圆锥曲线与方程变式练习

圆锥曲线基础训练题姓名____________分数______________一、选择题1 ．抛物线y 2=ax 的焦点坐标为(-2,0),则抛物线方程为（ ）A ．y 2=-4x B ．y 2=4x C ．y 2=-8x D ．y 2=8x2 ．如果椭圆的两个焦点三等分它所在的准线间的垂线段，那么椭圆的离心率为 （ ）A ．23 B ．33 C ．36 D ．66 3 ．双曲线191622=-y x 的渐近线方程为 （ ）A ． x y 34±= B ．x y 45±= C ．x y 35±= D ．x y 43±= 4 ．抛物线 x y 42= 的焦点坐标是（ ）A ．（－1，0）B ．（1，0）C ．（0，－1）D ．（0，1）5 ．双曲线221916y x -=的准线方程是 （ ） A 165x =±B 95x =±C 95y =±D 165y =± 6 ．双曲线221169x y -=上的点P 到点(5,0)的距离是15,则P 到点(-5,0)的距离是 （ ）A ．7B ．23C ．5或23D ．7或237 ．双曲线1322=-y x 的两条渐近线方程是 （ ）A ．03=±y xB ．03=±y xC ．03=±y xD ．03=±y x8 ．以椭圆的焦点为圆心，以焦距为半径的圆过椭圆的两个顶点，则椭圆的离心率为 （ ）A ．43)D (23)C (22)B (219 ．抛物线y x 42=上一点A 纵坐标为4,则点A 与抛物线焦点的距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．抛物线()042<=a ax y 的焦点坐标是（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛041，a B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1610，C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1610，D ．⎪⎭⎫⎝⎛0161，a 11．椭圆2x 2=1-3y 2的顶点坐标为（ ）A ．(±3，0)，(0，±2)B ．(±2，0)，(0，±3)C ．(±22，0)，(0，±33) D ．(±12，0)，(0，±13) 12．焦距是10，虚轴长是8，经过点(23, 4)的双曲线的标准方程是（ ）A ．116922=-y x B ．116922=-x y C ．1643622=-y x D ．1643622=-x y 13．双曲线22124x y -=-的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．x =C ．12y x =±D ．12x y =±14．已知椭圆方程为1322=+y x ，那么左焦点到左准线的距离为 （ ）A ．22 B ．223 C ．2D ．2315．抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，此抛物线的方程是 （ ）A ．y 2=16xB ．y 2=12xC ．y 2= -16xD ．y 2= -12x16．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．13B ．3C ．12 D ．217．下列表示的焦点在y 轴上的双曲线方程是（ ）A ．13422=+y xB ．14322=+y xC ．13422=-y xD ．13422=-x y 18．抛物线y =2px 2(p ≠0)的焦点坐标为（ ）A ．(0，p )B ．(10,4p ) C ．(10,8p) D ．(10,8p±) 19．与椭圆205422=+y x 有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（ ）A ．x y 42=B ．x y 42±=C ．y x 42=D ．y y 42±=20．已知双曲线的渐近线方程为x y43±=，则此双曲线的（ ）A ．焦距为10B ．实轴和虚轴长分别是8和6C ．离心率是45或35 D ．离心率不确定21．双曲线122=-y x 的渐近线方程是（ ）A ．±=x 1B ．y =C ．x y ±=D ．x y 22±= 22．若命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f(x ，y)=0的解”是正确的，则以下命题中正确的是（ ）A ．方程(x ，y)=0的曲线是CB ．坐标满足方程f(x ，y)=0的点都在曲线C 上 C ．曲线C 是方程f(x ，y)=0的轨迹D ．方程f(x ，y)=0的曲线不一定是C23．双曲线221916y x -=的准线方程是 （ ）A ．165x =±B ．95x =±C ．95y =±D ．165y =±24．双曲线191622=-x y 的焦点坐标是 （ ）A ．()0,5和()0,5-B ．()5,0和()5,0-C ．()0,7和()0,7- D ．()7,0和()7,0-25．已知抛物线的焦点坐标为(－3,0),准线方程为x =3,则抛物线方程是（ ）A ．y 2+6x =0B ．y 2+12x =0C ．y +6x 2=0D ．y +12x 2=0 26．双曲线 191622=-y x 的渐近线的方程是（ ）A ．x y 43±= B ．x y 34±= C ．x y 169±= D ．x y 916±= 27．对抛物线24y x =,下列描述正确的是（ ）A ．开口向上,焦点为(0,1)B ．开口向上,焦点为1(0,)16 C ．开口向右,焦点为(1,0)D ．开口向右,焦点为1(0,)1628．双曲线2y 2-x 2=4的一个焦点坐标是（ ）A ．(0,-)6B ．(6,0)C ．(0,-2)D ．(2,0)29．若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为 （ ）A ．－2B ．2C ．－4D ．430．到直线x=－2与定点P （2，0）距离相等的点的轨迹是（ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线二、填空题31．(1)短轴长为6，且过点(1，4)的椭圆标准方程是(2)顶点(-6，0)，(6，0)过点(3，3)的椭圆方程是 32．与两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是________________________33．椭圆4422=+y x 的焦点坐标为___________，__________． 34．抛物线x y 42=的准线方程为______ 35．到x 轴,y 轴距离相等的点的轨迹方程_________.36．已知两个定点1(4,0)F -,2(4,0)F ,动点P 到12,F F 的距离的差的绝对值等于6,则点P 的轨迹方程是 ;37．若双曲线22145x y -=上一点P 到右焦点的距离为8，则P 到左准线的距离为38．若定点(1,2)A 与动点(),Px y 满足，4OP OA ⋅=则点P 的轨迹方程是39．已知双曲线的离心率为2，则它的实轴长和虚轴长的比为 。

圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠， 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。

圆锥曲线大题综合归类：五个方程型目录重难点题型归纳 1【题型一】基础型 1【题型二】直线设为：x=ty+m型 4【题型三】直线无斜率不过定点设法：双变量型 7【题型四】面积最值 10【题型五】最值与范围型 13【题型六】定点：直线定点 15【题型七】定点：圆过定点 18【题型八】定值 21【题型九】定直线 23【题型十】斜率型：斜率和定 26【题型十一】斜率型：斜率和 29【题型十二】斜率型：斜率比 31【题型十三】斜率型：三斜率 34【题型十四】定比分点型：a=tb 36【题型十五】切线型 38【题型十六】复杂的“第六个方程” 41好题演练 45重难点题型归纳重难点题型归纳题型一基础型【典例分析】1已知椭圆x2a21+y2b21=1a1>b1>0与双曲线x2a22-y2b22=1a2>0,b2>0有共同的焦点，双曲线的左顶点为A-1,0，过A斜率为3的直线和双曲线仅有一个公共点A，双曲线的离心率是椭圆离心率的3倍.(1)求双曲线和椭圆的标准方程；(2)椭圆上存在一点P x P,y P-1<x P<0,y P>0，过AP的直线l与双曲线的左支相交于与A不重合的另一点B，若以BP为直径的圆经过双曲线的右顶点E，求直线l的方程.1已知F 是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点，过点P t ,b 的直线l 交C 于不同两点A ,B .当t =a ，且l 经过原点时，AB =6,AF +BF =22.(1)求C 的方程；(2)D 为C 的上顶点，当t =4，且直线AD ,BD 的斜率分别为k 1,k 2时，求1k 1+1k 2的值.题型二直线设为：x =ty +m 型【典例分析】1已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左､右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为P ，点Q 0,b ，PF 2=1，∠F 1PQ =60°.(1)求双曲线C 的方程；(2)直线l 经过点F 2，且与双曲线C 相交于A ，B 两点，若△F 1AB 的面积为610，求直线l 的方程.1已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F，右顶点为A，离心率为22，B为椭圆C上一动点，△FAB面积的最大值为2+1 2．(1)求椭圆C的方程；(2)经过F且不垂直于坐标轴的直线l与C交于M，N两点，x轴上点P满足PM=PN，若MN=λFP，求λ的值．题型三直线无斜率不过定点设法：双变量型【典例分析】1已知抛物线：y 2=2px p >0 ，过其焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，与椭圆x 2a 2+y 2=1a >1 交于C 、D 两点，其中OA ⋅OB =-3．(1)求抛物线方程；(2)是否存在直线AB ，使得CD 是FA 与FB 的等比中项，若存在，请求出AB 的方程及a ；若不存在，请说明理由．1已知双曲线E 的顶点为A -1,0 ，B 1,0 ，过右焦点F 作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点G ，且S △OFG =324.点P 为x 轴正半轴上异于点B 的任意点，过点P 的直线l 交双曲线于C ，D 两点，直线AC 与直线BD 交于点H .(1)求双曲线E 的标准方程；(2)求证：OP ⋅OH 为定值.题型四面积最值【典例分析】1已知椭圆x 23+y 22=1的左、右焦点分别为F 1，F 2．过F 1的直线交椭圆于B ,D 两点，过F 2的直线交椭圆于A ,C 两点，且AC ⊥BD ，垂足为P ．(1)设P 点的坐标为(x 0,y 0)，证明：x 203+y 202<1；(2)求四边形ABCD 的面积的最小值．1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.2020年新高考全国卷Ⅱ数学试题(海南卷)题型五最值与范围型【典例分析】1设F 1、F 2分别是椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点．(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1 ⋅PF 2 =-54，求点P 的坐标；(2)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．1已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)一个顶点A(0,-2)，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为45．(1)求椭圆E的方程；(2)过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．2021年北京市高考数学试题题型六定点：直线定点【典例分析】1已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上的一点，直线MF的斜率为-1,△OFM的面积为1．(1)求C的方程；(2)过点F作一条直线l ，交C于A,B两点，试问在l上是否存在定点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，四点P 12,2 ，P 20,2 ，P 3-2,2 ，P 42,2 中恰有三点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，若∠AMP 2=2∠ABP 2，试问直线l 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.题型七定点：圆过定点【典例分析】1如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py(p>0)上．(1) 求抛物线E的方程；(2) 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点【变式演练】1已知动点P到点F1,0的距离与到直线l:x=4的距离之比为12，记点P的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)曲线E与x轴正半轴交于点M，过F的直线交曲线E于A，B两点(异于点M)，连接AM，BM并延长分别交l于D，C，试问：以CD为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点，若不是，说明理由．【典例分析】1如图，已知抛物线C :x 2=4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ,B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点).(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)与直线y =2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2-|MN 1|2为定值，并求此定值.【变式演练】1已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P (1，2)．过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．(Ⅰ)求直线l 的斜率的取值范围；(Ⅱ)设O 为原点，QM =λQO ，QN =μQO ，求证：1λ+1μ为定值．.【典例分析】1已知直线l:x=my-1，圆C:x2+y2+4x=0.(1)证明：直线l与圆C相交；(2)设直线l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；(3)在(2)的条件下，设圆C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，l1与l2的交点为Q.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.【变式演练】1已知双曲线E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2，F1F2=23且双曲线E经过点A3,2．(1)求双曲线E的方程；(2)过点P2,1作动直线l，与双曲线的左、右支分别交于点M、N，在线段MN上取异于点M、N的点H，满足PMPN=MHHN，求证：点H恒在一条定直线上．【典例分析】1已知点F是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，P是椭圆E的上顶点，O为坐标原点且tan∠PFO=33.(1)求椭圆的离心率e；(2)已知M1,0，N4,3，过点M作任意直线l与椭圆E交于A，B两点.设直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=2，求椭圆E的方程.【变式演练】1在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q的动圆恒过点F(1,0)，且与直线x=-1相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线Γ.(Ⅰ)求曲线Γ的方程；(Ⅱ)过点F的两条直线l1、l2与曲线Γ相交于A、B、C、D四点，且M、N分别为AB、CD的中点.设l1与l2的斜率依次为k1、k2，若k1+k2=-1，求证：直线MN恒过定点.【典例分析】1设椭圆方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，A-2,0，B2,0分别是椭圆的左、右顶点，动直线l过点C6,0，当直线l经过点D-2,2时，直线l与椭圆相切.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l与椭圆交于P，Q(异于A，B)两点，且直线AP与BQ的斜率之和为-12，求直线l的方程.【变式演练】1已知点M1,3 2在椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上，A，B分别是椭圆的左、右顶点，直线MA和MB的斜率之和满足：k MA+k MB=-1.(1)求椭圆的标准方程；(2)斜率为1的直线交椭圆于P，Q两点，椭圆上是否存在定点T，使直线PT和QT的斜率之和满足k PT+k QT=0(P，Q与T均不重合)？若存在，求出T点坐标；若不存在，说明理由.【典例分析】1已知圆F 1:x 2+y 2+2x -15=0和定点F 2(1,0),P 是圆F 1上任意一点，线段PF 2的垂直平分线交PF 1于点M ，设动点M 的轨迹为曲线E ．(1)求曲线E 的方程；(2)设A (-2,0),B (2,0)，过F 2的直线l 交曲线E 于M ，N 两点(点M 在x 轴上方)，设直线AM 与BN 的斜率分别为k 1,k 2，求证：k 1k 2为定值．【变式演练】1已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >0，b >0)，离心率e =55，P 为椭圆上一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，若△PF 1F 2的周长为2+25.(1)求椭圆E 的方程；(2)已知四边形ABCD (端点不与椭圆顶点重合)为椭圆的内接四边形，且AF 2 =λF 2C ，BF 2 =μF 2D ，若直线CD 斜率是直线AB 斜率的52倍，试问直线AB 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由.江西省重点中学协作体2023届高三下学期第一次联考数学(理)试题题型十三斜率型：三斜率【典例分析】1已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，且P1,32在椭圆C上，PF垂直于x轴.(1)求椭圆C的方程.(2)过点F的直线l交椭圆C于A,B(异于点P)两点，D为直线l上一点.设直线PA,PD,PB的斜率分别为k1,k2,k3，若k1+k3=2k2，证明：点D的横坐标为定值.【变式演练】1在平面内动点P与两定点A1(-3,0),A2(3,0)连线斜率之积为-23．(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)已知点F1(-1,0),F2(1,0)，过点P作轨迹E的切线其斜率记为k(k≠0)，当直线PF1,PF2斜率存在时分别记为k1,k2．探索1k⋅1k1+1k2是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．题型十四定比分点型：a =tb【典例分析】1已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，倾斜角为30°的直线过椭圆的左焦点F 1和上顶点B ，且S △ABF 1=1+32(其中A 为右顶点).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点M (0,m )的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，且PM =2MQ ，求实数m 的取值范围.【变式演练】1已知点M ，N 分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点与上顶点，原点O 到直线MN 的距离为32，且椭圆的离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率不为0的直线经过椭圆右焦点F 2，并且与椭圆交于A ，B 两点，若AF 2 =12F 2B ，求直线AB 的方程．题型十五切线型【典例分析】1法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中，离心率e =12，左、右焦点分别是F 1、F 2，上顶点为Q ，且QF 2 =2，O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程，并请直接写出椭圆C 的蒙日圆的方程；(2)设P 是椭圆C 外一动点(不在坐标轴上)，过P 作椭圆C 的两条切线，过P 作x 轴的垂线，垂足H ，若两切线斜率都存在且斜率之积为-12，求△POH 面积的最大值.【变式演练】1已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，三角形AF1F2的周长为6，面积为3．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点M是椭圆C外一点，过点M所作椭圆的两条切线互相垂直，求三角形AF2M面积的最大值．题型十六复杂的“第六个方程”【典例分析】1如图，已知点B2,1，点N为直线OB上除O，B两点外的任意一点，BK，NH分别垂直y轴于点K，H，NA⊥BK于点A，直线OA，NH的交点为M.(1)求点M的轨迹方程；(2)若E3,0，C，G是点M的轨迹在第一象限的点(C在G的右侧)，且直线EC，EG的斜率之和为0，若△CEG的面积为152，求tan∠CEG.【变式演练】1已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为32，且椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程；(2)设A为椭圆C的左顶点，过点A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过原点且与l平行的直线与椭圆交于点P.求SΔPAN⋅SΔPAM(SΔAOP)2的值.好题演练1(2023·贵州毕节·统考模拟预测)已知椭圆C的下顶点M，右焦点为F，N为线段MF的中点，O为坐标原点，ON=32，点F与椭圆C任意一点的距离的最小值为3-2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l：y=kx+m k≠0与椭圆C交于A，B两点，若存在过点M的直线l ，使得点A与点B关于直线l 对称，求△MAB的面积的取值范围.2(2023·天津南开·统考二模)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，坐标原点O到直线AD的距离为255.(1)求椭圆的方程；(2)过A点作两条互相垂直的直线AP，AQ与椭圆交于P，Q两点，求△BPQ面积的最大值.3(2023·河北·统考模拟预测)已知直线l ：x =12与点F 2,0 ，过直线l 上的一动点Q 作直线PQ ⊥l ，且点P 满足PF +2PQ ⋅PF -2PQ =0．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作直线与C 交于A ，B 两点，设M -1,0 ，直线AM 与直线l 相交于点N ．试问：直线BN 是否经过x 轴上一定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．4(2023·北京东城·统考二模)已知焦点为F 的抛物线C :y 2=2px (p >0)经过点M (1,2)．(1)设O 为坐标原点，求抛物线C 的准线方程及△OFM 的面积；(2)设斜率为k (k ≠0)的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ,B ，若以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．5(2023·四川自贡·统考三模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率e =22，设A 62,12 ，B -62,12，P 0,2 ，其中A ，B 两点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P 的直线交椭圆C 于M ，N 两点(M 在线段AB 上方)，在AN 上取一点H ，连接MH 交线段AB 于T ，若T 为MH 的中点，证明：直线MH 的斜率为定值．6(2023·江西赣州·统考二模)在平面直角坐标系xOy 中，F 1(-1,0)，F 2(1,0)，点P 为平面内的动点，且满足∠F 1PF 2=2θ，PF 1 ⋅PF 2 cos 2θ=2．(1)求PF 1 +PF 2 的值，并求出点P 的轨迹E 的方程；(2)过F 1作直线l 与E 交于A 、B 两点，B 关于原点O 的对称点为点C ，直线AF 2与直线CF 1的交点为T ．当直线l 的斜率和直线OT 的斜率的倒数之和的绝对值取得值最小值时，求直线l 的方程．7(2023·四川乐山·统考三模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (2,0)，短轴长等于焦距．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线交C 于P ，Q ，交直线x =22于点N ，记OP ，OQ ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，若(k 1+k 2)k 3=1，求|OP |2+|OQ |2的值．8(2023·贵州贵阳·统考模拟预测)已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 与椭圆C 2：x 22+y 2=1的离心率相等，C 1的焦距是22．(1)求C 1的标准方程；(2)P 为直线l ：x =4上任意一点，是否在x 轴上存在定点T ，使得直线PT 与曲线C 1的交点A ，B 满足PA PB =AT TB？若存在，求出点T 的坐标．若不存在，请说明理由．。

圆锥曲线典型训练100题1.如图,已知A ,B 是椭圆22143x y +=的长轴顶点,P ,Q 是椭圆上的两点,且满足2AP QB k k =,其中AP k 、QB k 分别为直线AP 、QB 的斜率.（1）求证：直线AP 和BQ 的交点R 在定直线上； （2）求证：直线PQ 过定点； （3）求PQB ∆和PQA ∆面积的比值.2.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 上的点到焦点的最大距离为3，离心率为21.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l ：01=+-my x 与椭圆C 交于不同两点A ，B ，与x 轴交于点D ，且满足DB DA λ=,若3121-<≤-λ，求实数m 的取值范围.3.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率是22，且经过抛物线y x 42=的焦点。

（1）求椭圆C 的标准方程；（2）经过原点作直线l （不与坐标轴重合）交椭圆于A ，B 两点，AD x ⊥轴于点D ，点E 为椭圆C 上的点，且0=⋅AB AE 。

若直线BE ，BD 的斜率均存在，且分别记为BD BE k k ,,求证：BDBEk k 为定值；并求出该值。

4.已知椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为)0,3(1-F ,椭圆C 与直线022=-+y x 交于A ，B 两点，线段AB 中点为)21,1(M . （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 不经过点)1,0(N 且与C 相交于E ，F 两点.若直线NE 与直线NF 的斜率的 和为－1，证明：l 过定点.5.已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F 在y 轴正半轴上，圆心在直线12y x =上的圆E 与x 轴相切，且EF 关于点()1,0M -对称． （Ⅰ）求E 和Γ的标准方程；（Ⅱ）过点M 的直线l 与E 交于A ，B ，与Γ交于C ，D ，求证：CD AB >．6.已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0）的右焦点为F (2,0)，过点F 的直线交椭圆于M 、N 两点且MN 的中点坐标为（1，22) ． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过点P （0，b ）且与C 相交于A ，B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率的和为1，试判断直线 l 是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由.7.已知(2,0),(2,0)A B -，动点M 满足2AMB θ∠=，24||||cos AM BM θ⋅=uuu r uuu r. （1）求||||AM BM +u u u r u u u r的值，并写出M 的轨迹曲线C 的方程；（2）动直线:l y kx m =+与曲线C 交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，是否存在圆222x y r +=使得直线l 恰好是该圆的切线，若存在，求出圆的方程；若不存在，说明理由.8.已知椭圆1:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，20P -（，）是它的一个顶点，过点P 作圆2222:C x y r +=的切线PT ，T为切点，且PT =(1)求椭圆C 1及圆C 2的方程；(2)过点P 作互相垂直的两条直线l 1，l 2，其中l 1与椭圆的另一交点为D ，l 2与圆交于A ，B 两点，求△ABD 面积的最大值.9.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B，离心率2e =，O 为坐标原点，圆224:5O x y +=与直线AB 相切. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知四边形ABCD 内接于椭圆E ，AB ∥DC .记直线AC ，BD 的斜率分别为12,k k ，试问12k k ⋅是否为定值？证明你的结论.10.已知直线l ：y x =与圆225x y +=相交的弦长等于椭圆C ：22219x y b+=（03b <<）的焦距长． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为原点，椭圆C 与抛物线22y px =（0p >）交于M 、N 两点，点P 为椭圆C 上一动点，若直线PM 、PN 与x 轴分别交于G 、H 两点，求证：||||OG OH ⋅为定值．11.已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作直线l与椭圆C 交于M ，N 两点.（1）已知M ，椭圆C 的离心率为12，直线l 交直线4x =于点P ， 求1F MN ∆的周长及1F MP ∆的面积；（2）当224a b +=且点M 在第一象限时，直线l 交y 轴于点Q ，11F M FQ ⊥， 证明：点M 在定直线上.12.已知离心率为22的椭圆C ： 22a x +22by =1（a ＞b ＞0）过点P （﹣1，22）．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线AB ：y=k （x+1）交椭圆C 于A 、B 两点，交直线l ：x=m 于点M ，设直线PA 、PB 、PM 的斜率依次为k 1、k 2、k 3，问是否存在实数t ，使得k 1+k 2=tk 3？若存在，求出实数t 的值以及直线l 的方程；若不存在，请说明理由．13.在平面直角坐标系xOy 中，设动点M 到坐标原点的距离到x 轴的距离分别为d 1，d 2，且221234d d +=，记动点M 的轨迹为Ω.（1）求Ω的方程；（2）设过点(0,－2)的直线l 与Ω相交于A ，B 两点，当△AOB 的面积最大时，求|AB |.14.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(1,0),F 左顶点为(2,0).A -（1）求椭圆E 的方程；（2）过点A 作两条相互垂直的直线分别与椭圆E 交于（不同于点A 的）M ,N 两点.试判断直线MN 与x 轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由.15.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，F 为该椭圆的右焦点，过点F 任作一直线l 交椭圆于,M N 两点，且||MN 的最大值为4. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左顶点为A ，若直线AM ，AN 分别交直线2x a =于P ，Q 两点，求证：FP FQ ⊥.16.已知椭圆Ma＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l：x ky m=+与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值．17.已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>，圆Q：()(222=2x y-+的圆心Q在椭圆C上，点P（0C（I）求椭圆C的方程；（II）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．18.设椭圆E 的方程为2221x y a +=（1a >），点O 为坐标原点，点A ，B 的坐标分别为(,0)a ，(0,1)，点M 在线段AB 上，满足||2||BM MA =，直线OM 的斜率为14． （1）求椭圆E 的方程；（2）若斜率为k 的直线l 交椭圆E 于C ，D 两点，交y 轴于点(0,)T t （1t ≠），问是否存在实数t 使得以CD 为直径的圆恒过点B ？若存在，求t 的值，若不存在，说出理由．19.设椭圆22221x x a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . A的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅=. （I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值.20.已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ= ，QN QO μ= ，求证：11λμ+为定值．21.已知离心率为12的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,,F F A 是椭圆C的左顶点，且满足124AF AF +=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上异于A 点的两个动点，且满足AM AN ⊥，问直线MN 是否恒过定点？说明理由．22.已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23， A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点点()1,2-P 满足121=⋅PA PA . (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.23.已知椭圆Γ：22142x y +=，过点(1,1)P 作倾斜角互补的两条不同直线1l ，2l ，设1l 与椭圆Γ交于A 、B 两点，2l 与椭圆Γ交于C ，D 两点. （1）若(1,1)P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程； （2）记AB CDλ=，求λ的取值范围.24.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 的上、下、左、右四个顶点分别为A 、B 、C 、D ，x轴正半轴上的某点G 满足432===GC GA GD ，， （1）求椭圆的方程；（2）设该椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在圆222x y b +=上， 且M 在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于P ,Q 两点， 求证：△PF 2Q 的周长是定值．25.设,,,P Q R S 是椭圆2222:x y M a b+=1(0)a b >>的四个顶点，菱形PQRS 的面积与其内切圆面积分别为367π.椭圆M 的内接ABC ∆的重心(三条中线的交点)为坐标原点O .(I)求椭圆M 的方程；(Ⅱ) ABC ∆的面积是否为定值?若是，求出该定值，若不是，请说明理由.26.已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ，且焦距为2，直线l 交椭圆Γ于E 、F 两点（点E 、F 与点A 不重合），且满足AE AF ⊥.（1）求椭圆的标准方程；（2）O 为坐标原点，若点P 满足2OP OE OF =+，求直线AP 的斜率的取值范围.27.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>错误！未找到引用源。

第十章 圆锥曲线【例10．1变式1】解析 由椭圆的定义知210a ==，从而2225,3,16a c b a c ===-=，又焦点在y 轴上，故椭圆的方程为2212516y x +=.评注 也可用待定系数法，设椭圆方程为()222210y x a b a b +=>>，由2222222916351c a b ab ⎧=-=⎪⎪⎛⎫⎨ ⎪⎪⎝⎭+=⎪⎩，求出2225,16a b ==. 【例10.1变式2】解析 解法一： 若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程是()222210y x a b a b +=>>，左右焦点分别为()()12,0,,0F c F c-，则122|PF ||PF |a =+=，所以a =在方程22221y x a b +=中，令x c =±，得2|y |3b a ==，又a =，所以2103b =，即椭圆的方程为2231510x y +=，同理可得焦点在y 轴上的标准方程2231510y x +=. 解法二： 设椭圆的两个焦点分别为12,FF，则12|PF |PF |==，由椭圆定义知122|PF ||PF |a =+=，即a =12|PF ||PF |>知，2|PF |垂直于长轴. 故在12Rt PF F ∆中，()22212202|PF ||PF |3c =-=，所以253c =，于是222103b ac =-=，又所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，也可以在y 轴上，故所求的椭圆方程为2231510x y +=或2231510y x +=. 评注 (1)用待定系数法求椭圆方程时，当题目的条件不能确定椭圆的焦点位置时，应注意分两种情况来设方程，分别计算；有时也可以直接设成()2210,0,y x m n m n m n +=>>≠. (2)过椭圆焦点与长轴垂直的直线截椭圆的弦叫作通径，其长度为22b a.【例10.2变式1】解析 如图10-49所示，由题设知动圆P 与圆B 内切，设动圆P 和定圆B 内争于点M ，动点P 到定点()3,0A -和圆心()3,0B 的距离之和等于圆B 的半径，即|PA ||PB||PM ||PB||BM |86|AB|+=+==>=.所以点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，长半轴长为4，短半轴长为b ==为221167x y +=. 【例10.2变式2】解析 依题意，两定圆的圆心和半径分别为()()11223,0,1,3,0,9O r O r -==，设动圆圆心(),M x y ，半径为R ，则由题意可得12|MO |1R,|MO |9R =+=-，故1212|MO ||MO |10|O O |+=>由椭圆的定义知，M 在以12,O O 为焦点的椭圆上，且5,3a c ==，所以22225916b a c =-=-=，故动圆圆心的轨迹方程为2212516x y +=. 【例10.2变式3】解析 如图10-50所示，设动圆P 的半径为r ，圆1O 的半径为1r ，圆2O 的半径为2r ，则1122|PO |,|PO |,r r r r =-=+1212|PO ||PO |426r r +=+=+=，即3,a b ===，从而轨迹方程为22195x y +=， 设点A ，B 分别为圆1O 与圆2O 的交点，又圆P 在圆1O 内，且在圆2O 外，P 点向右可无限靠近圆1O 与圆2O 的交点A ，B ，由()()222221624x y x y ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，解得32x =，故32P x <，所以点P 的轨迹方程为22313952x y x ⎛⎫+=-≤< ⎪⎝⎭. 【例10.3变式1】解析 设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，如图10-51所示，因为2ABF ∆的周长为221212|AB ||BF ||AF ||AF ||AF ||BF ||BF |++=+++， 即416a =， 故216a =，由2e =知，2c a =，即2282a c ==， 故2221688b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为221168x y +=. 【例10.3变式2】解析 解法一：由e =c a =2215c a =，可得225a c =，22224b a c c =-=，设椭圆方程为2222154x y c c+=，将()5,4P -代入，可得29c =故椭圆的方程为2214536x y +=． 解法二：由题意5e =，故有222222415b ac e a a -==-=，故设椭圆方程为()22054x y λλ+=>，又因椭圆过点()5,4P -，代入椭圆方程，可得9λ=． 故椭圆的方程为22954x y +=，即2214536x y +=． 评注 应牢牢掌握与离心率e 有关的几个数量关系.在椭圆中，c e a ==，图10-512221b e a =-；在双曲线中，c e a ==2221b e a =-． 【例10．3变式3】解析 设椭圆的标准方程为()2210,0,x y m n m n m n+=>>≠， 由题设得14019915144m nm n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得95m n =⎧⎨=⎩，故所求的方程为22195x y +=． 评注 将椭圆的标准方程设为221(0,0Ax By A B +=>>，且)A B ≠，解方程组更方便． 【例10．4变式1】解析 由22122x y k+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则22k >，解得()0,1k ∈． 【例10．4变式2】解析 把椭圆方程化为22111x y m n+=表示焦点在y 轴上的椭圆⇔110n m >>，即 0m n >>，故选C ．【例10．4变式3】解析 原方程标准化为2218852x y m m +=-- 因为焦点在x 上，所以88052m m >>--，解得7,52m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 【例10．5变式1】解析 由题设可知1121||,||2,||AF a c F F c BF a c =-==+， 故4c a c a c =-++，即2c a =， 所以12c e a ==． 【例10．5变式2】解析 因为090BAO BFO ∠+∠=，所以tan 1BAO BFO ∠∠=，即1b b a c⨯=，得2b ac =，又222a b c =+，故22a ac c =+，即220c ac a +-=，由c e a=可得210e e +-=，解得e =e =（舍去），所以e =． 【例10．6变式1】解析 如图10-52所示，不妨设正方形ABCD 的边长为1，根据椭圆定义知2|AC ||BC |1,|AB |2c 1a =+===，所以212c e a ===，1． 【例10．6变式2】解析 因为AF 1垂直于x 轴，所以22121|AF |AF AF c ==，故1|AF |c =，又12||2F F c =，所以2|AF |5c =，12122122F F c e a AF AF =====+，故选C ． 评注 也可由21|AF |b c a==直接去解e ． 【例10．6变式3】分析 利用椭圆定义寻求,,a b c 之间的关系，进一步求解离心率．解析 已知()()12,0,,0F c F c -，直线)y x c =+过点1F，且斜率为，所以倾斜角01260MF F ∠=．如图10-53所示，因为021121302MF F MF F ∠=∠=， 所以01290F MF ∠=，所以12,MF c MF ==，由椭圆定义知122MF MF c a +==，所以离心率1c e a ===．【例10．6变式4】解析 由直线1F M 与圆F 2相切得12MF MF ⊥，又2MF c =，122F F c =，故1MF =，所以1212212F F c e a MF MF ====+，故选A ． 【例10．7变式1】解析 解法一：因为满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部，故以坐标原点为圆心，c 为半径的圆总在椭圆内部，即22221,,2c b c a c e <<-<，得02e <<．解法二：因为满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部，所以对于椭圆上任意一点P 都有1290F PF ∠<，故最大顶角小于090，从而0900sin 22e <<=，即02e <<，故选C ．评注：若椭圆上存在点P 使得12F PF α∠=（F 1，F 2为焦点，()0,απ∈），则sin ,12e α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，反之，0,sin2e α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 【例10．8变式1】解析 当123PF PF =时，12242PF PF PF a +==， 故2112123,,22a a PF PF PF PF F F ==-≤，即2a c ≤，故1,12e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，经验证只有选项D 符合，故选D ．【例10．8变式2】解析 解法一：在12PF F ∆中，由正弦定理得122112sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，所以212211sin sin PF PF F ce PF F PF a ∠===∠ ，则1211PF PFe=>，由结论知11111e e e-<<+11e <<，则该椭圆的离心率的取值范围是)1,1．解法二：依题意，所以212211sin sin PF PF F ce PF F PF a∠===∠ ，故21PF e PF =，121222PF PF a PF PF c ⎧+=⎪⎨-<⎪⎩，即11211212210122PF e PF a e ce e c e a PF e PF c⎧+=-⎪⇒<=⇒+->⎨+-<⎪⎩，又因为()0,1e ∈11e <<，该椭圆的离心率的取值范围是)1,1-．【例10．9变式1】解析 解法一：由22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=()221212121222PF PF PF PF F F PF PF +--=22121212422512213b PF PF b PF PF PF PF -==-=得21213139b PF PF ==． 1212121112sin 1362213PF F S PF PF F PF ∆=∠=⨯⨯=． 解法二：设12F PF θ∠=，由25cos 2cos 1132θθ==-得2229113cos ,1tan 21329cos 2θθθ=+==，2tan 23θ=， 122tan62PF F S b θ∆==．【例10．9变式2】解析 如图10-54所示，设12,PF m PF n ==，则有4m n +=，在12PF F ∆中，由余弦定理可得22122cos60m n mn =+-， 即()2212m n mn mn +--=，解得43mn =，又1201sin 60243PF F S mn mn ∆===，所以121122p p F F y ⨯=⨯=． 所以13p y =，即点P 到x 轴的距离为13． 评注：求点P 到x 轴的距离等价于求P 点的纵坐标的绝对值，又01260F PF ∠=，所以1220tantan 3023PF F S b θ∆===，即1211223p p F F y y ⨯⨯=⨯=13p y =．图10-54在椭圆()222210x y a b a b +=>>中，焦点三角形的面积122tan 2PF F S b θ∆=，其中12F PF θ=∠，请同学们记住这个结论．【例10．10变式1】解析 设()()()12,,,,,P x y PF c x y PF c x y =---=--，22222222122c PF PF x y c x b c b a=+-=+-≤因此()212maxPF PF b =，则2223c b c ≤≤，得22224c a c ≤≤，21142e ≤≤，即12e ≤≤，故选B ． 【例10．10变式2】解析 由例10.10评注内容中的结论可知，当P 为椭圆的短轴端点时，12cos F PF ∠取得最小值，22212224941cos 1212299a c F PF e a --∠==-=-⨯=-，故选C ． 【例10．10变式3】解析 由例10.10评注内容中的结论可知， 1223F PF π∠=，当点P 为椭圆的短轴端点时取得最大值，故sin 3c e a π===． 【例10．11变式1】解析 若命题乙成立，则存在两定点12,F F 使得12MF MF -为定值，即必要性成立．反之，当1212MF MF F F -=时，点M 的轨迹是两条射线，故充分性不成立，故选B ． 【例10．11变式2】解析 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为22a =的双曲线，因此半焦距2c =，实半轴长1a =，从而b =2213y x -=． 【例10．11变式3】解析 由PM PN -=P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长为a =2c =，从而b =(22122x y x -=≥． 【例10．12变式1】解析 (1)解法一：①当双曲线焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>则()(2222224934341b a a b a b ⎧=⎧⎪=⎪⎪⇒⎨⎨-⎪⎪=⎩-=⎪⎩，所以所求双曲线的方程为221944x y -=． ②当双曲线焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，则方程无解．解法二：设所求的双曲线方程为()220916x y λλ-=≠，将点(-代入，得14λ= 即2219164x y -=，所以所求双曲线的方程为221944x y -=． (2)解法一：设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则c =，又双曲线过点()2，所以(22241a b-=，又因为2220a b +=，所以2212,8a b ==， 所求双曲线的方程为221128x y -=． 解法二：设双曲线的方程为()221416164x y λλλ-=-<<-+，因为双曲线过点()2，所以1841164λλ-=-+，得4λ=或14λ=-（舍），所求双曲线的方程为221128x y -=． 【例10．12变式2】解析 设动圆半径为r ，由题意得123,1MC r MC r =+=-，即有设124MC MC -= 由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以()()123,0,3,0C C -为焦点的双曲线的右支，设所求方程为()222210,0x y a b a b -=>>，则有22,3,5a c b ===，所以所求双曲线的方程为()221245x y x -=≥．【例10．13变式1】解析 因为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，所以ba =因为抛物线224y x =的准线方程为6x =-，所以6c =，进而3,a b ==所以双曲线的方程为221927x y -=，故选B ． 【例10．13变式2】解析 设双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>，则5c =，又因为C 渐近线方程为by x a=±，点()2,1P 在C 的渐近线上，故21ba=即2a b =，又222c a b =+，所以a b == 所以双曲线的方程为221205x y -=，故选A ． 【例10．13变式3】解析 解法一：设()(),0,,0E c F c -，于是有()()23,43,4250EP FP c c c =+---=-=，所以225c =，排除选项A 、B ；又由选项D 中双曲线的渐近线方程为34y x =±点P 不在其上，排除选项D ，故选C ． 解法二：由题意知43OP bk a=-=-，即2239416a a b b =⇒=，故选C ．【例10．14变式1】解析 双曲线()22210y x b b-=>的渐近线为y bx =±，则2b =．【例10．14变式2】 解析 渐近线为32y x =±，故332a=，2a =．故选C ． 【例10．14变式3】解析 由渐近线为y x =知22b =，点)0Py 满足方程22122x y -=，则201y =，又()()122,0,2,0F F -，故212010PF PF y ⋅=-+=．故选C ．【例10．15变式1】解析 由题设可知此圆的圆心为右焦点，半径恰为焦渐距b =A ．【例10．15变式2】解析 解法一 由圆22:650C x y x +-+=得()2234x y -+=，因为右焦点为圆C 的圆心()3,0C ，所以3c =，又两条渐近线0bx ay ±=均和圆C2=，即32b c =．所以2b =，所以25a =，故选A ．解法二 由圆22:650C x y x +-+=得()2234x y -+=，因为双曲线的右焦点(),0c 到两条渐近线0bx ay ±=为b =，又双曲线的两条渐近线0bx ay ±=均和圆C 相切，2b ==，故选A ． 【例10．16变式1】解析 直线l 的斜率0k >时，作//OQ PR 交x 轴于点R ，作PH x ⊥轴于H ，则由2PA AQ =，得2RA AO =，故()3,0R ，又PRO ROQ POR ∠=∠=∠．所以PR PO =，则为OR 中点，即3,02H ⎛⎫⎪⎝⎭，又在直角三角形PHO 中，045POH ∠=，故32PH OH ==，即33,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，故323312AP k k ===-同理，由对称性可知当0k <时，3k =-，综上，所求斜率为3±．【例10．17变式1】解析双曲线离心率2c e a ===知，2212b a =，只有选项B 符合，故选B ． 评注 在双曲线中借用公式，可由离心率e 的值或范围，推得22,a b 的等量关系或不等量关系，其变形式e =，常用来求离心率的值或范围，上面两个公式对于求解双曲线的相关题非常有用，应熟记． 【例10．17变式2】解析 由题意知双曲线的两焦点为()()2,0,2,0-，2a =，故1a =，所以离心率2ce a==． 【例10．17变式3】解析2214x y m +=的标准方程为2214x y m-=- ，故224,a b m ==-，半焦距离c =，所以2e =，又因为()1,2e∈，故122<<，解得120m -<<，故选A ．评注 本题若借用公式()22210,3b e a=-∈更简洁．【例10．18变式1】解析 由焦点在x 轴上的双曲线渐近线方程为b y x a =±知，故24b a =，即2ab =，所以c ==，所以2e =，故选D ． 【例10．18变式2】解析 由双曲线的方程可知其焦点在x 轴上，故其渐近线方程为by x a=±，由e =e ==ba =y =．【例10．19变式1】解析 不妨设()(),0,0,F c B b ，则1BF bk a⨯=-，所以2b ac =，且222c a b =+，故22c a ac -=，即220c a ac --=，所以210e e --=得12e=或12e -=（舍），所以12e =，故选D ． 【例10．19变式2】解析 (1)连接OA ，则由题意可知22OA B F ⊥，且OA a =，又2OF c =，故2AF b =，由222Rt OAF Rt B OF ∆∆，得222OA B O AF OF =，即a bb c =，即2b ac =，且222c a b =+，故22c a ac -=，所以210e e --=得e=或e =（舍），所以e =． (2)121212221221sin 2222F F B B S bca b S AC BD AOF a c c==∠⨯⨯⨯()()2311122e e e e +-+-===【例10．20变式1】解析 由正弦定理可得012001221sin sin 90sin sin sin 60sin 30F MF e MF F MF F ∠==∠-∠-1=，故选C ．【例10．20变式2】解析 设点P 在双曲线右支上，F 1为左焦点，F 2为右焦点，则122PF PF a -=， 又126PF PF a +=，所以14PF a =，22PF a =，因为在双曲线中22c a >，即122F F PF >，所以在12PF F ∆中，由余弦定理得222021121122cos30PF PF F F PF F F =+-，即2224164a a c =+-，即2230a c +-=，所以)20c-=，所以c =，即e =【例10．21变式1】解析 1221sin 1sin PF F aPF F c ∠=<∠，在12PF F ∆中，据正弦定理有21PF a PF c=，且122PF PF a -=故12ac PF c a =-，222a PF c a =-，又1212PF PF F F +>,所以2222ac a c c a c a+>--，解得双曲线中11e << 【例10．22变式1】 解析 由题设可知12122:3:2PF PF PF PF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得16PF =，24PF =，又因为12F F =，所以2221212PF PF F F +=，即12PF F ∆为直角三角形，01290F PF ∠=，所以12121122PF F S PF PF ∆==，故选B ．【例10．22变式2】解析 解法一： 设12F PF θ∠=，11PF r =，22PF r =，在12PF F ∆中，由余弦定理得()()22221212121242cos 21cos c r r rr r r rr θθ=+-=-+-()212421cos a rr θ=+-，且222c a b =+，得()212421cos 4b rr θ=-=，即()121cos 2rr θ-=，又因为，即12121sin 2PF F S r r θ∆==12sin rr θ=sin 1cos θθ=-tan 2θ=故3πθ=，124r r =，所以1212cos 2PF PF rr θ⋅==，故选A ．解法二： 设()12,,p p PF F P P x y S c y ∆=⋅=P y =，将其代入双曲线方程得2325P x =，())2212,,52P P P P P p PF PF x y x y x y ⋅=--⋅-=-+=故选A ．【例10．22变式3】解析 由题意知()()126,0,6,0F F -，又点M 的坐标为()2,0，故128,4FM MF ==，由AM 平分12F AF ∠及角平分线定理得11222AF F M AF MF ==，又126AF AF -=，所以26AF =．【例10．23变式1】解析 由题意可设抛物线方程为()220y px p =>，由准线方程2x =-得22p-=-，即4p =，故抛物线方程为28y x =，故选B ．【例10．23变式2】解析 圆心到抛物线准线的距离p ，即4p =因为准线与圆相切，所以00422pFM y y <=+=+，即02y >，故选C ． 【例10．24变式1】解析 依题意，圆心C 不可能在x 轴下方，设圆C 的半径为()0r r >，则圆心C 到直线0y =的距离为r ，由两圆相切可得，圆心C 到点()0,3的距离为1r +，即圆心C 到点()0,3的距离比到直线0y =的距离大1，故点C 到点()0,3的距离和它到直线1y =-的距离相等，故点C 的轨迹为抛物线． 【例10．24变式2】解析 因为点()2,1F 在定直线:34100l x y +-=上，所以动点M 的轨迹不是抛物线，而是以F 为垂足，和直线l 垂直的直线，故选B ． 【例10．25变式1】解析 由题设可设抛物线方程为()220y px p =>，焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由定义知232p MF =+=，所以2p =，故2048,y p OM ===B ．解析 因为53222A B A B p p AF BF x x x x +=+++=⇒+=，所以线段AB 的中点到y 轴的距离为524A B x x +=，故选C ． 【例10．25变式3】解析 设()()()112233,,,,C ,A x y B x y x y ，且()1,0F ，由0FA FB FC ++=得，()()()1122331,1,1,0x y x y x y -+-+-=，即1233x x x ++=，故6FA FB FC++=，故选B ．【例10．26变式1】 解析 如图10-60所示，由题意得准线:1l x =-，作AC l ⊥于C ，BD l ⊥于D ，BH AC ⊥于H ，则,,AF AC BF BD AH AC BD AF BF ===-=-，因为在直角三角形AHB 中，045HAB ∠=，所以0cos 45AH AF BF AB AF BF -==+，得3AFBF=+【例10．26变式2】解析 如图10-61所示，过点M 作MH MH l ⊥于点H ，由抛物线定义知MF MH =，所以::MF MN MH MN =，由于MHNFOA∆∆，则12MH OF HN OA ==，则:MH MN =即:MF MN =C ．【例10．27变式1】解析由抛物线定义知PD PM PF PM +=+，2FM ≥=，故选A ． 【例10．27变式2】解析 抛物线上点P 到焦点F 的距离等于到抛物线的准线的距离，过P 作PE 垂直准线于点E ，过Q 作QH 垂直准线于点H ，则PF PQ PE PQ QE QH +=+≥≥，故点P 到Q 的距离与点P 到焦点的距离之和取最小值时，PQ 垂直于准线，此时P 点的纵坐标1P y =-，由此得14P x =，故选A ．解析 依题意，动圆的圆心轨迹满足抛物线的定义，设动圆的圆心(),C x y ，点C 到定直线1x =-的距离为d ，则CF d =，214x y x =+⇒=，设，联立24y x by x=+⎧⎨=⎩得()()2222240,24401x b x b b b b +-+=∆=--=⇒=，两平行线间的距离为2d =，即动圆的半径的最小值为2，故动圆的面积的最小值为4π． 【例10．28变式1】解析 不妨设0A y >，由3AF =，可得2A x=，进而得(2,A ，直线AF 1：)1y x=-，与抛物线联立解得1,2B ⎛ ⎝，则12AOB A B S OF yy ∆=-2= 【例10．29变式1】解析 由题意知()2,0F ，准线为2x =-，即()2,0K -，过点A 作AB 垂直于准线，垂足为B ，由抛物线定义知AF AB =，由题设知AK =，所以在直角三角形ABK中，AK =，所以BK AB AF ==，且//AB x 轴，BK x ⊥轴，BK AF =，则AF FK ⊥，所以1144822AKB S AF FK ∆==⨯⨯=，故选B ． 【例10．29变式2】解析 如图10-66所示，以CF 为BCF ∆与ACF ∆的公共底边，则1111sin 2211sin 22B BCF ACFA CF BC BCF x BC BB S S AC AA CF AC BCF x ∆∆∠+====∠+，又由已知122B BF x =+=，故3,2B B x y ==，由A ，B ，M 三点共线有M A M B M A M B y y y y x x x x --=--，032=，解得2A x =，所以1242115222B BCF ACFA x S S x ∆∆+===++，故选A ． 【例10．30变式1】解析 如图10-68所示，设动圆圆心()1,O x y ，由题意11O A O M =，当1O 不在y 轴上时，过1O 作1O H MN ⊥交MN 于H ，则H 是MN的中点，所以1O M =1O A ==，化简得()280y x x =≠．当1O 在y 轴上时，过1O 作O 重合，点1O 的坐标为()0,0，也满足方程28y x =，所以动圆圆心的轨迹C 的方程为28y x =． 【例10．30变式2】解析 设(),M x y ，因为()0,1A -，M 点满足//MB OA ，所以()()()(),3,,1,0,3,,2B x MA x y MB y AB x -=---=--=-，由题意可知()0MA MB AB +⋅=，即0)2,()24,(=-⋅---x y x ，即2412-=x y 。

高三数学文科圆锥曲线大题训练（含详细解答）1．已知椭圆22:416C x y +=. （1）求椭圆C 的离心率;（2）设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆2212x y +=的位置关系.2．已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为离心率2e =，过右焦点F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）若以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程.3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A -（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 过点A ，过O 作l 的平行线交椭圆C 于P ，Q 两点，如果以PQ 为直径的圆与直线l 相切，求l 的方程．4．已知离心率为2的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与直线2x =相交于,P Q 两点（点P 在x 轴上方），且2PQ =．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且APQ BPQ ∠=∠． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求四边形APBQ 面积的取值范围．5．已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线()0y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当AM AN =时，求m 的取值范围.6．已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线.（1）求椭圆1C 的方程； （2）求点Q 的轨迹方程；（3）求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.7．如图，B A ,分别是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，F 为其右焦点，2是AF 与FB 的等差中项，3是AF 与FB 的等比中项． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P 是椭圆C 上异于B A ,的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ 垂直于AP ，并交直线l 于点Q ．证明：B P Q ,,三点共线．8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()0,1．圆22221:C x y a b +=+.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问AM BM +=0是否成立？请说明理由．9．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N 两点,且8MN =．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ,P 为l 上一点，求PM PN ⋅的最小值．10．已知动圆C 过定点）（2,0M ，且在x 轴上截得弦长为4．设该动圆圆心的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 方程；（2）点A 为直线l ：20x y --=上任意一点，过A 作曲线C 的切线，切点分别为P 、 Q ，APQ ∆面积的最小值及此时点A 的坐标.11．已知点)1,2(A 在抛物线:E 2x ay =上，直线1:l 1y kx =+（R k ∈，且0k ≠）与抛物线E 相交于C B ,两点，直线AC AB ,分别交直线2:l 1y =-于点S ，T ．（1）求a 的值；（2）若S T =1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2（1）求椭圆C 的方程；（2）B A ,为椭圆C 上满足AOB ∆E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P ，设OP tOE =，求实数t 的值.13．已知点()2,1P 在抛物线()21:20C x py p =>上，直线l 过点()0,2Q 且与抛物线1C 交于A 、B 两点。

章末复习一、圆锥曲线的定义及标准方程 1．求圆锥曲线方程的常用方法(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系,只需把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程．(2)定义法：动点满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量．(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型,可设出方程形式,再根据条件确定待定的系数． 2．求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养．例1 (1)已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|,则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．以上都不对答案 C解析 把轨迹方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|写成x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5.∴动点M 到原点的距离与它到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等．∴点M 的轨迹是以原点为焦点,直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线．(2)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ,设点P 在x 轴上的正投影为点D .当点P 在圆上运动时,动点M 满足PD →＝2MD →,动点M 形成的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程．解 方法一 由PD →＝2MD →,知点M 为线段PD 的中点,设点M 的坐标为(x ,y ),则点P 的坐标为(x ,2y )．因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上, 所以x 2＋(2y )2＝4,所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.方法二 设点M 的坐标为(x ,y ),点P 的坐标是(x 0,y 0), 由PD →＝2MD →,得x 0＝x ,y 0＝2y , 因为点P (x 0,y 0)在圆x 2＋y 2＝4上, 所以x 20＋y 20＝4,(*)把x 0＝x ,y 0＝2y 代入(*)式,得x 2＋4y 2＝4, 所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.反思感悟 (1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决．(3)在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决．跟踪训练1 (1)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为________． 答案 x 2－y 23＝1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，ca＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝3,因此双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)点P 是抛物线y 2＝8x 上的任意一点,F 是抛物线的焦点,点M 的坐标是(2,3),求|PM |＋|PF |的最小值,并求出此时点P 的坐标．解 抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2,那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离,过点P 作PD 垂直于准线x ＝－2,垂足为D ,那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.如图所示,根据平面几何知识,当M ,P ,D 三点共线时,|PM |＋|PF |的值最小, 且最小值为|MD |＝2－(－2)＝4, 所以|PM |＋|PF |的最小值是4.此时点P 的纵坐标为3,所以其横坐标为98,即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，3. 二、圆锥曲线的几何性质1．本类问题主要有两种考查类型：(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质,其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点． (2)已知圆锥曲线的性质求其方程,基本方法是待定系数法,其步骤可以概括为“先定位、后定量”．2．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．例2 (1)如图,F 1,F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点,A ,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案 D解析 由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4,|F 1F 2|＝2 3.因为四边形AF 1BF 2为矩形, 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12,所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4, 所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8, 所以|AF 2|－|AF 1|＝22,因此对于双曲线有a ＝2,c ＝3, 所以C 2的离心率e ＝c a ＝62.(2)已知a >b >0,椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1,双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1,C 1与C 2的离心率之积为32,则C 2的渐近线方程为________． 答案 x ±2y ＝0解析 设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2,则e 1＝a 2－b 2a ,e 2＝a 2＋b 2a.因为e 1·e 2＝32,所以a 4－b 4a 2＝32,即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝14,所以b a ＝22. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±22x , 即x ±2y ＝0.反思感悟 求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知,不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a,已知其中的任意两个参数,可以求其他的参数,这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式,从而求出其离心率,这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质,建立参数之间的关系,通过画出图形,观察线段之间的关系,使问题更形象、直观．跟踪训练2 (1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距是c ,A ,B 分别是长轴、短轴的一个端点,O 为原点,若△ABO 的面积是3c 2,则此椭圆的离心率是( ) A.12 B.32 C.22 D.33 答案 A解析 12ab ＝3c 2,即a 2(a 2－c 2)＝12c 4,所以(a 2＋3c 2)(a 2－4c 2)＝0,所以a 2＝4c 2,a ＝2c ,故e ＝c a ＝12.(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的焦距为2c ,右顶点为A ,抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ,且|FA |＝c ,则双曲线的渐近线方程为_________．答案 x ±y ＝0 解析 c 2＝a 2＋b 2,①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知, 双曲线过点⎝⎛⎭⎪⎫c ，－p 2,即c 2a 2－p 24b2＝1.② 由|FA |＝c ,得c 2＝a 2＋p 24,③由①③得p 2＝4b 2.④将④代入②,得c 2a 2＝2.∴a 2＋b 2a 2＝2,即ba＝1,故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ,即x ±y ＝0. 三、直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系,可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定,通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程,考虑该一元二次方程的判别式．2．借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的数学核心素养．例 3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0,3),离心率为12,左、右焦点分别为F 1(－c ,0),F 2(c ,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ,B 两点,与以F 1F 2为直径的圆交于C ,D 两点,且满足|AB ||CD |＝534,求直线l 的方程． 解 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2,b ＝3,c ＝1, ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知,以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1,∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5, 由d <1得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0,由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ,x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4m 2－3]＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534,得 4－m25－4m2＝1, 解得m ＝±33,满足(*)． ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.反思感悟 (1)直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断． (2)一元二次方程的判别式Δ、弦长公式是代数法解决问题的常用工具．跟踪训练3 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0),其焦点为F 1,F 2,离心率为22,直线l ：x ＋2y－2＝0与x 轴,y 轴分别交于点A ,B .(1)若点A 是椭圆E 的一个顶点,求椭圆的方程；(2)若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,求a 的取值范围． 解 (1)由椭圆的离心率为22,得a ＝2c , 由A (2,0),得a ＝2, ∴c ＝2,b ＝2, ∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)由e ＝22,设椭圆方程为x 2a 2＋2y2a2＝1,联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋2y 2a2＝1，x ＋2y －2＝0，得6y 2－8y ＋4－a 2＝0,若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,则线段AB 与椭圆E 有公共点,等价于方程6y 2－8y ＋4－a 2＝0在y ∈[0,1]上有解． 设f (y )＝6y 2－8y ＋4－a 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f 0≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥43，4－a 2≥0，∴43≤a 2≤4, 故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤233，2. 四、圆锥曲线的综合问题1．圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定值、最值问题,解决的基本思路是利用代数法,通过直线与圆锥曲线的方程求解．2．圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养．例4 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)经过点P (2,2),A ,B 是抛物线C 上异于点O 的不同的两点,其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程； (2)若OA ⊥OB ,求△AOB 面积的最小值．解 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (2,2)知4p ＝4,解得p ＝1. 则抛物线C 的方程为y 2＝2x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,准线方程为x ＝－12.(2)由题意知,直线AB 不与y 轴垂直,设直线AB ：x ＝ty ＋a ,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋a ，y 2＝2x ，消去x ,得y 2－2ty －2a ＝0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1＋y 2＝2t ,y 1y 2＝－2a . 因为OA ⊥OB ,所以x 1x 2＋y 1y 2＝0,即y 21y 224＋y 1y 2＝0,解得y 1y 2＝0(舍去)或y 1y 2＝－4. 所以－2a ＝－4,解得a ＝2.所以直线AB ：x ＝ty ＋2. 所以直线AB 过定点(2,0)．S △AOB ＝12×2×||y 1－y 2＝y 21＋y 22－2y 1y 2＝y 21＋y 22＋8≥2||y 1y 2＋8＝4. 当且仅当y 1＝2,y 2＝－2或y 1＝－2,y 2＝2时,等号成立． 所以△AOB 面积的最小值为4.反思感悟 (1)解决最值问题常见的题型,可用建立目标函数的方法求解．(2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手,利用直线系或曲线系方程或函数方程思想,通过联想与类比,使问题获解．跟踪训练4 已知动圆P 与圆O 1：x 2－x ＋y 2＝0内切,且与直线x ＝－1相切,设动圆圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)过曲线C 上一点M (2,y 0)(y 0>0)作两条直线l 1,l 2与曲线C 分别交于不同的两点A ,B ,若直线l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2,且k 1k 2＝1.证明：直线AB 过定点．(1)解 由题意可知,动圆圆心P 到点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与到直线x ＝－12的距离相等,所以点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为焦点,直线x ＝－12为准线的抛物线,所以曲线C 的方程为y 2＝2x .(2)证明 易知M (2,2),设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 的方程为x ＝my ＋b ,联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋b ，y 2＝2x ，得y 2－2my －2b ＝0,所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m 2＋2b ，x 1x 2＝b 2，因为k 1k 2＝y 1－2x 1－2·y 2－2x 2－2＝1, 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2), 所以b 2－2b －4m 2＋4m ＝0, 所以(b －1)2＝(2m －1)2, 所以b ＝2m 或b ＝－2m ＋2.当b ＝－2m ＋2时,直线AB 的方程为x ＝my －2m ＋2过定点(2,2)与M 重合,舍去； 当b ＝2m 时,直线AB 的方程为x ＝my ＋2m 过定点(0,－2),所以直线AB 过定点(0,－2)．1．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为( ) A ．2sin 40° B ．2cos 40° C.1sin 50°D.1cos 50°答案 D解析 由题意可得－b a＝tan 130°, 所以e ＝1＋b 2a2＝1＋tan 2130° ＝1＋sin 2130°cos 2130° ＝1|cos 130°|＝1cos 50°.2．(2019·全国Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点,则p 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．8 答案 D解析 由题意知,抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0,椭圆的焦点坐标为(±2p ,0), 所以p2＝2p ,解得p ＝8,故选D.3．(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |,|AB |＝|BF 1|,则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析 由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0),连接F 1A ,令|F 2B |＝m ,则|AF 2|＝2m ,|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知,4m ＝2a ,得m ＝a2,故|F 2A |＝a ＝|F 1A |,则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点),则sin θ＝c a＝1a.在等腰三角形ABF 1中,cos 2θ＝2m2＋3m 2－3m 22×2m ·3m＝13,因为cos 2θ＝1－2sin 2θ,所以13＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2,得a 2＝3.又c 2＝1,所以b 2＝a 2－c 2＝2,椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1,故选B.4．(2019·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点为(1,0),且经过点A (0,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点,直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ,Q ,直线AP 与x 轴交于点M ,直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |＝2,求证：直线l 经过定点． (1)解 由题意,得b 2＝1,c ＝1, 所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 则直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1. 令y ＝0,得点M 的横坐标x M ＝－x 1y 1－1.又y 1＝kx 1＋t ,从而|OM |＝|x M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1.同理,|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0,则x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2,x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2.所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2k 2x 1x 2＋k t －1x 1＋x 2＋t －12＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t .又|OM |·|ON |＝2,所以2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t ＝2.解得t ＝0,所以直线l 经过定点(0,0)．。

圆锥曲线求方程真题练习（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =．(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．2．已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭两点． (1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =． (1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M .从下面①①①中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；①PQ AB ∥；①||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.4．已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．(1)求l 的斜率；(2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．8．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求①AMN 的面积的最大值.9．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB 面积的最大值．10．抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）抛物线2:C y x =，M 方程为22(2)1x y -+=；（2）相切，理由见解析11．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.12．已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |. （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.13．已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．14．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.15．已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ①x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG 是直角三角形；（ii ）求PQG 面积的最大值.（1C 上. （①）求C 的方程；（①）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.17．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【答案】（1）222x y +=；（2）见解析.18．已知点()0,2A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>F 是椭圆的焦点，直线AFO 为坐标原点． (1)求E 的方程； (2)设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求l 的方程．19．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆 M ：22221x y a b +=（ 0a b >>）右焦点的直线0x y +交 M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且 OP 的斜率为12.（①）求椭圆M 的方程； （①）C ， D 为M 上的两点，若四边形ACBD的对角线 CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，长轴长为4，离心率为12．过点(4,0)Q 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线,AF BF 的斜率分别为()122,0k k k ≠，求证：12k k 为定值．。

高考数学圆锥曲线与方程变式试题命题人：广州市教育局教研室 曾辛金1．（人教A 版选修1－1，2－1第39页例2）如图，在圆224xy +=上任取一点P ，过点P 作X 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？变式1：设点P 是圆224xy +=上的任一点，定点D 的坐标为（8，0）．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程．解：设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则082x x +=，02y y =．即028x x =-，02y y =．因为点P()00,x y 在圆224x y +=上，所以22004x y +=． 即()()222824x y -+=，即()2241x y -+=，这就是动点M 的轨迹方程．变式2：设点P 是圆224x y +=上的任一点，定点D 的坐标为（8，0），若点M 满足2PM MD =．当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程．解：设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，由2PM MD =，得()()00,28,x x y y x y --=--，即0316x x =-，03y y =．因为点P ()00,x y 在圆224x y +=上，所以22004x y +=．即()()2231634x y -+=，即2216439x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，这就是动点M 的轨迹方程． 变式3：设点P 是曲线(),0f x y =上的任一点，定点D 的坐标为(),a b ，若点M 满足(,1)PM MD λλλ=∈≠-R ．当点P 在曲线(),0f x y =上运动时，求点M 的轨迹方程．解：设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，由PM MD λ=，得()()00,,x x y y a x b y λ--=--，即()01x x a λλ=+-，()01y y b λλ=+-． 因为点P ()00,x y 在圆(),0f x y =上，所以()00,0f x y =．即()()()1,10f x a y b λλλλ+-+-=，这就是动点M 的轨迹方程．2．（人教A 版选修1－1，2－1第40页练习第3题）已知经过椭圆2212516x y +=的右焦点2F 作垂直于x 轴的直线A B ，交椭圆于A ，B 两点，1F 是椭圆的左焦点． （1）求1AF B ∆的周长；（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长有变化吗？为什么？变式1（2005年全国卷Ⅲ）：设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是A．2B．12 C．2 D1- 解一：设椭圆方程为22221x y a b +=，依题意，显然有212PF F F =，则22b c a =，即222a c c a-=，即2210e e +-=，解得1e =．选D ．解二：∵△F 1PF 2为等腰直角三角形，∴c PF c F F PF 22,21212===.∵a PF PF 221=+，∴a c c 222=+，∴12121-=+=ac ．故选D ．变式2：已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．解一：由定义知12||||2PF PF a -=，又已知12||4||PF PF =，解得183PF a =，223PF a =，在12PF F ∆中，由余弦定理，得2222218981732382494964cos e a a c a a PF F -=⋅⋅-+=∠，要求e的最大值，即求21cos PF F ∠的最小值，当1c o s 21-=∠PF F 时，解得53e =．即e 的最大值为53． 解二：设),(y x P ，由焦半径公式得a ex PF a ex PF -=+=21,，∵214PF PF =，∴)(4)(a ex a ex -=+，∴x a e 35=，∵a x ≥，∴35≤e ，∴e 的最大值为53． 变式3（2005年全国卷Ⅰ）：已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +与(3,1)a=-共线．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且 (,)OMOA OB λμλμ=+∈R ，证明22μλ+为定值．解：（Ⅰ）设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+， 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+by a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .设A （11,y x ），B 22,(y x ），则22222121222222,.a c a c a b x x x x a ba b-+==++由1212(,),(3,1),OA OB x x y y a OA OB +=++=-+与a 共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴即232222c ba c a =+，所以36.32222ab ac b a =-=∴=，故离心率.36==a c e （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设(,)OM x y =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ①由（Ⅰ）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+2222212223,8a c a b x x c a b -==+ 12121212211222233()()43()33930.22x x y y x x x c x c x x x x c c c c c +=+--=-++=-+=21212212122233()()43()33930.22x x y y x x x c x c x x x x c c c c c +=+--=-++=-+=121212122121222233()()43()33930.22x x y y x x x c x c x x x x c c c c c +=+--=-++=-+= 又222222212133,33b y x b y x =+=+，代入①得.122=+μλ故22μλ+为定值，定值为1.3．（人教A 版选修1－1，2－1第47页习题2.1A 组第6题） 已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点1F ，2F 为顶点的三角形的面积等于1，求点P 的坐标． 变式1（2004年湖北卷理）：已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为A ．59B ．3C ．779 D ．49 解：依题意，可知当以F 1或F 2为三角形的直角顶点时，点P的坐标为94⎛⎫± ⎪⎝⎭，则点P 到x 轴的距离为49，故选D ．（可以证明不存在以点P 为直角顶点的三角形）变式2（2006年全国卷Ⅱ）：已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是A． B ．6 C． D ．12解：由于椭圆2213x y +=的长半轴长a =ABC ∆的周长为4a =，故选C ．4．（人教A 版选修1－1，2－1第47页习题2.1B 组第3题）如图，矩形ABCD 中，2AB a =，2BC b =，E ，F ，G ，H 分别是矩形四条边的中点，R ，S ，T 是线段OF 的四等分点，R '，S '，T '是线段CF 的四等分点．请证明直线ER 与GR '、ES 与GS '、ET 与GT '的交点L ，M ，N 在同一个椭圆上．变式1：直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的两点A 、B .若双曲线C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆上时，则实数k = ．解：将直线:1l y kx =+代入双曲线C 的方程2221x y -=整理，得.022)2(22=++-kx x k …①依题意，直线L 与双曲线C 的右支交于不同两点，故2222220,(2)8(2)0,20,220.2k k k kk k ⎧-≠⎪∆=-->⎪⎪⎨->-⎪⎪>⎪-⎩解得22-<<-k ． 设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x kk x x ……②∵双曲线C 的右焦点F (),0c 在以AB 为直径的圆上，则由FA ⊥FB 得：.0)1)(1())((.0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即.0)1)(1())((.0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即整理，得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③把②式及26=c代入③式化简，得.066252=-+k k 解得))(2,2(566566舍去或--∉-=+-=k k ，故566+-=k ． 变式2（2002年广东卷）：A 、B 是双曲线2212y x -=上的两点，点N （1，2）是线段AB 的中点．（Ⅰ）求直线AB 的方程；（Ⅱ）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？ 解：（Ⅰ）直线AB 的方程为1y x =+．（求解过程略）（Ⅱ）联立方程组221,1.2y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()1,0A -、()3,4B ． 由CD 垂直平分AB ，得CD 方程为3y x =-．代入双曲线方程2212y x -=整理，得26110x x +-=． 记()11,C x y ，()22,D x y 以及CD 的中点为()00,M x y ，则有12126,11.x x x x +=-⎧⎨=-⎩从而()3,6M -．∵12CD x =-==MC MD ==又MA MB ===．即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等．故A 、B 、C 、D 四点共圆．变式3（2005年湖北卷）：设A 、B 是椭圆λ=+223y x上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点. （Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入整理，得.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①N M LT /S /R /TSR O H GF ED C BA设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根，0])3(3)3([422>--+=∆∴k k λ ②)3,1(.3)3(2221N k k k x x 由且+-=+是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x 解得k ＝－1，代入②得，λ＞12，即λ的取值范围是（12，＋∞）.于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A .0))(())((33,32121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠ .04),1(3).,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+⨯>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλ（Ⅱ）解法1：.02,13,=+--=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x ③是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根，).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+∴M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得).3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x .016842=-+-λx x ⑤同理可得.)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥.||||,)12(2)3(2,12CD AB <∴->->λλλ时当假设在在λ＞12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为.2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得： A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角即|,|||||2DN CN AN ⋅=⇔).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边＝.212-λ由④和⑦知，⑧式右边＝)2232)3(2)(2232)3(2(--+-λλ,2122923-=--=λλ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆解法2：由（Ⅱ）解法1及12>λ.,13,-=-∴x y CD AB CD 方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③ 解得2314,3-±-=λx .将直线AB 的方程,04=-+y x 代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤ 解得21222,1-±=λx .不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλCA ，)21233,23123(-------+=λλλλ 计算可得0=⋅DA CA ，∴A 在以CD 为直径的圆上.又点A 与B 关于CD 对称，∴A 、B 、C 、D 四点共圆.（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）5．（人教A 版选修1－1，2－1第59页习题2.2B 组第1题）求与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程． 变式1（2002年北京卷文）：已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 A ．y x 215±= B ．x y 215±= C ．y x 43±= D ．x y 43±= 解：依题意，有22223523m n m n -=+，即228m n =，即双曲线方程为22221163x y n n -=，故双曲线的渐近线方程是22220163x y n n -=，即x y 43±=，选D ． 变式2（2004年全国卷Ⅳ理）：已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ）A ．13422=+y x B ．16822=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x 解：∵抛物线x y 42-=的焦点坐标为（－1，0），则椭圆的1c =，又21=e ，则2a =，进而23b =，所以椭圆方程为13422=+y x ，选A ．6．（人教A 版选修1－1，2－1第66页例4） 斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．变式1：如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若12810x x x +++=，则128PF P F P F +++=___．解：根据抛物线的定义，可知12i ii pPF x x =+=+（1i =，2，……，8）， ∴()1281288118PF P F P F x x x +++=++++⋅=． 变式2（2004年湖南卷理）：设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点(1,2,3),i P i =使123,,,FP FP FP ，组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为 ． 解：设11FP a =，则()11n F P a n d =+-，于是()11n FP FP n d -=-，即11n FP FP d n -=-，由于21n ≥，()()122n FP FP a c a c c -≤+--==，故110d ≤，又d ≠，故d ∈11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．变式3（2006年重庆卷文）：如图，对每个正整数n ，(,)n n n A x y 是抛物线24x y =上的点，过焦点F 的直线n FA 交抛物线于另一点(,)n n n B s t ．（Ⅰ）试证：4(1)n n x s n =-≥；（Ⅱ）取2n n x =，并记n C 为抛物线上分别以n A 与n B 为切点的两条切线的交点．试证：112221n n n FC FC FC -++++=-+．证明：（Ⅰ）对任意固定的1n ≥,因为焦点(0,1)F ,所以可设直线n n A B 的方程为1n y k x -=,将它与抛物线方程24x y =联立，得2440n xk x --=，由一元二次方程根与系数的关系得4n n x s =-．（Ⅱ）对任意固定的1n ≥，利用导数知识易得抛物线24xy =在n A 处的切线的斜率2n nA x k =，故24xy =在n A 处的切线方程为()2nn n x y y x x -=-， ①类似地，可求得24xy =在n B 处的切线方程为)(2n nn s x s t y -=-， ②由②减去①得2222n n n nn n x s x s y t x ---=-+， 从而22224422n n n n n n x s x s x s x ---=-+， 2224n n n n x s x s x --=，2n nx s x +=， ③ 将③代入①并注意到4n n x s =-得交点n C 的坐标为)1,2(-+nn s x .由两点间距离公式,得2222||()42244n n n n n x s x s FC +=+=++ =2222)22(244nn n n x x x x +=++.从而||2||2||n n n x FC x =+. 现在2n nx =，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得，12||||n FC FC FC ++...+||1212111(||||)2(2||||n x x x x x =+++++...+|| (1))||n x +22111(22)2(222=+++++n ...+2 (1))2n +=11(21)(22)221n n n n -+-+-+-=-+.7．（人教A 版选修2－1第67页例5）过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴．变式（2001年全国卷）：设抛物线22y px =（0p >）的焦点为 F ，经过点 F 的直线交抛物线于A 、B 两点．点 C 在抛物线的准线上，且BC ∥X 轴．证明直线AC 经过原点O ．证明1：因为抛物线22y px =（0p >）的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为2p x my =+，代人抛物线方程得 2220y pmy p --=． 若记()11,A x y ，()22,B x y ，则21,y y 是该方程的两个根，所以212y y p =-．因为BC ∥X 轴，且点C 在准线2p x =-上，所以点C 的坐标为2,2p y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故直线CO 的斜率为21112.2y y p k p y x ===- 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ．证明2：如图，记X 轴与抛物线准线L 的交点为E ， 过A 作AD ⊥L ，D 是垂足．则 AD ∥FE ∥BC ． 连结AC ，与EF 相交于点N ，则||||||,||||||EN CN BF AD AC AB ==||||.||||NF AF BC AB =根据抛物线的几何性质，|AF |=|AD |，|BF |=|BC | ，|,|||||||||||||||NF AB BC AF AB BF AD EN =⋅=⋅=∴即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ．8．（人教A 版选修1－1第74页，2－1第85页复习参考题A 组第8题）斜率为2的直线l 与双曲线22132x y -=交于A ，B 两点，且4AB =，求直线的方程． 变式1（2002年上海卷）：已知点()A和)B，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线2y x =-交于D 、E 两点，求线段DE 的长．解：根据双曲线的定义，可知C 的轨迹方程为2212y x -=．联立222,1.2y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得2460x x +-=． 设()11,D x y ，()22,E x y ，则12124,6x x x x +=-=-．所以12DE x =-==故线段DE 的长为变式2：直线y kx =+2213x y +=交于不同两点A 和B ，且1OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），求k的值． 解：将y kx =2213x y+=，得22(13)30k x +++=．由直线与椭圆交于不同的两点，得2222130,)12(13)12(31)0.k k k ⎧+≠⎪⎨∆=-+=->⎪⎩即213k >． 设),(),,(B B A A y x B yx A ，则223,1313A B A Bx x x x k k +=-=++．由1OA OB ⋅=，得2A B A B x x y y +=．而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A BA x x k x x k kx kx x x y y x x22222353(1)2131331k k k k k -=++=+++．于是2253131k k -=+．解得k =k的值为．变式3：已知抛物线)0(22>=p px y ．过动点M （a ，0）且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ．若||2AB p ≤,求a 的取值范围．解：直线l 的方程为a x y -=， 将 px y a x y 22=-=代入，得 0)(222=++-a x p a x ．设直线l 与抛物线的两个不同交点的坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>-+.),(2,04)(42212122a x x p a x x a p a又a x y a x y -=-=2211,，∴221221)()(||y y x x AB -+-=]4)[(221221x x x x -+=)2(8a p p +=．∵ 0)2(8,2||0>+≤<a p p p AB ，∴p a p p 2)2(80≤+<． 解得42p a p -≤<-．。