x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 所以直线OD 的斜率k OD ＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－15k ，则k ·k OD ＝－15，故直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值－15.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2且x 1＋x 2≠0，由OA →＋OB →＝OD →得，D (x 1＋x 2，y 1。