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《消元—二元一次方程组的解法》二元一次方程组PPT课件二

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(完整版)二元一次方程组优秀课件PPT

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矩阵法解二元一次方程组
总结词
利用矩阵的运算性质和逆矩阵的性质，将二元一次方程组转化为线性方程组进行求解。
详细描述
矩阵法的基本思路是将二元一次方程组转化为线性方程组，然后利用矩阵的运算性质和 逆矩阵的性质求解。具体步骤包括：将二元一次方程组写成矩阵形式，然后对矩阵进行 变换，将其化为行最简形式，得到线性方程组；然后利用逆矩阵的性质求解线性方程组
示例
x + y = 1, 2x - y = 3
二元一次方程组的解法概述
01
02
03
消元法
通过加减或代入法消去一 个未知数，将二元一次方 程组转化为一元一次方程 求解。
替换法
通过一个方程中的未知数 表示另一个未知数，然后 将其代入另一个方程求解 。
矩阵法
利用矩阵表示方程组，通 过矩阵运算求解。
二元一次方程组的应用场景
化学问题
在化学中，有些问题涉及到两种化学物质之间的反应，如反 应速率和反应物浓度等，这时也可以用二元一次方程组来表 示和解决。
04
二元一次方程组的扩展知识
二元一次方程组的几何意义
平面直角坐标系
二元一次方程组可以表示平面上的点集，通过坐标系将代数问题与几何问题相互 转换。
直线交点
二元一次方程组的解对应于直线交点，即两个方程的公共解。
二元一次方程组的解的个数与性质
解的个数
二元一次方程组可能有无数解、唯一 解或无解，取决于方程组中方程的系 数和常数项。
解的性质
解的个数与方程组系数矩阵的秩和增 广矩阵的秩有关，通过比较两者可以 判断解的情况。
二元一次方程组的解的判定定理
定理内容
如果二元一次方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则该方程组有唯一解；如果秩不相等，则该 方程组无解或有无数解。

8.2 消元——解二元一次方程组(2)

8.2 消元——解二元一次方程组(2)
②－①，得 11x=4.4， 把x=0.4代入①，得 解得 x=0.4 y=0.2 x 0.4 所以原方程组的解是 y 0.2 答：1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦0.4 hm2和 0.2 hm2。
巩固练习
2.一条船顺流航行，每小时行20 km；逆流航 行，每小时行16 km．求轮船在静水中的速度 与水的流速．
基本思路: 加减消元: 二元
一元
主要步骤： 变形 加减 求解 写解
同一个未知数的系 数相同或互为相反数 消去一个元 求出两个未知数的值 写出方程组的解
2. 二元一次方程组解法有: 代入法、加减法
二元一次方程组
消元 ①代入法
②加减法
一元一次方程。
解二元一次方程组，先观察方程组的特点，然后选择 适当的解法。
同一个未知数的系数相同或互为相反数
基本思路:
加减消元: 二元
一元
主要步骤： 加减
消去一个元
分别求出两个未知数的值
求解
写解
写出方程组的解
提问
1.两个方程加减后能够实现消元的前提条件是什么？ 两个二元一次方程中同一未知数的系数 相反或相等． 2.加减的目的是什么？ “消元”
3.关键步骤是哪一步？依据是什么？
Hale Waihona Puke 分析：① 当方程组中两方程未知数系 数不具备相同或互为相反数 的特点时 要建立一个未知数系数的绝 ③ 对值相等的，且与原方程组 同解的新的方程组。 再用加减消元法解．
3x 4 y 16， ② 5 x 6 y 33 ．
解:①×3得: 9x+12y=48
②×2得:10x-12y=66 ④ 把x＝6代入①，得 1 y＝ -
3x+10y=2.8

人教版七年级下册 8.2《消元——解二元一次方程组》【 课件】(共18张PPT)

人教版七年级下册 8.2《消元——解二元一次方程组》【 课件】(共18张PPT)

③+④，得 19x=114 x=6
把x=6代入①，得
3×6+4y=16
y=
-
1 2
x=6
所以这个方程组的解是 y= - 1
2
你能不能用加减消元的方法消去x呢？
x＋y＝10 ① 2x＋y＝16 ②
解：①×2，得
2x+2y=20
③
③－ ②,得 y=4
把y=4代入①,得 x=6
所以这个方程组的解是 x=6 y=4
x=6 y=4
① －②也能消去 未知数y，求得x 吗？
联系上面的解法,想一想怎样解方程组
3x+10y =2.8
①
15x-10y =8
②
解:
① +②,得
18x=10.8 从上面两个方解程得组的解法x=可0.以6 看出：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数 的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知
x＋yy＝10 ① 2x＋y＝16 ② 的解，这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这 种关系你能发现新的消元方法吗？
这两个方程中未知数y的系数相等，②－①可消去未知数y，得x=6
②－①就是用方程 ②的左边减去①的 左边，方程②的右 边减去方程①的右 边
把x=6代入①，得y=4
所以这个方程组的解是
解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶.根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量 与总生产量的数量关系，得
5x＝2y
①
500x＋250y＝22500000 ②
5
由①，得y= 2 x ③
把③代入②，得
500x+250×
5 2
x=22500000.

《消元——解二元一次方程组 1课时》PPT

《消元——解二元一次方程组 1课时》PPT

表示y，再代入②中求解.由①，得y=2x+3③.把③代入②，得4x+5(2x+3)=1，
4x+10x+15=1，14x=-14，x=-1.把x=-1代入③，得y=2×(-1)+3=-2+3=1.所
以这个方程组的解是ቊ
= −1
。
=1
知识梳理
【方法小结】注意：（1）当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的
二元一次方程组的关键，其方法就是利用等式的性质将其变形为y=ax+b（或
x=ay+b)的形式，其中a，b为常数，a≠0.
知识梳理
2 − = −3
【例2】用代入法解方程组ቊ
4 + 5 = 1
①
②
【讲解】要考虑将方程组中的某一个未知数用含另一个未知数的代数式表
示出来，方程组①中y的系数为-1，因此可将方程①变形，用含x的代数式
即可.
6.如图8-2-1，周长为68cm的长方形ABCD被分成7个相同的长
方形，求长方形ABCD的长和宽.
图8-2-1
课堂练习
答案：解：设小长方形的长和宽分别为x、ycm，依题意得ቊ
解这个方程组，得ቊ
4 + 7 = 68
，
2 = 5y
= 10
。5×4=20（cm），10+4=14（cm）.答：长方形
的解互为相反数，则k的值是_____________.
2 + 3 = k
+ 2 = −1
课堂练习
2 − 7 = 8 ①
②
y=4+2x
1.用代入法解方程组ቊ
可以由_____得___________

(完整版)二元一次方程组优秀课件PPT

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距离问题
浓度问题
通过给定的两点坐标，利用二元一次 方程组求解两点之间的距离。
通过给定的溶液浓度和体积，利用二 元一次方程组求解溶液的配制比例和 浓度。
速度问题
通过给定的时间和速度，利用二元一 次方程组求解物体的运动轨迹和速度 。
THANKS
[ 感谢观看 ]
(完整版)二元一次方程 组优秀课件
汇报人：可编辑
2023-12-25
CONTENTS
目录
• 二元一次方程组的基本概念 • 二元一次方程组的解法 • 二元一次方程组的实际应用 • 二元一次方程组的变式与拓展
CHAPTER 01
二元一次方程组的基本概念
二元一次方程组的定义
定义
二元一次方程组是由两个或两个以上的方程组成，其中含有两个未知数，且每 个方程中未知数的次数都是一次。
代数问题
例如，在求解两个未知数的和、差、 积、商等问题时，需要使用二元一次 方程组来表示和求解。
物理中的二元一次方程组问题
运动问题
例如，在计算两个物体之间的相对速度和距离时，需要使用二元一次方程组来表示和求 解。
力的问题
例如，在计算两个物体之间的相互作用力和扭矩时，需要使用二元一次方程组来表示和 求解。
示例
x + y = 1, 2x - y = 3。
二元一次方程组的表示方法
代数表示法
使用代数符号表示二元一次方程 组，如x + y = 1, 2x - y = 3。
图形表示法
通过图形表示二元一次方程组的 解，如平面直角坐标系中的直线 。
二元一次方程组的解的概念
01
02
03
解的概念
满足二元一次方程组的未 知数的值称为解。

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答案解析
答案解析1
首先将方程组中的两个方程相加和相减，消去其中一个变量，得到一个一元一次方程，然 后求解得到一个变量的值，最后将这个变量的值代入原方程组中的任意一个方程，求得另 一个变量的值。
答案解析2
首先将方程组中的两个方程相加和相减，消去其中一个变量，得到一个一元一次方程，然 后求解得到一个变量的值，最后将这个变量的值代入原方程组中的任意一个方程，求得另 一个变量的值。
几何问题
例如，在计算几何图形的面积、 周长或体积时，需要使用二元一 次方程组来表示相关变量之间的
关系。
代数问题
例如，在解决代数方程组时，需要 使用二元一次方程组来表示未知数 之间的关系。
概率统计问题
例如，在计算概率分布或统计数据 时，需要使用二元一次方程组来表 示相关变量之间的关系。
科学中的二元一次方程组问题
化学反应
在化学反应中，常常需要用到 二元一次方程组来表示反应物 和生成物的关系。
几何问题
在解决涉及两个未知数的几何 问题时，如两点之间的距离、 角度等，常常需要用到二元一
次方程组。
02
二元一次方程组的解法
代入消元法
通过代入一个方程中的未知数，将其表示为另一个变量的函数，从而简化方程组的方法。
代入消元法是解二元一次方程组的一种常用方法。首先，选择一个方程中的未知数，用另一个未知数表示出来，然后将其代 入到另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。接着解这个一元一次方程，得到一个变量的值，再将其代回 原方程中求得另一个变量的值。
01
02
03
购物问题
例如，在购买商品时，需 要计算不同商品的价格和 折扣，以确定最佳购买方 案。
交通问题

消元-二元一次方程组的解法

建立
01
02
03
确定未知数
首先需要确定方程组中的 未知数，并为其设置合适 的符号。
建立方程
根据问题背景和已知条件， 建立两个或更多方程，确 保每个方程都包含至少一 个未知数。
方程的表示
使用数学符号来表示方程 ，如“=”、“+”、“”等，确保方程的书写规 范。
消元法的应用
购物计算
在购物时，我们经常需要计算多种商 品的总价，消元法可以帮助我们快速 准确地计算出总价。
工资计算
旅行预算
在规划旅行预算时，我们需要考虑多 个费用项，如交通、住宿、餐饮等， 消元法可以帮助我们快速计算出总预 算。
在计算工资时，我们可能需要将多个 工资项相加或相减，消元法可以简化 计算过程。
在数学问题中的应用
GDP、CPI等。
物理学
在物理学中，消元法可以用于解 决多个物理量之间的关系问题，
如力学、电磁学等。
化学
在化学中，消元法可以用于解决 化学反应中的平衡问题，如酸碱
中和反应等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
消元-二元一次方程组的解法
contents
目录
• 消元法的简介 • 消元法的步骤 • 二元一次方程组的解法 • 消元法的注意事项 • 消元法的实际应用
01 消元法的简介
消元法的定义
• 消元法，也称为代入法或加减消元法，是一种解二元一次方程 组的方法。通过对方程进行变形，消去一个未知数，将二元一 次方程组转化为一元一次方程，进而求解。
对于某些特殊情况，如方程组中存在 多个未知数或方程组无解，消元法可 能无法得出正确结果。
消元法的优缺点比较
优点
简单易行，适用范围广，是解决二元 一次方程组最常用的方法之一。

《消元—解二元一次方程组》二元一次方程组PPT课件下载(第2课时)


探究新知
考点 3 加减法解找系数最小公倍数的二元一次方程组
用加减法解方程组：
2x 3y 4 ① 3x 6y 6 ②
解: ①×2#43; ②得：
7x ＝14, x ＝2.
把x ＝1代入①，得： y ＝0.
∴原方程组的解是｛xy
＝2, ＝0.
探究新知 同一未知数的系数 不相等也不互为相反数 时，利用等
上面这些方程组的特点是什么？
解这类方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？
特点：同一个未知数的系数相同或互为相反数.
基本思路：加减消元： 二元
一元.
主要步骤： 加减
消去一个元；
求解
分别求出两个未知数的值；
写解
写出原方程组的解.
探究新知
考点 1 加减法解系数相等的二元一次方程组
解下列二元一次方程组
方程①、②中未知
巩固练习
解方程组：
3x 4 y 19 ① x y 4 ②
解： ②×4得：4x-4y=16. ③ ①＋③得：7x = 35， 解得：x = 5. 把x = 5代入②得，y = 1.
所以原方程组的解为
探究新知 知识点 2 列二元一次方程组解实际问题
2台大收割机和5台小收割机均工作2h共收割小麦3.6 hm2， 3台大收割机和2台小收割机同时工作5h共收割小麦8 hm2.1台 大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？ 分析：题目中存在的两个等量关系： 2×（2台大收割量+5台小收割量）=_3_._6_h_m_2 5×（3台大收割量+2台小收割量）=__8_h_m__2
2x 5y 7 2x 3y 1 解：由②-①得：8y 8.
数x的系数相等， 可以利用两个方程 相减消去未知数x.

8.2 消元──二元一次方程组的解法(2)

课本第99页第4题：张翔从学校出发骑自行车去县城， 中途因道路施工步行一段路，1.5小时后到达县城．他骑 车的平均速度是15千米/时，步行的平均速度是5千米/时， 路程全长20千米． 他骑车与步行各用多少时间？
课堂小结，布置作业
作业：
1．教科书第103页习题8．2第4、6题．
2．（补充作业）用代入法解方程组
4x 4x
5y+1， 3y 25.
3．（选做题）教科书第104页习题8．2第9题．
第八章 二元一次方程组
8.2 消元——二元一次方程 组Байду номын сангаас解法（2）
探究新知，解决问题
【问题3】 例2：根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）
和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为 2 : 5 ． 某厂每天生产这种消毒液 22.5 吨，这些消毒液应该分装大、小 瓶两种产品各多少瓶？
等量关系：⑴大瓶数 : 小瓶数 =2:5；
⑵大瓶所装消毒液 +小瓶所装消毒液 = 总生产量．
解：设这些消毒液应该分装 x 个大瓶和 y个小瓶，根据题意，得
5x 2y， 500x 250y 22500000.
探究新知，解决问题
解y 得
y 50 000
二 5x 2y 变形 y 5 x
元 一
2
x 20000
次
代入
解x 得
方
一元一次方程
程 组
500x 250y 22500000 消去 y 500x 250 5 x 22500000
2
用 5 x代替y，消去未知数 y 2
自己动手，实际应用
【问题4】练习：
课本第99页第3题：有48支队520名运动员参加篮、 排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每 名运动员只参加一项比赛．篮、排球队各有多少支参赛？

二元一次方程组的解法(共6张PPT)


｛2x－7y=8
①
3x－8y－10=0 ②
解：由①得
x= 4+ 7y ③
2 将③代入②，得
3（4+ 7y ）－8y－10=0 2
解得 y=－0.8
将y=－0.8代入③，得
x=4+ 7 ×（－0.8 ） 2
x=1.2
｛x=1.2
所以
y=－0.8
思考：可以先消 去y吗？
1.将下列各方程变形为用一个未知数的代数
如的果形将 式①写成用一个未，知（数2来）表写示成另用一含y的代数式 3这x两－个8y方－程10中=0的未②知数的系数都不是1，
那么如何求解呢？消哪一个未知数呢？ 的这形两式 个方程中的未知数，的（系2数）都写不成是用1含，y的代数式
23x－78y=－810=0 ②①
的如形果式 将①写成用一个未，知（数2来）表写示成另用一含y的代数式
如果将①写成用一个未知数来表示另一
如果将①写成用一个未知数来表示另一 式2x表－示7y另=8一个未知①数的形式：
那如么果如 将何①求写解成呢用？一消个哪未一知个数未来知表数示呢另？一
3式x表－示8y另－一10个=0未知②数的形式： 3x－8y－10=0 ②
个未知数，那么用x来表示y，还是用y来
表示x好呢？
①
的式形表式 示另一个未知数的，形（式2：）写成用含y的代数式 式解表得示另一y=个－未0.知数的形式： 那2x么－如7y何=8求解呢？①消哪一个未知数呢？
3x－8y－10=0 ②
思考 这两个方程中的未知数的系数都不是1， 如 这果两将个① 方写 程成 中用 的一 未个 知未 数知的数 系来 数表 都示 不另 是一1，
二元一次方程组的解法
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把y ＝－1代入①，得 2x－5╳（－1）＝7
解得:x＝1
所以原方程组的解是
x
y
1 1
一.填空题：
x+3y=17
1.已知方程组
两个方程
2x-3y=6
只要两边 分别相加 就可以消去未知数 y
25x-7y=16
2.已知方程组
两个方程
25x+6y=10
只要两边分别相减就可以消去未知数 x
二.选择题
分析：
对于当方程组中两方 程不具备上述特点时， 必须用等式性质来改
解：①×3得6x+9y=36 ③ ②×2得 6x+8y=34 ④ ③-④得: y=2
变方程组中方程的形 式，即得到与原方程 组同解的且某未知数 系数的绝对值相等的 新的方程组，从而为
把y ＝2代入①，
解得: x＝3
x 1
所以原方程组的解是
分析（：3x ＋ 5y）+（2x － 5y）＝21
+ (－11)
①左边 + ② 左边 = ① 右边 +
3X+5y +2x － 5y＝10
5x+0y ＝10
5x=10
②右边
3x 5y 21 ① 2x 5y -11 ②
解:由①+②得: 5x=10
x＝2
把x＝2代入①，得
y＝3
所以原方程组的解是
y
1
加减消元法解方程组 创造条件．
补充练习： 用加减消元法解方程组：
x
3
1
y 2
1
①
x
2
1 4
y
2
②
解：由①×6，得
2x+3y=4 ③
由②×4，得
2x - y=8 ④
由③-④得: y= -1
把y= -解1代得入: ②x ，7
2
所以原方程组
的解是
x
7 2
y 1
小结 ：
1.加减消元法解方程组基本思路是什么？ 主要步骤有哪些？
6x+7y=-19①
1. 用加减法解方程组
应用（B）
6x-5y=17②
A.①-②消去y B.①-②消去x
C. ②- ①消去常数项 D. 以上都不对
3x+2y=13
2.方程组
消去y后所得的方程是（B）
3x-2y=5
A.6x=8 B.6x=18 C.6x=5 D.x=18
三、指出下列方程组求解过程 中有错误步骤，并给予订正：
x y
3 2
参考小丽的思路，怎样解 下面的二元一次方程组呢？
2x 5y 7 ① 2x 3y 1 ②
分析：
观察方程组中的两个方程，未知数x的系数
相等，都是2．把这两个方程两边分别相减， 就可以消去未知数x，同样得到一个一元一
次方程．
2x 5y 7 ① 2x 3y 1 ②
解：把 ②－①得:8y＝－8 y＝－1
基本思路: 加减消元: 二元
一元
主要步骤：变形
同一个未知数的系 数相同或互为相反数
加减
消去一个元
求解 求出两个未知数的值
写解
写出方程组的解
2. 二元一次方程组解法有 代入法、加减法 .
探索与思考
3、在解方程组
ax cx
by 3y
2 5
时，小张正确的解是xy
1 2
,小李由于看错
了方程组中的C得到方程组的解为
上面这些方程组的特点是什么? 解这类方程组基本思路是什么？ 主要步骤有哪些？
特点: 同一个未知数的系数相同或互为相反数
基本思路: 加减消元: 二元
一元
主要步骤： 加减
消去一个元
求解
分别求出两个未知数的值
写解
写出原方程组的解
例4. 用加减法解方程组:
2x 3y 12 ① 3x 4 y 17 ②
x 3
y
1
，试求方程组中的a、b、c的值.
五、作业
1、课本P-112[习题8.2] 3 2、思考题： 在解二元一次方程组中, 代入法 和加减法有什么异同点?
当你对于昨天不再耿耿于怀的时候，就是你开始过得幸福的时候。 人生里面总是有所缺少，你得到什么，也就失去什么，重要的是你应该知道自己到底要什么。追两只兔子的人，难免会一无所获。 其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语·子路》 很多时候，感情往往能经得起风雨，却经不起平淡；友情往往能经得起平淡，却经不起风雨。 强烈的信仰会赢取坚强的人，然后又使他们更坚强。 被朋友伤害了和被陌生人伤了其实是一样的，别怀疑友情，人家不欠你的，但要提防背叛你的人。 你可以用自己不的方式赚到财富；也可以用不的药医好病；但你无法从自己不爱的人身上获得幸福。 时间总会过去的，让时间流走你的烦恼吧！ 益者三友：友直友谅友多闻。——《论语·季氏》
7x－4y＝4Байду номын сангаас①
5x－4y＝－4 ② 解:①－②，得
2x＝4－4， x＝0
解: ①－②，得 2x＝4＋4， x＝4
3x－4y＝14 ① 5x＋4y＝2 ② 解 ①－②，得
－2x＝12 x ＝－6
解: ①＋②，得 8x＝16 x ＝2
四、已知a、b满足方程组 则a+b= 5
a+2b=8 2a+b=7
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
基本思路: 消元: 二元
一元
2、用代入法解方程的步骤是什么一？元
主要步骤：
变形
用一个未知数的代数式
表示另一个未知数
代入
消去一个元
求解 分别求出两个未知数的值
写解
写出方程组的解
怎样解下面的二元一次方程组呢？
3x 5y 21 ① 2x 5y -11 ②
3x 5y 21 ① 2x 5 y -11 ②
把②变形得：x 5 y 11 2
x 代入①，不就消去 了！
小明
3x 5y 21 ① 2x 5y -11 ②
把②变形得
5 y 2x 11
可以直接代入①呀！
小彬
5 y和 5 y
互为相反数…… 按照小丽的思路，你能消去 一个未知数吗？
3x 5y 21 ① 小丽 2x 5y -11 ②