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1、（2010•）解方程：．考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：换元法。
分析：方程的两个分式具备平方关系，设=t，则原方程化为t2﹣t﹣2=0．用换元法转化为关于t的一元二次方程．先求t，再求x．解答：解：令=t，则原方程可化为t2﹣t﹣2=0，解得，t1=2，t2=﹣1，当t=2时，=2，解得x1=﹣1，当t=﹣1时，=﹣1，解得x2=，经检验，x1=﹣1，x2=是原方程的解．点评：换元法是解分式方程的常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法求解的分式方程的特点，寻找解题技巧．2、（2010•）（1）解不等式：3x﹣2＞x+4；（2）解方程：+=2．考点：换元法解分式方程；解一元一次不等式。
分析：（1）按解一元一次不等式的步骤进行；（2）方程的两个部分具备倒数关系，设y=，则原方程另一个分式为．可用换元法转化为关于y的分式方程．先求y，再求x．结果需检验．解答：解：（1）3x﹣2＞x+4，3x﹣x＞4+22x＞6x＞3；（2）设=y，则原方程化为y+=2．整理得，y2﹣2y+1=0，解之得，y=1．当y=1时，=1，此方程无解．故原方程无解．点评：（1）移项时注意符号的变化．（2）用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．3、（2008•）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题；换元法。
分析：本题考查用换元法解分式方程的能力．观察方程由方程特点设=y，则可得：=y2．然后整理原方程化成整式方程求解．解答：解：设=y，则=y2，所以原方程可化为2y2+y﹣6=0．解得y1=﹣2，y2=．即：=﹣2或=．解得x1=2，．经检验，x1=2，是原方程的根．点评：换元法解分式方程可将方程化繁为简，化难为易，是解分式方程的常用方法之一，换元法的应用要根据方程特点来决定，因此要注意总结能够应用换元法解的分式方程的特点．4、（2008•）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
用换元法求解分式方程和高次方程的教案
教学目标：通过本节课的学习，学生应该能够了解什么是换元法，学会如何使用换元法解决分式方程和高次方程的问题。
教学内容：
一、什么是换元法
二、用换元法解决分式方程
1. 例题1：找到适当的换元变量，使得原题化为一次方程或二次
方程
2. 例题2：找到适当的换元变量，使得原题变成利用一次方程求
解的问题
三、用换元法解决高次方程
1. 例题1：根据给定的条件，找到适当的换元变量，使得可以利
用一次方程求解得到方程的根
2. 例题2：利用恒等变形将高次方程转化为利用一次方程求解的
问题，并找到适当的换元变量
教学步骤：
一、观看教学视频，了解什么是换元法和它的应用范围
二、展示完整的求解过程，让学生理解换元法的效果
三、通过例子演示如何使用换元法解决分式方程和高次方程
四、让学生自己做练习题，巩固所学的内容
教学方法：
1. 演示法。
2. 课堂练习。
3. 互动讨论。
教学资源：
1. PowerPoint幻灯片和白板
2. 教学视频
3. 翻转课堂的练习题和答案
评价方式：
1. 考试
2. 课堂作业和小组讨论
3. 学生的参与度和观察成果
如何评价本节课：
使用换元法求解分式方程和高次方程是高中数学非常重要的章节，因此，本节课应该引导学生正确理解相关概念，重点讲解针对不同题
型的解决方法，同时通过课堂应用和论述让学生深化理解，最后通过评价方式检验学生是否掌握相关知识。
第07讲专题3一次方程（组）中整体思想的应用类型一：不解方程（组）求式子的值类型二：利用整体代入法求方程组的解类型三：整体换元法求未知数的值类型一：不解方程（组）求式子的值1．已知x，y为二元一次方程组的解，则x﹣y＝1．【分析】两式相减即可得出答案．【解答】解：，②﹣①，得2x﹣2y＝2，则x﹣y＝1．故答案为：1．2．若，是关于x和y的二元一次方程mx+ny＝3的解，则2m﹣4n的值等于（）A．3B．6C．﹣1D．﹣2【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m﹣2n＝3，把所求式子因式分解后代入计算即可．【解答】解：将代入方程mx+ny＝3得：m﹣2n＝3，∴2m﹣4n＝2（m﹣2n）＝2×3＝6．故选：B．3．若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，则3a﹣2b+2025的值为2024．【分析】先将方程的解代入方程ax+by＝﹣1，求出3a﹣2b＝﹣1，再整体代入求值即可．【解答】解：将代入方程ax+by＝﹣1可得，3a﹣2b＝﹣1，∴原式＝﹣1+2025＝2024；故答案为：2024．4．已知是方程mx+ny＝5的解，则代数式4m+6n﹣1的值为9．【分析】把代入方程mx+ny＝5得出2m+3n＝5，变形后代入，即可求出答案．【解答】解：把代入方程mx+ny＝5得：2m+3n＝5，所以4m+6n﹣1＝2（2m+3n）﹣1＝2×5﹣1＝9．故答案为：9．5．如果是方程2x﹣3y＝2020的一组解，那么代数式2024﹣2m+3n＝4．【分析】先根据方程解的定义求出2m﹣3n的值，再整体代入求值．【解答】解：∵是方程2x﹣3y＝2020的一组解，∴2m﹣3n＝2020．∴代数式2024﹣2m+3n＝2024﹣（2m﹣3n）＝2024﹣2020＝4．故答案为：4．6．若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，则3a﹣2b的值为﹣1．【分析】把解代入二元一次方程中，可得结论．【解答】解：∵是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，∴3a﹣2b＝﹣1．故答案为：﹣1．7．已知x、y是二元一次方程组的解，那么x﹣y的值是（）A．2B．﹣2C．3D．﹣3【分析】将方程两式相加得，4x﹣4y＝8，即可求出答案．【解答】解：将方程两式相加得，4x﹣4y＝8，∴x﹣y＝2，故选：A．8．已知x、y满足方程组，则x+y的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2【分析】直接把两式相加即可得出结论．【解答】解：，①+②得，4x+4y＝16，解得x+y＝4．故选：B．9．已知二元一次方程组，则m+n的值是（）A．9B．3C．﹣3D．﹣9【分析】②﹣①得：m+n＝3．【解答】解：，②﹣①得：m+n＝3．故选：B．10．如果关于x，y的方程组与的解相同，则a+b的值为（）A．1B．2C．﹣1D．0【分析】把代入方程组，得到一个关于a，b的方程组，将方程组的两个方程左右两边分别相加，整理即可得出a+b的值．【解答】解：把代入方程组，得：，①+②，得：7（a+b）＝7，则a+b＝1．故选：A．类型二：利用整体代入法求方程组的解11．解方程组：．【分析】方程组利用代入消元法求解即可．【解答】解：，由①得x＝3y﹣1③，把③代入②，得6y﹣y＝10，解得y＝2，把y＝2代入③，解得x＝5，∴．12．解方程组时，可把①代入②得：3×8+4y＝20，求得y＝﹣1，从而进一步求得这种解法为“整体代入法“，请用这样的方法解下列方程组．【分析】利用整体代入法的求解方法进行解答即可．【解答】解：，把①代入②得：3×12+5y＝26，解得y＝﹣2，把y＝﹣2代入①得：2x+6＝12，解得x＝3，故原方程组的解是：．13．阅读以下材料：解方程组：；小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：解：由①得x﹣y＝1③，将③代入②得：（1）请你替小亮补全完整的解题过程；（2）请你用这种方法解方程组：．【分析】（1）利用整体代入法进行求解即可；（2）利用整体代入法进行求解即可．【解答】解：（1）由①得x﹣y＝1③，将③代入②得：4×1﹣y＝0，解得y＝4，把y＝4代入①得：x﹣4﹣1＝0，解得x＝5，故原方程组的解是：；（2），整理得：，把③代入④得：2×2+1+15y＝50，解得y＝3，把y＝3代入①得：3x﹣3﹣2＝0，解得x＝，故原方程组的解是：．14．先阅读材料，然后解方程组：材料：解方程组在本题中，先将x+y看作一个整体，将①整体代入②，得3×4+y＝14，解得y＝2．把y＝2代入①得x＝2，所以这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此法解答，请用这种方法解方程组．【分析】根据阅读材料中的方法求出方程组的解即可．【解答】解：由①得：x﹣y＝1③，把③代入②得：4﹣y＝5，即y＝﹣1，把y＝﹣1代入③得：x＝0，则方程组的解为．15．整体代入就是把某些部分看成一个整体，则能使复杂的问题简单化．例如在解方程组时，把①变形：x﹣y＝1③，把③代入②中，求得x＝0，y＝1；利用整体代入思想，已知，则x2+4y2＝17．【分析】将x﹣y＝1代入4（x﹣y）﹣y＝5即可求得x，y的值；给2x2+xy+8y2＝36两边同乘以2得到方程③4x2+2xy+16y2＝72，然后方程①3x2﹣2xy+12y2＝47加方程③4x2+2xy+16y2＝72即可解答．【解答】解：把x﹣y＝1代入4（x﹣y）﹣y＝5，解得y＝﹣1，∴x＝0，故答案为：0，1；，②×2得：4x2+2xy+16y2＝72③，③+①得：4x2+2xy+16y2+3x2﹣2xy+12y2＝47+72，∴7x2+28y2＝119，∴7（x2+4y2）＝119，∴x2+4y2＝17，故答案为：17．16．阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5…③，把方程①代入③得：2×3+y＝5即y＝﹣1，把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程组的解为．请你解决以下问题（1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；（2）已知x，y满足方程组；（i）求xy的值；（ii）求出这个方程组的所有整数解．【分析】（1）把3x+5y看做一个整体，求出3x+5y的值，进而可得出结论；（2）将①代入方程②求出xy的值，再由x与y是整数求出符合条件的x，y的对应值即可．【解答】解：（1），将方程②变形：6x+10y+y＝35，即2（3x+5y）+y＝35③，把方程①代入③得：2×16+y＝35，解得y＝3，把y＝3代入方程①，得，所以方程组的解为；（2）（i）原方程组化为，将①代入方程②得：72+7xy＝51，∴xy＝﹣3；（ii）由（i）得xy＝﹣3，∵x与y是整数，∴或或或，由（i）可求得2x2+3y2＝21，∴和符合题意，故原方程组的所有整数解是或．类型三：整体换元法求未知数的值17．用换元法解方程组，如果，那么原方程组化为关于u、v的方程组是．【分析】结合已知条件，利用换元法将原二元一次方程组进行换元即可．【解答】解：已知，设＝u，＝v，那么原方程组化为：，故答案为：．18．解方程组．【分析】先把方程组化简后，再用适当的方法进行求解．【解答】解：原方程组可化为：，（2）×5+（1）得：46y＝46，y＝1，把y＝1代入（1）得：x＝7．∴．19．关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为（）A．B．C．D．【分析】由原方程组的解及两方程组的特点知，x+y、x﹣y分别相当于原方程组中的x、y，据此列出方程组，解之可得．【解答】解：由题意知，，①+②，得：2x＝7，x＝3.5，①﹣②，得：2y＝﹣1，y＝﹣0.5，所以方程组的解为，故选：C．20．阅读材料，解答问题：材料：解方程组，我们可以设x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组可以变形为，解得，将a、b转化为，再解这个方程组得．这种解方程的过程，就是把某个式子看作一个整体，用一个字母代替他，这种解方程组得方法叫做换元法．请用换元法解方程组：．【分析】设x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组可以变形为，用加减消元法解得，再解方程组即可求解．【解答】解：设x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组可以变形为，用加减消元法解得，再将a、b转化为，解得．21．阅读下列材料，解答问题：材料：解方程组，若设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可变形为，用加减消元法得，所以，在解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法．问题：请你用上述方法解方程组．【分析】设x+y＝A，x﹣y＝B，方程变形后，利用加减消元法求出A与B的值，进而确定出x与y的值即可．【解答】解：设x+y＝A，x﹣y＝B，方程组变形得：，整理得：，①×3﹣②×2得：5A＝﹣50，即A＝﹣10，把A＝﹣10代入①得：B＝﹣15，∴，解得：．22．阅读探索：材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可化为，解得，即，解得．材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为：．根据上述材料，解决下列问题：（1）运用换元法解求关于a，b的方程组：的解；（2）若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解．（3）已知x、y、z，满足，试求z的值．【分析】（1）用换元法替换和，解方程组即可；（2）用换元法替换5（m﹣3）和3（n+2），根据已知条件解方程组即可；（3）仿照题意将方程①变形为，然后把将方程②代入③得到关于z的方程，解方程即可．【解答】解：（1）设，，∴原方程可以化为，用②﹣①×2得：﹣3y＝﹣3，解得y＝1，把y＝1代入到①得：x+2＝4，解得x＝2，∴方程组的解为，即，解得，∴原方程组的解为；（2）解：设，则方程化为：，即，解得；（3）解：将方程①3x﹣2z+12y＝47，变形为，将方程②代入③得：，解得z＝2．。
合并法、换元法解二元一次方程组（一）知识教学点1．掌握用合并法、换元法解二元一次方程组的步骤．2．熟练运用合并法、换元法解二元一次方程组．（二）能力训练点1．培养学生的观察分析能力;2．训练学生的运算技巧，养成检验的习惯．（三）德育渗透点消元，化未知为已知的数学思想．（四）美育渗透点通过本节课的学习，渗透化归的数学美，以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美．二、学法引导1．教学方法：引导发现法、练习法，指导法．2．学生学法：在前面已经学过二元一次方程组的解法，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法．三、重点、难点、疑点及解决办法（－）重点使学生会用合并法、换元法解二元一次方程组．（二）难点灵活运用合并法、换元法的技巧．（三）疑点如何“消元”，把“二元”转化为“一元”．四、课时安排一课时．五、教具学具准备电脑 投影仪．六、教学过程一导 运用导学案 自主学习（一）解二元一次方程组的基本思路是消元，即通过运用代入法和加减法把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求出方程组的解.而对于具有某些特点的二元一次方程组，如果仍按常规方法不仅运算量大，而且容易出错.若能根据题目的特点，适时改进方法，不仅可以减少运算量，而且可以又快又准地解出方程组.（二）自主探究请同学们根据提示用合并法解二元一次方程组（略）设计意图：以学生的兴趣为主，由易至难，逐层递进，逐步完成各个任务。
（三）总结二研 合作学习 研究探讨（一）例题解析 （1） ⎩⎨⎧-=+=+② 10y 65x ①1056y x（2） ⎩⎨⎧=+-=-+-② 72009)-7(2010y 9)4(2x ①3)20092010(3)92(2y x 设计意图：合作探究，探索比较，发现规律，使每位学生参与其中，成为课堂的主人，提高解题技巧（二）练习题 （1）⎩⎨⎧=+=+② 79y 137x ①61713y x （2）⎩⎨⎧=+=+② 74y 1911x ①1061119y x（3）⎪⎩⎪⎨⎧-=--+=-++.1106,3106y x y x y x y x （4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=-++.86)32(55)1(3,36)32(5)1(2y x y x 设计意图：竞赛完成，激发学习热情，巩固强化三验 课堂小测验（略）设计意图：对学生完成情况及时了解，及时总结，对课堂教学及时反思，对下一步的教学进行适时，适当的调整。
换元法在中学中的应用
换元法是一种常用的数学解题方法，在中学数学中有很多应用。
1、求解方程组：由于解方程组的方法多种多样，换元法也是
一种可以用来求解方程组的方法，比如求解两个方程组：
2x+3y=7
3x-2y=1
用换元法，可以将其中一个方程组中的一个变量换成另一个变量，即：
2x+3y=7
3x-2x=1
用第二个方程组中的x替换第一个方程组中的y，即：
2x+3(3x-2)=7
3x-2x=1
把第一个方程组化简，得：
7x=10
由此可得x=10/7，再代入第二个方程组，可得y=2/3，所以方
程组的解为x=10/7，y=2/3。
2、解不等式：换元法也可以用来解不等式，比如解不等式
2x-3y>0，可以将其中一个变量换成另一个变量，即：
2x-3y>0
3x-2y>0
用第二个不等式中的x替换第一个不等式中的y，即：
2x-3(3x-2)>0
3x-2y>0
把第一个不等式化简，得：
6x-6>0
由此可得x>1，再代入第二个不等式，可得y>2，所以不等式的解为x>1，y>2。
第6讲 利用换元法解方程一、方法技巧（一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的.（二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程.解分式方程、无理方程、整式(高次)方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次.（三）换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径．常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等．例如：① 256011x x x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ，可使用局部换元法，设1x y x =+ ②22110x x x x +++=，变形后也可使用局部换元法，设1x t x +=③222212219116x x x x x x x +++++=+++，看着很繁冗，变形整理成222211191116x x x x x x +++++=+++时，就可使用局部换元法. ④()()443182x x +++=，可设()()3122x x y x +++==+，方程变成()()441182y y ++-=，使方程变得易解，这是均值换元法.⑤4326538560x x x x +-++=，符合与中间项等距离的项的系数相等，如46x 与6，35x 与5x 系数相等，可构造1x x +换元，是倒数换元法.⑥32310x x +++=，不易求解，若反过来看，把设x 看作已t ，则方程就变成()()2232110x t x t x ⋅+++-=，数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法.有时根据方程各部分特点可设双元，达到化繁为简，求解的目的.例如：()()()()()222222223232321321451x x x x x x x x x x -++-+--+--=-+观察发现()()22232321451x x x x x x -++--=-+，故可设232x x u -+=，2321x x v --=，原方程变为()222u uv v u v ++=+，方程由繁变简，可得解.（四）本讲注重研究用换元法解方程的技能、技巧．拓宽学生知识面，培养学生学习和研究数学的兴趣.二、应用举例类型一 局部换元（高次方程）【例题1】解方程：42320x x -+=【答案】11x =，21x =-，3x =4x =【解析】试题分析：通过观察发现()242x x =，故设2x y =，原方程变形为2320y y -+=，可把高次方程降次，转化为可解的一元二次方程.试题解析：解：设2x y =，则原方程变形为2320y y -+=， 解得，11y =，22y =，由11y =得21x =，解得11x =，21x =-，由22y =得22x =，解得3x =，4x =∴方程的解是11x =，21x =-，3x =4x =【难度】较易（分式方程）【例题2】解方程：256011x x x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭【答案】134x =-，223x =- 【解析】试题分析：括号里的分式相同，由这个特点，可以用换元法来解.试题解析： 解：设1x y x =+，于是原方程变形为2560y y ++= 解得13y =-，22y =-当13y =-时，31x x =-+，解得134x =-， 当22y =-时，21x x =-+，解得223x =- 经检验134x =-，223x =-均为原方程的根. ∴方程的解是134x =-，223x =- 【难度】较易【例题3】已知实数x 满足22110x x x x +++=，那么1x x+的值是（ ） 【答案】2-【解析】试题分析： 由于222112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，故设1x t x +=，可解. 试题解析： 解：设1x t x+=， 原方程化简得21120x x x x ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭， ∴220t t -+=，解得11t =，22t =- 由11x x+=化简得210x x -+=，△＜0 ，无解，舍去 ∴12x x +=- 点评 ：方程中并无“相同”的部分时，可通过代数式间的关系变形构造出“相同”部分，设元.【难度】一般（无理方程）【例题4103= 【答案】114x =，294x =- 【解析】试题分析： 这是一个根号里含有分式的无理方程，也可通过换元后求解，通过变形发现221x x x ++=，与2x x +互为倒数，y =，则原方程变形为1103y y +=，无理方程化为有理方程. 试题解析：()0y y = ＞，则原方程变形为1103y y +=整理得231030y y -+=解得13y =，213y =当13y =3=，解得114x =当213y =13=，解得294x =- 经检验114x =，294x =-都是原方程的根. 原方程的解是114x =，294x =- 【难度】一般【例题510=【答案】112x =+，21x = 【解析】试题分析：1=，可设两个未知数，利用韦达定理求解. 试题解析：m = n = ，原方程变为1m n +=又∵()2222m n m n mn +=++∴142mn =+，即32mn =- 根据韦达定理，m n 、是方程2302z z --=的根解得1z =2z =∵102， ∴2z 舍去即12m +=或12n +=12= 12=解得112x =+， 212x =-经检验11x =+21x =-是原方程的解∴ 方程的解是11x =+21x =-【难度】一般类型二 均值换元【例题6】解方程：()()443182x x +++= 【答案】10x =，24x =-【解析】试题分析：观察方程可知()()312x x +-+=，适合使用均值法换元，故设()()3122x x y x +++==+可达到降次目的.试题解析：解：设()()3122x x y x +++==+， 原方程变为()()441182y y ++-=整理得()()()()222221121182y y y y ⎡⎤++--+-=⎣⎦ ()()2222412182y y +--=426400y y +-= 解得210y =-（舍），24y =即12y =，12y =-由22x +=，得10x =由22x +=-，得24x =-∴原方程的解为10x =，24x =-点评：一般形如()()44x a x b c +++=的方程可用均值法，设22x a x b a b y x ++++==+进行代换，化原方程为双二次方程求解.【难度】较难类型三 倒数换元【例题7】解方程：4326538560x x x x +-++= 【答案】112x =，22x =, 33x =-，413x =- 【解析】试题分析：本题的特点是：按x 降幂排列后，与中间项等距离的项的系数相等，如46x 与6，35x 与5x 系数相等，可构造1x x +换元. 试题解析：解：显然0x =不是方程的解，故用2x 除方程两边， 整理得221165380x x x x ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设1y x x =+，则22212x y x+=-， 上式变为()2625380y y -+-=，整理得265500y y +-= 解得152y =，2103y =-， 由152x x +=，解得112x =，22x = 由1103x x +=-，解得33x =-，413x =- 点评：形如4320ax bx cx bx a ++++=的方程称为倒数方程，其特点是，按某一字母降幂排列后，与中间项等距离的项的绝对值相等，其解法是，用2x 除各项，构造1x x±，使原方程变为一元二次方程得解.【难度】较难类型四 常数换元【例题8】解方程32310x x ++=【答案】11x =，212x -=，312x --= 【解析】试题分析：这是三次方程，且系数中含无理数，不易求解，若反过来看，把设x 设为设t ，则方程就变成关于t 的一元二次方程.试题解析：t=则原方程变形为322210x x t xt t +++-=即()()2232110x t x t x ⋅+++-= ()()2110x t x x t x ⎡⎤⋅++++-=⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()2110x x x x ⎡⎤⎤++-=⎣⎦⎦整理得)21110x x x ⎡⎤⎡⎤+++=⎣⎦⎣⎦)2110x x ++=或10x +=解得11x =，2x =，3x = 【难度】困难三、实战演练类型一 局部换元（高次方程）1.已知()()2222138x y x y ++++=，则22x y +的值为（ ）【答案】1【解析】试题分析：解题时把22x y +当成一个整体考虑，再求解就比较简单.试题解析：解：设22x y t +=，()0t ≥，则 原方程变形为()()138t t ++=，整理得()()510t t +-=，解得15t =-，21t =，∵0t ≥∴1t =∴22x y +的值是1【难度】较易2.解方程：()2222360x x x x +--=【答案】10x =，22x =-，33x =-，41x =【解析】试题分析：观察可知，方程整理后()()2222320x xx x +-+=，可用换元法降次.试题解析：解：方程整理后()()2222320x xx x +-+= 设22x x y +=，则原方程变为230y y -= 解得10y =，23y =由10y =，得220x x +=，解得10x =，22x =-由23y =，得223x x +=，解得33x =-，41x =∴原方程的解是10x =，22x =-，33x =-，41x =【难度】较易3.方程()()22235320x x ---+=，如果设23x y -=，那么原方程可变形为（ ） A ．2520y y -+= B. 2520y y +-= C. 2520y y --= D. 2520y y ++=【答案】D【解析】试题分析:注意到23x -与23x -互为相反数，只有符号要变化，可利用换元法变形.试题解析：解：设23x y -=，则23x y -=-用y 表示23x -后代入方程得2520y y ++=故选D.【难度】较易4.解方程：()22213x x +=+【答案】11x =，21x =- 【解析】 试题分析：1.以21x +为一个整体换元，因此要对方程进行变形使其含有21x +.2.把方程展开成标准的双次方程，再对2x 进行换元.试题解析：解法一：原方程可化为()()2221120x x +-+-=，设21x y +=，得220y y --=， 解得12y =，21y =-由212x +=，解得11x =，21x =-由211x +=-，22x =-无实根∴方程的解是11x =，21x =-解法二：由方程得4220x x +-=，设2x y =得220y y +-=，解得11y =，22y =-（舍去）由21x =，解得11x =，21x =-∴方程的解是11x =，21x =-点评：换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元对象.在解方程的过程中换元的方法常常不是唯一的，解高次方程时，只要能达到将次目的的换元方法都可以应用. 【难度】较易（分式方程）5.解方程2261x x x x=+++ 【答案】12x =-，21x =【解析】试题分析：方程左边分式分母为2x x +，可将右边2x x +看成一个整体，然后用换元法解. 试题解析：解：设2x x y +=，则原方程变形为61y y=+ 解得13y =-，22y =当13y =-时，23x x +=-，△＜0，此方程无实根当22y =时， 22x x +=， 解得12x =-，21x =经检验，12x =-，21x =都是原方程的根.【难度】较易【解析】试题分析：整理后发现()222x x x x +=+，故()()2211x x x ++=+，就可换元解题了 试题解析：设()21x y +=，则整理得220y y --=解得12y =，21y =-（舍去）【难度】较易7.解方程222212219116x x x x x x x +++++=+++【答案】121x x ==，3x =，4x =【解析】试题分析： 观察到()2222222112211111x x x x x x x x x x x x +++++++==+++++++，设2211x x y x ++=+，原方程可化为11916y y ++=，由繁变简，可解. 试题解析： 解：原方程变形得222211191116x x x x x x +++++=+++， 即22221113116x x x x x x ++++=+++ 设2211x x y x ++=+，则原方程变为1136y y += 整理得261360y y -+= 解得132y =，223y = 由132y =得221312x x x ++=+，解得121x x ==由223y =得221213x x x ++=+，解得3x =，4x =经检验121x x ==，3x =4x =.∴原方程的解是121x x ==，332x -+=，432x --= 【难度】一般8.解方程：22272720x x x x+-++=【答案】11x =，21x =， 312x =-，42x = 【解析】试题分析： 观察可发现22222711272272x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而222112x x x x ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，故可设1x x -为辅助元，可得解. 试题解析： 解：将原方程转化为21122720x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦设1x y x-=，则 原方程转化为22760y y -+=解得12y =，232y =当12y =时，12x x-=，解得11x =，21x = 当232y =时，132x x -=，解得312x =-，42x =经检验11x =21x = 312x =-，42x =都是原方程的解所以，原方程的解是11x =，21x =， 312x =-，42x = 【难度】一般9.解方程:222322322x x x x-+=-【答案】113x +=，2x = 【解析】试题分析： 这个方程左边两个分式互为倒数关系，抓住这一特点，可设2232x y x =- 试题解析：解：设2232x y x =-，则原方程可化为12y y +=， 即2210y y -+=∴()210y -=，解得1y = 由22132x x =-，得23220x x --=解得：1x =，2x =经检验1x =，2x =都是原方程的根 点评：解有倒数关系的分式方程时，常把原方程中的一个分式作为整体进行换元，换元时要注意分子、分母互换时分式可以用一个新元和它的倒数来表示，即形如()()0b a f x c f x ++=g 的方程，可设()y f x = 【难度】较易10.解方程：222122272221x x x x x x +=+-+-+-【答案】11x =-21x =-【解析】试题分析：观察方程的分母，发现各分母均是关于x 的二次三项式，仅常数项不同，抓住这一特点，可设22y x x =+试题解析：解：设22y x x =+，原方程可化为 122721y y y +=---，即()()12721y y y -=---， 即2120y y --=，解得：14y =，23y =-由224x x +=，解得11x =-21x =- 由223x x +=-，△＜0，方程无解经检验11x =-21x =-.∴方程的解是11x =-21x =-【难度】较难11.解方程：222111011102101310x x x x x x ++=++++-+ 【答案】15x =，22x =，35x =-，42x =-【解析】试题分析：观察方程的分母，发现三个分母都是关于x 的二次三项式，仅一次项不同，抓住这一特点，可设2210y x x =++试题解析：解：设2210y x x =++， 则原方程可化为1110915y x y y x ++=+-整理得：224450y xy x --=解得：19y x =，25y x =-由22109x x x ++=，解得15x =，22x =由22105x x x ++=-，解得35x =-，42x =-经检验知，它们都是原方程的解.点评：以上三个例子可以看出，换元时必须对原方程仔细观察、分析，抓住方程的特点，恰当换元，花繁为简，达到解方程的目的.【难度】较难（双元换元） 12.解方程： 213134211x x x x x x --⎛⎫+= ⎪++⎝⎭【答案】11x =，26x =，33x =，43x =【解析】试题分析： 本题整理后2213134211x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，发现221313131313111x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+++== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，设2131x x a x -=+，2131x b x +=+，可得13a b +=，42ab =，利用韦达定理可求解. 试题解析： 解：设2131x x a x -=+，2131x b x +=+ 可得13a b +=，42ab =由韦达定理，知a ，b 是方程213420z z -+=的两根解得16z =，27z =即67a b =⎧⎨=⎩或76a b =⎧⎨=⎩即2213611371x x x x x ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩或2213711361x x x x x ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩ 经检验11x =，26x =，33x =，43x =.所以方程的解是11x =，26x =，33x =，43x =【难度】较难13()()()()()222222223232321321451x x x x x x x x x x -++-+--+--=-+ 【答案】131x x ==，22x =，413x =-【解析】试题分析： 观察发现()()22232321451x x x x x x -++--=-+，故可设232x x u -+=，2321x x v --=，原方程变为()222u uv v u v ++=+，方程由繁变简，可得解 试题解析：解：∵()()22232321451x x x x x x -++--=-+设232x x u -+=，2321x x v --= 原方程变为()222u uv v u v ++=+∵()2222u uv v u v ++=+∴0uv =，即0u =或0v =即2320x x -+=或23210x x --=解得11x =，22x =，31x =，413x =-∴方程的解是131x x ==，22x =，413x =- 点评：对于本题这样繁冗的方程，直接展开求解不可取，可通过观察，找到代数式间的联系，不妨设两个辅助元，将方程变形，目的是使方程有繁变简，可解.【难度】较难（无理方程）14.1=【答案】1x =-【解析】试题分析：解无理方程的基本思想是将其转化为有理方程，通常是设根式为元，本题的两根式存在()()1+12x x +=+的关系，故设一个辅助元即可.试题解析：解：设y =21x y +=，即221x y +=+1y =1y =-两边平方，并整理得0y =0=，解得1x =-经检验1x =-是原方程的解点评：解无理方程时，常把方程中的一个含有未知数的根式作为整体换元，达到化去根号转化为可解的方程的目的.【难度】一般15.解方程组：183x y +=⎧⎪=【答案】191x y =⎧⎨=-⎩【解析】试题分析：此题是整式方程与无理方程合并的方程组，解题时应从无理方程出发，将其化为有理方程求解.试题解析：u =v =，则原方程组可化为：22173u v u v ⎧+=⎨-=⎩()()12 由（2）得，3u v =+，（3）将（3）代入（1），得()22317v v ++=，解得，11v =，24v =-∴4u =得41==，解得191x y =⎧⎨=-⎩经检验，知191x y =⎧⎨=-⎩是原方程组的解 ∴原方程组的解为191x y =⎧⎨=-⎩点评：妙用换元法，将无理方程组化为有理方程组，从而把繁杂而生疏的问题转化为简单而熟悉的问题.【难度】一般16.解方程：22650x x --=【答案】15x =，22x =-【解析】试题分析：由于根号里面23x x -与根号外面226x x -，对应系数成比例，故可以将其变形()223130x x ---=， 不难找到辅助元.试题解析：y =，则原方程可以化为22530y y --=解得112y =-（舍去），23y =3=，解得15x =，22x =-经检验15x =，22x =-是原方程的解.点评：以前学过的取平方去根号法解无理方程，是种普遍方法.现在的换元法必须构造出根号内外两个相同的式子才行.【难度】较难类型二 均值换元17.解方程：()()()()214719x x x x -+++=【答案】1x =2x =3x =，4x = 【解析】试题分析：方程的左边是四个二项式乘积，故展开求解不可取，应通过观察找突破口，左边重组后，()()()()2714x x x x -+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2251454x x x x =+-++，可设元求解.试题解析：解：原方程变形后()()()()271419x x x x -+++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦整理后得()()225145419x x x x +-++=设()()22251454552x x x x y x x +-+++==+-方程可变为()()9919y y -+=，即2100y =解得110y =，210y =-由110y =得25510x x +-=，解得1x =2x =由210y =-得25510x x +-=-，解得3x =452x -=∴方程的解是152x -=，252x --=，352x -+=，452x --= 点评：本题也可设25x x +为辅助元，但没有均值法计算快捷，恰当的重组变形得到()()()()2714x x x x -+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦是解本题的关键.【难度】一般18.解方程：()()()2673416x x x +++= 【答案】123x =-，253x =- 【解析】试题分析：方程左边四个二次项的乘积，显然展开求解不可取，可尝试变形后()()()267686672x x x +++=，取均值，将其由繁变简.试题解析：解：方程变形为()()()267686672x x x +++= 设()()()()67676866674x x x x y x +++++++==+ 原方程变成()()21172yy y +-= 整理得42720y y --=解得29y =或28y =-（舍去）∴13y =，23y =-即673x +=或673x +=- 解得123x =-，253x =- 【难度】较难类型三 倒数换元19.解方程：4322316320x x x x +-++=【答案】12x =-，22x =-32x =，412x = 【解析】试题分析：此题符合倒数方程的特点：按x 降幂排列后，与中间项等距离的项的系数相等，两边同时除以2x ，可构造1x x+为元得解. 试题解析：解：∵这是个倒数方程，且知0x ≠，两边除以2x ，并整理得221123160x x x x ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设1x y x +=，则22212x y x+=- 原方程化为223200y y +-=解得14y =-，252y =由14y =-得14x x+=-，解得12x =-，22x =- 由252y =得152x x +=，解得32x =，412x =∴方程的解是12x =-，22x =-32x =，412x = 【难度】较难20.解方程((5598y y ++-= 【答案】2y =±【解析】试题分析：此题无法用通常的方法解决，但注意到5+5-互为倒数且指数均为y ，因此，利用换元法换元后再利用根与系数的关系就可以顺利解决此题了.试题解析：解：设(5y a =+，(5y b =-， 则981a b ab +=⎧⎨=⎩a 、b 可看作29810t t -+=的根解得149t =+，249t =-则4949a b ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩4949a b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩∴(((2254955y a ±=+=±=±=+ ∴2y =±点评：本题是指数方程，不是中考考点，但解法巧妙，可用来拓展思路，不妨试试！【难度】较难。
