九年级数学一道习题的演变

由一道课本习题演变出来的中考题赏析宣威市热水镇一中 高体明 邮编 655415纵观近几年全国各省市的中考数学试题可以发现，有很多题目都源于课本，特别是一些由基础知识推广与拓展、培养学生理解问题和分析问题、解决问题的题目，大多是由课本中的例题（或习题）改编而成，都能在课本上找到原型。

这类试题紧扣课本和大纲，体现了基础性和学好课本知识的重要性，有着较好的导向作用，对于引导师生重视基础、重视教材、研究教材、用好用活教材，均大有好处。

现撷取一例分析鉴赏。

原题：（新人教版八年级上册第16页综合运用第9题）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB=DE ，AC=DF ，BE=CF 。

求证：∠A=∠D 。

评析：本习题主要训练学生运用“边边边”条件判定三角形全等，进而运用全等三角形的性质得出所求证的角相等。

由条件BE=CF 不难得出BC=EF ，又有已知条件AB=DE ，AC=DF 。

利用“边边边”条件可得△ABC ≌△DEF,从而∠A=∠D 得证。

就是这样的一道习题，却成了2010年几个省市中考命题的源泉，正所谓中考题是“源于课本又高于课本”的变式题。

一、保持原图不变，变换已知条件和结论。

例1、（2010年福建福州） 如图，点B 、E 、C 、F在一条直线上，BC ＝EF ，AB ∥DE ，∠A＝∠D。

求证：△ABC≌△DEF． C E B F DA C EB FDA评析：将原题条件和结论变化得本题，从另一个角度考查三角形全等的“角角边”判定。

由AB∥DE 可得∠B ＝∠DEF ，又有∠A＝∠D，BC ＝EF ，所以△ABC≌△DEF。

例2、（2010 重庆江津）已知：如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AC ∥DF ．求证：⑴ △ABC ≌△DEF ；⑵ BE ＝CF ． 评析：利用原题图，变化部分条件和结论得考题，考查学生对三角形全等的条件及全等三角形的性质的掌握情况，判定条件由“边边边”转化为“角边角”或“角角边”。

浅谈安徽中考数学试卷几何试题无为县三溪初级中学徐成华几何试题是中考试卷常见的题型，大致可以分为几何计算型综合与几何论证型综合试题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类试题往往涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系隐蔽，常常需要添加辅助线来解答。

就安徽省中考数学试卷中的几何试题，予以分析：（2010•安徽）如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1．（1）若c=a1，求证：a=kc；（2）若c=a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1进都是正整数，并加以说明；（3）若b=a1，c=b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2？请说明理由．考点：相似三角形的性质；三角形三边关系。

专题：压轴题。

分析：（1）已知了两个三角形的相似比为k，则对应边a=ka1，将所给的条件等量代换即可得到所求的结论；（2）此题是开放题，可先选取△ABC的三边长，然后以c的长作为a1的值，再根据相似比得到△A1B1C1的另外两边的长，只要符合两个三角形的三边及相似比都是整数即可；（3）首先根据已知条件求出a、b与c的关系，然后根据三角形三边关系定理来判断题目所给出的情况是否成立．解答：（1）证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k（k＞1），∴=k，a=ka1；又∵c=a1，∴a=kc；（2）解：取a=8，b=6，c=4，同时取a1=4，b1=3，c1=2；此时=2，∴△ABC∽△A1B1C2且c=a1；注：本题是开放型的，只要给出的△ABC和△A1B1C1符合要求即可；（3）解：不存在这样的△ABC和△A1B1C1，理由如下：若k=2，则a=2a1，b=2b1，c=2c1；又∵b=a1，c=b1，∴a=2a1=2b=4b1=4c；∴b=2c；∴b+c=2c+c＜4c=a，而b+c＞a；故不存在这样的△ABC和△A1B1C1，使得k=2．点评：此题主要考查的是相似三角形的性质及三角形三边关系定理的应用．（2010•安徽）如图，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1=∠2，BF=BC．（1）求证：四边形BCEF是菱形；（2）若AB=BC=CD，求证：△ACF≌△BDE．考点：菱形的判定；全等三角形的判定。

初中数学由课本习题演变而来的中考题 知识精讲李印人教版初中《几何》第二册“想一想”有这样一道题：题目：如图1-1，正方形ABCD 对角线相交于点O ，点O 是正方形A ’B ’C ’O 的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形A ’B ’C ’O 绕点O 无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的41，想一想这是为什么。

简证：由题设易得∠AOE=∠BOF ，OA=OB ，∠OAE=∠OBF=45°，OBF OAE ∆≅∆，从而得ABCD OAB OEBF S 41S S 正四边形==∆ 或过点O 作BC ON ,AB OM ⊥⊥，垂足分别为M 、N ，将四边形OEBF 的面积利用三角形全等、面积相等，转化成正方形OMBN 的面积，等于正方形ABCD 面积的41。

实质：若一直角三角形的直角顶点绕正方形的对角线中点旋转（其直角边分别不小于正方形边长的22），则三角形与正方形重叠部分的面积，等于正方形面积的41，如图1-2。

这个问题把正方形、等腰直角三角形、全等三角形和直线图形的面积等知识与几何图形的旋转变换结合在一起，具有很强的思维性和拓展性，是一道极有创新价值的习题。

近年命题者由此题演变的题目，现摘录数例讨论如下，供读者学习时参考。

演变1 题型变化：解答题变为探索题。

（2004年山东省青岛市）把两个全等的等腰Rt ∆ABC 和Rt ∆EFG （其直角边长均为4）叠放在一起（如图2－1），且使∆EFG 的直角顶点G 与∆ABC 的斜边中点O 重合。

现将三角形EFG 绕O 点按顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°＝，四边形CHGK 是旋转过程中两三角形的重叠部分（如图2－2）。

在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系？四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论。

思维突破：本题让学生运用实验、观察、探索、猜想、验证的思想方法找出规律。

1一道几何题目的演变“变式教学”为学生架起了一座知识的桥梁，引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质；从“不变”的本质中探究“变”的规律，使学生更深刻地理解数学知识，对提高学生思维能力、应变能力大有裨益．所谓变式训练就是保持原命题的本质不变，不断变换原命题的条件、结论、图形等产生新的情境，引导学生从多角度、多方面去探究问题．现以一道课本习题为例，谈谈如何进行变式训练．例题 如图1，已知点C 为线段AB 上的一点，分别以线段AC 、BC 为边作正△ACM 和正△BCN ，求证：AN ＝BM ．简解 由等边三角形的性质可以得出△ACN ，△MCB 两边及其夹角分别对应相等，从而△ACN ≌△MCB ，得出线段AN 与线段BM 相等．点评 三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，HL ，全等三角形的对应边、对应角相等．演变1 植入新问：不改变原命题的条件和结论，在原命题中植入新的问题，拓宽对图形性质的进一步研究．(1)求证：DC ＝CE ；(2)图2中，线段AN 与BM 相交于点O ，求∠BON 度数；（3）若连结OC ，如图3，则OC 平分∠AOB 吗？请说明理由．解析 (1)由△ACN ≌△MCB ，可得∠DNC ＝∠EBC ，又∠DCN ＝∠ECB ＝60°，CN ＝CB ，得△DCN ≌△ECB ，结论得证，在此基础上，若连结线段DE ，如图2，可求证DE ∥AB ．(2)由∠BON ＝∠AOM ＝∠NAB ＋∠ABM ＝∠CMB ＋∠CBM ＝∠ACM 而得出结论．(3)过点C 作CG ⊥AN ，CH ⊥BM ，由△ACN ≌△MCB ，得到两三角形面积相等，由2AN ＝BM ，得到CG ＝CH ，再利用角平分线定理即可得证．演变2 克隆变式：原命题条件、结论不变，将正三角形变为正方边形、菱形等．(4)①将原题中“△ACM 和△BCN 两个等边三角形”换成“两个正方形”（如图4），AF 与BD 的关系如何？②如果点C 在线段AB 的延长线上，a 中结论是否成立？请作图，并说明理由．解析（AF 与BD 有数量关系和位置关系．四边形ACDE 、CBGF 是正方形，AC ＝CD ，CF ＝CB ，∠ACF ＝∠DCB ＝90°，可证△ACF ≌△DCB(SAS)，得AF ＝BD ；延长AF 交DB 于点G ，根据∠FAC ＝∠BCD ，对顶角相等，得∠BGN ＝∠MCB ＝90°，即BD ⊥AC ． ②先证△AFC ≌△DBC 可得结论成立．评注 此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，以及学生的推理能力．(5)上述问题中，若将其中一个正方形固定，使另一个正方形绕点C 任意旋转一个角度，如图6，上述结论还能成立吗？为什么？解析 抓住运动中不变的元素，证明思路与(4)类似．(6)（2014年南通中考题）如图7，点E 是菱形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AE 为边作一个菱形AEFG ，且菱形AEFG∽菱形ABCD ，连结EB、GD ．①求证：EB ＝DG ；②若∠DAB ＝60°，AB＝2，AG ，求GD 的长．3解析 ①利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；②连接BD 交AC 于点P(如图8)，则BP ⊥AC ．根据∠DAB ＝60°，BP ＝12AB ＝1，得到EP ＝；利用勾股定理求得EB 的长，即可求得线段GD 的长．点评 本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等、对应角相等．演变3 变为探究题：将原命题的题设、结论进行弱化处理，变为条件开放或结论开放题；或在保持图形的某些性质不变的情况下，将图形中的某些元素（点、线等）运动起来，从形外到形内再到形外，在运动中寻找不变关系或变化的规律．(7)已知：如图9所示，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点B 、A 、D 在一条直线上，连结BE ，CD ，M ，N 分别为BE ，CD 的中点．①求证：(i)BE ＝CD ；(ii)△AMN 是等腰三角形．②在图9的基础上，将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，如图10．请直接写出①中的两个结论是否仍然成立．解析 ①(i)由∠BAC ＝∠DAE ，等式左右两边都加上∠CAE ，得到一对角相等，再由AB ＝AC ，AF 为公共边，利用SAS 可得出三角形ABE 与三角形ACD 全等，由全等三角形的对应边相等可得出BE ＝CD ；(ii)由M 与N 分别为BE ，CD 的中点，且BE ＝CD ，可得出ME ＝ND ，由△ABE 与△ACD 全等，得到对应边AE ＝AD ，对应角∠AEB ＝∠ADC ，利用SAS 可得出△AME 与△AND 全等，利用全等三角形的对应边相等可得出AM ＝AN ，即△AMN 为等腰三角形． ②结论仍成立，方法类似．点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．(8)已知在△AB.C 中，∠BAC ＝90°，∠ABC ＝45°，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B 、C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连结CF ．①如图11，当点D 在线段BC 上时，求证CF ＋CD ＝BC ；②如图12，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系；③如图13，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变，求CF，BC，CD三条线段之间的关系；解析(1)△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BDD≌△CAF，从而证得CF＝BD，据此即可证得；②同(1)相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD＝CF，即可得到CF－CD＝BC；③首先证明△BDD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF的长，则OC即可求得．点评本题考查了正方形与全等三角形的判定与性质的综合应用，证明三角形全等是关键．数学教育家波利亚认为：“与其穷于应付烦琐的数学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生解题过程中，提高他们的才智与推理能力．”教学中重视对例题和习题的“改装”或引申，把分散的知识点串成一条线，最大可能地覆盖知识点，有利于知识的建构，当然，变式训练要由浅入深，由简到繁，由特殊到一般，循序渐进，螺旋上升，形成一系列的问题串、知识链、方法链．让学生在变题中，学会探索；在变题中，学会创造；在变题中，把自己变得更聪明，更机智，领略到数学的和谐、奇异与美妙，收到极好的学习效果．4。

作者： 蒋宝慧
作者机构： 南京市弘光中学,210014
出版物刊名： 数学之友
页码： 65-66页
年卷期： 2014年 第4期
主题词： 课本习题 演变 数学能力 就地取材 创新能力 数学题 再创造 苏教版
摘要：纵观近几年的中考数学题，很多是课本中典型的例题及习题演变而来的．它源于课本，又高于课本，注重双基，侧重考查学生的数学能力，这启发我们在中考复习时不宜舍本逐宋，而应就地取材，注重对课本例习题的“再创造”，培养学生的探究创新能力．下面从苏教版八年级下册P109的一道习题出发，谈谈课本习题的演变．。

教学篇•高效课堂新课程标准要求数学课堂教学要具有有效性，即数学老师要用最优化的数学教学方法，在此基础上获得最大的效益。

尤其是中考复习阶段，要求高、任务重、时间短，数学老师更要重视课堂教学效率的提高。

降低学生练习的数量，提高学生的练习质量，在给学生减负的同时提高学生的学习效果。

一、变换问题的条件笔者在教学过程中发现，很多初中数学老师在教学过程中采取题海战术，让学生大量练习习题。

这种教学方式不仅让学生身心俱疲，而且收效甚微。

尤其在中考数学复习阶段，学生的学习任务非常重，复习数学的时间也是非常有限的，如果数学老师采取题海战术会让学生逐渐丧失学习兴趣，复习的效果也会越来越差。

实际上，数学习题是无穷无尽的，但是包含的数学知识却是有限的。

数学老师在中考数学复习习题中，要善于培养学生举一反三、触类旁通的能力，这将会让学生受益无穷。

数学老师可以适当变化问题的条件，让学生从不同的角度思考，这样既可以减轻学生的学习负担，又能激发学生的思维，培养学生较强的分析能力和解决问题能力。

例如，笔者在复习二次函数的一道习题：如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（1，4），与y轴的交点坐标为C（0，3），求这个二次函数解析式。

等学生独立完成后，变换一下条件，比如将“顶点坐标”这个条件变换成“与x轴的交点坐标为A（-1，0），B（3，0）”，或者“图象的对称轴是直线x=1，且经过点（-1，0）”，或者“图象经过点（3，0）且函数的最大值为4”，或者“二次函数y=ax2向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度后”等，如果学生基础好可让学生回答添上什么条件能求出这个二次函数解析式。

这种变化条件的方式既可以让学生在最短的时间内复习用待定系数法求二次函数解析式，进一步熟悉二次函数解析式的三种表达式、二次函数图象平移规律以及二次函数图象的性质等数学知识，又能激发学生的数学思维，从而提高学生数学综合知识的运用能力。

二、变换问题的结论初中数学中有很多的数学题具有普遍联系性、探索性和典型性的特点。