等腰三角形判定的综合应用

等腰三角形与等边三角形的性质与判定等腰三角形与等边三角形的性质与判定课首沟通上讲回顾（错题管理）；作业检查；询问学生学习进度等。

知识导图等腰三角形的槪念等腰三角形等髏三角也的性质制判定V等腰三角形的“三线合一”等边三角形的性质和判定含30度的直角三角形课首小测1、（2014萝岗区期末）如果等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为（）A.9B.7C.12D.9 或12 2、（2014番禺区期末）下列说法正确的是（）A.等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合B.等腰三角形的两个底角相等C.等腰三角形一边不可以是另一边的二倍D.顶角相等的两个等腰三角形全等3、（2014白云区期末）在/△ABC中，/ A=42°/ B=96°，则它是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形4、如图，MBC中，AB=AD=DC/ BAD=40，则 / C=.5、（2014天河区期末）如图，在AABC中，/B=30°, ED垂直平分EC,垂足为D,ED=3则CE的长为。

知识梳理一、等腰三角形1.定义的叫做等腰三角形•相等的两条边叫做，另一条边叫做。

两腰所夹的角叫做，腰与底边的夹角叫做。

2•性质性质1等腰三角形的两个底角。

（简写成“”, 性质2:等腰三角形的、、相互重合（简称“”）性质3:等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，即为。

3•判定（1）有两条边的三角形是等腰三角形。

（2）如果三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“）”二、等边三角形1.定义都相等的三角形是等边三角形.2•性质性质1:等边三角形的三个内角都，并且每一个角都等于；性质2:等边三角形是，并且有对称轴，分别为三边的垂直平分线。

3•判定（1）三个角都的三角形是等边三角形；（2）都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是600的是等边三角形。

、含300的直角三角形的性质在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它对的等于的一半.导学一：等腰三角形的性质知识点讲解1：等边对等角例题1、（2014华美英语实验期中）等腰三角形的其中一个角为50°,则它的顶角是____________ 度.2、（2014 四川南充）如图，在△ABC中, AB= AC,且D 为BC上一点，CD= AC, AB= BD,则/ B的度数为（）AB D CA. 30° B . 36°C. 40° D . 45°3、如图，在等腰三角形ABC中, AB=AC BD=CEBE=CF(1)求证：AEBD^A PCE(2)若/ A=40°,求/ DEF的度数我爱展示1、（2012甘肃白银中考）如图，在/△ABC 中， AC=BC , AABC 的外角/ACE=10C °，贝V/ A= _____________ 度.上—\—£2、（2013白云区华附新世界期中）等腰三角形 一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的 度数为（）・B. 120C.60。

A ED**E DB CA 等腰三角形判定一、等腰三角形性质应用：等腰三角形还有许多特殊的结论，需要记住，用的时候将结论证明出来.1.等腰三角形两腰上的高相等。

2.等腰三角形两腰上的中线相等。

3.等腰三角形两腰上的角平分线相等.4.等腰三角形底边上一点到两腰距离之和等于一腰上的高；（底边延长线上一点到两腰距离之差等于一腰上高）5.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.6.辅助线方法：有中点：中线倍长；中点+平行⇒X型全等有角分线：过角分线上的点向角两边做高；角分线+平行⇒等腰遇三线合一中的任何两线，构造等腰；遇线段垂直平分线，连接中垂线上的点到线段两端点.二、基础知识1.等腰三角形的判定：（1）等角对等边. 几何语言：∵在△ABC中，∠B=∠C ∴ AB=AC（2）线段垂直平分线的性质定理：中线+垂线⇒等腰2.以下经验，也可得到是等腰三角形，但是需要证明，不能直接使用（1）若三角形一边上的高，平分这条边所对的角，则（2）若三角形一边上的中线，平分这条边所对的角，则这个三角形是等腰三角形（角分线+垂线⇒等腰）这个三角形是等腰三角形（角分线+中线⇒等腰）（3）角平分线+等腰⇒平行角分线+平行⇒等腰E FC B AD FED B C A P A BCA DB C A 3.有2倍角时候，常常构造等腰三角形，使2倍角是等腰三角形的顶角的外角（思想：平分2倍角或加倍小角） 例题：如图，AD 是△ABC 的平分线, ∠ABC=2∠C ，求证：AB+BD=AC三、应用1.霸王型：顶角为36°和108°的等腰三角形，BD(或AD)分别将等腰△ABC 分成了两个小等腰三角形2.如图，△ABC 中，AB=AC ，D 为AB 上一点，过D 作DE ⊥CB 于E ，并与CA 的延长线交于F ，证：AD=AF （黑体字可互换条件与结论）3.如图，AD 是△ABC 的中线，BE=AC ，证明：AF=EF4.如图，△ABC 的面积为4，AP 垂直于∠ABC 的平分线于P ，(1)证明∠BAC=∠BAP+∠ACB ；(2)求△BPC 的面积5.如图，△ABC 中，AD 是它的角分线且AD=AB ，CM ⊥AD 于M ，求证：AM=12（AB+AC ）F E B C A D D E B C A D A BC D CB A 6.如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，且BD=CE ，连接DE 交BC 于F ，求证DF=EF7.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AD 为∠BAC 的角平分线，BE ⊥AD 交AD 的 延长线于E ，求证AD=2BE8.如图，在△ABC 中，∠C=2∠B ，AD ⊥AB. 证：2AC=BD9．已知：如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，AB BC =，AD 是A ∠的平分线. 求证：AB BD AC +=.10．如图，△DEF 中，∠D=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，判断EA 、AD 、DF 之间的关系。

13.3等腰三角形13.4课题学习最短路径问题专题一等腰三角形的性质和判定的综合应用1．如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：①△BDF 和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长=AB+AC；④BF=CF．其中正确的是___________．(填序号)2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BE=CF，AD+EC=AB．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？（4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．3．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．（1）请你写出图中所有的等腰三角形；（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．（3）如果BC=10，求AB+AE的长．专题二等边三角形的性质和判定4．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP 长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO=PD，那么AP的长是__________．5．如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．6．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12 cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．专题三最短路径问题7．如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（）A．F和C B．F和E C．D和C D．D和E8．如图，现准备在一条公路旁修建一个仓储基地，分别给A、B两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之和最小? (保留作图痕迹及简要说明)状元笔记【知识要点】1．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．2．等腰三角形的判定方法如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．3．等边三角形的性质和判定方法性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形．判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．4．直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【温馨提示】1．“等边对等角”和“等角对等边”只限于在同一个三角形中，在两个三角形中时，上述结论不一定成立．2．在应用直角三角形的性质时应注意以下两点：(1)必须是在直角三角形中；(2)必须有一个锐角等于30°．【方法技巧】1．等腰三角形的性质是证明两个角相等的重要方法，当要证明同一个三角形的两个内角相等时，可尝试用“等边对等角”．2．等腰三角形的判定是证明线段相等的一个重要方法，当要证明位于同一个三角形的两条线段相等时，可尝试用“等角对等边”．3．利用轴对称可以解决几何中的最值问题，本方法的实质是依据轴对称的性质以及两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边．参考答案:1．①②③解析：∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB．∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，∴∠FBC=∠DBF，∠FCE=∠FCB．∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC．∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．综上所述，命题①②③正确．2．解：(1)证明：∵AD+EC=AB，∴BD=CE．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵BE=CF，∴△BDE≌△CEF．∴DE=EF，即△DEF是等腰三角形．(2)∵∠A=40°，∴∠B=∠C=12(180°－∠A)=12(180°－40°)=70°．∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE=∠CEF．∴∠DEF=180°－∠BED－∠CEF=180°－∠BED－∠BDE=∠B=70°．(3)不能．∵∠DEF=∠B≠90°，∴△DEF不可能是等腰直角三角形．(4)60°．理由：当∠A=60°时，∠B=∠C=60°，由（2）可得∠DEF=60°．∴∠EDF+∠EFD=120°．3．解：（1）△ABC，△ABD，△ADE，△EDC．（2）AD与BE垂直．证明：∵BE 为∠ABC 的平分线，∴∠ABE=∠DBE. 又∵∠BAE=∠BDE=90°，BE=BE ，∴△ABE 沿BE 折叠，一定与△DBE 重合．∴A 、D 是对称点．∴AD ⊥BE ．（3）∵BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，EA ⊥AB ，∴AE=DE ．在Rt △ABE 和Rt △DBE 中，AE =DE BE =BE ⎧⎨⎩，， ∴Rt △ABE ≌Rt △DBE （HL ）．∴AB=BD ．又△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠C=45°．又∵ED⊥BC，∴△DCE为等腰直角三角形．∴DE=DC．即AB+AE=BD+DC=BC=10．4．6 解析：连接OD，∵PO=PD，∴OP=DP=OD．∴∠DPO=60°．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，AC=AB=9．∵∠OPA=∠PDB=∠DPA－60°．∴△OPA≌△PDB．∵AO=3，∴AO=PB=3，∴AP=6．5．解：（1）△ODE是等边三角形，其理由是：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°．∴△ODE是等边三角形．（2）BD=DE=EC．其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，∴∠ABO=∠OBD=30°．∵OD∥AB，∴∠BOD=∠ABO=30°．∴∠DBO=∠DOB．∴DB=DO．同理，EC=EO．∵DE=OD=OE，∴BD=DE=EC．6．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+12=2x，解得：x=12．（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM=t×1=t，AN=AB－BN=12－2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12－2t．解得t=4．∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M 、N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M 、N 两点重合，恰好在C 处，如图②，假设△AMN 是等腰三角形，∴AN=AM ．∴∠AMN=∠ANM ．∴∠AMC=∠ANB ．∵AB=BC=AC ，∴△ACB 是等边三角形．∴∠C=∠B ．在△ACM 和△ABN 中，AC AB C B AMC ANB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∠∠，∠∠， ∴△ACM ≌△ABN ．∴CM=BN．设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM=y－12，NB=36－2y，CM=NB．y－12=36－2y，解得：y=16．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．7．A 解析：由轴对称－－最短路线的要求可知：输水分管道的连接点是点B关于a的对称点B′与A的连线的交点F，煤气分管道的连接点是点A关于b的对称点A′与B的连线的交点C．故选A．8．解：如图，作点B关于公路的对称点B′，连接AB′，交公路于点C，则这个基地建在C处，才能使它到这两个超市的距离之和最小.。

等腰三角形性质及判定（提高）【学习目标】1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【典型例题】类型一、等腰三角形中的分类讨论1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°【答案】D；【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．(1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°；(2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意；(3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D．【总结升华】这是等腰三角形按顶角分类问题，对于等腰三角形按顶角分：等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形，故解此题按分类画出相应的图形再作答.举一反三：【变式】等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是．【答案】50°或80°．解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，则此顶角为：180°﹣100°=80°，则其底角为：（180°﹣80°）÷2=50°；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为：180°﹣100°=80°；故这个等腰三角形的底角为：50°或80°．故答案为：50°或80°．类型二、等腰三角形的操作题2、根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹，在图中标注分割后的角度）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？（1）如图①△ABC中，∠C＝90°，∠A＝24°；猜想：（2）如图②△ABC中，∠C＝84°，∠A＝24°；猜想：【思路点拨】在等腰三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考虑.【答案与解析】（1）作图：猜想：∠A＋∠B＝90°，（2）作图：猜想：∠B＝3∠A.【总结升华】对图形进行分割是近年来出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一.举一反三：【变式】直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．【答案】解：若△CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.设∠B为x度∠1＝45°，∠2＝∠A＝90°－x①当BD＝BE时∠3＝1802x︒-，45°＋90°－x＋1802x︒-＝180°，x＝30° .②经计算ED＝EB不成立.③当DE＝DB时∠3＝180°－2x45°＋90°－x＋180°－2x＝180°，x＝45°.综上所述，∠B＝30°或45°.类型三、等腰三角形性质判定综合应用3、如图，△ABC中，∠C=2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB=CD+BC．（用两种方法）【思路点拨】方法一：先在AB上取BE=BC，根据SAS证出△CBD≌△EBD，得出CD=ED，∠C=∠BED，再证明∠A=∠ADE，得出AE=DE=CD，最后根据AB=BE+AE，即可得出答案；方法二：先延长BC至F，使CF=CD，得出∠F=∠CDF，再利用AAS证出△ABD≌△FBD，得出AB=BF，最后根据BF=BC+CF=BC+CD，即可得出答案．【答案与解析】解；方法一：在AB上取BE=BC，∵BD平分∠ABC交AC于D，∴∠CBD=∠EBD，∵在△CBD和△EBD中，，∴△CBD≌△EBD（SAS），∴CD=ED，∠C=∠BED，∵∠C=2∠A，∴∠BED=2∠A，∵∠BED=∠A+∠ADE，∴∠A=∠ADE，∴AE=DE，∴AE=CD，∵AB=BE+AE，∴AB=CD+BC；方法二：延长BC至F，使CF=CD，则∠F=∠CDF ，∵∠ACB=∠F +∠CDF ，∴∠ACB=2∠F ，∴∠ACB=2∠A ，∴∠A=∠F ，在△ABD 和△FBD 中，，∴△ABD ≌△FBD （AAS ），∴AB=BF ，∵BF=BC +CF ，∴BF=BC +CD ，∴AB=BC +CD ．【总结升华】此题考查了等腰三角形的判定与性质，用到的知识点是三角形的外角、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，关键是作出辅助线，构造全等三角形． 举一反三：【变式】如图，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE ＝EF ．求证：AC ＝BF ．【答案】证明：延长AD 至点G ，使DG ＝AD ，连接BG..,,,().AD BD CD ACD GBD AD DG ADC GDB CD BD ACD GBD SAS ==⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵为中线,∴在△和△中,∴△≌△ A B CD EF G,.,.,..BG AC G CAD AE EF CAD AFE BFD AFE G BFD BF BG AC =∠=∠=∠=∠∠=∠∠=∠==∴∵∴又∵∴∴ 4、如图，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∠A 的平分线AD 交BC 于点D ，过点B 作BE ⊥AD 于点E.求证：BE ＝12AD.【答案与解析】证明：如图，延长BE 、AC 交于点F.∵∠1＝∠2，AE ＝AE ，∠AEB ＝∠AEF ＝90°，∴△AEB ≌△AEF （ASA ）.∴BE ＝FE ＝12BF. ∵∠3＝90°－∠F ＝∠2，BC ＝AC,∴Rt △BCF ≌Rt △ACD （ASA ）∴BF ＝AD ，BE ＝12AD. 【总结升华】在几何解题的过程中，当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散的条件相对集中，以利于问题的解决．举一反三：【变式】已知，如图，AD 为△ABC 的内角平分线，且AD ＝AB ，CM ⊥AD 于M.求证：AM ＝12(AB ＋AC) ．【答案】证明：延长AM 至点E ，使ME ＝AM ，连接CE.,,..,....AM ME CM AE AC CE E CAM AD BAC CAM BAM E BAM AB CE B BCE =⊥=∠=∠∠∠=∠∠=∠∠=∠∵∴∴∵平分∴∴∴∥∴ ,.,..2.AB AD B ADB CDE ADB CDE BCE DE CE AM AE AD DE AB AC =∠=∠∠=∠∠=∠===+=+∵∴又∵∴∴∴ ∴()12AM AB AC =+。

等腰三角形的性质与判定知识梳理:1．等腰三角形的概念：有相等的三角形，叫做等腰三角形，叫做腰，另一条边叫做．两腰所夹的角叫做，底边与腰所夹的角叫做．2．等腰三角形性质定理：(1)等腰三角形的两个相等，也可以说成．这一性质是今后论证两角相等的常用依据之一。

(2) 三线合一: 即．这一性质是今后论证两条线段相等，两角相等及两直线垂直的重要依据。

(3)等腰三角形是图形．除此外，根据等腰三角形的对称性还应有如下重要的性质，虽在证明中不能直接引用，但对于填空、选择则可直接运用，并且这些性质对今后的推理证明都有非常重要的作用。

①等腰三角形两腰上的中线相等②等腰三角形两腰上的高相等③等腰三角形两底角的平分线相等3．等腰三角形的判定：(1)有相等的三角形是等腰三角形．(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角也相等．简写成．4、有关等腰三角形周长的计算给出三角形中两边的数据求周长时，一定要考虑对某一边有两种可能情况：一它可能是腰，二它可能是底。

最后确定具体是腰还是底，就要看得出的三边关系是否符合：任两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

如：已知等腰三角形的两边分别是3cm，5cm，则周长此时有两种情况：11cm或13cm。

当腰长为3cm时，周长为：3cm+3cm+5cm=11cm；当腰长为5cm时，周长为：3cm+5cm+5cm=13cm。

若两边分别是4cm，8cm，则周长只有一种结果，长为20cm（8cm做腰，4cm做底）。

另一种可能是以4cm做腰，8cm做底，此时，4cm+4cm=8cm，不符合任两边之和大于第三边的三角形三边关系，故不能考虑在内。

【例题讲解】例1：已知：如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求证：CE＝CB。

例2：如图，已知点D，E在BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE。

例3：如图，点D ，E 在AC 上，∠ABD ＝∠CBE ，∠A ＝∠C ，求证：BD ＝BE 。

等腰三角形判定教案5篇等腰三角形判定教案5篇本节内容的重点是三角形三边关系定理及推论.这个定理与推论不仅给出了三角形的三边之间的大小关系，更重要的是提供了判断三条线段能否组成三角形的标准;下面是小编给大家整理的等腰三角形判定教案5篇，希望大家能有所收获!等腰三角形判定教案1一、教学目标：1.使学生掌握等腰三角形的判定定理及其推论;2.掌握等腰三角形判定定理的运用;3.通过例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力;4.通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受;5.通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征.二、教学重点：等腰三角形的判定定理三、教学难点性质与判定的区别四、教学流程1、新课背景知识复习(1)请同学们说出互逆命题和互逆定理的概念估计学生能用自己的语言说出，这里重点复习怎样分清题设和结论。

(2)等腰三角形的性质定理的内容是什么?并检验它的逆命题是否为真命题?启发学生用自己的语言叙述上述结论，教师稍加整理后给出规范叙述：1.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简称“等角对等边”).由学生说出已知、求证，使学生进一步熟悉文字转化为数学语言的方法.已知：如图，△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.教师可引导学生分析：联想证有关线段相等的知识知道，先需构成以AB、AC为对应边的全等三角形.因为已知∠B=∠C，没有对应相等边，所以需添辅助线为两个三角形的公共边，因此辅助线应从A点引起.再让学生回想等腰三角形中常添的辅助线，学生可找出作∠BAC的平分线AD或作BC边上的高AD等证三角形全等的不同方法，从而推出AB=AC.注意：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆.(2)不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形.(3)判定定理得到的结论是三角形是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.2.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.要让学生自己推证这两条推论.小结：证明三角形是等腰三角形的方法：①等腰三角形定义;②等腰三角形判定定理.证明三角形是等边三角形的方法：①等边三角形定义;②推论1;③推论2.3.应用举例例1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.分析:让学生画图，写出已知求证，启发学生遇到已知中有外角时，常常考虑应用外角的两个特性①它与相邻的内角互补;②它等于与它不相邻的两个内角的和.要证AB=AC，可先证明∠B=∠C，因为已知∠1=∠2，所以可以设法找出∠B、∠C与∠1、∠2的关系.已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC.求证：AB=AC.证明：(略)由学生板演即可.补充例题：(投影展示)1.已知：如图，AB=AD，∠B=∠D.求证：CB=CD.分析：解具体问题时要突出边角转换环节，要证CB=CD，需构造一个以 CB、CD 为腰的等腰三角形，连结BD，需证∠CBD=∠CDB，但已知∠B=∠D，由AB=AD可证∠ABD=∠ADB，从而证得∠CDB=∠CBD，推出CB=CD.证明：连结BD，在中，(已知)(等边对等角)(已知)即(等角对等边)小结：求线段相等一般在三角形中求解，添加适当的辅助线构造三角形，找出边角关系.2.已知，在中，的平分线与的外角平分线交于D，过D作DE//BC交AC与F，交AB于E，求证：EF=BE-CF. 分析：对于三个线段间关系，尽量转化为等量关系，由于本题有两个角平分线和平行线，可以通过角找边的关系，BE=DE,DF=CF即可证明结论.证明： DE//BC(已知)，BE=DE,同理DF=CF. EF=DE-DF EF=BE-CF 小结：(1)等腰三角形判定定理及推论.(2)等腰三角形和等边三角形的证法.七.练习教材 P.75中1、2、3.八.作业教材 P.83 中 1.1)、2)、3);2、3、4、5.五、板书设计等腰三角形判定教案2§12.3.1.2 等腰三角形判定教学目标(一)教学知识点探索等腰三角形的判定定理.(二)能力训练要求通过探索等腰三角形的判定定理及其例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力;(三)情感与价值观要求通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解.从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力.教学重点等腰三角形的判定定理的探索和应用。

本节主要针对等腰三角形的综合性问题进行讲解，对于条件不足的问题，通过添加平行线或截长补短或倍长中线等构造全等的三角形，综合性较强．根据等腰三角形的性质进行角度和边长的相关计算．【例1】如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【解析】经分析可知，等腰三角形有：ABC ABD ACE BCE BDC，，，，，BEF CDF BCF，，，共8个．【总结】考查等腰三角形定义及三角形内角和的综合运用．等腰三角形二内容分析知识结构模块一：计算知识精讲例题解析ABCDEF2 / 22【例2】 如图，△ABC 中，AB =AC ，BC =BD ，AD =DE =EB ，求∠A 的度数． 【答案】45A ∠=︒．【解析】BE ED EBD EDB =∴∠=∠，2233180818022.5245AED EBD EDB AED EBD AD ED A AED EBD BD BC C CDB AB AC C ABC C CDB ABCCDB A EBD CDB EBDC ABC CDB EBD A ABC C EBD EBD A EBD ∠=∠+∠∴∠=∠=∴∠=∠=∠=∴∠=∠=∴∠=∠∴∠=∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠∴∠=∠=∠=∠∠+∠+∠=︒∴∠=︒∴∠=︒∴∠=∠=︒，，，，，，， 【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质、内角和性质的综合运用．【例3】 如图，AC =BC ，DF =DB ，AE =AD ，求∠A 的度数． 【答案】36A ∠=︒【解析】AC BC A B =∴∠=∠，2180518036DB DF F BA B F EDA B F EDA A AD AE ADE AEDA ADE AED A A =∴∠=∠∴∠=∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠=∴∠=∠∠+∠+∠=︒∴∠=︒∴∠=︒，，，，， 【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质、内角和性质的综合运用．【例4】 如图，△ABC 中，AB =AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF =70°，求∠AFD 的度数． 【答案】160AFD ∠=︒．【解析】AB AC B C =∴∠=∠， 90702018070707090160DE AB DF BC DEB FDC FDB FDE EDB B DEB EDB B C AFD C FDC AFD ⊥⊥∴∠=∠=∠=︒∠=︒∴∠=︒∠+∠+∠=︒∴∠=︒∠=︒∠=∠+∠∴∠=︒+︒=︒，，，，【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质、内角和性质的综合运用．A BC DE FAB C DE FABCDE【例5】 如图，△ABC 中，AB =AC ，D 在BC 上，∠BAD =30°，在AC 上取点E ，使AE =AD ，求∠EDC 的度数．【答案】15EDC ∠=︒． 【解析】AB AC B C AD AE ADE AED =∴∠=∠=∴∠=∠，，，23015ADC B BAD AED C EDCADC ADE EDC B BADC EDC EDC B BAD EDC BAD BAD EDC ∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠+∠=∠+∠∴∠+∠+∠=∠+∠∴∠=∠∠=︒∴∠=︒，，，【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质的综合运用， 注意观察角度间的关系．【例6】 如图，△ABC 中，∠C =90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE =AC ，BD =12， DE +BC =1，求∠ABC 的度数． 【答案】30ABC ∠=︒．【解析】解：延长BC 至点F ，使CF DE =，联结AF ()1190..111222909030DE BC BF BC CF BC DE BE AC DEB ACF DE CFBDE AFC S A S BD AF BD B FAC AF BF B BAC FAC BAC ABC +=∴=+=+==∠=∠=︒=∴≅=∴==∠=∠∴=∠+∠=︒∴∠+∠=︒∴∠=︒，，，，，，，，，【总结】考查全等三角形的判定及性质，注意辅助线的添加．【例7】 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC =BD +AB ，求∠B ：∠C 的值． 【答案】:2:1B C ∠∠=．【解析】在AC 上取点E ，使AE AB =，联结DEAD 平分BAC ∠，()..ABD AED S A S ∴≅B AED BD DE ∴∠=∠=，，AC BD AB =+EC DE C EDC ∴=∴∠=∠，2:2:1AED C B B C ∴∠=∠=∠∴∠∠=，【总结】考查截长补短构造全等三角形及等腰三角形的性质及外角性质．AB CDEABC DEF EABCD4 / 22【例8】 在△ABC 中，已知AB =AC ，且过△ABC 某一顶点的直线可将△ABC 分成两个等腰三角形，试求△ABC 各内角的度数．【答案】454590︒︒︒，，或3636108︒︒︒，，或367272︒︒︒，，或180540540777，，． 【解析】解：如图（1），当BD AD CD ==时， AB AC B C BD AD DC B BAD CAD C=∴∠=∠==∴∠=∠=∠=∠，，，41804590B B C BAC ∴∠=︒∴∠=∠=︒∴∠=︒，，；如图（2）当BD AD CD AC ==，时， AB AC B C =∴∠=∠，，BD AD CD AC B BAD CDA DAC ==∴∠=∠∠=∠，，， 23CDA B BAD CDA B BAC B ∠=∠+∠∴∠=∠∴∠=∠，， 180518036108B C BAC B B C BAC ∠+∠+∠=︒∴∠=︒∴∠=∠=︒∠=︒，，，如图（3）当AD BD BC ==时，同理可得：51803672A A ABC C ∠=︒∴∠=︒∠=∠=︒，，； 如图（4）当AD BD BC CD ==，时 同理可得180540718077A A ABC C ︒︒∠=︒∴∠=∠=∠=，，． 【总结】考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理及分类讨论的思想的运用．1． 添加平行线构造全等三角形； 2． 截长补短构造全等三角形； 3． 倍长中线构造全等三角形．【例9】 如图，已知：在△ABC 中，AB =AC ，BE=CF ，EF 交BC 于点G ，求证：EG =FG ． 【答案】详见解析【解析】证明：过点E 作//EM AF ，交BC 于点M 则GCF GME EMB ACB ∠=∠∠=∠，，AB AC ABC ACB =∴∠=∠，ABC EMB EM EB BE CF EM CF ∴∠=∠∴==∴=，，， ()..EMG FCG A A S EG FG ∴≅∴=，． 【总结】考查通过辅助线构造全等三角形及结合等腰三角形的性质的应用．【例10】 如图，已知AD 是ABC 的中线，BE 交AC 于点E ，交AD 于点F ，且AE =EF ，试说明AC =BF 的理由． 【答案】详见解析．【解析】延长AD 至点M ，使MD FD =，联结MC()..BD CD BDF CDM DF DM BDF CDM S A S MC BF M BFM EA EF EAF EFA AFE BFM M MAC AC MC BF AC=∠=∠=∴≅∴=∠=∠=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=∴=，，，，，，，，，，，【总结】考查通过辅助线构造全等三角形及结合等腰三角形的性质应用．模块二：构造全等形知识精讲例题解析ABC E FGM AD FBCEM6 / 22【例11】 如图，△ABC 中，∠B =60°，角平分线AD 、CE 交于点O ，试说明AE +CD =AC ． 【答案】详见解析．【解析】证明：在AC 上取AF AE =，联结OF易证()..AEO AFO S A S AOE AOF ≅∴∠=∠，．AD CE 、分别平分BAC ACB ∠∠、，()1180602ECA DAC B ∴∠+∠=︒-∠=︒则180120AOC ECA DAC ∠=︒-∠-∠=︒ 120AOC DOE ∴∠=∠=︒， 60AOE COD AOF ∴∠=∠=∠=︒则60COF COD COF ∠=︒∴∠=∠，， 又FCO DCO CO CO ∠=∠=， ()..FOC DOC A S A DC FC ∴≅∴=，AC AF FC AC AE CD =+∴=+，．【总结】考查通过辅助线构造全等三角形的性质应用，注意找寻角度间的关系．【例12】 已知：如图，在等边三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，且BD =AE ，EB 与CD 相交于点O ．EF 与CD 垂直于点F ．求OEF ∠的度数． 【答案】30OEF ∠=︒． 【解析】解：ABC 是等边三角形，60,A ABC AB BC ∴∠=∠=︒=，BD =AE易证()..ABE BCD S A S ≅，ABE DCB ∴∠=∠ADO ABC DCB ABE BOD ∠=∠+∠=∠+∠6060BOD ABC EOF ∴∠=∠=︒∴∠=︒， 30EF CD OEF ⊥∴∠=︒，【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用．ADFB CEOABCD EOF【例13】 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =108°，BD 平分∠ABC ，试说明BC =AB +CD ．【答案】详见解析．【解析】在BC 上截取BE BA =，联结DEBD 平分ABC ∠，BE BA =，()..ABD EBD S A S ∴≅10818010872DEB A DEC ∴∠=∠=︒∴∠=︒-︒=︒， ()1180108362AB AC C B =∴∠=∠=︒-︒=︒，， 72EDC CE CD BE CE AB CD ∴∠=︒∴=∴+=+，，，BC AB CD ∴=+．【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用，注意添加合适的辅助线构造全等．【例14】 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =100°，BD 平分∠ABC ，试说明BC =BD +AD ．【答案】详见解析．【解析】在BC 上截取BF BA =，联结DF ，在BC 上截取BE BD =，联结DEBD 平分ABC ∠，BF BA =()..ABD FBD S A S ∴≅，100DFB A ∴∠=∠=︒，18010080DFC ∴∠=︒-︒=︒．()1180101040200AB AC C A ABC =∴∠=∠∠==︒-︒︒=︒，，， 20DBC ∴∠=︒20BE BD DBC =∠=︒，，80BED BDE ∴∠=∠=︒， DFE FED DF DE ∴∠=∠∴=，804040FED C EDC EDC C ∠=︒∠=︒∴∠=︒∴∠=∠，，， DE EC AD EC ∴=∴=，，BC AD BD ∴=+．【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用，注意辅助线的合理添加．ABCDE ABCDF E8 / 22【例15】 在△ABC 中，已知AB =AC ，D 为△ABC 外一点，∠ABD =60°，1902ADB BDC ∠=︒-∠，试说明AB =BD +DC ．【答案】详见解析【解析】证明：以AD 为轴作ABD 的对称'AB D''1'60'902B D BD AB AB AC B ABD ADB ADB BDC∴===∠=∠=︒∠=∠=︒-∠，，， '180ADB ADB BDC ∴∠+∠+∠=︒， 'C D B ∴、、共线， 'ACB ∴是等边三角形， AB BD DC ∴=+．【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用，注意辅助线的正确添加．【例16】 已知：如图，AB =AC =BE ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线，试说明CD =12CE ．【答案】详见解析．【解析】证明：延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF ， ∵CD 为△ABC 中AB 边上的中线， ∴BD =AD ∵DF =CD ，ADC BDF ∠=∠，∴ADC BDF ≅∴BF AC BE ==，180ABF A ABC CBE ∠=∠=-∠=∠，∴180CBF ABF ABC ABC CBE ∠=∠+∠=-∠=∠， 又∵BC BC =，∴CBF CBE ≅， ∴CE CF =，∵12CD CF =，∴CD =12CE ． 【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用，注意倍长中线辅助线的运用．A BCDB ’ABCDEF【例17】 如图，AM 为△ABC 的中线，AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，且AE =AB ，AF =AC ，MA 的延长线交EF 于点P ，试说明AP ⊥EF ． 【答案】详见解析【解析】证明：延长AM 至N ，使MN AM =，联结CNAM 是BC 边上的中线，()..ABM NCM S A S ∴≅AB NC BAM N ABM NCM ∴=∠=∠∠=∠，， //180CN AB NCA BAC ∴∴∠+∠=︒，180AE AB AF AC EAF BAC ⊥⊥∴∠+∠=︒，，，180NCA BAC ∴∠+∠=︒，EAF NCA ∴∠=∠AE AB AF AC EAF NCA EFA NAC ==∴≅∴∠=∠，，，9090AF AC PAF NAC EAF NAC PAF EFA ⊥∴∠+∠=︒∠=∠∴∠+∠=︒，，， 90APF AP EF ∴∠=︒∴⊥，【总结】本题一方面考查中线倍长辅助线的添加，另一方面考查全等三角形的性质应用．【例18】 如图，在△ABC 中，已知∠BAC =900，AB =AC ，D 为AC 中点，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F ，求证：∠ADB =∠CDF ． 【答案】详见解析．【解析】证明：过A 作AG 平分BAC ∠交BD 于G190452BAC GAB CAG A ∠=︒∴∠=∠=∠=︒，()1180452AB AC C B C A =∴∠=∠∴∠=︒-∠=︒，，，C BAG ∴∠=∠ 9090AE BD ABE BAE CAF BAE ABE CAF ⊥∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠，，， ()..ABG CAF A S A AG CF ∴≅∴=，，D 为AC 中点，AD CD ∴=又45C DAG ∠=∠=，()..AGD CFD S A S ADB CDF ∴≅∴∠=∠，． 【总结】考查等腰直角三角形的性质应用，注意辅助线的添加．ABCMEFPNA BCD E FG10 / 22【例19】 如图，△ABC 中，AB =AC ，D 为△ABC 外一点，且∠ABD =∠ACD =60°．试说明CD =AB -BD ． 【答案】详见解析．【解析】证明：延长BD 到E ，使BE BA =，连接AE CE 、60ABD ∠=︒，ABE ∴为等边三角形6060AE AB AC BE ACE AEC AEB ACD AEB ACD DEC DCE DC DEBD DC BD DE BE AB DC AB BD∴===∠=∠∠=︒∠=︒∴∠=∠∴∠=∠=∴+=+==∴=-，，，，，【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质的综合应用．利用等腰三角形的“三线合一”的性质构造等腰三角形【例20】 如图，△ABC 中，∠ABC 、∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E ，求证：DE =BD +AE ． 【答案】详见解析．【解析】证明：BP AP 、平分ABC CAB ∠∠、//CBP ABP CAP BAP DE AB DPB PBA EPA PABCBP DPB CAP EPA BD PD PE AE DE DP PE DE BD AE∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∴===+∴=+，，，，，，，，， 【总结】考查“平行线与角平分线得到等腰三角形”的基本模型的运用．模块三：构造等腰三角形知识精讲例题解析ABCD EPABCDE【例21】 如图，△DEF 中，∠EDF =2∠E ，F A ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系? 【答案】DF AD AE +=【解析】证明：在AE 上取一点B ，使AB AD =，连接BF2,FA DE FD FB FBD D E FBD E BFE E BFE BE BF BE DF AE AB BE AD DF⊥∴=∴∠=∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠∴=∴=∴=+=+，，，，，， 【总结】考查等腰三角形的性质的应用．【例22】 如图，△ABC 中，∠ABC =2∠C ，AD 是BC 边上的高，延长AB 到点E ，使BE =BD ，试说明AF =FC ． 【答案】详见解析【解析】证明：BE BD E BDE =∴∠=∠，22ABC E BDE BDE ABC C C BDE BDE CDF C CDF DF FC∠=∠+∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=，，，AD 为BC 边上的高9090CDF ADF ADC C CAD CAD ADF DF AF AF FC∴∠+∠=∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠∴=∴=，，，【总结】考查等腰三角形的性质的应用．【例23】 如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 和BE 两条高交于点H ，且AE =BE ．试说明AH =2BD ． 【答案】详见解析． 【解析】AD BE 、为高，90AEH BEC BDH ∴∠=∠=∠=︒BHD AHE EAH EBC ∠=∠∴∠=∠，，AE =BE ，()..AEH BEC A S A AH BC ∴≅∴=， 2AB AC AD BC BC BD =⊥∴=，，，2AH BD ∴=．【总结】考查等腰三角形的性质的应用．ABCDEFABCDE HAEFDB12 / 22【例24】 如图，已知∠ABC =3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，试说明AC -AB =2BE ．【答案】详见解析【解析】证明：延长BE 交AC 于点M90BE AE AEB AEM ⊥∴∠=∠=︒，，12ABE AME ∠=∠∴∠=∠，，2AB AM BE AE BM BE AC AB AC AM CM ∴=⊥∴=∴-=-=，，，，3322AMB C MBC ABC C ABC ABM MBC AMB MBC C AMB MBC MBC C MBC C CM BM AC AB BM BE∠=∠+∠∠=∠∴∠=∠+∠=∠+∠∴∠=∠+∠=∠+∠∴∠=∠∴=∴-==，，【总结】考查等腰三角形的性质的应用，注意根据题目条件构造等腰三角形．【例25】 如图，等边△ABC 中，分别延长BA 至点E ，延长BC 至点D ，使AE =BD ．试说明EC =ED ． 【答案】详见解析【解析】证明：延长BD 至F ，使DF AB =，连接EFABC 是等边三角形，60AB BC AC B ∴==∠=︒，．AE BD DF AB AE AB BD DF BE BF ==∴+=+=，，，即 60B ∠=︒，BEF ∴为等边三角形，60B F BE FE DF AB BC DF ∴∠=∠=︒==∴=，，， ()..BCE FDE S A S EC ED ∴≅∴=，【总结】考查等腰三角形的判定及性质的综合应用．【例26】 如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，BD =AB ，∠ABD =30°，试说明AD =DC ．【答案】详见解析．A BC2 E1 MABCDEFABCD E【解析】在BC 上截取BE AD =，连接DE9045AB AC BAC ABC ACB =∠=︒∴∠=∠=︒，， 3075BD AB ABD BAD BDA =∠=︒∴∠=∠=︒，，1515DAC BAC BAD DBC ABC ABD ∠=∠-∠=︒∠=∠-∠=︒， ()..1545154515DAC DBC BDE ACD S A S BDE ACD DE DC DCE DECDEC EBD BDE ACD DCE ACB ACD ACD ACD ACD ACD ∴∠=∠∴≅∴∠=∠=∴∠=∠∠=∠+∠=︒+∠∠=∠-∠=︒-∠∴︒+∠=︒-∠∴∠=︒，，，，，，，ACD DAC AD DC ∴∠=∠∴=，．【总结】考查等腰三角形的性质及全等三角形判定的综合应用．【例27】 如图，四边形ABCD 中，∠BAD +∠BCD =180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H ，试说明EH ⊥FH ． 【答案】详见解析【解析】连接EF ，则180CFE CEF FCE ∠+∠+∠=︒180180BAD BCD FCE BCDBAD FCE ∠+∠=︒∠=∠∴∠+∠=︒，E F ∠∠、的平分线交于点H11221809018090CFH CFA HEC BEDA CFA CFE CEF BED CFH BEH CEF FCE CFH BEH CEF FCE H H EH FH∴∠=∠∠=∠∠+∠+∠+∠+∠=︒∴∠+∠+∠+∠=︒∠+∠+∠+∠+∠=︒∴∠=︒∴⊥，，【总结】考查角平分线的性质及三角形内角和定理的综合应用，综合性较强，注意认真分析 角度间的关系．【例28】 已知：如图，在∆ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，CD ⊥AB ，垂足是D ，CE 平分∠ACD ，BF ⊥CE ，垂足是G ，交AC 于F ，交CD 于H ，试说明DH =12AF ．【答案】详见解析．ABC D EFM H14 / 22ACBEF【解析】证明：延长CD 到M ，使CM CB =，连接BM ，则M CBM ∠=∠90ACB AB BC ∠=︒=，，ABC ∴是等腰直角三角形． 4567.5CD AB BCM ACD M ⊥∴∠=∠=︒∴∠=︒，，， CE 平分ACD ∠，122.52GCH ACD ∴∠=∠=︒，67.5CE BF GHC ⊥∴∠=︒，， MHB GHC BM BH ∴∠=∠∴=，． ()90..2BD HM DH DMFCG HCG CGF CGH CG CG CGF CGH A S A CF CH AC BC CM AC CF CM CH AF HM AF DH⊥∴=∠=∠∠=∠=︒=∴≅∴===∴-=-∴=∴=，，，，，，即12DH AF =． 【总结】考查等腰三角形的性质应用，综合性较强，注意添加相应的辅助线，将问题进行转 化．【习题1】 如图，在△ABC 中，∠ACB =900，AC =AE ，BC =BF ，则∠ECF =（ ）A ．600B ．450C ．300D ．不确定【答案】B【解析】90,90ACB A B ∠=︒∴∠+∠=︒29045AC AE ACE AEC BC BF BCF BFC AEC B ECB BFC A FCAFCA ECF ECB B ECF ECB FCA A ECF A B ECF =∴∠=∠=∴∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠∴∠=∠+∠=︒∴∠=︒，，，，，，故选B ．【总结】考查等腰三角形的性质的运用，注意角度间的关系．随堂检测AF GBH DEC M【习题2】 如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点AD =BD ，AB =AC =CD ，求∠BAC 的度数． 【答案】108BAC ∠=︒． 【解析】AD BD B BAD =∴∠=∠，，AB AC DC B C CDA CAD ==∴∠=∠∠=∠，，22180518036108CDA B BAD CDA B CAD B B C BAC B B BAC ∠=∠+∠∴∠=∠∴∠=∠∠+∠+∠=︒∴∠=︒∴∠=︒∴∠=︒，，，， 【总结】考查等腰三角形的性质．【习题3】 如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，试说明AF =EF ．【答案】详见解析【解析】证明：延长AD 至G ，使DG AD =，联结BGAD 是BC 边上的中线，BD CD ∴=()..ADC GDB S A S G CAD AC BG BE AC BG BE G BED BED AEF AEF G CAD AF EF∴≅∴∠=∠==∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠=∠∴=，，，，，， 【总结】考查等腰三角形的性质，注意倍长中线辅助线的添加．【习题4】 如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =900，D 是AC 上一点，且AE 垂直BD 的延长线于E ，又AE =12BD ，试说明BD 是∠ABC 的角平分线．【答案】详见解析【解析】证明：延长AE BC 、交于点F9090ACB DBC BDC ∠=︒∴∠+∠=︒，，同理：90FAD EDA ∠+∠=︒ ()..1122EDA BDC FAD DBC AC BC AFC BDC A S A AF BD AE BD AE AF∠=∠∴∠=∠=∴≅∴==∴=，，，，，， ()..AE FE BAE BFE S A S ABE FBE ∴=∴≅∴∠=∠，，BD ∴是ABC ∠的角平分线．【总结】考查全等三角形及等腰三角形性质的应用，注意对模型的总结．【习题5】 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =100o ，D 、E 在AC 上，且AB =AD ，CB =CE ．求∠EBD 的度数． 【答案】40EBD ∠=︒ABCDACDEEABDCF GAE BC DF16 / 22【解析】10080ABC A C ∠=︒∴∠+∠=︒，28040AB AD ABD ADB BC EC CBE CEB ADB C DBC CEB A ABEABE EBD DBC C EBD DBC ABE A EBD A B EBD =∴∠=∠=∴∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠∴∠=∠+∠=︒∴∠=︒，，，，，，【总结】考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．．【习题6】 已知：如图在∆ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于点E ，EF ⊥AD ，垂足是G ，且交BC 的延长线于点F ．试说明∠CAF =∠B ．【答案】详见解析【解析】证明：//DE AC CAD EDA ∴∠=∠，AD 是BAC ∠的平分线，BAD CAD ∴∠=∠， ()..EAD EDA EA EDEF AD AFG DFG S A S AF DF ADF DAF B BAD CAF CAD BAD CAD CAF B∴∠=∠∴=⊥∴≅∴=∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠∠=∠∴∠=∠，，，，，【总结】考查等腰三角形的性质及外角性质的综合运用．【习题7】 如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，试说明AB +BD =CD ． 【答案】详见解析【解析】证明：在CD 上取一点E 使DE BD =，联结AE()..22AD BC ABD AED S A S AB AE B AEB B C AEB C AEB C EAC C EAC AE EC CD DE EC AB BD⊥∴≅∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠∴=∴=+=+，，，，，，， 【总结】考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定．ACDFB HGEBACDE【习题8】 如图在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =900，D 为BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ． （1） 求证：AD ⊥CF ；（2）连结AF ，试判断△ACF 的形状，并说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）等腰三角形． 【解析】（1）在等腰Rt ABC 中，9045ACB CBA CAB ∠=︒∴∠=∠=︒， ()9045//9045..9090DE AB DEB BDE BF AC CBF BFD BDEBF DB CD DB BF CD CBF ACD S A S BCF CAD BCF GCA CAD GCA AD CF⊥∴∠=︒∴∠=︒∴∠=︒∴∠=︒=∠∴==∴=∴≅∴∠=∠∠+∠=︒∴∠+∠=︒∴⊥，，，，，，，，， （2）联结AF ，CF AD =，DBF 是等腰直角三角形，∵BE 是DBF ∠的平分线，BE ∴垂直平分DFAF AD CF AD CF AF ∴==∴=，，，∴ACF 为等腰三角形．【总结】考查等腰三角形的性质与判定的综合运用．【习题9】 在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，过M 作ME ∥AD 交BA延长线于E ，交AC 于F ，试说明BE =CF =12(AB +AC )． 【答案】详见解析【解析】证明：过点B 作//BN AC 交EM 延长线于点N()////12BN AC BM CM CFM BNM CF BNAD ME AD BAC CFM DAC E E N BEN BE BN CFEFA CFM E EFA AE AF AB AC AB AF FC AB AE FC BE FC BE CF AB AC =∴≅∴=∠∴∠=∠=∠∴∠=∠∴∴==∠=∠∴∠=∠∴=∴+=++=++=+∴==+，，，，平分，，是等腰三角形，，，【总结】考查等腰三角形的性质与判定的综合运用．GFED C BAABDMCF E N18 / 22BDCA【习题10】 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =800，O 为△ABC 内一点，且∠OBC =100，∠OCA =200，求∠BAO 的度数． 【答案】70BAO ∠=︒．【解析】作BAC ∠的角平分线与CO 的延长线交于点D ，联结BD()..805020202040BAD DAC AB AC AD ADABD ACD S A S BD CD ABD ACD DBC DCB BAC ABC ACB OCA ABD ACD OBD ABC ABD OBC ABD DOB OBC OCB BAD OBD ABD DOB DAB BD BD ABD ∠=∠==∴≅∴=∠=∠∴∠=∠∠=︒∴∠=∠=︒∠=︒∴∠=∠=︒∴∠=∠-∠-∠=︒=∠∠=∠+∠=︒=∠∠=∠∠=∠=∴≅，，，，，，，，，，，()()()()..1111801801804070222OBD A A S AB OB BAO AOB BAO ABO ABC OBC ∴=∴∠=∠∴∠=︒-∠=︒-∠-∠=︒-︒=︒⎡⎤⎣⎦，，【总结】考查等腰三角形的性质与全等相结合的综合应用，综合性较强，注意辅助线的添加．【作业1】 如图，△ABC 中，∠ABC =460，D 是BC 边上一点，DC =AC ，∠DAB =210，试确定∠CAD 的度数． 【答案】67CAD ∠=︒．【解析】DC AC CAD CDA =∴∠=∠，CDA B DAB ∠=∠+∠，又4621ABC DAB ∠=︒∠=︒， 67CDA ∴∠=︒，67CAD ∴∠=︒．【总结】考查等腰三角形性质及外角的性质的综合运用，比较基础．课后作业OABCD【作业2】 如图所示，12AB AD BC DE ==∠=∠，，，试说明：(1)(2)2AC AE CAE =∠=∠；． 【答案】详见解析．【解析】（1）2112ADC ADE B ∠=∠+∠=∠+∠∠=∠，又ADE B AB AD BC DE ∴∠=∠==，， ()..ABC ADE S A S AC AE ∴≅∴=，；（2）ABC ADE BAC DAE ≅∴∠=∠，，BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠1122CAE CAE ∴∠=∠∠=∠∴∠=∠，，【总结】考查三角形全等的判定及性质的应用，比较基础．【作业3】 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAD ＝30°，AD ＝AE ．求∠CDE 的度数．若∠BAD ＝40呢?【答案】15CDE ∠=︒，20CDE ∠=︒． 【解析】AD AE AC AB ADE AED B C ==∴∠=∠=∠，，，23023015ADE CDE B BAD AED C CDE C CDE CDE B BAD CDE BAD BAD CDE CDE ∠+∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠+∠+∠=∠+∠∴∠=∠∠=︒∴∠=︒∴∠=︒，，，， 同理：当40BAD ∠=︒时，20CDE ∠=︒．【总结】考查等腰三角形性质及外角的性质，注意角度间的转换．【作业4】 如图，△ABC 中，AB =AC ，BC =BD =ED =EA ，求∠A 的度数．【答案】1807A ︒∠=．【解析】AE ED ADE A =∴∠=∠，，2DEB ADE A A ∴∠=∠+∠=∠．233318018071807BD ED ABD DEB A BDC ABD A ABD BC C BDC A AB AC ABC C A ABC C A A A =∴∠=∠=∠∴∠=∠+∠=∠=∴∠=∠=∠=∴∠=∠=∠︒∠+∠+∠=︒∴∠=︒∴∠=，，，，，，， 【总结】考查等腰三角形性质及外角的性质，注意角度间的转化．ABCDE21ABCDEABCDE20 / 22【作业5】 已知∆ABC 中，BD =CE ，DF =EF ．试说明AB =AC ． 【答案】详见解析【解析】证明：过点D 作//DG AC 交BC 于G()//..DG AC DGB ACB DGF ECF DF EF DFG EFC DFG EFC A A S CE DG BD CE BD DG B DGB B ACB AB AC∴∠=∠∠=∠=∠=∠∴≅∴==∴=∴∠=∠∴∠=∠∴=，，，，，，，，， 【总结】考查等腰三角形结合全等三角形的性质及判定的应用．【作业6】 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是（ ）A ．AC ＞2AB B ．AC ＝2ABC ．AC ≤2ABD ．AC ＜2AB【答案】D【解析】解：延长CB 到D ，使DB AB =，联结AD222AB BD BAD D ABC D BAD ABC DABC C C D AD AC AB BD AD AB BD AC AB AC=∴∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=+>∴+>∴>，，，，，，，故选D ．【总结】考查三角形外角性质，等腰三角形性质以及三角形三边之间的关系．【作业7】 如图，已知：AC ∥BD ，EA 、EB 平分∠BAC 、∠DBA ，交CD 于点E ，试说明：AB =AC +BD ． 【答案】详见解析【解析】证明：在AB 上取一点F ，使AF AC =，联结EF ．EA EB 、平分BAC DBA ∠∠、，CAE FAE EBF EBD ∴∠=∠∠=∠，()..ACE AFE S A S ∴≅，C AFE ∴∠=∠，//180AC BD C D ∴∠+∠=︒，，180AFE EFB ∠+∠=︒，EFB D ∴∠=∠，()..BEF BED A A S BF BD ∴≅∴=，． AB AF BF AB AC BD =+∴=+，．【总结】考查全等三角形的判定与性质的综合运用，注意认真分析题目中的条件．BDCEAFGABCDA BCDEF【作业8】 如图，在△ABC 中，∠BAC =∠BCA =440，M 为△ABC 内一点，使∠MCA =300，∠MAC =160，求∠BMC 的度数． 【答案】150BMC ∠=︒．【解析】过B 作BD AC ⊥于D ，交CM 延长线于O ，联结OA4492BAC BCA AB BC ABC ∠=∠=︒∴=∠=︒，，BD AC ⊥， ABO CBO ∴∠=∠，ABO CBO ∴≅30OA OC OAC MCA ∴=∴∠=∠=︒，443014301614906012012030BAO BAC OAC OAM OAC MAC BAO MAO AOD OAD COD AOM AOB AO AO ABO AMO OB OM BOM OMB OBM ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒∠=∠-∠=︒-︒=︒∴∠=∠∠=︒-∠=︒=∠∴∠=︒=∠=∴≅∴=∠=︒∴∠=∠=︒，，，，，， 180150BMC OMB ∴∠=︒-∠=︒．【总结】考查等腰三角形性质、及全等三角形判定、三角形外角、内角和性质等．【作业9】 如图，△ABC 中，∠BAC =600，∠ACB =400，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，试说明：BQ +AQ =AB +BP ．【答案】详见解析．【解析】延长AB 到D ，使BD BP =，联结PD ，则D BPD ∠=∠．AP BQ 、分别是BAC ABC ∠∠、的角平分线，且6040BAC ACB ∠=︒∠=︒，()3080408040..BAP CAP ABC ABQ QBC C QB QC ABC D BPD D BPD APD APC A A S AD ACAB BD AQ QC AB BP BQ AQ∴∠=∠=︒∠=︒∴∠=∠=︒=∠∴=∠=∠+∠=︒∴∠=∠=︒∴≅∴=∴+=+∴+=+，，，，，，， 【总结】考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形性质相结合的综合运用，综合性较强， 注意分析题目中的条件，添加合适的辅助线．B CMADOABPQCD22 / 22【作业10】 如图，已知：在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，∠ABC =2∠C ，M 为BC的中点，ME ⊥AF ，交AB 的延长线于点E ，交AD 的延长线于F ，试说明：BD =2BE ．【答案】详见解析【解析】证明：延长BE 到G ，使EG BE =，联结CG GD 、， 延长AF 交GC 于H ．//BE EG BM MCEM CG ME AF AH CG==∴⊥∴⊥，，，AH 平分BAC ∠，AG AC ∴=，GAD CAD ∠=∠()..AGD ACD S A S DGA ACD ∴≅∴∠=∠，22CBA ACB CBA DGA BDG BDG DGB BD BG BE EG BD BE∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠∴==∴=，，， 【总结】本题综合性较强，难度较大，考查三角形的相关性质及全等三角形的判定以及等腰 三角形的性质的综合运用，也可以用其它方法进行求解，建议教师选择性讲解．ABCDEF MGH。