利用换元法解方程组

专题3.10 三元一次方程组及其解答-重难点题型【沪科版】【题型1 三元一次方程组的解】【例1】（2022春•零陵区期末）若二元一次方程组{2x +y =33x −y =2的解同时也是方程2x ﹣my ＝﹣1的解，那么m 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．3D ．4【变式1-1】（2022春•梁平区期末）三元一次方程组{2x =3y =6zx +2y +z =16的解是（ ）A ．{x =1y =3z =5B ．{x =6y =3z =2C ．{x =6y =4z =2D ．{x =4y =5z =6【变式1-2】（2022•坪山区模拟）若二元一次方程3x ﹣y ﹣7＝0，2x +3y ﹣1＝0和2x +y ﹣m ＝0有公共解，则m 的取值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．3D ．4【变式1-3】（2022春•高新区期末）如果方程组{x =4ax +by =5的解与方程组{y =3bx +ay =2的解相同，则a +b＝ ．【题型2 用消元法解三元一次方程组】【例2】（2022春•宝山区期末）解方程组：{x −y +z =04x +2y +z =325x +5y +z =60．【变式2-1】（2022春•松江区期末）解方程组：{3x +4y +z =14x +5y +2z =172x +2y −z =3．【变式2-2】（2022春•新抚区期末）解方程组：{x +2y +z =82x −y −z =−33x +y −2z =−1．【变式2-3】（2022•浙江自主招生）解方程组{x(y +z)=2.5，(y −1)(z +x +1)=9.5，(z +1)(x +y −1)=11.【题型3 用换元法解三元一次方程组】 【例3】（2022春•南陵县期末）已知：a3=b 5=c7，且3a +2b ﹣4c ＝9，则a +b +c 的值等于 ．【变式3-1】（2022•晋江市模拟）已知方程组{x +y −5z =0x −y +z =0，则x ：y ：z ＝ ．【变式3-2】（2022秋•静安区月考）已知x+y 2=z+y 3=x+z 4，那么代数式x−2y+z 2x−y+z= ．【变式3-3】解方程组：{x 2=y 3=z 4①2x +y +z =22②方程组中的①式实际包含三个等式：x2=y 3，x2=z4，y 3=z4，只需任取其中两个（另一个通过这两个代换即可得），便可以与②式联立成三元一次方程组，如{3x =2y4y =3z 2x +y +z =22，然后用一般方法求解．对原方程组也可以用换元的方法来求解．令x2=y 3=z 4=k ，则有x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ③，把③代入②，得4k +3k +4k＝22，解得k ＝2，所以x ＝4，y ＝6，z ＝8，所以原方程组的解为{x =4y =6z =8．借鉴上述“换元法”，解方程组{x+12=y+23=z+342x +3y −z =13．【题型4 构建三元一次方程组解题】【例4】（2022秋•邛崃市期末）当x ＝﹣2时，代数式ax 2+bx +c 的值是5；当x ＝﹣1时，代数式ax 2+bx +c 的值是0；当x ＝1时，代数式ax 2+bx +c 的值是﹣4；则当x ＝2时，代数式ax 2+bx +c 的值是 ．【变式4-1】（2022春•和平区期末）在等式y ＝ax 2+bx +c 中，当x ＝﹣1时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝3；当x＝5时，y ＝60，则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ．【变式4-2】（2022春•海口期末）在等式y ＝ax 2+bx +c 中，当x ＝﹣1时，y ＝0；当x ＝5时，y ＝60；当x ＝0时，y ＝﹣5．求a 2+2ab +c 2的值．【变式4-3】（2022春•崇川区校级月考）已知y ＝ax 2+bx +c ，当x ＝1时，y ＝8；当x ＝0时，y ＝2；当x ＝﹣2时，y ＝4． （1）求a ，b ，c 的值； （2）当x ＝﹣3时，求y 的值．【题型5 运用整体思想求值】【例5】（2022•苏州一模）阅读材料：善于思考的小明在解方程组{4x +10y =6①8x +22y =10②时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：解：将方程②8x +20y +2y ＝10，变形为2（4x +10y ）+2y ＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y ＝10，则y ＝﹣1；把y ＝﹣1代入①得，x ＝4，所以方程组的解为：{x =4y =−1请你解决以下问题：（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组{2x −3y =7①6x −5y =11②（2）已知x 、y 、z ，满足{3x −2z +12y =47①2x +z +8y =36②试求z 的值．【变式5-1】（2022春•金坛区期末）若2x +y +z ＝10，3x +y +z ＝12，则x +y +z ＝ ． 【变式5-2】阅读以下材料：若x +3y +5z ＝5，x +4y +7z ＝7，求x +y +z 的值．解：x +y +z ＝3（x +3y +5z ）﹣2（x +4y +7z ）＝3×5﹣2×7＝1． 答：x +y +z 的值的为1．根据以上材料提供的方法解决如下问题：若2x +5y +4z ＝6，3x +y ﹣7z ＝﹣4，求x +y ﹣z 的值．【变式5-3】（2022春•鼓楼区期中）解二元一次方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样，我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组．下面，我们就来解一个三元一次方程组：解方程组{x +y +z =2，①2x +3y −z =8，②3x −2y +z =3，③小曹同学的部分解答过程如下： 解： + ，得3x +4y ＝10，④+ ，得5x +y ＝11，⑤ 与 联立，得方程组 {3x +4y =10，④5x +y =11，⑤（1）请补全小曹同学的解答过程：（2）若m 、n 、p 、q 满足方程组{m +n +p +q =42(m +n)+3p −q =163(m +n)−2p +q =6，则m +n ﹣2p +q ＝ ．【题型6 三元一次方程组的应用】【例6】汽车在平路上每小时行30千米，上坡时每小时行28千米，下坡时每小时行35千米，现在行驶142千米的路程用去4小时30分钟，回来使用4小时42分钟，问这段路中平路有多少千米？去时上、下坡各有多少千米？【变式6-1】某单位职工在植树节时去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株数是甲、丙两组的和的14，甲组植树的株数恰是乙组与丙组的和，问每组各植树多少株？【变式6-2】如图中的□、△、○分别代表一个数字，且满足以下三个等式： □+□+△+○＝17 □+△+△+○＝14 □+△+○+○＝13，则□、△、○分别代表什么数字？并说明理由．【变式6-3】（2022春•乐清市期末）为了推动我市消费市场快速回暖，加快消费水平复苏和振兴，市人民政府决定，举办“春暖瓯越•温享生活”消费券多次投放活动，每期消费券共可减68元，共5张，其中A 型1张，B 型2张，C 型2张，如下表：A 型B 型C 型 满168元减38元满50元减10元满20元减5元在此次活动中，小明父母领到多期消费券．（1）若小明妈妈用三种不同类型的消费券共减了199元，已知她用了3张A 型消费券，5张B 型的消费券，则用了 7 张C 型的消费券．（2）若小明父母使用消费券共减了230元．①若他们用12张三种不同类型的消费券消费，已知C型比A型的消费券多1张，请求出他们用这三种不同类型的消费券各多少张？②若他们共领到6期消费券（部分未使用），用A，B，C型中的两种不同类型的消费券消费，直接写出他们使用哪两种消费券各多少张．。

二元一次方程组的化简技巧有哪些在数学的学习中，二元一次方程组是一个重要的知识点。

能够熟练掌握二元一次方程组的化简技巧，可以帮助我们更轻松、更高效地解决相关问题。

下面就来给大家详细介绍一些常见且实用的二元一次方程组化简技巧。

一、代入消元法代入消元法是解决二元一次方程组较为常用的方法之一。

它的基本思路是：从方程组中选取一个方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，然后将这个代数式代入另一个方程，从而消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程。

例如，对于方程组：＼＼begin{cases}x ＋ y ＝ 5 ＼＼2x y ＝ 1＼end{cases}＼我们可以由第一个方程得到＼（x ＝ 5 y\），然后将＼（x ＝ 5 y\）代入第二个方程＼（2x y ＝ 1\）中，得到：＼＼begin{align}2(5 y) y ＆＝ 1 ＼＼10 2y y ＆＝ 1 ＼＼10 3y ＆＝ 1 ＼＼－3y ＆＝ 1 10 ＼＼－3y ＆＝－9 ＼＼y ＆＝ 3＼end{align}＼再将＼（y ＝ 3\）代入＼（x ＝ 5 y\），可得＼（x ＝ 5 3 ＝2\）。

在使用代入消元法时，关键是要选择一个方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来。

一般来说，选择系数较简单的方程，并且选择系数为1 或－1 的未知数进行表示，这样计算会更简便。

二、加减消元法加减消元法也是二元一次方程组化简的重要方法。

它的核心思想是：通过将方程组中的两个方程相加或相减，消去一个未知数，从而将二元一次方程组转化为一元一次方程。

比如，对于方程组：＼＼begin{cases}3x ＋ 2y ＝ 12 ＼＼5x 2y ＝ 4＼end{cases}＼观察两个方程，发现＼（y\）的系数分别为＼（2\）和＼（－2\），将两个方程相加，可以消去＼（y\），得到：＼＼begin{align}（3x ＋ 2y) ＋（5x 2y) ＆＝ 12 ＋ 4 ＼＼3x ＋ 5x ＆＝ 16 ＼＼8x ＆＝ 16 ＼＼x ＆＝ 2＼end{align}＼把＼（x ＝ 2\）代入第一个方程＼（3x ＋ 2y ＝ 12\），可得＼（3×2 ＋ 2y ＝ 12\），解得＼（y ＝ 3\）。

分式二元一次方程组的解法
分式二元一次方程组是指由两个分式方程组成的方程组，其中每个方程中含有两个未知数，且未知数的次数都是1。

下面是几种常见的解法：
一、代入消元法
①将一个未知数用含另一未知数的代数式表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

②这种方法的特点是：先求出一个未知数的值，然后再求出另一个未知数的值。

二、加减消元法
①通过将两个方程相加或相减，消去其中一个未知数，从而得到一个只含有一个未知数的方程。

②这种方法的特点是：直接消去一个未知数，简化方程组的求解。

三、换元法
①通过引入一个新的未知数，将原方程组转化为一个含有三个未知数的方程组，然后再求解这个方程组。

②这种方法的特点是：将分式方程组转化为整式方程组，然后再求解。

需要注意的是，在解分式二元一次方程组时，需要先将分式方程化为整式方程，然后再进行求解。

初中数学：二元一次方程组的几种简便解法1、整体代入法整体代入法是用含未知数的表达式代入方程进行消元．有些方程组并不一定能直接应用这种解法，不过，我们可以创造条件进行整体代入．解析：这道题中的系数较繁，按常规方法去解比较麻烦．我们可以先将②式有目的地进行变形，再将①式中的看成一个整体代入求解．由②式可得．化简，得．③将①代入③，得．解得，代入①可得．故方程组的解为2、换元法换元法就是设出一个辅助未知数，分别用含有这个未知数的代数式表示原方程组中未知数的值，把二元一次方程组转化为一元一次方程组进行求解．换元有一定的技巧性．有代数式整体换元，还有设比值换元等多种方法，下面举例说明．解析：我们可以分别尝试整体换元和设比值换元．方法１：设，则．代入②，得．解得．从而可得方程组的解为方法２：设．由①得，所以．③由②得．④③÷④，得．解得．从而可得3、直接加减法直接加减法有别于课本中的加减消元法，它通过将方程组中的方程相加减后把较繁的题目转化得相对简单．解析：若用一般方法去解这个方程组，其复杂程度可想而知，我们采用直接加减法．①＋②，得，即．③①－②，得．④由③④可得4、消常数项法解析：可将两式消去常数项，直接得到与的关系式，而后代入消元．①－②，得，即．将代入②，得，即．从而可得5、相乘保留法解析：去分母时，如果把两数相乘得出结果，不仅数值变大，而且给下面的解题过程带来麻烦，所以有时我们暂时保留相乘的形式．由①，得．③由②，得．④④－③，得．从而可得6、科学记数法当方程组中出现比较大的数字时，可用科学记数法简写．例６、解方程组解析：这个数比较大，可用科学记数法写成．由②，可得．③将①代入③，得．从而可得7、系数化整法若方程组中含有小数系数，一般要将小数系数化为整数，便于运算．解析：利用等式的性质，把①式变形为．③利用分子、分母相除，把②式变形为．④③－④，得．从而可得8、对称法例８、解方程组解析：这个方程组是对称方程组，其特点是把某一个方程中的互换即可得到另一个方程．由对称性可知，则可得解得9、拆数法例９、解方程组解析：我们可以有目的地将常数项进行变形，通过观察得出方程组的解．原方程组可变形为从而可得。

七年级下册数学《第八章二元一次方程组》专题解二元一次方程组（计算题50题）1．用代入法解下列方程组：（1）x−y=4，3x+y=16；（2）x−y=2，3x+5y=14．2．用代入法解下列方程组：（1）2x−y=33x+2y=8；（2）u+v=103u−2v=5．3．用代入法解下列方程组：（1）3x−y=2，9x+8y=17；（2）3x−4y=10x+3y=12.4．用代入法解下列方程组．（1）x+2y=4y=2x−3；（2）x−y=44x+2y=−2．5．用代入法解下列方程组：（1）5x+4y=−1.52x−3y=4（2）4x−3y−10=03x−2y=06．用代入法解下列方程组：（1）x−y=42x+y=5；（2）3x−y=29x+8y=17；（3）3x+2y=−8 6x−3y=−9．7．用代入法解下列方程组：（1）3x+2y=11，①x=y+3，②（2）4x−3y=36，①y+5x=7，②（3）2x−3y=1，①3x+2y=8，②8．用代入法解下列方程组：（1）5x+2y=15①8x+3y=−1②；（2）3(y−2)=x−172(x−1)=5y−8．9．用代入法解下列方程组：（1）x=6−5y3x−6y=4（2）5x+2y=15x+y=6（3）3x+4y=22x−y=5（4）2x+3y=73x−5y=110．用代入法解下列方程组：（1）2x+y=3x+2y=−6；（2）x+5y=43x−6y=5；（3）2x−y=63x+2y=2；（4）5x+2y=113y−x=−9；1．用加减法解下列方程组：（1）4x−y =143x +y =7 （2x−2y =7x−3y =−82．用加减法解下列方程组：（1）2m +7n =53m +n =−2（2）2u−5v =124u +3v =−2（3y 7=12+y 7=133．用加减法解下列方程组：（1）x−y =52x +y =4；（2）x−2y =33x +4y =−1．4．用加减法解下列方程组：（1）4x−3y =11，2x +y =13；（2）x−y =3，2y +3(x−y)=115．用加减法解下列方程组：（1）3μ+2t =76μ−2t =11 （2）2a +b =33a +b =4．6．（2023•市北区校级开学）用加减法解下列方程组：（1）3y−4x =04x +y =8； （2+y =3x−32y =−1．7．（2022秋•陕西期末）用加减法解下列方程组：（1）x−y =33x−8y =14； （2+2y =10=1+y 13．8．用加减法解下列方程组：（1）x +3=y ，2(x +1)−y =6； （2）x +y =2800，96%x +64%y =2800×92%．9．用加减法解下列方程组：（1）x−y =5，①2x +y =4；②（2）x−2y =1，①x +3y =6；②（3）2x−y =5，①x−1=12(2y−1)．②10．用加减法解下列方程组：（1）x +3y =62x−3y =3 （2）7x +8y =−57x−y =4（3）y−1=3(x−2)y+4=2(x+1)（4+y4=1−y3=−1．1．（2022春•新田县期中）用指定的方法解下列方程组：（1）2x−5y=14①y=−x②（代入法）；（2）2x+3y=9①3x+5y=16②（加减法）．2．（2022春•安岳县校级月考）解下列方程组：（1）3x−y=75x+2y=8（用代入法）；（2+n3=10−n4=5（用加减法）．3．（2022春•大连期中）用指定的方法解下列方程组：（1）x−3y=42x+y=13（代入法）；（2）5x+2y=4x+4y=−6（加减法）．4．（2022春•宁远县月考）请用指定的方法解下列方程组（1）5a−b=113a+b=7（代入消元法）；（2）2x−5y=245x+2y=31（加减消元法）．5．（2021秋•蒲城县期末）请用指定的方法解下列方程组：（1）2x+3y=11①x=y+3②（代入消元法）；（2）3x−2y=2①4x+y=10②（加减消元法）．6．（2022秋•历下区期中）请用指定的方法解下列方程组：（1）m−n2=22m+3n=12（代入法）；（2）6s−5t=36s+t=−15（加减法）．7．（2022春•泰安期中）用指定的方法解下列方程组（1）3x+4y=19x−y=4（代入消元法）；（2）2x+3y=−53x−2y=12（加减消元法）；（35(x−9)=6(y−2)−y13=2．8．（2021秋•历下区期中）请用指定的方法解下列方程组：（1）3x+2y=14x=y+3；（代入法）（2）2x+3y=123x+4y=17．（加减法）9．（2021春•沙河口区期末）用指定的方法解下列方程组：（1）y=2x−33x+2y=8（代入法）；（2）3x+4y=165x−6y=33（加减法）．10．用指定的方法解下列方程组：（1）3x+4y=19x−y=4（代入法）；（2）2x+3y=−53x−2y=12（加减法）．1．（2022•苏州模拟）用适当的方法解下列方程组．（1）x+2y=9y−3x=1；（2x−34y=1=4．2．（2022秋•锦江区校级期末）用适当的方法解下列方程组．（1）x=2y−14x+3y=7；（2）3x+2y=22x+3y=28，．3．用适当的方法解下列方程组：（1）x+2y=0，3x+4y=6；（2=2y1)−y=11（3）x+0.4y=40，0.5x+0.7y=35；（4+n−m4=−14，5(n1)12=2．4．（2022•天津模拟）用适当的方法解下列方程组：（1）x +y =52x−y =4； （2=y 24−y−33=112．5．（2021•越城区校级开学）用适当的方法解下列方程组：（1）2x−3y =7x−3y =7． （2）0.3p +0.4q =40.2p +2=0.9q ．6．（2022春•东城区校级月考）用适当的方法解下列方程组（1）x +y =52x +y =8； （2）2x +3y =73x−2y =4．7．（2021春•哈尔滨期末）用适当的方法解下列方程组（1）x +2y =93x−2y =−1 （2）2x−y =53x +4y =28．（2022春•椒江区校级期中）用适当的方法解下列方程组：（1）2x +3y =16①x +4y =13②； （2）2s t 3=3s−2t 8=3．9．（2022春•诸暨市期中）用适当的方法解下列方程组：（1）y=2x−1x+2y=−7（2+y3=7+y2=810．（2021春•南湖区校级期中）用适当的方法解下列方程组：（1）3x+2y=9x−y=8；（2=x y2=7．1．先阅读材料，然后解方程组：材料：解方程组x+y=4①3(x+y)+y=14②在本题中，先将x+y看作一个整体，将①整体代入②，得3×4+y＝14，解得y＝2．把y＝2代入①得x＝2，所以x=2 y=2这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此法解答，请用这种方法解方程组x−y−1=0①4(x−y)−y=5②．2．（2021秋•乐平市期末）解方程组3x−2y=8⋯⋯⋯①3(3x−2y)+4y=20⋯．②时，可把①代入②得：3×8+4y＝20，求得y＝﹣1，从而进一步求得x=2y=−1这种解法为“整体代入法“，请用这样的方法解下列方程组2x−3y=123(2x−3y)+5y=26．3．先阅读，然后解方程组．解方程组x−y−1=0①4(x−y)−y=5②时，可由①得x﹣y＝1．③，然后再将③代入②得4×1﹣y＝5，求得y＝﹣1，从而进一步求得x=0y=−1这种方法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组：=0=2y+1．4．（2022春•太和县期末）先阅读，然后解方程组．解方程组x−y−1=0①4(x−y)−y=5②时，可由①得x﹣y＝1，③然后再将③代入②得4×1﹣y＝5，求得y＝﹣1，从而进一步求得x=0①y=−1②这种方法被称为“整体代入法”，+2y=9．5．先阅读，然后解方程组．解方程组x−y−1=0①4(x−y)−y=5②时，可由①得x﹣y＝1③，然后再将③代入②得4×1﹣y＝5，求得y＝﹣1，从而进一步求得x这种方法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组：2x−3y−2=03(2x−3y)+y=7．1．用换元法解下列方程组+2y=12−1y=342．用换元法解下列方程组：（1）3(x+y)+2(x−y)=36(x+y)−4(x−y)=−16（2+x5y3=2−(x+5y)=5．3．（2022春•云阳县期中）阅读探索：解方程组(a−1)+2(b+2)=62(a−1)+(b+2)=6解：设a﹣1＝x，b+2＝y原方程组可以化为x+2y=62x+y=6，解得x=2y=2，即：a−1=2b+2=2∴a=3b=0，此种解方程组的方法叫换元法．（1）拓展提高运用上述方法解下列方程组(a4−1)+2(b5+2)=102(a4−1)+(b5+2)=11；（2）能力运用已知关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=6y=7，求关于m、n的方程组a1(m−2)+b1(n+3)=c1a2(m−2)+b2(n+3)=c2的解．4+x−y10=3①−x−y10=−1②，你会解这个方程组吗？小明、小刚、小芳争论了一会儿，他们分别写出了一种方法：小明：把原方程组整理得8x+2y=90③2x+8y=−30④④×4﹣③得30y＝﹣210，所以y＝﹣7把y＝﹣7代入③得8x＝104，所以x＝13，即x=13y=−7小刚：设x y6=m，x−y10=n，则m+n=3③m−n=−1④③+④得m＝1，③﹣④得m＝2，=1=2，所以x+y=6x−y=20，所以x=13y=−7．小芳：①+②得2(x y)6=2，即x+y＝6．③①﹣②得2(x−y)10=4，即x﹣y＝20．④③④组成方程组得x＝13③﹣④得y ＝﹣7，即x =13y =−7．老师看过后，非常高兴，特别是小刚的方法独特，像小刚的这种方法叫做换元法，你能用换元法解下列方程组吗？+2x 3y 7=1−2x 3y 7=5．5．（2022春•卧龙区校级月考）阅读探索（1）知识积累解方程组(a−1)+2(b +2)=62(a−1)+(b +2)=6．解：设a ﹣1＝x ，b +2＝y ．原方程组可变为x +2y =62x +y =6，解这个方程组得x =2y =2，即a−1=2b +2=2，所以a =3b =0，这种解方程组的方法叫换元法．（2）拓展提高运用上述方法解下列方程组：(m 3−1)+2(n 5+2)=43(m 3−1)−(n 5+2)=5．（3）能力运用已知关于x ，y 的方程组a 1x +b 1y =c 1a 2x +b 2y =c 2的解为x =3y =4，请直接写出关于m 、n 的方程组a 1(m +2)−b 1n =c 1a 2(m +2)−b 2n =c 2的解是 ．。

换元法在数学解题中的应用摘要换元法通过引入新的变量，将题目移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准题目标准化，繁琐题目简单化，变得容易解决.因此换元法是数学解题中一种十分重要而且应用非常广泛的思想方法.本文研究了换元法在代数式、因式分解、方程、函数、证明和微积分方面的应用及解题技巧，并且给出了一些典型例子.用换元法解数学题有助于培养学生灵活解决数学问题的能力，把理论知识和实际应用结合起来，培养人的数学思维品格,提高解题效率.关键字：换元法;构造新元;标准化;应用Application of the Method of Exchange Element Method in SolvingMathematics ProblemAbstract:The method of substitution put the topic into the background in the new object to study by introducing a new variable, so that the non-standard topics of standardization, simplification complicated topic, become easier to solve. Therefore the method of substitution is a very important and widely used method of thinking in mathematical problem solving. This paper will give a simple analysis about the basic concepts of substitution method, theoretical basis, and the basic principles of using the method of substitution. And it also discussed about the using of the method of substitution in Algebraic expressions, factorization, equations, functions, pr oven and calculus and gives some typical examples. This paper’s content will help for training the problem-solving skills in the mathematics, just like how to transform the higher degree into the low degree, the fraction into the integral expression, the irrational formula into the rational expression, and the transcendental expression into the algebraic expression. And this paper’s skills help solve complex and complicated mathematical problems.Key words: method of substitution; structures; standardization; application目录1 引言 (1)2 文献综述 (1)2.1 国内外研究现状 (1)2.2 国内外研究现状评价 (2)2.3 提出问题 (2)3 预备知识 (2)3.1 换元法的基本概念 (3)3.2 换元法的理论依据 (3)3.3 换元法的两种基本类型 (3)4 换元法在数学解题中的应用 (3)4.1 换元法在代数方面的应用 (4)4.1.1换元法在计算中的应用................................ 错误!未定义书签。

一、求解析式的一般方法 1、换元法例1：已知f(x+1)=x 2-2x 求f(x)解：令t=x+1则x=t-1 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t 2-4t-3∴f(x)=x 2-4x-3换元法是解决抽象函数问题的基本方法，换元法包括显性换元法和隐性换元法。

2、方程组法例2：若函数f(x)满足f(x)+2f(x1)=3x ，求f(x) 解：令x=x 1则f(x 1)+2f(x)= x 3 f(x)+2f(x 1)=3x ＝＞f(x)= x 2-x2f(x)+f(x 1)=x 3∴f(x)= x2-x例3 .例43、待定系数法例5：如果f[f(x)]=2x-1则一次函数f(x)=______ 解：f(x)是一次函数∴不妨设f(x)=ax+b(a ≠0)则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b 又已知f[f(x)]=2x-1例6：已知f(x)是多项式函数，解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。

二、判断奇偶性的一般方法在奇偶性的求解中，常用方法是赋值法，赋值法中常见的赋值有-1、0、1。

例7 定义在（-1、1）上的函数f(x)满足。

（1）对任意x、y∈ (-1、1) 都有f(x)+f(y)=f()（2）当x∈ (-1、0) 时,有f(x)＞0求证（I）f(x)是奇函数,（II）f(证明：（1）令x=y=0，则2f(0)=f(0) ∴f(0)=0令y=-x，则f(x)+f(y)=f(x)+f(-x)=f(=f(0)=0∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数例8定义在R上的函数f(x)，对任意 x,y属于R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0（1）求证f(0)=1 （2）求证y=f(x)是偶函数证明：（1）令x=y=0∴f(0)+f(0)=2×f(0)2∵f(0)≠0∴f(0)=1(2)令x=0则f(0+y)+ f(0-y)=2 f(0)f(y)f(y)+f(-y)=2f(y) ＝＞f(-y)=f(y) ＝＞y=f(x)是偶函数例9.对任意实数x,y ，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.解:令x=y=0,得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+1)=f(0)+2f[(1)]2,三、单调性的求解方法例6：定义域为R 的函数f(x)满足：对于任意的实数x 、y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x ＞0时，f(x)＜0恒成立。

消元法与换元法二元一次方程组的基本解题思路是消元，即通过运用代入法和加减法把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求出方程组的解.除此之外，对于具有某些特点的二元一次方程组，若能根据题目的特点，适时地进行换元，不仅可以减少运算量，而且可以又快又准地求解.因此，同学们在做题时要仔细观察，认真分析，根据二元一次方程组的具体特点选择适当的解题方法，养成具体问题具体分析的习惯，促进发散性思维的形成.一、利用消元法解二元一次方程组二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，就可以先求出一个未知数，然后再设法求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决问题的方法，叫做消元法，具体转化方法包括“代入消元法”和“加减消元法”.1.运用代入消元法求解【典型例题】（1）已知x2-2x-5=0，将下列式子先化简再求值：（x-1）2+（x+3）（x-3）+（x-3）（x-1）.解：原式=x2-2x+1+x2-9+x2-x-3x+3=3x2-6x-5=3（x2-2x）-5∵x2-2x-5=0，∴x2-2x=5∴原式=3×5-5=10.（2）若4x+3y+5=0，则3（8y-x）-5（x+6y-2）的值等于_________.解：∵4x+3y+5=0，∴4x+3y=-5，∴3（8y-x）-5（x+6y-2）=24y-3x-5x-30y+10=-8x-6y+10=-2（4x+3y）+10=-2×（-5）+10=20.2.运用加减消元法求解【典型例题】（3）解方程组4x-3y=33x-4y=4解：4x-3y=3 ①3x-4y=4 ②①+②得7x-7y=7 ∴x-y=1 ③①-②得x+y=-1 ④由③、④得x=0，y=-1.（4）若4x+5y=10，且5x+4y=8，则■=___.解：由题意得：4x+5y=10 ①5x+4y=8 ②由①+② 得：9x+9y=18，即：x+y= 2.由②-①得：x-y=-2.所以■=-1.3.综合运用加减消元法和代入消元法求解【典型例题】（5）解方程组13x+14y=4114x+13y=40解：13x+14y=41 ①14x+13y=40 ②②-①得x-y=-1，∴x=y-1 ③把③代入①得13（y-1）+14y=41，解得：y=2.把y=2代入③，解得x=1∴x=1，y=2.（6）已知x-3y+7z=0x-2y+4z=0（xyz≠0），求x：y：z的值.解：在方程组x-3y+7z=0 ①x-2y+4z=0 ②中由②-①得：y-3z=0，∴y=3z ③把③代入②中得：x=2z∴x：y：z=2z：3z：z= 2：3：1小结与反思：解方程组的主要思路就是“消元”.当方程组中某个方程的未知数系数绝对值较小或常数项为0时用代入消元法，即“一变，二代，三解”；当方程组中两个方程的某个未知数系数的绝对值相等或互为相反数或成倍数关系时用加减消元法，即“一化，二加减，三解”.二、利用换元法解二元一次方程组在解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量代替，从而使问题得以简化，这叫换元法.换元通过引进新的变量，可以将分散的条件联系起来，使隐含的条件显露出来，或者将条件与结论联系起来，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.尤其是用换元法解一些复杂的分式方程组较为便捷，可根据方程的特点设出相应的未知数，使过程更加简化.1.单参数换元法【典型例题】（7）解方程组■=■3x+4y=32解：■=■ ①3x+4y=32 ②把方程①看成比例式，设其比值为k，即设■=■=k可得x=5k-1， y=2k+3，将x=5k-1， y=2k+3，同时代入②得 3（5k-1）+4（2k+3）=32，解得k=1.∴x=5×1-1=4，y=2×1+3=5则原方程的解为x=4y=5（8）解方程组：3x+4y=165x-6y=33.解：3x+4y=16 ①5x-6y=33 ②①×λ+②，得：（3x+4y）λ+（5x-6y）=16λ+33即：（3λ+5）x+（4λ-6）y=16λ+33 ③令4λ-6=0，有：λ=■，将λ=■代入③，有：x=6，同理：令3λ+5=0，有：λ=-■，将λ=-■代入③，有：y=-■，所以这个方程组的解是x=6y=-■.2.双参数换元法【典型例题】（9）解方程组■+■=3■-■=-1解：设■=m，■=n.原方程组可化为m+n=3m-n=-1，解得m=1n=2.∴■=1■=2，即x+y=6x-y=20，解得x=13y=-7，∴原方程组的解为x=13y=-7. （10）解方程组■+■=10■-■=1解：设a=■ ，b=■.原方程组可化为4a+3b=105a-2b=1，解得a=1b=2∴3x-2y=12x-5y=■，解得x=■y=■.3.均值换元法【典型例题】（11）解方程组2x+3y=127x-17y=97解：2x+3y=12 ①7x-17y=97 ②由①可设2x=6+6t，3y=6-6t，即x=3+3t，y=2-2t，代入②，得7（3+3t）-17（2-2t）=97.∴t=2.∴x=3+3×2=9，y=2-2×2=-2.∴原方程组的解为x=9y=-2.（12）解方程组5x+2y=162x+3y=z+12x+y+z=6解：5x+2y=16 ①2x+3y=z+12 ②x+y+z=6 ③由（1）令5x=8+k，2y=8-k∴x=■ ④y=■ ⑤把④、⑤代入②、③整理，得11k+10z=323k-10z=-4，解得k=2z=1，把k=2分别代入④、⑤得x=2y=3，∴原方程组的解为x=2y=3z=1.小结与反思：中考题中需要运用换元法去解答的考题经常会见到，在使用换元法时一定要注意：①换元后使原方程或方程组变得简单明显；②能使解题步骤得以简化；③能确保解答结果准确；④对求出的方程（方程组）的根一定要检验，避免出现增根或漏根情况.2015年第3期《平面直角坐标系》参考答案1.C；2.C；3.D；4.D；5.（3，3）；6.（0，2），（0，-2），（-3，0），（3，0）；7.四；8.（1）解：如图1（2）A′（2，3），B′（3，1），C′（-1，-2）.9. （1）图略.（2）A1（-2，2），B1（-3，0），C1（0，-0.5）；（3）把△A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得△A1B1C1的面积.S■=3×2.5-1-2.5-0.75=3.25.∴△A1B1C1的面积=3.25.10.解：图略，过点A作AF与直线CD垂直，垂足为F，过点B作BE与直线CD垂直，垂足为E，过点A作AG与直线BE垂直，垂足为G.由点的坐标的意义可知，AG=7，AF=5，DF=2，EC=2，BE=3，BG=2.∴S四边形ABCD=S矩形AGEF-S△AGB-S△BEC-S△ADF=5×7-■×2×7-■×2×3-■×2×5=35-7-3-5=20∴四边形ABCD的面积为20.2015年第3期《平行四边形》参考答案1.C；2.A；3.C；4.16；5.125；6.4；7. 3<x<118. 解：∵BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，∴∠1=∠3=■∠ABC，∠DCE=∠BCE=■∠BCD，∵AD∥BC，AB∥CD，∴∠2=∠3，∠BCE=∠CED，∠ABC+∠BCD=180°，∴∠1=∠2，∠DCE=∠CED，∠3+∠BCE=90°，∴AB=AE，CD=DE，∠BEC=90°∵在Rt△BCE中，BC=13，∴？荀ABCD的周长等于：13+13+13 =39.如图2，作EF⊥BC于F.EF=■=■∴S？荀ABCD=■×13=60.∴？荀ABCD的周长为39cm，面积为60cm2.9. 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD.∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成.∴CG⊥AD.∴∠AEB=∠CGD=90°.∵AE=CG，∴Rt△ABE≌Rt△CDG.∴BE=DG.（2）当BC=■AB时，四边形ABFG是菱形.证明：∵AB∥GF，AG∥BF，∴四边形ABFG是平行四边形.∵Rt△ABE中，∠B=60°，∴BE=■AB.∵BE=CF，BC=■AB∴EF=■AB.∴AB=BF.∴四边形ABFG是菱形.10.（1）解：在RtΔABC，∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，在等边ΔABE中，∠ABE=60°，且AB=BE，∵EF⊥AB，∴∠EFB=90°，∴RtΔABC≌R tΔEBF，∴AC=EF（2）证明：在等边ΔACD中，∠DAC=60°，AD=AC，又∵∠BAC=30°，∴∠DAF=90°，∴AD∥EF，又∵AC=EF，∴AD=EF∴四边形ADFE是平行四边形.文档资料：消元法与换元法完整下载完整阅读全文下载全文阅读免费阅读及下载阅读相关文档:PBL模式在地方高校给排水科学与工程应用中的思考电路原理课堂教学模式探索与实践面向区域化产业的土木工程专业人才培养研究动物生物技术实验室的安全监控和管理教育信息化背景下农村留守儿童教育问题调查与对策研究学生思想政治教育与心理健康教育研究普通高校建筑工程技术专业实践教学现状和改进策略应用型人才培养目标下基于微信的市场营销课程教学研究高职院校电气自动化专业工作岗位与职业能力分析微课在中职实训教学中的应用信息化背景下护理专业核心课程混合教学模式的实践与探索微课在高职高专药物制剂工艺与制备实验教学中的应用浅析矿井瓦斯防治课程实验教学与创新人才培养培养感谢你的阅读和下载*资源、信息来源于网络。

第6讲 利用换元法解方程一、方法技巧（一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的.（二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程.解分式方程、无理方程、整式(高次)方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次.（三）换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径．常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等．例如：① 256011x x x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ，可使用局部换元法，设1x y x =+ ②22110x x x x +++=，变形后也可使用局部换元法，设1x t x +=③222212219116x x x x x x x +++++=+++，看着很繁冗，变形整理成222211191116x x x x x x +++++=+++时，就可使用局部换元法. ④()()443182x x +++=，可设()()3122x x y x +++==+，方程变成()()441182y y ++-=，使方程变得易解，这是均值换元法.⑤4326538560x x x x +-++=，符合与中间项等距离的项的系数相等，如46x 与6，35x 与5x 系数相等，可构造1x x+换元，是倒数换元法.⑥32310x x +++=，不易求解，若反过来看，把设x 看作已t ，则方程就变成()()2232110x t x t x ⋅+++-=，数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法.有时根据方程各部分特点可设双元，达到化繁为简，求解的目的.例如：()()()()()222222223232321321451x x x x x x x x x x -++-+--+--=-+观察发现()()22232321451x x x x x x -++--=-+，故可设232x x u -+=，2321x x v --=，原方程变为()222u uv v u v ++=+，方程由繁变简，可得解.（四）本讲注重研究用换元法解方程的技能、技巧．拓宽学生知识面，培养学生学习和研究数学的兴趣.二、应用举例类型一 局部换元（高次方程）【例题1】解方程：42320x x -+=【答案】11x =，21x =-，3x =4x =【解析】试题分析：通过观察发现()242x x =，故设2x y =，原方程变形为2320y y -+=，可把高次方程降次，转化为可解的一元二次方程.试题解析：解：设2x y =，则原方程变形为2320y y -+=， 解得，11y =，22y =，由11y =得21x =，解得11x =，21x =-，由22y =得22x =，解得3x =，4x =∴方程的解是11x =，21x =-，3x =4x =【难度】较易（分式方程）【例题2】解方程：256011x x x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭【答案】134x =-，223x =- 【解析】试题分析：括号里的分式相同，由这个特点，可以用换元法来解.试题解析： 解：设1x y x =+，于是原方程变形为2560y y ++= 解得13y =-，22y =-当13y =-时，31x x =-+，解得134x =-， 当22y =-时，21x x =-+，解得223x =- 经检验134x =-，223x =-均为原方程的根. ∴方程的解是134x =-，223x =- 【难度】较易【例题3】已知实数x 满足22110x x x x +++=，那么1x x+的值是（ ） 【答案】2-【解析】试题分析： 由于222112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，故设1x t x +=，可解. 试题解析： 解：设1x t x+=， 原方程化简得21120x x x x ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭， ∴220t t -+=，解得11t =，22t =- 由11x x+=化简得210x x -+=，△＜0 ，无解，舍去 ∴12x x +=- 点评 ：方程中并无“相同”的部分时，可通过代数式间的关系变形构造出“相同”部分，设元.【难度】一般（无理方程）【例题4103= 【答案】114x =，294x =- 【解析】试题分析： 这是一个根号里含有分式的无理方程，也可通过换元后求解，通过变形发现221x x x++=，与2x x +互为倒数，y =，则原方程变形为1103y y +=，无理方程化为有理方程. 试题解析：()0y y = ＞，则原方程变形为1103y y +=整理得231030y y -+=解得13y =，213y =当13y =3=，解得114x =当213y =13=，解得294x =- 经检验114x =，294x =-都是原方程的根. 原方程的解是114x =，294x =- 【难度】一般【例题510=【答案】11x =21x = 【解析】试题分析：1=，可设两个未知数，利用韦达定理求解.试题解析：m = n = ，原方程变为1m n +=又∵()2222m n m n mn +=++∴142mn =+，即32mn =- 根据韦达定理，m n 、是方程2302z z --=的根解得1z =2z =0， ∴2z 舍去即m =n =12= 12=解得112x =+， 212x =-经检验11x =+212x =-是原方程的解∴ 方程的解是11x =+21x =- 【难度】一般类型二 均值换元【例题6】解方程：()()443182x x +++= 【答案】10x =，24x =-【解析】试题分析：观察方程可知()()312x x +-+=，适合使用均值法换元，故设()()3122x x y x +++==+可达到降次目的.试题解析：解：设()()3122x x y x +++==+， 原方程变为()()441182y y ++-=整理得()()()()222221121182y y y y ⎡⎤++--+-=⎣⎦ ()()2222412182y y +--=426400y y +-= 解得210y =-（舍），24y =即12y =，12y =-由22x +=，得10x =由22x +=-，得24x =-∴原方程的解为10x =，24x =-点评：一般形如()()44x a x b c +++=的方程可用均值法，设22x a x b a b y x ++++==+进行代换，化原方程为双二次方程求解.【难度】较难类型三 倒数换元【例题7】解方程：4326538560x x x x +-++= 【答案】112x =，22x =, 33x =-，413x =- 【解析】试题分析：本题的特点是：按x 降幂排列后，与中间项等距离的项的系数相等，如46x 与6，35x 与5x 系数相等，可构造1x x +换元. 试题解析：解：显然0x =不是方程的解，故用2x 除方程两边， 整理得221165380x x x x ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设1y x x =+，则22212x y x+=-， 上式变为()2625380y y -+-=，整理得265500y y +-= 解得152y =，2103y =-， 由152x x +=，解得112x =，22x = 由1103x x +=-，解得33x =-，413x =- 点评：形如4320ax bx cx bx a ++++=的方程称为倒数方程，其特点是，按某一字母降幂排列后，与中间项等距离的项的绝对值相等，其解法是，用2x 除各项，构造1x x±，使原方程变为一元二次方程得解.【难度】较难类型四 常数换元【例题8】解方程32310x x ++=【答案】11x =，212x -=，312x --= 【解析】试题分析：这是三次方程，且系数中含无理数，不易求解，若反过来看，把设x 设为设t ，则方程就变成关于t 的一元二次方程.试题解析：t=则原方程变形为322210x x t xt t +++-=即()()2232110x t x t x ⋅+++-= ()()2110x t x x t x ⎡⎤⋅++++-=⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()2110x x x x ⎡⎤⎤++-=⎣⎦⎦整理得)21110x x x ⎡⎤⎡⎤+++=⎣⎦⎣⎦)2110x x ++=或10x +=解得11x =，2x =，3x = 【难度】困难三、实战演练类型一 局部换元（高次方程）1.已知()()2222138x y x y ++++=，则22x y +的值为（ ）【答案】1【解析】试题分析：解题时把22x y +当成一个整体考虑，再求解就比较简单.试题解析：解：设22x y t +=，()0t ≥，则 原方程变形为()()138t t ++=，整理得()()510t t +-=，解得15t =-，21t =，∵0t ≥∴1t =∴22x y +的值是1【难度】较易2.解方程：()2222360x x x x +--=【答案】10x =，22x =-，33x =-，41x =【解析】试题分析：观察可知，方程整理后()()2222320x xx x +-+=，可用换元法降次.试题解析：解：方程整理后()()2222320x xx x +-+=设22x x y +=，则 原方程变为230y y -= 解得10y =，23y =由10y =，得220x x +=，解得10x =，22x =-由23y =，得223x x +=，解得33x =-，41x =∴原方程的解是10x =，22x =-，33x =-，41x =【难度】较易3.方程()()22235320x x ---+=，如果设23x y -=，那么原方程可变形为（ ） A ．2520y y -+= B. 2520y y +-= C. 2520y y --= D. 2520y y ++=【答案】D【解析】试题分析:注意到23x -与23x -互为相反数，只有符号要变化，可利用换元法变形.试题解析：解：设23x y -=，则23x y -=-用y 表示23x -后代入方程得2520y y ++=故选D.【难度】较易4.解方程：()22213x x +=+【答案】11x =，21x =- 【解析】 试题分析：1.以21x +为一个整体换元，因此要对方程进行变形使其含有21x +.2.把方程展开成标准的双次方程，再对2x 进行换元.试题解析：解法一：原方程可化为()()2221120x x +-+-=，设21x y +=，得220y y --=， 解得12y =，21y =-由212x +=，解得11x =，21x =-由211x +=-，22x =-无实根∴方程的解是11x =，21x =-解法二：由方程得4220x x +-=，设2x y =得220y y +-=，解得11y =，22y =-（舍去）由21x =，解得11x =，21x =-∴方程的解是11x =，21x =-点评：换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元对象.在解方程的过程中换元的方法常常不是唯一的，解高次方程时，只要能达到将次目的的换元方法都可以应用. 【难度】较易（分式方程）5.解方程2261x x x x=+++ 【答案】12x =-，21x =【解析】试题分析：方程左边分式分母为2x x +，可将右边2x x +看成一个整体，然后用换元法解.试题解析：解：设2x x y +=，则原方程变形为61y y=+ 解得13y =-，22y =当13y =-时，23x x +=-，△＜0，此方程无实根当22y =时， 22x x +=， 解得12x =-，21x =经检验，12x =-，21x =都是原方程的根.【难度】较易【解析】试题分析：整理后发现()222x x x x +=+，故()()2211x x x ++=+，就可换元解题了 试题解析：设()21x y +=，则整理得220y y --=解得12y =，21y =-（舍去）【难度】较易7.解方程222212219116x x x x x x x +++++=+++【答案】121x x ==，332x -+=，432x --= 【解析】试题分析： 观察到()2222222112211111x x x x x x x x x x x x +++++++==+++++++，设2211x x y x ++=+，原方程可化为11916y y ++=，由繁变简，可解. 试题解析： 解：原方程变形得222211191116x x x x x x +++++=+++， 即22221113116x x x x x x ++++=+++ 设2211x x y x ++=+，则原方程变为1136y y += 整理得261360y y -+= 解得132y =，223y = 由132y =得221312x x x ++=+，解得121x x ==由223y =得221213x x x ++=+，解得3x =，4x =经检验121x x ==，3x =4x =.∴原方程的解是121x x ==，332x -+=，432x --= 【难度】一般8.解方程：22272720x x x x+-++=【答案】11x =，21x =， 312x =-，42x = 【解析】试题分析： 观察可发现22222711272272x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而222112x x x x ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，故可设1x x -为辅助元，可得解. 试题解析： 解：将原方程转化为21122720x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦设1x y x-=，则 原方程转化为22760y y -+=解得12y =，232y =当12y =时，12x x-=，解得11x =，21x = 当232y =时，132x x -=，解得312x =-，42x =经检验11x =21x = 312x =-，42x =都是原方程的解所以，原方程的解是11x =，21x =， 312x =-，42x = 【难度】一般9.解方程:222322322x x x x-+=-【答案】1x =2x = 【解析】试题分析： 这个方程左边两个分式互为倒数关系，抓住这一特点，可设2232x y x =- 试题解析：解：设2232x y x =-，则原方程可化为12y y +=， 即2210y y -+=∴()210y -=，解得1y = 由22132x x =-，得23220x x --=解得：1x =，213x =经检验1x =，2x =都是原方程的根 点评：解有倒数关系的分式方程时，常把原方程中的一个分式作为整体进行换元，换元时要注意分子、分母互换时分式可以用一个新元和它的倒数来表示，即形如()()0b a f x c f x ++=的方程，可设()y f x = 【难度】较易10.解方程：222122272221x x x x x x +=+-+-+-【答案】11x =-21x =-【解析】试题分析：观察方程的分母，发现各分母均是关于x 的二次三项式，仅常数项不同，抓住这一特点，可设22y x x =+ 试题解析：解：设22y x x =+，原方程可化为122721y y y +=---，即()()12721y y y -=---， 即2120y y --=，解得：14y =，23y =-由224x x +=，解得11x =-21x =- 由223x x +=-，△＜0，方程无解经检验11x =-21x =-.∴方程的解是11x =-21x =-【难度】较难11.解方程：222111011102101310x x x x x x ++=++++-+ 【答案】15x =，22x =，35x =-，42x =-【解析】试题分析：观察方程的分母，发现三个分母都是关于x 的二次三项式，仅一次项不同，抓住这一特点，可设2210y x x =++试题解析：解：设2210y x x =++， 则原方程可化为1110915y x y y x ++=+-整理得：224450y xy x --=解得：19y x =，25y x =-由22109x x x ++=，解得15x =，22x =由22105x x x ++=-，解得35x =-，42x =-经检验知，它们都是原方程的解.点评：以上三个例子可以看出，换元时必须对原方程仔细观察、分析，抓住方程的特点，恰当换元，花繁为简，达到解方程的目的.【难度】较难（双元换元） 12.解方程： 213134211x x x x x x --⎛⎫+= ⎪++⎝⎭【答案】11x =，26x =，33x =，43x =【解析】试题分析： 本题整理后2213134211x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，发现221313131313111x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+++== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，设2131x x a x -=+，2131x b x +=+，可得13a b +=，42ab =，利用韦达定理可求解. 试题解析： 解：设2131x x a x -=+，2131x b x +=+ 可得13a b +=，42ab =由韦达定理，知a ，b 是方程213420z z -+=的两根解得16z =，27z =即67a b =⎧⎨=⎩或76a b =⎧⎨=⎩即2213611371x x x x x ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩或2213711361x x x x x ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩ 经检验11x =，26x =，33x =，43x =.所以方程的解是11x =，26x =，33x =，43x =【难度】较难13()()()()()222222223232321321451x x x x x x x x x x -++-+--+--=-+ 【答案】131x x ==，22x =，413x =-【解析】试题分析： 观察发现()()22232321451x x x x x x -++--=-+，故可设232x x u -+=，2321x x v --=，原方程变为()222u uv v u v ++=+，方程由繁变简，可得解试题解析：解：∵()()22232321451x x x x x x -++--=-+设232x x u -+=，2321x x v --= 原方程变为()222u uv v u v ++=+∵()2222u uv v u v ++=+∴0uv =，即0u =或0v =即2320x x -+=或23210x x --=解得11x =，22x =，31x =，413x =-∴方程的解是131x x ==，22x =，413x =- 点评：对于本题这样繁冗的方程，直接展开求解不可取，可通过观察，找到代数式间的联系，不妨设两个辅助元，将方程变形，目的是使方程有繁变简，可解.【难度】较难（无理方程）14.1=【答案】1x =-【解析】试题分析：解无理方程的基本思想是将其转化为有理方程，通常是设根式为元，本题的两根式存在()()1+12x x +=+的关系，故设一个辅助元即可.试题解析：解：设y =21x y +=，即221x y +=+1y =1y =-两边平方，并整理得0y =0=，解得1x =-经检验1x =-是原方程的解点评：解无理方程时，常把方程中的一个含有未知数的根式作为整体换元，达到化去根号转化为可解的方程的目的.【难度】一般15.解方程组：183x y +=⎧⎪-=【答案】191x y =⎧⎨=-⎩【解析】试题分析：此题是整式方程与无理方程合并的方程组，解题时应从无理方程出发，将其化为有理方程求解.试题解析：u =v =，则原方程组可化为：22173u v u v ⎧+=⎨-=⎩()()12 由（2）得，3u v =+，（3）将（3）代入（1），得()22317v v ++=，解得，11v =，24v =-∴4u =得41==，解得191x y =⎧⎨=-⎩经检验，知191x y =⎧⎨=-⎩是原方程组的解 ∴原方程组的解为191x y =⎧⎨=-⎩点评：妙用换元法，将无理方程组化为有理方程组，从而把繁杂而生疏的问题转化为简单而熟悉的问题.【难度】一般16.解方程：22650x x --=【答案】15x =，22x =-【解析】试题分析：由于根号里面23x x -与根号外面226x x -，对应系数成比例，故可以将其变形()223130x x ---=， 不难找到辅助元.试题解析：y =，则原方程可以化为22530y y --=解得112y =-（舍去），23y =3=，解得15x =，22x =-经检验15x =，22x =-是原方程的解.点评：以前学过的取平方去根号法解无理方程，是种普遍方法.现在的换元法必须构造出根号内外两个相同的式子才行.【难度】较难类型二 均值换元17.解方程：()()()()214719x x x x -+++=【答案】1x =2x =3x =，4x = 【解析】试题分析：方程的左边是四个二项式乘积，故展开求解不可取，应通过观察找突破口，左边重组后，()()()()2714x x x x -+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2251454x x x x =+-++，可设元求解.试题解析：解：原方程变形后()()()()271419x x x x -+++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦整理后得()()225145419x x x x +-++=设()()22251454552x x x x y x x +-+++==+-方程可变为()()9919y y -+=，即2100y =解得110y =，210y =-由110y =得25510x x +-=，解得1x =2x =由210y =-得25510x x +-=-，解得3x =4x =∴方程的解是152x -=，252x --=，352x -+=，452x --= 点评：本题也可设25x x +为辅助元，但没有均值法计算快捷，恰当的重组变形得到()()()()2714x x x x -+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦是解本题的关键.【难度】一般18.解方程：()()()2673416x x x +++= 【答案】123x =-，253x =- 【解析】试题分析：方程左边四个二次项的乘积，显然展开求解不可取，可尝试变形后()()()267686672x x x +++=，取均值，将其由繁变简.试题解析：解：方程变形为()()()267686672x x x +++= 设()()()()67676866674x x x x y x +++++++==+原方程变成()()21172yy y +-= 整理得42720y y --=解得29y =或28y =-（舍去）∴13y =，23y =-即673x +=或673x +=- 解得123x =-，253x =- 【难度】较难类型三 倒数换元19.解方程：4322316320x x x x +-++=【答案】12x =-，22x =-32x =，412x = 【解析】试题分析：此题符合倒数方程的特点：按x 降幂排列后，与中间项等距离的项的系数相等，两边同时除以2x ，可构造1x x+为元得解. 试题解析：解：∵这是个倒数方程，且知0x ≠，两边除以2x ，并整理得221123160x x x x ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设1x y x +=，则22212x y x+=- 原方程化为223200y y +-=解得14y =-，252y =由14y =-得14x x+=-，解得12x =-，22x =- 由252y =得152x x +=，解得32x =，412x =∴方程的解是12x =-，22x =-32x =，412x = 【难度】较难20.解方程((5598y y ++-= 【答案】2y =±【解析】试题分析：此题无法用通常的方法解决，但注意到5+5-互为倒数且指数均为y ，因此，利用换元法换元后再利用根与系数的关系就可以顺利解决此题了.试题解析：解：设(5y a =+，(5y b =-， 则981a b ab +=⎧⎨=⎩a 、b 可看作29810t t -+=的根解得149t =+，249t =-则4949a b ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩4949a b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩∴(((2254955y a ±=+=±=±=+∴2y =±点评：本题是指数方程，不是中考考点，但解法巧妙，可用来拓展思路，不妨试试！【难度】较难。

解三元一次方程组的基本思路三元一次方程组是数学中的一个重要概念，它是由三个未知数和三个方程组成的方程组。

解三元一次方程组的基本思路包括消元法、换元法、参数法、矩阵法、迭代法、分解因式法和数值方法等。

下面将逐一介绍这些方法。

1.消元法消元法是解三元一次方程组最常用的一种方法。

其基本思想是通过对方程进行加减或代入，消去其中一个未知数，将三元一次方程组转化为一元一次方程，然后求解得到一个未知数的值，再代入原方程组求解其他未知数。

消元法适用于任何形式的三元一次方程组，但当方程组中系数较大或较小，或者含有分数时，消元法可能会比较复杂或计算量大。

2.换元法换元法是另一种常用的解三元一次方程组的方法。

其基本思想是通过引入新的变量，将原方程组中的某些未知数或表达式替换为新变量，从而将原方程组转化为更容易求解的形式。

换元法适用于一些特定形式的三元一次方程组，如含有平方或立方等项的方程组。

通过换元，可以将复杂的方程转化为简单的形式，从而更容易求解。

3.参数法参数法是一种在解三元一次方程组中常用的技巧。

其基本思想是在原方程中引入一个参数，从而将原方程转化为一个关于参数的方程，然后通过求解参数来得到原方程的解。

参数法适用于一些特定形式的三元一次方程组，如含有比例或等式的方程组。

通过引入参数，可以将原方程转化为一个更简单的形式，从而更容易求解。

4.矩阵法矩阵法是一种基于线性代数的方法，用于解三元一次方程组。

其基本思想是将原方程组的系数和常数项组成一个增广矩阵，然后对该矩阵进行行变换，将其转化为行最简形矩阵，从而得到原方程组的解。

矩阵法适用于任何形式的三元一次方程组，但当方程组中含有多个未知数时，矩阵法的计算量会比较大。

5.迭代法迭代法是一种基于计算机科学的方法，用于解三元一次方程组。

其基本思想是通过不断迭代的方式逼近方程组的解。

具体来说，迭代法从某个初始值出发，按照一定的规则不断迭代计算，直到逼近到方程组的解为止。

迭代法适用于一些特定形式的三元一次方程组，如含有周期性或振荡性的方程组。

目录1. 引言 (1)一、换元法研究的背景 (1)二、换元法研究的意义 (1)三、换元法研究的方法 (2)2. 换元法的发展脉络 (2)3. 换元法的概念 (3)4. 换元法在中学解题中的应用 (4)一、换元法在方程中的应用 (4)二、换元法在方程组中的应用 (6)三、换元法在不等式中的应用 (6)四、换元法在数列中的应用 (7)五、换元法在复数中的应用 (8)六、换元法在函数和三角函数中的应用 (9)5. 换元法在中学解题中的常见错误 (12)一、“元”与“新元”选择不合理； (12)二、将复合函数与原函数混淆； (13)三、换元后没有确定新元的取值范围或者错误的确定新元的范围； (14)6. 结论 (14)参考文献 (17)致谢 (18)换元法在中学数学解题中的应用及推广王秀芳（闽江学院数学系；福建福州350108）1. 引言近年来，随着数学思想越来越受到重视，关于换元法研究也取得了新的进展. 本文研究换元法在中学解题中的应用及其推广.首先给出了换元法的概念整理了换元法的发展脉络，然后着重讲换元法在中学解题中的具体应用以及在应用的过程中常见的错误分析，最后阐述换元法在生活中的推广.一、换元法研究的背景数学课程标准中谈及数学的学习要使学生能够熟练把握当代生活所必要的数学的常识与技能，思想与活动的经历.对数学问题的理解认识与思考，学会须要的数学思维方式是数学解题必不可少的.对生活也是有需要的.中学中常用的数学解决问题的方法有很多，例如:待定系数法，数学的不完全归纳法，类比的方法，配方法，换元法等，每一种方法都是必不可少的，其中换元法更是起着举足轻重的地位，采用换元法能够化繁为简使得看似不能解决的问题变得可以操作.二、换元法研究的意义学会换元法的使用是素质教育的一项内容.我们都知道素质教学是针对全体的学生，并且是促进学生全方面成长的一种教育，而不是传统教育下的死记硬背、复制、模仿，不是为了应试教育而学习数学，数学不是只存在数学课堂.推行和实施素质教育是要在愉快教育的教学环境下突破过于强调分数，应试教育的围墙学习数学，做到学懂会用、学以致用，更重要的是将数学课堂学习到的数学方法迁移到其他学科，社会生活和解决实际问题当中去.换元法是培养学生能力的需求.换元法不仅是一种方法更渗透的是一种数学思想.在心理学知识的理论内，思想活动是存在于元认知领域.它对整个认知活动起着计划、监督控制、适当的调整的作用.让人们能够意识到在学习活动中我们缺乏什么然后就去提高什么，对学生能力的培养起着指导引领的作用.三、换元法研究的方法文献研究法：查找国内外有文献，通过对不同专家学者文献的分析比较不同国家、不同领域对换元法的不同观点，作为本文的理论基础.2. 换元法的发展脉络1944年美国国籍，匈牙利的伟大教育家乔治·波利亚《怎样解题》.被翻译成16中文字，销售量爆表.著名的瓦尔登是一位伟大的数学家，他曾经在瑞士的苏黎世大学主办的会议中说到：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该读一读这本引人入胜的数.”读后发现波利亚关于怎样解题深入的研究想法非常棒，特别是书中提及的解题思想对于广大的中学生都是非常有实用价值的.1969年，日本著名数学家米山国藏的《数学的精神、思想与方法》.以启发性的实例为主要依据，系统地阐述了换元法在解题，探究“元”的数学思考.1975年，希拉里·普特南(H.Hilary Putnam，1926~)，美国逻辑学家、科学哲学家发表的《数学、物质与方法》美国教育部、美国数学会和全美数学教师联合会等组织举办的美国数学邀请赛，美国中学生数学竞赛.加拿大、瑞士、前苏联各国举办的数学奥林匹克竞赛.奥林匹克数学竞赛，把中学生的数学竞赛命名为"数学奥林匹克"的是前苏联，采用这一名称的原因是数学竞赛与体育竞技有着许多相似之处，两者都崇尚奥林匹克运动精神.竞赛的成果使人们意外地发现，数学竞赛的强国往往也是体育竞技的强国，这给了人们一定的启示.1994年，厦门海沧实验中学校长、党总支书记肖学平.从事数学教学与研究工作，荣获“苏步青数学教育奖”，从事教育科学研究，出版了《中学数学的基本思想和方法》等四部专著，发表了30余篇论文.被评为福建省优秀校长，使学校实现了跨越式发展，快速成为省一级达标学校.联系我国中学数学教育给出许多优秀的例子.汪祖亨在1996年编写的《数学常用解题方法与技巧》不仅总结出一系列的换元方法，并探讨了结合中学数学教学如何进行应用.解恩泽、徐本顺主编的《数学思想方法》，欧阳维诚、肖果能及张矗合写的《初等数学思想方法选讲》中，则对换元法这一思想方法进行了较为系统的归纳阐述，为中学数学教学校本教研提供了很好的课例研究.李明振在2000年发表的《数学方法与解题研究》，也是把换元法与数学教育紧密结合在一起的论著.有关换元法解题的专题文章(如用换元法证明不等式，求函数的值域，因式分解等等)也相继发表在“中学生数学”、“数学通报”、“高中数学教与学”等各种数学杂志、报纸、期刊上.随着全国仞、高中数学竞赛的开展，换元思想方法的应用越来越多，一些竞赛试题也被纳入了中学生课外辅导的材料.3. 换元法的概念表示未知数、变数的字母统称为“元”.广义地说，表示研究对象(如常数、代数式、函数、命题、集合、向量等)的文字符号都可以称为“元”.解数学问题，碰到直接解原问题很困难不易下手的，或者由原问题的条件难以直接得出结论的时候，往往需要引入一个或几个“新元”代换问题中原来的“元”，使得以“新元”为基础的问题的求解比原来的问题容易，解决“新元”问题以后将结果倒回去恢复原来的“元”，便可得原有问题的结果.这种解决问题的方法称为换元法，又称辅助元素法、变量代换法.换元法的基本思想是通过变量代换，化繁为简，化难为易，使问题发生有利的转化，从而更为简单快速的解决原来的问题.故换元的实质就是转化与化归.在中学数学教学活动过程中，教师要有意识的培养学生解决问题的时候灵活的使用换元法.要针对不同的题型，不同的问题来确定原题中的“元”，然后适当的选择最有效的“新元”，两者之间建立联系.由于“元”的存在形式有很多，故在“新元”的选择上是灵活多变和相对复杂的.但是在转换的这个过程中，有三个特点是很明显与确定的.第一，“新元”的存在使得新问题会比原要解决的疑问来的容易，是我们经常在用的并且能够借助旧的知识解决新的实际问题的.第二，“新元”得到的新问题是在旧问题的基础上一般化或者是特殊化得来的，而不是凭空产生于原有问题没有关联的.第三，为了找到这样的“新元”，我们要对原有的问题进行转换，当然也可以对条件换元或者是对结论换元（这主要是应用在逻辑命题的相关知识上）.4. 换元法在中学解答问题中的应用一、换元法在方程中的应用例题1.（第一届国际数学竞赛题第2题）x取何值时满足以下方程：（1）√x+√2x−1+√x−√2x−1=√2；（2）√x+√2x−1+√x−√2x−1=1；（3）√x+√2x−1+√x−√2x−1=2；解：（1）将√2x−1看成“元”，用“新元”y代替它，即√2x−1=y则原方程转化为：|y+1|+|y−1|=2需要引起重视的是换元后的得到新方程的变化范围是：−1≤y≤1，又∵ y=√2x−1≥0，∴ 0≤√2x−1≤1，≤x≤1解得这个不等式的解为：12≤x≤1时，方程√x+√2x−1+√x−√2x−1=√2成立故，当12（2）将√2x−1看成“元”，用“新元”y代替它，即√2x−1=y则原方程转化为：|y+1|+|y−1|=√2，得到的关于“新元”的方程是无解的，故原来方程也是无解.（3）将√2x −1看成“元”，用“新元”y 代替它，即√2x −1=y 则原方程转化为：|y +1|+|y −1|=2√2当y ≤−1时，新元方程可以化为y =−4，即y =−4；当y ≥1时，新元方程可以化为y =4，即y =4；当−1<y <1时，新元方程化为y +1−y +1=2√2，明显无解综上所述，转换后的新元方程的解为y =−4或y =4.又∵ y =√2x −1≥0， ∴ y =4，即原方程的解为：x =8.5这是代数转化为代数的例题，下面给的例题2是将三角形式的方程转化为代数形式的方程.例题2.（第四届的国际数学竞赛题第4题）解下列方程：cos 2x +cos 22x +cos 23x =1分析：这是一个二次三角形式的方程，直接解决是无法解决的，但是通过“换元法”就可以将无从下手的三角方程转化为代数方程.解： 将cos2x 看成“元”，用“新元”y 代替，则cos2x =y则有：cos 2x +cos 23x =12(1+cos2x +1−cos6x )=1+12[cos2x +(4cos 32x −3cos2x )]=1+y (2y 2−1)=2y 3−y +1故，原有的方程转化为：y 2+1+y (2y 2−1)=1，即y (2y 2+y −1)=0 ∴y 1=0，y 2=−1，y 3=12所以，将新元方程得到的结果带回原方程；（1）cos2x 1=y 1=0，2x 1=π2+kπ，即有x 1=π4+kπ2 (k =0，±1，±2，⋯)； （2）cos2x 2=y 2=−1，2x 2=π+2kπ， 即有x 2=π2+ kπ (k =0，±1，±2，⋯)；（3）cos2x 3=y 3=12，2x 3=±π3+2kπ，即有x3=±π6+ kπ (k=0，±1，±2，⋯)；综上所述，以上三种数都是原方程的解.二、换元法在解方程组当中的应用换元法在方程组中的作用主要是用来简便计算量的.因为有些方程组如果用常规方法做也是可以行得通的，但是计算量就有点太大了，特别是在复杂一点的分式方程组或者是高次方程组中利用换元法就是特别明智的选择.换元的目的就是将复杂的分式方程组化成简单的整式方程组，也是能够把高次的方程组化成为低次的.例题3.解方程组：解：设a=13x−2y ，b=12x−5y；则原来方程组可以转化为：即有，代回求解x和y的值，即有：解得，即为原方程的解.三、换元法在解不等式中的用法例题5. （第二届国际数学竞赛第2题）存在哪些值使得下面的不等式成立？4x2(1−√1+2x)2<2x+9解：将√1+2x看做“元”，用“新元”y替换，则√1+2x=y；既有x=y 2−12；故，原不等式可以转化为：(y 2−1)2(1−y)2<y2−1+9易得y ≠1；既(1−y )2>0；故(y 2−1)2<(1−y )2(y 2+8)；解得：y <72 故，0≤√1+2x <72；即原不等式解得：−12≤x <458例题6.如果p +q +r =1，且满足0≤p ，q ，r ≤1，请证明：√p +√q +√r ≤√3.分析：例题4是代数之间的换元，这一题由于0≤p ，q ，r ≤1，即符合了三角函数值域取值的范围，故可以尝试做三角代换.证明：令p =cos 2x ，q =sin 2xcos 2y ，r =sin 2xsins 2y ，其中有x ，y ∈[0，π2]；则有：√p +√q +√r =√cos 2x +√sin 2xcos 2y +√sin 2xsins 2y=cosx +sinxcosy +sinxsiny=cosx +sinx (siny +cosy )=cosx +√2sinxsin (y +π4)≤cosx +√2sinx=√3sin (x +z )≤√3故，原命题得证. 四、换元法在数列方面的应用例题7.已知数列{αn }由循环公式α1=1，αn+1=116(1+4αn +√1+24αn )构成，其中n =1，2，3，⋯，求αn 的通项公式是什么？解： 将√1+24αn 看成“元”，用x n 为“新元”替换，既有√1+24αn =x n ； 则有αn =124(x n 2−1)由此可得：α1=1，α2=58，α3=1532，α4=51128，⋯，既有：x1=5，x2=4，x3=312，x4=314，⋯，根据前面几组的数据可以猜测含有“新元”数列{ x n}的通项公式为：x n= 3+(12)n−2接下来用数学归纳的方法去证明，之后还要还原成原数列（证明略）.例题8.已知在数列{a n}中，α1=1，α1+2α2+3α3+4α4+⋯+na n=n+12a n+1(nϵN∗)，求数列{a n}的通项公式a n.解：将na n看成“元”，用“新元”b n替换，设na n=b n；则有{b n}的前n项和为：s n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n=12(n+1)a n+1=12b n+1由b n=s n−s n−1=12b n+1−12b n故，32b n=12b n+1既有，b n+1b n=3，且b1=a1=1；所以b n=3n(n≥2)；故，当a n=2∙3n−2n(n≥2)，a1=1五、换元法在复数中的应用复数及其运算不仅具有三角函数的式样、代数的形式而且还有几何意义，因此运用复数能够处理很多看似复杂的数学难题与偏题.灵活转化为恰当有效的复数，把一些实数看成某些复数的虚数部分或者是实数部分，然后就可以用复数的相关知识与运算去解决问题.例题9.已知a，b，c均为大于0的数，求函数y=√x2+a2+√(c−x)2+b2的最小取值为多少？解：可以设z1=x+αi，z2=(c−x)+bi，且a，b，c均大于0∴ z1+z2=c+(a+b)i，且z1，z2≠0；又∵|z1|=√x2+a2，|z2|=√(c−x)2+b2，|z1+z2|=√(a+b)2+c2；根据性质|z1|+|z2|≥|z1+z2|，（z1，z2同向时等号成立）∴√x2+a2+√(c−x)2+b2≥√(a+b)2+c2；所以，当z1，z2同向时，即有xc−x =ab，y min=√(a+b)2+c2；例题10.设复数z1和z2满足z1z2̅+A̅z1+Az2̅=0，其中A是不等于零的复数，请证明：（1）|z1+A||z2+A|=|A|2；（2）z1+Az2+A =|z1+Az2+A|；分析：如果这一题按照常规方法设：z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，A=a+bi，(a1，b1，a2，b2，a，b∈R)；转化为实数上的问题，那么会因为出现的字母太多运算复杂书写不变等种种原因最终放弃.但是如果学生很好的掌握了换元的方法，用整体代换的方法，设α=z1+A，β=z2+A，则：已知条件便转化为：αβ̅=|A|2；要证明的结论也相应的转化为：（1）|α||β|=|A|2，αβ=|αβ|那么此时的计算量就小多了（往下步骤省略）；六、换元法在三角函数和函数中的应用利用换元的方法可以将复杂的三角函数的问题转换成二次函数的问题.接着利用熟悉的二次函数的相关性质和方法处理，最后记得将所得的结果代回到原有问题中.这类方法在高中考试中被经常用到.例题11.已知函数f(x)=2x5+3x3−x2−4x+12，求f(1−√2)的值.解：方法一：将“元”x用“新元”1−√2替换，则有：f(1−√2)=2(1−√2)5+3(1−√2)3−(1−√2)2−4(1−√2)+12；我们不难发现，即使是换元之后，如果不对函数进行处理，那么效果也是不好的.方法二：设1−√2=x ，则有x 2+2x −1=0，再设x 2+2x −1=t ；（那么现在经过两次换元，我们只要去构造函数f (x )，将式子中的x 2+2x −1看成一个整体进行构造零因子.）f (x )=2x 5+3x 3−x 2−4x +12=(2x 3−4x 2+13x −31)(x 2+2x −1)+71x −19=71x −19=71(1−√2)−19=52−71√2例题12.已知f (x+1x )=x 2+1x 2+1x ，求f (x )的解析式； 分析：本题中是已经知到复合函数的解析式，然后反过来让我们求原函数的解析式，应该将x+1x 看成一个整体，用一个“新元”t 替代. 解： 设x+1x =t ；则有x =1t−1，且(t ≠1)；∵ f (x +1x )=x 2+1x 2+1x∴ f (t )=(1t−1)2+1(1t−1)2+1(1t−1)∴ f (t )=(t −1)2+1+t −1∴ f (t )=t 2−t +1故，函数的解析式为f (x )=x 2−x +1，(x ≠1).总结:上述例题有两个点非常容易错.第一，忘记回代即答案的最终形式是f (t )=t 2−t +1含有t 的式子.第二，漏了自变量的变化范围，变换后自变量的取值范围变成(x ≠1).例题13.（2009年全国高考文科卷）已知∆ABC 是三角形的三个内角A 、B 、C ，且满足条件：A +C =2B ，1COSA +1COSC =−√2COSB ，求cos (A−C 2)的值.分析：隐含条件“三角形的内角和为180°”，且条件给的答案“A +C =2B ”，故可以利用A +C =120°进行换元.解： 设A =60°+α，C =60°−α，则有α=A−C 2；故，1COSA +1COSC=1COS(60°+α)+1COS(60°−α)=12COSα−√32sinα+12COSα+√32sinα=−2√2解得：cosα=√22，即有：cos A−C2=√22.例题14.设a>0，求f(x)=2a(sinx+cosx)−sinx∙cosx−2a2的值的最大与最小分别是多少？解：设sinx+cosx=t（t∈[−√2，√2]），故sinx∙cosx=t 2−12；∴f(x)=g(t)=2at−t 2−12−2a2=−12(t−2a)2+12(a>0，t∈[−√2，√2])；（1）当t=2a≥√2时，有t=sinx+cosx=√2sin(x+π4)=√2，x=2kx+π4，(k∈Z)；f(x)max=g(√2)=−2a2+2√2a−1 2此时t=2a=−√2时，有t=sinx+cosx=√2sin(x+π4)=−√2,x=2kx−3π4，(k∈Z)；f(x)min=g(−√2)=−2a2−2√2a−1 2（2）当t=2a≤−√2时，有t=sinx+cosx=√2sin(x+π4)=−√2，x=2kx−3π4，(k∈Z)；f(x)max=g(−√2)=−2a2−2√2a−1 2此时t=2a=√2时，有t=sinx+cosx=√2sin(x+π4)=√2,x=2kx+π4，(k∈Z)；f(x)min=g(√2)=−2a2+2√2a−1 2（3）当−√2<t<√2时， f(x)max=g(2a)=12综上所述（再描述回答一遍即可，这里省略）分析：本例题将三角函数求值域问题.运用换元的方法转化为二次函数在闭区间上求值域，这一题不仅要顾及到换元后的取值变化的问题.还结合了之前学习的二次函数的性质，运用分类的讨论方法能够进一步处理问题.换元的方法有多种多样但不是独立的，它们之间互相联系，在解题过程中学生应该有选择性使用.遇到问题比较复杂的，这时要求学生要认真的分析，能够根据特点进行合理的变换和换元，使原有的复杂、困难的问题化为容易解决的问题.学生要知道换元法是一种解决问题策略，需要在充分观察题设与结论的联系后才可以有目的的选用，明确选择哪一类换元不是随意的.因此，在运用换元策略去解题时千万不能生搬硬套.要在仔细观察、具体分析之后寻找突破口,灵活合理地选择换元“元”与“新元”.5. 换元法在中学解题中的常见错误虽然换元法能够简化计算，化高次方程为低次方程，但是如果早使用的时候如注意等价转化与换元，那么就容易出现一些不容易发觉的错误，常常表现在如下方面.一、“元”与“新元”选择不合理；例题1 设x√1−y2+y√1−x2=1，求x+y的最值.错解：∵√1−y2≥0，√1−x2≥0 ；∴|y|≤1，|x|≤1；∴设x=cosα，y=sinα，α∈[0，2π)；∴ cosα|cosα|+sinα|sinα|=1；等式两边同时平方可得：sin2α=0，∴ α=kπ2，(k∈Z)；∴ x+y=cosα+sinα=√2sin(α+π4)=√2sin(kπ2+π4)，(k∈Z)；∴ x+y的最大值为1，最小值为−1；错误分析：换元之后定义域范围扩大，混淆两个变换式子的自变量，错误的增加关系条件x2+y2=1.正解：∵√1−y2≥0，√1−x2≥0 ；∴|y|≤1，|x|≤1；又∵ x√1−y2+y√1−x2=1 ；∴ 0<y≤1，0<x≤1；∴设x=cosα，y=sinβ，α、β∈[0，π2 ]；∴原条件可以转化为： cosα sinβ+sinαcosβ=1，即cos(α−β)=1；又∵π2≤α−β ≤π2，∴ α−β=0，即 α=β；∴ x+y=cosα+sinβ=cosα+sinα=√2sin(α+π4 )；又∵ 0≤α≤π2∴π4≤α+π4≤3π4；∴当α+π4=π4，即α=0时，有x+y的最小值是1；∴当α+π4=π2，即α=π4时，有x+y的最大值是√2；二、将复合函数与原函数混淆；例题2 知f(x+1x )=x2+1x2+1x，求f(x)的解析式；分析：本题中是已经知到复合函数的解析式，然后反过来让我们求原函数的解析式，应该将x+1x看成一个整体，用一个“新元”t替代.解：设x+1x =t；则有x=1t−1，且(t≠1)；∵ f(x+1x)=x2+1x2+1x∴ f(t)=(1t−1)2+1(1t−1)2+1(1t−1)∴ f(t)=(t−1)2+1+t−1∴ f(t)=t2−t+1故，函数的解析式为f(x)=x2−x+1，(x≠1).总结:上述例题有两个点非常容易错.第一，忘记回代即答案的最终形式是f(t)=t2−t+1含有t的式子.第二，漏了自变量的取值范围，变换后自变量的范围变成(x≠1).还有就是已知复合函数的定义域求原函数的定义域或者是已知原函数的定义域求复合函数的定义域等类型的题目都是很容易出错的.三、换元后没有确定新元的取值范围或者错误的确定新元的范围；例题3 已知：x∈R∗，求y=x+4x +1x+4x的最小值.错解：令t=x+4x ，∵ x∈R∗，∴ t>0，则有y=t+1t≥2，∴y min=2；当 t=1t，即t2=1，(t>0)时，∴t=1；将t=1代入t=x+4x=1时，此方程无解.故等号不成立即y没有最小值.分析：本例题换“新元”时错误的确定了“新元”t的取值范围.正解：令t=x+4x ，∵ x∈R∗，∴ x+4x≥4，∴t≥4；∴ y=t+1t(t≥4)，∴t2−ty+1=0(t≥4)；故解得：t=y±√−4+y22，∴y±√−4+y22≥4；解得：y≥174∴y min=174因此，在使用换元法这种数学思想思考解决问题的时候不是生搬硬套，要注意概念的理解，细节的处理，从本质上把握换元法的每个步骤.做到灵活快捷的选用最优的换元对象和新元，最大程度上简化计算量，化繁为简，体现数学思维的高度.换元法的富有创造性的运用不仅实用而且更直观.换元不仅仅存在数学学科知识间的运用，也贯穿在数学与其他学科的知识、数学与生活之间.下面简要阐述数学在其他学科还有生活中的推广.6. 结论数学方法是数学思想的外在表现，数学思想是数学方法的本质内容.本文通过对换元法在中学数学中的应用与相关推广的研究.我认识到：数学思维的形成与发展是一个复杂、漫长的的思维认知及内化的过程.在形成过程中，参与的思维的成分并不是只有换元思想一种而应该是多样的.也可以认为：数学思维的形成实质上是综合素质在培养与运用的过程中螺旋上升的过程.往往解决问题钥匙是来自各方面思维经验的正向迁移.通过对换元法的阶段研究.针对换元的多变技巧和多样的方法进行梳理、对比、归纳以及分类.抓住换元法的基本解题类型与容易产生错误的知识点、面.从而帮助学生养成良好的数学思维以及意识，有效的掌握使用换元法解决问题的知识与技能，培养学生良好的分析与应变解题能力.同时，在收集资料的过程中我发现：目前教师都比较重视讲授表面层次上的换元技巧，注意是强调技巧，而不重视甚至忽略了渗透数学思想才是素质教育的根本.这种本末倒置的传统教学还没有完全转换.只停留在技巧方面的教学不利于学生从本质上把握换元法，会导致知识的建构体系不完善，很难作为知识的“生长点”.当然，也不能够单纯的强调数学思维，否则容易忽略表层的内容，从而导致换元法的解题过程流于形式，不能够很好的服务于生活.因此在未来的教学中应该在教授知识技能的同时要善于引导学生主动思考、学会思考，将数学学科学习的思想方法应用在其他学科与生活中去，体现数学是门基础的、是服务人类学习与人类生活密切相关的科学.限于我还是一名大学本科学生，对课题的理论知识构建相对薄弱，缺乏实际丰富的教学引导经验.导致对本次研究内容较为片.还有有许多的问题需要继续深入的研究与探讨.总的来说，从本次课题研究可以知道，换元法应用涉及的知识与技能、思想与活动经验的面很广，相对的处理技巧也是多样的，我明白进一步去研究换元法的任务是很有难度的.我对本次课题的部分研究还只是提出了一些常见的解题技巧与思考，缺少对解题理论的深入探索、发现与探讨.故在今后的学习教学中，会更加注重要在换元的思想理论的层面上，力求找到一、二个突破口，使这得本次研究显得更加全面.目前，本人对换元法的应用理论研究还处于尝试发现的阶段，真心期待未来会有更多的数学教育教学的工作者可以一起深入研究与实践.灵活、有效地选用换元法创造性的解决实际问题，为全面提高数学课程的教育教学质量提供一份力量.确保学生们能够在数学思维的熏陶、陶冶中学习数学知识与技能、研究数学的思想、体验数学活动、收获数学经验.不断引导学生，提高学生对数学思维的认知，能够自主自觉的进行调节与监控.如此一来，数学的教育教学就有希望从理论的层面上让每个学生都能获得良好的数学教育，不同的学生在数学上得到不同的发展.参考文献[1]卢春松. 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数理化解题研究(初中版),2014,08:28-29.致谢感谢闽江学院这四年来对我的培养，感谢我的每个任课老师.特别要感谢我的论文指导老师对本论文从选题、构思、资料收集到定稿每个环节给予的耐心的指引与帮助.对此，我发自内心的由衷的感谢.我的指导老师敏锐的学术思维，广博的专业知识，严谨的指导方式，精益求精的细节指导以及无比耐心的人格魅力将永远激励着我.这些影响不仅直接影响着我关于对论文的把握，而且会在未来的教学工作中留下深刻的印象.在此，向帮助我的老师致以崇高的敬意！感谢父母二十多年的辛勤培育，让我快乐的接受学习，并让我获取了一定的知识与做人的道理，让我有勇气走向社会，有一定的能力服务社会，贡献自己！感谢四年来的同班同学在学习、生活、工作以及情感上的陪伴.因为有你们的存在让我的大学生活变得多姿多彩！最后，我要向在百忙之中抽时间对本文进行审阅、评议和参加本人论文答辩的各位老师再次表示由衷的感谢！。