高中物理竞赛讲义-镜像法

各位老师、同学，下午好！
内蒙古大学鄂尔多斯学院
§ 3.6
镜像法
（电磁场与电磁波）
门克内木乐
公共教学部物理组
2014.4
《电磁场与电磁波》
3.6 镜像法
（Method of Images）
第三章 静态电磁场
镜像法的基本概念
3.6.1 点电荷关于无限大导体平面的镜像法
3.6.2 点电荷关于导体球面的镜像法
第三章 静态电磁场
镜像法的基本概念
3.6.1 点电荷关于无限大导体平面的镜像法
3.6.2 点电荷关于导体球面的镜像法
3.6.3 点电荷关于无限大介质平面的镜像法
3.6.4 线电荷关于无限长圆柱导体面的镜像法
3.6-11
谢 谢 ！
《电磁场与电磁波》
第三章 静态电磁场
3.6.1 点电荷关于无限大导体平面的镜像电荷
应用
（1）线电荷与无限大导体平面的镜像法 （2）点电荷与两个半无限大相交导体平面的镜像法
（3）点电荷与两个平行的无限大导体平面的镜像法
3.6-10
《电磁场与电磁波》
3.6 镜像法
（Method of Images）
3.6.3 点电荷关于无限大介质平面的镜像法
3.6.4 线电荷关于无限长圆柱导体面的镜像法
3.6-3
镜像法的基本概念
用途
例题：
`
静电场边值问题：
e
2
z
0
2
边界条件
边界条件
q
(x, y, z) ? E(x, y, z) ?
2 2 2 2 2 2 x y z
在一些特殊条件下，我 们可以采用镜像法，简单地求 解这类问题

设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电 场分布。
1)
边值问题： 边值问题：
∇ 2ϕ = 0
ϕ ϕ
r→ ∞ 导球面
=0 =0
（除q点外的导 体球外空间)
2)设镜像电荷-q 位于球内,球 面上任一点电位为:
ϕp =
图1-29 点电荷对接地导体球面的镜像
q 4 πε 0 r1
−
q' 4 πε 0 r2
2.点电荷和接地导体球 q点电荷附近接地导体 球的影响 可用镜像电荷（-q′） 可用镜像电荷（ 代替感应电荷， 代替感应电荷，其中 位置与电荷量为： 位置与电荷量为：
R2 b= d b R q' = q= q d d
3.点电荷和两种不同介质 平面分界面S的上下半空间充满介电常数为ε 平面分界面 的上下半空间充满介电常数为ε1和ε2的均 的上下半空间充满介电常数为 匀介质，在上半空间距S为 处有一点电荷 处有一点电荷q， 匀介质，在上半空间距 为h处有一点电荷 ，求空间 的电场 设上半空间电位为ϕ1，下半空间 根据唯一性定理， 电位为ϕ2，根据唯一性定理， ϕ1 应满足： 和ϕ2应满足： （1）
r2
h
q′
1 q q′ + ϕ1 = 4πε1 r1 r2
镜像系统为： 镜像系统为：下半空间 由原来电荷q处的像电荷 由原来电荷 处的像电荷 q″所产生（介电常数ε2 所产生（ 所产生 介电常数ε 冲满整个空间） 冲满整个空间）
r1
ϕ1 =
1 q q′ + 4πε1 r1 r2
长直平行双传输线
思路：采用等效观点， 思路：采用等效观点， 对于两圆柱导体外部的电场， 对于两圆柱导体外部的电场，可以设想将两圆柱 撤去，而其表面电荷效应代之以两根很长的带电 撤去，而其表面电荷效应代之以两根很长的带电 细线。 细线。 如图相距为2b（ 的数值待定 的数值待定） 如图相距为 （b的数值待定）的两根电荷线密度 的带电细线，它们所在的轴线就是电轴， 为τ、-τ的带电细线，它们所在的轴线就是电轴， 这种方法称为电轴法。 这种方法称为电轴法。

r ( x + b) + y = = K2 2 ( x b)2 + y2 r+
2 2 2
+τ x
K2 +1 2 2bK 2 2 ) (x 2 b) + y = ( 2 K 1 K 1
则等位线为若干圆，设圆心到原点的距离为d，圆半径为R 则等位线为若干圆，设圆心到原点的距离为 ，圆半径为
K2 + 1 d= 2 b K 1
电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线(等效电轴 电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线 等效电轴 。 两带电细线 等效电轴) 注意确定等效电轴的位置。 等效电轴的位置 注意确定等效电轴的位置。
设圆柱导体的半径为a，两圆心距离为 ，两等效电轴的距离为2b 设圆柱导体的半径为 ，两圆心距离为2h，两等效电轴的距离为
a
-τ 0 P’ 2b U0 D
x
9
不同半径)外部的电场 四、两长直平行带电圆柱导体(不同半径 外部的电场： 两长直平行带电圆柱导体 不同半径 外部的电场：
电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线(等效电轴 电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线 等效电轴 。 两带电细线 等效电轴) 注意确定等效电轴的位置。 注意确定等效电轴的位置。 等效电轴的位置
导体内部 的电场？ 的电场？
a2+b2 =h2
y -τ a -τ
r_ r+
若取y轴电位为 ， 若取 轴电位为0， 轴电位为 则圆柱导体外任一点 的电位为 的电位为: 则圆柱导体外任一点P的电位为
P(x, y) + +τ τ x
r τ ln P = 2πε r+
0 2b
2h
8
例一、两长直平行带电圆柱导体的电压为 尺寸如图， 例一、两长直平行带电圆柱导体的电压为U0，尺寸如图，求导体 及导体外任意点P的电位 的电位。 轴向单位长度电荷量τ及导体外任意点 的电位。 解：用电轴法

设一镜像电荷q″位于区域1中，且位置与 q 重合，同时将整个空间视为均匀介质2。
p v R
则区域2中任一点的电位为：
2

q q
4π 2 R
q q
2
2
在分界面(R = R′= R″)上，应满足电位的边界条件：
1
1
设想用镜像电荷 代替界面上极化 电荷的作用，并 使镜像电荷和点 电荷共同作用， 满足界面上的边
界条件。
当待求区域为介质1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷 q′
介质1中任一点的电位为：
1

q q
4π1R 4π1R
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
当待求区域为介质2所在区域时，
* 此时要保证z=0平面边界条件不变，即应为零电位。
q q 4R 4R
故对z=0平面上任意点有R R R0 :
于是，

q 4

1 R

1 R


q 4

q q 0 4 R0
1

x2 y2 (z h)2
电位的法向导数

n
s

f2 s
一、二类边界条件的 线性组合，即

n
s2

f4 s
电磁场
一、静电场边值问题及其分类
第3章 静电场及其边值问题的解法
1. 边值问题的分类----根据场域边界条件的不同
狄利克雷问题：给定整个场域边界上的电位函数值 s f1s
（第一类）
聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 （第二类）
U0
O
ax
第3章 静电场及其边值问题的解法

面镜成像光的折射一、物和像的概念1、入射光线是发散的，由同一点发出，这个点叫“实物”2、入射光线的延长线汇聚到同一点，这个点叫“虚物”3、反射光线汇聚到同一点，这个点叫“实像”4、反射光线的反向延长线汇聚到同一点，这个点叫“虚像”真实光线交点为“实”，延长线交点为“虚”虚物实像虚物虚像二、平面镜成像1、平面镜不改变光的汇聚或发散程度2、实物成虚像，虚物成实像u+v=0其中，u为物距，v为像距。

思考其中的正负号是如何规定的？3、成等大正立的像线放大率（横向放大率）为：-1vmu==☆三、光学公式中的符号规则1、实正虚负规则实物，物距为正；实像，像距为正虚物，物距为负；虚像，像距为负例如：u+v=0，即物和像一实一虚2、笛卡尔坐标规则以主光轴为x轴，光心为坐标原点，建立坐标系，各物理量的正负号由坐标系决定。

*角度的规定：以主光轴出发，按小于90°的方向旋转，顺时针为正，逆时针为负。

例如：s+s’=0，s表示物的坐标，s’表示像的坐标。

即物和像在坐标原点的两侧，因此一正一负。

以上两种坐标规则选用一种，切勿混用！推荐使用笛卡尔坐标规则。

四、球面镜成像1、凹面镜和凸面镜2、半径R、球心C、顶点O、主光轴、焦点F、焦距f3、球面镜近轴光线焦距为f=R/2实物虚像实物实像例1、结合焦距的定义，证明球面镜近轴光线的焦距为f =R /24、近轴光线成像公式(1)实正虚负规则1112u v f R+== 凹面镜f 、R 为正，凸面镜f 、R 为负(2)笛卡尔坐标规则1112's s f R+== 5、线放大率（横向放大率）为'v s m u s ==- 例2、以凹面镜为例，推导近轴光线成像公式和线放大率公式注意：（1）以上公式的前提是近轴光线成像（2）以上公式对凹面镜和凸面镜均成立（3）当 r 趋近于无穷大时，公式退化为平面镜成像公式（4）牢记符号法则，推荐使用笛卡尔坐标法则例3、一个凹面镜所成的像，像高为物高的1/3，且已知物象间的距离为1m ，求凹面镜的曲率半径。

九镜像法用镜像法某些看来棘手的问题很容易地得到解决。

它们是唯一性定理的典型应用之例。

镜像法法的实质是把实际上分片均匀媒质看成是均匀的，并在所研究的场域边界外的适当地点用虚设的较简单的电荷分布来代替实际边界上复杂的电荷分布(即导体表面的感应电荷或介质分界面的极化电荷)。

根据唯一性定理，只要虚设的电荷分布与边界内的实际电荷一起所产生的电场能满足给定的边界条件，这个结果就是正确的。

镜像法最简单的例子是：接地无限大导体平面上方一个点电荷的电场，见图1—28(a)。

显然，只要在导体平面的下方与点电荷q对称的点(—d，0，0)处放置一点电荷(－q)，并把无限大导体平板撤去，整个空间充满介电常数为ε的电介质，在平板上半空间内。

故任意点（x，y，z）的电位为（1－77）这里的(—q)相当于(十q)对导体板的“镜像”，故称为镜像法，它代替了分布在导体平板表面上的感应电荷的作用。

用镜像法解题时要注意适用区域。

这里，解(1—77)式适用区域为导体平面上半空间内。

下半空间内实际上不存在电场。

还有几种其它类型的镜像问题。

这里先来研究一个导体球面的镜像问题。

如图1—29所示，在半径为R的接地导体球外，距球心为d处有一点电荷q。

根据问题的对称性，可设镜像电荷(—q`)放在球心O与点电荷q的联线上，且距球心为b。

虽然有（1－78）于是，球外任意点P的电位为（1－79）由此可知，点电荷附近接地导体球的影响，可用位于距球心b处的镜像电荷(—q`)来表示。

也即(—q`)代替金属球面上感应电荷的作用。

镜像法对点电荷在双层介质引起的电场的应用。

如图1—30所示，平面分界面S的左、右半空间分别充满介电常数为与的均匀介质，在左半空间距S为d处有一点电荷q，求空间的电场。

设左半空间电位为，右半空间电位为这里使用这样的镜像系统：即认为左半空间的场由原来电荷q和在像点的像电荷q`所产生(这时介电常数的介质布满整个空间)；又认为右半空间的场由位于原来点电荷q处的像电荷q``单独产生(这时介电常数为的介质布满整个空间)。

/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_4.htm§4.4 镜像法镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。

例如当一点电荷q 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷q产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷q产生的电场的叠加。

一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。

然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷q和所有等效电荷产生的电场叠加得到。

这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。

可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。

在镜像法应用中应注意以下几点：(1)镜像电荷位于待求场域边界之外。

(2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。

(3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。

4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像zqdx设在自由空间有一点电荷位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面的距离为d 。

如图4.2(a)所示上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。

待求场域为0z >空间，边界为0z =的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即(,,)0x y z φ= (4.29)设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。

在原边界之外放置一镜像电荷'q ，当'q q =-，且'q 和q 相对于0z =边界对称时，如图4.2(b)所示。

点电荷q 和镜像电荷'q 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。

根据镜像法原理，在0z >空间的电位为点电荷q 和镜像电荷'q 所产生的电位叠加，即1/21/2222222011{}4()()qx y z d x y z d φπε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.30)上半空间任一点的电场强度为E φ=-∇电场强度E 的三个分量分别为3/23/22222220{}4()()x qxxE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31a)3/23/22222220{}4()()y qyyE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31b)3/23/22222220{}4()()z qz dz dE x y z d x y z d πε-+=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31c)可见，在导体表面0z =处，0x y E E ==，只有z E 存在，即导体表面上法向电场存在。

电磁场与电磁波
20
两根线电荷 <-----------> 两个导体柱

* l
l

* l
l
o
P'
P
o'
a 2 O' P O ' P'
a 2 OP OP '
电磁场与电磁波
b d a
2
2
21
b d a
2
2
o
o'
已知：两根无限长平行圆柱,半径为a, 轴心距离为2d 求：两柱间单位长度上的电容 两根线电荷 <-----------> 两个导体柱 引入两 “线电荷”
电磁场与电磁波
2
若定解问题存在唯一的稳定解, 则称定解问题是
适定的。 换言之, 适定指的是解是存在的, 唯一的, 并且稳 定的。 解方程时可自由选择任何合理方法，甚至可以凭 经验去猜测出一个形式解。
而实际中解决工程问题时不能模棱两可，我们 需要得到适定的解。 静电场问题解法的多样性与适定性要求有矛盾 吗？？？
2
边界条件
切向：
E1t E 2t
2 1 1 fc n n
1 2
E1t E 2t J 1t / 1 J 2t / 2 1 2
恒定电场媒质边界 J 1n J 2 n 1 E1n 2 E 2 n
1 2 2 1 n n
M pl p* l d
a * OP d
2
电磁场与电磁波
19
问题扩展：电位
“长导体柱”+ “线电荷”
OP OP a
'
2
l
相应的问题等效为求解两个 “线电荷”周围的电场、电位？

§1-8 镜像法一、镜像法1. 定义：是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地应用唯一性定理，使某些看来棘手的问题很容易地得到解决。

该方法是把实际上分区均匀媒质看成是均匀的，对于研究的场域用闭合边界处虚设的简单的电荷分布，代替实际边界上复杂的电荷分布来进行计算。

即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满足的泊松方程，而是在不改变求解区域电荷分布及边界条件的前提条件下，用假想的简单电荷分布（称为镜像电荷）来等效地取代导体面域（电介质分界面）上复杂的感应（半极化）电荷对电位的贡献，从而使问题的求解过程大为简化。

2. 应用镜像法应主意的问题应主意适用的区域，不要弄错。

在所求电场区域内： ① 不能引入镜像电荷；② 不能改变它的边界条件；③ 不能改变电介质的分布情况；④ 在研究区域外引入镜像电荷，与原给定的电荷一起产生的电荷满足所求解（讨论）的边界条件；⑤其求得的解只有在所确定的区域内正确且有意义。

3. 镜像法的求解范围应用于电场E 和电位ϕ的求解；也可应用于计算静电力F ；确定感应电荷的分布(),,ρστ等。

二、镜像法应用解决的问题一般是边界为平面和球面的情况1. 设与一个无限大导电平板（置于地面）相距h 远处有一点电荷q ，周围介质的介电常数为ε，求解其中的电场E 。

解：在电介质ε中的场E ，除点电荷q 所引起的场外，还应考虑无限大导电平板上的感应电荷的作用，但其分布不知（σ未知），因此无法直接求解。

用镜像法求解该问题。

对于ε区域，除q 所在点外，都有20ϕ∇=以无限远处为参考点()0θϕ= 在边界上有：044q qrrϕϕϕπεπε+--=+=+= 即边界条件未变。

由唯一性定理有11444q q q r r r r ϕπεπεπε+-+-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对于大场E 不存在()0E =推广到线电荷τ的情况，对于无限长线电荷也适合上述方法求解。

例1-15. P54求空气中一个点电荷q 在地面上引起的感应电荷分布情况。

方法02镜像法在讨论一个点电荷受到面电荷(如导体表面的感应电荷)的作用时，根据“镜像法”可以设想一个“像电荷”,并使它的电场可以代替面电荷的电场，从而把问题大大简化．【调研1】如图所示，有一块无限大的原来不带电的金属平板MN ，现将一个带电量为+Q 的点电荷放置于板右侧的A 点，并使金属板接地．已知A 点离金属板MN 的距离为d ，C 点在A 点和板MN 之间，AC ⊥MN ，且AC 长恰为2d．金属平板与电量为+Q 的点电荷之间的空间电场分布可类比 （选填“等量同种电荷”、“等量异种电荷”）之间的电场分布；在C 点处的电场强度E C = .解析：金属平板上感应出的电荷理解为在A 点与板对称的另一点B 点存在一个电荷-Q ，所以金属板与电量为+Q 的点电荷之间的空间电场分布可类比等量异种电荷之间的电场分布． 根据场强的叠加，E =E 1+E 2=2224039()()22QQ kQ k k d dd +=【调研2】无限大接地金属板和板前一点电荷形成的电场区域，和两个等量异号的点电荷形成的电场等效．如图所示P 为一无限大金属板，Q 为板前距板为r 的一带正电的点电荷，MN 为过Q 点和金属板垂直的直线，直线上A 、B 是和Q 点的距离相等的两点．下面关于A. B 两点的电场强度E A 和E B 、电势φA 和φB 判断正确的是( ) A. E A >E B φA >φB B. E A >E B φA <φBC. E A >E B φA =φBD. E A =E B φA >φB解析：大金属板接地屏蔽，就是说，金属板上感应电荷分布后对于右边电场的影响，相当于在+Q 关于板对称的地方放上一个镜像电荷-Q ．具体原因可以分析左边，左边电场为0．那么接地金属板电荷分布对于左边电场的影响相当于在+Q 原处放上一个-Q ．而明显金属板对左右电场影响是对称的．这就是镜像法的原理．可以推得A 的电场为正负点电荷在此处方向相同，从而相加；而在B 处，方向相反，从而相减．则E A > E B ，由于A 的电场强度大于B 处，则正电荷从O 点移到A 处的电场力做功大于移到B 处，则U OA > U OB ，则ϕA <ϕB ．故B 正确，A 、C 、D 错误；【调研3】如图所示为一块很大的接地导体板，在与导体板相距为d 的A 处放有带电量为-q 的点M＋A d Nd /2 C MANQB P电荷．(1)试求板上感应电荷在导体内P 点产生的电场强度.(2)试求感应电荷在导体外P '点产生的电场强度(P 与P '点对导体板右表面是对称的)； (3)在本题情形，试分析证明导体表面附近的电场强度的方向与导体表面垂直； (4)试求导体上的感应电荷对点电荷-q 的作用力．解析：(1)导体板静电平衡后有E 感=E 点，且方向相反，因此板上感应电荷在导体内P 点产生的场强：E p =2kqr ，其中r 为AP 间距离，方向沿AP ，如图甲所示． (2)因为导体接地，感应电荷分布在右表面，感应电荷在P 点和P '点的电场具有对称性，因此有：E P '=2kqr ，方向如所示． (3)考察导体板在表面两侧很靠近表面的两点P 1点和P 1'．如前述分析，感应电荷在导体外P 1'点产生的场强大小为:121iP kq E r =.点电荷-q 在P 1'点产生的场强大小也是121iP kqE r =.它们的方向如图乙所示．从图乙看出，P 1'点的场强为上述两个场强的矢量和，即与导体表面垂直．甲 乙(4)重复(2)的分析可知，感应电荷在-q 所在处A 点的场强为:E iA =22(2)4kq kqd d =，方向垂直于导体板指向右方，该场作用于点电荷-q 的电场力为：F =-qE iA =224kq d-，负号表示力的方向垂直于导体板指向左方．【调研4】如图所示，有一块很大的接地导体，具有两个相互垂直的表面，在此表面外较近处有一个点电荷q ，坐标为(x 0，y 0)，试求点电荷q 的受力情况.解析： 求点电荷q 的受力即要求OA 、OB 板上感应电荷对它的作用力，但感应电荷在板上的分布并不均匀，直接求它们对q 的作用力很困难，如果此时空间中的电场与某些点电荷产生的电场相同，-qA d P 'P-qA E PPrE P ' P ' -qAP 1rAyxq (x 0,y 0)OB边界面上的感应电荷就可用这些点电荷代替，这就上上面所说的“镜像法”，为使OA 、OB 板电势为零，可先在q 关于OA 、OB 对称处分别放置q 1、q 2，q 1=q 2=-q . q 、q 1能使OA 板电势为零，但不能使OB 板电势为零；q 、q 2能使OB 板电势为零，但不能使OA 板电势为零；为使两板电势均为零，还需再放置一个与q 1、q 2都对称的q 1=q ，如图所示，导体表面感应电荷对q 的作用力相当于q 1、q 2、q 3三个镜像电荷对其的作用力. F x =-k2204q x +k222004()q x y +cos θ，其中cos θ=2200x y +.故F x = –k 24q [201x –223/20()x x y +]. 同理可得F y = –k 24q [201y –223/200()y x y +]，负号表示库仑力与x 、y 轴的方向相反，点电荷q 的受力情况就是F x 、F y 的合力F =22+xyF F =k222002223/22223/200000011+4()()x yq x x y y x y ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦.A yx q (x 0,y 0O-q (q 1)q (q 3)-q (q 2)B θ。

高中物理竞赛辅导讲义2高中物理竞赛辅导讲义第[2]讲几何光学基本知识一、光在球面上的反射――球面镜反射面是球面一部分的镜叫做球面镜．用球面的内表面作反射面的叫做凹镜，用球面的外表面作反射面的叫做凸镜． 1．成像公式如图所示，凹面镜中心点O称为顶点，球面的球心C称为曲率中心，球面的半径R称为曲率半径，连接顶点和曲率中心的直线CO称为主轴．发光点P在主轴上，光线PA反射后与PO的交点P’为像点，AC是∠PAP’的角平分线．由图中可知：β=α+θ，γ=β+θ．两式相减得：α+γ=2β．若考虑P发出的光线靠近主轴(近轴光线)。

即α、γ都很小，PO=u为物距，P’O=v为像距．当u→?时，v?R，即沿主轴方向的平行光束入射经2球面反射后，成为会聚的光束，其交点在主轴上，称为反射球面的焦点，焦点到顶点间的距离，称为焦距，以f来表示，则f?R111，凹面镜成像公式为?? 2uvf 用同样的方法可以证明：在近轴的条件下，对于凸面镜只要取f??R，上面的公式2同样适用． 2．符号规则成像公式中各量的符号规定如下：物距u：实物为正，虚物为负；像距v：实像为正，虚像为负；焦距f：凹面镜为正，凸面镜为负． 3．作图法球面镜成像，还可以用作图法来确定．作图时有三条特殊光线可以利用：(1)平行主轴的入射光线反射后过焦点F，(2)过焦点的入射光线反射后平行主轴，(3)过曲率中心C的入射光线沿原路反射．作图时只要取两条光线就可以确定一个像点． 4．横向放大率如图所示，PQ是垂直主轴的线状物，它的像也应是垂直主轴的，用作图法确定物的顶点Q所对应的像点Q’，再过Q作主轴的垂线P’Q’就行了．设物PQ高度为y，像P’Q’高度为y’，则横向放大率Ⅲ=卫．入射光线OO，则反射光线为OQ’(图中未画出)，△POQ ∽△ POQ’，因此有：P'Q'OP'?，横向PQOP放大率m?y'?v? yu 物距、像距按符号规则代入计算，若m为正表示像正立，m为负表示像倒立．二、光在球面上的折射 1．成像公式如图所示，设球形折射面两侧的折射率分别为n、n’)，O为球面顶点，球面曲率中心为C，半径为R．连线OC为主轴．主轴上的物点P发出的任意光线PA折射后和沿主轴的光线PO的交点P’为像点，PA与主轴的夹角为a，AP’与主轴的夹角为β，AC与主轴的夹角为θ，入射角为i，折射角为γ，则根据折射定律，得nsini=n’sinγ考虑到近轴光线，i、y都很小，有ni≈n’γ这就是球面折射的成像公式．如果R→?就是平面折射的公式．平行于主轴的入射光线折射后和主轴相交的位置称为球面界面的像方焦点F’，从球面顶点O到像方焦点的距离称为像方焦距f’．由球面折射的成像公式可见，当u→?时，即得如果把物点放在主轴上某一点时，发出的光折射后将成为平行于主轴的平行光束,那么,这例题分析1．与光轴平行的两条光线射到半径R=5cm的球面镜上．求从球面镜反射后的光线与光轴两个交点之间的距离△x．两条光线到光轴的距离分别为h1=0.5cm，h2=3crn．2．薄玻璃平板M1与曲率半径为20cm的凸面镜M2相距b=16cm，物点P放在玻璃平板前a远处(如图所示)，要使P在M1中的像与在M2中的像重合，a应取多大?3．一直径为4cm的长玻璃棒，折射率为1.5，其一端磨成曲率半径为2cm的半球形．长为0.1cm的物垂直置于棒轴上离棒的凸面顶点8cm处．求像的位置及大小，并作光路图．4．一半径为R，折射率为”的透明球，其球心为C．在一径向方向上取P、Q两点，使CP=R， nCQ=nR．试证，从P点发出的光，经界面折射后，总是像从Q点发出的．5．如图所示，有一半径为R=0.128m的玻璃半球，过球心O并与其平面部分相垂直的直线为其主轴，在主轴上沿主轴放置一细条形发光体AB(B离球心O较近)，其长度为l=0．02m．若人眼在主轴附近对着平面部分向半球望去，可以看到条形发光体的两个不很亮的像(此外可能还有亮度更弱的像，不必考虑)，当条形发光体在主轴上前后移动时，这两个像也在主轴上随着移动．现在调整条形发光体的位置，使得它的两个像恰好头尾相接，连在一起，此时条形发光体的近端B距球心O的距离为S=0.020m．试利用以上数据求出构成此半球的玻璃的折射率”．(计算时只考虑近轴光线)同步练习1．两个焦距都是f的凸镜共主轴相对放置，如图所示，a为平行于主光轴的光线．问两镜之间的距离L满足什么条件时，光线a可形成循环光路?画出光路图．2．如图所示，凹球面反射镜中盛有一层清水，球心C到水面的垂直距离CP=40.0cm，从主光轴上物点Q发出的傍轴光线经折射和反射后所成的像点仍位于物点Q(即像点与物点重合)，并已知QP=30.0cm．试求水的折射率n．3．一凹面镜所成的像，像高为物高的1/4，物与像相距l m，求凹面镜曲率半径．4．一种人眼的简化眼模型为：人眼的成像归结为只由一个曲率半径为5.70mm、介质折射感谢您的阅读，祝您生活愉快。

镜像法在静电场中，如果在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用拉普拉斯方程求解场分布；如果在所考虑的区域内有自由电荷分布时，可用泊松方程求解场分布。

如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面时，一般情况下，直接求解这类问题比较困难，通常可采用一种特殊方法—镜象法来求解这类问题。

镜像法是直接建立在唯一性定理基础上的一种求解静电场问题的方法。

适用于解决导体或介质边界前存在点源或线源的一些特殊问题。

镜像法的特点是不直接求解电位函数所满足的泊松或拉普拉斯方程，而是在所求区域外用简单的镜像电荷代替边界面上的感应电荷或极化电荷。

根据唯一性定理，如果引入镜像电荷后，原求解区域所满足的泊松或拉普拉斯方程和边界条件不变，该问题的解就是原问题的解。

下面我们举例说明。

1导体平面的镜像例.1 在无限大的接地导电平面上方h 处有一个点电荷q ，如图3.2.1所示，求导电平板上方空间的电位分布。

解 建立直角坐标系。

此电场问题的待求场区为0z >；场区的源是电量为q 位于(0,0,)P h 点的点电荷，边界为xy 面，由于导电面延伸到无限远，其边界条件为xy 面上电位为零。

导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平面上的感应电荷产生的，但感应电荷是未知的，因此，无法直接利用感应电荷进行计算。

现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷q 和q -，分别位于(0,0,)P h 和点(0,0,)P h '-，使得xy 面的电位为零，如图3.2.2。

这种情况，对于0z >的空间区域，电荷分布与边界条件都与前一种情况相同，根据唯一性定理，这两种情况0z >区域的电位是相同的。

也就是说，可以通过后一种情况中的两个点电荷来计算前种问题的待求场。

对比这两种情况，对0z >区域的场来说，后一种情况位于(0,0,)P h '-点的点电荷与前一种情况导电面上的感应电荷是等效的。

由于这个等效的点电荷与待求场区的点电荷相对于边界面是镜像对称的，所以这个等效的点电荷称为镜像电荷，这种通过场区之内的电荷与其在待求场区域之外的镜像电荷来进行计算电场的方法称为镜像法。

(4.4.3.13) 所以金属球的对地电容为
(4.4.3.14) 式中第一项 为孤立金属球的电容
圆柱面镜像1
概念
几何轴：物体的轴线。 电轴：电荷分布的轴线。
问题
已知边界条件、原电荷、几何轴，求镜像电荷，即镜像电轴位置及电荷 量。 已知给定电轴，求等位面、几何轴。
线电荷对导体圆柱的镜像
半径为a的接地导体圆柱外有 一条和它平行的线电荷，密 度为
掌握如何利用平面镜像法求解典型传输设备的对地电容。
球面镜像1
点电荷对接地导体球的镜像
题目：半径为a的接地导体球， 在与球心相据 的 一点电荷 。
在导体球内，距离球心处 的 点处置一镜像电荷 来代替导体球上的感应电荷，边 界条件维持不变，即导体球面为
零电位面。
去掉导体球，用原电荷和镜像电 荷求解导体球外区域场，注意不 能用原电荷和镜像电荷求解导体 球内区域场。 求解镜像电荷的大小和位置： 将原导体球移去，
图4.4.6 点电荷对介质平面的镜像
求解 和 ： z>0时，
(4.4.2.11) z<0时，
(4.4.2.12) 根据边界条件 、
可以解得
(4.4.2.13)
(4.4.2.14)
分区域考虑镜像电荷。
求单导线的对地电容 求单导线的对地电容。一根极长的
单导线与地面平行。导线半径为a，离 地高度为h，求单位长度单导线地对地 电容。
的边界条件。但是有了地面影响，还应满足地面为零等位面的边界条 件。为满足这个条件，就要找出置于球心的
镜像电荷，这就是
，而且满足
。
的出现虽然使地面的边界条件得到了满足，但球面的等位面条件却被破 坏了。我们需要再按照球面镜像的方法求出
在球内的镜像电荷

Q
d2
d1
l
1
l '
1
]0
ra 2 a2 d 2 2ad cos 2 a2 d '2 2ad 'cos
l l
d (a2
l
d2 '0
)
l
'
d
'(a2
d
'2
)
0
l
d '
' a2
l
/d
或
dl'
' （l 舍去）
d
四、点电荷对电介质分界面的镜像
问题：点电荷位于两种电介质分界面上方
h，求空间电位分布。
分析：在介质分界面上将存在极化面电荷， 1 空间电位由极化面电荷和电荷q共同产生。 2
解决问题方法：镜像法，即用镜像电荷
zq h O
等效极化电荷作用。
区域1的电位由q和位于区域2中的镜像电荷q′共同产生
区域2的电位由q和位于区域1中的镜像电荷q 共同产生
zq
z q q
1
h R1 P
h O R2
O h
2020高中物理竞赛
电磁学B
电磁场与波
二、点电荷对球面导体边界的镜像
点电荷对接地球面导体边界的镜像 镜像电荷
镜像电荷位于球心与电荷q连线上。
令镜像电荷电量为 q ' ，与球心距离 为 d ' 。要保持边界条件不变，则：
在空间中任意点 P(r, ) 处电位为： 1 [ q q'] 4 R r ' R r2 d 2 2rd cos r '
由边界条件可知：
0 ra
1 [ q q '] ra 4 R r '

q'
d' d
q a q, d a2
d
d
a
q′
+
a q″
q q a q，d 0 d
第八讲 镜像法
三、导体球面的镜像
3、点电荷位于不接地导体球面外
结论：不接地导体球外存在点电荷 q时，其镜像电荷为：
q a q, d a2
d
d
q q a q，d 0 d
球外任意点的电位为
1 ( q q q) 40 R R r
特点：
• 在介质分界面上存在极化电荷分布 • 空间中任一点的电场由点电荷与极化电
荷共同产生。
z
q
1 h x
2
图1 点电荷与电介质 分界平面
问题：如何确定镜像电荷？
第八讲 镜像法
五、无限大介质分界平面的镜像
1、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像
➢ 计算上半空间中的电位 由镜像法，镜像电荷须位于下半空间
➢ 球壳内的电位函数为
d’
q
1
a
(r a)
4π0 r2 d 2 2rd cos d r2 (a2 d )2 2r(a2 d ) cos
➢ 球壳内表面感应电荷面密度为
S
0
r
ra
4πa(a2
q(a2 d 2)
d 2 2ad cos )3 2
➢ 球壳内表面的总感应电荷为
qin
由 a 时， 0
C l ln d
？
2 a
故
l ln d 2 2 a 4 2da 2cos
2 a2 2 a2d 2 2da2 cos
导体圆柱面上的感应电荷面密度
S
a
l (d 2 a2 ) 2 a(a2 d 2 2ad

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Q dS Qa 2rdr Q Q
2 0 (r 2 a 2 )3/ 2
（b）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上 它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在 右半空间完全相同。
（c）Q与 Q 位置对于导体板镜象对称，故这种方法称
为镜象法（又称电象法）
右半空间，Q在（0，0，a）点， Q/
P
r
Qr
a
z
电势满足泊松方程。
边界上 0 z0
从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左
半空间 z 轴上。
设电量为 Q，位置为（0，0，a ）
1 [
Q
Q
]
40 x2 y2 (z a)2 x2 y2 (z a)2
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y
-Q（-a, b, 0）
O
Q（-a, -b, 0）
Q（a, b, 0）
x
-Q（a, -b, 0）
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（2）电势分布
Q [
1
1
40 (x a)2 ( y b)2 z2 (x a)2 ( y b)2 z2
1
(x a)2 ( y b)2 z2
1
]
8 –7 电势
第八章静电场
8 –7 电势
第八章静电场
四.等势面: 电场中电势相同的各点构成的面
等量同号点电荷的电场 正点电荷的电场
等量异号点电荷的电场
孤立带电体的电场
匀强电场
等差等势面： 两个相邻的 等势面间的 电势之差是 相等的
说明：
1.电场线与等势面垂直 2.电场线由高等势面指向低等势面，等势面不相交 3.在同一等势面上移动电荷电场力不做功 4.相邻两个等势面间的电势差相等，场强大的地方

由U 0 = ϕ A − ϕ B 解出τ
U0 =
⎧b 2 = h 2 − a 2 d ⇒ b = ( )2 − a 2 ⎨ 2 ⎩ d = 2h
镜像法（电轴法）小结
镜像法（电轴法）的理论基础是静电场唯一 性定理； 镜像法（电轴法）的实质是用虚设的镜像电 荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为 无限大均匀介质； 镜像法（电轴法）的关键是确定镜像电荷 （电轴）的个数（根数），大小及位置； 镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的 区域。叠加时，要注意场的适用区域。
−
2
q' 4 π ε 0 r2
=0
点电荷对接地球的镜像
r1 = d + R − 2Rdcosθ r2 = b2 + R2 − 2Rbcosθ
p r2 r r1 b -q' d q
∫
[q 2 (b2 + R 2 ) − q'2 (d 2 + R 2 )] + 2R(q'2 d − q 2b) cosθ = 0
2
+q' R
o
点电荷对不接地金属球的镜像
2
p r2 +q' R
o
r r1 q
任一点电位及电场强度为：
接地球壳，点电荷在球壳 内部，如何布置镜像电荷
b -q' d
ϕ=
=
1 q q′ q′ ( − + ) 4πε 0 r r1 r2 q 1 R R + ( − ) dr2 4πε 0 r dr 1
E=
τ
2 πε 0
ln
b + (h − a ) τ b − (h − a ) − ln b − (h − a ) 2 πε 0 b + (h − a )