巧作辅助线构造全等三角形求解角度

构造全等三角形的四种技巧在几何学中，全等三角形是一个非常重要的概念。

全等三角形是指两个或两个以上的三角形，它们的形状和大小完全相同。

理解并能够构造全等三角形，对于解决各种几何问题有着至关重要的作用。

以下是构造全等三角形的四种技巧：利用公理：全等三角形的公理是：如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等。

这个公理可以用来构造全等三角形。

确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后根据这些边长画出两个三角形。

这两个三角形的形状和大小将会完全相同。

利用角平分线：角平分线定理指出，一个角的平分线将对应的边分为两段，这两段与角的两边形成的两个小三角形是全等的。

通过这个定理，你可以通过一个角的平分线，构造出一个全等三角形。

利用中垂线：中垂线定理指出，一条中垂线将一个线段分为两段，这两段与线段的两端形成的两个小三角形是全等的。

这个定理可以用来构造全等三角形。

确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后通过中垂线将这些边分为两段。

这样，你就可以得到两个全等的三角形。

利用平行线：平行线定理指出，如果两条平行线被第三条直线所截，那么截得的对应线段成比例。

这个定理可以用来构造全等三角形。

确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后在两条平行线上画出对应的线段。

由于这些线段成比例，因此它们形成的两个小三角形是相似的。

如果这些相似三角形的对应边长度相等，那么它们就是全等的。

以上就是构造全等三角形的四种技巧。

理解和掌握这些技巧，对于解决各种几何问题有着重要的作用。

已知两个三角形全等，则它们对应边上的高也________；对应角平分线也________；对应边上的中线也________。

两个直角三角形全等，除了用定义外，还可以用以下________判定。

已知三角形ABC全等三角形DEF，且AB=18cm，BC=20cm，CA=15cm，则DE=________cm，DF=________cm，EF=________cm.做衣服需要依据身体部位的大小来选择布料，而教学则需要依据学生原有的知识基础来选择教学方法。

初中三角形最常见26种做辅助线做法及思路1、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果不能直接证明结果，可以接连两点或延长一边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，然后利用三边关系定理及不等式性质证明。

（注意：利用三角形三边关系定理及推论证明时，常通过做辅助线，将求证量或与求证相关的量移到同一个或几个三角形中）2、利用三角形外角大于任何与它不相邻的内角证明角的不等关系式，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证明。

3、有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形4、有线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形5、在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形6、截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段补短法：延长较短线段和较长线段相等7、证明两条线段相等的步骤：①观察要证明线段在那两个可能全等的三角形中，然后证明这两个三角形全等；②若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代替，再证明它们所在三角形的全等；③如果没有相等的线段替换，可作辅助线构造全等三角形。

8、在一个图形中，有多组垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等。

9、三角形一边的端点到这边的中线所在的直线的距离相等10、条件不足时延长已知边构造三角形11、连接四边形的对角线。

把四边形问题转化成三角形来解决12、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长，可归纳为“角分垂等腰归”13、当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形。

14、当证题中缺少线段相等条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件。

15、有角平分线时，常过平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证明。

16、有等腰三角形时常用的辅助线：①作顶角的平分线、底边中线、底边高线②有底边中点时，常作底边中线③将腰延长一倍，构造直角三角形解题④常过一腰上的某一已知点做另一腰的平分线⑤常过某一腰上的某一已知点作底边的平行线⑥常将等腰三角形转换成特殊等腰三角形――等边三角形17、有二倍角时常用的辅助线:①构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角②平分二倍角③加倍小角18、有垂直平分线时常把垂直平分线抢的点与线段两端点连接起来19、有垂直时长构造垂直平分线20、有中点时常构造垂直平分线21、当涉及到线段平分的关系时常构造直角三角形，利用勾股定理证题22、条件中出现特殊角时常做高把特殊角放在直角三角形中23、三角形中一个内角平分线与一个外角平分线相交所称的锐角，等于第三个内角的一半24、三角形中的两个内角平分线相交所成的钝角等于90°加上第三个内角的一半25、三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90°减去第三个内角的一半26、从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差的绝对值的一半。

必考点06 添加辅助线构造全等三角形的技巧●题型一添加公共边构造全等三角形【例题1】如图，AB＝AC，BD＝CD．（1）求证：∠B＝∠C（2）若∠A＝2∠B，求证：∠BDC＝4∠C．【例题2】如图，已知CA＝CB，AD＝BD，M，N分别是CB，CA的中点，求证：DN＝DM．【例题3】（2022秋•韩城市月考）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE 相交于点F，且AB＝AD，AC＝AE，连接CD，EB．（1）求证：∠CAD＝∠EAB；（2）试判断CF与EF的数量关系，并说明理由．【解题技巧提炼】当图形中直接证明全等条件不够时，有时可以连接公共边构造全等三角形，再利用全等三角形的判定与性质解决问题.●题型二巧用角平分线构造全等三角形【例题4】如图，AD∥BC，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，过点P的直线垂直于AD，垂足为D，交BC于点C．试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？【例题5】（2021春•酒泉期末）如图所示，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC延长线于点G．求证：BF＝CG．【例题6】感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC．探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC．应用：如图③，四边形ABCD中，∠B＝60°，∠C＝120°，DB＝DC＝a，求AB﹣AC的值（用含a的代数式表示）【解题技巧提炼】当题中出现角平分线的条件或结论时，常向角的两边作垂线段，构造全等三角形，在利用全等三角形的判定和性质解决问题.●题型三“倍长中线法”构造全等三角形【例题7】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D 是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程．（1）求证：△ADC≌△EDB证明：∵延长AD到点E，使DE＝AD在△ADC和△EDB中AD＝ED（已作）∠ADC＝∠EDB（）CD＝BD（中点定义）∴△ADC≌△EDB（）（2）探究得出AD的取值范围是；【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝4，且∠ADE＝90°，求AE的长．【例题8】（2022春•碑林区校级期末）问题提出:（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，连接CD并延长至E，使得DE＝CD，连接EB，根据SAS可证△CDA≌△EDB，从而得到∠A＝∠EBD，进而得到AC∥EB，再由∠ACB＝90°，得到∠EBC＝90°，再根据SAS可证△ABC≌△ECB，从而得到AB与CD之间的数量关系为．问题解决（2）如图②，在△ABC中，过点C作CA'⊥CA，CB'⊥CB，使得CA'＝CA，CB'＝CB，连接A'B'，E为A'B'的中点．连接CE，求证：CE=12AB；【解题技巧提炼】当三角形中有中点或中线时，常倍长中线，构造全等三角形，转换边、角条件，从而将分散的边、角集中在一个图形中，使问题得到解决．●题型四利用“截长补短法”构造全等三角形【例题9】（2021秋•五峰县期中）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法．截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等．这两种方法统称截长补短法．请用这两种方法分别解决下列问题：已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点，求证：AB﹣AC＞PB﹣PC．【例题10】（2021秋•泊头市期中）[阅读]在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系，截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等．[应用]把两个全等的直角三角形的斜边重合，∠CAD＝∠CBD＝90°，组成一个四边形ACBD，以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，证明：AM+BN＝MN；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长CB到点E，使BE＝AM，连接DE，先证明△DAM≌△DBE，再证明△MDN≌△EDN，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程；（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明）（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图③，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系？证明你的结论．【解题技巧提炼】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系，截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等．●题型五利用“一线三等角模型”构造全等三角形【例题11】如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，6），求点A的坐标．【例题12】已知C，D过∠BCA顶点的一条直线，CA＝CB，E，F是直线CD上的两点，且∠BEC＝∠CF A．（1）如图（1），若∠BCA＝90°，∠BEC＝∠CF A＝90°，则BE＝CF（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）如图（2），∠BCA+∠BEC＝180°，则（1）中的结论是否成立？为什么？（3）如图（3），若∠BEC＝∠CF A＝∠BCA，则线段EF，BE，AF之间有何数量关系？说明理由．【解题技巧提炼】“一线三等角”指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形，这个角可以是直角也可以是锐角或钝角，有些时候我们也称之为“M型”“三垂直”等.“一线三等角”----三垂直全等模型辅助线如何构造: 图形中存在“一线二等角”,补上“一等角”构造模型解题.◆◆题型一添加公共边构造全等三角形1．如图：已知AD、BC相交于O，且AB＝CD，AD＝CB．求证：∠B＝∠D．2．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，AD＝BC，则∠A＝∠C，请说明理由；AB与CD相互平行吗？为什么？3．如图，在Rt△ACB和Rt△AED中，已知AB＝AD，∠1＝∠2，求证：EG＝CG．◆◆题型二巧用角平分线构造全等三角形4．已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE，DB＝DA，DM⊥BE于M．（1）求证：AC＝BM+CM；（2）若AC＝10，BC＝6，求CM的长．5．（2021秋•东莞市校级期末）如图，∠B＝90°，∠C＝90°，E为BC中点，DE平分∠ADC．（1）求证：AE平分∠DAB；（2）求证：AE⊥DE；（3）求证：DC+AB＝AD．◆◆题型三“倍长中线法”构造全等三角形6．如图，△ABC中，E，F分别在AB，AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小．7．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，CD＝AB，AE是△ABD的边BD上的中线．求证：AC＝2AE．◆◆题型四利用“截长补短法”构造全等三角形8.（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若EF＝BE+FD．求证：∠EAF=12∠BAD（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，证明你的结论．◆◆题型五利用“一线三等角模型”构造全等三角形9．（2022•南京模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°点D在BC的延长线上，且BD＝AB．过点B 作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．（1）求证：△ABC≌△BDE；（2）请找出线段AB、DE、CD之间的数量关系，并说明理由．10．如图，已知AB⊥BC，AE⊥BE，CD⊥BE，垂足分别为B，E，D，AB＝BC．求证：（1）△ABE≌△BCD；（2）DE＝CD﹣AE．11．在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，且OA＝3．（1）如图①，OB＝5，以A为直角顶点，在第三象限内作等腰Rt△ABC，求点C的坐标．（2）如图②，以y轴负半轴一点P，作等腰直角三角形Rt△APD，其中∠APD＝90°，过点D作DE⊥x 轴于点E，求OP﹣DE的值．1．如图所示，D是四边形AEBC内一点，联结AD，BD，已知CA＝CB，DA＝DB，EA＝EB，请问C，D，E三点在一条直线上吗？为什么？2．如图所示，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，AD＝BC，DE＝BF，且点E、F分别在AD、CB的延长线上．求证：BE＝DF．3．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2＝∠1+∠C．4．（2021秋•惠阳区校级月考）如图①所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N．（1）求证：MN＝AM+BN；（2）如图②，若过点C作直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．5．如图，P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P转动的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，求证：PM＝PN．【拓展1】OM+ON的值是否为定值？请说明理由．【拓展2】四边形PMON的面积是否为定值？请说明理由．6．（2022春•丰城市校级期末）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求证：CD＝2BF+DE．7．（2022秋•如皋市校级月考）已知在平面直角坐标系中A（0，2），P（3，3），且P A⊥PB．（1）如图1，求点B的坐标；（2）如图2，若A点运动到A1位置，B点运动到B1位置，仍保持P A1⊥PB1，求OB1﹣OA1的值．8．（2022春•富平县期末）问题情境：（1）如图1，∠AOB＝90，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，过点P作PN⊥OA于点N，作PM⊥OB于点M，请写出PE与PF的数量关系；变式拓展：（2）如图2，已知OC平分∠AOB，P是OC上一点，过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F，∠MPN＝∠EPF．试解决下列问题：①PE与PF之间的数量关系还成立吗？为什么？②若OP＝2OM，试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由．9.已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将△ABC放在平面直角坐标系中，如图所示．（1）如图1，若A（1，0），B（0，3），求C点坐标；（2）如图2，若A（1，3），B（﹣1，0），求C点坐标；（3）如图3，若B（﹣4，0），C（0，﹣1），求A点坐标．10．（2021秋•铁锋区期末）【问题背景】如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．11．（2022秋•南关区校级月考）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：[模型呈现]如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC ＝，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；[模型应用]如图2，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为．A.50B.62C.65D.68[深入探究]如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF 交于点G．求证：点G是DE的中点；。

人教版北师大初中数学中考几何如何巧妙做辅助线大全人们从来就就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的,当问题的条件不够时,添加辅助线构成新图形,形成新关系,使分散的条件集中,建立已知与未知的桥梁,把问题转化为自己能解决的问题,这就是解决问题常用的策略。

一.添辅助线有二种情况:1按定义添辅助线:如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2按基本图形添辅助线:每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往就是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。

举例如下:(1)平行线就是个基本图形:当几何中出现平行线时添辅助线的关键就是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形就是个简单的基本图形:当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。

出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

(3)等腰三角形中的重要线段就是个重要的基本图形:出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。

出现线段倍半关系且倍线段就是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点就是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

全等三角形常见辅助线作法【例1】.已知：如图6, 4BCE、△ACO分别是以8E、为斜边的直角三角形，且= ACDE是等边三角形.求证：△ A3c是等边三角形.【例2】、如图，已知BC>AB, AD=DCo BD 平分NABC。

求证：ZA+ZC=180°.线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。

1、倍长中线法【例.3］如图，己知在△ABC中，ZC = 90°, ZB = 30°, A。

平分NB4C,交BC于点D.求证：BD = 2CD证明：延长DC到E,使得CE=CD,联结AEZC=90°A AC ± CDVCD=CEAD=AEVZB=30° ZC=90°ZBAC=60°YAD 平分NBACJ ZBAD=30°A DB=DA ZADE=60°VDB=DA：.BD=DE/. BD=2DC4B D笫3题•/ ZADE=60° AD=AEA △ ADE为等边三角形，AD=DE【例4.】如图，。

是AABC的边上的点，且CD = AB, ZADB = ZBAD, AE是AARD的中线。

求证：AC = 2AEo 证明：延长AE至IJ点F,使得EF=AE联结DF在4ABE和4FDE中BE=DEZAEB=ZFEDAE=FE/.△ABE 也AFDE (SAS) A AB=FD ZABE=ZFDE VAB=DCJ FD = DCZADC=ZABD+ZBAD ZADB = ZBAD，ZADC=ZABD+ZBDA VZABE=ZFDE・・・NADONADB+NFDE即ZADC= ZADF ffiAADF 和AADC 中AD=AD< ZADF= ZADC、DF =DC・•・△ ADF也ADC(SAS) AAF=ACAC=2AE【变式练习】、如图，AABC中，BD二DOAC, E是DC的中点，求证：AD平分NBAE.【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法, 倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。

《构造全等三角形常见辅助线法》xx年xx月xx日contents •引言•构造全等三角形基本理论•构造全等三角形常见辅助线法分类•辅助线法的应用实例•结论与展望目录01引言构造全等三角形是几何证明中的重要问题，对于提高学生几何思维能力、解题能力具有重要意义。

在数学竞赛、高考等各类考试中，构造全等三角形的相关题目常常出现，是考察学生几何知识的重要手段。

课题背景与重要性掌握构造全等三角形的常见辅助线方法，帮助学生解决涉及构造全等三角形的几何问题。

通过研究，提高学生构造全等三角形的思维能力，增强解题能力，为数学竞赛、高考等各类考试做好准备。

研究目的与意义研究方法归纳总结法、例题解析法、练习巩固法。

研究内容常见辅助线的作法、全等三角形的性质和判定、练习题解析。

研究方法与内容概述02构造全等三角形基本理论定义两个三角形形状相同，大小相等，称为全等三角形。

记法在全等三角形中，相等的边和角用实线表示，不等的边和角用虚线表示。

全等三角形的定义1全等三角形的性质23如果△ABC≌△DEF，那么△DEF≌△ABC。

传递性如果△ABC≌△DEF，那么△ABC和△DEF关于某条直线对称。

对称性如果△ABC≌△DEF，那么可以把△ABC平移、旋转、翻折得到△DEF。

运动性全等三角形的判定方法SAS（边角边）两边对应相等，且夹角相等的两个三角形全等。

SSS（边边边）三边对应相等的两个三角形全等。

AAS（角角边）两角对应相等，且夹边相等的两个三角形全等。

HL（斜边直角边）直角三角形的一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

ASA（角边角）两角对应相等，且夹边对应的两个三角形全等。

03构造全等三角形常见辅助线法分类总结词引入中点法是一种常见的构造全等三角形的方法，通过连接两个中点，利用中位线定理来构造两个全等三角形。

详细描述在构造全等三角形时，如果能够找到一个中点或能够利用中位线定理的条件，就可以通过连接两个中点构造两个全等三角形。

全等三角形类型一、巧引辅助线构造全等三角形(1)．倍长中线法：1、已知，如图，△ABC 中，D 是BC 中点，DE ⊥DF,试判断BE ＋CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论. FED C B A(答案与解析）BE ＋CF ＞EF ；证明：延长FD 到G ，使DG ＝DF,连结BG 、EG∵D 是BC 中点∴BD ＝CD又∵DE ⊥DF在△EDG 和△EDF 中ED ED EDG EDF DG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EDG ≌△EDF （SAS ）∴EG ＝EF在△FDC 与△GDB 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DG DF BD CD 21∴△FDC ≌△GDB(SAS)∴CF ＝BG∵BG ＋BE ＞EG ∴BE ＋CF ＞EF(点评）因为D 是BC 的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF ，使DG ＝DF,证明△EDG ≌△EDF ，△FDC≌△GDB，这样就把BE、CF与EF线段转化到了△BEG中，利用两边之和大于第三边可证.有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）.举一反三：(变式）已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．(答案）证明：延长CE至F使EF＝CE，连接BF．∵EC为中线，∴AE＝BE．在△AEC与△BEF中，,,,AE BEAEC BEFCE EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC≌△BEF（SAS）．∴AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴AB＝BF．又∵BC为△ADC的中线，∴AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB与△DCB中，,,,BF BDFBC DBCBC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FCB≌△DCB（SAS）．∴CF＝CD．即CD＝2CE．(2)．作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形2、已知：如图所示，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2．求证：AB＝AC＋CD．(答案与解析）证明：在AB上截取AE＝AC．在△AED 与△ACD 中，()12()()AE AC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已作，已知，公用边，∴ △AED ≌△ACD （SAS ）．∴ ∠AED ＝∠C(全等三角形对应边、角相等)．又∵ ∠C ＝2∠B ∴∠AED ＝2∠B ．由图可知：∠AED ＝∠B ＋∠EDB ，∴ 2∠B ＝∠B ＋∠EDB ．∴ ∠B ＝∠EDB ．∴ BE ＝ED ．即BE ＝CD ．∴ AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋CD(等量代换)．(点评）本题图形简单，结论复杂，看似无从下手，结合图形发现AB ＞AC ．故用截长补短法．在AB 上截取AE ＝AC ．这样AB 就变成了AE ＋BE ，而AE ＝AC ．只需证BE ＝CD 即可．从而把AB ＝AC ＋CD 转化为证两线段相等的问题．举一反三：(变式）如图，AD 是ABC ∆的角平分线，H ，G 分别在AC ，AB 上，且HD ＝BD.(1)求证：∠B 与∠AHD 互补；(2)若∠B ＋2∠DGA ＝180°，请探究线段AG 与线段AH 、HD 之间满足的等量关系，并加以证明.(答案）证明：（1）在AB 上取一点M, 使得AM ＝AH, 连接DM.∵ ∠CAD ＝∠BAD, AD ＝AD, ∴ △AHD ≌△AMD. ∴ HD ＝MD, ∠AHD ＝∠AMD.∵ HD ＝DB, ∴ DB ＝ MD. ∴ ∠DMB ＝∠B. ∵ ∠AMD ＋∠DMB ＝180︒,∴ ∠AHD ＋∠B ＝180︒. 即 ∠B 与∠AHD 互补.（2）由（1）∠AHD ＝∠AMD, HD ＝MD, ∠AHD ＋∠B ＝180︒.∵ ∠B ＋2∠DGA ＝180︒,∴ ∠AHD ＝2∠DGA.∴ ∠AMD ＝2∠DGM.∵ ∠AMD ＝∠DGM ＋∠GDM. ∴ 2∠DGM ＝∠DGM ＋∠GDM.∴ ∠DGM ＝∠GDM. ∴ MD ＝MG.∴ HD ＝ MG.∵ AG ＝ AM ＋MG, ∴ AG ＝ AH ＋HD.（3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形：M G H D CB A3、如图所示，已知△ABC 中AB ＞AC ，AD 是∠BAC 的平分线，M 是AD 上任意一点，求证：MB －MC ＜AB －AC ．(答案与解析）证明：因为AB ＞AC ，则在AB 上截取AE ＝AC ，连接ME ．在△MBE 中，MB －ME ＜BE （三角形两边之差小于第三边）．在△AMC 和△AME 中，()()()AC AE CAM EAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所作，角平分线的定义，公共边，∴ △AMC ≌△AME （SAS ）．∴ MC ＝ME （全等三角形的对应边相等）．又∵ BE ＝AB －AE ，∴ BE ＝AB －AC ，∴ MB －MC ＜AB －AC ．(点评）因为AB ＞AC ，所以可在AB 上截取线段AE ＝AC ，这时BE ＝AB －AC ，如果连接EM ，在△BME中，显然有MB －ME ＜BE ．这表明只要证明ME ＝MC ，则结论成立．充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.举一反三：(变式）如图，AD 是△ABC 的角平分线，AB ＞AC,求证：AB －AC ＞BD －DC(答案）证明：在AB 上截取AE ＝AC,连结DE∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD ＝∠CAD⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD CAD BAD AC AE 在△AED 与△ACD 中∴△AED ≌△ADC （SAS ）∴DE ＝DC 在△BED 中，BE ＞BD －DC即AB －AE ＞BD －DC ∴AB －AC ＞BD －DCE DC B A（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.4、如图所示，已知E 为正方形ABCD 的边CD 的中点，点F 在BC 上，且∠DAE＝∠FAE ．求证：AF ＝AD ＋CF ．(答案与解析）证明： 作ME ⊥AF 于M ，连接EF ．∵ 四边形ABCD 为正方形，∴ ∠C ＝∠D ＝∠EMA ＝90°．又∵ ∠DAE ＝∠FAE ，∴ AE 为∠FAD 的平分线，∴ ME ＝DE ．在Rt △AME 与Rt △ADE 中，()()AE AE DE ME =⎧⎨=⎩公用边，已证， ∴ Rt △AME ≌Rt △ADE(HL)．∴ AD ＝AM(全等三角形对应边相等)．又∵ E 为CD 中点，∴ DE ＝EC ．∴ ME ＝EC ．在Rt △EMF 与Rt △ECF 中，()(ME CE EF EF =⎧⎨=⎩已证，公用边)， ∴ Rt △EMF ≌Rt △ECF(HL)．∴ MF ＝FC(全等三角形对应边相等)．由图可知：AF ＝AM ＋MF ，∴ AF ＝AD ＋FC(等量代换)．(点评）与角平分线有关的辅助线： 在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 四边形ABCD 为正方形，则∠D ＝90°．而∠DAE ＝∠FAE 说明AE 为∠FAD 的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而E 到AD 的距离已有，只需作E 到AF 的距离EM 即可，由角平分线性质可知ME ＝DE ．AE ＝AE ．Rt △AME 与Rt △ADE全等有AD ＝AM ．而题中要证AF ＝AD ＋CF ．根据图知AF ＝AM ＋MF ．故只需证MF ＝FC 即可．从而把证AF ＝AD ＋CF 转化为证两条线段相等的问题．5、如图所示，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，且AE 垂直BD 的延长线于E ，12AE BD ，求证：BD 是∠ABC 的平分线． (答案与解析）证明：延长AE 和BC ，交于点F ，∵AC ⊥BC ，BE ⊥AE ，∠ADE=∠BDC （对顶角相等），∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC ．即∠EAD=∠CBD ． 在Rt △ACF 和Rt △BCD 中．所以Rt △ACF ≌Rt △BCD （ASA ）．则AF=BD （全等三角形对应边相等）．∵AE=BD ，∴AE=AF ，即AE=EF ． 在Rt △BEA 和Rt △BEF 中，则Rt △BEA ≌Rt △BEF （SAS ）．所以∠ABE=∠FBE （全等三角形对应角相等），即BD 是∠ABC 的平分线．(点评）如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决．平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.类型二、全等三角形动态型问题6、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 经过顶点C ，过A ，B 两点分别作l 的垂线AE ，BF ，垂足分别为E ，F 。

利用三角形的主要线段构造全等三角形在初中数学的学习中，三角形是一个非常重要的知识点，而全等三角形更是其中的关键内容。

通过巧妙地利用三角形的主要线段，我们能够构造出全等三角形，从而解决许多与三角形相关的问题。

三角形的主要线段包括中线、角平分线和高线。

这些线段在三角形中具有特殊的性质，为我们构造全等三角形提供了有力的工具。

首先，我们来看看中线。

中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段。

如果一个三角形有两条中线相等，那么以这两条中线以及它们所对应的边为边，可以构造出全等三角形。

例如，在三角形 ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，BE 是 AC 边上的中线，且 AD ＝ BE。

我们可以延长 AD 到 G，使得 DG ＝ AD，连接 BG；同样延长 BE 到 H，使得 EH ＝ BE，连接 CH。

这样，在三角形 ABG 和三角形 BCH 中，因为 AD ＝ DG，BE ＝ EH，BD ＝ DC，AE ＝ EC，所以三角形 ABG 全等于三角形 BCH（SSS）。

接下来是角平分线。

角平分线是将三角形一个角平分成两个相等角的线段。

如果两个三角形的两条角平分线以及它们所夹的角对应相等，那么这两个三角形全等。

假设在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，角 A 的平分线 AM 和角 D的平分线 DN 分别平分角 A 和角 D，且 AM ＝ DN，角 BAM ＝角EDN。

再结合其他条件，比如 AB ＝ DE，就可以利用角边角（ASA）定理证明三角形 ABM 全等于三角形 DEN。

最后是高线。

高线是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。

比如在三角形 ABC 和三角形 PQR 中，AD 垂直于 BC 于 D，PS 垂直于 QR 于 S，且 AD ＝ PS，角 B ＝角 Q。

那么在直角三角形 ABD和直角三角形 PQS 中，因为角 B ＝角 Q，AD ＝ PS，所以三角形ABD 全等于三角形 PQS（AAS）。

做三角形辅助线图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.由角平分线想到的辅助线：图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线 （一）、截取构全等如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。

（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,C D=BC 。

求证：∠ADC+∠B=180图1-1O ABD EFC图1-2ADBCEF图2-1ABCDEF（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。

（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。

五种辅助线助你证全等姚全刚在证明三角形全等时有时需增加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言常常是难点．下面介绍证明全等常常有的五种辅助线，供同学们学习时参照．一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同素来线上时，平时能够考虑用截长补短的方法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例 1．如图 1，在△ ABC 中，∠ ABC=60 °， AD 、CE 分别均分∠ BAC 、∠ ACB ．求证：AC=AE+CD ．解析：要证AC=AE+CD ，AE 、CD 不在同素来线上．故在AC 上截取 AF=AE ，则只要证明 CF=CD ．证明：在 AC 上截取 AF=AE ，连接 OF．∵ AD 、 CE 分别均分∠ BAC 、∠ ACB ，∠ ABC=60 °∴∠ 1+∠ 2=60 °，∴∠ 4=∠ 6=∠ 1+∠ 2=60 °．显然，△ AEO ≌△ AFO ，∴∠ 5=∠4=60°，∴∠ 7=180°－（∠ 4+ ∠ 5） =60 °在△ DOC 与△ FOC 中，∠ 6=∠ 7=60°，∠ 2=∠ 3， OC=OC∴△ DOC ≌△ FOC， CF=CD∴ AC=AF+CF=AE+CD．截长法与补短法，详尽作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例2：如图甲， AD∥BC，点 E 在线段 AB上，∠ ADE=∠CDE，∠ DCE=∠ECB。

求证： CD=AD+BC。

思路解析：1）题意解析：此题观察全等三角形常有辅助线的知识：截长法或补短法。

2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 CD上截取 CF=CB，只要再证 DF=DA即可，这就转变成证明两线段相等的问题，进而达到简化问题的目的。

三角形全等证明常见做辅助线方法一、遇到三角形中线时常见的辅助线若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形。

（倍长中线法或“旋转”全等）1、如图，AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。

（三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半）2、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 。

3、如图，已知：AD 是△ABC 的中线，且CD=AB ，AE 是△ABD 的中线，求证：AC=2AE.C二、遇到角平分线时常见的辅助线1.角平分线上点向角两边作垂线构造全等 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质来证明问题。

（作垂线）2.截取构造全等（截长法、补短法）如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

ADBC图1-1B3.延长垂线段（延长法）遇到垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形。

4.作平行线①、以角平分线上一点作角的另一边的平行线，构造等腰三角形，图4-1。

②、通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形，图4-2。

图4-2图4-1ABCBIG4、已知：如图2-6,在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BC上的点，∠FAE=∠DAE 。

求证：AF=AD+CF 。

5、已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD6、已知：如图在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，求证：BC=AB+AD三、截长补短法（适合于证明线段的和、差、倍、分等类题目）截长法：在长线段上截取与两条线段中的一条相等的一段，证明剩余的线段与另一段相 等（截取----全等----等量代换）图2-6ECDABCD AEBDC补短法：延长其中一短线段使之与长线段相等，再证明延长段与另一短线段相等（延长----全等----等量代换）①、对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。

添加辅助线构造全等三角形一．内容：在证明几何题目的过程中，常常需要通过全等三角形，研究两条线段在证明几何题目的过程中，常常需要通过全等三角形，研究两条线段((角)的相等关系，或者转移线段或角。

而有些时候，这样的全等三角形在问题中，并不是十分明显。

因此，我们需要通过添加辅助线，构造全等三角形，进而证明所需的结论。

们需要通过添加辅助线，构造全等三角形，进而证明所需的结论。

在这里，我们试图通过几个典型例题让大家初步了解添加辅助线构造全等三角形的基本方法。

当然这些方法体现的了添加辅助线的方法从简单到复杂，研究线段的长短关系体现了从相等到不等的递进关系。

从相等到不等的递进关系。

二．例题详解1．通过添加辅助线构造全等三角形直接证明线段(角)相等1．已知：如图AB=AD AB=AD，，CB=CD CB=CD，，(1)(1)求证：∠求证：∠求证：∠B=B=B=∠∠D ．(2)(2)若若AE=AF试猜想CE 与CF 的大小关系并证明．的大小关系并证明．分析：(1)(1)在没有学习等腰三角形的知识的时候，要证明两个角相等，经常需要证明它们所在在没有学习等腰三角形的知识的时候，要证明两个角相等，经常需要证明它们所在的两个三角形全等。

本题中要证明∠的两个三角形全等。

本题中要证明∠B=B=B=∠∠D ．在已知条件中缺少明显全等的三角形。

而连结AC 以后，以后，AC AC 作为公共边，根据题目的已知条件可以看到三角形ABC 全等于三角形ADC ADC，进，进而证明了∠而证明了∠B=B=B=∠∠D 。

如果在学习了等腰三角形的知识以后还可以连结BD BD，通过等边对等角，再用角等量减，通过等边对等角，再用角等量减等量得到∠等量得到∠B=B=B=∠∠D 更为简单更为简单(2)(2)猜想猜想CE=CF CE=CF，，在连结AC 证明了三角形ABC 全等于三角形ADC 以后，得到∠得到∠EAC=EAC=EAC=∠∠FAC FAC，，再去证明三角形EAC 全等于三角形FAC FAC，进而证明，进而证明CE=CF CE=CF。

初中数学巧添辅助线解证几何题集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-巧添辅助线 解证几何题[引出问题] 在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。

值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。

一、倍角问题研究∠α＝2∠β或∠β=12∠α问题通称为倍角问题。

倍角问题分两种情形：1、∠α与∠β在两个三角形中，常作∠α的平分线，得∠1=12∠α，然后证明∠1=∠β；或把∠β翻折，得∠2=2∠β，然后证明∠2=∠α（如图一）2、∠α与∠β在同一个三角形中，这样的三角形常称为倍角三角形。

倍角三角形问题常用构造等腰三角形的方法添加辅助线（如图二）[例题解析]例1：如图1，在△ABC 中，AB=AC,BD⊥AC 于D。

求证：∠DBC=12∠BAC.分析：∠DBC、∠BAC 所在的两个三角形有公共角∠C，可利用三角形内角和来沟通∠DBC、∠BAC 和∠C 的关系。

证法一：∵在△ABC 中，AB=AC，∴∠ABC=∠C=12（180°-∠BAC）=90°-12∠BAC。

∵BD⊥AC 于D ∴∠BDC=90°CAB D ECABD21β α 图一αβ图二∴∠DBC=90°-∠C=90°-(90°-12∠BAC)= 12∠BAC即∠DBC= 12∠BAC分析二：∠DBC、∠BAC分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“∠DBC= ∠BAC”中含有角的倍、半关系，因此，可以做∠A的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把∠A放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC沿BD翻折构造2∠DBC求解。

初中数学三角形全等解题技巧全等三角形的内容是初二数学中的重点知识，也是教学中的难点。

许多学生由于基础知识薄弱或无法进行逻辑推理等原因，下面是小编为大家整理的关于初中数学三角形全等解题技巧，希望对您有所帮助。

欢迎大家阅读参考学习!1初中数学三角形全等解题技巧巧用三角形全等证明两线垂直通过对于数学知识的学习，学生在探究和实践中会了解三角形全等的方式，通常会通过“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”“斜边直角边”的判定方法来证明三角形全等。

当了解了三角形全等后，很多数学问题就会迎刃而解，使学生可以借助全等三角形的性质和特点来进行进一步的证明和推理，完善自己的思维，提高自己的理解能力，在大脑中建构出数学模型。

学生在解题过程中可以利用三角形全等来证明两线垂直，这是三角形全等的一种常用法。

例如：AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD与F，且有BF=AC，FD=CD，求证BE⊥AC。

解决本题的关键就是证明∠BEC=90°，而证明∠BEC=90°，也就是说∠EBC+∠BCE=90°。

题目中已知AD为△ABC的高，BF=AC，FD=CD，也就是AD⊥BC，即∠ADB为90°，同时∠DBF+∠BFD=90°。

所以证明本题的关键就是证明，这样就可以证明∠BEC=90°。

在对于∠BFD=∠BCE的过程中，学生就可以利用三角形全等的性质，这样问题就顺利解决了。

解题过程中学生利用三角形全等来证明三角形中的内角相等，之后利用三角形内角和相等就可以证明两直线的垂直。

学生在解题过程中要善于利用自己的逻辑思维和推理判断以及对于知识的迁移能力，使学生可以灵活地转化已知条件之间的关系，证明三角形全等，之后进一步对个数量关系进行证明，提高自己的思维能力。

“倍长中线法”构造全等三角形全等三角形的应用是非常广泛的，学生在解题过程中要善于转化和构造，使已知的数学条件可以得到充分地利用。

（苏科版）八年级上册数学《第一章 全等三角形》专题 构造全等三角形常用的辅助线作法【例题1】 （2022秋•澧县期中）如图，AB ＝DC ，AC ＝DB ，AC 和DB 相交于点E ．求证：∠A ＝∠D．【变式1-1】如图，若AB ＝AC ，BD ＝CD ，∠B ＝20°，∠BDC ＝120°，求∠A 的度数．【变式1-2】如图，在筝形四边形ABDC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，已知∠BAC ＝80°，∠BDC ＝60°，试求∠B的大小．解题技巧提炼题目条件或结论所指向的三角形不存在，如果只需连接某些线便可得到全等三角形，那么就有效解决问题.若四边形中有两对邻边相等(如下图)，常连接这两对邻边的交点构造全等三角形解题.【变式1-3】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC求证：AB＝CD，AD＝BC．【变式1-4】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝BC，点E为BC上一点，且CD＝CE．求证：AE⊥BC；【变式1-5】已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：AE＝AF．【例题2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC、∠BCD的平分线交AD于点E．求证：AB+CD＝BC．【变式2-1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AC＝AB+BD，求证：∠B＝2∠C．解题技巧提炼在处理线段的和差问题时，常采取“截长补短”的方法；截长法是在较长的线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的部分等于另一短线段；补短法是将某短线段延长，使延长的部分等于另一短线段，或是使短线段延长至等于长线段.【变式2-2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠B＝2∠C．求证：AB+BD＝AC．【截长法】【补短法】【变式2-3】在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法．截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等．这两种方法统称截长补短法．请用这两种方法分别解决下列问题：已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点，求证：AB﹣AC＞PB﹣PC．【变式2-4】截长补短法”证明线段的和差问题：先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究．背景材料：（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是 ．探索问题：（2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程．【变式2-5】如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，（1）求∠AOC的度数；（2）求证：AE+CD＝AC；（3）求证：OE＝OD．【变式2-6】阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝5cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝5，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四边形ABCD ＝S△ABC+S△ADC＝S△ABC+S△ABE＝S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG＝FN＝HM＝GH+MN＝5cm，∠G＝∠N＝90°，求五边形FGHMN的面积．【变式2-7】（2023春•渠县期末）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系： ；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF=12∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系： ．【例题3】如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF求证：BE+CF＞EF．【变式3-1】（2022秋•句容市月考）（1）如图1，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED ＝AD ，连接CE ．①证明△ABD ≌△ECD ；②若AB ＝5，AC ＝3，设AD ＝x ，可得x 的取值范围是 ；（2）如图2，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE +CF ＞EF ．【变式3-2】如图，在△ABC 和△A 'B 'C '中，AM ，A 'M '分别是边BC ，B 'C '上的中线，AB ＝A 'B '，AC ＝A 'C '，AM ＝A 'M '，试说明：△ABC ≌△A 'B 'C '．解题技巧提炼当题目中已知某线段的中点时，通过倍长中点处的线段构造全等三角形，从而将题目中的已知和未知的条件集中到同一对全等三角形中.【变式3-3】已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．【变式3-4】如图，AD是△ABC的边BC上的中线，CD＝AB，AE是△ABD的边BD上的中线．求证：AC＝2AE．【变式3-5】如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若∠BAC＜90°，作EA⊥AC，FA⊥BA，且AE ＝AC，AF＝AB．连接EF，写出AD与EF的数量关系，并证明．【变式3-6】（2023春•碑林区校级期中）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM．【探究发现】：（1）图1中AC与BM的数量关系是 ，位置关系是　；【初步应用】：（2）如图2，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若3x＜6，则x＜2．）【探究提升】：（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由．【变式3-7】阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：AB+AC＞2AD．智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长AD至E，使DE＝AD，∵AD是BC边上的中线∴BD＝CD在△BDE和△CDA中BD=CD∠BDE=∠CDADE=DA∴△BDE≌△CDA（依据一）∴BE＝CA在△ABE中，AB+BE＞AE（依据二）∴AB+AC＞2AD．任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：　；依据2：　．归纳总结：上述方法是通过延长中线AD，使DE＝AD，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．任务二：如图3，AD是BC边上的中线，AB＝3，AC＝4，则AD的取值范围是 ；任务三：如图4，在图3的基础上，分别以AB和AC为边作等腰直角三角形，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，AB＝AE；Rt△ACF中，∠CAF＝90°，AC＝AF．连接EF．试探究EF与AD的数量关系，并说明理由．【例题4】如图．∠C ＝90°，BE ⊥AB 且BE ＝AB ，BD ⊥BC 且BD ＝BC ，CB 的延长线交DE 于F（1）求证：点F 是ED 的中点；（2）求证：S △ABC ＝2S △BEF ．【变式4-1】（2023•凤台县校级二模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A 在直线DE 上，且∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称解题技巧提炼“一线三等角”指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形，这个角可以是直角也可以是锐角或钝角，有些时候我们也称之为“M 型”“三垂直”等.“一线三等角”----三垂直全等模型辅助线如何构造: 图形中存在“一线二等角”,补上“一等角”构造模型解题;为“一线三等角“模型．应用：（1）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．（2）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝点C到AB边的距离．【变式4-2】（2023春•海门市期末）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：[模型呈现]如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．求证：BC＝AE．[模型应用]如图2，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 ．[深入探究]如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE 与直线AF交于点G．若BC＝21，AF＝12，则△ADG的面积为 ．【变式4-3】（2022秋•东台市月考）【一线三等角模型】如图1：点A、B、C在一条直线上，∠A＝∠DBE ＝∠C，当BD＝BE时，有△ABD≌△CEB．理由：∵∠A＝∠DBE，∴∠D+∠DBA＝180°﹣∠A，∠DBA+∠CBE＝180°﹣∠DBE，∴∠D＝∠CBE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣请将全等证明过程补充完整．【模型运用】如图2：∠ABC＝∠CAD＝90°，AB＝4，AC＝AD，求△BAD的面积；【能力提升】如图3：在等边△DEF中，A，C分别为DE、DF边上的动点，AE＝2CD，连接AC，以AC 为边在△DEF内作等边△ABC，连接BF，当点A从点E向点D运动（不与点D重合）时，∠CFB的度数变化吗？如不变请求出它的度数，如变化，请说明它是怎样变化的？【变式4-4】（2022秋•朝阳区校级月考）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝ ，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；（深入探究）（3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，S1+S2＝10，直接写出S1的值．。

三角形全等添加辅助线的技巧和方法嘿，朋友们！今天咱就来聊聊三角形全等添加辅助线的那些超棒技巧和方法。

比如说，当遇到两个看起来不太好直接证明全等的三角形时，咱就可以巧妙地加条辅助线呀！就好像走在迷宫里突然找到了一条捷径一样。

比如在一个三角形里，有一条边特别长，而另一个三角形里对应的边较短，这时候怎么办呢？咱就在长边上截取一段，让它和短边一样长，这不就多了个等量关系嘛！
还有哦，要是两个三角形有共同的边或者角，那辅助线简直就是开启全等大门的钥匙呀！像有两个三角形，它们有一条公共边，但是其他条件不好用，这时候把公共边延长或者作垂线，哇塞，全等的条件可能一下子就冒出来啦！比如说小明和小红一起做数学题，小明就被一道题难住了，后来小红提醒他加个辅助线，结果一下子就豁然开朗了，这不就像是在黑暗中找到了明灯嘛！
总之呀，三角形全等添加辅助线真的太神奇啦，只要你掌握了这些技巧和方法，那些原本难搞的题目就会变得轻而易举啦！。

如何构造全等三角形解题江苏 刘 顿我们知道，全等三角形是研究几何图形的基础，许多几何问题若能通过辅助线构造出全等三角形，以沟通题设与结论，从而使问题获解．那么如何才能构造全等三角形呢？一般来说有以下几种常见方法：一、遇到中线可倍长中线例1 如图1，在△ABC 中，AD 是中线，BE 交AD 于点F ，且AE ＝EF ．试说明线段AC 与BF 相等的理由．简析 由于AD 是中线，于是可延长AD 到G ，使DG ＝AD ，连结BG ，则在△ACD 和△GBD 中，AD ＝GD ，∠ADC ＝∠GDB ，CD ＝BD ，所以△ACD ≌△GBD （SAS ），所以AC ＝GB ，∠CAD ＝∠G ，而AE ＝EF ，所以∠CAD ＝∠AFE ，又∠AFE ＝∠BFG ，所以∠BFG ＝∠G ，所以BF ＝BG ，所以AC ＝BF ．说明 要说明线段或角相等，通常的思路是说明它们所在的两个三角形全等，而遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形．二、遇到角平分线可利用角的对称性例2 如图2，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，AC ＝AB +BD ．试说明∠B 与2∠C 相等的理论依据．简析 由于AC ＝AB +BD ，故可以在AC 上截取AE ＝AB ，连结DE ，因为AD 是∠BAC 的平分线，所以∠EAD ＝∠BAD ，而AD 公用，所以△AED ≌△ABD （SAS ），所以∠AED ＝∠ABD ，DE ＝DB ，因为AC ＝AB +BD ，则ED ＝EC ，所以∠C ＝∠EDC ，又∠AED ＝∠EDC +∠C ＝2∠C ，所以∠B ＝2∠C ．说明 在几何解题中若遇到角平分线时，通常利用角的对称性，在角的两边截取相等的两部分构造构造全等三角形求解．三、遇到高可以高线为对称轴例3 如图3，在△ABC 中，AD ⊥BC ，若∠C ＝2∠B ．试比较线段BD 与AC +CD 的大小．简析 由于AD ⊥BC ，所以可在BD 上截取DE ＝DC ，于是可得△ADE ≌△ADC （SAS ），所以AE ＝AC ，∠AED ＝∠C ，又∠C ＝2∠B ，所以∠AED ＝2∠B ，而∠AED ＝∠B +∠BAE ， 即∠B ＝∠BAE ，所以BE ＝AE ＝AC ，所以BD ＝BE +DE ＝AE +DE ＝AC +CD ．说明 利用三角形高的性质，在几何解题时，可以高线为对称轴构造全等三角形求解．四、遇到特殊图形可通过旋转变换例4 如图4，设点P 为等边三角形ABC 内任一点，试比较线段P A 与PB +PC 的大小． 简析 由于△ABC 是等边三角形，所以可以将△ABP 绕点A 旋转60°到△ACP ′的位置，图2 B A C DE 图1 G CF B A E D 图3 E D C B A连结PP ′，则△ACP ′≌△ABP （SAS ），所以AP ′＝AP ，CP ′＝BP ，△APP ′是等边三角形，即PP ′＝P A ，在△CPP ′中，因为PP ′＜PC +P ′C ，所以P A ＜PB +PC ．说明 由于图形旋转的前后，只是位置发生了变化，而形状和大小都没有改变，所以对于等边三角形、正方形等特殊的图形我们可以利用旋转的方法构造全等三角形来解题．五、利用平行线例5 如图5，△ABC 中，AB ＝AC ，E 是AB 上任意一点，延长AC 到F ，连接EF 交BC 于M ，且EM ＝FM 试说明线段BE 与CF 相等的理由．简析 由于BE 与CF 的位置较散，故可考虑将线段CF 平移到ED ，所以过点E 作 ED ∥CF ，则∠EDB ＝∠ACB ，∠EDM ＝∠FCM ，由于EM ＝FM ，∠EMD ＝∠FMC ，所以△EMD ≌△FMC （AAS ），所以ED ＝CF ，又因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠ACB ，即∠B ＝∠EDB ，所以EB ＝ED ，所以BE ＝CF ．说明 这里通过辅助线将较散的结论相对集中，使求解的难度降低．图4 P ′ P B A C F 图5 M E A B C D。