职高数学7.1.1平面向量的概念

平面向量的实际背景及基本概念1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。

2.数量的概念：只有大小没有方向的量叫做数量。

数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 3.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。

4.有向线段的三要素：起点，大小，方向 5.有向线段与向量的区别； （1）相同点：都有大小和方向（2）不同点：①有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。

②向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在①中的两个有向线 段表示相同（等）的向量。

③向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成 6.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ；7.向量的模：向量AB 的大小（长度）称为向量的模，记作|AB |. 8.零向量、单位向量概念：长度为零的向量称为零向量，记为：0。

长度为1的向量称为单位向量。

9.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.即：0 ∥ａ。

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义； （2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 10.相等向量A(起点)B（终点）a长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．． 向线段的起点无关．．．．．．．．. 11.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）．．．．．．．．．．． 说明：（1）平行向量是可以在同一直线上的。

（2）共线向量是可以相互平行的。

例1.判断下列说法是否正确，为什么？ （1）平行向量是否一定方向相同？ （2）不相等的向量是否一定不平行？ （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ （6）两个非零向量相等当且仅当什么？ （7）共线向量一定在同一直线上吗？解析：（1）不是，方向可以相反，可有定义得出。

平面向量的基本概念和表示方法平面向量是向量的一种特殊形式，它在平面上具有方向和大小。

在数学和物理学中，平面向量是一种常见的工具，用于描述物体的位移、力的作用、速度的方向等等。

本文将介绍平面向量的基本概念和表示方法。

一、基本概念平面向量由两个有序数构成，其中，第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。

向量通常用小写字母加箭头来表示，比如向量a可以表示为➡a。

平面向量有三个重要的性质，即方向、大小和起点。

向量的方向由向量指向的位置决定，大小由向量的长度表示，起点是向量的起始位置。

二、表示方法平面向量有多种表示方法，下面介绍其中常见的两种方法：坐标表示法和分解表示法。

1. 坐标表示法坐标表示法是一种常见的表示方法，将向量的两个分量表示为一个有序数对。

例如，向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x 轴上的分量，a₂表示向量在y轴上的分量。

以单位向量为例，单位向量在坐标表示法中的坐标为(1, 0)和(0, 1)，分别代表x轴和y轴的正方向。

2. 分解表示法分解表示法是将向量分解成两个分量的和的形式。

以向量a为例，向量a可以分解为两个分量i和j的线性组合，即a = ai + aj。

其中，i 表示向量在x轴上的分量，j表示向量在y轴上的分量。

这种表示方法更直观，能够清晰地描述向量的方向和大小。

三、向量运算平面向量有四种基本运算，即加法、减法、数乘和点乘。

下面分别介绍这四种运算。

1. 加法向量加法将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。

例如，向量a和向量b的和可以表示为a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。

向量加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。

2. 减法向量减法将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。

例如，向量a和向量b的差可以表示为a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。

江苏省XY中等专业学校2021-2022-1教案编号：备课组别上课日期主备教师授课教师课题：§7.1 平面向量的概念0教学目标掌握平面向量的概念及表示能够计算平面向量的模和向量的方向重点重点：平面向量的概念难点难点：平面向量的概念教法讲练结合教学设备多媒体一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容【课程引入】某学生在标准400m运动场上的百米起点A（1道）处出发，沿跑道跑完400m到终点（起点)A处。

（1）该生所跑的路程是多少？所发生的位移是什么?(2)如果该生从A处出发，跑完1500m，那么他所跑的路程是多少?位移是什么？（3）位移和路程这两个量有什么差别？A教学内容一，建构数学我们把既有大小又有方向的量称为向量。

我们常用一条有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

以A为起点、B为终点点向量(如图7--2（1)),记为AB，向量也可以用小写黑体字母表示，如a, b ,c等，向量大小称作量的长度（或模）。

向量AB的长度，记作AB；向量a的长度是一个数量，是非负实数。

长度为0的向量，记作0。

.零向量没有确定的方向。

长度为1 个单位长度的向量叫单位向量，记作e。

二，应用数学例1 如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，分别以点A,B,C为起点或终点，可以构成哪些向量?用有向线段表示这些项链并求出它门的模。

教学内容解分别以点A,B,C为起点活终点可以构成向量AB,BC,CA,AC.,BACB丨AB|=丨BA=5,|BC|=|CB|=13,|CA|=|AC|=4.例2 如图，设ABCD的边长分别为1和2，其所有的边能构成哪些向量?这些向量的模分别是多少？解ABCD的所有边可以构成向量BCAB,,,CD DA,,AD,DC CB,BA.|AB|=|BA|=|CD|=1,2====DAADCBBC三，理解数学练习，1.判断下列说法是否正确，并说明理由。

平面向量的基本概念与运算法则平面向量是解决几何问题的重要工具之一，它能够描述物体在平面内的方向和大小，能够进行加减乘除等基本运算，为我们解决问题提供了很大的便利。

本文将介绍平面向量的基本概念和运算法则，帮助读者理解和运用平面向量。

1. 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。

平面向量通常用线段AB来表示，方向由起点A指向终点B，记作→AB或者AB。

2. 平面向量的表示和坐标平面向量可以使用坐标来表示。

设向量AB的起点为原点O，终点为点P(x,y)，则向量→AB可以表示为(x,y)。

其中，x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。

3. 平面向量的运算法则平面向量有多种基本运算法则，下面依次介绍：(1) 向量的加法：设向量→AB的终点为P(x1,y1)，向量→CD的终点为Q(x2,y2)，则向量→AB + →CD的终点为R(x1+x2 , y1+y2)。

也就是说，将两个向量的x轴和y轴分量分别相加，得到新的向量的坐标。

(2) 向量的减法：设向量→AB的终点为P(x1,y1)，向量→CD的终点为Q(x2,y2)，则向量→AB - →CD的终点为R(x1-x2 , y1-y2)。

也就是说，将两个向量的x轴和y轴分量分别相减，得到新的向量的坐标。

(3) 向量的数量乘法：设向量→AB的终点为P(x,y)，数k为实数，则k × →AB的终点为R(kx, ky)。

也就是说，将向量的每个分量分别乘以实数k，得到新的向量的坐标。

(4) 向量的点乘法：设向量→AB的终点为P(x1,y1)，向量→CD的终点为Q(x2,y2)，则→AB · →CD = x1 x2 + y1 y2。

也就是说，将两个向量的x轴和y轴分量分别相乘，再将结果相加，得到点乘法的结果。

4. 平面向量的性质平面向量有一些重要的性质，下面列举几个常用的性质：(1) 平行向量的性质：如果两个向量→AB和→CD平行，则它们可以表示为→AB = k × →CD，其中k为实数。

平面向量的概念与运算平面向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

本文将从平面向量的定义开始，介绍平面向量的概念以及基本运算，包括向量的加法、减法、数乘等，以便读者对平面向量有更深入的理解。

一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，常用有向线段表示。

在平面直角坐标系中，平移一个向量的有向线段，可以得到一个与原始向量大小和方向相同的向量。

平面向量通常用小写粗体字母表示，如a、b。

二、平面向量的表示平面向量可以用其在平面直角坐标系下的坐标表示。

设向量a的终点坐标为(x₁, y₁)，起点坐标为(0, 0)，则向量a可以表示为a = x₁i +y₁j，其中i和j分别表示x轴和y轴的单位向量。

三、平面向量的加法平面向量的加法遵循平行四边形法则。

设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b，连接向量a的起点与向量b的终点，该有向线段表示向量a + b。

其数学表示为a + b = (x₁ + x₂)i + (y₁ + y₂)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标，(x₂, y₂)为向量b的坐标。

四、平面向量的减法平面向量的减法可以通过将被减向量取反并进行加法运算得到。

设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b的负向量，连接向量a的起点与向量b的终点，该有向线段表示向量a - b。

其数学表示为a - b = (x₁ - x₂)i + (y₁ - y₂)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标，(x₂,y₂)为向量b的坐标。

五、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将向量的长度进行缩放。

设k为一个实数，向量a乘以k后得到的向量记为ka，则ka = k(x₁i + y₁j) = (kx₁)i +(ky₁)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标。

六、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为内积或点积，用符号·表示。

设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b，则a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，θ是向量a和向量b之间的夹角。

平面向量知识点总结归纳在数学中，平面向量是一个有大小和方向的量，常用于解决几何和代数的问题。

平面向量具有许多重要的性质和应用，本文将对平面向量的相关知识点进行总结归纳。

一、基本概念1. 平面向量的表示：平面向量通常用字母加上一个箭头来表示，例如向量a可以写作a→，其中箭头表示向量的方向。

2. 平行向量：两个向量具有相同或相反的方向时，称它们为平行向量。

平行向量的模长相等。

3. 零向量：所有分量都为零的向量称为零向量，用0→表示。

零向量的模长为0。

4. 向量共线：如果两个向量的方向相同或相反，它们被称为共线向量。

二、向量运算1. 向量加法：向量加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新向量。

向量加法满足交换律和结合律。

2. 向量减法：向量减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新向量。

向量减法可以转化为向量加法，即a→ - b→ = a→ + (-b→)。

3. 数乘运算：向量与一个实数相乘，可以改变向量的大小和方向，称为数乘运算。

4. 内积运算：向量的内积又称为点乘运算，表示两个向量之间的夹角关系。

内积的结果是一个实数，可以用向量的模长和夹角的余弦表示。

5. 外积运算：向量的外积又称为叉乘运算，用于求得两个向量所确定的平行四边形的面积和方向。

外积的结果是一个向量。

三、向量的性质1. 平行四边形法则：如果将两个向量的起点放在一起，则另外两个端点形成的四边形为平行四边形。

2. 模长计算：向量的模长是指向量的长度，可以用勾股定理计算。

3. 单位向量：模长为1的向量称为单位向量，可以通过将向量除以它的模长得到。

4. 点积性质：点积具有分配律、交换律和数量积与夹角的余弦值相关等性质。

5. 叉积性质：叉积具有反交换律、分配律和数量积与夹角的正弦值相关等性质。

四、向量的应用1. 几何问题：平面向量可以用于解决几何问题，如线段的平移、直线的垂直和平行判定等。

2. 物理学中的力：力可以用向量表示，通过向量运算可以求得多个力的合力和分力。

什么是平面向量平面向量是代数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域。

平面向量可以用来表示平面上的位移、速度、力等物理量，具有方向和大小两个特征。

一、平面向量的定义平面向量是由两个有序实数组成的有序对，记作AB→，其中A、B 表示平面上的两个点，→表示有向线段。

实数称为平面向量的坐标或分量，可以用来表示向量在坐标轴上的投影。

二、平面向量的表示平面向量可以用坐标轴上的点表示，也可以用向量的坐标表示。

以直角坐标系为例，设A点的坐标为(x1, y1)，B点的坐标为(x2, y2)，那么平面向量AB→的向量坐标为{(x2-x1), (y2-y1)}。

三、平面向量的运算1. 加法：设有平面向量AB→和CD→，则它们的和为AB→ +CD→ = AD→。

即向量的加法满足“三角形法则”。

2. 数乘：设有平面向量AB→，实数k，则kAB→ = BA→。

即向量的数乘改变了向量的方向或长度。

3. 减法：设有平面向量AB→和CD→，则它们的差为AB→ - CD→ = AD→。

即向量的减法可以看作是加法和数乘的结合。

四、平面向量的性质1. 零向量：零向量是长度为0的向量，任何向量与零向量的和等于该向量本身。

2. 平行向量：若两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。

3. 共线向量：若两个向量在同一直线上，则它们是共线向量。

4. 相等向量：若两个向量的方向和长度相等，则它们是相等向量。

5. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量，可以通过将一个非零向量除以它的模长得到。

五、平面向量的应用平面向量在几何学中被广泛应用，例如求向量的模长、向量的夹角、向量的投影等。

在物理学中，平面向量可用于描述力的大小和方向，在工程学中，平面向量可用于描述力的分解和合成等问题。

总结：平面向量是由两个有序实数组成的有序对，具有方向和大小两个特征。

它可以用坐标轴上的点或向量的坐标来表示。

平面向量的运算包括加法、数乘和减法，满足相应的运算规律。

[精品]人教版中职数学教案-第七章--平面向量[9份教案]7.1.1 位移与向量的表示【教学目标】1. 了解有向线段的概念，理解并掌握向量的有关概念和向量相等的含义．2. 会用有向线段表示向量，并能根据图形判定向量是否平行、相等．3. 通过教学培养学生数形结合的能力．【教学重点】向量的概念．【教学难点】向量的概念．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．从物理背景和几何背景入手，建立起学习向量概念及其表示方法的基础，结合丰富的实例，归纳、概括向量的有关概念，使学生容易理解．同时结合习题让学生加深对相等向量的理解．7.1.2 向量的加法【教学目标】1. 理解并掌握向量的加法运算并理解其几何意义，掌握向量加法的运算律．2. 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和．3. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的能力．【教学重点】利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量．【教学难点】对向量加法定义的理解．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．创设问题情境，激发学生的好奇心与求知欲．并在教学过程中始终注重数形结合，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．7.1.3 向量的减法【教学目标】1. 理解并掌握向量的减法运算并理解其几何意义，理解相反向量．2. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的思想方法．【教学重点】向量减法的三角形法则．【教学难点】理解向量减法的定义．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．由实例引入，创设问题情境，教师引导学生由向量加法得到向量减法．并在教学过程中始终注重数形结合，对比教学，使问题处于学生思维的最近发展区，较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．7.2 数乘向量【教学目标】1. 通过实例掌握数乘向量的运算，并理解其几何意义，掌握数乘向量运算的运算律．2. 理解并掌握平行向量基本定理．3. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的能力．【教学重点】数乘向量运算及运算律与平行向量基本定理．【教学难点】对数乘向量定义与平行向量基本定理的理解．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．在向量加法的基础上引入数乘向量的定义，教学过程中紧扣向量的两要素分析定义，始终注重数形结合，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．d7.3.1 向量的分解【教学目标】1. 理解平面向量的基本定理，会用已知的向量来表示未知的向量．2. 启发学生发现问题和提出问题，培养学生独立思考的能力，让学生学会分析问题和解决问题．3. 通过教学，培养学生数形结合的能力．【教学重点】平面向量的基本定理，用已知的向量来表示未知的向量．【教学难点】理解平面向量的基本定理．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．7.3.2 向量的直角坐标运算【教学目标】1. 理解平面向量的坐标表示，掌握平面向量的坐标运算．2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否平行．3. 通过学习，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．【教学重点】平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算，根据平面向量的坐标判断向量是否平行．【教学难点】理解平面向量的坐标表示．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，教师可以充分发挥学生的主体作用，开展自学活动，通过类比、联想，发现问题，解决问题．引导学生分析归纳，形成概念．7.4.1 向量的内积【教学目标】1. 理解并掌握平面向量内积的基本概念，会用已知条件来求向量的内积．2. 掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题．3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．【教学重点】平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律．【教学难点】平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．7.4.2 向量内积的坐标运算与距离公式【教学目标】1. 掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问题．2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否垂直．3. 通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．【教学重点】向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用．【教学难点】向量内积的坐标表达式的推导，即a·b＝| a | | b | cos?a，b?与a·b ＝a1b1＋a2b2两个式子的内在联系．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法．向量内积的坐标表达式，是向量运算内容与形式的统一．无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终归结为直角坐标运算．教学中教师要引导学生抓住这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、条理化，从而有利于学生知识体系的形成．7.5 向量的应用【教学目标】1. 能运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算．2. 通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等问题．3. 通过教学，培养探究问题和解决问题的能力．【教学重点】运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算．【教学难点】以向量为主题的数学模型的建立．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组教学法．运用现代化教学手段，通过两个实例，分析抽象出以向量为主题的数学模型，使学生更容易理解向量的实质．。

中职数学平面向量知识点归纳
平面向量是中职数学中的一个重要概念，以下是关于平面向量知识点的归纳：
1. 向量的基本概念：向量是一个既有大小又有方向的量。

向量的大小称为向量的模。

向量可以用箭头表示，起点在原点，终点为坐标点的有向线段。

2. 向量的运算：
向量加法：向量加法满足三角形法则和平行四边形法则。

三角形法则的特点是首尾相连，平行四边形法则的特点是共起点。

向量数乘：一个实数与一个向量的乘积是一个向量，其模为该实数与原向量模的乘积，方向与原向量相同或相反。

向量的模：向量的大小称为向量的模，记作a。

3. 向量的数量积：两个向量的数量积是一个标量，记作a·b。

数量积的模等于两向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

4. 向量的向量积：两个向量的向量积是一个向量，记作a×b。

向量积的模
等于两向量的模的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。

5. 向量的混合积：三个向量的混合积是一个标量，记作a·b×c。

混合积的模等于三向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

6. 向量的应用：向量可以用于描述现实生活中的各种物理现象，如力、速度、加速度等。

同时，向量也在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。

以上是关于平面向量知识点的归纳，掌握这些知识点有助于更好地理解向量的概念和运算，并能够在数学和实际问题中灵活运用。

中职数学平面向量教案第一章：向量的概念1.1 向量的定义介绍向量的概念，向量的表示方法（字母表示和箭头表示）通过实际例子解释向量的方向和大小1.2 向量的几何表示介绍向量的几何表示方法，箭头表示向量的方向和长度绘制向量图，让学生理解向量的直观表示1.3 向量的坐标表示介绍向量的坐标表示方法，二维和三维空间中的向量坐标表示解释坐标轴上的向量表示，以及坐标系中的向量表示第二章：向量的运算2.1 向量的加法介绍向量的加法运算，同一直线上的向量加法，不同直线上的向量加法利用图形和坐标表示向量的加法运算2.2 向量的减法介绍向量的减法运算，通过加上相反向量实现向量的减法利用图形和坐标表示向量的减法运算2.3 向量的数乘介绍向量的数乘运算，即向量与实数的乘积解释数乘运算的性质和运算规律，利用图形和坐标表示向量的数乘运算第三章：向量的数量积3.1 向量的数量积定义介绍向量的数量积概念，即向量的点积解释数量积的性质和运算规律3.2 数量积的计算公式介绍数量积的计算公式，即两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与夹角的余弦值的乘积利用图形和坐标表示数量积的计算3.3 数量积的应用介绍数量积的应用，如判断两个向量的垂直关系，计算向量的模长和夹角利用实际例子展示数量积的应用第四章：向量的叉积4.1 向量的叉积定义介绍向量的叉积概念，即向量的叉积结果为一个向量，其方向垂直于原来的两个向量解释叉积的性质和运算规律4.2 叉积的计算公式介绍叉积的计算公式，即两个向量的叉积结果的模长等于它们的模长的乘积与夹角的正弦值的乘积，方向垂直于原来的两个向量利用图形和坐标表示叉积的计算4.3 叉积的应用介绍叉积的应用，如计算平行四边形的面积，求解两个向量的夹角利用实际例子展示叉积的应用第五章：向量的线性相关性5.1 向量的线性相关性定义介绍向量的线性相关性概念，即一组向量中存在至少一个向量可以由其他向量通过线性组合表示解释线性相关性的性质和判定条件5.2 向量的线性组合介绍向量的线性组合，即一组向量的加权和利用图形和坐标表示向量的线性组合5.3 向量的线性无关性介绍向量的线性无关性，即一组向量中没有任何一个向量可以由其他向量通过线性组合表示利用判定条件判断一组向量是否线性无关第六章：向量的应用6.1 物理中的应用介绍向量在物理学中的应用，如速度、加速度、力等物理量的向量表示通过实际例子解释向量在物理学中的作用6.2 几何中的应用介绍向量在几何中的应用，如计算线段的长度、夹角的大小、平行四边形的面积等通过实际例子解释向量在几何中的作用第七章：向量的分解7.1 向量的分解概念介绍向量的分解概念，即将一个向量分解为两个或多个向量的和解释向量分解的意义和作用7.2 向量的正交分解介绍向量的正交分解，即将一个向量分解为两个垂直向量的和利用正交基底进行向量分解，解释正交分解的性质和运算规律7.3 向量的坐标分解介绍向量的坐标分解，即将一个向量分解为坐标轴上的分量之和利用坐标表示向量的分解，解释坐标分解的性质和运算规律第八章：向量的方程8.1 向量的方程概念介绍向量的方程概念，即用向量的运算表达式描述向量之间的关系解释向量方程的意义和作用8.2 向量的线性方程组介绍向量的线性方程组，即由多个线性方程组成的方程组解向量的线性方程组，解释解的性质和判定条件8.3 向量的非线性方程介绍向量的非线性方程，即方程中包含向量的非线性运算通过实际例子解释向量非线性方程的解法和应用第九章：向量的空间9.1 向量的空间概念介绍向量的空间概念，即由向量组成的几何空间解释向量空间的意义和性质9.2 向量空间的基本性质介绍向量空间的基本性质，如向量加法、数乘运算的封闭性，线性组合的性质等解释向量空间的公理体系和判定条件9.3 向量空间的子空间介绍向量空间的子空间，即由原向量空间中的一部分向量组成的子集解释子空间的性质和运算规律，以及子空间之间的关系第十章：向量的进一步应用10.1 向量在工程中的应用介绍向量在工程技术中的应用，如力学、电路、控制等领域的向量表示和方法通过实际例子解释向量在工程中的应用和作用10.2 向量在计算机科学中的应用介绍向量在计算机科学中的应用，如图形学、计算机图形处理、机器学习等领域的向量表示和方法通过实际例子解释向量在计算机科学中的应用和作用10.3 向量在其他领域的应用介绍向量在其他领域中的应用，如经济学、生物学、环境科学等领域的向量表示和方法通过实际例子解释向量在其他领域的应用和作用重点和难点解析1. 向量的概念与几何表示：重点关注向量的定义和几何表示方法，理解向量的方向和大小。

平面向量的基本概念与运算平面向量是在平面上具有大小和方向的物理量，它可以用有向线段来表示。

平面向量的基本概念和运算是研究平面向量性质的基础，对于解决平面力学问题和几何问题具有重要的应用价值。

一、平面向量的基本概念1. 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的有向线段，通常用大写字母表示，如 A、B、C。

2. 零向量：长度为零的向量称为零向量，记作 O。

3. 平行向量：方向相同或相反的向量称为平行向量。

4. 直角向量：互相垂直的向量称为直角向量。

二、平面向量的表示方法1. 端点表示法：使用有向线段的起点和终点来表示向量，如 AB 表示从点 A 到点 B 的向量。

2. 坐标表示法：使用坐标表示向量的起点和终点，在平面直角坐标系中，向量 A 的坐标表示为 (x, y)。

三、平面向量的运算1. 加法运算：向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。

设有向量 A 的坐标表示为 (x1, y1)，向量 B 的坐标表示为 (x2, y2)，则向量 A + B 的坐标表示为 (x1 + x2, y1 + y2)。

2. 减法运算：向量的减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。

设有向量 A 的坐标表示为 (x1, y1)，向量 B 的坐标表示为 (x2, y2)，则向量 A - B 的坐标表示为 (x1 - x2, y1 - y2)。

3. 数乘运算：向量与一个实数的乘积称为数乘运算。

设有向量 A 的坐标表示为 (x, y)，实数 k，则 kA 的坐标表示为(kx, ky)。

4. 内积运算：两个向量的内积（数量积）是它们对应分量的乘积之和。

设有向量 A 的坐标表示为 (x1, y1)，向量 B 的坐标表示为 (x2, y2)，则向量 A · B 的坐标表示为 x1 * x2 + y1 * y2。

四、平面向量的性质1. 加法交换律：A + B = B + A2. 加法结合律：(A + B) + C = A + (B + C)3. 数乘分配律：k(A + B) = kA + kB4. 数乘结合律：(kl)A = k(lA)，其中 k、l 为实数五、平面向量的应用1. 向量共线性判定：若两个向量的模与它们的夹角满足 a = kb (k 为常数)，则称这两个向量共线。

第七章 平面向量 复习卷第一节 平面向量的基本概念与其基本运算1. 向量的概念(1)定义: 既有大小又有方向的量.(2)向量的表示：用a 、b 、m 等来表示, 或用来表示(它表示以A 为始点, B 为终点的向量)．(3)向量的长度(或模): 记为|a|或||.(4)0(零向量)：长度为0的向量, 其方向任意, 零向量没有确定的方向．(5)e(单位向量): |e|＝(6) a 的相反向量: 是指与a 长度相等且方向相反的向量, 记为(7) 相等向量(同一向量): 大小相等且方向相同的向量.2. 向量的加法运算(1)加法法则：三角形法则与平行四边形法则.(2)若干个向量相加的多边形法则A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋A 4A 5→＋…＋A n －1A n ＝ (首尾相接)(3)加法运算律: a ＋b ＝b ＋a (交换律) (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )(结合律) a ＋0＝0＋a ＝a ；a ＋(－a )＝0； AB →＋BA →＝0.3. 向量的减法运算(1)减法法则(如图所示).(2)a－b＝a＋(－b)即－＝(连接两个向量的终点, 且方向指向被减向量).(3)向量不等式 ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|4. 实数与向量的积(数乘向量)实数λ与向量a的乘积, 叫做数乘向量, 记作λa.(1)大小: |λa|＝(2)方向: λ＞0, λa与方向；λ＜0, λa与 a 方向；λ＝0, λa＝0.(3)运算律: λ(μa)＝(λμ)a ； (λ＋μ)a＝λa＋μa ；λ(a＋b)＝λa＋λb, （λ, μ为实数）5．两个向量平行(共线)的充要条件: a∥b⇔ (a≠0, λ∈R, λ存在且唯一)练习题1. 下列说法正确的是( )A. 相等向量就是与向量长度相等的向量B. 长度相等的向量叫做相等向量C. 共线向量是指在一条直线上的向量D. 0与任一向量共线2. a的负向量是( )A. 与a方向相反的向量B. 与|a|符号相反的向量C. 与a反向且大小相等的向量D. 以上均不对3．下列关于向量的关系式中, 正确的是( )A. ＋＝0B. －＝C. ＋＝D. －＝4. －3(a－b)＋4(a－b)＝( )A. aB. a＋bC. a－bD. 2a＋b5. ＋＋＝ .6. 在菱形ABCD中, 若＝a, ＝b, 则＝________, ＝________.7．若向量a表示“向东走6km”, 向量b表示“向北走6km”, 则向量a＋b 表示________．8. 下列命题正确的是( )A. 若|a|＝0, 则a＝0B. 若|a|＝|b|, 则a＝b或a＝－bC. 若a∥b, 则|a|＝|b|D. 若a＝0, 则－a＝09．平行四边形ABCD中, ＝a, ＝b, 则＝( )A. a－bB. b－aC. a＋bD. －a－b10. 2(a＋b)－3(2a－b)＝( )A. 4a＋5bB. －4a＋5bC. 5a＋4bD. －5a＋4b11.＋＋－＋＋＝________.12．已知＝(1, 3), ＝(3, 9), ＝λ, 则λ＝________．第二节平面向量的坐标表示1. 向量的坐标与其运算(1)向量的坐标在直角坐标系中, i、j分别为x, y轴正方向上的单位向量, 则i、j称为基底, 从而平面内任一向量a都可以表示成a＝xi＋yj, 把(x, y)叫做a的坐标, 记作a＝(x, y), 其中x称为a在x轴上的坐标, y称为a在y轴上的坐标.(2)在坐标平面内, 把任一向量的始点移到坐标原点后, 向量的终点坐标即为该向量的坐标.即: 若＝a, 且A(x, y), 则有a＝(x, y).(3)已知A(x1, y1), B(x2, y2), 则有＝(x2－x1, y2－y1).(4)向量的坐标运算若a＝(x1, y1), b＝(x2, y2), 则有a＋b＝(x1＋x2, y1＋y2)；a－b＝(x1－x2, y1－y2)；λa＝(λx1, λy1)；a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2.2. a＝(x1, y1), b＝(x2, y2), 则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.3. 中点坐标公式: 设A(x1, y1), B(x2, y2), A.B中点记为C(x, y), 则有x ＝, y＝.4. 向量的长度(模)计算公式：若a＝(x1, y1), 则|a|＝.5．两点间距离公式：若A(x1, y1), B(x2, y2), 则||＝.练习题1. 若向量a＝(3, －1), b＝(－1, 2), 则－3a－2b等于( )A. (7, 1)B. (－7, －1)C. (－7, 1)D. (7, －1)2. 点A(2, －1), B(－1, 3)则＝( )A. 5B.C. (－3, 4)D. (3, －4)3. 已知点A(2, 3), B(4, 3), 则其中点D的坐标为( )A. (2, 1)B. (2, 2)C. (3, 3)D. (6, 6)4. 已知A(1, －1), B(1, 3), 则||＝________.5. 已知a＝(2, 5), b＝(λ, 3), a∥b, 则λ＝________.6. 已知点A(－2, 1)和B(3, －2)且＝4, 则点P的坐标为________.7. 已知平面上三点A(1, 2)、B(4, 3)、C(6, 1), 若＝, 则点D坐标为________.8．若平行四边形ABCD的三个顶点A(－3, 0), B(2, －2), C(5, 2), 求顶点D的坐标．第三节平面向量的内积1. 向量a与b的夹角: 把向量a与b的始点移到同一点O, 作＝a, ＝b, 则∠AOB称为向量a、b的夹角, 记作〈a, b〉, 则〈a, b〉∈[0, π].2．向量a与b的内积: a·b＝|a||b|cos〈a, b〉．3. 两向量a、b夹角的计算公式:cos〈a, b〉＝＝ .4. 向量内积的重要结论: 设a、b是两个非零向量, 则有(1)a⊥b⇔〈a, b〉＝90°⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(2)a与b平行, 则a·b＝±|a||b|, 且同向取正, 反向取负.特别地, a·a＝a2＝|a|2即|a|＝.5．向量内积的坐标表示设a＝(x1, y1), b＝(x2, y2), 则a·b＝x1x2＋y1y26. 向量内积的运算律 (1)a·b＝b·a (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c练习题1. 若四边形ABCD中, ＝, 且·＝0, 则四边形ABCD一定是( )A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形2．已知向量a＝(3, 2), b＝(, 4), 则a·b＝( )A. 6B. 7C. 8D. 93. 下列等式正确的为( )A. 0·a＝0B. 0·a＝0C. |a·b|＝|a|·|b|D. a－a ＝04．设|a|＝3, |b|＝2, 且〈a, b〉＝120°, 则a·b＝( )A. 3B. －3C. 6D. －65．向量a＝(－2, 3), b＝(x, 4), 且a⊥b, 则x＝( )A. 6B. －6C.D. －6. 已知a·b＝3, |a|＝, |b|＝2, 则〈a, b〉＝________.7. 已知a＝(2, ), b＝(0, ), 则a·(2b)＝________.8. 已知a＝(k, －2), b＝(2k, k＋1), 求k的值, 分别使: (1)a⊥b；(2)a ∥b.9. 若向量a＝(4, －3), 则下列向量中与a垂直的向量是( )A. (3, －4)B. (3, 4)C. (－, )D. (, －)10．已知a＝(3, －4), b＝(－2, 3), 则a·(a＋b)＝( )A. －13B. 7C. 6D. 26。

第七章 平面向量第一部分：向量的概念及线性运算。

一． 向量的概念：1．向量：既有大小又有方向的量叫向量。

2． 向量的表示方法： 有向线段有向线段的长度表示大小，箭头表示方向。

记作AB 或a有向线段的三要素：起点、方向、长度3.向量的模：向量AB 的大小——长度称为向量的模。

记作：|| 或a 模是可以比较大小的4.两个特殊的向量：1、零向量：模为0的向量，记作0。

0的方向是不确定的。

注意0与0的区别2、单位向量：模为1的向量叫做单位向量。

二．向量间的关系：1．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

任一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫共线向量。

记作： a ∥b ∥c规定：0与任一向量平行2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

记作：a =b 规定：0=0任何两个相等的非零向量都可用一个有向线段表示，与起点无关。

3.负向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量，其中一个向量叫做另一个向量的负向量。

记作：-a规定：零向量的相反向量仍是零向量。

任一向量与它的相反向量的和是零向量。

()0a a +-=三、向量的加法：1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

注意：；两个向量的和仍然是向量（简称和向量）2．三角形法则：a b cA AB B BC a +b a +b a a b b b a b B a口诀：首尾相连，起点指向终点。

00a a a +=+=3. 平行四边形法则共起点，以两向量为邻边，作平行四边行，以公共起点发出的对角线即为和向量。

4、向量加法的交换律：a b b a +=+向量加法的结合律：()()a b c a b c ++=++四、 向量的减法：1、向量减法的定义：向量a 加上的b 负向量，叫做a 与b 的差。

即：()a b a b -=+- 求两个向量差的运算叫做向量的减法。

2.向量减法做图：AB 表示a b - 。

口诀：共起点，连终点，指向被减（即差向量“箭头”指向被减向量）五：向量的数乘运算（强调：“模”与“方向”两点)1.实数与向量的积，仍然是一个向量 定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa λa |=|λ||a |当λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =02．运算定律： 结合律：λ(μa )=(λμ)a ① 第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa ②第二分配律：λ(a +b )=λa +λb ③ 3.向量共线充要条件：非零向量b 与a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa六．平面向量定理：线性组合：一般，λa +μb 叫做a ，b 的一个线性组合。