解析几何中的定点和定值问题精编版

分析几何中的定点和定值问题【教课目的】学会集理选择参数（坐标、斜率等）表示动向图形中的几何对象，研究、证明其不变性质 ( 定点、定值等 )，领会“设而不求” 、“整体代换”在简化运算中的作用．【教课难、要点】解题思路的优化．【教课方法】议论式【教课过程】一、基础练习1 、过直线x 4 上动点 P 作圆O：x2y2 4 的切线PA、PB，则两切点所在直线AB 恒过必定点．此定点的坐标为．【答案】(1,0)yPB4xA【分析】设动点坐标为P(4,t），则以OP直径的圆C方程为：x(x 4)y( y t ) 0 ，故 AB 是两圆的公共弦，其方程为4x ty 4 ．注：部分优异学生可由x0 x y0 y r 2公式直接得出．4x40令0得定点 (1,0) .y2 、已知 PQ 是过椭圆 C : 2 x2y21中心的任一弦， A 是椭圆 C 上异于P、Q的随意一点．若AP、AQ分别有斜率 k1、 k2，则 k1k2=______________．【答案】 -2【分析】设P( x, y), A( x0 , y0 ) ，则Q(x,y) y0y y0y y02y 2k1 k2x x0x 2x2，x0x02x2y 21又由 A 、 P 均在椭圆上，故有：00，2x2y21y02y2两式相减得 2( x02x 2 )( y02y2 ) 0， k1k2222x0x3 、椭圆x 2y 21，过右焦点F作不垂直于 x 轴的直线交椭圆于A、 B 两点，3627AB 的垂直均分线交x 轴于N e=1，则 NF : AB 等于_______.42【答案】1 4【分析】设直线 AB 斜率为 k ，则直线方程为y k x 3 ,与椭圆方程联立消去y 整理可得34k 2x224k2 x36k 2 1080 ,则 x1 x224k22, x1x236k 2108 34k34k2,所以 y1y218k, 34k2则 AB 中点为12k 2,9k. 34k24k23所以 AB 中垂线方程为 y9k21x12k22,34k k 3 4k令则 x3k 2即N 3k22 ,0y 0 ,34k2,34k,所以 NF33k 29(1k 2 ) 34k234k 2.AB1 k2x 1 236 1 k 2NF 1x 24x 1 x 24k 2,所以.3 AB4４、已知椭圆 x 2y 2 1(a b 0) ， A, F 是其左极点和左焦点，P是圆 x 2y 2b 2a 2b 2上的动点，若PA = 常数，则此椭圆的离心率是PF【答案】 e = 5 12【分析】PA常数，所以当点 P 分别在（± b ，0 ）时比值相等，因为 PF即a b = a+b，整理得： b 2 ac ，b c b+c又因为 b 2 a 2 c 2 ，所以 a 2c 2ac同除以 a 2 可得 e 2 + e -1=0 ，解得离心率 e =5 1 ．2二、典例议论例１、如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C ：x 2y 2 1的左极点为 A ，过原点 O 的直线（与42坐标轴不重合）与椭圆C 交于 P ，Q 两点，直线 PA ，QA 分别与 y 轴交于 M ， N 两点．试问以 MN 为直径的圆能否经过定点（与直线 PQ 的斜率没关）？请证明你的结论．yMAPOQNx剖析一：设 PQ 的方程为 ykx ，设点 P x 0 , y 0 （ x 0 0 ），则点 Q x 0 , y 0 ．联立方程组ykx,消去 y 得 x 24 2．22y 241x2k所以 x 02，则 y 02k．1 2k21 2 k2所以直线 AP 的方程为 ykx 2 ．进而 M 0,2k1 1 2k 21 2k 21同理可得点 N0, 2k．112k 2所以以 MN 为直径的圆的方程为x 2( y12k 2k 2)( y 2k ) 01 11 2k 2整理得： x 2y 2 ( 2k2k ) y 2 011 2k 211 2k2 x 2 y 2 2 02, 0)由，可得定点 F (y剖析二 ：设 P （ x 0， y 0 ），则 Q （﹣ x 0 ，﹣ y 0），代入椭圆方程可得 x 0 2 2 y 02 4 ．由直线 PA 方程为：yy 0 ( x 2) ，可得 M 0,2y 02 y 0 x 0x 0，同原因直线 QA 方程可得 N 0,，可得以22x 02MN 为直径的圆为 x 2y2y 02y 2y 0 2 0 ，x 0x 0整理得： x 2y 22y 02 y 0 y 4 y 2 0x 0 2x 0 2 x 0 2 4242，代入整理即可得x 2y 24x 0 y 0 y 2 0因为 x 02y 0x 0 24此圆过定点 F (2, 0) ．剖析三 ：易证： k AP k AQb 2 1 a 2，2故可设直线AP 斜率为 k ，则直线 AQ 斜率为1 .2k直线 AP 方程为 y k( x2) ，进而得 M (0, 2k ) ，以1 1代 k 得 N 0,2kk故知以 MN 为直径的圆的方程为 x 2( y 2k)( y1 ) 0k整理得： x2y22 (12k ) y 0kx 2 y 22 02, 0) .由，可得定点 F (y剖析四、设 M (0, m), N (0, n) ，则 以 MN 为直径的圆的方程为x 2 ( y m)( yn) 0即 x 2y 2(m n) y mn再由k AP k AQ k AM k AN = b 21得 mn - 2 ，下略a22.例 2 、已知离心率为 e 的椭圆C :x2y2恰过两点，，a2b21(a b 0)(1 e) 和 20 .(1)求椭圆 C 的方程；(2) 已知AB、MN为椭圆C上的两动弦，此中M 、N 对于原点O对称，AB过点 E(1, 0) ，且 AB、MN 斜率互为相反数.试问：直线AM、BN的斜率之和能否为定值？证明你的结论.yMAx分析：O Ea23B Ne (1)由题意：1e22a2b21b21所以椭圆 C 的方程为x2y21. 4(2)设 AB 方程为y k( x1) ， A( x1 , y1) ， B( x2 , y2 ) ，则 MN 方程为y kx又设 M ( x3,kx3 ) ， N ( x3 , kx3 )k AM kBNy1kx3y2kx3k( x1 1) kx3k ( x21) kx3x1x3x2x3x1x3x2x3则整理得： k AM k BN k ( x1x3 1)(x2x3 ) (x2x3 1)(x1 x3 )( x1x3 )( x2x3 )k AM kBNk 2x1x22x32( x1x2 )①( x1x3 )( x2x3 )由y k( x1)消元整理得： (4 k 21)x28k2 x 4k 240 ，x2 4 y24.所以 x1 x28k 21 , x1 x24k4k24k224②1y kx又由消元整理得：x2 4 y2 4(4 k 2 1)x2 4 ，所以 x3241③4k 2将②、③代入①式得： k AM kBN0.例 2( 变式 ) 、已知离心率为 e 的椭圆Cx2y21(a b 0)，，. :a2b2恰过两点 (1 e) 和 20(3)求椭圆 C 的方程；(4)已知 AB、MN 为椭圆C上的两动弦，此中 M、N 对于原点O对称，AB过定点E(m, 0), ( 2 m 2) ，且 AB、MN 斜率互为相反数. 试问：直线 AM 、 BN 的斜率之和能否为定值？证明你的结论.yMAx分析：O Ea2B N e3(3)由题意：1e22a2b21b21所以椭圆 C 的方程为x2y21. 4(4)设 AB 方程为y k( x m) ， A(x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则 MN 方程为y kx又设 M ( x3,kx3 ) ， N ( x3 , kx3 ).kAM kBNy1kx3y2kx3x1x3x2x3k( x1m)kx3k (x2m)kx3 x1x3x2x3则整理得： k AM kBNk ( x1x3m)( x2x3 ) ( x2x3m)( x1x3 )(x1x3 )( x2x3 )kAMkBNk 2x1x22x32m( x1x2 )①( x1x3 )( x2x3 )y k( x m)消元整理得： (4 k21)x28k 2mx4k 2 m240 ，由4 y24x2所以 x1x28k2m, x1 x24k 2m24②4k214k21又由y kx消元整理得：x2 4 y24(4 k 21)x2 4 ，所以 x3241③4k 2将②、③代入①式得：kAMkBN0.三、课外作业1 、已知椭圆x2y2A、B是其左、右极点，动点M知足MB⊥AB，连接AM交椭圆于点P1 ，，42在 x 轴上有异于点A、B 的定点 Q，以 MP 为直径的圆经过直线BP、MQ 的交点，则点 Q 的坐标为．【答案】（0,0 ）【分析】试题剖析：设M (2,t ), 则AM : y t( x 2) ，与椭圆方程联立消y 得(t28) x24t 2 x 4t 232 0，4.28t t 28t162t，所以 k BP 82，即 k BP k OM1，点Q的坐 O所以 x P28， y P22t2tt t 816t 282（0,0 ）x2y21上不一样于左点A、右点 B 的随意一点，直PA， PB 的斜率2 、已知 P 是412分 k1 , k2 ,则 k1k2的．1【答案】3【分析】P( x, y) ， A(23,0), B(23,0)y， k2yk1x2，x 2 33y y y2 k1k2x2，⋯⋯①x 2 3 x 2 312因 P 在上，所以x2y2 1 ，即 y212x2⋯⋯②1243把②代入①，得k1k2y21 x2123x2y21(a b0) 的离心率e=1， A,B 是的左右点，P 上不一样于3 、已知b2a22AB 的点，直PA,PB 的斜角分,， cos() =.cos()【答案】 7【分析】.试题剖析：因为A,B 是椭圆的左右极点，P 为椭圆上不一样于 AB 的动点，kPAkPBb 2 Q e1 c 1 a2 b 21 b23 kPA b 2 3 a 22 a 2a 24 a 24，k PB，a 24cos( ) cos cos sin sin 1 tan tan 1 34 7cos() cos cossinsin1 tantan1 344 、以下图，已知椭圆x 2 y 21，在椭圆 C 上任取不一样两点A ，B ，点 A 对于 x 轴的对称C ：4点为 A ' ，当 A ， B 变化时，假如直线 AB 经过 x 轴上的定点 T (1 ， 0) ，则直线 A 'B 经过 x 轴上的定点为 ________．【答案】 (4 ， 0)AB 的方程为 x ＝ my ＋ 1 ，由 x 2 y 2 1得 (my ＋ 1) 2 ＋ 4 y 2 ＝4 ，即 (m 2 ＋ 4) y 2＋ 【分析】设直线 4x my 12 my －3 ＝ 0.记 A (x 1， y 1 )， B (x 2， y 2)，则 A ′(x 1 ，－ y 1)，且 y 1＋ y 2＝－ 2m， y 1 y 2＝－3 ，m 24m 2 4当 m ≠0 时，经过点 A ′(x 1，－ y 1 )，B( x 2， y 2 )的直线方程为yy 1 ＝ x x 1.令 y ＝ 0 ，得 x ＝y 2y 1 x 2x 1x 2 x 1 y 1 ＋ x 1my 2 my 1 y 1 ＋ my 1 ＋ 1 ＝ my 1 y 2－my 12＋my 1 y 2＋ my 12＋ 1 ＝2my 1 y 2 ＋ 1 ＝y 2y 1 ＝y 1y 2＋ y 1y 2＋ y 1y 2.－2m3m24＋ 1 ＝ 4 ，所以y＝ 0 时，x＝4.2mm24当 m ＝0时，直线AB的方程为 x＝1，此时A′，B重合，经过A′，B的直线有无数条，自然能够有一条经过点 (4 ，0) 的直线．当直线 AB 为 x 轴时，直线A′B就是直线 AB ，即x轴，这条直线也经过点 (4 ， 0) ．综上所述，当点A，B 变化时，直线A′B 经过 x 轴上的定点(4，0)．x2y21的右焦点 F2的直线交椭圆于于M ,N 两点，令F2 M m, F2 N n ，则5、过椭圆34mn____ ．m n【答案】34【分析】x2y 21，得 M 试题剖析：不失一般性，不如取MN垂直 x 轴的状况，此时 MN ：x=1, 联立43x1（1，3）,N （1，-3），∴m=n= 3 ，∴ mn3 222m n46 、已知椭圆C的中心在座标原点，焦点在 x 轴上，左极点为A，左焦点为F12，0，点B 2,2在椭圆 C 上，直线y kx k0与椭圆 C 交于E F两点，直线AE AF分别与y轴交于点M，，，N ．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）以 MN 为直径的圆能否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明原因．x2y21(a b 0) ，分析：（Ⅰ）解法一：设椭圆 C 的方程为b2a2因为椭圆的左焦点为 F12，0 ，所以a2b2 4 ．设椭圆的右焦点为F2 2，0，已知点 B2,2在椭圆 C 上，由椭圆的定义知 BF1BF22a ，所以 2a3224 2 ．所以 a22，进而 b2．所以椭圆 C 的方程为x2y 2 1 ．84解法二：设椭圆C 的方程为x2y 2a2b21(a b0) ，因为椭圆的左焦点为F12，0 ，所以a2b2 4 ．①因为点 B 2,2421．②在椭圆 C 上，所以b2a2由①②解得， a2 2 ，b 2．所以椭圆 C 的方程为x2y 21 ．84（Ⅱ）解法一：因为椭圆 C 的左极点为 A ，则点 A 的坐标为22,0．因为直线 y kx ( k0) 与椭圆x2y21交于两点E，F，84设点 E x, y（不如设 x00 ），则点 F x0 ,y0．00y kx,28联立方程组x2y2消去 y 得x2．84112k所以 x022，则 y022k．12k122 k2所以直线 AE 的方程为ykx22．112k 2因为直线 AE ， AF 分别与 y 轴交于点M，N，令 x22k22k0 得 y12k2，即点 M 0,1．112k2同理可得点22kN 0,．1 1 2k222k22k2 2 12k 2．所以 MN12k 2112k2k1设 MN 的中点为P，则点P的坐标为P 0,2k．22 22 12k 2则以 MN 为直径的圆的方程为x2yk ，k即 x2y 22 2 y 4 ．k令 y0 ，得 x2 4 ，即x2或 x 2 ．故以 MN 为直径的圆经过两定点P12,0， P22,0．解法二：因为椭圆 C 的左端点为 A ，则点 A 的坐标为22,0 ．因为直线 y kx (k0) 与椭圆x2y21交于两点 E，F，84设点 E( x0 , y0 ) ，则点 F (x0 ,y0 ) ．所以直线 AE 的方程为yy0x22．x022因为直线 AE 与 y 轴交于点M，令 x2 2 y0，即点 M2 2 y0．0 得 y220,x0x022同理可得点 N 0,2 2 y0．x0222 2 y0 2 2 y016 y0．所以 MN2 2 x0x028x0 2 2因为点 E(x0 , y0 ) 在椭圆C上，所以x02y021 ．84.所以 MN 8．y0设 MN 的中点为P，则点P的坐标为P2x0．0,y02则以 MN 为直径的圆的方程为x2y 2x016．y02y0即 x2y2 +2 2x0 y4 ．y0令 y0 ，得 x2 4 ，即x2或 x 2 ．故以 MN 为直径的圆经过两定点P12,0， P22,0．解法三：因为椭圆 C 的左极点为 A ，则点 A 的坐标为 2 2,0．因为直线 y kx ( k 0) 与椭圆x2y21交于两点E，F，84设点 E2 2 cos,2sin（ 0），则点 F2 2 cos ,2sin ．所以直线 AE 的方程为y2sin x22．22 cos 2 2因为直线 AE 与 y 轴交于点M，令 x 0 得 y2sin，即点 M0,2sin．cos1cos1同理可得点 N0, 2sin．cos1所以 MN2sin2sin41cos1．cos sin设 MN 的中点为P，则点P的坐标为P 0,2cos．sin2则以 MN 为直径的圆的方程为x2y2cos4，sin sin2.即 x 2y 24cosy 4 ．sin令 y0 ，得 x 24 ，即 x 2或 x 2 ．故以 MN 为直径的圆经过两定点P 1 2,0 ，P 2 2,0 ．、已知椭圆x 2y 2（a， b）的离心率为 3 A (1 ，3在椭圆 C 上．7C: a2b 2=1>0>0，点2 )2(I) 求椭圆 C 的方程；(Ⅱ )设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，判断能否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与 l 订交于两点 P 1， P 2 （两点均不在座标轴上） ，且使得直线 OP 1 ， OP 2 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明原因．（Ⅰ）解：由题意，得c 3 ， a 2 b 2 c 2 ，又因为点 A(1, 3 )在椭圆 C 上，a22所以13 1 ， 解得a2 ， b 1， c3 ，a 24b 2所以椭圆 C 的方程为x 2y 21.4（Ⅱ） 结论：存在切合条件的圆，且此圆的方程为x 2y 25 .证明以下：假定存在切合条件的圆，并设此圆的方程为 x 2y 2 r 2 (r0) .当直线 l 的斜率存在时，设l的方程为ykx m .y kxm,222由方程组x 2得 (4k1) x8kmx 4m40 ，y21,4因为直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，所以 1 (8km) 24(4k21)(4m24) 0 ，即 m 24k 2 1 ..y kx m,得 (k 222kmxm 2r 20 ，由方程组y 2r 2 ,1)xx 2则2(2km)24(k21)(m2r 2 ) 0 .设 P 1 (x 1, y 1 ) ， P 2 (x 2 , y 2 ) ，则x 1x 2 2km ， y2xb ，k 2 1设直线 OP 1 ， OP 2 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ，y y2 (kxm)(kx 2m) k 2 x x2km( xx ) m 2k 1k 211112x 1x 2x 1 x 2x 1 x 2所以k 2 m 2 r 2 km k 2km m 2 m 2 2 2k 21 2 1r k2 r 22 r 2mmk 2 1，k 1 k 2(4 r 2 )k 2124k 214k 2(1r 2) .将m代入上式，得要使得k 1k2为定值，则4 r 21241 r2 ，即 r 5 ，考证切合题意 .所以当圆的方程为x 2 y 25 时，圆与 l 的交点 P 1, P 2 知足 k 1k 2 为定值 1 .4 当直线 l 的斜率不存在时，由题意知 l的方程为 x2 ，此时，圆 x 2 y 25 与 l 的交点 P 1 , P 2 也知足 k 1k 21 .4y 2 2228、已知椭圆 C 1 ：x1( a b0) 的离心率为，且过定点 M (1 ， )． a 222 2b(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 已知直线 l ： y kx1(k R) 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点，试问在 y 轴上能否存在定点P ，使得3以弦 AB 为直径的圆恒过 P 点？若存在，求出 P 点的坐标，若不存在，说明原因．ec25a2a 222a 22(1) 解：由已知 b cb251 112a 224b∴椭圆 C 的方程为2 y24x21 55y kx 1322(2) 解：由得：9(2k4) x12kx 43 02y24x215 5设 A(x1， y1)， B(x2， y 2)，则 x1、 x2是方程①的两根∴x1x212k，x1 x2439(2k24)9(2k24)uuur，uuur，设 P(0， p )，则PA ( x1，p)y1p) PB ( x2y2uuur uuurp 21PA PB x1 x2y1 y2p( y1y2 )x1 x2(kx1)( kx2(18p 245)k236 p23 24 p39uuur uuur uuur 9(2k24) uuur若 PA PB ，则 PA PB即 (18 p245)k 236 p224 p39 0对随意 k∈R恒建立18p 245 0∴24 p39036 p2此方程组无解，∴不存在定点知足条件.①1) pk ( x1 x2 ) 2 p p233。

7“解析几何中定值与定点问题【探究问题解决的技巧、方法】(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要 解决的问题，证明要解决的问题与参数无关•在这类试题中选择消元的方向是非常关键的. ⑵解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再 视具体情况进行研究. 【实例探究】 题型1:定值问题：例1:已知椭圆C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 ： 的2后焦点，离心率等于 ：(I)求椭圆 c 的标准方程；(H)过椭圆 C 的右焦点作直线I 交椭圆C 于A B 两点，交y 轴于M 点，若MA- \AF,MB 二划朋'，求证孙+心为定值.(II )方法一：设A 、B 、M 点的坐标分别为 偽 Ji)/(曲 jjMQyJ 易知F 点的坐标为(2, 0).MA :. (x Lr ^L -y 0) = ^(2-Xi-yj2JL y 心= ---------- ,v T -- -------- .\ + \ [ +召2J去分母整理得1'' - J将A 点坐标代入到椭圆方程中，得5:则由题意知b = 1.同理鉱二4辭］得:才+10& +5-5^ =Q :.心站是方程？+1X+5-5允二啲两个根, ，”召 +血-10.方法二：设A、B、M点的坐标分别为又易知F点的坐标为（2, 0）.显然直线I存在的斜率，设直线I的斜率为k,则直线I的方程是y-k（x-2）. 将直线I的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（l+5t3）x a-20jk3x+20t a-5=0+20疋20^ —5v MA = \AFMB =诵細点坐标代入得石=/一X] 2_召又♦“ 两勺2（x1+ x a）-2x1x2“:石 +爲=—+—二----------------------- ----- =■ =-10.2-兀1 2-巧4_ 2（如+ xj+斤工2例2.已知椭圆C经过点A（1,3/2）,两个焦点为（-1,0）,（1,0）.1）求椭圆方程2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值（1）a2-b2=c2 =1设椭圆方程为x2/（b2+1）+y2/b2=1将（1，3/2）代入整理得4bM-9b2-9=0解得b2=3 （另一值舍）所以椭圆方程为x2/4+y2/3=1（2）设AE斜率为k则AE 方程为y-（3/2）=k（x-1）①x2/4+y2/3=1 ②①，②联立得出两个解一个是A（1,3/2 ）另一个是E（x1，y1）①代入②消去y 得（1/4+k2/3）x2-（2k2/3-k）x+k2/3-k-1/4=0根据韦达定理x1 •= （k2/3-k-1/4 ）/ （1/4+k2/3［③将③的结果代入①式得y1= （-k2/2-k/2+3/8 ）/（1/4+k2 /3）设AF 斜率为-k，F (x2，y2) 则AF 方程为y- (3/2 ) =-k (x-1 [④x2/4+y2/3=1 ②5不存在，请说明理由.••• MA.(x 1-m,y 1),MB -g-my),5 3k 2,^(x ^m)(x 2 -m) y 1y 13k 2 1 k2x1 1 x2 13k 5 11k 2 X 1X 2 kF X 1 X 2m2k 2 3：!②④联立同样解得x2= ( k2/3+k-1/4 ) / (1/4+k2/3) y2= (-k2/2+k/2+3/8 ) / (1/4+k2/3)EF 斜率为(y2-y1 ) /(x2-x1)=1/2所以直线EF 斜率为定值，这个定值是1/2。

解析几何中的定点定值问题考纲解读:定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。

此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆,圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。

考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。

一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系,通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

例1、已知A 、B 是抛物线y 2=2p x (p 〉0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,当α、β变化且α+β=4π时，证明直线AB 恒过定点,解析： 设A （121,2y p y ),B （222,2y py ）,则212tan ,2tan y py p ==βα，代入1)tan(=+βα 得221214)(2p y y y y p -=+ (1） 又设直线AB 的方程为b kx y +=，则022222=+-⇒⎩⎨⎧=+=pb py ky pxy bkx y ∴kpy y kpby y 2,22121=+=，代入(1）式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点(-)2,2p p说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。

例2．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切． ⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ,M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围;⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解析：⑴由题意知c e a ==,所以22222234c a b e a a -===，即224a b =，又因为1b ==，所以224,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ①联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得:2222(41)324(161)0k x k x k --+-=, 由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<， 又0k =不合题意,所以直线PN的斜率的取值范围是0k <<或0k <<． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ,则11(,)M x y -，直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--， 令0y =,得221221()y x x x x y y -=-+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理,得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由得①2212122232644,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程;⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系,并证明直线l 过定点．解:⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4,焦点在x轴上焦中为的椭圆，其方程为2214x y +=．⑵将y kx b =+，代入曲线C 的方程，整理得22(14)40k x +++= ,因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ①设()11,P x y ,()22,Q x y ，则1228214k x x k +=-+，122414x x k =+ ② 且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+．由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验,都符合条件①，当2b k =时,直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然,此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是:65b k =,且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图,已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T(m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ,其中m 〉0,0,021<>y y .(1）设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹； （2）设31,221==x x ，求点T 的坐标; （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关)。

微专题25 解析几何中的定点与定值问题考题导航题组一 通过设点坐标强化坐标运算、整体运算、消元思想 1.33解析：根据椭圆的对称性可知，A 、B 两点关于原点对称，所以设点A(x 1，y 1)，B(－x 1，－y 1)，P(x ，y)．所以k PA ·k PB ＝y 2－y 21x 2－x 21，因为x 2a 2＋y 2b 2＝x 21a 2＋y 21b 2，所以k PA ·k PB ＝－b 2a 2＝－23，解得a ＝3c ，所以e ＝33. 2. 解析：(1) 设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x ，y)， 则x 212＋y 21＝1①，x 222＋y 22＝1②. 因为OM →＝cos θOA →＋sin θOB →，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1cos θ＋x 2sin θ，y ＝y 1cos θ＋y 2sin θ. 又因为点M 在椭圆上，故 （x 1cos θ＋x 2sin θ）22＋(y 1cos θ＋y 2sin θ)2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x 212＋y 21cos 2θ＋⎝⎛⎭⎫x 222＋y 22sin 2θ＋2(x 1x 22＋y 1y 2)cos θsin θ＝1. 将①②代入上式，得⎝⎛⎭⎫x 1x 22＋y 1y 2cos θsin θ＝0， 因为cos θsin θ≠0，所以x 1x 22＋y 1y 2＝0，所以k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2＝－12为定值．(2) 由(1)得(y 1y 2)2＝⎝⎛⎭⎫－x 1x 222＝x 212·x 222＝(1－y 21)·(1－y 22)＝1－(y 21＋y 22)＋y 21y 22，故y 21＋y 22＝1.又⎝⎛⎭⎫x 212＋y 21＋⎝⎛⎭⎫x 222＋y 22＝2，故x 21＋x 22＝2，所以OA 2＋OB 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝3.1. 解析：设点P(x 0，y 0)，点M(x 1，y 1)，点N(－x 1，y 1)， 则直线MP 的方程为y －y 0y 1－y 0＝x －x 0x 1－x 0，令x ＝0得y S ＝－x 0（y 1－y 0）x 1－x 0＋y 0＝x 1y 0－x 0y 1x 1－x 0，同理可得y R ＝x 1y 0＋x 0y 1x 1＋x 0，故y R ·y S ＝x 21y 20－x 20y 21x 21－x 20.又点M 与点P 在椭圆上， 故y 21＝1－x 214，y 20＝1－x 204，代入上式，得y R ·y S ＝x 21⎝⎛⎭⎫1－x 204－x 20⎝⎛⎭⎫1－x 214x 21－x 2＝x 21－x 2x 21－x 20＝1，所以OR →·OS →＝y R ·y S ＝1为定值．题组二 定点问题的常见处理方法：特值法再证明或直接法1. 解析：①若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0， 则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2.由题意知k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝8，所以kx 1＋m －2x 1＋kx 2＋m －2x 2＝8，即2k ＋(m －2)x 1＋x 2x 1x 2＝8，所以k －mk m ＋2＝4，整理得m ＝k2－2.故直线AB 的方程为y ＝kx ＋12k －2，即y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12－2. 所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－2； ②若直线AB 的斜率不存在，设直线AB 的方程为x ＝x 0，点A(x 0，y 0)，B(x 0，－y 0)． 则由题知y 0－2x 0＋－y 0－2x 0＝8，解得x 0＝－12.此时直线AB 的方程为x ＝－12，显然直线AB 过点⎝⎛⎭⎫－12，－2， 综上可知，直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－2.1. ⎝⎛⎭⎫－289，0 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 24＝1，y ＝k 1（x ＋4），解得x M ＝4－16k 211＋4k 21，同理可得x N ＝4－16k 221＋4k 22＝4k 21－64k 21＋16，所以y M ＝8k 11＋4k 21，y N ＝－16k 116＋k 21，取k 1＝1，则点M(－125，85)，N(－6017，－1617)，直线MN 的方程为y －85＝94⎝⎛⎭⎫x ＋125，令y ＝0，解得x ＝－289，所以直线MN 经过x 轴上的定点⎝⎛⎭⎫－289，0. 【总结】一般情况：在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上一定点A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为k 1，k 2，当k 1·k 2为非零常数时，直线MN 经过x 轴上的定点．题组三 通过设斜方法研究定点定值综合问题，揭示问题的本质1. 解析：假设存在符合条件的点M(m ，0)，设点P(x 1，y 1)，点Q(x 2，y 2)，则MP →＝(x 1－m ，y 1)，MQ →＝(x 2－m ，y 2)，MP →·MQ →＝(x 1－m)·(x 2－m)＋y 1y 2＝x 1x 2－m(x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2. ①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k·(x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k （x －1），消去y 得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋(2k 2－2)＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，y 1y 2＝k 2(x1－1)(x 2－1)＝k 2[x1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k 22k 2＋1， 所以MP →·MQ →＝2k 2－22k 2＋1－m·4k 22k 2＋1＋m 2－k 22k 2＋1＝（2m 2－4m ＋1）k 2＋（m 2－2）2k 2＋1.因为对于任意的k 值，MP →·MQ →为定值， 所以2m 2－4m ＋1＝2(m 2－2)，得m ＝54，所以点M ⎝⎛⎭⎫54，0，MP →·MQ →＝－716； ②当直线l 的斜率不存在时，则直线l ：x ＝1， x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝1，y 1y 2＝－12.由m ＝54得MP →·MQ →＝－716.综上，符合条件的点M 存在，其坐标为⎝⎛⎭⎫54，0﹒1. ⎝⎛⎭⎫12，12 12 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点M 的坐标为(1，1)．设点N(a ，b)，点Q(x 1，y 1)，且x 21＋y 21＝1，则QN 2QM 2＝（x 1－a ）2＋（y 1－b ）2（x 1－1）2＋（y 1－1）2＝λ(λ>0)，整理得2(a －λ)x 1＋2(b －λ)y 1－(a 2＋b 2＋1－3λ)＝0，对任意的点Q 都成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧a －λ＝0，b －λ＝0，a 2＋b 2＋1＝3λ，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，a ＝12，b ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，a ＝1，b ＝1(舍去)，即点N ⎝⎛⎭⎫12，12，此时λ＝12. 冲刺强化训练(25)1. (2，0)和(0，2) 解析：由题意得－2t(x ＋y －2)＋x 2＋y 2－4＝0过定点，即对于任意t 等式恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x 2＋y 2－4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，所以圆C 过定点(2，0)和(0，2)．2. a 2b 2a 2＋b 2解析：设M(x 0，y 0)是双曲线上任意一点，由双曲线的两渐近线方程为bx＋ay ＝0和bx －ay ＝0，可得d 1＝|bx 0＋ay 0|a 2＋b 2，d 2＝|bx 0－ay 0|a 2＋b 2，所以d 1d 2＝|b 2x 20－a 2y 20|a 2＋b 2.又点M满足b 2x 20－a 2y 20＝a 2b 2，所以d 1d 2＝a 2b 2a 2＋b 2，故点M 到两条渐近线的距离之积为定值a 2b 2a 2＋b2.3. 20 解析：设圆心O 到AC 、BD 的距离分别为d 1、d 2，则AC 2＋BD 2＝4(4－d 21)＋4(4－d 22)＝32－4(d 21＋d 22)＝32－4OM 2＝20.4. (1，0) 解析：设点P(4，y 0)，则直线AB 的方程为4x ＋yy 0＝4，故直线AB 过定点(1，0)．5. －13 解析：由题意知，在该椭圆中a ＝23，b ＝2，所以点A(－23，0)，B(23，0)，设点P(x 0，y 0)(y 0≠0)，且x 2012＋y 204＝1，又k 1＝y 0x 0＋23，k 2＝y 0x 0－23，所以k 1·k 2＝y 20x 20－12＝4⎝⎛⎭⎫1－x 212x 20－12＝－13.6. (3，0) 解析：设点A(m ，n)，点P(x ，y)，由PA ＝2PO ，得(x －m)2＋(y －n)2＝4(x 2＋y 2)，化简得3x 2＋3y 2＋2mx ＋2ny －m 2－n 2＝0，又因为x 2＋y 2＋2x －3＝0，所以(2m －6)x ＋2ny ＋9－m 2－n 2＝0，因为对任意的x ，y 恒成立，所以m ＝3，n ＝0，所以点A(3，0)．7. 7 解析：因为A ，B 是椭圆的左右顶点，P 为椭圆上不同于AB 的动点，所以k PA ·k PB ＝－b 2a 2.因为e ＝12，所以c a ＝12，所以a 2－b 2a 2＝14，所以b 2a 2＝34，所以k PA ·k PB ＝－b 2a2＝－34.cos （α＋β）cos （α－β）＝cos αcos β－sin αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝1－tan αtan β1＋tan αtan β＝1＋341－34＝7. 8. (4，0) 解析：设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝my ＋1得(my ＋1)2＋4y 2＝4，即(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则A′(x 1，－y 1)，且y 1＋y 2＝－2mm 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4，当m ≠0时，经过点A′(x 1，－y 1)，B(x 2，y 2)的直线方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1.令y ＝0，得x ＝x 2－x 1y 2＋y 1y 1＋x 1＝my 2－my 1y 2＋y 1y 1＋my 1＋1＝2my 1y 2y 2＋y 1＋1＝2m·－3m 2＋4－2mm 2＋4＋1＝4，所以y＝0时，x ＝4.当m ＝0时，直线AB 的方程为x ＝1，此时A′，B 重合，经过A′，B 的直线有无数条，当然可以有一条经过点(4，0)的直线．当直线AB 为x 轴时，直线A′B 就是直线AB ，即x 轴，这条直线也经过点(4，0)．综上所述，当点A ，B 变化时，直线A′B 经过x 轴上的定点(4，0)．9. 解析：设点P(x 0，y 0)，则圆P 的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝x 20＋y 20， 即x 2＋y 2－2x 0x －2y 0y ＝0.①又圆F 的方程为(x －3)2＋y 2＝5.②由①－②得直线QT 的方程为(x 0－3)x ＋y 0y －1＝0， 所以FH ＝|3（x 0－3）－1|（x 0－3）2＋y 20＝|3x 0－4|x 20＋y 20－23x 0＋3.因为点P(x 0，y 0)在椭圆上， 所以x 204＋y 20＝1，即y 20＝1－x 204，所以FH ＝|3x 0－4|x 20＋⎝⎛⎭⎫1－x 204－23x 0＋3＝ |3x 0－4|3x 204－23x 0＋4＝|3x 0－4|⎝⎛⎭⎫32x 0－22＝2，故点F 到直线QT 的距离FH 为定值2.10. 解析：当直线l 的斜率为0时，令y ＝－1，则x ＝±4，此时以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝16；当直线l 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝9, 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y ＋1）2＝16，x 2＋y 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3，即两圆过点T(0，3)． 猜想以AB 为直径的圆恒过定点T(0，3).对一般情况证明如下：设过点M(0，－1)的直线l 的方程为y ＝kx －1与椭圆C 交于点A(x 1，y 1)，点B(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＋2y 2＝18，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2－4kx －16＝0，所以x 1＋x 2＝4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－161＋2k 2. 因为TA →·TB →＝(x 1，y 1－3)·(x 2，y 2－3)＝x 1x 2＋y 1y 2－3(y 1＋y 2)＋9＝x 1x 2＋(kx 1－1)·(kx 2－1)－3(kx 1－1＋kx 2－1)＋9＝(k 2＋1)x 1x 2－4k(x 1＋x 2)＋16＝－16（k 2＋1）1＋2k 2－16k 21＋2k 2＋16＝－16（1＋2k 2）1＋2k 2＋16＝0，所以TA ⊥TB ，所以存在以AB 为直径的圆恒过定点T ，且定点T 的坐标为(0，3)． 11. 解析：(1) 设点P(x 0，y 0)，则点Q(－x 0，－y 0)，点A(－2，0)，所以直线AP 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，所以点M ⎝⎛⎭⎫0，2y 0x 0＋2，所以AM →＝⎝⎛⎭⎫2，2y 0x 0＋2.同理可得N ⎝⎛⎭⎫0，2y 0x 0－2，AN →＝⎝⎛⎭⎫2，2y 0x 0－2，所以AM →·AN →＝4＋4y 20x 20－4.又点P 在椭圆C 上，故x 204＋y 203＝1，即x 20－4＝－43y 20， 所以AM →·AN →＝4＋4y 20x 20－4＝1(定值)．(2) 设点P(x 1，y 1)，点Q(x 2，y 2)． 设直线AP 的方程为y ＝k 1(x ＋2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x ＋2），x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12＝0， 所以－2＋x 1＝－16k 213＋4k 21，x 1＝6－8k 213＋4k 21，y 1＝12k 13＋4k 21， 所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21. 因为k 1·k 2＝－1，所以点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 21－83k 21＋4，－12k 13k 21＋4.当k 21＝1时，6－8k 213＋4k 21＝－27＝6k 21－83k 21＋4，点P 和点Q 的横坐标相同，直线PQ 的方程为x ＝－27，由此可见，如果直线PQ 经过定点R ， 则点R 的横坐标一定为－27；当k 21≠1时，k PQ ＝12k 13＋4k 21－－12k 13k 21＋46－8k 213＋4k 21－6k 21－83k 21＋4＝7k 14（1－k 21）， 直线PQ 的方程为y －12k 13＋4k 21＝7k 14（1－k 21）(x －6－8k 213＋4k 21)， 令x ＝－27，得y ＝7k 14（1－k 21）⎝ ⎛⎭⎪⎫－27－6－8k 213＋4k 21＋12k 13＋4k 21＝0， 所以直线PQ 过定点R ⎝⎛⎭⎫－27，0.。

解析几何中定点、定值、定直线问题解析几何中定点定值问题例1 已知椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点为M （0，1），过M的两条动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB 。

对于给定的实数)1(>a a ，证明：直线AB 过定点。

解：由MA MB ⋅=u u u r u u u r知MA MB ⊥，从而直线MA 与坐标轴不垂直，故可设直线MA 的方程为1y kx =+，直线MB 的方程为11y x k=-+ 将1y kx =+代入椭圆C 的方程，整理得 2222(1)20a k x a kx ++=解得0x =或22221a kx a k -=+，故点A 的坐标为222222221(,)11a k a k a k a k--++同理，点B 的坐标为22222222(,)a k k a k a k a -++ 知直线l 的斜率为2222222222222211221k a a k k a a k a k a kk a a k ---++--++=221(1)k a k-+ 直线l 的方程为22222222212()(1)k a k k a y x a k k a k a --=-++++，即222211(1)1k a y x a k a --=-++∴直线l 过定点2210,1a a ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭例3 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与)1,3(-=a 共线.（1）求椭圆的离心率；即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由（I ）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+))((33.8321212121222222221c x c x x x y y x x c ba b a c a x x --++=+∴=+-=∴.0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x又222222212133,33b y x b y x=+=+又，代入①得 .122=+μλ故22μλ+为定值，定值为1.例4 设21,F F 是椭圆134:22=+y x C 的左右焦点，B A ,分别为左顶点和上顶点，过右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于N M ,两点，直线AN AM ,分别与已知直线4=x 交于点Q P ,，试探究以PQ 为直径的圆与直线l 的位置关系.高二数学作业（13）1.过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交曲线的左支于M N，两点，2F 为其右焦点，则22MFNF MN+-的值为______．82.AB 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中不平行于对称轴的一条弦，M是AB 的中点，O 是椭圆的中心，OMABk k ⋅=______22ab -3.在椭圆2212x y +=上，对不同于顶点的任意三个点,,M A B ，存在锐角θ，使OB OA OM θθsin cos +=．则直线OA 与OB 的斜率之积为 . 12-4.如图，AB 是平面α的斜线段．．．，A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使得ABP △的面积为定值，则动点P 的轨迹是 椭圆5.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.解：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON|=1，|OM|=22，则OA B P α （第4到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时， 设直线ON 的方程为kxy =（显然22||>k ），则直线OM 的方程为x y k1-=.由⎩⎨⎧=+=1422y x kxy ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，所以22412||k kON ++=.同理121222||-+=k k OM .设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+，所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d=33.综上，O 到直线MN 的距离是定值.6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22143x y +=若点A ，B分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l于点.M 设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.证明：直线BP 的斜率为1212y kx =-，直线m 的斜率为112mx ky -=,则直线m 的方程为112(2)x y yx y --=-，111101111222(2)4(2)2x x x y y x y x y y y x ---=-+=-++ABMPOlxym2211111122(4)4(2)x x y x y x y --+=++2211111122(4)123(2)x x x x y x y --+-=++=111122x x x y y --+=112(1)xx y-+， 所以直线m 过定点(1,0)-．7.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，且过点)21,22(P ，记椭圆的左顶点为.A（1）求椭圆的方程；（2）设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于B ，C 两点，试求ABC ∆面积的最大值；（3）过点A 作两条斜率分别为1k ，2k 的直线交椭圆于D ，E两点，且221=k k ，求证：直线DE 恒过一个定点.高二数学教学案（13）例1 已知椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点为M （0，1），过M的两条动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB 。

解析几何中定点定值问题例1 已知椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点为M 〔0，1〕，过M 的两条动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB 。

对于给定的实数)1(>a a ，证明：直线AB 过定点。

解：由0MA MB ⋅=知MA MB ⊥，从而直线MA 与坐标轴不垂直， 故可设直线MA 的方程为1y kx =+，直线MB 的方程为11y x k=-+ 将1y kx =+代入椭圆C 的方程，整理得 2222(1)20a k x a kx ++=解得0x =或22221a k x a k -=+，故点A 的坐标为222222221(,)11a k a k a k a k --++ 同理，点B 的坐标为22222222(,)a k k a k a k a-++ 知直线l 的斜率为2222222222222211221k a a k k a a k a k a k k a a k ---++--++=221(1)k a k-+ 直线l 的方程为22222222212()(1)k a k k a y x a k k a k a --=-++++，即222211(1)1k a y x a k a --=-++∴直线l 过定点2210,1a a ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭例3 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. 〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕设M 为椭圆上任意一点，且),(R OB OA OM ∈+=μλλλ，证明22μλ+为定值.〔I 〕解：设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+),,(2121y y x x OB OA ++=+由a OB OA a 与+-=),1,3(共线，得.0)()(32121=+++x x y y.36,36.3,232.23,0)()2(3,,22222222121212211===-=∴==+=+∴=++-+∴-=-=a c e ab ac b a cba c a cx x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又 〔II 〕证明：由〔I 〕知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),,(),(),(),,(2211y x y x y x y x OM μλ+==由已知得设 ⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由〔I 〕知.21,23,23222221c b c a c x x ===+))((33.8321212121222222221c x c x x x y y x x c ba b a c a x x --++=+∴=+-=∴ .0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x又222222212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1.例4 设21,F F 是椭圆134:22=+y x C 的左右焦点，B A ,分别为左顶点和上顶点，过右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于N M ,两点，直线AN AM ,分别与已知直线4=x 交于点Q P ,，试探究以PQ 为直径的圆与直线l 的位置关系.高二数学作业〔13〕1.过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交曲线的左支于M N ，两点，2F 为其右焦点，则22MF NF MN +-的值为______．82.AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中不平行于对称轴的一条弦，M 是AB 的中点，O 是椭圆的中心，OM AB k k ⋅=______ 22ab -3.在椭圆2212x y +=上，对不同于顶点的任意三个点,,M A B ，存在锐角θ，使OB OA OM θθsin cos +=．则直线OA 与OB 的斜率之积为 . 12-4.如图，AB 是平面α的斜线段．．．，A 为斜足，假设点P 在平面α内运动，使得ABP △的面积为定值，则动点P 的轨迹是 椭圆5.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .椭圆14:222=+y x C . 假设M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.解：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON|=1，|OM|=22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为kx y =〔显然22||>k 〕，则直线OM 的方程为x y k1-=.由⎩⎨⎧=+=1422y x kxy ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，所以22412||k kON ++=.同理121222||-+=k k OM .设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+，所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d=33.综上，O 到直线MN 的距离是定值.A B P α〔第4题〕6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22143x y +=假设点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点.M 设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.证明：直线BP 的斜率为1212y k x =-，直线m 的斜率为112m x k y -=,则直线m 的方程为1012(2)x y y x y --=-， 111101111222(2)4(2)2x x x y y x y x y y y x ---=-+=-++ 2211111122(4)4(2)x x y x y x y --+=++2211111122(4)123(2)x x x x y x y --+-=++=111122x x x y y --+=112(1)x x y -+，所以直线m 过定点(1,0)-．7.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22，且过点)21,22(P ，记椭圆的左顶点为.A 〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于B ，C 两点，试求ABC ∆面积的最大值；〔3〕过点A 作两条斜率分别为1k ，2k 的直线交椭圆于D ，E 两点，且221=k k ，求证：直线DE 恒过一个定点.高二数学教学案〔13〕例1 已知椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点为M 〔0，1〕，过M 的两条动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB 。

◆直线与圆锥曲线的定点、定值、定线问题一、定点问题定点问题，一般是直线系（或者曲线系）恒过定点的问题，这类问题一般解法是根据曲线的动因，先选择适当的参数，用参数表示出直线系（或者曲线系）方程，然后按参数整理，并令参数的系数为0得方程组，解方程方程组求出定点坐标.例如：（1）直线系1y kx =+中，当k 变化时，恒过定点(0,1)；（2）直线系2(1)y k x +=-中，当k 变化时，恒过定点(1,2)-；（3）已知直线1:40l x y +-=，2:270l x y +-=，则过1l ，2l 交点的直线可以设为(4)(27)0x y m x y +-++-=，即(21)(1)7m x m y m +++--=.直线系(21)(1)740m x m y m +++--=恒过1l ，2l 的交点.1．如图，等边三角形OAB的边长为且其三个顶点均在抛物线上．（1）求抛物线E 的方程；（2）设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线1y =-相交于点Q ．证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．2.一条直线l 与抛物线22y px =（0p >）交于A 、B 两点，OA OB ⊥（O 为坐标原点）.求证直线l 恒过定点，并求出定点的坐标.3.222122221223231311(0)45|PF |=3|MN|=4.(1)C a b C xC C C y C C yx yab+=>>=已知椭圆：的右焦点F 与抛物线：的焦点重合，椭圆与抛物线在第一象限的交点为P ，，圆C 的圆心T 是抛物线上的动点，圆C 与轴交于M,N 两点，且求椭圆的方程。

（2）证明：无论点T 运动到何处，圆C 恒经过椭圆上一点二、定值问题定值问题的主要处理方法是函数方法，首先，选择适当的量为变量，然后把证明为定值的量表示为上述变量的函数（可能含多元），最后把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值.消去变量的过程中，经常要用到点在曲线上进行坐标代换消元.有时先从特殊情形入手，求出定值，再对一般情形进行证明，这样可使问题的方向更加明确.另外关注图形的几何性质可简化计算.例如（1）椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为定值；（2）双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为定值；（3）抛物线上任意一点到焦点的距离与到准线的距离的比等于 1.（4）过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作直线与抛物线交于A 、B 两点，则A 、B 两点的横坐标之积为定值4221p x x =，纵坐标之积为定值y 1y 2=-p 2.；11AF BF +为定值2p . 【顺便记住)(21x x p AB ++== 2p sin 2θ.】4.已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ．（1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，求证：12x x ⋅为定值，并求出此定值．5.设000(,)A x y 是曲线2:4C x y =上的一个定点，过点0A 任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C 相交于另外两点P 、Q .证明：直线PQ 的斜率为定值.三.定直线（轨迹）问题证明动点在某一直线上（或某轨迹上）的问题，可以转化为求动点的轨迹问题，基本的方法有直接法和消参法。

专题六 定点、定值问题知识点一、直线和曲线过定点直线或曲线方程中一定含有参数，既然过定点，那么这个方程就要对参数取任意值均成立。

所以把方程一端化为0，分离参数，化成λλ(,0),(),(=+y x g y x f 为参数）⎩⎨⎧==⇒0),(0),(y x g y x f ，解这个方程组，这个方程组的解所确定点就是直线或曲线所经过的定点。

注意：（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手确定定点（定直线）然后证明即先猜后证；（2）遇到含有参数方程时，清楚方程为哪一类曲线（直线），从而观察曲线是否过定点，尤其含参方法（1（2例13。

（1线MA例2（145=，例3、椭圆方程为：13422=+y x ，其短轴端点为M 、N ，直线l 过点P （0，1）交椭圆于A 、B 两点（异于点M 、N ）证明直线AM 与直线BN 的交点的纵坐标为定值。

练习1、椭圆方程为：13422=+y x ，其长轴端点为M 、N ，直线l 过右焦点交椭圆于A 、B 两点（异于点M 、N ）证明直线AM 与直线BN 的交点的轨迹为定直线.1:1-y x l （1例4（1）点P （2）点2倍，例5、椭圆方程为：13422=+y x ，过右焦点F 的直线21,l l 分别交椭圆于A 、B 和C 、D ，且21l l ⊥，证明：过AB 和CD 中点的直线过定点。

归纳：椭圆：)0(12222>>=+b a by a x ， ①过右焦点F 的直线21,l l 分别交椭圆于A 、B 和C 、D ，且21l l ⊥，则过AB 和CD 中点的直线过定点)0,(222ba c a +。

②过点M （)0,m 的直线21,l l 分别交椭圆于A 、B 和C 、D ，且21l l ⊥，则过AB 和CD 中点的直线过定点,m (222b a a +例6，证明：直线AB例7m 交例8,,21k k （1）求证：4121-=⋅k k ；（2）试探求⊿OPQ 的面积S 是否为定值，并说明理由。

专题5．4 解析几何中的定值与定点问题一．方法综述解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下；（1）定值问题：解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性；一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。

（2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

二．解题策略类型一定值问题【例1】（2020•青浦区一模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（）A．B．C．2p D．【答案】D【解析】抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k（x﹣），所以，整理得，设点A（x1，y1），B（x2，y2），所以，所以，同理设经过焦点直线CD的方程为y＝﹣（x﹣），所以，整理得，所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以，则则+＝．故选：D．【点评】求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.【举一反三】1.（2020•华阴市模拟）已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与圆（x﹣1）2+y2＝1交于不同的两点B，C（如图），则|AB|•|CD|的值是（）A．2B．2C．1D．【答案】C【解析】设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线方程为y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为F（1，0），圆心与焦点重合，半径为1，又由直线过抛物线的焦点F，则|AB|＝x1+1﹣1＝x1，|CD|＝x2+1﹣1＝x2，即有|AB|•|CD|＝x1x2，设直线方程为x＝my+1，代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，则y1y2＝﹣4，x1x2＝＝1，故选：C．2．（2020温州高三月考）如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线P A，PB，斜率分别为k1，k2．若k1•k2为定值，则λ＝（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取P（a，0），设切线方程为：y＝k（x﹣a），代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2λ＝0，令△＝4a6k4﹣4（b2+a2k2）（a4k2﹣a2b2λ）＝0，化为：（a2﹣a2λ）k2＝b2λ，∴k1•k2＝，取P（0，b），设切线方程为：y＝kx+b，代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2kba2x+a2b2（1﹣λ）＝0，令△＝4k2b2a4﹣4（b2+a2k2）a2b2（1﹣λ）＝0，化为：λa2k2＝b2（1﹣λ），∴k1•k2＝，又k1•k2为定值，∴＝，解得λ＝．故选：C．3．（2020•公安县高三模拟）已知椭圆的离心率为，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3（k1k2k3≠0）．若直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1（O为坐标原点），则＝．【答案】2【解析】∵椭圆的离心率为，∴，则，得．又三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，三条边所在直线的斜率分别为k1、k2，k3，且k1、k2，k3均不为0．O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则，，两式作差得，，则，即，同理可得，．∴＝＝﹣2×（﹣1）＝2．类型二定点问题【例2】（2020•渝中区高三模拟）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点，过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线l′∥l，且l′与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，0）D．（2，0）【答案】A【解析】设A（m，m2），B（0，n），∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1）又A，B同在一个以F为圆心的圆上，∴|BF|＝|AF|∴n﹣1＝＝m2+1∴n＝m2+2∴直线l的斜率k＝＝﹣∵直线l′∥l，∴直线l′的斜率为k，设点D（a，a2），∵y＝x2，∴y′＝x，∴k＝a，∴a＝﹣，∴a＝﹣∴直线AD的斜率为＝＝＝，∴直线AD的方程为y﹣m2＝（x﹣m），整理可得y＝x+1，故直线AD经过的定点的坐标是（0，1），故选：A．【点评】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 【举一反三】1．（2020·全国高考模拟（理））已知抛物线28x y =，过点(),4P b 作该抛物线的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 恒过定点，则该定点为（ ）A ．()4,0B ．()3,2C ．()0,4-D ．()4,1【答案】C【解析】设A B ，的坐标为()11x y ，，()22x y ，28x y =，4x y '=， PA PB ，的方程为()1114x y y x x -=-，()2224xy y x x -=- 由22118x y =，22228x y =，可得114x y x y =-，224x y x y =-切线PA PB ，都过点()4P b ，1144x b y ∴=⨯-，2244xb y =⨯-， 故可知过A ，B 两点的直线方程为44bx y =-， 当0x =时，4y =∴直线AB 恒过定点()04-，，故选C2．（2020·重庆高考模拟（理））已知圆22:1C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.（ ）A ．11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ C．⎫⎪⎪⎝⎭D．⎛ ⎝⎭ 【答案】B【解析】设()42,,,P m m PA PB -是圆C 的切线，,,CA PA CB PB AB ∴⊥⊥∴是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦，可得以PC 为直径的圆的方程为()()22222224m m x m y m ⎛⎫⎡⎤--+-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭， ① 又221x y += ， ②①-②得():221AB m x my -+=， 可得11,42⎛⎫⎪⎝⎭满足上式，即AB 过定点11,42⎛⎫⎪⎝⎭，故选B. 3．（2020大理一模）已知椭圆221164x y +=的左顶点为A ，过A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，满足122k k ⋅=-，则直线MN 经过的定点为___________． 【答案】28,09T ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】 由()2221211141616414=+4M x y k x k y k x ⎧+=-⎪⇒=⎨+⎪⎩， 同理222122214164641416N k k x k k --==++． 121814M k y k =+，1211616Nk y k -=+, 取11k =，由对称性可知，直线MN 经过x 轴上的定点28,09T ⎛⎫-⎪⎝⎭.【归纳总结】在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一定点A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，当12k k ⋅为非零常数时，直线MN 经过定点.三．强化训练1．（2020·黑龙江高三模拟）直线l 与抛物线x y C 2:2=交于B A ,两点，O 为坐标原点，若直线OB OA ,的斜率1k ，2k 满足3221=k k ，则l 的横截距（ ） A ．为定值3- B ．为定值3 C ．为定值1- D ．不是定值 【答案】A【解析】设直线l 的方程为y kx b =+，由题意得22y kx b y x=+⎧⎨=⎩，则得()222220k x kb x b +-+=； 设A ，B 两点的坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，则得12222kb x x k-+=，2122b x x k =； 又因为3221=k k ，即121223y y x x =，所以()2222222121222221222222222223k x x kb x x b kb k b k k b k b k k b k k k k x x b b b b +++--+-=++=+=== ，则得3b k =，直线l 的方程为()33y kx b kx k k x =+=+=+； 当0y =时，3x =-，所以直线l 的横截距为定值3-.故选A.2．（2020·辽宁省朝阳市第二高级中学高二期中（文））如果直线7ax by +=（0a >，0b >） 和函数()1log m f x x =+（0m >，1m ≠）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(1)25x b y a +-++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是（ ）A ．3443⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．340,,43⎛⎤⎡⎫⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A【解析】根据指数函数的性质，可得函数()1log ,(0,1)m f x x m m >≠=+，恒过定点(1,1). 将点(1,1)代入7ax by +=，可得7a b +=.由于(1,1)始终落在所给圆的内部或圆上，所以2225a b +.又由227,25,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩，所以点(,)a b 在以(3,4)和(4,3)为端点的线段上运动， 当取点(3,4)时，43b a =，取点(4,3)时，34b a，所以b a 的取值范围是34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.3．（2020·全国高三模拟）过x 轴上的点(),0P a 的直线与抛物线28y x =交于,A B 两点，若2211||||AP BP +为定值，则实数a 的值为（ ）A.1B.2 C ．3 D ．4 【答案】D【解析】设直线AB 的方程为x my a =+，代入28y x =，得2880y my a --=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则12128,8y y m y y a +=⋅=-.()()()2222222111111AP x a y my y m y =-+=+=+，同理，()22221BP m y =+，∴()21212222222221212211111111y y y y m y y m y y AP BP+-⎛⎫+=+= ⋅⎪++⎝⎭ ()()22222264284164114m a m am a a m -⨯-+=+⋅=+，∵2211||||AP BP +为定值， 是与m 无关的常数，∴4a =．故选D ．4．（2020•越城区高三期末）已知A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，则“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件【答案】B【解析】根据题意，A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 若“•＝0”，则设直线AB 方程为x ＝my +b ，将直线AB 方程代入抛物线方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣4b ＝0，则y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4b ， 若•＝0，则•＝x 1x 2+y 1y 2＝（）+y 1y 2＝+y 1y 2＝b 2﹣4b ＝0，解可得：b ＝4或b ＝0，又由b ≠0，则b ＝4，则直线AB 的方程为x ＝my +4，即my ＝x ﹣4，则直线AB 恒过定点（4，0）， “•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的充分条件；反之：若直线AB 恒过定点（4，0），设直线AB 的方程为x ＝my +4，将直线AB 方程代入抛物线方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣16＝0，则有y 1y 2＝﹣16， 此时•＝x 1x 2+y 1y 2＝（）+y 1y 2＝+y 1y 2＝0，故“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的必要条件；综合可得：“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的充要条件；故选：B ．5．（2020·湖北高考模拟）设12(,0),(,0)F c F c -是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是12F PF ∠的角平分线，过点1F 作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则||OQ 的长为（ ） A ．定值a B ．定值bC ．定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化【答案】A【解析】依题意如图，延长F 1Q ，交PF 2于点T ， ∵PQ 是∠F 1PF 2的角分线．TF 1是PQ 的垂线， ∴PQ 是TF 1的中垂线，∴|PF 1|＝|PT |，∵P 为双曲线2222x y a b-=1上一点，∴|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ， ∴|TF 2|＝2a ，在三角形F 1F 2T 中，QO 是中位线， ∴|OQ |＝a ． 故选：A ．6．（2020·浙江省杭州第二中学高三）设点(),P x y 是圆22:2210C x y x y ++-+=上任意一点，若212x y x y a -+++--为定值，则a 的值可能为（ ）A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-【答案】D【解析】圆C 标准方程为22(1)(1)1x y ++-=，圆心为(1,1)C -，半径为1r =，直线:20l x y a --=2115a---=，35a =-当35a =-+C 在直线l 上方，20x y a --≤，当=--35a C 在直线l 下方，20x y a --≥，若212x y x y a -+++--为定值，则20x y a --≥，因此35a ≤-D 满足． 故选：D.7．（2020·湖北高考模拟（理））已知圆C ： 224x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ， ,A B 为切点，则直线AB 经过定点（ ）A ．48,99⎛⎫⎪⎝⎭ B ．24,99⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,0D ．()9,0 【答案】A【解析】设()()()112200,,,,,,A x y B x y P x y 则1122:4;:4;PA x x y y PB x x y y +=+= 即101020204;4;x x y y x x y y +=+=因此A 、B 在直线004x x y y +=上，直线AB 方程为004x x y y +=， 又00290x y +-=，所以()()0009242940y x y y y y x x -+=⇒-+-= 即8420,940,99y x x y x -=-=⇒==，直线AB 经过定点48,99⎛⎫⎪⎝⎭，选A. 8．（2020·全国高三期末（理））已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y =kx +b (k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题： ①当k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ②当k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ③当k 为变数，b 为常数时，sin (α＋β)是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】设点11()E x y ，，22()F x y ，，由三角函数的定义得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，， 将直线EF 的方程与的方程联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得2221(1)204k x kbx b +++-=， 由韦达定理得122212221141kb x x k b x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，，所以2112sin()sin cos cos sin 44x y x y αβαβαβ+=+=+=222112121222188244()4()84()11k b kb k x kx b x kx b kx x b x x k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+++=++==-++，因此，当k 是常数时，sin()αβ+是常数，故选B (特值法可秒杀)9．（2020·浙江高三期末）斜率为k 的直线l 过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，交抛物线于,A B 两点，点00(,)P x y 为AB 中点，作OQ AB ⊥，垂足为Q ，则下列结论中不正确的是（ ）A ．0ky 为定值B ．OA OB ⋅为定值C ．点P 的轨迹为圆的一部分D ．点Q 的轨迹是圆的一部分【答案】C【解析】设抛物线22(0)y px p =>上,A B 两点坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ，则2211222,2,y px y px ==两式做差得，121212()()2()y y y y p x x +-=-，整理得1201212022,,2.y y p pk ky p x x y y y -=∴=∴=-+为定值，所以A 正确.因为焦点(,0)2p F ，所以直线AB 方程为()2p y k x =-.由2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2222244(2)0k x p k x p k -++=，则22121222(2),,4p k p x x x x k ++== 222212121212()()[()]2224p p p p y y k x x k x x x x p =--=-++=-.2121234OA OB x x y y p ∴⋅=+=-为定值.故B 正确. ,OQ AB ⊥∴点Q 的轨迹是以OF 为直径的圆的一部分，故D 正确.本题选择C 选项.10．（2020·安徽高三月考（理））已知抛物线2:8C y x =，圆22:(2)4F x y -+=，直线:(2)(0)l y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于1234,,,M M M M 四点，则下列各式结果为定值的是（ ） A ．1324M M M M ⋅ B ．14FM FM ⋅ C ．1234M M M M ⋅ D ．112FM M M ⋅【答案】C 【解析】由()228y k x y x⎧=-⎨=⎩消去y 整理得2222(48)40(0)k x k x k k -++=≠，设111422(,),(,)M x y M x y ，则21212248,4k x x x x k++==． 过点14,M M 分别作直线:2l x '=-的垂线，垂足分别为,A B ， 则11422,2M F x M F x =+=+．对于A ，13241412(2)(2)(4)(4)M M M M M F M F x x ⋅=++=++12124()16x x x x =+++，不为定值，故A 不正确．对于B ，14121212(2)(2)2()4FM FM x x x x x x ⋅=++=+++，不为定值，故B 不正确． 对于C ，12341412(2)(2)4M M M M M F M F x x ⋅=--==，为定值，故C 正确．对于D ，1121111(2)(2)FM M M M F M F x x ⋅=⋅-=+，不为定值，故D 不正确．选C ．11．（2020·南昌县莲塘第一中学高三月考（理））在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L -距离”定义为121212|||||.PP x x y y =-+-‖则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L -距离”之和等于定值（大于12|F F ）的点的轨迹可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设12(,0),(,0)F c F c -，再设动点(,)M x y ，动点到定点12,F F 的“L­距离”之和等于(20)m m c >>，由题意可得：x c y x c y m ++-++=，即2x c x c y m -+++=， 当,0x c y <-≥时，方程化为220x y m -+=； 当,0x c y <-<时，方程化为220x y m ++=；当,0c x c y -≤<≥时，方程化为2my c =-； 当,0c x c y -≤<<时，方程化为2my c =-；当,0x c y ≥≥时，方程化为220x y m +-=； 当,0x c y ≥<时，方程化为220x y m --=；结合题目中给出四个选项可知，选项A 中的图象符合要求，故选A ． 12．（2020·东北育才学校高三月考（理））有如下3个命题；①双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点P 到两条渐近线的距离乘积是定值；②双曲线2222222211(0,0)x y x y a b a b b a-=-=>>与的离心率分别是12e e 、，则22122212e e e e +是定值；③过抛物线22(0)x py p =>的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A B 、，则直线AB 过定点；其中正确的命题有（ ） A ．3个 B ．2个C ．1个D ．0个【答案】A【解析】①双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）上任意一点P ，设为（m ，n ），两条渐近线方程为y=±ba x=222222b m a n a b -+， 由b 2m 2﹣a 2n 2=a 2b 2，可得两个距离乘积是定值2222a b a b+； ②双曲线2222x y a b -=1与22221x y b a -=（a ＞0，b ＞0）的离心率分别是e 1，e 2，即有e 12=222a b a +，e 22=222a b b +，可得22122212e e e e +为定值1；③过抛物线x 2=2py （p ＞0）的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A ，B ，可设A （s ，22s p），B （t ，22t p ），由OA ⊥OB 可得st+2224s t p=0，即有st=﹣4p 2， k AB =()222t s p t s --=2t s p +，可得直线AB 的方程为y ﹣22s p=2t s p +（x ﹣s ），即为y=2t s p +x+2p ， 则直线AB 过定点（0，2p ）．三个命题都正确．故选A ．13．已知O 为坐标原点，点M 在双曲线22:C x y λ-=（λ为正常数）上，过点M 作双曲线C 的某一条渐近线的垂线，垂足为N ，则ON MN ⋅的值为（ ） A ．2λB ．λC ．2λD ．无法确定【来源】四川省南充市2021届高三第三次模拟考试数学（文）试题 【答案】A【解析】设(,)M m n ，即有22m n λ-=，双曲线的渐近线为y x =±，可得MN =，由勾股定理可得ON ===，可得2222m n ON MN λ-⋅=== ．故选：A ．14．已知1F 、2F 是双曲线C ：2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（ ）.A ．13B ．12C ．2D ．3【来源】河南省豫南九校2020-2021学年高三上学期期末联考理数试题 【答案】C 【解析】1a =，2b =，∴c =1(F，2F， 设点)P m ，∴2222()(1))1504m OP OFF P m m m +⋅=⋅=+-+=， ∴2165m =，m =，则P ±，14PF ===， ∴2122PF PF a =-=，∴12422PF PF λ===， 故选：C.15．已知1F ，2F 是双曲线221169x y -=的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为60︒，那么22||+-PF QF PQ 的值为A ．16B ．12C ．8D ．随α变化而变化【答案】A【解析】由双曲线方程221169x y -=知，28a =，双曲线的渐近线方程为34y x 直线PQ 的倾斜角为60︒，所以334PQ k =>，又直线PQ 过焦点1F ，如图 所以直线PQ 与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得，2128PF PF a -==…………(1)，2128QF QF a -== (2)由(1)+(2)得2211()16PF QF QF PF +-+=，2216PF QF PQ ∴+-=. 故选：A16．已知椭圆()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，则1MPF 与2MPF 的面积之和为( ) A ．1B ．32C ．2D ．3【来源】中学生标准学术能力诊断性测试2020-2021学年高三上学期1月测试理文数学（一卷）试题 【答案】C【解析】如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，作一圆与线段F 1P ，F 1F 2的延长线都相切，并且与线段PF 2也相切，切点分别为D ，A ，B ，1111221122||||||||||||||||||||F D F A PF PD F F F A PF PB F F F A =⇔+=+⇔+=+， 12122212122||||||||||||||||||2||PF PB F B F F F A F B PF PF F F F A ⇔++=++⇔+=+，所以2||F A a c =-(c 为椭圆半焦距)，从而点A 为椭圆长轴端点，即圆心M 的轨迹是直线x =a (除点A 外). 因点M (2,1)在12PF F ∠的平分线上，且椭圆右端点A (2,0)，所以点M 是上述圆心轨迹上的点，即点M 到直线F 1P ，PF 2，F 1F 2的距离都相等，且均为1，1MPF 与2MPF 的面积之和为1212111||1||1(||||)2222PF PF PF PF ⋅⋅+⋅⋅=+=.故选：C17．已知椭圆2214x y +=的上顶点为,A B C 、为椭圆上异于A 的两点，且AB AC ⊥，则直线BC 过定点（ ） A ．(1,0) B ．(3,0)C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设直线BC 的方程为x ky m =+，()()1122,,B x y C x y 、，则由2214x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2224240k y mky m +++-=， 所以212122224,44mk m y y y y k k --+==++， ()22222121212224244m mkx x k y y mk y y m k mk m k k --=+++=++++，因为()0,1A ，()()1122,1,1A x y B C x y A --==,，AB AC ⊥， 所以()()()1212121212111x x y y x x y y y y AB AC +-=-=++⋅-+22222222224242125304444m mk m mk k mk m km m k k k k k ---=+++++=+-=++++解得m k =-或35m k =， 当m k =-时，直线BC 的方程为()1x ky k k y =-=-，直线过()0,1点而()0,1A ，而,A B C 、不在同一直线上，不合题意； 当35m k =时，直线BC 的方程为3355x ky k k y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，直线过30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意.故选：D.18．已知椭圆221124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2231OMON+=（ ）A ．54B ．45C ．43D ．34【来源】安徽省宣城市第二中学2020-2021学年高三下学期第一次月考理科数学试题 【答案】D【解析】设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则切线GP 的方程为114x x y y +=，切线GQ 的方程为224x x y y +=， 因为点G 在切线,GP GQ 上，所以13134x x y y +=，23234x x y y +=，所以直线PQ 的方程为334x x y y +=， 所以3344(,0),(0,)M N x y ， 因为点33(,)G x y 在椭圆221124y x +=上，所以2233312x y +=，所以22223333223311123(3)161616164x y x y OM ON+=+=+==， 故选：D19．已知椭圆22:142x y C +=的左右顶点分别为,A B ，过x 轴上点(4,0)M -作一直线PQ 与椭圆交于,P Q 两点（异于,A B ），若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为12,k k ，则12:k k =（ ） A ．13B ．3C ．12D ．2【来源】湖北省“大课改、大数据、大测评”2020-2021学年高三上学期联合测评数学试题 【答案】A【解析】设(),N x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，设直线PQ 的方程：4x my =-由,,P N A 和,,Q N B 三点共线可知11222222y y x x y y x x ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪--⎩ ， 解得：()()()()()()()()1221122112211221222226222262y x y x y my y my x y x y x y my y my -++-+-==--++--+-1212122623my y y y x y y --∴=-，12121226643my y y y x y y +-+=-，（*）联立224142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得()2228120m y my +-+=，22226448(2)16(6)0,6m m m m ∆=-+=->>，12121212228123,,()222m y y y y my y y y m m +==∴=+++， 代入（*）得121293433y y x y y -+==-，14y k x =+，22y k x =+ ，122211443k x k x x +∴==-=++.故选：A20.（2020·北京市第二中学分校高三（理））抛物线24y x =上两个不同的点A ，B ，满足OA OB ⊥，则直线AB 一定过定点，此定点坐标为__________． 【答案】(4,0).【解析】设直线l 的方程为x ty b =+代入抛物线24y x =，消去x 得2440y ty b --=,设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y b =-，∴()()()221212121212OA OB ty b ty b y y t y y bt y y b y y ⋅=+++=++++222444bt bt b b =-++- 24b b =-=0，∴0b =（舍去）或4b =, 故直线l 过定点()4,0．21．（2020·江苏扬州中学高三月考）已知点(2,0),(4,0)A B -，圆,16)()4(:22=+++b y x C 点P 是圆C 上任意一点，若PAPB为定值，则b =________.【答案】0【解析】设(,)P x y ，PAk PB =k =， 整理得222222(1)(1)(48)4160k x k y k x k -+-+++-=， 又P 是圆C 上的任意一点，故1k ≠，圆C 的一般方程为222820x y x by b ++++=，因此20b =，22222484168,11k k b k k+-==--，解得0b =. 22．（2020·江苏海安高级中学高三）在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点O ）为y 轴上的一个定点．若以AB 为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为_____．【解析】设O 2（a ，0），圆O 2的半径为r （变量），OP=t （常数），则222222221)222tan ,tan ,2tan 141,(4,22tan 3232r a r a rOPA OPB t t a r a rrtt t APB a r t a r t a r a rt tAPB t t r r +-+∠=∠=+--∴∠==-+-++=+∴=-∴∠==-+-+∵∠APB 的大小恒为定值，∴t23．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22184x y +=上一点A ，点B 是椭圆上任意一点（异于点A ），过点B 作与直线OA 平行的直线l 交椭圆于点C ，当直线AB 、AC 斜率都存在时，AB AC k k +=___________. 【答案】0【解析】取特殊点B ()0,2-，则BC的方程为22y x +=，由22242y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得C ()所以202AB AC k k +==. 24．（2020·河北定州一中高三月考）P 为圆()22:15C x y -+=上任意一点，异于点()2,3A 的定点B 满足PBPA为常数，则点B 的坐标为______． 【答案】33,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设()()00,,,,PA P x y B x y PBλ=，则()2215x y -+=，可得2242x y x +=+，① ()()()()222220023x x y y x y y λ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦，②由①②得()2200002224x x y y x y --+++2222617x y λλλ=--+，可得202002220022226417x y x y λλλ⎧-=-⎪-=-⎨⎪++=⎩，解得002323212x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，B ∴点坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 25．（2020·上海长岛中学高三）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是双曲线22124x y -=上的两个动点，动点P 满足2OP OM ON =-，直线OM 与直线ON 斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12PF PF -为定值，则该定值为________【答案】【解析】设P （x ，y ），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由2OP OM ON =-，得（x ，y ）=2（x 1，y 1）-（x 2，y 2）， 即x=2x 1-x 2，y=2y 1-y 2，∵点M ，N 在双曲线22124x y -=上，所以2211124x y -=，2222124x y -=，故2x 2-y 2=（8x 12+2x 22-8x 1x 2）-（4y 12+y 22-4y 1y 2）=20-4（2x 1x 2-y 1y 2）， 设k 0M ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，根据题意可知k 0M k ON =2， ∴y 1y 2-2 x 1x 2=0， ∴2x 2-y 2=20，所以P 在双曲线2x 2-y 2=20上； 设该双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，由双曲线的定义可推断出12PF PF -为定值，该定值为26．（2020·江苏高三月考）椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________． 【答案】(1,0)【解析】当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y=kx+m ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0， 设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=28km 34k -+，x 1x 2=2241234m k-+， 又A （﹣2，0），由题知k AB •k AC =121222y y x x ++=﹣14， 则（x 1+2）（x 2+2）+4y 1y 2=0，且x 1，x 2≠﹣2， 则x 1•x 2+2（x 1+x 2）+4+4（kx 1+m ）（kx 2+m ） =（1+4k 2）x 1x 2+（2+4km ）（x 1+x 2）+4m2+4=()()2221441234k m k+-++（2+4km ）28km 34k -++4m2+4=0则m 2﹣km ﹣2k 2=0， ∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0， ∴m=2k 或m=﹣k ．当m=2k 时，直线BC 的方程为y=kx+2k=k （x+2）． 此时直线BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．当m=﹣k 时，直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线BC 过定点（1，0）． 当直线BC 的斜率不存在时，若直线BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1，32），（1，﹣32），满足k AB •k AC =﹣14． 综上，直线BC 过定点（1，0）． 故答案为：（1，0）．27．已知双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线相交于P 、Q 两点，若以线段PQ为直径的圆过定点M ，则MF =______．【来源】金科大联考2020届高三5月质量检测数学（理科）试题 【答案】3【解析】点F 的坐标为()2,0，双曲线的方程可化为2233x y -=，①当直线l 的斜率不存在时，点P 、Q 的坐标分别为()2,3、()2,3-， 此时以线段PQ 为直径的圆的方程为()2229x y -+=；②当直线l 的斜率存在时，设点P 、Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 记双曲线C 的左顶点的坐标为()1,0A -，直线l 的方程为()2y k x =-，联立方程()22332x y y k x ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 后整理为()()222234340kxk x k -+-+=，2422230164(3)(34)36(1)0k k k k k ⎧-≠⎨∆=+-+=+>⎩,即k ≠ 有2122212243343k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，()()()22121212122224y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦，222222234894333k k k k k k k ⎛⎫+=-+- ⎪---⎝⎭，()111,AP x y =+，()221,AQ x y =+，()()()1212121212111AP AQ x x y y x x x x y y ⋅=+++=+++⎡⎤⎣⎦ 22222222344931103333k k k k k k k k +-=+-+=+=----． 故以线段PQ 为直径的圆过定点()1,0M -，3MF =．28．双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 交圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____. 【答案】34-【解析】设()()()00,,2,02,0P x y A B - 2200143x y -=，()222000331444x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2000200032424PA PBy y y x x k k x =⋅=+--= PA 交圆O 于点Q ，所以PA QB ⊥ 易知:33441PA PB PB QBPA QB k k k k k k λ⎧=⎪⇒==-⎨⎪⋅=-⎩即1234k k λ==-. 故答案为：34-29．过双曲线22221x y a b-=的右焦点(,0)F c 的直线交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于P 点，若1PM MF λ=，2PN NF λ=，规定12λλ+=PM PN MF NF +，则PM PNMF NF +的定值为222a b .类比双曲线这一结论，在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，PM PN MF NF+的定值为________. 【来源】贵州省铜仁市思南中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（理）试题【答案】222a b-【解析】如图，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，过点(),0F c 的直线为()y k x c =-，代入椭圆的方程得：()2222222222220b a kxa k cx a k c ab +-+-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则22122222a k c x x b a k +=-+，2222212222a k c ab x x b a k-⋅=+， 过点,M N 分别作x 轴的垂线，垂足为,D E ，则111x PM x c MF λ==--，222=x PNx c NFλ=--，所以()()()()()1221121212122212121212122x x c x x c x x c x x x x x c x c x x c x x c x x c x x c λλ-+--+⎛⎫+=-+=-=-⎪---++-++⎝⎭将22122222a k c x x b a k +=-+，2222212222a k c ab x x b a k -⋅=+代入化简得：21222a b λλ+=-. 故答案为：222a b-.30．若M ，P 是椭圆2214x y +=两动点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线PM ，PN 分别与x 轴相交于不同的两点A (m ，0)，B (n ，0)，则mn =_________.【来源】四川省资阳市2020-2021学年高三上学期期末数学文科试题 【答案】4 【解析】设(),M a b ，则(),N a b -，(),P c d ，则2214a b +=，2214c d +=所以PM d bk c a-=- 直线PM 的方程为()d b y b x a c a --=--，令0y =可得ad bcm d b-=- 同理有PM d b k c a+=- 直线PN 的方程为()d b y b x a c a ++=--，令0y =可得ad bcn d b+=+ 则222222ad bc ad bc a d b c mn d b d b d b -+-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭222222111144111144a c c a c a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()2222414a c a c -==- 31．椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________． 【答案】(1,0)【解析】当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y=kx+m ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0， 设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=28km 34k -+，x 1x 2=2241234m k -+， 又A （﹣2，0），由题知k AB •k AC =121222y y x x ++=﹣14， 则（x 1+2）（x 2+2）+4y 1y 2=0，且x 1，x 2≠﹣2， 则x 1•x 2+2（x 1+x 2）+4+4（kx 1+m ）（kx 2+m ） =（1+4k 2）x 1x 2+（2+4km ）（x 1+x 2）+4m2+4=()()2221441234k m k +-++（2+4km ）28km 34k -++4m2+4=0则m 2﹣km ﹣2k 2=0， ∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0， ∴m=2k 或m=﹣k ．当m=2k 时，直线BC 的方程为y=kx+2k=k （x+2）． 此时直线BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．当m=﹣k 时，直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线BC 过定点（1，0）． 当直线BC 的斜率不存在时，若直线BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1，32），（1，﹣32），满足k AB •k AC =﹣14． 综上，直线BC 过定点（1，0）． 故答案为（1，0）．。

解析几何中的定点、定值问题【典例1】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，直线0x y +-=与圆222x y b +=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）设5(,0)4P ，过点(1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，证明：PA PB ⋅为定值.【解析】（1）∵椭圆C 的离心率为2，∴a =，∵直线0x y +=与圆222x y b +=相切，∴1b ==，∴a ==∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，当直线l 与x 轴不重合时，设l 的方程：1x my =+.由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my ++-=，1221222212m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ∴12242x x m +=+，2122312m x x m -=++，112255,,44PA PB x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()121212525416x x x x y y =-+++223641721616m m --=+=-+. 当直线l 与x 轴重合时，552,02,044PA PB ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎪⎭⎝⎭ 25721616=-=-. ∴故PA PB ⋅为定值716-. 【典例2】已知椭圆()222210x y C a b a b+=>>： 离心率等于12，()23P ，、()3,2-Q 是椭圆上的两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.当,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.【解析】（1）由题意可得2222212491c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a ＝4，b 23=，c ＝2．∴椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）设()11,y x A ，()22,y x B ，当BPQ APQ ∠=∠，则PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k ， 则PB 的斜率为k -，直线PA 的直线方程为()23-=-x k y ，联立()222311612y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，得()()()0482********22=--+-++k x k k x k ．∴()12823234k k x k -+=+．同理直线PB 的直线方程为()23--=-x k y ， 可得()()22282382323434k k k k x k k ---++==++．∴2122161234k x x k -+=+，1224834k x x k --=+， ()()()12121212121223234AB k x k x k x x k y y k x x x x x x -++--+--===---2221612413448234k k k k k k-⋅-+==-+，AB∴的斜率为定值12. 【典例3】已知点Q是圆22(y 36:M x ++=上的动点，点N ，若线段QN 的垂直平分线MQ 于点P .（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程（Ⅱ）若A 是轨迹E 的左顶点，过点()8,3-D 的直线l 与轨迹E 交于B ，C 两点，求证：直线AB 、AC 的斜率之和为定值.【解析】（Ⅰ）由题可知，线段QN 的垂直平分线交MQ 于点P ， 所以PN PQ =，则6PM PN PM PQ +=+=> 所以P 的轨迹是以M N 、为焦点的椭圆，设该椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则26,a c ==24b =，可得动点P 的轨迹E 的方程为22194x y +=.（Ⅰ）由（Ⅰ）可得，过点D 的直线l 斜率存在且不为0， 故可设l 的方程为()0y kx m k =+≠，()()1122,,,B x y C x y ，由22194y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22249189360k x kmx m +++-=，()()()()2222218449936144940km k m k m ∆=-+-=-+>2121222189364949km m x x x x k k -+=-=++ 而()()()()()()()()()()2211221121212123333333333AB AC y x y x kx m x kx m x y yk k x x x x x x +++++++++=+==++++++ ()()()1212121223639kx x k m x x m x x x x ++++=+++()22222293618236494993618394949m km k k m m k k m km k k -⎛⎫⨯++-+ ⎪++⎝⎭=-⎛⎫+⨯-+ ⎪++⎝⎭()833m k =-由于直线l 过点()3,8D -，所以38k m -+=，所以13AB AC k k +=（即为定值）【典例4】已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的右焦点2F 与抛物线x y 42=的焦点重合，且其离心率为21. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知与坐标轴不垂直的直线l 与C 交于M ，N 两点，线段MN 中点为P ，问OP MN k k ⋅（O 为坐标原点）是否为定值？请说明理由．【解析】（1）抛物线x y 42=的焦点为()0,1，∴椭圆C 的半焦距为1=c ， 又椭圆的离心率21==a c e ，2=∴a ，则322=-=c ab ． ∴椭圆C 的方程为13422=+y x . （2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，设l 的方程为m kx y +=，联立⎩⎨⎧=-++=0124322y x m kx y 得()0124843222=-+++m kmx x k . 0>∆即只需3422+<k m ． 设()11,y x M ，()22,y x N 则221438k km x x +-=+，()221214362k mm x x k y y +=++=+ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++-∴22433,434k m k km P ，k k km k mk OP 4343443322-=+-+=∴ 43-=⋅∴OP MN k k【典例5】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与圆O ：223x y +=有且仅有两个公共点，点P 、1F 、2F 分别是椭圆C 上的动点、左焦点、右焦点，三角形12PF F（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 在椭圆第一象限部分上运动，过点P 作圆O 的切线1l ，过点O 作OP 的垂线2l ，求证：1l ，2l 交点Q 的纵坐标的绝对值为定值．【解析】（1）依题意122b cb ⎧=⎪⎨⨯=⎪⎩12b c a ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 所以椭圆C 的方程是13422=+y x ． （2）设点()00,y x P ，()11,y x Q ，则12432020=+y x ，设直线1l 与圆Q 的切点为H ，由几何知识得到：OQ OP OH PQ ⋅=⋅，222OQ OP PQ +=， 所以2222221131OQ OP PQOQ OP OH +=⇒⋅=，即22001x y ++22111x y +=13， 又因为OP OQ ⊥，所以010101100y y x x y y x x +=⇒=-， 代入上式得：22222200000022********010010000020333311111114333312x x x y x y y y x y y x x y x x x +--⎛⎫++-+=⇒=-=== ⎪++⎝⎭，所以2112y =，即1y =【典例6】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且椭圆过点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M ，N 两点，点D 在C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=，判断四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【解析】（1）因为椭圆C的离心率2e ==，即222a b =.因为点)在椭圆C 上，所以22211a b+=. 由22222211a b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得2242a b ⎧=⎨=⎩. 所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=. （2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =，此时四边形OMDN 的面积.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程是m kx y +=，联立方程组22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222124240k x kmx m +++-=，()228420k m∆=+->，122412km x x k -+=+，21222412m x x k -=+，()121222212m y y k x x m k +=++=+.212MNk=+，点O到直线MN的距离是d=由OM ON OD+=，得2412Dkmxk-=+，2212Dmyk=+.因为点D在曲线C上，所以有2222421212142km mk k-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22122k m+=.由题意，四边形OMDN为平行四边形，所以四边形OMDN的面积为OMDNS MN d===.由22122k m+=，得OMDNS∆OMDN.【典例7】已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，M是椭圆C的上顶点，1F，2F是椭圆C的焦点，12MF F∆的周长是6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅰ）过动点()tP,1作直线交椭圆C于A，B两点，且PBPA=，过P作直线l，使l与直线AB 垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标．【解析】（Ⅰ）由于M是椭圆C的上顶点，由题意得226a c+=，又椭圆离心率为12，即12ca=，解得2a=，1c=，又2223b a c=-=，所以椭圆C的标准方程22143x y+=．（Ⅰ）当直线AB斜率存在，设AB的直线方程为()1y t k x-=-，联立()2234121x yy t k x⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，得()()()2223484120k x k t k x t k++-+--=，由题意，>0∆， 设()()1122,,,A x y B x y ， 则()221438k k t k x x +--=+，因为PB PA =，所以P 是AB 的中点． 即1212x x +=，得()24382=+--k k t k ， 043=+kt ①又l AB ⊥，l 的斜率为1k -，直线l 的方程为()11--=-x k t y ② 把①代入②可得：114y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭所以直线l 恒过定点1,04⎛⎫⎪⎝⎭.当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =，此时直线l 为x 轴，也过1,04⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述直线l 恒过点1,04⎛⎫⎪⎝⎭.【典例8】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆222:3M x y +=的切线l （直线l 的斜率存在且不为零）与椭圆相交于A 、B 两点，那么以AB 为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.【解析】（1）因为椭圆C 的离心率e =，所以c a =，即a =.因为抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点，所以a =1,1c b ==.所以椭圆C 的方程为1222=+y x .（2）因为直线l 的斜率存在且不为零.故设直线l 的方程为m kx y +=.由22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()222214220k x kmx m +++-=， 所以设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222422,2121km m x x x x k k --+==++. 所以()()()2222121212122221m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+. 所以221212232221m k OA OB x x y y k --⋅=+=+.① 因为直线l 和圆M 相切，所以圆心到直线l的距离3d ==， 整理，得()22213m k =+，② 将②代入①，得0OA OB ⋅=，显然以AB 为直径的圆经过定点0(0,0) 综上可知，以AB 为直径的圆过定点(0,0).1. 过点(0,1)C 的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>x 轴交于两点(,0)A a 、(,0)B a -，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q .（1）求该椭圆的标准方程；（2）当点P 异于点B 时，求证：OP OQ ⋅为定值. 【解析】（1）由已知得1,2c b a ==，得2a =， ∴椭圆的方程为2214x y +=，椭圆的右焦点为)F，此时直线l的方程为13y x =-+，由222170344y x x x y ⎧=-+⎪⇒-=⎨⎪+=⎩，解得120,x x ==，1216||7CD x ∴=-==；（2）当直线l 与x 轴垂直时与题意不符，所以直线l 与x 轴不垂直，即直线的斜率存在，设直线l 的方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛≠≠+=2101k k kx y 且 代入椭圆的方程，化简得()081422=++kx x k ，解得01=x 或14822+-=k kx ， 代入直线l 的方程，得11=y 或1441222+-=k k y ，所以，D 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-1441,1482222k k k k ，又直线AC 的方程为12x y +=，直线BD 方程为12(2)24ky x k+=+-， 联立解得421x ky k =-⎧⎨=+⎩，即(, 2+1)4k k Q -，而P 的坐标为1,0k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,0(4,21)4OP OQ k k k ⎛⎫∴⋅=-⋅-+= ⎪⎝⎭，即OP OQ ⋅为定值.2. 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点⎝⎭.（1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB ∆面积为定值.【解析】（1）因为1C，所以22619b a =-，解得223a b =.①将点22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入2222133x y a b +=，整理得2211144a b +=.② 联立①②，得21a =，213b =，故椭圆1C 的标准方程为22113y x +=. （2）证明：①当直线l 的斜率不存在时， 点M 为()1,0或()1,0-，由对称性不妨取()1,0M ，由（1）知椭圆2C 的方程为2213x y +=，所以有()N .将1x =代入椭圆2C的方程得y =所以)111223NAB S MN AB ∆=⋅=3=. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 将y kx m =+代入椭圆1C 的方程得()222136310k x kmx m +++-=，由题意得()()()2226413310km k m ∆=-+-=，整理得22313m k =+.将y kx m =+代入椭圆2C 的方程，得()222136330k x kmx m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122613km x x k +=-+，21223313m x x k-=+， 所以AB ===. 设()00,M x y ，()33,N x y ，ON MO λ=，则可得30x x λ=-，30y y λ=-.因为220022333113x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2200222003113x y x y λ⎧+=⎪⎛⎫⎨+= ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得λ=λ=， 所以3ON MO =，从而)1NM OM =.又因为点O 到直线l的距离为d =，所以点N到直线l的距离为)11m d ⋅=所以))111122NABS d AB ∆=⋅==，综上，NAB ∆3. 圆9:22=+y x O 上的动点P 在x 轴、y 轴上的射影分别是1P ，2P ，点M 满足122133OM OP OP =+． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）点()1,0A ，()3,0-B ，过点B 的直线与轨迹C 交于点S ，N ，且直线AS 、AN 的斜率AS k ，AN k 存在，求证：AN AS k k ⋅为常数．【解析】（1）设()00,y x P ，()y x M ,，则()0,01x =，()02,0y =，由122133OM OP OP =+.得00002332133x x x x y y y y ⎧=⎧⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎩⎪⎩代入92020=+y x ，所以点M 的轨迹C 的方程为2214x y +=.（2）当SN 的斜率不存在时，AS ，AN 的斜率也不存在，故不适合题意； 当SN 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线SN 的方程为3-=kx y 代入椭圆方程整理得()032244122=+-+kx x k ，202>⇒>∆k 设()11,y x S ，()22,y x N ，则2214124k k x x +=+，2214132k x x +=⋅，则()()()2121212212122111644411x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k ANAS ++-=--=-⋅-=⋅＝2222222322441632961664114143232214k k k k k k k k k ⋅-⋅+-++++==+， 故AN AS k k ⋅为常数12.4. 如图，O 为坐标原点，椭圆22221x y C a b=+=（0a b >>）的焦距等于其长半轴长，,M N 为椭圆C 的上、下顶点，且||23MN =（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,1P 作直线l 交椭圆C 于异于,M N 的,A B 两点，直线,AM BN 交于点T ．求证：点T 的纵坐标为定值3．【解析】（1）由题意可知：2c a =，223b =222a b c =+，有3,1,2b c a ===，故椭圆C 的方程为：22143x y +=． （2）由题意知直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =+，用,A B 的横坐标表示T 的纵坐标，再联立l 的方程和椭圆的方程，消去y 得()2243880k x kx ++-=，利用韦达定理化简T 的纵坐标后可得所求的定值.设()()1122,,,A x y B x y （021≠x x ），联立直线方程和椭圆方程得22134120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，消去y 得()2243880k x kx ++-=， 122843k x x k -+=+，122843x x k -=+，且有1212x x kx x +＝，又2:BN l y x =，1:AM l y x =，由2211y y x x y y x x ⎧+=⋅-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩1=111kx x +==，整理得到=，故1y ⎤=⎥⎦2kx xx x x x +++-=33x x x x +-==．故点T 的纵坐标为3．5．已知以椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形.（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l ：(0)y kx m km =+≠与椭圆E 交于异于椭圆顶点的A ，B 两点，O 为坐标原点，直线AO 与椭圆E 的另一个交点为C 点，直线l 和直线AO 的斜率之积为1，直线BC 与x 轴交于点M .若直线BC ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，试判断122k k +是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.【解析】（1）因为椭圆的两个焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形，所以22224b ca abc =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得2242a b ⎧=⎨=⎩.所以椭圆E 的方程为22142x y +=. （2）设()()1111,0A x y x y ≠，()()2222,0B x y x y ≠，则()11,C x y --，11AO y k x =， 因为1AO k k ⋅=，所以11x k y =， 联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y ，得()222124240k x kmx m +++-=， 所以122412km x x k +=-+，()121222212my y k x x m k +=++=+， 所以1211121122y y y k x x k x +==-=-+， 直线BC 的方程为：()11112y y y x x x +=-+，令0y =，由10y ≠，得13x x =-， 所以()13,0M x -，11211134y yk x x x ==+，所以11121122024y yk k x x +=-+⨯=.所以122k k +为定值0. 6. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，右焦点F 的坐标为20（，），且点2（在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）过点F 的直线交椭圆于,A B 两点（直线不与x 轴垂直），已知点A 与点P 关于x 轴对称，证明：直线PB 恒过定点，并求出此定点坐标．【解析】（1）由已知得22222421{ 2a b a b c c +==+=，解得228{ 4a b ==， ∴椭圆C 的标准方程22184x y +=.∴椭圆C的离心率2c e a ===. (2)设()11,P x y ，()22,B x y ，则()11,A x y -， 可设PB 的直线方程为m kx y +=，联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=14822y x mkx y ，整理得()222214280k x kmx m +++-=，∴2121222428,2121km m x x x x k k --+==++，AF FB k k =，∴121222y y x x =--， 整理得，()()1212240kx x m k x x m +-+-=，∴()2222842402121m kmk m k m k k --⋅+-⋅-=++，解得4m k =-， ∴PB 的直线方程为：()44y kx k k x =-=-， 直线PB 恒过定点()4,0.7. 为1F ，2F ，其离心率为2，过2F 的直线 l 与 C 交于,A B 两点，且1AF B △的周长为 （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上顶点为P ，证明：当 l 的斜率为13时，点 P 在以 AB 为直径的圆上． 【解析】（1）1AF B △的周长等于11AF AB BF ++ 12214AF AF BF BF a =+++=，所以4a =，从而a =因为2c e a ==，所以1c =，即2221b a c =-=，椭圆C 的方程为1222=+y x .（2）由（1）得()0,1P ，()21,0F ．设()11,A x y ， ()22,B x y ， 依题意，l 的方程为31x y =+，将l 的方程代入C 并整理，可得211610y y +-=， 所以12611y y +=-，12111y y =-． ()()121211PA PB x x y y ⋅=+--()()()()1212313111y y y y =+++--()121210220y y y y =+++= 所以PA PB ⊥，综上， 点P 在以AB 为直径的圆上.8. 已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的一个焦点与28y x =的焦点重合且点A 为椭圆上一点（l ）求椭圆方程；（2）过点A 任作两条与椭圆C 相交且关于2x =对称的直线，与椭圆C 分别交于P 、Q 两点，求证：直线PQ 的斜率是定值.【解析】（1）抛物线28y x =的焦点为()2,0F ， 则椭圆C 的一个焦点为()2,0F ，故224a b =+把点(A 带入椭圆方程得：224214b b +=+，解得2284a b ⎧=⎨=⎩ 所以，椭圆C 方程为22184x y +=（2）由题意，可设直线AP 的方程为()2y k x =-则直线A Q 的方程为()2y k x =--设()11P ,x y ，()22Q ,x y ，则()112y k x =-()222y k x =- 把直线AP 的方程与椭圆C 方程联立得：()()()2222128840k x k x k ++-+--=12x ⋅=，故1x =2x =所以()()2121212122PQk x k x y y k x x x x ⎡⎡-+--+-⎣⎦⎣⎦==--()()1212121244x x x x k x x k x x k --+⋅=-++-= 22212244212244421224421224422222222=+-+-+---+-+++--⋅=k k k k k k k k k k k k k所以，直线PQ的斜率是定值2.。

解析几何中的定值与定点问题【例 1】 过抛物线 y 2＝2p x （p ＞0）的焦点作两条相互垂直的弦 AB 和 CD ，则+ 的值为（ ）A ．B ．C ．2pD ．1. 已知 F 是抛物线 y 2＝4x 的焦点，过点 F 的直线与抛物线交于不同的两点 A ，D ，与圆（x ﹣1）2+y 2＝1交于不同的两点 B ，C （如图），则|AB |•|CD|的值是（）A ．2B ．2C ．1D ．2 ． 如 图 ， P 为 椭 圆上 的 一 动 点 ， 过 点P 作 椭 圆的两条切线 PA ，PB ，斜率分别为 k 1，k 2．若 k 1•k 2 为定值，则 λ＝（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知椭圆 的离心率为，三角形 ABC 的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为 D 、E 、F ，且三条边所在直线的斜率分别为 k 1，k 2，k 3（k 1k 2k 3≠0）．若直线OD 、OE 、OF 的斜率之和为﹣1（O 为坐标原点），则1＝ ．1 / 28+ = 1 上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切线 P A, PB, A, B 为切 , ⎪ B ． , ⎪ ⎝ 2 4 ⎭⎝ 4 2 ⎭C ．  4 ,0 ⎪⎪D ．  0,4 ⎪⎭A ． ⎢ ⋅ ⎥B ． 0, ⎥C ． ⎢ , +∞ ⎪D ． 0, ⎥ ⋃ ⎢ , +∞ ⎪【例 2】已知抛物线 C ：x 2＝4y 的焦点为 F ，A 是抛物线 C 上异于坐标原点的任意一点，过点 A 的直线 l 交 y 轴的正半轴于点 B ，且 A ，B 同在一个以 F 为圆心的圆上，另有直线 l ′∥l ，且l ′与抛物线 C 相切于点 D ，则直线 AD 经过的定点的坐标是（）A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，0）D ．（2，0）【举一反三】1．已知抛物线 x 2 = 8 y ，过点 P (b ,4 ) 作该抛物线的切线 P A ，PB ，切点为 A ，B ，若直线 AB 恒过定点，则该定点为（ ）A ． (4,0 )B ． (3,2 )C ． (0, -4 )D ． (4,1)2．已知圆 C : x 2 + y 2 = 1 ，点 P 为直线点，则直线 AB 经过定点.（）⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ A ． x y4 2⎛ 3 ⎫ ⎛ 3 ⎫ ⎝ ⎭ ⎝x 2 y 23．已知椭圆 + = 1 的左顶点为 A ，过 A 作两条弦 AM 、AN 分别交椭圆于 M 、N 两点，直线 AM 、AN16 4的斜率记为 k 1, k 2 ，满足 k 1 ⋅ k 2 = -2 ，则直线 MN 经过的定点为___________．三．强化训练一、选择题1． 直线 l 与抛物线 C : y 2 = 2 x 交于 A, B 两点，O 为坐标原点，若直线 OA, OB 的斜率 k ，k 满足 k k = 1 2 1 2 2 3，则 l 的横截距（）A ．为定值 -3B ．为定值 3C ．为定值 -1D ．不是定值2．如果直线 ax + by = 7 （ a > 0 ， b > 0 ）和函数 f ( x ) = 1 + log x （ m > 0 ， m ≠ 1）的图象恒过同一个mb定点，且该定点始终落在圆 ( x + b - 1)2 + ( y + a - 1)2 = 25 的内部或圆上，那么 的取值范围是（）a⎡ 3 4 ⎤⎛ 3⎤ ⎡ 4⎫ ⎛ 3⎤ ⎡ 4 ⎫ ⎣ 4 3 ⎦⎝4 ⎦⎣ 3⎭⎝4 ⎦ ⎣ 3⎭22 / 282 A ． ⎛ 4 8 ⎫, ⎪ B ． , ⎪C ． (2,0 )D ． (9,0 )3．过 x 轴上的点 P (a,0 )的直线与抛物线 y 2 = 8x 交于 A, B 两点，若1 1+ 为定值，则实数 a 的| AP |2 | BP |2值为（）A.1B. 2C ． 3D ． 44． 已知 A 、B 是抛物线 y 2＝4x 上异于原点 O 的两点，则“ • ＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的（）A ．充分非必要条件B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件5． 设 F (-c,0), F (c,0) 是双曲线 C : 1 2 x2 y 2 -a b 2= 1(a > 0,b > 0) 的左右焦点，点 P 是 C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是 ∠F 1PF 2 的角平分线，过点 F 1作 PQ 的垂线，垂足为 Q ，O 为坐标原点，则 | OQ | 的长为（）A ．定值 aB ．定值 bC ．定值 cD ．不确定，随 P 点位置变化而变化6． 设点 P (x, y )是圆 C : x 2 + y 2 + 2x - 2 y + 1 = 0 上任意一点，若 -2 x + y + 1 + 2 x - y - a 为定值，则 a 的值可能为（ ）A ． -3B ． -4C ． -5D ． -67． 已知圆 C ： x 2 + y 2 = 4 ，点 P 为直线 x + 2 y - 9 = 0 上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切线 P A, PB ，A, B 为切点，则直线 AB 经过定点（ ）⎛ 2 4 ⎫ ⎝ 9 9 ⎭⎝ 9 9 ⎭8． 已知圆 O ： x 2+ y 2= 1，直线 l ：y = kx +b (k ≠0)，l 和圆 O 交于 E ，F 两点，以 Ox 为始边，逆时针旋转4到 OE ，OF 为终边的最小正角分别为 α，β，给出如下 3 个命题：①当 k 为常数，b 为变数时，sin(α＋β)是定值；②当 k 为变数，b 为变数时，sin(α＋β)是定值；③当 k 为变数，b 为常数时，sin(α＋β)是定值．其中正确命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．39． 斜率为 k 的直线 l 过抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 焦点 F ，交抛物线于 A, B 两点，点 P( x , y ) 为 AB 中点，33 / 28A ． ky 为定值B ． OA ⋅ O B 为定值1 2 = 1与e 、e ，则 1 = 1(a > 0, b > 0) 的离心率分别是 1 e 2e 2 P作 OQ ⊥ AB ，垂足为 Q ，则下列结论中不正确的是（ ）uuuv uuuvC ．点 P 的轨迹为圆的一部分D ．点 Q 的轨迹是圆的一部分10． 已知抛物线 C : y 2 = 8 x ，圆 F : ( x - 2)2 + y 2 = 4 ，直线l : y = k ( x - 2)(k ≠ 0) 自上而下顺次与上述两曲线交于 M 1, M 2 , M 3 , M 4 四点，则下列各式结果为定值的是（）A ． M M ⋅ M M1324B ． FM ⋅ FM14C ． M M ⋅ M M 1 2 34D ． FM ⋅ M M1 1211． 在平面直角坐标系中，两点 P (x , y ), P (x , y111222) 间的“L -距离”定义为‖PP 1 2|=| x - x | + | y - y |. 则1 2 1 2平面内与 x 轴上两个不同的定点 F 1 , F 2 的“L -距离”之和等于定值（大于| F F 2 ）的点的轨迹可以是（ ）A ．B ．C ．D ．12． 有如下 3 个命题；①双曲线 x 2 y 2 - a b 2= 1(a > 0, b > 0) 上任意一点 P 到两条渐近线的距离乘积是定值；②双曲线 x 2 y 2 x 2 y 2 - - a 2 b 2 b 2 a 22 e 2 + e 2 2 是定值； 1 2③过抛物线 x 2 = 2 py( p > 0) 的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是 A 、B ，则直线 AB 过定点；其中正确的命题有（ ）A ．3 个B ．2 个C ．1 个D ．0 个13. 抛物线 y 2 = 4 x 上两个不同的点 A ， B ，满足 OA ⊥ OB ，则直线 AB 一定过定点，此定点坐标为 __________．14． 已知点 A(-2,0), B(4,0) ，圆 C : ( x + 4) 2 + ( y + b ) 2 = 16, 点 P 是圆 C 上任意一点，若 P A PB为定值，则 b = ________.15． 在平面直角坐标系 xoy 中，A ，B 为 x 轴正半轴上的两个动点，（异于原点 O ）为 y 轴上的一个定点．若44 / 28， 18． 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， M 、 N 是双曲线 - = 1 上的两个动点，动点 P 满足19． 椭圆 E ： + = 1 的左顶点为 A ，点 B, C 是椭圆 E 上的两个动点，若直线 AB, AC 的斜率乘积以 AB 为直径的圆与圆 x 2＋(y －2)2＝1 相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段 OP 的长为_____．16．在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆x 2 y 2+ = 1 上一点 A(2, 2) ，点 B 是椭圆上任意一点（异于点 A ） 8 4过点 B 作与直线 OA 平行的直线 l 交椭圆于点 C ，当直线 AB 、AC 斜率都存在时， k AB+ k AC =___________.17． P 为圆 C : (x - 1)2+ y 2 = 5 上任意一点，异于点 A (2,3 )的定点 B 满足PB为常数，则点 B 的坐标为P A______．x 2 y 22 4uuuv uuuuv uuuvOP = 2OM - ON ，直线 OM 与直线 ON 斜率之积为 2，已知平面内存在两定点 F 1 、F 2 ，使得 PF 1 - PF 2为定值，则该定值为________x 2 y 24 3为定值 - 1 4，则动直线 BC 恒过定点的坐标为__________．55 / 28答 案【例 1】 过抛物线 y 2＝2px （p ＞0）的焦点作两条相互垂直的弦 AB 和 CD ，则+ 的值为（ ）A ．B ．C ．2pD ．【答案】D【解析】分析：直接利用直线和曲线的位置关系式的应用建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：抛物线 y 2＝2px （p ＞0）的焦点坐标为（ ），所以设经过焦点直线 AB 的方程为 y ＝k （x ﹣ ），所以，整理得，设点 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），所以 ，所以 ，同理设经过焦点直线 CD 的方程为 y ＝﹣（x ﹣ ），所以，整理得 ，所以：|CD |＝p +（p +2k 2p ），所以，则则+ ＝ ．故选：D ．【点评】求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.【举一反三】1. 已知 F 是抛物线 y 2＝4x 的焦点，过点 F 的直线与抛物线交于不同的两点 A ，D ，与圆（x ﹣1）2+y 2＝1 交于不同的两点 B ，C （如图），则|AB |•|CD |的值是（）66 / 28A ．2B ．2C ．1D ．【答案】C【解析】分析：根据题意，设 A （x 1，y 1），D （x 2，y 2），分析抛物线的焦点以及圆心的坐标，由抛物线的定义可得|AB |、|CD |的值，联立直线方程和抛物线方程，应用韦达定理可得所求值．解：设 A （x 1，y 1），D （x 2，y 2），抛物线方程为 y 2＝4x 的焦点为 F （1，0），准线方程为 x ＝﹣1，圆（x ﹣1）2+y 2＝1 的圆心为 F （1，0），圆心与焦点重合，半径为 1，又由直线过抛物线的焦点 F ，则|AB |＝x 1+1﹣1＝x 1，|CD |＝x 2+1﹣1＝x 2，即有|AB |•|CD |＝x 1x 2，设直线方程为 x ＝my +1，代入抛物线方程 y 2＝4x ，可得 y 2﹣4my ﹣4＝0， 则 y 1y 2＝﹣4，x 1x 2＝＝1，故选：C ．2 ．如 图 ， P 为 椭 圆 上 的 一 动 点 ， 过 点 P 作 椭 圆的两条切线 PA ，PB ，斜率分别为 k 1，k 2．若 k 1•k 2 为定值，则 λ＝（）77 / 28P y kA ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分析：取 （a ，0），设切线方程为： ＝ （x ﹣a ），代入椭圆椭圆方程可得：（b 2+a 2k 2）x 2﹣2a 3k 2x +a 4k 2﹣a 2b △2λ＝0，令＝0，化简可得 k 1•k 2，取 P （0，b ），设切线方程为：y ＝kx +b ，同理可得：k 1•k 2，根据 k 1•k 2 为定值进而得出 λ． 解：取 P （a ，0），设切线方程为：y ＝k （x ﹣a ），代入椭圆椭圆方程可得：（b 2+a 2k 2）x 2﹣2a 3k 2x +a 4k 2﹣a 2b 2λ＝0，令 ＝4△a 6k 4﹣4（b 2+a 2k 2）（a 4k 2﹣a 2b 2λ）＝0，化为：（a 2﹣a 2λ）k 2＝b 2λ，∴k 1•k 2＝ ，取 P （0，b ），设切线方程为：y ＝kx +b ，代入椭圆椭圆方程可得：（b 2+a 2k 2）x 2﹣2kba 2x +a 2b 2（1﹣λ）＝0，令 ＝4△k 2b 2a 4﹣4（b 2+a 2k 2）a 2b 2（1﹣λ）＝0，化为：λa 2k 2＝b 2（1﹣λ），∴k 1•k 2＝又 k 1•k 2 为定值，，88 / 28∴＝ ，解得 λ＝ ．故选：C ．3． （2020•公安县高三模拟）已知椭圆的离心率为 ，三角形 ABC 的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边 AB 、BC 、AC 的中点分别为 D 、E 、F ，且三条边所在直线的斜率分别为 k 1，k 2，k 3（k 1k 2k 3≠0）．若直线 OD 、OE 、OF 的斜率之和为﹣1（O 为坐标原点），则＝ ．【答案】2【解析】分析：求出椭圆方程，设出 A 、B 、C 的坐标，通过平方差法转化求解斜率，然后推出结果即可．解：∵椭圆的离心率为 ，∴，则 ，得 ．又三角形 ABC 的三个顶点都在椭圆上，三条边 AB 、BC 、AC 的中点分别为 D 、E 、F ，三条边所在直线的斜率分别为 k 1、k 2，k 3，且 k 1、k 2，k 3 均不为 0．O 为坐标原点，直线 OD 、OE 、OF 的斜率之和为﹣1，设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），则， ，两式作差得，，则，即 ，同理可得， ．99 / 28∴＝＝﹣2×（﹣1）＝2．【例2】已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点，过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线l′∥l，且l′与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，0）D．（2，0）【答案】A【解析】分析：设A（m，m2），B（0，n），根据A，B同在一个以F为圆心的圆上，可得n＝m2+2，再根据直线的斜率公式可得直线与直线和平行，以及导数的几何意义可得a＝﹣，求出直线AD的方程，即可求出直线AD经过的定点的坐标．解：设A（m，m2），B（0，n），∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1）又A，B同在一个以F为圆心的圆上，∴|BF|＝|AF|∴n﹣1＝∴n＝m2+2∴直线l的斜率k＝∵直线l′∥l，∴直线l′的斜率为k，设点D（a，a2），∵y＝x2，∴y′＝x，∴k＝a，∴a＝﹣，＝m2+1＝﹣1010/28∴a＝﹣∴直线AD的斜率为＝＝＝，∴直线AD的方程为y﹣m2＝（x﹣m），整理可得y＝x+1，故直线AD经过的定点的坐标是（0，1），故选：A．【点评】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．1．已知抛物线x2=8y，过点P(b,4)作该抛物线的切线P A，PB，切点为A，B，若直线AB恒过定点，则该定点为（）A．(4,0)【答案】C B．(3,2)C．(0,-4)D．(4,1)【解析】设A，B的坐标为(x，y)，(x，y 1122)y=x28x，y'=，41111/28x( x - x )， y - y = 2 (x - x ) 4 48 8 4 4 ∴ 4 = x1 ⨯ b - y ， 4 =2 ⨯ b - y ，4 44- + = 1 上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切线 P A, PB, A, B 为切, ⎪B ． , ⎪⎝ 2 4 ⎭ ⎝ 4 2 ⎭C ．  ,0 ⎪D ．  0, 4 ⎪⎭4 可得以 PC 为直径的圆的方程为 ⎡⎣ x - (2 - m )⎤⎦ 2 + y - m ⎫ m 2 = (2 - m )2 +2 ⎭4可得 ⎛ 1 1 ⎫ , ⎪ 满足上式，即 AB 过定点 , ⎪ ，故选 B.P A ，PB 的方程为 y - y =111 2 2xx 2 x 2x x 由 y 2 = 1 ， y 2 = 2 ，可得 y = 1 x - y ， y = 2 x - y 1 2 1Q 切线 P A ，PB 都过点 P (b ，)x1 22故可知过 A ， B 两点的直线方程为 4 =当 x = 0 时， y = 4∴ 直线 AB 恒过定点 (0， 4)，故选 Cb 4x - y ，2． 已知圆 C : x 2+ y 2= 1 ，点 P 为直线点，则直线 AB 经过定点.（）x y4 2⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ A ． ⎛ 3 ⎫ ⎛3 ⎫ ⎪ ⎝⎭ ⎝【答案】B【解析】设 P (4 - 2m , m ),Q P A, PB 是圆 C 的切线，∴ C A ⊥ P A, C B ⊥ PB,∴ AB 是圆 C 与以 PC 为直径的两圆的公共弦，⎛⎝⎪ 2， ①又Q x 2 + y 2 = 1 ， ②①-②得 AB : 2 (2 - m )x + my = 1 ，⎛ 1 1 ⎫ ⎝ 4 2 ⎭ ⎝ 4 2 ⎭x 2 y 23． 已知椭圆 + = 1 的左顶点为 A ，过 A 作两条弦 AM 、AN 分别交椭圆于 M 、N 两点，直线 AM 、AN 的斜16 4率记为 k 1 , k 2 ，满足 k 1 ⋅ k 2 = -2 ，则直线 MN 经过的定点为___________．1212 / 28【答案】 T -⎛ 28 ,0 ⎪1 + 4k ⎪ y =k (x +4 )⎩ 1 + 4k k 2 + 16y = 8k， N 1 + 4k 2 16 + k 2k = 1，由对称性可知，直线 MN 经过 x 轴上的定点 T -,0 ⎪ . 取 1 9 2 = 1则得 x + x =， x x =k 2 k 2k⎫⎝ 9 ⎭⎧ x 2 y 2⎪ + = 14 - 16k 2 【解析】由 ⎨16 4⇒ x = 1 ， M 2 114 - 16k 2 4k 2 - 64同理 x = ．N 2 21-16k1 y = 1 ,M 11⎛ 28 ⎫ ⎝ ⎭【归纳总结】在平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 x 2 y2+a 2b2 = 1(a > b > 0) 上一定点 A 作两条弦 AM 、AN 分别交椭圆于 M 、N 两点，直线 AM 、AN 的斜率记为 k 1, k 2 ，当 k 1 ⋅ k 2 为非零常数时，直线 MN 经过定点.三．强化训练一、选择题1． 直线 l 与抛物线 C : y 2 = 2 x 交于 A, B 两点，O 为坐标原点，若直线 OA, OB 的斜率 k ， 满足 k k = 1 2 1 2则 l 的横截距（）A ．为定值 -3B ．为定值 3C ．为定值 -1D ．不是定值【答案】A⎧ y = kx + b【解析】设直线 l 的方程为 y = kx + b ，由题意得 ⎨，⎩ y2 = 2 x则得 k 2 x 2 + (2kb - 2)x + b 2 = 0 ；设 A ，B 两点的坐标为 A (x , y )， B (x , y ) ，1 12 22kb - 2b 2；1 2 1 21323，13 / 281 g2 = = k 2 ++ k 2 = 2k 2 +== = ，A ． ⎢ ⋅ ⎥B ． 0, ⎥C ． ⎢ , +∞ ⎪D ． 0, ⎥ ⋃ ⎢ , +∞ ⎪又由 ⎨⎧a +b = 7, a 2 + b 2 = 25, b = 4 b = 3当取点 (3, 4) 时， b = ，取点 (4,3) 时， = ，⎣ 3⎦ ⎝⎦⎝ ⎦⎣⎭又因为 k k = 1 2 2 3，即 y y x x 1 22 3 ，所以k 2 x x + kb (x + x )+ b 22kb - 2k 2b 22k - 2k 2b2k 2b + 2k - 2k 2b2k 21 212x xb 2bbb 31 2则得 b = 3k ，直线 l 的方程为 y = kx + b = kx + 3k = k (x + 3) ；当 y = 0 时， x = -3 ，所以直线 l 的横截距为定值 -3 .故选 A.2． 如果直线 ax + by = 7 （ a > 0 ， b > 0 ）和函数 f ( x) = 1 + log m x （ m > 0 ， m ≠ 1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆( x + b - 1)2 + ( y + a - 1)2 = 25 的内部或圆上，那么 b a的取值范围是（ ）⎡ 3 4 ⎤ ⎛ 3 ⎤⎡ 4 ⎫⎛ 3 ⎤ ⎡ 4 ⎫⎣ 4 3 4 4 3⎭【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的性质，求得函数 f ( x ) 恒过定点 (1,1) ，求得 a + b = 7 ，又由 (1,1) 始终落在所给圆的内部或圆上，得 a 2 + b 2 ≤ 25 ，联立方程组，得到点 ( a , b ) 在以 (3,4) 和 (4,3) 为端点的线段上运动，利用斜率公式，即可求解．【详解】根据指数函数的性质，可得函数 f ( x) = 1 + log m x,( m > 0, m ≠ 1) ，恒过定点 (1,1) .将点 (1,1) 代入 ax + by = 7 ，可得 a + b = 7 .由于 (1,1) 始终落在所给圆的内部或圆上，所以 a 2 + b 2 25 .⎧a = 3 ⎧a = 4解得 ⎨ 或 ⎨ ，⎩ ⎩ ⎩所以点 ( a , b ) 在以 (3,4) 和 (4,3) 为端点的线段上运动，4 b 3a 3 a 41414 / 28的取值范围是 ⎢ ⎥ AP 2 + m 2 + 1 ⎝ y 2 + 1 ⎫ ⎪ = ⋅ y 2 ⎭ m 2 + 1y 2 y 2 m 2 + 1 ⋅ 64a 2 = 4a 2(m 2 + 1) | AP |2 +所以 b⎡ 3 , 4 ⎤.a ⎣ 4 3 ⎦3． 过 x 轴上的点 P (a,0 )的直线与抛物线 y 2 = 8x 交于 A, B 两点，若 1| AP |2值为（）A.1B. 2C ． 3D ． 4【答案】D【解析】设直线 AB 的方程为 x = my + a ，代入 y 2 = 8x ，得 y 2 - 8my - 8a = 0 ，1+ 为定值，则实数 a 的 | BP |2设 A (x , y ), B (x , y 1 1 2 2 ) ，则 y 1 + y = 8m , y ⋅ y = -8a .2 1 2AP 2 = (x - a )2 + y 2 = (my 111同理， BP 2 = (m 2 + 1)y 2 ，2)2 + y 2 = (m 2 + 1)y 2 ，1 1∴ 11 BP2 = 1 ⎛ 1 12 1 21 ( y + y )2 - 2 y y 1 2 1 2= 1 64m 2 - 2 ⨯ (-8a ) 4m 2 + a 1 ，∵ 1 | BP |2 为定值，是与 m 无关的常数，∴ a = 4 ．故选 D ．4． 已知 A 、B 是抛物线 y 2＝4x 上异于原点 O 的两点，则“ • ＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的（）A ．充分非必要条件B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件【答案】B【解析】根据题意，A 、B 是抛物线 y 2＝4x 上异于原点 O 的两点，设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若“• ＝0”，则设直线 AB 方程为 x ＝my +b ，将直线 AB 方程代入抛物线方程 y 2＝4x ，可得 y 2﹣4my ﹣4b ＝0，则 y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4b ，1515 / 28若• ＝0，则 • ＝x 1x 2+y 1y 2＝（ ）+y 1y 2＝ +y 1y 2＝b 2﹣4b ＝0，解可得：b ＝4 或 b ＝0，又由 b ≠0，则 b ＝4，则直线 AB 的方程为 x ＝my +4，即 my ＝x ﹣4，则直线 AB 恒过定点（4，0），“• ＝0”是“直线 AB 恒过定点（4，0）”的充分条件；反之：若直线 AB 恒过定点（4，0），设直线 AB 的方程为 x ＝my +4，将直线 AB 方程代入抛物线方程 y 2＝4x ，可得 y 2﹣4my ﹣16＝0，则有 y 1y 2＝﹣16，此时故“••＝x 1x 2+y 1y 2＝（ ）+y 1y 2＝ +y 1y 2＝0，＝0”是“直线 AB 恒过定点（4，0）”的必要条件；综合可得：“• ＝0”是“直线 AB 恒过定点（4，0）”的充要条件；故选：B ．5． 设 F 1 (-c,0), F 2 (c,0) 是双曲线 C : x 2 y 2 - a 2 b2= 1(a > 0,b > 0) 的左右焦点，点 P 是 C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是 ∠F 1PF 2 的角平分线，过点 F 1作 PQ 的垂线，垂足为 Q ，O 为坐标原点，则 | OQ | 的长为（）A ．定值 aB ．定值 bC ．定值 cD ．不确定，随 P 点位置变化而变化【答案】A【解析】依题意如图，延长 F 1Q ，交 PF 2 于点 T ， ∵ PQ 是∠F 1PF 2 的角分线．TF 1 是 PQ 的垂线， ∴ PQ 是 TF 1 的中垂线，∴|PF 1|＝|PT |，∵P 为双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2= 1 上一点，∴|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ， ∴|TF 2|＝2a ，在三角形 F 1F 2T 中，QO 是中位线， ∴|OQ |＝a ．故选：A ．1616 / 286．设点P(x,y)是圆C:x2+y2+2x-2y+1=0上任意一点，若-2x+y+1+2x-y-a为定值，则a的值可能为（）A．-3B．-4C．-5D．-6【答案】D【解析】【分析】若-2x+y+1+2x-y-a为定值，则2x-y-a≥0，由直线2x-y-a=0与圆相切结合图象可得a的范围，从而得出正确选项．【详解】圆C标准方程为(x+1)2+(y-1)2=1，圆心为C(-1,1)，半径为r=1，直线l:2x-y-a=0与圆相切时，-2-1-a5=1，a=-3±5，当a=-3+5时，圆C在直线l上方，2x-y-a≤0，当a=-3-5时，圆C在直线l下方，2x-y-a≥0，若-2x+y+1+2x-y-a为定值，则2x-y-a≥0，因此a≤-3-5．只有D满足．故选：D.1717/28A ． ⎛ 48 ⎫ , ⎪B ． , ⎪C ． (2,0 )D ． (9,0 )，直线 AB 经过定点 , ⎪ ，选 A.7． 已知圆 C ： x 2 + y 2 = 4 ，点 P 为直线 x + 2 y - 9 = 0 上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切线 P A, PB ，A, B 为切点，则直线 AB 经过定点（ ）⎛ 2 4 ⎫ ⎝ 9 9 ⎭⎝ 9 9 ⎭【答案】A【解析】设 A (x , y ), B (x , y ), P (x , y ),1122则 P A : x 1x + y 1 y = 4; PB : x 2 x + y 2 y = 4;即 x 1 x 0 + y 1 y 0 = 4; x 2 x 0 + y 2 y 0 = 4;因此 A 、 B 在直线 x 0 x + y 0 y = 4 上，直线 AB 方程为 x 0 x + y 0 y = 4 ，又 x 0 + 2 y 0 - 9 = 0 ，所以 (9 - 2 y 0 )x + y 0 y = 4 ⇒ y (y - 2x )+ 9x - 4 = 0 08 4 ⎛ 4 8 ⎫ 即 y - 2 x = 0,9 x - 4 = 0 ⇒ y = , x =9 9 ⎝ 9 9 ⎭8． 已知圆 O ： x 2+ y 2= 1，直线 l ：y = kx +b (k ≠0)，l 和圆 O 交于 E ，F 两点，以 Ox 为始边，逆时针旋4转到 OE ，OF 为终边的最小正角分别为 α，β，给出如下 3 个命题：①当 k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值；②当 k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值；③当 k 为变数，b 为常数时，sin (α＋β)是定值．其中正确命题的个数是()1818 / 281 1⎪ y = sin α， ⎪ y = sin β， 22x + y = ⎪ 1 2k + 1 2b -4 ， 8k b 2 - ⎪ - 8kb 2x = cos α， x = cos β，⎪ 1 1⎪ y = sin α， ⎪ y = sin β， x = cos α， x = cos β，⎪ x + x =-， 4x (kx + b ) + 4x (kx + b ) = 8kx x + 4b ( x + x ) = ⎝=-， k 2 + 1k 2 + 11 ⎩ ⎩⎪2 1 ⎩ ⎩⎪ 2 ⎩ ⎩ A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】⎧ ⎧ 1 ⎪ 1 2⎪ 2 2 【分析】首先设出 E( x ，y ) ， F ( x ，y ) ，进而可得 ⎨ ⎨再将直线和 1 1 2 2 ⎪ 1 2 2圆联立方程组，运用韦达定理即可进行判断.⎧ ⎧ 1 ⎪ 1 2⎪ 2 2 【详解】设点 E( x ，y ) ， F ( x ，y ) ，由三角函数的定义得 ⎨ ⎨ 1 1 2 2⎪ 1 2 2⎧ y = kx + b ，⎪将直线 EF 的方程与的方程联立 ⎨ 1⎪ 4得 (k 2+ 1)x 2+ 2kb x + b 2- 1= 0 ，4⎧2kb 2 ⎪由韦达定理得 ⎨ 1⎪ ⎪ x 1x 2 = k 2+ 1所以 sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β = 4 x y + 4 x y =2 11 2⎛ 1 ⎫ 4 ⎭ 2k2 1 1 2 1 2 1 2因此，当 k 是常数时， sin(α + β ) 是常数，故选 B (特值法可秒杀)9． 斜率为 k 的直线 l 过抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 焦点 F ，交抛物线于 A, B 两点，点 P( x 0 , y 0 ) 为 AB 中点，作 OQ ⊥ AB ，垂足为 Q ，则下列结论中不正确的是（ ）uuuv uuuvA ． ky 0 为定值B ． OA ⋅ OB 为定值C ．点 P 的轨迹为圆的一部分D ．点 Q 的轨迹是圆的一部分1919 / 28整理得 y 1 - y 2 = ,∴ k = ,∴ ky = 2 p . 为定值，所以 A 正确. y + y y ⎪⎩ y 2 = 2 px 4k 2 x 2 - 4 p (k 2+ 2) x + p 2k 2 = 0 ，则 x + x = , x x = k 4 2 2 2 4 3 4【答案】C【解析】设抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 上 A, B 两点坐标分别为 A (x , y ), B (x , y1122) ，则y 2 = 2 px , y 1122 = 2 px , 两式做差得， ( y + y )( y - y ) = 2 p ( x - x ) ，2 1 2 1 2 1 2x - x 122 p 2 p1 2 0⎧p p p ⎪ y = k ( x - )因为焦点 F ( ,0) ，所以直线 AB 方程为 y = k ( x - ) .由 ⎨ 2 得2 21 2 2 1 2 2p (k 2 + 2) p 2,p p p p 2y y = k 2 ( x - )( x - ) = k 2[ x x - ( x + x ) + ] = - p 2 . 1 2 1 2 1 2 1 2uuuv uuuv∴ O A ⋅ O B = x x + y y = - p 2为定值.故 B 正确.1 2 1 2Q OQ ⊥ AB,∴点 Q 的轨迹是以 OF 为直径的圆的一部分，故 D 正确.本题选择 C 选项.10． 已知抛物线 C : y 2 = 8 x ，圆 F : ( x - 2)2 + y 2 = 4 ，直线 l : y = k ( x - 2)(k ≠ 0) 自上而下顺次与上述两曲线交于 M 1, M 2 , M 3 , M 4 四点，则下列各式结果为定值的是（）A ． M M ⋅ M M1324B ． FM ⋅ FM14C ． M M ⋅ M M1 2 34D ． FM ⋅ M M1 12【答案】C【解析】2020 / 28⎧1由 ⎨ y = k (x - 2) ⎩ y 2 = 8x 消去 y 整理得 k 2 x 2 - (4k 2 + 8) x + 4k 2 = 0(k ≠ 0) ，设 M 1 ( x 1 , y 1 ), M 4 ( x 2 , y 2 ) ，则 x 1 + x 2 = 4k 2+ 8 k 2, x x = 4 ． 1 2过点 M 1 , M 4 分别作直线 l ' : x = -2 的垂线，垂足分别为 A, B ，则 M F = x + 2, M F = x + 2 ．11 4 2对于 A ， M M ⋅ M M 1324= ( M F +2)( M F + 2) = ( x + 4)( x + 4)1 4 1 2= x x + 4( x + x ) + 16 ，不为定值，故 A 不正确．1 2 12对于 B ， FM ⋅ FM 14= ( x + 2)( x + 2) = x x + 2( x + x ) + 4 ，不为定值，故 B 不正确．1 2 1 2 1 2对于 C ， M M ⋅ M M 1234= ( M F -2)( M F - 2) = x x = 4 ，为定值，故 C 正确．1 4 1 2对于 D ， FM ⋅ M M 112= M F ⋅( M F - 2) = ( x + 2) x ，不为定值，故 D 不正确．选 C ．1 1 1 1点睛：抛物线定义的两种应用：（1）当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点 M 满足定义，它到准线的距离为 d ，则|MF |＝d ，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；（2）利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．11． 在平面直角坐标系中，两点 P (x , y ), P (x , y111222) 间的“L -距离”定义为‖PP 1 2|=| x - x | + | y - y |.1 2 1 2则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F 1 , F 2 的“L -距离”之和等于定值（大于 | F F 2 ）的点的轨迹可以是（ ）2121 / 28当 -c ≤ x < c, y < 0 时，方程化为 y = c - ；= 1与e 、e ，则 1 = 1(a > 0, b > 0) 的离心率分别是 1 e 2e 2A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：设 F 1 (-c,0), F 2 (c,0) ，再设动点 M ( x, y) ，动点到定点 F 1 , F 2 的“L 距离”之和等于m (m > 2c > 0) ，由题意可得： x + c + y + x - c + y = m ，即 x + c + x - c + 2 y = m ，当 x < -c, y ≥ 0 时，方程化为 2 x - 2 y + m = 0 ；当 x < -c, y < 0 时，方程化为 2 x + 2 y + m = 0 ；当 -c ≤ x < c, y ≥ 0 时，方程化为 y = m 2- c ；m2当 x ≥ c, y ≥ 0 时，方程化为 2 x + 2 y - m = 0 ；当 x ≥ c, y < 0 时，方程化为 2 x - 2 y - m = 0 ；结合题目中给出四个选项可知，选项 A 中的图象符合要求，故选 A ．12． 有如下 3 个命题；①双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2= 1(a > 0, b > 0) 上任意一点 P 到两条渐近线的距离乘积是定值；②双曲线 x 2 y 2 x 2 y 2 - - a 2 b 2 b 2 a 22 e 2 + e 2 2 是定值； 1 2③过抛物线 x 2 = 2 py( p > 0) 的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是 A 、B ，则直线 AB 过定点；其中正确的命题有（ ）A ．3 个B ．2 个C ．1 个D ．0 个【答案】A【解析】【分析】求得双曲线的渐近线方程，设出 P （m ，n ），运用点到直线的距离公式，化简可得定值，即可判断2222 / 28=a 2 2 2 即有 e 12= ，e 22= ，可得 1 2 p (t - s ) 2 p 2 p 2 pk AB = = ，可得直线 AB 的方程为 y ﹣ = （x ﹣s ），即为 y= x+2p ，t + ss 2 t 2①；运用双曲线的离心率公式和基本量的关系，化简可得定值，可判断②；可设 A （s ，），B （t ， ）， 2 p 2 p求得直线 AB 的斜率和 st=﹣4p 2，运用点斜式方程可得直线 AB 的方程，化简可得定点，即可判断③．【详解】①双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2= 1 （a ＞0，b ＞0）上任意一点 P ，设为（m ，n ），bbm + an bm - an b 2m 2 - a 2n 2 两条渐近线方程为 y=± x ，可得两个距离的乘积为 • = ，a a 2 +b 2 a 2 + b 2 a 2 + b 2由 b 2m 2﹣a 2n 2 2b 2，可得两个距离乘积是定值 a 2b 2 a 2 + b 2；②双曲线 x 2 y 2 x 2 y 2 - =1 与 - a b b a 2= 1 （a ＞0，b ＞0）的离心率分别是 e 1，e 2，a 2 +b 2 a 2 + b 2 e 2 + e 2 2 为定值 1；a 2b 2e 2e 2 1 2③过抛物线 x 2=2py （p ＞0）的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是 A ，B ，s 2 t 2 s 2t 2可设 A （s ， ），B （t ， ），由 OA⊥OB 可得 st+2 p 2 p 4 p 2=0，即有 st=﹣4p 2，t 2 - s 2s 2 t + s t + s 2 p则直线 AB 过定点（0，2p ）．三个命题都正确．故选 A ．13. 抛物线 y 2 = 4 x 上两个不同的点 A ， B ，满足 OA ⊥ OB ，则直线 AB 一定过定点，此定点坐标为 __________．【答案】 (4,0) .【解析】分析：设出 AB 的方程，A ，B 的坐标，进而把直线与抛物线方程联立消去 x ，根据韦达定理求得 y 1 + y 2 ，y y 的表达式，进而根据 AO⊥BO 推断出 (ty + b )(ty + b )+ y y = 0 ，求得 b ，即可求出结果．1 2 1 2 1 22323 / 28= 8, = b 2 ，解得 b = 0 .P详解：设直线 l 的方程为 x = ty + b 代入抛物线 y 2 = 4 x ，消去 x 得 y 2 - 4ty - 4b = 0 ,设 A (x , y )， B (x , y1 12 2) ，则 y 1+ y = 4t ， y y = -4b ，2 1 2uuuv uuuv∴ OA ⋅ O B = (ty + b )(ty + b )+ y y = t 2 y y + bt (y + y )+ b 2 + y y1 21 21 2121 2= -4bt 2 + 4bt 2 + b 2 - 4b= b 2 - 4b=0 ，∴ b = 0 （舍去）或 b = 4 ,故直线 l 过定点 (4,0 )．14． 已知点 A(-2,0), B(4,0) ，圆 C : ( x + 4) 2+ ( y + b ) 2= 16, 点 P 是圆 C 上任意一点，若 则 b = ________.【答案】0P APB为定值，【解析】试题分析：设 P( x , y) ， P A ( x + 2)2 + y 2= k ，则PB ( x - 4)2 + y 2= k ，整理得 (1- k 2 ) x 2 + (1- k 2 ) y 2 + (4 + 8k 2 ) x + 4 - 16k 2 = 0 ，又 P 是圆 C 上的任意一点，故 k ≠ 1 ，圆 C 的一般方程为 x 2 + y 2 + 8x + 2by + b 2 = 0 ，因此 2b = 0 ，4 + 8k 2 4 - 16k 21 - k2 1 - k 215． 在平面直角坐标系 xoy 中，A ，B 为 x 轴正半轴上的两个动点，（异于原点 O ）为 y 轴上的一个定点．若 以 AB 为直径的圆与圆 x 2＋(y －2)2＝1 相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段 OP 的长为_____．【答案】 3【解析】分析：设 O 2（a ，0），圆 O 2 的半径为 r （变量），OP=t （常数），利用差角的正切公式，结合以 AB 为直径的圆与圆 x 2+（y-2）2=1 相外切．且∠APB 的大小恒为定值，即可求出线段 OP 的长．详解：设 O 2（a ，0），圆 O 2 的半径为 r （变量），OP=t （常数），则2424 / 282rt t ta 2 - r 2 t 2 + a 2 - r 2∴ tan ∠APB = 2rt ⎪⎪ 2 ()=2+2(a > b > 0) 的离心率为 2 ，点 A ⎛ c, b ⎫⎪ ，点tan ∠OP A = a - r a + r, tan ∠OPB = ,t t∴ tan ∠APB = a + r a - r -1 +t 2=Q a 2 + 4 = r + 1 , ∴ a 2 = (n r +1)2 -4,2t=t 2 + 2r - 3 t 2 - 3 r+ 2∵∠APB 的大小恒为定值，∴t＝ 3 ，∴|OP|= 3 ．故答案为 316．在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 x 2y 2+ = 1 上一点 A(2, 2) ，点 B 是椭圆上任意一点（异于点 A ），过8 4点 B 作与直线 OA 平行的直线 l 交椭圆于点 C ，当直线 AB 、AC 斜率都存在时， k AB + k AC =___________.【答案】0【解析】取特殊点 B (0, -2)，则 BC 的方程为 y + 2 = 2x ，2⎧ 2y + 2 = x 由 ⎨ ⎪ x 2 + y 2 = 4 ⎪⎩ 2得 C 2 2,0所以 kAB+ k2+ = 0 . 2 2 - 2 2【点睛】：在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x 2 y 2 + a 2 b 2= 12 2 ⎝ a ⎭B 是椭圆上任意一点（异于点 A ），过点 B 作直线 OA 的平行线 l 交椭圆于点C ，当直线 AB 、AC 斜率都存在时，k AB+ k AC =0.2525 / 28, ⎪⎝ 2 2 ⎭ (x - x )2 + ( y - y )2 = λ 2 ⎡(x - 2)2 + y ( y - 3)2 ⎤ ，② ⎪ 02 3 ⎪ ⎪ 可得 ⎨-2 y 0 = -6λ02，解得 ⎨ y = ，2⎪ x 2 + y 2 + 4 = 17λ 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ λ =∴ B 点坐标为 , ⎪ ，故答案为 , ⎪ .18． 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， M 、 N 是双曲线 - = 1 上的两个动点，动点 P 满足17． P 为圆 C : (x - 1)2+ y 2 = 5 上任意一点，异于点 A (2,3 )的定点 B 满足______．⎛ 3 3 ⎫ 【答案】【解析】PB P A为常数，则点 B 的坐标为设 P (x, y ), B (x , y ),0 0 P A PB= λ，则 (x - 1)2 + y 2 = 5 ，可得 x 2 + y 2 = 4 + 2 x ，①0 0 ⎣ ⎦由①②得 (2 - 2x 0)x - 2 y 0y + x 2 + y 2 + 4 = -2λ 2 x - 6λ 2 y + 17λ 2 ，0 0⎧3 x = ⎧2 - 2 x = -2λ 2 ⎪0 0 ⎩ 0 01 ⎩2⎛ 3 3 ⎫ ⎛ 3 3 ⎫ ⎝ 2 2 ⎭ ⎝ 2 2 ⎭x 2 y 22 4uuuv uuuuv uuuvOP = 2OM - ON ，直线 OM 与直线 ON 斜率之积为 2，已知平面内存在两定点 F 1 、F 2 ，使得 PF 1 - PF 2为定值，则该定值为________【答案】 2 10【解析】设 P （x ，y ），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），uuuv uuuuv uuuv则由 OP = 2OM - ON ，得（x ，y ）=2（x 1，y 1）-（x 2，y 2），即 x=2x 1-x 2，y=2y 1-y 2，x 2y 2x 2 y 2 x 2 y 2 ∵点 M ，N 在双曲线 - = 1 上，所以 1 - 1 = 1 ， 2 - 2 = 1 ，2 4 2 4 2 42626 / 2819． 椭圆 E ： + = 1 的左顶点为 A ，点 B, C 是椭圆 E 上的两个动点，若直线 AB, AC 的斜率乘积设 B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则 x 1+x 2=，x 1x 2= ，又 A （﹣2，0），由题知 k AB •k AC =y y 1n =﹣ ，⎩ (1 + 4k )(4m故 2x 2-y 2=（8x 12+2x 22-8x 1x 2）-（4y 12+y 22-4y 1y 2）=20-4（2x 1x 2-y 1y 2），设 k 0M ，k ON 分别为直线 OM ，ON 的斜率，根据题意可知 k 0M k ON =2， ∴y 1y 2-2 x 1x 2=0， ∴2x 2-y 2=20，所以 P 在双曲线 2x 2-y 2=20 上；设该双曲线的左，右焦点为 F 1，F 2，由双曲线的定义可推断出 PF - PF为定值，该定值为 2 101 2x 2 y 24 31为定值 - ，则动直线 BC 恒过定点的坐标为__________．4【答案】 (1,0)【解析】当直线 BC 的斜率存在时，设直线 BC 的方程为 y=kx+m ，⎧ x 2 y 2 ⎪ + 由 ⎨ 4 3= 1，消去 y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0， ⎪ y = kx + m-8km 4m 2 - 12 3 + 4k 2 3 + 4k 21 2x + 2 x + 2 41 2则（x 1+2）（x 2+2）+4y 1y 2=0，且 x 1，x 2≠﹣2，则 x 1•x 2+2（x 1+x 2）+4+4（kx 1+m ）（kx 2+m ） =（1+4k 2）x 1x 2+（2+4km ）（x 1+x 2）+4m2+4=23 + 4k 22- 12)+（2+4km ）-8km3 + 4k2+4m2+4=0则 m 2﹣km ﹣2k 2=0，∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0，∴m=2k 或 m=﹣k ．2727 / 28当 m=2k 时，直线 BC 的方程为 y=kx+2k=k （x+2）．此时直线 BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．当 m=﹣k 时，直线 BC 的方程为 y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线 BC 过定点（1，0）．当直线 BC 的斜率不存在时，若直线 BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1，3 3），（1，﹣ ），满足 2 2k AB •k AC =﹣ 1 4．综上，直线 BC 过定点（1，0）．故答案为：（1，0）．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.2828 / 28。

解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。

此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。

考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。

一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

例1、已知A 、B 是抛物线y 2=2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=4π时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。

解析： 设A 〔121,2y p y 〕，B 〔222,2y py 〕，则 212tan ,2tan y py p==βα，代入1)tan(=+βα得221214)(2p y y y y p -=+ 〔1〕 又设直线AB 的方程为b kx y +=，则022222=+-⇒⎩⎨⎧=+=pb py ky pxy bkx y ∴kpy y kpby y 2,22121=+=，代入〔1〕式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点〔-)2,2p p说明：此题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。

例2．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -相切． ⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解析：⑴由题意知c e a ==22222234c a b e a a -===，即224a b =，又因为1b ==，所以224,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=， 由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<， 又0k =不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是0k <<或0k <<． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--， 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由得①2212122232644,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．解：⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，其方程为2214x y +=．⑵将y kx b =+，代入曲线C的方程，整理得22(14)40k x +++= ，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y，则12x x +=，122414x x k=+ ②且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+．由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①，当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点． 【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。

解析几何定点、定值问题1、已知椭圆C ：(22221>>0)y x a b a b+=的离心率为21，以原点为圆点，椭圆的短半轴为半径的圆与直线06=+-y x 相切。

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P （4，0），A,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；2、斜率为1的直线l 过抛物线2:2(0)y px p Ω=>的焦点F ，与抛物线交于两点A ，B 。

（1）若|AB|=8，求抛物线Ω的方程；（2）设P 是抛物线Ω上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别交抛物线的准线于M ，N 两点，证明M ，N 两点的纵坐标之积为定值（仅与p 有关）。

3、在平面直角坐标系中，点(,)P x y 为动点，已知点A，(B ，直线PA 与PB的斜率之积为12-.（I ）求动点P 轨迹E 的方程;（II ）过点(1,0)F 的直线l 交曲线E 于,M N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (Q M 、不重合)，求证：直线MQ 过定点.4、如图，曲线C 1是以原点O 为中心，F 1、F 2为焦点的椭圆的一部分，曲线C 2是以原点O为顶点，F 2为焦点的抛物线的一部分，3(2A 是曲线C 1和C 2的交点.(Ⅰ)求曲线C 1和C 2所在的椭圆和抛物线的方程；(Ⅱ)过F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1、C 2依次交于B 、C 、D 、E 四点，若G 为CD 中点，H 为BE 中点，问22||||||||BE GF CD HF ⋅⋅是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.5、已知抛物线)0(22>-=p px y 的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于P 点，交抛物线于,A B 两点，其中A 在第二象限。

（1）求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切；（2）若12FA AP,BF FA λλ==，求21λλ-的值.6、已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F .⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为3π的直线,交l 于点A , 交⊙M 于另一点B ,且2AO OB ==.（Ⅰ）求⊙M 和抛物线C 的方程；（Ⅱ）过圆心M 的直线交抛物线C 于P 、Q 两点,求OP OQ ⋅的值。

解析几何中的定点定值问题欧阳歌谷（2021.02.01）考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。

此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。

考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。

一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

例1、已知A、B是抛物线y2=2p x (p>0)上异于原点O点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α、ββ=4π时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。

例2．已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y-+=相切．⑴求椭圆C的方程；⑵设(4,0)P，M、N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M 到点()13,0F -，()23,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。

设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。

（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹；（2）设31,221==x x ，求点T 的坐标；（3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。