江苏省丹阳高中高中数学 课时21 等差数列2学案 苏教版必修5

第 6 课时：§2.2 等差数列（4）【三维目标】：一、知识与技能1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究n S 的最值；3.掌握等差数列前n 项和中奇数项和与偶数项和的性质。

4.使学生会运用等差数列前n 项和的公式解决有关问题，从而提高学生分析问题、解决问题的能力 二、过程与方法经历公式应用的过程； 三、情感、态度与价值观通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。

【教学重点与难点】：重点：等差数列n 项和公式的应用 难点：灵活应用求和公式解决问题 【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题，研探新知1.等差数列的定义：（1）等差数列的通项公式；（2）等差数列的求和公式。

2.等差数列的性质：已知数列{n a }是等差数列，则（1）对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（2）若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+（3）等差数列前n 项和公式：1()2n n n a a S +=或1(1)2n n n S na d -=+⨯ 注意：①等差数列前n 项和公式又可化成式子：n da n d S n )2(212-+=，当0≠d ，此式可看作二次项系数为2d，一次项系数为21d a -，常数项为零的二次式；②当0>d 时，n S 有最小值；当0<d 时，nS 有最大值；③图象：抛物线x da x d y )2(212-+=上的一群独立点。

苏教版高三数学必修五《等差数列》教案及教学反思一、教学目标1.掌握等差数列的概念和基本性质。

2.熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式，并能够应用于实际问题。

3.培养学生发现并解决问题的能力，提高学生的数学思维水平。

二、教学重难点1.等差数列的概念和基本性质。

2.等差数列的通项公式和求和公式。

3.如何将所学知识应用于实际问题中。

三、教学过程(一) 概念和基本性质1. 引入首先，我会通过举例的方式引出等差数列的概念，并通过与等差数列相关的实例来引导学生理解等差数列的基本概念和性质。

2. 知识点讲解接着，我将通过讲解等差数列的定义、公差、首项和通项等知识点来帮助学生全面理解等差数列的概念和基本性质。

为了帮助学生更好地掌握等差数列的概念和基本性质，我将安排一些练习题，让学生巩固所学知识点。

(二) 通项公式和求和公式1. 引入在引导学生掌握等差数列的概念和基本性质后，我将通过举例的方式引出等差数列的通项公式和求和公式，并通过与等差数列相关的实例来帮助学生理解这两个公式的应用场景和计算方法。

2. 知识点讲解接着，我将详细讲解等差数列的通项公式和求和公式，包括其公式推导过程和相关应用技巧，同时还会通过例题与学生进行互动，加深学生对这两个公式的理解。

3. 练习为了帮助学生更好地掌握等差数列的通项公式和求和公式，我将安排一些练习题，让学生巩固所学知识点。

(三) 应用实战1. 引入在学生掌握了等差数列的概念、基本性质、通项公式和求和公式后，我将通过实际应用场景的实例引导学生思考如何将所学知识应用于实际问题中。

2. 知识点讲解在引导学生思考问题的过程中，我将辅导学生分析问题，在此基础上，我将重点讲解如何将所学知识应用于实际问题中，并教授应用技巧和注意事项。

为了帮助学生更好地将所学知识应用于实际问题中，我将安排一些实战训练，让学生在实践中巩固所学知识，提高解决实际问题的能力。

四、教学反思通过本次教学实践，我认为教学效果还算不错。

等差数列复习目标：1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；高考要求：C 级一、知识梳理1.等差数列的概念：(1)如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母d 表示。

(2)若b A a ,,成等差数列，则A 叫做b a ,的等差中项，且A =2.等差数列的通项公式及其前n 项和：(1)若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则其通项公式为n a =通项公式的推广：n a =m a + ),(+∈N n m(2) 等差数列的前n 项和： =n S = （其中+∈N n ，1a 是首项，d 是公差，n a 为第n 项）3.等差数列的有关性质已知数列{}n a 是等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和.(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有(2)数列m m m m m S S S S S 232,,--…也是等差数列.(3)数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 也是等差数列. 二、基础自测1.(P39练习2改编)已知等差数列5,2,1,--，则该数列的第2021 ．2.(P39练习3改编)若等差数列{}n a 中，12a =-，公差2d =，则该数列的通项公式为n a = ．3.(P39例题3改编)若1a ，32,a a …1,+n n a a …, n a 2是公差为d 的等差数列,则数列{}n a 2的公差为 .4.（P39练习3改编)已知等差数列2,1,13--+，则该等差数列的项数为 ．5．（P44练习5改编)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5a A =（常数），则9S = ．6．（P48习题11改编)在数列{}n a 中，118a =-，13n n a a +=+（*n N ∈），则数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值为 ． 三、典例精讲考点1 基本量的计算例1 在等差数列{}n a 中，已知1a =1，33-=a（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的前k 项和35-=k S ，求k 的值。

等差数列(二)教学目标：明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.教学过程：I .复习回顾等差数列定义：a”一a”—i = d(n》2),等差数列通项公式：a n=a1+(n — l)d(n^l),推导公式：a n=a m+ (n—m)d II .讲授新课首先，请同学们来思考这样一个问题.问题1：如果在a与b中间插入一个数使a、A、b成等差数列，那么A应满足什么条件？由等差数列定义及a、A、b成等差数列可得：A—a=fa—A, B|J：.a _|_ b反之，若A=~2~，则2A = a+b, A~a=b—A,即a、4、b成等差数列.总之，人=号6 oa, A, b成等差数列.如果a、4、b成等差数列，那么a叫做a与b的等差中项.不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ................................. 中，3是1和5的等差中项，5是3和7的等差中项，7是5和9的等差中项等等.进一步思考，同学们是否还发现什么规律呢？3 + 7比如5不仅是3和7的等差中项，同时它也是1和9的等差中项，即不仅满足5=丁，同时还满足1 + 95=丁 .再如7不仅是5和9的等差中项，同时它也是3和U的等差中项，还是1和13的等差中项，即：75 + 9 3 + 11 1 + 13=2 = 2 = 2 -看来，a2+a^=a r+a5=2a3, a4+a6=a3+a7 = 2a5依此类推，可得在一等差数列中，若m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q.下面，我们来看一个实际问题.［例1］梯子的最高一级宽33 cm,最低一级宽110cm,中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.分析：首先要数学建模，即将实际问题转化为数学问题，然后求其解，最后还要结合实际情况将其还原为实际问题的解.解：用9”｝表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，山已知条件，有ai = 33, a12=110, n = 12.由通项公式,得ai2=ai+(12-l)d,即：110=33 + llc/,解得：d=7.因此，a2 = 33 + 7 = 40, a3= 40 + 7 = 47, a4 = 54, a5= 61, a6 = 68, a7 = 75, a g=82, a g = 89, a10 = 96,则an=103.答案：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm, 47 cm, 54 cm, 61 cm, 68 cm, 75 cm, 82 cm, 89 cm, 96 cm, 103 cm.评述：要注意将模型的解还原为实际问题的解.［例2］已知数列的通项公式为a n =pn + q,其中p 、q 是常数，且pHO,那么这个数列是否一定是等 差数列？如果是，其首项与公差是什么？分析：由等差数列的定义，要判定仙｝是不是等差数列，只要看a 厂盼心$2)是不是一个与门无关的 常数就行了.解：取数歹!)｛巾｝中的任意相邻两项％1与a n (n^2),a n —a n -1=(pn + q) — ［p(n — l) + q ］=pn+q —(pn —p+q)=p它是一个与和无关的常数，所以｛笳｝是等差数列，且公差是p ・在通项公式令n = l,得s=p+q,所以这个等差数列的首项是p+q,公差是p.看来，等差数列的通 项公式可以表示为：a n =pn + q (其中p 、q 是常数)当p = 0时，它是一常数数列，从图象上看，表示这个数列的各点均在y=q 的图象上当pHO 时，它 是关于n 的一次式，从图象上看，表示这个数 列的各点均在一次函数y=px+q 的图象上.例如，首项是1,公差是2的无穷等差数列的通项 公式为：a n =2n — l,相应的图象是直线y=2x —1上的均 匀排开的无穷多个孤立点.如图所示：［例3］已知三个数成等差数列，其和为15,其平方 和为83,求此二个数.解：设此三数分别为x_d 、x 、x+d(x —d) +x+ (x+d) =15(x —d) 2+x 2+ (x+d) 2 = 83解得 x=5, d=±2.所求三个数列分别为3、5、7或7、5、3.评述：三个数成等差数列时注意其设法.［例4］已知数列｛a”｝为等差数列，O1 = 2, 02 = 3,若在每相邻两项之间插入二个数后，和原数列仍构 成一个等差数列，试问：(1) 原数列的第12项是新数列的第几项？(2) 新数列的第29项是原数列的第几项？分析：运用递推归纳的思想方法，从特殊中找规律，得到或猜想出一般结论，然后再回到特殊解决问 题，这应该是解决本题的一个基本途径.解：原数列的第一项是新数列的第1项，原数列的第二项是新数列的第2 + 3 = 5项，原数列的第三项 是新数列的第3 + 2X3 = 9项. ...... 原数列的第n 项是新数列的第n + (n —1)X3 = 4n —3项.(1) 当n=12时，40-3 = 4X12-3=45,故原数列的第12项是新数列的第45项.(2) 令4n-3 = 29,解得n = 8,故新数列的第29项是原数列的第8项.评述：一般地，在公差为d 的等差数列每相邻两项之间插入m 个数，构成一个新的等差数列，则新数 d 歹！J 的公差为加+ ］,原数列的第门项是新数列的第n+(n — l)m = (m + l)n —m 项.［例5］在等差数歹！J ｛aJ 中,若a 3+a 8+a 13=12, a 3a 8a 13=28,求｛曲的通项公式. 分析一：利用等差数列的通项公式求解.解法一：设所求的通项公式为a n =ai + (n~l)df (ai + 2d) + (ai+7d) + (ai+12d) =12贝［(ai+2d) (ai+7d) (ai+12d) =28代入已知得｛ a 3+^i3 = 8 a 3 ・解得］ 013 = 7 得 d= 7-1 3 =10 =5 ■ a” =a3+(n_3) • 即]虫+7*4① [(ai + 2d) (th+7d) (ai+12d) =28 ②①代入②得(G + 2C /) (ai +12c/) = 7③ Tai=4—7d,代入③，.I (4—5d) (4+5d) = 83即 16 —25护=7,解得 d=+~ ., 3 , 1 13 34 =1 d=~ 时，ai=-- , a n =~~ +(n-l) •5 =5 n~~, 3 , 41 41 33 44 当 c/=—-时，ai=y , a n =— +(n —1) • ( —- ) =—- n+~ .分析二：视c/3，a s , “3作为一个整体，再利用性质：若m+n=p+q,则a m +a n =a p +a q 解题. 解法二：Va 3+ai3 = a 8+a8=2a 8,又 a 3+a8+ai3 = 12,故知 a 8=4由 a 3 = 7, ai3 = l,仿上可得：a…=—n+f . 评述：在解答本题时，首先应注意到｛a”｝是等差数列这个大前提，否则，仅有a 3+a s +a 18=12 a 3a 8a 13 =28就无法求出c?3，a 8, g 的具体值；其次，应注意到。