解析几何中的定点定值问题ppt课件

解析几何中的定点定值问题考纲解读:定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。

此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆,圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。

考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。

一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系,通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

例1、已知A 、B 是抛物线y 2=2p x (p 〉0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,当α、β变化且α+β=4π时，证明直线AB 恒过定点,解析： 设A （121,2y p y ),B （222,2y py ）,则212tan ,2tan y py p ==βα，代入1)tan(=+βα 得221214)(2p y y y y p -=+ (1） 又设直线AB 的方程为b kx y +=，则022222=+-⇒⎩⎨⎧=+=pb py ky pxy bkx y ∴kpy y kpby y 2,22121=+=，代入(1）式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点(-)2,2p p说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。

例2．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切． ⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ,M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围;⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解析：⑴由题意知c e a ==,所以22222234c a b e a a -===，即224a b =，又因为1b ==，所以224,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ①联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得:2222(41)324(161)0k x k x k --+-=, 由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<， 又0k =不合题意,所以直线PN的斜率的取值范围是0k <<或0k <<． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ,则11(,)M x y -，直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--， 令0y =,得221221()y x x x x y y -=-+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理,得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由得①2212122232644,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程;⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系,并证明直线l 过定点．解:⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4,焦点在x轴上焦中为的椭圆，其方程为2214x y +=．⑵将y kx b =+，代入曲线C 的方程，整理得22(14)40k x +++= ,因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ①设()11,P x y ,()22,Q x y ，则1228214k x x k +=-+，122414x x k =+ ② 且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+．由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验,都符合条件①，当2b k =时,直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然,此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是:65b k =,且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图,已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T(m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ,其中m 〉0,0,021<>y y .(1）设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹； （2）设31,221==x x ，求点T 的坐标; （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关)。

解析几何中的定值、定点、定线问题仍是高考考试的重点与难点，该类问题知识综合性强,方法灵活,对运算能力和推理能力要求较高,因而成为了高中数学学习的重点和难点.主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查定值、定点、定线问题，试题难度较大．定点、定值、定线问题都是探求"变中有不变的量".因此要用全面的、联系的、发展的观点看待并处理此类问题.从整体上把握问题给出的综合信息,并注意挖掘问题中各个量之间的相互关系,恰当适时地运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论、特殊到一般、相关点法、设而不求、换元、消元等基本思想方法. 在解答这类问题过程中，既有探索性的历程，又有严密的逻辑推理及复杂的运算，成为考查学生逻辑思维能力、知识迁移能力和运算求证能力的一道亮丽的风景线，真正体现了考试大纲中“重知识，更重能力”的指导思想．复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去.解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用．1解析几何中的定值问题在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的.同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索.如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效.例1【百校联盟2018届一月联考】已知点()0,2F ，过点()0,2P -且与y 轴垂直的直线为1l ， 2l x ⊥轴，交1l 于点N ，直线l 垂直平分FN ，交2l 于点M .（1）求点M 的轨迹方程；（2）记点M 的轨迹为曲线E ，直线AB 与曲线E 交于不同两点()()1122,,,A x y B x y ，且2211x x m-=+（m 为常数），直线l '与AB 平行，且与曲线E 相切，切点为C ，试问ABC ∆的面积是否为定值.若为定值，求出ABC ∆的面积；若不是定值，说明理由.思路分析：（1）根据抛物线的定义可得点M 的轨迹，根据待定系数法可得轨迹方程．（2）设直线AB 的方程为y kx b =+，与抛物线方程联立消元后可得AB 中点()24,4Q k k b +的坐标为．同样设出切线方程y kx t =+，与抛物线方程联立消元后可得切点C 的坐标为()24,2k k ，故得CQ ⊥ x 轴．于是点评：圆锥曲线中求定值问题常见的方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)由题意得到目标函数，直接通过推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到目标函数的取值与变量无关，从而证得定值．定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现. 定值问题的主要处理方法是函数方法，首先，选择适当的量为变量，然后把证明为定值的量表示为上述变量的函数（可能含多元），最后把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值.消去变量的过程中，经常要用到点在曲线上进行坐标代换消元.有时先从特殊情形入手，求出定值，再对一般情形进行证明，这样可使问题的方向更加明确.另外关注图形的几何性质可简化计算.学*科网2解析几何中的定点问题定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题，一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决.定点问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点问题的证明．难度较大．定点问题是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．解析几何中的“定点”问题一般是在一些动态事物(如动点、动直线、动弦、动角、动轨迹等)中,寻求某一个不变量——定点，由于这种问题涉及面广、综合性强.例2【河南省中原名校2018届第五次联考】已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为G ，直线FG 与直线30x y -=垂直，椭圆E 经过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点F 作椭圆E 的两条互相垂直的弦,AB CD ．若弦,AB CD 的中点分别为,M N ，证明：直线MN 恒过定点．思路分析：（1）根据直线FG 与直线30x y -=垂直可得3b c =，从而得到2243a b =，再由点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上可求得22,a b ，即可得椭圆的方程．（2）当直线AB CD ，的斜率都存在时，设AB 的方程为()10x my m =+≠，与椭圆方程联立消元后根据根据系数的关系可得点M 的坐标，同理可得点N 坐标，从而可得直线MN 的方程，通过此方程可得直线过定点4,07⎛⎫ ⎪⎝⎭．然后再验证当直线AB CD 或的斜率不存在时也过该定点．点评：本题考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式,属难题；解决圆锥曲线定点方法一般有两种：（1）从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 定点定值问题的实质为等式恒成立，方法为待定系数法.定点问题，关键在于寻找题中的已知量、未知量间的平行、垂直关系或是方程、不等式，然后将已知量、未知量代入上述关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系的问题来解决.定值问题，关键在于选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义、方程、几何性质，再用韦达定理等方法导出所求定值关系式需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果. 圆锥曲线中的定点问题是高考中的常考题型，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是数形结合思想、分类讨论思想的考查．求解的方法有以下两种：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．学*科网3解析几何中的定线问题 定线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．例3在平面直角坐标系xOy 中,过点()2,0C 的直线与抛物线24y x =相交于,A B 两点,()()1122,,,A x y B x y .（1）求证:12y y 为定值；（2）是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由.思路分析：（Ⅰ）设出过点()2,0C 的直线方程，与抛物线方程联立消去未知数x ，由根与系数关系可得128y y =-为定值；（Ⅱ）先设存在直线l ：a x =满足条件，求出以AC 为直径的圆的圆心坐标和半径，利用勾股定理求出弦长表达式222124(1)84r d a x a a -=--+-，由表达式可知，当1a =时，弦长为定值.点评：本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系,属难题；解决圆锥曲线定值定点方法一般有两种：（1）从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 学*科网综上所述：解决圆锥曲线问题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的. 定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解思想是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题．解析几何中的定值问题是指某些几何量、线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 证明直线过定点的解题步骤可以归纳为：一选、二求、三定点.具体操作程序如下：一选：选择参变量.需要证明过定点的直线往往会随某一个量的变化而变化，可选择这个量为参变量（当动直线牵涉的量比较多时，也可以选择多个参变量）. 二求：求出动直线的方程.求出只含上述参变量的动直线方程，并由其他辅助条件减少参变量的个数，最终使动直线的方程的系数中只含有一个参变量. 三定点：求出定点的坐标.不妨设动直线的方程中含有变量，把直线方程写成的形式，然后解关于的方程组得到定点的坐标. 解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整性．。

专题二定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何答题中又一考查重点。

此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线和圆、圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。

考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数与方程等数学思想方法。

定点定值问题主要考查三个题型：1.定点问题解题关键在于寻找题中用来联系已知量、未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量、未知量代入上述关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系问题来解决。

2.定值问题解题关键在于选定一个适合该题设的德参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法导出所求定值关系式需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果。

3.定轨迹问题实质是求轨迹方程，可用求轨迹方程的方法求解。

典例探究考点1 定点问题例1.已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线l的方程是4x+y-20=0.（1）求抛物线S的方程;【y2=16x】（2）若O是坐标原点，P、Q是抛物线S上的两动点，且满足PO⊥OQ，试说明动直线PQ是否过一定点.【M（16，0）】变式训练1：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值是3，最小值是1.（1） 求椭圆C 的标准方程 ;【x 2/4+y 2/3=1】（2） 若直线l ：y =kx+m 与椭圆C 相交于A 、B 两点且A 、B 不是左右顶点，以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。

求证：直线l 过定点，并求出改点的坐标.【（2/7，0）】变式训练2：已知A 、B 是抛物线(0)2x =2py p >上的两动点，O 为坐标原点，非零向量OA 、OB 满足||||OA OB OA OB +=- .（1） 求证：直线AB 经过一定点; 【（0，2p ）】（2） 当AB 的中点到直线20y x -=时，求p 的值. 考点2 定值问题例2. 已知点F （1，0），直线l ：x =1-，P 为平面上的动点，过P 做直线l 的垂线，垂足为点Q ，且**QP QF FP FQ =（1） 求动点P 的轨迹C ; 【y 2=4x 】（2） 过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点M ，已知1MA AF λ= ，2MB BF λ=，求12λλ+的值 .【0】变式训练3：已知双曲线222x y -=的左右焦点分别是1F 、2F ，过点2F 的动直线与双曲线交与A 、B 两点，O 为坐标原点。

解析几何中的定值定点问题(一)与直线x -y 2=0相切. ⑴求椭圆C 的方程；⑵设P(4, 0) , M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结 PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线 ME 与x 轴相交于定点. 解：⑴由题意知e =£3，所以e 2 =与=a ;b=3，即玄2 =4b 2，又因为b ! 1,所以a 2a a 4J l +1222X2a =4,b =1，故椭圆C 的方程为C : - y =1 .4⑵由题意知直线 PN 的斜率存在，设直线 PN 的方程为y =k(x _4)①+y 二k(x 一4)联立 X 2 2 消去 y 得：(4k 2 -1)x 2 -32k 2x 4(16k 2-1) =0 ,4 y T由,;=(32k 2)2 _4(4k 2 1)(64k 2 —4) 0 得 12k 2 -1 ：：:0,又k =0不合题意，所以直线PN 的斜率的取值范围是3::: k ：:：0或0 :：: k 3 .6 6⑶设点 N(N ,yj E(X 2, y 2)，则 M (为，-yj ，直线 ME 的方程为 y-y ?二 一(x-x ?),X 2 —X 1令 y=0，得 x=X 2——X^) , 将 射=k(X 1 - 4), y 2 = k(X 2 - 4)代入整理，得 x = _4(XX 2). ②y 2 +y 1X 1 +血 一82 2由得①X 1 X 2二卫!J, X 1X 2二竺 4代入②整理，得X=1 ,4k -+1 4k +1 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1, 0).【针对性练习1]在直角坐标系xOy 中，点M 到点F 1 i 、3,0 , F 2 .3,0的距离之和是4，点M 的轨 迹是C 与x 轴的负半轴交于点 A ，不过点A 的直线l : ^ kx b 与轨迹C 交于不同的两点 P 和Q . ⑴求轨迹C 的方程；⑵当AP AQ =0时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点.解：⑴•••点M 到.[73,0 , . 3 ,0的距离之和是4 , ••• M 的轨迹C 是长轴为4 ,焦点在x 轴上焦中为2 32的椭圆，其方程为-y 2 =1 .、定点问题【例1 ].已知椭圆C : 2 2孚 Z =1(a b 0)的离心率为a b仝，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆 2AO J7—⑵将y=kx・b，代入曲线C的方程，整理得(1 4k2)x28 2kx ^0，因为直线|与曲线C交于不同的两点P 和Q，所以厶=64kb -4(1 4k )(4b — 4) =16(4k -b 1) 0 ①设P X i , y i ，Q| x2 , y2 ，则X i :' X? 2 ，X i X? 2 ②f' 1+4k 1+4k且y i y^(kX i b)(kX? ■ b^(k2X i X?) kb(X i X?)b2，显然，曲线C与X轴的负半轴交于点 A -2 , 0，所AP = X 2 , y ，AQ = X? 2 , y?.由AP AQ = 0，得(x「2)(x? 2) y y? = 0 .将②、③代入上式，整理得12k? -16kb • 5b? =0.所以(2k -b) (6k -5b) = 0 ,即b = 2k或b .经检验,5都符合条件①，当b=2k时，直线I的方程为y =kx・2k •显然，此时直线I经过定点-2 , 0点•即直线|b =6k时，直线I的方程为y = kx ■ 6k =k经过点A，与题意不符.当5 5b = @ k，且直线I经过定点5【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆? ?—-匚=1的左、右顶点为A、B，右焦点9 5为F。

解析几何中定值与定点问题【探究问题解决的技巧、方法】(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关•在这类试题中选择消元的方向是非常关键的.⑵解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.【实例探究】题型1:定值问题：例1:已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2后焦点，离心率等于：(I)求椭圆C的标准方程;(H)过椭圆C的右焦点作直线I交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若MA-二心朋'，求证站+心为定值.解：(I)设椭圆C的方程为:- ，则由题意知b = 1.—+y i = 1•••椭圆C的方程为:'(II)方法一：设A、B、M点的坐标分别为二：叮一亠…一―_…亠■-.- 易知F点的坐标为(2, 0)-：MA=\AF,:.（忑,戸一儿）二金总一可厂旳）.吃产兰T Ji 二亠L去分母整理得 ■. 1'1-'i同理鉱二〈脚得:£ +1的+5-5^ =Q :.人禺是方程"+険+5-5斥二血两个祗血 +為=-10.方法二：设A 、B 、M 点的坐标分别为 又易知F 点的坐标为（2，0）.显然直线I 存在的斜率，设直线I 的斜率为k ,则直线I 的方程是 尸如2）.将直线I 的方程代入到椭圆 C 的方程中，消去y 并整理得 （l+5t 3）x a -20jk 3x+20t a -5=0+20i 320^-52-兀］2—抵 4 一 2（如+ xj +斤工2例2•已知椭圆C 经过点A （1,3/2）,两个焦点为（-1,0）,（1,0）. 1） 求椭圆方程2） E 、F 是椭圆上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明：直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值 (1)a2-b2=c2=1将A 点坐标代入到椭圆方程中，得二v MA = \AF^B =希丽椭点坐标代入得召设椭圆方程为x2/（b2+1）+y2/b2=1将(1, 3/2)代入整理得4bM-9b 2-9=0解得b2=3 (另一值舍)所以椭圆方程为x2/4+y2/3=1(2)设AE 斜率为k则AE 方程为y-(3/2)=k(x-1) ①x 2/4+y 2/3=1 ②①，②联立得出两个解一个是 A (1,3/2 )另一个是E (x1 , y1 )①代入②消去y 得( 1 /4+k 2/3 ) x2-(2k2/3-k) x+k2/3-k-1/4=0 根据韦达定理x1 1= ( k2/3-k-1/4 ) / (1/4+k23 ［③将③的结果代入①式得y1=(-k2/2-k/2+3/8 ) /(1/4+k 2/3)设AF 斜率为-k，F( x2，y2)则AF 方程为y- (3/2) =-k (x-1 ［④x2/4+y 2/3=1 ②②④联立同样解得x2=(k2/3+k-1/4 ) /(1/4+k2/3)y2= (-k2/2+k/2+3/8 ) /(1/4+k2/3)EF 斜率为( y2-y1 ) /(x2-x1)=1/2所以直线EF 斜率为定值，这个定值是1/2。

2021年髙考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题29解析几何中的定点与定值问题定点与定值问题是解析几何中的髙频考点，在近几年的考题中层出不穷•圆锥曲线的有关定点、定值等综合性问题涉及圆锥曲线的左义、几何性质、直线与圆锥曲线位置关系等知识，同时又与函数、不等式、方程、平而向量等代数知识紧密联系•求解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，合理猜想并仔细推理论证，对熟练运用所学知识分析问题、解决问题的能力要求较髙，较大部分学生对此类问题望而生畏.泄点问题主要是曲线系（直线系）过左点的问题，反映的是数学对象的本质属性，如圆锥曲线的某些特有性质，因此，常见某些具有圆锥曲线的性质背景的题目（如蒙日圆、阿基米徳三角形等）•定值问题主要涉及而积、而积比、斜率、长度、角度等几何捲的定值，也涉及动点运动轨迹中的某些不变因素.处理这两大类问题时可以直接推理求出定点、泄值，也可以从特殊情形、极限状态、图形的对称性等方而入手猜测结论，再证明这个点（值）与变量无关，通过特殊值法探求立点、左值能达到事半功倍的效果•同时，要设左合理的变量，准确把握各变量的数量关系，要善于捕捉题目信息，合理变形、消元，并注意整体思想的熟练应用.1定点问题曲线系（直线系）过左点的问题是一类常考题型，这类问题以直线和圆锥曲线为载体，结合貝他条件探究或证明直线、曲线过左点或动点在左宜线上等问题•试题条件中一般含有两个参数，解题过程就是利用条件消参的过程，因此，此类问题的求解往往伴随着一泄的讣算.具体来讲，若是证明直线过泄点，可将直线设为斜截式，然后消掉一个参数，即得直线所过的左点；证明圆过左点时，常利用直径所对圆周角为直角转化为向量的数量枳恒为零处理；证明其他曲线过左点的问题时，经常将曲线中的参变量集中在一起，令其系数等于零，解得左点.例1椭圆F!^ + ^=l（a>6>0）的左焦点为右焦点为离心率0 =圭过鬥的直线交椭圆于久B 两点，且△佔尺的周长为8（/）求椭圆E的方程：总结起來，应注意如下几点：首先，仔细研究题干，认淸问题本质，找准思路，预计求解过程中遇到的各种情况，也就是要想得明白，思路通畅可操作：其次，找准主元，引入参数，建立各个戢间的数量关系，运用消元变形、推理运算等手段证明左点、圧值问题：再次，要努力突破汁算关、心理关，认真仔细计算、准确规范，随时检査，树立信心，只要方向正确就一算到底：最后，必须树立数形结合意识，善于把握问题的特泄信息，运用对称性、特殊性猜想立点、泄值，然后证明，要仔细分析图中的点、线等关系，挖掘隐含条件，往往能取得出奇制胜的效果.2定值问题泄值问题与最值问题属同一类问题，都是在一个运动变化过程中，由某个变量的变化引起另一个量的变化或不变的问题•此类问题的求解的一种思路是找准变化的主元，设为参数，建立参变量与其他量的关系(如函数关系、方程关系、不等式关系等)，探求目标式，通过代数运算将目标式用参变量表示出来，这一步是求解的难点也是关键所在，然后再恒等变形得到立值•另一种思路是通过特殊值或极端情形探索出泄值是多少, 然后进行一般性计算或证明，探索岀的泄值也可以作为检验结果正确与否的试金石.例2已知椭圆+咅= l(a >b> 0)的禽心率为g过左焦点F且垂直于长轴的弦长为总fl* 5 5(/)求椭圆c的标准方程；(II)点P(m, 0)为椭圆C长轴上的一个动点，过点P且斜率为孰勺直线I交椭圆C于A, B两点，求证：|M|2+|PB|2为定值.例3已知点P(—1，9是椭圆E:石+音二Ha>b>0)上一点，人迟分别是椭圆£的左、右焦点，O是坐标原点，PFi 丄x输(/)求椭圆E的方程：(11)设儿B是椭圆上两个动点，丙+两=久而(0<A<4, 盼2).求证:直线AB的斜率等于泄值.線觀模獗题强褪2 21.在椭圆C:^ + ^ = \(2b>a>b>0)±任取一点P (P不为长轴端点)，连结卩斥、PF-并延长与a1 lr椭圆C分别交于点A、B两点,已知AAPF,的周长为8, △斥卩尸2面积的最大值为2.已知椭圆C： 3卫+4b = 12.（1）求椭圆C的离心率；（2）设A,B是四条直线x = ±a,y = ±l）所围成的两个顶点,p是椭圆C上的任意一点，若OP = mOA + nOB»求证：动点。