数学极差方差和标准差知识点

极差方差标准差公式方差、标准差和极差是统计学中常用的概念，它们在描述数据分布和变异程度上起着重要的作用。

本文将分别介绍这三个概念的计算公式及其在实际应用中的意义。

首先我们来看极差的计算公式。

极差是指一组数据中最大值与最小值之间的差异，它可以用来描述数据的波动程度。

假设我们有一组数据X={x1, x2, x3, ..., xn}，其中xi表示第i个观测值，那么这组数据的极差可以通过以下公式来计算：Range = max(X) min(X)。

其中max(X)表示数据中的最大值，min(X)表示数据中的最小值。

通过计算极差，我们可以直观地了解数据的波动范围，从而对数据的变异程度有一个大致的了解。

接下来我们来介绍方差的计算公式。

方差是衡量一组数据离散程度的指标，它描述了数据点与其均值之间的差异程度。

假设我们有一组数据X={x1, x2, x3, ..., xn}，其中xi表示第i个观测值，数据的方差可以通过以下公式来计算：Variance = Σ(xi μ)² / n。

其中Σ表示求和符号，xi表示第i个观测值，μ表示数据的均值，n表示数据的个数。

通过计算方差，我们可以了解数据点与均值之间的离散程度，进而对数据的分布情况有一个直观的认识。

最后我们来介绍标准差的计算公式。

标准差是方差的平方根，它是描述数据离散程度的一种常用指标。

数据的标准差可以通过以下公式来计算：Standard deviation = √Variance。

通过计算标准差，我们可以更直观地了解数据的离散程度，因为标准差的数值与原始数据的单位相同，所以它更容易被人们理解和比较。

综上所述，极差、方差和标准差是描述数据分布和变异程度的重要指标，它们在统计学和实际应用中都具有重要的意义。

通过计算这些指标，我们可以更好地了解数据的分布情况，从而为后续的数据分析和决策提供有力的支持。

希望本文能帮助读者更好地理解极差、方差和标准差的概念及其计算方法。

极差方差标准差的区别和联系嘿，你知道吗？在数学的奇妙世界里，就像哈利·波特在魔法学院有各种神奇的魔法咒语一样，极差、方差和标准差也有它们独特的“魔力”！要是搞不清它们，在数学的“魔法战场”上可就要晕头转向啦！**“极差大侠的一招鲜”**在数据的江湖里，极差就像一位“大侠”，以一招鲜走天下！极差的精髓就是：最大值减去最小值。

咱可以这么说，“极差大侠出手，只看头尾两端，中间统统不管！”比如说，一组数据 5，10，15，20，25，极差就是 25 - 5 = 20 。

极差简单粗暴，能让你迅速了解数据的最大跨度。

这就好比你要挑一根橡皮筋，极差能告诉你这根橡皮筋能拉伸的最大长度范围。

但极差也有它的局限性呀，它只考虑了两端的值，对中间的数据变化就“视而不见”啦。

**“方差巫师的魔法阵”**接下来，轮到方差这位“巫师”登场啦！“方差巫师施法，关注整体偏差！”方差可就不像极差那么简单直接啦，它要考虑每一个数据与平均数的偏离程度。

想象一下，数据就像是一群调皮的小精灵，方差就是要把这些小精灵离群的情况都算清楚。

比如说一组数据 8，10，12，14，16，先算平均数是 12 ，然后每个数据与 12 差值的平方相加再除以数据个数，就是方差啦。

方差能更全面地反映数据的离散程度，就像一个精密的魔法阵，不放过任何一个细微的偏差。

**“标准差的平衡术”**最后，标准差这位“平衡大师”来压轴！“标准差出马，稳定才是王道！”标准差其实就是方差的平方根。

为啥要有标准差呢？因为方差算出来的数值单位跟原数据不一样啦，标准差把它拉回“正轨”，让我们能更直观地理解数据的离散程度。

比如说，方差算出来是 4 ，标准差就是 2 。

这就好比你要走平衡木，标准差能告诉你脚步的稳定程度，是不是不容易掉下去。

好啦，极差、方差和标准差的区别和联系就像一场精彩的魔法秀！极差是快速扫描，方差是精细考量，标准差则是平衡协调。

掌握了它们，你在数学的数据世界里就能如鱼得水，不再被这些概念搞得晕头转向啦！你难道不想在数学的“魔法之旅”中顺风顺水吗？那就赶紧把这三个“魔法咒语”牢记于心，让自己成为数学世界里的“魔法大师”，闪瞎那些数学难题的“小眼睛”！朝着这些标准努力吧，让数学不再是你的“拦路虎”，而是你的“秘密武器”，yyds！。

极差.方差与标准差(知识点讲解)极差、方差与标准差一、本节知识导学本节以自主探索为主，并初步体验：对图的观察和分析是科学研究的重要方法。

通过例题发现极差（最大值-最小值）的作用：用来表示数据高低起伏的变化大小；同时也希望同学们通过深入思考发现极差的不足之处：极差只能反应一组数据中两个极端值之间的差异情况，对其他数据的波动情况不敏感。

因此有必要重新找一个对整组数据的波动情况更敏感的指标, 构造方差前请同学们注意以下几个方面： 1．为什么要用“每次成绩”和“平均成绩”相减。

2．为什么要“平方”。

3．为什么“求平均数”比“求和”更好。

同时请同学们意识到：比较两组数据的方差有一个前提条件是，两组数据要一样多。

对于方差的学习，重点在于方差公式的导出和对于方差概念的理解，而不是数字的计算，应充分利用计算器和计算机去完成繁杂的计算。

对于方差与标准差之间除了计算公式不一样，数量单位也不一样但通过求算术平方根运算又可以将他们联系在一起。

二、例题1．不通过计算，比较图中（1）（2）两组数据的平均值和标准差分析：平均值是反映一组数据的平均水平，标准差是反映一组数据与其平均值的离散程度。

本例不通过计算，从折线图来估算标准差，应先估算平均值的大小。

解：从图（1）（2）中可以看出，两组数据的平均值相等。

（图（1）中数据与图（2）中前10个数据相等, 且图（2）中后几个数据不影响平均值）。

图（1）的标准差比图（2）的标准差大。

（因为图（1）中各数据与其平均值离散程度大，图（2）中前10个数据与其平均值的离散程度与图（1）相同，而后几个数据与其平均值的离散程度小。

因此整体上说图（2）所有数据与其平均值的离散程度小于图（1）。

）2．求下列数据的方差（小数点后保留两位）：5，7，9，9，10，11，13，14。

分析：要求方差，必须先求平均数。

解：= （5+7+9+9+10+11+13+14）=9.75方差s 2= =7.69[（5-9.75）2+(7-9.75)2+……+(14-9.75) 2]3．求下列一组数据的极差、方差和标准差（小数点后保留两位）：50，55，96，98,65，100，70，90，85，100分析：由于标准差是方差的变形所以一般情况下先求方差解：极差为100-50=50平均数为=（50+55+96+98+65+100+70+90+85+100）=80.9方差为：s 2= =334.69 标准差为：s=[(50-80.9)2+(55-80.9)2+……+(100-80.9) 2]=18.294．在某次数学竞赛中，甲、乙两班的成绩如下已经算出两班的平均数都是80分，请你根据已有的统计知识分析两个班的成绩。

极差方差标准差极差是指一组测量值内最大值与最小值之差，又称范围误差或全距，以R表示。

它是标志值变动的最大范围，它是测定标志变动的最简单的指标。

极差没有充分利用数据的信息，但计算十分简单，仅适用样本容量较小（n<10)情况。

方差是各个数据与平均数之差的平方和的平均数。

在概率论和数理统计中，方差（英文Variance）用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。

方差，通俗点讲，就是和中心偏离的程度！用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差。

在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。

标准差（Standard Deviation），中文环境中又常称均方差，但不同于均方误差（mean squared error，是各数据偏离平均数的距离平方的平均数，也即误差平方和的平均数，计算公式形式上接近方差，它的开方叫均方根误差，均方根误差才和标准差形式上接近），标准差是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。

标准差是方差的算术平方根。

标准差能反映一个数据集的离散程度。

平均数相同的，标准差未必相同。

简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。

一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。

例如，两组数的集合{0,5,9,14} 和{5,6,8,9} 其平均值都是7 ，但第二个集合具有较小的标准差。

标准差可以当作不确定性的一种测量。

例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。

当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。

这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。

标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。

标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。

点拨极差、方差、标准差极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动大小的量.一、极差一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围，实际生活中我们经常用到极差.如一支足球队队员中的最大年龄与最小年龄的差，一个公司成员中最高收入与最低收入的差等都是极差的例子.极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.二、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一组数据x 1、x 2、x 3、…、x n 的平均数为x ，则该组数据方差的计算公式为： ])()()[(1222212x x x x x x nS n -++-+-= . 三、标准差在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差. 即标准差=方差.四、极差、方差、标准差的关系方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比较两组数据的波动大小.两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标准差，是因为标准差的单位和原数据的单位一致，且能缓解方差过大或过小的现象.5．典型例析例1 从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：（单位：cm ） 甲： 21 42 39 14 19 22 37 41 40 25乙： 27 16 40 41 16 44 40 40 27 44(1)根据以上数据分别求甲、乙两种玉米的极差、方差和标准差.(2)哪种玉米的苗长得高些;(3)哪种玉米的苗长得齐.分析：本题既是一道和极差、方差和标准差计算有关的问题，又是利用方差解决实际问题的一道题目.要求极差，只要用数据中最大值减去最小值，求到差值即可.利用方差的计算公式可以求到方差，将方差开平方就得标准差.解： 甲的极差： 42-14=28(cm)；乙的极差：44-16=28(cm).甲的平均值:）（）（甲cm x 3025404137221914394221101=+++++++++= 乙的平均值:)(31)44274040441641401627(101cm x =+++++++++=乙 甲的方差:)(2.10410)3025()3042()3021(22222cm S =-++-+-= 甲, 乙的方差:)(8.12810)3144()3116()3127(22222cm S =-++-+-= 乙（2）因为甲种玉米的平均高度小于乙种玉米的平均高度，所以一种玉米的苗长的高.（3）因为22乙甲S S ≤，所以甲种玉米的苗长得整齐.例2 市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛.他们的成绩（单位：m ）如下：甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75(1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？(2)哪位运动员的成绩更为稳定？(3)若预测，跳过1.65m 就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪位运动员参赛？若预测跳过1.70m 才能得冠军呢？解析：本题是一道数据分析有关的实际问题,主要考查数据的平均数、方差的计算方法及处理数据的能力.根据平均数及方差的计算公式可得（1）甲x =)67.165.170.1(81+++ =1.69(m), 乙x =)75.173.160.1(81+++ =1.68（m ）. (2)])69.167.1()69.165.1()69.170.1[(812222-++-+-= 甲S =0.0006(m 2), ])68.175.1()68.173.1()68.160.1[(812222-++-+-= 乙S =0.0035(m 2),因为22s s 乙甲,所以甲稳定.（3）可能选甲参加，因为甲8次成绩都跳过1.65m 而乙有3次低于1.65m; 可能选乙参加，因为甲仅3次超过1.70m.。

极差方差标准差极差、方差和标准差是统计学中常用的三种测量数据离散程度的方法，它们在数据分析和研究中起着重要的作用。

本文将分别介绍极差、方差和标准差的概念、计算方法和应用场景，帮助读者更好地理解和运用这三种统计指标。

首先，我们来介绍极差。

极差是用来衡量数据的离散程度的指标，它是一组数据中最大值和最小值之间的差值。

计算极差的方法非常简单，只需将数据中的最大值和最小值相减即可得到极差。

例如，对于一组数据{3, 5, 7, 9, 11}，最大值为11，最小值为3，因此极差为11-3=8。

极差越大，说明数据的波动范围越大，反之则波动范围较小。

在实际应用中，极差常常用来描述一组数据的波动情况，例如股票价格的波动范围、温度的变化范围等。

接下来，让我们来了解方差。

方差是描述一组数据离散程度的统计量，它衡量的是每个数据点与数据集平均值的偏离程度。

方差的计算方法是将每个数据点与平均值的差的平方求和，然后除以数据点的个数。

简单来说，方差就是数据偏离平均值的程度的平均值。

方差越大，说明数据点偏离平均值的程度越大，数据的波动性也就越大。

在实际应用中，方差常用来衡量一组数据的稳定性和可靠性，例如在金融领域中用来衡量投资组合的风险。

最后，让我们来介绍标准差。

标准差是方差的平方根，它是描述一组数据离散程度的常用指标。

标准差可以帮助我们更直观地理解数据的波动情况，因为它的数值与原始数据的单位保持一致。

计算标准差的方法是先计算方差，然后将方差的平方根作为标准差。

标准差越大，说明数据的波动范围越大，反之则波动范围较小。

在实际应用中，标准差常用来衡量一组数据的稳定性和可靠性，例如在质量控制中用来衡量产品质量的稳定性。

综上所述，极差、方差和标准差是统计学中常用的三种测量数据离散程度的方法，它们分别从不同角度描述了数据的波动情况。

通过对这三种指标的理解和应用，我们可以更好地分析和理解数据，为决策提供有力的支持。

希望本文能够帮助读者更好地掌握极差、方差和标准差的概念和应用，提升数据分析能力。

方差标准差极差公式方差、标准差和极差是统计学中常用的三个概念，它们用来衡量数据的离散程度和变异程度。

在实际应用中，我们经常会用到这三个指标来分析数据的稳定性和波动性。

本文将详细介绍方差、标准差和极差的计算公式及其应用。

首先，我们来介绍方差的概念和计算公式。

方差是衡量一组数据离散程度的指标，它的计算公式如下：\[ \sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i \mu)^2 \]其中，\( \sigma^2 \)表示方差，\( n \)表示样本容量，\( x_i \)表示第\( i \)个数据点，\( \mu \)表示数据的均值。

方差的计算公式可以直观地理解为每个数据点与均值的偏离程度的平方的平均值。

方差越大，数据的离散程度越大，反之亦然。

接下来，我们来介绍标准差的概念和计算公式。

标准差是方差的平方根，它的计算公式如下：\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]标准差可以直观地理解为数据的平均偏离程度，它是方差的平方根，用来衡量数据的波动程度。

标准差越大，数据的波动程度越大，反之亦然。

最后，我们来介绍极差的概念和计算公式。

极差是一组数据中最大值和最小值之间的差值，它的计算公式如下：\[ R = x_{max} x_{min} \]其中，\( R \)表示极差，\( x_{max} \)表示数据的最大值，\( x_{min} \)表示数据的最小值。

极差是最简单的衡量数据离散程度的指标，它直接反映了数据的变化范围。

在实际应用中，方差、标准差和极差经常被用来分析数据的稳定性和波动性。

比如，在股票市场中，投资者可以用标准差来衡量股票价格的波动程度，从而评估风险。

在质量控制中，工程师可以用方差来衡量产品质量的稳定性，从而改进生产工艺。

在教育评估中，研究人员可以用极差来衡量学生成绩的差异程度，从而评估教学效果。

总之，方差、标准差和极差是统计学中常用的三个指标，它们可以用来衡量数据的离散程度和变异程度。

八年级数学《极差、方差和标准差》知识点极差、方差、标准差都是用来研究一组数据的离散程度，表示一组数据离散程度的指标.一、定义理解1极差极差是用来反映一组数据变化范围的大小. 我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差就称为极差.极差=最大值-最小值极差仅只表示一组数据变化范围的大小，只对极端值较为敏感，而不能表示其它更多的意义.2、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的指标，它是指一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.求一组数据的方差可以简记为：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均•"通常用S表示一组数据的方差，用X表示一组数据的平均数，x“ x2、… X n表示各数据.方差计算公式是：s2=1[(x 1- x) 2+(x2- x) 2+—+(X n- x) 2]；3、标准差在计算方差的过程中，可以看出S2的数量单位与原数据的不一致，因而在实际应用时常常将求出的方差再幵平方，这就是标准差.标准差=..方差，方差=标准差2.一组数据的标准差计算公式是S j1~xi~x X2—"X ~ xn~x ，其中X为n个数据X i, X2,…，X n的平均数.方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小.方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位平方，标准差的单位与原数据的单位相同.在解决实际问题时，常用样本的方差来估计总体方差方法去考察总体的波动情况.二、例题讲析例1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛得分如下：甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102(1)求甲、乙两队的平均分和极差？(2)计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？解：(1) x= (100 97 99 96 102 103 104 101 101 100)= 100.3?10甲队的极差=104-96= 8; 甲队的极差=104-95= 9(2) S 甲2丄[(100 100.3)2(99 100.3)2(100 100.3)2 ]=5.6110甲队的标准差：-.5.61 2.37 ; 乙队的标准差：.9.21 3.03 所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发挥更为稳定一些.例2、对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5盆，记录其花期：甲组：25, 23, 28, 22, 27乙组：27, 24, 24, 27, 23(1)10盆花的花期最多相差几天？(2)施用何种花肥，花的平均花期较长？(3)施用哪种保花肥效果更好？分析：花期的极差就是花期最多相差的天数，花的平均花期就是分别求得甲、乙两组数据的平均数，而看哪种保花肥效果好，关键是比较方差，方差越小，波动越小，效果越好！解：(1) 28- 22= 6 (天) 所以，10盆花的花期最多相差6天._ 1(2)由平均数公式得：x= -(25 23 28 22 27)= 25?5得站=心，所以，无论用哪种花肥，花的平均花期相等.(3)由方差公式得：得S B2 s乙故施用乙种花肥，效果比较可靠三、反馈练习1. 一组数据5, 8, x, 10, 4的平均数是2x，则这组数据的方差是____________ .2. 五名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下(单位：cm): 2,-2, —1, 1, 0,则这组数据的极差为______ cm.方差是_________ ，标准差是______3. 若样本1, 2, 3, x的平均数为5,又样本1, 2, 3, x, y的平均数为6,则样本1, 2, 3, x, y的极差是 _________ ，方差是_______ ，标准差是______ .4. 已知一组数据0, 1, 2, 3, 4的方差为2,则数据20, 21, 22, 23, 24的方差为 ____ ,标准差为________ .5. 一组数据—8,- 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9的极差是 ________ ，方差是______ ，标准6. 若样本X1,X2,……,X n的平均数为 =5,方差S2= 0.025,贝肪羊本4X I,4X2,4X n的平均数X /= _______ ，方差S7 2= _______ .。