知识点 用去分母法或换元法求分式方程的解

分式方程的几种解法分式方程是初中数学教材重点内容之一，它是一元二次方程的应用和深化，同时又是列分式方程解应用题及解分式方程组的基础，所以分式方程有承上启下的作用，至关重要，它的解法很多，这里略谈一二。

一、 去分母法方法导析：它是分式方程的基本解法，即：方程两边同乘以各分母的最简公分母，化分式方程为整式方程，解出这个整式方程，最后把所得结果代入最简公分母中检验，便得分式方程的根。

例1：解方程：4121235222---=++-x x x x x 解：方程两边同乘以)2)(2)(1(-++x x x 去分母得：)1(4)2)(1()2)(52(+-++=--x x x x x整理得：01282=+-x x 解之得：6,221==x x检验：把2=x 代入)2)(2)(1(-++x x x ，它等于0，所以2=x 不是原方程的根。

把6=x 代入)2)(2)(1(-++x x x ，它不等于0，所以6=x 是原方程的根。

∴原方程的根为6=x 。

二、 换元法方法导析：根据方程特点用另一字母代替方程中的未知项式，得到一个关于这一字母的新方程，再进行解方程，其宗旨是换得的方程较原方程简单。

例2：解方程：21333322=-+-x x x x 解，设a x x =-32，则ax x 13332⨯=-，原方程变形为： 2133=+a a 去分母，得：061322=+-a a 解之得：61=a 212=a当6=a ，即632=-x x ，去分母，整理得0362=--x x 323±=∴x 当21=a ，即2132=-x x ，去分母，整理得0622=--x x 23,221-==∴x x 检验，把323+=x ，323-=x ，2=x ， 23-=x 分别代入原方程分母中其计算结果都不为0，所以他们都是原方程的根。

∴原方程的根是323±=∴x ，2=x ， 23-=x 三、 通分法方法导析：根据方程特点，原方程式适当变形后，两边进行通分，再结合分式性质解题。

《代数方程》全章复习与巩固知识讲解（提高）【学习目标】1．知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式. 理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法.2．理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法,理解双二次方程的意义，了解高次方程求解的基本方法是降次，会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；学会判断双二次方程的根的个数.3．会用“换元法”解特殊的分式方程（组）.4．理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念，领会无理方程“有理化”的化归思想. 会解简单的无理方程（方程中只含一个或两个关于未知数的二次根式）.5．知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的概念.6．掌握由“代入法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组；掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组.7．能熟练地列出方程组解应用题.并能根据具体问题的实际意义，检查结果是否合理.通过将实际生活中的问题抽象为方程模型，让学生形成良好思维习惯，学会从数学角度提出问题、理解问题.运用所学知识解决问题，发展应用意识，体会数学的情感与价值.【知识网络】【要点梳理】要点一、整式方程1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;2.一元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n(n是正整数),这个方程叫做一元n次方程.3.一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n，若次数n是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程.要点诠释：一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.4.二项方程概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.要点诠释：注：①nax=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.5.解的情况：当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，x=；当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.6.双二次方程概念：只含有偶数次项的一元四次方程.要点诠释：当常数项不是0时，规定它的次数为0.7.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略.要点诠释：解高于一次的方程，基本思想就是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次.用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解.要点二、分式方程1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程看联系：分式方程可以转化为整式方程.2.分式方程的解法1、解分式的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.2、解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点诠释：1、熟练掌握用“去分母”法求解分式方程的方法.2、了解用“换元法”解特殊的分式方程（组）.3、领会分式方程“整式化”的化归思想和方法.3.解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点三、无理方程1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.要点诠释：简单说，根号下含有未知数的方程，就是无理方程．2.有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程.3.代数方程：有理方程和无理方程统称为代数方程.要点诠释：代数方程的共同点是：其中对未知数所涉及的运算是加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算.4.含有一个根式（根式内有未知数的）的无理方程的解题步骤：①移项，使方程左边是含未知数的根式，其余都移到另一边；②两边同时乘方（若二次根式就平方，三次根式就立方）得整式方程；③解整式方程；④验根；⑤写答案.要点诠释：解简单无理方程的一般步骤，用流程图表示为：5.含有两个根式（根式内含有未知数）的无理方程的解题步骤：①移项，使方程等式的左边只含一个根式，其余移到另一边；②两边同时平方，得到只含有一个根式的无理方程；以下与1步骤相同.要点诠释：解无理方程的关键在于把它转化为有理方程，转化的基本方法是对方程两边同时乘方从而去掉根号，对于简单的无理方程，可通过“方程两边平方”来实施.要点四、二元二次方程组1. 二元二次方程定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.要点诠释：22ax bxy cy dx ey f o +++++=（a 、b 、c 、d 、e 、f 都是常数，且a 、b 、c 中至少有一个不为零），其中22,,ax bxy cy 叫做这个方程的二次项，a 、b 、c 分别叫做二次项系数，,dx ey 叫做这个方程的一次项，d 、e 分别叫做一次项系数，f 叫做这个方程的常数项.2.二元二次方程的解能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解.要点诠释：二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况.3.二元二次方程组概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组.要点诠释：不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组.4. 二元二次方程组的解:方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解.1. 代入消元法代入消元法解“二·一”型二元二次方程组的一般步骤：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得未知数的值；④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解； ⑥写出原方程组的解.要点诠释：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组；（2）“二·一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误.2. 因式分解法(1) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解.(2) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解.5.方程（组）的应用应用二元二次方程组解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设未知数（2个）；（3）列二元二次方程组；（4）解方程组；（5）检验是否是方程的解以及是否符合实际；（6）写出答案.要点诠释：一定要检验一下结果是否符合实际问题的要求.【典型例题】类型一、方程的判断1．下列方程中，哪些是二元二次方程？是二元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项.2222(1) 1 ; (2)320;1(3)20 ; (4)3 1.x y y y y x x y xy+=-+=+-=++= 【思路点拨】该题主要依据二元二次方程的定义.【答案与解析】（1）是，二次项2x 、一次项y ，常数项-1.（2）不是，因为只含一个未知数.（3）不是，因为不是整式方程.（4）不是，因为不含二次项.【总结升华】对于二元二次方程的定义要加深全面的理解．举一反三：【变式】（2015秋•黄浦区期中）在方程2x 2﹣3x=4，xy=1，x 2﹣4y 2=9，中，是二元二次方程的共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B.解：2x 2﹣3x=4是一元二次方程；xy=1，x 2﹣4y 2=9是二元二次方程；是分式方程．故是二元二次方程的只有：xy=1，x 2﹣4y 2=9．故选B ．2．（2016春•上海校级月考）下列关于x 的方程中，无理方程是（ ）A ．B ．C ．D ．+2x=7 【思路点拨】根号下含有未知数的方程是无理方程，依据定义即可作出判断．【答案】C ．【解析】解：A 、x 2+x+1=0是一元二次方程，选项错误；B 、x+1=0是一元一次方程，选项错误；C 、+=0是无理方程，选项正确；D 、+2x=7是关于x 的一元一次方程，选项错误．故选C ．【总结升华】本题考查了无理方程的定义，无理方程与整式方程的区别在于被开方数中是否含有未知数，理解定义是关键．举一反三：【变式】（2015春•闵行区期末）已知下列关于x 的方程：①；②+1=0；③+2x=7；④﹣7=0；⑤+=2；⑥﹣=．其中，是无理方程的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B.解：①根号内不含未知数，所以，不是无理方程；故本项不符合题意；②根号内含未知数，所以，是无理方程；故本项符合题意；③根号内不含未知数，所以，不是无理方程；故本项不符合题意；④根号内含未知数，所以，是无理方程；故本项符合题意；⑤根号内含未知数，所以，是无理方程；故本项符合题意；⑥根号内不含未知数，所以，不是无理方程；故本项不符合题意；所以，②④⑤是无理方程；故选B．类型二、判断方程解的情况3．（2016春•上海校级月考）下列关于x的方程中，一定有实数根的是（）A． B．x2+x+1=0 C． D．【思路点拨】根据表示a的算术平方根，一定是非负数，以及一元二次方程根的判别式即可作出判断．【答案】C．【解析】解：A、≥0，4＞0，则原式一定不成立，则方程没有实数根，选项错误；B、a=1，b=1，c=1，则△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，则方程无实数根，选项错误；C、当x=0时，=﹣x一定成立，即方程有实数根0，选项正确；D、≥0，≥0，则+≥0，因而+=﹣1一定不成立，没有实数根，选项错误．故选C．【总结升华】本题考查了算术平方根的定义以及一元二次方程根的判别式，理解任何非负数的算术平方根是非负数是关键．举一反三：【变式】（2016春•南京校级月考）下列方程中，有实数根的是（）A．x2﹣3x+5=0 B．C． D．【答案】C．解：A、△=9﹣20=﹣11＜0，方程没有实数解，所以A选项错误；B、方程=﹣1没有实数解，所以B选项错误；C 、解得x=﹣1，正确；D 、去分母得x=1，经检验x=1是不是原方程的解，所以D 选项错误；故选C ．类型三、解方程4. 解关于x 的方程：1mx nx -=【思路点拨】解含字母系数的方程时，先化为最简形式ax b =，再考虑有解、无解、无穷多解的模式.然后进行分类讨论．【答案与解析】原方程可化为：()1m n x -=当0m n -≠，即m n ≠时，方程有唯一解为：1x m n=-； 当0m n -=，即m n =时，方程无解．【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式ax b =，再根据x 系数a 是否为零进行分类讨论． 举一反三：【变式】若关于x 的方程(k-4)x =6有正整数解，求自然数k 的值.【答案】解：∵原方程有解，∴ 40k -≠原方程的解为：64x k =-为正整数，∴4k -应为6的正约数，即4k -可为：1，2，3，6 ∴k 为：5，6，7，10答：自然数k 的值为：5，6，7，105.（2016春•长宁区期末）解方程：2220383x x x x +-=+． 【思路点拨】根据换元法，设213u x x=+，可得关于u 的分式方程，根据解方程，可得答案． 【答案与解析】解：设213u x x =+，则原方程化为：1208u u-=， 解得：1211102u ,u ==-， 当110u =时，2310x x +=，解得：1252x ,x =-=，经检验1252x ,x =-=是原分式方程的解； 当12u =-时，232x x +=-，解得：12317317x -+--==，经检验12317317x ,x -+--==是原分式方程的解； 所以原方程的解为：1252x ,x =-=，3431731722x ,x -+-==．【总结升华】本题考查了解分式方程的应用，能正确换元是解此题的关键，难度适中．6. 解方程 223152512x x x x ++++=【答案与解析】 251x x y ++=，则2222513153(1)x x y x x y ++=⇒+=-原方程可化为：23(1)22y y -+=，即23250y y +-=，解得：1y =或53y =-．(1)当1y =225115010x x x x x x ++=⇒+=⇒=-=或；(2)当53y =-2510x x y ++=≥，所以方程无解．检验：把1,0x x =-=分别代入原方程，都适合． 所以，原方程的解是1,0x x =-=．【总结升华】本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大．注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：2231533(51)x x x x ++=++．因此，251x x y ++=，这样就可将原方程先转化为关于y 的一元二次方程进行处理．举一反三： 【变式】解方程()223323532x x x x +-+=+ 【答案】解：原方程变形为，22352354022x x x x -++-+=， 2235x x -+，则23522x x -+=22y ， 则方程可化为，22y +y-4=0, 整理得，2280y y +-=，解得，122,4,y y ==-当y=22235x x -+，解得，1211,2x x ==； 当y=-42235x x -+=-4，无解. 经检验，1211,2x x ==都是原方程的解，所以原方程的解为1211,2x x ==. 7、解方程49324492x x x x +-=+. 【答案与解析】解：设494x y x +=，则214+9x x y=， 原方程可化为，y-1y =32, 整理得，22320y y --=，解得，12,y =21,2y =-当y=2时，492,4x x +=解得，x=34； 当y=－12时，491,42x x +=-无解； 经检验，x=34是原方程的解， 所以原方程的解为x=34. 【总结升华】本题中494x x +与24+9x x 之间互为倒数，采用倒数换元法是本题的最佳选择. 举一反三：【变式】（杨浦区校级期中）解方程：4x 2﹣10x+=17． 【答案】解：方程变形为2（2x 2﹣5x+2）﹣﹣21=0 设=t ，则原方程转化为2t 2+t ﹣21=0，（t ﹣3）（2t+7）=0，解得t 1=3，t2=﹣，当t=3时，=3，则2x 2﹣5x+2=9， 整理得2x 2﹣5x ﹣7=0，解得x 1=，x 2=﹣1；当t=﹣时，=﹣，则方程无解，经检验原方程的解为x 1=，x 2=﹣1．类型四、解方程组 8. 解方程组【答案与解析】解：设1=+u x y ，1=-v x y，则原方程组可化为 80+42=7,40+70=7.u v u v ⎧⎨⎩解得 1=,201=.14u v ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 于是，得 11=,+2011=.-14x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 因此 +=20,-=14.x y x y ⎧⎨⎩解得 =17,=3.x y ⎧⎨⎩检验：把x=17，y=3代入原方程组中所含各分式的分母，各分母的值都不为零. 所以，原方程组的解是=17,=3.x y ⎧⎨⎩【总结升华】本题中直接去分母解比较麻烦，通过观察发现两个方程所含的分式的分母分别是x+y 和x-y ，所以想到“换元”，设1=+u x y ，1=-v x y，则原方程得以简化. 【变式】解方程组11 (1)28 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩【答案与解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根，解方程得：4z =或z=7．∴ 原方程组的解是：1147x y =⎧⎨=⎩或2274x y =⎧⎨=⎩．【总结升华】本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根，则更容易求解． (1) 对于这种对称性的方程组x y a xy b+=⎧⎨=⎩，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于x 、y 的字母，如z ． (2) 对称形方程组的解也应是对称的，即有解47x y =⎧⎨=⎩，则必有解74x y =⎧⎨=⎩． 9.（2016•黄浦区二模）解方程式：．【答案与解析】解：由②可得，（x+y ）（x ﹣5y ）=0，即x+y=0或x ﹣5y=0，∴x=﹣y 或x=5y ，当x=﹣y 时，把x=﹣y 代入①，得：2y 2=26， 解得：y=±， 故方程组的解为：或； 当x=5y 时，把x=5y 代入①，得：25y 2+y 2=26，解得：y=±1， 故方程组的解为：或； 综上，该方程组的解为：或或或．【总结升华】本题主要考查解高次方程的能力，解高次方程的根本思想是化归思想，次数较高可通过因式分解再代入等方法降幂求解即可．类型五、应用10.（2016•黄埔区模拟）甲乙两人各加工30个零件，甲比乙少用1小时完成任务；乙改进操作方法，使生产效率提高了一倍，结果乙完成30个零件的时间比甲完成24个零件所用的时间少1小时．问甲乙两人原来每小时各加工多少个零件．【思路点拨】设甲乙两人原来每小时各加工零件分别为x 个、y 个，根据各加工30个零件甲比乙少用1小时完成任务，改进操作方法之后，乙完成30个零件的时间比甲完成24个零件所用的时间少1小时，列方程组求解．【答案与解析】解：设甲乙两人原来每小时各加工零件分别为x个、y个，由题意得，，解得：．经检验它是原方程的组解，且符合题意．答：甲乙两人原来每小时各加工零件分别为6个、5个．【总结升华】本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解，注意检验．举一反三：【变式】甲、乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄．甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时．二人每小时各走几千米？【答案与解析】解：设乙每小时走x千米，那么甲每小时走（x+1）千米，根据题意，得去分母，整理，得 x2+x-30=0．解这个方程，得 x1=5，x2=-6．经检验，x1=5，x2=-6都是原方程的根．但速度为负数不合题意，所以只取x=5，这时x+1=6．答：甲每小时走6千米，乙每小时走5千米．【总结升华】本题当中要特别注意理解“甲结果比乙早到半小时”这句话，说明乙用的时间长，要在乙的时间上减去12小时，才和甲所用的时间相等.11.k为何值时，方程组.（1）有两组相等的实数解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解.【答案与解析】解：将(2)代入(1)，整理得k2x2+(2k-4)x+1=0 (3)（1）当时，方程(3)有两个相等的实数根.即解得：，∴k=1.∴当k=1时，原方程组有两组相等的实数根.（2）当时，方程(3)有两个不相等的实数根.即解得：，∴k<1且k ≠0.∴当k<1且k ≠0时，原方程组有两组不等实根.（3）①若方程(3)是一元二次方程，无解条件是 ，即解得：， ∴k ＞1.②若方程(3)不是二次方程，则k=0，此时方程(3)为-4x+1=0，它有实数根x=. 综合①和②两种情况可知，当k>1时，原方程组没有实数根.【总结升华】因为在（1）、（2）中已知方程组有两组解，可以确定方程(3)是一元二次方程，但在（3）问中不能确定方程(3)是否是二次方程，所以需要分两种情况讨论.使用判别式“Δ”的前提条件是能确定方程为一元二次方程，不是一元二次方程不能使用Δ.12. 求直角坐标平面内到()()0,15,0,9P Q -的距离都等于15的点的坐标．【答案与解析】解：设满足题意的点为A(x,y)，由题意得，2222(15)15(9)15x y x y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩， 解得，93x y =⎧⎨=⎩或93x y =-⎧⎨=⎩， 经检验，两组都是方程组的解，所以A （9,3）或A （-9,3）.答：直角坐标平面内到()()0,15,0,9P Q -的距离都等于15的点的坐标为（9,3）或（-9,3）.。

分式方程的解法分式方程是含有一个或多个分式的方程，求解分式方程需要借助一些特定的方法和规则。

本文将介绍分式方程的常见解法，帮助你更好地理解和解决这类问题。

一、消去分母法对于分式方程而言，最常用的解法就是消去分母。

具体步骤如下：1. 将分式方程两边的分母去掉，得到一个关于未知数的多项式方程。

2. 整理方程，将同类项合并，得到一个简化的多项式方程。

3. 使用常规的代数方法解决这个多项式方程。

4. 检查得到的解是否满足原始的分式方程，若满足，则是原方程的解；若不满足，则是无效解。

二、通分法在某些情况下，分式方程可以通过通分的方法进行求解。

具体步骤如下：1. 对于含有多个分式的方程，将所有分式的分母找到其最小公倍数，并将方程两边的分子进行相应的操作。

2. 使用通分后的方程，将分母相同的项合并，并将方程化简为一个关于未知数的多项式方程。

3. 使用常规的代数方法解决得到的多项式方程。

4. 检查得到的解是否满足原始的分式方程，若满足，则是原方程的解；若不满足，则是无效解。

三、代入法有时候，分式方程的解可以通过代入法求得。

具体步骤如下：1. 从分式方程中选取一个变量，用一个合适的值代入该变量。

2. 计算代入后得到的方程，并求解这个新的方程。

3. 检查得到的解是否满足原始的分式方程，若满足，则是原方程的解；若不满足，则是无效解。

四、等价方程法等价方程法是另一种常用的求解分式方程的方法。

具体步骤如下：1. 对于给定的分式方程，将方程两边同时乘以分母的乘法逆元，以消去分母。

2. 处理等式两边得到的新方程，将其化简为一个关于未知数的多项式方程。

3. 使用常规的代数方法解决得到的多项式方程。

4. 检查得到的解是否满足原始的分式方程，若满足，则是原方程的解；若不满足，则是无效解。

综上所述，分式方程的解法主要包括消去分母法、通分法、代入法和等价方程法。

根据具体情况选择合适的方法，可以更高效地求解分式方程。

在解题过程中，要注意化简方程，查验解的有效性，以确保得到正确的结果。

解分式方程的特殊方法与技巧分式方程意义及解法一、内容综述:1(解分式方程的基本思想在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程(即分式方程整式方程2(解分式方程的基本方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程(但要注意，可能会产生增根。

所以，必须验根。

产生增根的原因:当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解(检验根的方法:(1)将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。

(2)为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根;如果使公分母等于0，就是原方程的增根。

必须舍去( 注意:增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0(用去分母法解分式方程的一般步骤:(i)去分母，将分式方程转化为整式方程;(ii)解所得的整式方程;(iii)验根做答(2)换元法为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决(辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法(换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程(用换元法解分式方程的一般步骤:(i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式;(ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值;(iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值;(iv)检验做答(注意:(1)换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。

它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。

分式方程的几种特殊解法白云中学：权兵解分式方程的一般步骤：（1）去分母，化分式方程为整式方程；（2）解整式方程；（3）检验，判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解。

但在具体求解时却不能死搬硬套，尤其是在解某些特殊的分式方程时，应能根据方程的特点，采用灵活多变的解法，并施以适当的技巧，才能避繁就简，巧妙地将题目解出。

下面举例谈谈解分式方程的几种特殊技巧。

一、加减相消法。

例1、解方程：20172018112017201811222++-=++-+x x x x x 。

分析：若直接去分母固然可以求出该题的解，但并不是最佳解题方法。

如果我们发现方程两边都加上分式2017201812++x x ，则可以通过在方程两边都加上分式2017201812++x x ，就将原方程化简成112=+x ，从而轻松获解。

解：原方程两边都加上2017201812++x x ，则可得：112=+x 去分母，得：12+=x解得：1=x经检验，1=x 是原分式方程的解。

二、巧用合比性质法。

例2：解方程：781222++=++x x x x 。

分析：若我们能发现方程两边的分式的分子比分母都多1的话，则可以利用合比性质将分子化为1，从而可以轻易将方程的解求出。

解：由合比性质可得：77-811-2222+++=+++x x x x x x ）（）（）（）（ ∴ 71112+=+x x 去分母并化简得：062=--x x ，即0)2)(3=+-x x （解得：23-==x x 或经检验，23-==x x 或是原分式方程的解。

三、巧用等比性质法。

例3、解方程：13242344++=++x x x x 。

分析：该方程两边的分式的分子之差和分母之差都是常数，故可考虑先用等比性质将原方程化简后再求解。

解：由等比性质可得：1324)13()23(2444++=+-++-+x x x x x x ）（）（。

∴ 13242++=x x 化简得： 02=x∴ 0=x经检验，0=x 是原分式方程的解。

分式方程的特殊解法举例解分式方程的基本思想，是通过去分母，化分式方程为整式方程。

其常规解法有“去分母法”和“换元法”两种。

但对一些结构较特殊的分式方程，若仍用这两种常规方法求解，往往会使未知数的次数增高，或使运算变繁，增大解题难度，甚至无法解出。

因此，我们应针对题目的结构特征，研究一些非常规解法。

1. 分组通分例1 解方程65327621--+--=--+--x x x x x x x x 分析：通过移项，将方程两边变形为两分式的差，通分后的分子中含未知数的项可相互抵消，从而降低了解题难度。

解：移项，得21653276-----=-----x x x x x x x x 两边分别通分，得)2)(6(4)3)(7(4--=--x x x x 所以)2)(6()3)(7(--=--x x x x 解得29=x 经检验，知29=x 是原方程的根。

2. 用“带余除法”将分子降次例2 解方程x x x x x x x 211112323=+--++++ 分析：方程左边是两个假分式的和的形式，所以可将它们分别化成整式与真分式之和的形式，从而降低未知数的次数，简化运算。

解：原方程可化为x x x x x x x 212112122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-所以121222+-=++x x x x 即1122+-=++x x x x所以002==x x ，经检验，知x=0是原方程的根。

3. 拆项相消例3 解方程 1011009900199165123112222=+++++++++++x x x x x x x x 分析：表面不易发现题目特点，但将各分母因式分解后，便发现各分式同时都具有AB A B -的形式。

因此，可用BA AB A B 11-=-将每个分式都拆成两个分式差的形式，这样除首末两项外，中间的项从左往右依次抵消。

解：将原方程变形，得101100)100)(99(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1=+++++++++++x x x x x x x x 拆项得⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-100199131212111111x x x x x x x x 101100= 化简得10110010011=+-x x 即01011002=-+x x 解得101121-==x x ， 经检验，知11=x 和1012-=x 都是原方程的解。

1．一般‎法所谓一般‎法，就是先‎去分母，将‎分式方程转‎化为一个整‎式方程。

然‎后解这个整‎式方程。

解‎原方程就‎是方程两边‎同乘以（x‎＋3）（x‎－3），约‎去分母，得‎4（x－3‎）＋x（x‎＋3）=x‎2－9－2‎x。

2．换‎元法换元法‎就是恰当地‎利用换元，‎将复杂的分‎式简单化。

‎分析本方‎程若去分母‎，则原方程‎会变成高次‎方程，很难‎求出方程的‎解设x2‎＋x=y，‎原方程可变‎形为解这个‎方程，得y‎1=－2，‎y2=1。

‎当y=－2‎时，x2＋‎x=－2。

‎∵Δ＜0，‎∴该方程无‎实根；当y‎=1时，x‎2＋x=1‎，∴经检‎验，是原‎方程的根，‎所以原方程‎的根是。

‎3．分组结‎合法就是把‎分式方程中‎各项适当结‎合，再利用‎因式分解法‎或换元法来‎简化解答过‎程。

4．拆‎项法拆项法‎就是根据分‎式方程的特‎点，将组成‎分式方程的‎各项或部分‎项拆项，然‎后将同分母‎的项合并使‎原方程简化‎。

特别值得‎指出的是，‎用此法解分‎式方程很少‎有增根现象‎。

例4 解‎方程解将‎方程两边拆‎项，得即x‎=－3是原‎方程的根。

‎5．因式分‎解法因式分‎解法就是将‎分式方程中‎的各分式或‎部分分式的‎分子、分母‎分解因式，‎从而简化解‎题过程。

解‎将各分式‎的分子、分‎母分解因式‎，得∵x－‎1≠0，∴‎两边同乘以‎x－1，得‎检验知，它‎们都是原方‎程的根。

所‎以，原方程‎的根为x1‎=－1，x‎2=0。

6‎．配方法配‎方法就是先‎把分式方程‎中的常数项‎移到方程的‎左边，再把‎左边配成一‎个完全平方‎式，进而可‎以用直接开‎平方法求解‎。

∴x2±‎6x＋5=‎0，解这个‎方程，得x‎=±5，或‎x=±1。

‎检验知，它‎们都是原方‎程的根。

所‎以，原方程‎的根是x1‎=5，x2‎=－5，x‎3=1，x‎4=－1。

‎7．应用比‎例定理上述‎例5，除了‎用因式分解‎法外，还可‎以应用合比‎和等比定理‎来解。

分式知识点总结与分式方程的应用一、分式的定义和基本性质分式是指两个整数的比的形式，分子和分母都可以是整数。

分式的一般形式为a/b，其中a为分子，b为分母。

分式也可以是带有字母的表达式。

1.分式的定义：分式表示两个数的比。

分子表示比的被除数，分母表示比的除数。

2.分式的基本性质：①分式的值是确定的：分式的值只与分子和分母有关，而与分子和分母的选取方法无关。

②分式的约定：分式的分母不能为0，即b≠0。

③分式的约分：分式a/b可以约分为最简分式的条件是a和b都有因数c，这样a和b都可以被c整除。

④分式的最简形式：分式a/b的最简形式是分子分母互为质数⑤分式的倒数：若分式a/b不等于0，则它的倒数为b/a。

⑥分式的乘法：若a/c和b/d是两个非零分式，则a/c与b/d的乘积为(a·b)/(c·d)。

⑦分式的除法：分式a/b除以c/d可真分式以d/c乘，得(a·d)/(b·c)。

⑧分式的加法：根据通分的定义，可得a/c+b/d=(a·d+b·c)/(c·d)⑨分式的减法：根据通分的定义，可得a/c-b/d=(a·d-b·c)/(c·d)分式方程的一般形式为：分子中含有未知数的为分式方程。

例如：2/x=3/41.解分式方程的基本步骤：（1）去分母：将分式方程中的每个分式的分母去掉，得到一个整式方程。

（2）解整式方程：使用解整式方程的方法解方程。

（3）检验解：将求得的解代入原分式方程，检验是否满足。

2.分式方程的常见类型：（1）一次分式方程：分子和分母的最高次幂都是1（2）整式方程：分式方程中的分子和分母都是整式。

（3）二次分式方程：分子和分母的最高次幂都是2（4）退化分式方程：当方程中出现0/0的情况，方程可能退化为整式方程或无解。

3.分式方程的注意事项：（1）除法的解答有条件：可能有解，也可能无解。

（2）变量的取值范围：要满足约束条件。

分式方程知识点总结一．分式方程、无理方程的相关概念：1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2．无理方程：根号内含有未知数的方程。

(无理方程又叫根式方程 )3．有理方程：整式方程与分式方程的统称。

二．分式方程与无理方程的解法：1．去分母法：用去分母法解分式方程的一般步骤是：①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去。

在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入最简公分母。

2．换元法：用换元法解分式方程的一般步骤是：②换元：换元的目的就是把分式方程转化成整式方程，要注意整体代换的思想；③三解：解这个分式方程，将得出来的解代入换的元中再求解；④四验：把求出来的解代入各分式的最简公分母检验，若结果是零，则是原方程的增根，必须舍去；若使最简公分母不为零，则是原方程的根。

解无理方程也大多利用换元法，换元的目的是将无理方程转化成有理方程。

三．增根问题：1．增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为 0，那么就会出现不适合原方程的增根。

2．验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。

3．增根的特点：增根是原分式方程转化为整式方程的根，增根必定使各分式的最简公分母为 0 。

解分式方程的思想就是转化，即把分式方程整式方程。

常见考法( 1 ) 考查分式方程的概念、分式方程解和增根的机会比较少，通常与其他知识综合起来命题，题型以选择、填空为主；( 2) 分式方程的解法，是段考、中考考查的重点。

误区提醒( 1 ) 去分母时漏乘整数项；( 2) 去分母时弄错符号；( 3) 换元出错；( 4) 忘记验根。