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1．(2012·福建联考)甲、乙两车某时刻由同一地点沿同一方向开始做直线运动，若从该时刻开始计时，得到两车的位移图象如图1－3－8所示，则下列说法正确的是( )图1－3－8A ．t 1时刻甲车从后面追上乙车B ．t 1时刻两车相距最远C ．t 1时刻两车的速度刚好相等D ．从0时刻到t 1时刻的时间内，两车的平均速度相等解析：选D.一开始乙在甲的后面，t 1时刻乙车从后面追上甲车，A 、B 错；s -t 图象图线的斜率表示速度，由图象可以看出，t 1时刻两车的斜率不相等，所以速度不相等，C 错；从0时刻到t 1时刻的时间内，两车的位移相同，所以平均速度相同，D 对．2．(2012·新疆塔城质检)图1－3－9完全相同的甲、乙两个物体放在同一水平地面上，分别在水平拉力F 1、F 2作用下，由静止开始做匀加速直线运动，分别经过时间t 0和4t 0，速度分别达到2v 0和v 0时撤去F 1、F 2，甲、乙两物体开始做匀减速直线运动，直到静止．其速度随时间变化情况如图1－3－9所示，则下列各项说法中不．正确的是( ) A ．若在F 1、F 2作用时间内甲、乙两物体的位移分别为s 1、s 2，则s 1＞s 2B ．若整个运动过程中甲、乙两物体的位移分别为s ′1、s ′2，则s ′1＞s ′2C ．甲、乙两物体匀减速过程的位移之比为4∶1D ．若在匀加速过程中甲、乙两物体的加速度分别为a 1和a 2，则a 1＞a 2解析：选A.在F 1、F 2作用时间内甲、乙两物体的位移之比为s 1s 2＝2v 0t 0/2v 04t 0/2＝12，所以s 1＜s 2，A 错误；整个运动过程的位移之比为s ′1s ′2＝2v 03t 0/2v 05t 0/2＝65，所以s ′1＞s ′2，B 正确；甲、乙两物体匀减速过程的位移之比为2v 02t 0/2v 0t 0/2＝41，C 正确；匀加速过程中甲、乙两物体的加速度之比为2v 0/t 0v 0/4t 0＝81，所以a 1＞a 2，D 正确．图1－3－103．如图1－3－10为质量相等的两个质点A 、B 在同一直线上运动的v －t 图象，由图可知，下列说法错误的是( )A ．在t 时刻两个质点在同一位置B ．在t 时刻两个质点速度相等C ．在0～t 时间内质点B 比质点A 位移大D ．在0～t 时间内合外力对两个质点做功相等解析：选A.首先，B 正确；根据位移由v －t 图象中面积表示，在0～t 时间内质点B 比质点A 位移大，C 正确而A 错误；根据动能定理，合外力对质点做功等于动能的变化，D 正确；本题选A.4.图1－3－11(2010·高考广东卷改编)图1－3－11是某质点运动的速度图象，由图象得到的正确结果是( )A ．0～1 s 内的平均速度是2 m/sB ．0～2 s 内的位移大小是3 mC ．0～1 s 内的加速度等于2～4 s 内的加速度D ．0～1 s 内的运动方向与2～4 s 内的运动方向相反解析：选B.0～1 s 的位移s 1＝12×2×1 m ＝1 m ，故1 s 内平均速度v 1＝s 1t 1＝11m/s ＝1m/s ，A 项错；0～2 s 内位移为0～1 s 内的位移与1～2 s 内位移之和，1～2 s 内位移s 2＝2×1m ＝2 m ．故0～2 s 内位移为s 1＋s 2＝3 m ，B 项正确；0～1 s 内加速度a 1＝v t －v 0t ＝2－01m/s2＝2 m/s 2,2～4 s 内的加速度a 2＝v t －v 0t ＝0－22m/s 2＝－1 m/s 2，故a 1＞a 2，C 项错误；0～1 s内和2～4 s 内的速度方向均为正向，故D 项错误．5.图1－3－12(2010·高考大纲全国卷Ⅰ)汽车由静止开始在平直的公路上行驶，0～60 s 内汽车的加速度随时间变化的图线如图1－3－12所示．(1)画出汽车在0～60 s 内的v t 图线； (2)求在这60 s 内汽车行驶的路程．解析：(1)设t ＝10 s,40 s,60 s 时刻的速度分别为v 1，v 2，v 3.由图知0～10 s 内汽车以加速度2 m/s 2匀加速行驶，由运动学公式得 v 1＝2×10 m/s ＝20 m/s ①由图知10～40 s 内汽车匀速行驶，因此 v 2＝20 m/s ②由图知40～60 s 内汽车以加速度1 m/s 2匀减速行驶，由运动学公式得 v 3＝(20－1×20) m/s ＝0③根据①②③式，可画出汽车在0～60 s 内的v t 图线，如图所示．(2)由v t 图象可知，在这60 s 内汽车行驶的路程为 s ＝30＋602×20 m ＝900 m.答案：见解析一、单项选择题1．某质点运动的v －t 图象如图1－3－13所示，则该质点做( )图1－3－13A ．来回往复运动B ．匀变速直线运动C ．朝某一方向的直线运动D ．不能确定解析：选C.v 一直为正值，故物体沿同一方向做直线运动，C 对，A 、D 错；由于各段对应的斜率不同，故B 错．2．(2012·山东潍坊模拟)如图1－3－14所示，汽车以10 m/s 的速度匀速驶向路口，当行驶至距路口停车线20 m 处时，绿灯还有3 s 熄灭．而该汽车在绿灯熄灭时刚好停在停车线处，则汽车运动的速度(v )—时间(t )图象可能是( )图1－3－14图1－3－15解析：选C.根据题意知，汽车的位移为20 m ，而在v t 图象中面积代表位移，故只有图C 中面积为20 m ，选项C 正确．3.图1－3－16(2012·湖南湘潭模拟)利用速度传感器与计算机组合，可以自动作出物体运动的图象，某同学在一次实验中得到的运动小车的v t 图象如图1－3－16所示，由此即可以知道( )A ．小车做曲线运动B ．小车的最大位移为6 mC ．小车运动的最大速度约为1.0 m/sD ．小车先做加速运动，后做减速运动解析：选D.图象为小车运动的v t 图象不是物体实际运动的轨迹，不能说小车一定做曲线运动，A 错误；从图象看出小车的最大速度是0.8 m/s ，C 错误；从图象的面积可计算出运动的位移约为8.2 m ，B 错误；从图象的斜率正负可看出，小车先做加速运动，后做减速运动，D 正确．4．如图1－3－17所示为甲、乙两物体从同一地点沿直线向同一方向运动的v t 图象，则以下说法不．正确的是( )图1－3－17A ．甲、乙两物体在4 s 末相距最远B ．甲、乙两物体在5 s 末相遇C ．前4 s 内甲物体总在乙的前面D ．甲、乙两物体在2.5 s 时相距最远解析：选A.由图可知，甲、乙运动的位移可由速度图象与时间坐标轴所围的面积表示，且两物体是在同一地点不同时刻出发做匀变速直线运动，故比较面积可知，选项A 错误，而B 、C 、D 正确．5.图1－3－18(2012·福州模拟)从同一地点同时开始沿同一直线运动的两个物体Ⅰ、Ⅱ的速度图象如图1－3－18所示，在0～t 2时间内，下列说法中正确的是( )A ．Ⅰ物体所受的合外力不断增大，Ⅱ物体所受的合外力不断减小B ．在第一次相遇之前，t 1时刻两物体相距最远C ．t 2时刻两物体相遇D ．Ⅰ、Ⅱ两个物体的平均速度大小都是v 1＋v 22解析：选B.由题图可知，物体Ⅰ受到的合外力不断减小，物体Ⅱ受到的合外力不变，A 错；t 1时刻物体Ⅰ、Ⅱ速度相等，两物体相距最远，B 对；t 2时刻Ⅰ的位移大于Ⅱ的位移，C 错；Ⅰ的平均速度大于Ⅱ的平均速度，D 错．选B.6．(2010·高考天津卷)质点做直线运动的v t 图象如图1－3－19所示，规定向右为正方向，则该质点在前8 s 内平均速度的大小和方向分别为( )图1－3－19A ．0.25 m/s 向右B ．0.25 m/s 向左C ．1 m/s 向右D ．1 m/s 向左解析：选B.由图象面积计算0～3 s 内物体的位移s 1＝2×3×12m ＝3 m ，方向向右，3～8 s 内位移为s 2＝2×5×12 m ＝5 m ，方向向左，所以前8 s 总位移s ＝s 1－s 2＝－2 m.v ＝st＝－28 m/s ＝－0.25 m/s ，即大小为0.25 m/s ，方向向左．B 正确． 7.图1－3－20龟兔赛跑的故事流传至今，按照龟兔赛跑的故事情节，兔子和乌龟的位移图象如图1－3－20所示，关于兔子和乌龟的运动，下列说法正确的是( )A ．兔子和乌龟是同时从同一地点出发的B ．乌龟一直做匀加速运动，兔子先加速后匀速再加速C ．骄傲的兔子在t 4时刻发现落后奋力追赶，但由于速度比乌龟的速度小，还是让乌龟先到达预定位移s 3处D ．在 0～t 5时间内，乌龟的平均速度比兔子的平均速度大解析：选D.从图中看出，0～t 1这段时间内，兔子没有运动，而乌龟在做匀速运动，所以A 错；乌龟一直做匀速运动，兔子先静止后匀速再静止最后匀速，所以B 错；在t 4时刻以后，兔子的速度比乌龟的速度大，所以C 错误；在0～t 5时间内，乌龟的位移比兔子的位移大，所以乌龟的平均速度比兔子的平均速度大，即D 正确．8.图1－3－21如图1－3－21所示为某物体运动时st－t 的图象，其中s 表示位移，由图象判断正确的是( )A ．物体做匀速直线运动B ．物体做变加速直线运动C ．物体做匀变速直线运动D ．物体做曲线运动 答案：C图1－3－229．(2012·北京东城区检测)小球从空中自由下落，与水平地面每一次相碰后反弹到空中某一高度，其速度随时间变化的关系如图1－3－22所示．若g ＝10 m/s 2，则( )A ．小球第一次反弹后离开地面的速度的大小为5 m/sB ．碰撞前后速度改变量的大小为2 m/sC ．小球是从5 m 高处自由下落的D ．小球反弹起的最大高度为0.45 m 解析：选D.由v －t 图象可知，小球第一次反弹离开地面时速度大小为3 m/s ，A 项错误；碰撞前后速度改变量Δv ＝v ′－v ＝－3 m/s －5 m/s ＝－8 m/s ，B 项错误；由小球落地时速度v ＝5 m/s ，得小球下落高度h ＝v 22g＝1.25 m ，C 项错误；由小球反弹速度v ′＝3 m/s ，得反弹高度h ′＝v ′22g＝0.45 m ，D 项正确．10.图1－3－23某物体做直线运动的v t 图象如图1－3－23所示，据此判断下图(F 表示物体所受合力，s 表示物体的位移)四个选项中正确的是( )图1－3－24解析：选B.本题通过v －t 图象来考查F －t 和s t 图象，意在考查考生运用物理和相关数学知识和规律来处理图象问题的能力．从v －t 图象中可以看出，物体在0～2 s 内做初速度为零的匀加速运动，合力与速度方向一致且为恒力，在2 s ～6 s 内加速度方向与前2 s 内速度方向相反，合外力方向与前2 s 内速度方向相反，故A 错误，B 正确；由于加速度a 恒定，所以匀加速运动范围内位移s 与时间t 是二次函数关系，且4 s 末的位移不为0，故C 、D 错误．二、非选择题 11．(2011·泉州质检)在东京2011年世界田径锦标赛中，某运动员在100 m 预赛中成绩刚好为10.0 s.(1)假设运动员从起跑开始全程一直保持匀加速运动，求运动员的加速度a 及冲刺终点时速度v 的大小．(2)实际上，运动员起跑时会尽力使加速度达到最大，但只能维持一小段时间，受到体能的限制和空气阻力等因素的影响，加速度将逐渐减小，到达终点之前速度已达到最大．下图中记录的是该运动员在比赛中的v t 图象，其中时间t 1(0～2 s)和时间t 3(7～10 s)内对应的图线均可视为直线，时间t 2(2～7 s)内对应的图线为曲线，试求运动员在时间t 2(2～7 s)内的平均速度的大小．图1－3－25解析：(1)根据匀变速直线运动规律有s ＝12at 2 v ＝at (或v ＝2as )解得a ＝2 m/s 2，v ＝20 m/s.(2)由图象可知时间t 1(0～2 s)内运动员做初速度为零的匀加速直线运动，位移大小s 1＝12v 1t 1＝8 m时间t 3(7～10 s)内运动员以速度v m ＝12 m/s 做匀速直线运动，位移大小s 3＝v m t 3＝36 m 在2～7 s 内位移大小 s 2＝s －s 1－s 3＝56 m在2～7 s 内的平均速度v ＝s 2t 2解得v ＝11.2 m/s.答案：(1)2 m/s 2 20 m/s (2)11.2 m/s 12．(2012·天津高三统考)汽车前方120 m 有一自行车正以6 m/s 的速度匀速前进，汽车以18 m/s 的速度追赶自行车，若两车在同一条公路不同车道上做同方向的直线运动，求：(1)经多长时间，两车第一次相遇？ (2)若汽车追上自行车后立即刹车，汽车刹车过程中的加速度大小为2 m/s 2，则再经多长时间两车第二次相遇？解析：(1)设经t 1秒，汽车追上自行车，由题意得： v 汽t 1＝v 自t 1＋s ，解得：t 1＝10 s.(2)汽车的加速度大小为a ＝2 m/s 2，设第二次追上所用的时间为t 2，则v 自t 2＝v 汽t 2－12at 22，解得：t 2＝12 s设汽车从刹车到停下用时t 3秒，则：t 3＝v 汽a＝9 s ＜t 2，故自行车再次追上汽车前，汽车已停下．停止前汽车的位移：s 汽＝0＋v 汽2t 3设经t 4时间追上，则v 自t 4＝s 汽，解得：t 4＝13.5 s ，再经过13.5 s 两车第二次相遇． 答案：(1)10 s (2)13.5 s。
1.命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.例如：f (x )＝x 3在(－1，1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A. 2.(2012·荣昌质检)函数y ＝x －ln(1＋x )的单调增区间为( ) A ．(－1，0) B ．(－∞，－1)和(0，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，－1) 解析：选C.y ′＝1－11＋x ＝x 1＋x .令y ′＞0，得x 1＋x＞0，∴x ＞0或x ＜－1.又x ＋1＞0，∴x ＞0.3.若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )＝0 D ．不能确定解析：选A.因f ′(x )>0，所以f (x )在(a ，b )上是增函数，所以f (x )>f (a )≥0. 4.(2011·高考江苏卷改编)函数f (x )＝2log 5x ＋1的单调增区间是________． 解析：令f ′(x )＝2x ln5>0，得x ∈(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞)一、选择题1.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0，3) C ．(1，4) D ．(2，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ， 令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.2.函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(0，1)B ．(0，1)和(－∞，－1)C ．(0，1)∪(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选A.y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，由y ′＝x －1x ＝x 2－1x＜0，∴0＜x ＜1.所以选A.3.(2012·梁平检测)设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于零的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )＜0，则当a ＜x ＜b 时，有( ) A ．f (x )g (x )＞f (b )g (b ) B ．f (x )g (a )＞f (a )g (x ) C ．f (x )g (b )＞f (b )g (x ) D ．f (x )g (x )＞f (a )g (a )解析：选C.令F (x )＝f （x ）g （x ），则F ′(x )＝f ′（x ）·g （x ）－f （x ）g ′（x ）g 2（x ）＜0.∵f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于零的可导函数，∴F (x )在R 上为递减函数，当x ∈(a ，b )时，f （x ）g （x ）＞f （b ）g （b ）.∴f (x )g (b )＞f (b )g (x )． 4.已知函数y ＝f (x )在定义域[－4，6]内可导，其图象如图，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为( ) A ．[－43，1]∪[113，6]B ．[－3，0]∪[73，5]C ．[－4，－43]∪[1，73]D ．[－4，－3]∪[0，1]∪[5，6] 解析：选A.由不等式f ′(x )≤0的解集即为原函数f (x )的单调递减区间所对应的x 的取值范围，知选A.5.设f (x )，g (x )在(a ，b )上可导，且f ′(x )＞g ′(x )，则当a ＜x ＜b 时有( ) A ．f (x )＞g (x ) B ．f (x )＜g (x )C ．f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )＞g (x )＋f (b )解析：选C.利用函数的单调性判断．令φ(x )＝f (x )－g (x )，则φ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )，∵f ′(x )＞g ′(x )，∴φ′(x )＞0，即函数φ(x )为定义域上的增函数．又a ＜x ＜b ，∴φ(a )＜φ(x )，即f (a )－g (a )＜f (x )－g (x )，从而得f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )． 6.(2012·大足质检)函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2B.()π，2πC.⎝⎛⎭⎫3π3，5π2D.()2π，3π解析：选B.y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，若y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此区间内y ′恒大于或等于0即可．∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′≥0恒成立． 二、填空题7.函数y ＝3x －x 3在(－1，1)内的单调性是________． 解析：y ′＝3－3x 2，由y ′＞0得－1＜x ＜1， ∴y ＝3x －x 3在(－1，1)内单调递增． 答案：增函数8.y ＝x 2e x 的单调递增区间是________． 解析：∵y ＝x 2e x ，∴y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝e x x (2＋x )>0⇒x <－2或x >0. ∴递增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)． 答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)9.(2012·奉节调研)若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间， ∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×(－4)×a >0， ∴a >0.答案：(0，＋∞) 三、解答题10.求下列函数的单调区间． (1)f (x )＝x 3＋3x；(2)f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x ≤2π)．解：(1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝3x 2－3x 2＝3(x 2－1x2)，由f ′(x )>0，解得x <－1或x >1，由f ′(x )<0，解得－1<x <1且x ≠0，∴递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)， 递减区间为(－1，0)，(0，1)．(2)f ′(x )＝cos x (1＋cos x )＋sin x (－sin x ) ＝2cos 2x ＋cos x －1＝(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵0≤x ≤2π，∴由f ′(x )＝0得x 1＝π3，x 2＝π，x 3＝53π，则区间[0，2π]被分成三个子区间，如表所示： x 0 (0，π3)π3 (π3，π) π (π，5π3) 5π3 (5π3，2π) 2πf ′(x ) ＋0 － 0 － 0 ＋f (x )↗↘↘↗∴f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x ≤2π)的单调递增区间为[0，π3]，[53π，2π]，单调递减区间为(π3，53π)． 11.(2012·北碚质检)已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .设f (x )在区间[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝e x [x 2＋2(1－a )x －2a ]．令f ′(x )＝0，即x 2＋2(1－a )x －2a ＝0.解得x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2， 其中x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：x (－∞，x 1)x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 2，＋∞)f ′(x ) ＋0 － 0 ＋f (x )↗↘↗∵a ≥0，∴x 1<－1，x 2≥0，f (x )在(x 1，x 2)上单调递减．由此可得f (x )在[－1，1]上是单调函数的充要条件为x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1，解得a ≥34.故所求a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 12.(创新题)设k ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧11－x ， x ＜1，－x －1，x ≥1，F (x )＝f (x )－kx ，x ∈R.试讨论函数F (x )的单调性．解：F (x )＝f (x )－kx ＝⎩⎪⎨⎪⎧11－x －kx ， x ＜1，－x －1－kx ，x ≥1.F ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1（1－x ）2－k ， x ＜1，－12x －1－k ，x ≥1.对于F (x )＝11－x－kx (x ＜1)，当k ≤0时，函数F (x )在(－∞，1)上是增函数；当k ＞0时，函数F (x )在(－∞，1－1k )上是减函数，在(1－1k ，1)上是增函数．对于F (x )＝－x －1－kx (x ≥1)，当k ≥0时，函数F (x )在(1，＋∞)上是减函数；当k ＜0时，函数F (x )在(1，1＋14k 2)上是减函数，在(1＋14k2，＋∞)上是增函数．。
1．在牛顿第二定律的表达式F ＝kma 中，有关比例系数k 的下列说法中，正确的是( ) A ．在任何情况下k 都等于1B ．k 的数值由质量、加速度和力的大小决定C ．k 的数值由质量、加速度和力的单位决定D ．在国际单位制中，k 等于1解析：选CD.在F ＝kma 中，只有各量均取国际单位时，k 才等于1，若各量并不都取国际单位，则k 的大小由F 、m 、a 的单位共同决定．所以C ，D 正确． 2．(2012·湖北黄冈中学高一检测)下列说法正确的是( ) A ．物体所受合外力为零时，物体的加速度可以不为零 B ．物体所受合外力越大，速度越大C ．速度方向、加速度方向、合外力方向总是相同的D ．速度方向可与加速度方向成任何夹角，但加速度方向总是与合外力方向相同解析：选D.由牛顿第二定律：F ＝ma 知，F 合为0，加速度为零，由惯性定律知速度不一定为零；当F 合越大，a 也越大，由a ＝ΔvΔt知，a 大只能说明速度变化率大，速度不一定大，故A ，B 项错误；F 合，a ，Δv 三者方向一定相同，而速度方向与这三者方向不一定相同，C 项错，故正确答案为D.3．下列单位中，是国际单位制中加速度单位的是( ) A ．cm/s 2 B ．m/s 2 C ．N/kg D ．N/m解析：选B.国际单位制中，质量的单位为kg ，长度的单位为m ，时间的单位为s ，根据a ＝vt可知，加速度的单位为m/s 2. 4．(2012·山东聊城第一中学高一月考)一个质量为2 kg 的物体同时受到两个力的作用，这两个力的大小分别为2 N 和6 N ，当两个力的方向发生变化时，物体的加速度大小可能为( )A ．1 m/s 2B ．2 m/s 2C ．3 m/s 2D ．4 m/s 2解析：选BCD.先求两力合力大小的范围为4 N ≤F 合≤8 N ，所以42≤F 合m ≤82，即2 m/s 2≤a ≤4m/s 2，在此范围内的是B 、C 、D 三项． 5.图3－3－6如图3－3－6所示，车厢在运动过程中所受阻力恒为f ，当车厢以某一加速度a 向右加速时，在车厢的后壁上相对车厢静止着一物体m ，物体与车厢壁之间的动摩擦因数为μ，设车厢的质量为M ，则车厢内发动机的牵引力至少为多少时，物体在车厢壁上才不会滑下来？ 解析：以车厢和物块整体为研究对象，则由牛顿第二定律得：F －f ＝(M ＋m )a ①以物块为研究对象，受力情况如图所示，则f ′＝mg ＝μN其中N ＝ma ，所以a ＝gμ，代入①得F ＝f ＋(M ＋m )gμ.答案：f ＋(M ＋m )gμ一、选择题1．关于速度、加速度、合外力的关系，下列说法中不正确的是( ) A ．不为零的合外力作用于原来静止物体的瞬间，物体立刻获得加速度B ．加速度的方向与合外力的方向总是一致的，但与速度的方向可能相同，也可能不同C ．在初速度为零的匀加速直线运动中，速度、加速度与合外力的方向总是一致的D ．合外力变小，物体的速度一定变小解析：选D.由牛顿第二定律可知A 、B 选项正确；初速度为零的匀加速直线运动中，v 、a 、F 三者的方向相同，故C 选项正确；合外力变小，加速度变小，但速度不一定变小，D 选项错误．2．用轻绳系一质量为m 的砝码并向上提起，当绳中张力为T ＝mg 时，砝码匀速上升．若绳中张力变为2T ，则砝码匀加速上升，其加速度a 的大小为( ) A ．a <g B ．a ＝g C ．g <a <2g D ．a ＝2g解析：选B.由牛顿第二定律可知，加速度a ＝2T －mgm＝g ，故选B.图3－3－73．如图3－3－7所示，长木板静止在光滑的水平地面上，一木块以速度v 滑上木板，已知木板质量是M ，木块质量是m ，二者之间的动摩擦因数为μ，那么，木块在木板上滑行时( ) A ．木板的加速度大小为μg /M B ．木块的加速度大小为μg C ．木板做匀加速直线运动 D ．木块做匀减速直线运动解析：选BCD.木板所受合力是m 施加的摩擦力μmg ，所以木板的加速度为μmgM，做匀加速直线运动；木块同样受到摩擦力作用，其加速度为μmgm＝μg ，做匀减速直线运动，故A 错误，B 、C 、D 正确． 4.图3－3－8(2012·北京101中学高一检测)如图3－3－8所示，在光滑的水平面上，质量分别为m 1和m 2的木块A 和B 之间用轻弹簧相连，在拉力F 作用下，以加速度a 做匀加速直线运动，某时刻突然撤去拉力F ，此瞬时A 和B 的加速度为a 1和a 2，则( ) A ．a 1＝a 2＝0 B ．a 1＝a ，a 2＝0C ．a 1＝m 1m 1＋m 2a ，a 2＝m 2m 1＋m 2aD ．a 1＝a ，a 2＝－m1m 2a解析：选D.两物体在光滑的水平面上一起以加速度a 向右匀加速运动时，弹簧的弹力F 弹＝m 1a ，在力F 撤去的瞬间，弹簧的弹力来不及改变，大小仍为m 1a ，因此对A 来讲，加速度此时仍为a ，对B 物体：取向右为正方向，－m 1a ＝m 2a 2，a 2＝－m1m 2a ，所以只有D 项正确．5．假设汽车紧急制动后所受到的阻力的大小与汽车所受重力的大小差不多，当汽车以20 m/s 的速度行驶时突然制动，它还能继续滑行的距离约为( ) A ．40 m B ．20 m C ．10 m D ．5 m解析：选B.由题意F 阻＝mg ，汽车所受合力F ＝F 阻＝mg ，对汽车由牛顿第二定律解得汽车刹车时的加速度大小a ＝F m ＝g ＝10 m/s 2.设滑行距离为x ，由v 2＝2ax 得x ＝v 22a＝20 m ，故B正确．图3－3－96．质量均为m 的A 、B 两个小球之间系一个质量不计的弹簧，放在光滑的台面上．A 紧靠墙壁，如图3－3－9所示，若用恒力F 将B 球向左挤压弹簧，达到平衡时，突然将力撤去，此瞬间( )A ．A 球的加速度为F /(2m )B ．A 球的加速度为零C ．B 球的加速度为F /(2m )D ．B 球的加速度为F /m解析：选BD.恒力F 作用时，A 和B 都平衡，它们的合力都为零，且弹簧弹力为F .突然将力F 撤去，对A 来说水平方向依然受弹簧弹力和墙壁的弹力，二力平衡，所以A 球的合力为零，加速度为零，A 项错，B 项对．而B 球在水平方向只受水平向右的弹簧的弹力作用，加速度a ＝Fm，故C 项错，D 项对．图3－3－107．(2011·高考天津卷)如图3－3－10所示，A 、B 两物块叠放在一起，在粗糙的水平面上保持相对静止地向右做匀减速直线运动，运动过程中B 受到的摩擦力( ) A ．方向向左，大小不变 B ．方向向左，逐渐减小 C ．方向向右，大小不变 D ．方向向右，逐渐减小 解析：选A.对A 、B 整体受力分析如图所示，滑动摩擦力f 使整体产生加速度a ，a 等于μg 不变，对B 受力分析知，B 所受静摩擦力f ＝m B ·a ＝μ m B g ，大小不变，方向向左，故A 对，B 、C 、D 错．8．声音在空气中的传播速度为v 与空气的密度ρ、压强p 有关．下列速度的表达式(k 为比例系数，无单位)中可能正确的是( )A ．v ＝k p ρB ．v ＝ kpρC ．v ＝kρpD ．v ＝kpρ解析：选B.压强的单位为kg·m/s 2m 2＝kg m·s 2，密度的单位为kg/m 3，故p ρ的单位为m 2s2，所以v ＝kp ρ.图3－3－119．如图3－3－11所示，轻弹簧下端固定在水平面上，一个小球从弹簧正上方某一高度处由静止开始自由下落，接触弹簧后把弹簧压缩到一定程度后停止下落．在小球下落的这一全过程中，下列说法中正确的是( ) A ．小球刚接触弹簧瞬间速度最大B ．从小球接触弹簧起加速度变为竖直向上C ．从小球接触弹簧到到达最低点，小球的速度先增大后减小D ．从小球接触弹簧到到达最低点，小球的加速度先减小后增大解析：选CD.小球的加速度大小取决于小球受到的合外力．从接触弹簧到到达最低点，弹力从零开始逐渐增大，所以合力先减小后增大，因此加速度先减小后增大．当小球所受弹力和重力大小相等时速度最大．图3－3－1210．(2012·川师附中高一检测)如图3－3－12所示，吊篮P 悬挂在天花板上，与吊篮质量相等的物体Q 被固定在吊篮中的两轻弹簧系住，当悬挂吊篮的细绳烧断的瞬间，吊篮P 和物体Q 的加速度大小分别是( ) A ．a P ＝g ，a Q ＝2g B ．a P ＝2g ，a Q ＝g C ．a P ＝g ，a Q ＝0 D ．a P ＝2g ，a Q ＝0解析：选D.悬挂吊篮的细绳烧断瞬间，两弹簧的长度不突然改变，两弹簧的弹力也不改变，细绳中原有的大小为2mg 的拉力消失，则吊篮P 的合力与细绳的原拉力等大反向，即合外力大小为2mg ，方向竖直向下，所以吊篮P 的加速度a P ＝2mgm＝2g .细绳被烧断瞬间，两弹簧对物体Q 的作用力不变，所以合外力依然为零，其加速度a Q ＝0，故D 项对． 二、非选择题11．一个质量为20 kg 的物体，从斜面的顶端由静止匀加速滑下，物体与斜面间的动摩擦因数为0.2，斜面与水平面间的夹角θ为37°.求物体从斜面下滑过程中的加速度．(g 取10 m/s 2) 解析：物体受力如图所示．x 轴方向：G x －f ＝ma .y 轴方向：N －G y ＝0.其中f ＝μN ，所以a ＝g sin θ－μg cos θ＝4.4 m/s 2. 答案：4.4 m/s 2 方向沿斜面向下12．在光滑的水平面上有一个质量为m ＝1 kg 的小球，小球一端与水平轻弹簧相连，另一端与和竖直方向成θ＝60°角、不可伸长的轻绳相连，如图3－3－13所示．此时小球处于静止状态，且水平面对小球的弹力恰好为零，当剪断轻绳的瞬间，求：图3－3－13(1)小球的加速度大小和方向；(2)此时轻弹簧的弹力与水平面对小球的弹力的比值为多少．(g 取10 m/s 2)解析：因为静止时水平面对小球的弹力为零，小球在绳没有断时受到绳的拉力F 1和弹簧的弹力F 2作用而处于平衡状态，由平衡条件得 F 1cos θ＝mg ，F 1sin θ＝F 2 解得F 2＝mg tan θ＝10 3 N剪断绳后小球在竖直方向仍平衡，水平面的支持力平衡重力N ＝mg 弹簧的弹力产生瞬时加速度F 2＝ma ，a ＝F 2m ＝mg tan θm＝10 3 m/s 2，方向水平向左F 2N ＝mg tan θmg＝ 3. 答案：(1)10 3 m/s 2 水平向左 (2) 3。
3.1第一课时知能演练轻松闯关故选B.3．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为()A．v≤120 km/h且d≥10 mB．v≤120 km/h或d≥10 mC．v≤120 km/hD．d≥10 m解析：选A.v的最大值为120 km/h即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m，故选A.4．若m≠2且n≠－1，则M＝m2＋n2－4m ＋2n的值与－5的大小关系为()A．M>－5 B．M<－5C．M＝－5 D．不确定解析：选A.∵m≠2，n≠－1，∴M＝(m－2)2＋(n＋1)2－5>－5.5．已知a，b分别对应于数轴上的A，B两点，且A点在原点右侧，B点在原点左侧，则下列不等式成立的是()A．a－b＝0 B.ab＞－abC．|a|＞|b| D．a2＋b2≥－2ab解析：选D.因为A在原点右侧，B在原点左侧，所以A在B右侧，故a＞b，A错；A，B 两点分别在原点两侧，所以a，b异号，B错；|a|，|b|分别表示A，B两点到原点的距离，由条件无法确定，C错；a2＋b2≥－2ab可化为(a＋b)2≥0，显然不等式恒成立，故选D.6．某工厂八月份的产量比九月份的产量少；甲物体比乙物体重；A容器不少于B容器的容积．若前一个量用a表示，后一个量用b表示，则上述事实可表示为_______；_______；________.解析：由题意易知三个不等关系用不等式可分别表示为a＜b，a＞b，a≥b.答案：a＜b a＞b a≥b7．(2019·青岛质检)已知a，b为实数，则(a ＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)．(填“＞”“＜”或“＝”)解析：因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，所以(a＋3)(a －5)＜(a＋2)(a－4)．答案：＜8．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买两套，则买票面8角的x套与买票面2元的y 套应满足的条件为________．解析：若设买票面8角的x 套，买票面2元的y 套，直接根据题意列不等式组，注意x ，y ∈N.答案：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ∈N ，y ≥2，y ∈N ，0.8×5x ＋2×4y ≤509．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2 log x 2(x >0且x ≠1)，试比较f (x )与g (x )的大小．解：f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2 log x 2＝log x 3x －log x 4＝log x 34x . (1)当log x 34x >0时，即 ⎩⎨⎧ x >134x >1，或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<34x <1时， 也就是x >43或0<x <1时，f (x )>g (x )． (2)当log x 34x ＝0时，即34x ＝1，也就是x ＝43时，f (x )＝g (x )．(3)当log x 34x <0时，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，0<34x <1，或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，34x >1. 也就是1<x <43时，f (x )<g (x )， 综上，x >43或0<x <1时，f (x )>g (x )； x ＝43时，f (x )＝g (x )； 1<x <43时，f (x )<g (x )． 10．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元呢？解：设杂志的定价为x 元，则销售的总收入为(8－x －2.50.1×0.2)x 万元． ∵销售的总收入不低于20万元，∴(8－x －2.50.1×0.2)x ≥20.1．(2019·南充调研)若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是( )A ．A ≤B B ．A ≥BC ．A <B 或A >BD ．A >B解析：选B.∵A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝(a －b 2)2＋34b 2≥0， ∴A ≥B .2．某公司有20名技术人员，计划开发A ，B 两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下： 产品种类 每件需要人员数 每件产值/万元A 类 127.5 B 类 136 今制定计划欲使总产值最高，则应开发A 类电子器件________件，能使产值最高为________万元．解析：设应开发A 类电子器件x 件，则开发B 类电子器件(50－x )件，则x 2＋50－x 3≤20，解得x ≤20.由题意，得总产值y ＝7.5x ＋6×(50－x )＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以应开发A类电子器件20件，能使产值最高为330万元．答案：203303．第三十届奥运会在英国伦敦召开，某公司急需将一批不易存放的蔬菜从A地运到英国伦敦，有汽车、火车、飞机三种运输工具可供选择，三种运输工具的主要参考数据如下：运输工具途中速度(千米/时)途中费用(元/千米)装卸时间(小时)装卸费用(元)汽车5082 1 000 火车10044 2 000 飞机200162 1 000 若这批蔬菜在运输过程(含装卸时间)中的损耗为300元/时，问采用哪种运输工具比较好，即运输过程中的费用与损耗之和最小．解：设从A地到英国伦敦的距离为s千米，则采用三种运输工具运输(含装卸)过程中的费用和时间可用下表给出：运输工具途中及装卸费用途中时间汽车8s＋1 s50＋2000火车 4s ＋2 000 s 100＋4飞机 16s ＋1 000 s 200＋2分别用F 1、F 2、F 3表示用汽车、火车、飞机运输时的总支出，则有F 1＝8s ＋1 000＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫s 50＋2×300＝14s ＋1 600，F 2＝4s ＋2 000＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫s 100＋4×300＝7s ＋3 200，F 3＝16s ＋1 000＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫s 200＋2×300＝17.5s ＋1 600.∵s >0，∴F 1<F 3恒成立．而F 1－F 2<0的解为s <1 6007， 则(1)当s <1 6007千米时，F 1<F 2，F 1<F 3，此时采用汽车运输较好；(2)当s ＝1 6007千米时，F 1＝F 2<F 3，此时采用汽车运输或火车运输较好；(3)当s >1 6007千米时，F 2<F 1<F 3，此时采用火车运输较好．第 11 页。
1．(2012·永安一中高二期中)一根均匀的电阻丝的电阻为R，下列用同种材料做成的电阻中，其电阻值也为R的是( )A．长度不变，横截面积增大一倍B．横截面积不变，长度增大一倍C．长度和横截面积都缩小一倍D．长度和横截面的半径都增大一倍解析：选C.由电阻定律R＝ρlS可知，C正确，A、B、D错误．2．导体的电阻是导体本身的一种性质，对于同种材料的导体，下列说法正确的是( )A．横截面积一定，电阻与导体的长度成正比B．长度一定，电阻与导体的横截面积成正比C．电压一定，电阻与通过导体的电流成正比D．电流一定，电阻与导体两端的电压成反比解析：选A.由R＝ρlS可知，在横截面积S一定时，电阻R与长度l成正比，长度l一定时，电阻R与横截面积S成反比，故A正确，B错误；R＝UI是电阻的定义式，提供了一种测电阻的方法，但电阻R与电压U、电流I无关，故C、D 均错误．3．一只标有“220 V,100 W”的灯泡工作时的电阻为484 Ω，当它不工作时，测量其电阻应( )A．等于484 ΩB．大于484 ΩC．小于484 Ω D．无法确定解析：选C.此题考查导体的电阻率与温度的关系．工作时，灯泡中有电流通过，灯泡发热，温度升高，由于金属的电阻率随温度升高而变大，所以灯泡工作时的电阻比不工作时大一些．4．在电阻两端加50 V的电压，该电阻10秒内有20 C的电量通过横截面，则该电阻的阻值为( )A．2 Ω B．5 ΩC．20 Ω D．25 Ω解析：选D.由I＝qt得，I＝2010A＝2 A，由欧姆定律得，R＝UI＝502Ω＝25 Ω，D正确．5．为了测定液体的电阻率，工业上用一种称为“电导仪”的仪器．其中一个关键部件如图所示，A、B是两片面积为1 cm2的正方形铂片，间距1 cm，把它们浸没在待测液体中，若通过两根引线加一定的电压6 V时，测出电流1 μA，这种液体的电阻率为多少？解析：由R＝UI 得R＝61×10－6Ω＝6×106Ω.由R＝ρlS 得，ρ＝RSl＝6×106×1×10－41×10－2Ω·m＝6×104Ω·m.答案：6×104Ω·m一、选择题1．关于公式R＝UI和公式R＝ρlS，下列说法正确的是( )A．两式对一切情况都适用B．R＝UI 仅适用于金属导体，R＝ρlS适用于任何导体C．导体的电阻R与U成正比，与I成反比D．导体的电阻在温度一定时与导体长度成正比，与导体的横截面积成反比解析：选D.R＝UI适用于金属导体和电解液，且为纯电阻电路，故A、B错误；导体的电阻由导体本身决定，与U、I无关，故C错误、D正确．2．(2012·莆田一中高二期中)关于电阻率的说法中不．正确的是( )A．电阻率ρ与导体的长度L和横截面积S有关B．电阻率表征了材料的导电能力的强弱，由材料决定，与温度有关C．电阻率ρ越大的导体，电阻也越大D．导体材料的电阻率都是随温度升高而增大解析：选ACD.电阻率表征材料导电性能的强弱，由材料决定，与温度有关，A错，B对．电阻由导体的长度，横截面积、材料共同决定，C错．有的导体材料电阻率随温度几乎不变，D错．3．下列说法中正确的是( )A．由R＝U/I可知，导体的电阻跟导体两端的电压成正比，跟导体中的电流成反比B．由I＝U/R可知，通过导体的电流跟导体两端的电压成正比，跟它的电阻成反比C．导体的电阻率由导体本身的物理条件决定，任何物理变化都不能改变导体的电阻率D．欧姆定律I＝U/R，不仅适用于金属导体的导电情况，对于别的电路也都适用解析：选B.由电阻定律知，导体的电阻是由本身的物理条件决定的，与加在它两端的电压和通过它的电流无关．所以A错．导体的电阻率是由导体的材料决定的，与温度有关．温度发生变化，电阻率也会改变，所以C错．部分电路欧姆定律只适用于电阻电路，不一定适合于一切电路，所以D 错．答案为B.4．有长度相同，质量相同，材料不同的金属导线A 、B 各一根．已知A 的密度比B 的大，A 的电阻率比B 的小．则A 、B 两根导线的电阻为( )A ．R A ＞RB B ．R A <R BC ．R A ＝R BD ．无法判断解析：选D.由R ＝ρL S，虽有A 、B 长度相同，密度ρA ＞ρB 得S A ＜S B ，但电阻率ρA <ρB ，故不能确定R A 与R B 的大小．D 正确．5．(2012·大连高二期末)某金属导线的电阻率为ρ，电阻为R ，现将它均匀拉长到直径为原来的一半，那么该导线的电阻率和电阻分别变为( )A ．4ρ和4RB ．ρ和4RC ．16ρ和16RD ．ρ和16R解析：选D.电阻率不变，A 、C 错误．直径为原来的一半，横截面积为原来的14，长度是原来的4倍，由R ＝ρlS知，电阻是原来的16倍，B 错误，D 正确． 6．有Ⅰ、Ⅱ两根不同材料的电阻丝，长度之比为l 1∶l 2＝1∶5，横截面积之比为S 1∶S 2＝2∶3，电阻之比为R 1∶R 2＝2∶5，外加电压之比为U 1∶U 2＝1∶2，则它们的电阻率之比为( )A ．2∶3B ．4∶3C ．3∶4D ．8∶3解析：选B.由公式R ＝ρl S 知ρ＝RSl，所以两种材料的电阻率之比ρ1：ρ2＝4∶3.选项B 正确．7．(2012·福州高二检测)一根粗细均匀的导线，当其两端电压为U 时，通过的电流是I ，若将此导线均匀拉长到原来的2倍时，电流仍为I ，导线两端所加的电压变为( )A ．U /2B ．UC ．2UD ．4U解析：选D.由R ＝ρlS 可知，当导线被均匀拉长为原来的2倍时，其横截面积变为原来的12，所以电阻变为原来的4倍，再根据欧姆定律可知电压变为原来的4倍，故D 正确，A 、B 、C 错误．8．用电器离电源L 米，线路上的电流为I ，为使在线路上的电压降不超过U ，已知输电线的电阻率为ρ.那么，输电线的横截面积的最小值是( )A ．ρL /RB ．2ρLI /UC ．U /(ρLI )D ．2UL /(I ρ)解析：选B.自用电器到电源需两根导线，故导线总长为2L ，由R ＝U I及R ＝ρ2L S 解得：S 最小＝2ρIL U，B 正确．9．如图所示，均匀的长方形薄片合金电阻板abcd ，ab 边长为L 1，ad 边长为L 2，当端点Ⅰ、Ⅱ或Ⅲ、Ⅳ接入电路时，R ⅠⅡ∶R ⅢⅣ是( )A ．L 2∶L 1B ．L 1∶L 2C ．L 22∶L 21D ．L 21∶L 22解析：选C.设电阻板厚δ，当端点Ⅰ、Ⅱ接入电路时，导体长为L 2，横截面积为L 1δ，根据电阻定律；R ⅠⅡ＝ρlS ＝ρL 2L 1δ；同理，R ⅢⅣ＝ρl S ＝ρL 1L 2δ；所以R ⅠⅡ∶R ⅢⅣ＝L 22∶L 21，故选C.10．有两根材料相同的导线，质量之比为2∶1，长度之比为1∶2，加上相同电压后，通过的电流之比为( )A ．8∶1B ．4∶1C ．1∶1D ．1∶4解析：选A.同种材料的导体体积之比等于质量之比，所以V 1V 2＝21，横截面积之比S 1S 2＝V 1l 1V 2l 2＝21×21＝41，故由R ＝ρl S 可得R 1R 2＝l 1l 2·S 2S 1＝12×14＝18，加上相同的电压，由I＝UR ，可得I1I2＝R2R1＝81.选项A正确．二、非选择题11．两根材料相同的均匀导线x和y，x的长度为L，y的长度为2L，串联在电路中，沿电流方向电势随长度的变化如图所示，求x、y横截面积之比？解析：由图象可得两导线上的电压相等均为4 V，由公式R＝UI得两导线电阻相等；由公式R＝ρlS，可得S＝ρlR，R、ρ相同，故横截面积S与长度l成正比，故面积比为1∶2.答案：1∶212．相距40 km的A、B两地架两条输电线，电阻共为800 Ω.如果A、B间的某处发生短路，为查明短路地点，在A处接上电源、电压表和电流表，测得电压表的示数为10 V，电流表的示数为40 mA，求发生短路处距A处有多远？解析：如图所示，A、B两地相距l1＝40 km，原输电线长为2l1，总电阻R1＝800 Ω，设A与短路处距离为l2，其间输电线电阻：R2＝UI＝1040×10－3Ω＝250Ω由R＝ρlS知，R1R2＝2l12l2得：l2＝l1R2R1＝40×250800km＝12.5 km，即短路处距A端12.5 km.答案：12.5 km。
1．要测量对岸A 、B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A 、B 之间的距离．解：如图所示，在△ACD 中， ∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°， ∴AC ＝CD ＝ 3 km.在△BCD 中，∠BCD ＝45°， ∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°.∴BC ＝3sin75°sin60°＝6＋22.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝5(km)， ∴A 、B 之间的距离为 5 km.2．如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处求援，求cos θ的值． 解：如题中图所示，在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos120°＝2800⇒BC ＝207.由正弦定理得，AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC ⇒sin ∠ACB ＝AB BC sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos30°－sin ∠ACB sin30°＝2114.一、选择题1．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°解析：选B.灯塔A ，B 的相对位置如图所示，由已知得∠ACB ＝80°，∠CAB ＝∠CBA ＝50°，则α＝60°－50°＝10°.故灯塔A 在灯塔B 的北偏西10°.2．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( ) A ．50 2 m B ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m解析：选A.由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B，∴AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B ＝50×2212＝50 2.故选A.3．(2012·池州质检)在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为( ) A.4003 m B.4003 3 m C.2003 3 m D.2003m解析：选A.如图所示，在Rt △OAC 中，OA ＝200，∠OAC ＝30°，则OC ＝OA ·tan ∠OAC ＝200tan30°＝20033.在Rt △ABD 中，AD ＝20033，∠BAD ＝30°，则BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝20033·tan30°＝2003，∴BC ＝CD －BD ＝200－2003＝4003(m)． 4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( ) A ．5海里 B ．5 3 海里 C ．10海里 D ．10 3 海里解析：选C.如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt △ABC 中，AB ＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)．5．(2012·扬州调研)如图，D ，C ，B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点仰角分别是β，α(α<β)，则A 点离地面的高度AB 等于( ) A.a sin αsin βsin (β－α) B.a sin αsin βcos (α－β) C.a sin αcos βsin (β－α) D.a cos αsin βcos (α－β)解析：选A.在△ADC 中，由正弦定理得DC sin (β－α)＝AC sin α，所以AC ＝DC sin αsin (β－α)＝a sin αsin (β－α)，在Rt △ABC 中，AB ＝AC sin β＝a sin αsin βsin (β－α).故选A.二、填空题6．如图，某住宅小区的平方图呈扇形AOC ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD ，DC 且拐弯处的转角为120°，已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行速度为每分钟50米，则该扇形的半径OA ＝________(精确到米)．解析：设该扇形的半径为r 米，由题意得CD ＝500，DA ＝300， ∠CDO ＝60°，在△CDO 中，CD 2＋OD 2－2·CD ·OD ·cos60°＝OC 2，即5002＋(r －300)2－2×500×(r －300)×12＝r 2，解得r ≈445(米)． 答案：445米 7．(2011·高考上海卷)在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为________千米．解析：如图所示，在△ABC 中， ∠ACB ＝180°－(75°＋60°)＝45°.根据正弦定理，得AC ＝AB sin B sin C ＝2sin60°sin45°＝6(千米)．答案： 68．中新社亚丁湾2011年2月5日电，中国海军第七批护航编队采取直升机低空查证、发射爆震弹示警等措施，成功驱离多艘可疑小艇，如图，当甲船位于A 处时，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘货船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B 处救援，则sin θ的值等于________．解析：根据题目条件可得：在△ABC 中，AB ＝20，AC ＝10，∠CAB ＝120°，由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠CAB ＝202＋102－2×20×10×cos120°＝700，∴BC ＝107，再由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠CAB ，∴sin ∠ACB ＝AB sin ∠CAB BC ＝20×sin120°107＝217，cos∠ACB ＝277.所以sin θ＝sin(30°＋∠ACB )＝sin30°cos ∠ACB ＋cos30°sin ∠ACB ＝12×277＋32×217＝5714. 答案：5714三、解答题9．某观测站C 在目标A 的南偏西25°方向，从A 出发有一条南偏东35°走向的公路，在C 处测得与C 相距31 km 的公路上的B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20 km 到达D ，此时测得CD 距离21 km ，求此人在D 处距A 还有多少千米．解：如图，∠CAD ＝25°＋35°＝60°.在△BCD 中，由余弦定理，得cos B ＝BC 2＋BD 2－CD 22BC ·BD ＝312＋202－2122×31×20＝2331.sin B ＝1－cos 2B ＝12331.在△ABC 中，由正弦定理，得AC ＝BC ·sin Bsin A ＝31×1233132＝24.由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A .即312＝AB 2＋242－2×AB ×24cos60°，∴AB 2－24AB －385＝0.解得AB ＝35或AB ＝－11(舍)， ∴AD ＝AB －BD ＝15.故此人在D 处距A 还有15 km.10．如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A ，B ，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，且AB ＝100米． (1)求sin ∠CAB ；(2)求该河段的宽度． 解：(1)sin ∠CAB ＝sin75°＝sin(30°＋45°) ＝sin30°·cos45°＋cos30°sin45°＝12×22＋32×22＝6＋24. (2)∵∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，∴∠ACB ＝180°－∠CAB －∠CBA ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠CAB，∴BC ＝AB sin75°sin60°.如图所示，过点B 作BD 垂直于对岸，垂足为D ，则BD 的长就是该河段的宽度．在Rt △BDC 中，∵∠BCD ＝∠CBA ＝45°，sin ∠BCD ＝BDBC，∴BD ＝BC sin45°＝AB sin75°sin60°·sin45°＝100×6＋2432×22＝50(3＋3)3(米)，∴该河段的宽度为50(3＋3)3米．11．如图所示，上午11时在某海岛上一观察点A 测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，那么船速为多少？解：轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟，而船始终匀速前进，由此可见BC ＝4EB ，设EB ＝x km ，则BC ＝4x km.由已知，得∠BAE ＝30°，∠EAC ＝150°.在△AEC 中，由正弦定理，得EC sin ∠EAC ＝AEsin C，∴sin C ＝AE ·sin ∠EAC EC ＝5sin150°5x ＝12x.在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin120°＝ABsin C，∴AB ＝BC ·sin Csin120°＝4x ·12x32＝433.在△ABE 中，由余弦定理，得BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos30°＝163＋25－2×433×5×32＝313， 故BE ＝ 313.∴船速v ＝BEt ＝31313＝93 (km/h)．故该船的速度为93 km/h.。
Ⅰ.写出下列加黑短语的构成形式及其在句中所作的成分1．The tallest boy in our class is Li Lei.限定词＋形容词＋名词；作主语2．She studies English very hard.副词＋副词；作状语3．Tom carefully wrote some letters to his friends.限定词＋名词；作宾语4．I'd like to go to coffee shop this weekend.名词＋名词；作宾语5．Surprisingly enough, he refused our offer.副词＋副词；作状语6．He looked very worried.副词＋形容词；作表语7．Corn is a useful plant that can be eaten by both people and animals.限定词＋形容词＋名词；作表语8．John, an old friend of mine, comes from America.限定词＋形容词＋名词＋介词短语；作同位语Ⅱ.写出下列加黑短语的类型及其在句中所作的成分1．He is young but clever. 形容词短语；作表语2．Traveling alone is quite dangerous. 形容词短语；作表语3．It is an easy thing to do. 名词短语；作表语4．I think he is a man suitable for the job. 形容词短语；作定语5．I find the yard fairly quiet.形容词短语；作宾语补足语6．Lily is a lovely girl whom all the students want to make friends with.名词短语；作表语7．David, a former student of mine, is now a great architect.名词短语；作同位语8．Let's do sports together and enjoy a healthy life！名词短语；作宾语Ⅲ.语法与写作1．我对中国文化很感兴趣。
一、选择题1.将a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2改写成全称命题是( )A ．∃a ，b ∈R ，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2B ．∃a ＜0，b ＞0，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2C ．∀a ＞0，b ＞0，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2D ．∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2解析：选D.全称命题含有量词“∀”，故排除A 、B ，又等式a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2对于全体实数都成立，故选D.2.下列四个命题中，为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，x 2＋3＜0B ．∀x ∈N ，x 2≥1C ．∃x ∈Z ，使x 5＜1D ．∃x ∈Q ，x 2＝3解析：选C.由于∀x ∈R 都有x 2≥0，因而有x 2＋3≥3，所以命题“∀x ∈R ，x 2＋3＜0”为假命题；由于0∈N ，当x ＝0时，x 2≥1不成立，所以命题“∀x ∈N ，x 2≥1”是假命题； 由于－1∈Z ，当x ＝－1时，x 5＜1，所以命题“∃x ∈Z ，使x 5＜1”为真命题；由于使x 2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃x ∈Q ，x 2＝3”为假命题，故选C.3.(2012·高考山东卷)设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析：选C.p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确．4.(2013·武汉市适应性训练)命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是( )A ．所有能被2整除的整数都是奇数B ．所有不能被2整除的整数都不是奇数C ．存在一个能被2整除的整数是奇数D ．存在一个不能被2整除的整数不是奇数解析：选D.命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个不能被2整除的整数不是奇数”．5.(2013·2013·石家庄市高中毕业班教学质量检测(二))已知命题p 1：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0；p 2：∀x ∈[1，2]，x 2－1≥0.以下命题为真命题的是( )A ．綈p 1∧綈p 2B ．p 1∨綈p 2C ．綈p 1∧p 2D ．p 1∧p 2解析：选C.∵方程x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3＜0，∴x 2＋x ＋1＜0无解，故命题p 1为假命题，綈p 1为真命题；由x 2－1≥0，得x ≥1或x ≤－1，∴∀x ∈[1，2]，x 2－1≥0，故命题p 2为真命题，綈p 2为假命题．∵綈p 1为真命题，p 2为真命题，∴綈p 1∧p 2为真命题，故选C.二、填空题6.命题“∃x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是____________________．解析：否定为全称命题：“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≠0”．答案：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≠07.下列四个命题：①∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0；②∀x ∈Q ，12x 2＋x －13是有理数； ③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；④∃x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10.所有真命题的序号是________．解析：①②显然正确；③中，若α＝π2，β＝0，则sin(α＋β)＝1，sin α＋sin β＝1＋0＝1，等式成立，∴③正确；④中，x ＝4，y ＝1时，3x －2y ＝10成立，∴④正确．故填①②③④.答案：①②③④8.(2013·安徽省名校联考)命题“∃x ∈R ，2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：“∃x ∈R ，2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则“∀x ∈R ，2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.答案：[－22，22]三、解答题9.命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，函数f (x )＝|log 2x |的值域为[0，＋∞)；命题q ：∃m ≥0，使得y ＝sin mx 的周期小于π2，试判断p ∨q ，p ∧q ，綈p 的真假性． 解：对于命题p ，当f (x )＝|log 2x |＝0时，log 2 x ＝0，即x ＝1，1∈/(1，＋∞)，故命题p 为假命题．对于命题q ，y ＝sin mx 的周期T ＝2π|m |＜π2，即|m |＞4，故m ＜－4或m ＞4，故存在m ≥0，使得命题q 成立，所以q 为真命题．故p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为真命题．10.已知命题p ：存在一个实数x ，使ax 2＋ax ＋1＜0.当a ∈A 时，非p 为真命题，求集合A .解：非p 为真，即“∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0”为真．若a ＝0，则1≥0成立，即a ＝0时非p 为真；若a ≠0，则非p 为真⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＝a 2－4a ≤0⇔0＜a ≤4. 综上知，所求集合A ＝[0，4]．一、选择题1.(2013·长沙模拟)设p 、q 是两个命题，则“复合命题p 或q 为真，p 且q 为假”的充要条件是( )A ．p 、q 中至少有一个为真B ．p 、q 中至少有一个为假C ．p 、q 中有且只有一个为真D ．p 为真，q 为假解析：选C.∵p 或q 为真⇒p 、q 中至少有一个为真；p 且q 为假⇒p 、q 中至少有一个为假，∴“命题p 或q 为真，p 且q 为假”⇒p 与q 一真一假．而由C 选项⇒“命题p 或q 为真，p 且q 为假”．2.若命题“p ∧綈 q ”为真，在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“q ”、“綈p ”中，真命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A.命题“p ∧綈q ”为真，即命题p 为真，綈q 为真，所以“綈p ”为假，“q ”为假，从而“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，故真命题有1个．二、填空题3.命题“∀x ∈R ，∃m ∈Z ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1”是________命题．(填“真”或“假”)解析：由于∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，因此只需m 2－m ＜34，即－12＜m ＜32，所以当m ＝0或m ＝1时，∀x ∈R ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1成立，因此命题是真命题．答案：真4.已知下列命题：①命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1＜3x ”；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(綈p )∧(綈q )为真命题”； ③“a ＞2”是“a ＞5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是________．解析：命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则(綈p )∧(綈q )为真命题，故②正确；a ＞5⇒a ＞2，但a ＞2a ＞5，故“a ＞2”是“a ＞5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．答案：②三、解答题5.设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a >0；命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0，得(x －3a )(x －a )＜0.又a ＞0，所以a ＜x ＜3a .当a ＝1时，1＜x ＜3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1＜x ＜3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x ＜－4或x ＞2，即2＜x ≤3. 所以q 为真时实数x 的取值范围是2＜x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <32<x ≤3⇔2<x <3， 所以实数x 的取值范围是(2，3)．(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ⇒綈q 且綈q 綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x ＞3}，则A B .所以0＜a ≤2且3a ＞3，即1＜a ≤2.所以实数a 的取值范围是(1，2]．。
一、选择题1.(2013·山西考前适应性训练)sin 20°cos 20°cos 50°＝( ) A ．2 B.22 C. 2 D.12解析：选D.sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12，故选D. 2.(2013·衡阳模拟)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为( )A. 2B.22C.12D.32解析：选 B.原式＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos[90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22. 3.(2013·大同调研)已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( ) A.35 B.45 C ．±35 D ．±45解析：选C.∵θ为第二象限角，∴θ2为第一、三象限角， ∴cos θ2的值有两个．由sin(π－θ)＝2425，可知sin θ＝2425， ∴cos θ＝－725，∴2cos 2 θ2＝1825，∴cos θ2＝±35. 4.(2012·高考大纲全国卷)已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin 2α＝( ) A ．－2425 B ．－1225 C.1225 D.2425解析：选A.∵α为第二象限角且sin α＝35， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－45， ∴sin 2α＝2sin α·cos α＝2³35³⎝⎛⎭⎫－45＝－2425. 5.(2013·深圳市调研)已知直线l ：x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( )A ．－73B.73C.57 D ．1解析：选 D.依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1，即tan β＝－13，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1，故选D. 二、填空题6．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.解析：根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.答案：17.已知sin(α－45°)＝－210，0°＜α＜90°，则cos α＝________． 解析：∵0°＜α＜90°，∴－45°＜α－45°＜45°，∴cos(α－45°)＝1－sin 2（α－45°）＝7210， ∴cos α＝cos[(α－45°)＋45°]＝cos(α－45°)cos 45°－sin(α－45°)sin 45°＝45. 答案：458.cos 2α1＋sin 2α²1＋tan α1－tan α的值为________． 解析：原式＝cos 2α－sin 2α（sin α＋cos α）2·1＋sin αcos α1－sin αcos α＝cos α－sin αsin α＋cos α·sin α＋cos αcos α－sin α＝1. 答案：1三、解答题9.已知tan α＝2，求sin 2α＋cos 2（π－α）1＋cos 2α的值． 解：sin 2α＋cos 2（π－α）1＋cos 2α＝2sin αcos α＋cos 2α2cos 2α＝2sin α＋cos α2cos α＝tan α＋12＝52. 10.(1)已知α是锐角，且（sin 2α＋cos 2α－1）（sin 2α－cos 2α＋1）sin 4α＝3，求角α的值； (2)求值：tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°.解：(1)∵（sin 2α＋cos 2α－1）（sin 2α－cos 2α＋1）sin 4α＝sin 22α－（cos 2α－1）22sin 2α·cos 2α＝sin 22α－cos 22α＋2cos 2α－12sin 2α·cos 2α＝－2cos 22α＋2cos 2α2sin 2α·cos 2α＝1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝sin αcos α＝tan α， ∴由已知可得tan α＝ 3.又∵α是锐角，∴α＝π3. (2)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40°＝tan 60°－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3.一、选择题1.若sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos α＝( ) A.225 B ．－225C.425 D ．－425解析：选 A.sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45³22＝225.故选A. 2.(2012·高考重庆卷)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( ) A ．－32 B ．－12C.12D.32解析：选C.原式＝sin （30°＋17°）－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12. 二、填空题3.已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin(β＋5π4)＝________．解析：依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35.又β是第三象限角，因此有cos β＝－45. sin(β＋5π4)＝－sin(β＋π4) ＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝7210. 答案：72104.(2013·温州调研)若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________． 解析：由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3， ∴tan α＝2.∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan （β－α）－tan α1＋tan （β－α）tan α＝－2－21＋（－2）³2＝43. 答案：43三、解答题5.已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈(π2，π)，β∈(－π2，0)，求sin α的值．解：∵π2＜α＜π，∴π＜2α＜2π. 又－π2＜β＜0，∴0＜－β＜π2. ∴π＜2α－β＜5π2. 而sin(2α－β)＝35＞0， ∴2π＜2α－β＜5π2，cos(2α－β)＝45. 又－π2＜β＜0且sin β＝－1213， ∴cos β＝513， ∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β＝45³513－35³(－1213)＝5665. 又cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130. 又α∈(π2，π)，∴sin α＝3130130.。
