【数学】数学--金陵中学、海安高级中学、南外三校2012届高三下学期联合考试_数学_

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江苏省海安高级中学等三校高三数学下学期联合考试苏教版

江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2012届高三联合考试数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∩B ＝ ▲ ．2．已知x 是实数，x ＋i 1－i是纯虚数，则x 的值是 ▲ ．3．根据如图所示的流程图，当输入的正整数n 的值为5时，输出的a n 的值是 ▲ ．4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y ＝5下方的概率是 ▲ ． 5则该运动员的平均得分为 ▲ ． 6．不等式lg(－x )＜x ＋1的解集为 ▲ ．7．底面边长为2m ，高为1m 的正三棱锥的全面积为 ▲ m 2． 8．在等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ．若数列{S n ＋12}也是等比数列，则S n 等于 ▲ ．9．已知函数f (x )＝kx 3－3(k ＋1)x 2－k 2＋1，若f (x )的单调减区间是(0，4)，则在曲线y ＝f (x )的切线中，斜率最小的切线方程是 ▲ ．10．若tan α＝3tan β，且0≤β＜α＜π2，则α－β的最大值为 ▲ ．11．过双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两0 9 1 055 2 8 3 1（第5题）（第3题）条渐近线的交点分别为B ，C ，若AB →＝12BC →，则双曲线的离心率是 ▲ ．12．△ABC 的面积为1，点D 在AC 上，DE ∥AB ，连结BD ，设△DCE 、△ABD 、△BDE 中面积最大者的值为y ，则y 的最小值为 ▲ ． 13．在△ABC 中，若a ＝2，b －c ＝1，△ABC 的面积为3，则→AB ·→AC ＝ ▲ ．14．已知使函数f (x )＝x 3－ax 2－1(0≤a ≤M 0)存在整数零点的实数a 恰有3个，则M 0的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4．（1）若f (x )＝1，求cos(2π3－x )的值；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求f (B )的取值范围．16．（本小题满分14分）如图，已知BC 是半径为1的半圆O 的直径，A 是半圆周上不同于B ，C 的点，F 为⌒AC 的中点．梯形ACDE 中，DE ∥AC ，且AC ＝2DE ，平面ACDE ⊥平面ABC ．求证：（1）平面ABE ⊥平面ACDE ；（2）平面OFD ∥平面BAE ． 17．（本小题满分14分）如图，将边长为3的正方形ABCD 绕中心O 顺时针旋转α (0＜α＜π2)得到正方形A ′B ′C ′D ′．根据平面几何知识，有以下两个结论：①∠A ′FE ＝α；②对任意α (0＜α＜π2)，△EAL ，△EA ′F ，△GBF ，△GB ′H ，△ICH ，△IC ′J ，△KDJ ，△KD ′L 均是全等三角形．（1）设A ′E ＝x ，将x 表示为α的函数；（2）试确定α，使正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 重叠部分面积最小，并求最小面积．F E ACBDD'18．（本小题满分16分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，椭圆C 的上、下顶点分别为A 1，A 2，左、右顶点分别为B 1，B 2,左、右焦点分别为F 1，F 2．原点到直线A 2B 2的距离为255．（1）求椭圆C 的方程；（2）过原点且斜率为12的直线l ，与椭圆交于E ，F 点，试判断∠EF 2F 是锐角、直角还是钝角，并写出理由；（3）P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点,直线PA 1，PA 2，分别交x 轴于点N ，M ,若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切，切点为T .证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值.19．（本小题满分16分）设数列{a n }是一个公差不为零的等差数列，且a 5＝6．（1）当a 3＝3时，请在数列{a n }中找一项a m (m ＞5)，使a 3，a 5，a m 成等比数列；（2）当a 3＞1时，如果存在自然数m 1，m 2，…，m t ，…，满足5＜m 1＜m 2＜…＜m t ＜…，且a 3，a 5，a m 1，a m 2，…，a m t ，…构成一个等比数列，求a 3的一切可能值；（3）在（2）中的a 3取最小正整数值时，求证：∑t =1n3t +1m t m t ＋1＜122．20．（本小题满分16分）设f (x )是定义在[a ，b ]上的函数，用分点T ：a ＝x 0＜x 1＜…＜x i －1＜x i ＜…＜x n ＝b ，将区间[a ，b ]任意划分成n 个小区间，若存在常数M ，使∑i =1n|f (x i )－f (x i －1)|≤M 恒成立，则称f (x )为[a ，b ]上的有界变差函数．（1）判断函数f (x )＝x ＋cos x 在[－π，π]上是否为有界变差函数，并说明理由；（2）定义在[a ，b ]上的单调函数f (x )是否一定为有界变差函数？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；（3）若定义在[a ，b ]上的函数f (x )满足：存在常数k ，使得对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ]，| f (x 1)－f (x 2)|≤k |x 1－x 2|．证明：f (x )为[a ，b ]上的有界变差函数．江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2012届高三联合考试数学Ⅱ（附加题）B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 3．（1）求矩阵MN ；（2）若点P 在矩阵MN 对应的变换作用下得到Q (0，1)，求点P 的坐标．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，设O 为极点，点P 为直线ρcos θ＝1与圆ρ＝2sin θ的切点，求OP 的长．D ．选修4—5：不等式选讲已知：a ，b ，c 都是正数，a ＋2b ＋3c ＝9．求证：14a ＋118b ＋1108c ≥19．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答．题卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为23，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，此时比赛结束．设各局比赛相互之间没有影响．令X 为本场比赛的局数，求X 的概率分布和数学期望．（第21－A 题）23．设P1，P2，…，P j为集合P＝{1，2，…，i}的子集，其中i，j为正整数．记a ij 为满足P1∩P2∩…∩P j＝的有序子集组(P1，P2，…，P j)的个数．（1）求a22的值；（2）求a ij的表达式．江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2012届高三联合考试数学Ⅰ参考答案及评分建议说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{x |0≤x ＜1} 2．1 3． 32 4．165．18 6．{x |－1＜x ＜0} 7．3 3 8．3n－129．12x ＋y －8＝0 10．π6 11． 5 12．3－5213．134 14．[269，6316)二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、二倍角的正、余弦公式，正、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分14分．解：（1）f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin(x 2＋π6)＋12．…………………3分由f (x )＝1，可得sin(x 2＋π6)＝12，解法一：令θ＝x 2＋π6，则x ＝2θ－π3．cos(2π3－x )＝cos(π－2θ)＝－cos2θ＝2sin 2θ－1＝－12． …………………6分解法二：x 2＋π6＝2k π＋π6，或x 2＋π6＝2k π＋5π6，k ∈Z ．所以x ＝4k π，或x ＝4k π＋4π3，k ∈Z ．当x ＝4k π，k ∈Z 时，cos(2π3－x )＝cos 2π3＝－12；当x ＝4k π＋4π3，k ∈Z 时，cos(2π3－x )＝cos(－2π3)＝－12；所以cos(2π3－x )＝－12．………………… 6分（2）解法一：由a cos C ＋12c ＝b ，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b , 即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12．因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，B ＋C ＝2π3． (10)分所以0＜B ＜2π3，所以π6＜B 2＋π6＜π2，所以f (x )＝sin(B 2＋π6)＋12∈(1，32)． (14)分解法二：由a cos C ＋12c ＝b ，得sin A cos C ＋12sin C ＝sin B ．因为在△ABC 中，sin B ＝sin(A ＋C )，所以sin A cos C ＋12sin C ＝sin(A ＋C )，sin A cos C ＋12sin C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以12sin C ＝cos A sin C ，又因为sin C ≠0，所以cos A ＝12．因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，B ＋C ＝2π3． (10)分所以0＜B ＜2π3，所以π6＜B 2＋π6＜π2，所以f (x )＝sin(B 2＋π6)＋12∈(1，32)． (14)分16．本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）因为平面ACDE ⊥平面ABC ，平面ACDE ∩平面ABC ＝AC ，AB ⊂平面ABC ，又在半圆O中，AB⊥AC．所以AB⊥平面ACDE．因为AB 平面ABE，所以平面ABE⊥平面ACDE．………………… 6分（2）设线段AC 与OF 交于点M ，连结MD ．因为F 为⌒AC 的中点，所以OF ⊥AC ，M 为AC 的中点．因为AB ⊥AC ，OF ⊥AC ，所以OF ∥AB ．又OF ⊄平面BAE ，AB ⊂平面ABE ，所以OF ∥平面BAE ． ………………… 8分因为M 为AC 的中点，且DE ∥AC ，AC ＝2DE ，所以DE ∥AM ，且DE ＝AM ．所以四边形AMDE 为平行四边形，所以DM ∥AE ．又DM ⊄平面BAE ，AE ⊂平面ABE ，所以DM ∥平面BAE ． ………………… 11分又OF ∥平面BAE ，MD ∩OF ＝M ，MD ⊂平面OFD ，OF ⊂平面OFD ，所以平面OFD ∥平面BAE ． ………………… 14分 17．本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．满分14分．解：（1）在Rt △EA ′F 中，因为∠A ′FE ＝α，A ′E ＝x ，所以EF ＝x sin α，A ′F ＝xtan α ．由题意AE ＝A ′E ＝x ，BF ＝A ′F ＝x tan α，所以AB ＝AE ＋EF ＋BF ＝x ＋xsin α＋xtan α＝3．所以x ＝3sin α1＋sin α＋cos α，α∈(0，π2) (6)分（2）S △A ′EF ＝12•A ′E •A ′F ＝12•x •x tan α＝x22tan α＝(3sin α1＋sin α＋cos α)2•cos α2sin α＝9sin αcos α2(1＋sin α＋cos α)2． ………………… 9分令t ＝sin α＋cos α，则sin αcos α＝t 2－12．因为α∈(0，π2)，所以α＋π4∈(π4，3π4)，所以t ＝2sin(α＋π4)∈(1，2]．S △A ′EF ＝9(t 2－1)4(1＋t )2＝94(1－2t ＋1)≤94(1－22＋1)．正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 重叠部分面积 S ＝S 正方形A ′B ′C ′D ′－4S △A ′EF ≥9－9 (1－22＋1)＝18(2－1)．当t ＝2，即α＝π4时等号成立． (14)分F EAC B DM答：当α＝π4时，正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 重叠部分面积最小，最小值为18(2－1)．18．本题主要考查椭圆的标准方程及简单性质、平面向量的坐标运算及直线和圆等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分16分．（1）因为椭圆C 的离心率e ＝32，故设a ＝2m ，c ＝3m ，则b ＝m ．直线A 2B 2方程为 bx －ay －ab ＝0，即mx －2my －2m 2＝0．所以2m2m 2＋4m 2＝255，解得m ＝1．所以 a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 24＋y 2＝1． ………………… 5分（2）由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ，得E (2，22)，F (－2，－22)．又F 2(3，0)，所以F 2E →＝(2－3，22)，F 2F →＝(－2－3，－22)，所以F 2E →·F 2F →＝(2－3)×(－2－3)＋22×(－22)＝12＞0．所以∠EF 2F 是锐角． ………………… 10分（3）由（1）可知A 1(0，1) A 2(0，－1),设P (x 0，y 0), 直线PA 1：y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0,得x N ＝－x 0y 0－1；直线PA 2：y ＋1＝y 0＋1x 0x ，令y ＝0,得x M ＝x 0y 0＋1；解法一:设圆G 的圆心为(12(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)，h ),则r 2＝[12(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)－x 0y 0＋1]2＋h 2＝14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－1)2＋h 2．OG 2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)2＋h 2．OT 2＝OG 2－r 2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)2＋h 2－14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－1)2－h 2＝x 021－y 02．而x 024＋y 02＝1，所以x 02＝4(1－y 02)，所以OT 2＝4，所以OT ＝2,即线段OT 的长度为定值2. ………………… 16分解法二:OM ·ON ＝|(－x 0y 0－1)·x 0y 0＋1|＝x 021－y 02,而x 024＋y 02＝1，所以x 02＝4(1－y 02)，所以OM ·ON ＝4．由切割线定理得OT 2＝OM ·ON ＝4．所以OT ＝2,即线段OT 的长度为定值2. ………………… 16分19．本题主要考查等差，等比数列的概念、通项公式与求和公式等基础知识，考查运算求解、分析探究的能力，综合思维能力．满分16分．（1）因为a 52＝a 3a m ，所以a m ＝a 52a 3＝12．设数列{a n }的公差为d ．则a m ＝a 3＋(m －3)d ＝3＋(m －3)×32＝12，所以m ＝9． ………………… 5分（2）因为数列{a n }是一个公差不为零的等差数列，且a 5＝6，所以a m t ＝a 3＋(m t －3)×6－a 32( m t ＞5，m t ∈N*)又 a m t ＝a 3(6a 3)t ＋1，故 a 3(6a 3)t ＋1＝a 3＋(m t －3)×6－a 32，即6t ＋1－a 3t ＋1a 3t＝(m t －3)×6－a 32，故(6－a 3)(6t＋6t －1a 3＋…＋6a 3t －1＋a 3t )a 3＝(m t －3)×6－a 32．由a 3≠a 5，所以a 3≠6．m t ＝5＋2[(6a 3)t ＋(6a 3)t －1＋…＋(6a 3)]，t ∈N*．当t ＝1时，m 1＝5＋2×6a 3＝5＋12a 3．由m 1∈N*，且a 3＞1，则12a 3＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11．当t ＝2时，m 2＝5＋2×[(6a 3)2＋6a 3]，所以12a 3为奇数时，m 2不为整数，不符合．所以，12a 3＝2，4，6，8，10．从而a 3＝6，3，2，32，65，又因为数列{a n }是一个公差不为零的等差数列，且a 3≠6．所以a 3＝3，2，32，65．经检验均满足题意． ………………… 12分（3）由（2）以及a 3取最小整数，可得a 3＝2，m t ＝5＋2(3t ＋3t －1＋…＋3)＝5＋2×(3t ＋1－3)2＝3t ＋1＋2． 3t +1m t m t ＋1＝3t ＋1( 3t ＋1＋2)( 3t ＋2＋2)＝12(13t ＋1＋2－13t ＋2＋2)， ∑t =1n 3t +1m t m t ＋1＝∑t =1n 12(13t ＋1＋2－13t ＋2＋2)＝12(131＋1＋2－13n ＋2＋2)＜12×131＋1＋2＝122． ………………… 16分20．本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查阅读理解能力，灵活运用化归与转化思想进行分析、探究及推理论证的能力．满分16分．（1）易得f ′(x )＝1－sin x ≥0，x ∈[－π，π]，所以f (x )＝x ＋cos x 为区间[－π，π]上的单调增函数，故当x i －1＜x i 时，总有f (x i －1)＜f (x i )，此时，∑i =1n |f (x i )－f (x i －1)|＝∑i =1n[f (x i )－f (x i －1)]＝f (x n )－f (x 0)＝f (π)－f (－π)＝2π．所以函数f (x )＝x ＋cos x 在[ ]-ππ，上为有界变差函数； …………5分（2）因为函数f (x )为区间[－π，π]上的单调函数，所以当x i －1＜x i 时，总有f (x i －1)＜f (x i )（或f (x i －1)＞f (x i )）， …………7分故∑i =1n|f (x i )－f (x i －1)|＝|∑i =1n [f (x i )－f (x i －1)]|＝|f (x n )－f (x 0)|＝| f (b )－f (a )|．故存在常数M ＝|f (b )－f (a )|，使得∑i =1n|f (x i )－f (x i －1)|≤M 恒成立，所以定义在[a ，b ]上的单调函数f (x )为有界变差函数； …………10分（3）因为存在常数k ，使得对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ]，| f (x 1)－f (x 2)|≤k |x 1－x 2|．所以∑i =1n |f (x i )－f (x i －1)|≤∑i =1nk |x i －x i －1|＝k (b －a )． …………14分故存在常数M ＝k (b －a )，使得∑i =1n|f (x i )－f (x i －1)|≤M 恒成立，所以f (x )为[a ，b ]上的有界变差函数． …………16分江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2012届高三联合考试数学Ⅱ参考答案及评分建议21．A ．选修4—1：几何证明选讲本小题主要考查圆的几何性质等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：如图，连结BD ，因为AB 为半圆O 的直径，所以∠ADB 为直角，即有∠CDB 为直角， …………4分又CE 为线段AB 的垂线，所以∠CEB 为直角，所以∠CDB ＝∠CEB …………8分故B ，C ，D ，E 四点共圆． …………10分B ．选修4—2：矩阵与变换本小题主要考查二阶矩阵的乘法及变换，考查运算求解能力．满分10分．（1）MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 54 9； …………5分（2）设P (x ，y )，则解法一： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 54 9 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，即⎩⎨⎧2x ＋5y ＝0，4x ＋9y ＝1．解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－1，即P (52，－1)． …………10分解法二：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 54 9－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－92 52 2 －1．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－92 52 2 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 52－1．即P (52，－1)． (10)分C ．选修4—4：坐标系与参数方程本小题主要考查直线与圆的极坐标方程与普通方程的互化等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：将直线ρcos θ＝1化为直角坐标方程得x ＝1， …………3分将圆ρ＝2sin θ化为直角坐标方程得x 2＋(y －1)2＝1， …………7分AE BCDO ·（第21－A 题）易得切点P 的坐标为 (1，1)，所以OP ＝2． …………10分 D ．选修4—4：不等式选讲本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：因为a ，b ，c 都是正数，所以(a ＋2b ＋3c )(14a ＋118b ＋1108c)≥(a •14a＋2b •118b＋3c •1108c)2＝1． …………8分因为a ＋2b ＋3c ＝9，所以14a ＋118b ＋1108c ≥19．22．本题主要考查概率分布及数学期望等基础知识，考查运算求解及推理论证的能力．满分10分．解：单局比赛甲队胜乙队的概率为23，乙队胜甲队的概率为1－23＝13．比赛三局结束有两种情况：甲队胜三局或乙队胜三局，因而P (X ＝3)＝(23)3＋(13)3＝13；…………3分比赛四局结束有两种情况：前三局中甲队胜2局，第四局甲队胜；或前三局中乙队胜2局，第四局乙队胜，因而P (X ＝4)＝C 23(23)2×13×23＋C 23(13)2×23×13＝1027； …………6分解法一：比赛五局结束有两种情况：前四局中甲队胜2局，乙队胜2局、第五局中甲队胜或乙队胜，因而P (X ＝5)＝C 24(23)2×(13)2×23＋C 24(13)2×(23)2×13＝C 24(13)2×(23)2＝827；所以X 的概率分布表为…………8分E (X )＝3×13＋4×1027＋5×827＝10727． …………10分解法二：P (X ＝5)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝827；所以X 的概率分布表为…………8分E (X )＝3×13＋4×1027＋5×827＝10727． …………10分 23．本题主要考查两个基本计数原理等基础知识，考查分析探究的能力．满分10分．解：（1）由题意得P 1，P 2为集合P ＝{1，2}的子集，因为P 1∩P 2＝∅，所以集合P ＝{1，2}中的元素“1”共有如下3种情形： 1∉P 1，且1∉ P 2；1∈P 1，且1∉ P 2；1∉P 1，且1∈P 2；同理可得集合P ＝{1，2}中的元素“2”也有3种情形，根据分步乘法原理得，a 22＝3×3＝9； …………4分（2）考虑P ＝{1，2，…，i }中的元素“1”，有如下情形： 1不属于P 1，P 2，…，P j 中的任何一个，共C 0j 种； 1只属于P 1，P 2，…，P j 中的某一个，共C 1j 种； 1只属于P 1，P 2，…，P j 中的某两个，共C 2j 种； ……1只属于P 1，P 2，…，P j 中的某(j －1)个，共Cj －1j种，根据分类加法原理得，元素“1”共有C 0j ＋C 1j ＋C 2j ＋…＋C j －1j＝2j－1种情形，…………8分同理可得，集合P ＝{1，2，…，i }中其它任一元素均有(2j－1)种情形，根据分步乘法原理得，a ij ＝(2j－1)i． …………10分。

海安南外金陵三校联考试卷及答案

江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学三校联考化学参考答案1-5：CADDA 6-10CABCD 11-15AC\B\B\AD\BC16、（1）粉碎，适当升温，搅拌，适当提高硫酸浓度（答出一个即可给分）（2）2Co(OH)3+SO 32-+4H +=2Co 2++SO 42-+5H 2O（3）将Fe 2+氧化成Fe 3+，调节pH （或中和H ＋）（4）4CoC 2O 4+3O 2== =2Co 2O 3+8CO 2↑（5）NH 4Cl(每空2分，共12分）17．（1）羰基、酯基，（每空1分，共2分）（2）取代反应(2分）（3）CH 3COCH 2CH 2COOCH 3（2分）（4） G 被氧气氧化而吸收氧气（每空2分，共4分）（5）（每步1分、全对得5分）18.（共12分）（1）2.3×10-3（2分）（2）偏低（2分）（3） K 2Cr 2O 7 ~ 6FeSO 4c(K 2Cr 2O 7)=L mol LL L mol /2.001.0606.0/2.0=⨯⨯（2分）剩余的K 2Cr 2O 7的物质的量：0.024L×0.2000 mol/L ÷6 = 0.0008mol消耗的K 2Cr 2O 7的物质的量：0.01×0.2000 mol/L-0.0008mol=0.0012mol （2分） 2K 2Cr 2O 7 ~ 3C消耗的C 的物质的量为：0.0012mol×3÷2=0.0018mol （2分）碳的质量分数：0.0018mol×12g/mol÷2=1.08%（2分）19（15分）（1）Cl 2+2OH -=Cl -+ClO -+H 2O 将反应装置放在冰水浴中（或其他合理答案）（2）2Fe 3+＋3ClO -+10OH - = 2FeO 42-+3Cl -+5H 2O（3）降低高铁酸钾在溶液中的溶解度，促进高铁酸钾析出（4）过滤，乙醇洗涤，（低温）干燥（5）高铁酸钾有强氧化性，可以用于杀菌消毒，同时生成氢氧化铁胶体，可以吸附水中悬浮的杂质。

江苏省南京2012届高三数学第二次教学质量检测苏教版

南京市2012年届高三第二次模拟考试数学试卷解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．已知集合{}R x x x x A ∈≤-=,02|2，}{a x x B ≥=|，若B B A = ，则实数a 的取值范围是。

解析：B B A = 可知道B A ⊆，又]2,0[=A 所以实数a 的取值范围是]0,(-∞11.已知i b iia -=+3，其中Rb a ∈,，i 为虚数单位，则=+b a 。

解析：将等式两边都乘i ，得到bi i a +=+13，两边比较得结果为412.某单位从4名应聘者A 、B 、C 、D 中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A ，B 两人中至少有1人被录用的概率是。

解析：从题目来看，所有的可能性共有6种，但A ，B 都没被录取的情况只有一种，即满足条件的有5种，所以结果为65 4、某日用品按行业质量标准分成王五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5.现从一批该日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f 的分布如下的件数为。

解析：由所有频率之和为1，可知道a =0.1，由频率公式可知道所求件数为20。

5、已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+212y y x y x ，则目标函数y x z +-=2的取值范围是解析：画出可行域，可以知道目标函数的取值范围是[－4，2]6、已知双曲线1222=-y ax 的一条渐近线方程为02=-y x ，则该双曲线的离心率=e解析：焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是0=±ay bx ，与题是所给比较得5.1,2===c b a ，所以结果为527、已知圆C 的经过直线022=+-y x 与坐标轴的两个交点，又经过抛物线x y 82=的焦点，则圆C 的方程为。

解析：先求直线得022=+-y x 与坐标轴的交点为)2,0(),0,1(B A -，抛物线x y 82=的焦点为)0,2(D ，可把圆C 的方程设为一般形式，把点坐标代入求得x 2＋y 2－x －y －2＝0法2。

江苏省南京外国语学校金陵中学海安中学2024届高三下学期三校联考(最后一卷)化学试题

江苏省南京外国语学校金陵中学海安中学2024届高三下学期三校联考（最后一卷）化学试题一、单选题1．2024年4月24日是第九个“中国航天日”，主题是“极目楚天共襄星汉”。

下列有关中国空间站说法不正确．．．的是A．太阳能电池中的单晶硅——半导体材料B．外表面的高温结构碳化硅陶瓷——硅酸盐材料C．外层的热控保温材料石墨烯——无机材料D．外壳的烧蚀材料之一酚醛树脂——高分子材料2．由金属钛、铝形成的Tebbe试剂常用作有机反应的烯化试剂，其结构如图所示。

下列说法正确的是A．Al3+与Cl-具有相同的电子层结构B．该结构中不存在配位键C．Tebbe试剂中的Al原子轨道杂化类型为sp3D．该结构中Al的化合价为+43．实验室制取乙烯并验证其化学性质，下列装置不正确．．．的是A．A B．B C．C D．D4．对金属材料中C 、O 、N 、S 的含量进行定性和定量分析，可以确定金属材料的等级。

下列说法正确的是A ．电离能大小：I 1(N)>I 1(O)>I 1(S)B ．沸点高低：H 2S>H 2O>NH 3C ．酸性强弱：H 2SO 3>HNO 3>H 2CO 3D ．半径大小：r(S 2-)>r(O 2-)>r(N 3-)5．下列说法正确的是A ．-3ClO 中O -Cl -O 夹角大于-4ClO 中O -Cl -O 夹角B ．ClO 2是由极性键构成的非极性分子C ．碘原子(53I)基态核外电子排布式为5s 25p 5D ．前四周期的VIIA 族元素单质的晶体类型相同 6．下列反应表示正确的是A ．HClO 在水中见光分解：HClO+H 2O=O 2↑+H ++Cl -B ．惰性电极电解氯化镁溶液：2Cl -+2H 2O通电2OH -+Cl 2↑+H 2↑C ．NaClO 碱性溶液与Fe(OH)3反应：3ClO -+4OH -+2Fe(OH)3=22-4FeO +3Cl -+5H 2O D ．Ca(ClO)2溶液中通入SO 2：Ca 2++2ClO -+SO 2+H 2O=CaSO 3↓+2HClO 7．下列有关物质的性质与用途具有对应关系的是 A ．ClO 2具有强氧化性，可用作自来水消毒 B ．Cl 2易液化，可用作生产漂白液 C ．AgBr 呈淡黄色，可用作感光材料 D ．KIO 3易溶于水，可用作食盐中加碘8．硫及其化合物的转化具有重要应用。

南京金陵中学2012届高三下入学测试数学试题

南京金陵中学2012届高三下入学测试一填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分)1.复数ii+-11的值是______________. 2.已知向量(12)a = ，，(4)b x = ，，若向量a b ⊥，则x =____________3. 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 .4设两个等差数列数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，如果5()24n n S n N T n *=∈+，则23a b =______． 5.下面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次的得分的茎叶图, 甲、乙两名运动员的得分的平均数分别为,x x 乙甲则x x +乙甲= .甲乙 0 8 50 1 247 32 2 199 75 3 36 944 4 1 5 16.设平面区域D 是由双曲线1422=-x y 的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点D y x ∈),(，则目标函数y x z +=的最大值为_______.7.在R 上定义运算⊗：()(1)1.x y x y ⊗=--若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则a 的取值范围为_____．8.如果执行右面的流程图，那么输出的S =______．9.奇函数()()f x x R ∈满足：()30f -=，且在区间[]0,2与[)2,+∞上分别递减和递增，则不等式()0xf x <的解集为_________．10.若a 为正整数，2()(2)1f x ax a x =-++在[0,1]上的最小值为1-，则a = ． 11.已知命题P ：“对x ∀∈R ，∃m ∈R ，使22cos sin 20x x m -+=”，若命题P ⌝是假命题，则实数m 的取值范围是．二解答题（本大题共6小题，共90分）15.设三角形ABC 的内角,,,A B C 的对边分别为,,,a b c4,a c ==sin 4sin A B =．（1）求b 边的长；（2）求角C 的大小. （3）如果4cos()(0)52x C x π+=-<<,求sin x .16．已知等比数列{}n a 中641=a ，公比1≠q ，且2a ，3a ，4a 分别为某等差数列的第5项，第3项，第2项．⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵设12log n n b a =，求数列{}nb的前n 项和n T．17．如图的几何体中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形， 22AD DE AB ===，F 为CD 的中点．（1）求证：//AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE .B A E D CF数学（一）答案一填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分) 1.i - 2.-8 3.12 4.5145.586.37.(1,1)-8.7209.(3,0)(0,3)- 10. 1或211.[11-- 二解答题15解：（1）依正弦定理sin sin a b A B=有sin sin b A a B = 又4,a =sin 4sin A B =，∴1b = …………………………4分（2）依余弦定理有222161131cos 22412a b c C ab +-+-===⨯⨯又0︒＜C ＜180︒，∴60C ︒= ……………………9分 (3)由已知得3sin(),sin [()]5x C x x C C +==+-=4分 16．解：⑴由条件知()23342a a a a -=-．即()22311112a q a q a q a q -=-，又.01≠⋅q a ∴()()21221q q q q q -=-=-，又1q ≠．∴.21=q ∴17116422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ……………7分⑵12log 7.n n b a n ==-{}n b 前n 项和()13.2nn n S -=∴当71≤≤n 时，0n b ≤，∴213.2n n n n T S -=-= 当8≥n 时，0n b >，2127897(13)138424222n n n n n n n T b b b b b b S S --+=----++++=-=+=∴2213,1721384,8.2n n n n n N T n n n n N **⎧-≤≤∈⎪⎪=⎨-+⎪≥∈⎪⎩且且…………………………14分 17．（1）证明：取CE 的中点G ，连结FG BG 、． ∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且12GF DE =． ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，BAEDCFG∴//AB DE ，∴//GF AB ．又12AB DE =，∴GF AB =． ∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG ．∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴//AF 平面BCE ．…………7分（2）证明：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥∵DE ⊥平面ACD ，AF ACD ⊂平面，∴DE AF ⊥． ∵//BG AF ，∴,BG DE BG CD ⊥⊥又CD DE D ⋂=，∴BG ⊥平面CDE ．∵BG ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE ．………………14分。

江苏省海安高级中学2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题

2012-2013学年第二学期期中考试试题卷高一数学 2013.4本试卷分填空题和解答题两部分．考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试卷上答题无效．本卷满分160分,考试时间为120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自已的姓名、学校、考试号填写在答题卷规定区域内；2．填空题和解答题均使用0.5毫米的黑色中性签字笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚，作图可用2B 铅笔；3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1. 在ABC ∆中，设角B A ,所对边分别为b a ,，若bBa A cos sin =，则角=B ． 2. 在等差数列{}n a 中，若1120,a =则21S = ．3. 已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＞0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，则a ＝________. 4.已知等比数列{}n a 公比0>q ，若32=a ，21432=++a a a ，则345____.a a a ++= 5. 在△ABC 中，若a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则边c ＝________. 6.“远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？”答曰：盏．7. 右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 .8. 设动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00502402y x y x y x ,则y x z 25+=的最大值是．9. 0a <,0b <,则22b a p a b=+与q a b =+的大小关系为． 10. 已知正项等比数列{}n a 满足:5672a a a +=,若存在两项n m a a ,使得14a a a n m =,则nm 41+的最小值为．11．ABC ∆中，已知cos cos a b c B c A -=-，则三角形的形状为_____________．12．已知圆内接四边形ABCD 中，2,6,4,AB BC AD CD ====则四边形ABCD 的面积为________．7第题图13．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若nnS S 2)(*∈N n 是非零常数，则称该数列为“和等比数列”.若数列{}n C 是首项为1C ，公差为d （0≠d ）的等差数列，且数列{}n C 是“和等比数列”，则d 与1C 的关系式为_________________． 14.已知圆心角为120°的扇形AOB 的半径为1，C 为弧AB 的中点，点D ，E 分别在半径OA ，OB 上．若CD 2＋CE 2＋DE 2＝269，则OD ＋OE 的最大值是________．二、解答题（本大题共6小题，满分90分） 15. （本题满分14分)解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0（0a >）.16.（本题满分14分)在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，b cos B 是a cos C ，c cos A 的等差中项． (1)求B 的大小；(2)若a ＋c ＝10，b ＝2，求△ABC 的面积．17.（本题满分15分)对任意函数(),f x x D ∈，可按流程图构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据0x D ∈，经数列发生器输出10()x f x =；②若1x D ∉，则数列发生器结束工作；若1x D ∈，则将1x 反馈回输入端再输出21()x f x =,并且依此规律继续下去.现定义42()1x f x x -=+.(1)若输入04965x =，则由数列发生器产生数列{}n x ，请写出数列{}n x 的所有项；(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据0x 的值；（3）若输入0x 时，产生的无穷数列{}n x 满足：对任意正整数n ，均有1n n x x +<，求0x 的取值范围.18.（本题满分15分）设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，数列{b n }满足b n ＝a na n ＋m (m ∈N *)．(1)若b 1，b 2，b 8成等比数列，试求m 的值；(2)是否存在m ，使得数列{b n }中存在某项b t 满足b 1，b 4，b t (t ∈N *，t ≥5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的m 的个数；若不存在，请说明理由．19．（本题满分16分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元。

江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校2024届高三三模数学试题含答案解析

江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校2024届高三三模数学试题注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U =R ，集合{}{}21,3x M x N x x =≥=≤，则M N ⋂=（）A.](-,3∞ B.[]0,1 C.[]0,3 D.[]1,32.已知复数z 满足()1i 5i z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列结论中正确是（）A.若直线a ，b 为异面直线，则过直线a 与直线b 平行的平面有无数多个B.若平面α//平面β，直线m ⊂α，点M ∈β，则过点M 有且只有一条直线与m 平行C.若直线m 与平面α内无数条直线平行，则直线m 与平面α平行D.若直线l ⊥平面α，则过直线l 与平面α垂直的平面有且只有一个4.抛物线26y x =上一点M 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为（）A.B. C.D.5.对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：x123456789y745813526数列{}n x 满足12x =，且对任意*n N ∈，点()1,n n x x +都在函数()y f x =的图象上，则1232016x x x x +++⋯+的值为（）A.9400B.9408C.9410D.94146.定义：一对轧辊的减薄率-=输入该对的面带厚度输出该对的面带厚度输入该对的面带厚度.如图所示，为一台擀面机的示意图，擀面机由若干对轧辊组成，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.已知擀面机没对轧辊的减薄率都为0.2（轧面的过程中，面带宽度不变，且不考虑损耗）.有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的横截面积均为2640000mm π，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，在擀面机输出的面带上，疵点的间距为k L ，则（）A.1016000.2mm kk L -=⨯ B.1016000.2mm k k L -=⨯C.1016000.8mmk k L -=⨯ D.1016000.8mmk k L -=⨯7.已知函数()f x 的大致图象如图所示，则其解析式可能为（）A.2()e e -=+xx f x B.e e ()2-+=x xf x C.2()e e -=-xxf x D.e e ()2--=x xf x 8.已知双曲线22136x y -=，O 为坐标原点，P ，Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥，则2211||||OP OQ +=（）A.2B.1C.13D.16二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知平面α的一个法向量为111,2,2n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，平面β的一个法向量为()21,0,2n =-- ，直线l 的方向向量为()1,0,2a = ，直线m 的方向向量为()0,1,2b =-，则（）A.//l αB.αβ⊥C.l 与m 为相交直线或异面直线D.a 在b 向量上的投影向量为480,,55⎛⎫⎪⎝⎭10.已知函数()π1sin sin 34f x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭的定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m -的值不可能是（）A.5π12 B.7π12C.34πD.11π1211.钻石是金刚石精加工而成的产品，是世界上最坚硬的、成分最简单的宝石，它是由碳元素组成的、具有立方结构的天然晶体．如图，已知某钻石形状的几何体由上、下两部分组成，上面为一个正六棱台111111ABCDEF A B C D E F -（上、下底面均为正六边形，侧面为等腰梯形），下面为一个正六棱锥P -ABCDEF ，其中正六棱台的上底面边长为a ，下底面边长为2a ，且P 到平面111A B C 的距离为3a ，则下列说法正确的是（）（台体的体积计算公式：(1213V S S h =++，其中1S ，2S 分别为台体的上、下底面面积，h 为台体的高）A.若平面PAF ⊥平面11AFF A ，则正六棱锥P -ABCDEF 的高为32aB.若PA =，则该几何体的表面积为22a +C.该几何体存在外接球，且外接球的体积为350081a πD.若该几何体的上、下两部分体积之比为7：8，则该几何体的体积为32a 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知5723456701234567(1)(1)x x a a x a x a x a x a x a x a x -++=-+-+-+-，则246a a a ++的值为______________．13.已知32,,sin cos 43πθπθθ+⎛⎫∈-=⎪⎝⎭，则1sin 2cos 2θθ-=_______．14.已知()f x 是定义在R 上的函数，1(1)0f =，且对于任意x ∈R 都有(20)()20f x f x +≥+，(1)()1f x f x +≤+，若()()1g x f x x =-+，则(10)g =_____________．四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知632a S =+，654S a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设234111111111n n T S S S S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋅⋅-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，证明：1324n T <≤.16.佛山顺德双皮奶是一种粤式甜品，上层奶皮甘香，下层奶皮香滑润口，吃起来，香气浓郁，入口嫩滑，让人唇齿留香．双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成．水牛奶中含有丰富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生长发育所需的氨基酸和微量元素．不过新鲜的水牛奶保质期较短．某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据：日销售量/件0123天数5102510假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．（1）求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率；（2）已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况．该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货．假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，1PD AD ==，N 为线段BC 上的动点．（1）证明：MD PN ⊥；（2）当N 为线段BC 的中点时，求三棱锥A MND -的体积．18.若函数()3f x ax bx =+，当2x =-时函数()f x 有极值163.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求曲线()y f x =过点()3,3P -的切线方程.19.某兴趣小组对小球在坚直平面内的匀速圆周运动进行研究，将圆形轨道装置放在如图1所示的平面直角坐标系中，此装置的圆心O 距离地面高度为2m ，装置上有一小球P （视为质点），P 的初始位置在圆形轨道的最高处，开启装置后小球P 按逆时针匀速旋转，转一周需要6min ．小球P 距离地面的高度H （单位：m ）与时间t （单位：min ）的关系满足()sin (0,0,02π)H r t h r ωϕωϕ=++>>≤<．（1）写出H 关于t 的函数解析式，并求装置启动1min 后小球P 距离地面的高度；（2）如图2，小球Q （视为质点）在半径为1m 的另一圆形轨道装置上，两圆形轨道为同心圆，Q 的初始位置在圆形轨道的最右侧，开启装置后小球Q 以角速度为πrad /min 3顺时针匀速旋转．两装置同时启动，求,P Q 两球高度差的最大值．江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校2024届高三三模数学试题注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U =R ，集合{}{}21,3x M x N x x =≥=≤，则M N ⋂=（）A.](-,3∞ B.[]0,1 C.[]0,3 D.[]1,3【答案】C 【解析】【分析】由指数不等式可得{}0M x x =≥，再由集合交集的定义即可得解.【详解】因为{}{}210xM x x x =≥=≥，{}3N x x =≤，所以{}[]030,3M N x x ⋂=≤≤=.故选：C.【点睛】本题考查了指数不等式的求解及集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.2.已知复数z 满足()1i 5i z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数除法求出z ，即可判断.【详解】因为()()5i 1i 5i 64i32i 1i 22z +-+-====-+，所以点()3,2-位于第四象限.故选：D.3.下列结论中正确是（）A.若直线a ，b 为异面直线，则过直线a 与直线b 平行的平面有无数多个B.若平面α//平面β，直线m ⊂α，点M ∈β，则过点M 有且只有一条直线与m 平行C.若直线m 与平面α内无数条直线平行，则直线m 与平面α平行D.若直线l ⊥平面α，则过直线l 与平面α垂直的平面有且只有一个【答案】B 【解析】【分析】A.由异面直线的定义判断；B.由面面平行的性质定理判断；C.由直线与平面的位置关系判断；D.由面面垂直的判定定理判断.【详解】A.若直线a ，b 为异面直线，则过直线a 与直线b 平行的平面只有一个，故错误；B.因为平面α//平面β，直线m ⊂α，点M ∈β，所以由平面的基本性质得，点M 与直线m 确定一个平面γ，且,m n γαγβ⋂=⋂=，由面面平行的性质定理得//m n ，M n ∈，所以过点M 有且只有一条直线与m 平行，故正确；C.若直线m 与平面α内无数条直线平行，则直线m 与平面α平行或在平面α内，故错误；D.若直线l ⊥平面α，则过直线l 与平面α垂直的平面有无数个，故错误；故选：B4.抛物线26y x =上一点M 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为（）A.B. C.D.【答案】C 【解析】【分析】先由抛物线的方程求出焦点坐标和准线方程，再根据抛物线的定义求出点M 的坐标，最后利用两点间距离公式即可求解.【详解】设点(),M M M x y .由抛物线26y x =可得：焦点坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为32x =-.因为抛物线26y x =上一点M 到其焦点的距离为92，所以根据抛物线的定义可得：3922M x +=，解得：3M x =，则2618MM y x ==.所以点M ==.故选：C.5.对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：x123456789y745813526数列{}n x 满足12x =，且对任意*n N ∈，点()1,n n x x +都在函数()y f x =的图象上，则1232016x x x x +++⋯+的值为（）A.9400B.9408C.9410D.9414【答案】B 【解析】【详解】试题分析：∵数列{}n x 满足12x =，且对任意N*n ∈，点1(,)n n x x +都在函数()y f x =的图象上，∴1()n n x f x +=，则1234567824824824x x x x x x x x ，，，，，，，========⋯，∴数列是周期数列，且周期为3，一个周期内的和为14，∴1232016x x x x +++⋯+672=123()9408x x x ⨯++=，故选B.考点：1、函数的表示方法；2、数列的性质；3、数列求和.【易错点睛】本题主要考查函数的表示方法、数列的性质、数列求和，属难题.本题先根据函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系表求得1234567824824824x x x x x x x x ，，，，，，，========⋯，从而得出数列为周期数列，且周期为3，一个周期内的和为14，所求数列的和为672个周期的和，从而求得数列的和.做题时注意①根据函数求得对应的1()n n x f x +=的值；②根据数据观察出数列为周期数列；③将2016除以3是否有余数，否则容易出错.6.定义：一对轧辊的减薄率-=输入该对的面带厚度输出该对的面带厚度输入该对的面带厚度.如图所示，为一台擀面机的示意图，擀面机由若干对轧辊组成，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.已知擀面机没对轧辊的减薄率都为0.2（轧面的过程中，面带宽度不变，且不考虑损耗）.有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的横截面积均为2640000mm π，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，在擀面机输出的面带上，疵点的间距为k L ，则（）A.1016000.2mm kk L -=⨯ B.1016000.2mm k k L -=⨯C.1016000.8mmk k L -=⨯ D.1016000.8mmk k L -=⨯【答案】D 【解析】【分析】据题意，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间钢带体积与冷轧机出口处两疵点间钢带体积相等，因宽度不变，可得到91600(120%)L =⋅-，由次求出9L ，进而求出k L .【详解】设轧辊的半径为r ，由轧辊的横截面积2640000mm π可得：22640000πmm πr =，解得：800r =，所以轧辊的周长为2π2π8001600mm r =⋅=，由图易知，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有91600(10.2)L =⋅-，所以916002000(mm)0.8L ==，101600L =所以()10101016000.8mm0.8k k kL L --==⨯故选：D .7.已知函数()f x 的大致图象如图所示，则其解析式可能为（）A.2()e e -=+xx f x B.e e ()2-+=x xf x C.2()e e -=-xxf x D.e e ()2--=x xf x 【答案】A 【解析】【分析】根据图象的对称性排除C D ；根据函数的最值排除B ，从而可得答案.【详解】由图象关于y 轴对称可知，函数()f x 为偶函数，因为2()x x f x e e -=-与()2x xe ef x --=为奇函数，所以排除C D ；因为()12x xx x e e f x e e --+=≥⋅=，当且仅当0x =时，等号成立，所以e e ()2-+=x xf x 在0x =时取得最小值1，由图可知()f x 在0x =时取得最大值，故排除B.故选：A【点睛】关键点点睛：根据函数的性质排除不正确的选项是解题关键.8.已知双曲线22136x y -=，O 为坐标原点，P ，Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥，则2211||||OP OQ +=（）A.2B.1C.13D.16【答案】D 【解析】【分析】设OP 直线方程为y kx =，OQ 直线方程为1=-y x k，且设()()1122,,,P x y Q x y ，将直线分别与双曲线联立，求出22221122,,,x y x y ，再利用两点间的距离公式即可求解.【详解】由题意设OP 直线方程为y kx =，OQ 直线方程为1=-y x k，设()()1122,,,P x y Q x y 则222221122166,3622x y k x y k k y kx⎧-=⎪⇒==⎨--⎪=⎩，同理22222222216636,21211x y k x y k k y xk ⎧-=⎪⎪⇒==⎨--⎪=-⎪⎩，所以22212||66k OP k -=+，222121||66k OQ k -=+，即22221111||||666k OP OQ k ++==+.故选：D【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系中的定值问题，考查了学生的计算能力，属于基础题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知平面α的一个法向量为111,2,2n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，平面β的一个法向量为()21,0,2n =-- ，直线l 的方向向量为()1,0,2a = ，直线m 的方向向量为()0,1,2b =-，则（）A.//l αB.αβ⊥C.l 与m 为相交直线或异面直线D.a 在b 向量上的投影向量为480,,55⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】【分析】根据空间向量之间的关系逐项判断线线、线面、面面关系即可.【详解】因为平面α的一个法向量为111,2,2n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，直线l 的方向向量为()1,0,2a = ，则11010n a ⋅=+-= ，即1n a ⊥，则//l α或l ⊂α，故A 不正确；又平面β的一个法向量为()21,0,2n =-- ，所以121010n n ⋅=-++=，即12n n ⊥ ，所以αβ⊥，故B 正确；由直线m 的方向向量为()0,1,2b =- ，所以不存在实数λ使得a b λ=，故l 与m 为相交直线或异面直线，故C 正确；a 在b向量上的投影向量为()4480,1,20,,555a b b bb-⋅⎛⎫⋅==--=- ⎪⎝⎭，故D 不正确.故选：BC .10.已知函数()π1sin sin 34f x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭的定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m -的值不可能是（）A.5π12 B.7π12C.34πD.11π12【答案】CD 【解析】【分析】由三角恒等变换得()1sin 226f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，作出函数的图象，在一个周期内考虑，可得π25π7π66m n ⎧=⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩或π5π267π6m n ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即可得解.【详解】由题意()π1131sin sin sin sin cos 34224f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+-=⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21311131sin sin cos cos 2sin 22244444x x x x x =+-=-+-131cos 2sin 224426x x x π⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭作出函数()f x 的图象，如图所示，在一个周期内考虑问题，若要使函数()f x 的值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则π25π7π66m n ⎧=⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩或π5π267π6m n ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以n m -的值可以为区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的任意实数，所以A 、B 可能，C 、D 不可能.故选：CD.【点睛】本题考查了三角恒等变换及三角函数图象与性质的综合应用，考查了运算求解能力与数形结合思想，属于中档题.11.钻石是金刚石精加工而成的产品，是世界上最坚硬的、成分最简单的宝石，它是由碳元素组成的、具有立方结构的天然晶体．如图，已知某钻石形状的几何体由上、下两部分组成，上面为一个正六棱台111111ABCDEF A B C D E F -（上、下底面均为正六边形，侧面为等腰梯形），下面为一个正六棱锥P -ABCDEF ，其中正六棱台的上底面边长为a ，下底面边长为2a ，且P 到平面111A B C 的距离为3a ，则下列说法正确的是（）（台体的体积计算公式：(1213V S S h =++，其中1S ，2S 分别为台体的上、下底面面积，h 为台体的高）A.若平面PAF ⊥平面11AFF A ，则正六棱锥P -ABCDEF 的高为3152a B.若PA =，则该几何体的表面积为2332172a +C.该几何体存在外接球，且外接球的体积为350081a πD.若该几何体的上、下两部分体积之比为7：8，则该几何体的体积为32a 【答案】BD 【解析】【分析】分别取AF ，11A F ，11C D ，CD 的中点Q ，R ，S ，T ，连接RS ，RQ ，TS ，TQ ，得到Q ，R ，S ，T 四点共面，且点P ，M ，N 均在该平面上，连接PM ，则N 在PM 上，进而得到PQR ∠为二面角1P AF A --的平面角，进而判定A 错误；连接PM ，则3PM a =，结合截面PORST ，利用表面积公式可判定B 正确；连接PM ，设外接球半径为R ，连接OA ，1OA ，OD ，1OD ，求得外接球的半径，可判定C 错误；设该几何体上、下两部分的体积分别为1V ，2V ，结合1278V V =，可得212h h =，利用12V V V =+，可判定D 正确．【详解】设M ，N 分别为正六棱台上、下底面的中心．对于选项A ，如图1，分别取AF ，11A F ，11C D ，CD 的中点Q ，R ，S ，T ，连接RS ，RQ ，TS ，TQ，则RS =，QT =，可得Q ，R ，S ，T 四点共面，且点P ，M ，N 均在该平面上，连接PM ，则N 在PM 上，得如图2所示的截面PQRST ，四边形QRST 为等腰梯形，且PQR ∠为二面角1P AF A --的平面角，即90PQR ∠=︒，过点R 作RL QT ⊥交QT 于点L ，则RQL QPN ∠=∠，可得RL QNLQ NP=，即2322NP RL LQ QN a a ⋅=⋅==，而3NP RL MP a +==，故23(3)2NP a NP a -=，解得332NP a ±=，故A错误；对于选项B ，如图3为截面11PAA D D ，依题意得112A D a =，4AD a =，连接PM ，则3PM a =，又PA =，所以2PN a =，32MN a a a =-=，如图4为截面PORST，从而2RQ a ==，PQ ==，故该几何体的表面积221166(2)6242222S a a a a a a =⨯+⨯⋅+⋅+⨯⋅=，故B正确；对于选项C ，如图5所示的截面11PAA D D ，连接PM ，依题意可知112A D a =，4AD a =，3PM a =，若该几何体存在外接球，则外接球球心．在PM 上，设外接球半径为R ，连接OA ，1OA ，OD ，1OD ，得1OA OA OP R ===，3a R MO -==得53R a =，又24OA OD R a OA +=<=，矛盾，故该几何体不存在外接球，C错误；对于选项D ，设该几何体上、下两部分的体积分别为1V ，2V ，1MN h =，2PN h =，则2221111322V a h h a ⎛=⨯+= ⎝，2222213V h a =⨯⨯=，由1278V V =，可得212h h =，结合123h h a +=，可知1h a =，22h a =，因此该几何体的体积3331222V V V a a =+=+=，故D 正确．故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知5723456701234567(1)(1)x x a a x a x a x a x a x a x a x -++=-+-+-+-，则246a a a ++的值为______________．【答案】78【解析】【分析】令0x =求0a ，分别令1x =，=1x -代入已知关系式，然后两式相加即可求解．【详解】令0x =，可得02a =，令1x =，可得7012372a a a a a =-+-+⋯-①令=1x -，则501272a a a a =+++⋯+②所以②+①可得：6570242()22160a a a a +++=+=，所以246280a a a +++=，即24678a a a ++=故答案为：7813.已知32,,sin cos 43πθπθθ+⎛⎫∈-=⎪⎝⎭，则1sin 2cos 2θθ-=_______．【答案】9+9+【解析】【分析】由条件2sin cos 3θθ+-=两边平方结合平方关系可求sin 2θ，再由平方关系可求cos 2θ，由此可求1sin 2cos 2θθ-.【详解】将2sin cos 3θθ-=两边平方，得912sin cos 9θθ+-=，即sin 29θ=-，因为3,4πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以32,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos29θ=，故4511sin 2991cos 29θθ+-==+故答案为：9+14.已知()f x 是定义在R 上的函数，1(1)0f =，且对于任意x ∈R 都有(20)()20f x f x +≥+，(1)()1f x f x +≤+，若()()1g x f x x =-+，则(10)g =_____________．【答案】10【解析】【分析】根据题目所给不等式恒成立，利用赋值法求得()10f 的值，由此求得()10g 的值.【详解】在()()2020f x f x +≥+中，令10x =-，得()()101020f f ≥-+.又()()11f x f x +≤+，故()()()()()109191821919f f f f f =+≤+≤+≤≤+= .而()()()()()10101191821111f f f f f -≥-+-=--≥--≥≥-=- .所以()()10102012019f f ≥-+≥-+=.综上所述()191019f ≤≤，即(10)19f =，所以()()101010110g f =-+=.故答案为：10四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知632a S =+，654S a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设234111111111n n T S S S S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋅⋅-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，证明：1324n T <≤.【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式得到关于1,a d 的方程组，解之即可得解；（2）由（1）求得n S ，再利用累乘法求得n T ，从而利用*N n ∈及n T 与n 的关系式的性质即可得证.【小问1详解】因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则由636524a S S a =+⎧⎨=⎩，得11115332615416a d a d a d a d +=++⎧⎨+=+⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以数列{}n a 通项公式为()12121n a n n =+-=-.【小问2详解】数列{}n a 的前n 项和2(121)2n n nS n +-==，则2222111(1)(1)11n n n n S n n n --+-=-==，所以234111111111n n T S S S S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋅⋅-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22222132435(1)(1)(2)12234(1)21n n n n n n n n ⨯⨯⨯++++=⨯⨯⨯⨯=⨯++ ，因为*N n ∈，所以211111n n n +=+>++，则121212n n T n +=⨯>+；因为121112121n n n +⎛⎫⨯=⨯+ ⎪++⎝⎭，当n 增大，则11n +减少，所以1n =时，11n +取得最大值为12，所以11121n T n ⎛⎫=⨯+ ⎪+⎝⎭最大为34；综上，1324n T <≤.16.佛山顺德双皮奶是一种粤式甜品，上层奶皮甘香，下层奶皮香滑润口，吃起来，香气浓郁，入口嫩滑，让人唇齿留香．双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成．水牛奶中含有丰富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生长发育所需的氨基酸和微量元素．不过新鲜的水牛奶保质期较短．某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据：日销售量/件0123天数5102510假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．（1）求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率；（2）已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况．该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货．假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率．【答案】（1）13125;（2）1125.【解析】【分析】（1）由题设三天中卖出3件水牛奶的天数1(3,)5X B ，利用二项分布的概率概率公式求(2)P X ≥即可；（2）讨论第一天营业结束是否需要补货，利用全概率公式分别求出不需补货、需要补货情况下在第二天营业结束货架上有1件存货的概率，即可得结果.【小问1详解】由题设，能卖出3件水牛奶的概率为15，3件以下的概率为45，所以三天中卖出3件水牛奶的天数1(3,5X B ，则22333341113(2)(2)(3)C ()(C (555125P X P X P X ≥==+==+=.【小问2详解】由（1）及题意知：第一天营业结束后不补货的情况为A ={销售0件}或B ={销售1件}，所以1()10P A =，1()5P B =，令C ={第二天货架上有1件存货}，则1(|)2P C A =，1(|)5P C B =，所以9()()(|)()(|)100P C P A P C A P B P C B =+=.第一天营业结束后补货的情况为D ={销售3件}或E ={销售2件}，所以1()5P D =，1()2P E =，令F ={第二天货架上有1件存货}，则1(|)2P F D =，1(|)2P F E =，所以7()()(|)()(|)20P F P D P F D P E P F E =+=.综上，第二天营业结束后货架上有1件存货的概率11()()25P P C P F =+=.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD⊥底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，1PD AD ==，N 为线段BC 上的动点．（1）证明：MD PN ⊥；（2）当N 为线段BC 的中点时，求三棱锥A MND -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）112．【解析】【分析】（1）通过证明MD ⊥平面PBC ，可证MD PN ⊥；（2）根据A MND M ADN V V --=，利用棱锥的体积公式可求出结果.【详解】（1）证明：PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC PD ⊥，又,BC DC PD DC D ⊥⋂=，PD 、DC ⊂平面PDC ，∴BC ⊥平面PDC ，又MD ⊂平面PDC ，∴MD BC ⊥，在Rt PDC 中，PD DC =，M 为PC 的中点，∴MD PC ⊥，∵PC BC C ⋂=，PC 、BC ⊂平面PBC ，∴MD ⊥平面PBC ，∵PN ⊂平面PBC ，∴MD PN ⊥．（2）1111111113232212A MND M ADN ADN V V S PD --==⋅=⨯⨯⨯=△．【点睛】关键点点睛：（1）中，通过证明MD ⊥平面PBC 得到MD PN ⊥是解题关键；（2）中，转化为求M ADN V -是解题关键.18.若函数()3f x ax bx =+，当2x =-时函数()f x 有极值163.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求曲线()y f x =过点()3,3P -的切线方程.【答案】（1）()3143f x x x =-（2）5180x y --=或7490x y +-=【解析】【分析】（1）根据极值点和极值列出方程组，求出,a b ，得到解析式；（2）在第一问的基础上，设出切点，结合导数的几何意义求出切线方程.【小问1详解】()23f x ax b '=+，由题意得：()()2120162823f a b f a b ⎧-=+=⎪⎨-=--='⎪⎩，解得：134a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以()3143f x x x =-，经验证：2x =-是函数()f x 的极小值点，所以满足要求；【小问2详解】由（1）知：()24f x x '=-，设切点方程为30001,43x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()2004f x x '=-，所以切线方程为()()3000201434y x x x x x ⎛⎫--= -⎪-⎝⎭，代入点()3,3P -可得()()300002134334x x x x ⎛⎫---=-⎪-⎝⎭，即()()200233x x -+，解得03x =或032x =-，所以切线方程为()353y x +=-或3973842x y ⎛⎫ ⎪⎝--+⎭=，即5180x y --=或7490x y +-=.19.某兴趣小组对小球在坚直平面内的匀速圆周运动进行研究，将圆形轨道装置放在如图1所示的平面直角坐标系中，此装置的圆心O 距离地面高度为2m，装置上有一小球P （视为质点），P 的初始位置在圆形轨道的最高处，开启装置后小球P 按逆时针匀速旋转，转一周需要6min ．小球P 距离地面的高度H （单位：m ）与时间t （单位：min ）的关系满足()sin (0,0,02π)H r t h r ωϕωϕ=++>>≤<．（1）写出H 关于t 的函数解析式，并求装置启动1min 后小球P 距离地面的高度；（2）如图2，小球Q （视为质点）在半径为1m 的另一圆形轨道装置上，两圆形轨道为同心圆，Q 的初始位置在圆形轨道的最右侧，开启装置后小球Q 以角速度为πrad /min 3顺时针匀速旋转．两装置同时启动，求,P Q 两球高度差的最大值．【答案】（1）3(2)2+m （2）2m【解析】【分析】（1）根据题意，代入相关数据得到23H t =π+，从而得解；（2）同理得到小球Q 的高度关于t 的解析式，再利用三角恒等变换即可得解.【小问1详解】由题意，半径为r =m ，2ϕπ=，根据小球转一周需要需要6min ，可知小球转动的角速度3πω=rad/min ，所以H 关于t 的函数解析式为sin()22323H t πππ=++=+，0t ≥，当1t =时，2=H ，所以圆形轨道装置启动1min 后小球P 距离地面的高度为2)m ．【小问2详解】根据题意，小球Q 的高度H '关于t 的函数解析式为sin()2sin 233H t t '=-ππ=-++，0t ≥，则P ，Q 两点高度差为sin =2sin 3333H t t t ⎛⎫∆=+ ⎪⎝πππ⎭π，0t ≥，当Z 332,k k t π+ππ+=π∈，即Z 132,t k k =+∈时，H ∆的最大值为2，所以P ,Q 两球高度差的最大值为2m ．。

江苏省海安中学、金陵中学、南京外国语学校2020届高三第四次联考数学试卷含附加题(详解版)

由
y
y
3 x 3，
2 y1 x1
2
x
2
，解得
，
xM
4 y1 2 2 y1
3x1 4 3x1 2
3 3
．
…………… 7 分
又
y
y
3 x 3，
2 y1 x1
2x
，解得
2，
xN
4 y1 2 3x1 4 3 2 y1 + 3x1 2 3
．
…………… 9 分
因为 MC 2 xM 2
2020 届高三年级第四次模拟考试答案及评分标准数学 I
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．
1．【答案】0 ，1
2．【答案】 3
3．【答案】32
4．【答案】16
5．【答案】 1 3
7．【答案】
4 5
6．【答案】 10 8．【答案】3
9．【答案】2
11．【答案】
因为△ABC 的面积 S＝ 1 bcsinA＝3，所以 cb＝ 6 ＝ 15 ．
2
sin A 2
所以 AB AC bc cos A 15 3 9 ． 252
…………… 4 分 …………… 6 分
（2）因为 m
2 sin
B 2
，1
，n
cos
B
，cos
B 2
，且 m// n，
所以 2sin B cos B ＝cosB，即 sinB＝cosB． 22
设 APM
，则 ABC
π 2
，则sin NhomakorabeaBAPsin
ABC
4 5
sin
3 5
cos

金中2012届高三下学期两校联考(理数)

揭阳一中、金中2011—2012学年度高三级第二学期理科数学一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数f (x )＝267,0,100,,x x x x x ++<≥⎧⎪⎨⎪⎩ 则 f (0)＋f (-1)＝（） A 9 B7110C 3 D11102. “cos x ＝1”是“sin x ＝0”的（）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件3. 下图是一个几何体的三视图,已知侧视图是一个等边三角形, 根据图中尺寸(单位:cm ),可知这个几何体的表面积是（）A 218 3 cm +B 221 3 2cmC 2182 3 cm +D 262 3 cm + 4．若b a <<0，且1=+b a ，则下列各式中最大的是（）A 1-B b 2logC 1log log 22++b aD )(log 32232b ab b a a +++5．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分却记成了50分，乙实得70分却记成了100分，则更正后平均分和方差分别是（） A ．70，50 B ．70，75 C ．70，72.5 D ．65，706．已知直线l m ,,平面βα,,且βα⊂⊥l m ,,给出下列命题:①若α∥β，则m ⊥l ；②若α⊥β，则m ∥l ;③若m ⊥l ，则α∥β；④若m ∥l ，则α⊥β.其中正确命题的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．若复数z 满足方程220z +=，则3z =（）2222俯视图侧视图正视图33ABDCOMNA 22±B 22-C 22i -D 22i ±8．过原点O 引抛物线224y x ax a =++的切线，当a 变化时，两个切点分别在抛物线（）上 A 2213,22y x y x == B 2235,22y x y x == C 22,3y x y x == D 223,5y x y x ==第二部分非选择题（110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（一）必做题（9－13题）9．已知平面向量(3,1),(,3),//,a b x a b x ==-则等于 .10．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为11．从3名男生和n 名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为3534，则n=__________.12．设))(5sin3sin,5cos3(cosR x xxxxM ∈++ππππ为坐标平面内一点，O 为坐标原点，记f (x )=|OM|，当x 变化时，函数 f (x )的最小正周期是13．已知22221(0),,x y a b M N a b+=>>是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM PN 、的斜率分别为1212,(0)k k k k ≠，若12k k ||+||的最小值为1，则椭圆的离心率为（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题)若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上，则PF =15．（几何证明选做题）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 切⊙O 于A ，025MAB ∠=，则=∠D .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

江苏省金陵中学、海安中学2022-2023学年高三上学期10月第二次联考数学试题

金陵中学、海安中学2023届高三10月第二次联考数学2022.10一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合{}1,1,2,3,6A =-，{}2,5B =，{}13C x x =≤<，则()A C B =（）A. {}1,2B. {}2,5C. {}1,2,5D. {}1,2,3,52. i 为虚数单位，则32i -满足的方程是（） A. 26130x x --=B. 26130x x ++=C. 26130x x +-=D. 26130x x -+=3. ()()8x y x y -+的展开式中36x y 的系数为（） A. 28B. －28C. 56D. －564. 设D 为ABC △所在平面内一点，且满足3CD BD =，则（） A. 3122AD AB AC =- B. 3122AD AB AC =+ C. 4133AD AB AC =- D. 4133AD AB AC =+ 5. 已知数列{}n a ，若p ：数列{}n a 是等比数列；q ：()()22222212123n n a a a a a a -++++++()212231n n a a a a a a -=+++，则p 是q 的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 关于函数2,02(),2x a x f x b x x ⎧-≤<=⎨-≥⎩其中,a b R ∈，给出下列四个结论：甲：6是该函数的零点；乙：4是该函数的零点；丙：该函数的零点之积为0；丁：方程()52f x =有两个不等的实根若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是（） A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁7. 设常数a 使方程sin 22x x a =在区间[]0,2π上恰有五个解()1,2,3,4,5i x i =，则51ii x==∑（）A.73πB.256πC.133πD.143π8. 设x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，若存在实数t ，使得[]1t =，22t ⎡⎤=⎣⎦，…，nt n ⎡⎤=⎣⎦同时成立，则正整数n 的最大值是（） A. 4B. 5C. 6D. 7二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知函数()cos 22sin cos 22f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（） A. ()f x 的最大值为3 B. ()f x 的最小正周期为πC. ()f x 的图象关于直线8x π=对称D. ()f x 在区间3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 10. 已知实数a ，b ，c 满足a b c >>且0abc <，则下列不等式关系一定正确的是（） A.c c a b> B.2c c a b+≥ C. 22ac bc > D. 22c c a b <11. 已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，则（） A. 02a b ≤+≤B. 11a b -≤⋅≤C. 若1a b +>，则20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D. 若,3πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则1a b -> 12. 连接正方体每个面的中心构成一个正八面体.甲随机选择此正八面体的三个顶点构成三角形，乙随机选择此正八面体三个面的中心构成三角形，且甲、乙的选择互不影响，则（）A. 甲选择的三个点构成正三角形的概率为25B. 甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为25C. 乙选择的三个点构成正三角形的概率为17D. 甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为1135三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数()22()22xf x ax x x e =+-+，不论a 为何值，曲线()y f x =均存在一条固定的切线，则这条切线的方程是 .14. 已知函数32()22f x x a b =-+，若存在a ，b ，使得()f x 在区间[]0,1的最小值为－11且最大值为1，则符合条件的一组a ，b 的值为 .15. 在数列{}n a 中，11a =，22a =，数列{}n b 满足1(1)n n n n b a a +=+-，*n N ∈.若2210n n b b --=，21262n n n b b ++=，*n N ∈，则数列{}n a 的前2022项和为 . 16. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()2,0F ，经过原点O且斜率k ≥C 交于A ，B 两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N .若OM ON ⊥，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是 .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，前n 项和为n S ，且满足1321a a q +=+，3231S a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12,3,451n n n nnn a a n b a n a a +-⎧⎪=⎨⎪-+⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T . 18.（12分）在检测中为减少检测次数，我们常采取“n 合1检测法”，即将n 个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均未感染病毒；若为阳性，则改需对本组的每个人再做检测.现有()*10k k N ∈人，已知其中有2人感染病毒.（1）若5k =，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率；（2）设采取“5合1检测法”的总检测次数为X ，采取“10合1检测法”的总检测次数为Y ，若仅考虑总检测次数的期望值，当k 为多少时，采取“10合1检测法”更适宜？请说明理由. 19.（12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为边BC 上一点，若AB DBAC DC=. （1）证明：（i ）AD 平分BAC ∠；（ii ）2AD AB AC DB DC =⋅-⋅；（2）若(1sin )sin cos (1cos )B BAC B BAC +∠=+∠，求a bc+的最大值. 20.（12分）在一张纸上有一个圆C：(224x y +=，定点)M ，折叠纸片使圆C 上某一点1M 好与点M 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ ，设折痕PQ 与直线1M C 的交点为T .（1）求证：TC TM -为定值，并求出点T 的轨迹C 方程；（2）设()1,0A -，M 为曲线C '上一点，N 为圆221x y +=上一点（M ，N 均不在x 轴上）.直线AM ，AN的斜率分别记为1k ，2k ，且2114k k =-，求证：直线MN 过定点，并求出此定点的坐标. 21.（12分）已知底面ABCD 为菱形的直四棱柱，被平面AEFG 所截几何体如图所示，若2AB DG ==，3CF =，3BAD π∠=.（1）求点D 到平面BFG的距离；（2）求锐二面角A EC B --的余弦值. 22.（12分）已知函数()2ln f x x x =，()21g x x ax =+-，a R ∈.（1）若()()()F x g x f x =-在[)1,+∞存在极小值点，求a 的取值范围；（2）若函数()()2h x f x a =-有3个零点1x ，2x ，3x （123x x x <<），求证：（i ）3x >（ii ）232222x e x e +>-.金中、海安2023届高三年级10月第二次联考数学参考答案一、单选题1-5：CDBAA 6-8：BCA8.【答案】A【解析】[][)11,2t t =⇒∈，22t t ⎡⎤=⇒∈⎣⎦，33t t ⎡⎤=⇒∈⎣⎦，4t t t ⎡⎤=⇒∈⎣⎦，55t t ⎡⎤=⇒∈⎣⎦ 1.732≈ 1.587≈ 1.495≈ 1.431 1.495≈<）当4n =时，可以找到t 使其在区间[))))34343,1,22,44,53⎡⎡⎡⎣⎣⎣上，当5n =时，无法找到t 使其在区间[)))))3435543,44,55,61,22,3⎡⎡⎡⎡⎣⎣⎣⎣上，即正整数n 的最大值为4，故选A. 二、多选题 9.【答案】BC【解析】()cos 22sin cos cos 2sin 22224f x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 错，max ()f x =，B 对，22T ππ==，C 对，82f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭D 错，3288242x x πππππ-≤≤⇒-≤+≤，故函数单调增. 10.【答案】AC【解析】由题意得0a b c >>>或0a b c >>>， A 对，11()0c c c b a c a b a b ab -⎛⎫>⇒-=> ⎪⎝⎭， B 错，0c <时与选项矛盾， C 对，22ac bc a b >⇒>，D 错，1a =-，2b =-，3c =-时，2626(1)(2)cc a b --=->=-，与选项矛盾.11.【答案】ABD【解析】A 对，[]211222cos 0,4a b a b θ+=++⋅=+∈， B 对，[]cos 1,1a b θ⋅=∈-，C 错，21222cos 1cos 0,23a b πθθθ⎡⎫=+>⇒>-⇒∈⎭+⎪⎢⎣，D 对，()21,cos 1,22cos 1,432a b πθπθθ⎛⎫⎛⎫∈⇒∈-⇒-=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.12.【答案】ACD【解析】甲总有3620C =种情况，乙总有3856C =种情况. A 对，甲为正三角形则在上下顶点选一且中间四个顶点选二，即8种；B 错，甲为等腰直角三角形则分三种情况：中间选三个点即4种；上下都选加中间一点，即4种，上下选一中间选二即4种，共12种；C 对，乙为正三角形即一方（上方或下方）四个中心选一，且另一方选择两个相对的中心，即8种；D 对，相似则都为正三角形或等腰直角三角形，即都为正三角形时由A ，C 得概率为2125735⋅=，都为等腰直角三角形时，乙的情况共有24种，结合B 得概率为3395735⋅=，即总概率为1135. 三、填空题 13.【答案】2y =【解析】()222()22()2x xf x ax x x e f x ax x e '=+-+⇒=+ 要满足题意，则取0x =，即切点为()0,2，所以切线方程为2y =.14.【答案】14b a =⎧⎨=⎩【解析】322()2()622(3)f x x ax b f x x ax x x a '=-+⇒=-=-，为简单，则令13a>，即让函数在区间上单调递减，此时要满足题意则()()0111f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得14b a =⎧⎨=⎩.15.【答案】1009152⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由已知得2212n n n b a a +=+，212221n n n b a a +++=-，所以22122262n n n n n b b a a +++=+=，即前2022项中偶数项的和为：()()246202020222101066222a a a a a +++++=+++；又由已知得2212n n n b a a +=+，21221n n n b a a --=-，所以2212121n n n n b b a a -+-=⇒=-，即奇数项为公比为－1的等比数列，即121(1)n n a --=-，即前2022项中奇数项和为1；综上所述，前2022项和为1009152⎛⎫- ⎪⎝⎭.16.【答案】1⎤⎥⎝⎦【解析】设()2,2A m n （不妨设0m >，0n >），则()1,M m n +，同理()1,N m n -+-，22220101OM ON OM ON m n m n ⊥⇒⋅=⇒--=⇒+=2222213134n k n n m m m m m ≥⇒≥≥⇒≥⇒-≥⇒≤ 所以由点在椭圆上得2222441m n a b+=，结合上述条件可得：222244414m m a a -+=-，化简得()222816a a m -=，即()22810164a a -<≤，解得248a +≤<，所以21c e a a ⎤==∈⎥⎝⎦.四、解答题17.【解析】（1）()2111312121121211312131a a q q a a q a S a q a q q a q ⎧+=++=+=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨=+=++=+⎩⎩⎪⎩，即12n n a -=；（2）由已知得11111,21,212n n n n n n b +-----⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，所以()()21321242n n n T b b b b b b -=+++++++()022231532121111111222212*********n n n -+-⎛⎫=++++-+-++- ⎪------⎝⎭21441321n n +-=+-.18.【解析】（1）现共有50人，由题意先平均分为5组，检测5次，因为共检测15次，所以两个感染者必定分在同一组中，所以共检测15次的概率有两种算法，第一种是分组分配思想，第二种是算一组已经有一名感染者的情况下，选中另一名感染者，即两种算法结果为8101010104840302010441010101010504030201055C C C C C A C C C C C A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅和848994C C ，结果均为949；（2）当感染者在同一组时，25X k =+，10Y k =+，此时310241014()101k k C P X C k --==-，810291019()101k k C P Y C k --==-，当感染者不在同一组时，210X k =+，20Y k =+，此时4()1101P X k =--，9()1101P Y k =--，所以4420()(25)(210)1210101101101E X k k k k k k ⎛⎫=+⋅++⋅-=+- ⎪---⎝⎭， 9990()(10)(20)120101101101E Y k k k k k k ⎛⎫=+⋅++⋅-=+- ⎪---⎝⎭，由题意()()21010180019E Y k k E X k ⇒+<⇒≤>-≤，答：当19k ≤≤时，采取10合1检测法更适宜.19.【解析】（1）（i ）在三角形ABD 中，由正弦定理得sin sin AB DBADB BAD=∠∠，在三角形ACD 中，由正弦定理得sin sin AC DCADC CAD=∠∠，因为ADB ∠与ADC ∠互补，所以sin sin ADB ADC ∠=∠，由题意得AB DBAC DC=，所以sin sin CAD BAD ∠=∠，即CAD BAD ∠=∠，所以AD 平分BAC ∠得证；（ii ）因为CAD BAD ∠=∠，所以cos cos CAD BAD ∠=∠，由余弦定理得22222222AB AD DB AC AD DC AB AD AC AD+-+-=⋅⋅，化简得222()()AD AC AB AB AB DC AB DB AC -=⋅-+⋅-⋅，由（i ）得AC DC AC DB ⋅=⋅，代入上式有：2()()AD AC AB AB AC AC AB DC AC DB DB AB DC -=⋅-+⋅⋅-⋅⋅，即2AD AB AC DB DC =⋅-⋅得证；（2）由已知得(1sin )sin cos (1cos )B BAC B BAC +∠=+∠2222sin cos 2sin cos cos sin 2cos 22222B B B B BAC BAC BAC ∠⎛⎫⎛⎫⇒+⋅∠∠=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1tan2tan tan tan 224221tan2B BAC BAC B BAC B B ππ-∠∠⎛⎫⇒=⇒=-⇒∠+= ⎪⎝⎭+，所以ABC △是直角三角形，即222c a b =+，所以a b c +==≤a b =时取等，所以a bc+20.【解析】（1）由题意得1TM TM =，所以12TC TM TC TM CM -=-=<=，即T 的轨迹是以C ，M 为焦点，实轴长为2的双曲线，即C '：2214y x -=；（2）由已知得AM l ：()11y k x =+，AN l ：()21y k x =+，联立直线方程与双曲线方程()()22222111124124014k x k y k x k x y x ⎧=+----=-⎪⇒⎨⎪⎩=，由韦达定理得212144A M k x x k --=-，所以212144M k x k +=-，即()1121814M M k y k x k =+=-，所以211221148,44k k M k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，联立直线方程与圆方程()()2222222222112110y k x x y k x k x k ⎧=+⎪⇒⎨+=⎪⎩+++-=，由韦达定理得222211A N k x x k -=+，所以222211N k x k -+=+，即()2222211N N k y k x k =+=+，因为14ANAM k k =-，即2114k k =-，所以2112211168,1616k k N k k ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭，若直线MN 所过定点，则由对称性得定点在x 轴上，设定点(),0T t ，由三点共线得MT NT k k =，即()()1122222211111122112211884164416161416416k k k k k k t k k t t k k t t k k --+=⇒++-=-++⇒=+-+---+，所以直线MN 过定点()1,0T . 21.【解析】（1）设ACBD O =，由已知易得CO =，BF =GF =BG =且CO ⊥面BDG ，设点D 到平面BFG 的距离为d ，则D BFG E BDG V V --=，即1133BFG BDG d S CD S ⋅=⋅△△，即BDG BFG CD S d S ⋅===△△；（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，过O 平行于CF 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，由已知得)A，()0,1,0B，()C ，()0,1,1E ，即()AC =-，()3,1,1CE=，()1,0BC =--，设面AEC 法向量为(),,n a b c=，则0000n AC n CE b c ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⋅=++=⎪⎩，设1b =，则()0,1,1n =-，设面BEC 法向量为(),,m a b c '''=，则000n BC b n CE b c ⎧⎧''⋅=-=⎪⎪⇒⎨'''⋅=++=⎪⎩，设1b '=，则m ⎫=⎪⎭，所以1co 42s ,n m n m n m⋅=⋅==⋅. 答：锐二面角A EC B --的余弦值为4. 22.【解析】（1）2()12ln ()22ln 2F x x ax x x F x x a x '=+--⇒=+--，设()22ln 2m x x a x =+--，则()121m x x ⎛⎫'=-⎪⎝⎭， 1x ≥时，()0m x '≥，()m x 单调递增，要满足题意，则()10m <，即0a <，所以a 的取值范围是(),0-∞；（2）()2ln 2,12ln 22ln 2,01x x a x h x x x a x x a x -≥⎧=-=⎨--<<⎩，则()()()2ln 1,12ln 1,01x x h x x x +≥⎧⎪'=⎨-+<<⎪⎩，即10x e <<时，()h x 单调增；11x e<<时，()h x 单调减；1x >时，()h x 单调增，要满足题意则需()1010h e h ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪<⎩，即10a e <<，此时123101x x x e <<<<<. （i1>，因此要证3x >()3h x h>，即证0h >，0a <，设t ⎛= ⎝，即证11ln 02t t t ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，设11()ln 2n t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则222111(1)()1022t n t t t t --⎛⎫'=-+=< ⎪⎝⎭，所以()()10n t n <=，即11ln 02t t t ⎛⎫--< ⎪⎝⎭得证，则3x > （ii ）由（i）可知3x >1a e <，所以3x >2321x e>+，因此要证232222x e x e +>-，即证23222121x e x e+>-，即证2221x e <-，即证2x < 因为10a e <<，即证2x <()2h x h >，即证0h >，0a +>，设s ⎫=⎪⎪⎭，即证11ln 02s s s ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，由（i ）可知()0n s '<，所以()()10n s n >=，即11ln 02s s s ⎛⎫--> ⎪⎝⎭得证，则2x < 所以232222x e x e +>-得证.。

江苏省5月海安、南外、金陵中学高三调研测试数学试题及答案教学教材

2013年江苏省5月海安、南外、金陵中学高三调研测试数学试题及答案江苏省海安高级中学2013届南京外国语学校高三调研测试南京市金陵中学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 命题“1x ∀>，x 2≥3”的否定是 ▲ ．2. 设复数1a +=-i z i（i 是虚数单位，a ∈R ）．若z 的虚部为3，则a 的值为 ▲ ．3．右图是小王所做的六套数学附加题的得分的茎叶图（满分40分），则其平均得分为 ▲ ．4．设集合{A x y ==，{}(0)m B y y x m x A x==+>∈R ，，若B ，则m 取值范围是 ▲ ．5．右图是一个算法的伪代码，输出结果是 ▲ ．6．在区间[0，1]间随机取出2个数（可以相同），它们的差的绝对值大于12的概率为 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，过点M （1，0）的直线x +y -c =0与圆225x y +=交于A ，B 两点，则AM MB= ▲ ．8．常用的复印纸的型号有A1，A2，A3等，它们的长⨯宽（单位：mm ）理想设计尺寸分别为840594⨯，594420⨯，420297⨯，据此可推得，A4型号的复印纸的理想设计尺寸应为 ▲ ．9．已知0πy x <<<，且tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -= ▲ .1 82 83 0 2 84 0 （第3题）S ←0a ←1For I From 1 to 3a ←2×a S ←S ＋a10．设函数()2f x x c =+，()x g x ae =的图象的一个公共点为()2,P t ，且曲线()y f x =，()y g x =在点P 处有相同的切线，函数()()f x g x -的负零点在区间(),1k k +()k ∈Z ，则k = ▲ .11．设数列{}n a 满足1a =0n a ≠时，11n n a a +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当0n a =时，10n a +=．则2013a =▲ ．（注：[x ]为不超过实数x 的最大整数，记{x }=x -[x ]．）12．已知直角三角形ABC 的三个顶点都在抛物线212y x =上，且斜边AB // x 轴，则斜边上的高等于 ▲ ．13．已知平面向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角余弦为15，b 与c 的夹角余弦为13-， 1=b ，则⋅a c 的值为 ▲ ．14．设t ∈R ，对任意的n ∈*N ，不等式ln 20ln ln 20ln nt n t nt t n ++≥，则t 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，A π∠=3，BC =3，点D 在BC 边上．（1）若AD 为A ∠的平分线，且BD =1，求△ABC 的面积；（2）若AD 为△ABC 的中线，且AD =，求证：△ABC 为等边三角形．PABCOM（第1616．(本小题满分14分)如图，在三棱锥P ABC -中，除棱PC 外，其余棱均等长，M 为棱AB 的中点，O 为线段MC 上靠近点M 的三等分点．（1）若PO MC ⊥，求证：PO ⊥平面ABC ；（2）试在平面PAB 上确定一点Q ，使得//OQ 平面PAC ，且//OQ 平面PBC ，并给出证明．17．(本小题满分14分)如图所示，直立在地面上的两根钢管AB和CD ，AB =，CD =，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：（1）如图（1）设两根钢管相距1m ，在AB 上取一点E ，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处，形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？（2）如图（2）设两根钢管相距，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处，再将钢丝绳依次固定在D 处、B 处和E 处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？18．(本小题满分16分)定义：如果两个椭圆，它们的离心率相同，那么称这两个椭圆相似，它们的长轴之比（大于1）叫做这两个椭圆的相似比．AED CBFAED C BF 图1图2（1）设,m n*∈N，试判断椭圆221:11x yCm m+=+和椭圆222:11x yCm n m+=++能否相似？相似时求出它们的相似比；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆1C：22221(0)yx a ba b+=>>和椭圆2C：221122111(0)yx a ba b+=>>相似，过椭圆1C的右焦点F且不垂直于x轴的直线l与这两个椭圆自上而下依次交于点A，B，C，D，射线OB，OC与椭圆2C分别交于点M，N，连MN．求证：①MN ∥l；②△ABM和△CDN的面积相等．（第18题）19．(本小题满分16分)已知各项均为正数的两个无穷数列{}n a 、{}n b 满足1112(N )n n n n n a b a b na n *++++=∈．（1）当数列{}n a 是常数列（各项都相等的数列），且112b =时，求数列{}n b 的通项公式；（2）设{}n a 、{}n b 都是公差不为．．0．的等差数列，求证：数列{}n a 有无穷多个，而数列{}n b 惟一确定；（3）设2121n n n n a a a a ++=+()n *∈N ，21nn i i S b ==∑，求证：226n S n <<．20．(本小题满分16分)设函数()1|||1|x x f x e a e=-+-，其中a ，x ∈R ，e 是自然对数的底数， 2.71828e =⋅⋅⋅ .（1）当a =0时，解不等式()2f x <；（2）求函数()f x 的单调增区间；（3）设43a ≥，讨论关于x 的方程()()14f f x =的解的个数．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．．．．．．．．作答．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，在△ABC 中，90BAC ∠=，延长BA 到D ，使得AD =12AB ，E ，F 分别为BC ，AC 的中点，求证：DF =BE ．B ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知曲线1C ：221x y +=，对它先作矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，再作矩阵010m B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，得到曲线2C ：2214x y +=，求实数m 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）（第21—A 题）BECFD A已知圆C的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，，（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，，（t 为参数，0 ααπ<<π≠2，且），若圆C 被直线l，求α的值．D ．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）对任给的实数a 0a ≠()和b ，不等式()12a b a b a x x ++-⋅-+-≥恒成立，求实数x 的取值【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A A 1=AB =AC =1，AB ⊥AC ，M ，N 分别是棱CC 1，BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上．（1）求直线PN 与平面ABC 所成的角最大时，线段1A P 的长度；（2）试确定点P 的位置，使平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为6π，并说明理由．A 1C 1B 1 MCN BAP（第2223．（本小题满分10分）设函数()sin cos n n n f θθθ=+，n ∈*N ，且()1f a θ=，其中常数a 为区间（0，1）内的有理数．（1）求()n f θ的表达式（用a 和n 表示）；（2）求证：对任意的正整数n ，()n f θ为有理数．数学Ⅰ 参考答案及评分标准一、填空题：1. 1x ∃>，23x <2. 5 3． 31 4． 1＜m ＜9 5． 14 6． 147． 2或128． 297×210 9． π310． 1- 11．1 12．2 13．14． [4,5] 15．（1）在△ABD 中，sin πsin 6AB BD BDA =∠，在△ACD 中，sin πsin 6AC CD CDA =∠，相除得：AC =2AB ………………………………………3分在△ABC 中，2222π2cos 393BC AB AC AB AC AB =+-⋅==，∴AB AC 分∴1πsin 23ABC S AB AC ∆=⋅=分（2）∵2AB AC AD +=，∴()()22222112cos 44AD AB AC AB AC A AB AC AB AC =++⋅=++⋅ ∴2227AB AC AB AC ++⋅=………………………………………9分又2229AB AC AB AC BC +-⋅==,相减得9AB AC ⋅=………………11分 ∴229AB AC AB AC AB AC +-⋅==⋅∴()20AB AC -=即∶AB =AC ，又∠C =60°∴三角形ABC 为等边三角形．………………14分 16．由题意得：O 为△ABC 的中心，则CM ⊥AB ，∵M 为棱AB 的中点，PA =PB ，∴PM ⊥AB ，…………………………2分又PM ∩CM =M ∴AB ⊥平面PMC ，………………………………………4分又PO ⊂平面PMC ∴AB ⊥PO 又PO ⊥MCMC ∩AB =M∴PO ⊥平面ABC ………………………………………7分（2）Q 为线段MP 上靠近M 点的三等分点．………………………………………9分∵MQ MOQP OC=∴OQ //PC ，又OQ ⊂/平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， ∴OQ //平面PAC ………………………………………12分同理可证：OQ //平面PBC ．………………………………………14分 17．k （1）设钢丝绳长为y m ，CFD θ∠=，则11tan cos cos y θθθ+==+（其中00θθ<<，0tan 7θ=）………………………………3分2sin sin cos y θθθ'=+当tan θ34=BE 时，min 8y =………………………………………6分（2）设钢丝绳长为y m ，CFD θ∠=，则()1cos sin y θθ=+++⎝⎭（其中00θθ<<，0tan 3θ==）………………9分()()2sin 1sin cos cos sin sin cos y θθθθθθθ⎫'=++++-⎪⎝⎭⎝⎭令0y '=得sin cos θθ=当π4θ=时，即36=BE时)min 2y =………………………………………12分答：按方法（1），34=BE 米时，钢丝绳最短；按方法（2），36=BE 米时，钢丝绳最短。

金海南三校联考试卷

江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2015届高三第四次模拟考试数学11.已知集合A ={－1，0，2}，B ={x |x ＝2n －1，n ∈Z}，则A ∩B = .2.已知复数z 1=1－2i ，z 2=a ＋2i(其中i 为虚数单位，a ∈R ).若z 1·z 2是纯虚数，则a 的值为 .3.从集合{1，2，3}中随机取一个元素，记为a .从集合{2，3，4}中随机取一个元素，记为b ，则a ≤b 的概率为 .方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30)的为一等品，在区间[20，25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 .5.右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 .6.若函数f (x )=sin(ωx )(0ω>)在区间[0,]3π上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递增，则ω的值为 .7.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>C的渐近线方程为 .8.已知实数x ，y 满足10,30,330.x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥≥≤，则当2x －y 取得最小值时，x 2＋y 2的值为 .9.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线C ：y =e x 上一点，直线l ：x ＋2y ＋c =0经过点P ，且与曲线C 在点P 处的切线垂直，则实数c 的值为 .10.设x >0，y >0，向量a =(1－x ，4)，b =(x ，－y )，若a //b ，则x ＋y 的最小值为 .11.已知f (x )是定义在区间[－1，1]上的奇函数，当x <0时，f (x )=x (x －1).则关于m 的不等式f (1－m )＋f (1－m 2)<0的解集为 .12.设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n =na n －3n (n －1)(n ∈N*)且a 2=11，则S 20= .13.在△ABC 中，已知sin A =13sin B sin C ，cos A =13cos B cos C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的值为 . 14.在平面直角坐标系xOy 中，设A ，B 为函数f (x )=1－x 2的图象与x 轴的两个交点，C ，D 为函数f (x )的图象上的两个动点，且C ，D 在x 轴上方(不含x 轴)，则AC BD ⋅的取值范围为 .15.△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长.若a cos B=1，b sin A，且A－B＝4．(1)求a的值；(2)求tan A的值.16.如图，在四面体ABCD中，AD=BD，∠ABC=90°，点E、F分别为棱AB、AC上的点，点G 为棱AD的中点，且平面EFG//平面BCD.求证：(1)EF=12BC；(2)平面EFD⊥平面ABC.ABCDGEF17.某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐(上下底面及侧面的厚度不计)，易拉罐的体积为108π mL，设圆柱的高度为h cm，底面半径为r cm，且h≥4r，假设该易拉罐的制造费用仅与前表面积相关.已知易拉罐的侧面制造费为m元/cm2，易拉罐上下底面的制造费用为n元/cm2 (m，n 为常数).(1)写出易拉罐的制造费用y(元)关于r(cm)的函数表达式，请求求定义域；(2)求易拉罐制造费最低时r(cm)的值.18.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，左准线为l，P为椭圆上任意一点，直线OQ⊥FP，垂足为Q，直线OQ与l交于点A.(1)若b=1，且b<c，直线l的方程为x=－52．①求椭圆C的方程；②是否存有点P，使得110FPFQ=？若存有，求出点P的坐标；若不存有，说明理由；(2)设直线FP圆O：x2＋y2=a2交于M、N两点，求证：直线AM，AN均与圆O相切.19.设函数f(x)=(x－a)ln x－x＋a，a∈R.(1)若a=0，求函数f(x)的单调区间；(2)若a<0，试判断函数f(x)在区间(e－2，e2)内的极值点的个数，并说明理由；(3)求证：对任意的正数a，都存有实数t，满足：对任意的x∈(t,t＋a)，f(x)<a－1.20.定义：从一个数列{a n}中抽取若干项(很多于三项)按其在{a n}中的次序排列的一列数叫做{a n}的子数列，成等差(比)的子数列叫做{a n}的等差(比)子列.(1)求数列11111,,,,2345的等比子列；(2)设数列{a n}是各项均为实数的等比数列，且公比q≠1.①试给出一个{a n}，使其存有无穷项的等差子列(不必写出过程)；②若{a n}存有无穷项的等差子列，求q的所有可能值.江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2015届高三第四次模拟考试数学221B.在平面直角坐标系xOy 中，先对曲线C 作矩阵A =cos sin (02)sin cos θθθπθθ-⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦所对应的变换，再将所的曲线矩阵B =10(01)0k k ⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦所对的变换，若连续实施两次变换所对应的矩阵为01102-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求k ，θ的值.21C.在极坐标系中，已知A (1,)3π，B (9,)3π，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及△ABC 的面积.22.如图，在四棱锥P —ABCD 中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC AB λ=(λ∈R )，且向量PC 与BD夹角的余弦值为15. (1)求λ的值；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.23.设数列{a n }的通项公式]n n n a =-，n ∈N*，记S n =11n C a ＋22n C a ＋…＋nn n C a ．(1)求S 1，S 2的值；(2)求所有正整数n ，使得S n 能被8整除.BPDCA数学参考答案及评分标准 2015.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相对应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的水准决定给分，但不得超过该部分准确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生准确做到这个步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{－1} 2．－4 3．89 4．100 5．10116．32 7．y ＝±3x 8．5 9．－4－ln2 10．9 11．[0，1) 12．1240 13．196 14．(－4，332－94]【解析】： 1．答案：{－1}．2．因为z 1·z 2＝(1－2i)(a ＋2i)＝a ＋4＋(2－2a )i ，所以a ＋4＝0，a ＝－4．3．a ＞b 的取法只有一种：a ＝3，b ＝2，所以a ＞b 的概率是19，a ≤b 的概率是1－19＝89．4．根据频率分布直方图可知，三等品的数量是[(0.0125＋0.025＋0.0125)×5]×400＝100(件)． 5．S ＝0＋11×2＋12×3＋…＋110×11＝(1－12)＋(12－13)6．由已知条件得f (x )＝sin(ωx )的周期T 为4π3，所以7．因为(c a )2＝1＋(b a )2＝10，所以ba ＝38．令z ＝2x －y ，如图，则当直线z ＝2x －y x ＋y －3＝0的交点A 时，z 取得最小值．此时x 2＋y 2＝5．9．由题意y'＝e x ，所求切线的斜率为2，设切点为以x 0＝ln2，y 0＝e ln2＝2．所以直线x ＋2y ＋c ＝010．因为a ∥b ，所以4x ＋(1－x )y ＝0，又x ＞0，y ＞0，所以1x ＋4y ＝1，故x ＋y ＝(1x ＋4y )(x ＋y )＝5＋y x ＋4xy≥9．当y x ＝4x y ，1x ＋4y＝1同时成立，即x ＝3，y ＝6时，等号成立．(x ＋y )min ＝9． 11．由题意，奇函数f (x )是定义在[－1，1]上的减函数，不等式f (1－m )＋f (1－m 2)＜0，即f (1－m )＜f (m 2－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤1－m ≤1，－1≤1－m 2≤1，1－m ＞m 2－1，解得m ∈[0，1)．12．由S 2＝a 1＋a 2＝2a 2－3×2(2－1)和a 2＝11，可得a 1＝5．解法1：当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1，得a n ＝na n －3n (n －1)－[(n －1)a n －1－3(n －1)(n －2)]，所以(n －1)a n －(n －1)a n －1＝6(n －1)，即a n －a n －1＝6(n ≥2，n ∈N *)，所以数列{a n }是首项a 1＝5，公差为6的等差数列，所以S 20＝20×5＋20×192×6＝1240．解法2：当n ≥2时，由S n ＝na n －3n (n －1)＝n (S n －S n －1)－3n (n －1)，可得(n －1)S n －nS n －1＝3n (n －1)，所以S n n －S n －1n －1＝3，所以数列{S n n }是首项S 11＝5,公差为3的等差数列，所以S 2020＝5＋3×19＝62，即S 20＝1240．13．由题意cos A ，cos B ，cos C 均不为0，由sin A ＝13sin B sin C ，cos A ＝13cos B cos C ，两式相减得tan A＝tan B tan C ，又由cos A ＝13cos B cos C ，且cos A ＝－cos(B ＋C )＝sin A sin B －cos A cos B ，所以sin A sin B ＝14cos A cos B ，所以tan B tan C ＝14．又tan B ＋tan C ＝tan(B ＋C )(1－tan B tan C )＝－tan A (1－tan B tan C )，所以tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ＝196．14．由题意A (－1，0)，B (1，0)，设C (x 1，1－x 12)，D (x 1，1－x 12)，－1＜x 1，x 2＜1，则AC →·BD →＝(x 1＋1)(x 2－1)＋(1－x 12)(1－x 22)＝(x 2－1)[(x 2＋1)x 12＋x 1－x 2]．记f (x )＝(x 2＋1)x 2＋x －x 2，－1＜x ＜1．（1）当－1＜x 2≤－12时，则0＜2(x 2＋1)≤1，－12(x 2＋1)≤－1，又x 2＋1＞0，所以f (x )在(－1，1)上单调递增，因为f (－1)＝0，f (1)＝2，所以0＜f (x )＜2．又x 2－1＜0，所以2(x 2－1)＜AC →·BD→＜0．根据－1＜x 2≤－12，则－4＜AC →·BD →＜0．（2）当－12＜x 2＜1时，则1＜2(x 2＋1)＜1，－1＜－12(x 2＋1)＜－14．又x 2＋1＞0，所以f (x )在(－1，1)上先减后增，x ＝－12(x 2＋1)时取的最小值f (－12(x 2＋1))＝－[x 2＋14(x 2＋1)]，又f (1)＝2，所以x 2＋14(x 2＋1)＜f (x )＜2．又x 2－1＜0，所以2(x 2－1)＜AC →·BD →≤[x 2＋14(x 2＋1)](1－x 2)．令g (x )＝x (1－x )＋1－x 4(x ＋1)，则g (x )＝－x 2＋x －14＋12(x ＋1)，g'(x )＝1－2x －12 (x ＋1)2＝－4x 3＋6x 2－12(x ＋1)2＝－(2x ＋1)(x －3－12)(x ＋3＋12)2(x ＋1)2，当－12＜x ＜3－12时，g'(x )＞0；3－12＜x ＜1时g'(x )＜0；所以g (x )在(－12，1)上先增后减，所以g (x )max ≤g (3－12)＝332－94．又2(x 2－1)＞－3，所以－3＜AC →·BD →≤332－94．综上，AC →·BD →的取值范围是(－4，332－94]．二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．解：（1）由正弦定理知，b sin A ＝a sin B ＝2，① …………………………………………………… 2分又a cos B ＝1， ②①，②两式平方相加，得(a sin B )2＋(a cos B )2＝3， ………………………………………… 4分因为sin 2B ＋cos 2B ＝1，所以a ＝3（负值已舍）；……………………………………………………… 6分（2）①，②两式相除，得sin Bcos B＝2,即tan B ＝2,…………………………………………………8分因为A －B ＝π4，所以tan A ＝tan(B ＋π4)＝tan B ＋tanπ41－tan B tanπ………………………………………………………12分A BCDE FG＝1＋21－2＝－3－22．………………………………………………………14分16．证明：（1）因为平面EFG ∥平面BCD ，平面ABD ∩平面EFG ＝EG ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以EG //BD ， ………………………………… 4分又G 为AD 的中点，故E 为AB 的中点，同理可得，F 为AC 的中点，所以EF ＝12BC ．……………………………… 7分（2）因为AD ＝BD ，由（1）知，E 为AB 的中点，所以AB ⊥DE ，又∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，由（1）知，EF //BC ，所以AB ⊥EF ，又DE ∩EF ＝E ，DE ，EF ⊂平面EFD ，所以AB ⊥平面EFD ， ……………………………………………………………………… 12分又AB ⊂平面ABC ，故平面EFD ⊥平面ABC ． ……………………………………………………………………14分17．解：（1）由题意，体积V ＝πr 2h ，得h ＝V πr2＝108r 2．y ＝2πrh ×m ＋2πr 2×n ＝2π (108mr ＋nr 2)． ……………………………………………………4分因为h ≥4r ，即108r 2≥4r ，所以r ≤3，即所求函数定义域为(0，3]．…………………6分（2）令f (r )＝108m r ＋nr 2，则f'(r )＝－108mr 2＋2nr ．由f'(r )＝0，解得r ＝332mn．①若32mn ＜1，当n ＞2m 时，332mn∈(0，3]，由得，当r ＝332mn时，f (r )有最小值，此时易拉罐制造费用最低． …………………10分②若32mn≥1，即n ≤2m 时，由f'(r )≤0知f (r )在(0，3]上单调递减，当r ＝3时，f (r )有最小值，此时易拉罐制造费用最低．……………………………14分18．解：（1）（i ）由题意，b ＝1，a 2c ＝52，又a 2＝b 2＋c 2，所以2c 2－5c ＋2＝0，解得c ＝2，或c ＝12(舍去)．故a 2＝5．所求椭圆的方程为x 25＋y 2＝1．…………………………………………………3分（ii ）设P (m ，n )，则m 25＋n 2＝1，即n 2＝1－m 25．当m ＝－2，或n ＝0时，均不符合题意；当m ≠－2，n ≠0时，直线FP 的斜率为nm ＋2，直线FP 的方程为y ＝nm ＋2(x ＋2)．故直线AO 的方程为y ＝－m ＋2n x ，Q 点的纵坐标y Q ＝2n (m ＋2)(m ＋2)2＋n 2．…………………………………………………5分所以FP FQ ＝|ny P |＝|(m ＋2)2＋n 22(m ＋2)|＝|(m ＋2)2＋1－m 252(m ＋2)|＝|4m 2＋20m ＋2510(m ＋2)|．令FP FQ ＝110，得4m 2＋21m ＋27＝0 ①，或4m 2＋19m ＋23＝0 ② ． ………………………7分由4m 2＋21m ＋27＝0，解得m ＝－3，m ＝－94，又－5≤m ≤5，所以方程①无解．由于△＝192－4×4×23＜0，所以方程②无解，故不存在点P 使FP FQ ＝110．………………………………………………………………10分（3）设M (x 0，y 0)，A (－a 2c ，t )，则FM →＝(x 0＋c ，y 0)，OA →＝(－a 2c ，t )．因为OA ⊥FM ，所以FM →·OA →＝0，即(x 0＋c )(－a 2c )＋ty 0＝0，由题意y 0≠0，所以t ＝x 0＋c y 0·a 2c ．所以A (－a 2c ，x 0＋c y 0·a 2c)．……………………………………………………12分因为AM →＝(x 0＋a 2c ，y 0－x 0＋c y 0·a 2c )，OM →＝(x 0，y 0)，所以AM →·OM →＝(x 0＋a 2c )x 0＋(y 0－x 0＋c y 0·a 2c )y＝x 02＋y 02＋a 2c x 0－x 0＋c y 0·a 2c y 0 ＝x 02＋y 02＋a 2c x 0－a 2cx 0－a 2 ＝x 02＋y 02－a 2．因为M (x 0，y 0)在圆O 上，所以AM →·OM →＝0． ………………………………………………15分即AM ⊥OM ，所以直线AM 与圆O 相切．同理可证直线AN 与圆O 相切．……………………………………………………16分19．解：（1）当a ＝0时，f (x )＝x ln x －x ，f’(x )＝ln x ，令f’(x )＝0，x ＝1，列表分析故f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． …………………………3分（2）f (x )＝(x －a )ln x －x ＋a ，f ’(x )＝ln x －ax ，其中x ＞0，令g (x )＝x ln x －a ，分析g (x )的零点情况．g ’(x )＝ln x ＋1,令g ’(x )＝0，x ＝1e，列表分析g (x )min ＝g (1e )＝－1e－a ，…………………………5分而f’(1e )＝ln 1e －a e ＝－1－a e ，f’(e －2)＝－2－a e 2＝－(2＋a e 2)，f ’(e 2)＝2－a e 2＝1e2(2e 2－a )，①若a ≤－1e ，则f’(x )＝ln x －ax ≥0，故f (x )在(e －2，e 2)内没有极值点；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)＞0，f’(e 2)＝1e2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在(e －2，e 2)有两个零点，f (x )在(e －2，e 2)内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f’(1e )＝ln 1e －a e ＜0，f’(e －2)＝－(2＋a e 2)≤0，f’(e 2)＝1e 2(2e 2－a )＞0，因此f’(x )在(e －2，e 2)有一个零点，f (x )在(e －2，e 2)内有一个极值点；综上所述，当a ∈(－∞，－1e]时，f (x )在(e －2，e 2)内没有极值点；当a ∈(－1e ，－2e2)时，f (x )在(e －2，e 2)内有两个极值点；当a ∈[－2e2，0)时，f (x )在(e －2，e 2)内有一个极值点.. ………………………10分（3）猜想：x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1恒成立． ……………………………………………11分证明如下：由（2）得g (x )在(1e，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－a ＜0，g(1＋a )＝(1＋a )ln(1＋a )－a ．因为当x ＞1时，ln x ＞1－1x (*)，所以g(1＋a )＞(1＋a )(1－1a ＋1)－a ＝0．故g (x )在(1，1＋a )上存在唯一的零点，设为x 0．由知，x ∈(1，1＋a )，f (x )＜max{f (1)，f (1＋a )}． …………………………………………13分又f (1＋a )＝ln(1＋a )－1，而x ＞1时，ln x ＜x －1(**)，所以f (1＋a )＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f (1)．即x ∈(1，1＋a )，f (x )＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a )，使 f (x )＜a －1．……………………………………………15分补充证明（*）：令F (x )＝ln x ＋1x －1，x ≥1．F ’(x )＝1x －1x 2＝x －1x2≥0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以x ＞1时，F (x )＞F (1)＝0，即ln x ＞1－1x ．补充证明（**）令G (x )＝ln x －x ＋1，x ≥1．G ’(x )＝1x－1≤0，所以G (x )在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G (x )＜G (1)＝0，即ln x ＜x －1． ……………………………………………16分20．解：（1）设所求等比子数列含原数列中的连续项的个数为k （1≤k ≤3，k ∈N *），当k ＝2时，①设1n ，1n ＋1，1m 成等比数列，则1(n ＋1)2＝1n ×1m ，即m ＝n ＋1n ＋2，当且仅当n ＝1时，m ∈N *，此时m ＝4，所求等比子数列为1，12，14；②设1m ，1n ，1n ＋1成等比数列，则1n 2＝1n ＋1×1m ，即m ＝n ＋1＋1n ＋1－2 N *；…… 3分当k ＝3时，数列1，12，13；12，13，14；13，14，15均不成等比，当k ＝1时，显然数列1，13，15不成等比；综上，所求等比子数列为1，12，14． ………………………………………………………5分（2）（i ）形如：a 1，－a 1，a 1，－a 1，a 1，－a 1，…（a 1≠0，q ＝－1）均存在无穷项等差子数列： a 1，a 1，a 1，… 或－a 1，－a 1，－a 1， ……………………………………7分（ii ）设{a n k}(k ∈N *，n k ∈N *)为{a n }的等差子数列，公差为d ，当|q |＞1时，|q |n ＞1，取n k ＞1＋log |q ||d ||a 1|(|q |－1)，从而|q |n k－1＞|d ||a 1|(|q |－1)，故|a n k ＋1－a n k|＝|a 1qn k ＋1－1－a 1qn k －1|＝|a 1||q |n k －1·|qn k ＋1－n k－1|≥|a 1||q |n k －1(|q |－1)＞|d |，这与|a n k ＋1－a n k|＝|d |矛盾，故舍去； ………………………………………………………12分当|q |＜1时，|q |n ＜1，取n k ＞1＋log |q ||d |2|a 1|，从而|q |n k－1＜|d |2|a 1|，故|a n k ＋1－a n k|＝|a 1||q |n k －1|qn k ＋1－n k－1|≤|a 1||q |n k －1||q |n k ＋1－n k＋1|＜2|a 1||q |n k －1＜|d |，这与|a n k ＋1－a n k|＝|d |矛盾，故舍去；又q ≠1，故只可能q ＝－1，结合(i)知，q 的所有可能值为－1．……………………………………………………16分数学附加题参考答案及评分标准 2015.0521．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分． A ．选修4—1：几何证明选讲解:延长AO ､AD ，分别交圆O 于点E ､F ，连接EF ､BF ．因为AE 为圆O 的直径，所以∠AFE ＝90°，又AD ⊥BC ，所以EF //BC ，所以∠CBF ＝∠BFE ，又∠CBF ＝∠CAF ，∠BAE ＝∠BFE ，所以∠CAF ＝∠BAE ，∠CAO ＝∠BA D ．在△ABC 中，AB ＝4，AD ＝2，AD ⊥BC ，所以∠BAD ＝60°，所以∠CAO ＝60°．……………………………………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：依题意，BA ＝⎣⎡⎦⎤1 00 k ⎣⎡⎦⎤cos θ －sin θsin θ cos θ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0， …………………………………… 5分从而⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝0－sin θ＝－1，k sinθ＝12，k cosθ＝0．因为0＜θ＜2π，所以⎩⎨⎧θ＝π2 ，k ＝12．…………………………………………………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：易得线段AB 的中点坐标为(5，π3)，……………………………………………………2分设点P (ρ，θ)为直线l 上任意一点，在直角三角形OMP 中，ρcos(θ－π3)＝5，EF所以，l 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝5， ……………………………………………………6分令θ＝0，得ρ＝10，即C (10，0)．…………………………………………………… 8分所以，△ABC 的面积为：12×(9－1)×10×sin π3＝203． ……………………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为|a ＋b |≤2，所以|a 2＋2a －b 2＋2b |＝|a ＋b ||a －b ＋2| ＝|a ＋b ||2a －(a ＋b )＋2| ≤|a ＋b |(|2a |＋|a ＋b |＋2) ≤4(|a |＋2)． ……………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．22．解：依题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz （如图），则B (1，0，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，因为DC →＝λAB →，所以C (λ，2，0)，……………………………………2分（1）从而PC →＝(λ，2，－2)，BD →＝(－1，2，0)，则cos ＜PC →，BD →＞＝PC →·BD →|PC →|·|BD →|＝4－λλ2＋8×5＝1515，解得λ＝2；（2）易得PC →＝(2，2，－2)，PD →＝(0，2，－2)，设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·PC →＝0，且n ·PD →＝0，即x ＋y －z ＝0，且y －z ＝0，所以x ＝0，不妨取y ＝z ＝1，则平面PCD 的一个法向量n ＝(0，1，1)， …………………………………… 8分又易得PB →＝(1，0，－2)，（第22题）故cos ＜PB →，n ＞＝PB →·n |PB →|·|n |＝－22×5＝－105，所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为105． ……………………………………10分23．解：（1）S 1＝C 11f 1＝1，S 2＝C 12f 1＋C 22f 2＝3．……………………………………2分（2）记α＝1＋52，β＝1－52．则S n ＝15∑n i ＝1C i n (αi －βi )＝15∑n i ＝0C i n (αi －βi)＝15(∑n i ＝0C i n αi －∑n i ＝0C i n βi )＝15[(1＋α)n －(1＋β)n ]＝15[(3＋52)n －(3－52)n]．……………………………………6分注意到(3＋52)×(3－52)＝1．故S n ＋2＝15{[(3＋52)n ＋1－(3－52)n ＋1][ (3＋52)＋(3－52)]－[(3＋52)n －(3－52)n ]}＝3S n ＋1－S n ．因此，S n ＋2除以8的余数完全由S n ＋1，S n 除以8的余数确定．由（1）可以算出{S n }各项除以8的余数依次是1，3，0，5，7，0，1，3，…，这是一个以6为周期的周期数列．从而S n 能被8整除，当且仅当n 能被3整除． (10)。

数学丨江苏省南京一中、金陵中学、南通海安中学2025届高三上学期11月期中考联考数学试卷及答案

2025届高三期中学业质量监测试卷数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效.3.本卷满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数则实数m=()A．B．C．D.2．已知集合A={0,1,2,3,6},B={x x-1∈A}，则ðA(A∩B)=()A．{0,6}B．{3,6}C．{-1,5}D．{0,1,2}3．在V ABC中，tan A=2，tan B=3，则C=()A．30°B．45°C．60°D．135°4．函数f(x)=x(x-3)2的极大值为()A．-4B．0C．1D．45．在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=AC=BC=2，PC与平面ABC所成角的大小为60。

，则PC=()A．1B.·2C.·3D．26．曲线y=2sin x与y=sin的交点中，与y轴最近的点的横坐标为()A．-B．-C．D.7．在口ABCD中，，x∈R.若AP∥MN，则x=1234 A．B．C．D.77778．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=3AB，P是线段CC1上靠近C的三等分点，过点C与直线PA垂直的平面将正四棱柱分成两部分，则较大部分与较小部分的体积比为()35A．B．2C．D．3 22二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在空间中，设a,b,c是三条直线，α,β,Y是三个平面，则下列能推出a//b的是() A．a丄c，b丄cB．a//α,a∈β,α∩β=bC.α丄Y，β丄Y，α∩Y=a，β∩Y=bD.α∩β=a，α∩Y=b，β∩Y=c，a//c10．已知函数f(x)=cos x cos2x，则()A．f(x)的最大值为1B．是曲线y=f(x)的对称中心C．f(x)在(|(0,),I上单调递减D．f(x)的最小正周期为2π11．设f(x)为R上的增函数，满足：f(1+x)+f(1-x)=2，f(2+x)+f(2-x)=4，则() A．f(3)=3B．f(x)为奇函数C．3x0∈R，f(x0)=x0+1D．丫x∈R，f(e x+1)-f(x)≥2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知函数f(x)=sin(w x+φ)(w>0,0<φ<π)的一个单调减区间为「|L-,，则w=，φ=.13．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=ln x上的两点A，B满足OA丄OB，线段AB的中点M在x轴上，则点M的横坐标为.14．已知圆O的半径为2，点A，B在圆O上，点C在圆O内，且AB=OC=1，则-A-B-→.-A-的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步15．已知a，b，c分别为V ABC的内角A，B，C的对边，且a cos C+a sin C=b+c.(1)求A；(2)若V ABC的面积为·,周长为6，试判断V ABC的形状.16．设抛物线C:x2=4y的焦点为F，准线为l，点P在C上，记P在l上的射影为H.(1)△PFH能否为正三角形?若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由；(2)设C在点P处的切线与l相交于点Q，证明：上PFQ=90。

20xx年江苏省5月海安、南外、金陵中学高三调研测试数学试题及答案(16页)

20xx年江苏省5月海安、南外、金陵中学高三调研测试数学试题及答案（16页）江苏省海安高级中学20xx届南京外国语学校高三调研测试南京市金陵中学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 命题“，x2≥3”的否定是▲ ．1 82 83 0 2 84 0（第3题）2. 设复数（是虚数单位，）．若的虚部为3，则的值为▲1 82 83 0 2 84 0（第3题）3．右图是小王所做的六套数学附加题的得分的茎叶图（满分40分），则其平均得分为▲ ．S←0a←1For IS←0a←1For I From 1 to 3a←2×aS←S＋aEnd ForPrint S（第5题）若，则m取值范围是▲ ．5．右图是一个算法的伪代码，输出结果是▲ ．6．在区间[0，1]间随机取出2个数（可以相同），它们的差的绝对值大于的概率为▲ ．7．在平面直角坐标系中，过点M（1，0）的直线xyc0与圆交于A，B 两点，则= ▲ ．8．常用的复印纸的型号有，，等，它们的长宽（单位：mm）理想设计尺寸分别为，，，据此可推得，型号的复印纸的理想设计尺寸应为▲ ．9．已知，且，，则▲ .10．设函数，的图象的一个公共点为，且曲线，在点P处有相同的切线，函数的负零点在区间，则k = ▲ .11．设数列满足，当时，；当时，．则▲ ．（注：[x]为不超过实数x的最大整数，记{x}x[x]．）12．已知直角三角形ABC的三个顶点都在抛物线上，且斜边AB // x轴，则斜边上的高等于▲ ．13．已知平面向量，，满足，且与的夹角余弦为，与的夹角余弦为，，则的值为▲ ．14．设，对任意的，不等式，则的取值范围是▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．(本小题满分14分)在△ABC中，，，点D在BC边上．（1）若AD为的平分线，且BD1，求△ABC的面积；（2）若AD为△ABC的中线，且AD，求证：△ABC为等边三角形．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥中，除棱外，其余棱均等长，为棱的中点，为线段上靠近点的三等分点．（1）若，求证：平面；（2）试在平面上确定一点，使得平面，且平面，并给出证明．（第（第16题）17．(本小题满分14分)如图所示，直立在地面上的两根钢管AB和CD，m，m，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：（1）如图（1）设两根钢管相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处，形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则BE多长时钢丝绳最短？（2）如图（2）设两根钢管相距m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处，再将钢丝绳依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）．则BE多长时钢丝绳最短？AAEDCBFAEDCBF图1图218．(本小题满分16分)定义：如果两个椭圆，它们的离心率相同，那么称这两个椭圆相似，它们的长轴之比（大于1）叫做这两个椭圆的相似比．（1）设，试判断椭圆和椭圆能否相似？相似时求出它们的相似比；（2）如图，在平面直角坐标系中，设椭圆：和椭圆：相似，过椭圆的右焦点F且不垂直于x轴的直线l与这两个椭圆自上而下依次交于点，，，，射线，与椭圆分别交于点M，N ，连MN．求证：① MN ∥；②△ABM和△CDN的面积相等．NNF（第18题）19．(本小题满分16分)已知各项均为正数的两个无穷数列、满足．（1）当数列是常数列（各项都相等的数列），且时，求数列的通项公式；（2）设、都是公差不为0的等差数列，求证：数列有无穷多个，而数列惟一确定；（3）设，，求证：．20．(本小题满分16分)设函数，其中a，x∈R，e是自然对数的底数， .（1）当a=0时，解不等式；（2）求函数的单调增区间；（3）设，讨论关于x的方程的解的个数．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（第21（第21—A题）BEFDA（本小题满分10分）如图，在△ABC中，，延长BA到D，使得ADAB，E，F分别为BC，AC的中点，求证：DFBE．B．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知曲线：，对它先作矩阵对应的变换，再作矩阵对应的变换，得到曲线：，求实数的值．C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知圆C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数，），若圆C被直线l截得的弦长为，求的值．D．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）对任给的实数a和b，不等式恒成立，求实数x的取值【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A A1ABAC1，AB⊥AC，M，N分别是棱CC1，BC的A1C1B1MCNBA1C1B1MCNAP（第22题）（1）求直线PN与平面ABC所成的角最大时，线段的长度；（2）试确定点P的位置，使平面PMN与平面ABC所成的二面角为，并说明理由．23．（本小题满分10分）设函数，，且，其中常数为区间（0，1）内的有理数．（1）求的表达式（用和表示）；（2）求证：对任意的正整数，为有理数．数学Ⅰ 参考答案及评分标准一、填空题：1. ，2. 5 3． 31 4． 1＜m＜9 5． 14 6． 7． 2或8．297×210 9． 10． 11． 12． 2 13．－ 14． [4,5] 15．（1）在△ABD中，，在△ACD中，，相除得：AC=2AB………………………………………3分在△ABC中，，∴AB=，AC=2………………………………………6分∴………………………………………7分（2）∵，∴∴………………………………………9分又,相减得………………11分∴∴即∶AB=AC，又∠C=60°∴三角形ABC为等边三角形．………………14分 16．由题意得：为△ABC的中心，则CM⊥AB，∵为棱的中点，PA=PB，∴PM⊥AB，…………………………2分又PM∩CM=M∴AB⊥平面PMC，………………………………………4分又PO平面PMC∴AB⊥PO又PO⊥MCMC∩AB=M∴平面………………………………………7分（2）Q为线段MP上靠近M点的三等分点． (9)分∵∴OQ//PC，又平面PAC，平面PAC，∴OQ//平面PAC………………………………………12分同理可证：OQ//平面PBC．………………………………………14分17．k （1）设钢丝绳长为ym，，则（其中，）………………………………3分当时，即时，………………………………………6分（2）设钢丝绳长为ym，，则（其中，）………………9分令得当时，即时………………………………………12分答：按方法（1），米时，钢丝绳最短；按方法（2），米时，钢丝绳最短。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题质量管理考试001204

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题质量管理考试数学试卷（满分150分，其中学业水平考试卷120分，附加题30分，完卷时间130分钟）.12考试注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚．2.本试卷共有 32道试题，满分 150 分．考试时间 130分钟．3.请考生用钢笔或圆珠笔按要求在试卷相应位置上作答．一.（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题，要求直接填写结果，每题填对3分，否则一律得 0 分．1.函数3tany x=的周期是．【答案】π【解析】试题分析：由πωπ==T考点：正切函数的性质2.计算2413=．【答案】2考点：行列式的计算3.计算limn→∞2123nn++++＝．【答案】21【解析】试题分析：212)1(lim321lim22=+=++++∞→∞→nnnnnnn考点：数列极限4.二项式10(x 1)+展开式中，8x 的系数为．【答案】45 【解析】试题分析：通项为r r r x C T -+=10101，令2=r ，88210345x x C T ==，故8x 的系数为45考点：二项式定理 5．设矩阵241A x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2211B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，若BA =2412⎛⎫ ⎪--⎝⎭，则x =. 【答案】2考点：矩阵的乘法6．现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有种. 【答案】240考点：排列7．若1cos()2πα+=-，322παπ<<，则sin α=．【答案】23- 【解析】试题分析：由已知21cos )cos(-=-=+ααπ，所以21cos =α，又παπ223<<，故23cos 1sin 2-=--=αα 考点：三角函数、诱导公式8.若一个球的体积为π34，则它的表面积为__________．【答案】π12 【解析】试题分析：因ππ34343==R V ，所以3=R ，故ππ1242==R S 考点：球的体积、表面积9.若函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是．【答案】2π考点：三角函数的性质10.正四棱锥ABCD P -的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于．【答案】33 【解析】试题分析：连接AC 、BD 交于O ，异面直线BE 与PA 所成的角即为EO 与BE 所成的角，设棱长为1，则21=EO ，23=EB ，22=BO ，222EB BO EO =+,所以BO EO ⊥,33cos ==∠BE EO BEO 考点：异面直线所成的角11.直线20x y +=被曲线2262x y x y +--150-=所截得的弦长等于．【答案】54 【解析】试题分析：曲线为圆25)1()3(22=-+-y x ，圆心到直线的距离5523=+=d ，所以弦长为54222=-d rECDPB考点：直线与圆的位置关系12.已知函数)0,0,0(),sin()(πϕωϕω≤≤>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则(x)y f =的解析式是(x)f =．【答案】)42sin(2)(π+=x x f【解析】试题分析：由图知振幅为2周期为π，所以ωππ2,2==A ，故2=ω由函数经过第二个零点⎪⎭⎫⎝⎛0,83π，所以0)832sin(2=+⨯ϕπ，πππϕ+=+k 243即ππϕ412+=k ，又πϕ≤≤0，故πϕ41=，所以)42sin(2)(π+=x x f考点：三角函数图象二．选择题（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把正确结论的代码写在题后的括号内，选对得 3分，否则一律得 0 分． 13．已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】B考点：三角函数值14．已知函数y x b α=+，(0,)x ∈+∞是增函数，则（）（A ）0α>，b 是任意实数（B ）0α<，b 是任意实数（C ）0b >，α是任意实数（D ）0b <，α是任意实数【答案】A 【解析】试题分析：由幂函数的单调性知R b ∈>,0α 考点：幂函数单调性15．在ABC ∆中，若B a b sin 2=，则这个三角形中角A 的值是（）（A ） 30或 60（B ） 45或 60（C ） 60或 120（D ） 30或 150【答案】D考点：正弦定理16.若log 3log 30a b <<，则（）()01()01()1()1A a b B b a C a b D b a <<<<<<>>>>【答案】B考点：对数函数的性质 17.双曲线24x212y =1的焦点到渐近线的距离为（）（A ）23（B ）2 （C ）3（D ）1【答案】A考点：双曲线的性质18.用数学归纳法证明等式2135(21)n n +++⋅⋅⋅+-=（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k 时等式成立，则当n=k+1时应得到（）（A ）2135(21)k k +++⋅⋅⋅++=（B ）2135(21)(1)k k +++⋅⋅⋅++=+ （C ）2135(21)(2)k k +++⋅⋅⋅++=+ （D ）2135(21)(3)k k +++⋅⋅⋅++=+【答案】B考点：推理与证明19.设1z i =+（i 是虚数单位），则复数22+z z 对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】A考点：复数的运算20.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 ( )（A ）023=-+y x （B ）043=-+y x （C ）043=+-y x （D ）023=+-y x 【答案】D 【解析】试题分析：由已知圆的标准方程为4)2(2=+-y x ，记圆心为O ，由已知3-=PO k ，所以切线的斜率为331=-=POk k ，故切线方程为)1(333-=-x y 即023=+-y x 考点：圆的切线方程 21.“1tan -=x ”是“)(24Z k k x ∈+-=ππ”的（）（A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；（C ）充要条件；（D ）既非充分又非必要条件. 【答案】B考点：充分条件、必要条件22.在四边形ABCD 中,(1,2)AC =,(4,2)BD =-,则四边形的面积为（）（A ）5（B ）25（C ）5 （D ）10 【答案】C 【解析】试题分析：因0=⋅BD AC ，故BD AC ⊥，又52,5==BD AC ，所以=S 521=⋅BD AC 考点：向量的数量积、模 23．函数211(0)y x x =++<的反函数是（）（A ）22(0)y x x x =-<（B ）22(0)y x x x =--<（C ）22(2)y x x x =->（D ）22(2)y x x x =-->【答案】D考点：反函数24．曲线21||y x =+的部分图像是（）考点：函数的图象三、解答题（本大题满分 48 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 25.（本题满分 8 分）解不等式组|1|3213-<⎧⎪⎨>⎪-⎩x x【答案】（3,4）考点：解不等式 26.（本题满分 8 分）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB ，若异面直线A A 1与C B 1所成角的大小为21arctan，求正四棱第26题柱1111D C B A ABCD -的体积. 【答案】16 【解析】考点：空间几何体体积27．（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分6分．已知点F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点P 是准线l 上的动点，直线PF 交抛物线C 于,A B 两点，若点P 的纵坐标为(0)m m ≠，点D 为准线l 与x 轴的交点． (1)求直线PF 的方程；(2)求DAB ∆面积S 的取值范围．【答案】（1）20mx y m +-=；（2）(4,)+∞ 【解析】试题分析：（1）易得,P F 的坐标分别为(1,)m -，(1,0)，所以斜率为2m -，由点斜式可得方程为20mx y m +-=；（2）联立直线与抛物线方程求得AB 的长度为2122416||2mAB x x m +=++=，再由点到直线AB 的距离算出高24d m =+，故222214||41224S AB d m m m ===++S 的取值范围.D l PFA BOyx考点：抛物线及其综合应用28.（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分6分．已知函数2()()2x a f x x R x +=∈+．（1）写出函数()y f x =的奇偶性；（2）当0x >时，是否存实数a ，使()y f x =的图像在函数2()g x x=图像的下方，若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）a<4 【解析】试题分析：(1)先求定义域，看是否关于原点对称，其次再用奇、偶函数定义验证即可；容易得到)(x f 的定义域为R ，当0a =时，2()2x f x x =+是奇函数；当0a ≠时，2()()2x a f x x R x +=∈+是非奇非偶函数；（2）考点：函数的性质29.（本题满分 12 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分4分，第 3 小题满分5分．已知抛物线24x y =，过原点作斜率为1的直线交抛物线于第一象限内一点1P ，又过点1P 作斜率为12的直线交抛物线于点2P ，再过2P 作斜率为14的直线交抛物线于点3P ，，如此继续。

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一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合 A＝{x|x≥0}，B＝{x|x＜1}，则 A∩B＝ ▲ x＋i 是纯虚数，则 x 的值是 ▲ ． 2．已知 x 是实数， 1－i 3．根据如图所示的流程图，当输入的正整数 n 的值为 5 时，输出的 an 的值是 ▲ ．．开始输入 n Y an← n2 n ≤ 4 N an← 2n
3
0 1 2 3
9 055 8 1
▲ ．
2 2
（第 5 题）
9．已知函数 f(x)＝kx －3(k＋1)x －k ＋1，若 f(x)的单调减区间是(0，4)，则在曲线 y＝f(x) 的切线中，斜率最小的切线方程是 ▲ ． π 10．若 tan＝3tan，且 0≤＜＜2，则－的最大值为 ▲ ．
江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学 2012 届高三联合考试
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 3 页，包含填空题（共 14 题）、解答题（共 6 题），满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3．作答时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的横、纵坐标，则点 P 在直线 x＋y＝5 下方的概率是 ▲ ．输出 an 结束
（第 3 题）
2
5．如图所示的茎叶图记录了某运动员在某赛季一些场次的得分，则该运动员的平均得分为 ▲ ．
6．不等式 lg(－x)＜x＋1 的解集为 ▲ ． 7．底面边长为 2m，高为 1m 的正三棱锥的全面积为 ▲ m ． 1 8．在等比数列{an}中，a1＝1，前 n 项和为 Sn．若数列{Sn＋2}也是等比数列，则 Sn 等于
A F C O B E D
π 如图，将边长为 3 的正方形 ABCD 绕中心 O 顺时针旋转 (0 ＜＜ 2 ) 得到正方形
A'
A′B′C′D′．根据平面几何知识，有以下两个结论： ①∠A′FE＝； π ②对任意 (0＜＜2)，△EAL，△EA′F，△GBF，
D'
A L
江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学 2012 届高三联合考试
数学Ⅱ（附加题）
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 4．本试卷共 2 页，均为非选择题（第 21~23 题）。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。
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数学Ⅰ参考答案及评分建议
说明： 1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1 1．{x|0≤x＜1} 2．1 3． 32 4．6 3n－1 5．18 6．{x|－1＜x＜0} 7．3 3 8． 2 3－ 5 π 9．12x＋y－8＝0 10．6 11． 5 12． 2 13 26 63 13． 4 14．[ 9 ，16) 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、二倍角的正、余弦公式，正、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分 14 分． x x x π 1 x 3 x 1 x 1 解：（1）f(x)＝ 3sin4cos4＋cos24＝ 2 sin2＋2cos2＋2＝sin(2＋6)＋2．………………… 3 分 x π 1 由 f(x)＝1，可得 sin(2＋6)＝2， x π π 解法一：令＝2＋6，则 x＝2－3． 2π 1 cos( 3 －x)＝cos(－2)＝－cos2＝2sin2－1＝－2． ………………… 6 分 x π π x π 5π 解法二：2＋6＝2k＋6，或2＋6＝2k＋ 6 ，kZ． 4π 所以 x＝4k，或 x＝4k＋ 3 ，kZ． 2π 2π 1 当 x＝4k，kZ 时，cos( －x)＝cos ＝－； 3 3 2
21．【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共 20 分．请在答题．．卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．． A．选修 4—1：几何证明选讲如图，AB 为半圆 O 的直径，点 C 在半圆 O 上方，连结 AC D 交半圆 O 于点 D，过点 C 作线段 AB 的垂线 CE，垂足为 E．求证：B，C，D，E 四点共圆． A · O E B C
B．选修 4—2：矩阵与变换（第 21－A 题） 0 －1 1 2 已知矩阵 M＝．，N＝ 3 4 1 3 （1）求矩阵 MN；（2）若点 P 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到 Q(0，1)，求点 P 的坐标． C．选修 4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，设 O 为极点，点 P 为直线cos＝1 与圆＝2sin的切点，求 OP 的长． D．选修 4—5：不等式选讲
5．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 6．作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
i=1 n
为[a，b]上的有界变差函数．（1）判断函数 f(x)＝x＋cosx 在[－，]上是否为有界变差函数，并说明理由；（2）定义在[a，b]上的单调函数 f(x)是否一定为有界变差函数？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；（3）若定义在[a，b]上的函数 f(x)满足：存在常数 k，使得对于任意的 x1，x2[a，b]， | f(x1)－f(x2)|≤k|x1－x2|．证明：f(x)为[a，b]上的有界变差函数．
A2
19．（本小题满分 16 分）设数列{an}是一个公差不为零的等差数列，且 a5＝6．（1）当 a3＝3 时，请在数列{an}中找一项 am(m＞5)，使 a3，a5，am 成等比数列；（2）当 a3＞1 时，如果存在自然数 m1，m2，…，mt，…，满足 5＜m1＜m2＜…＜mt＜…，且 a3，a5，am1，am2，…，amt，…构成一个等比数列，求 a3 的一切可能值；（3）在（2）中的 a3 取最小正整数值时，求证：
E
F
B G B'
O K
H
△GB′H，△ICH，△IC′J，△KDJ，△KD′L 均是全等三角形． D C J I （1）设 A′E＝x，将 x 表示为的函数； C' （2）试确定，使正方形 A′B′C′D′与正方形 ABCD 重叠部分面积最小，并求最小面积．
18．（本小题满分16分） x2 y2 3 已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率 e＝ 2 ，椭圆 C 的上、下顶点分别为 A1，A2， 2 5 左、右顶点分别为 B1，B2,左、右焦点分别为 F1，F2．原点到直线 A2B2 的距离为 5 ．（1）求椭圆 C 的方程； 1 （2）过原点且斜率为2的直线 l，与椭圆交于 E，F 点，试判断∠EF2F 是锐角、直角还是钝角，并写出理由；（3）P 是椭圆上异于 A1，A2 的任一点,直线 PA1，PA2，分别交 x 轴于点 N，M,若直线 OT 与过点 M，N 的圆 G 相切，切点为 T.证明：线段 OT 的长为定值,并求出该定值. y A1 T P G F1 F2 M N B1 B2 x O
1 1 1 1 已知：a，b，c 都是正数，a＋2b＋3c＝9．求证：4a＋18b＋108c≥9．【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共 20 分．请在答题卡指定区域内作答．解答．．．．．．．．应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 2 22．甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为3，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，此时比赛结束．设各局比赛相互之间没有影响．令 X 为本场比赛的局数，求 X 的概率分布和数学期望． 23．设 P1，P2，…，Pj 为集合 P＝{1，2，…，i}的子集，其中 i，j 为正整数．记 aij 为满足 P1∩P2∩…∩Pj＝的有序子集组(P1，P2，…，Pj)的个数．（1）求 a22 的值；（2）求 aij 的表达式．
x2 y2 11．过双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点 A 作斜率为－1 的直线，该直线与双曲线的两 → 1→ 条渐近线的交点分别为 B，C，若AB＝2BC，则双曲线的离心率是 ▲ ． 12．△ABC 的面积为 1，点 D 在 AC 上，DE∥AB，连结 BD，设△DCE、△ABD、△BDE 中面积最大者的值为 y，则 y 的最小值为 ▲ ． 13．在△ABC 中，若 a＝2，b－c＝1，△ABC 的面积为 3，则 → → AB · AC ＝ ▲ ．
B E A D
C
（第 12 题）
14．已知使函数 f(x)＝x3－ax2－1(0≤a≤M0)存在整数零点的实数 a 恰有 3 个，则 M0 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分） x x x 已知函数 f(x)＝ 3sin4cos4＋cos24． 2π （1）若 f(x)＝1，求 cos( 3 －x)的值； 1 （2）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足 acosC＋2c＝b，求 f(B) 的取值范围． 16．（本小题满分 14 分）如图，已知 BC 是半径为 1 的半圆 O 的直径，A 是半圆周 ⌒ 上不同于 B，C 的点，F 为 AC 的中点．梯形 ACDE 中，DE∥AC，且 AC＝2DE，平面 ACDE⊥平面 ABC．求证：（1）平面 ABE⊥平面 ACDE；（2）平面 OFD∥平面 BAE． 17．（本小题满分 1 22

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