2014数学尖子生二次函数与存在问题

中考数学专题复习——存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来包括深圳在内各地中考的“热点”。

这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。

若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。

以下为几种典型的二次函数中出现的存在性问题，讲解后希望各位考生在以后的考试中如果遇到此类型时能够很顺畅的把过程写下来。

一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.（2011枣庄10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，把抛物线2y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2()y x h k =-+.所得抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D. （1）写出h k 、的值；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；（3）在线段AC 上是否存在点M ，使△AOM ∽△ABC ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.2.（2011临沂13分）如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C ． （1）求抛物线的解析式；（2）若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P 、M 、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二、二次函数中面积的存在性问题3. （2011日照10分）如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线ky x=相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOX 错误!未找到引用源。

二次函数的常见问题二次函数是高中数学中常见的一种函数形式，它的图像呈现出抛物线的形状，具有很多特性和应用。

然而，在学习和使用二次函数的过程中，人们常常会遇到一些问题。

本文将探讨二次函数的常见问题，并给出解答和解决方法。

一、二次函数的基本形式和特点在介绍常见问题之前，首先需要了解二次函数的基本形式和特点。

二次函数的一般形式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二次函数的图像通常为一个抛物线，开口的方向和抛物线的开口方向与a的正负有关。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，是二次函数的最值点。

二次函数还可通过平移、缩放等变换获得不同的函数图像。

二、常见问题及解答问题一：如何求二次函数的解析式？解答：求解二次函数的解析式需要已知函数经过的点或给定其他的条件。

首先，利用已知条件列方程，然后使用解方程的方法求得系数a、b、c的值，最终得到二次函数的解析式。

问题二：如何确定二次函数的开口方向？解答：二次函数的开口方向由系数a的正负决定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

问题三：如何求二次函数的顶点坐标及最值？解答：二次函数的顶点坐标可以通过对称轴的概念求解。

对称轴的横坐标为-x⁰/2a，带入函数表达式找到对应的函数值即可得到顶点坐标。

最值即为顶点的纵坐标。

问题四：如何根据函数图像确定二次函数的性质？解答：二次函数的图像可以反映出其诸多性质，如开口方向、顶点坐标、最值等。

通过观察图像的形状和位置，可以确定二次函数的性质。

问题五：如何判断给定的点是否在二次函数上？解答：将点的坐标代入二次函数的解析式，若等式成立，则给定的点在二次函数上。

问题六：如何求二次函数与坐标轴的交点？解答：对于二次函数与x轴的交点，即求解方程f(x) = 0；对于二次函数与y轴的交点，直接读取常数项即可。

⼆次函数中的存在性问题⼆次函数中的存在性问题存在性问题是指判断满⾜某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖⾯较⼴，综合性较强，题意构思⾮常精巧，解题⽅法灵活，对学⽣分析问题和解决问题的能⼒要求较⾼，是近⼏年来各地中考的“热点”。

这类题⽬解法的⼀般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。

若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出⽭盾，就做出“不存在”的判断。

以下⼏篇内容为⼏种典型的⼆次函数中出现的存在性问题，希望⼤家在以后的学习中如果遇到此类型时能够轻松解决。

⼀、特殊三⾓形的存在性问题（⼀）⼆次函数中的等腰三⾓形存在性问题如果△ABC是等腰三⾓形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．因此，解等腰三⾓形的存在性问题时，通常要进⾏分类讨论。

这类问题有⼏何法和代数法两种⽅法，我们要根据具体情况灵活选择简便的⽅法。

⼏何法⼀般分三步：分类、画图、计算．代数法⼀般也分三步：罗列三边长，分类列⽅程，解⽅程并检验．（⼆）⼆次函数中的直⾓三⾓形存在性问题如果△ABC是直⾓三⾓形，那么存在①∠A为直⾓，②∠B为直⾓，③∠C为直⾓三种情况．因此，解直⾓三⾓形的存在性问题时，通常要进⾏分类讨论。

这类问题有⼏何法和代数法两种⽅法，我们要根据具体情况灵活选择简便的⽅法。

⼏何法⼀般分三步：分类、画图、计算．代数法⼀般也分三步：罗列三边长，分类列⽅程，解⽅程并检验．（三）⼆次函数中的等腰直⾓三⾓形存在性问题在解决等腰直⾓三⾓形存在性问题时，往往要⽤到⼏何和代数相结合的⽅法，设出点的坐标后，利⽤等腰直⾓三⾓形的⼏何性质及函数关系式列⽅程求解，最常⽤到的有：①两直⾓边相等，直⾓边与斜边的⽐为1：√2；②斜边中线垂直于斜边，且等于斜边的⼀半。

③直⾓顶点处构造三垂直，得到全等三⾓形，利⽤对应边的等量关系求解。

初中生二次函数学习困难的成因及教学对策研究初中生在学习二次函数时可能会遇到一些困难，这些困难有以下的成因：1.抽象概念：二次函数是数学中的一种抽象概念，对初中生来说可能比较难以理解和接受。

他们可能会觉得这是一个与他们日常生活无关的概念，因此对学习二次函数缺乏兴趣。

2.缺乏几何图像的理解：初中生对几何图像的理解一般较为薄弱，而二次函数的图像是一个抛物线，初中生可能难以理解和绘制抛物线的性质和图像。

他们可能对如何从二次函数的方程中得到抛物线的图像感到困惑。

3.计算和分析困难：在学习二次函数时，初中生需要进行一些复杂的计算和分析。

他们需要解方程、求函数的最值、判断函数的增减性等，这对他们来说可能是一个挑战。

针对这些困难，教学对策如下：1.增加实际意义：教师在讲解二次函数时可以提供一些与实际生活相关的例子和问题，让学生能够理解二次函数的实际意义。

例如，可以通过抛物线来解释物体的抛射运动，或者通过二次函数来解释生态系统的变化规律。

2.强调几何图像：教师可以通过绘制抛物线的几何图像来帮助学生理解二次函数的性质和变化规律。

可以让学生观察和分析不同二次函数的图像，帮助他们理解二次函数的特点。

3.分步教学：教师可以将解决二次函数的问题分为几个步骤来教学，逐步引导学生思考和分析。

例如，在解方程时可以先求出判别式，然后根据判别式的值来讨论方程的解的情况。

这样能够让学生更清晰地理解解题思路。

4.提供足够的练习和案例：教师可以提供足够的练习题和案例，让学生进行反复练习，并可以在课堂上共同讨论解题方法和思路。

这样可以帮助学生提高解决问题的能力和分析思维。

总结起来，初中生在学习二次函数时的困难主要源于抽象概念、几何图像理解和计算分析困难等方面。

为了解决这些困难，教师可以增加实际意义，强调几何图像，分步教学，并提供足够的练习和案例，以帮助学生理解和掌握二次函数的相关知识。

初中生二次函数学习困难的原因分析及对策
二次函数是初中数学中的重要内容，但是很多学生在学习二次函数时会遇到困难。

那么，初中生学习二次函数困难的原因是什么？以及应该采取哪些对策呢？
一是概念抽象难懂。

二次函数的概念比较抽象，学生很难理解，更难把概念转化为实际的计算。

二是缺乏实践练习。

学习二次函数的过程中，学生缺乏实践练习，没有机会去实践，也就没有办法把概念转化为实际的计算。

三是缺乏足够的耐心。

学习二次函数的过程中，学生缺乏足够的耐心，很容易放弃，而不去深入研究。

针对以上原因，我们可以采取以下对策：
一是多加练习。

学习二次函数时，要多加练习，多做一些实际的计算，把概念转化为实际的计算。

二是增强耐心。

学习二次函数时，要增强耐心，不要放弃，要深入研究，才能更好地理解二次函数的概念。

三是多咨询老师。

学习二次函数时，要多咨询老师，老师可以给学生提供更多的帮助，让学生更好地理解二次函数的概念。

以上就是初中生学习二次函数困难的原因及对策。

希望学生们能够坚持不懈，多加练习，增强耐心，多咨询老师，从而更好地理解二次函数的概念。

《二次函数》的教学中遇到的困难及解决的办法二次函数是中考的重点知识，也是整个初中数学的重点和难点。

所以在这一章的教学中更应注意一些教学手段和教学方法。

首先，我谈一下在教学中遇到的一些困难及解决的办法。

一、动手操作的准确性的把握及与时间的矛盾：二次函数的解析式有四种，从易到难的每类函数图象都需要学生动手操作，从图象中了解其特点，如对称轴、顶点坐标、开口方向及增减性等问题。

学生的动手操作能力差，这其间我引导学生明确取点注意的事项，比如取的点要具有代表性和易操作性。

尽量减少因画图使抛物线产生的偏差，不要影响其对性质的剖析。

另外，作图时间过长，致使课上作图完全放到课下，做为前置性作业。

目的是让学生在完成这些知识的过程中体会从函数图像来研究函数性质。

这样既复习了旧知（列表、描点、连线）又使学生体会到如何研究函数，从哪些方面研究函数，从思维层面锻炼了学生的探究能力。

这样就将作图难和时间紧的问题相应的解决。

二、二次函数顶点式的形成及增减性的理解所产生的问题及措施：顶点式的探究，就是让大家带着目标去探究。

学生在研究二次函数的顶点式，即：y=a(x-h)2+k图象中遇到了一些困难，如对向左平移定为+h 而向右平移定为-h有很多困惑。

了解情况后，我首先是让学生认真画图象观察，并从图象中总结规律，告诉学生一切数学真理源于实践。

学生能及时的从图象中反应了顶点式的特点并自主的总结规律，这个问题得到了妥善的处理。

另外，学生在对二次函数的增减性问题上也有困惑。

分不清楚增大而增大和增大而减小的分支。

于是，我想出了一个办法解决这个问题：用自己的肢体语言作为影像对学生进行讲解，右手上举，表示开口向上的x>h部分的增减性，即右上方为增大而增大，反之，左手上举即为开口向上的x<h部分的图象的增减性，即左上方为增大而减小。

开口向下亦是如此。

这是第一种方法。

第二种方法就是在图象上取点，两点的横坐标与两点的纵坐标类比，更能反应图象的增减性。

初中生二次函数学习困难的成因及教学对策研究初中生在学习二次函数这一章节上面常常遇到许多困难的问题，这主要是因为他们对于二次函数的概念和性质理解不透彻，缺乏足够的数学基础知识，以及缺乏解题的方法和技巧。

首先，初中生对于二次函数的概念和性质理解不透彻是学习困难的关键原因之一、二次函数是指y=ax^2+bx+c形式的函数，其中a不等于0。

而学生在学习初中的代数知识阶段，主要掌握的是一次函数，而对于二次函数的概念和性质了解相对较少。

因此，学生对于二次函数的起伏规律、顶点、轴对称等重要概念缺乏理解，导致学习困难。

其次，初中生在学习二次函数的过程中，常常缺乏足够的数学基础知识。

学习二次函数需要一定的代数运算能力，例如解方程、因式分解、二次函数图像的绘制等。

然而，由于学生在初中阶段的数学基础知识较为薄弱，对于这些相关的数学知识掌握不牢固，导致学习二次函数困难。

最后，初中生在学习二次函数时缺乏解题的方法和技巧。

二次函数的解题方法和技巧相对复杂，例如根据函数图像求函数的解、根据函数的性质解题等。

而学生的解题能力与解题方法和技巧密切相关，如果缺乏相应的解题方法和技巧，就会导致学习困难。

针对初中生学习二次函数的困难成因，我提出以下教学对策：首先，在教学中应注重对二次函数概念和性质的讲解和理解。

可以通过提供具体的例子，比如用水果摆放的数量与其价格的关系等，让学生直观地了解二次函数的起伏规律和基本特点。

同时，教师可以设计一些与实际生活紧密相关的问题，提高学生学习的兴趣和主动性，加深他们对二次函数概念和性质的理解。

其次，对于学生数学基础知识薄弱的问题，教师应加强对于基础知识的讲解和复习。

可以结合二次函数，通过解析几何的方法讲解二次函数图像的绘制，进一步巩固学生的几何知识。

同时，可以通过小组互动、自主学习等方式，提高学生的数学基础知识储备能力，为学习二次函数打下扎实的基础。

最后，在教学中应注重培养学生解题的方法和技巧。

可以通过课堂教学、小组讨论、数学游戏等方式，引导学生对于二次函数解题方法和技巧的掌握。

初中生二次函数学习困难的成因及教学对策研究函数是初中数学教学内容中的重点之一，它贯穿了初中数学的整个学习过程，将初中数学许多知识点由简单到复杂串联起来.在教学实践过程中不难发现，初中生对函数的学习大多感到吃力，函数的教学效果也并不是十分理想，尤其是九年级的二次函数学习更是如此.对此就需要我们积极探寻其中缘由，并摸索出合适的解决手段.一、造成学习二次函数困难的原因（一）二次函数具有一定的复杂性函数概念本来就具有一定的抽象性，其中的各个概念也十分复杂，对这种抽象又复杂的知识点，初中生往往难以接受.此外，相比一次函数，二次函数的图像与性质都更为复杂，新增了顶点、开口方向以及对称轴等内容，并且分析二次函数的单调性、奇偶性以及对称性等也需要掌握更多的新的知识点.同时二次函数相较于之前学习的一次函数，更多地体现了数学思想，例如，分类讨论、数形结合等.这些原因导致学生在学习二次函数过程中往往觉得二次函数的内容十分复杂.（二）学生学习习惯不佳在教学实践过程中，不难发现大多数学不好二次函数的学生没有良好的学习习惯，他们课前没有做相关的预习工作，课堂听讲过程中又时常开小差，课后的复习工作更是没有.在这种情况下，就算教师将课程讲十遍他们也不一定能够听懂，这其中的关键就是他们自身没有形成良好的学习习惯.按照初中的授课安排，在八年级的时候就已经将一次函数的内容教授完成，到了九年级的时候，才开始二次函数的学习，此时大多数学生都已经将之前学习的一次函数定义形式等忘得差不多，倘若不做课前的预习工作，那么在课堂上往往听不懂教师的授课内容.此外，由于二次函数的学习安排在九年级，这个时期已经是中考的前一年，学校大多处于赶课状态.教师为了跟上课程安排往往会加快节奏，很多答题都是一笔带过，并没有展开详细讲解.大多数学生面对这种情况也只是在试卷上或者是习题上写下教师报出的答案，并不去深究其中的过程，这种被动的学习状态就导致很多对二次函数掌握一般的学生很难真正深入了解二次函数.（三）教师授课安排有失妥当许多教师为了学生能够拿到更好的成绩，往往授课内容根据考试大纲确定，即考什么就讲什么，甚至在新课教授过程中，教师认为不考的内容就直接跳过不讲，这就导致学生的知识框架不完整，出现知识断面，学习时感到吃力.例如，在学习二次函数与一元二次方程的关系时，教师认为这部分内容并不是考查内容，往往就选择不讲或是一笔带过.但是这项内容虽然不会直接出题考查却隐藏在学生的解题思想中，教师忽视这两者关系的讲解就会导致学生对函数与方程思想难以连接.在许多需要这一思想来破题的题目中，学生就会感到无从下手.再比如，学习利用二次函数图像求一元二次方程近似解的内容时，许多教师认为这一知识点较为复杂，并且考查时很低概率考到这部分内容就会选择不讲[1].但是这部分知识却是后面学习“二分法”求函数近似值在初中学习内容中的唯一落脚点.教师忽略的这部分知识可能会在学生高中学习“二分法”时造成十分严重的阻碍，导致学生学习积极性下降.二、解决二次函数学习困难的有效对策（一）明确概念，加强知识分析在学习二次函数时，教师可以通过合理的例子将抽象的函数概念具体化，更好地帮助学生理解其中的概念.例如，教师可以为学生讲解正方形的面积与其边长之间的关系，通过将函数中复杂的概念以具体化的方式，帮助学生更好地理解.在做好这方面的工作后，教师应检验学生真实的学习情况.检验方式可以是教师在课堂上给出一些表达式让学生自己判断，倘若大部分学生的学习情况符合基本预期，那么教师就可以继续下一步的教学计划.如果大部分学生的学习效果都不太理想，那么就需要教师以新的方式再教授一遍该课堂的内容.（二）恰当评价学生在教学过程中，教师对学生的恰当评价往往也会对学生的学习状态产生十分深刻的影响.面对学习优异的学生，教师需要对其学习成果表示肯定.而对学习存在一定困难有待克服的学生，教师需要予以鼓励.在面对学习态度恶劣的学生时，教师应展现出教师的严厉以及客观，要严肃地告诉他学习态度有待改正，但是不能嘲讽这类学生，应保持客观的态度[2].例如，在课堂上，有些学生在被点名回答问题时可能答案并不准确，并且表述十分拖拉.这时切记，教师万万不可随意打断学生，并且直接告诉学生你的答案与标准答案不符，所以你是错的.教师应予以学生充分的尊重，循循善诱.例如，在提问学生y=2x2与y=122的不同与相同点时，学生可能只能说出其开口大小不一，对称轴都为x=0.此时教师可以先让该学生坐下，再展开题目的层层剖析，并且在解题完成后可以以眼神询问学生是否听懂.三、结束语二次函数对培养学生的数学思维方式有着十分重要的意义，初中数学教师在授课过程中需要对学生的学习情况多加注意，及时发现学生对哪一环节的知识存在疑问，并且能够及时巩固其薄弱知识.在教学过程中还需要注意的是，虽然中考十分重要，但是切記不可急功近利，教材上的知识还需要扎实地教授给学生.只有学生的知识框架完善了，才有可能取得更好的成绩.。

【最新整理，下载后即可编辑】已知，抛物线322--=x x y 交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C. 1、线段最值 ①线段和最小点P 是抛物线对称轴上一动点，当点P 坐标为多少时，PA+PC 值最小.A BCO xy②线段差最大点Q 是抛物线对称轴上一动点，当点Q 坐标为多少时，|QA-QC|值最大.A BCO xy③线段最值连接BC ，点M 是线段BC 上一动点，过点M 作MN//y 轴，交抛物线于点N ，求线段MN 的最大值及点N 的坐标.A BCO xyNM变式① 点N 是第四象限内抛物线上一动点，连接BN 、CN ，求BCN S ∆的最大值及点N 的坐标 A BCO xy N变式②点N 是第四象限内抛物线上一动点，求点N 到线段BC 的最大距离及点N 的坐标A BCO xyNM2、等腰三角形的存在性问题 点D 为抛物线322--=x x y 的顶点，连接BC ，点P 是直线BC 上一动点，是否存在点P ，使△PAD 为等腰三角形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.A BCO xyD3、菱形的存在性问题点D 为抛物线322--=x x y 的顶点，连接BC 点P 是直线BC 上一动点，点Q 为坐标平面内一点，是否存在以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，说明理由.A BCO xyD4、平行四边形的存在性问题点D 为抛物线322--=x x y 的顶点，点M 是抛物线上一动点，点N 为直线BC 上一动点，是否存在以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M 坐标，若不存在，说明理由.A BCO xyD5、直角三角形的存在性问题点P 为抛物线322--=x x y 的对称轴上的一动点，是否存在点P ，使△PBC 为直角三角形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.ABCO xy6、等腰直角三角形的存在性问题 点M 在线段BC 上，过点M 作MN 平行于x 轴交抛物线322--=x x y 第三象限内于点N ，点R 在x 轴上，是否存在点R ，使△MNR 为等腰直角三角形，若存在，求出点R 坐标，若不存在，说明理由.ABCOxyMN7、相似的存在性问题点D 为抛物线322--=x x y 的顶点，点E 是OD 与BC 的交点，点F 为x 轴上的一动点，是否存在点F ，使△BEF 和△OCE 相似，若存在，求出点F 坐标，若不存在，说明理由.ABC O xyDE。