备战2018年高考数学回扣突破练第05练导数与几何意义文 Word版 含答案

2018高考文科数导数及应用专项100题（WORD版含答案）一、选择题（本题共22道小题）1.设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）2.曲线在x=e处的切线方程为（）A．y=x B．y=e C．y=ex D．y=ex+13.设函数f（x）=ax+sinx+cosx．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A、B，使得曲线y=f（x）在点A、B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．[﹣1，1]4.已知4()(2)(0)1xf x a x xx=-+>+，若曲线()f x上存在不同两点A，B，使得曲线()f x在点A，B处的切线垂直，则实数a的取值范围是A. (B. (-2, 2)C. (2)D. (2-5.等差数列{a n}中，a1，a4025是函数的极值点，则log2a2013等于（）A．2 B．3 C．4 D．56.对任意x∈R*，不等式lnx≤ax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．[，+∞） C．（﹣∞，] D．[e，+∞）7.已知函数f（x）的定义域为R，且为可导函数，若对∀x∈R，总有2f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），则（）A．f（x）＞0恒成立B．f（x）＜0恒成立C．f（x）的最大值为0 D．f（x）与0的大小关系不确定8.若存在两个正实数x，y，使得等式2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0成立，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．9.函数，则函数的导数的图象是（）A．B．C．D．10.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对于任意实数x有f′(x)+ f(x)＞0，且f(0)=1，则不等式e x f(x) ＞1的解集为（）A．(－∞，0) B．(0，+∞) C. (－∞，e) D．(e，+∞)11.已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A． B．C． D．12.已知△ABC的面积为l，内切圆半径也为l，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则的最小值为（）A．2 B．C．4 D．13.定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x＞0时，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．414.已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）=2x2﹣f（﹣x）．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜2x；若f（m+2）﹣f（﹣m）≤4m+4，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣2] C．[﹣1，+∞）D．[﹣2，+∞）15.已知定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）为其导函数，且f（x）＜f′（x）•tanx恒成立，则（）A． f（）＞f（）B． f（）＜f（）C． f（）＞f（）D．f（1）＜2f（）•sin116.设a∈R，函数f（x）=e x+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（）A．ln2 B．﹣ln2 C．D．17.已知，f（x）在x=x0处取得最大值，以下各式中正确的序号为（）①f（x0）＜x0；②f（x0）=x0；③f（x0）＞x0；④；⑤．A．①④B．②④C．②⑤D．③⑤18.若函数在区间（1，2）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．[2，+∞）19.设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）20.已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）21.设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）22.函数f（x）=x+的极值情况是（）A．既无极小值，也无极大值B．当x=﹣2时，极大值为﹣4，无极小值C．当x=2，极小值为4，无极大值D．当x=﹣2时，极大值为﹣4，当x=2时极小值为4二、填空题（本题共17道小题）23.若函数f（x）=lnx﹣f′（1）x2+3x+2，则f′（1）= ．24.函数y=x+lnx在点（1，1）处的切线方程为．25.已知曲线f（x）=e x﹣mx+1存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围为．26.已知函数f（x）满足xf′（x）=（x﹣1）f（x），且f（1）=1，则f（x）的值域为．27.点P（x0，y0）是曲线y=3lnx+x+k（k∈R）图象上一个定点，过点P的切线方程为4x﹣y﹣1=0，则实数k的值为．28.若函数f（x）=ae x﹣x有两个零点，则实数a的取值范围是．29.函数y=（x+a）e x在x=0处的切线与直线x+y+1=0垂直，则a的值为．30.结合所学知识，土地革命是指打土豪、分田地，题目中并未牵涉，故A项错误；根据题目中“建立革命平民的民权的城市政府”得出：此时中共还坚持以城市为中心的革命模式，故B项正确；结合所学知识，此时中共并未摆脱共产国际的影响，中共独立作出决策，摆脱共产国际的影响是在1935年遵义会议，故C项错误；主张走农村包围城市的革命道路是在秋收起义进攻长沙失败后，与题意不符，故D项错误。

导数的几何意义专题练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 函数f (x )在x =4处的切线方程为y =3x +5，则f (4)+f ′(4)=( ) A.10 B.20C.30D.402. 函数f (x )=x 3−7x 2+1的图象在点(4,f (4))处的切线的斜率为( ) A.−8 B.−7C.−6D.−53. 已知三次函数y =f (x )的图像如右图所示，若f ′(x )是函数f (x )的导函数，则关于x 的不等式(x −2)f ′(x )>f (7)的解集为（ ）A.{x|1<x <2或x >4}B.{x|x <7}C.{x|1<x <4}D.{x|x <1或2<x <4}4. 已知曲线y =ae x +x ln x 在点(1,ae )处的切线方程为y =2x +b ，则（ ） A.a =e ，b =−1 B.a =e ，b =1 C.a =1e ，b =eD.a =1e ， b =−15. 已知曲线y =ae x +x ln x 在点(1,ae )处的切线方程为y =2x +b ，则（ ） A.a =e ，b =−1 B.a =e ，b =1 C.a =1e ， b =−1 D.a =1e ，b =e6. 如图，直线l 是曲线y =f (x )在x =2处的切线，则f ′(2)=( )A.1B.2C.3D.47. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f′(x)的图象为（）A.B.C.D.8. 已知函数f (x )=53x −ln (2x +1)，则lim Δx→0f (1+Δx )−f (1)2Δx=( ) A.1 B.12C.43D.539. 已知直线y =ax +2a 与曲线y =ln (x +2)相切，则a 的值为( ) A.1 B.2C.1eD.1e 210. 已知f(x)=a ln x +12x 2(a >0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>2恒成立，则a 的取值范围是( )A.[1, +∞)B.(1, +∞)C.(0, 1)D.(0, 1]11. 设f (x )为可导函数，且满足lim Δx→0f (1+3Δx )−f (1)Δx=−3，则函数y =f (x )在x =1处的导数为( ) A.1 B.−1C.1或−1D.以上答案都不对12. 已知函数f (x )={e −x +2mx +m, x <0,e x (x −1), x ≥0, (e 为自然对数的底)，若F (x )=f (x )+f (−x )且F (x )有四个零点，则实数m 的取值可以( )A.1B.2C.eD.2e13. 函数f(x)=2x3−2的图象在点(1,0)处的切线的斜率为________.14. 曲线y＝ln x−在x＝1处的切线的倾斜角为α，则sin2α＝________．15. 已知函数f(x)=log a x(a>1)的导函数是f′(x)，记A=f′(a)，B=f′(a+1)，C=f(a+1)−f(a)(a+1)−a，则A，B，C的大小关系是________．16. 已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线为l．若l与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，则a=________．17. 函数在点处的切线方程为________．18. 已知函数，则曲线在处的切线方程为________.19. 曲线f(x)=e x−x ln x+2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为________.20. 若函数y=x3+ax2(a∈R)的图象在点(1,b)处切线的斜率为−1，则a+b=________.21. 曲线f(x)=x sin x在x=π2处的切线方程为________22. 已知直线y=kx+b是曲线y=e x的一条切线，则k+b的取值范围是________.23. 已知曲线y=1x +ln xa在x=1处的切线l与直线2x+3y=0垂直，则实数a的值为________.24. 已知P是曲线y=14x2−12ln x上的动点，Q是直线y=34x−2上的动点，则PQ的最小值为________.25. 求函数y＝(2x−1)2在x＝3处的导数．26. 已知圆的面积S是半径r的函数S＝πr2，用定义求S在r＝5处的导数，并对S′(5)的意义进行解释．27. 求曲线y=1x+2x在x＝1处切线的斜率，并求该切线的切线方程．28. 已知函数f(x)=a ln xx+1+bx，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y−3=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：当x>0，且x≠1时，f(x)>ln xx−1．29. 已知函数f(x)=ln x−12ax2+bx+1的图象在x=1处的切线l过点(12,12)．（Ⅰ）若函数g(x)=f(x)−(a−1)x(a>0)，求g(x)的最大值（用a表示）；（Ⅱ）若a=−4，f(x1)+f(x2)+x1+x2+3x1x2=2，证明：x1+x2≥12．30. 已知函数f(x)=x2+a ln x．（Ⅰ）若曲线y=f(x)−1在点(1,0)上的切线与直线y=x垂直，求a的值；（Ⅱ）函数y=f′(x)是函数y=f(x)的导函数，若f′(x)≥ln xx恒成立，求a的取值范围．31. 已知函数f(x)=e x−a，g(x)=ln x−b.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程；(2)若a=b+2，是否存在直线与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由．x3−x2+2，M为函数f(x)图象上一点，曲线y=f(x)在M处的32. 已知函数f(x)=13切线为l.(1)若M点坐标为(0,2)，求切线l的方程；(2)求当切线l的斜率最小时M点的坐标．33. 已知函数f(x)=ln x−mx，m∈R.(1)若f(x)在点x=1处的切线与直线x+2y+1=0垂直，求该切线的方程；(2)设函数g(x)=1x2+f(x)有两个相异的极值点x1，x2，求g(x1)+g(x2)的取值范围．2−8ln x (a∈R)34. 已知函数f(x)=2x−ax(1)若f(x)在点A(1,f(1))处取得极值，求过点A且与f(x)在x=a处的切线平行的直线方程；(2)若函数f(x)有两个都大于1的极值点x1,x2(1<x1<x2)，求证：当m≤1时，总有a ln x1>m(5x2−x22)成立．1−x135. 已知函数f(x)=−x3+ax2−4(a∈R)．(1)若函数y=f(x)的图象在点P(1, f(1))处的切线的倾斜角为π，求a的值；4(2)若存在t∈(0, +∞)，使f(t)>0，求a的取值范围．参考答案与试题解析导数的几何意义专题练习题含答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分）1.【答案】B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】根据切点在切线上可求出f(4)的值，然后根据导数的几何意义求出f′(4)的值，从而可求出所求．【解答】解：根据切点在切线上可知当x=4时，y=17，∴f(4)=17，∵函数y=f(x)的图象在x=4处的切线方程是y=3x+5，∴f′(4)=3，则f(4)+f′(4)=17+3=20．故选B．2.【答案】A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．【解答】解：因为f(x)=x3−7x2+1，所以f′(x)=3x2−14x，所以f(x)在(4,f(4))处切线的斜率为f′(4)=3×42−14×4=−8．故选A.3.【答案】D【考点】函数恒成立问题利用导数研究函数的单调性函数的图象与图象变化导数的几何意义【解析】由图象做出其导函数的图像，用符号法则即可求解不等式.【解答】解：由图象可知， f (7)=0 ，即原不等式转化为(x −2)f ′(x )>0又由于三次函数y =f (x )的导函数是二次函数，结合f (x )的图象可知， x =1和x =4分别是函数f (x )的极小值点和极大值点，则x =1和x =4是函数f ′(x )的两个零点，我们可以做出导函数f ′(x )的图象如图，由图象可知，当x <1时， f ′(x )<0， 当1<x <4时， f ′(x )>0， 当x >4时， f ′(x )<0接下来利用符号法则即可求解，当x <1时，f ′(x )<0，而x −2<0，故(x −2)⋅f ′(x )>0，故x <1满足题意； 当1<x <2时， f ′(x )>0，但x −2<0，故(x −2)⋅f ′(x )<0，不满足题意； 当2<x <4时， f ′(x )>0，且x −2>0，故(x −2)⋅f ′(x )>0，满足题意； 当x >4时， f ′(x )<0，但x −2>0，故(x −2)⋅f ′(x )<0，不满足题意； 综上所述，不等式x ⋅f ′(x )>0的解为x <1或者2<x <4， 故不等式(x −2)f ′(x )>f (7)的解集 {x|x <1或2<x <4}. 故选D ． 4.【答案】 D【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】利用切线的斜率为2，切点坐标(1,a e )在切线上，列方程求解即可. 【解答】解：y ′=a e x +ln x +1， 由题意可得{a e +1=2,a e=2+b,解得a =1e ，b =−1. 故选D . 5.【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】利用切线的斜率为2，切点坐标(1,a e )在切线上，列方程求解即可. 【解答】解：y ′=a e x +ln x +1， 由题意可得{a e +1=2,a e=2+b,解得a =1e ，b =−1.故选C . 6.【答案】 A【考点】斜率的计算公式 导数的几何意义【解析】由图象可知直线1经过(2,3) (0,1) ，由两点的斜率公式可得切线l 的斜率，再由导数的几何意义可得所求值． 【解答】解：由图象可得直线l 与曲线y =f (x )相切的切点为(2,3)， ∵ 直线l 经过点(0,1)， ∴ 直线l 的斜率为k =3−12−0=1，由导数的几何意义可得f ′(2)=k =1. 故选A ． 7.【答案】 C【考点】导数的几何意义 函数的图象【解析】根据原函数图像，由导函数与原函数图像之间关系，逐项判断，即可得出结果． 【解答】解：由图可知，函数f (x )在(−∞,0)上单调递减，∴ y =f ′(x )<0在(−∞,0)上恒成立，排除选项B 和D . 函数f (x )在(0,+∞)上先递减后递增再递减，∴ y =f ′(x )在(0,+∞)上应为负、正、负的趋势，即选项A 错误，C 正确． 故选C ． 8.【考点】导数的几何意义【解析】无【解答】解：由题得f′(x)=53−22x+1，∴f′(1)=1．∵limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=f′(1)=1，∴limΔx→0f(1+Δx)−f(1)2Δx=12．故选B．9.【答案】C【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，得y′=1x+2=a,解得x=1a−2，∴ a(1a −2)+2a=ln(1a+2−2),解得a=1e.故选C.10.【答案】A【考点】导数的几何意义利用导数研究函数的单调性【解析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>2恒成立”转换成当x>0时，f′(x)≥2恒成立，然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可．【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>2恒成立，则当x>0时，f′(x)≥2恒成立，则f′(x)=ax+x≥2在(0, +∞)上恒成立，则a≥(2x−x2)max=1，即a的取值范围是[1, +∞). 故选A．11.【答案】B【考点】导数的几何意义【解析】【解答】解：∵f(x)为可导函数，且满足limΔx→0f(1+3Δx)−f(1)Δx=−3，∴f′(1)=limΔx→0f(1+3Δx)−f(1)3Δx=13limΔx→0f(1+3Δx)−f(1)Δx=13×(−3)=−1，∴f′(1)=−1．故选B．12.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性导数的几何意义函数的零点与方程根的关系函数奇偶性的判断【解析】根据定义域为R，且F(−x)=F(x)，可知函数F(x)是偶函数．所以只需研究x>0时函数F(x)有两个零点即可，然后再转化为两个函数图象交点的问题，结合导数研究函数的切线等，即可解决问题．【解答】解：∵函数的定义域为R，且F(−x)=f(−x)+f(x)=F(x)，∴函数F(x)是偶函数，∵f(x)={e −x+2mx+m，x<0，e x(x−1)，x≥0，（e为自然对数的底），∴f(−x)={e −x(−x−1)， x≤0，e2−2mx+m， x>0，又因为F(x)有四个零点，所以只需研究x >0时函数F (x )=0有两个不等根即可，即e 2(x −1)+e x −2mx +m =0在(0,+∞)上有两个互异根，即x e 2=2m (x −12) 在(0,+∞)上有两个根， 令H (x )=x e 2，L (x )=2m (x −12)过定点(12,0),∵ H ′(x )=e x (x +1)>0，所以H (x )在(0,+∞)上是增函数，下面求H (x )过(12,0)的切线斜率．设切点为Q (t,t e t )，t >0，则切线斜率为k =e t (t +1)，故切线为y −t e t =e t (t +1)(x −t )，将(12,0)代入得：−t e t =e t (t +1)(12−t)，即2t 2−t −1=0，解得：t =1或t =−12（舍）， 此时切线斜率k =2e ，作出H (x )与L (x )图象：可见，当L (x )与H (x )相切，即2m =2e 时，只有一个公共点；当m >e 时，就会有两个交点．故m 的值可以为2e ．故选D .二、 填空题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）13.【答案】6【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．【解答】解：因为f ′(x )=6x 2，所以f ′(1)=6．故答案为：6．14.【答案】【考点】导数的几何意义【解析】先求出曲线y＝ln x−的导数，得到曲线在x＝1处的斜率，再根据切线的倾斜角为α，得到tanα的值，进一步求出sin2α的值．【解答】由y＝ln x−，得y′＝，∴曲线y＝ln x−在x＝3处的切线斜率k＝2，∵曲线y＝ln x−在x＝2处的切线的倾斜角为α，∴tanα＝2，∴sin2α＝5sinαcosα＝．15.【答案】A>C>B【考点】导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义．【解答】解：设M(a,f(a))，N(a+1,f(a+1))，表示直线MN的斜率k MN；则C=f(a+1)−f(a)(a+1)−aA=f′(a)表示函数f(x)在点M处的切线的斜率；B=f′(a+1)表示函数f(x)在点N处的切线的斜率，作出函数f(x)的大致图像，由图易知f′(a)>k MN>f′(a+1)，所以A>C>B．故答案为：A>C>B．16.【答案】8【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义、数形结合思想的应用．【解答】，解：函数f(x)=x+ln x的导函数为f′(x)=1+1x=2，所以切线l的方程为y−1=2(x−1)，则f′(1)=1+11即y=2x−1，因为直线l与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，所以方程ax2+(a+2)x+1=2x−1，即ax2+ax+2=0有两个相等的实数根，显然a≠0，则Δ=a2−4×2a=0，解得a=8．故答案为：8．17.【答案】7x−v−4=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程圆的切线方程导数的几何意义【解析】求得函数f(x)的导数，可得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得切线方程．【解答】由函数f(x)=2x3+x，得f′(x)=6x2+1f′(1)=7，即曲线在点(1,f(1))处的切线斜率为k=7，又f(1)=3．曲线在点(1,f(1))处的切线方程为y−3=7(x−1)，即7x−y−4=0故答案为：7x−y−4=018.【答案】y=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程圆的切线方程导数的几何意义【解析】求出f(0)和f′(0)即可因为f(x)=x3，所以f(0)=0,f′(x)=3x2所以f′(0)=0所以曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程为：y−0=0×(x−0)即y=0故答案为：y=019.【答案】92(e−1)【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求导得f′(x)=e x−ln x−1，故f′(1)=e−1，再结合f(1)=e+2和直线的点斜式方程得切线方程y−(e+2)=(e−1)(x−1)，进而求在坐标轴上的点的坐标，计算三角形的面积．【解答】解：因为f′(x)=e x−ln x−1，所以f′(1)=e−1，又f(1)=e+2，故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y−(e+2)=(e−1)(x−1)，切线交两坐标轴于点A(0,3)，B(31−e,0)，所以S△AOB=12⋅OA⋅OB=92(e−1).故答案为：92(e−1).20.【答案】−3【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，求出a，b的值，即可得解．【解答】解：函数y=x3+ax2(a∈R)的导数为f′(x)=3x2+2ax，可得函数在点(1,b)处的切线斜率为：k=f′(1)=3+2a=−1，所以a=−2，因为点(1,b)在函数y=x3+ax2(a∈R)上，所以b=1+a=−1，所以a+b=−2+(−1)=−3.故答案为：−3.21.y=x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性导数的几何意义抛物线的性质抛物线的求解【解析】此题暂无解析【解答】略22.【答案】(−∞,e]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：设f(x)=e x，切点为(x0，e x0)，f′(x)=e x，∴ k=e x0，b=e x0−kx0=e x0(1−x0)，∴ k+b=e x0+e x0(1−x0)=e x0(2−x0).令g(x)=e x(2−x)，g′(x)=e x(2−x)−e x=e x(1−x)，当x∈(−∞,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减.又g(1)=e，∴ k+b的取值范围是(−∞,e].故答案为：(−∞,e].23.【答案】25【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：直线2x+3y=0的斜率为−23，设曲线y=1x +ln xa在x=1处的切线l的斜率为k，则k⋅(−23)=−1,k=32，又曲线y=1x +ln xa在x=1处有切线l，则y′=−1x2+1ax，y′(1)=1a−1=k,即1a −1=32，解得a=25.故答案为：25.24.【答案】6−2ln25【考点】导数的几何意义点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：函数的定义域为(0,+∞)，由y=14x2−12ln x内导数为y′=12x−12x,令12x−12x=34,可得x=2或x=−12(舍去),所以切点为(2,1−12ln2).它到直线y=34x−2即3x−4y−8=0的距离d=√9+16=6−2ln25,即点P到直线y=34x−2的距离的最小值6−2ln25.故答案为：6−2ln25.三、解答题（本题共计 11 小题，每题 10 分，共计110分）25.【答案】20【考点】导数的几何意义导数的运算【解析】求出函数的导函数，然后求解在x＝3处的导数值即可．【解答】函数y＝(2x−1)2＝4x2−4x+1，y′＝8x−4．y′|x=3=8×3−4＝20．26.【答案】△S＝π(5+△r)2+π×52＝π(△r2+10△r)∴△S=π(△r+10)，△r∴limπ(△r+10)＝10π，△r→0S′(5)的意义是半径r＝5时，其圆的周长．【考点】导数的几何意义导数的运算【解析】根据导数的定义即可求出．【解答】△S＝π(5+△r)2+π×52＝π(△r2+10△r)∴△S=π(△r+10)，△r∴limπ(△r+10)＝10π，△r→0S′(5)的意义是半径r＝5时，其圆的周长．27.【答案】+2，函数的导数f′(x)=−1x2在x＝1处切线的切线斜率k＝f′(1)＝−1+2＝1，f(1)＝1+2＝3，即切点坐标为(1, 3)，则对应的切线方程为y−3＝x−1，即y＝x+2．【考点】导数的几何意义【解析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．【解答】函数的导数f′(x)=−1x 2+2，在x ＝1处切线的切线斜率k ＝f′(1)＝−1+2＝1， f(1)＝1+2＝3，即切点坐标为(1, 3)，则对应的切线方程为y −3＝x −1，即y ＝x +2．28.【答案】（Ⅰ）解：f ′(x)=a(x+1x−ln x)(x+1)2−b x 2．由于直线x +2y −3=0的斜率为−12，且过点(1,1)，故{f(1)=1，f ′(1)=−12，即{b =1，a 2−b =−12， 解得a =1，b =1．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f(x)=ln x x+1+1x ， 所以f(x)−ln x x−1=11−x 2(2ln x −x 2−1x )． 令ℎ(x)=2ln x −x 2−1x (x >0)， 则ℎ′(x)=2x −2x 2−(x 2−1)x 2=−(x−1)2x 2．所以当x ≠1时，ℎ′(x)<0，而ℎ(1)=0，故当x ∈(0,1)时，ℎ(x)>0，可得11−x 2ℎ(x)>0；当x ∈(1,+∞)时，ℎ(x)<0，可得11−x 2ℎ(x)>0．从而当x >0，且x ≠1时，f(x)−ln x x−1>0．即f(x)>ln x x−1．【考点】导数的几何意义导数的运算【解析】本题考查导数的运算、几何意义、导数与函数的综合应用．【解答】（Ⅰ）解：f ′(x)=a(x+1x−ln x)(x+1)2−b x 2．由于直线x +2y −3=0的斜率为−12，且过点(1,1)，故{f(1)=1，f ′(1)=−12， 即{b =1，a 2−b =−12， 解得a =1，b =1．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f(x)=ln x x+1+1x ， 所以f(x)−ln x x−1=11−x 2(2ln x −x 2−1x )． 令ℎ(x)=2ln x −x 2−1x (x >0)， 则ℎ′(x)=2x −2x 2−(x 2−1)x 2=−(x−1)2x 2．所以当x ≠1时，ℎ′(x)<0，而ℎ(1)=0， 故当x ∈(0,1)时，ℎ(x)>0，可得11−x 2ℎ(x)>0； 当x ∈(1,+∞)时，ℎ(x)<0，可得11−x 2ℎ(x)>0． 从而当x >0，且x ≠1时，f(x)−ln x x−1>0． 即f(x)>ln x x−1．29.【答案】（Ⅰ）解：由f ′(x)=1x −ax +b ， 得f ′(1)=1−a +b ，f(1)=−12a +b +1， ∴ 切线l 的方程为y −(−12a +b +1)=(1−a +b)⋅(x −1)， 又切线l 过点(12,12)，∴ 12−(−12a +b +1)=(1−a +b)(12−1)， 解得b =0．∵ g(x)=f(x)−(a −1)x =ln x −12ax 2+(1−a)x +1(x >0)， ∴ g ′(x)=1x −ax +1−a =−ax 2+(1−a)x +1x=−a(x−1a )(x+1)x (a >0)．当x∈(0,1a)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1a,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，故g(x)max=g(1a)=ln 1a−12a(1a)2+(1−a)1a+1=12a−ln a．（Ⅱ）证明：∵a=−4，∴f(x)=ln x+2x2+1，∴f(x1)+f(x2)+x1+x2+3x1x2=ln x1+2x12+1+ln x2+2x22+1+x1+x2+3x1x2=ln(x1x2)+2(x1+x2)2+x1+x2−x1x2+2=2，∴x1+x2+2(x1+x2)2=x1x2−ln(x1x2)．令x1x2=m(m>0)，φ(m)=m−ln m，φ′(m)=m−1m，令φ′(m)<0得0<m<1，令φ′(m)>0得m>1，∴φ(m)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴φ(m)≥φ(1)=1，∴x1+x2+2(x1+x2)2≥1，又x1+x2>0，∴x1+x2≥12．【考点】导数的几何意义不等式的综合【解析】本题考查导数的几何意义、导数、函数、不等式的综合应用．【解答】（Ⅰ）解：由f′(x)=1x−ax+b，得f′(1)=1−a+b，f(1)=−12a+b+1，∴切线l的方程为y−(−12a+b+1)=(1−a+b)⋅(x−1)，又切线l过点(12,12 )，∴12−(−12a+b+1)=(1−a+b)(12−1)，解得b=0．∵g(x)=f(x)−(a−1)x=ln x−12ax2+(1−a)x+1(x>0)，∴g′(x)=1x−ax+1−a=−ax2+(1−a)x+1x=−a(x−1a)(x+1)x(a>0)．当x∈(0,1a)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1a,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，故g(x)max=g(1a)=ln 1a−12a(1a)2+(1−a)1a+1=12a−ln a．（Ⅱ）证明：∵a=−4，∴f(x)=ln x+2x2+1，∴f(x1)+f(x2)+x1+x2+3x1x2=ln x1+2x12+1+ln x2+2x22+1+x1+x2+3x1x2=ln(x1x2)+2(x1+x2)2+x1+x2−x1x2+2=2，∴x1+x2+2(x1+x2)2=x1x2−ln(x1x2)．令x1x2=m(m>0)，φ(m)=m−ln m，φ′(m)=m−1m，令φ′(m)<0得0<m<1，令φ′(m)>0得m>1，∴φ(m)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴φ(m)≥φ(1)=1，∴x1+x2+2(x1+x2)2≥1，又x1+x2>0，∴x1+x2≥12．30.【答案】解：（Ⅰ）令ℎ(x)=f(x)−1=x2+a ln x−1，所以ℎ′(x)=2x+ax，又ℎ(x)在点(1,0)处的切线与直线y=x垂直，所以ℎ′(1)=2+a=−1，所以a=−3．（Ⅱ）由题意可得f′(x)≥ln xx，即2x+ax ≥ln xx(x>0)，也即a≥ln x−2x2恒成立，令g(x)=ln x−2x2，g′(x)=1x −4x=1−4x2x，令g ′(x)=0，解得x =12（舍去x =−12），所以g(x)=ln x −2x 2在(0,12)上单调递增，在[12,+∞)上单调递减，所以g(x)max =g (12)=ln 12−2×14 =ln 12−12=−ln 2−12． 所以a ≥−ln 2−12． 【考点】函数的单调性与导数的关系 导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义、导数与函数单调性之间的关系． 【解答】 解：（Ⅰ）令ℎ(x)=f(x)−1=x 2+a ln x −1， 所以ℎ′(x)=2x +a x ，又ℎ(x)在点(1,0)处的切线与直线y =x 垂直， 所以 ℎ′(1)=2+a =−1， 所以a =−3．（Ⅱ）由题意可得f ′(x)≥ln x x，即2x +ax ≥ln x x(x >0)，也即a ≥ln x −2x 2恒成立，令g(x)=ln x −2x 2，g ′(x)=1x −4x =1−4x 2x，令g ′(x)=0，解得x =12（舍去x =−12），所以g(x)=ln x −2x 2在(0,12)上单调递增，在[12,+∞)上单调递减， 所以g(x)max =g (12)=ln 12−2×14 =ln 12−12=−ln 2−12． 所以a ≥−ln 2−12． 31.【答案】解：(1)当a =1时，f (x )=e x−1，f ′(x )=e x−1， ∴ f ′(1)=1，f(1)=1，∴ 曲线y =f (x )在点(1,1)处的切线方程为y −1=x −1， 即y =x .(2)设直线与曲线y =f (x )相切于点A (x 1,y 1)，与曲线y =g (x )相切于点B (x 2,y 2)，则f′(x)=e x−a，g′(x)=1x，∵曲线y=f(x)在点A处的切线为y−e x1−a=e x1−a(x−x1)，与曲线y=g(x)相切于点B，∴{e x1−a=1x2①，ln x2−b−e x1−a=e x1−a(x2−x1)②，由①，得x1−a=ln1x2=−ln x2，即ln x2=a−x1，将e x1−a=1x2，ln x2=a−x1代入②，得a−x1−b−1x2=1x2(x2−x1)，又a=b+2，整理，得(x1−1)(x2−1)=0，当x1=1时，y−e1−a=e1−a(x−1)，即y=e1−a x；当x2=1时，a−x1=ln x2=0，x1=a，∴y−1=x−a，即y=x+1−a，∴存在这样的直线，直线为y=e1−a x或y=x+1−a.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】（1）当a=1时，f(x)=e x−1，f′(x)=e x−1，故k=f′(1)=1，再根据点斜式方程求解即可 .（2）设直线与曲线y=f(x)相切于点A(x1,y1)，与曲线y=g(x)相切于点B(x2,y2)，①则根据切点在切线上，也在曲线上得{e x1−a=1x2①，ln x2−b−e x2−a(x2−x1)②，，整理得(x1−1)(x2−1)=0，再分当x1=1时和x2=1时两种情况求解即可．【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=e x−1，f′(x)=e x−1，∴f′(1)=1，f(1)=1，∴曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y−1=x−1，即y=x.(2)设直线与曲线y=f(x)相切于点A(x1,y1)，与曲线y=g(x)相切于点B(x2,y2)，则f′(x)=e x−a，g′(x)=1x，∵曲线y=f(x)在点A处的切线为y−e x1−a=e x1−a(x−x1)，与曲线y=g(x)相切于点B，∴{e x1−a=1x2①，ln x2−b−e x1−a=e x1−a(x2−x1)②，由①，得x1−a=ln1x2=−ln x2，即ln x2=a−x1，将e x1−a=1x2，ln x2=a−x1代入②，得a−x1−b−1x2=1x2(x2−x1)，又a=b+2，整理，得(x1−1)(x2−1)=0，当x1=1时，y−e1−a=e1−a(x−1)，即y=e1−a x；当x2=1时，a−x1=ln x2=0，x1=a，∴y−1=x−a，即y=x+1−a，∴存在这样的直线，直线为y=e1−a x或y=x+1−a.32.【答案】解：(1)由题意，得f′(x)=x2−2x，∵f′(0)=0，∴ k=0，∴ 切线l的方程为y=2．(2)∵f′(x)=x2−2x=(x−1)2−1≥−1，∴ 当x=1时，切线l的斜率最小，∴ y=13−1+2=43，∴ M点的坐标为(1,43)．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】左侧图片未给出解析左侧图片未给出解析【解答】解：(1)由题意，得f′(x)=x2−2x，∵f′(0)=0，∴ k=0，∴ 切线l的方程为y=2．(2)∵f′(x)=x2−2x=(x−1)2−1≥−1，∴ 当x=1时，切线l的斜率最小，∴ y=13−1+2=43，∴ M点的坐标为(1,43)．33.【答案】解：(1)∵f(x)=ln x−mx，∴f′(x)=1x−m .∵ 直线x +2y +1=0的斜率为k =−12，∴ f (x )在点x =1处的切线斜率为−2． ∴ f ′(1)=1−m =2， 解得m =−1，∴ f (x )=ln x +x ，f (1)=1， ∴ 切点坐标为(1,1)，∴ 切线的方程为y −1=2(x −1)，即2x −y −1=0 . (2)∵ f (x )=ln x −mx ，∴ g (x )=12x 2+f (x )=12x 2−mx +ln x ，定义域为(0,+∞)，∴ g ′(x )=x −m +1x =x 2−mx+1x(x >0).∵ 函数g (x )=12x 2+f (x )有两个不相等的极值点x 1，x 2， ∴ 方程x 2−mx +1=0有两个不相等的正实数解x 1，x 2， ∴ {Δ=m 2−4>0,x 1+x 2=m >0,x 1x 2=1>0,解得m >2 ， ∴ g (x 1)+g (x 2)=(12x 12−mx 1+ln x 1)+(12x 22−mx 2+ln x 2)=12(x 12+x 22)−m (x 1+x 2)+(ln x 1+ln x 2)=12[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]−m (x 1+x 2)+ln (x 1x 2) =12(m 2−2)−m 2+ln 1 =−12m 2−1.∵ m >2，∴ g (x 2)+g (x 2)<−3，∴ g (x 1)+g (x 2)的取值范围是(−∞,−3) . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 导数的几何意义 利用导数研究函数的极值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ f (x )=ln x −mx ， ∴ f ′(x )=1x −m .∵ 直线x +2y +1=0的斜率为k =−12，∴ f (x )在点x =1处的切线斜率为−2． ∴ f ′(1)=1−m =2， 解得m =−1，∴ f (x )=ln x +x ，f (1)=1， ∴ 切点坐标为(1,1)，∴ 切线的方程为y −1=2(x −1)，即2x −y −1=0 . (2)∵ f (x )=ln x −mx ，∴ g (x )=12x 2+f (x )=12x 2−mx +ln x ，定义域为(0,+∞)， ∴ g ′(x )=x −m +1x =x 2−mx+1x(x >0).∵ 函数g (x )=12x 2+f (x )有两个不相等的极值点x 1，x 2， ∴ 方程x 2−mx +1=0有两个不相等的正实数解x 1，x 2， ∴ {Δ=m 2−4>0,x 1+x 2=m >0,x 1x 2=1>0,解得m >2 ， ∴ g (x 1)+g (x 2)=(12x 12−mx 1+ln x 1)+(12x 22−mx 2+ln x 2)=12(x 12+x 22)−m (x 1+x 2)+(ln x 1+ln x 2)=12[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]−m (x 1+x 2)+ln (x 1x 2) =12(m 2−2)−m 2+ln 1 =−12m 2−1.∵ m >2，∴ g (x 2)+g (x 2)<−3，∴ g (x 1)+g (x 2)的取值范围是(−∞,−3) . 34. 【答案】解：(1)f ′(x)=2+a x 2−8x=2x 2−8x+ax 2(x >0)，由已知f ′(1)=2−8+a 12=0知a =6，f ′(6)=2×62−8×6+662=56，点A(1,−4)，故所求直线方程为5x −6y −29=0． (2)f(x)定义域为(0,+∞)， 令t(x)=2x 2−8x +a ，由f(x)有两个极值点x 1，x 2(1<x 1<x 2)得：t(x)=2x 2−8x +a =0，有两个都大于1的不等的零点， {Δ=64−8a >0，t(0)=a >0，t(1)>0，∴ 6<a <8， {x 1+x 2=4，x 1x 2=a 2，∴ {x 2=4−x 1，a =2x 1x 2=2x 1(4−x 1)，由1<x 1<x 2知1<x 1<2， 原不等式等价于:2x 1(4−x 1)ln x 11−x 1>m[5(4−x 1)−(4−x 1)2]，∵ 4−x 1>0， ∴ 2x 1ln x 11−x 1>m(1+x 1)，∴x 11−x 1[2ln x 1+m(x 12−1)x 1]>0，①1<x 1<2，x 11−x 1<0，令ℎ(x)=2ln x +m(x 2−1)x(1<x <2)，ℎ′(x)=mx 2+2x+mx 2，m ≤−1时，Δ=4−4m 2≤0，ℎ′(x)<0恒成立，所以ℎ(x)在(1,2)上单调递减． ∵ ℎ(1)=0，∴ ℎ(x)<0，不等式①成立， ∴ m ≤−1时原不等式成立． 【考点】利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的极值 导数的几何意义 【解析】 【解答】解：(1)f ′(x)=2+ax 2−8x =2x 2−8x+ax 2(x >0)，由已知f ′(1)=2−8+a 12=0知a =6，f ′(6)=2×62−8×6+662=56，点A(1,−4)，故所求直线方程为5x −6y −29=0． (2)f(x)定义域为(0,+∞)， 令t(x)=2x 2−8x +a ，由f(x)有两个极值点x 1，x 2(1<x 1<x 2)得：t(x)=2x 2−8x +a =0，有两个都大于1的不等的零点， {Δ=64−8a >0，t(0)=a >0，t(1)>0，∴ 6<a <8， {x 1+x 2=4，x 1x 2=a 2，∴ {x 2=4−x 1，a =2x 1x 2=2x 1(4−x 1)，由1<x 1<x 2知1<x 1<2， 原不等式等价于:2x 1(4−x 1)ln x 11−x 1>m[5(4−x 1)−(4−x 1)2]，∵ 4−x 1>0， ∴2x 1ln x 11−x 1>m(1+x 1)，∴ x 11−x 1[2ln x 1+m(x 12−1)x 1]>0，①1<x 1<2，x11−x 1<0，令ℎ(x)=2ln x +m(x 2−1)x(1<x <2)，ℎ′(x)=mx 2+2x+mx 2，m ≤−1时，Δ=4−4m 2≤0，ℎ′(x)<0恒成立，所以ℎ(x)在(1,2)上单调递减． ∵ ℎ(1)=0，∴ ℎ(x)<0，不等式①成立， ∴ m ≤−1时原不等式成立． 35.【答案】解：(1)依题意f ′(x)=−3x 2+2ax ， f ′(1)=tan π4=1，∴ −3+2a =1，即a =2． (2)f′(x)=−3x(x −2a 3)．①若a ≤0，当x >0时，f′(x)<0，∴f(x)在[0, +∞)上单调递减．又f(0)=−4，则当x>0时，f(x)<−4．∴a≤0时，不存在t>0，使f(t)>0．②若a>0，则当0<x<2a3时，f′(x)>0，当x>2a3时，f′(x)<0．从而f(x)在(0,2a3]上单调递增，在[2a3，+∞)上单调递减．∴当x∈(0, +∞)时，f(x)max=f(2a3)=−8a327+4a39−4=4a327−4，据题意，4a 327−4>0，即a3>27，∴a>3．综上，a的取值范围是(3, +∞)．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性导数的几何意义【解析】（1）求出f(x)的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，然后再根据切线的倾斜角求出切线的斜率，两个斜率相等即可求出a的值；（2）求出f(x)的导函数，当a小于等于0时，由x大于0，得到导函数小于0，即函数在(0, +∞)上为减函数，又x=0时f(x)的值为−4且当x大于0时，f(x)小于−4，所以当a 小于等于0时，不存在x0>0，使f(x0)>0；当a大于0时，分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到f(x)的最大值，让最大值大于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，综上，得到满足题意a的取值范围．【解答】解：(1)依题意f′(x)=−3x2+2ax，f′(1)=tanπ4=1，∴−3+2a=1，即a=2．(2)f′(x)=−3x(x−2a3)．①若a≤0，当x>0时，f′(x)<0，∴f(x)在[0, +∞)上单调递减．又f(0)=−4，则当x>0时，f(x)<−4．∴a≤0时，不存在t>0，使f(t)>0．②若a>0，则当0<x<2a3时，f′(x)>0，当x>2a3时，f′(x)<0．从而f(x)在(0,2a3]上单调递增，在[2a3，+∞)上单调递减．∴当x∈(0, +∞)时，f(x)max=f(2a3)=−8a327+4a39−4=4a327−4，据题意，4a 327−4>0，即a3>27，∴a>3．综上，a的取值范围是(3, +∞)．试卷第31页，总31页。

“导数及其应用”双基过关检测一、选择题1．已知函数f (x )＝sin x －12x ，则f ′(x )＝( )A ．sin x －12B ．cos x －12C ．－cos x －12D ．－sin x ＋12解析：选B f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x －12x ′＝(sin x )′－⎝⎛⎭⎫12x ′＝cos x －12. 2．已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( ) A ．e B.1eC.1e2 D.12解析：选B 因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a ＝－1，所以ln a ＝－1，所以a ＝1e. 3．曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1解析：选A 因为y ′＝e x ＋x e x ＋2，所以曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率k ＝y ′| x ＝0＝3，∴切线方程为y ＝3x －1.4．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12解析：选A 已知曲线y ＝x 24－3ln x (x >0)的一条切线的斜率为12，由y ′＝12x －3x ＝12，得x ＝3，故选A.5．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.6．已知函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则实数m ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B f (x )＝x (x 2－2mx ＋m 2)＝x 3－2mx 2＋m 2x ，所以f ′(x )＝3x 2－4mx ＋m 2＝(x －m )(3x －m )．由f ′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3.当m ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)(x －3)，当1<x <3时，f ′(x )<0，当x <1或x >3时，f ′(x )>0，此时在x ＝1处取得极大值，不合题意，∴m ＝1，此时f ′(x )＝(x －1)(3x －1)，当13<x <1时，f ′(x )<0，当x <13或x >1时，f ′(x )>0，此时在x ＝1处取得极小值．选B.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－2≤x ≤0，x ＋1，0<x ≤2，则 f(x)d x 的值为( )A. 43 B ．4 C ．6 D.2038．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x ≤0，x 3－3x ＋a ，x >0的值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,3]B ．(2,3]C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)解析：选A 当x ≤0时，1>f (x )＝1－2x ≥0； 当x >0时，f (x )＝x 3－3x ＋a ，f ′(x )＝3x 2－3， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以当x ＝1时，函数f(x)取得最小值f (1)＝1－3＋a ＝a －2.由题意得1≥a －2≥0，解得2≤a ≤3，选A .二、填空题9．若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ax ，要使函数f (x )＝x ＋aln x 不是单调函数，则需方程1＋ax＝0在(0，＋∞)上有解，即x ＝－a ，∴a <0.答案：(－∞，0)10．已知函数f(x)＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x)＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：811．已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y ＝12x ＋3，则f(1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋3＝72，∴f (1)＋f ′(1)＝72＋12＝4.答案：412．已知函数g (x )满足g (x )＝g ′(1)e x －1－g (0)x ＋12x 2，且存在实数x 0，使得不等式2m－1≥g (x 0)成立，则实数m 的取值范围为________．解析：g ′(x )＝g ′(1)e x －1－g (0)＋x ，令x ＝1时，得g ′(1)＝g ′(1)－g (0)＋1， ∴g (0)＝1，g (0)＝g ′(1)e 0－1＝1，∴g ′(1)＝e ，∴g (x )＝e x －x ＋12x 2，g ′(x )＝e x －1＋x ，当x<0时，g ′(x)<0，当x>0时，g ′(x)>0， ∴当x ＝0时，函数g(x)取得最小值g(0)＝1. 根据题意得2m －1≥g(x)min ＝1，∴m ≥1. 答案：[1，＋∞) 三、解答题13．已知函数f(x)＝x ＋ax＋b(x ≠0)，其中a ，b ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)若对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎡⎦⎤14，1上恒成立，求b 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝1－ax 2(x ≠0)，由已知及导数的几何意义得f ′(2)＝3，则a ＝－8.由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上可得－2＋b ＝7，解得b ＝9，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x ＋9.(2)由(1)知f ′(x )＝1－ax2(x ≠0)．当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数． 当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：上是减函数．(3)由(2)知，对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎡⎦⎤14，1上恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫14≤10，f (1)≤10，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤394－4a ，b ≤9－a对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2成立，从而得b ≤74， 所以满足条件的b 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，74. 14．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝14－a x 2－1x (x >0)，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5，无极大值．。

【备战2018高考高三数学全国各地优质模拟试卷分项精品】专题导数与应用一、选择题1．【2018河南省南阳一中三模】关于函数，下列说法错误的是（）A. 是的极小值点 B. 函数有且只有1个零点C. 存在正实数，使得恒成立D. 对任意两个正实数，且，若，则【答案】C∴函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点，即B正确；f（x）＞kx，可得k＜+，令g（x）=+则g′（x）令h（x）=﹣4+x﹣xlnx，则h′（x）=﹣lnx，∴（0，1）上，函数单调递增，（1，+∞）上函数单调递减，∴h（x）≤h（1）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）=+在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正确；对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，（0，2）上，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4，正确．故选：C．2．【2018河南省洛阳市尖子生联考】已知函数有三个不同的零点，，（其中），则的值为（）A. B. C. D.【答案】D当x∈（0，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，e）时，g′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0．即g（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a==，令μ=，则a=﹣μ，即μ2+（a﹣1）μ+1﹣a=0，μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，对于μ=，μ′=则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．画其简图，点睛：先分离变量得到a=，令g（x）=．求导后得其极值点，求得函数极值，则使g（x）恰有三个零点的实数a的取值范围由g（x）==，再令μ=，转化为关于μ的方程后由根与系数关系得到μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，再结合着μ=的图象可得到（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1．3．【2018浙江省温州市一模】已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C4．【2018吉林省百校联盟九月联考】已知当()1,x ∈+∞时，关于x 的方程有唯一实数解，则距离k 最近的整数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】B令()ln 2h x x x =--，则 由()1,x ∈+∞可得()'0h x >，函数h(x)单调递增，函数h(x) 则存在()03,3.5x ∈满足h(x)=0， 据此可得：距离k 最近的整数为3. 本题选择B 选项.点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．5．【2018辽宁省大连八中模拟】设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的实数x 都有()()24f x x f x =--，当(),0x ∈-∞时，.若，则实数m 的取值范围是( )A. B. C. [)1,-+∞ D. [)2,-+∞ 【答案】A6．【2018辽宁省辽南协作校一模】已知函数()f x 在R 上满足()()22288f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是（ ）A. 23y x =-+B. y x =C. 32y x =-D. 21y x =- 【答案】D【解析】由()()22288f x f x x x =--+-可得()()()222288f x f x x x -=--+-，即()()22244f x f x x x -=--+代入()()22288f x f x x x=--+-可得()()22488288f x f x x x x x =+---+-，即()2f x x =，故()2f x x '=，则切线的斜率2k =，因为()11f =，所以切线方程为()121y x -=-，即21y x =-，应选答案D 。

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高中数学导数的几何意义测试题(含答案) 选修2-21。

1第3课时导数的几何意义一、选择题1．如果曲线y＝f（x)在点（x0,f(x0））处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么（)A．f(x0)＞0 B．f（x0）＜0C．f（x0)＝0 D．f（x0）不存在[答案] B[解析］切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－12,即f（x0）＝－12＜0.故应选B。

2．曲线y＝12x2－2在点1，－32处切线的倾斜角为()A．1 B。

4C.54 D．－4［答案］B[解析] ∵y＝limx0［12（x＋x)2－2］－（12x2－2）x＝limx0（x＋12x）＝x切线的斜率k＝y｜x＝1＝1。

切线的倾斜角为4,故应选B.3．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为4的点是（）A．(0，0) B．（2，4）C.14，116D.12，14[答案] D[解析］易求y＝2x，设在点P(x0,x20)处切线的倾斜角为4，则2x0＝1,x0＝12，P12，14.4．曲线y＝x3－3x2＋1在点（1，－1)处的切线方程为（)A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5［答案］B[解析] y＝3x2－6x，y|x＝1＝－3。

由点斜式有y＋1＝－3（x－1）．即y＝－3x＋2。

第三章 导数及其应用1.了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3．能根据导数的定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数．4．能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数．①常见的基本初等函数的导数公式： (C )′＝0(C 为常数); (x n)′＝nxn －1(n ∈N ＋)；(sin x )′＝cos x; (cos x )′＝－sin x ； (e x)′＝e x;(a x)′＝a xln a (a >0，且a ≠1)； (ln x )′＝1x ；(log a x )′＝1xlog a e(a >0，且a ≠1)．②常用的导数运算法则： 法则1：′＝u ′(x )±v ′(x )． 法则2：′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )． 法则3：⎣⎢⎡⎦⎥⎤u （x ）v （x ）′＝u ′（x ）v （x ）－u （x ）v ′（x ）v 2（x ）(v (x )≠0)．5．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．6．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．7．会用导数解决实际问题．8．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．9．了解微积分基本定理的含义．3．1 导数的概念及运算1．导数的概念 (1)定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值ΔyΔx 就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx之间的平均变化率，即ΔyΔx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，ΔyΔx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处 ，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作 或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim ΔyΔx＝limf （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.(2)导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝ limf （x ＋Δx ）－f （x ）Δx.(3)用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法①求函数的增量Δy ＝ ； ②求平均变化率ΔyΔx ＝ ；③取极限，得导数f ′(x 0)＝lim ΔyΔx .2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应的切线方程为 ．3．基本初等函数的导数公式 (1)c ′＝ (c 为常数)， (x α)′＝ (α∈Q *)； (2)(sin x )′＝____________， (cos x )′＝____________； (3)(ln x )′＝____________， (log a x )′＝____________； (4)(e x )′＝____________， (a x)′＝____________. 4．导数运算法则(1)′＝__________________. (2)′＝____________________；当g (x )＝c (c 为常数)时，即′＝____________.(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝____________ (g (x )≠0)．5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )， u ＝g (x )的导数间的关系为______________．即y对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．自查自纠：1．(1)可导 f ′(x 0) (3)①f (x 0＋Δx )－f (x 0) ②f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx2．f ′(x 0) y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0) 3．(1)0 αx α－1(2)cos x －sin x(3)1x1x ln a(4)e x a x ln a4．(1)f ′(x )±g ′(x )(2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) cf ′(x ) (3)f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]25．y x ′＝y ′u ·u ′x(2014·全国卷)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：因为y ′＝a －1x ＋1，所以切线的斜率为a －1＝2，解得a ＝3.故选D .(2015·陕西)函数y ＝x e x在其极值点处的切线方程为( )A ．y ＝e xB ．y ＝(1＋e)xC ．y ＝1eD ．y ＝－1e解：记y ＝f (x )＝x e x，则f ′(x )＝(1＋x )e x，令f ′(x )＝0，得x ＝－1，此时f (－1)＝－1e .故函数 y ＝x e x在其极值点处的切线方程为y ＝－1e .故选D .(2016·山东)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在此两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝sin x 解：选项A 、B 、C 中函数的导数均为正值或非负值，故两点处的导数之积不可能为－1，排除A 、B 、C.或由y ′＝cos x ，cos0cos π＝－1知D 正确，故选D .(2014·广东)曲线y ＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．解：因为y ′＝－5e－5x，所求切线的斜率为－5e 0＝－5，故所求切线的方程为y －3＝－5x ，即y ＝－5x ＋3(或5x ＋y －3＝0)．故填y ＝－5x ＋3(或5x ＋y －3＝0)．(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．解：x >0时，－x <0，f (－x )＝ln x －3x ＝f (x )，所以当x >0时，f ′(x )＝1x －3，f ′(1)＝－2，所以切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，整理得y ＝－2x －1.故填y ＝－2x －1(或2x ＋y ＋1＝0)．类型一 导数的概念用定义法求函数f (x )＝x 2－2x －1在x ＝1处的导数．解法一：Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )2－2(x ＋Δx )－1－(x 2－2x －1) ＝x 2＋2x ·Δx ＋Δx 2－2x －2Δx －1－x 2＋2x ＋1＝(2x －2)Δx ＋Δx 2，所以 Δy Δx ＝lim （2x －2）Δx ＋Δx 2Δx ＝lim＝2x －2.所以函数f (x )＝x 2－2x －1在x ＝1处的导数为f ′(x )|x ＝1＝2×1－2＝0.解法二：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－1－(12－2×1－1) ＝1＋2Δx ＋Δx 2－2－2Δx －1＋2＝Δx 2， 所以 Δy Δx ＝ Δx 2Δx ＝Δx ＝0.故f ′(x )|x ＝1＝0.点拨：利用导数定义求函数在某一点处的导数，首先写出函数在该点处的平均变化率ΔyΔx ，再化简平均变化率，最后判断当Δx →0时，ΔyΔx 无限趋近于哪一常数，该常数即为所求导数，这是定义法求导数的一般过程．航天飞机发射后的一段时间内，第t s时的高度h (t )＝5t 3＋30t 2＋45t ＋4(单位：m)．(1)求航天飞机在第1 s 内的平均速度； (2)用定义方法求航天飞机在第1 s 末的瞬时速度．解：(1)航天飞机在第1 s 内的平均速度为h （1）－h （0）1＝5＋30＋45＋4－41＝80 m/s.(2)航天飞机第1 s 末高度的平均变化率为h （1＋Δt ）－h （1）Δt＝错误!＝5Δt 3＋45Δt 2＋120Δt Δt＝5Δt 2＋45Δt ＋120，当Δt →0时，5Δt 2＋45Δt ＋120→120，所以航天飞机在第 1 s 末的瞬时速度为 120 m/s.类型二 求导运算求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x －2x＋e ； (4)y ＝ln xx 2＋1；(5)y ＝ln(2x －5)．解：(1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， 所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(3)y ′＝(3x e x )′－(2x)′＋e ′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x)′ ＝3x e x ln3＋3x e x －2xln2 ＝(ln3＋1)(3e)x －2xln2. (4)y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2（1－2ln x ）＋1x （x 2＋1）2. (5)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.点拨： 求导运算，一是熟记公式及运算法则，二是掌握求复合函数导数的步骤，遵从“由外到内”的原则，三是要注意在求导前对可以化简或变形的式子进行化简或变形，从而使求导运算更简单．求下列函数的导数：(1)y ＝e xcos x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝ln xe x ；(4)y ＝ln 1＋x 2.解：(1)y ′＝(e x)′cos x ＋e x(cos x )′＝ e x(cos x －sin x )．(2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝3x 2－2x3.(3)y ′＝（ln x ）′e x －（e x）′ln x（e x ）2＝1x e x －e xln x （e x ）2＝1x －ln x e x＝1－x ln x x e x . (4)y ＝ln 1＋x 2＝12ln(1＋x 2)，所以y ′＝12·11＋x2(1＋x 2)′＝12·11＋x 2·2x ＝x 1＋x2. 类型三 导数的几何意义已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程； (2)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点P (2，4)的切线方程． 解：(1)y ′＝x 2，设切点为(x 0，y 0)， 故切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53，(－1，1)． 故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1，即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.(2)因为y ′＝x 2，且P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上， 所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝ y ′|x ＝2＝4.所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(3)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，又因为切线的斜率k ＝ y ′|x ＝x 0＝x 20，所以切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20x －23x 30＋43.因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， 所以x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， 所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋ 2＝0.点拨：曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f （x 0），y 1－y 0x 1－x 0＝f ′（x 0），得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．注意：①求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上．②与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．(2016·四川)设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ＜1，ln x ，x ＞1 图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)解：设P 1(x 1，ln x 1)，P 2(x 2，－ln x 2)(不妨设 x 1＞1，0＜x 2＜1)，则由导数的几何意义易得切线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝1x 1，k 2＝－1x 2.由已知得k 1k 2＝－1，所以x 1x 2＝1，所以x 2＝1x 1.所以切线l 1的方程为y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，切线l 2的方程为y＋ln x 2＝－1x 2(x －x 2)，即y －ln x 1＝－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 1.分别令 x ＝0得A (0，－1＋ln x 1)，B (0，1＋ln x 1)．易得l 1与l 2的交点P 的横坐标x P ＝21x 1＋x 1，因为x 1＞1，所以S △PAB ＝12|y A －y B |·|x P |＝21x 1＋x 1＜1，所以0＜S △PAB ＜1.故选A .1．“函数在点x 0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系(1)函数在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数，不是变量．(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f (x )在区间(a ，b )内每一点都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数f ′(x 0)，根据函数的定义，在开区间(a ，b )内就构成了一个新的函数，也就是函数f (x )的导函数f ′(x )．(3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值．2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的两种常用求法(1)利用导数的定义，即求 limf （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx的值；(2)求导函数在x 0处的函数值：先求函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数f ′(x )，再将x 0(x 0∈(a ，b ))代入导函数f ′(x )，得f ′(x 0)．3．关于用导数求曲线的切线问题(1)圆是一种特殊的封闭曲线，注意圆的切线的定义并不适用于一般的曲线．(2)求曲线在某一点处的切线方程，这里的某一点即是切点，求解步骤为先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程．(3)求过某点的曲线的切线方程，这里的某点可能是切点(点在曲线上的情形)，也可能不是切点，即便点在曲线上，切线也不一定唯一，如本节例3(3)，就极易漏掉切线x －y ＋2＝0.1．(2016·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点 (－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2 解：因为y ＝1－2x ＋2＝xx ＋2，所以y ′＝x ＋2－x （x ＋2）2＝2（x ＋2）2，y ′|x ＝－1＝2，所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，所以所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.故选A .2．(2016·武汉模拟)若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( )A ．2B ．0C ．－2D ．－4解：f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2，得f ′(1)＝－2，所以 f ′(0)＝2f ′(1)＋0＝－4.故选D .3．(2016·济南模拟)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2 解：设切点坐标为(x 0，y 0)，由y ′＝1x ＋a知 0x x y ='＝1x 0＋a＝1，即x 0＋a ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋a ＝1，y 0＝ln （x 0＋a ），y 0＝x 0＋1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝0，a ＝2.故选B . 4．(2016·丽水模拟)设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，且f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为( ) A ．9x －y －16＝0 B ．9x ＋y －16＝0C ．6x －y －12＝0D ．6x ＋y －12＝0解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3，由于f ′(x )是偶函数，所以a ＝0，此时f ′(x )＝3x 2－3，f ′(2)＝9，f (2)＝2，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －2＝9(x －2)，即9x －y －16＝0.故选A .5．下面四个函数图象中，有函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)＝()A.13 B ．－23 C.73 D ．－13或53 解：因为f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，所以f ′(x )的图象开口向上，则排除②④.若f ′(x )的图象为①，此时a ＝0，f (－1)＝53；若f ′(x )的图象为③，此时a 2－1＝0，又对称轴x ＝－a ＞0，所以a ＝－1，所以f (－1)＝－13.故选D .6．(2015·杭州质检)若存在过点O (0，0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( )A ．－1 B.164 C ．1或164 D ．1或－164解：易知点O (0，0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上，(1)当O (0，0)是直线l 与曲线f (x )的切点时，易求出切线方程y ＝2x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a消y 后，令Δ＝0，得a ＝1.(2)当O (0，0)不是直线l 与曲线f (x )的切点时，设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2.①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，② 由①②联立，得x 0＝32或x 0＝0(舍)，所以k ＝－14，所以所求切线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ， 得x 2＋14x ＋a ＝0.依题意，Δ＝116－4a ＝0，所以a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.故选C .7．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解：因为f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，所以f ′(x )＝x －a ＋1x.因为f (x )存在垂直于y 轴的切线， 所以f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，x ＞0，则a ＝x ＋1x≥2.故填上连续的函数f (x )在上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在上单调递增，则________为函数在上的最小值， 为函数在上的最大值；若函数f (x )在上单调递减，则 为函数在上的最大值， 为函数在上的最小值．(3)设函数f (x )在上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在上的最大值和最小值的步骤如下：①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与端点处的函数值______，______进行比较，其中最大的一个是________，最小的一个是________．自查自纠：1．单调递增 单调递减 常数函数 2．(1)②f ′(x )＜0 f ′(x )＞0 (2)②f ′(x )＝0 ③极大值 极小值 3．(2)f (a ) f (b ) f (a ) f (b ) (3)②f (a ) f (b ) 最大值 最小值(2016·宁夏模拟)函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(e ，＋∞)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R解：函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ex>0，故单调递增区间是(0，＋∞)．故选A .(2016·四川模拟)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是()解：由函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象从左到右先增后减，知y ＝f (x )图象切线的斜率对应先增后减．故选B .(2016·武汉模拟)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解：依题意得，当x <1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1，因此有f (－1)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即有f (3)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c <a <b .故选C.(2016·九江一模)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解：由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，因为g (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上单调递减，所以g (x )≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝83，所以2a ≥83，即a ≥43.故填⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.函数f (x )＝x ＋2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．解：f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝12，从而x ＝π6，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以f (x )在x ＝π6处取得极大值，即最大值π6＋ 3.故填π6＋3.类型一 导数法判断函数的单调性已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其导函数y ＝f ′(x )的图象可能是()解：由题意得函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递减，则其导函数在(0，＋∞)上恒小于0，排除B ，D ；又因为函数y ＝f (x )在(－∞，0)上先单调递增，后单调递减，再单调递增，则其导函数在(－∞，0)上先大于0，后小于0，再大于0，排除C ，故选A .点拨：导函数的图象在哪个区间位于x 轴上方(下方)，说明导函数在该区间大于0(小于0)，那么它对应的原函数在那个区间就单调递增(单调递减)．(2014·北京联考)如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下面判断正确的是()A ．在(－2，1)上f (x )是增函数B ．在(1，3)上f (x )是减函数C ．当x ＝2时，f (x )取极大值D ．当x ＝4时，f (x )取极大值解：由y ＝f ′(x )的图象可得y ＝f (x )的大致图象如图．由图可知，A ，B ，D 均错．故选C .类型二 导数法研究函数的单调性(2015·嘉兴质检)已知函数f (x )＝e x2－1ex －ax (a ∈R )． (1)当a ＝32时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在上为单调函数，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝32时，f (x )＝e x2－1e x －32x ，f ′(x )＝12e x ＝12ex (e x －1)(e x－2)，令f ′(x )＝0，得e x＝1或e x＝2，即x ＝0或x ＝ln2.令f ′(x )＞0，则x ＜0或x ＞ln2； 令f ′(x )＜0，则0＜x ＜ln2.所以f (x )的递增区间是(－∞，0)，(ln2，＋∞)；递减区间是(0，ln2)．(2)f ′(x )＝e x2＋1ex －a ，令e x＝t ，由于x ∈，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e .令h (t )＝t 2＋1t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，h ′(t )＝12－1t 2＝t 2－22t2，所以当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，2时，h ′(t )≤0， 函数h (t )为单调减函数；当t ∈(2，e]时，h ′(t )＞0，函数h (t )为单调增函数．故h (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的极小值点为t ＝ 2. 又h (e)＝e 2＋1e ＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝12e ＋e ，h (2)＝ 2.所以2≤h (t )≤e ＋12e .因为函数f (x )在上为单调函数， 若函数f (x )在上单调递增，则a ≤t 2＋1t 对t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 恒成立，所以a ≤2； 若函数f (x )在上单调递减，则a ≥t 2＋1t 对t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 恒成立，所以a ≥e ＋12e. 综上可得a 的取值范围是(－∞，2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫e ＋12e ，＋∞. 点拨：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f (x )含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．(3)存在单调区间问题可类似地转化为不等式有解问题．(1)(2016·山东)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x2，a ∈R .(Ⅰ)讨论f (x )的单调性； (Ⅱ)略．解：(Ⅰ)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝（ax 2－2）（x －1）x 3.当a ≤0，x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．①0＜a ＜2时，2a＞1，当x ∈(0，1)或x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2a，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，2a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；②a ＝2时，2a＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增；③a ＞2时，0＜2a＜1，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2a，1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；当0<a <2时，f (x )在(0，1)内单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫1，2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫2a，＋∞内单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增； 当a >2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫2a，1 内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．(2)(2016·兰州模拟)若函数f (x )＝x 2－e x－ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________．解：因为f (x )＝x 2－e x－ax ，所以f ′(x )＝ 2x －e x－a ，因为函数f (x )＝x 2－e x－ax 在R 上存在单调递增区间，所以f ′(x )＝2x －e x－a ≥0，即a ≤2x －e x 有解，设g (x )＝2x －e x，则g ′(x )＝2－e x，令g ′(x )＝0，解得x ＝ln2，则当x <ln2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >ln2时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以当x ＝ln2时，g (x )取得最大值，且g (x )ma x ＝g (ln2)＝2ln2－2，所以a ≤2ln2－2.故填(－∞，2ln 2－2]．类型三 导数法研究函数的极值问题(2014·重庆)已知函数f (x )＝x 4＋ax－ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝ 12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54. (2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5. 因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0，5)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，5)上为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(5，＋∞)上为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln5.点拨：找函数的极值点，即先找导数的零点，但并不是说导数的零点就是极值点(如y ＝x 3)，还要保证该零点为变号零点．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2.(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)f ′(x )＝2a (x －5)＋6x，依题意，f ′(1)＝6－8a ＝2，得a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)，f ′(x )＝x －5＋6x＝（x －2）（x －3）x.令f ′(x )＝0，得x ＝2或3.x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调减区间为(2，3)．f (x )的极大值f (2)＝92＋6ln2，极小值f (3)＝2＋6ln3.类型四 导数法研究函数的最值问题(2015·衡水中学二调)已知函数f (x )＝x ln x .(1)求函数y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)求f (x )在区间(t >0)上的最小值．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，f (1)＝0，所以所求切线方程为y －0＝1×(x －1)，即y＝x －1.(2)当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：①当t ≥e 时，在区间上f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (t )＝t ln t .②当0<t <1e 时，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫t ，1e 上f (x )为减函数，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，t ＋2上f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .综上所述，当t ≥1e 时，f (x )在区间上的最小值为t ln t ，当0＜t ＜1e 时，f (x )在区间上的最小值为－1e .点拨：函数在限定区间内最多只有一个最大值和一个最小值，如果存在最大或最小值，最大值一般是在端点或极大值点取得，最小值一般是在端点或极小值点取得．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a . 若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递增．若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a时取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1a＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2，等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)单调递增，g (1)＝0.于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此，a 的取值范围是(0，1)．类型五 实际应用问题(优化问题) (2016·山东质检)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳a 元(a 为常数，2≤a ≤5)的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x 元时，产品一年的销售量为ke x (e 为自然对数的底数)万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价x 最低不低于35元，最高不超过41元．(1)求分公司经营该产品一年的利润L (x )万元与每件产品的售价x 元的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L (x )最大，并求出L (x )的最大值．解：(1)由题意，该产品一年的销售量为y ＝ke x .将x ＝40，y ＝500代入，得k ＝500e 40. 故该产品一年的销售量y (万件)关于x (元)的函数关系式为y ＝500e40－x.所以L (x )＝(x －30－a )y ＝500(x －30－a )e40－x(35≤x ≤41)．(2)由(1)得，L ′(x )＝500＝500e 40－x(31＋a －x )．①当2≤a ≤4时，L ′(x )≤500e 40－35(31＋4－35)＝0，当且仅当a ＝4，x ＝35时取等号． 所以L (x )在上单调递减．因此，L (x )ma x ＝L (35)＝500(5－a )e 5. ②当4<a ≤5时，L ′(x )>0⇔35≤x <31＋a ，L ′(x )<0⇔31＋a <x ≤41.所以L (x )在上单调递减． 因此，L (x )ma x ＝L (31＋a )＝500e9－a.综上所述，当2≤a ≤4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润L (x )最大，最大为500(5－a )e 5万元；当4<a ≤5时，每件产品的售价为(31＋a )元，该产品一年的利润L (x )最大，最大为500e9－a万元．点拨：解此类应用问题，应以读题、建模、求解、作答这四个步骤为主线，同时还应注意实际问题中函数的定义域．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．又据题意200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝15r(300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因为r >0，又由h >0可得r <53，故函数V (r )的定义域为(0，53)． (2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍去)． 当r ∈(0，5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0，5)上为增函数；当r∈(5，53)时，V′(r)<0，故V(r)在(5，53)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．1．用导数判断单调性用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．2．导数值为0的点不一定是函数的极值点，“函数在某点的导数值为0”是“函数在该点取得极值”的必要不充分条件．3．极值与最值的区别(1)“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的最大值或最小值，具有绝对性．(2)从个数上看，一个连续函数在闭区间内的最值一定存在且是唯一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大(小)值并不一定比极小(大)值大(小)．(3)从位置上看，极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，连续函数的最值只要不在端点处必定是极值．4．实际问题中的最值(1)要从问题的实际意义出发确定函数的定义域．(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．1．(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0，q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解：由条件知由q可推出p，而由p推不出q.故选C.2．(2015·潍坊期末)函数f(x)＝e x－x(e为自然对数的底数)在区间上的最大值是( ) A．1＋1eB．1 C．e＋1 D．e－1解：因为f(x)＝e x－x，所以f′(x)＝e x－1.令f′(x)＝0，得x＝0.且当x＞0时，f′(x)＝e x－1＞0；x＜0时，f′(x)＝e x－1＜0，即函数f(x)在x＝0处取得极小值，f(0)＝1，又f(－1)＝1e＋1，f(1)＝e－1，比较得函数f(x)＝e x－1在区间上的最大值是e－1.故选D.3．(2015·安徽)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0解：f(0)＝d＞0；当x无限增大时f(x)无限增大，因此a ＞0；f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由图知x 1及x 2均大于0，而x 1与x 2为f ′(x )＝0的两根，所以x 1＋x 2＝－2b 3a ＞0且x 1x 2＝c3a＞0，结合a ＞0得b ＜0，c ＞0.所以a ＞0，b ＜0，c ＞0，d ＞0.故选A .4．(2016·西安模拟)若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间上单调递减，则实数t 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518B ．(－∞，3] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞D ．上单调递减，则有f ′(x )≤0在上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在上恒成立，因为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在上单调递增，所以t ≥ 32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518.故选C .5．(2016·陕西模拟)已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，若f (x 1)<f (x 2)，则( )A ．x 1>x 2B ．x 1＋x 2＝0C ．x 1<x 2D ．x 21<x 22解：因为f (－x )＝－x ⎝⎛⎭⎪⎫e －x －1e －x ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．由f (x 1)<f (x 2)，得f (|x 1|)<f (|x 2|)(*)． 又f ′(x )＝e x －1e x ＋x ⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ＝e 2x（x ＋1）＋x －1ex， 当x ≥0时，e 2x(x ＋1)＋x －1≥e 0(0＋1)＋0－1＝0， 所以f ′(x )≥0，所以f (x )在(e 为自然对数的底数)上的最大值．解：(1)当x ＜1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故函数f (x )的极大值点为x ＝3；当x ＝0时，函数f (x )取得极小值为f (0)＝0.(2)①当－1≤x ＜1时，由(1)知，函数f (x )在和⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上单调递增． 因为f (－1)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝427，所以f (x )在上单调递增，则f (x )在上的最大值为f (e)＝a .综上所述，当a ≥2时，f (x )在上的最大值为a ；当a ＜2时，f (x )在上的最大值为2.(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝e mx＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0， ＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围．解：(1)证明：f ′(x )＝m (e mx－1)＋2x .若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1≤0，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1≥0，f ′(x )>0.若m <0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1>0，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1<0，f ′(x )>0. 所以，f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在单调递减，在单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是：⎩⎪⎨⎪⎧f （1）－f （0）≤e －1，f （－1）－f （0）≤e －1， 即⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1，①，设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，则g ′(t )＝e t－1.当t <0时，g ′(t )<0；当t >0时，g ′(t )>0.故g (t )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e<0，故当t ∈时，g (t )≤0.当m ∈时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立．当m >1时，由g (t )的单调性知，g (m )>0，即e m－m >e －1；当m <－1时，g (－m )>0，即e －m ＋m >e －1.综上，m 的取值范围是．3．3 导数的应用(二)1．当f ′(x )在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正(或负)时，f (x )在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的，例如：在(－∞，＋∞)上，f (x )＝x 3，当x ＝0时，f ′(x )＝________，当x ≠0时，f ′(x )＞0，而f (x )＝x 3显然在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．2．可导函数求最值的方法f ′(x )＝0⇒x ＝x 1，x 2，…，x n ，x ∈．直接比较f (a )，f (b )，f (x 1)，…，f (x n )，找出__________和____________即可．在此基础上还应注意：(1)结合____________可减少比较次数． (2)含参数的函数求最值时分类： ①按____________分类； ②按____________分类．3．实际问题中的导数，常见的有以下几种情形： (1)加速度是速度关于________的导数； (2)线密度是质量关于________的导数； (3)功率是功关于________的导数； (4)瞬时电流是电荷量关于________的导数； (5)水流的瞬时速度是流过的水量关于________的导数；(6)边际成本是成本关于________的导数． 4．N 型曲线与直线y ＝k 的位置关系问题如图，方程f (x )＝0有三个根x 1，x 2，x 3时，极大值f (a )＞0且极小值f (b )＜0.曲线y ＝f (x )与直线y ＝k (k 是常数)有一个交点时，见图中的直线①或直线②，极大值f (a )______k 或极小值f (b )______k ；曲线y ＝f (x )与直线y ＝k (k 是常数)有两个交点时，见图中的直线③或直线④，极大值f (a )______k 或极小值f (b )______k ；曲线y ＝f (x )与直线y ＝k (k 是常数)有三个交点时，见图中的直线⑤.以上这些问题，常见于求参数的取值范围、讨论不等关系等形式的题目．自查自纠： 1．02．最小值 最大值 (1)单调性 (2)单调性 极值点3．(1)时间 (2)长度 (3)时间 (4)时间 (5)时间(6)产量4．＜ ＞ ＝ ＝(2016·岳阳模拟)函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为( )A ．1－eB ．－1C ．－eD ．0解：因为f ′(x )＝1x －1＝1－x x，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，e]时，f ′(x )＜0，所以当x ＝1时，f (x )取得最大值ln1－1＝－1.故选B .(2016·长沙模拟)若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，4]C ．(0，＋∞)D ．上有解，则实数m 的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解：方程x 3－3x ＋m ＝0在上有解，等价于m ＝3x －x 3在上有解，故m 的取值范围即为函数f (x )＝3x －x 3在上的值域，求导可得f ′(x )＝3－3x 2＝3(1－x 2)，从而f (x )在(－1，1)上单调递增，在(－∞，－1)及(1，＋∞)上单调递减，故当x ∈时，f (x )ma x ＝f (1)＝2，f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝f (2)＝－2，故m 的取值范围为 ．故选A .(2016·贵州模拟)函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ＞0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是________．解：令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a ， 则f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：x(－∞，－a )－a(－a ，a )a(a ，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0＋f (x )↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗从而⎩⎨⎧（－a ）3－3a （－a ）＋b ＝6，（a ）3－3a a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4. 所以f (x )的单调递减区间是(－1，1)．故填(－1，1)．(2016·常德模拟)已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在上不单调，则实数t 的取值范围是________．解：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x＝－（x －1）（x －3）x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1，3，两极值点间的距离大于区间的长度，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3. 故填(0，1)∪(2，3)．类型一 函数单调性的进一步讨论已知实数a ＞0，函数f (x )＝a (x －2)2＋2ln x .(1)当a ＝1时，讨论函数f (x )的单调性；(2)若f (x )在区间上是增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－4x ＋4＋2ln x ， f ′(x )＝2x －4＋2x ＝2（x －1）2x，因为x ＞0，所以f ′(x )≥0，所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．(2)因为f ′(x )＝2ax －4a ＋2x ＝2ax 2－4ax ＋2x，又f (x )在区间上是增函数，所以f ′(x )＝2ax 2－4ax ＋2x≥0对x ∈恒成立，即2ax 2－4ax ＋2≥0对x ∈恒成立， 令g (x )＝2ax 2－4ax ＋2， 则g (x )＝2a (x －1)2＋2－2a ， 因为a ＞0，所以g (x )在上单调递增， 只要使g (x )min ＝g (1)＝2－2a ≥0即可，所以0＜a ≤1.点拨：①函数f(x)在限定区间是单调函数，求参数范围的问题，可以转化为恒成立问题求解；而存在单调区间问题，可转化为不等式有解问题．②对导数进行研究时，不可忽略原函数的定义域，如本题中易忽略“x＞0”．(2015·云南第一次检测)已知f(x)＝e x(x3＋mx2－2x＋2)．(1)假设m＝－2，求f(x)的极大值与极小值；(2)是否存在实数m，使f(x)在上单调递增？如果存在，求m的取值范围；如果不存在，请说明理由．解：(1)当m＝－2时，f(x)＝e x(x3－2x2－2x＋2)，其定义域为(－∞，＋∞)．则f′(x)＝e x(x3－2x2－2x＋2)＋e x(3x2－4x－2)＝x e x(x2＋x－6)＝(x＋3)x(x－2)e x，所以当x∈(－∞，－3)或x∈(0，2)时，f′(x)<0；当x∈(－3，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.f′(－3)＝f′(0)＝f′(2)＝0，所以f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以当x＝－3或x＝2时，f(x)取得极小值；当x＝0时，f(x)取得极大值，所以f(x)的极小值为f(－3)＝－37e－3和f(2)＝－2e2，f(x)的极大值为f(0)＝2.(2)f′(x)＝e x(x3＋mx2－2x＋2)＋e x(3x2＋2mx－2)＝x e x．因为f(x)在上单调递增，所以当x∈时，f′(x)≥0.又因为当x∈时，x e x<0，所以当x∈时，x2＋(m＋3)x＋2m－2≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2－2（m＋3）＋2m－2≤0，（－1）2－（m＋3）＋2m－2≤0，解得m≤4，所以当m∈(－∞，4]时，f(x)在上单调递增．类型二极值与最值的进一步讨论(2016·云南模拟)已知函数f(x)＝12ax2－(2a＋1)x＋2ln x(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)设g(x)＝x2－2x，若对任意x1∈(0，2]，均存在x2∈(0，2]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝（ax－1）（x－2）x(x＞0)．①当a≤0时，x＞0，ax－1＜0，故f(x)的单调递增区间是(0，2)，单调递减区间是(2，＋∞)．②当0＜a＜12时，1a＞2，在区间(0，2)和⎝⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上，f′(x)＞0；在区间⎝⎛⎭⎪⎫2，1a上f′(x)＜0.故f(x)的单调递增区间是(0，2)和⎝⎛⎭⎪⎫1a，＋∞，单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫2，1a.③当a＝12时，f′(x)＝（x－2）22x，故f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．④当a＞12时，0＜1a＜2，在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，1a和(2，＋∞)上，f′(x)＞0；在区间⎝⎛⎭⎪⎫1a，2上，f′(x)＜0，故f(x)的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1a和(2，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，2.(2)由已知，在(0，2]上有f (x )ma x ＜g (x )ma x . 由已知，g (x )ma x ＝0，由(1)可知， ①当a ≤12时，f (x )在(0，2]上单调递增，故f (x )ma x ＝f (2)＝2a －2(2a ＋1)＋2ln2＝ －2a －2＋2ln2，所以－2a －2＋2ln2＜0，解得a ＞ln2－1.故ln2－1＜a ≤12.②当a ＞12时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，2上单调递减，故f (x )ma x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－2－12a －2ln a .由a ＞12可知ln a ＞ln 12＞ln 1e ＝－1，2ln a ＞－2，－2ln a ＜2，所以－2－2ln a ＜0，f (x )ma x ＜0，综上所述，a 的取值范围是(ln2－1，＋∞)． 点拨：(1)研究函数问题定义域应优先；(2)对任意x 1∈(0，2]，指的是对区间内的任意一个自变量；存在x 2∈(0，2]，指的是区间内存在一个自变量，故本题是恒成立问题和有解问题的综合，解题时注意最值的化归．(2015·山东改编)设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R ，讨论函数f (x )极值点的个数．解：f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1) ＝a （2x －1）（x ＋1）＋1x ＋1＝2ax 2＋ax ＋1－a x ＋1，当a ＝0时，f ′(x )＝1x ＋1>0，函数f (x )在(－1，＋∞)为增函数，无极值点．当a ≠0时，设g (x )＝2ax 2＋ax ＋1－a ，g (－1)＝1，Δ＝a 2－8a (1－a )＝9a 2－8a ，若Δ＝a (9a －8)≤0，即0<a ≤89时，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)为增函数，无极值点．若Δ＝a (9a －8)>0，即a >89或a <0，而当a <0时，g (－1)≥0，此时方程g (x )＝0在(－1，＋∞)只有一个实数根，此时函数f (x )只有一个极值点；当a >89时，方程g (x )＝0在(－1，＋∞)总有两个不相等的实数根，此时函数f (x )有两个极值点．综上可知，当0≤a ≤89时，f (x )的极值点个数为0；当a <0时，f (x )的极值点个数为1；当a >89时，f (x )的极值点个数为2.类型三 方程根的讨论(2014·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.(1)求a ；(2)证明：当k ＜1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a . 曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线方程为y ＝ax ＋2.由题设得－2a＝－2，所以a ＝1.(2)证明：由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2.。

1．导数的几何意义(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)．(2)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．基本初等函数的导数公式和运算法则 (1)基本初等函数的导数公式①′＝u ′(x )±v ′(x )； ②′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③⎣⎢⎡⎦⎥⎤u x v x ′＝ux v x －u x vx[v x2(v (x )≠0)．3．函数的单调性与导数如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数y ＝x ＋sin x . 4．函数的导数与极值对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件．例如f (x )＝x 3，虽有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，因为f ′(x )≥0恒成立，f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，无极值． 5．闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小值． 6．函数单调性的应用(1)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0在区间 (a ，b )上恒成立； (2)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0在区间 (a ，b )上恒成立； (3)可导函数f (x )在区间(a ，b )上为增函数是f ′(x )＞0的必要不充分条件.热点一：导数的几何意义【典例】若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为_________. 【答案】22y x =-【考点定位】利用导数求切线方程【题型概述】本题考查了导数的几何意义，利用导数求曲线的切线方程，这是高考中常见的填空题之一，难度往往不是很大.但要注意“在某点处”与“过某点处”的区别，这是高考中的易错点之一.【跟踪练习1】设a 为实数，函数f （x ）=x 3+ax 2+（a ﹣3）x 的导函数为f′（x ），且f′（x ）是偶函数，则曲线：y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为 ． 【答案】9x ﹣y ﹣16=0．【解析】∵f （x ）=x 3+ax 2+（a ﹣3）x ，∴f ′（x ）=3x 2+2ax+（a ﹣3），∵f′（x ）是偶函数， ∴3（﹣x ）2+2a （﹣x ）+（a ﹣3）=3x 2+2ax+（a ﹣3），解得a=0，∴f （x ）=x 3﹣3x ，f′（x ）=3x 2﹣3，则f （2）=2，k=f′（2）=9，即切点为（2，2），切线的斜率为9，∴切线方程为y ﹣2=9（x ﹣2），即9x ﹣y ﹣16=0．故答案为：9x ﹣y ﹣16=0． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．【跟踪练习2】．已知曲线2n C :y nx =，点n n n n n P (x ,y )(x 0,y 0)>>是曲线n C 上的点(n 1,2,)=，曲线n C 在点n P 处的切线是n l ，n l 与y 轴相交于点n Q .若原点O(0,0)到切线n l 的距离与线段n n P Q 的长度之比取得最大值，则点n P 的坐标为 . 【答案】)41,21(nn考点：数列的应用和导数的几何意义. 热点二：利用导数研究函数的单调性 【典例】若1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，则a 的范围是 .（用区间来表示） 【答案】1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】因为1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，故应有2121()02(2)ax a f x x x '+-⎛⎫'==≥ ⎪++⎝⎭，即12a ≥，但当12a =时，11112()222x ax f x x x ++===++（2x >-）为(2,)-+∞上的常数函数，不满足题意，所以a 的范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，这是一道易错题，常错误认为a 的范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，因此要正确把握好导数与函数单调性的关系.【考点定位】导数的应用、函数的单调性.【题型概述】利用导数研究函数的性质是导数最为主要的作用，也是高考必考内容之一，利用导数的正负与函数的增减性之间的关系来处理函数的单调性问题是一种很有效的工具，考生必须要熟练掌握.要注意导数是否为零的问题，这是一个易错点.【跟踪练习1】已知2()(1)()x f x x m g x xe =--+=，，若12x x R ∃∈，,使得12()()f x g x ≥成立，则实数m 的取值范围是_______． 【答案】1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭考点：利用导数判断函数的单调性.【跟踪练习2】设函数()2x g x e x a =+-（a R ∈，e 为自然对数底数），定义在R 上函数()f x 满足：2()()f x f x x -+=，且当0x <时，()f x x '<，若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭．使[]00()g g x x =，则实数a 的取值范围为________．【答案】12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】设21()()2h x f x x =-，则()()h x hx -=-，又0x <时，()()0h x f x x ''=-<，∴()h x 在(,)-∞+∞单调递减，由1()(1)2f x f x x +≥-+得()(1)h x h x ≥-，∴1x x ≤-，∴12x ≤．又由[]00()g g x x =，()g x 为递增函数，得00()g x x =，∴2x e x a x +-=，即xa e x =+在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦有解，∴1212a e ≤+，∴12a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦．考点：函数性质及利用导数研究函数的单调性. 热点三：利用导数研究函数的极值、最值 【典例】已知ln ()ln ,()1xf x x f x x=-+在0x x =处取最大值。

第5讲 导数与函数零点、不等式证明、恒成立问题高考定位 在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点（方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题。

真 题 感 悟1。

（2016·全国Ⅲ卷）设函数f (x ）＝ln x －x ＋1.(1）讨论函数f （x )的单调性；(2）证明当x ∈（1，＋∞)时,1〈错误!〈x ;（3)设c >1,证明当x ∈（0,1)时，1＋（c －1）x >c x .(1)解 由f (x )＝ln x －x ＋1(x >0），得f ′(x )＝1x－1. 令f ′(x )＝0，解得x ＝1。

当0〈x <1时，f ′（x )〉0，f （x )单调递增。

当x >1时，f ′(x )<0，f （x )单调递减。

因此f （x ）在（0，1）上是增函数，在(1，＋∞）上为减函数.(2)证明 由(1）知，函数f （x )在x ＝1处取得最大值f (1）＝0。

∴当x ≠1时,ln x <x －1.故当x ∈（1，＋∞）时,ln x <x －1，ln 错误!〈错误!－1，即1〈x －1ln x〈x 。

（3)证明由题设c〉1,设g（x)＝1＋（c－1)x－c x,则g′（x)＝c－1－c x ln c.令g′(x)＝0，解得x0＝错误!.当x<x0时，g′（x)>0，g(x）单调递增;当x>x0时，g′（x)〈0，g（x)单调递减.由(2）知1<错误!〈c，故0<x0〈1.又g(0）＝g（1）＝0，故当0<x<1时，g(x)〉0.∴当x∈（0，1）时，1＋(c－1)x>c x.2。

（2017·全国Ⅱ卷)设函数f（x)＝(1－x2)e x.（1)讨论f（x)的单调性；(2）当x≥0时，f(x）≤ax＋1，求a的取值范围.解（1)f′(x)＝－2x e x＋（1－x2）e x＝（1－2x－x2）e x.令f′（x)＝0，得x2＋2x－1＝0，解得x1＝－2－1，x2＝2－1,令f′(x)〉0，则x∈(－错误!－1，错误!－1),令f′(x）<0，则x∈（－∞，－错误!－1)∪(错误!－1，＋∞)。

第5练导数与几何意义一.强化题型考点对对练1.(导数的儿何意义)【2018届山东省荷泽期中】已知函数= 的图像为曲线C,若曲线C存在与直线少y =次垂直的切线，则实数m的取值范围是()【答案】B【解析】函数八乂)*” -g+1的导数为广(x) = /-用'若曲线C存在与直线)=徐垂直的切线，即有/-用=一9有解，即m=e x由/>0>则m>-则实数的范围-,-K» L故选E e e 。

J2.(导数的几何意义与不等式的结合)己知。

〉0,曲线/。

)= 2履_土在点(1,/(1))处的切线的斜率为k ,则当k取最小值时。

的值为( )1 2 1 _A. -B. -C. 1D. 223【答案】A【解析】由题意可得，•.・/'(x) = 4ar + +，.・.f'(1) = 4。

+ ：,则当时，.『(1)取最小值为4,故选A.3.(导数的几何意义)己知函数fW=x3 + ax + l的图象在点(V(l))处的切线过点(2,7),贝|JQ=()A. TB. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】因为/'3 = 3必+ Q,所以切线斜率为广⑴=3 + Q,八1) = 2 + %切线方程为y-/(l)=/(l)(x-l),整理得：y = (3 + «)x-l,代入(2,7),解得« = 1,故选B.4.(导数的几何意义与不等式的结合)函数2)= I"* + x2-bx + a(b > 0,Q G R)的图像在点(b,f(b))处的切线斜率的最小值是()A. 20B.必C. 1D. 2【答案】D3 - 8C.【解析】令g\x) = 2f(x) + xf\x)B. 1 )——,+82 J C.(0,+8)D.[0,+8)O J k J I kJf2【解析】因为六» ='心+ * -bx + a t所以x函数/(x) = lnx + x - bx + a{b > 0,a e 7?)的图象f'(b) = — + h >2 ?在点(b，f(b))处的切线斜率为b ,所以函数fM = lnx + x -hx + a{h>O f aeR)的图象在点(b，f(b))处的切线斜率的最小值是2,故选比5.(导数的几何意义)[2018届山东省德州期中】函数f(x) = /+cosx的图像在x = 0处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A. 2B. 4C. -D.-2 2【答案】A【解析】//(x)=e x 4-cosx > .••解(x) = o, -sinx,.,•尸(0) = 1。

第5练 导数与几何意义一.强化题型考点对对练1. （导数的几何意义）【2018届山东省菏泽期中】已知函数()1xf x e mx =-+的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线少y ex =垂直的切线，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C. 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. (),e +∞ 【答案】B2．（导数的几何意义与不等式的结合）已知0a >，曲线()212f x ax ax=-在点()()1,1f 处的切线的斜率为k ，则当k 取最小值时a 的值为（ ） A.12 B. 23C. 1D. 2 【答案】A【解析】由题意可得, ()()211'4,'14f x ax f a ax a =+∴=+ ，则当12a =时， ()'1f 取最小值为4，故选A.3. （导数的几何意义）已知函数的图象在点处的切线过点，则（ ）A.B. C. D.【答案】B 【解析】因为，所以切线斜率为，，切线方程为，整理得：，代入，解得，故选B.4. （导数的几何意义与不等式的结合）函数的图像在点处的切线斜率的最小值是（ ） A.B.C. 1D. 2【答案】D 【解析】因为，所以函数的图象在点处的切线斜率为，所以函数的图象在点处的切线斜率的最小值是，故选.5．（导数的几何意义）【2018届山东省德州期中】 函数()cos xf x e x =+的图像在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 12 D. 32【答案】A6．（导数的几何意义）已知函数()f x 是定义在()0,+∞的可导函数， ()f x '为其导函数，当0x >且1x ≠时，()()201f x xf x x -'+>，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为34-，则()1f =（ ） A. 0 B. 1 C. 38 D. 15【答案】C【解析】令()()()'2'g x f x xf x =+ ，则()'01g x x >- ,所以当1x > 时, ()'0g x > ; 当01x << 时,()'0g x < , 所以函数()g x 在()0,1 内为减函数, 在()1,+∞ 内为增函数, 且在1x = 时取得极小值,所以()'10g = , 故有()()21'10f f += , 又()3'4f x =-, 所以()318f = . 7.（导数的几何意义）若曲线2ln y x ax =+（a 为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C. ()0,+∞D. [)0,+∞ 【答案】D8.（导数的计算）【2018届福建省福安期中】已知()xf x e ex -=+的导函数()'f x ，则()'1f =A. 1e e -B. 1e e +C. 11e+ D. 0【答案】A【解析】()()11,1x f x e e f e e e e--=-+∴=-+='-' ，选A. 9. （导数的几何意义）【2018届福建省福州期中】已知函数()()()23222,0{33,0x a x x f x x a x ax x -+-≤=-++>，若曲线()y f x =在点()(),i i i P x f x ，（ 1,2,3i =，其中123,,x x x 互不相等）处的切线互相平行，则a 的取值范围是__________. 【答案】()1,2- 【解析】 函数()()()()()2232222,022,0{,'{361,033,0x a x x a x x f x f x x a x a x x a x ax x -+-≤-+-≤=∴=-++>-++>， 曲线()y f x =在点()(),(1,2,3i i i P x f x i =,其中123,,x x x 互不相等）处的切线互相平行，即()'y f x =在点()(),i i i P x f x 处的值相等，画出导函数()'y f x =的图象，如图， 当0x ≤时，()'22222f x x a a =-+-≥-， ∴当0x >时， ()'f x 必须满足， 22{,1210a a a a >-∴-<<+>，故答案为()1,2-.10. （导数的几何意义与不等式的结合）已知函数()21,R 2xx f x e ax x =---∈. （1）当2a =，求()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程； （2）若对任意0x ≥都有()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.11（导数的综合应用）【2018届山东省菏泽期中】已知函数()213ln 2f x x x =-. （1）求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）试判断()f x 在区间()1,e 上有没有零点？若有则判断零点的个数. 【解析】（1）由已知得()3f x x x '=-，有()12f '=-， ()112f =，∴在()()1,1f 处的切线方程为： ()1212y x -=--，化简得4250x y +-= （2）由（1）知()(x x f x x+'=，因为(0)x >，令()0f x '=，得x =所以当(x ∈时，有()0f x '<，则(是函数()f x 的单调递减区间；当)x ∈+∞时，有()0f x '>，则)+∞是函数()f x 的单调递增区间．当()1,x e ∈时，函数()f x在(上单调递减，在)e 上单调递增；又因为()112f =， ()21302f e e =->，()31ln302f=-<，所以()f x 在区间()1,e 上有两个零点． 二.易错问题纠错练12. （不能灵活分析问题和解决问题而致错）已知函数()ln f x ax x =-. （1）过原点O 作函数()f x 图象的切线，求切点的横坐标；（2）对[)1,x ∀∈+∞，不等式()()22f x a x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.（Ⅱ）方法一：∵不等式()2ln 2ax x a x x -≥-对[1x ∀∈， )+∞恒成立,∴2ln 0ax ax x --≥对[1x ∀∈，)+∞恒成立.设()2ln g x ax ax x =--， [1x ∈， )+∞， ()12g x ax a x'=--.①当0a ≤时， ()()1210g x a x x-'=-< ， ()g x ∴在[1， )+∞上单调递减，即()()10g x g ≤=， 0a ∴≤不符合题意. ②当0a >时， ()221ax ax g x x '--=.设()221212148a h x ax ax a x ⎛⎫=--=--- ⎪⎝⎭，在[1，)+∞上单调递增，即()()11h x h a ≥=-. （ⅰ）当1a ≥时，由()0h x ≥，得()0g x '≥， ()g x ∴在[1， )+∞上单调递增，即()()10g x g ≥=， 1a ∴≥符合题意； （ii ）当01a <<时， 10a -< ，0[1x ∴∃∈ ， )+∞使得()00h x =，则()g x 在[1， 0)x 上单调递减，在0(x ， )+∞上单调递增，()()010g x g ∴<=，则01a <<不合题意. 综上所述， 1a ≥.（Ⅱ）方法二：∵不等式2ln 2ax x a x x -≥-（）对[1x ∀∈， )+∞ 恒成立,∴2ln 0ax ax x --≥对[1x ∀∈，)+∞恒成立.当0a ≤时， 2ln 0ax ax x --≤；当01a <<时， 2ln g x ax ax x =--（），36ln30g a =-≥（）不恒成立；同理x 取其他值不恒成立.当=1x 时， 2ln 0ax ax x --≥恒成立；当1x >时， 2ln x x a x≥-，证明2ln x 1x x x ≤-≥（）恒成立. 设2ln g x x x x =-+（）， [1x ∈， )+∞， 212+0x x g x x -=≤'（）.∴g x （）在[1x ∈， )+∞为减函数．10g x g ≤=（）（），∴1a ≥.（Ⅱ）方法三：∵不等式2ln 2ax x a x x -≥-（）对，恒成立,∴等价于2ln a x x x -≥（）对[1x ∀∈， )+∞恒成立. 设212,=ln y a x x y x =-（），当0a ≤时， 12y y ≤；∴0a >，函数1y 过点（0,0）和（1,0），函数2y 过点（1.0），12y y ≥在1x ≥恒成立，一定存在一条过点（1,0）的直线和函数1y 、2y 都相切或，一定存在一条过点（1,0）的直线2y 相切和函数1y 相交，但交点横坐标小于1，当都相切时1212,=1y ax a a y x''=-==．393ln3g a a =--（）不大于等于0. ∴1a ≥. 【注意问题】利用导数可以研究函数的单调性、最值，解题时候要注意导函数的零点和导函数的符号，有时可将目标不等式等价变形。