线性代数复习题-第二章

线性代数考试题库及答案 第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数10323211112)(x x x xx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-0100002000010 n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111 n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211 ，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001031002112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 210001200000210001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

习 题 2-11．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序．解： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000010100100110000001011111000111010654321654321，选手按胜多负少排序为：6,5,4,3,2,1．2．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=2521,03231z x y x B A ，已知B A =，求z y x ,,． 解：由于B A =得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=-0253223z x y x ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧===211z y x 。

习 题 2-21．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0112A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4021B ，求 （1）B A 52-； （2）BA AB -； （3）22B A -．解：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-202892001050224402150112252B A ；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2592041021820112402140210112BA AB ；（3）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-152441606112254021402101120112B A 22．2．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=230412301321A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=052110351234B ，求B A 23-． 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0521103512342230412301321323B -A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=619410161510550110104220610246869012369039633．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101012121234,432112122121B A ，求（1）B A -3； （2）B A 32+；（3）若X 满足B X A =-，求X ；（4）若Y 满足()()O Y B Y A =-+-22，求Y ．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-10101212123443211212212133B A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=13973282851311010121212341296336366363； （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+1010121212343432112122121232B A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=561252527813143030363636912864224244242； （3）由B X A =-得，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=533104041113101012121234432112122121B A X ； （4）由()()O Y B Y A =-+-22得，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=2232323403402231031033112020335532)(32B A Y 。

第二章 矩阵及其运算2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B求.B A A AB T 及23- 解：A AB 23-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1504213211111111113⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1111111112 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508503⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22942017222132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321111111111B A T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=092650850. 3．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A ,求kA .解 首先观察⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A由此推测 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---kk kk k kkk k k k A λλλλλλ0002)1(121)2(≥k用数学归纳法证明:当2=k 时,显然成立.假设k 时成立，则1+k 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k kkk k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ由数学归纳法原理知: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(1214．求下列矩阵的逆矩阵： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121; 解： 2=A , 故1-A 存在. 024312111==-=A A A而 1613322212-==-=A A A 21432332313-==-=A A A故 *-=A A A 11⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012（注意元素的排列顺序）.5.设矩阵B 满足E B A AB 932-=-，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=400020101A ，求矩阵B .解：由E B A AB 932-=-，得))(()(E A E A E A B E A 33932+-=-=-.注意到023≠=-||E A ，从而E A 3-可逆，于是E A B 3+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=700050104.6.设三阶矩阵A 满足21=||A ，求|)(|*A A 231--.解：根据逆矩阵和伴随矩阵的性质得|||||||)(|*11113223123-----=-=-A A A A A A 27163213-=-=-||)(A .7. 设⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A ,求8A 及4A . 解： ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A ，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A . 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A故8218⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8281A OO A . 1682818281810===A A A A A .⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A OO A A .8.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4121031200210001A ，求1-A .解： 24=A ， 0434232413121======A A A A A A . 68122444332211====A A A A124110320011312-=-=)(A 124210120211413-=-=)(A31213120211514=-=)(A 44210120011523-=-=)(A 51213120011624-=-=)(A 21210210011734-=-=)(A *-=A AA 11，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-4112124581031612100212100011A ，也可以分块处理.13．解下列矩阵方程：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解： 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X （注意坐乘、右乘） ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012（初等矩阵的性质）.15．举反列说明下列命题是错误的:（１）若02=A ,则0=A ;（２）若A A =2,则0=A 或E A =; （３）若AY AX =,且0≠A ,则Y X =.解 (1) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A 02=A ,但0≠A (2) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A A A =2,但0≠A 且E A ≠ (3) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011Y AY AX =且0≠A 但Y X ≠16．设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：(1) 若0=A ,则0=*A ;(2) 1-*=n AA .证明(1) 用反证法证明．假设0≠*A 则有E A A =-**1)(由此得O A E A A AA A ===-*-**11)()(O A =∴*这与0≠*A 矛盾，故当0=A 时 有0=*A(2) 若0≠A ，由于*-=A AA 11, 则E A AA =* 取行列式得到: nA A A =*则1-*=n A A若0=A 由(1)知0=*A 此时命题也成立 故有1-*=n AA第二章自测题1. 填空题(1)设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=*8030010000100001A ,求=||A . 提示：根据8==||,||**A E A AA ，得3||||*A A =知道2=||A .(2) 设n 阶矩阵满足31=||A ,则=-⎪⎭⎫⎝⎛*-||A A 15411.提示：根据逆矩阵和伴随矩阵的性质有n n A A A A A A A )(||)(||||||||131154154111111-=-=-=-=-⎪⎭⎫⎝⎛----*-. (3)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300041003A ,则()=--12E A .提示：因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1000210012E A ，所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--1000212100121)(E A . (4) 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211A ,E A A B 232+-=, 则=-1B .提示：先求出矩阵B ，从而知道⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-112101B . （5）设A 为43⨯矩阵，且2()R A =，102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则()R AB = .提示：由于矩阵B 可逆，从而知道2()().R AB R A ==（6）设121000000000000n n na a A a a -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，其中012(,,,),i a i n ≠= 则1A -= .提示：由于矩阵A 比较特殊，可以看出11111211000000000000n n n a a A a a ------⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭.也可以利用分块矩阵处理.事实上，设O A D B O ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中矩阵A 及矩阵B 都可逆，所以D 可逆. 令1O A B O -⎛⎫⎪⎝⎭⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321C C C C ， 则O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321C C C C ==E 12E O O E ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 由此得到13131441111222()()AC E C A AC O C O A BC O C O B BC E C B ----⎧=⇒=⎪=⇒=⎪⎨=⇒=⎪⎪=⇒=⎩存在存在 故 111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2.单项选择题(1) n A 是可逆矩阵,则正确的选项是（ ）.(A) ||||A A =*； (B) 1-*=n A A ||||； (C) ||||1-*=A A ； (D) ||||n A A =*.提示：根据,||*E A AA =有1-=n A A ||||*，答案为B.(2) 设n A ,n B ,n C 满足E ABC =,则下式正确的是（ ）. (A) E ACB =； (B) E CBA =； (C) E BAC =； (D) E BCA =.提示：根据E ABC =，知道A 和BC 互为逆矩阵，从而D 对.(3) n A 是可逆矩阵, 则下式正确的是（ ）. (A) 2*()||n A A A *-=； (B) 1*()||n A A A *+=； (C) 1*()||n A A A *-= ； (D) 2*()||n A A A *+=.提示：因为0||AA A E *=≠，所以，***()||A A A E *=，从而1***()||()A A A *-=.注意到11*()||A A A -=和1||||n A A *-=，故2*()||n A A A *-=，答案为A.(4) A 和B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( ). (A) 若A 与B 均可逆,则B A +可逆； (B) 若A 与B 均可逆,则AB 可逆； (C) 若B A +可逆,则B A -可逆； (D) 若B A +可逆,则A 与B 均可逆. 提示：答案为B.(5) 设n 维行向量α=(210021,,,, ),矩阵ααT E A -=,ααT E B 2+=,则AB 等于( ). (A) 0； (B) E -； (C) E ； (D) ααT E +.提示：因为ααααααααααααααT T T T T T T E E AB 222-+=-+-=，而21=T αα，答案为C.（6）设分块矩阵1111A X αβ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2212A X αβα-⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中12,A A 为n 阶可逆矩阵，12,αα为1n ⨯矩阵，12,ββ为1n ⨯矩阵，α为实数，则α=（ ）.(A) 1； (B) 1111A βα-； (C) 111111A βα--； (D) 111111A βα-+. 提示：因为121121,.A O αααβαα+=+= 从而111111A αβα-=-，答案为C.（7）设A 和B 均为n 阶可逆阵，则必有（ ）.(A) A B +可逆； (B) ||||A B =；(C) A 经行的初等变换可以变为B ； (D) 存在可逆矩阵P ，使得1P AP B -=. 提示：因为A 和B 均为n 阶可逆阵，A 经行的初等变换可以变为E ， B 经行的初等变换也可以变为E ，答案为C.（8）设A 为n 阶实矩阵，T A 为A 的转置矩阵，则方程组（I ）0Ax =和方程组（II ）0T A Ax =必有（ ）. (A)（II ）和（I ）的解是相同的；(B)（II ）的解是（I ）的解，但（I ）的解不是（II ）的解； (C)（I ）的解是（II ）的解，但（II ）的解不是（I ）的解； (D) （I ）的解不是（II ）的解，（II ）的解也不是（I ）的解.提示：根据矩阵乘法的结合律，显然（I ）的解是（II ）的解；又因为0T A Ax =，则0T T x A Ax =， 即0()()T T x A Ax =，也就是0()()T Ax Ax =.注意到A 为n 阶实矩阵，且Ax 为1n ⨯阵，根据0()()T Ax Ax =， 立知0Ax =（Why ？），这样（II ）的解也是（I ）的解，答案为A.（9）设A 为3阶矩阵，1()R A =，则有（ ）. (A) 3*()R A =； (B) 2*()R A =；(C) 1*()R A = ； (D) 0*()R A =.提示：因为1()R A =，所以，A 的所有2级子式都为零，这样*A O =，答案为D.事实上，设A 为n 阶矩阵，则1102*,();(),();,().n R A n R A R A n R A n =⎧⎪==-⎨⎪≤-⎩若若若(10) n A 是可逆矩阵, 则下式正确的是（ ）.(A) 1122--=A A )(； (B)0≠*AA ；(C)111--=A A A ||)(* ；(D) T T T A A ])[(])[(111---=. 提示：因为0||AA A E *=≠，答案为B.3. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3500120000210052A ,求1-A . 解：令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21521A ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=35122A ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A . 由于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-215211A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-251312A ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---12111A O O A A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=2500130000210052.4．设方阵A 满足O E A A =--232,证明A 可逆,并求1-A . 证明： 由O E A A =--232得E E A A 23=-)(，所以A 可逆,且)(E A A 3211-=-.5. 设α,β,1γ,2γ均为3维行向量,矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2132γγαA ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21γγβB .知18=||A ,2=||B ,求||B A -.解：根据行列式的性质，得||B A -212γγβα-=2231222121=-=-=||||B A γγβγγα.6．设Λ=-AP P 1,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2001Λ,求11A . 解： Λ=-AP P 1，故1-=P P A Λ，所以11111-=P P A Λ.3=P ， 1411P *⎛⎫= ⎪--⎝⎭， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P . 而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11111120012001Λ.故⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731.7.设ΛP AP =,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111201111P ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=511Λ，求ϕ(A )=8A (265A A E +-).解：因为6-=||p ，所以1-=p p A Λ.注意到⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-121303222611P ， ϕ(A )=8Λp (265ΛΛ+-E )1-p⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=444444444121303222610000000012111201111.8．（1）设矩阵A 及矩阵B 都可逆,求1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛B C O A ．解： 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B C O A D ，则0≠⋅=||||||B A D ，所以D 可逆. 令1-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321C C C C ， 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ==E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s nE O O E由此得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒=+-=⇒=+=⇒==⇒=------1242111131122111B C E BC CC B CA B C O BC CC A O C O AC A C E AC s n )()(存在存在故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A ． 注：特别地0=C 的情况.（2）设矩阵A 及矩阵B 都可逆,求1O A B O -⎛⎫⎪⎝⎭．事实上，设O A D B O ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中矩阵A 及矩阵B 都可逆，所以D 可逆. 令1O A B O -⎛⎫⎪⎝⎭⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321C CC C ， 则O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321C C C C ==E 12E O O E ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 由此得到13131441111222()()AC E C A AC O C O A BC O C O B BC E C B ----⎧=⇒=⎪=⇒=⎪⎨=⇒=⎪⎪=⇒=⎩存在存在 故 111O A O B B O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．9.解下列矩阵方程.(1) 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100110111A , 且满足矩阵方程02=-+E AX A ,求X .解：因为1-=||A ，所以A 可逆，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-1001102111A ，再根据02=-+E AX A ，得A A X -=-1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000000120.(2) 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111111111A ,且满足矩阵方程X A E X A 212+=+-,求X . 解：注意到A 可逆，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-110011101211A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--635563356141212)(E A . 再根据X A E X A 212+=+-，得)()(E A E A X --=--1122⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=132213321281. 10.求解齐次线性方程组：12341234123420363051050x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩.解：注意到1211121136130040510150040A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 120100100000-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ， 从而原方程与1243200x x x x +-=⎧⎨=⎩同解， 即12422243442211000001x x x x x x x x x x x -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.11.求矩阵的秩（1）10103121121210100111A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭. 解：注意到1010101001110111022200000000000001110000A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,所以2()R A =. (2)a b b b a b A b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中A 为n 2()n ≥阶矩阵.分析：这是含参数矩阵的求秩问题，先将矩阵A 化为等价的行阶梯形再讨论． 解：显然矩阵A 的秩与b a ,有关，利用A 的初等变换对b a ,取值情况进行讨论：由于 000000~000000a b b b b b a a b b a a b b a a b b a a b ⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+b a b a b a b a b b b b b n a 0000000000000000)1(~ ， 若0a b ==，则0()R A =；若0a b =≠，则1()R A =；若10()a n b +-=，且a b ≠，则1()R A n =-； 若10()a n b +-≠，且a b ≠，则()R A n =.。

习 题 2-11．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序．解： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010100100110000001011111000111010654321654321，选手按胜多负少排序为：6,5,4,3,2,1． 2．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=2521,03231z x y x B A ，已知B A =，求z y x ,,． 解：由于B A =得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=-0253223z x y x ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧===211z y x 。

习 题 2-21．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0112A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4021B ，求 （1）B A 52-； （2）BA AB -； （3）22B A -．解：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-202892001050224402150112252B A ；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2592041021820112402140210112BA AB ；（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-152441606112254021402101120112B A 22．2．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=230412301321A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=052110351234B ，求B A 23-． 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0521103512342230412301321323B -A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=61941016151055011010422061024686901236903963 3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101012121234,432112122121B A ，求（1）B A -3； （2）B A 32+； （3）若X 满足B X A =-，求X ；（4）若Y 满足()()O Y B Y A =-+-22，求Y ．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-10101212123443211212212133B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=13973282851311010121212341296336366363；（2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+1010121212343432112122121232B A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=561252527813143030363636912864224244242；（3）由B X A =-得，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=533104041113101012121234432112122121B A X ；（4）由()()O Y B Y A =-+-22得，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=223232340342231031033112020335532)(32B A Y 。

第二章 矩 阵一、选择题 1．设矩阵4203a b a b d c +-æöæö=ç÷ç÷èøèø，则（ C ）（A）3,1,1,3a b c d ==-== （B）1,3,1,3a b c d =-=== （C）3,1,0,3a b c d ==-== （D）1,3,0,3a b c d =-=== 2．设矩阵()1,2A =，1234B æö=ç÷èø，123456C æö=ç÷èø，则下列矩阵运算中有意义的是（B）（A）ACB （B）ABC （C）BAC （D）CBA 3．设A 、B 均为n 阶矩阵，下列命题正确的是 C （A）0B 0A 0AB ==Þ=或 （B）0B 0A 0AB ¹¹Û¹且 （C）00==Þ=B A 0AB 或 （D）00¹¹Û¹B A 0AB 且 4．设A 、B 均为n 阶矩阵，满足22A B =，则必有（ D ） （A）A B = （B）A B =- （C）A B = （D）22A B=5．设A 为n 阶矩阵,且有A A 2=,则结论正确的是________D________ (A) 0A = （B）E A =(C) 若A 不可逆,则0A = (D) 若A 可逆,则E A 2= 6．设B A ,都是n 阶对称矩阵，下列结论不正确的结论是（ A ） （A）AB 为对称矩阵 （B）设B A ,可逆，则11--+B A 为对称矩阵（C）B A +为对称矩阵 （D）kA 为对称矩阵7．设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ） （A）T A A + （B）T A A - （C）T AA（D）T A A8．设A 为3阶方阵，且2A =，则12A -=（ D ） （A）-4 （B）-1 （C）1 （D）49．设A 为n 阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，则=*A k C （A） A n k （B） nk A（C）1-n nkA（D）nn kA1-10．设B A ,都是n 阶可逆矩阵，则÷÷øöççèæ--1002B A T等于（ A ） （A）12)2(--B A n（B）1)2(--B A n （C）B A T2- （D）12--B A11．设n 阶方阵C B A ,,满足关系式E ABC =，其中E 为n 阶单位阵，则必有（ D ）。

第二章复习题班级 姓名 学号 一 选择题 1.设行列式a a a a 11122122=m ，a a a a 13112321=n ，则行列式a a a a a a 111213212223++等于（ D ）（A ）m+n （B ）-(m+n) （C ） n -m（D ） m -n 2.设矩阵A=100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，则A -1等于（ B ）（A ） 13000120001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪（B ） 10001200013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ （C ）130********⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪（D ） 12000130001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3.设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ C ） （A ）所有r -1阶子式都不为0（B ）所有r -1阶子式全为0 （C ）至少有一个r 阶子式不等于0（D ）所有r 阶子式都不为04.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ A ） （A ）秩(A)<n （B ）秩(A)=n -1（C ）A=0（D ）方程组Ax=0只有零解5、设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式I ABC =，则有（ D ） （A ）I ACB =；（B ）I CBA =；（C ）I BAC =；（D ）I BCA = 6. 设A 为3阶方阵，|A| = 3，则其行列式 | 3A|是（ D ） （A ）3 （B ）32 （C ）33 （D ）347．已知四阶行列式A 的值为2，将A 的第三行元素乘以―1加到第四行的对应元素上去，则现行列式的值（ A ）（A ） 2 ； （B ） 0 ； （C ） ―1 ； （D ） ―28．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx有非零解，则k =（ A ）（A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-29．如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ，则=1D [ C ]（A ）8 （B ）12- （C ）24- （D ）2410．如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，2323331322223212212131111352352352a a a a a a a a a a a a D ---=，则=1D[ B ]（A ）18 （B ）18- （C ）9- （D ）27- 11．如果122211211=a a a a ，则方程组⎩⎨⎧=+-=+-022221211212111b x a x a b x a x a 的解是 [ B ] （A ）2221211a b a b x =，2211112b a b a x =（B ）2221211a b a b x -=，2211112b a b a x =（C ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x ----=（D ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x -----=二 填空题1.设A=(a ij )3×3，|A|=2，A ij 表示|A|中元素a ij 的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23)2+(a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23)2+(a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23)2= 4 .2. 11135692536=63. 设=-+----=31211142,410132213A A A D 则 04. 设矩阵A 为3阶方阵，且|A |=5，则|A*|=_25_____，|2A |=__40___5. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=543022001A ，则=-*1)(A 10001-1050102-42⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭6. 设A 是34⨯矩阵且2)(=A r ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301020201B ，则=)(AB r 27. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t A 11522111，且2)(=A r ，则=t 18. 设A 是4阶实矩阵，且*8A =，A = 29. 若=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*A A 则，654032001 1800-1260-2-53⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，1-A = 18001-126018-2-53⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭10. 行列式243012321---中元素0的代数余子式的值为___2____11. 设行列式4321630211118751=D ，设j j A M 44,分布是元素j a 4的余子式和代数余子式，则44434241A A A A +++ = 0 ，44434241M M M M +++= -66三计算题1. 设A=120340121-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，B=22341--⎛⎝⎫⎭⎪.求（1）AB T；（2）|4A|.解（1）AB T=120340121223410-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.（2）|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=1203401212 -=-.所以|4A|=64·（-2）=-1282.123423413412412312342341341241231234123411313410113101010131160.1412013131111230311--===-=---解3.111a b cb c ac a b+++()11111111111011111a b c a b c c cb c a b c a a a b c ac a b c a b b b+++++=+++=+++= ++++解。

线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第一节矩阵及其运算一．选择题1．有矩阵A3 2，B23， C 3 3，下列运算正确的是[B]（ A） AC（ B） ABC（ C） AB－ BC（ D） AC+BC2．设C (1, 0 ,0 ,1)，A E C T C ， B E 2C T C ，则AB[ B ] 22（ A）E C T C（ B）E（C）E（ D）03．设 A 为任意 n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是[ B]（ A）A A T（B）A A T（ C）AA T（ D）A T A二、填空题：1642011651．282342112412124321141387 2．设A 2 1 2 1， B 2 1 2 1，则 2A 3B2525 123401012165 4317353．1232657014913121400126784．13413120561402三、计算题：111设 A111，4111123B124，求 3AB2A 及 A T B0511111231113AB 2 A 3 111124 2 1111110511110582223 0562222902222132221720 ;4292111123058由 A对称，A T A，则 A TB AB11112405 6 .111051290线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第二节逆矩阵一．选择题1．设A是 n 阶矩阵A的伴随矩阵，则[B]（ A）AA A 1（ B）An 1（ C）( A)n A（ D）( A )0 A2．设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则[C]（ A） A+B 是 n 阶可逆矩阵（ B）A+B 是 n 阶不可逆矩阵（ C）AB 是 n 阶可逆矩阵（ D）| A+B| = | A|+| B|3．设 A 是 n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是（ A）A A（B）A A（C）A n A（D）A [ C] n A4．设 A， B， C 是 n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有[ B]（ A） CBA = E（B）BCA = E（C）BAC = E（D）ACB = E5．设 n 阶矩阵 A，B， C，满足 ABAC = E，则[ A]（ A ） A T B T A T C T E （B ） A 2 B 2 A 2 C 2E（C ） BA 2CE （ D ） CA 2 B E二、填空题：1121A ，其中 B21．已知 ABB，则 A2 11122．设2 54 6，则 X =2 13 1 X21 0433．设 A ， B 均是 n 阶矩阵， A2 ， B3 ，则 2 A B14n64．设矩阵 A 满足 A 2A4E0 ，则 ( A E) 11 ( A 2E)2三、计算与证明题：1． 设方阵 A 满足 A 2A 2E 0 ，证明 A 及 A2E 都可逆，并求 A 1和 ( A 2E ) 1A 2A 2 E 0A( A E ) 2 E A(A2 E ) EA 可逆，且 A 1AE ;2A 2 A 2E 0A( A 2E) 3A 2E 0A( A 2E) 3( A 2E) 4E 0( A 3E )( A 2E) 4E ( A3E)( A 2E)E4A可逆，且 (A 2E)1A 3E41 2 12． 设 A3 4 2 ，求 A 的逆矩阵 A 1541解：设 A(a ij )3 ，则A 114 2 4,A 12( 1)1232 13, A 13( 1)133432,4 15154A21( 1)1221 2, A 22 ( 1)2211 6, A 23 ( 1)2312 14,41 5154A 31( 1) 13210, A 32 ( 1) 3211 1, A 33( 1) 3312 2,4232344 2 0 从而 A *1361 .32 142又由1 212c 11 00 2 1A3 4c 23 212254 1 c 3c1514 614 6A * 21 0则 A 113 31A27216 10 3 33． 设 A1 1 0 且满足 ABA2B ，求 B12 3AB A2B( A 2E) B A2 3 3 0 3 3 11 0 B 1 1 012 11 232 3 3 0 3 311 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 r 1r 22 3 3 03 3 12 11 2 31 2 1 1 2 31 1 0 1 1 0 1 1 01 1 0 r 22r 10 1 3 2 5 3 r 3 r 2 0 13 25 3 r 3 r 11 13 32 2 211 0 11 0110 1 10 r 3 ( 1) 0 1 3 2 5 3 r 23r 3 0 1 01 2 32 0 0 1 1 1 00 011 11 0 0 0 3 3 r 1 r2 0 1 01 2 30 0 111 00 3 3 则 B ( A 2E) 1 A1 2 31 1线性代数练习题第二章矩 阵系专业 班姓名学号第三节（一）矩阵的初等变换一、把下列矩阵化为行最简形矩阵：1 1 3 4 3 r2 3r 1 1 134 3r 2 4 1 1 3 4 3 3 3 5 4 1 0 0 4 8 8 0 0 1 2 222 3 2 0 r 3 2r 1 00 366 r 33 0 0 1 2 233 4 2 1r43r 1 0 0 5 10 10r45 012 211 34 3 11 023 r 3 r 2 0 0 1 2 2 00 1 2 2 r 4r 2 00 0 0 0 r 1 3r20 0 0 0二、把下列矩阵化为标准形：2 3 1 3 7 1 2 0 2 4 r 2 2r 1 1 2 0 2 4 1 2 0 2 4 23 1 3 7 0 1 1 1 132 83 0 r 1 r232 83 0 r 33r18 8 9 12 13 74 313 74 3 r 4 r 1 05 767122 4 122 4 r3 8r 2 0 1 1 1 1 01 1 1 1 r 45r 2 00 0 1 4 r 3 r40 2 1 20 212 00 0 14r 3 r 4 1 20 0 4120 040 1 1 0 31r 3 01 0 0 2r 2 r 4 r 20 0 2 0 20 0 2 0 2 r 1 2r 420 00 140 141 0 0 0 0 r 21 0 0 0 0 1 0 0 0 0 01 0 0 20 1 0 0 2 0 1 0 0 0r 12r20 2 0 2 1r 3 0 0 1 0 1c52c 2c34c40 1 0 00 00 14 20 0 0 140 0 0 1 0三、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵3 2 0 1 0 2 2 1A2 3 211 213 2 0 1 1 0 0 0 1 2 3 2 0 0 1 0 0 2 2 1 0 1 0 0 0 2 2 1 0 1 0 01 2 3 2 0 0 1 r 1 r 32 0 1 1 0 0 0 03 012 1 0 0 0 1 012 1 0 0 0 11 2 3 2 0 0 1 0 1 2 3 2 0 0 1 0 02 2 1 0 1 0 0 01 2 1 0 0 0 1 r 33r14 95 1 0 3 0 r 2 r44 95 1 0 3 0 01210 00 12210 10 01 2 3 2 0 0 1 0 1 2 3 2 0 0 1 0 r 3 4r 2 0 12 1 0 0 0 1 012 1 0 0 0 1 r 42r 2 0 01 1 1 0 3 4 r 42r30 01 1 1 0 3 40 0210 10 2 0 00 12 1 6 10123 0 42 11 20120 0 1 1 2 2 r 12r4012 0 2 16 11 r 1 3r 3 0 1 00 01 0 1 r2 r 4 0 0 1 0 1 1 36 r 2 2r 3 0 0 1 0 1 1 36 r 3 r 40 00 1 2 1 6100 12 16101 0 0 0 1 1 24 r 1 2r 2 0 10 0 0 1 0 1 0 01 0 1 1 360 00 12 1 6101 12 4 A10 1 0 1 1 1 3 62 1 6 101 1 1 1 0 1 四、已知0 2 2 X 1 1 0 ，求 X110 1 41 1 1 1 0 11 1 1 10 11 1 1 1 0 1 0 22 1 1 0 r3 r 1 0 2 2 11 0 r 3r 2 0 2 2 1 1 0uuuuuruuuuur11 01 40 2 1 1 1 30 03 0 231 1 0 12 21 111 0 13r 22r3 0 20 1r 310 2 2 1 1 0 123r r30 012 1 uuuuuuur20 1 0 1331 1 01221 01 5 33 26r 210 1 0111 r 1 r2 0 1 0 111226uuuuur26uuuuur220 0 1 010 0 1 013 31 5 32 6故 X1 1 12 62 13线性代数练习题第二章矩 阵系专业班姓名学号第三节（二）矩 阵 的 秩一．选择题1．设 A ， B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB = 0，则 A 和 B 的秩[ D]（ A ）必有一个等于零 （ B ）都等于 n（C ）一个小于 n ，一个等于 n（ D ）都不等于 n2．设 mn 矩阵 A 的秩为 s ，则[ C]（ A ） A 的所有 s（ B ）A 的所有 s阶子式不为零－ 1 阶子式不为零（ C ）A 的所有 s +1 阶子式为零（D ）对 A 施行初等行变换变成E s0 0112133．欲使矩阵2s126的秩为2，则s，t满足[ C ] 455t12（ A）s = 3 或t = 4（B）s= 2 或t = 4（ C）s = 3 且t = 4（D）s = 2 且t = 44．设A是m n 矩阵，B是 n m 矩阵，则（ A）当m n 时，必有行列式| AB |0（ B）当（ C）当n m 时，必有行列式| AB |0（ D）当[ B ] m n 时，必有行列式| AB |0n m 时，必有行列式| AB |0a11a12a13a21a22a230105．设Aa21a22a23， Ba11a12a13， P1100，a31a32a33a31a11a32a12a33a13001100P2010，则必有 B[ C ] 101（ A）AP1P2（B）AP2P1（ C）P1P2A（ D）P2P1A二．填空题：31021．设A1 1 2 1 ，则 R( A)213441212．已知A 23a2应满足a=-1 或 3 1a的秩为 2，则 a22a21三、计算题：218371．设A230753258，求 R( A) 。