实数的化简与计算(综合测试)(人教版)(含答案)

人教版七年级数学下册第六章实数。

单元测试题精选(Word版附答案)人教版七年级数学第6章《实数》单元测试题精选完成时间：120分钟满分：150分得分评卷人：______________ 姓名：______________ 成绩：______________一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的，请将该选项的标号填入表格内）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B A D A A C D C B B二、填空题（每题5分，共20分）11.m = 3.n = 1.(m+n)^5 = 243.12.(1) 0.000 521 7 (2) 0.002 284.13.3.14.x = 8.三、解答题（共90分）15.1) x = ±5/3;2) x = 3/5.16.1.17.a = 9.b = -8.3a+b的算术平方根为 5.18.已知 $m=\lfloor 313\rfloor$。

$n=0.13$，求 $m-n$ 的值。

19.如图，计划围一个面积为 $50\text{ m}^2$ 的长方形场地，一边靠旧墙（墙长为 $10$ m），另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为 $5:2$。

讨论方案时，XXX说：“我们不可能围成满足要求的长方形场地。

”小军说：“面积和长宽比例是确定的，肯定可以围得出来。

”请你判断谁的说法正确，为什么？解：设长为 $5x$，宽为 $2x$，则面积为 $10x^2$，另一条边长为 $10-5x$，由题意得 $10x^2=(10-5x)\times2x$，解得$x=1$，长为 $5$，宽为 $2$，可以围成满足要求的长方形场地，小军的说法正确。

20.若 $x+3+(y-3)^2=3$，则 $(xy)^{\frac{2015}{3}}$ 等于多少？解：移项得 $(y-3)^2=3-x-3=-x$，所以 $xy=\frac{3-x}{y-3}$，将其代入 $(xy)^{\frac{2015}{3}}$ 得 $\left(\frac{3-x}{y-3}\right)^{\frac{2015}{3}}$，根据乘方的运算法则，得$\left(\frac{3-x}{y-3}\right)^{671}$。

专题6.5 实数（满分100）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一 二 三 总分得分评卷人得 分 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2021秋•宛城区期中）下列各数中，化简结果为﹣2021的是（ ）A ．﹣（﹣2021）B ．√(2021)2C ．|﹣2021|D ．√−2021332．（2021秋•东城区校级期中）实数a 、b 、c 、d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A ．ac ＞0B ．|b |＜|c |C ．b +d ＞0D ．a ＞﹣d 3．（2021秋•茂名期中）下列说法：①127的立方根是±13；①−√17是17的平方根；①﹣27没有立方根；①比√2大且比√3小的实数有无数个．错误的有（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①4．（2021秋•内江期末）若m ＜√5−1＜n ，且m ，n 是两个连续整数，则m +n 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5．（2021秋•滦南县期中）若√1−2x 3和√3x −53互为相反数，则（1−√x ）2018的值为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．20186．（2021秋•东港市期中）若a 2＝b 2，则下列等式成立的有（ ）①|a |＝|b |；①√a 3=√b 3；①a ＝b ；①√a =√b ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 7．（2021秋•会宁县期中）下列说法正确的个数（ ）①无限小数都是无理数；①带根号的数都是无理数；①无理数与无理数的和一定是无理数；①无理数与有理数的和一定是无理数；①√22是分数；①无理数与有理数的积一定是无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．（2021秋•晋州市期末）已知A ，B ，C 是数轴上三点，点B 是线段AC 的中点，点A ，B 对应的实数分别为﹣1和√2，则点C 对应的实数是（ ）A ．√2+1B ．√2+2C ．2√2−1D ．2√2+19．（2020秋•仁寿县期末）已知2m ﹣1和5﹣m 是a 的平方根，a 是（ ）A ．9B ．81C ．9或81D ．210．（2021秋•平阳县期中）已知a ，b ，c 三个数，a 为8−√8，b 为7−√7，c 为6−√6，则这三个数的大小关系是（ ）A ．c ＜b ＜aB ．b ＜c ＜aC ．a ＝b ＝cD ．b ＜a ＜c评卷人得 分 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（2021秋•揭阳月考）在实数√8116、−√33、−337、√93、|−12|、2.1010010001…（两个1之间依次多一个0）中，无理数共有 个．12．（2021秋•西湖区期末）如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”，“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，则这个大正方形的边长是 ．13．（2021秋•海陵区期末）对于实数s 、t ，我们用符号max {s ，t }表示s 、t 两数中较大的数，如max {3，1}＝3．若max {x 2﹣10，3x 2}＝6，则x ＝ ．14．实数a 、b 、x 、y 满足y +|√x −√3|＝1﹣a 2，|x ﹣3|＝y ﹣1﹣b 2，那么2x +y +2a +b 的值是 ．15．（2021•肇源县二模）对于三个互不相等的数a ，b ，c ，我们规定用M {a ，b ，c }表示这三个数的平均数，用med {a ，b ，c }表示这三个数中从小到大排中间的数．例如：M {﹣1，2，3}=43，med {2，3，﹣1}＝2，则med {−5，√3，0}= ，如果M {3，2x +1，4x ﹣1}＝med {4，﹣x +3，6x }，那么x ＝ ．评卷人得 分三．解答题（本大题共9小题，满分55分）16．（4分）（2021秋•南岗区校级期末）计算：（1）|√2−√3|+√2； （2）√−273+√0.16−75．17．（4分）（2021秋•鼓楼区校级期末）求下列各式中的x ：（1）（x +2）2＝64； （2）8x 3+125＝0．18．（4分）（2021春•雨花区期中）实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，其中c 为8的立方根，求代数式√a 2+|b ﹣a |+√(b −c)2−|2b |的值．19．（6分）（2021春•鼓楼区校级期中）已知|7﹣3m |+（5﹣n ）2＝3m ﹣7−√m −4，求（√m −√n ）2．20．（6分）（2021秋•三元区期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数；任意一个不为0的有理数与一个无理数的积为无理数；而0与无理数的积为0．由此可得：如果ax +b ＝0，其中a ，b 为有理数，x 为无理数，那么a ＝0且b ＝0．（1）如果（m +1）√3+（n ﹣2）＝0，其中m ，n 为有理数，那么m ＝ ，n ＝ ；（2）如果（3+√5）m ﹣2√5n ＝18，其中m ，n 为有理数，求m +3n 的值．21．（6分）（2021秋•承德县期末）阅读下面的文字，解答问题．现规定：分别用[x]和①x①表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是[3.14]＝3，小数部分是①3.14①＝0.14；实数√7的整数部分是[√7]=2，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即√7−2就是√7的小数部分，所以①√7①=√7−2．（1）[√2]=，①√2①＝；[√11]=，①√11①＝．（2）如果①√5①＝a，[√101]=b，求a+b−√5的立方根．22．（8分）（2021秋•温州期中）观察下列一组算式的特征，并探索规律：①√13=1=1；①√13+23=1+2=3；①√13+23+33=1+2+3=6；①√13+23+33+43=1+2+3+4=10．根据以上算式的规律，解答下列问题：（1）13+23+33+43+53＝（）2＝；（2）√13+23+33+⋯+(n−1)3+n3=；（用含n的代数式表示）（3）简便计算：113+123+133+…+193+203．23．（8分）（2020秋•皇姑区期末）阅读理解：一般地，在数轴上点A，B表示的实数分别为a，b（a＜b），则A，B两点的距离AB＝x B﹣x A＝b﹣a．如图，在数轴上点A，B表示的实数分别为﹣3，4，则记x A＝﹣3，x B＝4，因为﹣3＜4，显然A，B两点的距离AB＝x B﹣x A＝4﹣（﹣3）＝7．若点C为线段AB的中点，则AC＝CB，所以x C﹣x A＝x B﹣x C，即x C=x A+x B．2解决问题：（1）直接写出线段AB的中点C表示的实数x C＝；（2）在点B右侧的数轴上有点P，且AP+BP＝9，求点P表示的实数x P；（3）在（2）的条件下，点M是AP的中点，点N是BP的中点，若A，B两点同时沿数轴向正方向运动，A点的速度是B点速度的2倍，AP的中点M和BP的中点N也随之运动，3秒后，MN＝2，则点B的速度为每秒个单位长度．24．（9分）（2021春•兴宁区校级期中）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是3个单位长度，长方形ABCD的长AD是6个单位长度，长方形EFGH的长EH是10个单位长度，点E在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为14．（1）填空：点H在数轴上表示的数是，点A在数轴上表示的数是．EH，M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N （2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N，EN=14以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为x秒，原点为O．当OM＝2ON时，求x的值．（3）若长方形ABCD以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，设长方形ABCD运动的时间为t（t＞0）秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S＝12时，求此时t的值．。

第六章实数达标检测一、单选题:1．在实数，，，，，3.212212221…中，无理数的个数是（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数，如2π．【详解】−1.414是有限小数，是有理数，是无理数，π是无理数，无限循环小数是有理数，是无理数，3.212212221…是无限不循环小数是无理数，故选：D．【点睛】本题主要考查的是无理数的认识，掌握无理数的常见类型是解题的关键．2．下列各式中，正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据立方根，算术平方根逐项判断即可．【详解】解：A. ，故该选项正确；B. ，故该选项错误；C. ，故该选项错误；D. ，故该选项错误．故选：A．【点睛】本题考查立方根，算术平方根，解题关键是理解立方根与算术平方根的意义．3．下列说法正确的是（）A．平方根是B．的平方根是C．平方根等于它本身的数是1和0D．一定是正数【答案】D【分析】A、根据平方根的概念即可得到答案；B、的平方根其实是9的平方根；C、平方根等于它本身的数与算术平方根是它本身的数要分清楚；D、先判断出，再利用算术平方根的性质直接得到答案．【详解】A、是负数，负数没有平方根，不符合题意；B、，9的平方根是，不符合题意；C、平方根等于它本身的数是0，1的平方根是，不符合题意；D、，正数的算术平方根大于0，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了平方根及算术平方根的定义及性质，熟练掌握相关知识是解题关键．4．下列关于的说法中，错误的是（）A．是无理数B．C．5的平方根是D．【答案】C【分析】根据无理数的定义，算术平方根的估算，平方根和化简绝对值依次判断即可．【详解】解：A、是无理数，说法正确，不符合题意；B、2＜＜3，说法正确，不符合题意；C、5的平方根是±，故原题说法错误，符合题意；D、，说法正确, 不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根的估算，无理数的定义．注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．5．计算：－＋－的结果是( )A．1B．－1C．5D．－3【答案】D【分析】首先求出各个根式的值，进而即可求解．【详解】－＋－，=-3+2-2，=-3.故选D.【点睛】此题主要考查了实数的运算，解题关键是能够求解一些简单的二次根式的加减问题．6．如图，在数轴上表示实数的点可能（）．A．点P B．点Q C．点M D．点N【答案】C【分析】确定是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解决问题．【详解】解：∵9＜15＜16，∴3＜＜4，∴对应的点是M．故选：C．【点睛】本题考查实数与数轴上的点的对应关系，解题关键是应先看这个无理数在哪两个有理数之间，进而求解．7．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为4时，输出的y是()A．4B．2C．D．－【答案】C【分析】直接利用规定的运算顺序计算得出答案．【详解】解：4的算术平方根为：=2，则2的算术平方根为：，是无理数.故选C．【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数定义，正确把握运算顺序是解题关键．8．若与互为相反数，则的值为（）．A．B．C．D．【答案】A【分析】根据相反数与立方根的性质计算即可得答案．【详解】解：∵与是相反数，∴==∴3x－1=2y－１，整理得：3x=2y，即，故选A．【点睛】本题主要考查立方根的性质，正数的立方根是正数，负数的立方根还是负数，一个数只有一个立方根，熟练掌握立方根的性质是解题关键．9．如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是（ ）A．﹣2π﹣1B．﹣1+πC．﹣1+2πD．﹣π【答案】D【分析】先求出圆的周长π，即得到OA的长，然后根据数轴上的点与实数一一对应的关系即可得到点A表示的数．【详解】∵直径为单位1的圆的周长＝π×1＝π，∴OA＝π，∴点A表示的数为﹣π，故选D．【点睛】本题考查了实数与数轴，解题的关键是熟知数轴上的点与实数一一对应．10．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是( )A．2B．C．5D．【答案】B【分析】根据三角形数列的特点，归纳出每一行第一个数的通用公式，即可求出第9行从左至右第5个数.【详解】根据三角形数列的特点，归纳出每n行第一个数的通用公式是，所以，第9行从左至右第5个数是=.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据每一行第一个数的取值规律，利用累加法求出第9行第五个数的数值是解决本题的关键，考查学生的推理能力．二、填空题:11．的算术平方根是_________；的平方根是____________．【答案】 2【分析】根据算术平方根和平方根的定义求解即可．【详解】解∵，∴的算术平方根是2，的平方根是±3．故答案为：2，±3．【点睛】本题主要考查了算术平方根，平方根的定义，解题的关键在于能够熟练掌握平方根和算术平方根的定义．12．_____；______；______；______．【答案】 2 3.5【分析】根据平方根的定义、算术平方根的定义以及立方根的定义，即如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根；一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么x叫做a的立方根，记作：．计算即可．【详解】原式=2；原式；原式；原式；故答案为：2，，，．【点睛】本题主要考查了平方根，算术平方根以及立方根，熟记相关定义是解答本题的关键．13．若将三个数，，表示在数轴上，其中一个数被墨迹覆盖（如图所示），则这个被覆盖的数是______．【分析】根据被覆盖的数的范围求出被开方数的范围，然后即可得解．【详解】设被覆盖的数是，根据图形可得，∴，∴三个数，，中符合范围的是．故答案为：．【点睛】本题考查了实数与数轴的关系，根据数轴确定出被覆盖的数的取值范围是解题的关键．14．若一个正数的平方根是2a+1和﹣a+2，则a＝_____，这个正数是_____．【答案】 -3 25【分析】根据已知得出方程2a+1﹣a+2＝0，求出即可．【详解】解：∵一个正数的平方根是2a+1和﹣a+2，∴2a+1﹣a+2＝0，解得：a＝﹣3，即这个正数是[2×（﹣3）+1]2＝25，故答案为：﹣3；25．【点睛】本题考查了对平方根的应用，注意：正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．15．计算：＝___．【答案】3【分析】原式利用绝对值的代数意义，以及二次根式性质化简即可得到结果．【详解】解：∵＞0，＜0，﹣2＜0，∴原式＝﹣（）+|﹣2|＝﹣2+3-+2＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查了绝对值的化简，二次根式的性质，准确掌握性质是解题的关键．16．比较大小：____；____；____；____．【答案】 <， <， >， >【分析】根据实数的比较大小，将根指数不同的根式化为与之相等的同根式比较，利用放缩法比较，利用中间过渡法比较，利用有理数化为根式形式比较．【详解】解：∵，，8＜9，∴_＜_；∵，即，∴_＜___；∵，，∴，∴__＞__；∵7=，_＞__．故答案为＜；＜；＞；＞．【点睛】本题考查实数的大小比较，掌握实数的比较方法，化为同次根式，比较被开方数大小，放缩法比较大小，中间过渡法比较是解题关键．17．若与互为相反数，则________．【答案】2．【分析】根据相反数的概念列式，根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．【详解】解：由题意得：，则：a−1＝0，b＋1＝0，解得：a＝1，b＝−1，则1＋1＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．18．若2+的小数部分为a，5－的小数部分为b，则a+b的值为______．【答案】1【分析】估算确定出a与b的值，即可求出所求．【详解】解：∵4＜6＜9，∴2＜＜3，即4＜2+＜5，2＜5-＜3，则a=2+-4，b=5--2，则a+b=2+-4+5--2=1．故答案为1.【点睛】本题考查有理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键．19．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，则的平方根为___________．【答案】±4【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．【详解】∵5a＋2的立方根是3，3a＋b-1的算术平方根是4，∴5a＋2＝27，3a＋b-1＝16，∴a＝5，b＝2，∵c是的整数部分，∴c＝3，∴∴的平方根是±4．故答案为：±4．【点睛】本题主要考查的知识点是立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值，解题关键是读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．20．已知，若，则______；________；_________；若，则_______．【答案】 214000 214【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的概念依次求解即可．【详解】解：∵，且，∴，∵，∴，∵，∴，∵且，∴，故答案为：214000，±0.1463，-0.1289，214．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的概念等，属于基础题，熟练掌握其定义是解决本类题的关键．三、解答题:21．把下列各数分别填入相应的集合中：－(－230)，，0，－0.99，1.31，5，，3.14246792…，－.(1)整数集合：{…}(2)非正数集合：{…}(3)正有理数集合：{…}(4)无理数集合：{…}【答案】(1)整数集合：{－(－230)，0,5，…}；(2)非正数集合：{0，－0.99，－，…}；(3)正有理数集合：{－(－230)，，1.31,5，…}；(4)无理数集合：{，3.142 467 92…，…}【分析】根据整数、非负数、有理数、无理数的定义判断可得答案.【详解】解：根据整数、非负数、有理数、无理数的定义可得：(1)整数集合：{－(－230)，0,5，…}；(2)非正数集合：{0，－0.99，－，…}；(3)正有理数集合：{－(－230)，，1.31,5，…}；(4)无理数集合：{，3.142 467 92…，…}【点睛】本题主要考查整数、非负数、有理数、无理数的定义.22．求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）0.4；（4）0.3【分析】根据平方根和立方根的定义，即可求解．【详解】解：（1）；（2）；（3）；（4）．【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握一般地，如果一个数的平方等于，则称是的一个平方根，记作：；如果一个数的立方等于，则称是的一个立方根，记作：是解题的关键．23．比较下列各组数的大小：（1）与6；（2）与；（3）与．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）直接化简二次根式进而比较得出答案；（2）直接估算无理数的取值范围进而比较即可；（3）直接估算无理数的取值范围进而比较即可．【详解】解：（1）∵，∴；（2）∵，∴；（3）∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了实数比较大小，正确估算无理数取值范围是解题关键．24．计算:（1）（2）【答案】（1）（2）9【分析】（1）根据绝对值的意义去绝对值，然后合并即可；（2）先进行开方运算，然后进行加法运算．【详解】解：（1）原式==2-4；（2）原式=-（-2）+5+2=2+5+2=9．25．求下列各式中的x：（1）；（2）（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）【分析】（1）先移项，系数化为1，再根据平方根定义进行解答．（2）由得＝，再根据立方根定义即可解答．（3）由得：，再开平方后解一元一次方程即可．（4）由得：，再开平方后解一元一次方程即可．【详解】（1）移项得：，系数化为1：，∵，∴．（2）由得：，∵，∴，解得：．（3）由得：，∴或，解得：或．（4）由得：，，∴或，解得：．【点睛】本题考查平方根、立方根的意义，等式的性质，掌握等式的性质和平方根、立方根的求法是正确计算的前提．26．已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根．【答案】【分析】根据平方根和算术平方根的定义即可求出和的值，进而求出a和b的值，将a和b的值代入即可求解．【详解】解：∵的平方根是，的算术平方根是4，∴=9，=16，∴a=4，b=-1把a=4，b=-1代入得：3×4-4×(-1)=16，∴的平方根为：．【点睛】本题主要考查了算术平方根和平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的定义是解题的关键．注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．27．已知M是m+3的算术平方根，N是n﹣2的立方根．求（n﹣m）2008．【答案】【分析】由M是m+3的算术平方根，N是n﹣2的立方根，建立方程组：，解方程组可得答案．【详解】解：M是m+3的算术平方根，N是n﹣2的立方根．即：解得：，【点睛】本题考查的是算术平方根，立方根的含义，二元一次方程组的解法，乘方符号的确定，掌握以上知识是解题的关键．28．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1），，，……，，，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．（2）已知，，则_____；______．（3），，，……小数点的变化规律是_______________________．（4）已知，，则______．【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律计算即可得到结果；（3）归纳总结得到规律，写出即可；（4）利用得出的规律计算即可得到结果．【详解】解：（1），，，……，，，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．故答案为：两；右；一；（2）已知，，则；；故答案为：12.25；0.3873；（3），，，……小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）∵，，∴，∴，∴y=-0.01．【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．。

中考数学专题训练：实数的运算、化简求值1. （2012黑龙江）计算：3202)1(2)330cos (-+--︒-π．【答案】解：原式=211111==0444--+-。

2. （2012内蒙古）20sin 30(2)-︒+--； 【答案】解：原式=1111=1424-+--。

3. （2012青海）计算：)2152cos60++2π-⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】解：原式=2152+2+1=92-⨯。

4. （2012甘肃）计算：02112sin 30( 3.14)(2π---︒+-+ 【答案】解：原式=11214=52-⨯++。

5. （2012广西）计算：0201264sin 45(1)-++-． 【答案】解：原式64172=+⨯+=6. （2012广西）计算：|－3|＋2－1＋12(π－3)0－tan60°；【答案】解：原式＝3＋12＋12×1－3＝1。

7. （2012广西）计算：4cos45°＋(π＋3)0116-⎛⎫⎪⎝⎭。

【答案】解：原式＝4×2＋1－6 ＝－＋1＋6 ＝7。

8. （2012山东）计算：(1013tan 60+13-⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】解：原式=32--- 9. （2012山东）计算：2012022(1)(3)(2)π--+-⨯---【答案】解：原式=11321144+⨯-=- 10. （2012贵州）计算：)()2201212sin 30+13π-⎛⎫---- ⎪⎝⎭【答案】解：原式=129+12+1=102-⨯---。

11. （2012贵州）计算：)20111+2sin 602-⎛⎫---⎪⎝⎭【答案】解：原式=4+11+2- 12. （2012贵州）计算：0222214sin 60+3π⎛⎫--- ⎪⎝⎭．【答案】解：原式=4143131=4---------。

13. （2012四川）计算：()()120121312π-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭14. （2012四川）计算：161)1(130sin )2(2+-+-+--o o π. 【答案】解：原式=11111=2424+-++。

第六章第3节《实数》单元训练题 (9)一、单选题1．下列各组数中都是无理数的为（ ）A ．0.07，23，π； B ．0.7•，π；C ，π；D ．0.1010101……101，π21的值在（ ） A ．5~6之间B ．6~7之间C ．7~8之间D ．8~9之间3．下列各数中，无理数有（ ）3.14125127，0.321，π，2.32232223（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．观察下列各等式：231-+= -5-6+7+8=4-10-l1-12+13+14+15=9-17-18-19-20+21+22+23+24=16……根据以上规律可知第11行左起第11个数是（ ） A ．-130B ．-131C ．-132D ．-1335．在实数-3.14，0，π中，无理数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．下列说法中错误的有（ ） ①实数和数轴上的点是一一对应的； ②负数没有立方根；③算术平方根和立方根均等于其本身的数只有0；④49的平方根是7±7=±． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．下列说法中，正确的是（ ） A ．无理数包括正无理数、零和负无理数B ．无限小数都是无理数C ．无理数都是无限不循环小数D ．无理数加上无理数一定还是无理数8．观察下列运算：81＝8，82＝64，83＝512，84＝4 096，85＝32 768，86＝262 144，…，则81＋82＋83＋84＋…＋82 017的和的个位数字是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．89．已知122=，224=，328=，4216=，5232=，……，根据这一规律，20192的个位数字是（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．6二、填空题10______0.5． 11．如图，把正方形的四个角折起来成为阴影的小正方形，四个顶点都落在点M 处，画了如图的三个圆，与数轴的交点为A ，B ，C ，D ，E ，F ，则表示数11点分别是________（填相应的字母，注意顺序）．12．《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n ，在计算n+(n+1)+(n+2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n 为“纯数”，例如：32是“纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产生了进位．那么，小于100的自然数中，“纯数”的个数为___________个． 13．如图，在数轴上点A 和点B 之间表示整数的点共有_____个14．观察下列各数的排列规律，可知第9行的第4个数为__________．15．有若干个数，第一个数记为1a ，第二个数记为2a ，，第n 个数记为n a ．若112a =，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”．通过计算，由你发现的规律计算2021a =__________． 16．设12211112S =++，22211123S =++，32211134S =++，…，22111(1)n S n n =+++．设n S S =+，则S =_______（用含n 的代数式表示，其中n 为正整数）．17．将按下列方式排列，若规定(,)m n 表示第m 排从左向右第n 个数，则（20，9）表示的数的相反数是___18．规定运算：()a b a b *=-，其中b a 、为实数，则4)=____三、解答题19．观察下列各式及其变形过程：11a ==-2a ==3a ==（1）按照此规律，写出第五个等式5a = ；（2）按照此规律，若123···n n S a a a a =++++，试用含n 的代数式表示n S ． 20．（概念学习）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把n aa a a a÷÷÷÷个（a ≠0）记作a ⓝ，读作“a 的圈n 次方”．（初步探究）（1）直接写出计算结果：2③＝ ，1()2-④＝ ； （2）关于除方，下列说法错误的是A ．任何非零数的圈2次方都等于1；B ．对于任何正整数n ，1ⓝ＝1；C ．3④＝4③D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（3）想一想：将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式等于 ； （4）算一算： 1()3-④×1()2-③－1()3-⑧÷63．21．把下列各数写入相应的集合中：-120.1，2π0，0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）（1）正数集合{ }； （2）有理数集合{ }； （3）无理数集合{ }．2215,42π-0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1） 有理数集：______________________ 无理数集：______________________ 整数集：________________________ 分数集：________________________ 23．计算：（1）8+（14-）-5-（-0.25）（22- （3）()1314864⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭（4）2232113()(2)()32-⨯---÷-24．观察下列两个等式：1122133-=⨯+，2255133-=⨯+，给出定义如下：我们称使等式a-b=ab+1成立的一对有理数a ，b 为“和谐数对”，记为（a ，b ），如：数对（2，13），（5，23）都是“和谐数对”．（1）数对（3，1），（4，35）中是“和谐数对”的是 ； （2）若（x ，y ）是“和谐数对”，则（y ，x ） “和谐数对”（填“是”或“不是”）； （3）若（m ，5）是“和谐数对”，求m 的值； 25．把下列各数分别填入相应的集合里： ﹣2，114，•5.2-，0，2π，3.1415926，227-，+10％，2.626 626 662……，2020正数集合 {…} 负数集合 { …} 整数集合 { …} 分数集合{…} 无理数集合{…}26．把下列各数分别填入相应的集合中 0， -54，3.14， -|-2|， 2π ， 0.130********…， 0.13 （1）整数集合：{________________________…} （2）分数集合：{________________________…} （3）负有理数集合：{____________________…} （4）无理数集合：{______________________…}27．把下列各数分别填入相应的集合里：()2+-，0，0.314-， 5.0101001-（两个1间的0的个数依次多1个），()11--，227，143-，0.33333，325-． 正有理数集合：{ } 无理数集合： { } 整数集合： { } 分数集合： { }28．a ，b 为有理数，如果规定一种新的运算“⊕”，定义：21a b a ab a ⊕=-+-，请根据“⊕”的定义计算下列各题：例如：()()22522521410214115)2(01⊕-⨯-+-=--+-=++-==-．计算：（1）(3⊕4) （2）(2⊕3)⊕(-3) 29．我们知道．在计算21001333++++值时，可设21001333S =++++①则2310133333S =++++②，②-①，得101231S =-，所以101312S -= （1）试利用上述方法求220041888++++的值．（2）211111222++的值． （3）求2345111217777777-+-+-+-+的值．30．已知,x y 为有理数，现规定一种新运算*，满足*1x y xy =-，Θ(-1)x y x y =， 例如：2Θ32(3-1)224=⨯=⨯=；(-2)Θ3(-2)(3-1)(-2)2-4=⨯=⨯=， （1）求()()52*33Θ⨯--的值；（2）求()()()()Θ2Θ12*3*35⎡⎤-⎣⎦⨯--的值．【答案与解析】1．C【解析】根据无理数的定义，依次判断即可．解：A. 0.07，23是有理数，故该选项错误；B．0.7是有理数，故该选项错误；C，π都是无理数，故该选项正确；D．0.1010101……101是有理数，故该选项错误．故选：C．本题主要考查了无理数的定义．其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．B【解析】的取值即可得到答案．由题意得78<<，617∴<<，1介于6~7之间．故选B．3．D【解析】直接根据无理数的定义直接判断得出即可．，π，2.32232223共3个．故选D．本题考查了无理数的定义，正确把握无理数的定义：无限不循环小数是无理数进而得出是解题关键．4．C【解析】通过观察发现：每一行等式右边的数就是行数的平方，故第n行右边的数就是n的平方，而左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．解：第一行：211=； 第二行：224=； 第三行：239=； 第四行：2416=； ……第n 行：2n ；∴第11行：211121=．∵左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．∴第11行左起第1个数是-122，第11个数是-132． 故选：C ．此题主要考查探索数与式的规律，正确找出规律是解题关键． 5．B 【解析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，进行判断即可．=4，所给数据中无理数有：，π，共2个． 故选：B ．本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式． 6．D 【解析】利用实数和数轴的关系，算术平方根，立方根及平方根定义判断即可． ①实数和数轴上的点是一一对应的，正确； ②负数有立方根，错误；③算术平方根和立方根均等于其本身的数有0和1，错误；④49的平方根是7±7=，错误． 综上，错误的个数有3个．故选：D ．本题考查了实数和数轴，平方根，算术平方根及立方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 7．C 【解析】根据实数的概念和分类即可判断．A 、无理数包括正无理数和负无理数，则此项错误；B 、无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，则此项错误；C 、无理数都是无限不循环小数，则此项正确；D (0=，则此项错误； 故选：C ．本题考查了实数的概念和分类，熟练掌握实数的概念是解题关键． 8．D 【解析】根据规律可得底数为8的幂的个位数字依次为8，4，2，6，以4个为周期，个位数字相加为0． 2017除以4余数是1，故得到和的个位数字是8． 解：2017÷4＝504…1， 循环了504次，还有1个个位数字为8，所以81+82+83+84+…+82017的和的个位数字是504×0+8＝8． 故选：D ．本题主要考查了数字的变化类，尾数的特征，得到底数为8的幂的个位数字的循环规律是解决本题的突破点． 9．C 【解析】通过观察122=，224=，328=，4216=，，5232=…知，他们的个位数是4个数一循环，2，4，8，6，…因为2019÷4＝504…3，所以20192的个位数字与32的个位数字相同是8．解：仔细观察122=，224=，328=，4216=，，5232=…；可以发现他们的个位数是4个数一循环，2，4，8，6，… ∵2019÷4＝504…3，∴20192的个位数字与32的个位数字相同是8． 故答案是：8．本题考查了尾数特征，解题的关键是根据已知条件，找出规律：2的乘方的个位数是每4个数一循环，2，4，8，6，…． 10．> 【解析】根据无理数的估算方法，先估算，再比较大小即可．>2>，11>，12>0.5>． 故答案为：＞．本题考查了实数比较大小，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 11．C 、F 【解析】找到三个圆的圆心与半径，结合正方形的性质得到各个点表示的数， 从而得到结果． 解：由题意可得：大正方形的边长为2，中间处的圆是以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径，=可得：点B 表示E ，而左右两侧的圆分别以-1和1为半径，∴点A 表示1--D 表示1-点C 表示1F 表示1∴表示数11点分别C 和F ， 故答案为：C 、F ．本题考查了实数与数轴，解题的关键是找到各个圆的圆形与半径． 12．12 【解析】根据题意，连续的三个自然数各位数字是0，1，2，其他位的数字为0，1，2，3时不会产生进位，然后根据这个数是几位数进行分类讨论，找到所有合适的数．解：当这个数是一位自然数时，只能是0，1，2，一共3个，当这个数是两位自然数时，十位数字是1，2，3，个位数是0，1，2，一共9个，∴小于100的自然数中，“纯数”共有12个．故答案是：12．本题考查归纳总结，解题的关键是根据题意理解“纯数”的定义，总结方法找出所有小于100的“纯数”．13．4【解析】先确定之间的整数即可．21-<-<-，23<<，∴之间的整数为：－1、0、1、2，共4个．故答案为：4．本题主要考查无理数的估算能力以及数轴的意义，数形结合思想的运用是解题关键．14．【解析】根据题意可得数阵中的每个数为其序号的算术平方根，据此得出第9行的第4个数即可． 解：∵前4行共有123410+++=个数，∴前1n -行共有(1)123(1)2n n n -+++⋯+-=个数．∵11，2=3=， ∴数阵中的每个数为其序号的算术平方根，∴前8行共有981238362个数，∴第9行的第440210，故答案是：本题考查了规律型中数字的变化，解题的关键是根据数阵中的每个数为其序号的算术平方根． 15．2【解析】先根据倒数的定义分别求出1234,,,a a a a 的值，再归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．由题意得：112a =， 211122a ⎛⎫=÷-= ⎪⎝⎭， ()31121a =÷-=-，()411112a =÷--=⎡⎤⎣⎦，归纳类推得：12,,,n a a a 是以1,2,12-循环往复的，其中n 为正整数， 因为202136732=⨯+，所以202122a a ==，故答案为：2．本题考查了倒数、有理数的除法与减法，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．16．221n n n ++ 【解析】试题分析：先求出S n 111n n +-+，再总结出S 的表达式，从而可以得出结论． 22111(1)n S n n =+++ 222222(1)(1)(1)n n n n n n ++++=+ 222[(1)]221[(1)]n n n n n n ++++=+ 22[(1)1][(1)]n n n n ++=+， (1)111111(1)(1)1n n n n n n n n ++==+=+-+++．n S S ∴+1111111112231n n =+-++-+++-+111n n =+-+ 22(1)1211n n n n n +-+==++． 本题为规律探究问题，难度较大，根据提供的式子发现规律，并表示规律是解题的关键，同时要注意对于式子()11111n n n n =-++的理解．17．【解析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m 排第n 个数到底是哪个数后再计算．（20，9）表示第20排从左向右第9个数是从头开始的第1+2+3+4+…+19+9=199个数，∵1994493÷=……，即1中第三个数故答案为此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目找准变化是关键．18．4【解析】根据题意将原式展开，然后化简绝对值，求解即可．4)+4=4-=4故答案为4．本题考查了定义新运算，绝对值的化简，和实数的计算，熟练掌握绝对值的化简规律是本题的关键．19．（1（2）1n S =． 【解析】（1）根据上述的规律第五个等式a 5（2）根据（1）总结得到的规律，用含n 的等式表示a n ，然后计算S n ，抵消合并后，即可得到S n =1- 解：()51a =-()2用含字母n （n 为正整数）的等式表示（1）中的一般规律为n a ==123···n n S a a a a ∴=++++1?··=-+ 1=-此题考查了分母有理化，属于规律型题，根据题意找出一般性规律是解本题的关键．20．（1）12，4；（2）C ；（3）21n a -；（4）19- 【解析】（1）根据除方的定义，将原式变形求解；（2）根据除方的定义，结合有理数除法的定义逐一判断即可；（3）根据除方定义展开，然后按照乘方和有理数除法的定义即可总结通项式；（4）根据（3）中通项式将原式每一项展开，然后根据有理数混合运算的运算法则求解即可．（1）2③=2÷2÷2=12， 1()2-④=11112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷-÷- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=12222⨯⨯⨯=4 故答案为12，4； （2）A 、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A 正确；B 、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n ，1ⓝ都等于1； 所以选项B 正确；C 、3④=3÷3÷3÷3=19，4③=4÷4÷4=14则 3④≠4③； 所以选项C 错误； D 、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D 正确；故选C ；（3）a ⓝ=a÷a÷a…÷a=1÷a n ﹣2=21n a -．（4）由（3）得：1()3-④=421913-=⎛⎫- ⎪⎝⎭，1()2-③=321212-=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，1()3-=6821313-=⎛⎫- ⎪⎝⎭故，原式=()66923318119⨯--÷=--=-． 本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．21．（1）0.1、2π0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）；（2）12-、 0.1、、0 ；（32π、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）． 【解析】根据实数的分类标准进行填写即可．解：（1）正数集合{0.1、2π0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）}；（2）有理数集合{ -12、 0.1、0 }；（3）无理数集合2π、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1） }． 本题主要考查了实数的分类，掌握有理数和无理数的概念是解答本题的关键．22．有理数集：14，52-，，0π，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）；整数集：，0；分数集合：14，52-，【解析】根据有理数、无理数、整数、分数的定义逐一判断即可．解：有理数集：14，52-，，0；，π，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）；整数集：0；分数集：14，52- 本题考查实数的分类，掌握有理数、无理数、整数和分数的定义是解题的关键．23．（1）3；（2）139-；（3）－76；（4）31【解析】（1）先化简符号，写成省略加好和再计算，（2）先算立方根，算术平方根，化去绝对值，再加减即可，（3）先算乘法对加法分配律，约分后再加减，（4）先算乘方，再把除变乘，除数变它的倒数相乘，再算加减即可．（1）8+（-14）-5-（-0.25）=8-14-5+0.25 =3，（22- =－2+89－2 =139-， （3）()1314864⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭=1348484864-+⨯-⨯==-48+8-36=－76， （4）2232113()(2)()32-⨯---÷-=119(8)94-⨯--÷=-1+8×4=-1+32=31． 本题考查立方根，算术平方根，绝对值，混合运算等知识，掌握这些知识，熟悉运算顺序，选择恰当方法，会用它们解决问题是关键．24．（1）（4，35）；（2）是 ；（3）32m =- 【解析】（1）按等式左右分别计算，比较即可，（2）由（x ，y ）是和谐数对，有等式x-y=xy+1，验证（-y ，-x ）是否满足等式即可，（3）利用和谐数对等式，列出方程，解方程即可．解：（1）-3-1=-4，-3×1+1=-3+1=-2，所以（-3，1）不是和谐数对， 5-213=33，2135+1=33⨯所以（4，35）是和谐数对， 答案为：（4，35）； （2）（x,y ）是和谐数对，则有x-y=xy+1，-y-(-x)=x-y ，（-y ）（-x ）+1=xy+1，-y-(-x)= （-y ）（-x ）+1，（-y,-x ）是和谐数对，答案为：是；（3）解：551m m -=+，得32m =-． 本题考查新定义和谐数对问题，读懂含义，抓住等式，采取验证方法即求代数式值是解决问题的关键．25．见解析．【解析】根据正数、负数、整数、分数、无理数的定义即可得．22 3.1428577-=小数点后的142857是无限循环的， 正数集合 3.1415926,10%,2.626626662,202011,,42,π⎧+⎫⎨⎬⎩⎭； 负数集合•222,,75.2,⎧-⎫--⎨⎬⎩⎭； 整数集合{}2,0,2,020-； 分数集合•5.23.14159261221,,,,10%47,⎧⎫-+⎨⎩⎭-⎬； 无理数集合 2.626626662,,2π⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 本题考查了正数、负数、整数、分数、无理数，熟记各定义是解题关键． 26．0，2--；54-，3.14，0.13；54-，2--；2π ， 0.130********…【解析】（1）根据整数的定义选出即可；（2）根据负数和分数的定义选出即可；（3）根据负有理数的定义选出即可；（4）根据无理数的定义选出即可．22--=-，（1）整数集合：{0，2--，…}（2）分数集合：{54-，3.14，0.13，…} （3）负有理数集合：{54-，2--，…} （4）无理数集合：{2π ， 0.130********…，…}故答案为：0，2--；54-，3.14，0.13；54-，2--；2π ， 0.130********…． 本题考查了实数的分类，解题的关键是明确实数包括无理数和有理数，无理数包括正无理数和负无理数，有理数包括正有理数，0，负有理数．27．见解析．【解析】先去括号、化简绝对值，再根据正有理数、无理数、整数、分数的定义即可得．22，()1111--=，22 3.1428577=小数点后142857是无限循环的，332255-=， 正有理数集合：()2211,,0.3333332,5,7⎧⎫--⎨⎬⎩⎭-； 无理数集合：{}5.0101,001-；整数集合：()(){}2,0,11,+---；分数集合：221,,4,0.33333,30.3142,735--⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．本题考查了去括号、绝对值、正有理数、无理数、整数、分数，熟练掌握实数的分类是解题关键．28．（1）-1；（2）-4【解析】（1）根据题中的新定义a ⊕b=a 2-ab+a-1，可得a=3，b=4，代入新定义运算，根据有理数的运算法则即可得出结果；（2）先根据题中的新定义a ⊕b=a 2-ab+a-1，可得a=2，b=3，先算出1⊕3，然后再利用新定义可得出最后结果．解：（1）根据题意得：3⊕4=32-3×4+3-1=9-12+3-1=-1； （2）根据题意得：2⊕3=22-2×3+2-1=-1， 则（2⊕3）⊕（-3）=（-1）⊕（-3）=（-1）2-（-1）×（-3）+（-1）-1=1-3-1-1=-4．此题考查了有理数的混合运算，属于新定义的题型．解这种关于定义一种新运算的题目，关键是搞清楚新的运算规则，按规则解答计算．29．（1）2005817-；（2）11112-；（3）13178+ 【解析】（1）设220041888S =++++，得到8S 的值，两式相减即可得到结果； （2）设211111222S =+++，得到231211112222S =+++，两式相减即可； （3）设2345111217777777S =-+-+-+-+，得到7S ，两式相减即可； （1）设220041888S =++++，①， 23200588888S =++++，②，②-①得：2005781S =-，2005817S -=；（2）设211111222S =+++，①， 231211112222S =+++， ①-②得：12111222S =-， 11112S ∴=-； （3）设2345111217777777S =-+-+-+-+，①，234561213777777777S =-+-+-+-+，②，①+②得：13817S =+， 13178S +=． 本题主要考查了实数的规律计算，准确分析计算是解题的关键．30．（1）84；（2）-160．【解析】（1）根据定义的新运算“*、Θ”从左到右计算即可；（2）先根据新运算“*、Θ”计算即可，题目中的中括号指明运算顺序的按指明运算顺序计算． 解：（1）()()52*33Θ⨯--=()()73Θ5-⨯-=21Θ5=84；（2）()()()()Θ2Θ12*3*35⎡⎤-⎣⎦⨯--=()()()1535Θ*-⨯--=()()()116Θ5-⨯--=()80Θ1-=-160．本题考查了定义新运算的意义，结合例子明白新定义的程序是解题的关键，当题目中出现括号时要按照括号指明运算顺序计算．。

实数的数轴表示及化简（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，数轴上A，B两点表示的数分别是和，点B关于点A的对称点为C，则点C 所表示的数为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：实数在数轴上的表示2.如图，在数轴上A，B两点表示的数分别是，，点C与点B关于点A对称，则点C表示的数是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：实数在数轴上的表示3.如图，在数轴上A，B两点表示的数分别是，，点C也在数轴上，且点A与点B 关于点C对称，则点C表示的数为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：实数在数轴上的表示4.实数a在数轴上所对应的点的位置如图所示，则化简的结果是( )A.10B.-10C.2a-16D.无法确定答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式的化简5.实数a，b，c在数轴上所对应的点的位置如图所示，则化简的结果是( )A.aB.1C.0D.-1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式的化简6.若，则( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根的性质与化简7.若，则化简的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式的化简8.化简的结果是( )A.-2B.-2-2xC.0D.2x答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式的性质与化简9.化简的结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式的性质与化简10.若化简的结果是2x-5，则x的取值范围是( )A.x为任意实数B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次根式的性质与化简。

人教版七年级下册第六章实数尖子生培优测试试卷一、单选题（共10题；共30分）1.如图，在数轴上表示无理数的点落在( )A. 线段AB上B. 线段BC上C. 线段CD上D. 线段DE 上2.在- ，，，了11,2.101101110．．．(每个0之间多1个1)中，无理数的个数是( )A. 2个B. 3个C. 4个 D 5个3.一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是（）A. x+1B. x2+1C. +1D.4.下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数的符号一致；④如果一个数的立方根等于它本身，那么它一定是1或0．其中正确有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 45.下列说法中，不正确的是( )．A. 3是（﹣3）2的算术平方根B. ±3是（﹣3）2的平方根C. ﹣3是（﹣3）2的算术平方根D. ﹣3是（﹣3）3的立方根6.的算术平方根是（）A. 4B.C. 2D.7.如图，数轴上A，B两点分别对应实数a、b，则下列结论中正确的是（）A. a+b＞0B. ab＞0C.D. a+ab-b＜08.已知一个正数的两个平方根分别是a+3和2a-15，则这个正数为（）A. 4B.C. -7D. 499.晓影设计了一个关于实数运算的程序：输入一个数后，输出的数总是比该数的平方小1，晓影按照此程序输入后，输出的结果应为（）A. 2016B. 2017C. 2019D. 202010.，则a与b的关系是（）A. B. a与b相等 C. a与b互为相反数 D. 无法判定二、填空题（共6题；共24分）11.的平方根是________，的算术平方根是________，－216的立方根是________.12.是9的算术平方根，而的算术平方根是4，则= ________.13.已知：（x2+y2+1）2﹣4=0，则x2+y2=________．14.实数a在数轴上的位置如图，则|a﹣3|=________．15.若四个有理数同时满足：，，，则这四个数从小到大的顺序是________．16.若用初中数学课本上使用的科学计算器进行计算，则以下按键的结果为________．三、计算题（共1题；共6分）17.计算：四、解答题（共6题；共40分）18.一个数的算术平方根为2M－6，平方根为±(M－2)，求这个数．19.某公路规定行驶汽车速度不得超过80千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d=32米，f=2．请你判断一下，肇事汽车当时是否超出了规定的速度？20.a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简+|c﹣b|﹣（）3．21.阅读下列材料：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值．22.规定一种新的运算a△b=ab﹣a+1，如3△4=3×4﹣3+1，请比较与的大小．23.求下列x的值．（1）2x3=﹣16 （2）（x﹣1）2=4．答案一、单选题1. C2. B3. D4.A5.C6.C7.C8. D9. B 10. C二、填空题11.±；；-6 12.19 13.1 14.3﹣a 15.16.﹣5三、计算题17. 解：原式=5+3-6=2四、解答题18.解:应分两种情况:①2M－6＝M－2,解得M＝4,∴2M－6＝8－6＝2,22＝4,② 2M－6＝－(M－2),解得M＝,∴2M－6＝－6＝(不合题意,舍去),故这个数是4.19.解：把d=32，f=2代入v=16 ，v=16 =128（km/h）∵128＞80，∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度20.解：根据数轴上点的位置得：a＜b＜0＜c，且|a|＞|b|＞|c|，∴a﹣b＜0，c﹣b＞0，a+c＜0，则原式=|a﹣b|+|c﹣b|﹣（a+c）=b﹣a+c﹣b﹣a﹣c=﹣2a21.解：∵＜，＜，∴a= ﹣2，b= ﹣3，∴= ﹣2+ ﹣3﹣= ﹣522.解：∵a△b=a×b﹣a+b+1，∴（﹣3）△=（﹣3）×﹣（﹣3）++1=4﹣2，△（﹣3）=×（﹣3）﹣+（﹣3）+1=﹣4﹣2，∵4﹣2＞﹣4﹣2，∴﹣3△＞△（﹣3）．23.解：（1）∵2x3=﹣16，∴x2=﹣8，∴x=﹣2．（2）∵（x﹣1）2=4，∴x﹣1=±2，∴x=﹣1或3．人教版七年级数学下册第六章实数单元检测题一、选择题。

一、选择题1．下列各数中比( )A ．2-B ．1-C ．12-D ．0A 解析：A【分析】根据实数比较大小的方法分析得出答案即可．【详解】A ．|2|2-=，|= ∴2>2∴-<B ．|1|1-=，|= ∴1<，1∴->C ．1122-=，|=， 1∴->２D ．0>故选：A ．【点睛】此题主要考查了实数的大小比较，正确掌握比较方法是解题的关键．2．在 1.4144-，，227，3π，2，0.3•，2.121112*********...中，无理数的个数（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4D 解析：D【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【详解】 1.4144-，有限小数，是有理数，不是无理数；227，分数，是有理数，不是无理数； 0.3•，无限循环小数，是有理数，不是无理数；2-， 3π，23-， 2.121112*********...是无理数，共4个， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了无理数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．3．估算481的值（ ）A ．在7和8之间B ．在6和7之间C ．在5和6之间D ．在4和5之间C解析：C【分析】利用36＜48＜49得到6＜48＜7，从而可对48−1进行估算．【详解】 解：∵36＜48＜49，∴6＜48＜7，∴5＜48-1＜6．故选：C ．【点睛】本题考查了估算无理数的大小：估算无理数大小要用逼近法．4．数轴上表示下列各数的点，能落在A ，B 两个点之间的是（ ）A ．3B 7C 11D 13解析：B【分析】首先确定A ，B 对应的数，再分别估算四个选项的数值进行判断即可．【详解】解：由数轴得，A 点对应的数是1，B 点对应的数是3，A.-2＜3＜-1，不符合题意；B.27＜3，符合题意；C 、3114，不符合题意；D. 3134，不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了对无理数的估算．5．85-的整数部分是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7B 解析：B【分析】直接利用估算无理数的大小的方法得出253<<，进而得出答案． 【详解】解：459<<，459∴<<，即253<<，838582∴-<-<-，5856∴<-<，85∴-的整数部分是5．故选：B ．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出5的取值范围是解题关键．6．如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若0n q +=，则m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的一个是（ ）A ．pB ．qC ．mD ．n A 解析：A【分析】根据题意可判断0在线段NQ 的中点处，再根据绝对值的意义即可进行判断．【详解】解：因为0n q +=，所以n 、q 互为相反数，0在线段NQ 的中点处，所以点P 距离原点的距离最远，即m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的一个是p ． 故选：A ．【点睛】本题考查了实数与数轴以及线段的中点，正确理解题意、确定数轴上原点的位置是解题关键．7．下列实数中，属于无理数的是（ ）A ．3.14B ．227C 4D ．πD解析：D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解：A 、3.14是小数，是有理数，故A 选项错误；B 、227是有限小数，是有理数，故B 选项错误；C =2是整数，是有理数，故C 选项错误．D 、π是无理数，故D 选项正确故选：D ．【点睛】本题考查了无理数的定义，无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．8．一个正方体的体积为16，那么它的棱长在（ ）之间A ．1和2B ．2和3C ．3和4D ．4和5B解析：B【分析】可以利用方程先求正方体的棱长，然后再估算棱长的近似值即可解决问题．【详解】设正方体的棱长为x ，由题意可知316x =，解得x =，∵332163<<， ∴23<，那么它的棱长在2和3之间．故选：B ．【点睛】的范围．9．在0，3π227， 6.1010010001…（相邻两个1之间0的个数在递增）中，无理数有（ ）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C解析：C【分析】先计算算术平方根，再根据无理数的定义即可得．【详解】 22 3.1428577=小数点后142857是无限循环的，则227是有理数，3=-，则因此，题中的无理数有3π 6.1010010001（相邻两个1之间0的个数在递增），故选：C ．【点睛】本题考查了无理数、算术平方根，熟记无理数的定义是解题关键．10．1的值在（ ）A ．5~6之间B ．6~7之间C ．7~8之间D ．8~9之间B解析：B【分析】的取值即可得到答案．【详解】由题意得78<<，617∴<<，1介于6~7之间．故选B ．【点睛】二、填空题11．计算：（1321(2)(10)4---⨯-（2）225(24)-⨯--÷1）-12（2）-12【分析】（1）（2）两小题都属于实数的混合运算先计算乘方和开方再计算乘除最后再算加减即可得出结果【详解】解：（1）（2）【点睛】本题考查了实数的混合运算根据算式确定运算顺序并解析：（1）-12，（2）-12．【分析】（1）、（2）两小题都属于实数的混合运算，先计算乘方和开方，再计算乘除，最后再算加减即可得出结果．【详解】解：（1321(2)(10)4---⨯- 1100458=⨯+- 1325=-12=-，（2）225(24)-⨯--÷45(24)3=-⨯--÷208=-+12=-．【点睛】本题考查了实数的混合运算，根据算式确定运算顺序并运用相应的运算法则正确计算是解题的关键．12．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B ，点A 表示2-，设点B 所表示的数为m ．（1）实数m 的值是___________；（2）求|1||1|m m ++-的值；（3）在数轴上还有C 、D 两点分别表示实数c 和d ，且有|2|c d +与4d +互为相反数，求23c d -的平方根．（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案；（2）由（1）可知再利用绝对值的性质化简绝对值号继而求得答案；（3）根据非负数的性质求出的值再代入进而求其平方根【详解】解：（1）∵解析：（1）2+2；（2）2；（3）4±【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案；（2）由（1）可知10m +>、10m -<，再利用绝对值的性质化简绝对值号，继而求得答案；（3）根据非负数的性质求出c 、d 的值，再代入23c d -，进而求其平方根．【详解】解：（1）∵蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B ，点A 表示2-∴点B 表示2+2∴2+2m =-．（2）∵2+2m =-∴1221230m +=-+=->，1221210m -=--=-<∴11m m ++-()11m m =+--11m m =+-+2=．（3）∵2c d +4d +∴20c d +=∴2040c d d +=⎧⎨+=⎩∴24c d =⎧⎨=-⎩∴()23223416c d -=⨯-⨯-= ∴4==±，即23c d -的平方根是4±．【点睛】本题考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．13．先化简，再求值：()222233a ab a ab ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，其中|2|a +数．ab ；-6【分析】原式去括号合并得到最简结果利用相反数及非负数的性质求出a 与b 的值代入计算即可求出值【详解】解：原式=2a2-2ab-（2a2-3ab ）=2a2-2ab-2a2+3ab=ab ∵与互为解析：ab ；-6．【分析】原式去括号合并得到最简结果，利用相反数及非负数的性质求出a 与b 的值，代入计算即可求出值．【详解】解：原式=2a 2-2ab-（2a 2-3ab ）=2a 2-2ab-2a 2+3ab= ab ， ∵2a +∴，∴a+2=0，30b -=，解得：a=-2，3b =，当a=-2，b=3时，原式=-6．【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，以及算术平方根的非负性，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．求出x 的值：()23227x +=x ＝1或x ＝﹣5【分析】依据平方根的性质可得到x+2的值然后解关于x 的一元一次方程即可【详解】解：∵3（x+2）2＝27∴（x+2）2＝9∴x+2＝±3解得：x ＝1或x ＝﹣5【点睛】本题主要考查的是 解析：x ＝1或x ＝﹣5【分析】依据平方根的性质可得到x +2的值，然后解关于x 的一元一次方程即可．【详解】解：∵3（x +2）2＝27，∴（x +2）2＝9，∴x +2＝±3，解得：x ＝1或x ＝﹣5．【点睛】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．15．计算：3011(2)(200422-+---【分析】根据运算法则和运算顺序准确计算即可【详解】解：【点睛】本题考查了实数得混合运算掌握运算法则和顺序是解题的关键解析：8-【分析】根据运算法则和运算顺序准确计算即可.【详解】解：3011(2)(200422-+-- 11822=-+- 8=-【点睛】本题考查了实数得混合运算，掌握运算法则和顺序是解题的关键.16．计算：（1（2）0(0)|2|π--（3）解方程：4x 2﹣9＝0．（1）-8；（2）1﹣；（3）x ＝±【分析】（1）利用算数平方根立方根及二次根式性质计算即可；（2）利用零指数幂立方根及绝对值的代数意义进行化简即可；（3）方程变形后利用开方运算即可求解【详解】解：解析：（1）-8；（2）13）x ＝±32． 【分析】（1）利用算数平方根、立方根及二次根式性质计算即可；（2）利用零指数幂、立方根及绝对值的代数意义进行化简即可；（3）方程变形后，利用开方运算即可求解．【详解】解：（1）原式＝()935358÷--=--=-；（2）原式＝1221-+-=（3）方程变形得：294x =，开方得：32x =±． 【点睛】本题考察实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．17．已知a 的整数部分，b 的小数部分，求代数式(1b a -的平方根．【分析】根据可得即可得到的整数部分是3小数部分是即可求解【详解】解：∵∴∴的整数部分是3则的小数部分是则∴∴9的平方根为【点睛】本题考查实数的估算实数的运算平方根的定义掌握实数估算的方法是解题的关键 解析：3±．【分析】根据223104<<可得34<<的整数部分是3，小数部分是3，即可求解．【详解】解：∵223104<<， ∴34<<， ∴3，则3a =3，则3b =，∴(()1312339a b ---=-=-=， ∴9的平方根为3±．【点睛】本题考查实数的估算、实数的运算、平方根的定义，掌握实数估算的方法是解题的关键． 18．求下列各式中x 的值（1）21(1)64x +-=； （2）3(1)125x -=．（1）；（2）【分析】（1）方程整理后利用平方根的性质开平方即可求解；（2）方程直接利用立方根的性质开立方即可求解；【详解】（1）解得：或；（2）解得：【点睛】本题主要考查解方程涉及到立方根平方根解解析：（1）132x =，272x =-；（2）6x = 【分析】（1）方程整理后，利用平方根的性质开平方即可求解；（2）方程直接利用立方根的性质开立方即可求解；【详解】（1）21(1)64x +-= 225(1)4x += 512x +=± 解得：32x =或72x =-； （2）3(1)125x -=15x -=解得：6x =．【点睛】本题主要考查解方程，涉及到立方根、平方根，解题的关键是熟练掌握开平方、开立方根的方法．19．已知5的整数部分为a ，5-b ，则2ab b +=_________．【分析】求出的大小推出7＜＜8求出a 同理求出求出b 代入求出即可【详解】解：∵∴∴∴∴故答案为：【点睛】此题考查了无理数的大小的应用关键是确定和的范围解析：37-【分析】的大小，推出7＜5＜8，求出a ，同理求出253<-<，求出b ，代入求出即可．【详解】解：∵479<<， ∴23<<，32-<<- ∴758<+<，253<-<，∴7a =，523b =--=-，∴()(237337ab b b a b +=+=+=-．故答案为：37-【点睛】此题考查了无理数的大小的应用，关键是确定5和5-20．小燕在测量铅球的半径时，先将铅球完全浸没在一个带刻度的圆柱形小水桶中，拿出铅球时，小燕发现小水桶中的水面下降了1cm ，小燕量得小水桶的直径为12cm ，于是她就算出了铅球的半径．你知道她是如何计算的吗？请求出铅球的半径．（球的体积公式343V r π=，r 为球的半径．）3cm 【分析】设球的半径为r 求出下降的水的体积即圆柱形小水桶中下降的水的体积最后根据球的体积公式列式求解即可【详解】解：设球的半径为r 小水桶的直径为水面下降了小水桶的半径为6cm 下降的水的体积是π×解析：3cm ．【分析】设球的半径为r ，求出下降的水的体积，即圆柱形小水桶中下降的水的体积，最后根据球的体积公式列式求解即可．【详解】解：设球的半径为r ，小水桶的直径为12cm ，水面下降了1cm ，∴小水桶的半径为6cm ，∴下降的水的体积是π×62×1=36π(cm 3)， 即34363r ππ=，解得：327r =，3r =，答：铅球的半径是3cm ．【点睛】本题考查了立方根的应用，涉及圆柱的体积求解，解此题的关键是得出关于r 的方程． 三、解答题21．2-．解析：4【分析】原式利用平方根、立方根定义及绝对值化简计算即可得到结果．【详解】解：原式282=-+-4=【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握平方根、立方根定义是解本题的关键．22．计算：（1）⎛- ⎝；（2|1--解析：（1；（2）12-【分析】（1）先去括号，再利用二次根式加减运算法则进行计算；（2）直接利用绝对值的性质和立方根的性质、二次根式的性质分别化简后再相加减即可；【详解】（1）⎛- ⎝=；（2|1--=914++-=12-【点睛】考查了实数的运算，解题关键是掌握运算法则和运算顺序．23．阅读下列信息材料信息1：因为尤理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确；信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.52-得来的；信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如23<<，是因为<；根据上述信息，回答下列问题：（1___________，小数部分是______________；（2）若2122a <<，则a 的整数部分是___________；小数部分可以表示为_______；（3）10+10a b <则a b +=______；（43x y =+，其中x 是整数，且01y <<，请求x y -的相反数．解析：（1）33；（2）21；21a -；（3）23；（47．【分析】（1）先找到91316<<，可找到34<< （2）根据因为2122a <<，即可找出a 的整数部分与小数部分（3）找到12<<在哪两个整数之间,再加10即可.（4）先确定56<<，找到233<<，由01y <<，x 是整数，即可确定x=2，5，再求7x y -=，即可求出【详解】（1）91316<< ∴34<<33故答案为：33；（2）因为2122a <<,故则a 的整数部分是21，a 的小数部分可以表示为21a -. 故答案为：21；21a -；（3）因为12<<， ∴10110102+<+<+，即111012<+<，所以=11a ,=12b ，故23a b +=，故答案为：23；（4）5306<<，23033<<，∵01y <<，x 是整数，∴x=2， ∴325-=，∴)257x y -=-=，∴x y -7．【点睛】本题考查的是无理数的整数部分与小数部分，掌握估值法确定无理数的范围，即无限不循环小数知识的拓展延伸,理解题意,按照题目所给的表示方法去解答是关键．24．若求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如()()()()2223333÷÷-÷-÷-÷-，等。

人教版七年级数学下册第六章第三节实数考试复习题二（含答案)我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．定义：如果a b=N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记作log a N=b．例如：因为53=125，所以log5125=3；因为112=121，所以log11121=2．（1）填空：log66= ，log381= ．（2）如果log2（m﹣2）=3，求m的值．（3）对于“对数”运算，小明同学认为有“log a MN=log a M•log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正．【答案】（1）1、4；（2）m=10；（3）不正确，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题目中所给对数的定义分别进行计算即可得解；（2）根据题目中所给对数的定义可得m﹣2=23，然后求解即可；（3）不正确，设a x=M，a y=N，根据对数的定义可得log a M=x，log a N=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数），又因a x•a y=a x+y，可得a x+y=M•N，所以log a MN=x+y，即log a MN=log a M+log a N．【详解】（1）∵61=6，34=81，∴log66=1，log381=4，故答案为：1、4；（2）∵log2（m﹣2）=3，∴m﹣2=23，解得：m=10；（3）不正确，设a x=M，a y=N，则log a M=x，log a N=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数），∵a x•a y=a x+y，∴a x+y=M•N，∴log a MN=x+y，即log a MN=log a M+log a N．【点睛】本题是阅读理解题，读懂题目信息，理解对数的定义是解题的关键．72．对于有理数a，b，定义运算：a⊕b＝ab－2a－2b＋1.(1)计算5⊕4的值；(2)计算[(－2)⊕6]⊕3的值；(3)定义的新运算“⊕”交换律是否还成立？请写出你的探究过程．【答案】(1)3；(2)－24；(3)成立．【解析】【分析】（1）按照给定的运算程序，一步一步计算即可；（2）先按新定义运算，先计算（-2）⊕6、再将所得结果-19与3计算规定运算可得；（3）成立，按新定义分别运算即可说明理由．【详解】(1)5⊕4＝5×4－2×5－2×4＋1＝20－10－8＋1＝2＋1＝3.(2)原式＝[－2×6－2×(－2)－2×6＋1]⊕3＝(－12＋4－12＋1)⊕3＝－19⊕3＝－19×3－2×(－19)－2×3＋1＝－24.(3)成立．∵a⊕b＝ab－2a－2b＋1，b⊕a＝ab－2b－2a＋1，∴a⊕b＝b⊕a，∴定义的新运算“⊕”交换律还成立．【点睛】此题是定义新运算题型．直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．73．问题：如何快速计算1+2+3+…+n 的值呢？（1）探究：令s=1+2+3+…+n①，则s=n+n-1+…+2+1①①+①得2s=(n+1)(n+1)+…+(n+1)=n⨯(n+1)因此s=_________________.(2)应用：①计算：123200++++=________；①如图1，一串连续的整数1，2，3，4，…，自上往下排列，最上面一行有一个数，以下各行均比上一行多一个数字，若共有15行数字，则最底下一行最左边的数是_______；①如图2，一串连续的整数-25，-24，-23，…，按图1方式排列，共有14行数字，求图2中所有数字的和.【答案】（1）()12n n +；（2）①20100；①106；①2835. 【解析】【分析】(1)两边同时除以2即可；(2)①直接运用1+2+3+…+n ＝()12n n +进行计算；②第15行的最底下一行最左边的数即前14行的数子中最后一个加1即可. ③分情况讨论，0左边和右边两种情况分析.【详解】解：（1）2s= n ⨯(n+1),所以s=()12n n +； （2）①123200++++=200(2001)2+ =20100； ①∵前14行的数子中，最后一个数为：1+2+3+……+14＝14(141)1052⨯+=， 所以第15行第一个数为：105+1＝106；①图2中共有()141411052⨯+=个数，其中有25个负数、一个0、79个正数，①图2中所有数字的和为：()()122501279----+++++ ()()252517979122⨯+⨯+=-+ 3253160=-+2835=【点睛】考查数字的变化规律及整式的运算、解方程的能力，弄清题干中求和的方法、并熟练运用是解题的关键．74．定义一种新的运算符号“*”，规定：2*a b a b b +=．例如：23583*5525+==，求[]2*(2)*(3)--的值． 【答案】13-. 【解析】【分析】理解规则即可.【详解】()()2*2*3⎡⎤--⎣⎦=()()222*32---=0*（-3）=()()2033+-- = - 13【点睛】正确理解题意是解题的关键.75．计算：2(2)- 【答案】【解析】【分析】根据有理数的乘方、绝对值的意义、立方根的定义化简，然后合并即可．【详解】 原式44=+=【点睛】本题考查了实数运算，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键．76．已知实数x y m 、、30x y m ++=,且y 是负数，求m 取值范围．【答案】6m >【解析】【分析】根据非负数的性质列出方程求出x 、y 的值，然后根据y 是负数即可得到一个关于m 的不等式，从而求得m 的范围．【详解】解：根据题意得：20{30x x y m +=++=， 解得：x 2{6y m=-=-， 则6-m ＜0，解得：m ＞6．【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．77123-；【答案】32+【解析】【分析】首先计算负指数次幂，去掉绝对值符号，化简平方根,立方根，然后计算即可.【详解】解123- =3-12-3=32+【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、绝对值、平方根、立方根等考点的运算．78．计算：12033⎛⎫÷- ⎪⎝⎭【答案】2.【解析】【分析】先根据平方根、立方根的定义进行化简，然后再进行乘除运算，最后进行加减运算即可得解.【详解】原式=()()2203335⨯--+⨯- =839+-=2【点睛】本题考查了实数的运算，熟悉平方根、立方根是解题的关键．79．（概念学习）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，一般地，把n a a a a÷÷÷⋯（a ≠0）记作a ⓝ，读作“a 的圈n 次方”．（初步探究）(1)直接写出计算结果：2③=_____，（﹣12）⑤=_____． (2)关于除方，下列说法准确的选项有_________（只需填入正确的序号） ①.任何非零数的圈2次方都等于1； ①．对于任何正整数n ，1ⓝ=1； ①.3④=4③ ①．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如： 2④=2÷2÷2÷2=2×12×12×12=（ ）2 (幂的形式)试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式．5⑥=_____；(﹣12)⑩=_____；a ⓝ=_____（a ≠0）． 算一算：14⎛⎫- ⎪⎝⎭④÷23+（﹣8）×2③． 【答案】【初步探究】（1）12,-8； （2）① ②④；【深入思考】（1）1()54，28 或8(2)-， 1()a(n-2)；（2）-2. 【解析】【分析】初步探究：（1）分别按公式进行计算即可；（2）根据定义依次判定即可；深入思考：把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果，将第二问的规律代入计算即可．【详解】初步探究：(1) 2③=12222÷÷=; （﹣12）⑤=1111()()()2228-÷-÷-=-; 故答案是：11,28-; (2)①任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项①正确；②因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n ，1ⓝ都等于1； 所以选项②正确；③3④=3÷3÷3÷3=19，4③=4÷4÷4=14，则3④≠4③；所以选项③错误； ④负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项④正确；所以正确的选项有：① ②④；故答案是：① ①①；深入思考：（1） 15⎛⎫ ⎪⎝⎭4, 28 或(-2)8 1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(n-2), （2）1(4-）④÷23+（﹣8）×2③ =16÷8+(-8)×12=2-4=-2【点睛】考查了新运算以及实数的运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义．在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．80．把下列各数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”连接）.2-， 0， 3-， π-<<<-<【解析】【分析】先在数轴上描出各点，再根据数轴上右边的数大于左边的数即可得出结论.【详解】-<<<-<203π【点睛】本题考查了利用数轴比较实数的大小.关键是利用数形结合，把抽象的问题转化成直观的问题处理即可.。