大串讲

高考物理热点大串讲第一讲运动1.考生易混淆的超重和失重问题（1）超重不是重力的增加，失重也不是重力的减少.在发生超重和失重时，只是视重的改变，而物体所受的重力不变.（2）超重和失重现象与物体的运动方向，即速度方向无关，只取决于物体的加速度方向.（3）在完全失重状态下，平常由重力产生的一切物理现象都会完全消失.2.对于平抛运动，考生应注意不能混淆速度和位移的矢量分解图做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，根据运动的独立作用原理，速度可以分解，位移也可以分解.要注意这两个矢量图的区别与联系，不能混淆.在速度矢量图中，设速度方向与水平方向的夹角为α,tanα=vy/v0=2y/x.在位移矢量图中，设位移方向与水平方向的夹角为β,tanβ=y/x，因此有tanα=vy/v0=2y/x=2tanβ.3.考生应注意近地卫星与赤道上的物体的区别近地卫星离开地面运行，地球对它的万有引力提供向心力，也可以近似视为重力提供向心力.而赤道上的物体在地球上随地球自转做圆周运动，地球对物体的万有引力与对物体支持力的合力提供向心力.4.考生应注意r在不同公式中的含义万有引力定律公式F=GMm/r2中的r指的是两个质点间的距离，在实际问题中，只有当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，定律才适用，此时r指的是两物体间的距离.定律也适用于两个质量分布均匀的球体，此时r指的是这两个球心间的距离.而向心力公式F=mv2/r中的r，对于椭圆轨道指的是曲率半径，对于圆轨道指的是圆半径，开普勒第三定律r3/T2=k中的r指的是椭圆轨道的半长轴.可见，同一个r在不同公式中的含义不同，要注意它们的区别.第二讲能量1.掌握一个有用且易错的结论：摩擦生热Q=f·Δs摩擦力属于“耗散力”，做功与路径有关，一个物体在另一个物体的表面上运动时，发热产生的内能等于滑动摩擦力的大小与两物体的相对路程的乘积，即Q=f·Δs.在相互摩擦的系统内，一对滑动摩擦力所做功的代数和总是负值，其绝对值恰好等于滑动摩擦力的大小与两物体的相对路程的乘积，也等于系统损失的机械能.2.理清两个易混、易错的问题（1）错误地认为“一对作用力与反作用力所做的功总是大小相等、符号相反”.我们可以设想一个具体例子， A、B为放置在光滑水平面上的两个带同种电荷的绝缘小球，同时无初速度地释放后在相互作用的斥力作用下分开，则作用力与反作用力都做正功.两球质量相等时，位移的大小相等，做功数值相等.两球质量不相等时，位移的大小不相等，做功数值也不相等.若按住A球不动，只释放B球，则A对B的作用力做正功，B 对A的反作用力不做功.所以，单纯根据作用力的做功情况不能确定反作用力的做功情况.（2）忽视细绳绷紧瞬间的机械能损失.细绳是力学中的一个理想化模型，它的质量和伸长量往往忽略不计，在与物体发生相互作用时，细绳对物体施加的力会发生突变，且作用时间极短，所以细绳由松弛变为绷紧的瞬间，往往会使沿绳方向的速度发生突变.由于物体的速度发生突变，物体的动能必有损失，求解时，通常在细绳绷紧瞬间，将运动过程分为两个不同的阶段，但前一阶段的末速度不等于后一阶段的初速度，由于能量的损失，速度要变小.第三讲场1.考生不易理解的三个概念——电场强度、电势、电容（1）电场强度的定义式E＝F/q，但E的大小、方向是由电场本身决定的，是客观存在的，与放不放检验电荷以及放入的检验电荷的正负、电荷量的多少均无关.既不能认为E与F成正比，也不能认为E与q成反比.同理，电势也是由电场本身决定的，是客观存在的，与放不放检验电荷以及放入的检验电荷的正负、电荷量的多少均无关.电势的正负符号表示大小，即正值大于负值.对电容的理解也是如此，电容由电容器本身决定，与电容器是否接入电路无关，即与电容器是否带电（电容器带电荷量）和两极板间电势差无关.（2）要区别场强的定义式E＝F/q与点电荷场强的计算式E＝kQ/r2，前者适用于任何电场，其中E与F、q无关；而后者只适用于真空中点电荷形成的电场，E由Q和r 决定.（3）场强与电势无直接关系，场强大（或小）的地方电势不一定大（或小），零电势点可根据实际需要选取，而场强是否为零则由电场本身决定.2.考生不易区分的电场线、电场强度、电势、等势面的相互关系（1）电场线与场强的关系：电场线越密的地方表示电场强度越大，电场线上每点的切线方向表示该点的电场强度方向.（2）电场线与电势的关系：沿着电场线方向，电势越来越低.（3）电场线与等势面的关系：电场线越密的地方等差等势面也越密，电场线与该处的等势面垂直.（4）电场强度与等势面的关系：电场强度方向与通过该处的等势面垂直且由高电势指向低电势；等差等势面越密的地方表示电场强度越大.3.考生应注意的一个重点——安培力将通电直导线垂直磁场方向放入匀强磁场中，其所受安培力大小为F＝ILB，安培力的方向总是既跟磁场方向垂直，又跟电流方向垂直，即F⊥B、F⊥I，安培力的方向用左手定则判断.注意：安培力公式F＝ILB中的L为通电导线的有效长度.若导线长度大于匀强磁场的区域，则导线的有效长度等于导线在磁场中的长度；若导线是弯曲的，则导线的有效长度等于其两端点的连线距离；若导线是闭合的，则导线的有效长度等于零，匀强磁场对闭合导线各部分作用力的合力为零.4.考生不易掌握的一个难点——带电粒子在“场”中的运动（1）带电粒子在复合场中的运动本质是力学问题①带电粒子在电场、磁场和重力场共存的复合场中的运动，其受力情况和运动图景比较复杂，但其本质是力学问题，应按力学的基本思路，运用力学的基本规律研究和解决此类问题.②分析带电粒子在复合场中的受力时，要注意各力的特点.如带电粒子无论运动与否，在重力场中所受重力及在匀强电场中所受的电场力均为恒力，它们做的功只与始末位置（在重力场中的高度差或在电场中的电势差）有关，而与运动路径无关.而带电粒子在磁场中只有运动（且速度不与磁场平行）时才会受到洛伦兹力，力的大小随速度大小的变化而变化，方向始终与速度垂直，故洛伦兹力对运动电荷不做功.（2）带电粒子在复合场中运动的基本模型有：①匀速直线运动.自由的带电粒子在复合场中做的直线运动通常都是匀速直线运动，除非粒子沿磁场方向飞入不受洛伦兹力作用.因为重力、电场力均为恒力，若两者的合力不能与洛伦兹力平衡，则带电粒子速度的大小和方向将会改变，不能维持直线运动.②匀速圆周运动.自由的带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，必定满足电场力和重力平衡，则当粒子速度方向与磁场方向垂直时，洛伦兹力提供向心力，使带电粒子做匀速圆周运动.③较复杂的曲线运动.在复合场中，若带电粒子所受合外力不断变化且与粒子速度不在一条直线上时，带电粒子做非匀变速曲线运动.此类问题，通常用能量观点分析解决，带电粒子在复合场中若有轨道约束，或匀强电场或匀强磁场随时间发生周期性变化时，粒子的运动更复杂，则应视具体情况进行分析.正确分析带电粒子在复合场中的受力情况并判断其运动的性质及轨迹是解题的关键，在分析其受力及描述其轨迹时，要有较强的空间想象能力并善于把空间图形转化为最佳平面视图.当带电粒子在电磁场中做多过程运动时，关键是掌握基本运动的特点和寻找过程的衔接点.第四讲路1.考生易错的电路中的电容器问题如果电容器与电路中某个电阻并联，电路中有电流通过.电容器两端的电压等于该电阻两端的电压.另外，应该知道电容器充电时，随着电容器内部电场的建立，充电电流会越来越小，电容器两极板间电压（电势差）越来越大.当电容器充电过程结束时，电容器所在的支路电流为零.2.考生应注意的动态电路的有关问题电路中局部的变化会引起整个电路电流、电压、电功率的变化，“牵一发而动全局”是电路问题的一个特点.处理这类问题的常规思维过程是：首先对电路进行分析；其次从阻值变化的那部分入手，由串、并联规律判断电路总电阻变化情况（若只有有效工作的一个电阻阻值变化，则电路总电阻一定与该电阻变化规律相同）；再次由闭合电路欧姆定律判断电路总电流、路端电压变化情况；最后根据电路特点和电路中电压、电流分配原则判断各部分电流、电压、电功率的变化情况.3.考生易错的非纯电阻电路问题非纯电阻电路是电流做功将电能主要转化为其他形式的能量，但还有一部分电能转化为热能，此时电功大于电热.以电动机为例，电动机工作时所消耗的电能大部分转化为机械能，一小部分转化为热能.因此，对于电动机电路问题可用以下公式求解.电流做功时所消耗的总能量W总=UIt；工作时所产生的热能Q=W热=I2Rt；所转化的机械能W 机＝W总-W热＝UIt-I2Rt；电流做功的功率P总=UI；其发热功率P热=I2R；转化的机械能功率P机=P总-P 热＝UI-I2R.4.考生应注意的电路故障问题分析电路的故障问题有：（1）给定可能故障现象，确定检查方法；（2）给定测量值，分析推断故障；（3）根据故障，分析推断可能观察到的现象等几种情况.分析的关键在于根据题目提供的信息分析电路的故障所在，画出等效电路，再利用电路规律来求解，通常情况下，电压表有读数表明电压表与电源连接完好，电流表有读数表明电流表所在支路无断路.5.考生易漏掉的非线性电路的求解问题非线性电路包括含二极管电路和含白炽灯电路，由于这类元件的伏安特性不再是线性的，所以求解这类问题难度较大.对这类问题的分析要用到图线相交法.要注意理解图像交点的物理意义.6.考生易混淆的几大规律（1）安培定则，又称右手螺旋定则，用于根据电流（磁场）方向，判断磁场（电流）方向.（2）左手定则，用于根据电流方向和磁场的方向，判断导体的受力方向；或根据粒子运动方向和磁场的方向，判断运动粒子的受力方向.（3）右手定则，用于根据导体的运动方向和磁场方向，判断感应电流的方向.（4）楞次定律，用于根据磁通量的变化，判断感应电流的方向.（5）法拉第电磁感应定律，用于计算感应电动势的大小.一定要理解记忆几大定律的表述，对于楞次定律还要注意掌握常用的几种等效推论.7.考生不易掌握的一个难点——感应电路中的“杆+导轨”模型问题（1）全面掌握相关知识：由于“杆+导轨”模型题目涉及的问题很多，如力学问题、电路问题、图像问题及能量问题等，同学们要顺利解题需全面理解相关知识，常用的基本规律有电学中的法拉第电磁感应定律、楞次定律、左手定则、右手定则、欧姆定律及力学中的运动学规律、动力学规律、动能定理、能量守恒定律等.（2）抓住解题的切入点：受力分析、运动分析、过程分析、能量分析.（3）自主开展研究性学习：同学们平时应用研究性的思路考虑问题，可做一些不同类型、不同变化点组合的题目，注意不断地总结，并可主动变换题设条件进行研究学习，在高考时碰到自己研究过的不同变化点组合的题目就不会感到陌生了.8.考生易混淆的交流电“四值”的运用问题交流电的瞬时值、最大值、平均值、有效值有不同用途，同学们要掌握它们的求解方法和用途.交变电流在一个周期内能达到的最大数值称为最大值或峰值，在研究电容器是否被击穿时，要用到最大值；有效值是根据电流的热效应来定义的，在计算电路中的能量转化如电热、电功或确定交流电压表、交流电流表的读数和保险丝的熔断电流时，要用有效值；在计算电荷量时，要用平均值；交变电流在某一时刻的数值称为瞬时值，不同时刻，瞬时值一般不同，计算电路中与某一时刻有关的问题时要用交变电流的瞬时值.9.考生易分析不清的输电线路与变压器电路的问题（1）正确理解理想变压器原、副线圈的等效电路，尤其是副线圈的电路，它是解决变压器电路的关键.（2）正确理解电压比、电流比公式，尤其是电流比公式.电流比对于多个副线圈不能使用，这时求电流关系只能根据能量守恒来求，即P输入＝P输出 .（3）正确理解变压器中的因果关系：理想变压器的输入电压决定了输出电压；输出功率决定了输入功率，即只有有功率输出，才会有功率输入；输出电流决定了输入电流 . （4）理想变压器只能改变交流的电流和电压，却无法改变其功率和频率.（5）解决远距离输电问题时，要注意所用公式中各量的物理意义，画好输电线路的示意图，找出相应的物理量.第五讲实验1.考生易错的一个热点——打点计时器的使用及纸带分析打点计时器使用的电源是频率为50 Hz的交流电源，使用时，一般先接通电源，后松开纸带.每隔0.02 s打一次点，试题中给的各点常常是取的计数点，相邻的计数点间的时间间隔T不一定是0.02 s .2．考生应注意是否满足实验条件在探究加速度与力和质量的关系、探究动能定理的实验中，只有满足砝码和砝码盘（或砂和砂桶）的质量远远小于小车的质量的条件，才能认为砝码和砝码盘（或砂和砂桶）的重力等于绳的拉力.3．考生应注意动能改变量与势能改变量是否相等验证机械能守恒定律实验时，部分学生不计算动能的增加量，直接认为动能的增加量等于重力势能的减少量.但是，实验中由于摩擦力的影响，减少的重力势能总是大于增加的动能，只是在相差很小时，我们才能认为机械能守恒.4．考生易漏的改装电压表问题用伏安法测电阻，若只给两块电流表而没给电压表时，需要把一块电流表改装成电压表来使用，所给的两块电流表一般情况是一块内阻是大约值，一块内阻是准确值，只能把内阻是准确值的电流表改装成电压表.5．考生不易掌握的如何确定被测电阻是大电阻还是小电阻（1）已知被测电阻、电压表和电流表的大约内阻值时，采用比较法：若RV/Rx>Rx/RA，则Rx是小电阻，采用电流表外接法；若RV/Rx<Rx/RA，则Rx是大电阻，采用电流表内接法.（2）三者电阻值都不知道时，采用试探法：分别接成电流表外接法和内接法，观察电压表和电流表示数的变化（相对值）的大小.若电压表示数变化（相对值）大，则是小电阻；若电流表示数变化（相对值）大，则是大电阻.各地《考试大纲》及《考试说明》大都已出台，敬请关注即将上市的《试题调研》专辑“解读考试大纲（考试说明）”，将为你详细解读高考命题方向，让你的高考复习不再盲目.。

专题01勾股定理（易错30题3种题型）一、探索勾股定理1．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考期末）在ABC 中，5AB AC ，6BC ，D 是BC 的中点，则ABC 的面积为（）A ．12B ．24C ．10D ．20【答案】A【分析】如图，过A 作AD BC 于,D 证明224,3,CD BD AD AC CD再利用三角形的面积公式可得答案．【详解】解：如图，过A 作AD BC 于,D 5,6AB AC BC ，∴223,4,CD BD AD AC CD ∴116412.22ABC S BC AD 故选A ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，证明CD BD 是解本题的关键．2．（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（）A ．13B ．14C ．15D ．26【答案】A 【分析】分别设正方形F 、G 、E 的边长为x 、y 、z ，由勾股定理得出29x ，26y ，222z x y ，即最大正方形E 的面积为2z ．【详解】解：如图，分别设正方形F 、G 、E 的边长为x 、y 、z ，则由勾股定理得：2358x ，2235y ，222z x y ，即最大正方形E 的面积为：28513z ．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．3．（2023春·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，CE 平分ACB 交AB 于点E ，CF 平分ACD ，EF BC ∥，EF 交AC 于点M ，若5CM ，则22CE CF （）A ．75B ．100C ．120D ．125【答案】B 【分析】根据角平分线的定义推出ECF △为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得222CE CF EF ，进而可求出22CE CF 的值．【详解】解：CE ∵平分ACB ，CF 平分ACD ，12ACE ACB ，12ACF ACD ，即1()902ECF ACB ACD ，EFC 为直角三角形，又EF BC ∥∵，CE 平分ACB ，CF 平分ACD ，ECB MEC ECM ，DCF CFM MCF ，5CM EM MF ，10EF ，由勾股定理可知222100CE CF EF ．故选：B ．【点睛】本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出ECF △为直角三角形．4．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）在ABC 中，A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且4,5,7a b c ，则ABC 的面积为．【答案】46【分析】作CD AB 于点D ，设AD x ，则7BD x ，先根据2222AC AD BC BD 求出x ，再求出CD ，然后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作CD AB 于点D ，设AD x ，则7BD x ，由勾股定理得，2222AC AD BC BD ，∴ 2222547x x ，解得297x =，∴22222986577CD AC AD，∴ABC 的面积为∶1186746227AB CD ．故答案为：46．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a 和b ，斜边为c ，那么222 a b c ．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．5．（2023春·海南海口·八年级统考开学考试）如图，在Rt ABC △中，90BAC ，4BC ，分别以AB AC 、为直径作半圆，面积分别记为1S 、2S ，则12S S ．【答案】2π【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知12S S 等于以斜边为直径的半圆面积．【详解】解：2222121111228228AB AC S AB S AC ，所以 2221211288S S AC AB BC ，故答案为：2π．【点睛】此题根据半圆的面积公式以及勾股定理证明：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积，重在验证勾股定理．6．（2022秋·山东泰安·七年级统考期中）如图，把一块等腰直角三角形零件（ABC ，其中90ACB ），放置在一凹槽内，三个顶点A 、B 、C 分别落在凹槽内壁上，已知90ADE BED ，测得3cm 4cm AD BE ，，该三角形零件的面积为2cm ．【答案】12.5/1122/252【分析】先证明ACD CBE ≌得到4cm CD BE ，利用勾股定理求出5cm AC ，再根据三角形面积公式进行求解即可．【详解】解：∵90ACB ，∴90DCA ECB ，∵90ADE BED ，∴90DAC DCA ，∴DAC ECB ，又∵AC CB ，∴ AAS ACD CBE △≌△，∴4cm CD BE ，在Rt ADC 中，由勾股定理得225cm AC AD CD ，∴2112.5cm 2ABC S AC BC △，∴该三角形零件的面积为212.5cm ，故答案为：12.5．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，证明ACD CBE ≌得到4cm CD BE 是解题的关键．7．（2023春·湖北恩施·八年级统考期中）如图，在55 的正方形网格中，每一个小正方形的顶点为格点，且每一个小正方形的边长为1四边形ABCD 为格点四边形．(1)求AD 的长；(2)仅用无刻度的直尺过点C 作CE AD ，垂足为E ，并简单说明理由．【答案】(1)5(2)见解析【分析】（1）利用勾股定理即可求解；（2）选取格点,,,F H G M ，作射线,MF GH ，两射线的交点为I ，连接CI 交AD 于点E ，则点E 为所求的点．【详解】（1）解：由图可知，AD 是直角边分别为3,4的直角三角形的斜边故22345AD （2）解：选取格点,,,F H G M ，作射线,MF GH ，两射线的交点为I ，连接CI 交AD 于点E ，则点E 为所求的点．取格点,K L ，∵4,3,90IK AL CK DL CKI DLA∴IKC ALD△≌△KIC DAC90DAC ACE KIC ACECE AD【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质．熟记相关数学结论是解题关键．8．（2023春·广西贺州·八年级统考期中）如图，在Rt ABC △中，90C ，AM 是中线，MN AB ，垂足为点N ，求证：222AN BN AC ．【答案】见解析【分析】在直角三角形BNM 和ANM 中利用勾股定理可以得到222BN BM MN ，222AN AM MN ，然后得到22222222()()BN AN BM MN AM MN BM AM ；又在直角三角形AMC 中，222AM AC CM ，代入前面的式子中即可得出结论．【详解】解：证明：MN AB ∵于N ，222BN BM MN ，222AN AM MN 2222BN AN BM AM ，又90C ∵，222AM AC CM 22222BN AN BM AC CM ，又BM CM ∵，222BN AN AC ，即222AN BN AC ．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的中线；熟练掌握勾股定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．9．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）如图，长方形ABCD 中，点E 在边AB 上，将长方形ABCD 沿直线DE 折叠，点A 恰好落在边BC 上的点F 处，若5AE ，3BF ，求CD 的长【答案】9【分析】由折叠的性质可知5EF AE ，再结合勾股定理即可求解．【详解】解：由折叠的性质可知5EF AE ．∵四边形ABCD 为长方形，∴90B Ð=°，AB CD ，∴2222534BE EF BF ，∴549CD AB AE BE ．即CD 的长为9．【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等．10．（2023春·陕西商洛·八年级校考期中）如图，一文物C （看作一点）被探明位于地面A 点垂直往下36米处，由于A 点下有障碍物，考古人员不能垂直下挖，他们从距离A 点15米的B 处斜着挖掘，已知障碍物不在线段BC 上，则要取出文物C 至少要挖（）A ．39米B ．3119米C ．42米D ．51米【答案】A 【分析】根据题意可知：14,4890AB AC BAC ，，然后根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵14,4890AB AC BAC ，，∴2222153639BC AB AC ．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，将实际问题抽象成勾股定理是解题的关键．11．（2023春·河北保定·八年级校考期中）利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图，在用弦图验证勾股定理时，用到的面积相等关系是（）A ．ABH EFGHS S 正方形△B ．ABCD EFGH S S 正方形正方形C ．4ABH EFGH ABCDS S S 正方形正方形△D ．2ABH ABCD EFGHS S S 正方形正方形△【答案】C 【分析】设DE AH BG CF a ，AE BH CG DF b ，根据题意求出224ABH EFGH S S a b 正方形 ，22ABCD S a b 正方形，进而求解即可．【详解】设DE AH BG CF a ，AE BH CG DF b ，∴ 2221442ABH EFGH S S b a ab a b 正方形 ，22222ABCD S AD DE AE a b 正方形，∴4ABH EFGH ABCD S S S 正方形正方形△．故选：C ．【点睛】此题考查了勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握以上知识点．12．（2023秋·全国·八年级专题练习）边长为1的正方形OABC 在数轴上的位置如图所示，点B 表示的数是（）A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】B 【分析】由于正方形OABC 的边长为1，可知OAB 为等腰直角三角形，可利用勾股定理求出OB 的长，即可得到B 点表示的数．【详解】解：∵正方形OABC 的边长为1，∴在等腰直角OAB 中，22112OB =+=．故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理，根据四边形OABC 为正方形判断出OAB 为直角三角形是解题的关键．13．（2023春·河南新乡·八年级统考期中）《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地四尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是（）A ．5尺B ．6尺C ．8尺D ．10尺【答案】D【分析】根据题意得，绳索，木桩形成直角三角形，根据勾股定理，即可求出绳索长．【详解】解：设绳索长为x 尺∴根据题意得： 22248x x 解得10x ．∴绳索长为10尺，故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是理解题意，运用勾股定理解决实际问题．14．（2023春·重庆忠县·八年级校考阶段练习）如图，这是某种牛奶的长方体包装盒，长、宽、高分别为5cm 、4cm 、12cm ，插吸管处的出口到相邻两边的距离都是1cm ，为了设计配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管长度要在3cm 至5cm 间（包括3cm 与5cm ，不计吸管粗细及出口的大小），则设计的吸管总长度L 的范围是．【答案】16cm 17cmL 【分析】当吸管与长方体上、下底面垂直时，位于盒体内的长度最短，为12cm ，则15cm 17cm L ；如图，当吸管底端位于点A 时，位于盒体内的长度最长，经过点A ，D ，E 的截面如下图1，根据勾股定理分别求得，5cm DE ，Rt ADE △中，13cm AE ，则16cm 18cm L ；综上，吸管垂直于底面时外露的部分最长，底端底端位于点A 时，外露的部分最短，所以吸管长度范围为16cm 17cm L .【详解】解：当吸管与长方体上、下底面垂直时，位于盒体内的长度最短，为12cm ，外露的吸管长度要在3cm 至5cm 间，则15cm 17cm L ；如图，当吸管底端位于点A 时，位于盒体内的长度最长，经过点A ，D ，E 的截面如下图1，如图2为长方体上底面，5cm DG ，4cm CG ，1cm EH CH JG ，∴4cm DJ DG JG ，3cm JE GH CG CH ，∴225cm DE DJ JE ．如图１，Rt ADE △中，222212513(cm)AE AD DE ，外露的吸管长度要在3cm 至5cm 间，则16cm 18cm L ；综上，吸管垂直于底面时外露的部分最长，底端位于点A 时，外露的部分最短，所以吸管长度范围为16cm 17cm L .【点睛】本题考查长方体的截面图，勾股定理；具备一定的空间想象能力，熟练勾股定理的运用是解题的关键．15．（2023春·广东惠州·八年级校考开学考试）直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为12，把四个相同的直角三角形拼成如图所示的正方形，则阴影部分的面积为．【答案】120【分析】根据勾股定理求出AE 的长度，再根据三角形的面积公式求出AEF △的面积，即可求出阴影部分面积．【详解】解：在Rt AEF 中，222213125AE EF AF ，∴110251232AEF S AE AF ，∴阴影部分的面积430120 ．故答案是：120．【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．16．（2023春·全国·八年级期末）如图，长方形ABCD 的边AD 在数轴上，若点A 与数轴上表示数1 的点重合，点D 与数轴上表示数4 的点重合，1AB ，以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E ，则点E 表示的数为．【答案】110 /101【分析】根据勾股定理计算出AC 的长度，进而求得该点与点A 的距离，再根据点A 表示的数为1﹣，可得该点表示的数．【详解】解：在长方形ABCD 中，1(4)31AD AB CD ，，∴22223110AC AD CD ，则点A 到该交点的距离为10，∵点A 表示的数为1 ，∴该点表示的数为：110 ，故答案为：110 ．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方．17．（2023秋·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．(1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中空白部分的面积，可以得到的数学等式是_______；(2)将图1中两个阴影的长方形沿着对角线切开，则可以得到四个全等的直角三角形，其中两直角边长分别为,a b ，斜边长为c ，将这四个直角三角形拼成如图2所示的大正方形时，中间空白图形是边长为c 的正方形．试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a b c 、、之间满足怎样的等量关系．(3)应用：已知直角三角形两条直角边长为6和8，求这个直角三角形斜边上的高．【答案】(1)2222()a b ab a b (2)222c a b(3)245【分析】（1）空白部分是两个正方形的面积和，空白部分也可以看出大正方形的面积减去两个长方形的面积即可得出答案；（2）中间的是边长为c 的正方形，因此面积为2c ，也可以从边长为()a b 正方形面积减去四个直角三角形的面积即可；（3）利用（2）中等式求出斜边，再利用面积法求出结果．【详解】（1）解：方法一：空白部分是两个正方形的面积和，即22a b ；方法二：空白部分也可以看作边长为()a b 的面积，减去两个长为a ，宽为b 的长方形面积，即2()2a b ab ，由两种方法看出2222()a b ab a b ，故答案为：2222()a b ab a b ；（2）中间正方形的边长为c ，因此面积为2c ，也可以看作从边长为()a b 的面积减去四个两条直角边分别a 、b 的面积，即22()2c a b ab ，整理得：222c a b ；（3）∵6a ，8b ，∴斜边226810c ，∴斜边上的高为6824105 ，答：斜边的长为245．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，勾股定理的证明，解题的关键是结合图形，利用面积得出等量关系．18．（2023春·山西忻州·八年级统考期末）阅读与思考阅读下列材料并完成相应的任务．我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在课本中我们已经了解到“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”．以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：方法1：若m 为奇数 3m ，则a m ， 2112b m 和2112c m 是勾股数．方法2：若任取两个正整数m 和 n m n ，则22a m n ，2b mn ，22c m n 是勾股数．任务：(1)在以上两种方法中任选一种，证明以a ，b ，c 为边长的ABC 是直角三角形．(2)学校园林设计师按照如图所示的方式摆放兰花，已知这四个直角三角形全等，且直角三角形的三边是勾股数，较短的直角边长为7m ，要求在每个直角三角形的三个顶点处需要摆放一盆兰花，每个直角三角形的三条边间隔1米摆放一盆兰花，请你计算出总共需要的兰花数量．【答案】(1)见解析(2)总共需要兰花220盆【分析】（1）方法一：21(1)02m c a ，10c b 得c a ，c b ，进行计算得222221=(1)2a b m c，即可得；方法二：先求出a 、b 、c 的平方，即可作答，（2）根据这四个直角三角形全等，且直角三角形的三边是勾股数，较短的直角边长为7m 得角三角形的三边长为7m 24m 25m ，，，则方形AHFD 的边长为31m ，正方形BCEG 的边长为25m ，根据个直角三角形的三个顶点处需要摆放一盆兰花，每个直角三角形的三条边间隔1米摆放一盆兰花，即可得正方形AHFD 上摆放兰花的盆数，方形BCEG 上摆放兰花的盆数，即可得【详解】（1）解：方法一：∵ 222111121(1)0222c m m m c m a m，10c b ，∴c a ，c b ，222224222211(+21)=1(121)42a b m m m m c m ，∴a ，b ，c 为边长的ABC 是直角三角形；方法二：∵22a m n ，2b mn ，22c m n ，∴424222m m a n n ，2224b m n ，422242c m m n n ，∴222 a b c ，∴a ，b ，c 为边长的ABC 是直角三角形；（2）解：∵这四个直角三角形全等，且直角三角形的三边是勾股数，较短的直角边长为7m ，∴直角三角形的三边长为7m 24m 25m ，，，∴正方形AHFD 的边长为：7+24=31(m)，正方形BCEG的边长为：25m，∵在每个直角三角形的三个顶点处需要摆放一盆兰花，每个直角三角形的三条边间隔1米摆放一盆兰花，∴正方形AHFD上摆放兰花的盆数为：32+31+31+30=124（盆），正方形BCEG上摆放兰花的盆数为：244=96（盆），∴总共需要的兰花数量为：124+96=220（盆），答：总共需要兰花220盆．【点睛】本题考查了勾股数的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．19．（2023秋·全国·八年级专题练习）问题情境：勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面利用拼图的方法探究证明勾股定理．定理表述：（1）请你结合图1中的直角三角形，叙述勾股定理（可以选择文字语言或符号语言叙述）；尝试证明：（2）利用图1中的直角三角形可以构造出如图2的直角梯形，请你利用图2证明勾股定理．定理应用：（3）某工程队要从点A向点E铺设管道，由于受条件限制无法直接沿着线段AE铺设，需要绕道沿着矩形的边AB和BC铺设管道，经过测量16BE 米，已知铺设每米管道需资金1000元，请你帮助工AB 米，12程队计算绕道后费用增加了多少元？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8000元【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）根据等积法可进行求解；（3）利用勾股定理可进行求解．【详解】解：（1）如果直角三角形的两条直角边长分别为,a b ，斜边长为c ，那么222a b c （2） 21122S a b a b a b 梯形，2ABE ABCS S S 梯形211222c ab 212c ab ，∴221122a b c ab ，∴222 a b c ；（3）在Rt ABE △中，2220AE AB BE ，∴ 16122010008000 （元）；答：增加了8000元．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．20．（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图，池塘边有两点A ，B ，点C 是与BA 方向成直角的AC 方向上一点，测得18m,30m AC BC ．求A ，B 两点间的距离．【答案】A ，B 两点间的距离是24m【分析】直接由勾股定理求出AB 的长即可．【详解】解：由题意可知，90,18m,30m BAC AC BC ，∴ 2222301824m AB BC AC ，答：A ，B 两点间的距离是24m ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理求出AB 的长．三、勾股定理的应用21．（2023秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中18cm AB ，12cm BC ，10cm BF ，点M 在棱AB 上，且6cm AM ，N 是FG 的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M 爬行到点N ，它需要爬行的最短路程为（）A ．20cmB ．2106cmC ． 12234cmD ．18cm【答案】A 【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN 的长即可．【详解】解：如图1，∵18cm AB ，12cm BC GF ，N 是FG 的中点，∴16cm 2FN FG ，∴ 18612cm BM ， 10616cm BN ，∴ 22121620cm MN ；如图2，∵18cm AB ，12cm BC GF ，N 是FG 的中点，∴16cm 2FN FG ，∴ 186618cm PM ，10cm NP ，∴2218424210610MN ．∵202106 ，∴蚂蚁沿长方体表面从点M 爬行到点N 处的最短路程为20cm ．故选：A ．【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．22．（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开港口向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距（）A ．25海里B ．30海里C ．40海里D ．32海里【答案】B【分析】根据题意，画出图形，且东北和东南的夹角为90 ，根据题目中给出的1.5小时和速度可以计算AC ，BC 的长度，在直角ABC 中，已知AC ，BC 可以求得AB 的长．【详解】解：如图，作出图形，因为东南和西南的夹角为90 ，所以ABC 为直角三角形．在Rt ABC △中，16 1.524(km)AC ，121.518(km)BC ，则2222241830(km)AB AC BC故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中确定ABC 为直角三角形，并且根据勾股定理计算AB 是解题的关键．23．（2023春·河南信阳·八年级校联考阶段练习）某数学兴趣小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为BAF 时，顶部边缘B 处离桌面的高度BC 为7cm ，此时底部边缘A 处与C 处间的距离AC 为24cm ，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为DAF 时（点D 是点B 的对应点），顶部边缘D 处到桌面的距离DE 为15cm ，则底部边缘A 处与E 之间的距离AE 为（）A ．20cmB ．18cmC ．12cmD ．10cm【答案】A 【分析】勾股定理解Rt ABC △得出25cm AB ，勾股定理解Rt ADE △即可求解．【详解】解：依题意，247AC BC ，，在Rt ABC △中， 2225cm AB AC BC ，∵AB AD 25 ，15DE ，在Rt ADE △中， 2222251520cm AE AD DE，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．24．（2023春·四川南充·八年级校考期中）如图由于台风的影响，一棵树在离地面6m 处折断，树顶落在离树干底部8m 处，则这棵在折断前（不包括树根）长度是．【答案】16m /16米【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．【详解】解：如图，由题意得m ,8m 6BC AC ，在直角三角形ABC 中，根据勾股定理得：226810AB （米）．所以大树的高度是10616 （米）．故答案为：16m ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．25．（2023春·湖北咸宁·八年级统考期末）如图，一梯子AB 斜靠在竖直的墙AO 上，测得5m AO ，若梯子的顶端沿墙下滑1m ，这时梯子的底端也沿水平方向向外滑动1m ，梯子到CD 的位置，则梯子的长度为m ．【答案】41【分析】设m BO x ，利用勾股定理用x 表示出AB 和CD 的长，进而求出x 的值，然后由勾股定理求出AB 的长度．【详解】解：设m BO x ，由题意得：1m AC ，1m BD ，5m AO ，在Rt AOB △中，根据勾股定理得：222225AB AO OB x ，在Rt COD 中，根据勾股定理得： 22222511CD CO OD x ，∴ 22225511x x ，解得：4x ，∴ 22225441m AB AO BO ，即梯子AB 的长为41m ．故答案为：41．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．26．（2023秋·八年级课时练习）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载了一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面x 尺，则根据题意列方程为：．【答案】 222310x x 【分析】设折断处离地面x 尺，根据勾股定理建立方程即可求解．【详解】解：如图，设折断处离地面x 尺，根据题意可得：2223(10x)x ，．故答案为：2223(10x)x 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．27．（2023春·河北保定·八年级统考期末）如图，矩形ABCD 中，8cm AB ，12cm BC ，动点P 从点A 出发沿A B C D A 运动，速度是2cm /秒；点Q 从点C 出发沿C B A D C 运动，速度是4cm /秒，设它们的运动时间为t 秒．（1）当1t 时，连接PQ ，PQcm ；（2）若P 、Q 两点第一次相遇时，t秒；第2次相遇时，t 秒．【答案】1010310【分析】（1）先求得8216BP ，12418BQ ，再利用勾股定理即可求解；（2）根据相遇时间=总路程÷速度和得出第一次相遇的时间，再求出第二次相遇的时间即可．【详解】解：（1）当1t 时，8216BP ，12418BQ ，∴226810PQ ，故答案为：10（2）若P 、Q 两点第一次相遇时，10812243t （秒），从第一次相遇到第二次相遇需要的时间为： 202812243，故P 、Q 两点第2次相遇时，10201033t（秒）故答案为：103；10．【点睛】本题考查了勾股定理的应用、行程问题中的相遇问题．抓住“相遇时间=路程和÷速度和”是解题关键．28．（2023秋·河南郑州·八年级郑州市扶轮外国语学校校考开学考试）如图，长方体的长15cm BE ，宽10cm AB ，高20cm AD ，点M 在CH 上．且5cm CM ．(1)求线段DM的长；(2)一只蚂蚁如果耍沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少?【答案】(1)55DM(2)蚂蚁爬行的最短距离是25cmCD ，利用勾股定理即可求解；【分析】（1）根据长方体的性质求出10（2）将立体图形展开成平面图形,然后根据两点之间线段距离最短,利用根据勾股定理进行求解,根据立体展开成平面图形情况分类讨论进行进行比较．【详解】（1）解：10CM ，AB CD∵，52222，10555DM CD CM线段DM的长为55．（2）解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm22AM2010525cm要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：22AM20510529cm只要把长方体的上表面剪开与左面所在的平面形成一个长方形，如第个图32220105537cmAM∵25529537∴蚂蚁爬行的最短距离是25cm．【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用,“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．29．（2020秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，巷子宽5米，一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端到地面的距离AC 为3米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离ED 为2米，则CB 的长度为多少？【答案】CB 的长度为2米．【分析】根据勾股定理222AC BC AB ，222BD DE BE ，列方程即可得到结论．【详解】解：根据勾股定理得，222AC BC AB ，222BD DE BE ，∵AB BE ，∴2222AC BC BD DE ，∴ 2222352BC BC ，∴2BC ，答：CB 的长度为2米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理．30．（2023春·云南昭通·八年级统考期中）如图，四边形ABCD 为某街心花园的平面图，经测量50m AB BC AD ，503m CD ，且90B Ð=°．(1)试判断ACD 的形状，并说明理由；(2)若射线BA 为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D 处安装一个监控装置来监控道路BA 的车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过65m ．已知摄像头能监控的最大范围为周围50m （包含50m ），请问该监控装置是否符合要求?并说明理由．（参考数据2 1.4 ，3 1.7 ）【答案】(1)直角三角形，见解析(2)符合要求，见解析【分析】（1）根据90B Ð=°，勾股定理求出AC ，再根据勾股定理的逆定理，即可；（2）过点D 作DE BA 于点E ；作A 点关于DE 的对称点A ，连接DA ，根据直角三角形的性质，得45BAC ，根据90DAC ，则45DAE ∠，三角形ADE 是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AE ，可推出AA ，即可．【详解】（1）解：（1）ACD 是直角三角形．理由如下：∵90B Ð=°，50m AB BC AD ，∴在Rt ABC △中222AB BC AC ，∵25000AC ，∵22502500AD ， 25037500CD ，∴227500AD AC ，∴22AD AC CD ，∴CAD 是直角三角形．（2）符合要求，理由如下：过点D 作DE BA 于点E ；作A 点关于DE 的对称点A ，连接DA ，∴90DEA ，∵90B Ð=°，AB BC ，∴45BAC ，∵90DAC ，∴45DAE ∠，∴DE AE ，∴在Rt DEA V 中222DE EA AD ，∴222500AE ，∴252AE ，∴50270m AA ，∵70m 65m ，∴该监控装置符合要求．。

上学期期中考点大串讲专题06根据音标写单词60题一、根据句意及音标填空参考答案：1．grade【详解】句意：你读几年级？根据音标可知，grade“年级”，名词，符合句意，故填grade。

2．classroom【详解】句意：在教室里有一台电脑。

根据音标可知，此空应填classroom，名词，“教室”，in the classroom，“在教室里”，故填classroom。

3．glad【详解】句意：汤姆很高兴每天都做作业。

根据所给音标可知，空处应填glad“开心的”，是形容词，故填glad。

4．hobbies【详解】句意：游泳和跳舞是他的爱好。

根据所给音标可知，此处为名词复数hobbies“爱好”。

故填hobbies。

5．dancing【详解】句意：米莉非常喜欢跳舞。

她想成为一名舞蹈演员。

根据所给音标可知，此处为动名词dancing“跳舞”。

故填dancing。

6．cute【详解】句意：他是一个可爱的小男孩。

我们都非常喜欢他。

音标/kju:t/对应单词cute，意为“可爱的”，符合语境。

故填cute。

7．classroom【详解】句意：王老师在教室里。

classroom“教室”，in the classroom“在教室里”，故填classroom。

8．over【详解】句意：星期五下午学校放学很早。

根据音标“/ˈəʊvə(r)/”可知，此处是over，意为“结束，完了”。

故填over。

9．weekend【详解】句意：这个善良的女孩每周末都去探望老人。

根据音标提示可知，英文表达为weekend“周末”。

故填weekend。

10．else【详解】句意：你喜欢跳舞。

你还喜欢做什么？根据音标可知，此空为else，What else表示“还有什么”。

故填else。

11．tennis【详解】句意：乒乓球是我们的民族运动。

根据音标可知，此处是单词tennis“网球”，table tennis“乒乓球”。

故填tennis。

热点3 科技前沿热点回顾1.2008年10月7日北京时间下午5点45分，瑞典皇家科学院在斯德哥尔摩宣布，将本年度的诺贝尔物理奖的一半授予美国芝加哥大学的南部阳一郎，以表彰他发现了亚原子物理中对称性自发破缺的机制，奖项的另一半由日本高能加速器研究机构的小林诚和京都大学的益川敏英分享，以表彰他们发现了对称性破缺的起源，并由此预言了自然界中至少三个夸克家族的存在。

2.北京时间9月10日强子对撞机（LHC）进行了第一次主要测试并成功实现了第一束质子束流贯穿整个对撞机。

LHC将把质子加速到具有巨大的能量并进行对撞“粉碎”，从而模拟大爆炸后不足十亿分之一秒的情况。

3.2008年7月22日，北京正负电子对撞机重大改造工程（BEPCII)取得重要进展——加速器与北京谱仪联合调试对撞成功，并观察到了正负电子对撞产生的物理事例。

改造后的北京正负电子对撞机将在世界同类型装置中继续保持领先地位，成为国际上最先进的双环对撞机之一。

热点串讲热点类型一信息的筛选与再利用【创新1】物理学中的对称性意味着守恒律的出现。

当系统由于某种原因失去了原有的对称性后，一定会进入到另一个与以前完全不同的状态，这就是对称性破缺的概念。

比如，水是各向同性流动的液体，水分子在水中沿各个方向运动皆可，但当温度下降到零度以下时，水结成了冰，水分子在冰中按一定的择优方向排列，形成了冰的几何结构，对称性降低，不再保持原来水中各向同性的对称性，即发生了对称性破缺。

通过材料中给出的信息，下列现象中发生了对称性破缺的是（）A.墨汁滴在水中，到均匀地扩散到水中的过程B.电磁铁通电前后，电磁铁内的分子电流取向由杂乱元章变为具有相同的取向C.当某密闭容器中的空气被完全抽出一半D.当温度降低到临界温度以下，超导材料的电阻消失【精析】本题考查学生学习新知识的能力，通过所给信息及所给的事例，形成对“对称性破缺”的理解，对经出的现象作出判断。

解答：BD从信息中可知：物体不再保持各向同性的对称性，则可以说是发生对称性破缺。

专题01勾股定理（基础30题3种题型）一、探索勾股定理1．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）在Rt ABC △中，90C ，12a ，16b ，则c 的长为（）A ．26B ．18C ．20D ．21【答案】C【分析】根据勾股定理222 a b c ，即可．【详解】∵在Rt ABC △中，90C ，12a ，16b ∴2222121620c a b 故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用．2．（2022秋·江苏扬州·八年级仪征市第三中学校考阶段练习）下列各组数中，是勾股数的为（）A ．1，2，3B ．4，5，6C ．6，8，10D ．7，8，9【答案】C【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案．【详解】解：A 、221236 ∵， 这组数不是勾股数；B 、222456+¹Q ， 这组数不是勾股数；C 、2226810 ∵， 这组数是勾股数；D 、222789 ∵， 这组数不是勾股数，故选：C ．【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三边满足222 a b c ，则ABC 是直角三角形．3．（2023春·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则正方形E 的面积是（）A ．47B ．37C ．34D ．13【答案】A 【分析】根据勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，故可得到以斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的面积之和．【详解】解：由勾股定理得：正方形F 的面积 正方形A 的面积 正方形B 的面积223534 ，同理，正方形G 的面积 正方形C 的面积 正方形D 的面积222313 ，∴正方形E 的面积 正方形F 的面积 正方形G 的面积341347 ．故选：A ．【点睛】此题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键．4．（2023春·福建福州·八年级统考期中）在ABC 中，90C ，若3AB ，则222AB BC AC ．【答案】6【分析】利用勾股定理得222BC AC AB ，再代入计算即可．【详解】解：在ABC 中，90C ∵，222BC AC AB ，2222222(3)6AB BC AC AB ，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理解题的关键．5．（2023·北京丰台·二模）如图所示，正方形网格中，三个正方形A ，B ，C 的顶点都在格点上，用等式表示三个正方形的面积A B C S S S ，，之间的关系．【答案】A B CS S S 【分析】根据勾股定理以及正方形的面积公式即可得到结论．【详解】解：239A S ，2525B S ，正方形C 的边长为223534 ，∴ 23434C S ，∴A B C S S S ，，之间的关系为A B C S S S ，故答案为：A B C S S S ，【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．6．（2022秋·七年级单元测试）数组3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；……都是勾股数，若n 为直角三角形的一较长直角边，用含n 的代数式表示斜边为．【答案】1n /1n【分析】首先确定各勾股数中的较长直角边、斜边，认真观察，总结规律，不难得出．【详解】解：因为3、4、5中较长直角边是4、斜边是541 ；5、12、13中较长直角边是12、斜边是13121 ；7、24、25中较长直角边是24、斜边是25241 ；9、40、41中较长直角边是40、斜边是41401 ；…∴若n 为直角三角形的一较长直角边，用含n 的代数式表示斜边为1n ．【点睛】此题考查勾股数之间的规律，认真观察是关键．7．（2023春·陕西安康·八年级统考期末）已知在ABC 中，906cm 2cm ACB AC BC ，，，求AB 的长．【答案】210cm【分析】利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：∵在ABC 中，906cm 2cm ACB AC BC ，，，∴由勾股定理得222262210cm AB AC BC ．【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟知勾股定理是解题的关键．8．（2023春·山东聊城·八年级统考期中）如图，某人从A 地到B 地共有三条路可选，第一条路是从A 地沿AB 到达B 地，AB 为10米，第二条路是从A 地沿折线AC CB 到达B 地，AC 为8米，BC 为6米，第三条路是从A 地沿折线AD DB 到达B 地共行走26米，若,,C B D 刚好在一条直线上．(1)求证：90C ；(2)求AD 和BD 的长．【答案】(1)见解析(2)AD 的长为17米，BD 的长为9米【分析】（1）通过计算得出222AC BC AB ，再根据勾股定理的逆定理即可证明．（2）先设一条线段长x ，根据已知条件及勾股定理可列出关于x 的方程，然后求解即可．【详解】（1）证明：∵8AC 米，6BC 米，10AB 米，∴222AC BC AB ，∴ABC 是直角三角形，即90C ；（2）解：设AD x 米，则 26BD x 米，∴ 62632CD BC BD x x （米），在Rt ACD 中，由勾股定理得：2228(32)x x ，解得：17x ，则2626179x ．答：AD 的长为17米，BD 的长为9米．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，设未知数、运用方程解题是本题的关键所在．9．（2022秋·吉林长春·八年级统考期中）如图①、图②均为43 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形．(1)与ABC 全等，以点B 为一个顶点，另外两个顶点也在格点上．(2)与ABC 全等，且不与ABC 重合．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意画出符合题意的格点三角形即可；（2）根据题意画出对应的全等三角形即可．【详解】（1）解：如图①中，BCE 即为所求，（2）解：如图②所示，BFK 即为所求；【点睛】本题主要考查了画格点三角形，画全等三角形，正确理解题意是解题的关键．10．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图所示，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝4，BC ＝3，165AD ，求CD 、BD 的长．【答案】CD 的长为125，BD 的长为95【分析】在Rt △ACD 中，利用勾股定理列式求出CD ，在Rt △BCD 中，利用勾股定理列式计算即可求出BD ．【详解】解：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∴△ADC 和△BDC 是直角三角形，在Rt △ACD 中，222AC AD CD ，∴22221612455CD AC AD ，在Rt △BCD 中，222BC CD BD ，∴2222129355BD BC CD ，答：CD 的长为125，BD 的长为95．【点睛】本题考查了勾股定理，根据图形判断出所求的边所在的直角三角形是解题的关键．11．（2023·山西忻州·统考模拟预测）如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”．他通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明的重要数学定理是（）A ．三角形内角和定理B ．勾股定理C ．勾股定理的逆定理D ．斜边、直角边定理【答案】B 【分析】“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．【详解】解：由勾股定理相关的数学背景可知：“赵爽弦图”是对勾股定理的验证故选：B【点睛】本题考查了勾股定理的数学背景．熟知相关数学史即可．12．（2023春·山西吕梁·八年级统考期末）如图，毕达哥拉斯用图1，图2证明了．个重要的数学定理，他的思路是图1中拼成的正方形与图2中拼成的正方形面积相等，通过面积相等可以得到：222114422a b ab c ab ，整理得222 a b c ．证明的这个定理是（）A ．勾股定理B ．勾股定理的逆定理C ．祖暅原理D ．费马定理【答案】A 【分析】根据勾股定理作答即可．【详解】解：由222114422a b ab c ab ，整理得222 a b c ．而a 、b 、c 是直角三角形的三边，∴证明的定理是勾股定理，故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟记勾股定理的内容是解题的关键．13．（2023春·河南驻马店·八年级统考期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于下列哪部著名数学著作中（）A ．《周髀算经》B ．《九章算术》C ．《海岛算经》D ．《几何原本》【答案】A【分析】加强教材的阅读，熟记相关知识的来源与出处．【详解】解：早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的历史渊源，仔细阅读教材，熟记知识是解题的关键．14．（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为2cm .【答案】49【分析】根据勾股定理计算即可【详解】解：最大的正方形的面积为22749cm ，由勾股定理得，正方形E 、F 的面积之和为249cm ，∴正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为249cm ，故答案为49．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222 a b c ．15．（2023秋·全国·八年级专题练习）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形.如图，设勾3a ，弦5c ，则小正方形ABCD 的边长．．是.【分析】根据勾股定理计算即可解题．【详解】解：根据勾股定理可得2222534b c a ，∴小正方形ABCD 的边长为431 ，故答案为：1．【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．16．（2023春·湖北宜昌·八年级校考期中）如图，数轴上点A 所表示的数为a ，求 a ．【答案】15 /51【分析】根据勾股定理算出斜边长度解题即可，注意是从-1开始．【详解】解：如图，由勾股定理得221115BC CA ．∵点C 表示-1，∴点A 表示的数是15a ．故答案为：15 ．【点睛】本题主要考查了数轴的意义和勾股定理，理解数轴的意义的是解答关键．17．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A ，E ，D 在同一条直线上，90A D ，AE CD a ，AB ED b ，BE CE c ．(1)填空：BEC ______ ，根据三角形面积公式，可得BEC 的面积 ______；根据割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得BEC 的面积 ______．(2)求证：222 a b c ．【答案】(1)90，212c ，212c【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到结论；（2）用两种不同的方法表示梯形ABCD 的面积，计算化简后，即可得出222 a b c ．【详解】（1）解：AE CD a ∵，AB ED b ，BE CE c ，BAE ≌ SSS EDC ，ABE DEC ，90ABE AEB ∵，90AEB DEC ，90BEC ，BEC 的面积21122BE CE c，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得BEC 的面积22222111112222222a b a b ab a ab b ab a b ab ab c ，故答案为：90，212c ，212c ；（2）证明：Rt ABE ∵ ≌Rt DEC △，AEB DCE ，BE EC c ，90D ∵，90DCE DEC ，90AEB DEC ，90BEC ，BEC 是等腰直角三角形，Rt ABE Rt CDE Rt BEC ABCD S S S S ∵梯形，2222AB CD AD AE AB ED DC BE EC，即2222a b a b ab ba ca ，2222222a ab bc ab ，222a b c ．【点睛】本题考查了梯形，勾股定理的证明，用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解决问题的关键．18．（2021秋·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）已知某开发区有一块四边形空地ABCD ，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A =90°，∠CBD =90°，DB =5m ，CD =13m ，DA =4m ，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入【答案】需要投入资金为7200元【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果，连接BD，在直角三角形CBD中由勾股定理可求BC的长，在直角三角形ABD中可求得BA的长，由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC 构成，则容易求解．【详解】证明：连接BD∵∠A=90°，∠CBD=90°，∴△CBD，△ABD为直角三角形，在Rt△CBD中，BC2=CD2-BD2∴222213512BC CD BDm在△ABD中，AB2=BD2-AD2∴AB=2222543BD ADm∴四边形ABCD面积=S△BAD十S∆DBC=12∙AD∙AB+12∙DB∙BC=1143+512=6+30=3622m2，36×200=7200（元）所以需要投入资金为7200元．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，得出△CBD，△ABD为直角三角形，用勾股定理求出BC，AB 的长是解题的关键．19．（2022春·八年级单元测试）洋洋想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多2米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．【答案】214米【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+2）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【详解】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+2）米，根据勾股定理可得：x2+52=（x+2）2，解得，x=21 4．答：旗杆的高度为214米．【点睛】此题考查学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理即可求得AB的长．20．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，请在数轴上找到表示17的P点．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】因为17＝16＋1，则首先作出以1和4为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是17，再以原点为圆心，以17为半径画弧，和数轴的正半轴交于一点即可．【详解】解：如图，点P即为所求．【点睛】本题考查运用数轴上的点来表示一个无理数，比较基础．21．（2023春·重庆忠县·八年级统考期末）把5米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4米，则梯子顶端到离地面（）A．2米B．3米C．4米D．4.5米【答案】B【分析】根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵梯子的长度为5米，梯子底端离地面4米，将梯子长度看作直角三角形的斜边，梯子底端离地面距离看作一条直角边，梯子顶端到地面的距离为：22543 （米），故选B ．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意将实际问题转化为数字问题是解题的关键．22．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，垂直地面的旗杆在离地3m 处断裂，旗杆顶部落地点离旗杆底部4m ，则旗杆折断前的高度为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【分析】根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为4m ，旗杆离地面3m 折断，且旗杆与地面是垂直的，所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．根据勾股定理，折断的旗杆为 22345m ，所以旗杆折断之前高度为3m 5m 8m ．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理在解实际问题中的运用，弄清勾股定理存在的条件是重点，解题的关键是理解文字语言的含义．23．（2023秋·八年级课前预习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC 为0.7m ，梯子顶端到地面的距离AC 为2.4m ．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A D 为1.5m ，则小巷的宽为（）．A ．2.4mB ．2mC ．2.5mD ．2.7m【答案】D【分析】,ACB A BD △△是直角三角形，根据勾股定理即可求解．【详解】解：根据题意可知，,ACB A BD △△是直角三角形，在Rt ABC △中， 2.4AC ，0.7BC ，∴22222(2.4)(0.7) 5.760.49 6.25AB AC BC ， 2.5AB ，在Rt A BD 中， 2.5A B AB ， 1.5A D ，则2 2.25A D ，∴22 6.25 2.252BD A B A D，∴小巷的宽为0.72 2.7m CB BD ，故选：D ．【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的运算方法是解题的关键．24．（2023秋·八年级课前预习）如图，一个圆桶底面直径为5cm ，高12cm ，则桶内所能容下的最长木棒为cm ．【答案】13【分析】根据题意画出示意图，再根据勾股定理求解，即可．【详解】解：如图，AC 为圆桶底面直径，BC 为圆桶的高，∵5cm AC ，12cm BC ，∴2222512=13cm AB AC BC ，∴桶内所能容下的最长木棒为：13cm ．故答案为：13．【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，灵活运用勾股定理．25．（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级校考期中）已知，一轮船以4海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以3海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距海里．【答案】10【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了8海里和6海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴90BAC ，两小时后，两艘船分别行驶了428 ，326 海里，根据勾股定理得：228610 （海里）．故答案为：10．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．26．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，台阶A 处的蚂蚁要爬到B 处搬运食物，则它爬行的最短距离为．【答案】13m/13米【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：如图所示，台阶平面展开图为长方形，5AC ，9312BC ，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．由勾股定理得：222AB AC BC ，13AB ，故答案为：13m ．【点睛】本题主要考查了平面展开图—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．27．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知一架5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚3m ，若梯子的顶端下滑1m ，则梯足将滑动多远？【答案】1米【分析】根据勾股定理求解即可．【详解】解：在直角三角形ABO 中，根据勾股定理可得，22534m OA ，如果梯子的顶度端下滑1米，则413m OA ．在直角三角形A B O 中，根据勾股定理得到：4m OB ，则梯子滑动的距离就是431m OB OB ．【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．28．（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？【答案】9120尺【分析】设折断处离地的高度为x 尺，利用勾股定理建立方程，解方程即可得．【详解】解：设折断处离地的高度为x 尺，由勾股定理得： 222310x x ，解得9120 x ，答：折断处离地的高度为9120尺．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．29．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，点O是位于东西海岸线的一个港口，A，B两艘客轮从港口O 同时出发，A客轮沿北偏东75°航行，航速是每小时18海里，B客轮沿北偏西15°方向航行，航速是每小时24海里，请计算3小时之后两客轮之间的距离．【答案】90海里【分析】根据题意得：∠AOB=75°+15°=90°，OA=18×3=54（海里），OB=24×3=72（海里），再由勾股定理，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠AOB=75°+15°=90°，OA=18×3=54（海里），OB=24×3=72（海里），根据勾股定理得：2222547290AB AO BO海里，即3小时之后两客轮之间的距离90海里．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．30．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图是一个棱长为6cm的正方体的有盖纸盒，一只蚂蚁想从盒底的A 点爬到盒顶的B点，其中BC＝2cm，那么蚂蚁爬行的最短行程是多少？【答案】10cm【分析】将正方体侧面展开图展开，由勾股定理计算即可．【详解】解：如图所示．∵BC＝2cm，棱长为6cm，∴AD＝6+2＝8（cm），BD＝6cm由勾股定理得，AB＝2222＝10（cm），BD AD86答：蚂蚁爬行的最短行程是10cm．【点睛】此题考查了平面展开一最短路径问题，利用勾股定理是解题的关键．。

专题03数据分析与概率（8个考点）【知识梳理+解题方法】一．算术平均数（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，x n，则＝（x1+x2+…+x n）就叫做这n个数的算术平均数．（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．二．加权平均数（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，x n的权分别是w1，w2，w3，…，w n，则x1w1+x2w2+…+xnwn/w1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．三．中位数（1）中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．四．众数（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．五．方差（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．六．随机事件（1）确定事件事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．（2）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．七．可能性的大小随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：（1）理论计算又分为如下两种情况：第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．（2）实验估算又分为如下两种情况：第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．八．概率公式（1）随机事件A的概率P（A）＝．（2）P（必然事件）＝1．（3）P（不可能事件）＝0．九．几何概率所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即P＝g的测度G的测度简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．【专题过关】一．算术平均数（共5小题）1．（2021秋•灌南县期末）一组数据40，37，x，64的平均数是53，则x的值是（）A．67B．69C．71D．722．（2021秋•埇桥区期末）在今年中小学全面落实“双减”政策后小丽同学某周每天的睡眠时间为（单位：小时）：8，9，7，9，7，8，8．则小丽该周每天的平均睡眠时间是（）A．7小时B．7.5小时C．8小时D．9小时3．（2021秋•建湖县期末）某快餐店某天销售3种盒饭的有关数据如图所示，则3种盒饭的价格平均数是元．4．（2021秋•兴化市月考）如果数据x1，x2，x3的平均数是5，那么数据x1+2，x2+2，x3+2的平均数为．5．（2022•张家港市一模）对于三个数a，b，c用M{a，b，c}表示a，b，c这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示a，b，c这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}＝＝，min{﹣1，2，3}＝﹣1．（1）若M{x﹣1，﹣5，2x+3}＝（1+3x），求x的值；（2）是否存在一个x的值，使得M{2x，2﹣x，3}＝×min{﹣1，0，4x+1），若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．二．加权平均数（共2小题）6．（2022•如皋市二模）小林参加学校举办的“五四最美少年”主题演讲比赛，他的演讲资料、语言表达、形象风度、综合印象得分分别为85分，70分，80分，80分．若学校将上面的四项依次按照40%，40%，10%，10%的占比计算总成绩（百分制），则小林的总成绩是（）A．80分B．79分C．78分D．77分7．（2022•高新区二模）在一次中学生趣味数学竞赛中，参加比赛的10名学生的成绩如下表所示：分数80859095人数1432这10名学生所得分数的平均数是（）A．86B．88C．90D．92三．中位数（共2小题）8．（2022•宿豫区二模）已知一组数据：1、4、2、3、4，这组数据的中位数是（）A．1B．2C．3D．49．（2022•泗洪县三模）某市三月份连续7天的最高气温依次是：18，15，16，15，16，18.19（单位：℃），则这组数据的中位数是（）A．19B．18C．17D．16四．众数（共6小题）10．（2022•启东市二模）数据6，8，9中添加一个数据a后，发现这组新数据的中位数恰好也是众数，则a 的值为（）A．9B．8C．7D．611．（2022•无锡）已知一组数据：111，113，115，115，116，这组数据的平均数和众数分别是（）A．114，115B．114，114C．115，114D．115，11512．（2022•徐州）如图，下列装在相同的透明密封盒内的古钱币，其密封盒上分别标有古钱币的尺寸及质量，例如：钱币“文星高照”密封盒上所标“45.4*2.8mm，24.4g”是指该枚古钱币的直径为45.4mm，厚度为2.8mm，质量为24.4g．已知这些古钱币的材质相同．根据图中信息，解决下列问题．（1）这5枚古钱币，所标直径的平均数是mm，所标厚度的众数是mm，所标质量的中位数是g；（2）由于古钱币无法从密封盒内取出，为判断密封盒上所标古钱币的质量是否有错，桐桐用电子秤测得每枚古钱币与其密封盒的总质量如下：名称文星高照状元及第鹿鹤同春顺风大吉连中三元总质量/g58.758.155.254.355.8盒标质量24.424.013.020.021.7盒子质量34.334.142.234.334.1请你应用所学的统计知识，判断哪枚古钱币所标的质量与实际质量差异较大，并计算该枚古钱币的实际质量约为多少克．13．（2022•钟楼区校级模拟）2022年3月，新冠疫情突袭常州，社会各界众志成城，共同抗疫．严酷战疫中，我们又一次感受到祖国的强大，口罩也成为人们防护防疫的必备武器．钟楼区某药店有2500枚口罩准备出售，从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格（单位：元），绘制出如图的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：（1）图①中m的值为；（2）统计的这组数据的平均数为，众数为，中位数为；（3）根据样本数据，估计这2500枚口罩中，价格为2.0元的约有为多少枚？14．（2022•南通）为了了解八年级学生本学期参加社会实践活动的天数情况，A，B两个县区分别随机抽查了200名八年级学生，根据调查结果绘制了统计图表，部分图表如下：A，B两个县区的统计表平均数众数中位数A县区 3.8533B县区 3.854 2.5（1）若A县区八年级共有约5000名学生，估计该县区八年级学生参加社会实践活动不少于3天的学生约为名；（2）请对A，B两个县区八年级学生参加社会实践活动的天数情况进行比较，作出判断，并说明理由．15．（2022•启东市二模）某校将学生体质健康测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为4分，3分，2分，1分．为了解各年级学生体质健康状况，拟抽样进行统计分析．（1）以下是两位同学关于抽样方案的对话：小红：“我想随机抽取七年级男、女生各60人的成绩；”小明：“我想随机抽取七、八九年级男生各40人的成绩．”①根据如图所示的学校信息，请你简要评价小红、小明的抽样方案；②如果你来抽取120名学生的测试成绩，请给出抽样方案．（2）小明在与同伴交流后，完善了自己的抽样方案，并将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如图所示的统计图，请求出这组数据的平均数、中位数和众数．学校共有七、八九三个年级学生近千人，各段人数相近，每段男、女生人数相当，……五．方差（共4小题）16．（2022•镇江）第1组数据为：0、0、0、1、1、1，第2组数据为：、，其中m、n是正整数下列结论：①当m＝n时，两组数据的平均数相等；②当m＞n时，第1组数据的平均数小于第2组数据的平均数；③当m＜n时，第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数；④当m＝n 时，第2组数据的方差小于第1组数据的方差．其中正确的是（）A．①②B．①③C．①④D．③④17．（2022•钟楼区校级模拟）甲，乙两名同学参如古诗词大赛，五次比赛成绩的平均分都是90分，如果甲五次比赛成绩的方差为0.8，乙五次比赛成绩的方差为1.2，则这五次比赛成绩比较稳定的是（填“甲”或“乙”）18．（2022•海门市二模）峰峰老师为了解所教1班、2班同学们（各有40名学生）的经典文化知识掌握情况，从两个班级中各随机抽取10名学生进行了检测，成绩（百分制）如下：1班：79，85，73，80，75，59，87，70，75，97．2班：92，45，80，82，72，81，94，83，70，81．峰峰老师的简要分析：平均分众数中位数方差1班7875779642班7881811704请你解决以下问题：（1）若对这两个班级的所有学生都进行检测，估计这两个班级内成绩为优秀（不少于80分）的学生一共有多少人？（2）比较这两个班级的经典文化知识掌握情况，哪个班级更好些？并说明理由（至少从两个不同的角度比较）．19．（2022•江都区二模）某信息咨询机构从A和B两家外卖快送公司分别抽取了20名骑手的月收入进行了一项抽样调查，骑手的月收入（单位：千元）如图所示：根据以上信息，整理分析数据如下：（1）完成表格填空；平均月收入/千元中位数/千元众数/千元方差/千元2A公司①6③ 1.2B公司 5.5②5④（2）根据以上数据，若小张想从这两家外卖快送公司中选择一家应聘骑手，你会推荐哪家公司，请说明理由．六．可能性的大小（共2小题）20．（2022•广陵区一模）下列成语或词语所反映的事件中，可能性大小最小的是（）A．瓮中捉鳖B．守株待兔C．旭日东升D．夕阳西下21．（2021秋•镇江期末）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于．七．概率公式（共8小题）22．（2022•淮阴区校级一模）下列说法中，正确的是（）A．为检测我校是否有学生感染新冠病毒，进行核酸检测应该采用抽查的方式B．若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩更稳定C．抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是D．“打开电视，正在播放广告”是必然事件23．（2022春•江阴市校级月考）在﹣1，0，，，π中任取一个数，取到无理数的概率是．24．（2022•海陵区二模）某数学研究小组为了解各类危险天气对航空飞行安全的影响，从国际航空飞行安全网提供的近百年飞行事故报告中，选取了650起与危险天气相关的个例，研究小组将危险天气细分为9类：火山灰云（A），强降水（B），飞机积冰（C），闪电（D），低能见度（E），沙尘暴（F），雷暴（G），湍流（H），风切变（I），然后对数据进行了收集、整理、描述和分析，相关信息如下（以下数据来源于国际航空飞行安全网）：信息一：各类危险天气导致飞行事故的数量统计图1；信息二：C类与E类危险天气导致飞行事故的月频数统计图2；根据以上信息，解决下列问题：（1）根据以上信息分析可知，类危险天气导致飞行事故发生的概率虽然最小，但破坏性极强；（填写字母）（2）近百年来飞机发生重大事故数量占事故总数的%；（横线上的数精确到0.01）（3）记C类危险天气导致飞行事故的月频数方差为，记E类危险天气导致飞行事故的月频数方差为，则；（填“＞”、“＝”或“＜”）（4）请结合图1和图2的相关信息，给某航空公司提供一条关于预防飞行事故发生的具体措施．25．（2021秋•灌云县校级月考）节能灯根据使用寿命分为优等品、正品和次品三个等级，其中使用寿命大于或等于8000小时的节能灯是优等品，使用寿命小于6000小时的节能灯是次品，其余的节能灯是正品，质检部门对某批次的一种节能灯（共200个）的使用寿命进行追踪调查，并将结果整理成下表（假设节能灯的使用寿命均不超过9000小时）．寿命t/时频数频率4000≤t＜5000100.055000≤t＜600020a6000≤t＜7000800.47000≤t＜8000b0.158000≤t＜900060c合计2001（1）根据表中的数据，求a，b，c的值；（2）某人从这200个节能灯中随机购买1个，求这个节能灯恰好不是次品的概率．26．（2021秋•金坛区月考）初中学生带手机上学，给学生带来了方便，同时也带来了一些负面影响．针对这种现象某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”看法，统计整理并制作了如下的统计图：（1）这次调查的家长总人数为人，表示“无所谓”的家长人数为人；（2）随机抽查一个接受调查的家长，恰好抽到“很赞同”的家长的概率是；（3）求扇形统计图中表示“不赞同”的扇形的圆心角度数．27．（2021•泰州模拟）一个不透明的口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的球．已知红球的个数比黑球的2倍多40个，．（1）求袋中红球的个数；在“①从袋中任取一个球是白球的概率是”，“②从袋中任取一个球是黑球的概率是”这两个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并解答问题．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）（2）求从袋中任取一个球是黑球的概率．28．（2020•高淳区二模）在课外活动时间，小明、小华、小丽做“互相传球”游戏（球从一人随机传给另一人），球从一人传到另一人就记为1次传球．现从小明开始传球．（1）经过3次传球后，求球仍传到小明处的概率；（2）经过5次传球后，球传到处的可能性最大，概率是．29．（2020•仪征市模拟）新型冠状病毒爆发，教育部部署了“停课不停学”的有关工作，各地都在进行在线教育．小依同学为了了解网课学习情况，对本班部分同学最喜爱的课程进行了调查，调查课程分别是网上授课、体育锻炼、名著阅读、艺术欣赏和其他课程并制成以下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）本次调查中一共调查了名学生，其中“名著阅读”所占的圆心角度数为．（2）请把条形统计图补全．（3）在调查的同学中随机选取一名学生，求他恰好最喜爱的课程是“艺术欣赏”的概率．（4）若该校一共有3000名学生，请估算出全校最喜爱的课程是“体育锻炼”的人数．八．几何概率（共3小题）30．（2022•徐州）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（）A．B．C．D．31．（2022•苏州）如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（）A．B．C．D．32．（2019•秦淮区校级模拟）在边长为4的正方形平面内，建立如图1所示的平面直角坐标系．学习小组做如下实验：连续转动分布均匀的转盘（如图2）两次，指针所指的数字作为直角坐标系中P点的坐标（第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标）．（1）转盘转动共能得到个不同点，P点落在正方形边上的概率是；（2）求P点落在正方形外部的概率．答案与解析【专题过关】一．算术平均数（共5小题）1．（2021秋•灌南县期末）一组数据40，37，x，64的平均数是53，则x的值是（）A．67B．69C．71D．72【分析】根据算术平均数的定义列出关于x的方程，解之即可．【解答】解：∵数据40，37，x，64的平均数是53，∴＝53，解得x＝71，故选：C．【点评】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义．2．（2021秋•埇桥区期末）在今年中小学全面落实“双减”政策后小丽同学某周每天的睡眠时间为（单位：小时）：8，9，7，9，7，8，8．则小丽该周每天的平均睡眠时间是（）A．7小时B．7.5小时C．8小时D．9小时【分析】根据平均数的定义列式计算即可求解．【解答】解：（8+9+7+9+7+8+8）÷7＝8（小时）．故小丽该周平均每天的睡眠时间为8小时．故选：C．【点评】此题考查了算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．3．（2021秋•建湖县期末）某快餐店某天销售3种盒饭的有关数据如图所示，则3种盒饭的价格平均数是9.55元．【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．【解答】解：3种盒饭的价格平均数是10×25%+15×15%+8×60%＝9.55（元），故答案为：9.55．【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．4．（2021秋•兴化市月考）如果数据x1，x2，x3的平均数是5，那么数据x1+2，x2+2，x3+2的平均数为7．【分析】根据平均数的定义先求出x1+x2+x3，再求出x1+2，x2+2，x3+2的平均数即可．【解答】解：∵数据x1，x2，x3的平均数是5，∴数据x1+x2+x3＝3×5＝15，∴数据x1+2，x2+2，x3+2的平均数为：（x1+2+x2+2+x3+2）÷3＝（15+6）÷3＝7．故答案为：7．【点评】本题考查的是样本平均数的求法．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．5．（2022•张家港市一模）对于三个数a，b，c用M{a，b，c}表示a，b，c这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示a，b，c这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}＝＝，min{﹣1，2，3}＝﹣1．（1）若M{x﹣1，﹣5，2x+3}＝（1+3x），求x的值；（2）是否存在一个x的值，使得M{2x，2﹣x，3}＝×min{﹣1，0，4x+1），若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由M{x﹣1，﹣5，2x+3}＝＝x﹣1，结合题意得x﹣1＝（1+3x），解之可得；（2）由M{2x，﹣x+2，3}＝＝，再分4x+1≥﹣1和4x+1＜﹣1两种情况分别求解可得．【解答】解：（1）由题意：M{x﹣1，﹣5，2x+3}＝＝x﹣1，∴x﹣1＝（1+3x），解得：x＝﹣3．（2）由题意：M{2x，﹣x+2，3}＝＝，若4x+1≥﹣1，则2×＝﹣1．解得x＝﹣．此时4x+1＝﹣25＜﹣1．与条件矛盾；若4x+1＜﹣1，则2×＝4x+1．解得x＝．此时4x+1＝＞﹣1．与条件矛盾；∴不存在．【点评】本题主要考查算术平均数和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握新定义，并结合算术平均数和已知条件得出关于x的方程．二．加权平均数（共2小题）6．（2022•如皋市二模）小林参加学校举办的“五四最美少年”主题演讲比赛，他的演讲资料、语言表达、形象风度、综合印象得分分别为85分，70分，80分，80分．若学校将上面的四项依次按照40%，40%，10%，10%的占比计算总成绩（百分制），则小林的总成绩是（）A．80分B．79分C．78分D．77分【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．【解答】解：小林的总成绩是85×40%+70×40%+80×10%+80×10%＝78（分），故选：C．【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．7．（2022•高新区二模）在一次中学生趣味数学竞赛中，参加比赛的10名学生的成绩如下表所示：分数80859095人数1432这10名学生所得分数的平均数是（）A．86B．88C．90D．92【分析】根据加权平均数的计算方法可以求得这10名学生所得分数的平均数，本题得以解决．【解答】解：由题意和表格可得，这10名学生所得分数的平均数是：＝88，故选：B．【点评】本题考查加权平均数，解题的关键是明确加权平均数的计算方法．三．中位数（共2小题）8．（2022•宿豫区二模）已知一组数据：1、4、2、3、4，这组数据的中位数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用中位数的定义求解即可．【解答】解：把这组数据从小到大排列为1，2，3，4，4，故中位数为3；故选：C．【点评】本题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．9．（2022•泗洪县三模）某市三月份连续7天的最高气温依次是：18，15，16，15，16，18.19（单位：℃），则这组数据的中位数是（）A．19B．18C．17D．16【分析】根据中位数的定义求解即可．【解答】解：将这组数据重新排列为15，15，16，16，18，18，19，∴这组数据的中位数是16，故选：D．【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．四．众数（共6小题）10．（2022•启东市二模）数据6，8，9中添加一个数据a后，发现这组新数据的中位数恰好也是众数，则a 的值为（）A．9B．8C．7D．6【分析】根据众数和中位数的定义列式计算即可．【解答】解：根据题意得：a＝，解得：a＝8，故选：B．【点评】考查了众数及中位数的定义，解题的关键是根据题意得到a＝，难度不大．11．（2022•无锡）已知一组数据：111，113，115，115，116，这组数据的平均数和众数分别是（）A．114，115B．114，114C．115，114D．115，115【分析】根据众数定义确定众数；利用算术平均数的计算方法可以算得平均数．【解答】解：平均数＝（111+113+115+115+116）÷5＝114，数据115出现了2次，次数最多，∴众数是115．故选：A．【点评】本题考查了平均数和众数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．要明确众数可以有无数个．12．（2022•徐州）如图，下列装在相同的透明密封盒内的古钱币，其密封盒上分别标有古钱币的尺寸及质量，例如：钱币“文星高照”密封盒上所标“45.4*2.8mm，24.4g”是指该枚古钱币的直径为45.4mm，厚度为2.8mm，质量为24.4g．已知这些古钱币的材质相同．根据图中信息，解决下列问题．（1）这5枚古钱币，所标直径的平均数是45.74mm，所标厚度的众数是 2.3mm，所标质量的中位数是21.7g；（2）由于古钱币无法从密封盒内取出，为判断密封盒上所标古钱币的质量是否有错，桐桐用电子秤测得每枚古钱币与其密封盒的总质量如下：名称文星高照状元及第鹿鹤同春顺风大吉连中三元总质量/g58.758.155.254.355.8盒标质量24.424.013.020.021.7盒子质量34.334.142.234.334.1请你应用所学的统计知识，判断哪枚古钱币所标的质量与实际质量差异较大，并计算该枚古钱币的实际质量约为多少克．【分析】（1）用每一组的中间值作为该组的平均值，利用平均数的计算公式计算平均数；（2）根据中位数、众数的意义做出判断；（3）先计算甲、乙车间的合格率，再进行比较，得出答案．【解答】解：（1）这5枚古钱币，所标直径的平均数是：（45.4+48.1+45.1+44.6+45.5）＝45.76（mm），这5枚古币的厚度分别为：2.8mm，2.4mm，2.3mm，2.1mm，2.3mm，其中2.3mm出现了2次，出现的次数最多，∴这5枚古钱币的厚度的众数为2.3mm，将这5枚古钱币的质量从小到大的顺序排列为：13.0g，20.0g，21.7g，24.0g，24.4g，∴这5枚古钱币的质量的中位数为21.7g；故答案为：45.74；2.3；21.7；（2）“鹿鹤同春”密封盒的质量异常，故“鹿鹤同春”的质量与实际质量差异较大，其余四个盒子的质量的平均数为：＝34.2（g），55.2﹣34.2＝21.0（g），答：“鹿鹤同春”的实际质量约为21.0克．【点评】本题考查了平均数、众数、中位数的意义和计算方法，掌握相关定义是解答本题的关键．13．（2022•钟楼区校级模拟）2022年3月，新冠疫情突袭常州，社会各界众志成城，共同抗疫．严酷战疫中，我们又一次感受到祖国的强大，口罩也成为人们防护防疫的必备武器．钟楼区某药店有2500枚口罩准备出售，从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格（单位：元），绘制出如图的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：（1）图①中m的值为28；（2）统计的这组数据的平均数为 1.52元，众数为 1.8元，中位数为 1.5元；（3）根据样本数据，估计这2500枚口罩中，价格为2.0元的约有为多少枚？【分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出m%的值，从而可以得到m的值；（2）根据扇形统计图中的数据可以得到这组数据的平均数，然后根据条形统计图中的数据可以得到这组数据的众数和中位数；（3）根据统计图中的数据，可以计算出质量为2.0元的约多少枚．【解答】解：（1）m%＝1﹣10%﹣22%﹣32%﹣8%＝28%，即m的值是28，故答案为：28；（2）平均数是：1.0×10%+1.2×22%+1.5×28%+1.8×32%+2.0×8%＝1.52元，∵本次调查了5+11+14+16+4＝50枚，中位数是：1.5元，众数是1.8元；故答案为：1.52元，1.8元，1.5元；。