GeoGebra软件在高中数学教学中的应用举例

geogebra在高中数学教学中的应用随着信息技术的飞速发展，多媒体教育也得到了全面的发展，在教学过程中，很多教学辅助工具得到了广泛的应用，其中地质几何软件GeoGebra是一种教学利器，它在高中数学教学中应用广泛。

本文将会介绍如何利用GeoGebra进行高中数学的教学。

第一步，打开GeoGebra软件。

可以在计算机上搜索下载GeoGebra软件，安装之后双击运行该软件。

软件主界面包括菜单、工具栏、代数窗口、几何窗口等。

在学习使用GeoGebra软件之前，有几个基本的概念需要了解，包括点、直线、圆等。

第二步，绘制图形。

利用GeoGebra软件可以完成一个三维几何模型的图形绘制。

比如，对于平面内的圆、三角形等几何图形，可以使用“圆形工具”、“三角形工具”等进行绘制。

工具栏中还包括角度测量工具、移动工具、旋转工具等，可以方便地进行变形等操作。

第三步，建立动态计算信息。

GeoGebra软件具有建立动态计算的功能，可以通过设置数学公式、函数、条件语句等，实现图形的自动化运算和动态教学。

在工具栏中可以找到建立动态计算信息的工具，比如，方程工具、函数工具、序列工具等。

第四步，建立动态演示和实验探究。

根据不同的数学知识点，可以建立动态演示和实验探究，通过演示和实验探究让学生更好地理解数学概念和方法。

比如，可以建立三角函数图形的动态演示和实验探究，或者建立平面几何的相关性质等。

第五步，开展互动式教学。

GeoGebra软件支持多种教学模式，其中互动式教学模式是比较常用的一种。

利用互动式教学模式，教师可以引导学生进行探究性学习，在学习过程中，学生可以像游戏一样交互式地操作和探索图形，实现学习效果的最大化。

总之，GeoGebra软件在高中数学教学中具有极大的应用价值，可以丰富和提升数学教学，增强学生的数学学习兴趣和动机，同时，GeoGebra软件的使用也需在教学实践中不断拓展和丰富。

㊀㊀㊀㊀㊀㊀基于ＧｅｏＧｅｂｒａ平台在数学教学中渗透数学核心素养基于ＧｅｏＧｅｂｒａ平台在数学教学中渗透数学核心素养㊀㊀㊀ 以高中函数主线的教学设计为例Һ张科研㊀（吉林师范大学，吉林㊀四平㊀１３６０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学学习是培养学生核心素养的有效途径．在高中函数主线（主要包含函数以及数列）的教学中融合信息技术（运用ＧｅｏＧｅｂｒａ）展开教学，有利于激发高中生的学习兴趣，优化他们的知识结构，培养他们的创新能力，进一步发展学生的核心素养．ʌ关键词ɔ核心素养；高中函数；教学设计；ＧｅｏＧｅｂｒａ‘普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）“指出：注重信息技术与数学课程的深度融合，提高教学的实效性．［１］运用ＧｅｏＧｅｂｒａ辅助高中函数教学有利于培养学生的核心素养．笔者结合ＧｅｏＧｅｂｒａ软件研究如何在高中函数教学中渗透核心素养．一㊁ＧｅｏＧｅｂｒａ软件平台ＧｅｏＧｅｂｒａ即代数与几何，顾名思义，其具有同时处理代数运算和几何作图的能力．ＧｅｏＧｅｂｒａ最早是由一位年青的奥地利数学家设计的一款开放源代码的动态几何软件．此软件平台可以帮助学生走进以模型为中心的数学学习．某种程度上，我们可以认为ＧｅｏＧｅｂｒａ是认知工具，是数学变革的工具．ＧｅｏＧｅｂｒａ平台的特点如下：（１）操作简单，简单易学；（２）数形结合，同步变化；（３）功能强大，快速展示；（４）交流方便，师生共学；（５）源码开放，资源共享．二㊁函数的地位与作用自变量数学产生以来，函数一直处于教学的核心地位，德国数学家克莱茵称函数为数学的灵魂．［２］实际上，在初中阶段学生已经初步研究了函数概念㊁函数表示法和函数图像的绘制．升入高中，学生再次走近函数，从新的角度 重塑 函数概念，就是利用集合与对应的思想来深入理解函数的定义．这符合知识发展的螺旋上升和严谨性原则，有利于加深学生对函数概念的理解．函数是整个高中数学的核心内容．研究函数的本质有利于学生实现从整体㊁动态㊁具体的多角度来把握函数．三㊁基于ＧｅｏＧｅｂｒａ平台在高中函数教学中渗透核心素养时代在不断发展，科技在不断进步，要求我们必须将信息技术与数学课堂教学进行整合，以信息化带动教育现代化，发挥信息技术的优势，优化课堂教学，培养学生的核心素养．随着教育信息化２．０行动计划的推进，数学课堂教学深度融合软件ＧｅｏＧｅｂｒａ发展，信息技术又一次成为研究和认识函数的强有力工具．ＧｅｏＧｅｂｒａ是计算工具，是教学工具，是认知工具，是数学教学变革工具．［３］我们不难发现，软件ＧｅｏＧｅｂｒａ可以为学生营造出一种多元的数学情境．在这样的智能交互平台上，学生可以打破传统函数学习的界限，从抽象到具体，从静态到动态，从有限到无限，从局部到整体等，多方面㊁全方位地观察对象．这样做的目的是促进学生对知识定义的理解，掌握概念的本质属性，最终让学生真正获得函数本质．基于高中生的认知水平，教师可提前布置任务：小组自行组织，然后小组合作，收集有关计算机软件ＧｅｏＧｅｂｒａ的资料，并学习一些简单的操作．在实际教学中，教师可以尝试让学生参与问题的探究实验，亲身感受问题解决的过程．在这个过程中，学生良好的创新精神能够得到培养，从而促进核心素养的形成．（一）在函数概念的教学设计中渗透１．辅助情境教学，发散学生的思维，渗透核心素养在具体的情境教学中运用ＧｅｏＧｅｂｒａ平台，如图１所示．图１２．辅助概念完善，发展学生的抽象思维，渗透核心素养运用ＧｅｏＧｅｂｒａ绘制函数图像，强化学生对概念的理解．具体操作如下：（１）首先找到按钮 视图 ，然后右键下拉菜单中找到 指令栏 ，打开绘图区和代数区．输入ｙ＝－ａｘ３＋８ｘ２＋４ｘ－１后通过滑杆参数工具创建一个动态参数ａ（－５ɤａɤ５），绘制出函数图像，并且在ｘ轴上任取一点Ａ，画出当ｘ＝ｂ时，对应函数图像上的点Ｂ；（２）再过点Ｂ向ｙ轴作垂线，垂足为点Ｃ，鼠标左击点Ａ并在ｘ轴上左右拖动，此时点Ｃ在ｙ轴上显示的踪迹就是对应函数图像上点Ｂ在ｙ轴上的投影，可观察到函数的自变量变化以及对应的函数值的变化．如图２所示．图２㊀㊀㊀㊀㊀我们可以利用滑杆参数工具ａ的改变再次体会函数概念，让学生更加清晰地认识到：（１）函数的定义域就是Ａ所构成的集合，值域就是Ｃ所构成的集合；（２）当定义域发生变化时，值域也随之发生变化，即每一个ｘ都对应着唯一确定的函数值．教师使用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件将函数概念的抽象性以动态㊁直观的方式展现出来，可以让小组同学动手尝试设置函数进行操作演练，提升核心素养．３．辅助概念辨析，发展学生的批判思维，渗透核心素养对于习题：深刻理解函数相等的含义，并判断下列哪个函数与函数ｙ＝ｘ相等．ｆ＝ｘ２；ｆ（ｘ）＝（ｘ）２；ｕ＝３ｖ３；ｍ＝ｎ２ｎ．运用ＧｅｏＧｅｂｒａ绘制函数图像并求函数值，具体操作如下：首先找到按钮 视图 ，然后右键下拉菜单中找到 指令栏 ，打开绘图区和代数区，在指令栏中输入函数表达式即可．要求：（１）学生可以自主完成，对于比较简单的函数，如ｙ＝ｘ，直接输入 ｆ（ｘ）＝ｘ ，然后按回车键，即可绘制出函数图像（如图３）；图３（２）对于比较复杂的函数，如ｆ（ｘ）＝ｘ２，我们要借助内置的基本函数 算术平方根函数，即 ｓｑｒｔ（ｘ） ，可以直接输入 ｆ（ｘ）＝ｓｑｒｔ（ｘ２） ，然后按回车键，即可绘制出函数图像（如图４）；（３）对于可以复合的函数，我们可以进行如下操作：首先在指令栏输入两个函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ），然后在指令栏中再输入ｈ（ｘ）＝ｇ（ｆ（ｘ）），就可以得到对应的函数图像．比如，ｆ（ｘ）＝ｘ，ｇ（ｘ）＝ｘ２，然后在指令栏中再输入ｈ（ｘ）＝ｇ（ｆ（ｘ）），就可以得到ｆ（ｘ）＝（ｘ）２．分析两个函数是否相等，始终要坚持 一个中心㊁两个基本点 ，这里 对应关系 为中心， 定义域和值域 为基本点．让学生明确：对于函数ｙ＝ｆ（ｘ），∀ｘɪＡ，函数ｕ＝ｇ（ｖ），∀ｖɪＣ，只有Ａ＝Ｃ，∀ｘ０ɪＡ，都有ｆ（ｘ０）＝ｇ（ｘ０）成立，我们才可以说这两个函数是相等的．（二）在函数单调性的教学设计中渗透函数单调性反映函数的 局部性质 ．通过引入必要的数学符号语言使定性刻画上升到定量刻画，能够实现变化规律的精确化表达．这样一种从形象直观到定性刻画再到抽象的符号语言刻画的研究过程，以及通过引入数学符号㊁借助代数语言精确定量地刻画变化规律的方法，体现了数学抽象的一般过程，对于培养学生的思维能力甚至核心素养都具有重要意义．运用ＧｅｏＧｅｂｒａ绘制函数图像，可以感受函数的性质 单调性，如图４所示．图４（三）在幂函数概念的教学设计中渗透以一些简单的实际问题中涉及的函数为背景，让学生理解一类具体函数（幂函数）的研究内容和方法．在研究过程中融合信息技术，运用软件ＧｅｏＧｅｂｒａ辅助学生进一步体会如何在一般函数的概念及基本性质的指导下展开研究．１．运用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件绘制五种常见的幂函数ＧｅｏＧｅｂｒａ软件功能强大，能实现数形的完美转换．通过软件ＧｅｏＧｅｂｒａ，学生不难发现五个函数的特点，并能发现它们的共性特征．２．运用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件深度拓展探究幂函数比如，先制作一个动态滑杆ａ，范围是［０，５］，然后在指令栏中输入，按下回车键，就可以绘制幂函数图像，如图５所示．图５（四）在指数函数㊁对数函数图像和性质的教学设计中渗透１．在研究指数函数的性质时，为了帮助学生清楚理解底数对指数函数性质的影响，在同一直角坐标系下分别获得多个函数，总结归纳出一般情况下指数函数的特征．任务：可以尝试让学生自行操作，通过改变底数，观察指数函数图像中的变 与 不变 ．先制作一个动态滑杆ａ，范围是［０．００１，５］（ａʂ１），然后在指令栏中输入，按下回车键，就可以绘制出指数函数图像，如图６所示．图６㊀㊀㊀㊀㊀㊀２．类比指数函数，在研究对数函数的性质时，为了帮助学生理解底数对对数函数性质的影响，在同一直角坐标系下分别获得多个函数，总结归纳出一般特征．任务：尝试让学生自行操作，通过改变底数，观察对数函数图像中的 变 与 不变 ．先制作一个动态滑杆ａ，范围是［０．００２，５］（ａʂ１），然后在指令栏中输入，按下回车键，就可以绘制出对数函数图像，如图７所示．图７（五）在正弦㊁余弦函数图像的教学设计中渗透新课程改革以后，三角函数出现在现有高中必修教材中，体现了函数家族的 庞大 ．正弦㊁余弦函数图像依旧是教学的重点和难点．正弦㊁余弦函数的图像如图８所示．图８（六）在数列通项公式的教学设计中渗透数列是一种特殊的函数．把数列的学习与研究置于函数的大背景下，不仅可以利用函数的视角㊁思想方法来探究数列㊁促进对数列知识的理解和学习，而且能深化对函数的认识．在教学中，要让学生体验用不同的方法表示具体数列，巩固对通项公式的理解．依托信息技术软件ＧｅｏＧｅｂｒａ，学生尝试体验㊁交流㊁分享，进而对数列产生浓厚的兴趣，这样学生就自然而然地理解为什么数列是 特殊 的函数．例１㊀根据下面数列的通项公式，写出数列的前５项，并画出它们的图像．（１）ａｎ＝ｎ２＋ｎ２；（２）ａｎ＝ｃｏｓ（ｎ－１）π２．引导学生运用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件深入了解数列，并学会把握数列与函数的联系．题（２）的图像如图９所示．图９四㊁结㊀语核心素养的培育绝非一朝一夕就能完成的，一线教育工作者需在教学活动中潜移默化地渗透．具体应该做到以下几点：１．研读课程标准，把握函数思想的 高度 和 深度 我国数学教育家刘亦衍曾说过 数学教育的核心问题是树立函数观念 ．［３］研读课程标准，感悟函数思想的 高度 和 深度 ，才能高屋建瓴地从整体上把握教材，在教学中渗透核心素养．２．融合信息技术，把握数学思维的 宽度 和 广度现代信息技术支持下的高中课程整合（如计算机软件ＧｅｏＧｅｂｒａ的运用），有利于学生发展数学创新素养．反过来，学生数学创新素养的发展㊁核心素养的提升，有利于信息技术的迭代更新，进而促进数学教育乃至人类的长久发展．在社会不断发展的今天，高中生对现代信息技术有了一定了解，为信息技术与数学课程融合奠定了坚实的基础．随着信息技术的发展，从传统数学教学环境到动态数学教学环境的转变，能为学生的探究活动提供更大的空间，为学生的发展注入活力．互联网＋数学教育 将 抽象数学 变得 生动美丽 ，有益于激发高中生的学习热情，优化他们的科学知识体系，提高他们的创新精神，从而进一步发展学生的核心素养．ʌ参考文献ɔ［１］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准：２０１７年版２０２０年修订［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０２０．［２］梁宗巨，王青建，孙宏安．世界数学通史［Ｍ］．沈阳：辽宁教育出版社，２００５．［３］王贵军．ＧｅｏＧｅｂｒａ与数学实验［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２０１７．［４］李春兰．刘亦珩的数学教育思想［Ｊ］．数学通报，２０１２（９）：７－１１，２６．。

geogebra与数学教学融合案例
1. 三角函数的教学：使用Geogebra可以帮助学生更直观地理解三角函数的概念和性质。

教师可以使用Geogebra创建一个三角函数的图形，让学生观察和分析。

通过调整角度和比例，学生可以观察到不同角度下正弦、余弦和正切的变化规律。

这样不仅可以帮助学生理解三角函数的定义，还可以帮助他们掌握三角函数的图像特征和性质。

2. 几何图形的教学：使用Geogebra可以帮助学生更好地理解和掌握几何图形的性质和变换。

教师可以使用Geogebra创建几何图形模型，学生可以通过拖动和变换来观察和探索几何图形的性质。

比如，教师可以创建一个正方形的模型，让学生观察当正方形的边长变化时，正方形的面积和周长的变化规律。

这样不仅可以帮助学生理解几何图形的定义和性质，还可以帮助他们通过实际操作来探索和发现几何问题。

3. 数据分析的教学：使用Geogebra可以帮助学生更好地分析和处理数据。

教师可以使用Geogebra创建一个统计图表，将一组数据可视化展示出来。

学生可以观察数据的分布和趋势，并进行相关的数据分析。

比如，教师可以创建一个柱状图，将学生们的身高数据展示出来，学生可以通过比较不同柱子的高度来观察学生们身高的分布情况。

这样不仅可以帮助学生理解统计学的基本概念，还可以帮助他们更好地分析和解读数据。

GeoGebra软件在高中数学教学中的应用举例作者：张志勇来源：《福建中学数学》2014年第04期科学技术的迅猛发展，正对我们的社会交往、沟通交流、信息获取等产生着重大而深远的影响，也为现代教育注入了新的生机和活力，深刻影响着现代教育的方式、理念等等.自然地，顺应时代潮流，应用技术推动学生的数学学习，正成为每一个数学教育工作者的重要课题.“工欲善其事，必先利其器”，GeoGebra作为一款融几何、代数和微积分等于一体的动态数学学科软件，能够深入数学学科内部，展现数学对象间严格的数量关系和几何关系、运动与变化中的数学规律，帮助学生认识数学的本质、推动学生的数学思维往更高层次发展.1 GeoGebra特性简介GeoGebra是由美国佛罗里达州亚特兰大大学数学系教授 Markus Hohenwarter设计的动态数学教育软件，其名称由“Geo”+“Gebra”而来，这就暗示它同时兼具几何（Geometry）与代数（Algebra，也包括微积分）两大功能.实际上Geogebra是一个结合了几何、代数、微积分、数据表、图形、统计和计算的动态数学软件，GeoGebra 5.0的工作界面如下图所示，包括菜单栏、工具栏、代数区（类似于超级画板）、主绘图区（类似于几何画板）和输入框，此外还有运算区、3D绘图区、工作表（类似于Excel）、副绘图区等.GeoGebra的界面可以定制，点击菜单栏【查看】可以选择不同的工作表，并可以任意拖动位置；点击【选项】则可以进行字号、语言选择.GeoGebra 是一个动态几何软件，可以实现几何画板的一切功能，点、线、多边形、圆锥曲线和函数图形在绘图区利用菜单命令即可轻松实现，相比较几何画板而言，GeoGebra 提供有作切线、极线（或径线）、回归直线等命令，为解析几何的研究带来了极大的便利；与此同时GeoGebra 具有强大的代数功能，在其左边的代数区显示有每一个图元的具体信息（坐标、方程等），当在右侧的作图区拖动某个点或图形时，可以实时地看到左边的坐标或方程的变化，反之改变坐标或方程则点或图形也会同步变化，这使得GeoGebra对图形的研究更加精细和科学化.更为重要的是， GeoGebra 支持命令输入，我们可以直接在命令框里输入方程式、点坐标或其它命令来实现图形的更改与计算功能，进行各种代数运算，如向量的运算、求函数的微分积分、计算图形的面积周长、求方程的根、计算函数的极大极小值，等等.所以说，GeoGebra的基本优势是兼具几何与代数两大功能，将数形结合的要求体现的淋漓尽致.下面我们将通过具体案例来感受GeoGebra的优势和特性.2 基于GeoGebra的数学应用案例案例1 绘制分段函数的图象案例2 创设导数应用的学习情境我们知道，导数的应用中最重要的是利用导数判断原函数的单调性，因此技术支持学习的重点不在简单地绘制应导函数的图象，而在于创设学习情境帮助学生建立原函数极值点与导函数零点的对应关系.在GeoGebra中，我们只需要在命令输入框输入两次命令“Roots[g，x （Corner[1]），x（Corner[2]）]”、“Extremum[f，x（Corner[1]），x（Corner[2]）]”便可实现（如图2）.当然要记住GeoGebra所提供的丰富的命令并非易事，但GeoGebra软件有自动补齐功能，在命令框中只要输入命令的前两个字符，GeoGebra 会显示最相近的命令（类似于输入法的联想功），这样即使忘记相关命令也不影响我们的使用，何况还可通过指令说明进行查询.点评 Geogebra处理解析几何问题非常方便，绘制椭圆只需直接在命令输入区输入方程便可绘制出相应图象，而且提供有功能强大的计算工具，如本例中的数量积计算便是一例.实验探究以上三个案例仅是GeoGebra强大功能的“冰山一角”，更多的应用则需我们不断地探索和琢磨.3 GeoGebra的教育价值认识3.1 多元表征，推进数形结合数形结合是中学重要的思想方法和解题利器，正如华罗庚所说，“数缺形时少知觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事非.”通常所见的数学软件仅有形的动态变化，而无对应方程与坐标的变化显示，这对于数学探究过程中培养学生的思维能力和智力品质显然是不够的.GeoGebra做到了图形与代数方程的同步变化，真正的动态演示可以帮助学生认识和把握数学问题的实质及其相互关系，从而真正领会数学的精神、思想方法，即有效促进学生的数学理解.3.2 多域联动，实现课程融合文[3]指出，教育技术研究要深入学科，只有应用为特定的学科量身定做的学科教学软件才能真正展现信息技术的效果，而一个优秀的数学教学软件首先应该功能齐全实现交叉集成.GeoGebra功能强大，集几何作图、代数运算和数据处理于一体，其代数区、绘图区、电子表格、第二绘图区、CAS区等区域相互关联，可避免往常出现的多个软件相互切换的不便，其应用覆盖了整个数学教学领域.3.3 操作简易，生成无限精彩3.4 开源合作，支持个性学习GeoGebra进课堂，可以使数学的推理演绎过程可视化，保证了学生可以“看他们以往只能‘想象’的数学，‘做’他们以往不能做的数学”.更为重要的是，GeoGebra不只是教师演示软件，更是学生的学习软件；一方面GeoGebra作为免费软件可以资源共享，另一方面基于Java程序研发方便远程交流和网上学习，而未来触控版GeoGebra在平板电脑、智能手机等其他手持终端上的应用，将开启数学移动学习的新篇章.总而言之，GeoGebra的应用让技术推动学习从应然走向必然，但是有了现代教学手段并不等于就拥有了现代化教育，发挥教育技术在数学教学中的优势，构建交互式、多样化的学习环境，需要我们不断地挖掘和开发课程资源，用“火热的思考”融化“冰冷的美丽”，因为教育技术本身只是工具，好的教学设想才是灵魂.参考文献[1]曹一鸣，郭衍.数学教学新帮手——动态数学软件GeoGebra.中学数学教学参考.2011（12）：5-7[2]杨一奋.例析几何画板支持下数学命题的研究及推广.中国数学教育，2011（6）：45-47[3]张景中，葛强，彭翕成.教育技术研究要深入学科.电化教育研究，2010（2）：8-13[4]左晓明，田艳丽，贠超.基于GeoGebra的数学教学全过程优化研究.数学教育学报，2010（2）：99-102。

高中物理模型建构教学中geogebra软件的应
用举例
利用geogebra软件建构高中物理数学模型是现在教学中应用比较广泛的方式，它能够帮助学生更直观地掌握物理公式，加深印象，提高学习效率。

下面就以抛体运动模型的建构为例来讲解如何在教学中使用geogebra来辅助模型的建构：
1、首先选择geogebra3D工具，然后建立一个空间坐标系，并在空间坐标系的原点上新建一个球形物体，作为抛体；
2、在空间坐标系内设定一条可以调节的射线，作为抛体施加的初始速度，将这个射线设定为抛体施加初始速度的方向；
3、在坐标系内设定一个引力，并把抛体作为它的受力物体，并让引力施加在抛体上；
4、然后运行程序，观察运动状态，并可以在画面中标注出抛体的运动轨迹；
5、最后，观察抛体的运动轨迹，用物理公式计算出运动轨迹的参数和速度变化的规律，而geogebra的辅助下，使学生对运动轨迹及其变化有更直观的理解。

综上所述，geogebra是一款强大的软件，它可以帮助学生在物理模型的建构中，更快更准确地理解物理公式。

同时，它也可以让学生更直观地观察模型的运动规律，加深对物理现象的理解。

因此，在高中物理模型建构教学中，geogebra软件应用是必不可少的手段。

geogebra在高中数学实验的运用
Geogebra是一个免费的数学软件，它将几何、代数、统计和计算思
维功能结合在一起，是一个用于学习和探索数学概念和关系的强大工具。

在高中数学实验中，Geogebra被广泛使用。

以下是Geogebra在高中数学
实验中的一些应用场景：
1. 平面几何：Geogebra可以用来绘制图形、计算面积、周长和角度，以及通过探索三角形、四边形等几何图形的性质来帮助学生加深对几何关
系的理解。

2. 代数运算：通过Geogebra进行代数方程式的图形化演示，学生可
以更好地理解代数方程的含义。

3. 三角函数：Geogebra可以绘制三角函数的图像，帮助学生了解正弦、余弦和正切函数的特性。

4. 统计学：借助Geogebra的统计模块，学生可以绘制各种图表（如
直方图和散点图），并计算出样本平均值和标准差，增加对统计学的理解。

总的来说，Geogebra是一个非常有用的工具，在高中数学实验中广
泛应用。

使用Geogebra，学生可以更加深入地了解数学概念和关系，并
且能够更好地探索和发现数学的本质。

一、概述近年来，随着数学教学方法的不断创新和信息化技术的快速发展，越来越多的教师开始尝试利用各种软件工具来辅助教学。

其中，geogebra软件作为一款集几何、代数、统计和微积分于一体的数学工具，受到了广大教师和学生的青睐。

本文将探讨geogebra软件在高中数学教学中的应用，旨在探讨如何利用这一工具提升数学教学的效果。

二、geogebra软件简介1. geogebra软件是一款免费的数学软件，由奥地利数学教育家Markus Hohenwarter于2001年开发，旨在帮助用户更好地理解数学概念。

2. geogebra软件集合了几何、代数、统计和微积分等多个数学学科的功能，用户可以利用它进行几何构图、方程式探究、数据分析等操作。

3. geogebra软件具有直观的界面和丰富的功能，使其在教学中得到了广泛的应用。

三、geogebra软件在高中数学教学中的应用1. 几何教学在高中数学课程中，几何教学是一个重要的环节。

传统的几何教学往往以板书和讲解的形式进行，学生难以直观地理解几何概念。

而利用geogebra软件，教师可以通过构建几何图形、展示性质和定理等方式，让学生在电脑屏幕上直观地观察和探索几何知识，从而提升他们的学习兴趣和学习效果。

2. 代数教学在代数教学中，geogebra软件也能发挥重要作用。

教师可以利用geogebra软件来演示方程式的图像、变化规律和代数关系，让学生通过观察和实践来理解代数概念。

软件还可以辅助教师进行方程式的解题演示，帮助学生更好地掌握代数解题方法。

3. 统计和概率教学geogebra软件在统计和概率教学中也有着独特的应用。

教师可以利用软件进行数据的可视化展示，让学生通过直观的图表和统计分析来理解概率和统计知识，提升他们的数学思维能力和数据分析能力。

4. 微积分教学在高中数学的高级阶段，微积分教学是一个较为复杂和抽象的内容。

geogebra软件可以帮助教师进行函数图像的绘制、不同微积分概念的可视化展示，使学生更好地理解微积分知识，提高他们解决实际问题的能力。

基于GeoGebra 平台的数学教学案例王伯龙收稿日期：2019-05-25基金项目：宁夏第五届基础教育课题——高中数学教学中培养学生创新思维的实践研究（JXKT-ZS-05-071）.作者简介：王伯龙（1965—），男，中学高级教师，主要从事高中数学解题及课堂教学实践研究.摘要：通过GeoGebra 平台制作统计案例中不同函数模型拟合效果图及残差图等进行比较分析，为学生创设一个乐学的场域，激发学生学习的积极性.关键词：GeoGebra 平台；统计案例；拟合效果；数学教学——以统计案例中的一道试题为例一、GeoGebra 软件的功能GeoGebra 是一款动态教学软件.该软件功能强大、绘图工具齐全、使用简单、交互性强、易操作，同时具备很多其他软件所没有的字母运算、微积分和统计概率等功能.GeoGebra 作为一款集几何画图、代数运算、数据处理和3D 绘图等功能于一体的动态数学学科软件，可以给我们的数学课堂教学带来方便.通过图形与代数的同步变化，使得对图形的研究更加精细和科学化，更好地实现了数与形的融合.GeoGebra 的计算代数系统和指令输入可以提供更为丰富的数学素材，以及更为生动的动态演示过程.例如，可以直接在命令框里输入方程式、点坐标或其他命令来实现图形的更改，也可以实施各种代数运算；代数区、表格区、运算区、3D 绘图区、绘图区等多个模块区域间的相互关联，保证其可视化应用几乎覆盖了高中数学教学的所有领域.二、基于GeoGebra 的统计案例实施例一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关.现收集了7组观测数据列入下表中，试建立y 关于x 的回归方程.温度x /℃产卵数y /个21723112521272429663211535325此题为人教A 版《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2—3）》（以下统称“教材”）第86页例2，此题要求建立y 关于x 的回归方程，实质上包括了三个问题的解决：（1）作出温度和产卵数的散点图，根据散点图观察、猜想它们之间的关系；（2）建立以温度为解释变量，产卵数为预报变量的回归模型，并计算残差，通过残差进行分析；（3）计算R 2，利用其值判断所建立的模型能否很好地刻画温度和产卵数之间的关系，并说明理由.此题对于初学统计知识的高中生来说是有一定的难度的，但是它确实是一道很好的范例.首先，它让学生学会认识数据、分析数据.在统计问题中，分析数据是首要的，明确如何利用已知的数据是非常重要的；其次，此题具有很好的示范作用，我们将建立y 关于x 的回归方程这一问题细分为三个小问题，一步步引导学生解决问题，而不是简单地给出一个问题让学生来分析求解.第一步让学生画散点图；第二步给出两个设置好的变量，引导学生建立回归模型；第三步再去分析各个量之间的关系.这样的模式能让学生··61学会解决类似问题的思想方法，这也是解决实际问题的示范步骤.这样的案例设置在高中教材中，不会让学生感到无所适从.1.教材处理及学生困惑分析对于上述例题，教材的处理是利用收集到的数据作出散点图、观察散点图，借助学生已有的函数知识，建立两种回归模型，分别是指数曲线y=c1e c2x和二次曲线y=c3x2+c4.但是这两种模型都不是直线型，然后通过变量代换，令z=ln y和t=x2，使得指数曲线变为直线z=bx+a()a=ln c1，b=ln c2，重新收集数据，再画出变换后的新数据散点图，用线性回归方程来拟合；二次曲线变为y=c3t+c4，重新收集数据，再画出变换后的新数据散点图，发现散点的分布不在一条直线的周围.因此，要比较这两种不同的模型，需要比较它们的残差，要比较残差，需要建立回归方程.于是又建立了二次回归方程.通过两个回归方程，利用残差的计算公式得到两种模型的残差，通过对残差的粗略比较，得出指数曲线模型比二次曲线模型的拟合效果更好.为了进一步验证得到的结论，又指出用R2来比较两种模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好.再利用残差表算出这两个模型的R2分别约为0.98和0.80.因为0.98>0.80，所以进一步证实了指数曲线模型拟合效果比二次曲线模型拟合效果更好.学生学习中的困惑：教材中一共作了三个散点图，需要进行两次变量代换重新收集数据，特别是将指数模型通过对数代换转化为直线模型，学生不易想到，会问为什么这样做.同时，代换后收集数据，需要对数运算，运算量比较大，加之要作出新数据的散点图，由于出现多位小数，给作图带来不便，也给求线性回归方程带来了很大的计算量；对于二次模型，通过代换后收集到的数据数值比较大，导致学生作散点图既不方便，又不精确.同时也给求回归方程带来很大的计算量.教材在比较两个模型的拟合效果时，是通过分别计算它们的残差和相关系数的平方来实现的，尽管计算残差和R2的思路简单，但是计算量非常大.即使学生用计算器来实施此题的相关计算，也是很浪费时间的，教材用了近四个版面对上述例题进行分析解决，课堂效率较低，且不能较好地激发学生学习的积极性.有没有激发学生学习兴趣的实施方法呢？笔者经过学习研究，发现利用GeoGebra平台进行辅助教学效果极佳.2.GeoGebra平台的教学实施由GeoGebra具有数据统计分析、代数运算、函数画图、命令输入等功能，故我们可以将上述案例借助GeoGebra平台来实施.（1）作散点图.打开GeoGebra界面，在“视图”菜单栏里点击表格区，在界面右侧出现表格区，然后在表格区内输入表1中的对应数据，再用鼠标左键拉灰数据，点击右键弹出对话框，点击对话框中的“创建”“点列”，这样就在绘图区内作出了散点图，如图1所示.图1（2）三个不同函数模型的拟合效果比较.作好散点图后，教师引导学生观察，借助函数知识，让学生猜想、建立回归模型.学生通过观察、思考和交流，发现可以建立三种不同的曲线模型，它们分别是指数函数曲线模型、幂函数曲线模型和二次函数曲线模型.①指数函数曲线模型.在图1的基础上，在输入指令栏里输入“指数”，将会弹出“指数拟合（<点列1>），将<点列1>改为“l1”，击键盘回车键后，在界面的绘图区中绘出指数曲线，同时在代数区内显示函数f()x=0.02e0.27x（在“选项”菜单栏里先点击保留小数点后两位）.同时，··62在输入指令栏里输入“可决系数”将会弹出“指数R 方（<点列1>，<函数>），将“<点列1>，<函数>”改为“l 1，f ()x ”，点击键盘回车键后在界面的代数区内显示a =0.98（即R 2=0.98），如图2所示.图2②幂函数曲线模型.与指数模型的操作类似，只需将①中“指数”，换成“幂函数”，“指数拟合（<点列1>）”改为“幂函数拟合（<点列1>）”，“保留两位小数”改为“保留三个有效数字”，将会在界面的绘图区中绘出幂函数曲线，同时在代数区内显示函数f ()x =0.000000000884x 7.42及a =0.925（即R 2=0.925），如图3所示.图3③二次函数曲线模型.在输入指令栏里输入“多项式”将会弹出“多项式拟合（<点列1>，<多项式次数>），将<点列1>，<多项式次数>改为“l 1，2”，点击键盘回车键后，在界面的绘图区中绘出二次曲线，同时在代数区内显示函数f ()x =2.55x 2-123.06x +1480（在“选项”菜单栏里先点击保留小数点后两位），同时，在输入指令栏里输入“可决系数”将会弹出“多项式R 方（<点列1>，<函数>），将“<点列1>，<函数>”改为“l 1，f ()x ”，点击键盘回车键后，在界面的代数区内显示a =0.96（即R 2=0.96），如图4所示.图4作出三种不同的曲线模型效果图后，教师引导学生观察、分析曲线，通过直观感知，判断三种不同曲线的拟合效果，可以放大图象，做进一步的分析、比较，然后利用它们的R 2值来验证学生的判断.通过观察图象及R 2值的大小比较，我们得出了指数函数模型的拟合效果最好，二次函数模型的拟合效果要比教材中建立的二次函数模型的拟合效果更精细，幂函数模型的拟合效果最差.将三种不同函数的模型建立在同一界面中，更具比较性，如图5所示.图5（3）三种不同函数模型的残差分析.指数模型残差图：在图1的基础上，作出指数函数模型曲线，在输入指令区内输入“残差”，将会弹出“残差图（<点列>，<函数>）”，将其改为“残差图（l 1，f ()x ）”，就可以在绘图区内绘出指数函数模型的残差图，然后，用鼠标选中曲线点击右键弹出对话框，在对话框中点击“显示对象”就隐藏了曲线，这样就作出了如图6所示的残差图.··63图6类似的，我们还可以作出幂函数模型的残差图，（如图7），以及二次函数模型的残差图（如图8）.图7图8教师引导学生观察、比较三个残差图，进行分析研究，通过比较三个不同函数模型的残差图，粗略的发现指数函数模型的残差集中在x 轴周围，即残差的绝对值比较小；幂函数模型的残差在x 轴周围比较分散，即残差的绝对值比较大，故得出指数函数模型的拟合效果最好，幂函数模型的拟合效果最差.3.两种教学设计的效果分析教材的设计，作图、计算等容量很大，学生按照教材的叙述或教师的指令操作，无暇思考.尽管这样，一节课也很难完成任务，更不要说做练习题，整堂课的教学是在教师的主动告知与学生的被动接受下进行的，抑制了学生的数学思维，课堂效率较低.基于GeoGebra 平台的设计，给课堂教学创设了一个生动、逼真的情境，使学生在一个丰富的、可视化的场域中快乐的学习，学生参与、思考、交流的意识强烈.同时，为课堂教学节余了一定的时间，使得学生有自主学习、练习强化的时间，提高了课堂教学的效率.另外，本设计比教材设计多出了一个幂函数模型，能够让学生对更多模型进行对比分析.特别是残差图比教材中计算出来的残差值更具直观性，有利于观察、分析，更重要的是调动了学生学习的积极性.三、结束语在“互联网+”时代，信息技术的应用正在对数学教育产生深远的影响.如何使数学教学适应时代的发展，已经成为相关人士所关注的焦点.在本节课的教学中，运用GeoGebra 平台制作统计中函数模型拟合图象、显示出回归方程及R 2的值和绘制残差图等，不仅创设了教学情境，而且达到了启发学生思维的作用，较好地落实了培养学生数学核心素养的目标.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M ］.北京：人民教育出版社，2018.［2］王贵军.GeoGebra 与数学实验［M ］.北京：清华大学出版社，2017.［3］张志勇.高中数学可视化教学：原则、途径与策略：基于GeoGebra 平台［J ］.数学通报，2018，57（7）：21-24，28.读者可加入地域读者沟通群资源··64。

基于ggb的高中数学课堂教学设计与应用研究随着科技的发展，数字工具在教学中的应用成为了一个热门话题。

GeoGebra (GGB)作为一款免费的数学软件，被广泛运用于中学数学教学中。

它能够帮助学生更好地理解数学概念，提高他们的数学技能和问题解决能力。

本文将探讨基于GGB的高中数学课堂教学设计与应用研究，通过分析实际的教学案例和研究成果，总结出一些有效的教学方法和策略。

一、 GGB在高中数学教学中的应用1.几何学：GGB可以帮助学生观察和探索各种几何图形的性质，比如角度、面积和体积等。

通过动态演示和实时调整参数，学生可以更直观地理解几何概念，提高他们的几何学习效果。

2.代数学：GGB可以帮助学生探索代数式和方程式的解决方法，比如通过图形方法解二元一次方程组。

它还可以用来展示各种函数的图像和性质，帮助学生更好地理解函数的概念和变化规律。

3.统计学：GGB可以用来展示各种统计图表和分布图，比如直方图、饼状图和盒须图等。

通过与实际数据的结合，学生可以更好地理解统计学的概念和方法，提高他们的数据分析能力。

二、 GGB在高中数学课堂教学设计中的应用研究1.案例分析：通过收集和分析实际的教学案例，可以发现GGB在高中数学课堂教学中的一些成功经验和教学策略。

比如通过设计有趣的动态演示和实时调整参数的活动，可以激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性。

2.实地调研：通过实地走访和调研，可以了解教师和学生对GGB的实际应用情况和反馈意见。

比如可以通过问卷调查和访谈的方式，了解他们对GGB的认知程度、使用频率和满意度，从而发现GGB在高中数学课堂教学中的一些问题和挑战。

三、基于GGB的高中数学课堂教学设计与应用策略1.教师角色转变：教师不再是传统的知识传授者，而是更像是学生学习的引导者和合作伙伴。

教师应该善于利用GGB的功能和特点，设计一些有趣的教学活动和作业任务，激发学生的学习兴趣和动手能力。

2.学生学习兴趣：通过设计有趣的动态演示和实时调整参数的活动，可以激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性。