奇点-常微分方程

《微分方程的奇点》
小朋友们，今天咱们来聊聊一个有点难但也很有趣的东西，叫微分方程的奇点。

你们看啊，就好像咱们在玩一个找宝藏的游戏。

我给你们讲个小故事。

有个小探险家小明，他在一个神秘的地图上发现了一些奇怪的标记，这些标记就像是微分方程的奇点。

小朋友们，能想象小明好奇的样子吗？
奇点呢，就是这个游戏里特别的地方。

《微分方程的奇点》
小朋友们，咱们接着说。

比如说，在一条小路上，有个地方看起来和别的地方不一样，那可能就是奇点啦。

我再给你们举个例子。

就像咱们搭积木，有一块积木放的位置很特别，和其他积木不太一样，那它就有点像奇点。

虽然奇点有点神秘，但是我们可以慢慢去了解它。

小朋友们，是不是觉得有点意思啦？
《微分方程的奇点》
小朋友们，我再给你们讲讲。

想象一下，我们在一个大大的迷宫里，奇点就是那个能让我们找到出口的关键地方。

我们要勇敢地去探索，去发现奇点的秘密。

小朋友们，虽然现在可能不太懂，但等你们长大了，学了更多的知识，就能明白奇点到底是怎么回事啦！。

常微分方程奇异解在介绍常微分方程的奇异解之前，我们先来回顾一下常微分方程的基本概念。

常微分方程是一种描述函数关系的数学工具，它包含未知函数及其导数或高阶导数。

一般的常微分方程可以表示为dy/dx=f(x,y)，其中y 是未知函数，f(x,y)是已知函数。

在求解常微分方程时，我们通常希望找到满足特定条件的解。

例如，我们可以通过给定的初值条件，求解方程在其中一点上的解。

这种解称为常微分方程的初值问题解。

另外，我们还可以寻找常微分方程的通解，它是满足方程所有可能条件的解。

然而，除了初值问题解和通解之外，常微分方程还存在一些特殊的解，即奇异解。

奇异解是指在常微分方程的解集中，具有特殊性质的解。

与一般的解不同，奇异解通常具有一些特殊的约束条件或额外的性质。

奇异解不仅在理论研究中有重要的意义，而且在实际问题的建模和求解中也有广泛的应用。

下面，我们通过一些具体的例子来介绍常微分方程的奇异解。

首先，考虑一个简单的一阶常微分方程dy/dx=0。

该方程描述了一个常数函数，其导数恒为零。

可以看出，对于此方程，y=c（c为常数）是方程的一个解。

这个解是奇异解，因为它满足方程的所有条件，但不符合通解的形式。

其次，考虑一个二阶常微分方程d^2y/dx^2+y=0。

该方程描述了一个谐振子的运动。

我们知道，该方程的通解为y=A*cos(x)+B*sin(x)（A和B为常数）。

然而，在一些特定的边界条件下，方程也有奇异解。

例如，当边界条件为y(0)=1和y(π)=0时，方程的解为y=-sin(x)。

可以看出，该解满足方程的边界条件，但不能表示为通解中的形式。

因此，该解是方程的奇异解。

奇异解在物理学中也有广泛应用。

例如，考虑一个具有摩擦的运动的质点。

该运动可以用二阶常微分方程描述。

在一些情况下，方程的解中可能存在奇异解，即表示质点停止运动的解。

除此之外，奇异解还有许多其他的应用。

例如，在电路理论中，通过求解常微分方程可以得到电路中电流和电压的变化关系。

《数学模型》课 常微分方程补充 ( 2008 )( 摘自《常微分方程学习辅导与习题解答》朱思铭编 )一. 常微分方程基本概念 ( 摘自 四.§1.2 )二. 常微分方程线性奇点 ( 摘自 四.§6.1.3 )三. 极限环和平面图貌 ( 摘自 四.§6.1.4 )四*. 常微分方程内容提要五*. 常微分方程应用实例索引一. 常 微 分 方 程 基 本 概 念 ( §1.2 )微分方程 联系自变量、未知函数及其导数的关系式.实值微分方程 自变量、未知函数均为实值的微分方程.复值微分方程 未知函数取复值或自变量、未知函数均取复值的微分方程. 常微分方程 只有一个自变量的微分方程.偏微分方程 有两个或两个以上自变量的微分方程.一阶微分方程 微分方程中未知函数的导数最高为一阶.n 阶微分方程 微分方程中未知函数的导数最高为n 阶，一般形式为n n dy d y F x y 0dx dx ,,,, ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭(38)线性微分方程 n 阶微分方程(38)的左端为,,,n n dy d y y dx dx的一次有理整式称为线性微分方程.n 阶线性微分方程的一般形式为()()()()n n 11n 1n n n 1d y d y dy a x a x a x f x dx dx dx---++++= (39) 其中(),,(),()1n a x a x f x 为x 的函数.非线性微分方程 不是线性微分方程的微分方程.(显式)解 使微分方程(38)变为恒等式的函数()y x =ϕ称为方程的解. 隐式解 如微分方程(38)的解()y x =ϕ由关系式(,)x y 0Φ=决定，称(,)x y 0Φ=为微分方程(38)的隐式解.通解 n 阶微分方程(38)的含有n 个独立的任意常数,,,12n c c c 的解(,,,,)12n y x c c c ϕ=隐式通解(通积分) 由含有n 个独立的任意常数,,,12n c c c 的关系式(,,,,,)12n x y c c c 0Φ= 决定的n 阶微分方程(38)的解.定解条件 为确定微分方程的一个特定的解需附加的条件.定解问题 求微分方程满足定解条件的解的问题.初值条件 n 阶微分方程(38)的初值条件为当0x x =时，()(),,,n 11n 1000n 1dy d y y y y y dx dx---=== 或写为()()()()(),,,n 11n 1000000n 1dy x d y x y x y y y dx dx---=== 初值问题 当定解条件为初值条件时的定解问题.特解 满足定解问题的解.积分曲线 一阶微分方程(,)dy f x y dx= (47) 的解()y x ϕ=在Oxy 平面上表示为一条曲线，称为微分方程(47)的积分曲线.曲线上的点的斜率dy dx值为(,)f x y . 向量场 一阶微分方程(47)的右端函数(,)f x y 定义为在Oxy 平面某区域D 上过各点的小线段(线素)的斜率方向，称域D 为方程(47)所定义的向量场(方向场，线素场).通过向量场可以判断微分方程的解的走向.等倾斜线 向量场中方向相同的曲线(,)f x y k =称为等倾斜线或等斜线. 微分方程组 n 阶微分方程()()(,,',,)n n 1z g t z x z -=可通过变换(),',,n 112n y z y z y z -===化为一阶方程组(,,,),,,,i i 1n dy f t y y i 12n dt ==或写成向量形式(,)=dy f t y dt其中n y D R ∈⊂.驻定微分方程组 微分方程组右端不含自变量t 的方程组()dy f y dt= (50) 动力系统 对n 维空间某区域n D R ⊂的D 到D 的含参数t 的同胚映射(变换) ()t y Φ，如满足恒同性()0y y Φ=和可加性()(())121221t t t t t t y y y ΦΦΦΦΦ+==.则称映射()t y Φ为D 上的动力系统.微分方程所定义的动力系统 由驻定微分方程组过n y D R ∈⊂的解(,)t y ϕ可定义动力系统()(,)t y t y ϕΦ=称为微分方程所定义的动力系统.相空间 不含自变量，仅由未知函数组成的空间.轨线 微分方程的解在相空间中的轨迹，即积分曲线在相空间中的投影.驻定微分方程的解在相空间中的轨线互不相交.奇点(平衡解、驻定解） 驻定微分方程组(50)右端函数()f y 的满足()f y 0=的解y y *=称为方程组的平衡解或驻定解，是方程组在相空间中的奇点.垂直、平行等倾斜线 平面一阶驻定微分方程组(,)(,)dx f x y dt dy g x y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 等价于一阶微分方程(,),((,))(,)dy f x y g x y 0dx g x y =≠ 或 (,),((,))(,)dx g x y f x y 0dy f x y =≠ 在相平面Oxy 上的等倾斜线(,)(,)f x y k g x y =中,k 0=即(,)f x y 0=时的曲线为垂直等倾斜线；k =∞即(,)g x y 0=时的曲线为平行等倾斜线.垂直、平行等倾斜线的交点为奇点.二. 常 微 分 方 程 线 性 奇 点 ( §6.1.3 )平面驻定微分方程组(,)(,)dx X x y dt dy Y x y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (1) 其中,X Y 对,x y 有连续偏导数.方程组(1)的解(),()x x t y y t ==在欧几里得空间Otxy 表示为一曲线，称为积分曲线.,x y 平面Oxy 称为相平面，积分曲线在相平面上的投影称为轨线.满足(,),(,)X x y 0Y x y 0==的常数,x x y y **==为方程组(1)的解，称为驻定解(常数解)，相平面Oxy 上的点(,)x y **称为方程组的奇点.通过线性变换可将方程组(1)的奇点移至Oxy 的原点上，再取其线性项则得方程组(1)的线性近似方程组dx ax by dt dy cx dy dt⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (2) 线性方程组(2)的特征方程为a b 0c d λλ-=- 即,(),2p q 0p a d q ad bc λλ++==-+=- (3)可以通过方程组的系数即特征方程的根表示相平面Oxy 上奇点(原点)附近的轨线图貌，即奇点的类型：(1) q 0≠ (a) q 0< 有两不同符号实根，奇点为鞍点(b1) ,,2q 0p 4q 0p 0>-<> 有两负实根，奇点为稳定结点(b2) ,,2q 0p 4q 0p 0>-<< 有两正实根，奇点为不稳定结点(c1) ,,2q 0p 4q 0p 0>-=> 有一重负实根，奇点为稳定退化或奇结点 (c2) ,,2q 0p 4q 0p 0>-=<有一重正实根，奇点为不稳定退化或奇结点 (d1) ,,2q 0p 4q 0p 0>->>有一对负实部共轭复根，奇点为稳定焦点 (d2) ,,2q 0p 4q 0p 0>-><有一对正实部共轭复根，奇点为不稳定焦点 (e) ,q 0p 0>= 有一对(零实部)共轭虚根，奇点为中心(2) q 0= (a1) p 0> 有单零根和负实根，过奇点有稳定奇线(a2) p 0< 有单零根和正实根，过奇点有不稳定奇线(b) p 0= 有重零根，过奇点有奇线, 奇线上下有不同走向平行轨线(c) a b c d 0==== 奇点充满全平面三. 极 限 环 和 平 面 图 貌 ( §6.1.4 )(1) 极限环 考虑平面驻定微分方程组(,)(,)dx X x y dt dy Y x y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (1) 其中,X Y 在相平面的某区域G 内有一阶连续偏导数.方程组(1)在相平面上孤立的周期解(闭轨线)，且附近的轨线均趋于(离开)该闭轨线时，称此闭轨线为稳定(不稳定)极限环，如附近的轨线一边趋于另一边离开该闭轨线时，则称此闭轨线为半稳定极限环.环域定理 如果G 内存在有界的环形闭域D ，在其内不含方程组(1)的奇点，而(1)的经过D 上的点的解(轨线)(),()x x t y y t ==当0t t ≥(或0t t ≤)时不离开域D .则或者解本身是周期解(闭轨线)，或者解正向(或负向)趋于D 内的某一周期解(闭轨线).如果G内存在单连通区域D*，在其内函数X Yx y∂∂+∂∂不变号且在D*内的任何子域内不恒为零.则方程组(1)在域D*内不存在任何周期解(闭轨线)，更不存在任何极限环.在相平面分析中除奇点和极限环两种特殊轨线外，还有一种从奇点到奇点的轨线，这类轨线称为分界线.如果一条分界线与一个奇点构成一个环，则称为同宿环(轨).如果一条分界线两端是不同奇点，则分界线称为异宿轨.当多条分界线与多个奇点构成一个环时则称此环为异宿环.(2) Lienerd 方程 ()()22d x dx f x g x 0dt dt++= (2) 记()(),()x 0dx F x f x dx y F x dt==+⎰，方程(2)可化为方程组 (),()dx dy y F x g x dt dt=-=- (3) 定理 假设 (a) (),()f x g x 对一切x 连续，()g x 满足局部利普希茨条件； (b) ()f x 为偶函数，(),()f 00g x <为奇函数，当x 0≠时()xg x 0>； (c) 当x →±∞时(),()F x F x →±∞有唯一正零点x a =，且当x a ≥时()F x 单调增加.则方程(2)有唯一周期解，即方程组(3)有一个稳定极限环.(3) 平面图貌 对平面驻定方程组(1)，在相平面上曲线(,),(,)X x y 0Y x y 0==分别表示轨线的垂直等倾斜线和水平等倾斜线.可利用垂直等倾斜线和水平等倾斜线划分出相平面上的不同区域，每一区域内轨线的,x y 方向的右、左及上、下走向是一致的，有(+,+)、(+,-)、(-,+)、(-,-)四种走向，其中括号内第一个+表向上、-表向下,第二个+表向右、-表向左.应用等倾斜线方法可画出方程组(1)的平面轨线图貌.可以用等倾斜线方法分析两种群模型(1)(1)dx rx ax by dt dy sy cx dy dt⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩ (6.53)其中r a 、和s d 、均为正常数. 而00b 、c >>时为竞争系统, 00b ><、c 或00b 、c <>时为被捕食-捕食系统, 00b 、c <<时则为共生系统.(4) 对一般的两种群竞争系统(,)(,)dx M x y x dt dy N x y y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (4) 其中x 与y 的相对增长率M 与N 都是非负变量x y 、的连续函数，有连续一阶偏导数，且一种群增长时另一种群的增长率下降，即00M N y x∂∂<<∂∂、而任一种群过多时两种群都不能增长，故存在常数0K >,当x K ≥或y K ≥时(,)0M x y ≤且(,)0N x y ≤.还设只有一种群时，它将按极限增长，即存在常数00a b ><、使得(,0)0;(,0)0;(0,)0;(0,)0.x a M x x a M x y b N y y b N y <>><<>><当时时当时时在上述条件下，可以通过分析相平面上等倾斜线曲线(,)0M x y =和(,)0N x y =的形状及它们之间的关系. 有定理 两种群竞争一般模型(4)的每一条轨线，当t ∞时都趋于有限个平衡点之一.四. 常 微 分 方 程 内 容 提 要第一章 绪论§1.1.1 常微分方程模型1. RLC 电路 包含电阻R 、电感L 、电容C 及电源的电路称RLC 为电路. 电流I 经过电阻R 、电感L 、电容C 的电压降分别为R I 、dI L dt 和QC， Q 为电量，E 、()e t 为电源电压,dQI dt=.应用基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律(在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零)可列出RLC 为电路的微分方程：dI R E I dt L L+= 221()d I R dI I de t L dt LC L dt dt++= 初始条件为00()I t I =.2. 数学摆 数学摆是系于一根长度为l 的线上而质量为m 的质点M ，在重力的作用下，它在垂直于地面的平面上沿圆周运动. 摆与铅垂线所成的角为ϕ,M 沿圆周的切向速度为v ,d v l dtϕ=.摆的运动方程为22d gsin 0l dtϕϕ+= 微小振动(ϕ较小时，可用ϕ代替sin ϕ)：22d g0l dtϕϕ+= 存在阻力时(阻力系数为μ)：22d d g 0m dt l dtϕμϕϕ++= 有强迫力()F t 时：()22d d g 1F t m dt l ml dtϕμϕϕ++= 摆的初始状态：当0t =时00,d dtϕϕϕω== 0ϕ代表摆的初始位置，0ω代表摆的初始角速度.3. 人口模型 Malthus 模型：基本假设是：在人口自然增长的过程中，净相对增长率(单位时间内人口的净增长数与人口总数()N t 之比)是常数，记此常数为r （生命系数）dNrN dt= Logistic 模型：荷兰生物学家Verhulst 引入常数m N （环境最大容纳量）用来表示自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数，并假设净相对增长率为m N r 1N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即净相对增长率随()N t 的增加而减少，当()m N t N →时，净增长率0→.m dN N r 1N dt N ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 初始条件为0t t =时()0N t N =4. 传染病模型 假设传染病传播其间其地区总人数n 不变.开始时病人数为0x ，在时刻t 的健康人数为()y t , 病人数为()x t ,k 为传染系数. SI 模型：易感染者(Susceptible),已感染者(Infective), 00(),()dxkx n x x x dt =-= SIS 模型：治愈率为μ时,其平均传染期为1μ,接触数为kσμ=,0()()()(),(0)dx t ky t x t x t x x dtμ=-=SIR 模型：病人治愈后不会再被感染，移出者(Removed). 治愈率l ,0000dxkxy lx x x dtdy kxy y y n x dt ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-==-⎪⎩,(),()5. 两生物种群生态模型 甲、乙两种群的数量分别记为,x y . Volterra 模型：分竞争、共生、捕食与被捕食等类型()()dxx a bx cy dtdyy d ex fy dt⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩一般两种群竞争系统：(,)M x y 与(,)N x y 为相对于x 与y 的增长率(,)(,)dxM x y x dtdy N x y y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 6. Lorenz 方程()dxa y x dt dycx y xz dt dzxy bz dt⎧=-⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪=-⎪⎩气象学家Lorenz 由大气对流现象模型简化,10,8/3,28a b c ===为参数. 被称为混沌(chaos)现象第一例.*7. 化学动力学模型 化学反应体系，内部包含三种化学成分,A B 和.,x A B 是反映物，x 为中间产物，,,A B x 分别代表A 类、B 类和x 类的分子数.Schlogt 单分子化学动力学模型：体系的状态仅由单个变量x 来表征323210dxk x k Ax k x k B dt=-+-+ 双分子化学动力学模型：有两个中间变量,1223dxk Ax k xy dtdyk xy k y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩三分子化学动力学模型：开放的体系中进行着一系列化学反应,22(1)dxA B x x y dt dyBx x y dt⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩*8. 力学系统中的常微分方程模型 有完整约束的力学系统，可以通过引进广义坐标12(,,)n ϕϕϕ 解除约束, 用一个拉格朗日函数1(,)i L q q 刻画系统, 归结为拉格朗日方程0i i d L Ldt qq ∂∂-=∂∂ .引进广义速度12(,,)n v v v =ν ,用广义动量Lp q∂=∂ 代表广义速度v ，再通过拉格朗日变换(,)(,)H q p q p L q q =- ,便得到等价于拉格朗日方程的哈密顿正则方程dq H dt pdp H dt q ∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=-⎪∂⎩或 dx Hdt y dy H dt x∂⎧=-⎪∂⎪⎨∂⎪=⎪∂⎩§1.2 常微分方程基本概念微分方程 联系自变量、未知函数及其导数的关系式. 实值微分方程 自变量、未知函数均为实值的微分方程.复值微分方程 未知函数取复值或自变量、未知函数均取复值的微分方程. 常微分方程 只有一个自变量的微分方程.偏微分方程 有两个或两个以上自变量的微分方程. 一阶微分方程 微分方程中未知函数的导数最高为一阶.n 阶微分方程 微分方程中未知函数的导数最高为n 阶，一般形式为n n dy d y F x y 0dx dx ,,,, ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭(38) 线性微分方程 n 阶微分方程(38)的左端为,,,n n dy d yy dx dx 的一次有理整式称为线性微分方程.n 阶线性微分方程的一般形式为()()()()n n 11n 1n n n 1d y d y dya x a x a x f x dx dx dx---++++= (39)其中(),,(),()1n a x a x f x 为x 的函数.非线性微分方程 不是线性微分方程的微分方程.(显式)解 使微分方程(38)变为恒等式的函数()y x =ϕ称为方程的解. 隐式解 如微分方程(38)的解()y x =ϕ由关系式(,)x y 0Φ=决定，称(,)x y 0Φ=为微分方程(38)的隐式解.通解 n 阶微分方程(38)的含有n 个独立的任意常数,,,12n c c c 的解(,,,,)12n y x c c c ϕ=隐式通解(通积分) 由含有n 个独立的任意常数,,,12n c c c 的关系式(,,,,,)12n x y c c c 0Φ= 决定的n 阶微分方程(38)的解.定解条件 为确定微分方程的一个特定的解需附加的条件. 定解问题 求微分方程满足定解条件的解的问题. 初值条件 n 阶微分方程(38)的初值条件为当0x x =时，()(),,,n 11n 1000n 1dy d y y y y y dx dx---=== 或写为()()()()(),,,n 11n 1000000n 1dy x d y x y x y y y dx dx ---=== 初值问题 当定解条件为初值条件时的定解问题. 特解 满足定解问题的解. 积分曲线 一阶微分方程(,)dyf x y dx= (47) 的解()y x ϕ=在Oxy 平面上表示为一条曲线，称为微分方程(47)的积分曲线.曲线上的点的斜率dydx值为(,)f x y . 向量场 一阶微分方程(47)的右端函数(,)f x y 定义为在Oxy 平面某区域D 上过各点的小线段(线素)的斜率方向，称域D 为方程(47)所定义的向量场(方向场，线素场).通过向量场可以判断微分方程的解的走向.等倾斜线 向量场中方向相同的曲线(,)f x y k =称为等倾斜线或等斜线. 微分方程组 n 阶微分方程()()(,,',,)n n 1z g t z x z -=可通过变换(),',,n 112n y z y z y z -===化为一阶方程组(,,,),,,,ii 1n dy f t y y i 12n dt==或写成向量形式(,)=dyf t y dt其中n y D R ∈⊂.驻定微分方程组 微分方程组右端不含自变量t 的方程组()dyf y dt = (50) 动力系统 对n 维空间某区域n D R ⊂的D 到D 的含参数t 的同胚映射(变换)()t y Φ，如满足恒同性()0y yΦ=和可加性()(())121221t t t t t t y y y ΦΦΦΦΦ+==.则称映射()t y Φ为D 上的动力系统.微分方程所定义的动力系统 由驻定微分方程组过n y D R ∈⊂的解(,)t y ϕ可定义动力系统()(,)t y t y ϕΦ=称为微分方程所定义的动力系统.相空间 不含自变量，仅由未知函数组成的空间.轨线 微分方程的解在相空间中的轨迹，即积分曲线在相空间中的投影.驻定微分方程的解在相空间中的轨线互不相交.奇点(平衡解、驻定解） 驻定微分方程组(50)右端函数()f y 的满足()f y 0=的解y y *=称为方程组的平衡解或驻定解，是方程组在相空间中的奇点.垂直、平行等倾斜线 平面一阶驻定微分方程组(,)(,)dxf x y dtdy g x y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 等价于一阶微分方程(,),((,))(,)dy f x y g x y 0dx g x y =≠ 或 (,),((,))(,)dx g x y f x y 0dy f x y =≠ 在相平面Oxy 上的等倾斜线(,)(,)f x y k g x y =中,k 0=即(,)f x y 0=时的曲线为垂直等倾斜线；k =∞即(,)g x y 0=时的曲线为平行等倾斜线.垂直、平行等倾斜线的交点为奇点.雅可比矩阵 n 个变元,,,12n x x x 的m 个函数(,,,),,,,i i 12n y f x x x i 12m ==的雅可比矩阵定义为(,,,)(,,,)111n 12m 12n m m 1n y y xx D y y y D x x x y y x x ∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥=⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦雅可比行列式 n 个变元的n 个函数的雅可比矩阵对应的行列式. 函数相关、函数无关 设函数(,,,)(,,,)i i 12n y f x x x i 12m == 及其一阶偏导数在某区域n D R ⊂上连续.如果D 内,,,12m f f f 中的一个函数能表成其余函数的函数，则称它们函数相关；如果它们在D 内任何点的邻域均不是函数相关，则称它们函数无关.如果雅可比矩阵在D 内任何点的秩均小于m ，则,,,12m f f f 函数相关；如其秩均等于m ，则,,,12m f f f 函数无关.当n m =时雅可比行列式不等于零为函数无关.第二章 一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量变换 (1) 变量分离方程 ()()dyf xg y dx= 解法：(),()()()dydyf x dx f x dx Cg y g y ==+⎰⎰(2) 齐次方程dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭解法：变量变换 ,ydy du u x u x dx dx ==+，方程化为变量分离方程()du g u udx x-=(3) 分式线性方程111222a x b y c dy dx a x b y c ++=++ 或 111222a x b y c dy f dx a x b y c ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭解法：(ⅰ) 120c c == 情形： 1122ya b dy y x g y dx x a b x+⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 属齐次方程. (ⅱ)1122a b k a b == 情形：令22u a x b y =+，方程化为221222()()()k a x b y c dy f u dx a x b y c ++==++ 22()dua b f u dx=+ 属变量分离方程. (ⅲ) 一般情形：先解联立代数方程11122200a x b y c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩ 得解 x y αβ=⎧⎨=⎩ 再作代换 X x Y y αβ=-⎧⎨=-⎩ ，则将原方程化为齐次方程 dY Y g dX X ⎛⎫= ⎪⎝⎭§2.2 线性方程与常数变易法 (1) 一阶齐线性方程()dyP x y dx= 用变量分离方法得通解 ()P x dx y ce ⎰= (2) 常数变易法 对一阶非齐线性方程 ()()dyP x y Q x dx=+ 假设有形式解()()P x dxy c x e ⎰= 代入方程化简得 ()()()P x dxc x Q x e dx c -⎰=+⎰ 原方程的通解为()()()P x dxP x dx y e Q x e dx c -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ (3) 伯努利方程()()n dyP x y Q x y dx=+ 变量变换 1n z y -= 化为线性方程求解(1)()(1)()dzn P x z n Q x dx=-+-§2.3 恰当方程与积分因子(1) 恰当方程 将一阶微分方程写成对称形式 (,)(,)0M x y dx N x y dy += 如方程右端恰可表为某函数(,)u x y 的全微分：(,)(,)(,)M x y dx N x y dy du x y +≡ 则称方程为恰当方程.恰当方程的通解为 (,)u x y c =.方程为恰当方程的充分必要条件为M Ny x∂∂=∂∂ ，此时有 (,)(,)(,)u M x y dx N x y M x y dx dy y ⎡⎤∂=+-⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰⎰(2) 分项组合全微分方法 将恰当方程的各项分项组合成全微分形式 简单二元函数的全微分： 2(),y d x x d y xy d x x d y d x yd y y ⎛⎫-+== ⎪⎝⎭2,ln ydx xdyy ydx xdyx d d x xy y x ⎛⎫-+-⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22221,ln2ydx xdy y ydx xdy x yd arctg d x x yx y x y ⎛⎫---⎛⎫== ⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭(3) 积分因子 如存在连续可微函数(,)x y μ，使得Mdx Ndy du μμ+=则称(,)x y μ为方程0Mdx Ndy +=的积分因子.同一方程可以有不同的积分因子.μ为积分因子的充分必要条件：()()M N y x μμ∂∂=∂∂即M N N M x y y x μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭(4) 单变量积分因子()()x y μμ、 ()x μμ=形式的积分因子的充分必要条件：()M Ny xx Nψ∂∂-∂∂=，此时积分因子为()()x dx x e ψμ⎰=. 同样，()y μμ=形式的积分因子的充分必要条件： ()M Ny xx Mϕ∂∂-∂∂=-，此时积分因子为()()y dyy e ϕμ⎰=.§2.4 一阶隐方程与参数表示一阶隐微分方程形式为 (,,')0F x y y =.(1) (,')y f x y = 令'y p = 对(,')y f x y =取x 微分得f f dp p x p dx∂∂=+∂∂，视为,x p 的一阶微分方程解之，解为(,)p x c ϕ=时原解为(,(,))y f x x c ϕ=；解为(,)x p c ψ=时原解为 (,)((,),)x p c y f p c p ψψ=⎧⎨=⎩. (2) (,')x f y y = 令'y p = 对(,')x f y y =取y 微分得1f f dp p y p dy∂∂=+∂∂，视为,y p 的一阶微分方程解之，解为(,)p y c ϕ=时原解为(,(,))x f y y c ϕ=；解为(,)y p c ψ=时原解为 (,(,))(,)x f y p c y p c ψψ=⎧⎨=⎩. (3) (,')0F x y = 令'y p =，方程化为(,)0F x p =，代表(,)x p 平面上的一条曲线.如有参数解()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，则原方程的通解为 ()()'()x t y t t dt c ϕψϕ=⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰. (4) (,')0F y y = 令'y p =，方程化为(,)0F y p =，代表(,)y p 平面上的一条曲线.如有参数解()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，则原方程的通解为 '()()()t x dt c t y t ϕψψ⎧=+⎪⎨⎪=⎩⎰.第三章 一阶微分方程的解的存在定理§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法(1) 微分方程00(,),,dy f x y R x x a y y b dx =-≤-≤： 称(,)f x y 在R 上关于y 满足利普希茨条件，如存在常数0L >满足121222(,)(,),(,)(,)f x y f x y L y y x y x y R -≤-∈、L 称为利普希茨常数.当(,)f x y 在R 上f y∂∂存在且连续，则(,)f x y 在R 上关于y 满足利普希茨条件. 存在唯一性定理1 如(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足利普希茨条件，则方程(,),dy f x y dx=在区间0x x h -≤上存在唯一解00(),()y x x y ϕϕ==，其中 (,)min ,,max (,)x y R b h a M f x y M ∈⎛⎫== ⎪⎝⎭(2) 隐方程 (,,')0F x y y =存在唯一性定理 2 如(,,')F x y y 在'000(,,)x y y 的某邻域中对(,,')x y y 连续且存在连续偏导数，同时''000000(,,)0,(,,)0'F x y y F x y y y ∂=≠∂.则方程(,,')0F x y y =存在唯一解'0000(),(),'()y x x y x y ϕϕϕ===.(3) 逐步迫近法 微分方程(,)dy f x y dx=等价于积分方程00(,)x x y y f x y dx =+⎰ 取00()x y ϕ=，定义001()(,()),1,2,x n n x x y f x x dx n ϕϕ-=+=⎰ 可证明lim ()()n n x x ϕϕ→∞=的()y x ϕ=满足积分方程.通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性.先证积分方程与微分方程等价(命题1)；后用数学归纳法证定义的()n x ϕ存在且连续(命题2)；再证()n x ϕ在区间一致收敛(命题3)；于是()x ϕ是积分方程连续解(命题4)；最后，用反证法证解唯一(命题5).(4) 近似计算 逐步迫近法中第n 次近似解()n x ϕ和真解()x ϕ有误差估计式1()()(1)!n n n ML x x h n ϕϕ+-≤+ 可以通过控制h 和n 使上不等式右端误差值足够小，而得到满足误差估计的近似解()n x ϕ.§3.2 解的延拓(1) 局部利普希茨条件 对域称函数(,)f x y 在某区域G 内每一点有以其为中心的完全被含于G 内的闭矩形R 存在，在R 上(,)f x y 关于y 满足利普希茨条件，则称(,)f x y 在G 内满足局部利普希茨条件.(2) 延拓定理 如(,)f x y 在某有界区域G 内连续且关于y 满足局部利普希茨条件，则方程(,)dy f x y dx=的通过G 内任何一点00(,)x y 的解()y x ϕ=可以延拓，直到点(,())x x ϕ任意接近区域G 的边界.(3) 饱和解 方程(,)dy f x y dx=的解()y x ϕ=的定义区间为x αβ<<，且当0x α→+或0x β→-时(,())x x ϕ趋于G 的边界，则称解()y x ϕ=为饱和解.当G 是无界区域时，方程(,)dy f x y dx=的解可能无界，αβ、亦可以是∞∞-、+. (4) 如(,)f x y 在整个x y 平面上定义、连续和有界，且存在关于y 的连续偏导数，则方程(,)dy f x y dx=的任一解均可延拓到区间x -∞<<+∞.§3.3 解对初值的连续性和可微性定理(1) 解对初值的对称性定理 设方程(,)dy f x y dx =的满足初值条件00()y x y =的解是唯一的，记为00(,,)y x x y ϕ=，则(,)x y 与00(,)x y 对称，即有00(,,)y x x y ϕ=.(2) 解对初值的连续依赖定理 如(,)f x y 在域G 内连续且关于y 满足局部利普希茨条件，0000(,),(,,)x y G y x x y ϕ∈=是方程(,)dy f x y dx=的满足初值条件00()y x y =的解，在区间a x b ≤≤上有定义(0a x b ≤≤)，则对任0ε>，有(,,)a b δδε=，使得当2220000()()x x y y δ-+-≤时方程(,)dy f x y dx=的满足条件00()y x y =的解00(,,)y x x y ϕ=在区间a x b ≤≤上也有定义，且0000(,,)(,,),x x y x x y a x b ϕϕε-<≤≤解对初值的连续性定理 如(,)f x y 在域G 内连续且关于y 满足局部利普希茨条件，则方程(,)dy f x y dx=的解00(,,)y x x y ϕ=作为00,,x x y 的函数在它的存在范围内是连续的. (3) 解对初值的可微性定理 如(,)f x y 和f y ∂∂在域G 内连续，则方程(,)dy f x y dx =的解00(,,)y x x y ϕ=作为00,,x x y 的函数在它的存在范围内是连续可微的.(4) 含参数微分方程(,,)dy f x y dxλ=，用G λ表示域：(,),G x y G λαλβ∈<<： 如(,,)f x y λ在域G λ内连续且关于y 满足局部利普希茨条件，当其利普希茨常数L 与λ无关时称为G λ内一致地关于y 满足局部利普希茨条件.含参数方程的解对初值和参数的连续依赖定理 如(,,)f x y λ在域G λ内连续且在G λ内一致地关于y 满足局部利普希茨条件，000000(,,),(,,,)x y G y x x y λλϕλ∈=是方程(,,)dy f x y dxλ=的通过点000(,,)x y G λλ∈的解，在区间a x b ≤≤上有定义(0a x b ≤≤)，则对任0ε>，有(,,,,)a b δδεαβ=，使得当2222000000()()()x x y y λλδ-+-+-≤时方程(,,)dy f x y dxλ=的通过点000(,,)x y Gλλ∈的解000(,,,)y x x y ϕλ=，在区间a x b ≤≤上也有定义，且 000000(,,,)(,,,),x x y x x y a x b ϕλϕλε-<≤≤含参数方程的解对初值的连续性定理 如(,,)f x y λ在域G λ内连续且在G λ内一致地关于y 满足局部利普希茨条件，则方程(,,)dy f x y dxλ=的解000(,,,)y x x y ϕλ=作为000,,,x x y λ的函数在它的存在范围内是连续的.§3.4* 奇解(1) 包络 对单参数曲线族(,,)0x y c Φ=其中c 是参数, Φ是x y c 、、的连续可微函数. 曲线族的包络曲线指它本身在曲线族中，但过包络曲线的每一点有曲线族中向一条曲线在该点与其相切.(2）c -判别曲线 曲线族0Φ=的包络存在于下两方程'(,,)0(,,)0c x y c x y c Φ=⎧⎪⎨Φ=⎪⎩ 消去c 而得的曲线中,称为c -判别曲线.c -判别曲线需通过实际检验才能确定是否是曲线族的包络.(2) 奇解 奇解是微分方程的解，但其解曲线上每一点处唯一性不成立. 奇解定理 一阶微分方程的通解的包络如存在，则它是奇解.反之亦然.(3) 隐微分方程,,0dy F x y dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的奇解，被包含在方程组 '(,,)0(,,)0pF x y p F x y p =⎧⎪⎨=⎪⎩ 消去p 而得的曲线 (称为p -判别曲线) 中.需通过实际检验才能确定是否是奇解.(4) 克莱罗方程 (),dy y xp f p p dx=+= (()f p 连续可微) 的通解是一直线族()y cx f c =+.此直线族的包络为方程的奇解.可用c -判别曲线求其包络(奇解).§3.5 数值解(1)求微分方程的初值问题00(,),()dy f x y y x y dx == （3.39）的解y y x =()，从初值条件00y x y ()=出发，按照一定的步长h ，依某种方法逐步计算微分方程解y x ()的值n n y y x ()=，这里0h x x n h =+⋅.这样求出的解称为数值解.用一种方法，其局部截断误差为步长h 的1()p O h +时称此方法有p 阶精度.(2) 欧拉公式(1阶精度)： 10(,),n n n n n y y h f x y x x n h +=+⋅=+⋅ 改进的欧拉方法(2阶精度)： 11112(,),((,)(,))n n n n n n n n n n h y y h f x y y y f x y f x y ++++=+⋅=++ (3) r 段(阶)龙格－库塔方法：11rn n i i i y y h k λ+==+∑112(,),,,j j n j n js s s k f x d h y h k j r β-==++=∑二阶龙格－库塔公式(2阶精度)：2r =, 1221222111,,22d d d λλβ=-== 四阶龙格－库塔公式(4阶精度)：4r =112341213243(22)6(,)(,)22(,)22(,)i i i i i i i i i i h y y k k k k k f x y h h k f x y k h h k f x y k k f x h y hk +⎧=++++⎪⎪=⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎪=++⎪⎩(4) 相容性：当0h →时平均斜率趋近真正斜率.局部截断误差为p 阶时相容称为p 阶相容.收敛性：当0h →时计算公式收敛于精确解.整体误差()n n n e y x y =-(在整个区间0[,]n x x ).p 阶收敛：如存在正数M ，其整体误差p n e Mh ≤.定理 不计舍入误差时，p 阶相容的方法一定是p 阶收敛的.(5) 刚性问题：微分方程组的初值问题中方程组的解的各分量值存在数量级的差别.微分方程组线性近似部分其特征值实部的绝对值中最大与最小之比称为刚性比.刚性比很大的刚性问题其数值方法与常规数值方法有所不同.第四章 高阶微分方程§4.1 线性微分方程的一般理论(1) 基本概念 n 阶非次齐线性微分方程(非齐线性方程)1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt---++++= (1) 当非齐次线性方程(1)中函数()0f t ≡时称为n 阶齐次线性微分方程(齐线性方程)1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt---++++= (2) 伏朗斯基行列式(函数()(1,,)i x t i k = 在区间a t b ≤≤可微1k -次)12'''1212(1)(1)(1)12()()()()()()()[(),(),,()]()()()k k k k k k k x t x t x t x t x t x t W t W x t x t x t x t x t x t ---==线性相关：对定义在区间a t b ≤≤上的函数()(1,,)i x t i k = ,如存在不全为零的常数(1,,)i c i k = ，使得在整个区间a t b ≤≤上恒成立1122()()()0k k c x t c x t c x t +++≡ ,不是线性相关的函数()(1,,)i x t i k = 称为在所给区间上线性无关. 基本解组(基解组) n 阶齐次线性方程(2)的一组n 个线性无关解.(2) 齐次线性方程基本性质：(a) 存在唯一性 设()(1,,)i a t i k = 区间a t b ≤≤上连续，则对任0[,]t a b ∈及任意初值(1)(1)000,,,n x x x - ，方程(1) 存在唯一解()x t ϕ=定义于区间a t b ≤≤上，且满足初始条件1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t d t t x x x dt dtϕϕϕ---=== . 注意 00()()k k k k t t d t d t dt dt ϕϕ==. (b) 叠加原理 对方程(2)的k 个解12(),(),,()k x t x t x t 的线性组合1122()()()k k c x t c x t c x t +++也是方程(2)的解.其中12,,,k c c c 为任意常数.(c) 定理 若函数12(),(),,()n x t x t x t 在区间a t b ≤≤上线性相关或无关，则在区间a t b ≤≤上它们的伏朗斯基行列式()0W t ≡或恒不为零.(d) 齐次线性方程(2)的基本解组的伏朗斯基行列式恒不为零.(e) 通解结构 设12(),(),,()n x t x t x t 是齐次线性方程(2)的一个基本解组.则齐次线性方程(2)的通解可表为1122()()()n n x c x t c x t c x t =+++ (3)其中12,,,k c c c 为任意常数.通解包括了齐次线性方程(2)的所有解.(3)非齐次线性方程基本性质：(a) 存在唯一性 设()(1,,)i a t i k = 和()f t 区间a t b ≤≤上连续，则对任0[,]t a b ∈及任意初值(1)(1)000,,,n x x x - ，方程(1) 存在唯一解()x t ϕ=定义于区间a t b ≤≤上，且满足初始条件1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t d t t x x x dt dtϕϕϕ---=== . (b) 如(),()x t x t 分别为n 阶线性方程(1),(2)的解，则()()x t x t +也是方程(1)的解.如12(),()x t x t 均为方程(1)的解，则12()()x t x t -是方程(2)的解.(c) 通解结构 设12(),(),,()n x t x t x t 是齐次线性方程(2)的一个基本解组.()x t 是方程(1)的某一解(特解).则非齐次线性方程(1)的通解可表为1122()()()()n n x c x t c x t c x t x t =++++其中12,,,k c c c 为任意常数.反之，对方程(1)的所有解，必存在常数12,,,k c c c ,表为上述形式.(d) 常数变易法 当已知方程(2)的一个基本解组12(),(),,()n x t x t x t 时，可用常数变易法求得方程(1)的解11()()()n ni i i i i i x x t x t t dt γϕ===+∑∑⎰其中()i t ϕ为由n 次微分通解式(3)得到的n 个方程。

数学中奇点的定义在数学中，奇点是指函数、方程或曲线上的特殊点，无法满足常规定义或解析性质的点。

奇点在多个数学领域中都有不同的定义和特性，下面将就几个常见领域中奇点的定义进行介绍。

1.函数的奇点：函数的奇点是指定义域内某个点处函数的值无法得到或者无法定义的点。

在实数域中，奇点可以有不同的分类，如：可去奇点、极限奇点、无穷远奇点等。

可去奇点是指函数在该点附近存在极限，但是函数在该点处没有定义；极限奇点是指函数在该点附近不存在有限的极限；无穷远奇点是指函数在该点附近的极限趋向于无穷。

例如函数 f(某) = 1/某在某= 0 处就是一个无穷远奇点，而函数 g(某) = sin(1/某) 在某 = 0 处则是一个极限奇点。

2.微分方程的奇点：在微分方程中，奇点是指方程中某些点处解的性质与其他点不同，例如解的存在性、解的唯一性以及解的行为等。

奇点可以是函数本身的奇点，也可以是边界条件的奇点。

例如一阶常微分方程 dy/d某 = f(某, y) 中，若函数 f(某, y) 在某个点 (某0, y0) 处不满足方程的连续性、可导性或者唯一性条件，那么该点就是方程的奇点。

3.线性代数的奇点：在线性代数中，奇点是指一个矩阵不具有满秩的特性。

对于一个 m某 n 的矩阵 A，若其秩小于 min(m, n)，则矩阵 A 被称为奇异矩阵，其零空间非零，即存在非零向量使得 A 乘以该向量等于零向量。

这与非奇异矩阵的性质截然不同，非奇异矩阵的秩等于其行（列）数，其零空间只包含零向量。

奇异矩阵在线性方程组求解、矩阵分解以及特征值等问题中具有特殊的性质和应用。

总之，奇点在数学中是一个比较广泛的概念，它可以表示函数、方程或矩阵在某些点或状态下不符合常规定义或解析性质的特殊情况。

不同领域中的奇点有不同的定义和性质，但都具有一定的特殊性和重要性，因此研究奇点在数学理论和应用中具有重要的意义。

常微分方程的奇点与边值问题常微分方程是数学中的重要分支，它研究的是描述自然现象的数学方程，如牛顿定律、热传导方程等。

这些方程通常包含未知函数及其导数，所以被称为常微分方程。

它们广泛应用于物理、工程、生物学、经济学等领域中的问题，具有很高的实用价值。

本文将介绍常微分方程中的奇点和边值问题，并探讨其在实际应用中的重要性。

一、奇点奇点是指常微分方程函数在某一点上其解变得不唯一或不能解析的点。

在正常情况下，微分方程的解应该是唯一的，并且在各个点上应该具有良好的解析性质。

但是有些情况下，函数会出现奇点，解变得不可解析，不同解之间也不再唯一。

奇点通常有两种类型：可去奇点和本质奇点。

可去奇点是指函数在该点上的不连续性可以被消除。

例如，当函数在某一点上的值为无穷大时，我们可以用极限的方法来消除该奇点。

但是本质奇点是无法消除的，它是函数固有的性质，例如在某一点上的导数不存在或者无界（趋向于无穷大或负无穷大）。

奇点的存在和性质对于常微分方程的解的形式和性质有着重要的影响。

例如，可以证明当微分方程的解在某个点上具有本质奇点时，解无法延拓到该点的某个领域内，因此在分析解的性质时应该注意奇点的存在。

二、边值问题在研究某些物理或工程问题时，我们可能需要求出微分方程在某个区间上的解，而且在区间的两个端点上需要满足一定的限制条件，这就是边值问题。

对于线性常微分方程，边值问题可以表示为：$$\begin{cases}y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x) & (a<x<b) \\y(a)=\alpha, y(b)=\beta\end{cases}$$其中$p(x)$和$q(x)$是区间$[a,b]$上的已知函数，$f(x)$是右侧的已知函数，$\alpha$和$\beta$是区间两端点的给定值。

边值问题可以进一步分类为两类：线性边界值问题和非线性边界值问题。

前者是指微分方程是线性的，后者是指微分方程是非线性的。

微分方程的奇点分类微分方程是研究自然现象中连续变化的数学工具之一，而奇点则是方程中出现不连续性的点。

对于微分方程的奇点分类具有重要的意义，可以帮助我们更好地理解方程的解的性质。

在几乎所有的微分方程中，我们都会遇到奇点，如何对这些奇点进行分类成为一个关键问题。

奇点的初步分类在微分方程中，奇点可以分为两种类型：孤立奇点和非孤立奇点。

孤立奇点是指在解析表达式的定义域内具有非常特殊性质的点，通常会导致方程解析表达式的不连续性；而非孤立奇点是指在整个定义域中都存在的奇点，这类奇点通常出现在方程的特殊解中，常表现为无穷远处的奇点。

奇点的具体分类根据奇点的性质和特征，我们可以进一步将奇点进行具体分类：可去奇点可去奇点是指在奇点附近方程的解存在有限极限，可以通过去除奇点来得到解析的解。

这种奇点在解分析中通常不会导致问题，常见于一阶ODE中。

极点极点是指在奇点附近方程的解存在无穷极限，但是该极限是有界的。

极点常出现在方程中具有多项式形式，如常微分方程中的球坐标方程。

非孤立奇点非孤立奇点是指在整个定义域中都存在的奇点，通常需要通过特殊方法来处理。

这类奇点在微分方程研究中具有很重要的意义，常见于振动问题和非线性方程的求解中。

奇点分类的实际应用对微分方程中奇点的合理分类不仅可以帮助我们更好地理解方程的解的性质，还可以指导我们选择适当的数值方法和解法策略。

在实际应用中，我们常常通过分析方程的奇点来确定解的行为，选择合适的数值方法来求解微分方程，从而提高计算效率和准确性。

总的来说，微分方程的奇点分类是微分方程研究中的一个重要问题，通过对奇点的合理分类和分析，可以更好地理解微分方程的解的性质，为解微分方程提供更有效的方法和策略。

在实际应用中，合理地处理奇点问题将是求解微分方程的关键之一。

§6.2 稳定性 奇点d (,)((,))d (,)y Y x y X x y 0x X x y =≠d (,)((,))d (,)x X x y Y x y 0y Y x y =≠或d (,)d ()d (,)d x X x y t 18y Y x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩奇 点驻定解奇点 d d ()d d x ax by t 21y cx dy t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩a b 0c d ≠标准形式11122122k x k y k x k y ξη=+⎧⎨=+⎩,,,010000λλλαβμλλβα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦a b 0c d λλ-=-,(),2p q 0p a d q ad bc λλ++==-+=-情形Ⅰ同号相异实根情形Ⅰ 同号相异实根 (),()12t t t Ae t Be λλξη==()()()()21t t B e 0t t A λληκξ-==→→∞当()()()()12t 1t A e 0t t B λλξκη-==→→∞当d d ,d d 12tt ξηλξλη==情形Ⅰ同号相异实根图结点稳定结点不稳定结点情形Ⅱ异号实根情形Ⅱ 异号实根 鞍点不稳定(),()12t t t Ae t Beλλξη==d d ,d d 12tt ξηλξλη==情形Ⅱ异号实根图情形Ⅲ重根(1)情形Ⅲ 重根•(1) b ≠0或c ≠0 退化结点稳定退化结点 不稳定退化结点()(),()t t t At B e t Aeλλξη=+=()()()t A 0t t At B ηξ=→→∞+当d d ()d d x ax by t 21y cx dy t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩d d ,d d tt ξηλξηλη=+=情形Ⅲ重根(1)图情形Ⅲ重根(2)•(2) b =c =0奇结点稳定的不稳定的(),()t t x t Ae y t Be λλ==d d ,,d d x y x y a d t tλλλ====情形Ⅳ非零实部复根•情形Ⅳ 非零实部复根 ,t r Ae t Bαθβ==-+d d ,d d ttξηαξβηβξαη=+=-+d d d d d d ,d d d d d d 2r r r t t t t t t ξηηξθξηξη+=-=d d ,d d r r t t θαβ==-情形Ⅳ非零实部复根图情形Ⅴ纯虚根•情形Ⅴ纯虚根中心零解稳定线性奇点定理定理6 •(1) 结点鞍点•(2)退化结点奇结点•(3) 焦点()()dxax by a b dt21022dy cdcx dy dt⎧=+⎪⎪≠⎨⎪=+⎪⎩,(),()2p q 0p a d q ad bc 24λλ++==-+=-奇点类型图p2-4q=0,(),()2p q0p a d q ad bc24λλ++==-+=-例1 讨论二阶线性微分方程的奇点：解d dd d22x x32x0 t t++=ddddxyty2x3yt⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩极限环例例1 即轨线按顺时针方向从圆上走出圆外；,,,,0000r 0t t t t r 1t t t t θθ==-≥==-≥和d ()d d ()d 2222x x y x x y t y x y y x y t⎧=+-+⎪⎪⎨⎪=-+-+⎪⎩d d (),d d 2r r 1r 1t tθ=-=-d d (),d d 1211r R r R 1R 010tt θθθ*===->=-<d d (),d d 2222r R r R 1R 010t t θθθ*===-<=-<极限环稳定不稳定半稳定极限环d(,)d()d(,)dxX x yt18yY x yt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩环域定理定理7 定理8 证 X Yx y∂∂+∂∂:(),(),x x t y y t 0t TΓ==≤≤d d (,)(,)18d d x yX x y Y x y t t==，.（）()()d d d d d d d d d d T TD 00X Y y x x y X y Y x X Y t XY YX t 0x y t t ΓΓ⎛⎫∂∂⎛⎫+=-=-=-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰数学摆和范得波尔(van der Pol)方程 例2 解范得波尔(van der Pol)方程 李纳(Lienerd)方程 0X Y x y m μ∂∂+=-<∂∂d d ,sin ,(0)d d x y g y x y t t l m μμ==-->222d d (1)0d d x x x x t t μ+-+=d d ()()d d 22x x f x g x 0t t ++=d ()()d ,()d x 0x F x f x x y F x t ==+⎰d d (),()d d x y y F x g x t t =-=-李纳(Lienerd)方程定理 定理9 (1) (2) (3) 稳定的极限环()()d x 0F x f x x=⎰d d ()()d d 22x x f x g x 0t t++=d d (),()d d x y y F x g x t t =-=-范得波尔方程极限环2d d (1),d 3d x x y y x t t μ=--=-222d d (1)0d d x x x x t t μ+-+=Poincare映射k重极限环Poincare映射P后继函数•k重极限环希尔伯特第16问题个数唯一性唯n性平面图貌 d (,)d ()d (,)d x X x y t 18y Y x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩两种群模型竞争系统被捕食-捕食系统共生系统d (1)d 36d (1)d x rx ax by t y sy cx dy t⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（）竞争系统Volterra被捕食-捕食模型--=c dx a byx e y e k分界线、同宿、异宿环(轨)分界线同宿环(轨)异宿轨异宿环全局图貌。