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集合1．1.3集合的基本运算第一课时并集与交集预习课本P8～10，思考并完成以下问题(1)两个集合的并集与交集的含义是什么？它们具有哪些性质？(2)怎样用Venn图表示集合的并集和交集？[新知初探]1．并集和交集的概念及其表示类别概念自然语言符号语言图形语言并集由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}[点睛](1)两个集合的并集、交集还是一个集合．(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B 可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．2．并集与交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)并集定义中的“或”就是“和”．()(2)A∪B表示由集合A和集合B中元素共同组成．()(3)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合．() 答案：(1)×(2)×(3)√2．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于() A．{0,1}B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}答案：D3．若集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－3<x<3}，则A∩B＝() A．{x|－3<x<2} B．{x|－5<x<2}C．{x|－3<x<3} D．{x|－5<x<3}答案：A4．满足{1}∪B＝{1,2}的集合B的个数是________．答案：2并集的运算[例1](1)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝() A．{1,2,3,4}B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于()A．{x|x>－2} B．{x|x>－1}C．{x|－2<x<－1} D．{x|－1<x<2}[解析](1)由题意得A∪B＝{1,2,3,4}．(2)画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．[答案](1)A(2)A求集合并集的2种基本方法[活学活用]1．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝() A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3或x>5}解析：选A将集合M和N在数轴上表示出来，如图所示，可知M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．2．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5}，则A∪B＝________________. 解析：A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．答案：{0,1,2,3,4,5}交集的运算[例2](1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5B．4C．3 D．2[解析](1)在数轴上表示出集合A与B，如下图．则由交集的定义，A∩B＝{x|0≤x≤2}．(2)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.[答案](1)A(2)D1．求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为：(1)定义法，(2)数形结合法． 2．若A ，B 是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．[活学活用]3．(2017·北京高考)若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2<x <－1} B ．{x |－2<x <3} C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <3}解析：选A 由集合交集的定义可得A ∩B ＝{x |－2<x <－1}． 4．若集合A ＝{x |2x ＋1>0}，B ＝{x |－1<x <3}，则A ∩B ＝________.解析：∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－12，B ＝{x |－1<x <3}，画数轴如图：∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <3. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <3题点一：由并集、交集求参数的值1．已知M ＝{1,2，a 2－3a －1}，N ＝{－1，a,3}，M ∩N ＝{3}，求实数a 的值．由集合的并集、交集求参数解：∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M ； ∴a 2－3a －1＝3，即a 2－3a －4＝0， 解得a ＝－1或4.但当a ＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； 当a ＝4时，M ＝{1,2,3}，N ＝{－1,3,4}，符合题意． ∴a ＝4.题点二：由并集、交集的定义求参数的范围2．设集合A ＝{x |－1<x <a }，B ＝{x |1<x <3}且A ∪B ＝{x |－1<x <3}，求a 的取值范围．解：如图所示，由A ∪B ＝{x |－1<x <3}知，1<a ≤3.题点三：由交集、并集的性质求参数的范围3．已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，集合B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．解：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ， ①当B ＝∅时，k ＋1>2k －1，∴k <2.②当B ≠∅，则根据题意如图所示： 根据数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1≤2k －1，－3<k ＋1，2k －1≤4，解得2≤k ≤52.综合①②可得k 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪k ≤52. 4．把3题中的条件“A ∪B ＝A ”换为“A ∩B ＝A ”，求k 的取值范围．解：∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .又A ＝{x |－3<x ≤4}，B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，可知B ≠∅.由数轴可知⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1≤－3，2k －1≥4，解得k ∈∅，即当A ∩B ＝A 时，k 不存在．由集合交集、并集的性质解题的方法及关注点(1)方法：当题目中含有条件A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将关系进行等价转化如：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B 等．此类问题常借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．(2)关注点：当题目条件中出现B ⊆A 时，若集合B 不确定，解答时要注意讨论B ＝∅的情况．层级一 学业水平达标1．(2017·浙江高考)已知集合P ＝{x |－1<x <1}，Q ＝{x |0<x <2}，那么P ∪Q ＝( ) A ．(－1,2) B ．(0,1) C ．(－1,0)D ．(1,2)解析：选A 根据集合的并集的定义，得P ∪Q ＝(－1,2)． 2．若A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |x ＝3a ，a ∈A }，则A ∩B ＝( ) A ．{1,2}B ．{0,1}C．{0,3} D．{3}解析：选C因为B＝{x|x＝3a，a∈A}＝{0,3,6,9}，所以A∩B＝{0,3}．3．A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则下图中阴影部分表示的集合为()A．{2} B．{3}C．{－3,2} D．{－2,3}解析：选A注意到集合A中的元素为自然数，因此A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而B＝{－3,2}，因此阴影部分表示的是A∩B＝{2}，故选A.4．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于()A．{1,2} B．{1,5}C．{2,5} D．{1,2,5}解析：选D∵A∩B＝{2}，∴2∈A,2∈B，∴a＋1＝2，∴a＝1，b＝2，即A＝{1,2}，B＝{2,5}．∴A∪B＝{1,2,5}，故选D.5．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是() A．a<2 B．a>－2C．a>－1 D．－1<a≤2解析：选C∵A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，要使A∩B≠∅，借助数轴可知a>－1.6．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．解析：∵A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，∴A∪B＝{1,2,3,4,5}，∴A∪B中元素个数为5.答案：57．若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤1，或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________. 解析：借助数轴可知：A∪B＝R，A∩B＝{x|－1＜x≤1，或4≤x<5}．答案：R{x|－1＜x≤1，或4≤x<5}8．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围为________．解析：因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，解得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ －a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.由①②，得a 的取值范围为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]9．已知集合M ＝{x |2x －4＝0}，集合N ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}，(1)当m ＝2时，求M ∩N ，M ∪N .(2)当M ∩N ＝M 时，求实数m 的值．解：(1)由题意得M ＝{2}．当m ＝2时，N ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，则M ∩N ＝{2}，M ∪N ＝{1,2}．(2)∵M ∩N ＝M ，∴M ⊆N .∵M ＝{2}，∴2∈N .∴2是关于x 的方程x 2－3x ＋m ＝0的解，即4－6＋m ＝0，解得m ＝2.10．已知集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x －m <0}．(1)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围；(2)若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值范围．解：(1)∵A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x <m }，又A ∩B ＝∅，∴m ≤－2.(2)∵A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x <m }，由A ∩B ＝A ，得A ⊆B ，∴m ≥4.层级二 应试能力达标1．设集合M ＝{m ∈Z|－3<m <2}，N ＝{n ∈Z|－1≤n ≤3}，则M ∩N ＝()A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C ．{0,1,2}D ．{－1,0,1,2}解析：选B 由题意，得M ＝{－2，－1,0,1}，N ＝{－1,0,1,2,3}，∴M ∩N ＝{－1,0,1}．2．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝4}，那么集合M ∩N 为( )A ．x ＝3，y ＝－1B ．(3，－1)C ．{3，－1}D ．{(3，－1)}解析：选D 集合M ，N 中的元素是平面上的点，M ∩N 是集合，并且其中元素也是点，解⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.3．下列四个命题：①a ∈(A ∪B )⇒a ∈A ；②a ∈(A ∩B )⇒a ∈(A ∪B )；③A ⊆B ⇒A ∪B ＝B ；④A ∪B ＝A ⇒A ∩B ＝B .其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选C a ∈(A ∪B )⇒a ∈A 或a ∈B ，所以①错，由交集、并集的定义，易知②③④正确．4．已知M ＝{x |y ＝x 2－1}，N ＝{y |y ＝x 2－1}，那么M ∩N 等于( )A ．{y |y ＝－1或0}B ．{x |x ＝0或1}C ．{(0，－1)，(1,0)}D ．{y |y ≥－1}解析：选D M ＝{x |y ＝x 2－1}＝R ，N ＝{y |y ＝x 2－1}＝{y |y ≥－1}，故M ∩N ＝{y |y ≥－1}．5．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为________． 解析：∵A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，∴a ＝4，a 2＝16或a ＝16，a 2＝4(舍去)，解得a ＝4.答案：46．已知A ＝{x |a <x ≤a ＋8}，B ＝{x |x <－1，或x >5}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为________．解析：由题意A ∪B ＝R ，在数轴上表示出A ，B ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，a ＋8≥5，解得－3≤a <－1. 答案：－3≤a <－17．设集合A ＝{－2}，B ＝{x |ax ＋1＝0，a ∈R}，若A ∪B ＝A ，求a 的值． 解：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .∵A ＝{－2}≠∅，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0.当B ≠∅时，此时a ≠0，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a ， ∴－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12. 综上，a ＝0或a ＝12.8．已知非空集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |3≤x ≤22}．(1)当a ＝10时，求A ∩B ，A ∪B ；(2)求能使A ⊆(A ∩B )成立的a 的取值范围．解：(1)当a ＝10时，A ＝{x |21≤x ≤25}．又B ＝{x |3≤x ≤22}，所以A ∩B ＝{x |21≤x ≤22}，A ∪B ＝{x |3≤x ≤25}．(2)由A ⊆(A ∩B )，可知A ⊆B ，又因为A 为非空集合，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1≥3，3a －5≤22，2a ＋1≤3a －5，解得6≤a ≤9.。
