平面向量的概念练习(学生版)

（完整版）平面向量基本概念练习题第二章平面向量§2.1 平面向量的实际背景及基本概念班级___________姓名____________学号____________得分____________一、选择题1．下列物理量中，不能称为向量的是（）A ．质量B ．速度C ．位移D ．力 2．设O 是正方形ABCD 的中心，向量AO OB CO OD u u u r u u u r u u u r u u u r 、、、是（）A ．平行向量B ．有相同终点的向量C ．相等向量D ．模相等的向量3．下列命题中，正确的是（）A ．|a | = |b |?a = bB ．|a |> |b |?a > bC ．a = b ?a 与b 共线D ．|a | = 0?a = 04．在下列说法中，正确的是（）A ．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同;B ．模为0的向量与任一非零向量平行;C ．向量就是有向线段;D ．若|a |=|b |，则a =b5．下列各说法中，其中错误的个数为（）（1）向量AB u u u r 的长度与向量BA u u u r 的长度相等;（2）两个非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反;（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量;（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量;（5）平行向量就是向量所在直线平行A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 *6．△ABC 中，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中，与EF u u u r 共线的向量有（）A ．2个B ．3个C ．6个D ．7个二、填空题7．在(1)平行向量一定相等；(2)不相等的向量一定不平行；(3)共线向量一定相等；(4)相等向量一定共线；(5)长度相等的向量是相等向量；(6)平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的是_______________________．8．如图，O 是正方形ABCD 的对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 是正方形，在图中所示的向量中，（1）与AO u u u r 相等的向量有_________________________；（2）与AO u u u r 共线的向量有_________________________；（3）与AO u u u r 模相等的向量有_______________________；（4）向量AO u u u r 与CO u u u r 是否相等？答：_______________．9．O 是正六边形ABCDEF 的中心，且AO =u u u r a ，OB =u u u r b ，AB =u u u r c ，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 为端点的向量中：（1）与a 相等的向量有；（2）与b 相等的向量有；（3）与c 相等的向量有．*10．下列说法中正确是_______________（写序号）（1）若a 与b 是平行向量，则a 与b 方向相同或相反；（2）若AB u u u r 与CD u u u r 共线，则点A 、B 、C 、D 共线；（3）四边形ABCD 为平行四边形，则AB u u u r =CD u u u r ；（4）若a = b ，b = c ，则a = c ；（5）四边形ABCD 中，AB DC =u u u r u u u r 且||||AB AD =u u u r u u u r ，则四边形ABCD 为正方形；（6）a 与b 方向相同且|a | = |b |与a = b 是一致的；三、解答题11．如图，以1×3方格纸中两个不同的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？O A B C D E F12．在如图所示的向量a 、b 、c 、d 、e 中（小正方形边长为1）是否存在共线向量？相等向量？模相等的向量？若存在，请一一举出．13．某人从A 点出发向西走了200m 达到B 点，然后改变方向向西偏北600走了450m 到达C 点，最后又改变方向向东走了200m 到达D 点（1）作出向量AB u u u r 、BC u u u r 、CD u u u r （1cm 表示200m ）；（2）求DA u u u r 的模．*14．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时它位于A 点，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来；若它位于图中的P 点，则这只“马”第一步有几种可能的走法？它能否走若干步从A 点走到与它相邻的B 点处？。

平面向量的基本概念与线性运算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念；2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．3、熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则.一、平面向量的概念：1、平面向量：________________________________________________________2、向量的模长：________________________________________________________3、零向量:____________________________________________________________4、单位向量：__________________________________________________________5、平行向量：_________________________________________________________6、相等向量：_________________________________________________________7、相反向量：__________________________________________________________二、平面向量的基本运算：一般地，λa＋μb叫做a,b的一个线性组合（其中λ,μ均为系数）．如果l ＝λa＋μb，则称l 可以用a ，b 线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．1、三角形法则：位移AC u u u r 叫做位移AB u u u r与位移BC u u u r 的和，记作____________________2、平行四边形法则：如图7－9所示， ABCD 为平行四边形，由于AD u u u r =BC u u ur ，根据三角形法则得AB u u u r ＋AD u u u r=________________________平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质： （1）a ＋0 = 0＋a = a ； a ＋（−a ）= 0； （2）a ＋b =b ＋a ；（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c ）． 3、平面向量减法法则：与数的运算相类似，可以将向量a 与向量b 的负向量的和定义为向量a 与向量b 的差．即a −b = a ＋(−b )．设a =u u u r OA ，b =u u u rOB ，则()= OA OB OA OB OA BO BO OA BA -=+-+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．即（7．2）观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a 、b ，其差a －b 仍然是一个向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b 的终点，终点是被减向量a 的终点．图7－7ACBaba +bab图7－9A一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的模为||||||aaλ=λ（7．3）若||λ≠a0，则当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同，当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当0λ≠时，有λ⇔=a b a b∥（7．4）一般地，有0a= 0, λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a, b及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=-=-a a a a ，　；()()()()2a a aλμλμμλ== ；()()3a a aλμλμ+=+ ；()()a b a bλλλ+=+４　．题型1平面向量的基本概念例1给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若AB→＝DC→，则A、B、C、D四点构成平行四边形；④在ABCD中，一定有AB→＝DC→；⑤若m＝n，n＝p，则m＝p；aAa-bBbO图7－13⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号)例2 在平行四边形ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点． （1）找出与向量DA u u u r相等的向量； （2）找出向量DC u u u r的负向量；（3）找出与向量AB u u u r平行的向量．练习：1． 如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写出 （1）与EF u u u r 相等的向量；（2）与AD u u u r共线的向量．2．如图，O 点是正六边形ABCDEF 的中心，试写出 （1）与OC u u u r 相等的向量； （2）OC u u u r 的负向量； （3）与OC u u u r题型2 向量的线性表示例3 一艘船以12 km/h 的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h ，求该船的实际航行速度．*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k ，两条绳子与垂线的夹角为θ，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1F 与2F 的大小．练习：1． 如图，已知a ，b ，求a ＋b ．2．填空（向量如图F AD BE C（练习题第1题图EFAB C DO （图1－8）第2题图 ADCB图7－5Obbaa（1）（2）第1题图所示）：（1）a ＋b =_____________ , （2）b ＋c =_____________ , （3）a ＋b ＋c =_____________ ． 3．计算：（1）AB u u u r＋BC u u u r ＋CD u u u r ； （2）OB u u u r ＋BC u u u r ＋CA u u u r ．例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a －b ．练习：1．填空：（1）AB u u u r AD -u u u r=_______________，（2）BC u u u r BA -u u u r=______________， （3）OD u u u r OA -u u u r=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB u u u r = a ,AD u u u r= b ，试用a , b 表示向量AC u u u r 、BD u u u r 、DB u u u r．例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB u u u r ＝a ，AD u u u r＝b ，试用a , b 表示向量AO u u u r 、OD u u u r．练习：1． 计算：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）；（2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）．BbOaAba（1）（2）图7－142．设a , b 不共线，求作有向线段OA u u u r ，使OA u u u r ＝12（a ＋b ）．例7 平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.练习：练习：在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.题型3 共线向量例8 设两个非零向量a 与b 不共线．(1) 若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2) 试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． 题型4 向量共线的应用例4 如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．练习：如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．一、选择题1．在下列判断中，正确的是( ) ①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等； ④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线． A ．①②③ B ．②③④ C ．①②⑤D ．①③⑤2．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于( ) A ．BC → B ．AB → C ．AC →D ．AM →3．若a 、b 为非零向量，则下列说法中不正确的是( )A ．若向量a 与b 方向相反，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同B ．若向量a 与b 方向相反，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同C ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与a 的方向相同D ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与b 的方向相同4．已知下列各式：①AM →＋MB →＋BA →；②AB →＋CA →＋BD →＋DC →；③OA →＋OC →＋BO →＋CO →.其中结果为零向量的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题5．等腰梯形ABCD 两腰上的向量AB →与DC →的关系是________． 6．如图所示，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，则OA →＋AB →＋BC →＝________.三、解答题7．如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出AO →，BO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)写出与AO →的模相等的向量； (4)向量AO →与CO →是否相等？8.梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =2CD ，M 、N 分别是CD 和AB 的中点，若AB =a ，AD =b ，试用a 、b 表示BC 和MN ，则BC =________，MN =______._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．把平面上一切单位向量平移到共同始点，那么这些向量的终点构成的图形是( ) A ．一条线段 B ．一段圆弧 C ．两个孤立的点D ．一个圆2．把所有相等的向量平移到同一起点后，这些向量的终点将落在( ) A ．同一个圆上 B ．同一个点上 C ．同一条直线上 D ．以上都有可能4．有下列说法：①时间、摩擦力、重力都是向量； ②向量的模是一个正实数； ③相等向量一定是平行向量； ④共线向量一定在同一直线上． 其中，正确说法的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．35．下列说法错误的是( )A ．作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量B ．向量可以用有向线段表示，但有向线段并不是向量C ．只有零向量的模等于0D ．零向量没有方向6．如图所示，圆O 上有三点A 、B 、C ，则向量BO →、OC →、OA →是( ) A ．有相同起点的相等向量 B ．单位向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量9．a 、b 、a ＋b 为非零向量，且a ＋b 平分a 与b 的夹角，则( ) A ．a ＝b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b |D ．以上都不对 10．△ABC 中，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，则下面结论正确的是( )A ．AE →＝AD →＋F A →B ．DE →＋AF →＝0C ．AB →＋BC →＋CA →≠0D ．AB →＋BC →＋AC →≠012．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．平行四边形二、填空题12．若D 、E 、F 分别是△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的中点，则与向量EF →相等的向量为________． 16．根据右图填空： b ＋c ＝________； a ＋d ＝________； b ＋c ＋d ＝________； f ＋e ＝________； e ＋g ＝________.三、解答题17．某人从A 点出发，向东走到B 点，然后，再向正北方向走了60m 到达C 点．已知|AC →|＝120m ，求AC →的方向和A 、B 的距离．18．两个力F 1和F 2同时作用在一个物体上，其中F 1＝40N ，方向向东，F 2＝403N ，方向向北，求它们的合力．能力提升一、选择题1．若a 为任一非零向量，b 为其单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a |a |＝b . 其中正确的是( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤2．如图四边形ABCD 、CEFG 、CGHD 都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )A ．|AB →|＝|EF →| B ．AB →与FH →共线C ．BD →＝EH → D ．DC →与EC →共线3．如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则下列说法中错误的是()A ．图中所标出的向量中与AB →相等的向量只有1个(不含AB →本身)B ．图中所标出的向量中与AB →的模相等的向量有4个(不含AB →本身)C ．BD →的长度恰为DA →长度的3倍D ．CB →与DA →不共线4．四边形ABCD 中，若AB →与CD →是共线向量，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．梯形C ．平行四边形或梯形D ．不是平行四边形也不是梯形1．已知向量a 表示“向东航行1km ”向量b 表示“向南航行1km ”则a ＋b 表示( )A ．向东南航行2kmB ．向东南航行2kmC ．向东北航行2kmD ．向东北航行2km2．在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列各式中不成立的是( )A ．a ＋b ＝cB ．a ＋d ＝bC ．b ＋d ＝aD ．|a ＋b |＝|c |3．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a 、BC →＝b 、AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( )A ．0B ．3C ． 2D ．2 2 4．下列命题中正确的个数为( )①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同；②在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；④若a 、b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题5．若|AB →|＝|AD →|，且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为________．6．已知A 、B 、C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________.已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝90°，则|a ＋b |＝________.6．已知在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，若|AB →|＝2，则|BC →＋DC →|＝________.三、解答题8．一位模型赛车手摇控一辆赛车，沿直线向正东方向前行1m ，逆时针方向旋转α度，继续沿直线向前行进1m ，再逆时针旋转α度，按此方法继续操作下去．(1)按1100的比例作图说明当α＝60°时，操作几次赛车的位移为零．(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个．9．如图所示，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 边上的点，已知AD →＝DB →，DF →＝BE →，试推断向量DE →与AF →是否为相等向量，说明你的理由．7．如图所示，在△ABC 中，P 、Q 、R 分别为BC 、CA 、AB 边的中点，求证AP →＋BQ →＋CR →＝0.8．轮船从A 港沿东偏北30°方向行驶了40n mile(海里)到达B 处，再由B 处沿正北方向行驶40n mile 到达C 处．求此时轮船关于A 港的相对位置．9．已知下图中电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力F 1＝24N ；绳BO 与墙壁垂直，所受拉力F 2＝12N.求F 1和F 2的合力．。

平面向量的概念练习题导言：平面向量是数学中一个重要的概念，广泛应用于几何学、物理学等领域。

理解和掌握平面向量的基本概念和运算方法对于解决与平面相关的问题具有关键作用。

本文将通过一系列练习题来帮助读者巩固对平面向量的理解和应用。

1. 平面向量的定义若空间中空间点对有序的，我们就将这样的有序对成为平面向量。

若点 A 和点 B 分别是平面内的两个点，向量 AB 表示从点 A 到点 B 的有向线段。

平面向量 AB 的起点为 A，终点为 B，记作 AB。

2. 平面向量的运算(1) 平面向量的加法设有平面向量 AB 和平面向量 CD，则其和向量记作 AB + CD，其几何意义为：将向量 CD 的起点与向量 AB 的终点连接形成一个新的向量，其起点为 CD 的起点，终点为 AB 的终点。

(2) 平面向量的数乘设有实数 k 和平面向量 AB，则 kAB 的几何意义为：将向量 AB 的起点固定，将向量 AB 的长度等比例地拉长或缩短，方向不变。

若 k > 0，则该向量与原向量方向相同；若 k < 0，则该向量与原向量方向相反。

3. 平面向量的练习题(1) 已知向量 AB = (1, 2)，向量 CD = (3, -1)，计算向量 AB + CD。

(2) 已知向量 PQ = (2, 4)，向量 RS = (5, 1)，计算向量 2PQ - RS。

(3) 在直角坐标系中，设向量 AB = (3, 4)，向量 AC = (-2, 5)，求向量 BC。

(4) 确定向量 a = (4, 2) 和向量 b = (-3, 6) 的数量积和夹角。

(5) 设向量 OX = (1, 0)，向量 OY = (0, 1)，求向量 OA = 4OX + 3OY。

解答：(1) AB + CD = (1, 2) + (3, -1) = (4, 1)(2) 2PQ - RS = 2(2, 4) - (5, 1) = (4, 8) - (5, 1) = (-1, 7)(3) BC = AC - AB = (-2, 5) - (3, 4) = (-5, 1)(4) 数量积 a·b = 4*(-3) + 2*6 = -12 + 12 = 0夹角cosθ = (a·b) / (|a| |b|) = 0 / (√(4^2+2^2) √((-3)^2+6^2)) = 0 /(2√5 √45) = 0 / (2√5* 3√5) = 0 / (6√5) = 0由于夹角为0，说明向量 a 和向量 b 夹角为零度，即平行。

人教A 版（2019）必修第二册《6.1 平面向量的概念》同步练习一 、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）已知平面向量a →=(−2,1)，b →=(1,2)，则|a →−2b →|的值是( )A. 1B. 5C. √3D. √52.（5分）已知向量a →=(2,4),b →=(−2,m)，且|a →+b →|=|a →−b →|，则m =()A. √3B. 1C.2√33D. 23.（5分）已知四边形ABCD 满足AD →=14BC →，点M 满足DM →=MC →，若BM →=xAB →+yAD →，则x +y =()A. 3B. 52C. 2D. −124.（5分）已知四棱锥P −ABCD 底面为平行四边形，点M 为BC 中点，设AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则下列向量中与PM →相等的向量是( )A. 12a →+b →−c →B. a →+12b →−c →C. −a →−12b →+c →D. a →+12b →+c →5.（5分）已知直线上OA →，OB →的坐标分别为−1，2，则下列结论不正确的是( )A. OA →<OB →B. |OA →|<|OB →| C. |AB →|=3D. AB 的中点坐标为126.（5分）在△ABC 中，已知BC →=3BD →，则AD →=()A. 13(AC →+2AB →) B. 13(AB →+2AC →) C. 14(AC →+3AB →)D. 14(AC →+2AB →)7.（5分）下列说法中错误的是()A. 零向量与任一向量平行B. 方向相反的两个非零向量不一定共线C. 单位向量的长度为1D. 相等向量一定是共线向量8.（5分）下列说法正确的是( )A. 单位向量均相等B. 单位向量e →=1 C. 零向量与任意向量平行D. 若向量a →,b →满足|a →|=|b →|，则a →=±b →9.（5分）若平面单位向量a →，b →，c →不共线且两两所成角相等，则|a →+b →+c →|=( )A. √3B. 3C. 0D. 110.（5分）已知不共线的向量a →,b →,|a →|=2,|b →|=3,a →.(b →−a →)=1，则|a →−b →|=( )A. √3B. 2√2C. √7D. √2311.（5分）有下列四个命题：①互为相反向量的两个向量模相等；①若向量AB →与CD →是共线的向量，则A ，B ，C ，D 必在同一条直线上；①若|a |=|b |，则a =b 或a =-b ；①若a ①b =0，则a =0或b =0；其中正确结论的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 112.（5分）已知a →,b →为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( )A. 如果a →与b →平行，那么a →与b →相等 B. a →与b →相等C. 如果a →与b →平行，那么a →=b →或a →=−b →D. a →与b →共线二 、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）与向量a →=(1,2,−2)方向相同的单位向量是 ______.14.（5分）若向量AB →=−3CD →，则向量AB →与向量CD →共线.______ (判断对错) 15.（5分）给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a →|=|b →|，则a →=b →；③若AB →=DC →，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形； ④在平行四边形ABCD 中，一定有AB →=DC →； ⑤若m →=n →，n →=p →，则m →=p →； ⑥若向a →//b →，b →//c →，则a →//c →． 其中错误的命题有______.(填序号)16.（5分）已知平面内三点A （2，-3），B （4，3），C （5，a ）共线，则a=____ 17.（5分）已知向量a →=(m,1),b →=(4−n,2),m >;0,n >;0，若a →//b →，则1m+8n的最小值为__________;三 、多选题（本大题共4小题，共20分） 18.（5分）下列命题中正确的是( )A. 单位向量的模都相等B. 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C. 若⇀ a 与b →满足|a |>|b |，且⇀ a 与b →同向，则a →>b →D. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 19.（5分）下列说法中，正确的个数是( )A. 时间、摩擦力、压强、重力、身高、温度、加速度都是向量；B. 向量的模是一个正实数；C. 相等向量一定是平行向量；D. 向量a →与b →不共线，则a →与b →都是非零向量． 20.（5分）下列关于平面向量的说法中，正确的是()A. 若a →=b →，b →=c →，则a →=c →B. 若a →//b →，b →//c →，则a →//c →C. 若xa →+yb →=0→，x ，y ∈R ，a →，b →不共线，则x =y =0 D. 若|a →+b →|=|a →−b →|，则|a →|2+|b →|2=|a →+b →|221.（5分）已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且PA →+2PB →+3PC →=0→，若E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论正确的是()A. 向量PA →与PC →可能平行 B. 向量PA →与PC →可能垂直 C. 点P 在线段EF 上D. PE ：PF =1：2四 、解答题（本大题共4小题，共48分）22.（12分）已知四点A(x,0)，B(2x ,1)，C(2,x)，D(6,2x ). (1)求实数x ，使向量AB →与CD →共线；(2)当向量AB →与CD →共线时，A ，B ，C ，D 四点是否存在同一直线上？23.（12分）如图，半圆的直径AB =6，C 是半圆上的一点，D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且AD =1，BE =4，DE =3.[{"ℎ":"57.0","w":"837.0","x":"63.0","y":"509.0"}](1)求证：AC →//DE →;(2)求|AC →|.24.（12分）已知D,E,F 分别是ΔABC 各边AB ,BC ,CA 的中点，分别写出图中与DE →，EF →，FD →相等的向量．25.（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知向量m→=(a,√3b)，n→=(cosA,sinB)，且m→//n→.(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅰ)若c=5，cosB=√21，求a的值.7答案和解析1.【答案】B;【解析】解：a →−2b →=(−4,−3)． ∴|a →−2b →|=√(−4)2+(−3)2=5． 故选：B ．利用数量积运算性质即可得出．此题主要考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】B;【解析】解：由题意可得|a →+b →|2=|a →−b →|2， 即a →2+2a →·b →+b →2=a →2−2a →·b →+b →2， 可得a →·b →=0，又a →=(2,4)，b →=(−2,m)， 即有2×(−2)+4m =0， 解得m =1， 故选：B.由已知条件结合向量模的求法可得a →·b →=0，再代入坐标运算即可求解． 此题主要考查了向量模的求法，向量数量积的坐标运算，属于基础题．3.【答案】C;【解析】解：∵四边形ABCD 满足AD →=14BC →，点M 满足DM →=MC →，∴BC →=4AD →，故点M 为线段DC 的中点， ∴BM →=BD →+BC →2=BA →+AD →+4AD→2=−12AB →+52AD →.又∵BM →=xAB →+yAD →，∴x =−12，y =52， 故 x +y =2， 故选：C.由题意先求得BC →=4AD →，故点M 为线段DC 的中点，再利用平面向量的线性运算，借助平面向量的基本定理即可求解．本题考查的知识点是平面向量的基本定理，平面向量的线性运算，属于中档题．4.【答案】B;【解析】解：∵四棱锥P −ABCD 底面为平行四边形，点M 为BC 中点，AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，∴PM →=PB →+12BC →=PA →+AB →+12BC →=−c →+a →+12b →， 故选：B.直接根据向量的三角形法则进行求解即可．此题主要考查了向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】A;【解析】解：向量不能比较大小，故A 不正确， ∵|OA →|=1，|OB →|=2，∴|OA →|<|OB →|，故选项B 正确， ∵AB →=OB →−OA →=2−(−1)=3，∴|AB →|=3，故选项C 正确， ∵A 的坐标为−1，B 的坐标为2，∴AB 的中点坐标为−1+22=12，故选项D 正确．故选：A.利用直线上的向量的坐标运算求解．此题主要考查了直线上的向量的坐标运算，考查了中点坐标公式，是基础题．6.【答案】A;【解析】解：根据向量的三角形法则得到AD →=AB →+BD →=AB →+13BC →=AB →+13(AC →−AB →)=23AB →+13AC →=13(2AB →+AC →)；故选：A.利用平面向量的三角形法则，将AD →用AB →,AC →表示，找出正确答案． 此题主要考查了向量的三角形法则，属于基础题．7.【答案】B;【解析】解：零向量与任一向量平行，故A 正确； 方向相反的两个非零向量一定共线，故B 错误； 单位向量的长度为1，故C 正确；相等向量的模相等，方向相同，一定是共线向量，故D 正确． 故选：B.由零向量的概念判断A ；由相反向量的概念判断B ；由单位向量的概念判断C ；由相等向量的概念判断D.此题主要考查向量的基本概念，是基础题．8.【答案】C; 【解析】此题主要考查了向量的概念，属于基础题. 根据向量的概念逐一判定即可.解：单位向量的模相等且为1，但单位向量的方向不确定，故A 、B 错误； 零向量与任意向量平行，故C 正确；若向量a →,b →满足|a →|=|b →|，只能得出向量a →,b →的模相等，但向量a →,b →的方向不确定，故D 错误； 故选C.9.【答案】C;【解析】解：∵平面单位向量a →，b →，c →不共线且两两所成角相等； ∴a →，b →，c →两两夹角为120°，且|a →|=|b →|=|c →|=1；∴|a →+b →+c →|=√(a →+b →+c →)2=√(a →)2+(b →)2+(c →)2+2a →.b →+2a →.c →+2b →.c →=√3+6cos120° =0 故选：C ．根据三个向量不共线且两两所成的角相等可知，它们两两夹角为120°；再根据平面向量模的计算公式即可得出答案．该题考查了平面向量模的运算，属基础题．10.【答案】A;【解析】解：∵|a →|=2，|b →|=3，a →⋅(b →−a →)=1， ∴a →⋅b→−a 2→=a →⋅b →−4=1，∴a →⋅b →=5，∴|a →−b →|2=a 2→−2a →⋅b →+b 2→=4−2×5+9=3，∴|a →−b →|=√3， 故选：A ．由已知结合数量积的运算可得a →⋅b →=5，代入运算可得|a →−b →|2的值，求其算术平方根即得．此题主要考查平面向量数量积的运算，涉及向量的模长的求解，属中档题．11.【答案】D;【解析】此题主要考查平面向量的基本概念与应用问题，是基础题．根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．解：对于①，互为相反向量的两个向量模相等，命题正确；对于①，向量AB 与CD 是共线的向量，点A ，B ，C ，D 不一定在同一条直线上， 如平行四边形的对边表示的向量，原命题错误； 对于①，当|a |=|b |时，a =b 或a =-b 不一定成立， 如单位向量模长为1，但不一定共线，原命题错误； 对于①，当a ①b =0时，a =0或b =0或a ①b ，原命题错误； 综上，正确的命题是①，共1个． 故选D.12.【答案】C;【解析】解：∵a →,b →为两个单位向量，∴如果a →与b →平行，那么a →=b →或a →=−b →，故A 不正确，C 正确； 因为两向量相等的充要条件是模相等且方向相同，所以B 不正确； ∵a →,b →为两个单位向量，∴a →,b →为两个向量不一定平行，故D 不正确． 故选：C ．a →,b →为两个单位向量，它们的模是单位长度1，方向是任意的，根据两个单位向量的这两条性质，可以判断四个选项的真假．该题考查了命题的真假判断与应用，解答该题的关键是单位向量的定义及两向量相等的条件，同时考查了两向量的应用．13.【答案】（13，23，-23）;【解析】解：向量a →=(1,2,−2)， 可得|a →|=√1+4+4=3，所以与向量a →=(1,2,−2)方向相同的单位向量是：(13,23,−23). 故答案为：(13,23,−23).求出向量的模，然后求解单位向量即可．此题主要考查单位向量的求法，向量的模的计算，是基础题．14.【答案】对;【解析】解：向量AB →=−3CD →，根据平面向量的共线定理知， 向量AB →与向量CD →共线． 故答案为：对．根据平面向量的共线定理，判断即可．本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．15.【答案】①②③⑥;【解析】解：在①中，两个零向量相等，则它们的起点相同，终点不一定相同，故①错误；在②中，若|a →|=|b →|，则a →与b →大小相等，方向不一定相同，故②错误； 在③中，若AB →=DC →，则A ，B ，C ，D 四点不一定构成平行四边形，故③错误； 在④中，在平行四边形ABCD 中，由向量相等的定义得一定有AB →=DC →，故④正确； 在⑤中，若m →=n →，n →=p →，则向量相等的定义得m →=p →，故⑤正确； 在⑥中，若向a →//b →，b →//c →，当b →=0→时，a →与c →不一定平行，故⑥不正确． 故答案为：①①①①．在①中，两个零向量相等，则它们的起点相同，终点不一定相同；在②中，a →与b →大小相等，方向不一定相同；在③中，若AB →=DC →，则A ，B ，C ，D 四点不一定构成平行四边形；在④中，由向量相等的定义得一定有AB →=DC →；在⑤中，由向量相等的定义得m →=p →；在⑥中，当b →=0→时，a →与c →不一定平行．该题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量相等、向量平行的合理运用．16.【答案】6;【解析】解：AB=(2，6) ，AC=(3，a+3) 由已知知AB ∥AC 所以2（a+3）=6×3 解得a=6 故答案为：617.【答案】92; 【解析】此题主要考查利用基本不等式求最值及平面向量共线的充要条件，属于中档题. 由a →//b →，可得：n +2m =4，则1m+8n=14(n +2m )(1m+8n)，化简利用基本不等式求解即可．解：∵a →//b →，∴4−n −2m =0，即n +2m =4， ∵m >;0，n >;0， ∴1m +8n=14(n +2m )(1m +8n ) =14(10+n m+16m n)⩾14(10+2√n m·16mn)=92，当且仅当n =4m =83时取等号， ∴1m +8n 的最小值是92. 故答案为92.18.【答案】AD; 【解析】此题主要考查向量的有关概念，属于基础题．利用向量的有关概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.解：对于选项A ：单位向量的模均为1，故A 正确，对于选项B ：长度不等且方向相反的两个向量一定是共线向量，故B 错误， 对于选项C ：向量不能比较大小，故C 错误， 对于选项D ：根据相等向量的概念知，故D 正确. 故选AD .19.【答案】CD; 【解析】此题主要考查了向量的基本概念，熟练掌握向量，零向量，平行向量，向量的模的概念是解答该题的关键，属于基础题.直接由向量、零向量、向量相等，向量的模和向量共线的概念逐一核对四个命题得答案．解：对于A ，时间没有方向，不是向量，故A 错误；对于B ，零向量的模为0，故B 错误；对于C ，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量，故C 正确；对于D ，根据零向量与任意向量共线，得到向量a →与b →不共线，则a →与b →都是非零向量，故D 正确．故选CD .20.【答案】ACD;【解析】解：若a →=b →,b →=c →，则一定a →=c →，∴A 正确；若a →与c →不平行，b →=0→，满足a →//b →,b →//c →，则得不出a →//c →，即B 错误；若xa →+yb →=0→,x,y ∈R,a →,b →不共线，则一定得出x =y =0，若x ，y 中有一个不为0，则可得出a →，b →共线，与已知不共线矛盾，∴C 正确；若|a →+b →|=|a →−b →|，则(a →+b →)2=(a →−b →)2，则a →·b →=0，从而得出|a →+b →|2=|a →|2+|b →|2，即D 正确．故选：ACD.A 显然正确；b →=0→时，可说明B 错误；根据平面向量基本定理即可说明C 正确；进行向量数量积的运算即可说明D 正确．此题主要考查了平面向量和共线向量基本定理，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．21.【答案】BC;【解析】解：∵PA →+2PB →+3PC →=0→，∴PA →+PC →+2(PB →+PC →)=0→，∵E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，∴2PE →+2×2PF →=0→，∴PE →=−2PF →，∴P 为FE 的三等分点(靠近点F)，即PE ：PF =2：1，故C 正确，D 错误，∴向量PA →与PC →不可能平行，故A 错误；当|AC →|=2|EP →|=43|EF →|=23|AB →|时，向量PA →与PC →垂直，B 正确．故选：BC.由题意并根据平面向量线性运算可知PE →=12(PA →+PC →)，PF →=12(PB →+PC →)，代入等式可得PE →=−2PF →，即可判断C 和D ；根据平面中的位置关系，可判断A 和B.本题考查平面向量的加法、减法和数乘运算及平面向量平行和垂直的判断，属中档题．22.【答案】解：（1）AB →=（x ，1），CD →=（4，x ），∵AB →与CD →共线，∴x 2-4=0，解得x=±2．∴当x=±2时，向量AB →与CD →共线．（2）取x=2时，A （2，0），B （4，1），C （2，2），D （6，4），直线AC ⊥x 轴，而点B ，D 不在直线AC 上，因此四点不共线．取x=-2时，A （-2，0），B （-4，1），C （2，-2），D （6，-4），直线AB 的方程为y-0=1−0−4−(−2)（x+2），化为：x+2y+2=0．点B ，D 满足直线AB 的方程，因此四点共线．;【解析】(1)AB →=(x,1)，CD →=(4,x)，利用向量共线定理解出x.(2)取x =2时，A(2,0)，B(4,1)，C(2,2)，D(6,4)，直线AC ⊥x 轴，而点B ，D 不在直线AC 上，即可判断出四点共线．取x =−2时，A(−2,0)，B(−4,1)，C(2,−2)，D(6,−4)，直线AB 的方程为：x +2y +2=0.验证点B ，D 是否满足直线AB 的方程，即可判断出结论．此题主要考查了向量共线定理、向量共线与直线平行的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】(1)证明：由题意知，在△DEB 中，BD =5，DE =3，BE =4，∴DE 2+BE 2=BD 2，∴△DEB 是直角三角形，∠DEB =90∘.又∵点C 为半圆上一点，∴∠ACB =90∘.∴AC//DE ，故AC →//DE →.(2)解：由AC//DE 知△ABC ∽△DBE.∴AC DE =AB BD ，即AC 3=65.∴AC =185，即|AC →|=185.;【解析】本题考查向量的概念及几何表示、平行向量的概念以及向量的模，属于基础题.(1)根据勾股定理可得DE ⊥BE ，因为AC ⊥BC ，故可得AC →//DE →；(2)由三角形相似得相似比，从而可求出答案.24.【答案】略;【解析】DE →=AF →=FC →；EF →=BD →=DA →；FD →=CE →=EB →.25.【答案】解：（Ⅰ）∵m →∥n →，∴asinB −√3bcosA =0，∴根据正弦定理得，sinAsinB −√3sinBcosA =0，且sinB ＞0，∴sinA =√3cosA ，tanA =√3，且A ∈（0，π），∴A =π3；（Ⅱ）∵cosB =√217，∴sinB =2√77，且C =2π3−B ， ∴sinC =sin(2π3−B)=√32×√217+12×2√77=5√714，且c=5， ∴根据正弦定理得，c sinC =b sinB ，即5√714=2√77，解得b=4，∴根据余弦定理得，a 2=b 2+c 2-2bccosA=16+25-2×4×5×12=21，∴a =√21．;【解析】(Ⅰ)根据m →//n →即可得出asinB −√3bcosA =0，然后根据正弦定理即可得出sinA =√3cosA ，然后即可求出A =π3；(Ⅰ)可先求出sinB =2√77，sinC =5√714，然后根据正弦定理可求出b 的值，进而根据余弦定理可求出a 的值．本题考查了平行向量的坐标关系，正余弦定理，两角差的正弦公式，考查了计算能力，属于中档题．。

1、下列说法正确的是（ ）A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小.B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.C 、向量的大小与方向有关.D 、向量的模可以比较大小.2、给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若||||a b =r r ，则a b =r r ；③若AB DC =u u u r u u u r ，则四边形ABCD 是平行四边形；④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =u u u r u u u r ；⑤若m n =u r r ，n k =r r ，则m k =u r r ；⑥a b r r P ，b c r r P ，则a c r r P .其中不正确的命题的个数为（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个3、设O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO BO OC OD u u u r u u u r u u u r u u u r 是（ ）A 、相等的向量B 、平行的向量C 、有相同起点的向量D 、模相等的向量4、判断下列各命题的真假：（1）向量AB u u u r 的长度与向量BA u u u r 的长度相等；（2）向量a r 与向量b r 平行，则a r 与b r 的方向相同或相反；（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量AB u u u r 和向量CD uuu r 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个5、若a r 为任一非零向量，b r 为模为1的向量，下列各式：①|a r |＞|b r | ②a r ∥b r ③|a r |＞0 ④|b r |＝±1，其中正确的是（ ）A 、①④B 、③C 、①②③D 、②③6、下列命中，正确的是（ ）A 、|a r |＝|b r |⇒a r ＝b rB 、|a r |＞|b r |⇒a r ＞b rC 、a r ＝b r ⇒a r ∥b rD 、｜a r ｜＝0⇒a r ＝07、下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个8、平行向量是否一定方向相同？9、不相等的向量是否一定不平行？10、与零向量相等的向量必定是什么向量？11、与任意向量都平行的向量是什么向量？12、若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？14、如图所示，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，（1）找出图中与AB u u u r 共线的向量；（2）找出图中与AB u u u r 相等的向量；（3）找出图中与｜AB u u u r ｜相等的向量；（4）找出图中与EC u u u r 相等的向量.A B15、如图，O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中：分别写出与,AO BO u u u r u u u r 相等的向量；写出与AO u u u r 共线的向量；（3）写出与AO u u u r 模相等的向量；（4）向量AO u u u r 与CO uuu r 是否相等？1、下列各量中不是向量的是（ ）A 、浮力B 、风速C 、位移D 、密度2、下列说法中错误．．的是（ ）A 、零向量是没有方向的B 、零向量的长度为0C 、零向量与任一向量平行D 、零向量的方向是任意的3、把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（） A 、一条线段B 、一段圆弧C 、圆上一群孤立点 D 、一个单位圆4、在△ABC 中,AB=AC,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则（ ）A 、 AB 与AC 共线 B 、 DE 与CB 共线C 、 AD 与AE 相等 D 、 AD 与BD 相等5、下列命题正确的是（ ）A 、向量AB 与BA 是两平行向量B 、若a 、b 都是单位向量,则a =bC 、若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形D 、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 DE A BFCO6、在下列结论中,正确的结论为（）(1)a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件(2)a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件(3)a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件(4)a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件A、(1)(3)B、(2)(4)C、(3)(4)D、(1)(3)(4)7、“两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的条件、8、已知非零向量a∥b,若非零向量c∥a,则c与b必定、9、已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c与a共线,则c与b必定10、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ;若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是11、已知|AB|=1,| AC|=2,若∠BAC=60°,则|BC|=12、在四边形ABCD中, AB=DC,且|AB|=|AD|,则四边形ABCD是13、设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证：KL =NM14、某人从A点出发向西走了200m到达B点,然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点,最后又改变方向,向东走了200m到达D点(1)作出向量AB、BC、CD (1 cm表示200 m)(2)求DA的模15、如图,已知四边形ABCD是矩形,设点集M={A、B、C、D},求集合T={PQ、Q∈M,且P、Q不重合}。

高一数学平面向量的概念试题答案及解析1.已知向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，则向量表示（）A．向东南航行km B．向东南航行2kmC．向东北航行km D．向东北航行2km【答案】A【解析】根据题意由于向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，那么可知向量表示向东南航行km ，故选A.【考点】向量的物理意义点评：主要是考查了向量的物理意义的运用，属于基础题。

2.在平行四边形ABCD中, + +等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】结合图形，+ += + += ，故选A。

【考点】本题主要考查平面向量的线性运算。

点评：简单题，在平行四边形中，由平行四边形法则。

注意相等向量及相反向量。

3.已知点，向量，且，则点的坐标为。

【答案】【解析】设点的坐标为（x,y）,则由得，（x-2,y-4）=2(3,4),所以x-2=6,y-4=8，所以x=8,y=12，即点的坐标为。

【考点】本题主要考查平面向量的概念及其坐标运算。

点评：简单题，注意若A（a,b）,B(c,d),则。

4.作用于原点的两个力F1 ="(1,1)" ,F2 ="(2,3)" ,为使得它们平衡，需加力F3=【答案】(-3,-4)【解析】F3=-(F1+F2)=-(3,4)=(-3,-4).5.下列判断正确的是 ( )A．若向量与是共线向量，则A,B,C,D四点共线；B．单位向量都相等；C．共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；D．模为0的向量的方向是不确定的。

【答案】D【解析】解：因为A.若向量与是共线向量，则A,B,C,D四点共线；可能构成四边形。

B.单位向量都相等；方向不一样。

C.共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；不一定。

D.模为0的向量的方向是不确定的，成立6.下列命题中正确的是（）A．若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合.B．模相等的两个平行向量是相等向量.C．若和都是单位向量,则.D．两个相等向量的模相等.【答案】D【解析】根据向量相等的定义易知两个相等向量的模相等，故选D相等向量只需要模相同，方向相同，所以（1）错；模相等的平行向量有可能方向相反，所以（2）错；都是单位向量，向量的模不一定相同，所以两个向量不一定相等，所以（3）错；相等向量是模相同，方向相同的向量，所以（4）对．解：对于（1），相等向量只需要模相同，方向相同，所以（1）错；对于（2）模相等的平行向量有可能方向相反，所以（2）错；对于（3），都是单位向量，向量的模不一定相同，所以两个向量不一定相等，所以（3）错；对于（4），相等向量是模相同，方向相同的向量，所以（4）对．故选C7.给出下列命题：①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②两个单位向量是相等向量；③若, ,则；④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；⑤若,则。

专题6.1 平面向量的概念知识储备一 向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.二 向量的几何表示1.有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB ，线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长度记作|AB |.2.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a ，b ，c ，…表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用c b a ,,).3.模、零向量、单位向量 向量AB 的大小，称为向量AB 的长度(或称模)，记作|AB |.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.思考 “向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？答案 错误.理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.三 相等向量与共线向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.(1)记法：向量a 与b 平行，记作a ∥b .(2)规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.思考 (1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)与任意向量都平行的向量是什么向量？(4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？答案 (1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量.能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若a b ≠，则a b →→≠；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】由相等向量的定义知（1）正确；平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错， 所以正确答案只有一个．故选B ．2．下列命题正确的是（ ）A ．若||0a =，则0a =B ．若||||a b =，则a b =C ．若||||a b =，则//a bD ．若//a b ，则a b =【答案】A 【解析】模为零的向量是零向量，所以A 项正确；||||a b =时，只说明向,a b 的长度相等，无法确定方向，所以B ，C 均错；a b 时，只说明,a b 方向相同或相反，没有长度关系，不能确定相等，所以D 错.故选A.3．若非零向量a 和b 互为相反向量，则下列说法中错误是（ ）A ．//a bB ．a b ≠C ．a b ≠D ．a b =-【答案】C 【解析】由平行向量的定义可知A 项正确；因为a 和b 的方向相反，所以a b ≠，故B 项正确；由相反向量的定义可知a b =-，故选项D 正确；由相反向量的定义知a b =，故C 项错误.故选C.4．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与BC 相等的向量为（ ）A ．BAB ．CDC ．AD D ．OD【答案】D 【解析】根据图形看出，四边形BCDO 是平行四边形//,BC OD BC OD ∴=BC OD ∴=故选：D 5．若向量a 与向量b 不相等，则a 与b 一定（ ）A ．不共线B ．长度不相等C ．不都是单位向量D ．不都是零向量 【答案】D 【解析】向量a 与向量b 不相等，它们有可能共线、有可能长度相等、有可能都是单位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即选项A 、B 、C 错误，D 正确.故选：D.6．下列说法错误的是（ ）A ．若非零向量a b c ，，有//a b ，//b c ，则//a cB ．零向量与任意向量平行C ．已知向量a b ，不共线，且//a c ，//b c ，则0c =D ．平行四边形ABCD 中，AB CD =【答案】D【解析】选项A ：因为a b c ，，都不是零向量，所以由//a b ，可知向量a 与向量b 具有相同或相反方向.又由//b c ，可得向量c 与向量b 具有相同或相反方向，所以向量a 与向量c 具有相同或相反方向，故//a c ，故本说法是正确的；选项B ：零向量与任意向量平行这是数学规定，故本说法是正确的；选项C ：由//a c ，//b c ，可知：c 与向量a 具有相同或相反方向，c 与向量b 具有相同或相反方向，但是向量a b ，不共线，所以0c ，故本说法是正确的；选项D ：平行四边形ABCD 中，应该有AB DC =，故本说法是错误的.故选：D7．a ，b 为非零向量，且a b a b +=+，则（ ）A ．a ，b 同向B ．a ，b 反向C ．a b =-D ．a ，b 无论什么关系均可【答案】A 【解析】当两个非零向量a 与b 不共线时,a b +的方向与a ,b 的方向都不相同,且a b a b +<+；当向量a 与b 同向时,a b +的方向与a ,b 的方向都相同,且a b a b +=+； 当向量a 与b 反向且a b <时,a b +的方向与b 的方向相同（与a 的方向相反）,且a b b a +=-, 故选:A8．如图是34⨯的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与AB的向量共有( )A．12个B．18个C．24个D．36个【答案】C⨯的格点图中【解析】由题意知，每个小正方形的对角线与AB34包含12个小正方形，所以有12条对角线，与AB平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24个向量满足.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

6.1平面向量的概念——精选题目练习1．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a|a|. A ．3 B ．2 C ．1D ．02．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a|>|b|，则a>bD ．单位向量的长度为13．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A.AB→＝OC → B.AB →∥DE → C ．|AD→|＝|BE →| D.AD→＝FC → 4．设O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是( )A ．相等向量B ．模相等的向量C ．平行向量D ．起点相同的向量5．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b ，其中正确的有( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________．7．如果在一个边长为5的正△ABC 中，一个向量所对应的有向线段为AD →(其中D 在边BC 上运动)，则向量AD→长度的最小值为________． 8．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．9.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，BC 的中点，如图．(1)在每两点所确定的向量中，写出与向量FC →共线的向量；(2)求证：BE→＝FD →. 10．已知在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，求AD →与BC →分别满足什么条件时，四边形ABCD 满足下列情况．(1)四边形ABCD 是等腰梯形； (2)四边形ABCD 是平行四边形．答案：DDDBB 2 532 0⃗ 9.(1)由共线向量满足的条件得与向量FC →共线的向量有：CF →，BC →，CB →，BF →，FB→，ED →，DE →，AE →，EA →，AD →，DA →. 在▱ABCD 中，AD //BC 且.AD =BC 又E ，F 分别为AD ，BC 的中点， 所以ED //BF ，ED =BF所以四边形BFDE 是平行四边形， 所以BE //FD ，BE =FD 所以BE→＝FD →.10.解：(1)|AD →|＝|BC →|，且AD →与BC →不平行．因为AB→∥CD →，所以四边形ABCD 为梯形或平行四边形．若四边形ABCD 为等腰梯形，则|AD→|＝|BC →|，同时两向量不平行．(2)AD→＝BC →(或AD →∥BC →)． 若AD →＝BC →，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD 为平行四边形．。

§2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、选择题1．下列物理量中，不能称为向量的是（）A．质量B．速度C．位移D．力2．设O是正方形ABCD的中心，向量AO OB CO OD、、、是（）A．平行向量B．有相同终点的向量C．相等向量D．模相等的向量3．下列命题中，正确的是（）A．|a| = |b|⇒a = b B．|a|> |b|⇒a > b C．a = b⇒a与b共线D．|a| = 0⇒a = 0 4．在下列说法中，正确的是（）A．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同;B．模为0的向量与任一非零向量平行;C．向量就是有向线段;D．若|a|=|b|，则a=b5．下列各说法中，其中错误的个数为（）（1）向量AB的长度与向量BA的长度相等;（2）两个非零向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反;（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量;（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量;（5）平行向量就是向量所在直线平行A．2个B．3个C．4个D．5个6．△ABC中，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段所表示的向量中，与EF共线的向量有（）A．2个B．3个C．6个D．7个二、填空题7．在(1)平行向量一定相等；(2)不相等的向量一定不平行；(3)共线向量一定相等；(4)相等向量一定共线；(5)长度相等的向量是相等向量；(6)平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的是__________．8．如图，O是正方形ABCD的对角线的交点，四边形OAED、OCFB是正方形，在图中所示的向量中，（1）与AO相等的向量有_________________________；（3）与AO模相等的向量有_______________________；（4）向量AO与CO是否相等？答：_______________．9．O 是正六边形ABCDEF 的中心，且AO =a ，OB =b ，AB =c ，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 为端点的向量中：（1）与a 相等的向量有 ；（2）与b 相等的向量有 ；（3）与c 相等的向量有 ．10．下列说法中正确是_______________（写序号）（1）若a 与b 是平行向量，则a 与b 方向相同或相反；（2）若AB 与CD 共线，则点A 、B 、C 、D 共线；（3）四边形ABCD 为平行四边形，则AB =CD ；（4）若a = b ，b = c ，则a = c ； （5）四边形ABCD 中，AB DC =且||||AB AD =，则四边形ABCD 为正方形；（6）a 与b 方向相同且|a | = |b |与a = b 是一致的；三、解答题11．如图，以1×3方格纸中两个不同的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？12．在如图所示的向量a 、b 、c 、d 、e 中（小正方形边长为1）是否存在共线向量？相等向量？模相等的向量？若存在，请一一举出．13．某人从A 点出发向西走了200m 达到B 点，然后改变方向向西偏北600走了450m 到达C 点，最后又改变方向向东走了200m 到达D 点（1）作出向量AB 、BC 、CD （1cm 表示200m ）；（2）求DA 的模．14．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时它位于A 点，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来；若它位于图中的P 点，则这只“马”第一步有几种可能的走法？它能否走若干步从A 点走到与它相邻的B 点处？ O A B C D E F。

6.1 平面向量的概念(精练)【题组一向量与数量的区别】1．(2021·江苏·泰兴市第三高级中学高一月考)给出下列量：①角度；①温度；①海拔；①弹力；①风速；①加速度．其中是向量的有( )A．2个B．2个C．4个D．5个【答案】B【解析】根据题意，在①角度、①温度、①海拔、①弹力、①风速、①加速度中，是向量的有①弹力、①风速、①加速度，有3个，故选：B．2．(2021·浙江·高一课时练习)下列各量中是向量的是( )A．时间B．速度C．面积D．长度【答案】B【解析】既有大小，又有方向的量叫做向量；时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量．而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．故选：B．3．(2021·全国·高一课时练习)给出下列物理量:①密度；①路程；①速度；①质量；①功；①位移.下列说法正确的是A．①①①是数量，①①①是向量B．①①①是数量，①①①是向量C．①①是数量，①①①①是向量D．①①①①是数量，①①是向量【答案】D【解析】由物理知识可知，密度，路程，质量，功只有大小，没有方向，因此是数量而速度，位移既有大小又有方向，因此是向量.故选：D4．(2021·上海·高一课时练习)下列各量中，哪些是向量(即矢量)，哪些是数量(即标量)？(1)密度(2)体积(3)电阻(4)推进力(5)长度(6)加速度向量：__________；数量：____________.(填写相应编号).【答案】(4)(6) (1)(2)(3)(5)【解析】密度、体积、电阻、长度都是只有大小没有方向的量，是数量；推进力、加速度是既有大小又有方向的量，是向量.故答案为：(4)(6)；(1)(2)(3)(5).【题组二 向量的几何表示】1．(2021·全国·高一课时练习)一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去.(1)按1①100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零；(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？【答案】见解析.【解析】(1)如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；(2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零．按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180α︒-的正多边形，由多边形的内角和定理可得(180)(2)180n n α︒-=-⋅︒， 解得360nα︒=，且3,*n n N ≥∈．故α应满足的条件为360nα︒=，且3,*n n N≥∈．2．(2021·全国·高一课时练习)如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且5AC=.(1)画出所有的向量AC；(2)求BC的最大值与最小值．【答案】(1)见解析；(2)【解析】(1)画出所有的向量AC，如图所示：(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，|BC|①当点C位于点C5或C6时，|BC|所以|BC|3(2021·全国·高一课时练习)在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a．(1)试以B为起点画一个向量b，使=b a；(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析．【解析】(1)根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如下图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如下图所示．4．(2021·江苏·高一课时练习)在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为起点画一个向量b，使b a=；c=，并说出向量c的终点的轨迹是什么？(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使5【答案】(1)作图见解析；(2)向量c的终点的轨迹是以A.【解析】(1)由题意，B为起点画一个向量b，使b a=，如图所示.c=，则向量c的终点表示以A(2)因为5【题组三向量相关概念的辨析】1．(2021·湖南·武广实验高级中学高一期末)下列四个命题正确的是( )A．两个单位向量一定相等B．若a与b不共线，则a与b都是非零向量C．共线的单位向量必相等D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同【答案】B【解析】两个单位向量一定相等错误，可能方向不同；若a与b不共线，则a与b都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线；共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量；两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移．故选：B．2．(2021·全国·高一课时练习)下列关于向量的描述正确的是A ．若向量a ，b 都是单位向量，则a b =B ．若向量a ，b 都是单位向量，则1a b ⋅=C ．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量D ．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆【答案】D【解析】对于选项A ：向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为1，方向不定，故向量a 和b 不一定相同，故选项A 错误；对于选项B ：因为cos cos a b a b θθ⋅=⋅⋅=，由[]cos 1,1θ∈-知，1a b ⋅=不一定成立，故选项B 错误； 对于选项C ：任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C 错误；对于选项D ：因为所有单位向量的模为1，且共起点，所以所有单位向量的终点在半径为1的圆周上，故选项D 正确；故选：D.3．(2021·广西·田东中学)下列命题中，正确的个数是( ) ①单位向量都相等；①模相等的两个平行向量是相等向量；①若a →，b →满足a b →→>且a →与b →同向，则a b →→>； ①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；①若a →①,b b →→①c →，则b →①c →．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】A【解析】对于①，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，故①错误；对于①，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故①错误；对于①，向量是有方向的量，不能比较大小，故①错误；对于①，向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故①错误；对于①，0b →→=时，若a b b c →→→→∥，∥，则a →与c →不一定平行．综上，以上正确的命题个数是0．故选：A．4．(2021·全国·高一课时练习)下列说法中，正确的个数是( )①时间、摩擦力、重力都是向量；①向量的模是一个正实数；①相等向量一定是平行向量；①向量a→与b→不共线，则a→与b→都是非零向量( )A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】①时间没有方向，不是向量，摩擦力，重力都是向量，故①错误；①零向量的模为零，故①错；①相等向量的方向相同，模相等，所以一定是平行向量，故①正确；①零向量与任意向量都共线，因此若向量a→与b→不共线，则a→与b→都是非零向量，即①正确.故选：B.5．(2021·全国·高一课时练习)下列命题中正确的个数是①向量就是有向线段①零向量是没有方向的向量①零向量的方向是任意的①任何向量的模都是正实数A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来，故①错；零向量有方向，其方向是任意的，故①错，①正确；零向量的模等于0，故①错.故选：B.6．(2021·江苏·高一)下列各说法:①有向线段就是向量,向量就是有向线段;①向量的大小与方向有关;①任意两个零向量方向相同;①模相等的两个平行向量是相等向量.其中正确的有A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】有向线段是向量的几何表示,二者并不相同,故①错误;①向量不能比较大小,故①错误;①由零向量方向的任意性知①错误;①向量相等是向量模相等,且方向相同,故①错误.故选：A.7．(2021·全国·高一课时练习)下列说法中，正确的是( )①长度为0的向量都是零向量；①零向量的方向都是相同的；①单位向量都是同方向；①任意向量与零向量都共线．A．①①B．①①C．①①D．①①【答案】D【解析】①长度为0的向量都是零向量，正确；①零向量的方向任意，故错误；①单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；①任意向量与零向量都共线，正确；故选：D8．(2021·全国·高一课时练习)下列命题中正确的个数有( )①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；①单位向量都相等；①任一向量与它的相反向量不相等；①共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．A．0B．1C．2D．3【答案】AAB CD，或A,B，C，D在同条直线上，故①错误；【解析】对于①，若向向量AB与CD是共线向量，则//对于①，因为单位向量的模相等，但是它们的方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故①错误；对于①，相等向量的定义是方向相同模相等的向量为相等向量，而零向量的相反向量是零向量，因为零向量的方向是不确定的，可以是任意方向，所以相等，故①错误；对于①，比如共线的向量AC与BC(A,B,C在一条直线上)起点不同，则终点相同，故①错误.故选：A．【题组四相等向量与平行向量】1．(2021·全国·高一课时练习)下图中与向量a相等的向量是( )A．b，c，e，f B．c，f C．f D．c【答案】D【解析】由相等向量的定义可知：两个向量的长度要相等，方向要相同，结合图形可知c满足条件，故选：D2．(2021·全国·高一课时练习)如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与CA共线的向量有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】由图可知，根据正六边形的性质，与CA共线的有AC，DF，FD，共3个，故选：C.3．(2021·全国·高一课时练习)如图，四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形，已知下列说法:①AE AB AD CD CB DE，，，，，都是单位向量;①AB①DE DE，①DC①与AB相等的向量有3个;①与AE共线的向量有3个;①与向量DC大小相等、方向相反的向量为DE CD BA，，.其中正确的是____.(填序号)【答案】①①①①【解析】①由两菱形的边长都为1，故①正确;①正确;①与AB 相等的向量是ED DC ，，故①错误;①与AE 共线的向量是EA BD DB ，，，故①正确;①正确.故答案为：①①①①4．(2021·上海·高一课时练习)如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，2AD =，11AA =，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．(1)单位向量共有______个；(2)______；(3)与AB 相等的向量有______；(4)1AA 的相反向量有______．【答案】8 1AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1BC 、1C B 、1B C 、1CB 11A B 、DC 、11DC 1A A 、1B B 、1C C 、1D D【解析】(1)由图可知，11111AA BB CC DD ====，所以单位向量有428⨯=个；(2)由图可知，1111A D AD BC BC ====1AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1BC 、1C B 、1B C 、1CB ；(3)由图可知，1111AB DC A B D C ===，所以与AB 相等的向量有：11A B 、DC 、11DC ；(4)由图可知，11111AA BB CC DD ====，所以1AA 的相反向量有：1A A 、1B B 、1C C 、1D D ； 故答案为：8；1AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1BC 、1C B 、1B C 、1CB ；11A B 、DC 、11DC ；1A A 、1B B 、1C C 、1D D .5．(2021·全国·高一课时练习)O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在如图所示的向量中：(1)分别找出与AO ，BO 相等的向量；(2)找出与AO 共线的向量；(3)找出与AO 模相等的向量；(4)向量AO 与CO 是否相等？【答案】(1)AO BF =，BO AE =；(2)BF ，CO ，DE ；(3)CO ，DO ，BO ，BF ，CF ，CO ，DE ；(4)不相等．【解析】因为O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形， 所以OA AE OD DE OC CF BF BO =======，AB CD BC AD ===；(1)由题中图形可得：AO BF =，BO AE =；(2)由图形可得，与AO 共线的向量有：BF ，CO ，DE ；(3)与AO 模相等的向量有：CO ，DO ，BO ，BF ，CF ，CO ，DE ；(4)向量AO 与CO 不相等，因为它们的方向不相同．6．(2021·全国·高一课时练习)如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c .(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a ，b ，c .相等的向量．【答案】(1)OD ，BC ，AO ，FE .(2)EF ，BC ，OD ，FE ，CB ，DO ，AO ，DA ，AD .(3)与a 相等的向量有EF ，DO ，CB ；与b 相等的向量有DC ，EO ，FA ；与c 相等的向量有FO ，ED ，AB .【解析】(1)因为正六边形中各线段长度都相等，且方向相反的有：OD，BC，AO，FE.(2)由共线向量定理得：EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.与a共线.(3)由相等向量的定义得：与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，FA；与c 相等的向量有FO，ED，AB.。

高一数学（必修二）平面向量的概念及其应用练习题及答案一、单选题1．下列说法错误的是（ ） A ．向量CD 与向量DC 长度相等 B ．单位向量都相等C ．0的长度为0，且方向是任意的D ．任一非零向量都可以平行移动2．设e 是单位向量，3AB e =，3CD e =-，3AD =，则四边形ABCD 是（ ） A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形3．已知向量,a b 满足2π1,2,,3a b a b ===，则()a ab ⋅+=（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．24．已知向量a ，b 满足1a b ==，23a b +=，则向量a ，b 的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．1505．如图，D 是AB 上靠近B 的四等分点，E 是AC 上靠近A 的四等分点，F 是DE 的中点，设AB a =，AC b =，则AF =（ ）A ．344a b - B ．344a b + C ．388a b + D ．388a b - 6．已知向量a ＝（－1，2），b ＝（3，m ），m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥()a b +”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知45A =︒，2a =，2b =B 的大小为（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．30︒或150︒D ．60︒或120︒8．已知平面四边形ABCD 满足13AD BC =，平面内点E 满足52BE CE =，CD 与AE 交于点M ，若BM x AB y AD =+，则yx等于（ ） A ．52B ．52-C ．43D ．43-二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．a 与b 是非零向量，则a 与b 同向是a b =的必要不充分条件B ．,,A BC 是互不重合的三点，若AB 与BC 共线，则,,A B C 三点在同一条直线上 C ．a 与b 是非零向量，若a 与b 同向，则a 与b -反向D ．设,λμ为实数，若a b λμ=，则a 与b 共线10．在ABC 中，已知π32A C ==，3CD DB =，则（ ） A ．+AB AC BC = B ．2AC AD = C ．13+44AD AB AC =D ．AD BC ⊥11．已知向量()()()1,3,2,,a b y a b a ==+⊥，则（ ） A ．()2,3b =- B ．向量,a b 的夹角为3π4C ．172a b +=D ．a 在b 方向上的投影向量是1,212．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，下列说法中正确的是（ ） A ．“ABC 为锐角三角形”是“sin cos A B >”的充分不必要条件 B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形 C ．命题“若A B >，则sin sin A B >”是真命题D ．若8a =，10c =，π3B =，则符合条件的ABC 有两个三、填空题13．P 在线段12PP 的反向延长线上（不包括端点），且12PP PP λ=，则实数λ的取值范围是___________.14．已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，若3BC DE =，且F 为BC 的中点，则EA EF ⋅=______． 15．已知||1a =，()1,3b =，()b a a +⊥，则向量a 与向量b 的夹角为______．16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b sin A =2c sin B ，cos B =14，b =3，则△ABC 的面积为________．四、解答题17．设1e ，2e 是两个不共线的向量，如果1232AB e e =-，124BC e e =+，1289CD e e =-. (1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定λ的值，使122e e λ+和12e e λ+共线； (3)若12e e λ+与12e e λ+不共线，试求λ的取值范围.18．化简：(1)()()532423a b b a -+-； (2)()()()111232342a b a b a b -----；(3)()()x y a x y a +--．19．已知4a =，2b =，且a 与b 夹角为120°，求： (1)2a b -；(2)a 与a b +的夹角；(3)若向量2a b λ-与3a b λ-平行，求实数λ的值．20．如图，在菱形ABCD 中，1,22CF CD CE EB ==.(1)若EF xAB y AD =+，求23x y +的值； (2)若6,60AB BAD ∠==，求AC EF ⋅.21．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =a c <，且ππ1sin cos 364A A ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)求A 的大小；(2)若sin sin 43sin a A c C B +=，求ABC 的面积．22．已知：a 、b 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =． (1)若5||2b =且a b +与b 垂直，求a 与b 的夹角θ ； (2)若()1,1b =且a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．参考答案1．B 2．B 3．C 4．C 5．C 6．A 7．A 8．B 9．ABC 10．ABD 11．BD 12．AC 13．()1,0- 14．409 15．2π31691517．（1）证明：因为()121212124891284324BD BC CD e e e e e e e e AB=+=++-=-=-=，所以AB 与BD 共线.因为AB 与BD 有公共点B ， 所以A ，B ，D 三点共线.（2）因为122e e λ+与12e e λ+共线， 所以存在实数μ，使()12122e e e e λλμ=++. 因为1e ，2e 不共线，所以2,1,λμλμ=⎧⎨=⎩所以22λ=±. （3）假设12e e λ+与12e e λ+共线，则存在实数m ，使()1212e e m e e λλ+=+.因为1e ，2e 不共线，所以1,,m m λλ=⎧⎨=⎩所以1λ=±.因为12e e λ+与12e e λ+不共线， 所以1λ≠±.18．（1）()()()()532423*********a b b a a a b b a b -+-=-+-+=-. （2）()()()111131211232342342322a b a b a b a a a b b b ⎛⎫⎛⎫-----=--+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111123a b =-+.（3）()()()()2x y a x y a xa xa ya ya ya +--=-++=. 19．（1）解：因为()2224246844164a b a a b b -⋅+=-=++=，所以2221a b -=（2）因为()2222168412a b a a b b +=+⋅+=-+=，所以23a b +=，又()216412a b a a a b ⋅=+=-+⋅=， 所以()123cos ,43a ab a a b a a b⋅+<+>===⨯+ 所以a 与a b +的夹角为6π．（3）因为向量2a b λ-与3a b λ-平行， 所以()233a b k a b k a kb λλλ-=-=-， 因为向量a 与b 不共线，所以23k kλλ=⎧⎨=⎩，解得6λ=±20．（1）因为1122CF CD AB ==-，2CE EB =所以2233EC BC AD ==，所以21213232EF EC CF BC CD AD AB =+=+=-， 所以12,23x y =-=， 故231x y +=.（2）AC AB AD =+，()221211223263AC EF AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫∴⋅=+⋅-+=-+⋅+ ⎪⎝⎭，ABCD 为菱形，||||6,60AD AB BAD ∠∴===，所以66cos6018AB AD ⋅=⨯⨯=，2211261869263AC EF ∴⋅=-⨯+⨯+⨯=.21．（1）πππππ2sin cos cos cos 3636A A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2πcos 21π13cos 624A A ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=+== ⎪⎝⎭，∴π31cos 22A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为0πA <<，得ππ7π2333A <+<，所以π2π233A +=或4323ππA +=，解得π6A =或π2A =，因为a c <，得π2A <，∴π6A =． （2）由（1）知，6A π=，sin sin 43sin a A c C B +=，由正弦定理，得22312a c b +==，由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-⋅，即22312323c c c -=+-， 整理，得22390c c --=，由0c >得3c =， 所以11133sin 33222ABC S bc A ==⨯=△ 22．（1）解：由()a b b +⊥得()0a b b +⋅=，即2+0a b b ⋅= ，所以254a b b ⋅=-=-，得514cos 2552a b a bθ-⋅===-⋅⨯，又[]0,πθ∈，所以2π3θ=； （2）解：因为()1,2a =，()1,1b =，所以()()()1,21,11,2a b λλλλ+=+=++ 所以()0a a b λ⋅+>，则512403λλλ+++>⇒>-， 由//a a b λ+得0λ=，由与a 与a b λ+的夹角为锐角，所以5,0(0,)3λ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭。

平面向量
一、 平面向量的线性运算
1. 基础概念
（1）相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量． （2）平行向量：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．
向量 平行于向量 ，记作 // ． （3）零向量：长度等于零的向量，叫做零向量，记作： .
零向量的方向不确定，零向量与任意向量平行．
B.
C.
的两条对角线相交于点 ，且
D.
，则
（ ）．
A. B. C. D.
3. 两个定理
（1）平面向量基本定理：如果 和 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量 ，
存在唯一的一对实数 ， ，使
．
（2）平面向量的三点共线定理：若 、 、 三点共线，则
，且
．
经典例题 7. 如图，在
中，点 为线段 上靠近点 的三等分点，点 在 ，则实数 的值为（ ）．
C. 若
，则
D. 若
，则 与 的夹角为
，则（ ）．
25. 如图，在矩形
中，
，
，点 为
，则
的值是（ ）．
的中点，点 在边
上，若
8
A.
B.
C.
D.
巩固练习
26. 已知向量
，
，
，若
，则实数
．
27. 已知向量 A.
， B.
，若
，则实数 的值为（ ）．
C.
D.
28. 设向量
，
，且
，则
．
29. 已知
为等腰直角三角形，
经典例题
1. 下列命题：
①平行向量一定相等；
②不相等的向量一定不平行；
③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；

练习11 平面向量的概念一、单选题1．给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度.其中是向量的有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】A【解析】【分析】根据向量的定义即可判断；【详解】解：速度、位移、力、加速度4个物理量是向量，它们都有大小和方向.故选：A【点睛】本题考查向量的定义的理解，属于基础题.2．下列各说法:①有向线段就是向量,向量就是有向线段;②向量的大小与方向有关;③任意两个零向量方向相同;④模相等的两个平行向量是相等向量.其中正确的有( )A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【分析】根据向量的基本概念分析即可.【详解】有向线段是向量的几何表示,二者并不相同,故①错误;②向量不能比较大小,故②错误;③由零向量方向的任意性知③错误;④向量相等是向量模相等,且方向相同,故④错误.故选：A.【点睛】本题主要考查了向量中的基本概念,属于基础题型.3．如图，在O中，向量,,OB OC AO是（）A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等向量【答案】C【分析】向量是既有大小又有方向的量，通过大小和方向两个方面逐一判断即可.【详解】解：,,OB OC AO起点并不全相同，故A错误；,,OB OC AO的方向均不相同，也不相反，故BD 错误；||||||OB OC AO===圆的半径，故C正确，故选C．【点睛】本题考查向量的概念，是基础题.4．下列说法正确的是( )A．有向线段AB与BA表示同一向量B．两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向量C．零向量与单位向量是平行向量D．对任一向量a，aa是一个单位向量【答案】C【分析】由平面向量的定义、平行向量及单位向量的可依次对选项判断.【详解】对于选项A，向量AB与BA方向相反，不是同一向量，故选项A错误；对于选项B ，有公共终点的有向线段的方向不一定相同或相反，故B 错误；对于选项C ，零向量与任意向量都是平行向量，故C 正确；对于选项D ，当0a =时，a a 无意义，故D 错误. 故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的定义与平行向量的应用，属于基础题．二、多选题5．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）A ．AB DC =B ．AB DC = C ．AB DC >D ．BC AD ∥【答案】BD【分析】 根据向量的模及共线向量的定义解答即可；【详解】解：AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误；AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C 错误；等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行，所以//BC AD ，故D 正确；故选：BD .【点睛】本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.6．下列说法正确的是（ ）A ．长度相等的向量是相等向量B ．若a b =，b c =，则a c =C．共线向量是在一条直线上的向量D．向量AB与CD共线是A，B，C，D四点共线的必要不充分条件【答案】BD【分析】根据向量的相关概念判断可得.【详解】解：相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故A说法错误；B说法显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故C说法错误；A，B，C，D四点共线⇒向量AB与CD共线，反之不成立，所以向量AB与CD共线是A，B，C，D四点共线的必要不充分条件，故D说法正确.故选：BD【点睛】本题考查向量的相关概念的理解，相等向量、共线向量，属于基础题.三、填空题7．下列结论正确的序号是_______.=；①若a，b都是单位向量，则a b②物理学中作用力与反作用力是一对共线向量；③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量；④直角坐标平面上的x轴，y轴都是向量.【答案】②③【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析、判断正误即可．【详解】解：对于①，a，b都是单位向量，则不一定有a b=，①错误；对于②，物理学中的作用力与反作用力大小相等，方向相反，是一对共线向量，②正确；对于③，如图所示，方向为南偏西60︒的向量与北偏东60︒的向量在一条直线上，是共线向量，③正确；对于④，直角坐标平面上的x 轴、y 轴只有方向，没有大小，不是向量，④错误；综上，正确的命题序号是②③．故答案为：②③．【点睛】本题通过命题真假的判断考查了平面向量的概念与应用问题，属于基础题．8．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O ，则这些向量的终点构成的图形的面积等于__________.【答案】3π【解析】【分析】本题首先可以通过题意确定向量的终点构成的图形的形状，然后根据圆的面积公式即可得出结果．【详解】由题意可知，这些向量的终点构成的图形是一个圆环，圆环的小圆半径为1，圆环的大圆半径为2，所以圆环的面积为22213πππ⨯-⨯=，故答案为3π．【点睛】本题考查向量的定义的应用，考查圆的面积公式的使用，向量是有方向和大小的量，考查推理能力与运算能力，是简单题．四、解答题9．如图的方格由若干个边长为1的小正方形组成，方格中有定点A ，点C 为小正方形的顶点，且5AC =，画出所有的向量AC.【答案】见解析【分析】利用向量模长的几何意义，即可画出图形.【详解】AC ，∴C点落在以A为圆心，以5为半径的圆上，又∵点C为小正方形的顶点，∵||5根据该条件不难找出满足条件的点C，解析所有的向量AC，如图所示：【点睛】本题考查了向量模长的几何意义，轨迹问题，属于基础题.10．如图所示，平行四边形ABCD 中，O 是两对角线AC ，BD 的交点，设点集{}S A B C D O =，，，，，向量集合{|,,}T MN M N S M N =∈且，不重合，试求集合T 中元素的个数.【答案】12【分析】本题首先可根据题意明确集合T 中所包含的元素，然后根据平行四边形法则找出其中的相等向量，最后根据集合元素的互异性即可得出结果。

2023高考数学复习专项训练《平面向量的概念》一 、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）若OA →=(−5,4)，OB →=(7,9)，向量AB →同向的单位向量坐标是( )A. (−1213,−513)B. (1213,513)C. (−1213,513)D. (1213,−513)2.（5分）在四边形ABCD 中，若AB →+CD →=0→，AC →⋅BD →=0，则四边形为 ( )A. 平行四边形B. 矩形C. 等腰梯形D. 菱形3.（5分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则()A. AB →与AC →共线 B. DE →与CB →共线 C. CD →与AE →相等D. AD →与BD →相等4.（5分）已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A(5,−1)，B(−1,7)，C(1,2)，则顶点D 的坐标为( )A. (−7,6)B. (7,6)C. (6,7)D. (7,−6)5.（5分）已知a →=(−3,m)，b →=(4,−1)，若a →//(a →−2b →)，则实数m 的值为()A. 37B. −37C. 34D. −346.（5分）已知向量a →，b →不共线，c →=ka →+b →，(k ∈R)，d →=a →−b →如果c →//d →那么( )A. k =−1且c →与d →反向 B. k =1且c →与d →反向 C. k =−1且c →与d →同向D. k =1且c →与d →同向7.（5分）设向量|a →+b →|=√20，a →⋅b →=4，则|a →−b →|=( )A. √2B. 2√3C. 2D. √68.（5分）下列命题中，正确的个数是\((\quad)\) ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若\(\overrightarrow{a}\)，\(\overset{\rightarrow}{b}\)满足\(|\overrightarrow{a}|>|\overset{\rightarrow}{b}|\)且\(\overrightarrow{a}\)与\(\overset{\rightarrow}{b}\)同向，则\(\overrightarrow{a}>\overset{\rightarrow}{b}\)；④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若\(\overrightarrow{a}/\!/\overset{\rightarrow}{b}\)，\(\overset{\rightarrow}{b}/\!/\overrightarrow{c}\)，则\(\overrightarrow{a}/\!/\overrightarrow{c}.\)A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个9.（5分）已知单位向量a →,b →的夹角为60°，若向量c →满足|a →−2b →+3c →|⩽3，则|c →|的最大值为( )A. 1+√33B. √33C. 1+√3D. √310.（5分）已知a →=(4,2)，则与a →方向相反的单位向量的坐标为( )A. (2,1)B. (−2,−1)C. (2√55,√55) D. (−2√55,−√55) 11.（5分）平面内ΔABC 及一点O 满足AO →.AB →|AB →|=AO →.AC →|AC →|,CO →.CA →|CA →|=CO →.CB →|CB →|，则点O 是ΔABC 的()A. 重心B. 垂心C. 内心D. 外心12.（5分）已知向量|a →|=1，|b →|=√3，a →+b →=(−1,1)，则|2a →+b →|=()A. 3B. √3C. 11D. √11二 、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）在ΔABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin A cos C +c sin A cos A =13c ，D 是AC 的中点，且cos B =2√55，BD =√26，则ΔABC 的最短边的边长为________.14.（5分）已知单位向量a →、b →满足a →.(a →+b →)=1，则|a →+b →|=______.15.（5分）已知四边形ABCD ，AC 是BD 的垂直平分线，垂足为E ，O 为四边形ABCD 外一点，设|OB →|=5，|OD →|=3，则((OA →+OC →).(OB →−OD →))=________．16.（5分）已知|a →|=2，|b →|=4，a →−b →=(−4,3)，记a →与b →夹角为θ，则cosθ的值为________.17.（5分）已知平面向量a →，b →，|a →|=2，b →=(1,√3)，若|a →−b →|=2√3，则a →与b →的夹角的余弦值为________.三 、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）如图，在△ABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =60°，DB →=2AD →，CE →=2EB →.(1)设AB →在AC →上的投影向量为λAC →，求λ的值； (2)用向量AB →，AC →表示向量DE →，并求|DE →|.19.（12分）判断下列结论是否正确，并说明理由. （1）向量a →,b →相等的充要条件是|a →−b →|=0 （2）平行的单位向量一定相等.20.（12分）已知a →与b →共线，且|a →|=1，|b →|=2，求a →⋅b →.21.（12分）已知a →，b →，c →是共面的三个向量，其中a →=(1,2)，|b →|=√3，|c →|=2√5且c →与a →反向．(1)求|c →−a →|；(2)若a →+2b →与2a →−3b →垂直，求a →⋅(b →+c →)的值．22.（12分）如图，已知△ABC 的面积为14，D ，E 分别为边AB ，BC 上的点，且AD:DB =BE:EC =2:1，AE 与CD 交于点P.设存在λ和μ使AP →=λAE →，PD →=μCD →，AB →=a →，BC →=b →.(1)求λ及μ的值； (2)用a →，b →表示BP →；(3)求△PAC 的面积．23.（12分）在四边形ABCD 中，已知AB →=DC →，求证：四边形ABCD 为平行四边形. 四 、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）对于任意两个向量a →，b →，下列命题中正确的是()A. |a →+b →|⩽|a →|+|b →| B. |a →−b →|⩽|a →|−|b →| C. 若|a →|>|b →|，则a →>b →D. |a →·b →|⩽|a →|·|b →|25.（5分）下列命题中正确的是( )A. a →//b →⇔存在唯一的实数λ∈R ，使得b →=λa →； B. e →为单位向量，且a →//e →，则a →=±|a →|e →； C. a →·a →=|a →|2；D. 若a →·b →=b →·c →且b →≠0→,则a →=c →26.（5分）对于任意向量a →，b →，c →，下列命题正确的是()A. 若a →//b →，b →//c →，则a →//c →B. 若a →⋅b →=b →·c →，则a →=c →C. 若a →=b →，b →=c →，则a →=c →D. 若|a →−b →|=|a →+b →|，则a →⋅b →=027.（5分）在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是()A. 四边形ABC 1D 1的面积为|AB →||BC 1→| B. AD 1→与A 1B →的夹角为60∘ C. (AA 1→+A 1D 1→+A 1B 1→)2=3A 1B 1→D. A 1C →·(A 1B 1→−A 1D 1)→=0 28.（5分）下列说法中正确的是()A. 若AB →=DC →，则A ，B ，C ，D 四点构成一个平行四边形 B. 若a →//b →，b →//c →，则a →//c →C. 互为相反向量的两个向量模相等D. NQ →+QP →+MN →−MP →=0→答案和解析1.【答案】B;【解析】解：OA →=(−5,4)，OB →=(7,9)，向量AB →=(12,5). |AB →|=√122+52=13.向量AB →同向的单位向量坐标是：113(12,5)=(1213,513). 故选：B.求出向量AB →，然后求出模，即可推出单位向量．此题主要考查向量的运算法则，坐标运算，单位向量的求法，考查计算能力．2.【答案】D; 【解析】此题主要考查了向量在几何中的应用，以及数量积为0与两向量垂直的关系，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．解：∵→ AC .→ BD =0,∴AC ⊥BD , 又AB →+CD →=0， 所以AB//CD 且AB =CD , 所以四边形为菱形， 故选D.3.【答案】B;【解析】解：因为AB 与AC 不平行，所以AB →与AC →不共线，A 错，因为D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则DE 与BC 平行，故DE →与CB →共线，B 正确， 因为CD 与AE 不平行，所以CD →与AE →不相等，C 错， 因为AD →=DB →=−BD →，则D 错． 故选：B.利用平面向量共线定理判断ABC ，利用平面向量的相等判断D. 此题主要考查了平面向量共线定理，平面向量的相等，属于基础题．4.【答案】D;【解析】此题主要考查向量相等的概念，平面向量的运算，属于基础题. 设D(x,y)，由AD →=BC →，可得(x −5,y +1)=(2,−5)，可得结果.解：设D(x,y)，由AD →=BC →，得(x −5,y +1)=(2,−5)，∴x =7，y =−6，∴D(7,−6). 故选D.5.【答案】C;【解析】解：已知a →=(−3,m)，b →=(4,−1)， 所以：a →−2b →=(−11,m +2)， 由于a →//(a →−2b →)， 所以m =34；故选：C.直接利用向量的线性运算，向量的坐标运算的应用求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6.【答案】A;【解析】解：∵c →//d →，∴c →=λd →，即ka →+b →=λ(a →−b →)，得{k =λ1=−λ，解得k =λ=−1，∴c →=−a →+b →=−(a →−b →)=−d →， 故选A ．根据条件和向量共线的等价条件得，c →=λd →，把条件代入利用向量相等列出方程，求出k 和λ的值即可．该题考查了向量共线的等价条件，向量相等的充要条件应用，属于基础题．7.【答案】C; 【解析】此题主要考查了向量的模的求法，属于基础题.关键是利用|a →−b →|2=|a →+b →|2−4øverrightarrow a ⋅b →求值．解：因为|a →+b →|=√20，a →⋅b →=4，∴|a →−b →|2=|a →+b →|2−4øverrightarrow a ⋅b →=20−16=4， ∴|a →−b →|=2， 故选C.8.【答案】A; 【解析】【分析】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题目．根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可． 【解答】解：对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误； 对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误； 对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误； 对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时， 它们的起点和终点不一定相同，故④错误；对于⑤，b →=0→时，a →//b →，b →//c →，则a →与c →不一定平行． 综上，以上正确的命题个数是0. 故选A.9.【答案】A;【解析】解：由题意，设单位向量a →=(1,0)，b →=(cos60°,sin60°)=(12,√32)，且c →=(x,y)；则a →−2b →+3c →=(3x ,3y −√3)， 由|a →−2b →+3c →|⩽3， ∴√(3x )2+(3y −√3)2⩽3， 化简得x 2+(y −√33)2⩽1，它表示圆心为C(0,√33)，半径为1的圆，如图所示；由图形知，|c →|的最大值为1+√33． 故选：A ．由题意设单位向量a →=(1,0)，b →=(cos60°,sin60°)，c →=(x,y)；由|a →−2b →+3c →|⩽3求出x 、y 的关系式，利用数形结合求出|c →|的最大值．该题考查了平面向量的模长公式应用问题，也考查了数形结合应用思想，是中档题．10.【答案】D; 【解析】该题考查相反向量的概念，向量坐标的数乘运算，以及单位向量的概念，可求出−a →的坐标，并求出|a →|=2√5，这样根据单位向量的概念及向量坐标的数乘运算即可得出正确选项．解：−a →=(−4,−2)，且|a →|=2√5； ∴−a →|a →|=(−2√55,−√55)． 故选D ．11.【答案】C;【解析】解：平面内ΔABC 及一点O 满足AO →.AB →|AB →|=AO →.AC →|AC →|，可得AO →⋅(AB →|AB →|−AC →|AC →|)=0，所以O 在∠CAB 的平分线上，CO →.CA →|CA →|=CO →.CB →|CB →|，可得：CO →⋅(CA →|CA →|−CB →|CB →|)=0，所以O 在∠ACB 的平分线上，则点O 是ΔABC 的内心． 故选：C ．利用表达式，转化推出O 所在的位置，得到结果即可．该题考查向量的综合应用，充分理解表达式的几何意义以及三角形的五心的特征，是解答该题的关键，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12.【答案】B;【解析】解：∵a →+b →=(−1,1)， ∴|a →+b →|=√2，∴(a →+b →)2=|a →+b →|2=2，即|a →|2+2a →⋅b →+|b →|2=2， ∴1+2a →⋅b →+3=2， ∴a →⋅b →=−1，∴|2a →+b →|=√(2a →+b →)2=√4|a →|2+4a →·b →+|b →|2=√4×1+4×(−1)+3=√3. 故选：B.易知|a →+b →|=√2，两边平方后，可求得a →⋅b →=−1，再由|2a →+b →|=√(2a →+b →)2，展开运算，即可得解．本题考查平面向量的混合运算，模长的求法，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．13.【答案】2√2;【解析】解：在ΔABC 中，a sin A cos C +c sin A cos A =13c ， 由正弦定理可得：sin A sin A cos C +sin C sin A cos A =13sin C ， 即为sin A(sin A cos C +cos A sin C) =sin A sin (A +C)=sin A sin B =√1−45sin A =√55sin A =13sin C ，由正弦定理可得a =√53c ， D 是AC 的中点，且cos B =2√55， 可得BD →=12(BA →+BC →)，即有BD 2→=14(BA 2→+BC 2→+2øverrightarrowBA ⋅BC →)即为26=14(c 2+59c 2+2c ⋅√53c ⋅2√55)，解得c =6，a =2√5，由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2accos B =20+36−24√5×2√55=8，解得b =2√2，ΔABC 的最短边的边长为2√2. 故答案为：2√2.运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简整理，可得a =√53c ，再由向量中点形式，以及向量的平方即为模的平方，计算可得a ，c ，再由余弦定理计算可得b ，进而得到所求最小值．此题主要考查正弦定理、余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．14.【答案】√2;【解析】解：a →.(a →+b →)=a →²+a →.b →=1+a →.b →=1， 所以a →.b →=0，则|a →+b →|=√|a →|2+2øverrightarrow a.b →+|b →|2=√1+0+1=√2，故答案为：√2.根据条件可求得a →.b →=0，进而利用向量模的定义即可求得答案． 此题主要考查平面向量数量积的运算，涉及向量模的求法，属于中档题．15.【答案】16; 【解析】此题主要考查垂直平分线的概念，向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，相反向量的概念，以及向量减法的几何意义，向量数量积的运算．根据条件，AC 垂直平分线段BD ，从而得出EA →.DB →=EC →.DB →=0，DE →+BE →=0→，而OA →=OB →+BE →+EA →，OC →=OD →+DE →+EC →，且OB →−OD →=DB →，代入(OA →+OC →).(OB →−OD →)进行向量加法和数量积的运算便可求出答案． 解：∵AC 是BD 的垂直平分线； ∴EA →.DB →=EC →.DB →=0，DE →+BE →=0→； ∴(OA →+OC →).(OB →−OD →)=(OB →+BE →+EA →+OD →+DE →+EC →).DB →=(OB →+OD →).(OB →−OD →)+(EA →+EC →).DB →=OB 2→−OD 2→=25−9 =16． 故答案为16．16.【答案】−516 ; 【解析】此题主要考查平面向量的坐标运算，向量的模，向量的夹角与数量积，属于基础题.由题意，先计算 |a →−b →|=5，再由|a →−b →|=√(a →−b →)2=√a →2−2øverrightarrow a ⋅b →+b →2计算可得.解：因为a →−b →=(−4,3)，所以|a →−b →|=5，因为|a →−b →|=√(a →−b →)2=√a →2−2øverrightarrow a ⋅b →+b →2， 又|a →|=2，|b →|=4，所以25=4+16−16cos θ，所以cos θ=−516.故答案为−516 .17.【答案】−12;【解析】此题主要考查向量的夹角、向量的模、数量积的求法，难度不大.先求出向量b →的模，再将式子|a →−b →|=2√3左右两边平方，从而得到a →.b →，再利用a →与b→的夹角的余弦值公式a →.b →|a →||b →|便可求得最后结果.解：∵b →=(1,√3)，∴|b →|=2.若|a →−b →|=2√3，则|a →−b →|2=|a →|2+|b →|2−2øverrightarrow a.b →=4+4−2øverrightarrow a.b →=12∴a →.b →=−2，则a →与b →的夹角的余弦值为a →.b →|a →||b →|=−22×2=−12. 故答案为−12.18.【答案】解：（1）AB →在AC →上的投影向量为AC →|AC →|·|AB →|cos ∠BAC =2×12·13AC →=13AC →，∴λ=13．（2）DE →=DB →+BE →=23AB →+13BC →=23AB →+13(AC →−AB →)=13AB →+13AC →， |DE →|2=DE →2=19(AB →+AC →)2=19(4+2AB →⋅AC →+9)=19(13+2×2×3×12)=199，∴|DE →|=√193．; 【解析】(1)根据投影向量的计算公式求解；(2)先结合平面向量的线性运算法则用AB →,AC →表示出DE →，然后平方后求模即可． 此题主要考查平面向量的线性运算以及数量积的运算性质，属于中档题．19.【答案】解：（1）正确，|a →−b →|=0的充要条件是a →−b →=0→，从而a →=b →（2）错误，平行单位向量方向可能相反.;【解析】略20.【答案】解：若a →与b →同向共线，则a →⋅b →=|a →|⋅|b →|⋅cos0°=1×2×1=2； 若a →与b →反向共线，则a →⋅b →=|a →|·|b →|·cos180°=1×2×(−1)=−2.故a →⋅b →为2或−2.;【解析】此题主要考查平面向量数量积的运算，考查学生的计算能力，属于基础题． 根据平面向量数量积的定义，分清楚两个向量共线分为“同向共线”和“反向共线”两种情形，即可得解．21.【答案】解：∵a →=(1,2)，|c →|=2√5且c →与a →反向，∴c →=λa →，λ<0，∴|c →|=|λa →|，∴2√5=|√5λ|，解得λ=−2，∴c →=−2(1,2)=(−2,−4)，∴c →−a →=(−3,−6)，∴|c →−a →|=√(−3)2+(−6)2=3√5．(2)∵a →+2b →与2a →−3b →垂直，∴(a →+2b →)⋅(2a →−3b →)=2a 2→−6b 2→+a →⋅b →=0， ∴a →⋅b →=6×3−2×5=8， ∴a →⋅(b →+c →)=a →⋅b →+a →⋅c →=8+(1,2)×(−2,−4)=−2．;【解析】该题考查了向量的模、向量的数量积和向量的坐标运算，属于中档题．(1)先求出向量c →的坐标，再根据向量的坐标运算和向量模即可求出，(2)根据向量的垂直求出a →⋅b →=8，再根据向量的数量积即可求出．22.【答案】解：(1)∵AB →=a →，BC →=b →，则AE →=a →+23b →，DC →=13a →+b →，AP →=λAE →=λ(a →+23b →)，DP →=μDC →=μ(13a →+b →)，AP →=AD →+DP →=23AB →+DP →，即23a →+μ(13a →+b →)=λ(a →+23b →)，∴{λ=23+13μμ=23λ，解得λ=67，μ=47. (2)BP →=BA →+AP →=−a →+67(a →+23b →)=−17a →+47b →. (3)设△ABC 底边AB 上的高为ℎAB ，△PAB 底边AB 上的高为ℎ1，∴ℎ1ℎAB =|PD →|:|CD →|=μ=47，S △PAB =47S △ABC =8，设△ABC 和△PBC 底边BC 上的高分别为ℎBC ,ℎ2， ℎ2ℎBC =|PE →|:|AE →|=1−λ=17，S △PBC =17S △ABC =2， ∴S △PAC =4.;【解析】本题考查向量数乘的运算和几何意义，把三角形的面积之比转化为向量的长度比.(1)根据AP →=λAE →，用基底a →，b →表示出AP →，再根据AP →=AD →+DP →=23AB →+DP →，用基底a →，b →表示出AP →，这两种表示方式是相同的，由此求出λ及μ；(2)把BP →用BA →+AP →来表示，把(1)中的结果代入可得；(3)根据面积之比等于对应的向量的长度比求出△PAB 和△PBC 的面积，用△ABC 的面积减去△PAB 和△PBC 的面积即得△PAC 的面积.23.【答案】证明：如图所示，在四边形ABCD 中，∵AB →=DC →，∴AB//DC 且|AB|=|DC|∴四边形ABCD 为平行四边形．;【解析】此题主要考查向量的数量积以及四边形的判断，属于基础题．利用已知条件判断四边形的形状即可．24.【答案】AD;【解析】考查平面向量有关概念等知识.解：A 选项，①当向量a →与b →不共线时，在平面内任取一点A ，作AB →=a →，BC →=b →，则AC →=a →+b →，如图所示，根据三角形两边之和大于第三边可得|a →+b →|<|a →|+|b →|，②当向量a →与b →方向相同时，|a →+b →|=|a →|+|b →|，当向量a →与b →方向相反时，|a →+b →|=||a →|−|b →||<|a →|+|b →|，综上可知|a →+b →|⩽|a →|+|b →|，故A 选项正确；B 选项，①若|a →|<|b →|，则|a →|−|b →|<0，又|a →−b →|>0，所以|a →|−|b →|<|a →−b →|， ②若|a →|>|b →|，当向量a →与b →不共线时，根据三角形两边之差小于第三边可得|a →|−|b →|<|a →−b →|，当向量a →与b →方向相同时，|a →|−|b →|=|a →−b →|，当向量a →与b →方向相反时，|a →|−|b →|<|a →|+|b →|=|a →−b →|，综上可知|a →|−|b →|⩽|a →−b →|，故B 选项错误．C 选项，向量不能比较大小，故C 选项错误；D 选项，|a →·b →|=|a →||b →||cos <a →,b →>|⩽|a →||b →|，故D 选项正确；25.【答案】BC;【解析】【分析】本题主要考查平面向量的概念和性质，属于基础题.根据平面向量的共线定理，平行向量与单位向量，平面向量的数量积，相等向量的概念分别判断即可.【解答】解：A 中，当a →为零向量时结论不成立，所以A 错；当a →为零向量时结论成立，当a →不为零向量时，a →|a →|表示与向量a →同向的单位向量，结论也成立，所以B 正确；a →·a →=|a →|×|a →|×cos0∘=|a →|2，所以C 正确; 当a →⊥b →，b →⊥c →且a →，b →，c →都不为零向量时，a →·b →=b →·c →=0，但a →与c →不一定相等，所以D 错.故选BC.26.【答案】CD;【解析】解：若a →//b →，b →//c →，则a →//c →，如果b →=0→，则a →，c →，可以是任意向量，所以A 不正确；若a →⋅b →=b →·c →，则a →=c →，显然不正确，反例：b →=0→，则a →，c →，可以是任意向量，所以B 不正确．若a →=b →，b →=c →，则a →=c →，显然正确，C 正确；若|a →−b →|=|a →+b →|，如果a →，b →都是非零向量，说明以a →、b →为邻边的平行四边形是矩形，则a →⋅b →=0，如果用零向量，也满足a →⋅b →=0，所以D 正确；故选：CD.利用向量的共线以及向量的数量积的运算法则，向量的模，结合反例，判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断，向量的共线以及向量的数量积的应用，是基本知识的考查．27.【答案】ACD;【解析】此题主要考查空间向量数量积与垂直关系，考查线面垂直的性质，考查向量夹角，是中档题对于A ，∵AB =//C 1D 1，四边形ABC 1D 1是平行四边形，又AB ⊥平面BB 1C 1C ， ∴AB ⊥BC 1，四边形ABC 1D 1的面积为|AB →|·|BC 1→|，故A 正确;对于B ，易知△ACD 1是等边三角形，∴∠AD 1C =60∘，∴<AD 1→，D 1C →>=120∘， 又A 1B →//D 1C →，∴<AD 1→，A 1B →>=120∘，故B 错误;对于C ，∵AA 1→+A 1D 1→+A 1B 1→=AC 1→，AC 1→2=3A 1B 1→2，∴(AA 1→+A 1D 1→+A 1B 1→)2=3A 1B 1→2，故C 正确;对于D ，A 1B 1→−A 1D 1→=D 1B 1→，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，D 1B 1⊥平面AA 1C 1C ，∴D 1B 1⊥A 1C ，∴A 1C →·D 1B 1→=0，故D 正确.选ACD.28.【答案】CD;【解析】【分析】本题考查向量的基本概念及向量的加减运算，属于基础题．由向量相等，可判断A ；由零向量与任何向量共线，可判断B ；由相反向量的定义可判断C ；由向量的加减运算可判断D.【解答】解：若AB →=DC →，则A ，B ，C ，D 四点构成一个平行四边形或共线，故A 错误；若a →//b →，b →//c →，则a →//c →，或a →，c →不共线，比如b →=0→，故B 错误；由相反向量的定义可得C 正确；NQ →+QP →+MN →−MP →=NP →+PN →=0→，故D 正确.故选CD.。

第2章 平面向量（一） 向量的概念与线性运算[例1]判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)b a ==则 (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a =，c b =，则c a=； (7)若b a //，c b //，则c a// ；(8)若四边形ABCD 是平行四边形,则DA BC CD B ==,A(9) b a =的充要条件是||||b a=且b a //；【练习】1． 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB ＝DC ⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.2．下列命题正确的是①ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线③向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量 ④有相同起点的两个非零向量不平行[例2] 化简)()(---[例3] 在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是 【练习】3．若3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是已知向量，求ｍ，ｎ.4．如图，在ΔABC 中，D 、E 为边AB 的两个三等分点，CA → =3a ，CB → =2b ，求CD → ，CE →．[例4] 设21,e e 是不共线的向量,已知向量2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=,若A,B,D 三点共线,求k 的值[例5] 已知A 、B 、C 、P 为平面内四点，求证：若A 、B 、C 三点在一条直线上， 则存在一对实数m 、n ，使PC → =mPA → +nPB →，且m+n=1．反之也成立。

[例6] 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：+++=4ABDEABCD【练习】5．已知、21则实数6求证：巩固练习1. 判断下列命题是否正确，并说明理由： （1）共线向量一定在同一条直线上。

高一数学平面向量的概念及几何运算试题1.下列说法正确的是（）.A．方向相同或相反的向量是平行向量B．零向量是C．长度相等的向量叫做相等向量D．共线向量是在一条直线上的向量【答案】B【解析】选项A:方向相同或相反的非零向量是平行向量；选项C：方向相同且长度相等的向量叫相等向量；选项D：共线向量所在直线可能重合，也可能平行；故选B.【考点】平面向量的有关概念.2.若向量、满足，，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设与的夹角为。

因为，所以。

因为，所以。

因为，所以。

故C正确。

【考点】1两向量夹角的范围；2向量的数量积公式。

3.已知O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，，且，则点O，N，P依次是△ABC的( )A．重心外心垂心B．重心外心内心C．外心重心垂心D．外心重心内心【答案】C【解析】∵||＝||＝||，∴O到三角形三个顶点的距离相等，∴O是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C，D两个选项，∴只要判断第三个条件可以得到三角形的内心或垂心就可以，∵，∴，同理得到另外两个向量都与边垂直，得到P是三角形的垂心，故选 C．.【考点】向量在几何中的应用．4.已知|a|=6，|b|=3， =，则向量a在向量b方向上的投影是（）A．B．4C．D．2【答案】A【解析】根据投影的定义可知，|a|=6，|b|=3， =，则向量a在向量b方向上的投影是，故可知答案为-4，选A.【考点】投影的定义点评：此题考查了向量的模，两向量的夹角公式，向量b在向量a的方向上的投影的定义．5.设、、是非零向量，则下列说法中正确是A．B．C．若，则D．若，则【答案】D【解析】数量积不满足结合律，A错；当与异向时，，B错；由得，，因而，不一定是零向量，C错；显然，D正确，这体现了向量的传递性。

故选D。

【考点】向量的性质点评：做这类题目，常采用排除法。

排除选项时，又常取反例。

6.已知,,若,则的值为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由题意可知，因为，所以解得的值为或.【考点】本小题主要考查向量垂直的坐标运算，考查学生的运算求解能力.点评：向量垂直和平行的坐标运算比较简单，仔细运算即可.7.（10分）设两个非零向量e1、e2不共线.如果=e1+e2,2e1+8e2,=3(e1-e2)⑴求证: A、B、D三点共线. ⑵试确定实数k,使ke1+e2和e1+ke2共线.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】(1)证明三点共线，利用向量证明就是证与共线即可.(2)利用向量共线的条件是来建立关于k的方程，解出k值.8.已知平面向量，则向量（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题考查向量的坐标运算.若则.故选D9.已知四边形是菱形，点在对角线上（不包括），则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，其中，则。

6.1 平面向量的概念一、选择题（前四个为单选题，后两个为多选题）1．下列说法正确的是（）A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C．向量的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小【答案】D【解析】向量不能比较大小，向量的模能比较大小，显然D正确.2．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量，①⑥⑦⑧没有方向，不符合向量的定义. 3．设O是正六边形ABCDEF的中心，则以O和各顶点为起点和终点的向量中与向量OA相等的向量的个数有()A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】根据正六边形的性质可得，与OA方向相同且长度相等的向量有CB，DO，EF，共3个，故选B.4．若|a|=|b|，那么要使a=b，两向量还需要具备()A ．方向相反B ．方向相同C ．共线D ．方向任意【答案】B【解析】两向量相等需具备长度相等且方向相同两个条件，因此选B .5．（多选题）给出下列结论，正确的是（ ）A.两个单位向量是相等向量；B.若a b =，b c =，则a c =；C.若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；D.若a b =，则a b =；E.若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线.【答案】BC【解析】两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，A 错误； 若a b =，b c =，则a c =，向量相等具有传递性，B 正确；一个向量的模为0，则该向量一定是零向量，方向不确定，C 正确； 若a b =，则a b =，还要方向相同才行，D 错误； a 与b 共线, b 与c 共线，则a 与c 共线，当b 为零向量时不成立，E 错误.6．（多选题）如图所示，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，对角线AC 、BD 交于点O ，过O 作//MN AB ，交AD 于M ，交BC 于N ，则在以A 、B 、C 、D 、M 、O 、N 为起点和终点的向量中，相等向量有（ ）A ．NO OM =B ．OD OC = C ．ON MO =D ．DC AB =【答案】AC【解析】由相等向量的定义及梯形的性质可知，相等向量有,.OM NO MO ON ==，故选AC 。