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§1.4有效数字及其运算规则一、有效数字的一般概念1.有效数字任何一个物理量，其测量结果必然存在误差。
因此，表示一个物理量测量结果的数字取值是有限的。
我们把测量结果中可靠的几位数字，加上可疑的一位数字，统称为测量结果的有效数字。
例如，2.78的有效数字是三位，2.7是可靠数字，尾位“8”是可疑数字。
这一位数字虽然是可疑的，但它在一定程度上反映了客观实际，因此它也是有效的。
2.确定测量结果有效数字的基本方法(1)仪器的正确测读仪器正确测读的原则是：读出有效数字中可靠数部分是由被测量的大小与所用仪器的最小分度来决定。
可疑数字由介于两个最小分度之间的数值进行估读，估读取数一位(这一位是有误差的)。
例如，用分度值为1mm的米尺测量一物体的长度，物体的一端正好与米尺零刻度线对齐，另一端如图1-1。
此时物体长度的测量值应记为L=83.87cm。
其中，83.8是可靠数，尾数“7”是可疑数，有效数字为四位。
(2)对于标明误差的仪器，应根据仪器的误差来确定测量值中可疑数所以用该电压表测量时，其电压值只需读到小数点后第一位。
如某测量值为12.3V，若读出：12.32V，则尾数“2”无意义，因为它前面一位“3”本身就是可疑数字。
(3)测量结果的有效数字由误差确定。
不论是直接测量还是间接测量，其结果的误差一般只取一位。
测量结果有效数字的最后一位与误差所在的一位对齐。
如L=(83.87±0.02)cm是正确的，而L=(83.868±0.02)cm和L=(83.9±0.02)cm 都是错误的。
3.关于“0”的问题有效数字的位数与十进制的单位变换无关。
末位“0”和数字中间的“0”均属于有效数字。
如23. 20cm；10.2V等，其中出现的“0”都是有效数字。
小数点前面出现的“0”和它之后紧接着的“0”都不是有效数字。
如0.25cm或0.045kg中的“0”都不是有效数字，这两个数值都只有两位有效数字。
有效数据定义、运算及其修约规则一、有效数据1.1有效数字定义有效数字是指实际能测量到的数值，在该数值中只有最后一位是可疑数字，其余的均为可靠数字。
1.2实际意义有效数字能反映出测量时的准确程度。
例如，用最小刻度为0.1cm的直尺量出某物体的长度为11.23cm，显然这个数值的前3位数是准确的，而最后一位数字就不是那么可靠，如测得物体的长度可能是11.24cm，亦可能是11.22cm，测量的结果有±0.01cm的误差。
我们把这个数值的前面3位可靠数字和最后一位可疑数字称为有效数字。
这个数值就是四位有效数字。
在确定有效数字位数时，特别需要指出的是数字“0”来表示实际测量结果时，它便是有效数字。
例如，分析天平称得的物体质量为7.1560g，滴定时滴定管读数为20.05mL，这两个数值中的“0”都是有效数字。
在0.006g中的“0”只起到定位作用，不是有效数字。
（1）容量器皿；滴定管；移液管；容量瓶；4位有效数字（2）分析天平（万分之一）取4位有效数字（3）标准溶液的浓度，用4位有效数字表示:0.1000 mol/L（4）pH 4.34 ,小数点后的数字位数为有效数字位数对数值，lg X =2.38；lg(2.4´102)1.3有效数字中＂0＂的意义＂0＂在有效数字中有两种意义：一种是作为数字定值，另一种是有效数字．例如在分析天平上称量物质，得到如下质量：以上数据中“0”所起的作用是不同的。
“0”是有效数字：10.0780，6位有效数字。
1.2056中，5位有效数字。
“0”作为数字定值：0.2044中，小数前面的“0”是定值用的，不是有效数字；0.0120中，“1”前面的两个“0”都是定值用的，而在末尾的“0”是有效数字，所以它有3位有效数字。
称量精确至0.0002g;15000m 和10000g很难肯定其中的0 是否是有效数字还是数字定值，写为1.5×104m，则表示有效数字是二位；如果把它写为1.50×104m则表示有效数字是三位。
有效数字及其运算规则一、有效数字的含义及位数为了得到准确的分析结果，不仅要准确地测量，而且还要正确地记录和运算，即记录的数字不仅表示数量的大小，而且要正确的反映测量的精确程度。
如某物重0.5180g 、其中0.518 是准确的，“0 ”位可疑，即其有上下一个单位的误差，也就是说此物重的绝对误差为二．有效数字的运算规则：1 ．和或差的有效数字：几个数相加减时，和或差的有效数字的保留，应以小数点后位数最少的数据为根据，即决定于绝对误差最大的那个数据。
例如：0.0121+25.64+1.05782 ＝26.70992应依25.64 为依据，即：原式＝26.71小数点后位数的多少反映了测量绝对误差的大小，如小数后有1 位，它的绝对误差为±0.1 ，而小数点有 2 位时，绝对误差为±0.01 。
可见，小数点具有相同位数的数字，其绝对误差的大小也相同。
而且，绝对误差的大小仅与小数部分有关，而与有效数字位数无关。
所以，在加减运算中，原始数据的绝对误差，决定了计算结果的绝对误差大小，计算结果的绝对误差必然受到绝对误差最大的那个原始数据的制约而与之处在同一水平上。
2 ．乘除法几个数相乘、除时，其积或商的有效数字应与参加运算的数字中，有效数字位数最少的那个数字相同。
即：所得结果的位数取决于相对误差最大的那个数字。
商应与0.0325 在同一水平上，即取3 位。
又如：3.001×2.1= 6.3有效数字的位数的多少反映了测量相对误差的大小。
如 2 位有效数字1.0 和9.9 它们的都是±0.1 ，相对误差分别为±10% 和±1%, 即：两位有效数字的相对误差总在±1% ～10%叁位有效数字的相对误差总在±0.1 ～1%肆位有效数字的相对误差总在±0.01 ～±0.1% 之间。
可见，相同有效数字位数的数字，其相对误差E r，处在同一水平上：而且E r的大小，仅与有效数字位数有关，而与小数点位数无关。
有效数字及误差计算一、测量所谓测量，就是被测量的物理量和选为标准的同类量（即，单位）进行比较，确定出它是标准量的多少倍。
如：测量一本书的长度，将书与米尺进行比较，书的长度是米尺的18.85％，则书的长度为0.1885m 。
测量结果的数值大小和选择的单位密切相关。
同样一个量，测量时选择的单位越小，测量结果数值就越大，所以任何测量结果都必须标明单位．如273.15K ，3.0×108m/s 等等。
二、测量分类根据获得数据的方法不同，测量可分为直接测量和间接测量两类。
1．直接测量直接测量：使用量具或仪表等标准量具经过比较可直接读数获取数据。
相应测得量称为直接测量量。
如：米尺测量长度、温度计测量温度、天平测量质量等等。
2．间接测量间接测量：不能直接测量出结果，而必须先直接测量与它有关的一些物理量，然后利用函数关系而获取被测量数据的测量．相应的测得量就是间接测量量。
如：物质的密度3/a m ＝ρ、物体运动的速度t S v /=、物体的体积等等。
三、有效数字测量的结果因所用单位不同而不同，但在某一单位（量具）下，表示该测量值的数值位数不应随意取位，而是要用有确定意义的表示法。
图1用毫米尺测量工件的长度如图1是用毫米尺测量一段工件长度的示意图。
此工件的长度介于13mm 和14mm 之间，其右端点超过13mm 刻度线处，估计为6/10格，即工件的长度为13.6mm 。
从获得结果看，前两位13是直接读出，称为可靠数字，而最末一位0.6mm 则是从尺上最小刻度间估计出来的，称为可疑数字（尽管可疑，但还是有一定根据，是有意义的）。
定义：由几位可靠数字加上一位可疑数字在内的读数，称为有效数字。
如上读数13.6mm 共有三位有效数字，这里的第三位数“6”已是估计出来的，因此，用这种规格的尺子不可能测量到以毫米为单位小数点后第2位。
注：1、有效数字的多少，表示了测量所能达到的准确程度，这与所用的测量工具有关。
2、当被测物理量和测量仪器选定后，测量值的有效数字位数就可以确定了。
3、仪器的读数规则测量就要从仪器上读数，读数包括仪器指示的全部有意义的数字和能够估读出来的数字。
在测量中，有一些仪器读数是需要估读的，如米尺、螺旋测微计、指针式电表等等。
估读时，首先根据最小分格大小、指针的粗细等具体情况确定把最小分格分成几分来估读，通常读到格值的1/10，1/5或1/2。
4、有效位数的认定（1）数字中无零的情况和数字间有零的情况：全部给出的数均为有效数。
如：56.14mm ，50.007mm 有效位数分别为四位、五位。
（2）对于小数末尾的零：有小数点时，小数点后面的零全部为有效数字。
如：50.140mm ，2.204500的有效位数分别为五位、七位。
（3）对于第一位非零数字左边的零：第一位非零数字左边的零称为无效位零。
如：0.05mm ，0.00155m 有效位数分别为一位、三位。
（4）科学计数法：计量单位的不同选择可改变量值的数值，但决不应改变数值的有效位。
因此，在变换单位时，为了正确表达出有效位数，实验中常采用科学计数法（10的幂次方）。
如：km 1030.4m 1030.4m 1030.4cm 30.4542--⨯=μ⨯=⨯=注：大单位转换小单位或小单位转换大单位时，原数的有效位不变。
四、有效数字的运算规则0．数值的舍入修约规则（1）确定需要保留的有效数字和位数。
（2）舍入后面多余的数字。
原则－“四舍六入五凑偶”。
如→ 2.7173→7.691→3.142 → 4.510注：测量结果的不确定度的有效数字，“只进不舍”。
如某测量不确定度的计算结果为0.32，结果表示中取0.4（结果表示式中的不确定度取1位有效数）。
1．加减法运算和差运算的结果，其小数点以后的位数和参与运算各量中小数点位数最少的相同。
如：（354.4） （514）2．乘除法运算乘除运算结果的有效位数一般和参与乘除运算各量中有效位最少者的位数相同。
如683125854251029.8341.0243203=÷⨯=⨯注：（1）乘法：若两因子的最高位的积大于或等于10，其结果就要多保留一位有效数字。
如：9.35962.4323.8＝⨯ （2）除法：若被除数有效数字的位数小于（等于）除数的有效数字位数，并且它的最高位的数小于除数的最高位的数，其结果的有效数字位数应比被除数少1位。
如53.0136712＝÷ 在以上四则运算中，确定计算结果的有效数取位的原则,概括为：可靠数与可靠数运算的结果仍为可靠数；可靠数与可疑数运算的结果为可疑数；可疑数与可疑数运算的结果仍为可疑数。
运算进位的数字是可靠数字。
3．乘方、开方运算此类运算规则和乘法运算法则相同。
如：114.18256.42＝）（ 37.739.542/1＝）（4．三角函数、对数、指数运算（1）对数函数：对数运算结果的有效数字，其小数点后面部分的位数与真数的位数相同。
如：33753.17.56lg = 若真数的第一位数大于5，运算结果的有效数字可以多取1位。
如：438312.078.6lg = （2）指数函数：指数运算结果的有效数字位数与指数的小数点后的位数相同（包括小数点后的0）。
如：177827925.6==x x e，由于6.25的小数点后只有2位，则625.6108.1⨯==x x e， 而当x=0.0000924，小数点后有7位，则000092.10000924.0==x xe 。
对于x 10的有效数字取法与x e 的取法相同。
（3）三角函数：三角函数运算结果的有效位数通常是由角度的有效位数决定的。
通过改变角度值的末位的1个单位，由函数值的变化来决定三角函数值的有效数字取位。
如：3918581.058.35sin =，而8109581.059.35sin = ，两结果在小数点后第四位产生差别，即5818.058.35sin =5．非测量常量的有效位数是无限的（1）自然数是准确的，运算中不考虑它们的位数（或者说有效位数无限）。
（2）运算中无理常数（如，e ，2等）的位数：* 若是手工计算，此类常数有效位比参加运算的各分量中有效位最少者多取一位。
* 若是计算器，可以直接利用计算器相应的“键”。
五、 测量误差的基本概念测量的目的是为了得到测量结果，但在许多场合下仅给出测量结果往往还不充分。
任何测量都存在缺陷，所有的测量结果都会或多或少地偏离被测量的真值，因此在给出测量结果的同时，还必须同时指出所给测量结果的可靠程度。
在各种测量领域，经常采用诸如测量误差、测量准确度和测量不确定度等术语来表示测量结果质量的好坏。
附：真值，是指在一定条件下，任何物理量的大小都是客观存在的，不以人的意志为转移的客观量值。
1．测量误差的定义测量误差常常简称为误差（）：测量值（x）减去被测量的真值（a）。
注：(1)由于真值不能确定，实际上用的是约定真值。
严格意义上的误差也无法得到，因而得到的只是误差的估计值。
（2）误差只有通过测量才能得到。
通过误差分析所得到的测量结果的所谓“误差”，实际上并不是真正的误差，而是被测量不能确定的范围。
测量误差的大小反映了测量结果的准确程度。
测量误差可以用绝对误差、相对误差、百分误差表示。
绝对误差＝测量量值－真值附：最佳值，是指测量结果中的报告值。
如直接多次测量中的平均值。
2．系统误差和随机误差误差可以分为系统误差和随机误差两类。
系统误差：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。
计量师计算方法：（系统误差=误差=测量值-标称值）有点晕？？？？注：（1）由于真值不确定，则能确定的只是系统误差估计值。
（2）对测量仪器而言，其系统误差也称为测量仪器的偏差。
（3）在重复性条件下得到的不同测量结果应该具有相同的系统误差。
（4）系统误差可以通过对测量结果进行修正而消除。
随机误差：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。
注：（1）随机误差等于误差减去系统误差。
测量结果为无限多次测量结果的平均值，根据随机误差的性质（对称性、抵偿性）可知，随机误差为零。
只存在系统误差。
实际测量只能进行有限次数，测量结果中随机误差和系统误差分量都存在。
在重复性条件下得到的不同测量结果具有不同的随机误差，但有相同的系统误差。
根据定义，误差、系统误差和随机误差均表示两个量值之差，因此随机误差和系统误差也都应该具有确定的符号，同样也不应当以“±”号的形式出现。
由于随机误差和系统误差都是对应于无限多次测量的理想概念，而实际上无法进行无限多次测量，只能用有限次测量的结果作为无限多次测量结果的估计值，因此可以确定的只是随机误差和系统误差的估计值。
附：随机误差的性质，单峰性、对称性、有界性、抵偿性。
3．随机误差的处理根据随机误差的分布特征，可知：（1）在多次测量时，正负随机误差常可以大致相消，因而用多次测量的算术平均值表示测量结果可以减少随机误差的影响；（2）测量值的分散程度直接体现随机误差的大小，测量值越分散，测量的随机误差就越大，因此必须对测量的随机误差做出估计才能表示出测量的精密度。
对随机误差估计的方法有多种，科学实验中，常用标准偏差来估计测量的随机误差。
▲ 残差、偏差和误差设a 为被测量真值，m 为总体平均值（无限多次测量结果的平均值），x 为测量平均值（有限次测量的平均值），i x 为单次测量值。
① 残差i x ∆：单次测量值i x 与测量平均值x 之差。
x x x i i -=∆② 偏差mi x ∆：单次测量值i x 与总体平均值m 之差。
m x x i mi -=∆③ 误差ε：单次测量值i x 与真值a 之差。
a x x i i -=∆0▲ σ、x S 和x S① （总体标准偏差）： nm x n i i n ∑=∞→-12)(lim ＝σ 注：σ不是测量值中任何一个具体测量值的随机误差；的大小只说明，在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况； ② x S （单次测量值的标准偏差，有限次测量时）：贝塞尔公式 1)(12--∑=n x x S n i ix ＝注：x S 是从有限次测量中计算出来的对总体标准偏差的最佳估计值，称为实验标准误差。
③ x S （算术平均值的标准误差）：)1()(12--∑=n n x x S n i i x ＝＝n S x注：● 算术平均值的标准偏差，表征同一被测量量的各个测量列算术平均值分散度，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。
● 算术平均值对单次测量的随机误差有一定的抵消，因而更接近真值，它们的随机误差分布离散就会小得多。
附：多次测量的最佳值为算术平均值设在一组测量值中，n 次测量的值分别为：x 1、x 2、x 3、…、x n ，由统计原理可知，其真值的最佳值x 0是能使各次测量值与该值之差的平方和为最小的那个值。
