华师大八年级数学下复习资料4

华师大版八年级下册数学重难点突破全册知识点梳理及重点题型举一反三巩固练习分式的概念和性质（提高）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】【403986 分式的概念和性质知识要点】要点一、分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如aπ是整式而不能当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2x yx是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有b b a a -=-，b ba a-=-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与ab-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.要点六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.【典型例题】 类型一、分式的概念【403986 分式的概念和性质 例1】1、指出下列各式中的整式与分式：1x ，1x y +，2a b +，x π，231x -，23-，232y -+，2x x，24y ．【思路点拨】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【答案与解析】解：整式有：2a b +，x π，23-，232y -+，24y ；分式有：1x ，1x y +，231x -，2x x ．【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母．此题判断容易出错的地方有两处：一个是把π也看作字母来判断，没有弄清π是一个常数；另一个就是将分式化简成整式后再判断，如x 和2x x，前一个是整式，后一个是分式，它们表示的意义和取值范围是不相同的．类型二、分式有意义，分式值为0 【403986 分式的概念和性质 例2】2、 当x 取什么数时，下列分式有意义？当x 取什么数时，下列分式的值为零？ （1）21x x +；（2）25x x-；（3）2105x x --． 【答案与解析】解：（1）当210x +≠，即21x ≠-时，分式有意义．∵ 2x 为非负数，不可能等于－1， ∴ 对于任意实数x ，分式都有意义； 当0x =时，分式的值为零．（2）当20x ≠即0x ≠时，分式有意义；当0,50,x x ≠⎧⎨-=⎩即5x =时，分式的值为零（3）当50x -≠，即5x ≠时，分式有意义； 当50,2100x x -≠⎧⎨-=⎩①②时，分式的值为零， 由①得5x ≠时，由②得5x =，互相矛盾．∴ 不论x 取什么值，分式2105x x --的值都不等于零．【总结升华】分母不为零时，分式有意义；分子的值为零，而分母的值不为零时，分式的值为零． 举一反三：【变式1】（2016春•绍兴期末）下列分式中不管x 取何值，一定有意义的的是（ ）A ．2x xB ．211x x -- C ．232x x ++ D ．11x x -+【答案】C.【变式2】当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负数？ 【答案】 解： 由题意可知20,260,x x ->⎧⎨+<⎩或20,260.x x -<⎧⎨+>⎩解不等式组20,260,x x ->⎧⎨+<⎩该不等式组无解．解不等式组20,260.x x -<⎧⎨+>⎩得32x -<<．所以当32x -<<时，分式226x x -+的值恒为负数．类型三、分式的基本性质【403986 分式的概念和性质 例4】3、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数. (1) ； (2)； (3).【答案与解析】 解：(1)；(2) ()221122a a a a -++==---； (3).【总结升华】(1)、根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用；(2)、添括号法则：当括号前添“＋”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号. 举一反三：【变式】下列分式变形正确的是（ ）A ．22x x y y =B ．2222()()()()m n m n m n m n m n m n m n ---==++--C ．211211x x x x -=-+- D ．2b ab a a= 【答案】D ；提示：将分式变形时，注意将分子、分母同乘（或除以）同一个不为0的整式这一条件．其中A 项分子、分母乘的不是同一整式，B 项中0m n -≠这一条件不知是否成立，故A 、B 两项均是错的．C 项左边可化为：2111(1)11x x x x -=≠---，故C项亦错，只有D 项的变形是正确的．类型四、分式的约分、通分4、约分：（1）22211a a a ++-；（2）23224n mmn n --；通分：（3）232a b 与2a b ab c -；（4）12x +，244x x -，22x -．【答案与解析】解：（1）22221(1)11(1)(1)1a a a a a a a a ++++==-+--；（2）22232222(2)242(2)2(2)n m n m m n mn n n m n n m n ----==---12n=-；（3）最简公分母是222a b c ．2222333222bc bc a b a b bc a b c ==，22222()22222a b a b a a ab ab c ab c a a b c ---==． （4）最简公分母是(2)(2)x x +-， 21222(2)(2)4x x x x x x --==++--，224444x xx x =--，222(2)242(2)(2)4x x x x x x ++==--+-． 【总结升华】如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，也就是分子、分母系数的最大公约数与相同字母的最低次幂．通分的关键是确定几个分式的最简公分母，若分母是多项式，则要因式分解，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母以及符号的变化情况．类型五、分式条件求值5、若2xy=-，求22222367x xy y x xy y ----的值．【思路点拨】本题可利用分式的基本性质，采用整体代入法，或把分式的分子与分母化成只含同一字母的因式，使问题得到解决． 【答案与解析】 解法一：因为2xy=-，可知0y ≠， 所以22222222221(23)23167(67)x xy y x xy y y x xy y x xy y y ----=----222367x x y y x x y y⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭22(2)2(2)35(2)6(2)79--⨯--==--⨯--． 解法二：因为2xy=-，所以2x y =-，且0y ≠，所以222223(3)()323567(7)()7279x xy y x y x y x y y y x xy y x y x y x y y y ---+---====---+---． 【总结升华】本题的整体代入思想是数学中一种十分重要的思想．一般情况下，在条件中含有不定量时，不需求其具体值，只需将其作为一个“整体”代入进行运算，就可以达到化简的目的． 举一反三： 【变式1】已知(0)346x y zxyz ==≠，求222xy yz zx x y z ++++的值． 【答案】 解： 设(0)346x y zk k ===≠，则3x k =，4y k =，6z k =．∴ 222222223446635454(3)(4)(6)6161xy yz zx k k k k k k k x y z k k k k ++++===++++． 【变式2】（2015春•惠州校级月考）若0＜x ＜1，且的值．【答案】 解：∵x+=6，∴（x ﹣）2=（x+）2﹣4=36﹣4=32， ∴x ﹣=±4，又∵0＜x ＜1， ∴x ﹣=﹣4． 故答案为﹣4． 【巩固练习】一.选择题1．（2015•南宁模拟）要使分式有意义，x 的取值范围为（ ） A.x ≠﹣5 B.x ＞0C.x ≠﹣5且x ＞0D.x ≥02.（2016·富顺县校级模拟）把分式22x yxy y +-的x y 、均扩大为原来的10倍后，则分式的值（ ） A ．不变B ．为原分式值的10倍C ．为原分式值的110D ．为原分式值的11003．若分式532a ba b-+有意义，则a b 、满足的关系是（ ）A ．32a b ≠B ． 15a b ≠C ．a b 32-=/D ．23a b =-/4．若分式1212+-b b的值是负数，则b 满足（ ）A ．b ＜0B ．b ≥1C ．b ＜1D ．b ＞15．下面四个等式：;22;22;22yx y x y x y x y x y x +-=+---=----=+-③②①⋅-+=--22y x y x ④其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．化简22222a b a ab b -++的正确结果是（ ）A ．a b a b +-B ．a b a b -+C ．12abD ．12ab- 二.填空题 7.使分式22(3)xx +有意义的条件为______．8.（临清市期末）若，则= ．9．（2016春·龙岗区期末）要使分式211x x --的值等于零，则x 的取值是 ．10．填空：)()1(=++-n m n m =-----b a n m m n 212)2(;)(⋅-ba22111．填入适当的代数式，使等式成立．（1）22222()a ab b a b a b+-=⋅-+（2）.a b ba b a -=-+)(11 12. 分式22112mm m -+-约分的结果是______． 三.解答题13.（2015春•泰兴市校级期中）（1）当x=﹣1时，求分式的值．（2）已知a 2﹣4a+4与|b ﹣1|互为相反数，求的值．14.已知112x y-=，求373232x xy yx xy y +---的值．15.（1）阅读下面解题过程：已知22,15x x =+求241x x +的值． 解：∵22,15x x =+()0x ≠12,15x x =+∴即152x x +=⋅2422221114115117()2()22x x x x x x ====⋅+++--∴ （2）请借鉴（1）中的方法解答下面的题目：已知22,31xx x =-+求2421x x x ++的值． 【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D ；【解析】解：由题意得：x+5≠0，且x ≥0，解得：x ≥0， 故选：D ．2. 【答案】C ；【解析】()()()()2222101010210021022101010x y x y x y x yxy y xy y xy y x y y ++++===---⨯⨯-，则分式的值变为原分式的110.3. 【答案】D ；【解析】由题意，320a b +≠，所以23a b =-/. 4. 【答案】D ；【解析】因为2210,b +>所以10,b -<即b ＞1. 5. 【答案】C ；【解析】①④正确. 6. 【答案】B ；【解析】()()()222222a b a b a b a b a ab b a b a b +---==++++. 二.填空题7. 【答案】3x ≠-. 8. 【答案】； 【解析】解：设=k ，则a=2k ，b=3k ，c=4k ． ∴===．故答案为．9. 【答案】-1；【解析】21010x x ⎧-=⎨-≠⎩，所以1x =-.10.【答案】（1）－；（2）＋；11.【答案】（1）2a b +；（2）b a +；【解析】()()()()222222a b a b a ab b a b a b a b -++-=-+-；11a a ba b b b a b a b ab b+++==---. 12.【答案】11mm-+；【解析】()()()22212111111m m m m m m m m--+-==-+-+. 三.解答题13.【解析】 解：（1）== =（2）a 2﹣4a+4=（a ﹣2）2≥0，|b ﹣1|≥0，∵a 2﹣4a+4与|b ﹣1|互为相反数， ∴a﹣2=0，b ﹣1=0， ∴a=2，b=1 ∴= = 14.【解析】 解：方法一：∵112y x x y xy--==， 等式两边同乘以xy ，得2xy y x =-． ∴ 2x y xy -=-．∴3733()72322()3x xy y x y xy x xy y x y xy +--+=----327122377xy xy xy xy xy xy -⨯+===--⨯--． 方法二：∵ 112x y-=，∴ 1133377373327122232223711323x y x xy y y xx xy y y x x y ⎛⎫--++-⎪+--⨯+⎝⎭====----⨯-⎛⎫----- ⎪⎝⎭．15.【解析】 解：∵22,31xx x =-+()0x ≠ ∴1213x x =+-，∴172x x +=∴222422211141145171112x x x x x x x ====++⎛⎫⎛⎫+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 分式的乘除（提高）【学习目标】1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则.2.会分式的乘法、除法运算.3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算. 【要点梳理】【402545 分式的乘除运算 知识要点】 要点一、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：a c acb d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠.2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点二、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭写成nn a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如()222222a b a b a b b b b ---⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 【典型例题】类型一、分式的乘法1、（2016北京•门头沟一模）已知x －3y =0，求()2222x yx y x xy y +⋅--+的值．【思路点拨】先把分母分解因式，并运用分式的乘法法则约分、化简，再把x =3y 代入可求分式的值． 【答案与解析】 解：原式=()()22x yx y x y +⋅--=2x yx y+- ∵ x －3y=0，∴ x=3y ．∴当x=3y 时，原式=2377322y y y y y y ⨯+==-． 【总结升华】本题考查综合运用分式的乘法法则，约分化简分式，并根据已知条件式求分式的值． 举一反三：【变式】已知分式2|2|(3)0a b a b -+-=+，计算22222a aba abb a b+--的值． 【答案】解：22222222()()()()a ab a ab a a b a a b a b a b b a b a b b +-+-==-+-．∵2|2|(3)0a b a b-+-=+， ∴ 2|2|(3)0a b -+-=，且0a b +≠，即20a -=且30b -=，解得2a =，3b =，此时50a b +=≠．∴ 原式222439==．类型二、分式的除法2、课堂上，李老师给同学们出了这样一道题：当3x =，522-73时，求代数式22212211x x x x x -+-÷-+的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体的过程．【思路点拨】分式求值问题的解题思路是先化简，再代入求值，一般情况下不直接代入，本题所给的x 的值虽然有的较为复杂，但化简分式后即可发现结果与字母x 的取值无关． 【答案与解析】解： 2222122(1)1111(1)(1)2(1)2x x x x x x x x x x -+--+÷==-++--． 所以无论x 取何值，代数式的值均为12，即代数式的值与x 的取值无关．所以当3x =，522-73+时，代数式的值都是12．【总结升华】本题实际就是一道普通的分式化简求值题，只是赋予情景，增加兴趣，要通过认真审题，领会解决问题的实质． 举一反三：【变式】已知20a b +=，其中a 不为0，求22222ba ab a bab a --÷+的值.【答案】解：原式＝()()()()2a ab a b a b b a a b ++-⋅- ＝()22b b a +. ∵ 20a b +=， ∴ a b 2-=.∴ 原式＝22224)2()(a a a a =--. ∵ a 不为0，∴ 原式＝41.类型三、分式的乘方3、 （2015春•泉州校级期中）计算：．【思路点拨】先进行乘方运算，再计算乘法运算即可得到结果． 【答案与解析】解：原式=﹣•=﹣．【总结升华】分式乘方时也可以先确定符号，再将分子、分母分别乘方．类型四、分式的乘除法、乘方混合运算【402545分式的乘除运算 例2（4）】4、 若m 等于它的倒数，求32222)2.()22(444m m m m m m m --+÷-++的值．【答案与解析】解：22232442().()422m m m m m m m +++÷--- ()()()()()()()22322222282282m m m m m m m m m m +-=-⨯⨯+-+-=-+∵m 等于它的倒数，∴1,m m=解得1m =± ∴1m =时，原式＝124；1m =-时，原式＝38-.【总结升华】乘除混合运算，首先把除法运算转化为乘法运算，再用乘法运算法则计算．有乘方的，先算乘方，注意符号的处理. 举一反三：【变式】（2014春•安县校级月考）化简：．【答案】 解：原式=﹣••=﹣．【巩固练习】 一.选择题1．（2014秋•岱岳区期中）化简，其结果是（ ）A.﹣B.2C.﹣2 D ．2．（2016•济南）化简÷的结果是（ ） A ．B ．C ．D ．2（x+1）3．计算⨯-32)2(b a 2)2(a b 2()b a ÷-的结果是（ ） A ．68ba - B ．638b a - C ．5216b aD ．5216ba -4．下列各式中正确的是（ ）A ．263333()22x x y y=B ．22224)2(b a a b a a +=+C ．22222)(yx y x y x y x +-=+- D ．333)()()(n m n m nm n m -+=-+ 5．na b 22)(-（n 为正整数）的值是（ ）A ．n n a b 222+B ．n n ab 24C ．n n a b 212+-D ．n nab 24-6．下列分式运算结果正确的是（ ）A ．4453.m n m n m n =B ．.a c adb d bc=C ．222224()a a a b a b=--D ．33333()44x x y y=二.填空题7．已知x ＝2011，y ＝2012，则2244()()x y x y x y ++-的值为______．8．（2015春•周口校级月考）化简：（﹣）3÷（•）= ．9．（2016•永州）化简：÷= ．10.已知x a b =-，y a b =+，则()2x y xy --＝________. 11.当2x =，3y =-时，代数式22222x y xx x xy y -⋅++的值为________. 12.计算：222213699211x x x x x x x x -+-+⋅⋅=--++___________. 三.解答题13．（2015春•成都校级月考）计算：（1）﹣（2）÷．14．先化简，再求值：（1）,144421422x x x x x ++÷--其中14x =-⋅ （2）,a b .b b a a b a b a a 222224)()(+÷--其中,21=a b ＝－1． 15．已知.0)255(|13|2=-+-+b a b a 求323232236().()()a ab b a b b a -÷--的值． 【答案与解析】一.选择题1.【答案】C ；【解析】解：原式=﹣••=﹣2，故选C ．2.【答案】A ； 【解析】原式=•（x ﹣1）=.3.【答案】C ；【解析】⨯-32)2(b a2)2(a b 32262528416()2b a b a a a b a b b ⎛⎫÷-=-⨯⨯-= ⎪⎝⎭.4.【答案】D ；【解析】2633327()28x x y y =；22224()()a a a b a b=++；222()()()x y x y x y x y --=++.5.【答案】B ；【解析】2422()nn n b b a a-=.6.【答案】A ；【解析】.a c acb d bd =；()22224()a a a b a b =--；333327()644x x y y =. 二.填空题7.【答案】－1；【解析】22224422()()()()111()()()()20112012x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++++====--++---. 8.【答案】﹣；【解析】解：原式=﹣÷=﹣•=﹣，故答案为：﹣.9.【答案】；【解析】原式=•=.10.【答案】2224b a b --；【解析】()()()()()222224a b a b x y b xy a b a b a b --+⎡⎤-⎣⎦-=-=--+-. 11.【答案】－5；【解析】()()()()22222235223x y x y x y xx x y x x xy y x x y x y +-----⋅=⋅===-+++-+. 12.【答案】31x x --； 【解析】()()()()()()222222113136933921133111x x x x x x x x x x x x x x x x x x +---+-++-⋅⋅=⋅⋅=--+++-+--. 三.解答题13.【解析】 解：（1）原式=+=；（2）原式=•=x ．14.【解析】解：（1）224144124x x x x x-++÷-()()()()2212122121x x x x x +-=⋅--+ ()22142x xx x =-=-++当14x =-时，原式＝11414424--=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. （2）422222().()a a b a a b b a b b a-+÷- ()()()()22242.a a b a b b b b a a b a a b a b +-=⋅=+-- 当,21=a b ＝－1时，原式＝()()4121312-=--. 15.【解析】解：∵.0)255(|13|2=-+-+b a b a∴3105502a b a b +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解得1255a b ==，32394232322296236915().()()3648a ab b a a b a a b b a b a b b b -÷-=-⋅⋅=-=--.分式的加减（提高）【学习目标】1．能利用分式的基本性质通分． 2．会进行同分母分式的加减法． 3．会进行异分母分式的加减法． 【要点梳理】【403995 分式的加减运算 知识讲解】 要点一、同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为：a b a bc c c±±=. 要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 要点二、异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=. 要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.【典型例题】类型一、同分母分式的加减【403995 分式的加减运算 例1】1、计算：（1）22256343333a b b a a ba bc ba c cba+-++-；（2）2222()()a b a b b a ---； （3）22m n n mn m m n n m++----； （4）33()()x y x y y x ---． 【答案与解析】 解：（1）原式2(56)(34)(3)3a b b a a b a bc ++--+=225634323a b b a a b a bc a c++---==．（2）2222()()a b a b b a ---222222()2()()()a b a b a b a b a b a b -=-==----；（3）22m n n m n m m n n m ++---- 22221m n n m m n n m n m n m n m n m n m n m ++---=--===-----； （4）33()()x y x y y x ---333()()()x y x yx y x y x y +=+=---． 【总结升华】根据乘法交换律有222333a bc ba c cba ==，所以本题是三个同分母分式的加减法，根据法则：分母不变，分子相加减．注意把分子看成一个整体用括号括起来，再加减．仔细观察分母中2()a b -与2()b a -，()n m -与()m n -、3()x y -与3()y x -的互相转化中符号的变化．类型二、异分母分式的加减2、（新罗区校级月考）计算：．【答案与解析】 解：原式=．【总结升华】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 举一反三：【变式】计算（1）（2016·十堰）222442242x x x x x x-+-++-+； （2）222()()()()()()a b c b c a c b aa b a c b c b a c b c a ------++------．【答案】解：（1）222442242x x x x x x-+-++-+ ()()()()2222222x x x x x x --=+++-+ ()22222x x x x x--=++++ ()()()()()2222222x x x x x x x x x x x -+-=+++++ ()2222242x x x x x x x -+-++=+ ()23322x x x x +-=+；（2）原式111111a c ab b a bc c a c b =+++++------ 1111110a c a c a b a b b c b c=-+-+-=------．3、 化简222236523256x x x x x x x x ++++-++++【答案与解析】 解：原式2244113256x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 22443256x x x x =+++++ 44(1)(2)(2)(3)x x x x =+++++ 4(3)4(1)(1)(2)(3)(2)(3)(1)x x x x x x x x ++=+++++++ 816(1)(2)(3)x x x x +=+++8(1)(3)x x =++． 【总结升华】本题按照常规方法先将所有的分母进行因式分解，然后通分计算，不难发现：所有的分子计算较复杂．通过观察不妨将每一个分式化简使它们的分子变得简单，然后再计算就非常的容易了．所以，在进行分式化简时不能盲目地计算，首先应该观察分式的特点，然后选择合适的计算方法． 举一反三：【变式】某商场文具专柜以每支a （a 为整数）元的价格购进一批“英雄”牌钢笔，决定每支加价2元销售，由于这种品牌的钢笔价格廉、质量好、外观美，很快就被销售一空，结账时，售货员发现这批钢笔的销售总额为(399a ＋805)元．你能根据上面的信息求出文具专柜共购进了多少支钢笔吗?每支钢笔的进价是多少元?【答案】解：设文具专柜共购进了钢笔y 支，则39980539979877399222a a y a a a +++===++++． 因为a 为正整数，y 也为正整数，所以a ＋2是7的正约数， 所以a ＋2＝7或a ＋2＝1．所以a ＝5或a ＝－1(不合题意，舍去)． 所以当a ＝5时，y ＝400．即文具专柜共购进了400支钢笔，每支进价为5元．类型三、分式的加减运算的应用4、 已知34(1)(2)12x A Bx x x x -=+----，求整式A ，B ．【思路点拨】首先对等式的右边进行通分，可得(2)(1)(1)(2)A xB x x x -+---．已知两个分式相等，分母相等，则分子也相等，即34()(2)x A B x A B -=+-+．多项式恒等即对应项的系数相等，由待定系数法可得3,(2)4,A B A B +=⎧⎨-+=-⎩可求得A ，B ．【答案与解析】 解法一：由已知得34(2)(1)(1)(2)(1)(2)x A x B x x x x x --+-=----，即34()(2)(1)(2)(1)(2)x A B x A B x x x x -+-+=----．所以3,24,A B A B +=⎧⎨+=⎩ 所以1,2.A B =⎧⎨=⎩解法二：等式两边同时乘以(1)(2)x x --，得34(2)(1)x A x B x -=-+-，令1x =，则A ＝1．令2x =，则B ＝2．所以A ＝１，B ＝2．【总结升华】解法一是利用多项式恒等，则对应项的系数分别相等，列出方程组，求出A ，B 的值．解法二是运用特殊值法，因为多项式恒等，与x 取值无关，故令x ＝1，x ＝2简化式子，求出A ，B 的值． 举一反三：【变式】（2015春•东台市校级期中）已知计算结果是，求常数A 、B 的值．解：因为== = 所以，解得，所以常数A 的值是1，B 的值是2． 【巩固练习】一.选择题1．下列运算中，计算正确的是( )． A.)(212121b a b a +=+ B.acb c b a b 2=+C.aa c a c 11=+-D.110a b b a+=-- 2．a b a b a -++2的结果是( )．A.a 2-B.a4C.ba b --2 D.ab- 3．（2016·黄冈校级自主招生）已知227x ,y ==-，则221639yx y x y ---的值为（ ） A ．-1 B ．1 C ．-3D ．34．下列各式中错误．．的是（ ） A ．2c d c d c d c d d a a a a -+-----== B ．5212525aa a +=++C ．1x y x y y x-=---D ．2211(1)(1)1x x x x -=--- 5. 下列计算正确的是（ ） A.11211x x x x ---=-- B.()()()44311111x x x x +=--- C.()()3311011m m +=-- D.()()()()211212212x x x x x x -=+--++- 6. 化简232a b c a b c c ba b c a c b c a b-+-+--++--+--的结果是（ ） A.0 B.1 C.－1 D.()22b c c a b---二.填空题7．分式)2(,)2(++m b nm a m 的最简公分母是______．8．a 、b 为实数，且ab ＝1，设11,1111a b P Q a b a b =+=+++++，则P______Q(填“＞”、“＜”或“＝”)．9.2112111aa a a +-+--＝___________. 10．aa a -+-21422＝______．11．若x ＜0，则|3|1||31---x x ＝______．12.（2016春·保定期末）若13x x +=，则231xx x ++的值是 ．三.解答题13.计算下列各题（1）223215233249a a a a ++++-- （2）43214121111x x x x x x +-++-+--14．等式⋅-++=-++236982x Bx A x x x 对于任何使分母不为0的x 均成立，求A 、B 的值．15．（2014秋•乳山市期中）阅读，做题时，根据需要，可以将一个分数变成两个分数之差，如：==1﹣；==﹣；==（﹣），等等．解答下列问题：（1）已知a=，b=，c=，比较a ，b ，c 的大小． （2）求++++…++的值．（3）求++++…++的值．（4）求++++…+．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D ； 【解析】11222a b a b ab ++=；b b bc ab a c ac ++=；11c c a a a+-=-.2. 【答案】C ；【解析】()()222a b a b a a b a b b a a b a b a b+-++=-=-----； 3. 【答案】B ； 【解析】解：原式=()()16333yx y x y x y --+- =()()3633x y yx y x y +-+-=()()333x yx y x y -+-=13x y+，当227x ,y ==-，原式=112221=-，故选B ．4. 【答案】C ； 【解析】x y x y x y x y y x x y x y x y+-=+=-----. 5. 【答案】C ； 【解析】11011x x x x ---=--；()()()44411111x x x x x ++=---；()()222111112222x x x x x x x x -=-+--+---+ ()()22422xx x x =---+.6. 【答案】A ； 【解析】原式＝2320a b c a b c c ba b c a b c a b c-+-+---=+-+-+-.二.填空题7. 【答案】()2ab m +； 8. 【答案】＝； 【解析】()()()()()2111110111111ab a b ab a b ab b a P Q a b a b a b ---+--++---=+===++++++. 9. 【答案】0；【解析】2211211201111a a a a a a a a -++-+-==+---. 10.【答案】12a +；【解析】()22222114242a a a a a a a -++==---+. 11.【答案】229xx -；【解析】2111123|||3|339xx x x x x -=+=--+--.12.【答案】34；【解析】解：233111x x x x x=++++， 当13x x +=，原式=33314=+．故答案为：34.三.解答题 13.【解析】解：（1）原式()()2222332321523215023234949a a a a a a a a --++++=-+==+---. （2）原式3337224448224448111111x x x x x x x x x x x x -=-+=-=-++-+-. 14.【解析】解：()22232892363266A B x B Ax A B Ax A Bx B x x x x x x x x ++-+-++=+==+-+-+-+-所以8329A B B A +=⎧⎨-=⎩，解得35A B =⎧⎨=⎩.15.【解析】 解：（1）a==1﹣，b==1﹣，c==1﹣，∵＞＞，∴﹣＜﹣＜﹣，即1﹣＜1﹣＜1﹣，则a＜b＜c；（2）原式=++…+=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=；（3）原式=[++…+]=（1﹣+﹣+…+﹣）=；（4）原式=++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=．分式方程的解法及应用（提高）【学习目标】1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2. 会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】【分式方程的解法及应用知识要点】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 【典型例题】类型一、判别分式方程1、（2016春•闵行区期末）下列方程中，不是分式方程的是（ ）A ．21x x -= B ．112231x x x --=-++ C ．22112x x x x +-=+ D ．21212x x x +=-【答案】B ．【解析】解：A 、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；B 、该方程属于无理方程，故本选项正确；C 、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；D 、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误； 故选B ．【总结升华】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．类型二、解复杂分式方程的技巧2、解方程：1310414351x x x x -=-----． 【答案与解析】解：方程的左右两边分别通分，得3131(4)(3)(5)(1)x x x x x x ++=----，∴31310(4)(3)(5)(1)x x x x x x ++-=----， ∴ 11(31)0(4)(3)(5)(1)x x x x x ⎡⎤+-=⎢⎥----⎣⎦， ∴ 310x +=，或110(4)(3)(5)(1)x x x x -=----， 由310x +=，解得13x =-，由110(4)(3)(5)(1)x x x x -=----，解得7x =．经检验：13x =-，7x =是原方程的根.【总结升华】若用常规方法，方程两边同乘(4)(3)(5)(1)x x x x ----，去分母后的整式方程的解很难求出来．注意方程左右两边的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右两边分别通分的方法来解． 举一反三： 【变式】解方程11114756x x x x +=+++++． 【答案】 解：移项得11114567x x x x -=-++++， 两边同时通分得(5)(4)(7)(6)(4)(5)(6)(7)x x x x x x x x +-++-+=++++，即11(4)(5)(6)(7)x x x x =++++，因为两个分式分子相同，分式值相等，则分式分母相等． 所以(4)(5)(6)(7)x x x x ++=++，229201342x x x x ++=++， 2292013420x x x x ++---=， 4220x --=，∴ 112x =-．检验：当112x =-时，(4)(5)(6)(7)0x x x x ++++≠．∴ 112x =-是原方程的根．类型三、分式方程的增根【 分式方程的解法及应用 例3】3、（1）若分式方程223242mx x x x +=--+有增根，求m 值； （2）若分式方程2221151k k x x x x x---=---有增根1x =-，求k 的值． 【思路点拨】（1）若分式方程产生增根，则(2)(2)0x x -+=，即2x =或2x =-，然后把2x =±代入由分式方程转化得的整式方程求出m 的值．（2）将分式方程转化成整式方程后，把1x =-代入解出k 的值.【答案与解析】 解：（1）方程两边同乘(2)(2)x x +-，得2(2)3(2)x mx x ++=-．∴ (1)10m x -=-．∴ 101x m=-． 由题意知增根为2x =或2x =-，∴1021m =-或1021m =--． ∴ 4m =-或6m =．（2）方程两边同乘(1)(1)x x x +-，得(1)(1)(5)(1)k x x k x --+=-+． ∴ 34x k =-．∴ 43k x -=．∵ 增根为1x =-，∴ 413k -=-．∴ 1k =．【总结升华】(1)在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根做作原方程的增根．在分式方程中，使最简公分母为零的根是原方程的增根；(2)这类问题的解法都是首先把它们化成整式方程，然后由条件中的增根，求得未知字母的值． 举一反三：【变式】（2015•泰州校级一模）是否存在实数x ，使得代数式﹣与代数式1+的值相等． 【答案】 解：根据题意得：﹣=1+，去分母得：x 2﹣4x+4﹣16=x 2﹣4+4x+8， 移项合并得：8x=﹣16， 解得：x=﹣2，经检验x=﹣2是增根，分式方程无解， 所以不存在这样的实数x ，使得代数式﹣与代数式1+的值相等．类型四、分式方程的应用【 分式方程的解法及应用 例3】4、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米?(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种?请你帮助设计出来．【思路点拨】(1)题中的等量关系是甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．（2）由工期不超过10天列出不等式组求出范围. 【答案与解析】解：(1)设甲工程队每天能铺设x 米，则乙工程队每天能铺设()20x -米．根据题意，得35025020x x =-．解得70x =． 经检验，70x =是原分式方程的解且符合题意．故甲、乙两工程队每天分别能铺设70米和50米．。

华师版数学八年级下册各章节知识点汇总第16章分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。

3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。

4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。

即，使BA=0的条件是：A=0，B≠0。

二、分式的基本性质通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。

（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。

约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

在约分时要注意：（1）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；（2）如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分；（3）约分一定要把公因式约完。

三、分式的符号法则：（1）－a b=a -b =－a b ；（2）-a -b =a b ；（3）－-a -b =ab §16.2分式的运算一、分式的乘除法应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。

二、分式的加减法（一）同分母分式的加减法1、用式子表示：a c a cb b b±±=2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。

知识点1：一元二次方程的基本概念1．一元二次方程3x 2+5x-2=0的常数项是-2.2．一元二次方程3x 2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x 2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2-x-2=0.知识点2：直角坐标系与点的位置1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。

2．直角坐标系中，x 轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A （-2，1）在第二象限.知识点3：已知自变量的值求函数值1．当x=2时,函数y=32-x 的值为1. 2．当x=3时,函数y=21-x 的值为1.3．当x=-1时,函数y=321-x 的值为1.知识点4：基本函数的概念及性质1．函数y=-8x 是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数x y 21-=是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3. 6．抛物线2)1(212+-=x y 的顶点坐标是(1,2).7．反比例函数xy 2=的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4.3．数据1，2，3，4，5的中位数是3.知识点6：特殊三角函数值1．cos30°=23. 2．sin 260°+ cos 260°= 1. 3．2sin30°+ tan45°= 2. 4．tan45°= 1.5．cos60°+ sin30°= 1.知识点7：圆的基本性质1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆.3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧.9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。

第17章 分式1．分式形如BA（A 、B 是整式，且B 中含有字母，0≠B ）的式子，叫做分式。

其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

【注】分式中。

分母不能为零，否则分式无意义。

2．有理式整式和分式统称为有理式。

（1）下列各有理式中，哪些是分式？那些值整式？()1394,3,2,3,21,1y x x x x m x y x x +--+ （2）当x 取何值时，下列分式有意义？①,1x ②22+-x x ③142++x x ④534-x x（1） 一件工作,甲独做a 小时完成,乙独做b 小时完成,则甲、乙两人合作完成需要( )小时。

A.b a 11+ B.ab 1 C.b a +1 D.ba ab+ （2）当a 时，分式321+-a a 有意义。

把下列有理式中是分式的代号填在横线上①－3x ；②yx；③22732xy y x -；④－x 81；⑤35+y ；⑥112--x x ；⑦－π12-m ；⑧5.023+m .3．分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

4．最简分式分子与分母没有公因式的分式称为最简分式。

5．最简公分母各分母所有因式的最高次幂的积（1）约分①2232axy y ax ②)(3)(2b a b b a a ++- ③()()32a x x a -- ④y xy x 242+- （2）通分①xy x 125,312②xx x x -+221,1（1）不改变分式y x y x +-32252的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是( ) A.y x y x +-4152 B.yx y x 3254+- C.y x y x 24156+- D.y x yx 641512+-（2）分式:①322++a a , ②22b a b a --, ③()b a a-124, ④21-x 中,最简分式有( )A.1个B.2个C.3个D.4个6．分式的运算（1）分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。

华师大版八年级下册数学知识点总结八年级华师大版数学（下）第16章 分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式。

2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。

其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。

3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。

4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。

即，使B A =0的条件是：A=0，B ≠0。

5、有理式整式和分式统称为有理式。

整式分为单项式和多项式。

分类：有理式单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；多项式：由几个单项式的和组成的代数式。

二、分式的基本性质⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。

2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。

（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。

3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

华师大八年级数学（下）复习提纲八年级华师大版数学（下）复习提纲第17章分式§17.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果a、b表示两个整式，并且b中含有字母，那么式子叫做分式。

2、对于分式概念的认知，应当把握住以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。

其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。

3、分式存有意义、并无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。

4、分式的值为0的条件：当分式的分子等同于0，而分母不等同于0时，分式的值0。

即为，并使=0的条件就是：a=0，b≠0。

5、有理式整式和分式泛称为有理式。

整式分成单项式和多项式。

单项式整式?分类：有理式多项项分式?abab单项式：由数与字母的乘积共同组成的代数式；多项式：由几个单项式的和共同组成的代数式。

二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

1八年级华师大版数学（下）复习提纲amaa÷m用式子表示为：b==b÷m，其中m（m≠0）为整式。

bm2、通在分后：利用分式的基本性质，并使分子和分母都除以适度的整式，不发生改变分式的值，把几个异分母分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫作分式的通分。

通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。

（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。

3、约分后：根据分式的基本性质，约回去分式的分子和分母的公因式，不发生改变分式的值，这样的分式变形叫作分式的约分后。

华师版八年级数学下册知识点1．分式形如BA（A 、B 是整式；且B 中含有字母；0≠B ）的式子；叫做分式.其中A 叫做分式的分子；B 叫做分式的分母.【注】分式中.分母不能为零；否则分式无意义. 2．有理式.()1394,3,2,3,21,1yx x x x m x y x x +--+ （2）当x 取何值时；下列分式有意义？①,1x ②22+-x x ③142++x x ④534-x x,甲独做a 小时完成,乙独做b 小时完成,则甲、乙两人合作完成需要( )小时.A.b a 11+ B.ab 1 C.b a +1D.ba ab+ （2）当a 时；分式321+-a a 有意义.把下列有理式中是分式的代号填在横线上①－3x ；②yx；③22732xy y x -；④－x 81；⑤35+y ；⑥112--x x ；⑦－π12-m ；⑧5.023+m .3．分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式；分式的值不变. 4．最简分式分子与分母没有公因式的分式称为最简分式. 5．最简公分母①2232axy y ax ②)(3)(2b a b b a a ++- ③()()32a x x a -- ④y xy x 242+- （2）通分①xy x 125,12 ②xx x x -+221,1（1）不改变分式y x y x +-32252的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是( ) A.y x y x +-4152 B.y x y x 3254+- C.y x y x 24156+- D.yx y x 641512+-（2）分式:①322++a a , ②22ba b a --, ③()b a a -124, ④21-x 中,最简分式有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6．分式的运算（1）分式乘分式；用分子的积作为积的分子；分母的积作为积的分母；如果得到的不是最简分式；应该通过约分进行化简.（2）分式除以分式；把除式的分子、分母颠倒位置后；与被除式相除. （3）分式的乘方等于分子分母分别乘方. （4）分式的符号法则：（1）b a b a b a -=-=-；（2）b a b a =--；（3）b ab a =---①xb by ax 2222ay · ②222222a a x b yz z b xy ÷③22⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y ④32⎪⎭⎫⎝⎛-c a （2）水果店有两种苹果；甲种苹果每箱净重m 千克.售a 元；乙种苹果每箱净重n 千克；售b 元；请问；甲（1）若分式2242x x x ---的值为零,则x 的值是( )A.2或-2B.2C.-2D.4（2）计算 32231487x 12xy y x y ⋅÷ （4）同分母分式相加减；分母不变；把分子相加减..①a b a +2 ②ab a322- ③1624432---x x （2）琳琳家距离学校a 千米；骑自行车需要b 分钟.若有一天她从家出发迟到了c 分钟；则她每分钟应多骑多（1）化简a ba b a b--+等于( ) A.2222a b a b +- B.222()a b a b +- C.2222a b a b-+ D.222()a b a b +- （2）计算 32311x1x x x ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+（3）某农场原计划用m 天完成a 公顷的播种任务,如果要提前b 天结束,那么平均每天比原计划要多播种公顷.①2424422x y x y x x y x y x y x y ⋅-÷-+-+ ②(x+y)·2222x y x y y x+-- 7．分式方程（1）分母中含有未知数的方程叫做分式方程.（2）解分式方程；实质上是将方程的两边乘以同一个整式；约去分母；把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.（3）增根是指不适合原分式方程的解（或根）；因此；解分式方程必须进行检验.（4）解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零.有时为.①130100-=x x ②21212339x x x -=+-- （2）列方程解应用题2640名学生的成绩由两位程序操作员各向计算机输入；已知甲的输入速度是乙的2倍；结果甲比乙少用.问这两个操作员呢每分钟各输入多少名学生的成绩？（1）当m=______时,方程233x mx x =---会产生增根. （2）若关于x 的方程ax=3x-5有负数解,则a 的取值范围是( )A.a<3B.a>3C.a ≥3D.a ≤3 （3）解分式方程2236111x x x +=+--,分以下四步,其中,错误的一步是( ) A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6C.解这个整式方程,得x=1 x=1（1）当x 时；分式xx--23的值为负数. （2）甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做1天, 再由两队合作2天就完成全部工程,已知甲队与乙队的工作效率之比是3:2,求甲、 乙两队单独完成此项工程各需多少天? 8．零指数幂与负整指数幂（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1. 【注】0的零次幂没有意义.（2）任何不等于零的数的-n （n 为正整数）次幂；等于这个数的n 次幂的倒数.n a a a nn ,0(1≠=-是正整数）① 23- ②101031-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛（2）计算下列各式；并把结果化成只含有正整指数幂的形式 ①()()3223--ab a ②()223x --yz（3）用小数表示下列各数 4- ②510.12-⨯（1）计算1201(1)5(2004)2π-⎛⎫-+-÷- ⎪⎝⎭的结果是_________.-1,则x+x -1=__________.① 410255÷ ②241-⎪⎭⎫ ⎝⎛- ③()()22332m 2----mn n9．利用10的负整指数幂；用科学记数法表示一些绝对值较小的数；即将它们表示成na -⨯10的形式；其中n 是正整数；101<≤a .① 0.00003 ②-0.0000064 ③20100000035纳米；它等于多少米？10的负整指数幂填空①1毫克= 千克 ②1平方厘米= 平方米③1纳米= 微米= 毫米= 厘米= 分米= 米 （2）把下列各数用科学记数法表示②0.0000001 ③-11200000 ④-0.00000112p 与体积V 的乘积也保持不变.现在它的压强511001.1p ⨯=帕时；体积1V =2立方米；若这些气体加压到521003.3⨯=p 帕时；求这些气体的体积2V .（已知2211,,,V p V p 满足1221V p V p =）第18章 函数及其图像1．变量与函数（1）变量：在某一变化过程中；可以取不同数值的量；叫做变量.（2）一般的；如果在一变化过程中；有两个变量；例如x 和y ；对于x 的每一个值；y 都有唯一的值与之对应；我们就说x 是自变量；y 是因变量.此时也称y 是x 函数. 2、对函数概念的理解；主要抓住三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的数值随另一个变量的数值的变化而变化；（3）自变量每确定一个值；因变量就有一个并且只有一个值与其对应. 3表示函数关系的方法 1）解析法（关系式法）：两个变量之间的关系；有时可以用一个含有这两个变量的等式表示；这种方法叫解析式法. 2）列表法 3）图像法.. ①圆的周长C 与半径r 的函数关系式.②火车以60㎞／时的速度行驶；它驶过的路程s 与所用时间的函数关系式. ③n 边形的内角和的度数S 与边数n 的函数关系式. （5）求函数自变量的取值范围1．实际问题中的自变量取值范围 按照实际问题是否有意义的要求来求.2．用数学式子表示的函数的自变量取值范围(1)解析式为整式的；x 取全体实数；(2)解析式为分式的；分母必须不等于0式子才有意义；(3)解析式的是二次根式的被开方数必须是非负数式子才有意义；(4)解析式是三次方根的；自变量的取值范围是全体实数. 3．函数值：指自变量取一个数值代入解析式求出的数值；称为函数值；实际上就是以前学的求代数式的值.x 的取值范围① y=3x+1 ② 122+=x y ③21+=x y ④2-=x y87654（2）已知等腰三角形的面积是20㎡；设它的底边长是x （米）；求底边上的高y （米）关于x 的函数关系式；. 练习：x 的取值范围① 252y x x --= ②36+=x xy ③12-=x y （2）分别写出下列问题中的函数关系式；指出自变量和因变量；以及自变量的取值范围.①寄一封重量为20克以内的市内平信；需邮资0.60元；求寄n 封这样的信所需邮资y （元）与n 间的函数关系式.②如果一个直角三角形中一个锐角是α；那么求另一个锐角的度数β与α之间的函数关系式. 2．函数的图像 （1）直角坐标系1)在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴；这就建立了平面直角坐标系.通常把其中水平的一条数轴叫做x 轴或横轴；取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴；取向上为正方向；两数轴的交点O 叫做坐标原点.2)在平面直角坐标系中；任意一点都可以用一对有序实数来表示.例如点P 分别向x 轴和y 轴作垂线；垂足分别为M 和N.这时；点M 在x 轴上对应的数字是m ；称为点P 的横坐标；点N 在y 轴上的坐标为n ；称为点P 的纵坐标；得到一对有序实数（m ；n ）；称为点P 的坐标；可记为P （m ；n ）.3)在平面直角坐标系中；两条坐标轴把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域；分别称为第一、二、三、四象限；坐标轴上的点不属于任何一个象限.4)在平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的.Ⅱ ⅠⅢ Ⅳ平面直角坐标系一一对应． ⑵根据点所在位置填图⑶x 轴上的点______坐标为0, y 轴上的点______坐标为0.⑷ P (x,y)关于x 轴对称的点坐标为__________；关于y 轴对称的点坐标为________； 关于原点对称的点坐标为___________. 例题：A （2,3）；分别找出它与x 轴、y 轴及原点的对称点；并写出这些点的坐标；说出 练习：A （b ；3）、B （d ；5）、C （f ；7）、D （h ；2）,请在图中描出它们的位置.M N x y OPn m（2）函数的图像1）一般来说；函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成.图像上的每一点的坐标（x ；y ）代表函数的一对对应值；它的横坐标x 表示自变量的某一个值；纵坐标y 表示与它对应的函数值. .即列表、描点、连线三步.和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用的时间（分）的关系看图回答问题：①小强让爷爷先上了多少米？②山顶离山脚的距离有多少米？谁先爬上山顶？ . 1；-2）；（2.5；6.5）} ②()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛≥+=1,3,32,2,2,0,0,12y x x （2）周末小李8时骑自行车从家里出发；到野外郊游；16时回到家里；他离家的距离s （千米）与时间t （时）的关系可以用图中的曲线表示；根据这个图像回答下列问题.①小李到达离家最远的地方是什么时候？ ②小李何时第一次休息？③10时到13时；小李骑了多少千米？ ④返回时；小李的平均车速是多少？3．一次函数（1 一次函数通常可以表示为y=kx+b 特别的；当b=0时；一次函数y=kx（2）一次函数的图像一次函数y=kx+b （k 、b 是常数；k ≠0）的图像是一条直线；通常也称为直线y=kx+b.特别的；正比例函数y=kx （k ≠0）的图像是经过原点（0；0）. 对于直线y=kx+b （k 、b 是常数；k ≠0）；k 表示直线的倾斜程度.b 是直线与y 轴交点的纵坐标.(3)一次函数的图象：函数y=kx+b(k 、b 是常数；k ≠0)的图象是一条直线. 过点(0；b )且与直线y=kx 平y x （1）在同一个坐标系内画出下列函数图像；并说出它们有什么关系？ ①y=-2x ②y=-2x-4（2）①将直线y ＝-2x ＋3向下平移5个单位；得到直线 ．②直线y=－5x+7可以看作是由直线y=－5x －1向 平移 个单位得到的. （3）求函数323-=x y 与x 轴、y 轴的交点坐标；并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积. y=2x-3平行的直线 y=－x+2与x 轴的交点坐标是 ；与y 轴的交点坐标是②直线y=232-x 与x 轴的交点坐标是 ；与y 轴的交点坐标是 （2）直线y=2x-3可以由直线y=2x 经过 单位而得到；直线y=-3x+2可以由直线y=-3x 经过 而得到；直线y=x+2可以由直线y=x-3经过 而得到．y=2x-3平行；且经过点（2；7）的直线 （1）直线y ＝4x －3过点（_____；0）、（0； ）；直线231+-=x y 过点（ ；0）、（0； ）． （2）一次函数y ＝3x ＋b 的图象与两坐标轴围成的三角形面积是24；求b .（3)一次函数的性质设y=kx+b(k ≠0)；则当k ＞0时；y 随x 的增大而增大；当k ＜0； y 随x 的增大而减小.当b ＞0时；直线交y 轴于正半轴；当b ＜0时；直线交y 轴于负半轴；当b=0时；直线过原点 正比例函数的图象：函数y=kx(k 是常数；k ≠0)的图象是过原点及点(1；k)的一条直线. 当k ＞0时；图象过原点及第一、第三象限；当k ＜0时；图象过原点及第二、第四象限.正比例函数的性质：设y=kx(k ≠0)；则当k ＞0时；y 随x 的增大而增大；当k ＜0时；y 随x 的增大而减小. （2）、求一次函数b kx y +=与x 轴、y 轴的交点坐标①与x 轴的交点坐标：令y = 0；求x ；②与y 轴的交点坐标：令x = 0, 求y 当k>0时；y 随x 的增大而增大；这时函数的图像从左到右上升. 当k<0时；y 随x 的增大而减小；这时函数的图像从左到右下降. 当k>0；b>0时；函数经过Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ象限. 当k>0；b<0时；函数经过Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ象限. 当k<0；b>0时；函数经过Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ象限. k<0；b<0时；函数经过Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限. （1）y =-2x +2的图象,结合图象回答下列问题.①随着x 的增大；y 将 （填“增大”或“减小”） ②它的图象从左到右 （填“上升”或“下降”）③图象与x 轴的交点坐标是 ；与y 轴的交点坐标是④这个函数中,随着x 的增大,y 将增大还是减小?它的图象从左到右怎样变化? ⑤当x 取何值时,y =0?当x 取何值时,y ＞0?（2）某个一次函数的图象位置大致如下图所示；试分别确定k 、b 的符号；并说出函数的性质.①（3）已知一次函数y ＝(2m-1)x ＋m ＋当m 取何值时,y 随x 的增大而增大?,y 随x 的增大而减小? y ＝(1-2m)x ＋m-1；若函数y 随x 的增大而减小；并且函数的图象经过二、三、四象限,求m 的取值范围 .（2）若 a 是非零实数 , 则直线 y=ax-a 一 定（ ）A.第一、二象限B. 第二、三象限C.第三、四象限D. 第一、四象限（3）如图；表示一次函数y=mx+n 与正比例函数y=mnx （m,n 为常数；且mn ≠0）图象的是（ ）y 的值随x 值的增大而减小的是（） Ａ．y=2x Ｂ．y=3x-6 Ｃ．y=-2x+5 Ｄ．y=3x+7(2) 已知一次函数y kx b =+的图象不经过第三象限；也不经过原点；那么k b 、的取值范围是（ ） Ａ．0k >且0b <Ｂ．0k >且0b < Ｃ．0k <且0b >Ｄ．0k <且0b <（3）直线y mx n =+如图所示；化简：m n --= ．（4）如图所示；已知正比例函数(0)y kx k =≠的函数值y 随x 的增大而增大；则一次函数y x k =--的图象大致是（ ）待定系数法：先设待求函数关系式（其中含有未知数的系数）数；从而得出所求结果的方法；叫做待定系数法. 一设 b kx y += 二代 （将点的坐标代入解析式；构造待定系数的方程或方程组；） （用已知等量关系或几何条件；构造待定系数的方程或方程组）三解 （解方程或方程组） 四还原（将解出来的系数代入所设的函数解析式）y=kx+b 的图像经过点（-1,1）和点（1；-5）求这个一次函数的关系式；并求当x=5时；函数y .直线y=kx+5经过点（-2,1）.（2）小李暑假去旅游；当地山区海拔每增加100米；气温下降0.6℃；小李在山脚看了一下随身带着的温度34℃；乘缆车到山顶发现温度为32.2℃；求山高. .现测得一定量的酒精在0℃时的体积为5.250升；在40℃时的体积是5.481升；求这些酒精在10℃；30℃时的体积各是多少？Ｂ． C ． D ． x x x x D ．Ｃ． B ． A ．一次函数的图象正比例函数和一次函数的图象都是一条直线；所以对于其解析式也称为“直线y=kx+b ；直线y=kx ”.因为一次函数的图象是一条直线；所以在画一次函数的图象时；只要描出两个点；在通过两点作直线即可. 1、画正比例函数y=kx(k ≠0的常数)的图象时；只需要这两个特殊点：（0；0）和（1；k ）两点；2、画一次函数y=kx+b(k 、b 为常数；k ≠0)的图象时；只需要找出它与坐标轴的两个交点即可.一次函数与x轴的交点坐标是：（0；b ）；与y 轴的交点坐标是：（k b-；0）4．反比例函数 （1）一般的；形如k k xky ,0(≠=是常数）的函数叫做反比例函数. 例题： （1）已知矩形的面积为15平方厘米；设它的长为x 厘米；宽为y 厘米,那么y 与x 之间的函数关系式是 .. （1）已知2xy-6=0；则y 是x 的（ ）. （A ）正比例函数 （B ）反比例函数 （C ）一次函数 （D ）不成函数关系 （3）若函数y=22(4)3mm x-+-是y 关于x 的反比例函数；则m= 练习：（1）一台抽水机每小时灌田10公顷；用若干台抽水机灌田300公顷；用解析法表示抽水机的台数n 和完成任务所需的时间t （时）之间的函数关系为 .（2）在下列各式中；不是反比例函数关系的是（ ）（Α）4xy=1 （B ）y x=2 （C ）y=mx-1(m ≠0) （D ）y=4xx作业：（1）若y 与z 成正比例；z 与x 成正比例；则y 与x 成 ；若y 与z 成反比例；z 与x 成正比例；则y 与x 成 ；若y 与z 成反比例；z 与x 也成反比例；则y 与x 成 . （2）反比例函数的图像是双曲线. （3）反比例函数的性质1）当k>0时；函数的图像在第Ⅰ、Ⅲ象限；在每个象限内；曲线从左向右下降；也就是在每个象限内y 随x 的增大而减小.2）当k<0时；函数的图像在第Ⅱ、Ⅳ象限；在每个象限内；曲线从左向右上升；也就是在每个象限内y 随x 的增大而增大. 5.反比例函数(1)反比例函数的图象：函数xky =(k ≠0)是双曲线. 当k ＞0时；图象在第一、第三象限； 当k ＜0时；图象在第二、第四象限. ⑵反比例函数的性质：设xky =(k ≠0)；则 当k ＞0时；在每个象限中；y 随x 的增大而减小； 当k ＜0时；在每个象限中；y 随x 的增大而增大. ⑶反比例函数y=kx中k 的意义：如图；过反比例函数)0(≠=k xky 图象上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ；则所得的矩形PMON 的面积xy x y PN PM S =⋅=⋅==k ．例题：（1）如图：反比例函数y=kx的图象经过点Α；则k 的值是（ ） （Α）2 （B ）1.5 （C ）-3 （D ）-32（2）若反比例函数3ky x-=的图象位于第二、四象限；则k 的取值范围是 . （3）在同一直角坐标系中；函数y=3x 与y=1x-的图象大致是（ ）（4）在函数x y 5-=的图象上有三点（-1；y 1）、（-14；y 2）、（12,y 3）；则函数值y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）. （Α）y 2<y 3<y 1 （B ）y 3<y 2<y 1）y 1<y 3<y 2 （D ）y 1<y 2<y 3 练习：1；2）；则它的图象也一定经过（ ）（Α）（-1；-2）（B ）（-1；2） （C ）（1；-2） （D ）（-2；1） （2）在函数y=-1x的图象上有三点Α、B 、C ；过这三点分别向x 轴、y 轴作垂线；过每一点所作的两条垂线段与x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为S 1、S 2、S 3；则（ ） （Α）S 1>S 2>S 3 （B ）S 1<S 2<S 3 （C ）S 1<S 3<S 2 （D ）S 1=S 2=S 3作业：已知y 是x 的反比例函数；且当x=3时；y=8. ①求y 是x 的函数关系式.②求当x=322时；y 的值.③当x 取何值时；y=1.5.5．二元一次方程组的图像解法11 / 12 jC N F DB E M A 画出方程组对应的两个一次函数的图像；找出它们的交点；这个交点的坐标就是二元一次方程组的解；.① ⎪⎩⎪⎨⎧+=--=42112x y x y ②⎩⎨⎧-=+=-522y x y x 6．一次函数与一元一次不等式y=kx+b （k ≠0）的函数值y>0的自变量的所有的值；就是一元一次不等式kx+b>0的解集. y=1.5x+3的图像；指出①x 取何值时；y>0？②x 取何值时；y<0？（2）学校准备去春游；甲乙两家旅行社原价为每人60元；且都表示对学生优惠；甲旅行社表示：全部8折收费；乙旅行社表示：若人数不超过30人则全部9折收费；超过30人全部按7折收费.①试分别写出甲乙两家旅行社实际收取的总费用y 关于春游学生人数x 的函数关系式.②讨论选择哪家旅行社较优惠；③在同一坐标系中画出题①的函数的图像；并根据图像解释题②讨论的结果.第19章 全等三角形1．命题判断它是正确的或是错误的句子叫做命题.正确的命题叫做真命题；错误的命题叫假命题...①全等三角形的对应边相等.②平行四边形的对应边相等.（2）指出下列命题中的真命题和假命题.①同位角相等；两直线平行.②多边形的内角和等于180°.2．公理数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的；并把它们作为判断其他命题真假的原始依据；这样的真命题叫做公理.3．定理数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发；用逻辑推理的方法证明它们是正确的；并且可以进一步..并用逻辑推理的办法证明题①①同旁内角互补；两直线平行.②三角形的外角和等于360°.（2）判断下列命题是真命题还是假命题；若是假命题；举一个反例加以证明.①两个锐角的和是直角...”即；已知：如图；AB ⊥MN,CD ⊥MN,垂足分别是E,F 求证：AB ∥CD.12 / 12 O C DAD C D BE A C D B M A C4．全等三角形的判定一般三角形 SSS SAS ASA AASSSS SAS ASA AAS HLO 是平行四边形ABCD 的对角线的交点；△AOB 绕点O 旋转180°；可以与△ 重合；这说明△AOB ≌△ ；这两个三角形的对应边是AO 与 ；OB 与 ；BA 与 ；对应角是∠AOB 与 ；∠OBA 与 ；∠BAO 与 .AE 是平行四边形ABCD 的高；将△ABE 沿AD 方向平移；使点A 与点D 重合；点E 和点F 重合；则△ABE ≌ ；∠F= .ABC 内的一点；AB=AC ；将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°；点D 与点E 重合；则△ABD ≌ ；AD= ,BD= ..（SAS ）是等腰梯形ABCD 底边AB 的中点；求证△AMD ≌△BMC.（2）AB=AC ；AD=AE ；AB ⊥AC ；AD ⊥AE.求证：（1）∠B=∠C ；（2）BD=CE；∠D=∠C.求证：△AED ≌△BFC.。

八年级华师大版数学(下)第１6章分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念A1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子B 叫做分式。

3、分式有意义、无意义的条件(1）分式有意义的条件：分式的分母不等于０;(2)分式无意义的条件：分式的分母等于0。

4、分式的值为０的条件:A=0的条件当分式的分子等于0,而分母不等于0时，分式的值为0。

即，使B是：Ａ=０,B≠0。

二、分式的基本性质通分:利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值,把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是:确定几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的一般方法是：(1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。

（2）如果各分母中有多项式,就先把分母是多项式的分解因式,再参照单项式求最简公分母的方法,从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。

约分:根据分式的基本性质,约去分式的分子和分母的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分。

在约分时要注意：（1)如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式,即约去分子、分母系数的最大公约数,相同字母的最低次幂；(2）如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式,然后找出它们的公因式再约分;(3)约分一定要把公因式约完。

三、分式的符号法则:(1）－a b ＝ 错误!=－错误!；(2)错误!=错误!；(3）- 错误!=错误!§１6.2分式的运算一、分式的乘除法应用法则时要注意:（１）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正,异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2)当分子分母是多项式时,应先进行因式分解，以便约分;(3)分式乘除法的结果要化简到最简的形式。

二、分式的加减法(一）同分母分式的加减法１、 用式子表示：2、注意事项：(1)“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减,各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时,括号不能省略;(2)分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。

第 17 章 分式1. 分式：如果除式B 中含有 ，那么称 A B为分式． 若 ，则 A B 有意义；若 ，则 A B 无意义；若 ，则 A B＝0. 2．分式的基本性质分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变． 用式子表示是：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=(其中M 是不等于零的整式)． 3. 约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分．4．通分：关键是确定最简公分母（各分母所有因式最高次幂的积）5. 分式的运算：关键是弄清运算顺序，分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇到括号，先算括号内的．6.分式方程㈠分母中含有 的方程叫分式方程.㈡解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程；（去分母时，不要漏乘没有分母的项.）（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.㈢分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 .7.科学记数法：若N 是大于10的整数，记成N=a n10⨯，其中1≤a<10，n=整数位数－1；若0<N<1，记成N= a n 10⨯，其中1≤a<10，n 为一个负整数（有效数字前0的个数的相反数）． 8.零指数幂和负整数指数幂： ）（），（0a a1a 0a 1a n n -0≠=≠= 第 18 章 函数及其图像1.平面直角坐标系⑴ 坐标平面内的点与______________一一对应．⑵根据点所在位置填图⑶x 轴上的点______坐标为0, y 轴上的点______坐标为0.⑷ P (x,y)关于x 轴对称的点坐标为__________，关于y 轴对称的点坐标为________，关于原点对称的点坐标为___________.2. 求函数自变量取值范围：①当解析式是整式自变量取全体实数；②当解析式含有分式应考虑分母不等于0；③当解析式含有二次根式应考虑被开方数大于等于0；④实际问题应考虑实际的限制。