初中数学专题典型例题训练

中考数学最值问题【例题1】(经典题)二次函数y二2 (x-3) 2-4的最小值为.【例题2】(2018江西)如图，AB是。

的弦，AB=5,点C是。

上的一个动点，且NACB=45°,若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是___ .C【例题3】(2019湖南张家界)已知抛物线y=ax2+bx+c (a不0)过点A(1, 0), B(3, 0)两点，与y 轴交于点C, OC=3.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)过点A作AM^BC,垂足为M,求证：四边形ADBM为正方形；(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当^PBC面积最大时，求P点坐标及最大面积的值;(4)若点Q为线段OC上的一动点，问AQ+ 2 QC是否存在最小值若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.1.(2018河南)要使代数式V-2^37有意义，则乂的( )A.最大值为2B.最小值为2C.最大值为-D.最大值为°3 3 2 22.(2018四川绵阳)不等边三角形AABC的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为。

3.（2018齐齐哈尔）设a、b为实数，那么“2+“〃 +从一” 的最小值为04.（2018云南）如图，MN是。

的直径，MN=4, NAMN=40° ,点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为.C5.（2018海南）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为元/斤，并且两次降价的百分率相同.（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为正数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1WxV15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元6.（2018湖北荆州）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R、P与x的关系式分别为R = 500 + 30x , P = 170 —2x。

关于直线、射线、线段的典型例题一例如图，图中有几条射线？能用字母表示出来的有几条？将它们分别表示出来。

分析：直线上的一点将直线分成两条射线，因此以A为端点的射线有两条，同样道理以B、C为端点的射线也分别有两条．因此共有6条射线，能用图中字母表示出来的有4条．解：图中共有6条射线，能用图中字母表示出来的有4条，分别为：射线AB、射线BC、射线BA、射线、CA．说明：要抓住直线上一点将直线分成两条射线，数射线时不能重复或遗漏，抓住端点和方向，表示射线时，要将端点的字母写在前面．关于直线、射线、线段的典型例题二例如图所示，你知道图中共有几条直线、几条射线？（不添加字母，直接可以读出．）几条线段？它们分别是什么？解：图中有2条直线，分别是直线BC、直线DC．图中有6条可以直接读出的射线，分别是射线CD、DC、CB、BC、AB、DB．图中有6条线段，分别是线段AD、BD、AB、CA、CD、CB．说明：（1）直线是最基本、简单、抽象的几何图形．直线到底是什么形状呢？可以借助“孙悟空的金箍棒”想象一下，直线没有端点，可以向两方无限延伸；“手电筒发出的光”给我们以射线的形象，射线有一个端点，它可以向一方无限延伸；“一枝铅笔”可以抽象成一条线段，线段有两个端点，它不可延伸，直线和射线都没有长度，线段有长度；（2）直线有两种表示方法（如图1），可以先在直线上任取两个点A、B，这条直线可记作直线AB（或直线BA），也可以用一个小写字母表示，如直线l；射线的两种表示方法分别为射线AB、射线l（如图2），要注意射线AB与射线BA表示不同的射线；线段的两种表示方法分别为线段AB（或线段BA）、线段a（如图3）；（3）数直线时应注意直线BC与直线CB是同一条直线；数射线时要注意射线的两个特征：端点与方向，所以射线AD与射线AB是相同的射线，射线AB与射线DB是不同的射线，因为它们的端点不同，射线DA与射线DB也是不同的射线，因为它们的方向不同；数线段时注意寻求规律，做到不重不漏．如线段CA、CD、CB属不同直线上的三条线段，而线段AD、BD、AB属同一条直线上的三条线段，同一条直线上的线段的数法有两种：①以始点计：AD、AB、DB；②以组成计：单个线段：AB、BC；两条线段组成的：AC．图1 图2 图3另外在同一条直线上的线段总条数s与直线上点的个数n之间有如下关系：2)1()1()2(321-=-+-++++=n nnnS ．关于直线、射线、线段的典型例题三例如图，以点A、B、C、D、E、F为端点的线段共有几条？分别把它们写出来．分析：在一个三角形中，由于交点众多，为做到不遗漏，不重复，可以按字母的先后顺序找出图中的线段．解：图中共有14条线段，分别为线段AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF．说明：当点众多时，可以以字母的顺序寻找线段，可以避免出错．关于直线、射线、线段的典型例题四例如图，比较线段AB与AC、AD与AE，AE与AC的大小．分析：比较线段的长度可用度量法和重合法．解法1：用度量法，用直尺测量各线段的长度．比较得：AB＞AC，AD＜AE，AE＝AC．解法2：用叠合法，可用圆规截取比较得：AB＞AC、AD＜AE，AE＝AC．说明：比较线段的大小，就是用度量法和叠合法，但是可以根据题目的的特点选择合适的方法．关于直线、射线、线段的典型例题五例如图，已知点C、D在线段AB上，线段AC=10 cm，BC=4 cm，取线段AC、BC 的中点D、E．（1）请你计算线段DE的长是多少？（2）观察DE的大小与线段AB的关系，你能用一句简洁的话将这种关系表述出来吗？（3）若点C为直线AB上的一点，其他条件不变，线段DE的长会改变吗？如果改变，请你求出新的结果．解：（1）∵AC=10，BC=4，∴AB =AC +BC =14又∵点D 是AC 中点，点E 是BC 中点， ∴BC EC AC DC 21,21==， ∴721)(212121==+=+=+=AB BC AC BC AC CE DC DE （cm ）． （2）由（1）知AB DE 21=，即：线段上任一点把线段分成两部分，这两部分中点间的距离等于原线段长度的一半．（3）DE 的长会改变．可分两种情形考虑：当点C 在线段AB 上时721==AB DE （cm ）． 当点C 在线段AB 外时（如图），3)410(21)(212121=-=-=-=-=BC AC BC AC CE DC DE （cm ）． ∴DE 的长为7 cm 或3 cm ．说明：（1）本题先通过特殊的数值求出线段DE 的长，在求解过程中通过观察、猜测，发现了一般性的结论，我们称之为规律．在学知识或是解题时，不要局限于问题表面，而是要多思考、多总结，从而在更深层次上认识所学内容．（2）此题通过C 点的位置由特殊到一般，由在线段上运动到在直线上运动的变化过程，只要抓住不变量，即CE DC DE ±=，就可以以不变应万变．另外随着条件的逐步开放，结论也发生了变化，有时由于C 点的位置考虑不全面，导致丢解．如果遇到没给出图形的问题，解答时一定要先画图，并全面考虑到所有可能情形．（3）利用中点的性质进行线段长度的计算是解题的关键，若C 是AB 的中点，则它的表达式为AC AB 2=或AB AC BC AB 21,2==或BC AC AB BC ==,21，不同情况下选择不同的表达式，可使书写简洁．关于直线、射线、线段的典型例题六例 已知AB ＝16cm ，C 是AB 上一点，且AC ＝10cm ，D 为AC 的中点，E 是BC 的中点，求线段DE 的长．分析：根据线段中点的特点，BD CE AC DC 21,21==，而CE DC DE +=，故可根据题设解出DE 的长．解：因为D 是AC 的中点，而E 是BC 的中点，因此有：.21,21BC CE AC DC ==而AB BC AC CE DC DE =++=,． 即).cm (8162121)(212121=⨯==+=+=+=AB BC AC BC AC CE DC DE说明：充分利用线段中点的特点，将所求线段转移到线段长度上去．关于直线、射线、线段的典型例题七例（1）过一个已知点可以画多少条直线？（2）过两个已知点可以画多少条直线？（3）过平面上三点A、B、C中的任意两点可以画多少条直线？（4）试猜想过平面上四点A、B、C、D中的任意两点可以画多少条直线？解：（1）过一点可以画无数条直线；（2）过两点可以画一条直线；（3）当A、B、C三点不共线时可以画三条直线，当A、B、C三点共线时只能画一条直线；（4）当A、B、C、D四个点在同一条直线上时，只能画一条直线（如图1）；当A、B、C、D四个点中有三个点在同一条直线上时，可以画四条直线（如图2）；当A、B、C、D四个点中任意三点都不在同一条直线上时，可以画六条直线（如图3）．图1 图2 图3 说明：题（1）（3）和（4）中没有明确平面上三点、四点是否在一条直线上，解答时要分各种情况，即分类讨论；（2）由此题可知，过平面上三个点中的任意两点最多可以画三条直线，过平面上四个点中的任意两点最多可以画六条直线，如果过平面上n个点中的任意两点，最多可以画多少条直线呢？关于直线、射线、线段的典型例题八例如图，A、B是两个车站，若要在公路l上修建一个加油站，如何使它到车站A、B 的距离和最小，请在公路l上标出点P的位置，并说明理由．分析：根据连接两点的线中，线段最短，只需在A、B间作一条线段、与l的交点，便是它到A、B两点距离和最小的点．解：连接A、B作线段，与l的交点P为所求建加油站的点．因为两点之间，线段最短．ABl说明：利用线段公理，两点之间，线段最短． 关于直线、射线、线段的选择题1．如图所示，直线L 线段a 及射线OA ，能相交的图形是（ ）．A ．○a 、○c 、○dB ．○a 、○d 、○fC ．○a 、○d 、○eD ．○b 、○c 、○f2．在下图中，不同的线段的条数是（ ）．A ．4B ．5C ．10D ．123．下图中共有线段（ ）．A ．8条B ．9条C ．10条D ．12条4．A 、B 、C 不可能在同一条直线上的是（ ）．A ．cm 2cm,6,cm 4===AC BC AB B ．cm 13cm,5,cm 8===AC BC ABC ．cm 12cm,7,cm 18===AC BC ABD ．cm 6cm,9,cm 3===AC BC AB5．如图，AB BD AB AC 41,31==，且CD AE =，则CE 为AB 长的（ ）．A ．61B ．81C ．121D ．161 6．下列语句中正确的个数有（ ）．①直线MN 和直线NM 是同一条直线 ②射线AB 和射线BA 是同一条射线 ③线段PQ 和线段QP 是同一条线段 ④直线上一点把这条直线分成的两部分都是射线A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个参考答案1．C 2．C 3．B 4．C 5．C 6．Bl关于直线、射线、线段的填空题1．过一点可以画__________条直线，过两点可以画______条直线，过三点不一定能画_______条直线．2．同一平面上四条直线两两相交最多有_________个交点，最少__________个交点．3．以平面上任意三点不共线的四个点中每个点为端点，通过另一个点画射线总共可画出_________条射线．4．在线段AB 上再添上________个点，能使线段AB 上共有15条不同的线段．5．如图，已知10,8==BD BC ，点D 是AC 的中点，则.________,==AC AB6．已知线段8.1=AB cm ，点C 在AB 的延长线上，BC AC 35=，则线段BC 的长为______cm ．7．如图，共有线段_________条．8．平面上的四条直线，交点的个数最多为_________个．9．经过一点的直线有________条，经过两点的直线有___________条．经过不在同一直线上的三点的每两点的直线共有________条．10．如图，已知D 是AB 的中点，C 在DB 上．AC ＝________＋___________＝_________－____________．CB ＝________－___________＝_________－____________．11．线段AB ＝8cm ，M 是AB 的中点，N 是MB 的中点，则AN ＝______cm ． 参考答案：1．无数，1，1，2．6，13．124．45．12，46．2.77．108．69．无数条，1，310．AD 、DC 、AB 、BC 、AB 、AC 、DB 、DC.11．6关于直线、射线、线段的解答题1．已知16=AB cm ，点C 是AB 上一点，10=AC cm ，点M 是AC 的中点，点N 是BC 的中点，求线段MN 的长．2．如图，已知7:5:4::=CD BC AB ，且点E 是AB 的中点，点F 是CD 的中点，线段EF 长为105，求线段BC 的长．3．“经过两点有一条直线，并且只有一条直线”，根据这个公理，你知道过平面内三点中的每两点画一条直线，能画几条直线？过平面内的四个点呢？4．平面上有两点A 、B ，它们之间的距离为8cm ，分别就下列条件研究点P 的存在性及与线段AB 的位置关系．（1）点P 到A 、B 两点的距离之和为8cm ；（2）点P 到A 、B 两点的距离之和大于8cm ；（3）点P 到A 、B 两点的距离之和小于8cm ．5．如图，是由20根火柴棒摆出的9个小正方形，请你移动3根火柴棒，使它变成5个正方形．6．已知线段AC 和BC 在同一条直线上，如果cm 4.2,cm 6.5==BC AC ，则线段AC 和线段BC 的中点间的距离是多少？7．延长线段AB 到C ，使AB BC 21=；反向延长AC 到D ，使AC AD 21=，若AB =8 cm ，则CD 的长是多少8．如图，已知C 是线段AB 的中点，D 是线段AC 上任一点（端点除外），试比较DB AD ⋅与CB AC ⋅的大小．9．（1）刚开学整理教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿一列课桌摆在一条线上，整整齐齐，这是为什么？（2）某村庄和小学校分别位于两条交叉的大路边，可是每年冬天麦田里总会走出一条小路来（如图），这是什么原因呢？10．往返于甲、乙两地的客车，中途停靠三个车站，问可设几种不同票价？要准备几种车票？11．天河宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯铺设某种红色地毯．已知主楼梯道宽3米，其侧面如图所示，地毯每平方米售价30元，则购买地毯至少需要多少钱？12．在屋檐悬挂的一个立方体上，一只蜘蛛想要查看立方体的每一个面上是否有苍蝇，它应该怎样爬过立方体的每一面，又能尽快返回原处休息呢？13．某公司员工分别住在A 、B 、C 三个住宅区，A 区有30人，B 区有15人，C 区有10人，三个区在同一条直线上，位置如图所示．该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点．为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，你知道停靠点应设在哪里吗？14．小明只有一个没有刻度的三角板，他将一条线段两等分，你知道他是怎样做的吗？参考答案1．8cm 2．503．应分点共线和不共线两种情况讨论． 在3个点共线时，只能画1条；当3个点不共线时，能画3条；而4点共线时，也只能画1条，不共线时，可以画4条或6条直线4．（1）点P 在线段AB 上 （2）点P 在线段AB 外 （3）这样的点P 不存在 5．6．4cm 或1.6cm7．1.8cm8．CB AC BD AD ⋅<⋅9．（1）两点确定一条直线；（2）两点之间，线段最短10．10种，20种11．756克12．蜘蛛爬行的路线应是立方体展开图上的一条直线（如图）13．应设在A 处14．用三角板等分一条线段，关键是要找出一个中点，可以画出长方形的对角线，沿没对角线的交点对折，如图所示，使AB 和CD 重合，用这种方法就可以将线段两等分。

初中数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．轴对称最值图形lPBANM lBAAPBl 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值转化作其中一个定点关于定直线l的对称点先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点作其中一个定点关于定直线l的对称点折叠最值图形B'NMCAB原理两点之间线段最短特征在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为．【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．∵PC关于OA对称，∴∠COP=2∠AOP，OC=OP同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．∴△COD是等腰直角三角形．则CD=2OC=2×32=6．【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．2．如图，当四边形P ABN的周长最小时，a=．【分析】因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出P A+NB的长度就行了．问题就是P A+NB什么时候最短．把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，此时P A+NB最短．设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值．【解答】解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′（2，﹣1），作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1），设直线AB″的解析式为y=kx+b，则123k bk b=+⎧⎨-=+⎩，解得k=4，b=﹣7．∴y=4x﹣7．当y=0时，x=74，即P（74，0），a=74．故答案填：74．【题后思考】考查关于X轴的对称点，两点之间线段最短等知识．3．如图，A 、B 两点在直线的两侧，点A 到直线的距离AM =4，点B 到直线的距离BN =1，且MN =4，P 为直线上的动点，|P A ﹣PB |的最大值为．D PB′N MA【分析】作点B 于直线l 的对称点B ′，则PB =PB ′因而|P A ﹣PB |=|P A ﹣PB ′|，则当A ，B ′、P 在一条直线上时，|P A ﹣PB |的值最大．根据平行线分线段定理即可求得PN 和PM 的值然后根据勾股定理求得P A 、PB ′的值，进而求得|P A ﹣PB |的最大值．【解答】解：作点B 于直线l 的对称点B ′，连AB ′并延长交直线l 于P ． ∴B ′N =BN =1，过D 点作B ′D ⊥AM ， 利用勾股定理求出AB ′=5 ∴|P A ﹣PB |的最大值=5．【题后思考】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．4．动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 ．【分析】本题关键在于找到两个极端，即BA ′取最大或最小值时，点P 或Q 的位置．经实验不难发现，分别求出点P 与B 重合时，BA ′取最大值3和当点Q 与D 重合时，BA ′的最小值1．所以可求点A ′在BC 边上移动的最大距离为2．【解答】解：当点P 与B 重合时，BA ′取最大值是3， 当点Q 与D 重合时（如图），由勾股定理得A ′C =4，此时BA ′取最小值为1． 则点A ′在BC 边上移动的最大距离为3﹣1=2． 故答案为：2【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．5．如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于 ．【分析】如图，经分析、探究，只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小；根据勾股定理求出BD的长度，问题即可解决．【解答】解：如图，∵当点P落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°，∴四边形PF AE是以EF为直径的圆内接四边形，∴只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小，此时E与点B重合；由题意得：PE=AB=8，由勾股定理得：BD2=82+62=80，∴BD=45，∴PD=458 ．【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动．6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，∵∠MON=90°，AB=2∴OE=AE=12AB=1，∵BC=1，四边形ABCD是矩形，∴AD，∴DE2，根据三角形的三边关系，OD＜OE+DE，∴当OD过点E是最大，最大值为2+1．故答案为：2+1．【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD 和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是．【分析】设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=22x，CD′=22（4﹣x），根据勾股定理然后用配方法即可求解．【解答】解：设AC=x，BC=4﹣x，∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，∴CD=22x，CD′=22（4﹣x），∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，∴∠DCE=90°，∴DE2=CD2+CE2=12x2+12（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，∵根据二次函数的最值，∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．故答案为：2．【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK 的最小值为．【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PK+QK的最小值，然后求解即可．【解答】解：如图，∵AB=2，∠A=120°，∴点P′到CD的距离为2×33∴PK+QK3故答案为：3．【题后思考】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围是．【分析】首先连接AC，DP．由正方形ABCD的边长为1，即可得：S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP+S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，继而可得12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，又由1≤AP≤2，即可求得答案．【解答】解：连接AC，DP．∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1，∴AB=CD，S正方形ABCD=1，∵S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP+S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，∴S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，∴12AP•BB′+12AP•CC′+12AP•DD′=12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，则BB′+CC′+DD′=2 AP，∵1≤AP≤2，∴当P当P与C重合时，有最小值2．∴2≤BB′+CC′+DD′≤2．故答案为：2≤BB′+CC′+DD′≤2．【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是连接AC，DP，根据题意得到S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，继而得到BB′+CC′+DD′=2 AP．10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A 和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可．【解答】解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD是等边三角形，∴BD=AB=AD=3，∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，∴PE=1，DF=2，∴PE+PF的最小值是3．故答案为：3．【题后思考】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键．。

初中数学典型例题100道(二）选择填空题150道一．选择题：7,如图,直线，点A1坐标为（1，0),过点A1作x的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心,OB1长为半径画弧交x轴于点A2;再过点A2x的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去,点A5的坐标为（，）．8，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2．若将此直角三角形的一条直角边BC或AC与x轴重合，使点A或点B刚好在反比例函数（x＞0)的图象上时，设△ABC在第一象限部分的面积分别记做S1、S2（如图1、图2所示）D是斜边与y轴的交点,通过计算比较S1、S2的大小．9，若不论k为何值，直线y=k（x﹣1)﹣与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个公共点，求a、b、c 的值.10，如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．①b2＞4ac；②4a﹣2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若（﹣2，y1）,（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．上述4个判断中，正确的是(）A．①②B．①④C．①③④ D．②③④二，解答题4，如图，在平面直角坐标系中，将直线y=kx沿y轴向下平移3个单位长度后恰好经过B(﹣3,0）及y轴上的C点．若抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧）,且经过点C，其对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F．（1）求直线BC及抛物线的解析式;（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，若∠APD=∠ACB，求点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点M,使得直线CM把四边形EFOC分成面积相等的两部分？若存在,请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．5，如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（A点在B点左侧），顶点为D．（1)求抛物线的解析式及点A、B的坐标；（2)将△ABC沿直线BC对折,点A的对称点为A′，试求A′的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠BPC=∠BAC？若存在,求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6,平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（﹣3，0），(0，3），对称轴直线x=﹣1交x轴于点E，点D为顶点．（1）求抛物线的解析式；(2）点P是直线AC下方的抛物线上一点，且S△PAC=2S△DAC，求点P的坐标；（3)点M是第一象限内抛物线上一点,且∠MAC=∠ADE，求点M的坐标．。

典型例题一例01． 下列几组几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形，完全正确的一组是（ ）．A ．正方形、菱形、矩形、平行四边形B ．正三角形、正方形、菱形、矩形C ．正方形、矩形、菱形D ．平行四边形、正方形、等腰三角形 分析 A 中平行四边形不是轴对称图形，B 中正三角形不是中心对称图形，D 中平行四 边形不是轴对称图形．正选C ．解答 本题主要考查轴对称和中心对称图形的判定，易错点是弄错图形的对称性，解题关键是要熟悉所学过的图形的对称性．典型例题二例02．如图，已知：四边形ABCD 关于O 点成中心对称图形. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.分析：因为四边形ABCD 是中心对称图形，所以A 点与C 点，B 点与D 点是对称点. 所以线段AC 过O 点，线段BD 也过O 点，且两条线段都被O 点平分，故四边形ABCD 是平行四边形.证明：连结AC 、BD .∵ 四边形ABCD 关于O 点成中心对称图形，∴ O 点在AC 上，也在BD 上，并且OD OB OC OA ==,∴ 四边形ABCD 是平行四边形.说明：要应用轴对称或中心对称解决问题，应该判断清楚图形的对称的特点，找到对称点.典型例题三例03．如图，已知：矩形ABCD 和D C B A '''关于点A 对称. 求证：四边形D B BD ''是菱形.分析：根据题意知点B 与B '关于点A 对称，点D 和点D '关于点A 对称，又四边形ABCD 和D C B A '''是矩形，由中心对称的性质及矩形的性质即可证明.证明：∵矩形ABCD 和D C B A '''关于点A 成中心对称图形.∴ D A AD '=，B A AB '=（关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分）.∴ 四边形D B BD ''是平行四边形.又∵四边形ABCD 是矩形，∴︒=∠90DAB ∴四边形D B BD ''是菱形.典型例题四例04．（西安市，2000）已知：如图，AD 是ABC ∆中A ∠的平分线，AC DE //交AB 于E ，AB DF //交AC 于F .求证：点E ，F 关于直线AD 对称.证明：∵AE DF AF DE //,//，∴四边形AEDF 是平行四边形.∵DAF DAE ∠=∠，EDA DAF ∠=∠， ∴EDA DAE ∠=∠. ∴ED AE = ∴AEDF 是菱形.∴点E ，F 关于直线AD 对称. 说明 证明菱形是关键典型例题五例05．（南昌市，1999）按要求画一个图形：所画图形中同时要有正方形和圆，并且这个图形既是中心对称图形又是轴对称图形.分析 这是一道具有开放特色的考题，题中给定的两个图形都既是轴对称图形，也是中心对称图形，故按要求画出的图形只要让两个图形的对称中心重合即可．这样的图形观出很多．解答 具体作法是：先作出正方形，连结对角线找出对角线交点，再以对角线交点为圆心，以任意长为半径画图，所得图形都满足题设要求．举例如下：说明 本题考查轴对称图形和中心对称图形的应用，解题关键是要探索出两个图形的对称中心重合．选择题1．（四川省，2000）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．角B ．等边三角形C ．线段D ．平行四边形 2．下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形 3．已知下列命题：（1）关于中心对称的两个图形一个不全等；（2）关于中心对称的两个图形是全等的图形；（3）两个全等的图形一定关于中心对称，其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．在平面上一个菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，那么旋转角度至少是（ ）A ．︒180B ．︒90C ．︒270D ．︒3605．下列命题：（1）如果ABC ∆与C B A '''∆关于中心对称，则C B A ABC '''∆≅∆；（2）如果C B A ABC '''∆≅∆，则ABC ∆与C B A '''∆关于中心对称；（3）相交的两条直线是中心对称图形；（4）等边三角形是中心对称图形；（5）菱形是中心对称图形. 其中正确的命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．（威海市，2001；北京市东城区，2002）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．①②③④B ．①②③C ．①③D ．③ 7．下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）． A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形8．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）．A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．平行四边形D ．矩形9．下列说法中正确的是（）．A ．矩形的每一条对角线都是矩形的对称轴B ．平行四边形对角线的交点是平行四边形的对称中心C ．菱形是轴对称图形，但不是中心对称图形D ．中心对称图形就是中心对称参考答案：1．C 2．A 3．B 4. A 5．C 6．D 7．A 8．D 9．B填空题1．在平行四边形，菱形，等边三角形中，轴对称图形有_____种，中心对称图形有______种.2．既是中心对称图形，又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是_______. 3．关于中心对称的两个图形，对应线段_______. 4．（徐州市，2000）在下面四个图形中，图形①与图形_______成轴对称；图形①与图形________成中心对称（填写符合要求的图形所对应的序号）参考答案： 1．3，32．矩形或菱形 3．平行且相等 4．④，③解答题1．如图，已知线段AB 及AB 外一点P ，求作线段B A ''，使B A ''与AB 关于点P 对称.2．如图，已知ABC ∆及点P ，求作C B A '''∆，使C B A '''∆与ABC ∆关于点P 对称.3．如图，已知ABC ∆及其内部一点O ，求作C B A '''∆，使C B A '''∆与ABC ∆关于点O 对称.4．如图，已知：矩形ABCD 和矩形D C B A '''关于A 点对称. 求证：四边形D B BD ''是菱形.5．已知ABCD ，作四边形D C B A ''''，使它与已知平行四边形关于顶点A 对称，并证明四边形C B BC ''是平行四边形.6．如图，四边形ABCD 关于O 点成中心对称图形， 求证：四边形ABCD 是平行四边形.7．（山西省，2000）如图，矩形ABCD 是篮球场地简图，请你画图找出它们的对称中心O .8．（南昌市，2001）如图，将标号为A 、B 、C 、D 的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为P 、Q 、M 、N 的四组图形. 试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系，填空：A 与______对应；B 与______对应；C 与______对应；D 与______对应.9．（遵义市，2000）如图，请画出把下列矩形的面积两等分的直线，并填空. （一个矩形只画一条直线，不写画法）在一个矩形中，把此矩形面积两等分的直线最多有______条，这些直线都必须经过该矩形______点.10．（聊城市，2000）如图，已知矩形ABCD 中，3=AB ，4=BC ，将矩形折叠使C 点与A 点重合.（1）作出折痕EF ，并写出作法（E 点在BC 边上，F 点在AD 边上）；（2）翻折后点D 落在D '上，求此时B 、D '之间的距离.11．（济南市，2001）如图是未完成的上海大众汽车的标志图案. 该图案应该是以直线l 为对称轴的轴对称图形，现已完成对称轴左边的部分，请你补全标志图案，画出对称轴右边的部分（要求用尺规作图，保留痕迹，不写作法）.12．（荆州市，2002）有一块方角形钢板如图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹，在图中直接画出）.13．（盐城市，2002）已知：如图，矩形ABCD . （1）作出点C 关于BD 所在直线的对称点C '（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）连结B C '，D C '，若BD C '∆与ABD ∆重叠部分的面积等于ABD ∆面积的32，求CBD ∠的度数.14．（福州市，2002）已知：图（1），图（2）分别是66⨯正方形网格上的两个轴对称图形（阴影部分），其面积分别为A S ，B S （网格中最小的正方形面积为一个平方单位），请观察图形并解答下列问题.（1）填空：B A S S :的值是_______；（2）请在图（3）的网格上画出一个面积为8个平方单位的中心对称图形.参考答案：1．略 2．略 3．略4．因矩形ABCD 和矩形D C B A '''关于A 点对称，∴ B A AB '=，D A DA '= ∴ 四边形D B BD ''是平行四边形. ∵ B B D D '⊥'，∴D B BD ''是菱形 5． 图略，证法同第4题. 6．证明：连结AC ，BD .∵ 四边形ABCD 关于O 点成中心对称图形，∴ O 点在AC 和BD 上，且OD OB OC OA ==,. ∴ 四边形ABCD 是平行四边形. 7．连结AC ，BD 交于O 8．M ，P ，Q ，N9．略 10．略 11．图略 12．略13．（1）略；（2）连结C B '，C D '，设C B '与AD 相交于E . 证AE BE EB ED 2,==，求得︒=∠30ABE ，∴ ︒=∠30CBD14．（1）119:=B A S S ；（2）略。

例 圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数的比是3﹕2﹕7，求四边形各内角度数． 解：设∠A 、∠B 、∠C 的度数分别为3x 、2x 、7x ．∵ABCD 是圆内接四边形．∴∠A +∠C=180°即3x+7x=180°，∴x=18°，∴∠A=3x=54°，∠B=2x=36°，∠C=7x=126°， 又∵∠B+∠D=180°，∴∠D=180°一36°＝144°．说明：①巩固性质；②方程思想的应用．例 （2001厦门市，教材P101中17题）如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，AD 与三角形ABC 的外接圆相交于D ．求证：DB=DC ．分析：要证DB=DC ，只要证∠BCD=∠CBD ，充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的性质，即可解决．证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD =∠DAC ， ∵∠EAD 为圆内接四边形ABCD 的外角，∴∠BCD=∠EAD ，又∠CBD=∠DAC ，∴∠BCD=∠CBD ，∴DB=DC ．说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁．例 如图，△ABC 是等边三角形，D 是上任一点，求证：DB+DC=DA ．分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法都可以证明．证明： 延长DB 至点E ，使BE=DC ，连AE ． 在△AEB 和△ADC 中，BE=DC ．△ABC 是等边三角形．∴AB=AC ．∵ 四边形ABDC 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ABE=∠ACD ．∴△AEB ≌△ADC ． ∴∠AEB=∠ADC=∠ABC ． ∵∠ADE=∠ACB ，又 ∵∠ABC=∠ACB ＝60°， ∴∠AEB=∠ADE=60°．∴△AED 是等边三角形，∴AD=DE=DB+BE ． ∵BE=DC ，∴DB+DC=DA ．说明：本例利用“截长”和“补短”法证明．培养学生“角相等的灵活转换”能力．在圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视．典型例题四例 如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，CD AH ⊥，如果︒=∠30HAD ，那么=∠B （ ）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°解：,90,30︒=∠︒=∠AHD HADE︒=∠∴60D ，由圆内接四边形的对角和是180°，得︒=∠120B ，故选B. 说明：“圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.”这个定理很重要，要正确运用.典型例题五例 如图，已知：⊙1O 与⊙2O 相交于点A 、B ，P 是⊙1O 上任意一点，P A 、PB 的延长线交⊙2O 于点C 、D ，⊙1O 的直径PE 的延长线交CD 于点M .求证：CD PM ⊥.分析：要证CD PM ⊥，即证︒=∠+∠90D DPM ，连结公共弦AB 及EB ，即得证.证明：连结AB 、EB ，在⊙中，PEB PAB ∠=∠.∵ABCD 为⊙2O 的内接四边形..,D PEB D PAB ∠=∠∠=∠∴∵PE 为⊙1O 的直径..90︒=∠PBE.90.90.90︒=∠∴︒=∠+∠︒=∠+∠∴DMP D DPM PEB DPM即CD PM ⊥.说明：连接AB 就构造出圆内接四边形性质定理的基本图形.典型例题六例 如图，AD 是ABC ∆外角EAC ∠的平分线，AD 与ABC ∆外接⊙O 交于点D ，N 为BC 延长线上一点，且DN CD CN ,=交⊙O 于点M .求证：（1）DC DB =；（2）.2DN CM DC ⋅=分析：（1）由于DB 与DC 是同一三角形的两边，要证二者相等就应先证明它们的对角相等，这可由圆周角定理与圆内接四边形的基本性质得到：（2）欲证乘积式.2DN CM DC ⋅=，只须证比例式DC CM DN DC =，也即CNCMDN DC =，这只须要证明DCM ∆∽DNC ∆即可.证明 （1）连结DC.∵AD 平分EAC ∠，∴.DBC DAC EAD ∠=∠=∠ 又ABCD 内接于⊙O ， ∴.DCB EAD ∠=∠ 故.DCB DBC ∠=∠ .DC DB =∴（2）.,180180NDC CDM DCN DCB DBC DMC ∠=∠∠=∠-︒=∠-︒=∠ ∴DMC ∆∽DCN ∆，故DNCMCN CM DN DC ==. ∴.2DN CM DC ⋅=说明：本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本性质和利用相似三角形证明比例线段的基本思维方法.本题曾是1996年南昌市中考试题.典型例题七例 如图，已知四边形ABCD 是圆内接四边形，EB 是⊙O 的直径，且AD EB ⊥，AD 与BC 的延长线相交于.F 求证：DCBCFD AB =. 证明 连结AC .∵ EB AD ⊥.∴.∴ DAB ACB ∠=∠.∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形，∴ .,ABC FDC DAB FCD ∠=∠∠=∠∴ FCD ACB ∠=∠. ∴ ABC ∆∽FDC ∆.∴DCBCFD AB =. 说明：本题考查圆内接四边形性质的应用，解题关键是辅助线构造ABC ∆，再证ABC ∆∽FDC ∆.易错点是不易想到证ACB FCD ∠=∠而使解题陷入困境或出现错误.典型例题八例 如图，已知四边形ABCD 内接于半圆O ，AB 是直径，DC AD =，分别延长BA ，CD 交于点E ，EC BF ⊥，交EC 的延长线于F ，若12,==BC AO EA ，求CF 的长.解 连结OD ，BD .∵DC AD =，的度数AOD ∠=.∴.//BC OD∴EBEOBC OD =. .24,16.8.3212,12,==∴=∴=∴===EB AB OD OD BC BO AO EAABCD 内接于⊙O ，∴.EBC EDA ∠=∠又 E ∠公用，∴EDA ∆∽EBC ∆. ∴EBEDEC EA BC AD ==. 设y ED x DC AD ===,，则有yx y x +==82412. ∴24=x . ∴24=AD .AB 为⊙O 的直径，∴.90︒=∠=∠F ADB 又.FCB DAB ∠=∠ ∴Rt ADB ∆∽Rt .CFB ∆∴.BCABCF AD =即.121624=CF ∴.23=CF 说明 本题主要考查圆内接四边形的性质，解题关键是作出辅助线.典型例题九例 （海南省，2000） 如图，AB 是⊙O 的直径，弦（非直径）AB CD ⊥，P 是⊙O 上不同于D C ,的任一点.（1）当点P 在劣弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论；（2）当点P 在优弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论（不要讨论P 点与A 点重合的情形）分析：利用在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理来解决.解 ∵弦AB CD ⊥，AB 是直径，∴∴（1）.APD APC ∠=∠（2）.180︒=∠+∠APD APC（如图中虚线所示）.选择题1．在圆的内接四边形ABCD 中，A ∠和它的对角C ∠的度数的比为1：2，那么A ∠为（ ）A ．30°B ．60°C ．90° C ．120°2．四边形ABCD 内接于圆，A ∠、B ∠、C ∠、D ∠的度数依次可以是（ ）A ．1：2：3：4B ．6：7：8：9C ．4：1：3：2D ．14：3：1：12 3.四边形ABCD 内接于圆，A ∠、B ∠、C ∠、D ∠的度数比依次可以是（） A ．4:3:2:1 B ．1:3:2:4 C ．2:1:3:4 D ．2:3:1:44.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，︒=∠110BOD ，那么BCD ∠的度数为（）A ．︒125B ．︒110C ．︒55D ．︒705. 如图，⊙1O 与⊙2O 交于A 、B 两点，且⊙2O 过⊙1O 的圆心1O ，若︒=∠40M ，则N ∠等于（）A ．︒40B ．︒80C ．︒100D ．︒70 6. 圆内接平行四边形一定是（ ）（A ）矩形 （B ）正方形 （C ）菱形 （D ）梯形 7．已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，则四边形ADBC 一定是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形8、四边形ABCD 内接于圆，则∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数比可以是 ( ) （A ）1﹕2﹕3﹕4 （B ）7﹕5﹕10﹕8 （C ）13﹕1﹕5﹕17 （D ）1﹕3﹕2﹕49、若ABCD 为圆内接四边形，AE ⊥CD 于E ，∠ABC=130°，则∠DAE 为（ ） （A ）50° （B ）40° （C ）30° （D ）20° 10、如图，圆内接四边形ABCD 的一组对边AD 、BC 的延长线相交于P ，对角线AC 和BD 相交于点Q ，则图中共有相似的三角形 ( )（A ）4对 （B ）3对 （C ）2对 （D ）1对11．如图，在ABC ∆，AD 是高，ABC ∆的外接圆直径AE 交BC 边于点G ，有下列四个结论：（1）CD BD AD ⋅=2；（2）AE EG BE ⋅=2；（3）AC AB AD AE ⋅=⋅；（4）CG BG EG AG ⋅=⋅.其中正确的结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 12．已知：如图，劣弧，那么D B ∠+∠的度数是（ ）A ．320°B ．160°C ．150°D ．200° 13．钝角三角形的外心在（ ）A ．三角形内B ．三角形外C ．三角形的边上D ．上述三种情况都有可能 14．圆内接平行四边形的对角线（ ）A ．互相垂直B ．互相垂直平分C ．相等D ．相等且平分每组对角 15．如图，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且3,7,5====BE AC CD AB ，下列命题错误的是（ ）A ．DCE ABE ∆≅∆B ．︒=∠45BDAC ．5.24=ABCD S 四边形 D ．图中全等的三角形共有2对答案：1．B 2．D 3.C 4. A 5. D 6、A ；7．A 8、C ； 9、B ； 10、A. 11．B 12．B 13．B 14．D 15．D.填空题1. 已知ABCD 是圆内接四边形，若∠A 与∠C 的度数之比是1﹕2，则∠A 的度数是 度．2. 若A ，B ，C ，D 四点共圆，且∠ACD 为36°，则所对的圆心角的度数是 度．3. 圆内接四边形相邻三个内角的比是2﹕1﹕7，则这个四边形的最大角的度数为 度．4. 圆上四点A 、B 、C 、D ，分圆周为四段弧，且=4:3:2:1，则圆内接四边形ABCD 的最大角是_________5. 圆内接四边形ABCD 中，若EBC ∠是ABC ∠相邻的一个外角，且︒=∠105EBC ，︒=∠93C ，则_____=∠D ，______=∠A ，若3:2:1::=∠∠∠C B A ，则_____=∠D ，______=∠A6. 四边形ABCD 内接于圆，A ∠、C ∠的度数之比是4:5，B ∠比D ∠大︒30，则______=∠A ，______=∠D7. 圆内接梯形是________梯形，圆内接平行四边形是_________8．圆内接四边形ABCD 中，如果4:3:2::=∠∠∠C B A ，那么______=∠D 度. 9．在圆内接四边形ABCD 中，5:3:4::=∠∠∠C B A ，则______=∠D .10．如图，在圆内接四边形ABCD 中，α=︒=∠=AC BAD AD AB ,30,，则四边形ABCD 的面积为________.11．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在的中点A '，若5=BC ，则折痕在ABC ∆内的部分DE 长为_______.答案：1. 60°；2. 72°；3.160°;4. ︒1265. ︒105，︒87，︒90，︒45;6. ︒100，︒757. 等腰，矩形.8．90 9．120° 10．243a 11．310.判断题1. 顶点在圆上的角叫做圆周角；（）2. 相等的圆周角所对的弧相等；（）3. 直角所对的弦是直径；（）4. 在圆中，同一弦上的两个圆周角相等或互补；（）5. 弓形含的圆周角为︒120，则弓形弧也为︒120；（）6. 四边形的对角互补.（） 答案:1. ×2. ×3. ×4. √5. ×6. ×.解答题1、如图，已知：ABCD 为圆内接四边形，（1）若DB ∥CE ，求证：AD ﹕BC=CD ﹕BE ；（2）若AD ﹕BC=CD ﹕BE ，求证：DB ∥CE ．2、已知：⊙O 中，直径AB 垂直弦CD 于H ，E 是CD 延长线上一点，AE 交⊙O 于F ．求证：∠AFC=∠DFE ． 3．如图，已知四边形ABCD 内接于圆，DC 、AB 的延长线相交于E ，且D B A C B E ∠=∠，求证：BD EC BE AD ⋅=⋅4．如图，点A 、D 在⊙O 上，以点A 为圆心的⊙A 交⊙O 于B 、C 两点，AD 交⊙A 于点E ，交BC 于点F ，求证：AD AF AE ⋅=25．已知圆内接四边形，ABCD 中，4:5:2::=∠∠∠C B A ，求最小的角。

中考数学典型例题集锦例题1（考查分解因式）先化简再求值:,121232---++x x x x x 其中.23-=x练习①._________________96223=-+-y x xy y 练习②._______________3=-ab b a练习③()().________________24222=+-+b a b a练习④.______________________1164=-x练习③先化简再求值:,41221122-++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x 其中.12-=x例题2（考查二次根式） 使式子x211-有意义的x 的范围._______ 解析:考虑全面※二次根式的被开方数021≥-x※x 21-在分母上不能为.0 练习①计算._______2154=⋅练习②下列二次根式中,最简二次根式是（ ）x A 12. 9.-x B bba C +. y x D 25.练习③在二次根式03.0,3.04331，，，中,属于同类二次根式的是.___________________ 练习④若,2<a 则().________22=-a例题3（考查科学计数法） 数据._____________14000000=练习①数据._____________4100000= 练习②数据.___________9600000= 练习③数据.___________00063.0= 练习④02.455亿元____________=元 练习⑤3553万._______________= 练习⑥.____________000000017.0= 例题4（计算）计算:2212145sin 1-⎪⎭⎫⎝⎛-+--︒解:原式()221121221⎪⎭⎫⎝⎛-+-+=542122=+-+=练习①13221081252-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--- 练习②()︒----+⎪⎭⎫ ⎝⎛--30cos 22320192102π练习③()27160sin 1312121+-︒-++⎪⎭⎫⎝⎛-例题5（考查解分式方程）解方程:131332=-+-xx x练习①解方程:26513123-=--x x练习②解方程:131332=---x x x练习③()()21311+-=--x x x x例题5（一次与反比例综合中的分类讨论思想）如图,反比例函数xmy =的图象与一次函数b kx y +=的图象交于()()1,,6,2n B A 两点.(1) 求反比例函数和一次函数的表达式;(2) E 为y 轴上的一个动点,若,5=∆AEB S 求E 点; (3) 在y 轴上是否存在点,T 使ABT ∆为等腰三角形?若存在,请直接写出所有点T的坐标.练习①在平面直角坐标系xOy 中,一次函数b ax y +=的图象过点(),0,2-A 且与反比例函数()0>=x xky 的图象交于点().3,1B (1) 求反比例和一次函数的解析式;(2) 设P 是反比例函数()0>=x x ky 图象上一点,过点P 作y PD ⊥轴交直线AB 于点,D 若D P O A ,,,为顶点的四边形为平行四边形,求点D 的坐标.练习②在平面直角坐标系xOy 中,直线()0≠+=k b kx y 与双曲线x y 8=的一个交点为(),,2m P 与x 轴,y 轴分别交于点.,B A(3) 求m 的值;(4) 若,2AB PA =求k 的值.例题7（一场与师傅或徒弟的较量）如图,海中有一灯塔,P 它的周围8海里有暗礁.海轮以18海里/小时的速度由西向东航行,在A 处测得灯塔P 在北偏东︒58方向上;航行40分钟到达B 处,测得灯塔P 在北偏东︒26方向上.(1) 求灯塔P 到点B 的距离;(2) 如果海轮不改变航线由B 继续向东航行,你认为海轮是否存在触礁的危险?例题8（飞机滑行问题）飞机着陆后滑行的距离y （单位:m ）关于滑行时间t （单位:s ）的函数解析式是.23602t t y -=(1) 飞机滑行时间是;_______s (2) 飞机最远滑行;________m(3) 飞机最后4s 滑行的距离是.________m练习①汽车刹车后行驶的距离s （单位:m ）关于行驶的时间t （单位:s ）的函数解析式是.6152t t s -= (1) 汽车刹车后到停下来前进了;________m (2) 汽车最后s 5.0滑行的距离是.________m例题9（考查反比例函数k 的几何意义）如图,点,A B 分别是反比例函数()110ky x x=>和()220ky x x =>图象上的两点,AB x ⊥轴于点C ,已知OAB ∆的面积是3,则21______.k k -=练习❶如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,面积为3的等边三角形ABO 的顶点A 位于反比例函数ky x=的图象上,则_____.k =练习❷如图,点A 为反比例函数()80y x x =>图象上一点,连接OA ,交反比例函数()20y x x=>的图象于一点,B 点C 是x 轴上一点,且,AO AC =则_______.ABC S ∆=练习❸如图,点()2,0,A -点()0,1,B 以线段AB 为边在第二象限作矩形,ABCD 双曲线ky x=过点,D 连接,BD 若四边形OADB 的面积为6,则______.k =练习❹如图,直线y mx =与双曲线ky x=交于,A B 两点,过点A 作AM x ⊥轴于点,M 连接,BM 若2,ABM S ∆=则______.k =例题10（条件概率）动物学家通过大量的调查估计:某种动物活到20岁的概率为，8.0活到25岁的概率为5.0,活到30岁的概率为.3.0(1) 现年20岁的这种动物活到25岁的概率为___; (2) 现年25岁的这种动物活到30岁的概率为.___例题11（考查扇形弧长与面积及圆锥侧面积） 如图,以点A 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 与小圆相切于点,P 若123, 6.AB OP == (1) 劣弧AB 的长为________; (2) 阴影部分的面积为________.练习❶如图,AC 是O 的直径,点B 在圆周上(不与,A C 重合),点D 在AC 的延长线上,连接BD 交O 于点,E 若367.5,AOB ADB ∠=∠=︒2,AC =则阴影部分的面积为_______.练习❷如图,半圆O 的直径4,AB =弦//,CD AB 且OC ⊥,OD 则阴影部分的面积为_________. 练习❸如图,四边形OABC 为菱形,点,A B 在以点O 为圆心的弧DE 上,若3,12,AO =∠=∠则扇形ODE 的面积为________.练习④一个底面直径是,cm 80母线长为cm 90的圆锥的侧面展开图的角的度数为._______练习⑤一个圆锥的侧面积为，π8母线长为，4则这个圆锥的全面积为.________练习⑥如图是某几何体的三视图,根据图中数据,求得该几何体的表面积为.________例题12（考查利润及利润率计算公式）00==100⨯利润利润售价-进价，利润率进价某超市销售一种进价为21元的商品,按标价的九折出售,可获利0020,则该商品标价为______元. 练习❶某商品的标价为220元,按九折出售,获利0010,则这种商品的进价为______元.例题13（设计运算之整体思想）若关于,x y 的二元一次方程组22324x y mx y +=-⎧⎨+=⎩的解满足3,2x y +>-求满足条件的m 的所有正整数值.练习❶已知2230,x x --=则236x x -的值为____. 练习❷若实数,a b 满足()()444428a b a b ++--的值为0,则_______.a b +=练习③已知,41=+x x 则.______122=+x x 练习④已知,61=-x x 则.________122=+xx练习④已知()().9,2522=-=+y x y x(1)________;=xy (2).________22=+y x例题14（利用函数图象的性质比大小）已知点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y 是函数3y x=-图象上的三点,且1230x x x <<<,则123,,y y y 的大小关系是__________（用“<”连接）练习❶已知一元二次方程230x bx +-=的一根是3,-在二次函数23y x bx =+-的图象上有三点14,,5y ⎛⎫- ⎪⎝⎭25,,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭31,,6y ⎛⎫⎪⎝⎭则123,,y y y 的大小关系是__________（用“<”连接）练习②若点()()()321,3,,3,5y y y --，都在反比例函数xy 3=的图象上,则123,,y y y 的大小关系是__________（用“<”连接）练习③在反比例函数xmy 21-=的图象上有两点()(),,,,2211y x B y x A 当210x x <<时,,21y y <则m 的取值范围是.________例题15（不等式中的分类讨论思想）关于x 的不等式1x a -≤<有三个整数解,则a 的取值范围是_____________.练习❶关于x 的不等式1x a -<≤有3个正整数解,则a 的取值范围是_____________.练习❷已知关于x 的不等式组()5231138222x x x x a +>-⎧⎪⎨≤-+⎪⎩有四个整数解,求a 的范围.练习③若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧->>+412102a x a x 的解集中的任意,x 都能使不等式02019>-x 成立,则a 的取值范围是.__________练习④已知实数a 是一个不等于2的常数,解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+--≥+-03332312x a x x ,并根据a 的取值情况写出其解集.练习⑤已知关于x 的不等式.1333->-xm mx (1) 当5=m 时,求该不等式的解集;(2) m 取何值时,该不等式有解,并求出解集.例题16（折叠问题中渗透方程思想）如图,在一张矩形纸片ABCD 中,,3=AB 点N M ,分别是CD AB ,的中点,现将这张纸片折叠,使点D 落到MN 上的点G 处,折痕为,CH 若HG 的延长线恰好过点,B 则._______=AD练习①在矩形ABCD 中,点F E ,分别是边DC BC ,上的动点,以直线EF 为对称轴折叠CEF ∆,使点C 的对称点P 落在AD 上,若,5,3==BC AB 则CF 的取值范围是._____________例题17（考查一元二次方程根与系数的关系的同时注意挖掘隐含条件）若关于x 的一元二次方程()22210x a a x a +-+-=的两个实数根互为相反数,则a 的值为______. 练习❶使关于x 的方程()081822=+++x a ax 有两个不相等的实数根的a 的取值范围是._________练习②已知关于x 的方程()02142=+--m x m x 有实数根,求实数m 的取值范围,并在数轴上表示出来.练习③当b a ,为方程012=--x x 的两根时,代数式()2211b a b a ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+的值为._______ 练习④试证方程()0122=++-x k kx 必有实数根.练习⑤已知b a ,是关于x 的一元二次方程()03222=+++m x m x 的两个不相等的实数根,且满足,111-=+ba 则m 的值是._________ 练习⑥已知21,x x 是方程0522=-+x x 的两个实数根,则._______32=++-n m mn m练习⑦一元二次方程0242=+-x x 的两根为,,21x x 则2112124x x x x +-的值为._______例题18（考查增长率问题）现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展,据调查,某市某家小型快递公司,今年四月份与六月份完成投递的快递总件数分别为10万件与1.12万件,假定该公司765、、每月投递的快递总件数的增长率相同.请你预测7月份投递的快递件数?例题19（全等证明与平行四边形的性质与判定） 如图,在Rt ABC ∆中,90,ABC ∠=︒点M 是AC 的中点,以AB 为直径作O 分别交,AC BM 于点,.D E (1) 求证:AEM ∆≌;BDM ∆(2) 连接,,OD OE 请直接写出使四边形ODME 为菱形时DME ∠的度数.练习❶如图,O 是ABC ∆内一点,O 与BC 相交于G F ,两点,且与AC AB ,分别相切于点.//,,BC DE E D 连接.,EG DF(1) 求证:;CE BD =(2) 已知,12,10==BC AB 请直接写出使四边形DFGE 为矩形时O 的半径.练习②如图,已知D C F A ,,,四点在同一条直线上,,//,DE AB CD AF =且.DE AB = (1) 求证:ABC ∆≌;DEF ∆(2) 若,90,4,3︒=∠==DEF DE EF 请直接写出使四边形EFBC 为菱形时AF 的长度.例题20（频率估计概率）表中记录了某种幼树在一定条件下移植成活情况.由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率是__________（精确到1.0）例题21（考查函数图象的平移法则）+左右平移:左右-(相对于自变量x 而言)上下平移:上+下-(给函数整体加减)将抛物线244y x x =--向左平移3个单位,再向上平移5个单位,得到抛物线的表达式____________练习❶把函数xky =的图象向右平移3个单位,再向下平移5个单位,所得函数的解析式为.__________ 例题22（外接圆与全覆盖）已知正ABC ∆的边长为2,那么能够完全覆盖这个正ABC ∆的最小圆面的半径是_______.练习❶已知直角三角形的两条边长分别为3和4,那么能够完全覆盖这个直角三角形的最小圆面的面积是_________.例题23（在三角函数中渗透方程思想）如图,一座山的一段斜坡BD 的长度为600米,且这段斜坡的坡度1:3.i =已知在地面B 处测得山顶A 的仰角为33,︒在斜坡D 处测得山顶A 的仰角为45,︒求山顶A 到地面BC 的高度AC 是多少米.(结果用非特殊角的三角函数与根式表示)解:过点D 作BC DH ⊥于点.H 斜坡BD 的坡度,3:1=i ∴,3:1:=BH DH ∴(),6003222=+DH DH∴.10180,1060==BH DH 设.x AE =在ADE Rt ∆中,,45︒=∠ADE ∴.x AE DE == 又,,DH EC DE HC ==∴,1060,==EC x HC 在ABC Rt ∆中, ,10180106033tan xx ++=︒∴,33tan 1106033tan 10180︒--︒=x∴106033tan 1106033tan 10180+︒--︒=+=EC AE AC︒-︒=33tan 133tan 10120∴山顶A 到地面BC 的高度为︒-︒33tan 133tan 10120米.练习❶如图,某数学活动小组选定测量古树BC 的高度,他们在斜坡上D 处测得古树顶端B 的仰角是30,︒朝古树方向下坡走6米到达坡底A 处,在A 处测得古树顶端B 的仰角是48,︒若斜坡AD 的坡比为1:3,i =求古树的高度.(结果用非特殊角的三角函数与根式表示)练习❷如图,建筑物AB 高为6,m 在其正东方向有一个通信塔,CD 在它们之间的地面点M 处测得建筑物顶端A 、塔顶C 的仰角分别为33︒和60,︒在A 处测得塔顶C 的仰角为30,︒求通信塔CD 的高度.（结果用非特殊角的三角函数和根式表示）例题24（在坐标系中考查对称） 关于x 轴对称,x 不变,y 互为相反数 关于y 轴对称,y 不变,x 互为相反数 关于坐标原点中心对称,均互为相反数例题25（数据的波动程度、方差2s 的计算）()()()nx x x x x x s n222212-++-+-=越大越大,越小越小.例题26（考查正多边形与圆）半径为r 的圆内接正三角形的面积是._________ 练习①已知⊙O 的周长为，π2其内接正方形的面积为________.练习②同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为.__________练习③正三角形的外接圆与内切圆的面积比为___________.练习④正六边形的内切圆与外接圆的半径之比为___________.解题思维:构造基本图形 例题27（考查位似）外位似 内位似如图,正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似图形, 点()1,1,F 点()4,2,C 则这两个正方形的位似中心的 坐标为__________________.练习①如图,直线113y x =+与x 轴交于点,A 与y 轴交于点,B 四边形BOCD 与四边形''''B O C D 是以点A 为位似中心的位似图形,且相似比为1:3,则点B 的对应点'B 的坐标为_____________.练习②在平面直角坐标系中,点()n m P ,是ABC ∆的边AB 上的一点,以原点O 为位似中心把ABC ∆放大到原来的两倍,则点P 的对应点的坐标为._____________例题28（无图题中考查分类讨论思想）在ABC ∆中,,5,34==AC AB 若BC 边上的高等于，3则.___________=BC 练习①等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，︒36则该等腰三角形的底角的度数为.__________ 练习②如果等腰三角形两边长是cm 6和,3cm 那么它的面积为.__________练习③在正方形ABCD 中,以AD 为边作正三角形,ADE 则AEB ∠的度数为._________练习④矩形ABCD 中,,8,6==BC AB 点P 在矩形ABCD 的内部,点E 在边BC 上,满足P B E ∆∽DBC ∆,若APD ∆是等腰三角形,则.________=PE 例题29（由三视图还原几何体）下面是几个一样的小正方体摆出的立体图形的左视图和俯视图:(1) 小正方体的个数至少为_______个;(2) 小正方体的个数至多为_______个.练习①下面是几个一样的小正方体摆出的立体图形的主视图和左视图:(1) 小正方体的个数至少为_______个;(2) 小正方体的个数至多为_______个.例题30（圆与相似）如图,AB 为⊙O 的直径,点E 在⊙O 上,EAB ∠的平分线交⊙O 于点,C 过点C 作AE 的垂线,垂足为,D 直线DC 与AB 的延长线交于点.P(1) 求证:PC 是⊙O 的切线;(2) 若,6,43tan ==∠AD P 求线段AE 的长.练习①如图,PA 与⊙O 相切于点,A 过点A 作,OP AB ⊥垂足为,C 交⊙O 于点.B 连接,,AO PB 并延长,AO 交⊙O 于点,D 与PB 的延长线交于点.E (1) 求证:PB 是⊙O 的切线;(2) 若⊙O 的半径为，5,3=OC 求E cos 的值.练习②如图,已知,AC BC ⊥圆心O 在AC 上,点M 与点C 分别是AC 与⊙O 的交点,点D 是MB 与⊙O 的交点,点P 是AD 的延长线与BC 的交点,且.AOAMAP AD = (1) 求证:PD 是⊙O 的切线;(2) 若,12,==AD MC AM 求⊙O 的半径; (3) 在(2)的条件下,求MDBP的值.例题31（数与式同概率的结合）在2,1,2,4--四个数中,随机抽取两个数作为函数12++=bx ax y 中b a ,的值,则该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率为._________练习①从3,1,21,1,3---这五个数中,随机抽取一个数,记为，a 则数a 使关于x 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+037231a x x 无解,且使分式方程1323-=----x a x x 有整数解的概率为._________练习②从2,1,0,1,2--这五个数中,随机抽取一个数记为,a 则数a 使关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-a x x 21221612有解,且使关于x 的一元一次方程32123ax a x +=+-的解为负数的概率为.__________例题32（动态问题中的多解※难） 如图,正方形A B CD 的边长是，16点E 在边AB 上,,3=AE 点F 是边BC 上不与点C B 、重合的一个动点,把EBF ∆沿EF 折叠,点B 落在'B 处.若'CDB ∆恰为等腰三角形,则'DB 的长为._________练习①如图,在矩形ABCD 中,,4,3==BC AB 点E 是BC 边上的一点,连接,AE 把B ∠沿AE 折叠,使点B 落在'B 处,当'CEB ∆为直角三角形时.BE 的长为.____________ 例题33（选择题中的代入法,体现“小题小做”） 已知二次函数()12+-=h x y ,在自变量x 满足31≤≤x 的情况下,与其对应的函数值y 的最小值为，5则h 的值为（ ）51.-或A 51.或-B 31.-或C 31.或D 练习①已知二次函数(),2h x y --=当自变量x 的值满足52≤≤x 时,与其对应的函数值y 的最大值为,1-则h 的值为（ ）63.或A 61.或B 31.或C 64.或D 练习②当1+≤≤a x a 时,函数122+-=x x y 的最小值为，1则a 的值为（ ）1.-A2.B 20.或C 21.或-D练习③方程x xx 41102-=+-的正数根的取值范围是（ ）10.<<x A 21.<<x B 32.<<x C 43.<<x D 练习④估计方程0123=-+x x 的实根所在的范围.410.<<x A 3141.<<x B 2131.<<x C 121.<<x D例题34（单循环与双循环）要组织一次拔河比赛,参赛的每两个班都要比赛一场,共比赛了28场,设参赛的班级数为,x 根据题意可列方程为.________________练习①参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛,共要比赛90场,则有_____个球队参赛. 练习②正十边形的对角线条数为._______例题35（函数、方程、不等式）直线1:+=kx y l 与抛物线x x y 42-=的交点个数为._________练习①直线4+-=x y 与双曲线()04>=x xy 的交点个数为.__________练习②已知二次函数1412-+-=m x x y 的图象与x轴有交点,则m 的取值范围是.___________练习③如图,反比例函数()0ky x x=<与一次函数4y x =+的图象交于A B 、两点,且A B 、两点的横坐标分别为31--、，则关于x 的不等式()400kx x x--<<的解集为________________.练习④如图,正比例函数11y k x =的图象与反比例函数22k y x=的图象相交于,A B 两点,其中点B 的横坐标为5,当12y y <时,自变量x 的取值范围是_________________.练习⑤给出函数xy x y x y 1,,2===的图象:(1) 若,12a a a>>则a 的范围为._______________ (2) 若,12a a a >>则a 的范围为._______________(3) 若,12a aa >>则a 的范围为._______________例题36（不等式中渗透分类讨论思想）已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧-≤-≥a x a x 5153无解,化简:._________31=--+a a练习①已知关于y 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+021232a y yy 的解集为,2-<y 则a 的取值范围为.___________ 练习②若数a 使关于x 的不等式组()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤--≤-x a x x x 132121131有且仅有三个整数解,且使关于y 方程121223=-++-ya y y 有整数解,则满足条件的a 的取值范围是.___________________练习③已知,2≠m 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+-->+-0323312x m x ,并根据m 的取值情况写出其解集.例题37（︒45与正方形）如图,正方形ABCD 中,F E ,分别是边CD BC ,上的动点,,45︒=∠EAF 给出下列结论:(1) ;AE AD =(2) ();222DF BE CF CE +=+(3) .ADF ABE AEF S S S ∆∆∆+=练习①如图,点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点,把ADE ∆绕点A 顺时针旋转︒90到ABF ∆的位置,若四边形AECF 的面积为,2,25=DE 则.______=AE 练习②边长为4的正方形ABCD 中,P 是BC 边上的一动点（不与C B ,重合）.将ABP ∆沿直线AP 翻折,点B 落在点E 处;在CD 上有一点,M 使得将CMP ∆沿直线MP 翻折后,点C 落在直线PE 上的点F 处,直线PE 交CD 于点,N 连接.,NA MA 则下列结论中正确的有___________（填序号） ①;45︒=∠NAP ②ABP ∆≌ADN ∆时,;424-=BP ③四边形AMCB 的面积的最大值为;10④当P 为BC 的中点时,AE 垂直平分.NP例题38（动中有静取特值）如图,已知点E 是矩形ABCD 的对角线AC 上的一动点,正方形EFGH 的顶点H G ,都在边AD 上,若,4,3==BC AB 则AFE ∠tan 的值为._______例题39（能用函数性质解决一些问题）若,9=ab 13-≤≤-b ,则a 的范围是.___________ 练习①若,2-=+b a 且,2b a ≥则ba的最大值为._________练习②已知,022,22=+-≥am m a ,0222=+-an n 则()()2211-+-n m 的最小值为._______例题40（考查配方法）将二次函数142+-=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式为.________________练习①将二次函数322-+-=x x y 化成顶点式为.________________练习②用配方法和公式法两种方法解下列方程.0462=++x x x x 3122=+例题41（三角函数助你破解压轴）如图,抛物线432322--=x x y 与x 轴交于B A ,两点,与y 轴交于点.C (1) 求点C B A ,,的坐标;(2) 点P 从点A 出发,在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向B 点运动,同时,点Q 从B 点出发,在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.设运动时间为t 秒,求运动时间t 为多少秒时,PBQ ∆的面积S 最大,并求出其最大面积; (3) 在BC 下方的抛物线上是否存在点,M 使BMC ∆得面积是25?若存在,求点M 的坐标;若不存在,请说明理由.练习①如图,抛物线c bx ax y ++=2的图象经过点()()(),4,2,0,4,0,2D B A -与y 轴交于点,C 作直线,BC 连接.,CD AC(1) 求抛物线的函数表达式;(2) E 是抛物线上的点,求满足ACO ECD ∠=∠的点E 的坐标.(3) 若点P 为第一象限内抛物线上一点,求出使得PBC ∆的面积达到最大时的P 点坐标.。

初中数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．几何最值问题中的基本模型举例然后作其中一个定点关于定直线的对称点关于定直线的对称点折叠最值图形B'NMCAB原理两点之间线段最短特征在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．转化转化成求AB'B'NNC的最小值1．如图：点、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，O32N的周长的最小值为．【分析】作，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△222N 周长最小的条件是解题的关键．2．如图，当四边形123k b k b =+⎧⎨-=+⎩74747474=4，点B到直线的距离BN =1，且MN =4，D PB′N MA的值然后根据勾股定理求得，利用勾股定理求出AB ′=5∴|45 ON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在458边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，∵∠MON=90°，AB=2AB=1，∴OE=AE=12∵BC=1，四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=1，∴DE=2，根据三角形的三边关系，OD＜OEDE，∴当OD过点E是最大，最大值为21．故答案为：21．【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是．【分析】设AC=，BC=4﹣，根据等腰直角三角形性质，得出CD2，CD2（4﹣），根据勾股定理然后用配方法即可求解．【解答】解：设AC=，BC=4﹣，∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，∴CD=22，CD′=22（4﹣），∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，∴∠DCE=90°，∴DE2=CD2CE2=12212（4﹣）2=2﹣48=（﹣2）24，∵根据二次函数的最值，∴当取2时，DE取最小值，最小值为：4．故答案为：2．【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PKQK的最小值为．【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PKQK的最小值，然后求解即可．【解答】解：如图，∵AB=2，∠A=120°，=3，∴点P′到CD的距离为2×32∴PKQK的最小值为3．故答案为：3．【题后思考】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′CC′DD′的取值范围是．【分析】首先连接AC，DP．由正方形ABCD的边长为1，即可得：S△ADP=12S正方形ABCD =12，S△ABP S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，继而可得12AP•（BB′CC′DD′）=1，又由1≤AP【解答】解：连接AC，DP．∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1，∴AB=CD，S正方形ABCD=1，∵S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，∴S△ADP S△ABP S△ACP=1，∴12AP•BB′12AP•CC′12AP•DD′=12AP•（BB′CC′DD′）=1，则BB′CC′DD′=2AP，∵1≤AP∴当P与B重合时，有最大值2；当P与C重合时，有最小值BB′CC′DD′≤2．BB′CC′DD′≤2．【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是连接AC，DP，根据题意得到S△ADP S△ABP S△ACP=1，继而得．到BB′CC′DD′=2AP10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PEPF的最小值是．【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PEPF的最小值，进而求出即可．【解答】解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PEPF最小，连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD是等边三角形，∴BD=AB=AD=3，∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，∴PE=1，DF=2，∴PEPF的最小值是3．故答案为：3．【题后思考】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键．。

完整)初中数学《几何最值问题》典型例题初中数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的通常思路解决几何最值问题的理论依据是：两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）。

根据不同特征转化是解决最值问题的关键。

通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段。

几何最值问题中的基本模型举例：1.三角形三边关系在三角形ABC中，M，N分别是边AB，BC上的动点，求AM+BN的最小值。

解析：先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点。

2.图形对称在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△XXX沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值。

解析：转化成求AB'+B'N+NC的最小值。

二、典型题型1.如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△XXX的周长的最小值为．解析：作P关于OA，OB的对称点C，D，连接OC，OD。

则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长。

根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解。

解答：作P关于OA，OB的对称点C，D，连接OC，OD。

则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△XXX的周长最短，最短的值是CD的长。

PC关于OA对称，∴∠COP=2∠AOP，OC=OP。

同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD。

COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD。

COD是等腰直角三角形。

则CD=2OC=2×32=64.分析】首先，把题目中的图形画出来，理清楚纸片折叠后的几何关系。

然后，可以利用勾股定理求出三角形的边长，再根据两点之间线段最短的原理，确定点A′在BC边上可移动的最大距离。

例 圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数的比是3﹕2﹕7，求四边形各内角度数． 解：设∠A 、∠B 、∠C 的度数分别为3x 、2x 、7x ．∵ABCD 是圆内接四边形．∴∠A +∠C=180°即3x+7x=180°，∴x=18°，∴∠A=3x=54°，∠B=2x=36°，∠C=7x=126°， 又∵∠B+∠D=180°，∴∠D=180°一36°＝144°．说明：①巩固性质；②方程思想的应用．例 （2001厦门市，教材P101中17题）如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，AD 与三角形ABC 的外接圆相交于D ．求证：DB=DC ．分析：要证DB=DC ，只要证∠BCD=∠CBD ，充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的性质，即可解决．证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD =∠DAC ， ∵∠EAD 为圆内接四边形ABCD 的外角，∴∠BCD=∠EAD ，又∠CBD=∠DAC ，∴∠BCD=∠CBD ，∴DB=DC ．说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁．例 如图，△ABC 是等边三角形，D 是上任一点，求证：DB+DC=DA ．分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法都可以证明．证明： 延长DB 至点E ，使BE=DC ，连AE ． 在△AEB 和△ADC 中，BE=DC ．△ABC 是等边三角形．∴AB=AC ．∵ 四边形ABDC 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ABE=∠ACD ．∴△AEB ≌△ADC ． ∴∠AEB=∠ADC=∠ABC ． ∵∠ADE=∠ACB ，又 ∵∠ABC=∠ACB ＝60°， ∴∠AEB=∠ADE=60°．∴△AED 是等边三角形，∴AD=DE=DB+BE ． ∵BE=DC ，∴DB+DC=DA ．说明：本例利用“截长”和“补短”法证明．培养学生“角相等的灵活转换”能力．在圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视．典型例题四例 如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，CD AH ⊥，如果︒=∠30HAD ，那么=∠B （ ）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°解：,90,30︒=∠︒=∠AHD HADABCD EAB C DEO︒=∠∴60D ，由圆内接四边形的对角和是180°，得︒=∠120B ，故选B. 说明：“圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.”这个定理很重要，要正确运用.典型例题五例 如图，已知：⊙1O 与⊙2O 相交于点A 、B ，P 是⊙1O 上任意一点，P A 、PB 的延长线交⊙2O 于点C 、D ，⊙1O 的直径PE 的延长线交CD 于点M .求证：CD PM ⊥.分析：要证CD PM ⊥，即证︒=∠+∠90D DPM ，连结公共弦AB 及EB ，即得证.证明：连结AB 、EB ，在⊙中，PEB PAB ∠=∠.∵ABCD 为⊙2O 的内接四边形..,D PEB D PAB ∠=∠∠=∠∴∵PE 为⊙1O 的直径..90︒=∠PBE.90.90.90︒=∠∴︒=∠+∠︒=∠+∠∴DMP D DPM PEB DPM即CD PM ⊥.说明：连接AB 就构造出圆内接四边形性质定理的基本图形.典型例题六例 如图，AD 是ABC ∆外角EAC ∠的平分线，AD 与ABC ∆外接⊙O 交于点D ，N 为BC 延长线上一点，且DN CD CN ,=交⊙O 于点M .求证：（1）DC DB =；（2）.2DN CM DC ⋅=分析：（1）由于DB 与DC 是同一三角形的两边，要证二者相等就应先证明它们的对角相等，这可由圆周角定理与圆内接四边形的基本性质得到：（2）欲证乘积式.2DN CM DC ⋅=，只须证比例式DC CM DN DC =，也即CNCMDN DC =，这只须要证明DCM ∆∽DNC ∆即可. 证明 （1）连结DC.∵AD 平分EAC ∠，∴.DBC DAC EAD ∠=∠=∠ 又ABCD 内接于⊙O ， ∴.DCB EAD ∠=∠ 故.DCB DBC ∠=∠ .DC DB =∴（2）.,180180NDC CDM DCN DCB DBC DMC ∠=∠∠=∠-︒=∠-︒=∠Θ ∴DMC ∆∽DCN ∆，故DNCMCN CM DN DC ==. ∴.2DN CM DC ⋅=说明：本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本性质和利用相似三角形证明比例线段的基本思维方法.本题曾是1996年南昌市中考试题.典型例题七例 如图，已知四边形ABCD 是圆内接四边形，EB 是⊙O 的直径，且AD EB ⊥，AD 与BC 的延长线相交于.F 求证：DCBCFD AB =. 证明 连结AC .∵ EB AD ⊥. ∴.∴ DAB ACB ∠=∠.∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形，∴ .,ABC FDC DAB FCD ∠=∠∠=∠∴ FCD ACB ∠=∠. ∴ ABC ∆∽FDC ∆.∴DCBCFD AB =. 说明：本题考查圆内接四边形性质的应用，解题关键是辅助线构造ABC ∆，再证ABC ∆∽FDC ∆.易错点是不易想到证ACB FCD ∠=∠而使解题陷入困境或出现错误.典型例题八例 如图，已知四边形ABCD 内接于半圆O ，AB 是直径，DC AD =，分别延长BA ，CD 交于点E ，EC BF ⊥，交EC 的延长线于F ，若12,==BC AO EA ，求CF 的长.解 连结OD ，BD .∵DC AD =，的度数AOD ∠=.∴.//BC OD∴EBEOBC OD =. .24,16.8.3212,12,==∴=∴=∴===EB AB OD OD BCBOAO EA ΘABCD Θ内接于⊙O ，∴.EBC EDA ∠=∠又 E ∠公用，∴EDA ∆∽EBC ∆. ∴EBEDEC EA BC AD ==. 设y ED x DC AD ===,，则有yx y x +==82412. ∴24=x . ∴24=AD .AB Θ为⊙O 的直径，∴.90︒=∠=∠F ADB 又.FCB DAB ∠=∠ ∴Rt ADB ∆∽Rt .CFB ∆∴.BCABCF AD =即.121624=CF ∴.23=CF 说明 本题主要考查圆内接四边形的性质，解题关键是作出辅助线.典型例题九例 （海南省，2000） 如图，AB 是⊙O 的直径，弦（非直径）AB CD ⊥，P 是⊙O 上不同于D C ,的任一点.（1）当点P 在劣弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论；（2）当点P 在优弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论（不要讨论P 点与A 点重合的情形）分析：利用在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理来解决.解 ∵弦AB CD ⊥，AB 是直径，∴∴（1）.APD APC ∠=∠（2）.180︒=∠+∠APD APC（如图中虚线所示）.选择题1．在圆的内接四边形ABCD 中，A ∠和它的对角C ∠的度数的比为1：2，那么A ∠为（ ）A．30°B．60°C．90°C．120°2．四边形ABCD内接于圆，A∠、B∠、C∠、D∠的度数依次可以是（）A．1：2：3：4 B．6：7：8：9 C．4：1：3：2 D．14：3：1：123.四边形ABCD内接于圆，A∠、B∠、C∠、D∠的度数比依次可以是（）A．4:3:2:1B．1:3:2:4C．2:1:3:4D．2:3:1:44.如图，四边形ABCD内接于⊙O，︒=∠110BOD，那么BCD∠的度数为（）A．︒125B．︒110C．︒55D．︒705. 如图，⊙1O与⊙2O交于A、B两点，且⊙2O过⊙1O的圆心1O，若︒=∠40M，则N∠等于（）A．︒40B．︒80C．︒100D．︒706. 圆内接平行四边形一定是（）（A）矩形（B）正方形（C）菱形（D）梯形7．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形8、四边形ABCD内接于圆，则∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可以是( )（A）1﹕2﹕3﹕4 （B）7﹕5﹕10﹕8（C）13﹕1﹕5﹕17 （D）1﹕3﹕2﹕49、若ABCD为圆内接四边形，AE⊥CD于E，∠ABC=130°，则∠DAE为（）（A）50°（B）40°（C）30°（D）20°10、如图，圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于P，对角线AC和BD相交于点Q，则图中共有相似的三角形( )（A）4对（B）3对（C）2对（D）1对11．如图，在ABC∆，AD是高，ABC∆的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：（1）CDBDAD⋅=2；（2）AEEGBE⋅=2；（3）ACABADAE⋅=⋅；（4）CGBGEGAG⋅=⋅.其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．已知：如图，劣弧，那么DB∠+∠的度数是（）ACDPQA ．320°B ．160°C ．150°D ．200° 13．钝角三角形的外心在（ ）A ．三角形内B ．三角形外C ．三角形的边上D ．上述三种情况都有可能 14．圆内接平行四边形的对角线（ ）A ．互相垂直B ．互相垂直平分C ．相等D ．相等且平分每组对角 15．如图，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且3,7,5====BE AC CD AB ，下列命题错误的是（ ）A ．DCE ABE ∆≅∆B ．︒=∠45BDAC ．5.24=ABCD S 四边形 D ．图中全等的三角形共有2对答案：1．B 2．D 3.C 4. A 5. D 6、A ；7．A 8、C ； 9、B ； 10、A. 11．B 12．B 13．B 14．D 15．D.填空题1. 已知ABCD 是圆内接四边形，若∠A 与∠C 的度数之比是1﹕2，则∠A 的度数是 度．2. 若A ，B ，C ，D 四点共圆，且∠ACD 为36°，则所对的圆心角的度数是 度．3. 圆内接四边形相邻三个内角的比是2﹕1﹕7，则这个四边形的最大角的度数为 度．4. 圆上四点A 、B 、C 、D ，分圆周为四段弧，且=4:3:2:1，则圆内接四边形ABCD 的最大角是_________5. 圆内接四边形ABCD 中，若EBC ∠是ABC ∠相邻的一个外角，且︒=∠105EBC ，︒=∠93C ，则______=∠D ，______=∠A ，若3:2:1::=∠∠∠C B A ，则______=∠D ，______=∠A6. 四边形ABCD 内接于圆，A ∠、C ∠的度数之比是4:5，B ∠比D ∠大︒30，则______=∠A ，______=∠D7. 圆内接梯形是________梯形，圆内接平行四边形是_________8．圆内接四边形ABCD 中，如果4:3:2::=∠∠∠C B A ，那么______=∠D 度. 9．在圆内接四边形ABCD 中，5:3:4::=∠∠∠C B A ，则______=∠D .10．如图，在圆内接四边形ABCD 中，α=︒=∠=ACBADADAB,30,，则四边形ABCD的面积为________.11．如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在的中点A'，若5=BC，则折痕在ABC∆内的部分DE长为_______.答案：1. 60°；2. 72°；3.160°;4. ︒126 5. ︒105，︒87，︒90，︒45;6. ︒100，︒757. 等腰，矩形.8．90 9．120°10．243a11．310.判断题1. 顶点在圆上的角叫做圆周角；（）2. 相等的圆周角所对的弧相等；（）3. 直角所对的弦是直径；（）4. 在圆中，同一弦上的两个圆周角相等或互补；（）5. 弓形含的圆周角为︒120，则弓形弧也为︒120；（）6. 四边形的对角互补.（）答案:1. ×2. ×3. ×4. √5. ×6. ×.解答题1、如图，已知：ABCD为圆内接四边形，（1）若DB∥CE，求证：AD﹕BC=CD﹕BE；（2）若AD﹕BC=CD﹕BE，求证：DB∥CE ．2、已知：⊙O中，直径AB垂直弦CD于H，E是CD延长线上一点，AE交⊙O于F．求证：∠AFC=∠DFE．3．如图，已知四边形ABCD内接于圆，DC、AB的延长线相交于E，且DBACBE∠=∠，求证：BDECBEAD⋅=⋅BCDO4．如图，点A 、D 在⊙O 上，以点A 为圆心的⊙A 交⊙O 于B 、C 两点，AD 交⊙A 于点E ，交BC 于点F ，求证：AD AF AE ⋅=25．已知圆内接四边形，ABCD 中，4:5:2::=∠∠∠C B A ，求最小的角。

初中数学专题训练--圆--圆的内接四边形-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN例 圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数的比是3﹕2﹕7，求四边形各内角度数．解：设∠A 、∠B 、∠C 的度数分别为3x 、2x 、7x ．∵ABCD 是圆内接四边形．∴∠A +∠C=180°即3x+7x=180°，∴x=18°，∴∠A=3x=54°，∠B=2x=36°，∠C=7x=126°， 又∵∠B+∠D=180°，∴∠D=180°一36°＝144°．说明：①巩固性质；②方程思想的应用．例 （2001厦门市，教材P101中17题）如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，AD 与三角形ABC 的外接圆相交于D ．求证：DB=DC ．分析：要证DB=DC ，只要证∠BCD=∠CBD ，充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的性质，即可解决．证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD =∠DAC ， ∵∠EAD 为圆内接四边形ABCD 的外角，∴∠BCD=∠EAD ，又∠CBD=∠DAC ，∴∠BCD=∠CBD ，∴DB=DC ．说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁． 例 如图，△ABC 是等边三角形，D 是上任一点，求证：DB+DC=DA ．分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法都可以证明．证明： 延长DB 至点E ，使BE=DC ，连AE ． 在△AEB 和△ADC 中，BE=DC ． △ABC 是等边三角形．∴AB=AC ． ∵ 四边形ABDC 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ABE=∠ACD ． ∴△AEB ≌△ADC ． ∴∠AEB=∠ADC=∠ABC ．ABCD BCD EO∵∠ADE=∠ACB，又∵∠ABC=∠ACB＝60°，∴∠AEB=∠ADE=60°．∴△AED是等边三角形，∴AD=DE=DB+BE．∵BE=DC，∴DB+DC=DA．说明：本例利用“截长”和“补短”法证明．培养学生“角相等的灵活转换”能力．在圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视．典型例题四例如图，ABCD是⊙O的内接四边形，CDAH⊥，如果︒HAD，那么=∠30=∠B（）A．90° B．120° C．135° D．150°解：,=∠AHD︒HAD,∠9030︒=D，∠∴60=︒由圆内接四边形的对角和是180°，得︒B，故选B.∠120=说明：“圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.”这个定理很重要，要正确运用.典型例题五例 如图，已知：⊙1O 与⊙2O 相交于点A 、B ，P 是⊙1O 上任意一点，PA 、PB 的延长线交⊙2O 于点C 、D ，⊙1O 的直径PE 的延长线交CD 于点M .求证：CD PM ⊥.分析：要证CD PM ⊥，即证︒=∠+∠90D DPM ，连结公共弦AB 及EB ，即得证.证明：连结AB 、EB ，在⊙中，PEB PAB ∠=∠. ∵ABCD 为⊙2O 的内接四边形..,D PEB D PAB ∠=∠∠=∠∴∵PE 为⊙1O 的直径..90︒=∠PBE.90.90.90︒=∠∴︒=∠+∠︒=∠+∠∴DMP D DPM PEB DPM即CD PM ⊥.说明：连接AB 就构造出圆内接四边形性质定理的基本图形.典型例题六例 如图，AD 是ABC ∆外角EAC ∠的平分线，AD 与ABC ∆外接⊙O 交于点D ，N 为BC 延长线上一点，且DN CD CN ,=交⊙O 于点M .求证：（1）DC DB =；（2）.2DN CM DC ⋅=分析：（1）由于DB 与DC 是同一三角形的两边，要证二者相等就应先证明它们的对角相等，这可由圆周角定理与圆内接四边形的基本性质得到：（2）欲证乘积式.2DN CM DC ⋅=，只须证比例式DC CM DN DC =，也即CNCMDN DC =，这只须要证明DCM ∆∽DNC ∆即可.证明 （1）连结DC. ∵AD 平分EAC ∠， ∴.DBC DAC EAD ∠=∠=∠ 又ABCD 内接于⊙O ， ∴.DCB EAD ∠=∠ 故.DCB DBC ∠=∠.DC DB =∴（2）.,180180NDC CDM DCN DCB DBC DMC ∠=∠∠=∠-︒=∠-︒=∠ ∴DMC ∆∽DCN ∆，故DNCM CN CM DN DC ==. ∴.2DN CM DC ⋅=说明：本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本性质和利用相似三角形证明比例线段的基本思维方法.本题曾是1996年南昌市中考试题.典型例题七例 如图，已知四边形ABCD 是圆内接四边形，EB 是⊙O 的直径，且AD EB ⊥，AD 与BC 的延长线相交于.F 求证：DCBCFD AB =. 证明 连结AC .∵ EB AD ⊥. ∴.∴ DAB ACB ∠=∠.∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形，∴ .,ABC FDC DAB FCD ∠=∠∠=∠∴ FCD ACB ∠=∠.∴ ABC ∆∽FDC ∆.∴DCBCFD AB =. 说明：本题考查圆内接四边形性质的应用，解题关键是辅助线构造ABC ∆，再证ABC ∆∽FDC ∆.易错点是不易想到证ACB FCD ∠=∠而使解题陷入困境或出现错误.典型例题八例 如图，已知四边形ABCD 内接于半圆O ，AB 是直径，DC AD =，分别延长BA ，CD 交于点E ，EC BF ⊥，交EC 的延长线于F ，若12,==BC AO EA ，求CF 的长.解 连结OD ，BD .∵DC AD =，的度数AOD ∠=.∴.//BC OD ∴EBEOBC OD =. .24,16.8.3212,12,==∴=∴=∴===EB AB OD OD BC BO AO EAABCD 内接于⊙O ，∴.EBC EDA ∠=∠ 又 E ∠公用，∴EDA ∆∽EBC ∆. ∴EBEDEC EA BC AD ==. 设y ED x DC AD ===,，则有yx y x +==82412. ∴24=x . ∴24=AD .AB 为⊙O 的直径，∴.90︒=∠=∠F ADB又.FCB DAB ∠=∠ ∴Rt ADB ∆∽Rt .CFB ∆ ∴.BCABCF AD =即.121624=CF ∴.23=CF 说明 本题主要考查圆内接四边形的性质，解题关键是作出辅助线.典型例题九例 （海南省，2000） 如图，AB 是⊙O 的直径，弦（非直径）AB CD ⊥，P 是⊙O 上不同于D C ,的任一点.（1）当点P 在劣弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论；（2）当点P 在优弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论（不要讨论P 点与A 点重合的情形）分析：利用在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理来解决. 解 ∵弦AB CD ⊥，AB 是直径，∴∴（1）.APD APC ∠=∠ （2）.180︒=∠+∠APD APC（如图中虚线所示）.选择题1．在圆的内接四边形ABCD 中，A ∠和它的对角C ∠的度数的比为1：2，那么A ∠为（ ）A ．30°B ．60°C ．90° C ．120°2．四边形ABCD 内接于圆，A ∠、B ∠、C ∠、D ∠的度数依次可以是（ ）A ．1：2：3：4B ．6：7：8：9C ．4：1：3：2D ．14：3：1：12 3.四边形ABCD 内接于圆，A ∠、B ∠、C ∠、D ∠的度数比依次可以是（） A ．4:3:2:1 B ．1:3:2:4 C ．2:1:3:4 D ．2:3:1:44.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，︒=∠110BOD ，那么BCD ∠的度数为（）A ．︒125B ．︒110C ．︒55D ．︒705. 如图，⊙1O 与⊙2O 交于A 、B 两点，且⊙2O 过⊙1O 的圆心1O ，若︒=∠40M ，则N ∠等于（）A ．︒40B ．︒80C ．︒100D ．︒706. 圆内接平行四边形一定是（ ）（A ）矩形 （B ）正方形 （C ）菱形 （D ）梯形 7．已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，则四边形ADBC 一定是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形8、四边形ABCD 内接于圆，则∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数比可以是 ( ) （A ）1﹕2﹕3﹕4 （B ）7﹕5﹕10﹕8 （C ）13﹕1﹕5﹕17 （D ）1﹕3﹕2﹕49、若ABCD 为圆内接四边形，AE ⊥CD 于E ，∠ABC=130°，则∠DAE 为（ ）（A ）50° （B ）40° （C ）30° （D ）20°10、如图，圆内接四边形ABCD 的一组对边AD 、BC 的延长线相交于P ，对角线AC 和BD 相交于点Q ，则图中共有相似的三角形 ( ) （A ）4对 （B ）3对 （C ）2对 （D ）1对11．如图，在ABC ∆，AD 是高，ABC ∆的外接圆直径AE 交BC 边于点G ，有下列四个结论：（1）CD BD AD ⋅=2；（2）AE EG BE ⋅=2；（3）AC AB AD AE ⋅=⋅；（4）CG BG EG AG ⋅=⋅.其中正确的结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 12．已知：如图，劣弧，那么D B ∠+∠的度数是（ ）A ．320°B ．160°C ．150°D ．200° 13．钝角三角形的外心在（ ）A ．三角形内B ．三角形外C ．三角形的边上D ．上述三种情况都有可能 14．圆内接平行四边形的对角线（ ）A ．互相垂直B ．互相垂直平分AB CD PQC ．相等D ．相等且平分每组对角15．如图，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且3,7,5====BE AC CD AB ，下列命题错误的是（ ）A ．DCE ABE ∆≅∆B ．︒=∠45BDAC ．5.24=ABCD S 四边形 D ．图中全等的三角形共有2对 答案：1．B 2．D 3.C 4. A 5. D 6、A ；7．A 8、C ； 9、B ； 10、A. 11．B 12．B 13．B 14．D 15．D.填空题1. 已知ABCD 是圆内接四边形，若∠A 与∠C 的度数之比是1﹕2，则∠A 的度数是 度．2. 若A ，B ，C ，D 四点共圆，且∠ACD 为36°，则所对的圆心角的度数是度．3. 圆内接四边形相邻三个内角的比是2﹕1﹕7，则这个四边形的最大角的度数为 度．4. 圆上四点A 、B 、C 、D ，分圆周为四段弧，且=4:3:2:1，则圆内接四边形ABCD 的最大角是_________5. 圆内接四边形ABCD 中，若EBC ∠是ABC ∠相邻的一个外角，且︒=∠105EBC ，︒=∠93C ，则______=∠D ，______=∠A ，若3:2:1::=∠∠∠C B A ，则______=∠D ，______=∠A6. 四边形ABCD 内接于圆，A ∠、C ∠的度数之比是4:5，B ∠比D ∠大︒30，则______=∠A ，______=∠D7. 圆内接梯形是________梯形，圆内接平行四边形是_________8．圆内接四边形ABCD 中，如果4:3:2::=∠∠∠C B A ，那么______=∠D 度.9．在圆内接四边形ABCD 中，5:3:4::=∠∠∠C B A ，则______=∠D .10．如图，在圆内接四边形ABCD 中，α=︒=∠=AC BAD AD AB ,30,，则四边形ABCD 的面积为________.11．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在的中点A '，若5=BC ，则折痕在ABC ∆内的部分DE 长为_______.答案：1. 60°；2. 72°；3.160°;4. ︒1265. ︒105，︒87，︒90，︒45;6. ︒100，︒757. 等腰，矩形.8．90 9．120° 10．243a 11．310.判断题1. 顶点在圆上的角叫做圆周角；（）2. 相等的圆周角所对的弧相等；（）3. 直角所对的弦是直径；（）4. 在圆中，同一弦上的两个圆周角相等或互补；（）5. 弓形含的圆周角为︒120，则弓形弧也为︒120；（）6. 四边形的对角互补.（）答案:1. ×2. ×3. ×4. √5. ×6. ×.解答题1、如图，已知：ABCD 为圆内接四边形，（1）若DB ∥CE ，求证：AD ﹕BC=CD ﹕BE ；（2）若AD ﹕BC=CD ﹕BE ，求证：DB ∥CE ．2、已知：⊙O 中，直径AB 垂直弦CD 于H ，E 是CD 延长线上一点，AE 交⊙O 于F ．求证：∠AFC=∠DFE ．3．如图，已知四边形ABCD 内接于圆，DC 、AB 的延长线相交于E ，且DBA CBE ∠=∠，求证：BD EC BE AD ⋅=⋅4．如图，点A 、D 在⊙O 上，以点A 为圆心的⊙A 交⊙O 于B 、C 两点，AD 交⊙A 于点E ，交BC 于点F ，求证：AD AF AE ⋅=2BC D O5．已知圆内接四边形，ABCD 中，4:5:2::=∠∠∠C B A ，求最小的角。

典型例题一例01．已知：如图，321////l l l ，3=AB ，5=BC ，12=DF ，求DE 和EF 的长解答 321////l l l ，∴BC AB ABAC AB DF DE +== 即 53312+=DE ∴29=DE∴ 2152912=-=-=DE DF EF说明 本题考查平行线分线段成比例线段定理的应用，易错点是弄错对应线段，解题关键是运用平行线分线段成比例定理列出比例式求解典型例题二例02．如图，已知：BC DE //，AC DF //，cm 3=AD ，cm 6=BD ，cm 4=DE 求：线段BF 的长分析 由BC DE //，AC DF //，可找到有关BD 、BF 、DA 、FC 之间的比例关系，则由这些关系式不难求出BF 的长解答 BC DE //，AC DF //， ∴四边形DFCE 是平行四边形 ∴4==DE FC AC DF //，∴DABDFC BF =（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例） ∴cm 8346=⨯=⋅=DA FC BD BF 说明 由平行线推出成比例线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，不要写倒了，注意把对应的线段写在对应的位置上典型例题三例03．如图，已知，在MAP ∆中，点N 在PM 上，B 、C 在AP 上，且BN AM //，NC MB //求证：PB 是PA 和PC 的比例中项 分析 要证PB 是PA 和PC 的比例中项，就是要证PCPBPB PA = 证明BN AM // ∴PNPMPB PA =（平行线分线段成比例定理） 同理，PN PMPC PB = ∴PCPBPB PA = ∴PB 是PA 和PC 的比例中项说明 结合题中的条件和图形的特征，把求证比例式通过恒等变形，变换成与其等价的形式，再找寻“中间比”作为过渡的桥梁，这是证明比例线段常用的方法，而如何寻找恰当的“中间比”，则是此类问题证明的难点和关键.典型例题四例04．如图，已知：BC DE //，AB AF AD ⋅=2求证：DC EF //分析由已知条件AB AF AD ⋅=2得ABADAD AF =，由此联想到要证DC EF //，只需证AC AE AD AF =.那么，要证AC AE AD AF =需证ACAEAB AD =，由已知条件BC DE //，这个比例式可证 证明BC DE //， ∴ACAEAB AD =（平行线分线段成比例定理） 又 AB AF AD ⋅=2，∴AD AFAB AD = ∴ACAEAD AF = ∴CD EF //（如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边）说明 在证明过程中，要分清性质定理和判定定理，由平行得出比例式用的性质定理，由比例式得出平行用的是判定定理，另外，本题的证明过程中，也使用了“中间比” ABAD 作为过渡典型例题五例05．已知：如图，AD 是ABC ∆的内角平分线 求证：CDBDAC AB =分析 AB 、AC 不在同一直线上，而BD 和CD 在同一直线上. 在同一直线上的两条线段的比往往和平行线有关，所以我们考虑不妨作一条平行线.证明 过点C 作AD CE //，交BA 的延长线于点E EC AD //，∴CDBDAE AB = 又 BAD E ∠=∠，ACE CAD ∠=∠ 而CAD BAD ∠=∠，∴ACE E ∠=∠ ∴AE AC =∴CDBDAC AB = 说明此题是三角形的内角平分线定理，即三角形的内角平分线分对边成两条线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．段与．．夹这个角的两边对应成比例．．．．．．．．．．．．典型例题六例06．如图，梯形ABCD 中，CD AB //，M 为AB 的中点，分别连结AC ，BD ，MD ，MC ，且AC 与MD 交于E ，DB 与MC 交于F ，求证：CD EF //证明： CD AB //，∴EM DE AM CD =，FM CFMB CD = BM AM =，∴FM CFEM DE = ∴CD EF //说明 本题主要考查三角形一边平行线的判定，易错点是企图利用角的关系证明平行，解题关键是用中间比代换证出FMCFEM DE =典型例题七例07．如图，BC EF AD ////，cm 12=AD ，cm 18=BC ，3:2:=EB AE ，则EF =_________解法1 如图，延长BA ，CD 相交于O 点，BC EF AD ////， ∴32812===BC AD OB OA∴12=AB OA 设k AE 2=，k BE 3=， ∴k OA 10=又OE OAEF AD =， ∴65121012==k k EF ∴4.14572==EF 解法2 如图，过D 作AB DN //交EF 于M ，交BC 于NBC EF AD ////，∴NC MFDN DM AB AE == ∴6121852MFMF =-=∴512=MF∴4.1457251212==+=EF 解法3 如图，过E 作CD EM //交BC 于N ，交DA 的延长线于MBC EF AD ////，∴32==EB AE BN MA 设k MA 2=，k BN 3= BC MD //，CD MN //，∴EF NC MD ==，即BN BC AD MA -=+ ∴k k 318122-=+，∴56=k∴4.1412512122=+=+=k MD ，即4.14=EF说明 本题考查平行线分线段成比例定理及推论的应用，解题关键是作出恰当的辅助线，将梯形的问题转化三角形问题.典型例题八例08．如图，ABC ∆中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 于P . 若DE AD 2=，求证：AB AP 3=分析：本题有多种证明方法，现提供几种辅助线的作法供选用①过B 作PC BK //，交AE 于K ；②过D 作PC DG //交BP 于G ；③过CP 的中点M ，连结DM ；④延长DE 至F ，使DE EF =，连结CF .证法1 过B 作PC BK //，交AE 于K ， ∴AB AP AK AE ::= 由已知DC BD =，∴DE DK =又 DE AD 2=， ∴3:=AK AE ∴3:=AB AP ，即AB AP 3=证法2 过D 作PC DG //交AP 于G 在BPC ∆中， DC BD =， ∴GP BG = 在APE ∆中， DE AD 2=，∴GP AG 2= ∴BG AG 2=， ∴GP BG AB == ∴AB AP 3=证法3 作CP 的中点M ，连结DM D 是BC 的中点，∴AP DM //且DM PB 2= 在AEP ∆中， AP DM //，∴DEAEDM AP = 又 DE AD 2=， ∴3=DEAE， 即DM AP 3=DM PB AP AB =-=， ∴AB AP 3=证法4 延长DE 至F ，使DE EF =，连结CF ，则AD DE DF ==2 又CD BD =，EDC ADB ∠=∠， FDC ADB ∆≅∆∴∴FC AB =，F BAD ∠=∠， 从而FC AP //，∴AEP ∆∽FEC ∆ ∴3==EFAEFC AP ∴FC AP 3= ∴AB AP 3=典型例题九例09．AD 是ABC ∆的高，E 是BC 的中点，BC EF ⊥交AC 于F ，若15=BD ，27=DC ，45=AC ，求AF错解 如图422715=+=+=DC BD BC ，∴ 21==EC BE ∴ 61521=-=-=BD BE DEBC FE ⊥，BC AD ⊥，∴AD FE //∴ EC DE FC AF = 即21645=-AF AF ∴10=AF 正解 ①︒<∠90B 的解法同上 ②︒>∠90B 时，如图121527=-=-=BD DC BC ，∴621===BC EC BE∴21615=+=+=BE DB DE BC AD ⊥，BC FE ⊥， ∴FE AD // ∴EC DEFC AF = 即62145=-AF AF ∴35=AF说明 错解中因为题目没有指明ABC ∆的形状，所以错误解答习惯地把ABC ∆画成了锐角三角形，事实上，若ABC ∆是︒>∠90B 的钝角三角形，高AD 在三角形外，也符合题意典型例题十例10．如图，ABCD 的对角线交于O 点，E 是AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若a AB =，b BC =，c BE =，求BF 的长解答：过O 作CB 的平行线交AB 于GO 是ABCD 对角线的交点， ∴OC OA =，GB AG =∴a AB BG 2121==，b BC OG 2121==，c b EG +=21GO BF //， ∴EG BEOG BF = ∴c a cb BF +=2121∴ca bcBF 2+=说明 本题考查平行线分线段成比例定理推论的应用，解题关键是过平行四边形对角线的交点作边的平行线典型例题十一例11．如图，已知梯形ABCD 中，BC AD //，3==DC AB ，P 是BC 上一点，AB PE //交AC 于E ，CD PF //交BD 于F . 设PE ，PF 的长分别为m ，n ，n m x +=，那么当P 点在BC 上移动时，x 值是否变化？若变化，求出x 值的取值范围；若不变，求出x 值，并说明理由解答：x 的值不变 AB PE //，∴BC PCAB PE = CD PF //， ∴BCBPCD PF = CD AB =，1==+=+BCBCBC BP PC AB PF PE∴AB PF PE =+ ∴3=+=n m x说明 本题考查平行线分线段成比例定理推论的应用，是一道开放性试题，解题关键是先探索出题目的结论典型例题十二例12．已知，如左图，BD AB ⊥，BD CD ⊥，垂足分别为B ，D ，AD 和BD 相交于点E ，BD EF ⊥，垂足为F ，我们可以证明EFCD AB 111=+成立（不要求证明）若将图左中的垂直改为斜交，如右图，CD AB //，AD 、BC 相交于点E ，过E 作AB EF //，交BD 于点F ，则：（1）EFCD AB 111=+还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 （2）请找出ABD S ∆，BED S ∆和BDC S ∆间的关系式，并给出证明 解 成立 证明 （1） EF AB //，∴DB DFAB EF = EF CD //， ∴DBBFCD EF = ∴1==+=+DB DBDB BF DB DF CD EF AB EF ∴EFCD AB 111=+ （2）关系式为：BEDBCDABDS S S ∆∆∆=+111分别过A 作BD AM ⊥于M ，过E 作BD EN ⊥于N ，过C 作BD CK ⊥交BD 的延长线于K由题设可得：EN CK AM 111=+ ∴EN BD CK BD AM BD ⋅=⋅+⋅222 ABD S AM BD ∆=⋅21， BCD S CK BD ∆=⋅21， BED S EN BD ∆=⋅21BEDBCDABDS S S ∆∆∆=+∴111说明 本题有两点值得回味：一是通过阅读可发现，题中蕴含着类比猜想的思想方法，因而易猜想关系式仍成立；二是有一处伏笔“不要求考生证明”，具有一定的迷惑性，因为论证猜想是否成立，还须“同样的方法”，不证而证矣选择题1．如图，已知CF BE AD ////，下列比例式成立的是（）A ．BE AD DE AB = B ．BC DE EF AB = C ．BC DF EF AC = D ．DFEFAC BC = 2．如图，H 为ABCD 中AD 边上一点，且DH AH 21=，AC 和BH 交于点K ，则=KC AK :（ ）A ．2:1B ．1:1C ．3:1D ．3:2 3．（曲靖市，2001）已知：如图，在ABC ∆中，DC ED AE ==，BC MD FE ////，FD 的延长线交BC 的延长线于N ，则BNEF的值是（ ）A ．21 B ．31 C ．41 D ．51 4．（宁夏，2002）在AB C ∆中，BC DE //，DE 交AB 于D ，交AC 于E . 如果3=AE ，6=EC ，4=DE ，那么BC 等于（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 5．（上海市，2002）如图，CD AB //，AD 与BC 相交于O ，那么在下列比例式中，正确的是（ ）A ．AD OA CD AB = B ．BC OBOD OA = C ．OC OB CD AB = D ．ODOBAD BC = 6．（邵阳市，2002）下列命题错误的是（ ）A ．矩形是平行四边形B ．相似三角形一定是全等三角形C ．等腰梯形的对角线相等D ．两直线平行，同位角相等 7．（北京市西城区，2002）如图，ABC ∆中，BC DE //，如果1=AD ，2=DB ，那么BCDE的值为（ ）A ．32 B ．41 C ．31 D ．21参考答案：1．D 2．C 3．C 4．D 5．C 6．B 7．C填空题1．（天津市，2001）如图，BC DE //，且AE DB =，若10,5==AC AB ，则AE 的长为_______.2．如图，梯形ABCD ，BC AD //，延长两腰交于点E ，若4,6,2===AB BC AD ，则=ECED _______，=DC DE_________.3．如图，梯形ABCD 中，5.3,2,//==AB DC AB DE ，且AB PQ MN ////，PA MP DM ==，则=MN _______，=PQ ________.4．（重庆市，2002）雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面m 2远一块小积水处，他看到了旗杆顶端的倒影. 如果旗杆底端到积水处的距离为m 40，该生的眼部高度是m 5.1，那么旗杆的高度是_______m.5．（盐城市，2002）如图，测量队为了测量某地区山顶P 的海拔高度，选择M 点作为观测点，从M 点测得山顶P 的仰角为︒30. 在比例尺为50000:1的该地区等高线地形图上，量得这两点间的图上距离为cm 3，则山顶P 的海拔高度为_____cm . （取732.13=）6．（黑龙江省，2002）在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为50米，同时高为5.1米的测竿的影长为5.2米，那么古塔的高为_____米.7．（南京市，2002）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC 上，AB 的长为10毫米，AC 被分为60等份. 如果小管口DE 正好对着量具上30份处（AB DE //），那么小管口径DE 的长是_____毫米.8．（北京市东城区，2002）在坡度为2:1的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是______米.9．（上海市，2002）在A B C ∆中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，BC DE //. 如果8=AD ，6=DB ，0=EC ，那么=AE _______.参考答案：1．310 2．31，213．5.2，3 4．m 305．1116 6．307．5 8．53 9．12解答题1．如图，已知菱形BEDF 内接于ABC ∆，点E ，D ，F 分别在AB ，AC 和BC 上，若15=AB ，12=BC ，求菱形边长.2．如图，已知ABC ∆中，AE BD AC AD BC DE ===,6,8,//，求BD 的长.3．如图，ABC ∆中，AD 是角平分线，AC DE //交AB 于E ，已知12=AB ，8=AC ， 求DE .4．如图，D ，E 分别是ABC ∆两边AB ，AC 上的点，哪些线段成比例推出BC DE //.5．如图，G 是四边形ABCD 的对角线BD 上任一点，AD EG //，DC FG //. 求证：AC EF //.6．如图，FD EB FC EF //,//. 求证：CD AB //7．如图，ABC ∆中，BC DE //，AD 是AF ，AB 的比例中项， 求证：DC FE //.8．如图，P 是ABCD 的对角线AC 上的任一点，EF ，MN 是过点P 的两直线与ABCD的边分别交于E ，F ，M ，N .求证：FN ME //.9．如图，直线FD 和ABC ∆的边BC 交于D ，交AC 于E ，与BA 的延长线交于F ，且DC BD =，求证：FA EC FB AE ⋅=⋅.10．如图，D 在BC 上，且1:2:=DC BD ，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ， 求EF BF :.参考答案：1．320 2．4=BD3．524=DE4．EC AE DB AD =或AC AE AB AD =或AC ECAB DB = 5．证OC OAOD OB = 6．证OC OAOD OB = 7．证AC AFAD AF = 8．证PFPEPN PM = 9．解法1：作BC AG //交DF 于G ；解法2：作FD AG //交BC 于G 10．1:6:=EF BE解答题1．（广西，2001）如图，DH CG BF AE //////，CD BC AB ==21，12=AE ，16=DH ，AH 交BF 于M .求BM 与CG .2．如图，M 是ABC ∆中BC 边的中点，P 是BC 边上任一点，过P 作AM PR //交BA 的延长线于Q ，交CA 于R .求证：BMBCAM PR AM PQ =+.3．如图，AD 是ABC ∆中BC 边上中线，从C 引射线交AD 于E ，AB 于F . 求证：DE AF FB AE ⋅=⋅2.4．过ABCD 的顶点A 作任一直线与BD ，BC 及DC 延长线于E ，F ，G ，求证：EG EF AE ⋅=2.5．如图，梯形ABCD 中，BC AD //，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，a AD =，b BC =（a b >） ，求GH 的值.6．如图，CD BC MB ==，FG EF ME ==. 求NFDN的值.7．如图，在ABCD 中，cm AB 5=，cm AE 3=，cm AD 8=，F 为AB 中点，EF 交AC 于G . 交CB 的延长线于K .求FK GF EG ::的值.8．（盐城市，2001）如图，已知：BC ED //，DF AB //.（1）求证：OF OE OB ⋅=2；（2）连结OD ，若ODC OBC ∠=∠，求证：四边形ABCD 为菱形. 9．（南京市，2001）以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PD PF =. 以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上. 如图所示.（1）求AM 、DM 的长. （2）求证：DM AD AM ⋅=2参考答案：1．15,4==CG BM2．∵AM PQ //， ∴CM PC AM PR =，BMPBAM PQ =. ∵BM CM =， ∴BMBCBM PC PB AM PQ AM PR =+=+ 3．过D 作CF DP //交AB 于P . ∴ED AE FP AF =. 又DB CD =，∴FB PB FP 21==.∴ED AEFB AF =21. ∴ED AF FB AE ⋅=⋅2 4．AB DC //得ED BE EG AE =，BC AD //得AE EF ED BE =. ∴AEEFEG AE = ∴EG EF AE ⋅=25．ba abGH += 6．31 7．7:4:38．（1）略；（2）证BD AC ⊥9．（1）15-=AM ，53-=MD ；（2）526-=⋅DM AD解答题1．如图，ABC ∆中，AF 平分BAC ∠，AF CE ⊥于E ，AF BD ⊥交其延长线于D ，BE 的延长线交DC 的延长线于G.求证：AG EC //.2．（温州市，2001）如图，在正方形ABCD 中，8=AD ，点E 是边CD 上（不包括端点）的动点，AE 的中垂线FG 分别交AD 、AE 、BC 于点F 、H 、K ，交AB 的延长线于点G .（1）设m DE =，m DE =，用含m 的代数式表示t ； （2）当31=t 时，求BG 的长. 3．（山西省，2001）（1）阅读下列材料，补全证明过程：已知：如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，BC OE ⊥于E ，连结DE 交OC 于点F ，作BC FG ⊥于G .求证：点G 是线段BC 的一个三等分点. 证明：在矩形ABCD 中，BC DC BC OE ⊥⊥,，∴DC OE // ∵21=DC OE ， ∴21==DC OE ED EF ∴31=ED EF . （2）请你仿照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点. （要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）.4．在ABC ∆中，D 为BC 上的一点，E 为AD 上的一点，BE 的延长线交AC 于F .（1）如4:1:,2:1:==AD AE BC BD ，求AC AF :的值；（2）如n AD AE m BC BD :1:,:1:==（n m ,为不小于2的自然数）. 求AC AF :的值；（3）对于满足1-≠n m 且均大于2的自然数n m ,，是否总存在自然数q p ,（其中m p ≠，n q ≠）使当p BC BD :1:=，q AD AE :1:=时，AC AF :的值与当m BC BD :1:=，n AD AE :1:=时，AC AF :的值相同？如果存在，写出这时q p ,与nm ,之间应满足的关系.5．如图一个矩形ABCD （BC AB <）中，618.0215≈-=BC AB ，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感，备受人们欢迎，在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE （如图）. 请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？证明你的结论.6．（河北省，2001）在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上任意一点，BE 交AD 于点O ，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：（1）当11121+==AC AE 时，有12232+==AD AO （如图）（2）当21131+==AC AE 时，有22242+==AD AO （如图）（3）当31141+==AC AE 时，有32252+==AD AO （如图）在下图中，当n AC AE +=11时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示ADAO的一般结论，并给出证明（其中n 是正整数）.7．（黄冈市，1999）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的一点，且k HDAH GC DG FC BF EB AE ====（0>k ）. 阅读下段材料，然后回答后面问题.如图，连接BD .∵HD AHEB AE =， ∴BD EH // ∵GC DGFC BF =，∴BD FG //， ∴EH FG //.（1）连结AC ，则EF 与GH 是否一定平行，答：_______. （2）当k 值为______时，四边形EFGH 为平行四边形.（3）在（2）的情形下，对角线AC 与BD 只须满足_______条件时，EFGH 为矩形. （4）在（2）的情形下，对角线AC 与BD 只须满足_______条件时，EFGH 为菱形. 8．如图，在四边形ABCD 中，DC AB =，E 、F 各为BC 、AD 的中点，延长BA 、EF 、CD 相交成α∠、β∠，求证：βα∠=∠.证明：连结DE ，延长DE 到G ，使EG DE =，连结BG 、AG . ∵CED BEG EG DE CE BE ∠=∠==,,， ∴AB CD CD BG BGE CDE ==∆≅∆,,， ∴BG AB =.∴BGA BAG ∠=∠.∵EF 是ADG ∆的边AD 、DG 的中位线， ∴AG EF //， 即KE AG //∴BAG ∠=∠α，FED AGE ∠=∠.又∵FED CDE AGE AGE BGA BGE ∠+∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠βα， ∴βα∠=∠从上述命题证明过程中可以知道，通过构造一对全等三角形，将一条线段从一个三角形中移至另一个三角形中，从而使总是获得巧妙解决.（1）这是一种通过将一个三角形绕旋转中心旋转︒180，构成______图形的方法. 请用此方法完成下列命题的证明：（2）如图，已知ABD ∆中，F 为中线AC 上一点，DF 的延长线交AB 于点E . 求证：AE FD AB EF ⋅=⋅.9．一条笔直的公路l 穿过草原，公路边有一陌生站A ，距离公路30千米的地方有一居民点B ，A 、B 的直线距离是90千米（如图）. 有一天，某司机驾车从陌生站送一批急救药品到居民点B ，汽车在公路上的最快速度是60千米/时，而在草地上的最快速度是30千米/时. 问该司机应以怎样的路线行驶，所用的行车时间最短？最短时间是多少？参考答案1．延长AC ，BD 交于H . 可证AHD ABD ∆≅∆，得HD BD =. DH CE //，∴DH CE AD AE =，BD CE GD GC =. ∴GDGCAD AE =. ∴AG EC // 2．（1）过H 作CD MN //，mmt -=16；（2）过H 作AB HT ⊥于T ，268=-=-=TB TG BG3．（1）补充证明方法一：∵BC FG ⊥，BC DC ⊥，∴DC FG //. ∴31==ED EF DC FG . ∵DC AB =，∴31=AB FG . 又∵AB FG //，∴31==AB FG BC OG 方法二：∵BC DC BC FG ⊥⊥,，∴DC FG //.∴31==ED EF EC EG ，∴32=EC GC . ∵E 是BC 中点，∴31622===EC GC BC GC ∴点G 是BC 的一个三等分点. （2）如图4．（1）7:1:=AC AF （2）)1(:1:+-=m mn AC AF ；（3）存在. )1()1(-=-n m q p 5．ABFE 也是黄金矩形. 证略 6．)2(:2:n AD AO +=，证略.7．（1）不一定；（2）1；（3）BD AC ⊥；（4）BD AC = 8．（1）全等；（2）延长AC 到G ，使AC CG =，连结DG . 先证GDC ABC ∆≅∆，再证DG AB //可得9．过A 作︒=∠30CAE ，过B 作射线AE 的垂线段BE 交AC 于D ，D 点就是应离开公路的地点. 因此，所行路线为DB AD +.。

典型例题一例01．下列各式中属于最简二次根式的是（ ）A ．12-xB ．xy x C ．12 D ．211 分析 因.324312,=⨯==xy xx x y x 2623211== 解答 A说明 最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数因数是整数，因式是整式；（2）被开方数不能含有开得尽方的因数或因式.典型例题二例02．在二次根式中45，32x ，4x ，22n m +，11，最简二次根式的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个分析 因为5345=，x x x 223=，24x x =都不是最简二次根式，所以最简二次根式有2个.解答 B说明 最简二次根被开方数中因数次数只能小于2，且不能含有分母.典型例题三例03．在根式6，z y x 2)(+，b a 2，x 1，2x ，x y ，22y x +，ab 8，3x 中，最简二次根式的个数为（ ）.A ．2B ．3C ．4D ．5分析 x 1的被开方数是分式，2x 的被开方数中含有分数因数21，ab 8=ab 222⋅，x x x ⋅=23，它们和z y x 2)(+中都含有能开得尽方的因数或因式，所以这几个二次根式都不是最简二次根式.解答 C说明 考查最简二次根式的意义.只要全面了解了最简二次根式的定义，这样的题目就能迎刃而解. 读者可以自行编拟类似的判断题等，互相检查对二次根式的了解情况.典型例题四例04．化简.______)(,2223=<+--b a ab b a a ba a 分析 原式=)2(22b ab a a ba a +-- ab a b a a b a a b a a -⋅-=--=2)( 因b a <，0<-b a ，)(b a b a --=-故原式=a a -解答 a a -说明 化简时，把能开得尽方的因式移到根号外，但一定要根据其取值范围，将算术平方根移到根号外. 如果将要移出因式是多项式，必须添上括号.典型例题五例05．（1）化简：______;45=-x（2）________1=-aa . 分析 （1）因045≥-x ，则0≤x ， 故x xx x x -=-⋅=-225224 （2）因01≥-a ，0<a ， 故a a aa a a a a a --=-=-=-21 解答 x x -22；a --说明 在（1）中隐含045≥-x ，即0≤x 的条件；在（2）中隐含01≥-a，即0<a . 典型例题六例06．化简)10(2122<<-+a aa 解答 ∵10<<a ，∴ a a 1<，01<-a a . ∴222)1(21aa a a -=-+ aa a a aa 21)1(1-=--=-= 说明 本题中a 与a1的大小关系，是以隐含的形式给出的. 被开方数可以写成两项差的平方的形式，从而可以利用本节所学公式.典型例题七例07．化简：)(2)(22y x y xy x xx y >+-⋅-解答1：∵y x >，∴0>-y x ，原式=2)()(y x x x y -⋅-x y x x y ⋅--=x x y x x y -=--= 解答2：∵y x >，∴0<-x y ，原式=2)()(y x x y x ---x y x x y x -=-⋅--=22)()( 说明 可将被开方数的分母写成两项差的平方的形式移出根号，也可将根号外的因式移入根号内.典型例题八例08．把下列二次根式化成最简二次根式：（1）2571； （2）)0,0,0(9435>>>m b a mb a ； （3）ba b a -+ （4）y xy x --12 解答 （1）原式=254524253222=⨯= （2）原式=mab b a m ab b a 222423232=⋅=abm m b a 322 （3）原式=2221)())((b a ba b a b a b a --=--+ （4）原式=y x x y x x 1)1()1)(1(+=--+=y x y )1(1+y xy y +=1说明 考查二次根式的化简（1）被开方数是带分数时，首先要将它化为假分数；（2）被开方数分解因数或因式后，若分子、分母有公因数（式），应先约去公因数（式），使运算简便.典型例题九例09．化简下列根式：（1）11)1(---a a ； （2）21xx x +-； （3）)0(253<b b a 解答 （1）由被开方式011>--a 知01<-a ∴原式=a aa a a --=-⋅--=---111)1(11)1(2 （2）由根式有意义知⎩⎨⎧≠≤+001x x 即1-≤x ∴原式=222)1()(1)(xx x x x x +---=+---)1(+--=x 1---=x （3）∵0<b ，又03≥b a 知0≤a∴原式=ab a 225=ab a 5-说明 考查根式的化简方法.化简根式时，常要将某些代数式移出或移入根号，但一定要注意字母的取值范围，必须保证移出或移入前后根式中符号（正负）性质不变.典型例题十例10．当154-=x 时，求122--x x 的值. 分析 因为154-=x ，分母有理化后，有15+=x . 又2)1(1222--=--x x x ， 把15+=x 代入，得原式=32)115(2=--+.说明 一般而言，对于求值的题都不能把字母的取值代入原始式子进行运算，而是必须先化简再注值. 本题多项式已经化简了，故就应把154-=x 代入，但考虑到x 的值是个无理数，又是分母上有根号，就应把它分母有理化以后再代入，也就是说把15+=x 代入代数式就显得比较简单. 同时，尽管多项式已经很简了，如果我们稍作变换，能使代入运算更加方便，也就是的式化为2)1(2--x ，运算更简.如果把字母的取值不分青红皂白代入原式，就可能运算很繁，导致错误. 第一要把字母的取值化简，第二要把代数式化简再根据代数式的特点，适当作一点变换，就能简捷地求出代数式的值. 典型例题十一例11．已知432=+-b a ，化简：（1）122+-a a ； （3）1682+-b b解答 ∵432=+-b a ，即b a -=-432∴032≥-a 且04≥-b即23≥a ，4≤b ∴（1）11)1(1222-=-=-=+-a a a a a （2）.44)4(16822b b b b b -=-=-=+-说明 注意到所求的根式的被开方数是一个完全平方数，开方之后得到绝对值，显然需要a ，b 的范围. 这一点可由已知条件利用被开方数非负得到.分析问题往往从结论入手，才想到如何更好地利用已知. 本例容易陷入误区情形有：①想求a ，b 的具体值；②想不到隐含条件032≥-a ；③不注意变形条件为b a -=-432；④看不到被开方数是完全平方数.选择题1．选择题（1）把321化为最简二次根式为（ ） （A ）3232 （B ）32321 （C ）281 （D ）2141 （2）下列各式中是最简二次根式的是（ ）（A ）x 12 （B ）9-x （C ）b b a + （D ）y x 35 （3）下列各式中不是最简二次根式的是（ ）（A ）70 （B ）92+a （C ）23x x - （D ）42x （4）二次根式32a ，22b a +，x 4，20，30，23，222y xy x +-中最简二次根式的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（5）下列二次式中最简二次根式是（ ）（A ）12 （B ）ab a + （C ）92-x （D ）56 （6）化简3121+得最简二次根式为（ ）（A ）3061 （B ）306 （C ）561 （D ）56 2．选择题（1）若0≠x 且0≠y ，则y xy y x -=32成立的条件是 （A ）0,0>>y x （B ）0,0<>y x（C ）0,0><y x （D ）0,0<<y x（2）当0,0<<y x 时，下列等式中成立的是（A ）y x y x -=2 （B ）x y xy -=2（C ）xy x y x 243-= （D ）y x y x 394-=（3）下列化简中正确的是（A ）b a a b 2122= （B ）b b 2323= （C ）a b b a b a a b --=-)11(22 （D ）b a b a b a b a -+=-+)(3)()(92（4）下列化简中错误的是（A ）ac b a b a c 53195325= （B ）ay xyy x a 31015032= （C ）1032944= （D ）b a ba b a -=--（b a >） （5）若0>a ，把b a 4-化成最简二次根式为 （A ）ab b -2 （B ）ab b2- （C ）ab b --2 （D ）ab b -2 3．选择题（1）已知a x >，则63522xa x a x -化简得（ ） （A ）a x x -2 （B ）a x xa -22（C ）a x ax -42 （D ）a x xa -2 （2）化简下列各式，出现错误的是（ ）（A ）ba ab a a +=+22)(822（b a <<0） （B ）y x y x 33182=（0>x ）（C ）9)9()9(25++=+x x x（D ）ay x a y x b 22)(22+=+（0,>->a y x ） （3）若3-=x ，二次根式7522++x x m 的值为5，则m 等于（ ）（A ）2 （B ）22 （C ）55 （D ）5参考答案：1．（1）C （2）B （3）C （4）B （5）C （6）A2．（1）C （2）C （3）D （4）B （5）C3．（1）B （2）D （3）B填空题1．填空题（1）化简：=48______，=51________. （2）化简：=c b a 32_________.（3）把ab 43化成最简分式得_________. （4）二次根式①12，②15，③211，④a 1，⑤x 3，⑥x 28，⑦y x 11+，⑧33中最简二次根式为_________.参考答案：（1）34，55 （2）bc ab （3）aab 23 （4）②⑤⑧解答题1．化最简二次根式（1）216 （2）221317--（3）1212 （4）b a c21083（5）c b a 276442 （6）11+a a（7）a a 2721 （8）ab a ba --2222．化简（1）2112 （2）3653（3）2703 （4）327（5）233216a a + （6）3426124y x y x +（7）227a b3．求代数式a acb 242-的值（1）1,7,3=-==c b a ； （2）12,73,3===c b a4．已知162.310=，求598的值.（精确到01.0）参考答案：1．（1）66 （2）302- （3）365 （4）ab bc 63 （5）cc ab 3982（6）12+a （7）296a a（8）a a2．（1）225 （2）521 （3）309 （4）637 （5）24+a a （6）y x y x 3222+ （7）ab 93 3．（1）637 （2）213 4．43.4[提示：原式化为1057]解答题1．设直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c .（1）已知8,6==b a ，求c ；（2）已知26,24==c a ，求b ；（3）已知5.1,8.0==b a ，求c ；（4）已知5.3,8.2==c b ，求a2．化简（1）25252-+xx （5>x ） （2）a a a a a +--23211（1>a ） 3．求值：已知aac b b x 242-+-= （1）当15,10,1-===c b a 时，求x ；（2）6,3,1-=-==c b a 时，求x .（精确到01.0）参考答案：1．（1）10 （2）10 （3）7.1 （4）1.22．（1）x x x 555- （2）2aa 3．（1）1025+- （2）46.3。

数学天地：初一年级数学核心题目赏析有理数及其运算篇【核心提示】有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方. 通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题，把抽象问题简单化.相反数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面.【核心例题】例1计算：200720061......431321211⨯++⨯+⨯+⨯ 分析 此题共有2006项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了，不就变得简单了吗？由此想到拆项，如第一项可拆成2111211-=⨯，可利用通项()11111+-=+⨯n n n n ，把每一项都做如此变形，问题会迎刃而解.解 原式=)2007120061(......413131212111-++-+-+-）（）（）（ =2007120061......41313121211-++-+-+- =200711- =20072006 例2 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C(如右图).化简b c b a a -+-+. 分析 从数轴上可直接得到a 、b 、c 的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b<0、c-b>0.解 由数轴知，a<0，a-b<0，c-b>0所以，b c b a a -+-+= -a-(a-b)+(c-b)= -a-a+b+c-b= -2a+c例3 计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-211311 (9811991110011)分析 本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧，问题会变得很简便.解 原式=2132......9897999810099⨯⨯⨯⨯⨯=1001 例4 计算：2-22-23-24-……-218-219+220.分析 本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦.怎么让它们“相互抵消”呢？我们可先从最简单的情况考虑.2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.再考虑2-22-23+24=2-22+23（-1+2）=2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.这怎么又等于6了呢？是否可以把这种方法应用到原题呢？显然是可以的.解 原式=2-22-23-24-……-218+219（-1+2）=2-22-23-24-……-218+219=2-22-23-24-……-217+218（-1+2）=2-22-23-24-……-217+218=……=2-22+23=6【核心练习】1、已知│ab-2│与│b-1│互为相反数，试求：()()......1111++++b a ab ()()200620061++b a 的值. （提示：此题可看作例1的升级版，求出a 、b 的值代入就成为了例1.） 2、代数式abab b b a a ++的所有可能的值有（ ）个（2、3、4、无数个） 【参考答案】1、20082007 2、3 字母表示数篇【核心提示】用字母表示数部分核心知识是求代数式的值和找规律.求代数式的值时，单纯代入一个数求值是很简单的.如果条件给的是方程，我们可把要求的式子适当n=1,S=1①n=2,S=5②③n=3,S=9变形，采用整体代入法或特殊值法.【典型例题】例1已知：3x-6y-5=0,则2x-4y+6=_____分析 对于这类问题我们通常用“整体代入法”，先把条件化成最简，然后把要求的代数式化成能代入的形式，代入就行了.这类问题还有一个更简便的方法，可以用“特殊值法”，取y=0,由3x-6y-5=0，可得35=x ,把x 、y 的值代入2x-4y+6可得答案328.这种方法只对填空和选择题可用，解答题用这种方法是不合适的.解 由3x-6y-5=0，得352=-y x 所以2x-4y+6=2(x-2y)+6=6352+⨯=328 例2已知代数式1)1(++-n n x x ，其中n 为正整数，当x=1时，代数式的值是 ，当x=-1时，代数式的值是 .分析 当x=1时，可直接代入得到答案.但当x=-1时，n 和(n-1)奇偶性怎么确定呢？因n 和(n-1)是连续自然数，所以两数必一奇一偶.解 当x=1时，1)1(++-n n x x =111)1(++-n n =3当x=-1时，1)1(++-n n x x =1)1()1()1(+-+--n n =1例3 152=225=100×1（1+1）+25， 252=625=100×2（2+1）+25352=1225=100×3（3+1）+25， 452=2025=100×4（4+1）+25……752=5625= ，852=7225=（1）找规律，把横线填完整；（2）请用字母表示规律;（3）请计算20052的值.分析 这类式子如横着不好找规律，可竖着找，规律会一目了然.100是不变的，加25是不变的，括号里的加1是不变的，只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十位数在变.解 (1)752=100×7（7+1）+25，852=100×8（8+1）+25(2)(10n+5)2=100×n （n+1）+25(3) 20052=100×200（200+1）+25=4020025例4如图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③.S 表示三角形的个数.（1）当n=4时，S= ，（2）请按此规律写出用n 表示S 的公式.分析 当n=4时，我们可以继续画图得到三角形的个数.怎么找规律呢？单纯从结果有时我们很难看出规律，要学会从变化过程找规律.如本题，可用列表法来找，规律会马上显现出来的.解 (1)S=13(2)可列表找规律：所以S=4(n-1)+1.(当然也可写成4n-3.)【核心练习】1、观察下面一列数，探究其中的规律：—1，21，31-，41，51-，61 ①填空：第11，12，13三个数分别是 ， ， ；②第2008个数是什么？③如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越近？.2、观察下列各式: 1+1×3 = 22, 1+2×4 = 32, 1+3×5 = 42,……请将你找出的规律用公式表示出来:【参考答案】1、①111-，121，1311-;②20081;③0. 2、1+n ×(n+2) = (n+1)2平面图形及其位置关系篇【核心提示】平面图形是简单的几何问题.几何问题学起来很简单，但有时不好表述，也就是写不好过程.所以这部分的核心知识是写求线段、线段交点或求角的过程.每个人写的可能都不一样，但只要表述清楚了就可以了，不过在写清楚的情况下要尽量简便.【典型例题】例1平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为______个，最多为______个.分析 6条直线两两相交交点个数最少是1个，最多怎么求呢？我们可让直线由少到多一步步找规律.列出表格会更清楚.解例2 两条平行直线m 、n 上各有4个点和5个点，任选9点中的两个连一条直线，则一共可以连（ ）条直线. A ．20 B ．36 C ．34 D ．22分析与解 让直线m 上的4个点和直线n 上的5个点分别连可确定20条直线，再加上直线m 上的4个点和直线n 上的5个点各确定的一条直线，共22条直线.故选D. 例3 如图，OM 是∠AOB 的平分线.射线OC 在∠BOM 内，ON 是∠BOC 的平分线，已知∠AOC=80°，那么∠MON 的大小等于_______. 分析 求∠MON 有两种思路.可以利用和来求，即∠MON=∠MOC+∠CON.也可利用差来求，方法就多了，∠MON=∠MOB-∠BON=∠AON-∠AOM=∠AOB-∠AOM-∠BON.根据两条角平分线，想办法和已知的∠AOC 靠拢.解这类问题要敢于尝试，不动笔是很难解出来的.解 因为OM 是∠AOB 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线，所以∠MOB=21∠AOB ，∠NOB=21∠COB 所以∠MON=∠M OB-∠N OB=21∠AOB-21∠C OB=21（∠AOB-∠C OB ）=21∠AOC=21×80°=40° 例4 如图，已知∠AOB=60°，OC 是∠AOB 的平分线，OD 、OE 分别平分∠BOC 和∠AOC. （1）求∠DOE 的大小； O AM C N O B AC D E 图1图2图3（2）当OC 在∠AOB 内绕O 点旋转时，OD 、OE 仍是∠BOC 和∠AOC 的平分线，问此时∠DOE 的大小是否和（1）中的答案相同，通过此过程你能总结出怎样的结论.分析 此题看起来较复杂，OC 还要在∠AOB 内绕O 点旋转，是一个动态问题.当你求出第（1）小题时，会发现∠DOE 是∠AOB 的一半，也就是说要求的∠DOE ， 和OC 在∠AOB 内的位置无关.解 (1)因为OC 是∠AOB 的平分线，OD 、OE 分别平分∠BOC 和∠AOC.所以∠DOC=21∠BOC ，∠COE=21∠COA 所以∠DOE=∠DOC+∠COE=21∠BOC+21∠COA=21（∠BOC+∠COA ）=21∠AOB 因为∠AOB=60°所以∠DOE =21∠AOB= 21×60°=30° (2)由（1）知∠DOE =21∠AOB ，和OC 在∠AOB 内的位置无关.故此时∠DOE 的大小和（1）中的答案相同.【核心练习】1、A 、B 、C 、D 、E 、F 是圆周上的六个点，连接其中任意两点可得到一条线段，这样的线段共可连出_______条.2、在1小时与2小时之间，时钟的时针与分针成直角的时刻是1时 分.【参考答案】1、15条2、分分或1165411921.一元一次方程篇【核心提示】一元一次方程的核心问题是解方程和列方程解应用题。

初中数学数列典型10类例题1、有一个农妇，拿着一篮鸡蛋来到市场上，第一位顾客买了全部鸡蛋的一半再加半个;第二位顾客买了第一次剩下部分的一半再加半个;第三位顾客买了第二次剩下的一半再加半个，如此继续，当第六位顾客买了第五次剩下的一半再加半个时，他发现自己和其他顾客所买的鸡蛋都是整个的，而且农妇也刚好卖完所有鸡蛋，那么农妇一共拿了多少个鸡蛋到市场?你能算出来吗?(63个) 2、小明和小刚是好朋友，他们一个月里两次同时到一家超市买鸡蛋，两次鸡蛋的单价有变化，其中第一次鸡蛋的单价为x元/千克，第二次鸡蛋的单价为y元/千克。

现知道两人的购买方式不一样，小明每次总是买相同质量的鸡蛋，小刚则每次只拿出相同数量的钱买鸡蛋。

两种买鸡蛋的方式哪种合算?3、一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时.一天，小船从早晨6点由A港出发顺流到达B 港时，发现一救生圈在途中落入水中，立刻返回，一小时后找到救生圈。

问:(1)若小船按水流速度由A漂流到B港需要多少小时?(2〉救生圈是在何时落入水中的?4、已知: b7+2ab-c2+2ac则三角形ABC是什么三角形(直角或等腰)5、已知: a+b2+c2-2ab+2ac+2bc,则三角形ABC是什么三角形（等边三角形)6、己知:(a-b)-是三角形的三边，则(a-b)-c?___(大于0或小于0）7、关于x的分式方程."_-1，下列说法正确的是（)A、方程的解是x=m+5.B、m>-5时，方程的解是正数.c、m<-5时，方程的解是负数. D、无法确定.8、某电脑公司经销甲种型号电脑,受经济危机影响，电脑价格不断下降.今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元.(1〉今年三月份甲种型号电脑每台售价多少元?(2)为了增加收入，该公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种型号电脑每台进价为3500元，乙种型号电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种型号的电脑共15台，有几种进货方案?(3）如果乙种型号电脑每台售价为3800元，为打开乙种型号电脑的销路，公司决定每售出一台乙种型号电脑，返还顾客现金a元，要使(2〉中所有方案获利相同，a的值应是多少?此时，哪种方案对公司更有利?9、甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工作效率相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（A>A、8B、7c、6D、510、若x=2008/2009,y=2009/2010,则x,y的大小关系是_。

初中数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．轴对称最值图形lPBANM lBAAPBl 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值转化作其中一个定点关于定直线l的对称点先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点作其中一个定点关于定直线l的对称点折叠最值图形B'NMCAB原理两点之间线段最短特征在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为．【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．∵PC关于OA对称，∴∠COP=2∠AOP，OC=OP同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．∴△COD是等腰直角三角形．则CD=2OC=2×32=6．【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．2．如图，当四边形P ABN的周长最小时，a=．【分析】因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出P A+NB的长度就行了．问题就是P A+NB什么时候最短．把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，此时P A+NB最短．设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值．【解答】解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′（2，﹣1），作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1），设直线AB″的解析式为y=kx+b，则123k bk b=+⎧⎨-=+⎩，解得k=4，b=﹣7．∴y=4x﹣7．当y=0时，x=74，即P（74，0），a=74．故答案填：74．【题后思考】考查关于X轴的对称点，两点之间线段最短等知识．3．如图，A 、B 两点在直线的两侧，点A 到直线的距离AM =4，点B 到直线的距离BN =1，且MN =4，P 为直线上的动点，|P A ﹣PB |的最大值为．D PB′N MA【分析】作点B 于直线l 的对称点B ′，则PB =PB ′因而|P A ﹣PB |=|P A ﹣PB ′|，则当A ，B ′、P 在一条直线上时，|P A ﹣PB |的值最大．根据平行线分线段定理即可求得PN 和PM 的值然后根据勾股定理求得P A 、PB ′的值，进而求得|P A ﹣PB |的最大值．【解答】解：作点B 于直线l 的对称点B ′，连AB ′并延长交直线l 于P ． ∴B ′N =BN =1，过D 点作B ′D ⊥AM ， 利用勾股定理求出AB ′=5 ∴|P A ﹣PB |的最大值=5．【题后思考】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．4．动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 ．【分析】本题关键在于找到两个极端，即BA ′取最大或最小值时，点P 或Q 的位置．经实验不难发现，分别求出点P 与B 重合时，BA ′取最大值3和当点Q 与D 重合时，BA ′的最小值1．所以可求点A ′在BC 边上移动的最大距离为2．【解答】解：当点P 与B 重合时，BA ′取最大值是3， 当点Q 与D 重合时（如图），由勾股定理得A ′C =4，此时BA ′取最小值为1． 则点A ′在BC 边上移动的最大距离为3﹣1=2． 故答案为：2【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．5．如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于 ．【分析】如图，经分析、探究，只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小；根据勾股定理求出BD的长度，问题即可解决．【解答】解：如图，∵当点P落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°，∴四边形PF AE是以EF为直径的圆内接四边形，∴只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小，此时E与点B重合；由题意得：PE=AB=8，由勾股定理得：BD2=82+62=80，∴BD=45，∴PD=458 ．【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动．6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，∵∠MON=90°，AB=2∴OE=AE=12AB=1，∵BC=1，四边形ABCD是矩形，∴AD，∴DE2，根据三角形的三边关系，OD＜OE+DE，∴当OD过点E是最大，最大值为2+1．故答案为：2+1．【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD 和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是．【分析】设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=22x，CD′=22（4﹣x），根据勾股定理然后用配方法即可求解．【解答】解：设AC=x，BC=4﹣x，∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，∴CD=22x，CD′=22（4﹣x），∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，∴∠DCE=90°，∴DE2=CD2+CE2=12x2+12（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，∵根据二次函数的最值，∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．故答案为：2．【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK 的最小值为．【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PK+QK的最小值，然后求解即可．【解答】解：如图，∵AB=2，∠A=120°，∴点P′到CD的距离为2×33∴PK+QK3故答案为：3．【题后思考】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围是．【分析】首先连接AC，DP．由正方形ABCD的边长为1，即可得：S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP+S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，继而可得12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，又由1≤AP≤2，即可求得答案．【解答】解：连接AC，DP．∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1，∴AB=CD，S正方形ABCD=1，∵S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP+S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，∴S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，∴12AP•BB′+12AP•CC′+12AP•DD′=12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，则BB′+CC′+DD′=2 AP，∵1≤AP≤2，∴当P当P与C重合时，有最小值2．∴2≤BB′+CC′+DD′≤2．故答案为：2≤BB′+CC′+DD′≤2．【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是连接AC，DP，根据题意得到S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，继而得到BB′+CC′+DD′=2 AP．10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A 和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可．【解答】解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD是等边三角形，∴BD=AB=AD=3，∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，∴PE=1，DF=2，∴PE+PF的最小值是3．故答案为：3．【题后思考】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键．。