第二节 复平面拓扑

此曲线为一条光滑曲线。 有限条光滑曲线相衔接构成的一条曲线， 称为分段光滑曲线。
注解 一般把光滑曲线或分段光滑曲线简称曲线。
（5）单连通区域
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内任何简单闭曲线 所围成的内区域中每一点都属于D，则称D是单连通区域;
复变函数 否则称D是多（复）连通区域。
单连通区域
多连通区域
注解
1、聚点可能属于集E，也可能不属于集E； 2、可能内点属于集E，且是集E的聚点；
3、边界点不一定属于集E，也不一定是E的聚点； 4、孤立点是边界点但不是聚点.
复变函数 开集 集E中的点全部为内点，那么集合E 称为开集。 闭集 集E或者没有聚点，或者所有聚点都属于它； 称闭集。 注 任何集合的闭包一定是闭集.
若r 0, 使得 E U (0, r )，那么集称为有界集；
否则称E为无界集。 复平面C上的有界闭集称为紧集。
复变函数
点集的例子 例1 圆盘U(a,r)是有界开集；闭圆盘是有界闭 集； 例2 集合{z||z-a|=r}是以为a心，r为半径的圆 周，它是圆盘U(a,r)和闭圆盘的边界。 例3 复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是 无界开集。 例4 集合E={z|0<|z-a|<r}是去掉圆心的圆盘。 圆心 a 为边界点，它是 E 边界的孤立点， 是集 合E的聚点。
复变函数
扩充复平面上区域的定义
1、不含无穷远点的区域的定义与上述定义相同； 2、而含无穷远点的区域是C上一个区域与无穷远点 的一个邻域的并集。 注意 加上无穷远点后，许多性质将有很多变化。
(2) 曲线
设已给
z z(t ),(a t b) (5.1)
其中Rez(t)和Imz(t)都是闭区间[a,b]上的连续函数。
复变函数
简单、闭
简单、不闭
不简单、闭
不简单、不闭
复变函数 （3）若尔当定理 任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有
公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的
称为外区域。
外区域
内区域
复变函数 （4）（分段）光滑曲线
如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区间[a,b]上连续，并且有
连续的导函数，而在[a,b]上，其导函数恒不为零，则称
复变函数
则集 z (t ) t a, b 称为一条连续曲线，记作z z (t ).


如果对[a,b]上任意不同两点t1及t2 ，但不同时是 [a,b]的端点， 若
z(t1 ) z(t2 )
那么（5.1 ）称为一条简单连续曲线，或若尔当
（Jordan）曲线。 即是一条除端点外不自交（无重点）的连续曲线。 若还有z(a)=z(b)，则称（5.1）为一条简单连续 闭曲线，或若尔当闭曲线。
2. 区域、曲线 (1) 区域
复平面C上的集合D，如果满足： （1）D是开集； （2）D中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成
复变函数
的折线连起来，而使这条折线上的所有点完全属于D。
则称D是一个区域。
如果区域D是有界集，则称它为有界区域； 否则为无界区域。
注：性质⑵称为连通性。
因此，区域就是连通的开集． 区域D内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域， 记作 D.
若存在r 0，使得U (a, r ) E，那么 称为集E的内点；
如果对r 0, 集U (a, r ) E中既有属于E的点，又有
不属于E的点，则称a为E的边界点； 集E的全部边界点所组成的集，称为E的边界， 记为 E .
复变函数
集 E E 称为E 的闭包，记为 E.
若r 0, 使得U ( , r ) E {}，则称为E的孤立点。
复变函数
无穷远点的邻域 对一切r>0,在扩充复平面上，集合
{z || z | r, z C }
（即原点为中心的某圆周外部 ） 称为无穷远点的一个r邻域。
从而，我们可以定义无穷远点是某点集的聚点、 内点、边界点与孤立点及开集、闭集等概念。
复变函数 注解 1、复平面以∞为唯一的边界点； 2、扩充复平面以∞为内点，且它是唯一的无边界 的区域。
(1 i) z (1 i) z 0
例2 集合 {z | 2 Re z 3} 为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界为两 条直线：Re z 2
Re z 3
复变函数
例3 集合 {z | 2 arg( z i) 3} 为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线：
arg( z i) 2 arg( z i) 3
例4 集合 {z | 2 | z i | 3} 为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为圆：
| z i | 2
| z i | 3
复变函数
例5 在扩充复平面上，集合
{z | 2 | z | }
为单连通的无界区域，其边界分别为：
（6）扩充复平面上的单连通区域 如果区域D内任何简单闭曲线的内区域或外区域（含 无穷 远点）中每一点都属于D，则称D是单连通区域;
否则称D是多（复）连通区域。
复变函数
例1 集合
{z | (1 i) z (1 i) z 0}
x y 0
为一半平面，它是一个单连通无界区域，其边界为直Leabharlann Baidu：
8
{z | |z a | r , z C}
记为： U (a, r ).
集{z|0<|z-a|<r}称为去掉圆心的圆盘
6
4

2
r
5
或去心邻域。
-10
-5
-2
复变函数
聚点、内点、边界点 设集E C, C.
如果r 0, 在点集 U ( , r ) E中有无穷多个点，
则称α为E的一个聚点或极限点；
{| z | 2}
而集合
{z | 2 | z | }
为多连通的无界区域， 其边界分别为：
{| z | 2} {}
复变函数
作业：P14 14 （3）（5）（9）
复变函数
第二节 复平面的拓扑
4. 初步概念
5. 区域、曲线
复变函数
1. 初步概念: 设 C, r (0, ).
a的r邻域 （点）集 邻域, 记作 U(a,r).
{z | |z a | r, z C} (4.1)
称为以a为中心，r为半径的圆盘,称为a 的一个邻域或r 以a为圆心，r为半径的闭圆盘定义为：