(潍坊专版)201x中考数学复习 第1部分 第四章 几何初步与三角形 第七节 相似三角形检测

第二节三角形的有关概念及性质姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·福建中考)下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是( )A．1，1，2 B．1，2，4C．2，3，4D．2，3，52．(2018·河北中考)下列图形具有稳定性的是( )3．(2017·衢州中考)如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于( )A．30° B．40°C．60° D．70°4．(2018·贵阳中考)如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是( )A．线段DE B．线段BEC．线段EF D．线段FG5．(2017·成都中考)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为__________．6．(2017·福建中考)如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连线DE.若DE＝3，则线段BC的长等于______．7．(2019·易错题)三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的解，则此三角形的周长是________．8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，B E平分∠ABC交AC边于点E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°.求∠DAC的度数．9．(2018·河北中考)已知：如图，点P在线段AB外，且PA＝PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是( )A．作∠APB的平分线PC交AB于点CB．过点P作PC⊥AB于点C且AC＝BCC．取AB中点C，连接PCD．过点P作PC⊥AB，垂足为C10．(2018·黄石中考)如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC ＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝( )A．75° B．80°C．85° D．90°11．(2018·白银中考)已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a－7|＋(b－1)2＝0，c为奇数，则c ＝______．12．(2019·原创题)如图，在△ABC中，E是底边BC上一点，且满足EC＝2BE，BD是AC边上的中线，若S△ABC＝15，则S△ADF－S△BEF＝________．13．(2018·宜昌中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE 交AC的延长线于点E.(1)求∠CBE的度数；(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．14．(2019·创新题)联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． 举例：如图1，若PA ＝PB ，则点P 为△ABC 的准外心．应用：如图2，CD 为等边三角形ABC 的高，准外心P 在高CD 上，且PD ＝12AB ，求∠APB 的度数．探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边BC ＝5，AB ＝3，准外心P 在AC 边上，试探究PA 的长．参考答案【基础训练】 1．C 2.A 3.A 4.B 5．40° 6.6 7.13 8．解：∵BE 平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE＝2×25°＝50°. ∵AD 是BC 边上的高，∴∠BAD＝90°－∠A BC ＝90°－50°＝40°， ∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝60°－40°＝20°. 【拔高训练】9．B 10.A 11.7 12.5213．解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝40°， ∴∠ABC＝90°－∠A＝50°， ∴∠CBD＝130°.∵BE 是∠CBD 的平分线， ∴∠CBE＝12∠CBD＝65°.(2)∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°， ∴∠CEB＝90°－65°＝25°. ∵DF∥BE，∴∠F ＝∠CEB＝25°. 【培优训练】14．解：应用：①若PB ＝PC ，连接PB ，则∠PCB＝∠PBC. ∵CD 为等边三角形的高， ∴AD＝BD ，∠PCB＝30°， ∴∠PBD＝∠PBC＝30°， ∴PD＝33DB ＝36AB ， 与已知PD ＝12AB 矛盾，∴PB≠PC.②若PA ＝PC ，连接PA ，同理可得PA≠PC. ③若PA ＝PB ，由PD ＝12AB 得PD ＝AD ，∴∠APD＝45°，∴∠APB＝90°. 探究：∵BC＝5，AB ＝3， ∴AC＝BC 2－AB 2＝52－32＝4.①若PB ＝PC ，设PA ＝x ，则x 2＋32＝(4－x)2， 解得x ＝78，即PA ＝78.②若PA ＝PC ，则PA ＝2.③若PA ＝PB ，由图知，在R t △PAB 中，PA 为直角边，PB 为斜边， ∴PA≠PB.综上所述，PA ＝2或78.。

一、选择题1．将一张圆形纸片对折后再对折，得到下图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开的平面图形是（ ）A ．AB ．BC ．CD ．D 2．如图．∠AOB ＝∠COD ，则( )A ．∠1＞∠2B ．∠1＝∠2C ．∠1＜∠2D ．∠1与∠2的大小无法比较 3．已知：如图，C 是线段AB 的中点，D 是线段BC 的中点，AB ＝20 cm ，那么线段AD 等于( )A ．15 cmB ．16 cmC ．10 cmD ．5 cm4．如图，点O 在直线AB 上且OC ⊥OD ，若∠COA=36°则∠DOB 的大小为（ ）A ．36°B ．54°C ．64°D ．72°5．下面的几何图形是由四个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是( ) A ． B ． C ． D ． 6．已知线段8AB =，在线段AB 上取点C ，使得:1:3AC CB =，延长CA 至点D ，使得2AD AC =，点E 是线段CB 的中点，则线段ED 的长度为（ ）．A ．5B ．9C ．10D ．167．如图，CD 是直角三角形ABC 的高，将直角三角形ABC 按以下方式旋转一周可以得到右侧几何体的是（ ）．A．绕着AC旋转B．绕着AB旋转C．绕着CD旋转D．绕着BC旋转8．体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（）A．M B．N C．P D．Q9．两个锐角的和是（）A．锐角B．直角C．钝角D．锐角或直角或钝角10．用一个平面去截正方体，所得截面是三角形，留下较大的几何体一定有（）A．7个面B．15条棱C．7个顶点D．10个顶点11．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM，FM为折痕，C点折叠后的C'点落在MB'的延长线上，则EMF∠的度数是（）A．85°B．90°C．95°D．100°12．下列说法不正确的是（）A．两条直线相交，只有一个交点B．两点之间，线段最短C．两点确定一条直线D．过平面上的任意三点，一定能作三条直线二、填空题13．线段AB＝12cm，点C在线段AB上，且AC＝13BC，M为BC的中点，则AM的长为_______cm.14．长方体、四面体、圆柱、圆锥、球等都是_____，简称____．包围着体的是______．面有____的面与______的面两种．15．如图，C为线段AB的中点，线段AB=12cm，CD=2cm．则线段DB的长为_______16．如图是一个多面体的表面展开图，则折叠后与棱AB 重合的棱是________.17．下面的图形是某些几何体的表面展开图，写出这些几何体的名称．18．如图，立体图形是由哪一个平面图形旋转得到的？请按对应序号填空．A 对应___，B 对应___，C 对应___，D 对应__，E 对应__．19．已知一不透明的正方体的六个面上分别写着1至6六个数字，如图是我们能看到的三种情况，那么1和5的对面数字分别是__和___.20．如图，点A ，O ，B 在同一直线上，12∠=∠，则与1∠互补的角是________．若1283235'''∠=︒，则1∠的补角为________．三、解答题21．已知线段14AB =，在线段AB 上有点C ，D ，M ，N 四个点，且满足AC ：CD ：1DB=：2：4，12AM AC=，且14DN BD=，求MN的长．22．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB＝90°，∠BOC＝60°时，∠MON的度数是多少？为什么？（2）如图2，当∠AOB＝70°，∠BOC＝60°时，∠MON＝度．（直接写出结果）（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON的度数是多少？为什么？23．已知：如图，18cmAB=，点M是线段AB的中点，点C把线段MB分成:2:1MC CB=的两部分，求线段AC的长．请补充下列解答过程：解：因为M是线段AB的中点，且18cmAB=，所以AM MB==________AB=________cm．因为:2:1MC CB=，所以MC=________MB=________cm．所以AC AM=+________=________+________=________(cm)．24．蜗牛爬树一棵树高九丈八，一只蜗牛往上爬．白天往上爬一丈，晚上下滑七尺八．试问需要多少天，爬到树顶不下滑？25．如图，一个五棱柱的盒子(有盖)，有一只蚂蚁在A处发现一只虫子在D处，立刻赶去捕捉，你知道它怎样去的吗?请在图中画出它的爬行路线，如果虫子正沿着DI方向爬行，蚂蚁预想在点I处将它捕捉，应沿着什么方向?请在图中画出它的爬行路线.26．已知A，B，C三点，他们所表示的数分别是5，-3，a.(1)求线段AB的长度AB；(2)若AC=6，求a的值；(3)若d=3a ++5a -，求d 的最小值，并判定d 与AB .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】根据折叠的性质，结合折叠不变性，可知剪下来的图形是C ，有四个直角三角形构成的特殊四边形.故选C.2．B解析：B【解析】∵∠AOB=∠COD ，∴∠AOB-∠BOD=∠COD-∠BOD ，∴∠1=∠2；故选B ．【点睛】考查了角的大小比较，培养了学生的推理能力．3．A解析：A【分析】根据C 点为线段AB 的中点，D 点为BC 的中点，可知AC=CB=12AB ，CD=12CB ，AD=AC+CD ，又AB=4cm ，继而即可求出答案．【详解】∵点C 是线段AB 的中点，AB=20cm ，∴BC=12AB=12×20cm=10cm ， ∵点D 是线段BC 的中点， ∴BD=12BC=12×10cm=5cm ， ∴AD=AB-BD=20cm-5cm=15cm ．故选A ．【点睛】本题考查了两点间的距离的知识，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．解析：B【解析】∵OC ⊥OD ，∴∠COD=90°，又∵∠AOC+∠COD+∠DOB=180°，∴∠DOB=180°-36°-90°=54°．故选B ．5．C解析：C【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，根据看到的图形进行比较即可解答．【详解】解：A 、主视图看到的是2行，3列，最下1行是3个，上面一行是1个，第2列是2个；左视图是2行，上下各1个；B ．主视图看到的是3行，最下1行是2个，上面2行在下面1行的中间，各1个，左视图是3行，每行各一个；C ．主视图是2行2列，下面1行是2个，上面1行1个，左面1列是2个；左视图是2行2列，下面1行是2个，上面1行1个，左面1列是2个，故主视图和左视图相同；D ．主视图是2行2列，下面1行2个，上面1行1个，右面1列2个，左视图也是2行2列，下面1行2个，上面1行1个，左面1列2个．故选：C ．【点睛】此题考查了从不同方向观察物体，重点是看清有几行几列，每行每列各有几个． 6．B解析：B【分析】按图形将要求的线段ED 可转化成已知线段．ED=EC+CD=12BC+3AC ，而BC 、AC 都可根据题中比例求得，于是线段ED 可求．【详解】解：根据题意画图：因为:1:3AC CB =，且8AB =，所以2AC =，6BC =．由题意可知：113632922ED EC CD BC AC =+=+=⨯+⨯=， 故选：B ．【点睛】本题考查的线段的相关运算，根据题意画好图形是关键，利用图形进行线段间的转化是解题突破口．解析：B【分析】根据直角三角形的性质，只有绕斜边旋转一周，才可以得出组合体的圆锥，进而解答即可．【详解】将直角三角形ABC绕斜边AB所在直线旋转一周得到的几何体是：故选：B．【点睛】本题考查了点、线、面、体，培养学生的空间想象能力及几何体的三视图．8．C解析：C【分析】根据点和圆的位置关系，知最好成绩在P点.【详解】P点与O点距离最长，且在有效范围内，所以最好成绩在P点.【点睛】考查了点和圆的位置关系．9．D解析：D【分析】在0度到90度之间的叫锐角，可以用赋值法讨论.【详解】解：当∠A=10°，∠B=20°时，∠A+∠B=30°，即两锐角的和为锐角；当∠A=30°，∠B=60°时，∠A+∠B=90°，即两锐角的和为直角；当∠A=50°，∠B=60°时，∠A+∠B=110°，即两锐角的和为钝角；综上所述，两锐角的和可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角故选D.【点睛】利用赋值法解题，可以使一些难以直接证明的问题简单易解.10．A解析：A【解析】【分析】用一个平面截正方体，若所得的截面是一个三角形，此时剩下的较大的几何体一定比正方体多了一个面，如果过三个面截得的截面是三角形，那么就能多出3条棱和两个顶点，如果过3个顶点截得的截面是三角形，那么就能多出0条棱和两个顶点．【详解】用一个平面截正方体，若所得的截面是一个三角形，此时剩下的较大的几何体一定比正方体多了一个面，如果过三个面截得的截面是三角形，那么就能多出3条棱和两个顶点，如果过3个顶点截得的截面是三角形，那么就能多出0条棱和两个顶点.故选：A.【点睛】此题考查截一个几何体，解题关键在于掌握立体图形.11．B解析：B【解析】【分析】根据折叠的性质:对应角相等,对应的线段相等,可得．【详解】解：根据图形，可得：∠EMB′=∠EMB,∠FMB′=∠FMC,∵∠FMC+∠FMB′+∠EMB′+∠BME=180°,∴2（∠EMB′+∠FMB′）=180°,∵∠EMB′+∠FMB′=∠FME,∴∠EMF=90°,故选B．【点睛】本题主要考查图形翻折的性质,解决本题的关键是要熟练掌握图形翻折的性质.12．D解析：D【解析】【分析】根据直线公理、线段公理进行逐一分析判断．【详解】A. 根据直线公理“两点确定一条直线”，则两条直线相交，只有一个交点，故该选项正确；B.两点之间，线段最短，是线段公理，故该选项正确；C. 两点确定一条直线，是直线公理，故该选项正确；D. 当三点共线时，则只能确定一条直线，故该选项错误.故选 D.【点睛】此题考查直线、射线、线段，直线的性质：两点确定一条直线，线段的性质：两点之间线段最短，解题关键在于掌握各性质定义.二、填空题13．5【分析】可先作出简单的图形进而依据图形分析求解【详解】解：如图∵点C在AB上且AC=BC∴AC=AB=3cm∴BC=9cm又M为BC的中点∴CM=BC=45cm∴AM=AC+CM=75cm故答案为解析：5【分析】可先作出简单的图形，进而依据图形分析求解．【详解】解：如图，∵点C在AB上，且AC=13 BC，∴AC=14AB=3cm，∴BC=9cm，又M为BC的中点，∴CM=12BC=4.5cm，∴AM=AC+CM=7.5cm．故答案为7.5.【点睛】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的定义、灵活运用数形结合思想是解题的关键．14．几何体体面平曲【解析】【分析】几何体又称为体包围着体的是面分为平的面和曲的面两种【详解】长方体四面体圆柱圆锥球等都是几何体几何体也简称为体包围着体的是面面有平面和曲面两种故答案为：(1)几何体(2)解析：几何体体面平曲【解析】【分析】几何体又称为体，包围着体的是面，分为平的面和曲的面两种【详解】长方体、四面体、圆柱、圆锥、球等都是几何体，几何体也简称为体，包围着体的是面，面有平面和曲面两种.故答案为：(1). 几何体(2). 体 (3). 面(4). 平(5). 曲【点睛】此题考查认识立体图形，解题关键在于掌握其性质定义.15．4cm【分析】先由线段中点的定义得出BC=AB再根据DB=BC-CD即可求解【详解】∵C为线段AB的中点线段AB=12cm∴BC=AB=6cm∵CD=2cm∴DB=BC-CD=6-2=4cm∴线段D解析：4cm【分析】先由线段中点的定义得出BC=12AB，再根据DB=BC-CD即可求解．【详解】∵C为线段AB的中点，线段AB=12cm，∴BC=12AB=6cm，∵CD=2cm，∴DB=BC-CD=6-2=4cm．∴线段DB的长为4cm．故答案为：4cm【点睛】本题考查了线段的中点的概念及线段的和差计算．利用线段中点定义转化线段之间的倍分关系是解题的关键，16．BC【分析】把展开图折叠成一个长方体找到与AB重合的线段即可【详解】解：根据题意得：折叠后与棱AB重合的棱是BC故答案为BC【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体解决这类问题时不妨动手实际操作一下即可解析：BC【分析】把展开图折叠成一个长方体，找到与AB重合的线段即可.【详解】解：根据题意得：折叠后与棱AB重合的棱是BC．故答案为BC．【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题．17．正方体四棱锥三棱柱【解析】【分析】根据常见的几何体的展开图进行判断【详解】根据几何体的平面展开图的特征可知：①是正方体的展开图；②是四棱锥的展开图；③是三棱柱的展开图；故答案为：正方体四棱锥三棱柱；解析：正方体四棱锥三棱柱【解析】【分析】根据常见的几何体的展开图进行判断．【详解】根据几何体的平面展开图的特征可知：①是正方体的展开图；②是四棱锥的展开图；③是三棱柱的展开图；故答案为：正方体，四棱锥，三棱柱；【点睛】此题考查几何体的展开图，解题关键在于掌握其展开图.18．adecb 【分析】根据面动成体的特点解答【详解】a 旋转一周得到的是圆锥体对应Ab 旋转一周得到的是圆台对应Ec 旋转一周得到的是两个圆锥体对应的是Dd 旋转一周得到的是圆台和圆柱对应的是Be 旋转一周得到的解析：a d e c b【分析】根据面动成体的特点解答．【详解】a 旋转一周得到的是圆锥体，对应A ，b 旋转一周得到的是圆台，对应E ，c 旋转一周得到的是两个圆锥体，对应的是D ，d 旋转一周得到的是圆台和圆柱，对应的是B ，e 旋转一周得到的是圆锥和圆柱，对应的是C ，故答案为：a ，d ，e ，c ，b ．【点睛】此题考查了面动成体的知识，具有良好的空间想象能力是解题的关键．19．4【分析】从图形进行分析结合正方体的基本性质得到底面的数字即可求得结果【详解】第一个正方体已知235第二个正方体已知245第三个正方体已知124且不同的面上写的数字各不相同可求得第一个正方体底面的数解析：4【分析】从图形进行分析，结合正方体的基本性质，得到底面的数字，即可求得结果．【详解】第一个正方体已知2，3，5，第二个正方体已知2，4，5，第三个正方体已知1，2，4，且不同的面上写的数字各不相同，可求得第一个正方体底面的数字为3，5对应的底面数字为4．故答案为3，4．20．【分析】根据补角的性质和余角的性质解答即可【详解】∵∠1=∠2∴与∠1互补的角是∠AOD ∵∠1=28°32′35″∴∠1的补角=151°27′25″故答案为：∠AOD ；151°27′25″【点睛】本解析：AOD ∠ 2512517'''︒【分析】根据补角的性质和余角的性质解答即可．【详解】∵∠1=∠2，∴与∠1互补的角是∠AOD ，∵∠1=28°32′35″，∴∠1的补角=151°27′25″，故答案为：∠AOD ；151°27′25″．【点睛】本题考查了余角和补角，两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．三、解答题21．7或3【分析】求出AC ，CD ，BD ，求出CM ，DN ，根据MN CM CD DN =++或MN CM CD ND =+-求出即可．【详解】如图，14AB =，AC ：CD ：1BD =：2：4，2AC ∴=，4CD =，8BD =， 12AM AC =，14DN DB =， 1CM ∴=，2DN =，1427MN CM CD DN ∴=++=++=或1423MN CM CD ND =+-=+-=． 则MN 的长是7或3．【点睛】本题考查了求出两点间的距离的应用及分类讨论的数学思想，关键是找找出线段间的数量关系.22．（1）45°，理由见解析；（2）35；（3）12α，理由见解析 【分析】（1）求出∠AOC 度数，求出∠MOC 和∠NOC 的度数，代入∠MON ＝∠MOC ﹣∠NOC 求出即可；（2）求出∠AOC 度数，求出∠MOC 和∠NOC 的度数，代入∠MON ＝∠MOC ﹣∠NOC 求出即可；（3）表示出∠AOC 度数，表示出∠MOC 和∠NOC 的度数，代入∠MON ＝∠MOC ﹣∠NOC 求出即可．【详解】解：（1）如图1，∵∠AOB ＝90°，∠BOC ＝60°，∴∠AOC ＝∠AOB +∠BOC ＝90°+60°＝150°，∵OM 是∠AOC 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线， ∴∠MOC ＝12∠AOC ＝75°， ∠NOC ＝12∠BOC ＝30°，∴∠MON ＝∠MOC ﹣∠NOC ＝75°﹣30°＝45°；（2）如图2，∵∠AOB ＝70°，∠BOC ＝60°，∴∠AOC ＝70°+60°＝130°，∵OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，∴∠MOC ＝12∠AOC ＝65°，∠NOC ＝12∠BOC ＝30°， ∴∠MON ＝∠MOC ﹣∠NOC ＝65°﹣30°＝35°．故答案为：35．（3）如图3，∵∠AOB ＝α，∠BOC ＝β，∴∠AOC ＝∠AOB +∠BOC ＝α+β，∵OM 是∠AOC 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线，∴∠MOC ＝12∠AOC ＝12（α+β）， ∠NOC ＝12∠BOC ＝12β， ∴∠MON ＝∠MOC ﹣∠NOC ＝12（α+β）﹣12β＝12α．【点睛】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出∠AOC 、∠MOC 、∠NOC 的度数和得出∠MON=∠MOC-∠NOC.23．12，9，23，6，MC ，9，6，15． 【分析】根据线段中点的性质，可得AM ，根据线段的比，可得MC ，根据线段的和差，可得答案．【详解】解：∵M 是线段AB 的中点，且18cm AB =，∴19cm 2AM MB AB ===． ∵:2:1MC CB =，∴26cm 3MC MB ==． ∴9615(cm)AC AM MC =+=+=．故答案为：12，9，23，6，MC，9，6，15．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出AM，线段的比得出MC是解题关键．24．蜗牛需41天才爬到树顶不下滑．【分析】根据题意可知蜗牛一个白天加一个晚上所爬行的路程，即蜗牛每天前进的路程，最后一天，也就是还剩下一丈的时候，他爬到树顶就不再往下滑了，在这之前都是白天爬一丈，晚上下滑七尺八；接下来设需要x天，爬到树顶不下滑,列出方程即可解答.【详解】设蜗牛需x天才爬到树顶不下滑，即爬到九丈八需x天，可列方程(10－7.8)(x－1)＋10＝98，解得x＝41.答：蜗牛需41天才爬到树顶不下滑．【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于理解题意找到等量关系列出方程.25．第一问：如图沿线段AD爬行；第二问取线段E J的中点M，连结AM和MI，此路线为蚂蚁爬行的路线．【分析】根据两点之间线段最短，结合图形得出蚂蚁爬行的路线．【详解】解：第一问：如图沿线段AD爬行；第二问取线段E J的中点M，连结AM和MI，此路线为蚂蚁爬行的路线．理由都是：两点之间线段最短．【点睛】本题考查了几何体的展开图与两点之间线段最短，利用展开图的性质得出答案是解题的关键．26．（1）8；（2）a=11或－1；（3）8，d=AB．【分析】（1）线段AB的长等于A点表示的数减去B点表示的数；（2）AC=|A点表示的数－C点表示的数|，然后解方程即可；（3）要想使d的最小，点C一定在A、B两点之间，且最小值为8．【详解】（1）AB=5－（－3）=8；a =6，解得：a=11或－1；（2）AC=5即在数轴上，若C点在A点左边，则a=－1，若C点在A点右边，则a=11；（3）要想使d的最小，点C一定在A、B两点之间，且最小值为8，所以d=AB．【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，利用数轴上求线段长度的方法，找出等量关系，解决问题．。

三角形的有关概念及性质要题随堂演练1．(2018·泰安中考)如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2＝44°，则∠1的大小为( )A．14°B．16°C．90°－αD．α－44°2．(2018·南宁中考)如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于( )A．40°B．45°C．50°D．55°3．(2018·日照中考)如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1＝( )A．30°B．25°C．20°D．15°4．(2018·常德中考)如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC ＝90°，AD＝3，则CE的长为( )A．6 B．5 C．4 D．3 35．(2018·聊城中考)如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE.如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是( )A．γ＝2α＋βB．γ＝α＋2βC．γ＝α＋βD．γ＝180°－α－β6．(2018·滨州中考)在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝50°，则∠C＝．7．(2018·泰州中考)已知三角形两边的长分别为1，5，第三边长为整数，则第三边的长为．8．(2018·永州中考)一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB，CE相交于点D，则∠BDC＝．9．(2018·淄博中考)已知：如图，△ABC是任意一个三角形．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.参考答案1．A 2.C 3.D 4.D 5.A6．100°7.5 8.75°9．证明：如图，过点A作直线MN，使MN∥BC.∵MN∥BC，∴∠B＝∠MAB，∠C＝∠NAC.∵∠MAB＋∠NAC＋∠BAC＝180°，∴∠B＋∠C＋∠BAC＝180°.。

第四章几何初步与三角形第一节线段、角、相交线与平行线姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(xx·武威中考)若一个角为65°，则它的补角的度数为( )A．25° B．35° C．115° D．125°2．(xx·邵阳中考)如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD＝160°，则∠BOC的大小为( )A．20° B．60° C．70° D．160°3．如图所示，点P到直线l的距离是( )A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段PD的长度4．如图所示，某同学的家在A处，星期日她到书店去买书，想尽快赶到书店B，请你帮助她选择一条最近的路线( )A．A→C→D→B B．A→C→F→BC．A→C→E→F→B D．A→C→M→B5．(xx·眉山中考改编)下列命题为真命题的是( )A．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例B．若AM＝BM，则点M为线段AB的中点C．到角的两边的距离相等的点在角的平分线上D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行6．(xx·诸城一模)如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝145°，则∠BCD＝( )A．70° B．40° C．30° D．20°7．(xx·北京中考)如图所示的网格是正方形网格，∠BAC______∠DAE.(填“＞”“＝”或“＜”)8．(xx·岳阳中考)如图，直线a∥b，∠1＝60°，∠2＝40°，则∠3＝__________．9．(2019·原创题)已知∠AOB＝45°，OC是∠AOB的一条三等分线，则∠AOC的度数是__________________．10．(xx·重庆中考A卷)如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，求∠2的度数．11．(xx·泸州中考)如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1＝50°，则∠2的度数是( )A．50° B．70° C．80° D．110°12．(xx·黄冈中考)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为( )A．50° B．70°C．75° D．80°13．(xx·盐城中考)将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1＝40°，则∠2＝__________．14．(2019·原创题)如图，将一副含有45°和30°的两个三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC＋∠DOB的度数为____________．15．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED.(1)探究猜想：①若∠A＝30°，∠D＝40°，则∠AED等于多少度？②若∠A＝20°，∠D＝60°，则∠AED等于多少度？③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．(2)拓展应用：如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域(不含边界)，其中区域③④位于直线AB上方，P是位于以上4个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系(不要求证明)．16．阅读下面的材料【材料一】异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线．(2)特点：既不相交，也不平行．(3)理解：①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性．②“不同在任……”也可以理解为“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”．③不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．也就是说，在两个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线．例如：在长方体ABCD­A1B1C1D1中，棱A1D1所在直线与棱AB所在直线是异面直线，棱A1D1所在直线与棱BC 所在直线就不是异面直线．【材料二】我们知道“由平行公理，进一步可以得到如下结论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行．”其实，这个结论不仅在平面内成立，在空间内仍然成立．利用材料中的信息，解答下列问题：(1)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，与棱A1A所在直线成异面直线的是( )A．棱A1D1所在直线B．棱B1C1所在直线C．棱C1C所在直线D．棱B1B所在直线(2)在空间内，两条直线的位置关系有________、________、________．(重合除外)(3)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知E，F分别为BC，AB的中点．求证：EF∥A1C1.参考答案【基础训练】1．C 2.D 3.B 4.B 5.A 6.B7．＞8.80°9.15°或30°10．解：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠1＝54°.∵BC平分∠ABD，∴∠CBD＝∠ABC＝54°.∵∠1＝54°，∴∠BDC＝180°－∠CBD－∠1＝72°.∵∠BDC＝∠2，∴∠2＝72°.【拔高训练】11．C 12.B13．85°14.180°15．解：(1)①∠AED＝70°.②∠AED＝80°.③猜想：∠AED＝∠EAB＋∠EDC.证明：如图，延长AE交DC于点F.∵AB∥DC，∴∠EAB＝∠EFD.∵∠AED为△EDF的外角，∴∠AED＝∠EFD＋∠EDF＝∠EAB＋∠EDC.(2)当点P在区域①时，∠EPF＝360°－(∠PEB＋∠PFC)；当点P在区域②时，∠EPF＝∠PEB＋∠PFC；当点P在区域③时，∠EPF＝∠PEB－∠PFC；当点P在区域④时，∠EP F＝∠PFC－∠PEB.【培优训练】16．解：(1)B(2)相交平行异面(3)证明：如图，连接AC.∵E，F分别为BC，AB的中点，∴EF∥AC.∵A1A∥C1C，A1A＝C1C，∴四边形A1ACC1是平行四边形，∴A1C1∥AC，∴EF∥A1C1.。

线段、角、相交线与平行线要题随堂演练1．(2018·滨州中考)若数轴上点A，B分别表示数2，－2，则A，B两点之间的距离可表示为( )A．2＋(－2) B．2－(－2)C．(－2)＋2 D．(－2)－22．(2018·聊城中考)如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝95°，∠CDE ＝25°，则∠DEF的度数是( )A．110° B．115° C．120° D．125°3．(2018·济南中考)如图，AF是∠BAC的平分线，DF∥AC，若∠1＝35°，则∠BAF的度数为( )A．17.5° B．35° C．55° D．70°4．(2018·金华中考)如图，∠B的同位角可以是( )A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠45．(2018·眉山中考)下列命题为真命题的是( )A．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例B．相似三角形面积之比等于相似比C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．顺次连接矩形各边的中点所得的四边形是正方形6．(2018·莱芜中考)如图，AB∥CD，∠BED＝61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB＝( )A．149° B．149.5° C．150° D．150.5°7．(2018·日照中考)一个角是70°39′，则它的余角的度数是．8．(2018·淄博中考)如图，直线a∥b，若∠1＝140°，则∠2＝度．9．(2018·河南中考)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD＝50°，则∠BOC的度数为．10．(2018·湘潭中考)如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为．(任意添加一个符合题意的条件即可)参考答案1．B 2.C 3.B 4.D 5.A 6.B7．19°21′8.40 9.140°10．∠A＋∠ABC＝180°(答案不唯一)。

AO＝3 3 ，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO∶OD＝1∶3，求DC的长．
【分析】 (1)根据平行线的性质可得出∠ADB＝∠OAC， △BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出DO的值，进而 可得出AD的值．由三角形内角和定理可得出∠ABD＝75°＝ ∠ADB，由等角对等边可得出AB＝AD，此题得解； (2)过点B作BE∥AD交AC于点E，同(1)可得出AE的值，进而可
求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的
长，此题得解．
【自主解答】 (1)75 4 3
提示：∵BD∥AC，∴∠ADB＝∠OAC＝75°， △BOD∽△COA，
∴DO∶AO＝BO∶CO，∴DO∶3 3 ＝1∶3，∴DO＝ 3 ，
∴AD＝4 .
∵∠ABD＝3180°－∠BAC＝180°－30°－75°＝75°， ∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD＝4 3 .
4．(2018·诸城一模)如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点 M在边AB上，且AM＝3，点N在边AC上．当AN＝__2_或__4_._5__时， △AMN与原三角形相似．
命题角度❷ 相似三角形的综合 例3 (2018·东营中考)(1)某学校“智慧方园”数学社团遇 到这样一个题目： 如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC
判定两个三角形相似的误区 在利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两 个三角形相似时，一定要确保成比例的两边所夹角为相等角， 这是最易触雷的地方．
3．(2017·淄博中考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作 EF∥BC交AC于点F，则EF的长为( C )
∴DC＝

第五节直角三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列四组线段中，能组成直角三角形的是( )A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝52．(2018·宜宾中考)在▱ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是( ) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定3．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm至D点，则橡皮筋被拉长了( )A．2 cm B．3 cmC．4 cm D．5 cm4．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是( )A．(32＋8)cm B．10 cmC．14 cm D．无法确定5．(2018·贺州中考)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD＝ED＝3，则BC的长为( )A．3 2 B．3 3C．6 D．6 26．(2018·哈尔滨中考)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为____________________．7．(2018·福建中考)把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝________．8．如图，正方形网格的边长为1，点A，B， C在网格的格点上，点P为BC的中点，则AP＝________．9．(2018·深圳中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD，BE相交于点F，且AF＝4，EF＝2，则AC＝________．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于点D，CE是△ABC的角平分线．(1)求∠DC E的度数；(2)若∠CEF＝135°，求证：EF∥BC.11．(2018·南充中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若BC ＝2，则EF 的长度为( )A.12B ．1C.32D. 312．(2018·枣庄中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D ，AF 平分∠CAB，交CD 于点E ，交CB 于点F.若AC ＝3，AB ＝5，则CE 的长为( )A.32B.43C.53D.8513．(2018·泰州中考)如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD，∠ACD＝∠ABC＝90°，E ，F 分别为AC ，CD 的中点，∠D＝α，则∠BEF 的度数为__________________(用含α的式子表示)．14．(2019·原创题)如图，四边形ABCD 中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠C＝120°，AB ＝3，CD ＝1，则边BC ＝__________．15．(2018·盐城中考)如图，在直角△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝6，BC ＝8，P ，Q 分别为边BC ，AB 上的两个动点，若要使△APQ 是等腰三角形且△BPQ 是直角三角形，则AQ ＝________．16．(2019·易错题)如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E.当△A′EF为直角三角形时，AB的长为__________．17．已知，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B.(1)如图1，求证：CD⊥AB；(2)将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点．①如图2，若∠B＝34°，求∠A′CB的度数；②若∠B＝n°，请直接写出∠A′CB的度数(用含n的代数式表示)．18．(2019·改编题)如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．若AM＝3，MN＝5，则BN的长为_________________________．参考答案【基础训练】1．D 2.B 3.A 4.B 5.D6．130°或90° 7.3－1 8.522 9.810510．解：∵∠B＝30°，CD⊥AB 于D ， ∴∠DCB＝90°－∠B＝60°. ∵CE 平分∠ACB，∠ACB＝90°， ∴∠ECB＝12∠ACB＝45°，∴∠DCE＝∠DCB－∠ECB＝60°－45°＝15°. (2)证明：∵∠CEF＝135°，∠ECB＝12∠ACB＝45°，∴∠CEF＋∠ECB＝180°， ∴EF∥BC. 【拔高训练】 11．B 12.A13．270°－3α 14.33－2 15.154或307 16.43或417．(1)证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＋∠BCD＝90°.∵∠ACD＝∠B，∴∠B＋∠BCD＝90°， ∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB.(2)解：①当∠B＝34°时，∵∠ACD＝∠B， ∴∠ACD＝34°.由(1)知，∠BCD＋∠B＝90°， ∴∠BCD＝56°.由折叠知∠A′CD＝∠ACD＝34°，∴∠A′CB＝∠BCD－∠A′CD＝56°－34°＝22°. ②当∠B＝n°时，同①的方法得∠A′CD＝n°，∠BCD＝90°－n°，∴∠A′CB＝∠BCD－∠A′CD＝90°－n°－n°＝90°－2n°.【培优训练】18．4或34。

第七节 相似三角形要题随堂演练1．(2018·凉州区中考)已知a 2＝b 3(a≠0，b≠0)，下列变形错误的是( ) A.a b ＝23 B ．2a ＝3b C.b a ＝32D ．3a ＝2b 2．如图的两个四边形相似，则∠α的度数是( )A ．87°B ．60°C ．75°D ．120°3．(2018·自贡中考)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，若△ADE 的面积为4，则△ABC 的面积为( )A ．8B ．12C ．14D ．164．如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ACB 的角平分线分别交AB ，BD 于M ，N 两点．若AM ＝2，则线段ON 的长为( )A.22B.32 C ．1 D.625. (2018·云南中考)如图，已知AB∥CD，若AB CD ＝14，则OA OC＝ ．6．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE∥AC，AE ，CD 相交于点O ，若S △DOE ∶S △COA ＝1∶16，则S △BDE 与S △CDE 的比是 ．7．(2018·泰安中考)如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是BD 上一点，EF∥AB，∠EAB＝∠EBA，过点B 作DA 的垂线，交DA 的延长线于点G.(1)∠DEF 和∠AEF 是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；(2)找出图中与△A GB 相似的三角形，并证明；(3)BF 的延长线交CD 的延长线于点H ，交AC 于点M.求证：BM 2＝MF·MH.参考答案1．B 2.A 3.D 4.C 5.146.1∶3 7．解：(1)∠DEF ＝∠AEF.理由如下：∵EF∥AB，∴∠DEF＝∠EBA，∠AEF ＝∠EAB.又∵∠EAB＝∠EBA，∴∠DEF＝∠AEF.(2)△EOA∽△AGB，证明如下：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB＝AD ，AC⊥BD， ∴∠GAB＝∠ABE ＋∠ADB＝2∠ABE.又∵∠AEO ＝∠ABE＋∠BAE＝2∠ABE，∴∠GAB＝∠AEO.又∵∠AGB＝∠AOE＝90°，∴△EOA∽△AGB.(3)如图，连接D M.∵四边形AB CD是菱形，由对称性可知BM＝DM，∠ADM＝∠ABM.∵AB∥CH，∴∠ABM＝∠H，∴∠ADM＝∠H.又∵∠DMH＝∠FMD，∴△MFD∽△MDH，∴DMMH＝MFDM，∴DM2＝MF·MH，∴BM2＝MF·MH.。

第四节等腰三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列三角形，不一定是等边三角形的是( )A．有两个角等于60°的三角形B．有一个外角等于120°的等腰三角形C．三个角都相等的三角形D．边上的高也是这边的中线的三角形2．(2017·南充中考)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( )A．(1，1) B．(3，1)C．(3，3) D．(1，3)3．(2019·易错题)若实数m，n满足|m－2|＋n－4＝0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是( )A．12 B．10C．8 D．10或84．如图，△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，∠BAD＝30°，且AD＝AE，则∠EDC等于( )A．10° B．12.5°C．15° D．20°5．(2019·易错题)等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°6．(2018·湘潭中考)如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD＝__________．7．(2018·淮安中考)若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于________°.8．(2018·娄底中考)如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3 cm，则BF ＝______cm.9．(2018·嘉兴中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE ＝DF.求证：△ABC是等边三角形．10．(2017·武汉中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( )A．4 B．5 C．6 D．711．(2019·改编题)如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BA D＝90°，AE⊥BD于点E，连接CD 分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H.则下列结论：①∠ADC＝15°；②AF＝AG；③AH＝DF；④AF ＝(3－1)EF.其中正确结论的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．112．(2018·吉林中考)我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k ，若k ＝12，则该等腰三角形的顶角为________度． 13．已知：如图，△ABC 中，BO ，CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，过O 点的直线分别交AB ，AC 于点D ，E ，且DE∥BC.若AB ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，则△ADE 的周长为______________．14．如图，已知△ABC，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，BC 的中点为M ，ME∥AD，交BA 的延长线于点E ，交AC 于点F.(1)求证：AE ＝AF ；(2)求证：BE ＝12(AB ＋AC)．15．(2019·创新题)数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC 中，∠A＝110°，求∠B 的度数．(答案：35°)例2 等腰三角形ABC 中，∠A＝40°，求∠B 的度数．(答案：40°或70°或100°)张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式：等腰三角形ABC 中，∠A＝80°，求∠B 的度数．(1)请你解答以上的变式题；(2)解(1)后，小敏发现，∠A 的度数不同，得到∠B 的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC 中，设∠A ＝x°，当∠B 有三个不同的度数时，请你探索x 的取值范围．参考答案【基础训练】1．D 2.D 3.B 4.C 5.D6．30° 7.65 8.69．证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E ，F ，∴∠AED＝∠CFD＝90°.∵D 为AC 的中点，∴AD＝DC.在Rt △ADE 和Rt △CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，DE ＝DF ， ∴Rt △A DE≌Rt △CDF(HL )， ∴∠A＝∠C，∴BA＝BC. ∵AB ＝AC ，∴AB＝BC ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形．【拔高训练】 10．D 11.B12．36 13.14 cm14．证明：(1)∵DA 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵AD∥EM，∴∠BAD ＝∠AEF，∠CAD＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF.(2)如图，作CG∥EM，交BA 的延长线于G.∵EF∥CG，∴∠G＝∠AEF，∠ACG＝∠AFE.∵∠AEF＝∠AFE，∴∠G＝∠ACG，∴AG＝AC.∵BM＝CM ，EM∥CG，∴BE＝EG ，∴BE＝12BG ＝12(BA ＋AG)＝12(AB ＋AC)． 【培优训练】15．解：(1)若∠A 为顶角，则∠B＝(180°－∠A)÷2＝50°； 若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B＝180°－2×80°＝20°； 若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B＝80°.故∠B＝50°或20°或80°.(2)分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A 只能为顶角，∴∠B 的度数只有一个；②当0＜x ＜90时，若∠A 为顶角，则∠B＝(180－x 2)°； 若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B＝(180－2x)°；若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B＝x°.当180－x 2≠180－2x 且180－2x≠x 且180－x 2≠x， 即x≠60时，∠B 有三个不同的度数．综上所述，可知当0＜x ＜90且x≠60时，∠B 有三个不同的度数．。