2019年中考数学几何证明、计算题汇编及解析

2019年中考数学压轴题汇编（几何1）解析版（2019年安徽23题）23．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB ＝∠BPC＝135°．（1）求证：△P AB∽△PBC；（2）求证：P A＝2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．【分析】（1）利用等式的性质判断出∠PBC＝∠P AB，即可得出结论；（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论；（3）先判断出Rt△AEP∽Rt△CDP，得出，即h3＝2h2，再由△P AB∽△PBC，判断出，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝BC，∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC又∠APB＝135°，∴∠P AB+∠PBA＝45°∴∠PBC＝∠P AB又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△P AB∽△PBC（2）∵△P AB∽△PBC∴在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∴∴P A＝2PC（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°∴∠APC＝90°，∴∠EAP+∠ACP＝90°，又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°∴∠EAP＝∠PCD，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，∴，即，∴h3＝2h2∵△P AB∽△PBC，∴，∴∴．即：h12＝h2•h3．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP＝∠PCD是解本题的关键．（2019年北京27题）27．（7分）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM 顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M 总有ON＝QP，并证明．【分析】（1）根据题意画出图形．（2）由旋转可得∠MPN＝150°，故∠OPN＝150°﹣∠OPM；由∠AOB＝30°和三角形内角和180°可得∠OMP＝180°﹣30°﹣∠OPM＝150°﹣∠OPM，得证．（3）根据题意画出图形，以ON＝QP为已知条件反推OP的长度．由（2）的结论∠OMP ＝∠OPN联想到其补角相等，又因为旋转有PM＝PN，已具备一边一角相等，过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，即可构造出△PDM≌△NCP，进而得PD ＝NC，DM＝CP．此时加上ON＝QP，则易证得△OCN≌△QDP，所以OC＝QD．利用∠AOB＝30°，设PD＝NC＝a，则OP＝2a，OD＝a．再设DM＝CP＝x，所以QD＝OC＝OP+PC＝2a+x，MQ＝DM+QD＝2a+2x．由于点M、Q关于点H对称，即点H为MQ中点，故MH＝MQ＝a+x，DH＝MH﹣DM＝a，所以OH＝OD+DH＝a+a＝+1，求得a＝1，故OP＝2．证明过程则把推理过程反过来，以OP＝2为条件，利用构造全等证得ON＝QP．【解答】解：（1）如图1所示为所求．（2）设∠OPM＝α，∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN∴∠MPN＝150°，PM＝PN∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α∵∠AOB＝30°∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α∴∠OMP＝∠OPN（3）OP＝2时，总有ON＝QP，证明如下：过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90°∵∠AOB＝30°，OP＝2∴PD＝OP＝1∴OD＝∵OH＝+1∴DH＝OH﹣OD＝1∵∠OMP＝∠OPN∴180°﹣∠OMP＝180°﹣∠OPN即∠PMD＝∠NPC在△PDM与△NCP中∴△PDM≌△NCP（AAS）∴PD＝NC，DM＝CP设DM＝CP＝x，则OC＝OP+PC＝2+x，MH＝MD+DH＝x+1∵点M关于点H的对称点为Q∴HQ＝MH＝x+1∴DQ＝DH+HQ＝1+x+1＝2+x∴OC＝DQ在△OCN与△QDP中∴△OCN≌△QDP（SAS）∴ON＝QP【点评】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180°，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质．第（3）题的解题思路是以ON＝QP为条件反推OP的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以OP＝2为条件构造全等证明ON＝QP．（2019年北京28题）28．（7分）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t＝，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE＝2，最长中内弧即以DE 为直径的半圆，的长即以DE为直径的圆周长的一半；（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，①当t＝时，要注意圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角∠AEP 满足90°≤∠AEP＜135°；②根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值．【解答】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中内弧，连接DE，∵∠A＝90°，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，∴BC＝＝＝4，DE＝BC＝×4＝2，∴弧＝×2π＝π；（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE 垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，①当t＝时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（，1），设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，∵OA＝OC，∠AOC＝90°∴∠ACO＝45°，∵DE∥OC∴∠AED＝∠ACO＝45°作EG⊥AC交直线FP于G，FG＝EF＝根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；∴m≤综上所述，m≤或m≥1．②如图4，设圆心P在AC上，∵P在DE中垂线上，∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM＝，∴P（t，），∵DE∥BC∴∠ADE＝∠AOB＝90°∴AE＝＝＝，∵PD＝PE，∴∠AED＝∠PDE∵∠AED+∠DAE＝∠PDE+∠ADP＝90°，∴∠DAE＝∠ADP∴AP＝PD＝PE＝AE由三角形中内弧定义知，PD≤PM∴AE≤，AE≤3，即≤3，解得：t≤，∵t＞0∴0＜t≤．【点评】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．（2019年福建24题）24．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD 的延长线上，且DF＝DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；（2）若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据圆心角、弧、弦的关系得到＝，即可得到∠ABC＝∠ADB，根据三角形内角和定理得到∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，∠ADB＝90°﹣∠CAD，从而得到∠BAC＝∠CAD，即可证得结论；（2）易证得BC＝CF＝4，即可证得AC垂直平分BF，证得AB＝AF＝10，根据勾股定理求得AE、CE、BE，根据相交弦定理求得DE，即可求得BD，然后根据三角形面积公式求得DH，进而求得AH，解直角三角函数求得tan∠BAD的值．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴＝，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°﹣∠CAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠CAD；（2）解：∵DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠BDC＝2∠DFC，∴∠BFC＝∠BDC＝∠BAC＝∠FBC，∴CB＝CF，又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB＝AF＝10，AC＝10．又BC＝4，设AE＝x，CE＝10﹣x，由AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，得100﹣x2＝80﹣（10﹣x）2，解得x＝6，∴AE＝6，BE＝8，CE＝4，∴DE＝＝＝3，∴BD＝BE+DE＝3+8＝11，作DH⊥AB，垂足为H，∵AB•DH＝BD•AE，∴DH＝＝＝，∴BH＝＝，∴AH＝AB﹣BH＝10﹣＝，∴tan∠BAD＝＝＝．【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，圆心角、弧、弦的关系，相交弦定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握并灵活运用性质定理，属于中考压轴题．（2019年甘肃兰州27题）27．（10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D 作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE．我们把这个数学模型成为“K型”．推理过程如下：【模型应用】如图，在Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，BC＝2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，连接DO交⊙O 于点F．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接FC交AB于点G，连接FB．求证：FG2＝GO•GB．【分析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点O在AB上，AB为⊙O直径，故只需证AD⊥AB即可．由∠ABC+∠BAC＝90°和∠DAE＝∠ABC可证得∠DAE+∠BAC ＝90°，而E、A、C在同一直线上，用180°减去90°即为∠BAD＝90°，得证．（2）依题意画出图形，由要证的结论FG2＝GO•GB联想到对应边成比例，所以需证△FGO∽△BGF．其中∠FGO＝∠BGF为公共角，即需证∠FOG＝∠BFG．∠BFG为圆周角，所对的弧为弧BC，故连接OC后有∠BFG＝∠BOC，问题又转化为证∠FOG＝∠BOC．把DO延长交BC于点H后，有∠FOG＝∠BOH，故问题转化为证∠BOH＝∠BOC．只要OH⊥BC，由等腰三角形三线合一即有∠BOH＝∠BOC，故问题继续转化为证DH∥CE．联系【模型呈现】发现能证△DEA≌△ACB，得到AE＝BC＝2，AC＝DE ＝1，即能求AD＝AB＝．又因为O为AB中点，可得到，再加上第（1）题证得∠BAD＝90°，可得△DAO∽△AED，所以∠ADO＝∠EAD，DO∥EA，得证．【解答】证明：（1）∵⊙O为Rt△ABC的外接圆∴O为斜边AB中点，AB为直径∵∠ACB＝90°∴∠ABC+∠BAC＝90°∵∠DAE＝∠ABC∴∠DAE+∠BAC＝90°∴∠BAD＝180°﹣（∠DAE+∠BAC）＝90°∴AD⊥AB∴AD是⊙O的切线（2）延长DO交BC于点H，连接OC∵DE⊥AC于点E∴∠DEA＝90°∵AB绕点A旋转得到AD∴AB＝AD在△DEA与△ACB中∴△DEA≌△ACB（AAS）∴AE＝BC＝2，AC＝DE＝1∴AD＝AB＝∵O为AB中点∴AO＝AB＝∴∵∠DAO＝∠AED＝90°∴△DAO∽△AED∴∠ADO＝∠EAD∴DO∥EA∴∠OHB＝∠ACB＝90°，即DH⊥BC∵OB＝OC∴OH平分∠BOC，即∠BOH＝∠BOC∵∠FOG＝∠BOH，∠BFG＝∠BOC∴∠FOG＝∠BFG∵∠FGO＝∠BGF∴△FGO∽△BGF∴∴FG2＝GO•GB【点评】本题考查了三角形外心定义，圆的切线判定，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，等腰三角形三线合一，圆周角定理．其中第（2）题证明DO∥EA进而得到DO垂直BC是解题关键．（2019年甘肃陇南27题）27.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．【答案】解：延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1C、EC1，如图所示：则EB1=B1C1，∠EB1M1中=90°=∠A1B1M1，∴△EB1C1是等腰直角三角形，∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°，∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，∴∠M1C1N1=90°+45°=135°，∴∠B1C1E+∠M1C1N1=180°，∴E、C1、N1，三点共线，在△A1B1M1和△EB1M1中，，∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS），∴A1M1=EM1，∠1=∠2，∵A1M1=M1N1，∴EM1=M1N1，∴∠3=∠4，∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5，∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°，∴∠A1M1N1=180°-90°=90°．【解析】延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1C、EC1，则EB1=B1C1，∠EB1M1中=90°=∠A1B1M1，得出△EB1C1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B1EC1=∠B1C1E=45°，证出∠B1C1E+∠M1C1N1=180°，得出E、C1、N1，三点共线，由SAS证明△A1B1M1≌△EB1M1得出A1M1=EM1，∠1=∠2，得出EM1=M1N1，由等腰三角形的性质得出∠3=∠4，证出∠1=∠2=∠5，得出∠5+∠6=90°，即可得出结论．此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．（2019年甘肃天水25题）25．（10分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．证明：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，求证：AD2+BC2＝AB2+CD2证明：∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；故答案为：AD2+BC2＝AB2+CD2．（3）连接CG、BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，∴GE＝．【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．（2019年广东深圳23题）23．（9分）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．（1）求证：直线OD是⊙E的切线；（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG；①当tan∠ACF＝时，求所有F点的坐标，F2（5，0）（直接写出）；②求的最大值．【分析】（1）连接ED，证明∠EDO＝90°即可，可通过半径相等得到∠EDB＝∠EBD，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得DO＝BO＝AO，∠ODB＝∠OBD，得证；（2）①分两种情况：a）F位于线段AB上，b）F位于BA的延长线上；过F作AC的垂线，构造相似三角形，应用相似三角形性质可求得点F坐标；②应用相似三角形性质和三角函数值表示出＝，令y＝CG2（64﹣CG2）＝﹣（CG2﹣32）2+322，应用二次函数最值可得到结论．【解答】解：（1）证明：如图1，连接DE，∵BC为圆的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠BDA＝90°∵OA＝OB∴OD＝OB＝OA∴∠OBD＝∠ODB∵EB＝ED∴∠EBD＝∠EDB∴EBD+∠OBD＝∠EDB+∠ODB即：∠EBO＝∠EDO∵CB⊥x轴∴∠EBO＝90°∴∠EDO＝90°∵点D在⊙E上∴直线OD为⊙E的切线．（2）①如图2，当F位于AB上时，过F作F1N⊥AC于N，∵F1N⊥AC∴∠ANF1＝∠ABC＝90°∴△ANF∽△ABC∴∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，即AB：BC：AC＝6：8：10＝3：4：5 ∴设AN＝3k，则NF1＝4k，AF1＝5k∴CN＝CA﹣AN＝10﹣3k∴tan∠ACF＝＝＝，解得：k＝∴即F1（，0）如图3，当F位于BA的延长线上时，过F2作F2M⊥CA于M，∵△AMF2∽△ABC∴设AM＝3k，则MF2＝4k，AF2＝5k∴CM＝CA+AM＝10+3k∴tan∠ACF＝解得：∴AF2＝5k＝2OF2＝3+2＝5即F2（5，0）故答案为：F1（，0），F2（5，0）．②如图4，∵CB为直径∴∠CGB＝∠CBF＝90°∴△CBG∽△CFB∴∴BC2＝CG•CFCF＝∵CG2+BG2＝BC2，∴BG2＝BC2﹣CG2∴＝＝∴＝令y＝CG2（64﹣CG2）＝﹣CG4+64CG2＝﹣[（CG2﹣32）2﹣322]＝﹣（CG2﹣32）2+322∴当CG2＝32时，此时CG＝4＝＝．【点评】本题是一道难度较大，综合性很强的有关圆的代数几何综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定定理，直角三角形性质，相似三角形性质和判定，动点问题，二次函数最值问题等，构造相似三角形和应用求二次函数最值方法是解题关键．（2019年广东24题）24．（9分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线；（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长．【分析】（1）由AB＝AC知∠ABC＝∠ACB，结合∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC得∠BCD＝∠ADC，从而得证；（2）连接OA，由∠CAF＝∠CF A知∠ACD＝∠CAF+∠CF A＝2∠CAF，结合∠ACB＝∠BCD得∠ACD＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得证；（3）证△ABE∽△CBA得AB2＝BC•BE，据此知AB＝5，连接AG，得∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，由点G为内心知∠DAG＝∠GAC，结合∠BAD+∠DAG ＝∠GDC+∠ACB得∠BAG＝∠BGA，从而得出BG＝AB＝5．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∴∠BCD＝∠ADC，∴ED＝EC；（2）如图1，连接OA，∵AB＝AC，∴＝，∴OA⊥BC，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CF A，∴∠ACD＝∠CAF+∠CF A＝2∠CAF，∵∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝2∠ACB，∴∠CAF＝∠ACB，∴AF∥BC，∴OA⊥AF，∴AF为⊙O的切线；（3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，∴△ABE∽△CBA，∴＝，∴AB2＝BC•BE，∴BC•BE＝25，∴AB＝5，如图2，连接AG，∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，∵点G为内心，∴∠DAG＝∠GAC，又∵∠BAD+∠DAG＝∠GDC+∠ACB，∴∠BAG＝∠BGA，∴BG＝AB＝5．【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆心角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．（2019年广东广州24题）24．（14分）如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．【分析】（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得∠DFC＝∠A，可证DF∥AB；（2）过点D作DM⊥AB交AB于点M，由题意可得点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，由△ACD的面积为S1的值是定值，则当点F在DM上时，S△ABF最小时，S最大；（3）过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，由勾股定理可求BG的长，通过证明△BGD∽△BHE，可求EC的长，即可求AE的长．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠A＝∠B＝∠C＝60°由折叠可知：DF＝DC，且点F在AC上∴∠DFC＝∠C＝60°∴∠DFC＝∠A∴DF∥AB；（2）存在，过点D作DM⊥AB交AB于点M，∵AB＝BC＝6，BD＝4，∴CD＝2∴DF＝2，∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，∴当点F在DM上时，S△ABF最小，∵BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60°∴MD＝2∴S△ABF的最小值＝×6×（2﹣2）＝6﹣6∴S最大值＝﹣（6﹣6）＝3+6（3）如图，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE∴DF＝DC＝2，∠EFD＝∠C＝60°∵GD⊥EF，∠EFD＝60°∴FG＝1，DG＝FG＝∵BD2＝BG2+DG2，∴16＝3+（BF+1）2，∴BF＝﹣1∴BG＝∵EH⊥BC，∠C＝60°∴CH＝，EH＝HC＝EC∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90°∴△BGD∽△BHE∴∴∴EC＝﹣1∴AE＝AC﹣EC＝7﹣【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键．（2019年广西池州25题）25．（10分）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，CF与⊙O相切于点C，交AB延长线于点F．（1）若AE＝DC，∠E＝∠BCD，求证：DE＝BC；（2）若OB＝2，AB＝BD＝DA，∠F＝45°，求CF的长．【分析】（1）由圆心角、弧、弦之间的关系得出，由圆周角定理得出∠ADE＝∠DBC，证明△ADE≌△DBC，即可得出结论；（2）连接CO并延长交AB于G，作OH⊥AB于H，则∠OHG＝∠OHB＝90°，由切线的性质得出∠FCG＝90°，得出△CFG、△OGH是等腰直角三角形，得出CF＝CG，OG ＝OH，由等边三角形的性质得出∠OBH＝30°，由直角三角形的性质得出OH＝OB ＝1，OG＝，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵AE＝DC，∴，∴∠ADE＝∠DBC，在△ADE和△DBC中，，∴△ADE≌△DBC（AAS），∴DE＝BC；（2）解：连接CO并延长交AB于G，作OH⊥AB于H，如图所示：则∠OHG＝∠OHB＝90°，∵CF与⊙O相切于点C，∴∠FCG＝90°，∵∠F＝45°，∴△CFG、△OGH是等腰直角三角形，∴CF＝CG，OG＝OH，∵AB＝BD＝DA，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴∠OBH＝30°，∴OH＝OB＝1，∴OG＝，∴CF＝CG＝OC+OG＝2+．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．（2019年广西贺州25题）25．（10分）如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8．（1）求∠ADB的度数；（2）求AC的长度．【分析】（1）由切线的性质得出AF⊥OA，由圆周角定理好已知条件得出∠F＝∠DBC，证出AF∥BC，得出OA⊥BC，求出∠BOA＝90°﹣30°＝60°，由圆周角定理即可得出结果；（2）由垂径定理得出BE＝CE＝BC＝4，得出AB＝AC，证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB，由直角三角形的性质得出OE＝OB，BE＝OE＝4，求出OE＝，即可得出AC＝AB＝OB＝2OE＝．【解答】解：（1）∵AF与⊙O相切于点A，∴AF⊥OA，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵∠BAC＝120°，∴∠DAC＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠F＝30°，∴∠F＝∠DBC，∴AF∥BC，∴OA⊥BC，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°，∴∠ADB＝∠AOB＝30°；（2）∵OA⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝4，∴AB＝AC，∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB，∵∠OBE＝30°，∴OE＝OB，BE＝OE＝4，∴OE＝，∴AC＝AB＝OB＝2OE＝．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证出OA⊥BC是解题的关键．（2019年广西柳州25题）25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F是⊙O上一点，且＝，连接FB，FD，FD交AB于点N．（1）若AE＝1，CD＝6，求⊙O的半径；（2）求证：△BNF为等腰三角形；（3）连接FC并延长，交BA的延长线于点P，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点M．求证：ON•OP＝OE•OM．【解答】解：（1）如图1，连接BC，AC，AD，∵CD⊥AB，AB是直径∴，CE＝DE＝CD＝3∴∠ACD＝∠ABC，且∠AEC＝∠CEB∴△ACE∽△CEB∴∴∴BE＝9∴AB＝AE+BE＝10∴⊙O的半径为5（2）∵＝∴∠ACD＝∠ADC＝∠CDF，且DE＝DE，∠AED＝∠NED＝90°∴△ADE≌△NDE（ASA）∴∠DAN＝∠DNA，AE＝EN∵∠DAB＝∠DFB，∠AND＝∠FNB∴∠FNB＝∠DFB∴BN＝BF，∴△BNF是等腰三角形（3）如图2，连接AC，CE，CO，DO，∵MD是切线，∴MD⊥DO，∴∠MDO＝∠DEO＝90°，∠DOE＝∠DOE∴△MDO∽△DEO∴∴OD2＝OE•OM∵AE＝EN，CD⊥AO∴∠ANC＝∠CAN，∴∠CAP＝∠CNO，∵∴∠AOC＝∠ABF∵CO∥BF∴∠PCO＝∠PFB∵四边形ACFB是圆内接四边形∴∠P AC＝∠PFB∴∠P AC＝∠PFB＝∠PCO＝∠CNO，且∠POC＝∠COE∴△CNO∽△PCO∴∴CO2＝PO•NO，∴ON•OP＝OE•OM．（2019年广西北部湾等25题）25．（10分）如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．【分析】（1）先判断出∠GCB+∠CBG＝90，再由四边形ABCD是正方形，得出∠CBE ＝90°＝∠A，BC＝AB，即可得出结论；（2）设AB＝CD＝BC＝2a，先求出EA＝EB＝AB＝a，进而得出CE＝a，再求出BG＝a，CG═a，再判断出△CQD≌△BGC（AAS），进而判断出GQ＝CQ，即可得出结论；（3）先求出CH＝a，再求出DH＝a，再判断出△CHD∽△DHM，求出HM＝a，再用勾股定理求出GH＝a，最后判断出△QGH∽△GCH，得出HN＝＝a，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵BF⊥CE，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB+∠CBG＝90，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，∴∠FBA+∠CBG＝90，∴∠GCB＝∠FBA，∴△ABF≌△BCE（ASA）；（2）证明：如图2，过点D作DH⊥CE于H，设AB＝CD＝BC＝2a，∵点E是AB的中点，∴EA＝EB＝AB＝a，∴CE＝a，在Rt△CEB中，根据面积相等，得BG•CE＝CB•EB，∴BG＝a，∴CG＝＝a，∵∠DCE+∠BCE＝90°，∠CBF+∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠CBF，∵CD＝BC，∠CQD＝∠CGB＝90°，∴△CQD≌△BGC（AAS），∴CQ＝BG＝a，∴GQ＝CG﹣CQ＝a＝CQ，∵DQ＝DQ，∠CQD＝∠GQD＝90°，∴△DGQ≌△CDQ（SAS），∴CD＝GD；（3）解：如图3，过点D作DH⊥CE于H，S△CDG＝•DQ＝CH•DG，∴CH＝＝a，在Rt△CHD中，CD＝2a，∴DH＝＝a，∵∠MDH+∠HDC＝90°，∠HCD+∠HDC＝90°，∴∠MDH＝∠HCD，∴△CHD∽△DHM，∴，∴HM＝a，在Rt△CHG中，CG＝a，CH＝a，∴GH＝＝a，∵∠MGH+∠CGH＝90°，∠HCG+∠CGH＝90°，∴∠QGH＝∠HCG，∴△QGH∽△GCH，∴，∴HN＝＝a，∴MN＝HM﹣HN＝a，∴＝【点评】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△DGQ≌△CDQ是解本题的关键．（2019年广西梧州25题）25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AF平分∠DAC，分别交DC，BC 的延长线于点E，F；连接DF，过点A作AH∥DF，分别交BD，BF于点G，H．（1）求DE的长；（2）求证：∠1＝∠DFC．【分析】（1）由AD∥CF，AF平分∠DAC，可得∠F AC＝∠AFC，得出AC＝CF＝5，可证出△ADE∽△FCE，则，可求出DE长；（2）由△ADG∽△HBG，可求出DG，则，可得EG∥BC，则∠1＝∠AHC，根据DF∥AH，可得∠AHC＝∠DFC，结论得证．【解答】（1）解：∵矩形ABCD中，AD∥CF，∴∠DAF＝∠ACF，∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF，∴∠F AC＝∠AFC，∴AC＝CF，∵AB＝4，BC＝3，∴＝＝5，∴CF＝5，∵AD∥CF，∴△ADE∽△FCE，∴，设DE＝x，则，解得x＝∴；（2）∵AD∥FH，AF∥DH，∴四边形ADFH是平行四边形，∴AD＝FH＝3，∴CH＝2，BH＝5，∵AD∥BH，∴△ADG∽△HBG，∴，∴，∴DG＝，∵DE＝，∴＝，∴EG∥BC，∴∠1＝∠AHC，又∵DF∥AH，∴∠AHC＝∠DFC，∠1＝∠DFC．【点评】本题考查了矩形的相关证明与计算，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键．（2019年广西梧州25题）25．（10分）如图，在正方形ABCD中，分别过顶点B，D作BE∥DF交对角线AC所在直线于E，F点，并分别延长EB，FD到点H，G，使BH＝DG，连接EG，FH．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）已知：AB＝2，EB＝4，tan∠GEH＝2，求四边形EHFG的周长．【分析】（1）证明△ABE≌△CDF（AAS），得BE＝DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；（2）如图，连接BD，交EF于O，计算EO和BO的长，得∠OEB＝30°，根据三角函数可得HM的长，从而得EM和EH的长，利用勾股定理计算FH的长，最后根据四边的和计算结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC，∵DF∥BE，∴∠CFD＝∠BEA，∵∠BAC＝∠BEA+∠ABE，∠DCA＝∠CFD+∠CDF，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，∵，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∵BH＝DG，∴BE+BH＝DF+DG，即EH＝GF，∵EH∥GF，∴四边形EHFG是平行四边形；（2）如图，连接BD，交EF于O，∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴∠AOB＝90°，∵AB＝2，∴OA＝OB＝2，Rt△BOE中，EB＝4，∴∠OEB＝30°，∴EO＝2，∵OD＝OB，∠EOB＝∠DOF，∵DF∥EB，∴∠DFC＝∠BEA，∴△DOF≌△BOE（AAS），∴OF＝OE＝2，∴EF＝4，∴FM＝2，EM＝6，过F作FM⊥EH于M，交EH的延长线于M，∵EG∥FH，∴∠FHM＝∠GEH，∵tan∠GEH＝tan∠FHM＝＝2，∴，∴HM＝1，∴EH＝EM﹣HM＝6﹣1＝5，FH＝＝＝，∴四边形EHFG的周长＝2EH+2FH＝2×5+2＝10+2．【点评】此题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，三角函数和全等三角形的判定等知识．充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件从而判定全等后利用全等三角形的性质解题，第二问有难度，恰当地作出辅助线是关键．（2019年广西百色25题）25．（10分）如图，已知AC、AD是⊙O的两条割线，AC与⊙O交于B、C两点，AD过圆心O且与⊙O交于E、D两点，OB平分∠AOC．（1）求证：△ACD∽△ABO；（2）过点E的切线交AC于F，若EF∥OC，OC＝3，求EF的值．[提示：（+1）（﹣1）＝1]【解答】证明：（1）∵OB平分∠AOC∴∠BOE＝∠AOC∵OC＝OD∴∠D＝∠OCD∵∠AOC＝∠D+∠OCD∴∠D＝∠AOC∴∠D＝∠BOE，且∠A＝∠A∴△ACD∽△ABO（2）∵EF切⊙O于E∴∠OEF＝90°∵EF∥OC∴∠DOC＝∠OEF＝90°∵OC＝OD＝3∴CD＝＝3∵△ACD∽△ABO∴∴∴AE＝3∵EF∥OC∴∴∴EF＝6﹣3（2019年广西贵港26题）26．（10分）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．①写出旋转角α的度数；②求证：EA′+EC＝EF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接P A，PF，若AB ＝，求线段P A+PF的最小值．（结果保留根号）【分析】（1）①解直角三角形求出∠A′CD即可解决问题．②连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．首先证明△CF A′是等边三角形，再证明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解决问题．（2）如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．证明△A′EF≌△A′EB′，推出EF＝EB′，推出B′，F关于A′E对称，推出PF＝PB′，推出P A+PF＝P A+PB′≥AB′，求出AB′即可解决问题．【解答】（1）①解：旋转角为105°．理由：如图1中，∵A′D⊥AC，∴∠A′DC＝90°，∵∠CA′D＝15°，∴∠A′CD＝75°，∴∠ACA′＝105°，∴旋转角为105°．②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，∴∠CEA′＝120°，∵FE平分∠CEA′，∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，∴△FOC∽△A′OE，∴＝，∴＝，∵∠COE＝∠FOA′，∴△COE∽△FOA′，∴∠F A′O＝∠OEC＝60°，∴△A′OF是等边三角形，∴CF＝CA′＝A′F，∵EM＝EC，∠CEM＝60°，∴△CEM是等边三角形，∠ECM＝60°，CM＝CE，∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，∴∠FCM＝∠A′CE，∴△FCM≌△A′CE（SAS），∴FM＝A′E，∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，∴△A′EF≌△A′EB′，∴EF＝EB′，∴B′，F关于A′E对称，∴PF＝PB′，∴P A+PF＝P A+PB′≥AB′，在Rt△CB′M中，CB′＝BC＝AB＝2，∠MCB′＝30°，∴B′M＝CB′＝1，CM＝，∴AB′＝＝＝．∴P A+PF的最小值为．【点评】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．（2019年广西桂林25题）25．（10分）如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD 交AB于点E，DE＝OE．（1）求证：△ACB是等腰直角三角形；（2）求证：OA2＝OE•DC：（3）求tan∠ACD的值．【分析】（1）由切线的性质和圆周角定理可得∠ACB＝∠ABM＝90°，由角平分线的性质可得∠CAB＝∠CBA＝45°；（2）通过证明△EDO∽△ODC，可得，即可得结论；（3）连接BD，AD，DO，作∠BAF＝∠DBA，交BD于点F，由外角的性质可得∠CAB ＝∠CDB＝45°＝∠EDO+∠ODB＝3∠ODB，可求∠ODB＝15°＝∠OBD，由直角三角形的性质可得BD＝DF+BF＝AD+2AD，即可求tan∠ACD的值．【解答】证明：（1）∵BM是以AB为直径的⊙O的切线，∴∠ABM＝90°，∵BC平分∠ABM，∴∠ABC＝∠ABM＝45°∵AB是直径∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°∴AC＝BC∴△ACB是等腰直角三角形；（2）如图，连接OD，OC∵DE＝EO，DO＝CO∴∠EDO＝∠EOD，∠EDO＝∠OCD∴∠EDO＝∠EDO，∠EOD＝∠OCD∴△EDO∽△ODC∴∴OD2＝DE•DC∴OA2＝DE•DC＝EO•DC（2）如图，连接BD，AD，DO，作∠BAF＝∠DBA，交BD于点F，∵DO＝BO∴∠ODB＝∠OBD，∴∠AOD＝2∠ODB＝∠EDO，∵∠CAB＝∠CDB＝45°＝∠EDO+∠ODB＝3∠ODB，∴∠ODB＝15°＝∠OBD∵∠BAF＝∠DBA＝15°∴AF＝BF，∠AFD＝30°∵AB是直径∴∠ADB＝90°∴AF＝2AD，DF＝AD∴BD＝DF+BF＝AD+2AD∴tan∠ACD＝tan∠ABD＝＝＝2﹣【点评】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．（2019年贵州毕节10题）10．（4分）如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．200cm2B．170cm2C．150cm2D．100cm2【解答】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB＝＝3x，∴3x＝30，解得x＝2，∴AC＝6，BC＝12，∴剩余部分的面积＝×6×12﹣（4）2＝100（cm2）．故选：D．（2019年贵州安顺25题）25．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：H为CE的中点；（3）若BC＝10，cos C＝，求AE的长．【分析】（1）连结OD、AD，如图，先利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，则根据等腰三角形的性质得BD＝CD，再证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC，加上DH⊥AC，所以OD⊥DH，然后根据切线的判定定理可判断DH为⊙O的切线；（2）连结DE，如图，有圆内接四边形的性质得∠DEC＝∠B，再证明∠DEC＝∠C，然后根据等腰三角形的性质得到CH＝EH；（3）利用余弦的定义，在Rt△ADC中可计算出AC＝5，在Rt△CDH中可计算出CH ＝，则CE＝2CH＝2，然后计算AC﹣CE即可得到AE的长．【解答】（1）解：DH与⊙O相切．理由如下：连结OD、AD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，而AO＝BO，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH为⊙O的切线；（2）证明：连结DE，如图，∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，∴∠DEC＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∵DH⊥CE，∴CH＝EH，即H为CE的中点；（3）解：在Rt△ADC中，CD＝BC＝5，∵cos C＝＝，∴AC＝5，在Rt△CDH中，∵cos C＝＝，∴CH＝，∴CE＝2CH＝2，∴AE＝AC﹣CE＝5﹣2＝3．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的判定定理和等腰三角形的判定与性质；会利用三角函数的定义解直角三角形．（2019年贵州贵阳25题）25．（12分）（1）数学理解：如图①，△ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，求AB，BE，AF之间的数量关系；（2）问题解决：如图②，在任意直角△ABC内，找一点D，过点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，若AB＝BE+AF，求∠ADB的度数；（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长ED，FD，交AB于点M，N，求MN，AM，BN的数量关系．【分析】数学理解：（1）由等腰直角三角形的性质可得AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，AB＝AC，由正方形的性质可得DE＝DF＝CE，∠DFC＝∠DEC＝90°，可求AF＝DF＝CE，即可得AB＝（AF+BE）；问题解决：（2）延长AC，使FM＝BE，通过证明△DFM≌△DEB，可得DM＝DB，通过△ADM≌。

2019年中考数学几何综合型试题分类汇编及答案各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢1.重庆，11，4分)据报道，重庆主城区私家车拥有量近380000辆.将数380000用科学记数法表示为________ 【解析】科学记数法的正确写法是：a×。

【答案】×105【点评】通常易犯的错误是a的整数位数不对。

2.过度包装既浪费资源又污染环境.据测算，如果全国每年减少10%的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳3120000吨.把数3120000用科学记数法表示为×105 ×106 ×105 ×107【解析】3120000是一个7位整数，所以3120000用科学记数法可表示为×1000000=×106，故选B.【答案】B【点评】科学记数法是将一个数写成a×10n的形式，其中1≤|a|1时，n是正数;当原数的绝对值1时，n是正数;当原数的绝对值<1时，n是负数.学生在学习科学记数法时最不容易掌握的就是n的确定，查准是10的几次方。

还有的学生容易把“×10n”忘记而丢失，要明确记清.其方法是确定a，a是只有一位整数的数;确定n;当原数的绝对值≥10时，n 为正整数，n等于原数的整数位数减1;当原数的绝对值<1时，n为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数.16. 2011年安徽省棉花产量约378000吨，将378000用科学计数法表示应是______________.【解析】科学记数法形式：a×10n 中n的值是易错点，由于378 000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5，所以378 000=×105【答案】×105【点评】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数;当原数的绝对值小于1时，n是负数.表示时关键要正确确定a 的值以及n的值.17.从权威部门获悉，中国海洋面积是万平方公里，约为陆地面积的三分之一, 万平方公里用科学计数法表示为平方公里A. B. C. D.【解析】∵万平方公里=×106平方公里，且结果保留两位有效数字∴×106平方公里≈【答案】C.【点评】此题考查对科学计数法和有效数字的理解，把一个绝对值大于10的整数记为a×10n的形式, 这种记数法叫做科学记数法.; 在一个近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。

2019年全国各地中考数学压轴题汇编(湖北专版)几何综合参考答案与试题解析.解答题(共22小题)1 . (2019?天门)请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹.(1)如图①，四边形ABCD中，AB = AD, / B=Z D,画出四边形ABCD的对称轴m；(2)如图②，四边形ABCD中，AD // BC, Z A=Z D,画出BC边的垂直平分线n.图②解：(1)如图①，直线m即为所求(2)如图②，直线n即为所求2. (2019?武汉)已知AB是。

的直径，AM和BN是。

的两条切线，DC与。

相切于点E,分别交AM、BN于D、C两点.(1)如图1,求证：AB2=4AD?BC;(2)如图2,连接OE并延长交AM于点F,连接CF.若/ADE = 2/OFC, AD = 1 ,求图中阴影部分的面积.(1)证明：连接OC、OD,如图1所示:■「AM和BN是它的两条切线，・•• AMXAB, BNXAB,AM // BN,・./ ADE + / BCE= 180°DC 切。

于E,・./ODE =▲/ADE, /OCE=^/BCE,2 2・./ ODE + ZOCE = 90° ,・./ DOC =90° ,・./AOD + /COB = 90° ,・. /AOD + /ADO = 90° ,・./ AOD =/ OCB,・. / OAD =/ OBC=90° ,.•.△AOD^ABCO,BO BC・•.OA2=AD?BC,』AB) 2=AD?BC,2・•・ AB2=4AD?BC;(2)解：连接OD , OC,如图2所示：・. / ADE = 2/OFC ,/ ADO = / OFC ,・•• / ADO = / BOC , / BOC = / FOC ,・./ OFC =Z FOC,.•.CF = OC,・••CD垂直平分OF,.•.OD=DF,'OCXF 在ACOD 和^CFD 中，・ 0D=DF ，CD=CD.,.△COD^ACFD (SSS),・ ./ CDO =Z CDF ,・ . /ODA + /CDO+/CDF = 180° ,・ ./ ODA = 60° =Z BOC,・ ./ BOE= 120° ,在 RtADAO , AD =运OA, 31 △BOC 中，BC = 73OB ,2 •.AD: BC = 1 : 3,3 •• AD = 1,BC=3, OB = V3,.二图中阴影部分的面积= 2S A OBC - S 扇形 OBE= 2 x ~^x X 3 — 1乂_=3、/^一兀. 二 I图1图12 (2019?天门)如图，E, F 分别是正方形 ABCD 的边CB, DC 延长线上的点，且 BE=CF,过点E 作EG // BF ,交正方形外角的平分线 CG 于点G,连接GF .求证：(1) AEXBF ;(2)四边形BEGF 是平行四边形.证明：(1)二.四边形 ABCD 是正方形,3. A D M AD F M，AB=BC, Z ABC = Z BCD = 90° ,・./ ABE=/ BCF=90° ,'AB 二BC在AABE 和^ BCF 中，，/ABE:NBCF，脚工FABE^A BCF (SAS),AE= BF, / BAE = Z CBF ,・•• EG // BF,・./ CBF = Z CEG,・. / BAE+Z BEA=90° ,・./ CEG + /BEA= 90° ,AE± EG,AE± BF;(2)延长AB至点P,使BP=BE,连接EP,如图所示: 则AP=CE, / EBP =90° ,・./ P = 45° ,・•• CG为正方形ABCD外角的平分线，・./ ECG = 45° ,・./ P = Z ECG,由(1)得/ BAE=Z CEG,'Z P=Z ECG在△ APE 和△ ECG 中，.研二,l ZBAE=ZCEGAPE^A ECG (ASA),AE= EG,••• AE= BF,EG = BF,••• EG // BF,••・四边形BEGF是平行四边形.4. ( 2019?武汉)在△ ABC 中，Z ABC = 90° , —=n, M 是 BC 上一点，连接 AM.BC(1)如图1,若n= 1, N 是AB 延长线上一点， CN 与AM 垂直，求证：BM = BN.(2)过点B 作BPXAM, P 为垂足，连接 CP 并延长交 AB 于点Q.• •• AMXCN,• •.Z AHC = 90° ,• . /ABC=90° ,• ./BAM+/AMB = 90° , Z BCN + Z CMH =90° ,• . / AMB =/ CMH ,/ BAM = / BCN ,• . BA=BC, Z ABM =Z CBN = 90• •.△ABM^ACBN (ASA), BM= BN.①如图2,若n=1,求证：—.PQ BQ②如图3,若M 是BC 的中点，直接写出tan/BPQ 的值.(用含n 的式子表示)AM 交CN 于点H .(1)证明：如图1中，延长(2)①证明：如图2中，作CH//AB交BP的延长线于H .图？BP± AM,・./ BPM =/ ABM =90 ° ,・. /BAM+/AMB = 90° , / CBH+/BMP = 90° ,/ BAM = / CBH ,. CH //AB,・./ HCB+/ABC= 90° ,・. /ABC=90° ,・./ ABM =/ BCH = 90° ,・•• AB= BC,・•.△ABM^ABCH (ASA),BM = CH,. CH // BQ,.PC _ CH _ Bl . = =PQ BQ BQ②解：如图3中，作CH //AB交BP的延长线于H,作CN^BH于N.不妨设BC=2m,则AB = 2mn.A Q~ 邺则BM = CM=m, CH= —, BH =%]+4门2, AM = m/]+4n2,・••—?AM?BP= —?AB?BM ,2 2・-------- PB=7彳，.L?BH?CN= J L?CH?BC ,2 2•. CNXBH, PM ±BH ,MP // CN, ••• CM= BM,・. / BPQ = / CPN,5. (2019?十堰)如图，△ ABC中，AB=AC,以AC为直径的。

几何综合东城区27. 已知△ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，且AD =AB ， 过点C 作AD 的垂线，交 AD的延长线于点H ．（1）如图1，若60BAC ∠=︒①直接写出B ∠和ACB ∠的度数； ②若AB =2，求AC 和AH 的长；（2）如图2，用等式表示线段AH 与AB +AC 之间的数量关系，并证明．27. （1）①75B ∠=︒，45ACB ∠=︒；--------------------2分②作DE ⊥AC 交AC 于点E .Rt △ADE 中，由30DAC ∠=︒，AD=2可得DE =1，AE . Rt △CDE 中，由45ACD ∠=︒，DE=1，可得EC =1.∴AC 1=.Rt △ACH 中，由30DAC ∠=︒，可得AH ； --------------4分（2）线段AH 与AB +AC 之间的数量关系：2AH =AB +AC证明： 延长AB 和CH 交于点F ，取BF 中点G ，连接GH . 易证△ACH ≌△AFH . ∴AC AF =,HC HF =. ∴GH BC ∥. ∵AB AD =， ∴ ABD ADB ∠=∠. ∴ AGH AHG ∠=∠ . ∴ AG AH =.∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==. --------------7分 西城区27．正方形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作CE AM ⊥于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ．（1）如图，当045α︒<<︒时， ①依题意补全图．②用等式表示NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系：__________．（2）当4590α︒<<︒时，探究NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系并加以证明． （3）当090α︒<<︒时，若边AD 的中点为F ，直接写出线段EF 长的最大值．CDBA图1备用图C DBAM【解析】（1）①补全的图形如图所示：NEMABD C②2NCE BAM ∠=∠．（2）1902MCE BAM ∠+∠=︒，连接CM ，NQMABDC EDAM DCM ∠=∠，DAQ ECQ ∠=∠，∴2NCE MCE DAQ ∠=∠=∠，∴12DCM NCE ∠=∠，∵BAM BCM ∠=∠， 90BCM DCM ∠+∠=︒，∴1902NCE BAM ∠+∠=︒． （3）∵90CEA ∠=︒， ∴点E 在以AC 为直径的圆上，E∴max 1EF FO r =+=+27点（（27．.解：（1）作PF ⊥DE 交DE 于F . ∵PE ⊥BO ，60AOB ∠=， ∴30OPE ∠=.∴30DPA OPE ∠=∠=.∴120EPD ∠=. ……………1分∵DP PE =,6DP PE +=, ∴30PDE ∠=,3PD PE ==.∴cos30DF PD =⋅︒=∴2DE DF ==分 （2）当M 点在射线OA上且满足OM =DMME的值不变，始终为1.理由如下： ………………4分 当点P 与点M 不重合时，延长EP 到K 使得PK PD =. ∵,DPA OPE OPE KPA ∠=∠∠=∠, ∴KPA DPA ∠=∠. ∴KPMDPM ∠=∠.∵PK PD =,PM 是公共边, ∴KPM △≌DPM △. ∴MKMD =. ………………5分作ML ⊥OE 于L ,MN ⊥EK 于N .∵60MO MOL =∠=， ∴sin 603ML MO =⋅=. ………………6分∵PE ⊥BO ,ML ⊥OE ,MN ⊥EK ， ∴四边形MNEL 为矩形. ∴3EN ML ==.∵6EK PE PK PE PD =+=+=, ∴EN NK =. ∵MN ⊥EK , ∴MK ME =. ∴ME MK MD ==,即1DMME=. 当点P 与点M 重合时，由上过程可知结论成立. ……………7分 丰台区27．如图，Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CA = CB ，过点C 在△ABC 外作射线CE ，且∠BCE = α，点B 关于CE 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，CD ，其中AD ，BD 分别交射线CE 于点M ，N . （1）依题意补全图形；（2）当α= 30°时，直接写出∠CMA 的度数；（3）当0°<α< 45°时，用等式表示线段AM ，CN 之间的数量关系，并证明．ABCE27．解：（1）如图； …………………1分（2）45°； …………………2分 （3）结论：AM CN ． …………………3分 证明：作AG ⊥EC 的延长线于点G ．∵点B 与点D 关于CE 对称， ∴CE 是BD 的垂直平分线． ∴CB =CD ． ∴∠1=∠2=α．∵CA =CB ，∴CA =CD ．∴∠3=∠CAD ． ∵∠4=90°， ∴∠3=12（180°-∠ACD ）=12（180°-90°-α-α）=45°-α．∴∠5=∠2+∠3=α+45°-α=45°．…………………5分 ∵∠4=90°，CE 是BD 的垂直平分线， ∴∠1+∠7=90°，∠1+∠6=90°． ∴∠6=∠7． ∵AG ⊥EC ，∴∠G =90°=∠8． ∴在△BCN 和△CAG 中， ∠8=∠G ，∠7=∠6，BC =CA ，∴△BCN ≌△CAG ．∴CN =AG ． ∵Rt△AMG 中，∠G =90°，∠5=45°， ∴AM AG ．∴AMCN ． …………………7分 （其他证法相应给分.）石景山区27．在正方形ABCD 中，M 是BC 边上一点，点P 在射线AM 上，将线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接BP ，DQ ． （1）依题意补全图1；（2）①连接DP ，若点P ，Q ，D 恰好在同一条直线上，求证：2222DP DQ AB +=； ②若点P ，Q ，C 恰好在同一条直线上，则BP 与AB 的数量关系为： ．27．（1）补全图形如图1. ………………… 1分（2）①证明：C图1连接BD ，如图2，∵线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ， ∴AQ AP =，90QAP ∠=°． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD AB =，90DAB ∠=°． ∴12∠=∠．∴△ADQ ≌△ABP ． ………………… 3分 ∴DQ BP =，3Q ∠=∠．∵在Rt QAP ∆中，90Q QPA ∠+∠=°， ∴390BPD QPA ∠=∠+∠=°． ∵在Rt BPD ∆中，222DP BP BD +=， 又∵DQ BP =，222BD AB =，∴2222DP DQ AB +=． ………………… 5分 ②BP AB =． ………………… 7分 证明：过点A 作AE⊥PQ 于E ，连接BE AC ∴AE 是△PAQ 的垂线∵三△PAQ 是等腰直角三角形（已证） ∴AE 是等腰直角三角形PAQ 的垂线，角平分线 ∴∠AEP=90°，AE=PE ∵正方形ABCD ∴∠ABC=90° ∠ACB=∠BAC=45° ∠AEP+∠ABC=180° ∴A ，B ，C ，E 四点共圆∴∠AEB=∠ACB=45°，∠CEB=∠BAC=45° ∴∠AEB=∠CEB=45° ∵BE=BE∴△ABE≌△PBE (SAS) ∴BP=AB 朝阳区27. 如图，在菱形ABCD 中，∠DAB =60°，点E 为AB 边上一动点（与点A ，B 不重合），连接CE ，将∠ACE 的两边所在射线CE ，CA 以点C 为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD 于点F ，G.（1）依题意补全图形；（2）若∠ACE=α，求∠AFC的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系，并证明．27.（1）补全的图形如图所示.……………………………………1分（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.∴∠FCG=∠ACE=α.∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴∠DAC=∠BAC= 30°. ……………………………………………2分∴∠AGC=30°.∴∠AFC =α+30°. …………………………3分（3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系为CG AF AE 3=+.证明：作CH ⊥AG 于点H.由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°.∴CA=CG. …………………………………………………5分 ∴HG =21AG. ∵∠ACE =∠GCF ，∠CAE =∠CGF ，∴△ACE ≌△GCF. ……………………………6分 ∴AE =FG .在Rt △HCG 中， .23cos CG CGH CG HG =∠⋅= ∴AG =3CG . …………………………………………7分 即AF+AE =3CG . 燕山区27．如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的顶点为M ，直线y=m 与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶．(1)由定义知，取AB 中点N ，连结MN ，MN 与AB 的关系是 (2)抛物线221x y =对应的准蝶形必经过B (m ，m ),则m = ，对应的碟宽AB 是 (3)抛物线)0(3542>--=a a ax y 对应的碟宽在x 轴上，且AB=6. 准蝶形AMBABM11①求抛物线的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P （p x ，p y ），使得∠APB 为锐角，若有，请求出p y 的取值范围.若没有，请说明理由. ,备用图27.解：(1)MN 与AB 的关系是 MN ⊥AB ，MN=21AB…………………………………2′（2） m= 2 对应的碟宽是4…………………………………4′(3) ①由已知，抛物线必过（3，0），代入)0(3542>--=a a ax y 得，03549=--a a31=a∴抛物线的解析式是3312-=x y …………………………………5′ ② 由①知，3312-=x y 的对称轴上P （0，3），P （0，-3）时，∠APB 为直角， ∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P ，使得∠APB 为锐角，p y 的取值范围是33〉〈-p p y y 或…………………………………7′门头沟区27. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，2A α∠=，点D 是BC 的中点，DE AB E ⊥于点，DF AC F ⊥于点. （1）EDB ∠=_________°；（用含α的式子表示）（2）作射线DM 与边AB 交于点M ，射线DM 绕点D 顺时针旋转1802α︒-，与AC 边交于点N ． ①根据条件补全图形；②写出DM 与DN 的数量关系并证明；③用等式表示线段BM CN 、与BC 之间的数量关系，B（用含α的锐角三角函数表示）并写出解题思路.27．（本小题满分7分）（1）EDBα∠=……………………………………………1分（2）①补全图形正确……………………………………2分②数量关系：DM DN=…………………………………3分∵,AB AC BD DC==∴DA平分BAC∠∵DE AB E⊥于点，DF AC F⊥于点∴DE DF=，MED NFD∠=∠……………………4分∵2Aα∠=∴1802EDFα∠=︒-∵1802MDNα∠=︒-∴MDE NDF∠=∠∴MDE NDF△≌△……………………5分∴DM DN=③数量关系：sinBM CN BCα+=⋅……………………6分证明思路：a.由MDE NDF△≌△可得EM FN=b. 由AB AC=可得B C∠=∠,进而通过BDE CDF△≌△,可得BE CF=进而得到2BE BM CN=+c.过BDERt△可得sinBEBDα=,最终得到sinBM CN BCα+=⋅……………7分大兴区27．如图，在等腰直角△ABC中，∠CAB=90°，F是AB边上一点，作射线CF，过点B作BG⊥C F于点G，连接AG．（1）求证：∠ABG=∠ACF；（2）用等式表示线段C G，AG，BG之间的等量关系，并证明．B121327.（1）证明∵ ∠CAB=90°. ∵ BG ⊥CF 于点G ， ∴ ∠BGF =∠CAB =90°.∵∠GFB =∠CFA . ………………………………………………1分 ∴ ∠ABG =∠ACF . ………………………………………………2分（2）CG+BG . …………………………………………………3分证明：在CG 上截取CH =BG ，连接AH ， …………………………4分 ∵ △ABC 是等腰直角三角形， ∴ ∠CAB =90°，AB =AC . ∵ ∠ABG =∠ACH .∴ △ABG ≌△ACH . …………………………………………………… 5分 ∴ AG =AH ,∠GAB =∠HAC . ∴ ∠GAH =90°.∴ 222AG AH GH +=.∴ GHAG . ………………………………………………………6分 ∴ CG =CH +GH+BG . ………………………………………7分 平谷区27．在△ABC 中，AB=AC ，CD ⊥BC 于点C ，交∠ABC 的平分线于点D ，AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，连接DF ． （1）补全图1；（2）如图1，当∠BAC =90°时，①求证：BE=DE ；②写出判断DF 与AB 的位置关系的思路（不用写出证明过程）； （3）如图2，当∠BAC=α时，直接写出α，DF ，AE 的关系．图1BB图21427．解：（1）补全图1； (1)B（2）①延长AE ，交BC 于点H ． ····· 2 ∵AB=AC ， AE 平分∠BAC ，∴AH ⊥BC 于H ，BH=HC ．∵CD ⊥BC 于点C ， ∴EH ∥CD ．∴BE=DE ． (3)②延长FE ，交AB 于点G ．由AB=AC ，得∠ABC =∠ACB ． 由EF ∥BC ，得∠AGF =∠AFG ． 得AG=AF ．由等腰三角形三线合一得GE=E F ． ·· 4 由∠GEB =∠FED ，可证△BEG ≌△DEF ．可得∠ABE =∠FDE ． (5)从而可证得DF ∥AB ． ······· 6 （3）tan 2DF αAE ． (7)怀柔区27.如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，点D 是BC 上任意一点，将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE ，连结EC. (1)依题意补全图形；BB15B(2)求∠ECD 的度数；(3)若∠CAE=7.5°，AD=1，将射线DA 绕点D 顺时针旋转60°交EC 的延长线于点F ，请写出求AF 长的思路．27.(1)如图………………………………………………1分(2) ∵线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE. ∴∠DAE=90°，AD=AE. ∴∠DAC+∠CAE =90°. ∵∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠DAC =90°.∴∠BAD=∠CAE . …………………………………………………………………………2分 又∵AB=AC, ∴△ABD≌△ACE. ∴∠B=∠ACE.∵△ABC 中，∠A=90°，AB=AC, ∴∠B=∠ACB=∠ACE=45°.∴∠ECD=∠ACB+∠ACE=90°. ……………………………………………………………4分 (3)Ⅰ.连接DE,由于△ADE 为等腰直角三角形，所以可求DE=2；……………………5分 Ⅱ.由∠ADF=60°,∠CAE=7.5°，可求∠EDC 的度数和∠CDF 的度数，从而可知DF 的长； …………………………………………………………………………………………………6分 Ⅲ.过点A 作AH ⊥DF 于点H ，在Rt△ADH 中, 由∠ADF=60°，AD=1可求AH 、DH 的长； Ⅳ. 由DF 、DH 的长可求HF 的长；Ⅴ. 在Rt△AHF 中, 由AH 和HF,利用勾股定理可求AF 的长．…………………………7分16 延庆区27．如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 延长线上一点，连接DE ，过点B 作BF ⊥DE 于点F ，连接FC ． （1）求证：∠FBC =∠CDF ．（2）作点C 关于直线DE 的对称点G ，连接CG ，FG ．①依据题意补全图形；②用等式表示线段DF ，BF ，CG 之间的数量关系并加以证明．27.（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DCB =90°． ∴∠CDF +∠E =90°． ∵BF ⊥DE ，∴∠FBC +∠E =90°． ∴∠FBC =∠CDF ．……2分（2）①……3分②猜想：数量关系为：BF =DF +CG ．图1FDEC BA GFDBA17证明：在BF 上取点M 使得BM =DF 连接CM ．∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC =DC ．∵∠FBC =∠CDF ，BM =DF ， ∴△BMC ≌△DFC ． ∴CM =CF ，∠1=∠2． ∴△MCF 是等腰直角三角形．∴∠MCF =90°，∠4=45°． ……5分 ∵点C 与点G 关于直线DE 对称， ∴CF =GF ，∠5=∠6． ∵BF ⊥DE ，∠4=45°， ∴∠5=45°， ∴∠CFG =90°， ∴∠CFG =∠MCF ， ∴CM ∥GF ． ∵CM =CF ，CF =GF ， ∴CM =GF ，∴四边形CGFM 是平行四边形， ∴CG =MF ．∴BF =DF +CG ． ……7分顺义区27. 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，连接AE ，延长CB 至点F ，使BF=BE ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，射线FH 分别交AB 、CD 于点M 、N ，交对角线AC 于点P ，连接AF ． （1）依题意补全图形； （2）求证：∠FAC =∠APF ；（3）判断线段FM 与PN 的数量关系，并加以证明．27．（1）补全图如图所示． ………………………………………………………… 1分 （2）证明∵正方形ABCD ，∴∠BAC =∠BCA =45°，∠ABC =90°，∴∠PAH=45°-∠BAE．∵FH⊥AE．∴∠APF=45°+∠BAE．∵BF=BE，∴AF=AE，∠BAF=∠BAE．∴∠FAC=45°+∠BAF．∴∠FAC=∠APF．…………………………… 4分Array（3）判断：FM=PN．…………………………………… 5分证明：过B作BQ∥MN交CD于点Q，∴MN=BQ，BQ⊥AE．∵正方形ABCD，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°．∴∠BAE=∠CBQ．∴△ABE≌△BCQ．∴AE=BQ．∴AE=MN．∵∠FAC=∠APF，∴AF=FP．∵AF=AE，∴AE=FP．∴FP=MN．∴FM=PN．…………………………………………………………… 8分18。

几何证明东城区19. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D . BF 平分∠ABC 交AD 于点E ，交AC 于点F . 求证：AE =AF .19.证明： ∵∠BAC =90°，∴∠FBA +∠AFB =90°. -------------------1分 ∵AD ⊥BC ，∴∠DBE +∠DEB =90°．---------------- 2分 ∵BE 平分∠ABC ,∴∠DBE =∠FBA . -------------------3分 ∴∠AFB =∠DEB . -------------------4分 ∵∠DEB =∠FEA ， ∴∠AFB =∠FEA .∴AE =AF . -------------------5分 西城区19．如图，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥于点D ，AB 的中点为E ，AE AC <． （1）求证：DE AC ∥．（2）点F 在线段AC 上运动，当AF AE =时，图中与ADF △全等的三角形是__________．ECBA【解析】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠， ∴12∠=∠， ∵BD AD ⊥于点D ， ∴90ADB ∠=︒， ∴ABD △为直角三角形． ∵AB 的中点为E ， ∴2AB AE =，2ABDE =， ∴DE AE =， ∴13∠=∠， ∴23∠=∠， ∴DE AC ∥． （2）ADE △．321ECBA海淀区19．如图，△ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，连接CD ，过点B 作CD 的平行线EF ，求证：BC 平分ABF ∠．FE DCB A19. 证明：∵90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点， ∴12CD AB BD ==. ∴ABC DCB ∠=∠. …………… ∵DC EF ∥，∴CBF DCB ∠=∠.∴CBF ABC ∠=∠. ∴BC 平分ABF ∠. 丰台区19．如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 是BC 边上的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．求证：DE = DF ．F E CBA19．证明：连接AD .∵AB ＝BC ，D 是BC 边上的中点，∴∠BAD =∠CAD . ………………………3分 ∵DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴DE ＝DF ． ………………………5分 （其他证法相应给分） 石景山区19．问题:将菱形的面积五等分．小红发现只要将菱形周长五等分，再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题．如图，点O 是菱形ABCD 的对角线交点，5AB =，下面是小红将菱形ABCD 面积五等分的操作与证明思路，请补充完整.O H FE DCB A（1）在AB 边上取点E ，使4AE =，连接OA ，OE ； （2）在BC 边上取点F ，使BF = ，连接OF ； （3）在CD 边上取点G ，使CG = ，连接OG ； （4）在DA 边上取点H ，使DH = ，连接OH ．由于AE = ＋ = ＋ = ＋ = . 可证S △AOE ==EOFB FOGC GOHD S S S ==四边形四边形四边形S △HOA .19．解：3，2，1； ………………2分EB 、BF ；FC 、CG ；GD 、DH ；HA. ………………4分朝阳区19. 如图，在△ACB 中，AC =BC ，AD 为△ACB 的高线，CE 为△ACB 的中线.求证：∠DAB =∠ACE.19. 证明：∵AC ＝BC ，CE 为△ACB 的中线，AB CEF∴∠CAB＝∠B，CE⊥AB. ……………………………………………2分∴∠CAB＋∠ACE＝90°. ………………………………………………3分∵AD为△ACB的高线，∴∠D＝90°.∴∠DAB＋∠B＝90°. ……………………………………………………4分∴∠DAB＝∠ACE. ………………………………………………………5分燕山区19．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题。

＋此专年选择、填空、解答均会出解题策略1．熟练掌握定义、定理，规范推理过程，能够准确运用各种性质、判定定理． 2．由已知提供的信息能够快速找到辅助线的做法是突破此类题难点的关键．,重难点突破)三角形的有关计算和证明【例1】(重庆中考B 卷)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为AC 边的中点，过点A 作AD⊥AB 交BE 的延长线于点D.CG 平分∠ACB 交BD 于点G ，F 为AB 边上一点，连接CF ，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF ＝CG ；(2)CF ＝2DE.【解析】(1)要证明AF ＝CG ，可以利用“ASA ”证明△ACF≌△CBG 来得到；(2)要证明CF ＝2DE ，由(1)得CF ＝BG ，则只要证明BG ＝2DE ，又利用△AED≌△CEG 可得DG ＝2DE ，再证明DG ＝BG 即可．【答案】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG 平分∠ACB，AC ＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°.又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴CF＝BG，AF＝CG；(2)延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB中点．又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∠D＝∠EGC.又∵H为AB中点，∴G为BD中点，∴BG＝DG.∵E为AC中点，∴AE＝EC.又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(AAS)，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE.由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.1．(2019湖南中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE.(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG2－GE2＝EA2.解：(1)BH＝AC.证明：∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCD＝45°＝∠ABC，∴DB＝DC.又∵∠BHD＝∠CHE，∴∠DBH＝∠DCA.∴△DBH≌△DCA，∴BH＝AC；(2)连接GC.则GC2－GE2＝EC2.∵F为BC中点，DB＝DC，∴DF垂直平分BC，∴BG＝GC.∴BG2－GE2＝EC2.∵∠ABE＝∠CBE，∠CEB＝∠AEB，BE＝BE，∴△BCE≌△BAE，∴EC＝EA，∴BG2－GE2＝EA2.【方法指导】熟练应用三角形全等的性质和判定方法，准确判断用哪种方法判定．四边形的有关计算和证明【例2】(邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．【解析】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30°，利用锐角三角函数可求出AE，BE，进而求出AD，DE，即可求出菱形BFDE的面积．【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD.由翻折得：BM＝AB，DN＝DC，∠A＝∠EMB，∠C＝∠DNF，∴BM＝DN，∠EMB＝∠DNF＝90°，∴BN＝DM，∠EMD＝∠FNB＝90°.∵AD ∥BC ，∴∠EDM ＝∠FBN，∴△EDM ≌△FBN(ASA)，∴ED ＝BF ， ∴四边形BFDE 是平行四边形； (2)∵四边形BFDE 是菱形， ∴∠EBD ＝∠FBD.∵∠ABE ＝∠EBD，∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝13×90°＝30°.在Rt △ABE 中，∵AB ＝2，∴AE ＝233，BE ＝433，∴ED ＝433，∴AD ＝2 3.∴S 菱形BFDE ＝ED·AB＝433×2＝833.2．(襄阳中考)如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG∥CD 交AF 于点G ，连接DG.(1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG ，GF ，AF 之间的数量关系，并说明理由； (3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．解：(1)由折叠的性质可得，∠AFD ＝∠AFE，FD ＝FE. ∵EG ∥CD ，∴∠EGF ＝∠AFD， ∴∠EGF ＝∠AFE，∴EG ＝EF ＝FD ，∴EG 綊FD ， ∴四边形EFDG 是平行四边形． 又∵FD＝FE ，∴▱EFDG 是菱形； (2)连接ED 交AF 于点H.∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝D H ＝12DE.∵∠FEH ＝∠FAE＝90°－∠EFA，∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF FH ＝AFEF.即EF 2＝FH·AF，∴EG 2＝12AF ·GF ；(3)∵AG＝6，EG ＝25，EG 2＝12AF ·GF ，∴(25)2＝12(6＋GF)GF.∵GF>0，∴GF ＝4，∴AF ＝10. ∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8.∵∠CDE ＋∠DFA＝90°，∠DAF ＋∠DFA＝90°， ∴∠CDE ＝∠DAF，∴Rt △ADF ∽Rt △DCE ，∴ECDF＝DEAF，即EC25＝810，∴EC＝855，∴BE＝BC－EC＝1255.【方法指导】熟练掌握特殊四边形的性质和判定，注意三种变换在题中穿插考查．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图为二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象，则下列说法：①a>0 ②2a+b=0 ③a+b+c>0 ④ 当-1<x<3时，y>0 其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.42．某篮球运动员在连续7场比赛中的得分(单位：分)依次为21，16，17，23，20，20，23，则这组数据的平均数与中位数分别是( ) A ．20分，17分B ．20分，22分C ．20分，19分D ．20分，20分3．下列运算中，结果正确的是（ ） A.235a a a += B.236a a a = C.()236a a =D.623a a a ÷=4．反比例函数必经过的点是（ ） A.B.C.D.5．如图，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，点是轴上一点，连接、，则的面积为（ ）A.3B.4C.5D.66．下面的统计图反映了我国五年来农村贫困人口的相关情况，其中“贫困发生率”是指贫困人口占目标调查人口的百分比．（以上数据来自国家统计局）根据统计图提供的信息，下列推断不合理．．．的是（ ） A.与2017年相比，2018年年末全国农村贫困人口减少了1386万人 B.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率逐年下降C.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困人口的减少量均超过1000万D.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率均下降1.4个百分点 7．如果a+b=2，那么代数式22212b a ba b a ab b -⎛⎫+⋅ ⎪-++⎝⎭的值是（ ）A ．12B ．1CD ．28．一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中点C 在FD 的延长线上，且AB ∥FC ，则∠CBD 的度数为( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°9．如图，点D 在半圆O 上，半径OB ＝，AD ＝10，点C 在弧BD 上移动，连接AC ，H 是AC 上一点，∠DHC ＝90°，连接BH ，点C 在移动的过程中，BH 的最小值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．下面给出四个命题：①各边相等的六边形是正六边形；②顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等；③顺次连结一个四边形各边中点所成的四边形是矩形，则原四边形是菱形；④正五边形既是中心对称图形又是轴对称图形其中真命题有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个11．已知，关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+2x+1＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜3B ．m≤3C ．m ＜3且m≠2D ．m≤3且m≠212．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝3，AB ＝4，将△ABC 沿CF 折叠，点B 落在AC 上的点E 处，则AFFB等于（ ）A ．12B ．35C ．53D ．2二、填空题13．若2a-b=5，则多项式6a-3b 的值是______．14．一种商品每件成本a 元，按成本增加30%定价，现因出现库存积压减价，按定价的80%出售，每件还能盈利_____元（结果用含a 的式子表示）．15．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，BC=，对角线AC 、BD 相交于点O ，现将一个直角三角板OEF 的直角顶点与O 重合，再绕着O 点转动三角板，并过点D 作DH OF ⊥于点H ，连接AH .在转动的过程中，AH 的最小值为_____________．16．将数67500用科学记数法表示为____________．17．如图，在圆心角为120°的扇形OAB 中，半径OA ＝2，C 为AB 的中点，D 为OA 上任意一点（不与点O 、A 重合），则图中阴影部分的面积为____．18．A 班学生参加“垃圾分类知识”竞赛，已知竞赛得分都是整数，竞赛成绩的频数分布直方图，如图所示，那么成绩高于60分的学生占A 班参赛人数的百分率为__．三、解答题19．如图，已知AB＝AD，∠ABC＝∠ADC．试判断AC与BD的位置关系，并说明理由．20．为了丰富同学们的课余生活，某学校计划举行“亲近大自然”户外活动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是？”的问卷调查，要求学“A，B，C，D“四个景点中选择一个，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：（1）本次调查的学生人数为______．（2）在扇形统计图中，景点B部分所占圆心角的度数为______．（3）若该校共有2000名学生，请估算该校最想去景点C的学生人数．21．如图，AB是⊙O的直径，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．（1）求证：PD是⊙O的切线；∠=PD，求PA的长．（2）如果tan BDE22．在校庆活动中，学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分搅匀．从盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．23．如图，在方格纸中，每个小正方形的边长都是1，点P、Q都在格点上.（1）若点P的坐标记为（-1,1），反比例函数kyx的图像的一条分支经过点Q，求该反比例函数解析式；（2）在图中画出一个以P、Q为其中两个顶点的格点平行四边形，且面积等于（1）中的k的值. 24．为了了解同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，某校数学兴趣小组设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试．根据测试成绩分布情况，将测试成绩分成A、B、C、D四组，绘制了如下统计图表：请结合以上信息解答下列问题：（1）本次抽样调查的样本总量是多少？（2）样本中，测试成绩在B组的频数是多少，在D组的频率是多少？（3）样本中，这次测试成绩的中位数落在哪一组？（4）如果该校共有800名学生，请估计成绩在90＜x≤100的学生约有多少人？ 25．（1）计算：221b a a b a b ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭（2）解方程：x 2-6x-1=0【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．15 14．04a ．15．2 16．46.7510⨯ 17．23π. 18．5%． 三、解答题19．AC ⊥BD ，理由见解析. 【解析】 【分析】AC 与BD 垂直，理由为：由AB=AD ，利用等边对等角得到一对角相等，利用等式性质得到∠BDC=∠DBC ，利用等角对等边得到DC=BC ，利用SSS 得到三角形ABC 与三角形ADC 全等，利用全等三角形对应角相等得到∠DAC=∠BAC ，再利用三线合一即可得证． 【详解】 AC ⊥BD ，理由为： ∵AB ＝AD （已知），∴∠ADB ＝∠ABD （等边对等角）， ∵∠ABC ＝∠ADC （已知），∴∠ABC ﹣∠ABD ＝∠ADC ﹣∠ADB （等式性质），即∠BDC ＝∠DBC ， ∴DC ＝BC （等角对等边）， 在△ABC 和△ADC 中，AB AD AC AC BC DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADC （SSS ），∴∠DAC ＝∠BAC （全等三角形的对应角相等）， 又∵AB ＝AD ，∴AC ⊥BD （等腰三角形三线合一）． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．20．(1)120,(2) 198°,(3)500. 【解析】 【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生总数；（2）根据扇形统计图中的数据可以求得“B”部分所占圆心角的度数； （3）根据统计图中的数据可以计算出该校最想去C 景点的学生人数． 【详解】解：（1）本次调查的学生人数为66÷55%=120（人）， 故答案为：120；（2）在扇形统计图中，“B”部分所占圆心角是：360°×55%=198°， 故答案为：198°；（3）2000×25%=500（人）， 即该校最想去C 景点的学生有500人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 21．（1）证明见解析；（2）PA=1. 【解析】 【分析】（1）连接OD ，由AB 是圆O 的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD 为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA.【详解】（1）证明：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线．（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°∵∠BED=60°，∴∠P=30°∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°在Rt△PDO中，∠P=30°，PD∴tan30°＝ODPD，解得OD=1∴PO 2∴PA=PO-AO=2-1=1【点睛】此题考查了切线的判定及三角函数的有关计算等知识点，难度中等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．22．此游戏不公平．说明见解析.【解析】【分析】首先画出树状图，进而利用概率公式求出答案．【详解】解：如图所示：，由树状图可得：一共有20种可能，两球同色的有8种情况，故选择甲的概率为：82 205=；则选择乙的概率为：35，故此游戏不公平．【点睛】此题主要考查了游戏公平性，正确列出树状图是解题关键．23．（1）4yx=；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标第，确定Q点坐标，即可求出反比例函数解析式；（2）由（1）得k=4，画出面积为4的平行四边形即可.【详解】（1）如图1，建立平面直角坐标系由题意得Q（2,2），把Q（2,2）代入kyx=得22k=，解得k=4∴该反比例函数解析式为4 yx =（2）如图所示或或【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式，解此题的关键是根据点P 的坐标确定平面直角坐标系，同时还考查了平行四边形的画法.24．（1）200；（2）72，0.15；（3）B ；（4）132. 【解析】 【分析】（1）利用样本总量的定义进行求解即可；（2）利用（1）中求出的样本总量再利用样本容量-A-C-D 即可求解；利用D 的频数÷样本总量即可求解；（3）利用中位数的定义进行求解即可；（4）先求出样本容量中D 所占的百分比，然后再进行求解即可. 【详解】 （1）由题意得 60÷30%=200（人）， 故答案为200；（2）B 组的频数为200-38-60-30=72（人）， 在D 组的频率是302000.15÷=. 故答案为72，0.15；（3）A 组的频率为38÷200=19%， 36%+19%=55%>50%，∴样本中,这次测试成绩的中位数落在B 组. 故答案为B ； （4）30880132200⨯=（人）. 故答案为132. 【点睛】本题主要考查的是样本容量，频率与频数，中位数，利用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，统计表的有关知识.25．（1）1a b-；(2) x 1，x 2 【解析】 【分析】(1)先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分母因式分解后约分即可； (2)利用配方法解方程． 【详解】(1)原式=()()ba b a b +-÷a b aa b+-+=()()ba b a b +-•a bb+ =1a b-； (2)x 2-6x=1， x 2-6x+9=10， (x-3)2=10，x-，所以x 1，x 2． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解一元二次方程-配方法，熟练掌握分式混合运算的法则以及配方法的基本步骤是解本题的关键.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．甲，乙工程队分别承接600米，800米的道路修建工程，已知乙比甲每天多修建12米，结果甲比乙提早1天完成，问甲每天修建多少米？设甲每天修建x 米，根据题意可列出方程是（ ） A ．x 600＝80012x -﹣1 B ．x 600＝80012x -+1 C ．x 600＝80012x +﹣1 D ．x 600＝80012x ++1 2．下列说法正确的是A ．一组数据1，2，5，5，5，3，3，这组数据的中位数和众数都是5B ．了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用全面调查（普查）方式C ．掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，6 点朝上是必然事件D ．一组数据的方差越大，则这组数据的波动也越大3．某超市四月份赢利a 万元，计划五、六月份平均每月的增长率为x ，那么该超市第二季度共赢利（ ） A ．a （1+x ）万元B ．a （1+x ）2万元C ．a （1+x ）+a （1+x ）2万元D ．a+a （1+x ）+a （1+x ）2万元4．如图，正方形ABCD 中，AB =O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，2OE =，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90︒得DF ，连接AE ，CF ．则线段OF 长的最小值（ ）A ．B 2C ．D ．5．对于平面图形上的任意两点P ，Q ，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是（ ） A ．平移B ．旋转C ．轴对称D ．位似6．下列等式，错误的是（ ） A ．（x 2y 3）2＝x 4y 6B ．（﹣xy ）3＝﹣xy 3C ．（3m 2n 2）2＝9m 4n 4D ．（﹣a 2b 3）2＝a 4b 67．为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”，规定：用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，用电量超过200度，超过200度的部分按第二阶梯电价收费.图是李博家2018年9月和10月所交电费的收据，则该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为（ ）A ．0.4元，0.8元B ．0.5元，0.6元C ．0.4元，0.6元D ．0.5元，0.8元8．在某校举行的“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的( ) A ．众数B ．方差C ．中位数D ．平均数9．亚洲陆地面积约为4400万平方千米，将44000000用科学记数法表示为（ ） A ．44×106B ．4.4×107C ．4.4×108D ．0.44×10810．规定以下两种变换：：①f(m,n)=(m,−n),如f(2,1)=(2,−1)；②(,)(,)g m n m n =-- ，如(2,1)(2,1)g =--.按照以上变换有：()()()3,43,43,4f g f =--=-⎡⎤⎣⎦，那么()2,3g f -⎡⎤⎣⎦等于（ ） A ．（2-，3-）B ．（2，3-）C ．（2-，3）D ．（2，3）11．在下列各组条件中，不能说明△ABC ≌△DEF 的是（ ） A ．AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F B ．AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠A ＝∠D C ．AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠ED ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF12．如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上的一点，若∠ACD ＝∠B ．AD ＝1，AC ＝2，△ADC 的面积为S ，则△BCD 的面积为（ ）A ．SB ．2SC ．3SD ．4S二、填空题 13．分式方程3512x x =++的解为_____．14．在函数y =x 的取值范围是__________． 15．如图，四边形ABCD 是边长为6的正方形，点E 在边AB 上，BE ＝4，过点E 作EF ∥BC ，分别交BD ，CD 于点G ，F 两点，若M ，N 分别是DG ，CE 的中点，则MN 的长是_____．16．如图所示，长方形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，将长方形向上、下、左、右各扩大1得到长方形A 1B 1C 1D 1，…，依此类推，则长方形A n B n ∁n D n 的周长可以表示为_____．17．古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第 个三角形数是55，第n 个三角形 数是 ．18．如果a 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的根，那么代数式3a 2﹣6a 的值是_____． 三、解答题19．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2与x 轴交于两点A （﹣1，0）和B （4，0），与Y 轴交于点C ，连接AC 、BC 、AB ，（1）求抛物线的解析式；（2）点D 是抛物线上一点，连接BD 、CD ，满足ABC35DBC S S ∆=，求点D 的坐标；（3）点E 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点F 在线段BC 上（与B 、C 不重合），是否存在以C 、E 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请直接写出点F 的坐标，若不存在，请说明理由． 20．已知二次函数y=ax 2+bx+8，经过点(1,9)和(6,−16). (1)求该二次函数的解析式；(2)设该二次函数的图象与x 轴的交点为A ．B ，与y 轴的交点为C ，求△ABC 的面积。

几何图形的相关证明及计算1.已知，在Rt△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 的中点，连接AD .（1）如图①，若点E 在AB 中点处，连接DE ，若AD =1，求点D 到AC 的距离；（2）如图②，点E 在AB 上，点F 在AC 上，连接DE 、DF ，若DE ⊥DF ，连接EF ，求证：BE 2+CF 2=EF2.第1题图（1）解：∵在Rt△ABC 中，AB=AC ,D 为BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∠B =45°，△ABD 为等腰直角三角形，AD =BD =1， ∴AB =22BD AD =2,∵E 为AB 的中点， ∴DE ⊥AB ，DE =21AB =22，∵AD 为∠BAC 的角平分线，∴点D 到AC 的距离等于点D 到AB 的距离，即DE 的长为22； （2）证明：如解图，延长ED 至点M ，使DM =DE ,连接FM 、CM .第1题解图∵∠A =90°，AB =AC ， ∴∠B =∠ACB =45°. ∵点D 是BC 的中点， ∴BD =DC .在△BDE 和△CDM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC BD CDM BDE DM DE , ∴△BDE ≌△CDM ，∴MC = BE ，∠B =∠MCD =∠ACB =45°， ∴∠FCM =90°，∴FM 2=CM 2+CF 2=BE 2+CF 2. ∵DE ⊥DF ，DE =DM ， ∴EF =FM,∴BE 2+CF 2=EF 2.2.已知，在 ABCD 中，连接对角线AC ，∠CAD 的平分线AF 交CD 于点F ，∠ACD 的平分线CG 交AD 于点G ，AF 、CG 交于点O ，点E 为BC 上一点，且∠BAE ＝∠GCD . (1)如图①，若△ACD 是等边三角形，OC ＝2，求 ABCD 的面积； (2)如图②，若△ACD 是等腰直角三角形，∠CAD ＝90°，求证：EC =AG.第2题图(1)解：∵△ACD 为等边三角形， ∴∠CAD ＝∠ACD ＝60°.∵AF 、CG 分别平分∠CAD 、∠ACD ，∴∠CAF ＝21∠CAD ＝21×60°＝30°， ∠ACG ＝∠DCG ＝21×60°＝30°，且AF ⊥CD ，CD ＝2CF ，∴∠CAO ＝∠ACO ＝30°， ∴AO ＝CO ＝2. 在Rt △OCF 中，∵∠DCG ＝30°， ∴OF ＝21OC ＝21×2＝1， ∴CF ＝22OF OC -＝2212-＝3，∴AF ＝AO ＋OF ＝2＋1＝3，CD ＝2×3＝23，∴S ABCD ＝CD ·AF ＝23×3＝63；(2)证明：如解图，延长OF 到点H ，使FH ＝OF ，连接HD ，∴OH ＝OF ＋FH ＝2OF .第2题解图∵△ACD 为等腰直角三角形，AF 平分∠CAD ， ∴CF ＝DF ，AF ⊥CD ， 又∵∠CFO ＝∠DFH ， ∴△CFO ≌ △DFH ， ∴∠OCF ＝∠HDF ， ∴ CG ∥HD ，∴∠AOG ＝∠H ，∠AGO ＝∠ADH . 在Rt △OCF 中，∠OCF ＋∠COF ＝90°， 在Rt △ACG 中，∠ACG ＋∠AGC ＝90°， ∵CG 平分∠ACD ， ∴∠ACG ＝∠FCG ， ∴∠COF ＝∠AGC ， ∴∠AOG ＝∠AGC ， ∴AO ＝AG ，∠H ＝∠ADH ，∴AH ＝AD ，∴AH －AO ＝AD －AG ，即OH ＝GD ， ∴2OF ＝GD .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ， ∴∠BAC ＝∠ACD . ∵∠BAE ＝∠DCG ，∴∠BAC －∠BAE ＝∠ACD －∠DCG ，即∠EAC ＝∠ACG ， ∴AE ∥CG ，∴四边形AECG 为平行四边形， ∴EC ＝AG .3.如图在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AD ＝AO ，点E 为OA 中点． （1）若DE ⊥CD ，CD ＝6，AD ＝25，求DE 的长； （2）证明：CD ＝2DE ．第3题图（1）解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，∵点E 为OA 中点，AD ＝AO ，AD ＝25， ∴OE ＝5，OC ＝25， ∴CE ＝OE +OC ＝35， ∵DE ⊥CD ，CD ＝6， ∴DE ＝22CD CE ＝3；（2）证明：如解图，取AD 的中点F ，连接OF ，第3题解图∵AD ＝AO ，点E 为OA 中点， ∴AE ＝AF ，在△ADE 和△AOF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AF AE FAO EAD AO AD ， ∴△ADE ≌△AOF ， ∴DE ＝OF ， ∵OA ＝OC ，AF ＝DF ， ∴CD ＝2OF ，∴CD ＝2DE.4.如图，在菱形ABCD 中，E 为BC 延长线上一点，连接AE ，∠E ＝∠B ，过点D 作DH ⊥AE 于点H ．（1）若AB ＝13，DH ＝5，求HE 的长； （2）求证：AH ＝CE +EH ．第4题图（1）解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝AB ＝13， ∵∠E ＝∠B ， ∴AE ＝AB ＝13， ∵DH ⊥AE ， ∴AH ＝22DH AD -=22513-=12,∴EH ＝AE -AH ＝13-12＝1；（2）证明：如解图，过点D 作DF ⊥BC 的延长线于点F ，连接DE ，第4题解图∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AD ＝CD ， ∴∠1＝∠B ，∠2＝∠3， ∵∠B ＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∵DH ⊥AE ，DF ⊥CF ， ∴∠4＝∠F ， 在△ADH 和△CDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CD AD F ，413 ∴△ADH ≌△CDF ， ∴AH ＝CF ，DH ＝DF ， 在Rt △DEH 和Rt △DEF 中，⎩⎨⎧==DEDE DFDH , ∴Rt △DEH ≌Rt △DEF ， ∴EH ＝EF ， ∵CF ＝CE +EF ， ∴AH ＝CE +EH ．5.如图，在等腰Rt△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点F 是AC 边的中点，过点C 作BF 的垂线，垂足为点H ，交AB 于点D ，CE 平分∠ACB ，交BF 于点E . （1）若AC =8，求CH 的长度；（2）求证：BE =2EF .第5题图（1）解：∵AC =8，F 是AC 的中点，AC =BC ， ∴CF =21AC =4，BC =8， ∵∠ACB =90°，∴BF =22BC CF +=2284+=45,由三角形面积公式得，S △BCF =21BF ·CH =21CF ·BC ， ∴BF ·CH =CF ·BC ， ∴CH =BF CH CF ·=5484⨯=558；（2）证明：如解图，延长CE 交AB 于点M ，连接MF ，过点F 作FN ∥CD ，与AB 交于点N ,第5题解图∵∠ACB =90°，AC =BC ,CE 平分∠ACB ， ∴CM ⊥AB ，CM =AM =BM ，∵点F 是AC 的中点，FN ∥CD ，AM =CM ， ∴FN 是△ACD 的中位线， ∴CD =2FN ，∵∠CHE =∠BME =90°，∠CEH =∠BEM ，∴∠ECH =∠EBM ， ∵∠ACM =∠ABC =45°， ∴∠ACD =∠CBE ， 在△ACD 和△CBE 中，⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠=∠=∠=∠45BCE A CBAC CBE ACD ， ∴△ACD ≌△CBE ， ∴CD =BE ，∵点F 是AC 的中点，AM =CM ，∴∠MFA =90°，MF =AF =CF ，∠EMF =∠A =45°， ∵CD ⊥BF ，FN ∥CD ， ∴∠EFN =∠EHD =90°，∴∠MFA -∠MFN =∠EFN -∠MFN ，即∠AFN =∠MFE ， ∴△AFN ≌△MFE ， ∴FN =FE ，又∵CD =2FN ，CD =BE ， ∴BE =2EF .6.已知△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点B ，D ，E 同一在一条直线上． （1）如图①，当AC ⊥DE ，且 AD ＝2时，求线段BC 的长度；（2）如图②，当且CD ⊥BE 时，取线段BC 的中点F ，线段DC 的中点G ，连接DF ，EG ，求证：DF ＝EG ．第6题图（1）解：如解图①设AC 与DE 交于点F ，∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，AC ⊥DE ，AD ＝2， ∴BC ＝AC ，DE ＝AD ＝2，DF ＝21DE ＝1，AF ＝CF ， ∴AF ＝22DF AD - ＝3，∴AC ＝2AF ＝23，∴BC ＝23；第6题解图（2）证明：如解图②连接CE 、GF ，∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点B ，D ，E 同一在一条直线上． ∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝∠AED ＝60°， ∴∠ADB ＝120°，∠BAD ＝∠CAE ， 在△ABD 和△ACE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ， ∴△ABD ≌△ACE ，∴BD ＝CE ，∠AEC ＝∠ADB ＝120°， ∴∠CED ＝∠AEC -∠AED ＝60°， ∵CD ⊥BE ， ∴∠DCE ＝30°， ∴DE ＝21CE ， ∵线段BC 的中点为F ，线段DC 的中点为G ， ∴FG ∥BD ，FG ＝21BD ， ∴FG ∥DE ，FG ＝DE ，∴四边形DFGE 是平行四边形， ∴DF ＝EG ．7.如图，四边形ABCD 为矩形，连接AC ，AD ＝2CD ，点E 在AD 边上． (1)如图①，若∠ECD ＝30°，CE ＝4，求△AEC 的面积；(2)如图②，延长BA 至点F 使得AF ＝2CD ，连接FE 并延长交CD 于点G ，过点D 作DH ⊥EG 于点H ，连接AH ，求证：FH ＝2AH ＋DH .第7题图(1)解：在Rt △EDC 中， ∵∠ECD ＝30°， ∴ED ＝21EC ＝21×4＝2， ∴DC ＝EC ·cos 30°＝4×23＝23， ∴AE ＝2DC －ED ＝43－2， ∴S △AEC ＝21×AE ×DC ＝21(43－2)×23＝12－23； (2) 证明：如解图，过A 作AM ⊥AH ，交FG 于点M ，第7题解图∴∠MAH ＝∠MAD ＋∠DAH ＝90°， 又∵∠FAD ＝∠MAD ＋∠FAM ＝90°， ∴∠FAM ＝∠DAH ， ∵AF ∥CD ， ∴∠F ＝∠EGD ，∵DH⊥EG，∴∠DHE＝∠HDG＋∠EGD＝90°，∠EDG＝∠EDH＋∠HDG＝90°，∴∠EGD＝∠EDH，∴∠F＝∠EDH，又∵AF＝2CD，AD＝2CD，∴AF＝AD，∴△AFM≌△ADH，∴AM＝AH，FM＝DH，∴△MAH是等腰直角三角形，∴MH＝2AH，∵FH＝MH＋FM，∴FH＝2AH＋DH.8.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE为线段BD的垂直平分线，垂足为E.连接DC交AE于点F.（1）如图①，连接BF、AD，若∠ABF =15°，AD =22，求DC的长；（2）如图②，取DC的中点M，取AF的中点N，连接MN.求证：MN⊥AF.第8题图（1）解：∵AE为线段BD的垂直平分线，∴△ADF ≌△ABF，∴∠ADF =∠ABF =15°，AB =AD，∴AB =AC =AD ,∴∠ACD =∠ADC =15°，∴∠FBC =15°+45°=60°，∠BCF =45°-15°=30°，∴∠BFC =90°，∵在Rt △BCF 中，BF =21BC =2，FC =23. 又∵DF =BF =2，∴DC =DF +FC =2+23；（2）证明：如解图，连接BF 、AD ，则∠ABF =∠ADF ，由AD =AB =AC ，得∠ADF =∠ACF ， ∴∠ABF =∠ACF .∴∠BFC =∠BAC =90°，∵DF =BF ，∴△BDF 为等腰直角三角形，又∵EF 垂直平分BD ，∴DE =BE =EF .过点C 作CH ⊥EA ，交EA 的延长线于点H ，连接DN 并延长交CH 于点I ，∵∠HCA +∠CAH =90°，∠BAE +∠CAH =90°，∴∠BAE =∠HCA ，∵AB =AC ，∠AEB =∠CHA =90°，∴△BEA ≌△AHC ，∴HC =AE , AH =BE =EF ，∵点N 为AF 的中点，∴FN =AN ,EN =NH ,∵∠DEN =∠IHN =90°，∠DNE =∠INH ，∴△DEN ≌△IHN ，∴HI =DE =EF ,DN =NI ,∴MN 为△DIC 的中位线，∴MN ∥IC ，∵IC ⊥EN ，∴MN ⊥EH ，即MN ⊥AF .第8题解图9.如图，平行四边形ABCD 中，点E 为AB 边上一点，连接DE ，点F 为DE 的中点，且CF ⊥DE ，点M 为线段CF 上一点，使DM ＝BE ，∠DCM ＝31∠DMF ． （1）若AB ＝13，DE ＝10，求CF 的长度；（2）求证：CM ＝BC ．第9题图（1）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝13，∵F 为DE 中点，∴DF ＝21DE ＝5， ∵CF ⊥DE ，∴CF ＝22DF CD -＝22513-＝12；（2）证明：如解图，连接CE ，第9题解图∵∠DCM ＝31∠DMF ， ∴∠DMF ＝∠CDM +∠DCF ＝3∠DCM ，∴∠CDM ＝2∠DCM ，∵AB ∥CD ，∴∠CDF +∠BEF ＝180°，∴∠CDF +∠CEF +∠CEB ＝180°，∵CF ⊥DE ，F 为DE 中点，∴CD ＝CE ，∠CDF ＝∠CEF ，∴2∠CDF +∠CEB ＝180°，∵∠CDF ＝90°-∠DCM ，∴∠CEB ＝2∠DCM ，∴∠CDM ＝∠CEB ，在△CDM 和△CEB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EC DC CEB CDM EB DM ，∴△CDM ≌△CEB ，∴CM ＝BC ．10.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是△ABC 内一点，AD ＝BD ，且AD ⊥BD ，连接CD ．过点C 作CE ⊥BC 交AD 的延长线于点 E ，连接BE ．过点D 作DF ⊥CD 交BC 于点F ．（1）若BD ＝DE ＝5，CE ＝2，求BC 的长；（2）若BD ＝DE ，求证：BF ＝CF.第10题图（1）解：∵BD ⊥AD ，点E 在AD 的延长线上，∴∠BDE ＝90°，∵BD ＝DE ＝5，∴BE ＝22DE BD +＝10，∵BC ⊥CE ，∴∠BCE ＝90°，∴BC ＝22CE BE -＝210-＝22；（2）证明：如解图，连接AF ，第10题解图∵CD ⊥BD ，DF ⊥CD ，∴∠BDE ＝∠CDF ＝90°，∴∠BDF ＝∠CDE ，∵CE ⊥BC ，∴∠BCE ＝90°，∴∠DBC ＝∠CED ，在△BDF 和△EDC 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CDE BDF DE BD DEC DBF ，∴△BDF ≌△EDC ，∴DF ＝CD ，∴∠CFD ＝∠DCF ＝45°，∵∠ADB ＝∠CDF ，∴∠ADB +∠BDF ＝∠CDF +∠BDF ， ∴∠ADF ＝∠BDC ，在△ADF 和△BDC 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD DF BDC ADF BD AD ， ∴△ADF ≌△BDC ，∴∠AFD ＝∠BCD ，∴∠AFD ＝45°，∴∠AFC ＝∠AFD +∠CFD ＝90°， ∴AF ⊥BC ，∴AB ＝AC ，∴BF ＝CF ．。

1几何证明东城区19. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D . BF 平分∠ABC 交AD 于点E ，交AC 于点F . 求证：AE =AF .19.证明： ∵∠BAC =90°，∴∠FBA +∠AFB =90°. -------------------1分 ∵AD ⊥BC ，∴∠DBE +∠DEB =90°．---------------- 2分 ∵BE 平分∠ABC ,∴∠DBE =∠FBA . -------------------3分 ∴∠AFB =∠DEB . -------------------4分 ∵∠DEB =∠FEA ， ∴∠AFB =∠FEA .∴AE =AF . -------------------5分 西城区19．如图，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥于点D ，AB 的中点为E ，AE AC <． （1）求证：DE AC ∥．（2）点F 在线段AC 上运动，当AF AE =时，图中与ADF △全等的三角形是__________．2 EDCBA【解析】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠， ∴12∠=∠， ∵BD AD ⊥于点D ， ∴90ADB ∠=︒， ∴ABD △为直角三角形． ∵AB 的中点为E ， ∴2AB AE =，2ABDE =， ∴DE AE =， ∴13∠=∠， ∴23∠=∠， ∴DE AC ∥． （2）ADE △．321EDCBA海淀区19．如图，△ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，连接CD ，过点B 作CD 的平行线EF ，求证：BC 平分ABF ∠．3FE DCB A19. 证明：∵90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点， ∴12CD AB BD ==. ∴ABC DCB ∠=∠. …………… ∵DC EF ∥，∴CBF DCB ∠=∠.∴CBF ABC ∠=∠. ∴BC 平分ABF ∠. 丰台区19．如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 是BC 边上的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．求证：DE = DF ．F DE CBA19．证明：连接AD .∵AB ＝BC ，D 是BC 边上的中点，∴∠BAD =∠CAD . ………………………3分 ∵DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，ABCE DF4 ∴DE ＝DF ． ………………………5分 （其他证法相应给分） 石景山区19．问题将菱形的面积五等分．小红发现只要将菱形周长五等分，再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题．如图，点O 是菱形ABCD 的对角线交点，5AB =，下面是小红将菱形ABCD 面积五等分的操作与证明思路，请补充完整.O H GFE DCB A（1）在AB 边上取点E ，使4AE =，连接OA ，OE ； （2）在BC 边上取点F ，使BF = ，连接OF ； （3）在CD 边上取点G ，使CG = ，连接OG ； （4）在DA 边上取点H ，使DH = ，连接OH ．由于AE = ＋ = ＋ = ＋ = . 可证S △AOE ==EOFB FOGC GOHD S S S ==四边形四边形四边形S △HOA .19．解：3，2，1； ………………2分EB 、BF ；FC 、CG ；GD 、DH ；HA. ………………4分朝阳区19. 如图，在△ACB 中，AC =BC ，AD 为△ACB 的高线，CE 为△ACB 的中线.求证：∠DAB =∠ACE.19. 证明：∵AC ＝BC ，CE 为△ACB 的中线，∴∠CAB ＝∠B ，CE ⊥AB . ……………………………………………2分 ∴∠CAB ＋∠ACE ＝90°. ………………………………………………3分 ∵AD 为△ACB 的高线， ∴∠D ＝90°.∴∠DAB ＋∠B ＝90°. ……………………………………………………4分∴∠DAB＝∠ACE. ………………………………………………………5分燕山区19．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题。

题型六几何图形的证明及计算类型一与全等三角形有关的证明及计算1.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB＝AC＝BD，点M为BC中点，N 为线段AM上的点，且MB＝MN.(1)求证：BN平分∠ABE；(2)若BD＝1，连接DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；第1题图2.如图①，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，在底边BC上取一点D，在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE，在∠ABD的内部作∠ABF＝2∠EDC，交AD于点F.(1)求证：△ABF是等腰三角形；(2)如图②，BF的延长线交AC于点G.若∠DAC＝∠CBG，延长AC至点M，使GM＝AB，连接BM，点N是BG的中点，连接AN，试判断线段AN、BM之间的数量关系，并证明你的结论．第2题图3.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边上的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G.(1)求证：CF＝BG；(2)如图②，延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP＋CF；(3)在(2)问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝33，BG＝6，求AC的长．图①图②第3题图4.如图①，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD＝CE.(1)求证：∠CAE＝∠CBD；(2)如图②，F是BD的中点，连接CF交AE于点M，求证：AE⊥CF；(3)如图③，F，G分别是BD，AE的中点，连接GF，若AC＝2 2 ，CE＝1，求△CGF 的面积．第4题图5.如图①，在正方形ABCD中，O是对角线AC上一点，点E在BC的延长线上，且OE＝OB，OE交CD于点F.(1)求证：△OBC≌△ODC；(2)求证：∠DOE＝∠ABC；(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC＝52°，求∠DOE的度数．第5题图6.已知：如图①，等腰直角△ABC和△ECD中，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，EC ＝DC.(1)求证：BE＝AD；(2)如图②，若将△ECD绕点C按逆时针方向旋转一个锐角，①延长BE交AD于点F，交AC于点O.求证：BF⊥AD；②如图③，取BE的中点M，AD的中点N，连接MN，NC，求∠MNC的度数．第6题图类型二与相似三角形有关的证明及计算1.如图①，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4.点Q是线段AC上的点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图①)或线段AB的延长线(如图②)于点P.(1)当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；(2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．第1题图2. 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点，连接DE 、CE .(1)求证：AC 2＝AB ·AD ； (2)求证：CE ∥AD ；(3)若AD ＝5，AB ＝7，求ACAF的值．第2题图3. 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，∠EDF ＝∠B. (1)求证：DE ·CD ＝DF ·BE ；(2)如图②，若D 为BC 中点，连接EF ，A D. ①求证：DE 平分∠BEF ；②若四边形AEDF 为菱形，求∠BAC 的度数及AEAB的值．第3题图4. 如图①，△ABC 中，点D 在线段AB 上，点E 在线段CB 延长线上，且BE ＝CD ，EP ∥AC 交直线CD 的延长线于点P ，交直线AB 的延长线于点F ，∠ADP ＝∠AC B.(1)图①中是否存在与AC 相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；(2)若将“点D 在线段AB 上，点E 在线段CB 延长线上”改为“点D 在线段BA 延长线上，点E 在线段BC 延长线上”，其他条件不变(如图②)．当∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，AB ＝2时，求线段PE 的长．第4题图5. 如图①，△ABC 中，BC ＞AC ，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，E ，F 分别是AC ，BC 边上的两点，EF 交CD 于H .(1)若∠EFC ＝∠A ，求证：CE ·CD ＝CH ·BC ；(2)如图②，若BH 平分∠ABC ，CE ＝CF ，BF ＝3，AE ＝2，求EF 的长； (3)如图③，若CE ≠CF ，∠CEF ＝∠B ，∠ACB ＝60°，CH ＝5，CE ＝4 3 ，求ACBC的值．第5题图类型三与全等和相似三角形有关的证明及计算1.如图，等边△ABC边长是8，过点C的直线l∥AB，点D为BC上一点(不与点B，C重合)，将一个60°角的顶点放在D处，它的边始终过点A，另一边与直线l交于点E，DE 交AC于点F.(1)若BD＝6，求CF的长；(2)若点D是BC的中点，判定△ADE的形状，并给出证明；(3)若点D不是BC的中点，则(2)中的结论成立吗？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由．第1题图2.如图①，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D、P分别为AC、AB的中点，连接BD、CP，CP交BD于点E，点F在AB上且∠ACF＝∠CB D.(1)求证：CF＝BE；(2)如图②，过点A作AG⊥AB交BD的延长线于点G.①若CF＝6，求DG的长；②设CF 交BD 于点H ，求HECH的值．第2题图3. 如图①，已知D 是△ABC 的边BC 上的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且BE ＝CF ，点M 、N 分别是AE 、DE 上的点，AN ⊥FM 于点G .(1)若∠BAC ＝90°，求证：△ABC 为等腰直角三角形； (2)如图②，若∠BAC ≠90°，AF ＝2DF . ①求证：FM AN ＝EM DN ；②求AN ∶FM 的值．图① 图②第3题图4. (2018六安市模拟)我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点I 为△ABC 的内心．(1)如图①，连接AI 并延长交BC 于点D ，若AB ＝AC ＝3，BC ＝2，求ID 的长； (2)如图②，过点I 作直线交AB 于点M ，交AC 于点N . ①若MN ⊥AI ，求证：MI 2＝BM ·CN ；②如图③，AI 的延长线交BC 于点D ，若∠BAC ＝60°，AI ＝4，求1AM ＋AN1的值．5.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，顶点C恰好在直线l上，过A、B 分别作AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E.(1)求证：DE＝AD＋BE；(2)如图②，在△ABC中，当AC＝kBC，其他条件不变，猜想DE与AD、BE的关系，并证明你的结论；(3)如图③，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝12，∠ACB＝90°，点D是AC的中点，点E在BC上，过点E作EF⊥DE交AB于点F，若恰好EF＝2DE，求CE的长．第5题图6.如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC, D为AB的中点，连接CD，将一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N.(1)若CE＝CF，求证：△DCE≌△DCF；(2)如图②，在∠EDF绕点D旋转的过程中：①探究线段AB与CE、CF之间的数量关系，并证明；②若AB＝42，CE＝2CF，求DN的长．第6题图参考答案类型一与全等三角形有关的证明及计算1. (1)证明：∵AB＝AC，点M是BC的中点，∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM，∴∠CAM＋∠ACM＝90°，∵AC⊥BD，∴∠MBE＋∠ACM＝90°，∴∠BAN＝∠CAM＝∠MBE，∵MB＝MN，∴∠MNB＝∠MBN，∵∠MNB＝∠ABN＋∠BAN，∠MBN＝∠MBE＋∠NBE，∴∠ABN＋∠BAN＝∠MBE＋∠NBE，∴∠ABN ＝∠NBE ，即BN 平分∠ABE ；(2)解：连接DN ，∵点M 为BC 中点，MB ＝MN ，∴MB ＝MN ＝12BC ， ∵四边形DNBC 为平行四边形，∴BN ＝CD ，BN ∥CD ，∴∠DBN ＝∠BDC ，由(1)知∠ABN ＝∠DBN ，∴∠ABN ＝∠BDC ，∵AB ＝BD ＝1，∴△ABN ≌△BDC ，∴AN ＝BC ，∴AM ＝AN ＋MN ＝32BC ， 由(1)中条件可知AM ⊥BC ，即∠AMB ＝90°，∴AM 2＋MB 2＝AB 2，即(32BC )2＋(12BC )2＝1， 解得BC ＝105.第1题解图2. (1)证明：∵等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∴∠ABD ＝∠ACD ，∵AE ＝AD ，∴∠ADE ＝∠AED ，∵∠BAD ＋∠ABD ＝∠ADE ＋∠EDC ，∠EDC ＋∠ACD ＝∠AED ，∴∠BAD ＝2∠EDC ，∵∠ABF ＝2∠EDC ，∴∠BAD ＝∠ABF ，∴△ABF 是等腰三角形；(2)解：AN ＝12BM .证明：如解图，延长CA 至点H ，使AG ＝AH ，连接BH ，∵点N 是BG 的中点，点A 是HG 的中点，∴AN ＝12BH ， ∵(1)中已证明∠BAD ＝∠ABF ，且∠DAC ＝∠CBG ，∴∠CAB ＝∠CBA ，∴CA ＝CB又∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形，∠BAC ＝∠BCA ＝60°，∴∠BAH ＝∠BCM ，∵GM ＝AB ，AB ＝AC ，∴AC ＝GM ，∴CM ＝AG ，∴AH ＝CM ，在△BAH 和△BCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ∠BAH ＝∠BCM AH ＝CM，∴△BAH ≌△BCM (SAS)，∴BH ＝BM ，∴AN ＝12BM .第2题解图3. (1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠A ＝45°，∵CG 平分∠ACB ，∴∠ACG ＝∠BCG ＝45°，∴∠A ＝∠BCG ，在△BCG 和△CAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠BCG AC ＝BC ∠ACF ＝∠CBE，∴△BCG ≌△CAF (ASA)，∴CF ＝BG ；(2)证明：∵PC ∥AG ，∴∠PCA ＝∠CAG ，∵AC ＝BC ，∠ACG ＝∠BCG ，CG ＝CG ，∴△ACG ≌△BCG (SAS )，∴∠CAG ＝∠CBE ，∵∠PCG ＝∠PCA ＋∠ACG ＝∠CAG ＋45°＝∠CBE ＋45°，∠PGC ＝∠GCB ＋∠CBE ＝∠CBE ＋45°，∴∠PCG ＝∠PGC ，∴PC ＝PG ，∵PB ＝BG ＋PG ，BG ＝CF ，∴PB ＝CP ＋CF ；(3)解：如解图，过E 作EM ⊥AG ，交AG 于M ，∵S △AEG ＝12AG ·EM ＝33， 由(2)得：△ACG ≌△BCG ，∴BG ＝AG ＝6，∴ 12×6×EM ＝33， 解得EM ＝3，设∠FCH ＝x °，则∠GAC ＝2x °，∴∠ACF ＝∠EBC ＝∠GAC ＝2x °，∵∠ACH ＝45°，∴2x ＋x ＝45，解得x ＝15，∴∠ACF ＝∠GAC ＝30°，在Rt △AEM 中，AE ＝2EM ＝23，AM ＝（23）2－（3）2＝3，∴M 是AG 的中点，∴AE ＝EG ＝23，第3题解图∴BE ＝BG ＋EG ＝6＋23，在Rt △ECB 中，∠EBC ＝30°，∴CE ＝12BE ＝3＋3， ∴AC ＝AE ＋EC ＝23＋3＋3＝33＋3.4. (1)证明：在△ACE 和△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ∠ACE ＝∠BCD CE ＝CD，∴△ACE ≌△BCD ，∴∠CAE ＝∠CBD ；(2)证明：在Rt △BCD 中，点F 是BD 的中点，∴CF ＝BF ，∴∠BCF ＝∠CBF ，由(1)知，∠CAE ＝∠CBD ，∴∠BCF ＝∠CAE ，∴∠CAE ＋∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACF ＝∠BCA ＝90°，∴∠AMC ＝90°，∴AE ⊥CF ；(3)解：∵AC ＝2 2 ，∴BC ＝AC ＝2 2 ，∵CE ＝1，∴CD ＝CE ＝1，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得，BD ＝CD 2＋BC 2＝3 ，∵点F 是BD 中点，∴CF ＝DF ＝12BD ＝32， 同理：EG ＝12AE ＝32， 如解图，连接EF ，过点F 作FH ⊥BC 于点H ，∵∠ACB ＝90°，点F 是BD 的中点，∴FH ＝12CD ＝12， ∴S △CEF ＝12CE ·FH ＝12×1×12＝14， 由(2)知，AE ⊥CF ，第4题解图∴S △CEF ＝12CF ·ME ＝12×32ME ＝34ME ， ∴ 34ME ＝14， ∴ME ＝13， ∴GM ＝EG －ME ＝32－13＝76， ∴S △CFG ＝12CF ·GM ＝12×32×76＝78. 5. (1)证明：∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴BC ＝DC ，∠BCA ＝∠DCA ，在△OBC 和△ODC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ∠BCO ＝∠DCO CO ＝CO， ∴△OBC ≌△ODC (SAS)；(2)证明：由(1)知，△OBC ≌△ODC ，∴∠CBO ＝∠CDO ，∵OE ＝OB ，∴∠CBO ＝∠E ，∴∠CDO ＝∠E ，∵∠DFO ＝∠EFC ，∴180°－∠DFO －∠CDO ＝180°－∠EFC －∠E ，即∠DOE ＝∠DCE ，∵AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠ABC ，∴∠DOE ＝∠ABC ；(3)解：∵AC 是菱形ABCD 的对角线，∴BC ＝DC ，∠BCA ＝∠DCA ，在△BCO 和△DCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ∠BCO ＝∠DCO CO ＝CO，∴△BCO ≌△DCO (SAS)，∴∠CBO ＝∠CDO ，∵OE ＝OB ，∴∠CBO ＝∠E ，∴∠CDO ＝∠E ，∵∠DFO ＝∠EFC ，∴180°－∠DFO －∠CDO ＝180°－∠EFC －∠E ，即∠DOE ＝∠DCE ，∵AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠ABC ，∴∠DOE ＝∠ABC ＝52°.6. (1)证明：在△BEC 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ∠ACB ＝∠ECD EC ＝DC，∴△BEC ≌△ADC (SAS)，∴BE ＝AD ；(2)①证明：∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠ACB －∠ACE ＝∠ECD －∠ACE ，即∠BCE ＝∠ACD ，在△BEC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ∠BCE ＝∠ACD EC ＝DC， ∴△BEC ≌△ADC (SAS)，∴∠CBE ＝∠CAD ，在△BCO 和△AFO 中，∠CBE ＝∠CAD ，∠BOC ＝∠AOF ，∴∠AFB ＝∠ACB ＝90°，∴BF ⊥AD ；②解：如解图，连接MC ，∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠BCE ＝∠ACD ，又∵AC ＝BC ，EC ＝DC ，∴△BEC ≌△ADC ，∴∠CBE ＝∠CAD ，AD ＝BE ，∵M 是BE 的中点，N 是AD 的中点，∴BM ＝AN ，在△BMC 和△ANC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝AN ∠CBE ＝∠CAD BC ＝AC， ∴△BMC ≌△ANC (SAS)，∴CM ＝CN ，∠BCM ＝∠ACN ，∴∠ACN ＋∠MCA ＝∠BCM ＋∠MCA ，∴∠MCN ＝∠ACB ＝90°，∴△MCN 是等腰直角三角形，∴∠MNC ＝45°.第6题解图类型二 与相似三角形有关的证明及计算1. (1)证明：∵PQ ⊥AQ ，∴∠AQP ＝90°＝∠ABC .在△AQP 与△ABC 中，∵∠AQP ＝∠ABC ，∠QAP ＝∠BAC ，∴△AQP ∽△ABC ；(2)解：在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，由勾股定理得AC ＝5.①当点P 在线段AB 上时，如题图①所示．∵∠QPB 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝PQ ，由(1)可知，△AQP ∽△ABC ，∴P A AC ＝PQ BC ，即3－PB 5＝BP 4， 解得PB ＝43， ∴AP ＝AB －PB ＝3－43＝53； ②当点P 在线段AB 的延长线上时，如题图②所示．∵∠QBP 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝BQ .∴∠BQP ＝∠P ，∵∠BQP ＋∠AQB ＝90°，∠A ＋∠P ＝90°，∴∠AQB ＝∠A ，∴BQ ＝AB ，∴AB ＝BP ，∴AP ＝2AB ＝2×3＝6.综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为53或6. 2. (1)证明：∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠CAB .又∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴△ADC ∽△ACB ，∴AD AC ＝AC AB， ∴AC 2＝AB ·AD ;(2)证明：∵E 为AB 的中点，∠ACB ＝90°，∴CE ＝12AB ＝AE ， ∴∠EAC ＝∠ECA ，∵∠DAC ＝∠CAB ，∴∠DAC ＝∠ECA .∴AD ∥CE ；(3)解：∵CE ∥AD ，∴∠DAF ＝∠ECF ，又∵∠DF A ＝∠EFC ，∴△AFD ∽△CFE ，∴AD CE ＝AF CF， ∵CE ＝12AB ， ∴CE ＝12×7＝72， ∵AD ＝5，∴572＝AF CF，∴CFAF＝710，∴AF＋CFAF＝1＋CFAF＝1710，即ACAF＝1710.3. (1)证明：∵△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＋∠BDE＋∠DEB＝180°，∠BDE＋∠EDF＋∠FDC＝180°，∠EDF＝∠B，∴∠FDC＝∠DEB，∴△CFD∽△BDE，∴DEDF＝BECD，即DE·CD＝DF·BE；(2)①证明：由(1)证得△BDE∽△CFD，∴BECD＝DEDF，∵D为BC中点，∴BD＝CD，∴BEBD＝DEDF，∵∠B＝∠EDF，∴△BDE∽△DFE，∴∠BED＝∠DEF，∴ED平分∠BEF；②解：∵四边形AEDF为菱形，∴∠AEF＝∠DEF，由(2)知，∠BED＝∠DEF，∵∠AEF＋∠DEF＋∠BED＝180°，∴∠AEF＝60°，∵AE＝AF，∴∠BAC＝60°.∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，又∵∠BED＝∠AEF＝60°，∴△BED 是等边三角形，∴BE ＝DE ，∵AE ＝DE ，∴AE ＝BE ＝12AB ， ∴AE AB ＝12. 4. 解：(1)AC ＝BF .证明如下：∵∠ADP ＝∠ACD ＋∠A ，∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ，∠ADP ＝∠ACB ， ∴∠BCD ＝∠A ，又∵∠CBD ＝∠ABC ，∴△CBD ∽△ABC ，∴ CD AC ＝BC BA，① ∵FE ∥AC ，∴∠CAB ＝∠EFB ，又∵∠ABC ＝∠FBE ，∴△ABC ∽△FBE ，∴ BC BA ＝BE BF，② 由①②可得CD AC ＝BE BF， ∵BE ＝CD ，∴BF ＝AC ；(2)∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴∠ACB ＝30°＝∠ADP ，∴∠BCD ＝60°，∠ACD ＝60°－30°＝30°，∵PE ∥AC ，∴∠E ＝∠ACB ＝30°，∠CPE ＝∠ACD ＝30°，∴CP ＝CE ，∵BE ＝CD ，∴BE －CE ＝CD －CP ，∴BC ＝DP ，∵∠ABC ＝90°，∠D ＝30°，∴BC ＝12CD ，∴DP ＝12CD ，即P 为CD 的中点， 又∵PF ∥AC ，∴F 是AD 的中点，∴FP 是△ADC 的中位线，∴FP ＝12AC ， ∵∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，∴AB ＝12AC ， ∴FP ＝AB ＝2，∵DP ＝CP ＝BC ，CP ＝CE ，∴BC ＝CE ，即C 为BE 的中点，又∵EF ∥AC ，∴A 为FB 的中点，∴AC 是△BEF 的中位线，∴EF ＝2AC ＝4AB ＝8，∴PE ＝EF －FP ＝8－2＝6.5. (1)证明：∵∠EFC ＋∠FEC ＋∠ECF ＝180°，∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°，又∵∠EFC ＝∠A ，∠ECF ＝∠ACB ，∴∠CEF ＝∠B ，∵∠ECH ＝∠DCB ，∴△ECH ∽△BCD ，∴EC BC ＝CH CD， ∴CE ·CD ＝CH ·BC ；(2)解：如解图①，连接AH .∵BH 、CH 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，∴AH 是∠BAC 的平分线，∴∠BHC ＝180°－12(∠ABC ＋∠ACB )＝180°－12(180°－∠BAC )＝90°＋12∠BAC ＝90°＋∠HAE ，∵CE ＝CF ，∠HCE ＝∠HCF ，∴CH ⊥EF ，HF ＝HE ，∴∠CHF ＝90°，∵∠BHC ＝∠BHF ＋∠CHF ＝∠BHF ＋90°，∴∠HAE ＝∠BHF ，∵CE ＝CF ，∴∠CFE ＝∠CEF ，∴∠AEH ＝∠BFH ，∴△AEH ∽△HFB ，∴ AE HF ＝EH FB， ∴FH ·EH ＝6，∴HE ＝HF ＝6，∴EF ＝26；第5题解图①(3)解：如解图②，作HM ⊥AC 于M ，HN ⊥BC 于N .设HF ＝x ，FN ＝y .∵∠HCM ＝∠HCN ＝30°，HC ＝5，∴HM ＝HN ＝52， CM ＝CN ＝532， ∵CE ＝4 3 ，∴EM ＝332， ∴EH ＝EM 2＋HM 2＝13 ， ∵S △HCF ∶S △HCE ＝FH ∶EH ＝FC ∶EC ，∴x ∶13＝(y ＋ 532)∶43， 又∵x 2＝y 2＋(52)2 ， 解得y ＝5314或332， ∵当y ＝332时，CF ＝CN ＋NF ＝43， 又∵CE ≠CF ，∴y ≠332，即FN ＝5314，∴CF ＝2037， ∵∠CEF ＝∠B ，∠ECF ＝∠ACB ，∴△ECF ∽△BCA ，∴ EC BC ＝CF AC ， ∴ AC BC ＝CF EC ＝203743＝57.第5题解图②类型三 与全等和相似三角形有关的证明及计算1. 解：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠FCD ＝60°，∵∠BAD ＝180°－60°－∠ADB ，∠FDC ＝180°－∠ADE －∠ADB ＝180°－60°－∠ADB ， ∴∠BAD ＝∠FDC ，∴△ABD ∽△DCF ，∴AB DC ＝BD CF， ∴CF ＝DC ·BD AB ＝（8－6）×68＝32； (2)△ADE 是等边三角形．证明：若D 点是BC 边中点，则AD ⊥BC ，∴∠CDE ＝∠ADC －∠ADE ＝90°－60°＝30°，又∵l ∥AB ，∴∠DCE ＝180°－∠ABC ＝180°－60°＝120°，∴∠CED ＝180°－∠DCE －∠CDE ＝180°－120°－30°＝30°，即∠CDE ＝∠CED ，∴CE ＝CD .在△ACD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AC ∠ACD ＝∠ACE ＝60°DC ＝EC，∴△ACD ≌△ACE (SAS)，∴AD ＝AE ，又∵∠ADE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形；(3)(2)中结论仍然成立．证明：如解图，过点D 作DG ∥l 交AC 于点G ，则△GDC ∽△ABC ， ∴△GDC 是等边三角形，∴DG ＝DC ，∠GDC ＝∠DGC ＝60°，∵∠ADE ＝60°，∴∠ADE ＝∠GDC ，∴∠ADG ＝∠EDC ，又∵∠AGD ＝180°－60°＝120°，∠DCE ＝180°－∠ABC ＝120°，∴∠AGD ＝∠DCE ，在△ADG 和△EDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADG ＝∠EDC DG ＝DC ∠AGD ＝∠DCE，∴△ADG ≌△EDC (ASA)，∴AD ＝DE ，又∵∠ADE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形．2. (1)证明：∵P 为AB 的中点，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴∠BCE ＝12∠ACB ＝12×90°＝45°，∠A ＝45°， ∴∠A ＝∠BCE ，在△ACF 和△CBE 中⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠BCE AC ＝BC ∠ACF ＝∠CBD，∴△ACF ≌△CBE (ASA)，∴CF ＝BE ；第1题解图(2)解：①由(1)得CF ＝BE ，∴BE ＝CF ＝6，∵AC ＝BC ，CE 平分∠ACB ，P 为AB 的中点，∴CP ⊥AB ，∵AG ⊥AB ，∴CE ∥AG ，∴∠GAD ＝∠ECD ，又∵∠ADG ＝∠CDE ，∴△ADG ∽△CDE ，∵点D 是AC 的中点，∴AD ＝CD ，即相似比k ＝1，∴△ADG ≌△CDE ，∴DG ＝DE ＝12GE ， ∵CE ∥AG 且P 为AB 中点，∴GE ＝BE ＝6，∴DG ＝3；②设EP ＝a ，由(2)① 得EP ∥AG ，∴AG ＝2a ，又由上题得△ADG ≌△CDE ，∴CE ＝AG ＝2a ，∴CP ＝CE ＋EP ＝3a ，∵等腰直角△ABC 中 CP ⊥AB ，∴BP ＝CP ＝3a ，由题得∠ACP ＝∠CBP ＝45°，∵∠ACF ＝∠CBD ，∴∠ACP －∠ACF ＝∠CBP －∠CBD ，即∠HCE ＝∠PBE ，∵∠CEH ＝∠PEB ，∴∠CHE ＝180°－∠CEH －∠HCE ，∠BPE ＝180°－∠PBE －∠PEB ， ∴∠CHE ＝∠BPE ＝90°，∴△CHE 是直角三角形，∴△CHE ∽△BPE ，∴HE CH ＝PE BP ＝a 3a ＝13.3. (1)证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ，在Rt △BED 和Rt △CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD BE ＝CF ， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD (HL)，∴∠B ＝∠C ，∵∠BAC ＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形；(2)①证明：如解图，连接AD 、EF ，相交于点O ，∵由(1)可得Rt △BED ≌Rt △CFD ，∴∠B ＝∠C ，DE ＝DF ，∴AB ＝AC ，∵BE ＝CF ，∴AE ＝AF ，∴AD ⊥EF ，又∵∠NEM ＝∠MGN ＝90°，∴∠GME ＋∠ENG ＝∠DNG ＋∠ENG ＝180°，∴∠EMF ＝∠DNA ，又∵∠AEO ＋∠EAO ＝90°，∠EAO ＋∠NDA ＝90°，∴∠AEO ＝∠NDA ，∴△FME ∽△AND ，∴FM AN ＝EM DN；第3题解图②解：设AF ＝2k ，DF ＝k ，在Rt △ADF 中，AD ＝（2k ）2＋k 2＝5k ，由①可得∠B ＝∠C ，DE ＝DF ，∴AD 垂直平分EF ，则OF ＝12EF ， ∵DF ⊥AC ，∴S △ADF ＝12×5k ·OF ＝12×2k ×k ， ∴OF ＝255k ，EF ＝455k ， ∴AD EF ＝54， 又∵△FME ∽△AND ，∴AN FM ＝AD EF ＝54， 即AN ∶FM ＝5∶4.4. (1)解：如解图①中，作IE ⊥AB 于E .设ID ＝x ，∵AB ＝AC ＝3，AI 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ＝1，在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝32－12＝2 2 ，在△BEI 和△BDI 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBI ＝∠DBI ，∠BEI ＝∠BDI ＝90°，BI ＝BI ，∴△BEI ≌△BDI ，∴ID ＝IE ＝x ，BD ＝BE ＝1，AE ＝2，在Rt △AEI 中，∵AE 2＋EI 2＝AI 2，∴22＋x 2＝(22－x )2 ，∴x ＝22，∴ID ＝22；第4题解图(2)①证明：如解图②，连接BI 、CI .∵I 是内心，∴∠MAI ＝∠NAI ，∵AI ⊥MN ，∴∠AIM＝∠AIN＝90°，又∵AI＝AI，∴△AMI≌△ANI(ASA)，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠BMI＝∠CNI，设∠BAI＝∠CAI＝α，∠ACI＝∠BCI＝β，∴∠NIC＝90°－α－β，∵∠ABC＝180°－2α－2β，∴∠MBI＝90°－α－β，∴∠MBI＝∠NIC，∴△BMI∽△INC，∴BMNI＝MINC，∴NI·MI＝BM·CN，∵NI＝MI，∴MI2＝BM·CN；②解：如解图③，过点N作NG∥AD交MA的延长线于G. ∵NG∥AD，∴∠ANG＝∠DAN，∠AGN＝∠BAD，∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠DAN＝30°，∴∠ANG＝∠AGN＝30°，∴AN＝AG，NG＝3AN，∵AI∥NG，∴∠MIA＝∠MNG，∠MAI＝∠MGN，∴△AMI∽△GMN，∴AMMG＝AING，∴AMAM＋AN＝43AN，∴AM＋ANAM＝3AN4，∴1AM＋1AN＝34.第4题解图③5. (1)证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠DAC ＋∠DCA ＝90°，∠ADC ＝∠BEC ，∴∠DAC ＝∠ECB ，在△ADC 和△CEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠CEB ∠DAC ＝∠ECB AC ＝CB，∴△ADC ≌△CEB (AAS)，∴AD ＝CE ，CD ＝BE ，∴DE ＝CE ＋DC ＝AD ＋BE ；(2)解：DE ＝kBE ＋1kAD . 证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∵AD ⊥DE ，∴∠DAC ＋∠DCA ＝90°，∴∠DAC ＝∠ECB ，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴△ADC ∽△CEB ，∴AD CE ＝DC BE ＝AC BC＝k ， ∴DC ＝kBE ，CE ＝1kAD ， ∴DE ＝DC ＋CE ＝kBE ＋1kAD ； (3)解：如解图，过点F 作FG ⊥BC 于点G ，∵AC ＝4，D 是AC 的中点，∴CD ＝2，∵EF ＝2DE ，易证△DCE ∽△EGF ，FG ＝2CE ，EG ＝2DC ＝4，设CE ＝x ，则BG ＝BC －CG ＝12－4－x ＝8－x ，∵FG ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝∠FGB ＝90°，∵∠B ＝∠B ，∴△FGB ∽△ACB ，∴FG AC ＝BG BC ，即2x 4＝8－x 12， 解得x ＝87， 即CE 的长为87.第5题解图6. (1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠BCE ＝∠ACF ＝90°， ∴∠DCE ＝∠DCF ＝135°，在△DCE 与△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CF ∠DCE ＝∠DCF CD ＝CD，∴△DCE ≌△DCF (SAS)；(2) ①解：AB 2＝4CE ·CF .证明：∵∠DCF ＝∠DCE ＝135°，∴∠CDF ＋∠F ＝180°－135°＝45°，∵∠CDF ＋∠CDE ＝45°，∴∠F ＝∠CDE ，∴△CDF ∽△CED ，∴CD CE ＝CF CD， 即CD 2＝CE ·CF ，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CD 平分∠ACB ，∴CD ＝AD ＝BD ＝12AB ， ∴(12AB )2＝CE ·CF ，.. ∴AB 2＝4CE ·CF ；②解：如解图，过D 作DG ⊥BC 于G ， 由①得AB 2＝4CE ·CF ，∵AB ＝42，CE ＝2CF ，∴CE ＝4，CF ＝2，∵DG ⊥BC 于G ，由题得∠B ＝45°，BD ＝12AB ＝2 2 ∴△DGB 是等腰直角三角形，∴BG ＝DG ＝22·sin 45°＝2，∵DG ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴DG ∥AC 即DG ∥CE ，∴∠ECN ＝∠DGN又∵∠ENC ＝∠DNG∴△CEN ∽△GDN ，∴CE DG ＝CN NG ＝42＝2， 又∵D 点为AB 中点，DG ∥AC ， ∴CG ＝BG ＝2，∴NG ＝13CG ＝23， 在Rt △DGN 中，DN ＝DG 2＋NG 2＝22＋（23）2＝2103.第6题解图。