人教新课标版数学高二选修2-1 作业 3.2空间向量与垂直关系(第二课时)

第三页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
课堂对点训练
第四页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
知识点一
证明线线垂直
1．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AC的中点．
第五页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
证明：BD1⊥EB1. 证明：以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 D－xyz，
3．2 立体几何中的向量方法
课时作业30 空间向量与垂直关系
第三章 空间向量与立体几何
第一页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
1 课堂对点训练 2 课后提升训练
第二页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
[目标导航] 1．能利用平面法向量证明两个平面垂直． 2．能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明 空间中的垂直关系．
第七页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
知识点二
证明线面垂直
2．如图所示，正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M、N 分别 为 AB、B1C 的中点．试用向量法判断 MN 与平面 A1BD 的位 置关系．
第八页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
证明：设正方体的棱长为 1，以 D 为坐标原点，DA、DC、 DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 D －xyz，
第十一页，编辑于星期日：二பைடு நூலகம்三点 二十八分。
解：法一：如右图，建立空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0， 3)，C1(0,1， 3)． ∵D 为 BC 的中点， ∴D 点坐标为(1,1,0)． ∴A→D＝(1,1,0)，A→A1＝(0,0， 3)，B→C＝(－2,2,0)． ∴A→D·B→C＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0， A→A1·B→C＝0×(－2)＋0×2＋ 3×0＝0.

空间向量与垂直关系(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.若平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则( )A.α∥βB.α⊥βC.α,β相交但不垂直D.以上均不正确【解析】选C.因为n1·n2=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)≠0,所以n1与n2不垂直,又≠≠,所以α与β相交但不垂直.2.(2014·青岛高二检测)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N 是A1B1的中点,则直线NO,AM的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面垂直D.异面不垂直【解析】选C.建立坐标系如图,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),=(-1,0,-2),=(-2,0,1),·=0,则直线NO,AM的位置关系是异面垂直.3.(2014·丹东高二检测)已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是( )A.(1,-1,1)B.C. D.【解析】选 B.对于选项A,=(1,0,1),则·n=(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0,故排除A;对于选项B,=,则·n=·(3,1,2)=0,故B正确,验证可知C,D均不满足·n=0.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于( )A.ACB.BDC.A1DD.A1A【解析】选B.如图所示,建立直角坐标系Dxyz,设AB=1,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),E(,,1),所以=(,-,1),=(-1,1,0),=(-1,-1,0),=(-1,0,-1),=(0,0,-1),所以·=0,所以⊥,即CE⊥BD.5.(2014·桂林高二检测)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则( )A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面【解析】选B.以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0), D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=,=(-1,-1,1),=-,·=·=0,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.6.下列命题中,正确命题的个数为( )①若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则n1∥n2⇔α∥β;②若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α⊥β⇔n1·n2=0;③若n是平面α的法向量,a与α共面,则n·a=0;④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.A.1B.2C.3D.4【解析】选C.命题①中平面α,β可能平行,也可能重合;结合平面法向量的概念,易知命题②③④正确.二、填空题(每小题4分,共12分)7.若向量a=(-1,2,-4),b=(2,-2,3)是平面α内的两个不共线的向量,直线l的一个方向向量m=(2,3,1),则l与α的位置关系是(填“垂直”“平行”“相交但不垂直”).【解析】m·a=(2,3,1)·(-1,2,-4)=-2+6-4=0,m·b=(2,3,1)·(2,-2,3)=4-6+3=1≠0.所以l与α相交但不垂直.答案:相交但不垂直8.已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,1),(2,1,1),点P的坐标为(x,0,z),若⊥,⊥,则点P的坐标为.【解析】因为=(-1,-1,1),=(2,0,1),=(-x,1,-z),由·=0, ·=0,得则x=,z=-,所以P.答案:9.(2014·长春高二检测)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④∥.其中正确的是.【解析】由于·=-1×2+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,·=4×(-1)+2×2+0×(-1)=0,所以①②③正确.答案:①②③三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·广州高二检测)用向量方法证明:如果两个相交平面与第三个平面垂直,则它们的交线也与第三个平面垂直.【解析】已知:如图,α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ.求证:l⊥γ.证明:设平面α,β,γ的法向量分别为a,b,c,直线l的方向向量为e,则a·e=0,b·e=0.因为a,b与e不共面,故存在实数x,y,z,使c=x a+y b+z e.因为a⊥c,b⊥c,所以即因为α与β相交,所以a与b不共线,所以所以方程组有惟一解所以c=z e,即c∥e,从而有l⊥γ.11.(2014·上海高二检测)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=1,BC=,M是AD中点,N是B1C1中点.(1)求证:NA1∥CM.(2)求证:平面A1MCN⊥平面A1BD1.【证明】以D为原点,建立空间直角坐标系Dxyz.所以B(,1,0),A1(,0,1),D1(0,0,1),C(0,1,0),M,N.(1)=,=.所以=,所以NA1∥CM.(2)方法一:=(,1,-1),=(0,1,1),=,所以·=0+1-1=0,·=1-1+0=0,所以D1B⊥MN,D1B⊥CM,又MN∩CM=M,所以D1B⊥平面A1MCN,又D1B⊂平面A1BD1,所以平面A1MCN⊥平面A1BD1.方法二:=(,0,0),=(,1,-1),=(0,1,1),=.设平面A1MCN的法向量为n=(x,y,z),所以取n=(,1,-1).设平面A1BD1的法向量为m=(x1,y1,z1),所以取m=(0,1,1),因为n·m=(,1,-1)·(0,1,1)=0+1-1=0,所以n⊥m,所以平面A1MCN⊥平面A1BD1.【变式训练】在正三棱锥P-ABC中,三条侧棱两两互相垂直,G是△PAB的重心,E,F分别为BC,PB上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求证:平面GEF⊥平面PBC.【证明】如图,以三棱锥的顶点P为原点,以PA,PB,PC所在直线分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.令PA=PB=PC=3,则A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),P(0,0,0),于是=(3,0,0),=(1,0,0),故=3,所以PA∥FG.而PA⊥平面PBC,所以FG⊥平面PBC.又FG⊂平面EFG,所以平面EFG⊥平面PBC.【一题多解】如解析建立的空间直角坐标系,则E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0).所以=(0,-1,-1),=(1,-1,-1).设平面EFG的法向量是n=(x,y,z),则有n⊥,n⊥.所以令y=1,得z=-1,x=0,即n=(0,1,-1).显然=(3,0,0)是平面PBC的一个法向量.又n·=0,所以n⊥,即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量互相垂直,所以平面GEF⊥平面PBC.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知A(3,0,-1),B(0,-2,-6),C(2,4,-2),则△ABC是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.=(-3,-2,-5),=(-1,4,-1),则·=-3×(-1)-2×4+5=0.所以⊥,故△ABC为直角三角形.又||≠||故选C.2.平面α的一个法向量n=(0,1,-1),如果直线l⊥平面α,则直线l的单位方向向量s=( )A.(0,1,-1)B.±C.(0,,-)D.±(0,,-)【解析】选B.直线l的方向向量平行于平面α的法向量,故直线l的单位方向向量是s=±.3.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为( )A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.位置关系不确定【解析】选B.如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长度,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0).则=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0).因为·=0,·=0.所以PQ⊥DQ,PQ⊥DC.所以PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.4.如图,以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出如下四个结论,①·≠0;②AB⊥DC;③BD⊥AC;④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选 B.建立以D为坐标原点,以DB,DC,DA所在直线为x,y,z轴的空间坐标系,设斜边BC=2,则B(1,0,0),C(0,1,0),A(0,0,1)则=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0), =(-1,0,0)从而有·=0+0+1=1,故①错误,·=0,故②正确,·=0,故③正确,易知平面ADC的一个法向量为向量=(-1,0,0),平面ABC的法向量设为n=(x,y,z),由·n=x-z=0,·n=y-z=0,令y=1,则x=1,z=1,故n=(1,1,1),·n=-1,故④错误.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·上海高二检测)在空间直角坐标系Oxyz中,已知点P(2cosx+1, 2cos2x+2,0)和点Q(cosx,-1,3),其中x∈[0,π].若直线OP与直线OQ垂直,则x的值为.【解析】由题意得⊥.所以cosx·(2cosx+1)-(2cos2x+2)=0.所以2cos2x-cosx=0.所以cosx=0或cosx=.又x∈[0,π],所以x=或x=.答案:或6.(2014·南京高二检测)已知向量b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).若在直线AB上,存在一点E,使得⊥b(O为原点)则E点的坐标为.【解题指南】先设点E在AB上的位置,利用垂直关系建立与E点坐标有关的方程,求出点E.【解析】=+=+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),因⊥b,则·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,因此存在点E,使得⊥b,此时E点的坐标为. 答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·银川高二检测)已知正方体ABCD-A′B′C′D′中,点M,N分别在面对角线AD′和面对角线BD上,并且=.求证:MN⊥AD.【证明】设正方体棱长为1,==λ,=a,=b,=c,则=-= +-=+λ-λ=a+λ(b-a)-λ(b+c)=(1-λ)a-λc且a·b=0,a·c=0,b·c=0,所以·=b·[(1-λ)a-λc]=(1-λ)b·a-λb·c=0,所以⊥,所以MN⊥AD.【变式训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为DD1的中点,M为四边形ABCD的中心.求证:对A1B1上任一点N,都有MN⊥AP.【证明】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),P, M,N(1,y,1).所以=,=.所以·=(-1)×+0×+×1=0,所以⊥,即对A1B1上任意一点N都有MN⊥AP.8.(2014·广州高二检测)如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD 的交点,BB1=,M是线段B1D1的中点.(1)求证:BM∥平面D1AC.(2)求证:D1O⊥平面AB1C.【证明】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则点O(1,1,0),D1(0,0,),所以=(-1,-1,),又点B(2,2,0),M(1,1,),所以=(-1,-1,),所以=,又因为OD1与BM不共线,所以OD1∥BM.又OD1⊂平面D1AC,BM⊄平面D1AC,所以BM∥平面D1AC.(2)连接OB1.因为·=(-1,-1,)·(1,1,)=0,·= (-1,-1,)·(-2,2,0)=0,所以⊥,⊥,即OD1⊥OB1,OD1⊥AC,又OB1∩AC=O,所以D1O⊥平面AB1C.【变式训练】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点.求证:EF⊥平面B1AC.【解题指南】思路一:EF⊥AB1,EF⊥B1C得EF⊥平面B1AC;思路二:求平面B1AC的法向量n证明∥n从而EF⊥平面B1AC.【证明】设=a,=b,=c,则=+=(+)=(+)=(+-)=(-a+b+c).因为=+=a+b,所以·=(-a+b+c)·(a+b)=(b2-a2+c·a+c·b)=(|b|2-|a|2+0+0)=0.所以⊥,即EF⊥AB1.同理,EF⊥B1C.又AB1∩B1C=B1,所以EF⊥平面B1AC.【一题多解1】设正方体的棱长为2,以D为原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2).所以=(1,1,2)-(2,2,1)=(-1,-1,1),=(2,2,2)-(2,0,0)=(0,2,2),=(0,2,0)-(2,0,0)=(-2,2,0).所以·=(-1,-1,1)·(0,2,2)=(-1)×0+(-1)×2+1×2=0,·=(-1,-1,1)·(-2,2,0)=2-2+0=0,所以⊥,⊥,所以EF⊥AB1,EF⊥AC.又AB1∩AC=A,所以EF⊥平面B1AC.【一题多解2】同一题多解1得=(0,2,2),=(-2,2,0),=(-1,-1,1). 设平面B1AC的法向量n=(x,y,z),则·n=0,·n=0,即取x=1,则y=1,z=-1,所以n=(1,1,-1),所以=-n,所以∥n,所以EF⊥平面B1AC.。

第2课时空间向量与垂直关系一、基础达标1．若直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则() A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1、l2相交但不垂直D．不能确定[答案] B[解析]∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.2．若a＝(2，－1，0)，b＝(3，－4，7)，且(λa＋b)⊥a，则λ的值是() A．0 B．1 C．－2 D．2[答案] C[解析]λa＋b＝λ(2，－1，0)＋(3，－4，7)＝(3＋2λ，－4－λ，7)．∵(λa＋b)⊥a，∴2(3＋2λ)＋4＋λ＝0，即λ＝－2.3．若平面α，β平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是()A ．n 1＝(1，2，3)，n 2＝(－3，2，1)B ．n 1＝(1，2，2)，n 2＝(－2，2，1)C ．n 1＝(1，1，1)，n 2＝(－2，2，1)D ．n 1＝(1，1，1)，n 2＝(－2，－2，－2) [答案] D[解析] 两个平面平行时，其法向量也平行，检验知正确选项为D.4．已知直线l 1的方向向量a ＝(2，4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y ，2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是( )A ．－3或1B ．3或－1C ．－3D ．1[答案] A [解析] |a |＝22＋42＋x 2＝6，∴x ＝±4， 又∵a ⊥b ，∴a·b ＝2×2＋4y ＋2x ＝0， ∴y ＝－1－12x ，∴当x ＝4时，y ＝－3， 当x ＝－4时，y ＝1，∴x ＋y ＝1或－3.5．已知平面α上的两个向量a ＝(2，3，1)，b ＝(5，6，4)，则平面α的一个法向量为( )A ．(1，－1，1)B ．(2，－1，1)C ．(－2，1，1)D ．(－1，1，－1)[答案] C[解析] 显然a 与b 不平行，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ·n ＝0，b ·n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝0，5x ＋6y ＋4z ＝0.令z ＝1，得x ＝－2，y ＝1， ∴n ＝(－2，1，1)．6．下列命题中：①若u，v分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u·v＝0；②若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0；③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．正确的命题序号是________．[答案]①②③[解析]两平面垂直则它们的法向量垂直，反之亦然．7．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.证明如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝22，四边形ABCD是矩形，∴A，B，C，D，P的坐标分别为A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，22，0)，D(0，22，0)，P(0，0，2)．又E，F分别是AD，PC的中点，∴E(0，2，0)，F(1，2，1)．∴PC→＝(2，22，－2)，BF→＝(－1，2，1)，EF→＝(1，0，1)．∴PC→·BF→＝－2＋4－2＝0，PC→·EF→＝2＋0－2＝0.∴PC→⊥BF→，PC→⊥EF→.∴PC⊥BF，PC⊥EF.又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.二、能力提升8．已知A (1，0，0)、B (0，1，0)、C (0，0，1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( )A ．(33，33，－33) B ．(33，－33，33) C ．(－33，33，33)D ．(－33，－33，－33)[答案] D[解析] AB→＝(－1，1，0)，AC →＝(－1，0，1)．设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵⎩⎨⎧AB →·n ＝0，AC→·n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1，1，1)， 单位法向量为±n|n |＝±(33，33，33)．9．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB→＝(2，－1，－4)，AD→＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP→是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →. 其中正确的是________(填序号)． [答案] ①②③[解析] AP →·AB →＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4) ＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0， ∴AP ⊥AB ，即①正确．AP →·AD →＝(－1，2，－1)·(4，2，0) ＝－1×4＋2×2＋(－1)×0＝0.∴AP ⊥AD ，即②正确．又∵AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ，即AP→是平面ABCD 的一个法向量，③正确．④不正确． 10．如图等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一个公共边AB ，二面角C －AB －D 的余弦值为33，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则EM 、AN 所成角的余弦值等于________． [答案] 16[解析] 设AB ＝2，过点C 作CO ⊥平面ABDE ，OH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C －AB －D 的平面角．∵CH ＝3，OH ＝CH ·cos ∠CHO ＝1，结合等边△ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN ＝EM ＝CH ＝3，AN →＝12(AC →＋AB →)，EM →＝12AC →－AE →，AN →·EM →＝12(AB →＋AC →)·(12AC →－AE →)＝12，故EM 、AN 所成角的余弦值为AN →·EM→|AN→|·|EM →|＝16.11．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点． (1)求证：P A ∥平面EDB ；(2)求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值．(1)证明 如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，设DC ＝a .连接AC ，AC 交BD 于G ，连接EG . 由题意，得A (a ，0，0)，P (0，0，a )， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2. ∵底面ABCD 是正方形，∴G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，∴P A →＝(a ，0，－a )，EG→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，－a 2， ∴P A →＝2EG →，这表明 P A ∥EG .而EG ⊂平面EDB ，且P A ⊄平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB .(2)解 由题意，得B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)． 取DC 的中点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，0，连接EF ，BF .∵FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，a 2，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，DC →＝(0，a ，0)，∴FE→·FB →＝0，FE →·DC →＝0， ∴FE ⊥FB ，FE ⊥DC .又FB ∩DC ＝F ，∴EF ⊥底面ABCD ，BF 为BE 在底面ABCD 内的射影， 故∠EBF 为直线EB 与底面ABCD 所成的角．在Rt △EFB 中，|FE→|＝a 2，|FB →|＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝52a ，∴tan ∠EBF ＝|FE→||FB →|＝a 252a＝55，∴EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为55.12. 如图所示，△ABC 是一个正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点．求证：平面DEA ⊥平面ECA .证明 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，不妨设CA ＝2，则CE ＝2，BD ＝1，C (0，0，0)，A (3，1，0)，B (0，2，0)，E (0，0，2)，D (0，2，1)．所以EA →＝(3，1，－2)，CE →＝(0，0，2)，ED →＝(0，2，－1)．分别设面CEA 与面DEA 的法向量是n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧n 1·EA →＝0，n 1·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＋y 1－2z 1＝0，2z 1＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝－3x 1，z 1＝0.⎩⎨⎧n 2·EA→＝0，n 2·ED →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋y 2－2z 2＝0，2y 2－z 2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3y 2，z 2＝2y 2. 不妨取n 1＝(1，－3，0)，n 2＝(3，1，2)， 因为n 1·n 2＝0，所以两个法向量相互垂直． 所以平面DEA ⊥平面ECA . 三、探究与创新13．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点． (1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置． 解 以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a ，则A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，e )(0≤e ≤a )．(1)A 1E →＝(－a ，a ，e －a )， BD→＝(－a ，－a ，0)， A 1E →·BD →＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0， ∴A 1E →⊥BD →，即A 1E ⊥BD .(2)设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)．∵DB →＝(a ，a ，0)，DA 1→＝(a ，0，a )，DE →＝(0，a ，e )， ∴n 1·DB →＝0，n 1·DA 1→＝0，n 2·DB →＝0，n 2·DE →＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0.取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝(1，－1，ae )． 由平面A 1BD ⊥平面EBD 得n 1⊥n 2. ∴2－a e ＝0，即e ＝a 2.∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。

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新课标· 数学 选修 2-1
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
1 1 1 → → ∴AB1· MN＝(a＋c)· (－ a＋ b＋ c) 2 2 4 1 1 1 ＝－ ＋ cos 60° ＋0－0＋0＋ ＝0. 2 2 4 → → ∴AB1⊥MN， ∴AB1⊥MN.
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→ → → 【思路探究】 (1)若选AB、AC、AA1为基向量， → → → → 你能用基向量表示AB1与MN吗？怎样证明AB1与MN垂 直？ (2)若要建立空间直角坐标系，本题该怎样建立？
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面面垂直
若平面 α 的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量 v
u⊥v u· v＝ 0 ⇔ ＝(a2，b2，c2)，则 α⊥β⇔__________ ⇔_________ a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 ___________________________ .
课 标 解 读
1.掌握直线的方向向量和平面的法 向量的求法．(重点) 2.能利用方向向量和法向量处理线 线、线面、面面间的垂直问题．(重 点、难点)
当 堂 双 基 达 标
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中点.求证:MN∥平面A1BD.
证明:法一 如图所示,以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建 立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为 1, 则 M(0,1,
1 1 ),N( ,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0). 2 2 1 1 ,0, ), DA1 =(1,0,1), DB =(1,1,0). 2 2
n2 FC1 2 y2 z2 0, x2 0, 由 n2⊥ FC1 ,n2⊥ C1 B1 ,得 得 z2 2 y2 . n2 C1B1 2 x2 0,
令 z2=2,得 y2=-1, 所以 n2=(0,-1,2), 因为 n1=n2, 所以平面 ADE∥平面 B1C1F.
知识点三
空间垂直关系的向量表示
如图(5)所示,直线l⊥平面α ,直线l的方向向量为a,平面α 的法向量为n.
图(5) 如图(6)所示,平面α ⊥平面β ,平面α 的法向量为n,平面β 的法向量为m.
图(6)
问题3:(1)在图(5)中,向量a与向量n的关系是怎样的? (2)在图(6)中,向量m与向量n的关系是怎样的? 答案:(1)a∥n.(2)m⊥n. 梳理 (1)线线垂直 设直线l的方向向量为a=(a1,a2,a3),直线m的方向向量为b=(b1,b2,b3),则 a1b1+a2b2+a3b3=0 l⊥m⇔a· b=0⇔ . (2)线面垂直 设直线l的方向向量是a=(a1,b1,c1),平面α 的法向量是u=(a2,b2,c2),则l⊥ a1=λ a2,b1=λ b2,c1=λ c2 α ⇔a∥u⇔a=λ u⇔ (λ ∈R). (3)面面垂直 若平面α 的法向量u=(a1,b1,c1),平面β 的法向量v=(a2,b2,c2),则α ⊥β a1a2+b1b2+c1c2=0 ⇔u⊥v⇔u· v=0⇔ .

§3.2 立体几何中的向量方法知识点一用向量方法判定线面位置关系(1)设a、b分别是l1、l2的方向向量，判断l1、l2的位置关系：①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)．②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)．(2)设u、v分别是平面α、β的法向量，判断α、β的位置关系：①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，12 -)．②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)．(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，判断直线l与α的位置关系．①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)．②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)．解(1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，∴a＝－13b，∴a∥b，∴l1∥l2.②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.(2)①∵u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，12 -)，∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－35v，∴u∥v，∴α∥β.(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，∴u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a，∴l⊂α或l∥α.②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，∴u＝－14a，∴u∥a，∴l⊥α.知识点二利用向量方法证明平行问题如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.证明方法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M (0,1，12)，N (12,1,1)， D(0,0,0)，A 1(1,0,1)，B(1,1,0)， 于是MN =（12，0，12）， 设平面A 1BD 的法向量是 n=（x ，y ，z ）. n ＝(x ，y ，z)．则n ·DB ＝0，得0,0,x z x y +=⎧⎨+=⎩取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1.∴n ＝(1，－1，－1)．又 MN ·n ＝ (12,0，12)·(1，－1，－1)＝0， 方法二 ∵MN = 111111122C N C M C B C C -=-111111()22D A D D DA =-=∴MN ∥1DA ，又∵MN ⊄平面A 1BD.∴MN ∥平面A 1BD.知识点三 利用向量方法证明垂直问题在正棱锥P —ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△PAB 的重心，E 、F分别为BC 、PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.(1)求证：平面GEF ⊥平面PBC ；(2)求证：EG 是PG 与BC 的公垂线段． 证明 (1)方法一如图所示，以三棱锥的顶点P 为原点，以PA 、PB 、PC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．令PA ＝PB ＝PC ＝3，则A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0)． 于是PA ＝(3,0,0)，FG ＝(3,0,0)，故 PA ＝3FG ，∴PA ∥FG .而PA ⊥平面PBC ，∴FG ⊥平面PBC ，又FG ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PBC. 方法二 同方法一，建立空间直角坐标系，则 E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)．EF ＝(0，－1，－1)，EG ＝(0，－1，－1)，设平面EFG 的法向量是n ＝(x ，y ，z)， 则有n ⊥EF ，n ⊥PA ，∴0,0,y z x y z +=⎧⎨--=⎩令y ＝1，得z ＝－1，x ＝0，即n ＝(0,1，－1)．而显然PA =（3，0，0）是平面PBC 的一个法向量.这样n ·PA = 0,∴n ⊥PA即平面PBC 的法向量与平面EFG 的法向量互相垂直，∴平面EFG ⊥平面PBC. （2）∵EG =（1， -1， -1），PG =（1，1，0），BC =（0， -3，3），∴EG ·PG =1-1= 0，EG ·BC =3-3 = 0，∴EG ⊥PG ，EG ⊥BC ， ∴EG 是PG 与BC 的公垂线段.知识点四 利用向量方法求角四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PA 与平面ABCD 所成的角为60°，在四边形ABCD 中，∠D ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B ，P 的坐标； (2)求异面直线PA 与BC 所成角的余弦值．解 (1)如图所示，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D —xyz ，∵∠D ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2， ∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)．由PD ⊥面ABCD 得∠PAD 为PA 与平面ABCD 所成的角． ∴∠PAD ＝60°.在Rt △PAD 中，由AD ＝2，得PD ＝23． ∴P(0,0,23)． （2）∵PA ＝(2,0，－23)， BC =（-2， -3，0）∴cos 〈PA ,BC 〉=1313PA BC PA BC⋅=-∴PA与BC所成角的余弦值为1313．正方体ABEF－DCE′F′中，M、N分别为AC、BF的中点(如图所示)，求平面MNA与平面MNB所成二面角的余弦值．解取MN的中点G，连结BG，设正方体棱长为1.方法一∵△AMN，△BMN为等腰三角形，∴AG⊥MN，BG⊥MN.∴∠AGB为二面角的平面角或其补角．∵AG=BG=64,,AB AG GB=+，设〈AG，GB〉=θ，AB2＝AG 2＋2AG·GB＋GB2，∴1＝(64)2＋2×64×64cosθ＋(64)2.∴cosθ＝13，故所求二面角的余弦值为13．方法二以B为坐标原点，BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B－xyz则M(12，0，12)，N (12,12,0)，中点G(12，14，14)，A(1,0,0)，B(0,0,0)，由方法一知∠AGB为二面角的平面角或其补角．∴GA＝(12，－14，－14)，GB＝(12，－14，－14)，∴ cos<GA, GB>=GA GBGA GB⋅=11833388-=-⨯,故所求二面角的余弦值为13．方法三 建立如方法二的坐标系，∴110,0,AM n AN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即110,22110,22x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩取n 1＝(1,1,1)．同理可求得平面BMN 的法向量n 2＝(1，－1，－1)． ∴cos 〈n 1，n 2〉＝1212n n n n ⋅1333==-⨯,故所求二面角的余弦值为13知识点五 用向量方法求空间的距离已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离．解如图所示，以C 为原点，CB 、CD 、CG 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系C －xyz.由题意知C(0,0,0)，A(4,4,0)， B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(4,2,0)， F(2,4,0)，G(0,0,2)．BE ＝(0,2,0)，BF ＝(－2,4,0)，设向量BM ⊥平面GEF ，垂足为M ，则M 、G 、E 、F 四点共面，故存在实数x ，y ，z ，使BM = x BE + y BF + z BG ，即BM = x （0，2，0）+y （-2，4，0）+z （-4，0，2） =（-2y -4z ，2x+4y ，2z ）.由BM ⊥平面GEF ，得BM ⊥GE ,BM ⊥EF ，于是BM ·GE ＝0，BM ·EF ＝0， 即(24,24,2)(4,2,2)0,(24,24,2)(2,2,0)0,y x x y z y z x y z --+⋅-=⎧⎨--+⋅-=⎩即50,320,1,x zx y zx y z-=⎧⎪+++⎨⎪++=⎩，解得15,117,113,11xyz⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩∴BM＝(－2y－4z,2x＋4y,2z)＝226,,111111⎛⎫⎪⎭⎝∴|BM|＝222226()()()111111++21111=即点B到平面GEF的距离为21111．考题赏析(安徽高考)如图所示，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝4π，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．(1)求异面直线AB与MD所成角的大小；(2)求点B到平面OCD的距离．解作AP⊥CD于点P.如图，分别以AB、AP、AO所在直线为x、y、z轴建立平面直角坐标系．A(0,0,0)，B(1,0,0)，P (0，22，0)，D (－22，22，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)．(1)设AB与MD所成角为θ，∵AB＝(1,0,0)，MD＝(－22，22，－1)，∴cosθ =12AB MDAG MD⋅=⋅．∴θ＝3π．∴AB与MD所成角的大小为3π．（2）∵OP=（0,22，2-），OD=（-22，22，2-）,∴设平面OCD的法向量为n = ( x, y , z ),则n·OP=0，n·OD= 0.得220,22220,22y zx y z⎧-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩取z=2，解得n = (0,4,2).设点B到平面OCD的距离为d,则d为OB在向量n上的投影的绝对值.∵OB=（1，0，-2），∴d＝OB nn⋅23=,∴点B到平面OCD的距离为23,1．已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是( ) A．(33，33，－33) B．(33，－33，33)C．(－33，33，33) D．(－33，－33，－33)答案 DAB＝(－1,1,0)，是平面OAC的一个法向量．AC＝(－1,0,1)，BC＝(0，－1,1)设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)∴0,0,x yx z-+=⎧⎨-+=⎩令x＝1，则y＝1，z＝1 ∴n＝(1,1,1)单位法向量为：nn±＝± (33,33，33)．2．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是( )A．60°B．45°C．30°D．90°答案 B3．设l1的方向向量a＝(1,2，－2)，l2的方向向量b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝( )A．1 B．2 C．12D．3答案 B解析因l1⊥l2，所以a·b＝0，则有1×(－2)＋2×3＋(－2)×m＝0，∴2m＝6－2＝4，即m＝2.4．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则( ) A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确答案 A解析因v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.5．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析设〈AB，CD〉=θ，AB·CD=（AC+CD+DB·CD= |CD|2= 1，cosθ=12AB CDAB CD⋅=,所以θ=60°6．若异面直线l1、l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )A．25-B．25C．－255D．55答案 B解析设异面直线l1与l2的夹角为θ，则cosθ＝a ba b⋅⋅(1)44255416-⨯==⨯⋅+7．已知向量n＝(6,3,4)和直线l垂直，点A(2,0,2)在直线l上，则点P(－4,0,2)到直线l 的距离为________．答案366161， 解析PA =（6，0，0），因为点A 在直线l 上， n 与l 垂直，所以点P 到直线l 的距离为2223636616161634PA n⋅==++ 8．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．答案3π或23π，解析 设n 1＝(1,0，－1)，n 2＝(0，－1,1) 则cos 〈n 1，n 2〉＝100(1)(1)11222⨯+⨯-+-⨯=-⋅〈n 1，n 2〉＝23π．因平面α与平面β所成的角与〈n 1，n 2〉相等或互补，所以α与β所成的角为3π或23π．9．已知四面体顶点A(2,3,1)、B(4,1，－2)、C(6,3,7)和D(－5，－4,8)，则顶点D 到平面ABC 的距离为________．答案 11解析 设平面ABC 的一个法向量为n =（x,y,z ）则0,0,n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ()()x,y,z (2,2,3)0,x,y,z (4,0,6)0,⋅--=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩ 2230,460,x y z x z --=⎧⎨+=⎩2,2,3y x z x =⎧⎪⇒⎨=-⎪⎩令x=1, 则n = (1,2, 23-),AD =（-7，-7，7）故所求距离为14714377311374149AD nn---⋅==⨯=++,10．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于F.(1)证明：PA ∥平面BDE ； (2)证明：PB ⊥平面DEF.证明 (1)如图建立空间直角坐标系，设DC ＝a ，AC ∩BD ＝G ，连结EG ，则A(a,0,0)，P(0,0，a)，C(0，a,0)，E (0，2a ，2a )，G (2a ，2a，0)． 于是PA =（a ，0， -a ），EG =（2a ，0，2a-）,∴PA = 2EG ，∴PA ∥EG .又EG ⊂平面DEB.PA ⊄平面DEB.∴PA ∥平面DEB.(2)由B(a,a,0),得PB =(a, a, -a), 又DE =（0, 2a ,2a）,∵PB ·DE =22a 20,2a -= ∴PB ⊥DE.又EF ⊥PB ，EF ∩DE=E ，∴PB ⊥平面EFD.11．如图所示，已知点P 在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC ′所成角的大小；(2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小． 解如图所示，以D 为原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系D —xyz. 则DA =（1，0，0），'CC = (0,0,1).连结BD,B ′D ′. 在平面BB ′D ′D 中,延长DP 交B ′D ′于H. 设DH = (m,m,1) (m>0),由已知〈DH ,DA 〉= 60°, 由DA ·DH = |DA ||DH |cos 〈DH ,DA 〉,可得2m =221m + 解得m =22，所以DH ＝(22，22，1)， (1) 因为cos 〈DH ,'CC 〉= 220011222212⨯+⨯+⨯=⨯ (2) 所以〈DH ,'CC 〉= 45°, 即DP 与CC ′所成的角为45°.(2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC = (0,1,0).因为cos 〈DH ,DC 〉= 220011222212⨯+⨯+⨯=⨯ 所以〈DH ,DC 〉= 60°,可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°.12. 如图，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD=2，∠BAD=60°.平面PBD ⊥平面PAC ，(1)求点A 到平面PBD 的距离;(2)求异面直线AB 与PC 的距离.(1)解 以AC 、BD 的交点为坐标原点，以AC 、BD 所在直线为x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A （3，0，0），B （0，1，0），C （3-，0，0），D （0， -1，0），P （3，0，2）.设平面PBD 的一个法向量为n 1=（1，y 1，z 1）.由n 1⊥OB ， n 1⊥OP ，可得n 1=（1，0，32-）.（1）OA =（3，0，0），点A 到平面PBD 的距离,11OA n d n ⋅=2217=, 13.如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC = 2a ，BB 1 = 3a ，D 为A 1C 1的中点，在线段AA 1上是否存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ？若存在，求出|AF |；若不存在，请说明理由.解 以B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.假设存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ，并设AF =λ1AA =λ（0，0，3a ）=（0，0，3λa ）（0<λ<1）， ∵D 为A 1C 1的中点，∴D(22a ，22a ,3a) 1B D ＝ (22a ，22a ,3a)－(0,0,3a)＝ (22a ,22a ， 0)， 1B F 1B B BA AF =++=(0,0,3)(2,0,0)(0,0,3)a a a λ-++ ∵CF ⊥平面B 1DF ，∴CF ⊥1B D , CF ⊥1B F ,110,0,CF B D CF B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2300,9920,a λλλ⨯=⎧⎨-+=⎩ 解得λ＝23或λ＝13 ∴存在点F 使CF ⊥面B 1DF ，且 当λ=13时，|AF |=13,|1AA | = a 当λ=23，|AF | =23,|1AA | = 2a. 14．如图(1)所示，已知四边形ABCD 是上、下底边长分别为2和6，高为eq \r(3)的等腰梯形．将它沿对称轴OO 1折成直二面角，如图(2)．(1)证明：AC ⊥BO 1；(2)求二面角O —AC —O 1的余弦值．(1)证明 由题设知OA ⊥OO 1，OB ⊥OO 1.所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OA ⊥OB. 故以O 为原点，OA 、OB 、OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则相关各点的坐标是A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,1, 3)、O 1(0,0, 3)．AC ·1BO ＝－3＋3·3＝0.所以AC ⊥BO 1.（2）解 因为1BO ·OC =3-+ 3·3＝0.所以BO 1⊥OC.由（1）AC ⊥BO 1，所以BO 1⊥平面OAC, 1BO 是平面OAC 的一个法向量.设n=（x ，y ，z ）是平面O 1AC 的一个法向量，由10,0,n AC n O C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩330,0,x y z y ⎧-++=⎪⇒⎨=⎪⎩ 取z= 3，得n=（1，0，3）.设二面角O-AC-O 1的大小为θ，由n 、1BO 的方向可知θ=〈n,1BO 〉， 所以cos θ= cos 〈n ，1BO 〉=113n BO n BO ⋅= 即二面角O —AC —O 13。

2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的 交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
证明： 证法一：设A→1B1＝a，A→1D1＝b，A→1A＝c. 则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0. 而A→1O＝A→1A＋A→O＝A→1A＋12(A→B＋A→D) ＝c＋12(a＋b)， B→D＝A→D－A→B＝b－a， O→G＝O→C＋C→G＝12(A→B＋A→D)＋12C→C1 ＝12(a＋b)－12c，
三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图 所示，截面为 A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面 ABC，A1A＝ 3， AB＝AC＝2A1C1＝2，D 为 BC 中点．
解答本题可证明B→C垂直于平面A1AD内的两个不共线向量 A→A1和A→D或求两平面的法向量，再证明两个法向量互相垂直．
则nn11··AA→A→C1＝＝00， ⇒z－1＝2x01，＋2y1＝0.
令x1＝1，得y1＝1，∴n1＝(1,1,0)．
设平面AEC1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则nn22··AA→C→E1＝＝00，， ⇒z－2＝2x42x＋2，2y2＋z2＝0
令x2＝1，则n2＝(1，－1,4)，n1·n2＝1－1＝0， 即平面AEC1⊥平面AA1C1C.
空间中的垂直关系及其向量证明方法 (1)线线垂直 ①证明两直线的方向向量垂直． ②证明两直线所成角为90°. ③先证明线面垂直，利用线面垂直的性质． (2)线面垂直 ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行． ②证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直． ③先证明面面垂直，利用面面垂直的性质．
求证：AB1⊥MN.
解答本题可先选基向量，证明A→B1·M→N＝0或先建系，再证 明A→B1·M→N＝0.

利用空间向量证明线面垂直的方法有两种：一是利用判定定 理，即通过证明向量数量积为 0 来验证直线的方向向量与平面内 两条相交直线的方向向量垂直；二是求平面的法向量，验证直线 的方向向量与平面的法向量平行.
类型一 利用空间向量证明线线垂直 【例 1】 如图，PA⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 是矩形， PA＝AB＝1，点 F 是 PB 的中点，点 E 在边 BC 上移动．求证： 无论点 E 在边 BC 上的何处，都有 PE⊥AF.
【分析】 只需证明直线 PE 与 AF 的方向向量互相垂直即 可．
方法二：因为点 E 在边 BC 上，可设B→E＝λB→C， 于是P→E·A→F＝(P→A＋A→B＋B→E)·12(A→P＋A→B) ＝12(P→A＋A→B＋λB→C)·(A→B＋A→P) ＝12(P→A·A→B＋P→A·A→P＋A→B·A→B＋A→B·A→P＋λB→C·A→B＋λB→C·A→P)＝12 (0－1＋1＋0＋0＋0)＝0， 因此P→E⊥A→F. 故无论点 E 在边 BC 上的何处，都有 PE⊥AF.
将线线垂直问题转化为向量垂直问题后，可以选择基向量法 也可用坐标法，熟练掌握证明线线垂直的向量方法是关键.
已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都为 1，若侧棱 C1C 的 中点为 D，求证：AB1⊥A1D.
证明：设 AB 中点为 O，作 OO1∥AA1，以 O 为坐标原点， OB，OC，OO1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的 空间直角坐标系，则
法二：同法一得A→B1＝(0,2,2)，A→C＝(－2,2,0)， E→F＝(－1，－1,1)． 设平面 B1AC 的法向量 n＝(x，y，z)， 则A→B1·n＝0，A→C·n＝0，
即2－y＋2x2＋z＝2y0＝，0， 取 x＝1，则 y＝1，z＝－1， ∴n＝(1,1，－1)，∵E→F＝－n， ∴E→F∥n，∴EF⊥平面 B1AC.

2020秋高中数学人教A版选修2-1学案：3.2.2空间向量与垂直关系含解析3。

2。

2空间向量与垂直关系自主预习·探新知情景引入1．两向量垂直时,它们所在的直线垂直吗?2．两平面的法向量垂直时，两平面垂直吗？3．怎样用直线的方向向量和平面的法向量来描述线面垂直关系?新知导学空间垂直关系的向量表示设直线l,m的方向向量分别为a＝（a1,a2,a3)，b＝(b1，b2，b3），平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3),v＝（v1，v2，v3)，则位置关系向量关系向量运算关系坐标关系l⊥m__a⊥b____a·b＝0__a1b1＋a2b2＋a3b3＝0l⊥α__a∥u____a＝λu，λ∈R__a1＝λu1，a2＝λu2，a3＝λu3α⊥β__u⊥v__u·v＝0u1v1＋u2v2＋u3v3＝0预习自测1．设直线l1，l2的方向量分别为a＝（－2,2,1），b＝（3,－2，m），若l1⊥l2，则m等于（D)A．－2B．2C．6D．10［解析]l1⊥l2，则a⊥b，所以－6－4＋m＝0，∴m＝10，故选D．2．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是(A)A．n1＝（1，2,1），n2＝（－3,1，1)B．n1＝（1,1,2），n2＝（－2，1，1)C．n1＝(1,1，1），n2＝(－1,2,1)D．n1＝(1，2,1）,n2＝(0，－2,－2）3．(2019－2020学年北京市房山区期末检测）已知直线l的方向向量a＝（－1,2,1），平面α的法向量b＝（－2，4,2),则直线l 与平面α的位置关系是（B)A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l∈α[解析]∵直线l的方向向量a＝(－1,2，1），平面α的法向量b＝（－2，4,2）,∴b＝2a，∴则b与a共线,可得：l⊥a。

故选B．4．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1，1，2)，b＝（x，－2，3），且α⊥β，则x＝__－4__.[解析］α⊥β，则a⊥b，∴x－2＋6＝0，∴x＝－4。

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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)若两直线方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交. (× ) (2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直 线的方向向量的数量积为0. ( √ ) (3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面 内的直线的方向向量垂直. ( × ) (4)确定直线的方向向量,可以用空间一个基底表示,也可以建立 空间直角坐标系,写出方向向量的坐标. ( √ ) (5)若两平面α,β的法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则平面α,β 互相垂直. ( √ )
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做一做1 直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则 ( ) A.l1∥l2 B.l1与l2相交,但不垂直 C.l1⊥l2 D.不能确定 解析：因为a· b=0, 所以a⊥b,故l1⊥l2. 答案：C 做一做2 设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k),若 α⊥β,则k=( ) A.2 B.-5 C.4 D.-2 解析：因为α⊥β, 所以-2-8-2k=0, 解得k=-5. 答案：B
E
1 1 , ,0 2 2
,B1(1,1,1).
(1)∵������������1 =(-1,-1,1),������������ =(-1,1,0), ∴������������1 ·������������ =(-1)×(-1)+(-1)×1+1×0=0. ∴������������1 ⊥ ������������ , ∴BD1⊥AC.
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第2课时 空间向量与垂直关系空间中垂直关系的向量表示否垂直？[提示] 垂直．1．若直线l 的方向向量a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂αD ．l 与α斜交B [∵n ＝(－2，0，－4)＝－2(1，0，2)＝－2a ， ∴n ∥a ，∴l ⊥α.]2．设直线l 的方向向量u ＝(－2，2，t )，平面α的一个法向量v ＝(6，－6，12)，若直线l ⊥平面α，则实数t 等于( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2B [因为直线l ⊥平面α，所以u ∥v ，则－26＝2－6＝t12，解得t ＝－4，故选B.]3．若直线l 1的方向向量为u 1＝(1，3，2)，直线l 2上有两点A (1，0，1)，B (2，－1，2)，则两直线的位置关系是______．l 1⊥l 2 [AB →＝(1，－1，1)，u 1·AB →＝1×1－3×1＋2×1＝0，因此l 1⊥l 2.]4．已知两平面α，β的法向量分别为u 1＝(1，0，1)，u 2＝(0，2，0)，则平面α，β的位置关系为________．α⊥β [u 1·u 2＝0，则α⊥β.]1111求证：AB 1⊥平面A 1BD .思路探究：法一：通过证明AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →，得到AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD 法二：证明AB 1→与平面A 1BD 的法向量平行．[证明] 法一：如图所示，取BC 的中点O ，连接AO .因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC . 因为在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，以OB →，OO 1→，OA →分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0)．所以AB 1→＝(1，2，－3)，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0)．因为AB 1→·BA 1→＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0.AB 1→·BD →＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0.所以AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →，即AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD . 又因为BA 1∩BD ＝B ，所以AB 1⊥平面A 1BD . 法二：建系同方法一．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥BA 1→n ⊥BD →，即⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝－x ＋2y ＋3z ＝0，n ·BD →＝－2x ＋y ＝0，令x ＝1得平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，2，－3)， 又AB 1→＝(1，2，－3)，所以n ＝AB 1→，即AB 1→∥n . 所以AB 1⊥平面A 1BD .1．坐标法证明线面垂直有两种思路 法一：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 法二：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用法二，否则常常选用法一解决．1.如图，长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点，求证：直线PB 1⊥平面PAC .[证明] 依题设，以D 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系D ­xyz ，则C (1，0，0)，P (0，0，1)，A (0，1，0)，B 1(1，1，2)，于是CA →＝(－1，1，0)，CP →＝(－1，0，1)，PB 1→＝(1，1，1)， ∴CA →·PB 1→＝(－1，1，0)·(1，1，1)＝0， CP →·PB 1→＝(－1，0，1)·(1，1，1)＝0，故CP →⊥PB 1→，CA →⊥PB 1→，即PB 1⊥CP ，PB 1⊥CA ， 又CP ∩CA ＝C ，且CP ⊂平面PAC ，CA ⊂平面PAC . 故直线PB 1⊥平面PAC .11111的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .思路探究：要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n 1，n 2，证明n 1·n 2＝0.[解] 由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直．以B 为原点，BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2，0，0)，A 1(2，0，1)，C (0，2，0)，C 1(0，2，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12， 则AA 1→＝(0，0，1)，AC →＝(－2，2，0)，AC 1→＝(－2，2，1)，AE →＝(－2，0，12)．设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)． 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AC →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝1.∴n 1＝(1，1，0)． 设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＋z 2＝0，－2x 2＋12z 2＝0， 令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1.∴n 2＝(1，－1，4)． ∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n 1⊥n 2，∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．2．三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为三角形A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC .A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 中点．证明：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.[证明] 如图，建立空间直角坐标系．则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，A 1(0，0，3)，C 1(0，1，3)，因为D 为BC 的中点， 所以D 点坐标为(1，1，0)，所以BC →＝(－2，2，0)，AD →＝(1，1，0)，AA 1→＝(0，0，3)，因为BC →·AD →＝－2＋2＋0＝0，BC →·AA 1→＝0＋0＋0＝0， 所以BC →⊥AD →，BC →⊥AA 1→，所以BC ⊥AD ，BC ⊥AA 1，又AD ∩AA 1＝A ，所以BC ⊥平面ADA 1，而BC ⊂平面BCC 1B 1，所以平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.空间垂直关系的解决策略1．若直线l 的方向向量a ＝(8，－12，0)，平面α的法向量μ＝(2，－3，0)，则直线l 与平面α的位置关系是( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．直线l 与平面α相交但不垂直D ．无法确定 B [∵μ＝14a .∴μ∥a ，∴l ⊥α.]2．已知AB →＝(2，2，1)，AC →＝(4，5，3)，则平面ABC 的一个单位法向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－23，－23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，－23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，23 B [设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0，取x ＝1，则y ＝－2，z ＝2.所以n ＝(1，－2，2)．由于|n |＝3，所以平面ABC 的一个单位法向量可以是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，－23.]3．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1，2，3)，b ＝(x ，－2，3)，且α⊥β，则x ＝________．－5 [∵α⊥β，∴a ⊥b ， ∴a ·b ＝x －4＋9＝0， ∴x ＝－5.]4．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，证明：平面B 1ED ⊥平面B 1BD . [证明] 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，B 1(1，1，1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，DB 1→＝(1，1，1)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝1，∴n 1＝(1，1，－2)．同理求得平面B 1BD 的法向量为n 2＝(1，－1，0)，由n 1·n 2＝0，知n 1⊥n 2，∴平面B 1DE ⊥平面B 1BD .。

远不会有机会。
注意你的思想，它会变成你的言语；注意你的言语，它会变成你的行动；注意你的行动，它会变成你的习惯；注意你的习惯，它会变成你的 性格；注意你的性格，它会变成你的命运。 雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星。 不论你在什么时候结束，重要的是结束之后就不要悔恨。 多行不义，必自毙。——《左传》 失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要；假如我要，我就一定能! 萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 炫耀是需要观众的，而炫耀恰恰让我们失去观众。 只有创造，才是真正的享受，只有拼搏，才是充实的生活。 人只要不失去方向，就不会失去自己。 让珊瑚远离惊涛骇浪的侵蚀吗？那无异是将它们的美丽葬送。 骄傲是断了引线的风筝稍纵即逝。 在强者的眼中，没有最好，只有更好。 失败并不意味你浪费了时间和生命，失败表明你有理由重新开始。 诚无悔，恕无怨，和无仇，忍无辱。——宋《省心录》 世上所有美好的感情加在一起，也抵不上一桩高尚的行动。 遇到困难时不要抱怨，既然改变不了过去，那么就努力改变未来。 生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 善良的人永远是受苦的，那忧苦的重担似乎是与生俱来的，因此只有忍耐。 在强者的眼中，没有最好，只有更好。

课时作业23空间向量与平行关系时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．若直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则()A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1、l2相交但不垂直D．不能确定解析：a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，∴a⊥b.∴l1⊥l2.答案：B2．已知平面α的一个法向量是n＝(1,1,1)，A(2,3,1)，B(1,3,2)，则直线AB与平面α的关系是()A．AB∥αB．AB⊥αC．AB⊄αD．AB∥α或AB⊂α解析：由已知AB→＝(－1,0,1)，AB→·n＝－1×1＋1×0＋1×1＝0.∴AB→⊥n.∴AB∥α或AB⊂α.答案：D3．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是()A．－103B．6C ．－6 D.103解析：∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行． ∴24＝3λ＝－1－2.∴λ＝6. 答案：B4．已知平面α上的两个向量a ＝(2,3,1)，b ＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为( )A ．(1，－1,1)B ．(2，－1,1)C ．(－2,1,1)D ．(－1,1，－1)解析：显然a 与b 不平行，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧a ·n ＝0，b ·n ＝0，∴⎩⎨⎧2x ＋3y ＋z ＝0，5x ＋6y ＋4z ＝0.令z ＝1，得x ＝－2，y ＝1，∴n ＝(－2,1,1)． 答案：C5．若空间中A (1,2,3)，B (－1,0,5)，C (3,0,4)，D (4,1,3)，则直线AB 与CD 的关系为( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法确定解析：AB→＝(－2，－2,2)，CD →＝(1,1，－1)， ∴AB→＝－2CD →.∴AB →∥CD →.∴AB ∥CD .答案：A图16．如图1，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ； ③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1. 以上正确的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：A 1M →＝A 1A →＋AM →＝A 1A →＋12AB →， D 1P →＝D 1D →＋DP →＝A 1A →＋12AB →， ∴A 1M →∥D 1P →，从而A 1M ∥D 1P .∴①③④正确． 答案：C二、填空题(每小题8分，共24分)7．已知直线l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，12，2)，且l ∥α，则m ＝________.解析：∵l ∥α，∴l 的方向向量与α的法向量垂直． ∴(2，m,1)·(1，12，2)＝2＋12m ＋2＝0.解得m ＝－8. 答案：－88．若直线l 的一个方向向量为a ＝(1,1,1)，向量m ＝(1，－1,0)及向量n ＝(0,1，－1)都与平面α平行，则l 与α的关系为________．解析：a ·m ＝1×1＋1×(－1)＋1×0＝0， ∴a ⊥m .a ·n ＝1×0＋1×1＋1×(－1)＝0，∴a ⊥n . 显然m 与n 不平行，∴l ⊥α. 答案：l ⊥α9．已知直线l 与平面α垂直，直线的一个方向向量为u ＝(1,3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝________.解析：由已知平面α的法向量为u ＝(1,3，z )． 而又∵v 与面α平行，∴u ·v ＝1×3＋3×(－2)＋z ×1＝0. 解得z ＝3. 答案：3三、解答题(共40分)10．(10分)已知向量a ＝(1,3,5)，b ＝(2,4,6)，是否存在向量n ，使得n 与x 轴垂直，且满足n ·a ＝12，n ·b ＝14?解：设存在n＝(x，y，z)满足条件，x轴的一个方向向量为(1,0,0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x＝0，x＋3y＋5z＝12，2x＋4y＋6z＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝0，y＝－1，z＝3.故所求向量为n＝(0，－1,3)．11．(15分)已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、M、N分别是BC、AE、CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a.求证：MN∥平面ADD1A1.证明：以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，E(12a,2a,0)，图2∵M、N分别为AE、CD1的中点，∴M(34a，a,0)，N(0，a，a2)．∴MN→＝(－34a,0，a2)．取n＝(0,1,0)，显然n⊥平面A1D1DA，且MN→·n＝0，∴MN→⊥n .又MN ⊄平面ADD 1A 1. ∴MN ∥平面ADD 1A 1.图312．(15分)如图3，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，PA ＝BC ＝12AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面PAB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，说明理由．解：分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， ∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)．图4设E(0，y ，z)， 则PE→＝(0，y ，z －1)， PD→＝(0,2，－1)． ∵PE→∥PD →， ∴y(－1)－2(z －1)＝0.①∵AD→＝(0,2,0)是平面PAB 的法向量， 若CE ∥面PAB ，则AD →·CE →＝0，而CE →＝(－1，y －1，z)， ∴0×(－1)＋2(y －1)＋0×z ＝0.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，z ＝12，∴E 的坐标为(0,1，12)，即存在点E 为PD 的中点时，使CE ∥面PAB.。

第2课时 空间向量与垂直关系双基达标 (限时20分钟)1．若直线l 的方向向量a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为u ＝(－2，0，－4)，则 ( )．A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交解析 ∴u ＝－2a ，∴a ∥u ，∴l ⊥α.答案 B2．若a ＝(2，－1，0)，b ＝(3，－4，7)，且(λa ＋b )⊥a ，则λ的值是 ( )．A ．0B ．1C ．－2D ．2解析 λa ＋b ＝λ(2，－1，0)＋(3，－4，7)＝(3＋2λ，－4－λ，7)∵(λa ＋b )⊥a∴2(3＋2λ)＋4＋λ＝0，即λ＝－2.答案 C3．若平面α、β的法向量分别为a ＝(－1，2，4)，b ＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为 ( )．A ．10B ．－10 C.12 D ．－12解析 因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，所以a·b ＝(－1，2，4)·(x ，－1，－2) ＝0，解得x ＝－10.答案 B4．若l 的方向向量为(2，1，m )，平面α的法向量为(1，12，2)，且l ⊥α，则m ＝________． 解析 由l ⊥α得，21＝112＝m 2，即m ＝4. 答案 45．设A 是空间任一点，n 为空间内任一非零向量，则适合条件AM →·n ＝0的点M 的轨迹是________．解析 ∵AM →·n ＝0，∴AM →⊥n ，或AM →＝0，∴M 点在过A 且与n 垂直的平面上．答案 过A 且以n 为法向量的平面6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：OB 1⊥平面PAC .证明 如图，建立空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为2，则A (2，0，0)，P (0，0，1)，C (0，2，0)，B 1(2，2，2)，O (1，1，0)．于是OB 1→＝(1，1，2)，AC →＝(－2，2，0)，AP →＝(－2，0，1)，由于OB 1→·AC →＝－2＋2＋0＝0及OB 1→·AP →＝－2＋0＋2＝0.∴OB 1→⊥AC →，OB 1→⊥AP →，∴OB 1⊥AC ，OB 1⊥AP .又AC ∩AP ＝A ，∴OB 1⊥平面PAC .综合提高（限时25分钟）7．两平面α、β的法向量分别为u ＝(3，－1，z )，v ＝(－2，－y ，1)，若α⊥β，则y ＋z 的值是 ( )．A ．－3B ．6C ．－6D ．－12解析 α⊥β⇒u ·v ＝0⇒－6＋y ＋z ＝0，即y ＋z ＝6.答案 B8．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于 ( )．A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1A解析 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1.则A (0，1，0)，B (1，1，0)，C (1，0，0)，D (0，0，0)，A 1(0，1，1)，C 1(1，0，1)，E (12，12，1)， ∴CE →＝(－12，12，1)， AC →＝(1，－1，0)，BD →＝(－1，－1，0)，A 1D →＝(0，－1，－1)，A 1A →＝(0，0，－1)∵CE →·BD →＝(－1)×(－12)＋(－1)×12＋0×1＝0， ∴CE ⊥BD答案 B9．向量a ＝(－1，2，－4)，b ＝(2，－2，3)是平面α内的两个不共线的向量，直线l 的一个方向向量m ＝(2，3，1)，则l 与α是否垂直？______(填“是”或“否”)．解析 m·a ＝(2，3，1)·(－1，2，－4)＝－2＋6－4＝0，m ·b ＝(2，3，1)·(2，－2，3)＝4－6＋3＝1≠0.∴l 与α不垂直．答案 否10．已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，1)，(2，1，1)，点P 的坐标为(x ，0，z )，若PA →⊥AB →，PA →⊥AC →，则点P 的坐标为________．解析 因为AB →＝(－1，－1，1)，AC →＝(2，0，1)，PA →＝(－x ，1，－z )，由PA →·AB →＝0，PA →·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1－z ＝0，－2x －z ＝0，则x ＝13，z ＝－23， 所以P (13，0，－23)． 答案 (13，0，－23)11．三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC .A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 中点．证明：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.证明 法一 如图，建立空间直角坐标系．则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，A1(0，0，3)，C 1(0， 1，3)，∵D 为BC 的中点，∴D 点坐标为(1，1，0)，∴BC →＝(－2，2，0)，AD →＝(1，1，0)，AA 1→＝(0，0，3)，∵BC →·AD →＝－2＋2＋0＝0，BC →·AA 1→＝0＋0＋0＝0，∴BC →⊥AD →，BC →⊥AA 1→，∴BC ⊥AD ，BC ⊥AA 1，又AD ∩AA 1＝A ，∴BC ⊥平面ADA 1，而BC ⊂平面BCC 1B 1，∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.法二 同法一，得AA 1→＝(0，0，3)，AD →＝(1，1，0)，BC →＝(－2，2，0)，CC 1→＝(0，－1，3)，设平面A 1AD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AD →＝0，得⎩⎨⎧3z 1＝0，x 1＋y 1＝0. 令y 1＝－1得x 1＝1，z 1＝0，∴n 1＝(1，－1，0)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC →＝0，n 2·CC 1→＝0，得⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0. 令y 2＝1，得x 2＝1，z 2＝33， ∴n 2＝(1，1，33)． ∴n 1·n 2＝1－1＋0＝0，∴n 1⊥n 2.∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.12．(创新拓展)如图所示，矩形ABCD 的边AB ＝a ，BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝2，现有数据：a ＝32；a ＝1；a ＝2；a ＝3；a ＝4.若在BC 边上存在点Q ，使PQ ⊥QD ，则a 可以取所给数据 中的哪些值？并说明理由．解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，P (0，0，2)，D (0，2，0)．设Q (a ，x ，0)(BQ ＝x ，0≤x ≤2)，于是PQ →＝(a ，x ，－2)，QD →＝(－a ，2－x ，0)．由PQ ⊥QD 得PQ →·QD →＝－a 2＋x (2－x )－2×0＝0，即x 2－2x ＋a 2＝0，此方程有解，Δ≥0，∴0<a ≤1.当a ＝32时，方程的解为x ＝32或x ＝12，满足0≤x ≤2. 当a ＝1时，方程的解为x ＝1，满足0≤x ≤2. 因此满足条件的a 的取值为a ＝32或a ＝1.。

第三章 3.2 课时作业30一、选择题1．已知A (3,0，－1)，B (0，－2，－6)，C (2,4，－2)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：∵AB →＝(－3，－2，－5)，AC →＝(－1,4，－1)，BC →＝(2,6,4)，∴AB →·AC →＝0，∴AB ⊥AC ，且|AB →|≠|AC →|≠|BC →|，∴△ABC 为直角三角形．答案：C2．设A 是空间一定点，n 为空间内任一非零向量，满足条件AM →·n ＝0的点M 构成的图形是( )A ．圆B ．直线C ．平面D ．线段解析：M 构成的图形是经过点A ，且以n 为法向量的平面． 答案：C3．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，则BP →等于( )A. (337，－157，4)B. (337，－157，－3)C. (407，－157，4)D. (407，157，－3)解析：由AB →·BC →＝0得3＋5－2z ＝0，∴z ＝4. 又BP →⊥平面ABC ， ∴⎩⎨⎧BP →·AB →＝0，BP→·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得 ⎩⎨⎧x ＝407，y ＝－157.∴BP →＝(337，－157，－3)．答案：B4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A. AC B. BD C. A 1DD. AA 1解析：建立如图所示的坐标系．设正方体棱长为1， 则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，E (12，12，1)．∴CE →＝(12，12，1)－(0,1,0)＝(12，－12，1)，AC →＝(－1,1,0)，BD →＝(－1，－1,0)， A 1D →＝(－1,0，－1)，A 1A →＝(0,0，－1)． ∵CE →·BD →＝(12，－12，1)·(－1，－1,0)＝－12＋12＋0＝0，∴CE →⊥BD →，∴CE ⊥BD . 答案：B 二、填空题5．已知a ＝(0,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1)分别是平面α、β、γ的法向量，则α、β、γ三个平面中互相垂直的有__________对．解析：∵a ·b ＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，a ·c ＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，b ·c ＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0. ∴a 、b 、c 中任意两个都不垂直，即α、β、γ中任意两个都不垂直． 答案：06．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是__________．解析：AB →·AP →＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB ，①正确；AP →·AD →＝－4＋4＝0，∴AP ⊥AD ，②正确；且AP →是平面ABCD 的法向量；∴③正确，④错误．答案：①②③7．在直角坐标系Oxyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)其中x ∈[0，π]．若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．解析：由题意得OP →⊥OQ →. ∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos2x ＋2)＝0. ∴2cos 2x －cos x ＝0.∴cos x ＝0或cos x ＝12.又x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3.答案：π2或π3三、解答题8．如右图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝2，点E 是棱PB 的中点．证明：AE ⊥平面PBC .证明：如右图所示，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系A －xyz .设D (0，a,0)，则B (2，0,0)，C (2，a,0)，P (0,0，2)，E (22，0，22)． 于是AE →＝(22，0，22)，BC →＝(0，a,0)，PC →＝(2，a ，－2)，则AE →·BC →＝0，AE →·PC →＝0. 所以AE ⊥BC ，AE ⊥PC .又因为BC ∩PC ＝C ，所以AE ⊥平面PBC .9．在正棱锥P －ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△P AB 的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.求证：平面GEF ⊥平面PBC .证明：法一：如图，以三棱锥的顶点P 为原点，以P A ，PB ，PC所在直线分别作为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．令P A ＝PB ＝PC ＝3，则A (3,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,3)，E (0,2,1)，F (0,1,0)，G (1,1,0)，P (0,0,0)，于是P A →＝(3,0,0)， FG →＝(1,0,0)，故P A →＝3FG →，∴P A ∥FG .而P A ⊥平面PBC ，∴FG ⊥平面PBC . 又FG ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PBC . 法二：同证法一，建立空间直角坐标系，则 E (0,2,1)，F (0,1,0)，G (1,1,0)．∴EF →＝(0，－1，－1)，EG →＝(1，－1，－1)．设平面EFG 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则有n ⊥EF →，n ⊥EG →.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，x －y －z ＝0.令y ＝1，得z ＝－1，x ＝0即n ＝(0,1，－1)． 显然P A →＝(3,0,0)是平面PBC 的一个法向量．又n ·P A →＝0，∴n ⊥P A →，即平面PBC 的法向量与平面EFG 的法向量互相垂直，∴平面EFG ⊥平面PBC .。

3.2立体几何中的向量方法第二课时空间向量与垂直关系填一填空间垂直关系的向量表示设直线 l， m 的方向向量分别为 a＝ (a1， a2，a3)， b＝ (b1， b2，b3 )，平面α，β的法向量分别为 u＝ (u1， u2， u3)，v ＝ (v1， v2， v3)，则地点关系向量关系向量运算关系坐标关系l ⊥m a⊥ b a·b＝ 0a1b1＋ a2b2＋ a3b3＝ 0 l⊥ αa∥ u a＝λu，λ∈ R a ＝λu，a ＝λu，a＝λu112233α⊥ βu ⊥ v u·v＝ 0u1v1＋ u2v2＋ u3v3＝ 0判一判1.若两直线方向向量的数目积为0，则这两条直线必定垂直订交．(× )2．若向来线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的全部直线的方向向量的数目积为 0.(√ )3．两个平面垂直，则此中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．(×)→4．若点 A， B 是平面α上的随意两点，n 是平面α的法向量，则AB·n＝ 0.(√ )5．若向量 n 1， n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线必定平行． (√ )6．一个平面的法向量有无穷多个，它们相互平行．(√ )7．假如一个向量与平面内两个向量垂直，则此向量是平面的一个法向量．(× )8．给定一点 A 和一个向量a，那么，过点A，以向量 a 为法向量的平面是确立的．(√ )想想1.确立直线方向向量的两种方法是什么？一是用空间一个基底表示，二是成立空间直角坐标系，写出方向向量的坐标．2．用向量法证明空间的线、面垂直关系的重点是什么？需要确立直线的方向向量和平面的法向量，而后把证明线、面的垂直关系转变为向量间的关系．3．用向量法证明线面垂直的方法及步骤是什么？(1)基向量法．①确立基向量作为空间的一个基底，用基向量表示相关直线的方向向量；②找出平面内两条订交直线的方向向量，并分别用基向量表示；③分别计算相关直线的方向向量与平面内订交直线的方向向量的数目积，依据数目积为0，证得线线垂直，而后由线面垂直的判断定理得出结论．(2)坐标法．方法一：①成立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③找出平面内两条订交直线，并用坐标表示它们的方向向量；④分别计算两组向量的数目积，获得数目积为0；方法二：①成立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③求出平面的法向量；④判断直线的方向向量与平面的法向量平行．思虑感悟：练一练1．若 n＝ (2，－ 3,1)是平面α的一个法向量，则以下向量中能作为平面α的法向量的是 ()A ． (0，－3,1)B ． (2,0,1)C． (－ 2，－ 3,1)D． ( －2,3，－ 1)答案： D2．已知两直线的方向向量分别为a， b，则以下选项中能使两直线垂直的为()A ． a＝ (1,0,0) ，b＝ (－ 3,0,0)B． a＝ (0,1,0) ，b＝ (1,0,1)C． a＝ (0,1，－ 1)， b＝ (0，－ 1,1)D． a＝ (1,0,0) ，b＝ (－ 1,0,0)答案： B3．若直线l 的方向向量为a＝ (1,0,2) ，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则()A ． l∥ αB ．l ⊥ αC． l? α D ．l 与α斜交答案： Bl 的一个方向向量为u＝ (1，－ 3， z)，向量v ＝ (3，－4．已知直线l 与平面α垂直，直线2,1)与平面α平行，则z 等于 ()A．3 B．6C．－ 9 D．9答案： C知识点一向量法办理线线垂直问题1．已知空间三点 A(0,0,1)，B(－ 1,1,1)，C(1,2，－ 3)，若直线 AB 上一点 M，知足 CM ⊥ AB，则点 M 的坐标为 ________．→→分析：设 M(x， y， z)， AB＝ (－ 1,1,0)， AM ＝ (x， y， z－ 1)，由题意知，→ →，AM ＝ λAB ， ∴ (x ， y ， z － 1)＝ λ(－ 1,1,0) x ＝－ λ， y ＝ λ， z ＝ 1，则 M( －λ， λ， 1)．→ ∴CM ＝ (－ λ－1， λ－ 2,4)．→ →1 1 1∵CM ⊥ AB ， ∴ (－ λ－ 1) (·－ 1)＋(λ－ 2) 1·＋ 4× 0＝ 0，解得 λ＝ 2， ∴M － 2，2，1 .答案： － 1，1， 12 22．如图，△ ABC 中， AC ＝ BC ，D 为 AB 边中点， PO ⊥平面 ABC ，垂足 O 在 CD 上，求证： AB ⊥ PC.→ → →分析： 设 CA ＝ a ，CB ＝ b ， OP ＝ v .由条件知， v 是平面 ABC 的法向量，因此 v ·a ＝ 0，v ·b ＝ 0，→ 1由于 D 为 AB 中点，因此 CD ＝ 2(a ＋ b)，由于 O 在CD 上，→ → λ因此存在实数 λ，使 CO ＝ λCD ＝ 2(a ＋ b)，由于 CA ＝ CB ，因此 |a|＝ |b|，→ → λ ＋ v ＝ λ λ因此 AB ·CP ＝ (b － a) · a ＋ b2 (a ＋ b) ·(b － a)＋ (b － a) ·v ＝ 2 (|b|2－ |a|2)＋ b ·v － a ·v ＝20，→ →因此 AB ⊥ CP ，因此 AB ⊥ PC.知识点二 向量法办理线面垂直问题→ → → → →，且 BP ⊥平面3.已知 AB ＝ (1,5，－ 2) ， BC ＝ (3,1， z) ，若 AB ⊥ BC ， BP ＝ (x － 1， y ，－ 3) ABC ，则实数 x ， y ， z 分别为 ( )33 15 40 15A. 7 ，－ 7，4B.7 ，－ 7 ， 44040C. 7 ，－ 2,4 D ． 4， 7，－15→ → 分析： ∵ AB ⊥ BC ， → → ＝ 0， ∴AB ·BC即 1× 3＋ 5×1＋ (－ 2)× z ＝ 0， z ＝ 4.→∴BC ＝(3,1,4) ． ∵BP ⊥平面 ABC ，→ →BP ·AB ＝ 0，∴→ →BP ·BC ＝ 0，x－ y × 1＋ 5y＋－ 2 × － 3 ＝ 0，即3x－y ＋ y＋－ 3 × 4＝ 0，4015解得 x＝7， y＝－7 .4015综上， x＝7，y＝－7， z＝4.答案： B4．正方体 ABCD － A1B1 C1D 1的棱长为1，E，F 分别是棱 BC，DD1上的点，假如 B1E⊥平面 ABF ，则 CE 与 DF 的长度之和为 ________．分析：分别以直线 D 1 1 1 11为 x 轴， y 轴， z 轴成立空间直角坐标系，设CE ＝x，A，DC，DD→→DF ＝ y，则 E(x,1,1)，F(0,0,1 － y)，A(1,0,1) ，B1(1,1,0) ，因此 AF＝ (－ 1,0，－ y)，B1E＝ (x－1,0,1)．又→→B1E⊥平面 ABF ，因此 B1E⊥ AF，即 B1E·AF＝ 0，因此 x＋ y＝ 1.答案： 1别是知识点三向量法办理面面垂直5.在四周体ABCD 中， AB⊥平面BCD， BC＝ CD，∠ BCD ＝ 90°，∠ ADB ＝ 30°， E， F 分AC， AD 的中点，求证：平面BEF ⊥平面 ABC.证明：以 B 为原点成立如下图的空间直角坐标系，设A(0,0， a)，则易得B(0,0,0) ，C32 a，32a，0，D(0，3a,0)，E34a，3a4 a， 2，F 0，3a2 a， 2→→，故 AB＝ (0,0，－ a) ，BC＝32a，3aa， 0 .→－ az1＝ 0，n 1·AB＝ 0，设平面 ABC 的法向量为 n 1＝ (x1， y1， z1)，则即取 x1＝1，→x1＋y1＝0，n ·BC＝ 0，1∴ n 1＝ (1，－ 1,0)为平面 ABC 的一个法向量．设 n 2222＝ (x ，y， z )为平面 BEF 的一个法向量，同理可得n 2＝ (1,1，－ 3)．∵ n 1·n2＝ (1，－ 1,0) (1,1·，－6．如图，在正方体 ABCD － A1B1C1D1中， O 是3)＝ 0，∴ 平面AC 的中点， GBEF ⊥平面 ABC.是 BB 1的中点， E 是线段D 1O 上一点，且D1E＝ 2EO.求证：(1)DG ⊥ AC ；(2)DB ⊥平面 CD O ；11(3)平面 CDE ⊥平面 CD 1O.分析： 不如设正方体的棱长为1，以 DA ，DC ，DD 1 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴成立1 1如下图的空间直角坐标系，则 D (0,0,0) ，A(1,0,0) ，B 1(1,1,1) ，O 2， 2， 0 ，C(0,1,0) ，D 1(0,0,1) ，1G 1，1，2 .→ 1 →(1)∵ DG ＝ 1， 1， 2 ， AC ＝ (－ 1,1,0)，→ →→ → ∴DG ·AC ＝－ 1＋ 1＋0＝ 0， ∴DG ⊥ AC ， ∴ DG ⊥ AC.→ → → 1 1(2)DB 1＝ (1,1,1) ， CD 1＝ (0，－ 1,1)， OC ＝ －2， 2， 0 ，→ →→ → － 1＋ 1× 1＋ 1×0＝ 0 ，∵ DB 1·CD 1＝ 1×0 ＋ 1×(－ 1) ＋ 1×1＝ 0， DB 1·OC ＝ 1×2 2∴ DB 1⊥ CD 1， DB 1⊥ OC ，∵CD 1∩OC ＝ C ，∴ DB 1⊥ 平面 CD 1 O.(3)由 (2)知平面 CD 1O 的一个法向量为 →，DB 1＝ (1,1,1)→ 2 → 2 1 1 1 12∵D 1E ＝ 2EO ， ∴ D 1 E ＝ 3D 1 O ＝ 3 2，2，－ 1 ＝3，3，－3 ，→∴E11 1→11 1 ，设 n ＝ (x 1，y 1，z 1)是平面 CDE 的法向量，由n ·DE ＝ 0，→3， 3， 3 ，∴ DE ＝3， 3，3n ·DC ＝ 0 1 1 1得 3x 1＋ 3y 1＋ 3z 1＝ 0.y 1＝ 0令 x 1＝ 1，得 n ＝(1,0，－ 1)是平面 CDE 的一个法向量，→又 n ·DB 1＝ (1,0，－ 1) (1,1,1)· ＝ 1－ 1＝0，→∴n ⊥ DB 1， ∴ 平面 CDE ⊥ 平面 CD 1O.综合应用7.已知点 P 是平行四边形→→，ABCD 所在的平面外一点，假如 AB＝ (2，－ 1，－ 4)，AD＝ (4,2,0)→→→ →AP＝ (－ 1,2，－1) ．关于结论：① AP⊥ AB；② AP⊥ AD；③ AP是平面ABCD 的法向量；④ AP∥BD .此中正确的选项是 ________(填序号 )．→ →分析：AP ·AB＝ (－ 1,2,1) (2，·－ 1，－ 4)＝－ 1×2＋ 2× (－ 1)＋ (－ 1)× (－4)＝0，∴ AP⊥ AB，→ →(4,2,0)·＝ (－ 1)× 4＋ 2× 2＋ (－ 1)× 0＝ 0.∴AP ⊥ AD，即②正即①正确 .AP·AD ＝ (－ 1,2，－ 1)→→确．又∵AB ∩AD＝ A，∴ AP ⊥平面 ABCD ，即 AP是平面 ABCD 的一个法向量，③正确．∵AP→→是平面 ABCD 的法向量，∴ AP⊥ BD ，④不正确．答案：①②③8．在直角坐标系 O－ xyz 中，已知点 P(2cos x＋ 1,2cos 2x＋ 2,0)和点 Q(cos x，－ 1,3)，此中x∈ [0，π]，若直线 OP 与直线 OQ 垂直，则 x 的值为 ________．→→分析：由 OP⊥ OQ，得 OP·OQ＝0.即(2cos x＋ 1) cos· x＋(2cos 2x＋ 2) ·(－ 1)＝0.1∴cos x＝ 0 或 cos x＝2.ππ∵x∈[0，π]，∴ x＝2或 x＝3.π π答案：2或3基础达标一、选择题1．若平面α，β的法向量分别为m＝－1，1，－ 1， n ＝1，－ 1，3，则 () 632A ．α∥ β B．α⊥ βC．α与β订交但不垂直D．α∥ β或α与β重合分析：∵ n＝－ 3m，∴ m∥ n，∴ α∥ β或α与β重合．答案： D2．已知平面α内有一个点 A(2，－ 1,2)，α的一个法向量为n ＝ (3,1,2) ，则以下点 P 中，在平面α内的是 ()A ． (1，－ 1,1) B. 1， 3，3C. 1，－ 3，323D.－ 1， 3，－22分析：若点 P在平面α内，则→→→PA⊥α，即 PA·n＝ 0.关于选项 A ， PA＝ (1,0,1)，则 PA·n＝→1→1(1,0,1) (3,1,2)·＝ 5≠ 0，故清除 A ；关于选项 B，PA＝ 1，－ 4，2，则PA·n＝1，－ 4，2·(3,1,2)＝0，故 B 正确；同理可清除 C、 D.答案： B3．在正方体 ABCD － A B C D中，棱长为a，M ，N 分别为 A B， AC 的中点，则 MN 与11111平面 BB1C1C 的地点关系是 ()A ．订交B ．平行C ．垂直D ．不可以确立分析： 建系如图，设正方体的棱长为 2，→则 A(2,2,2) ， A 1 (2,2,0) ，C(0,0,2) ， B(2,0,2) ， ∴ M(2,1,1) ， N(1,1,2) ， ∴ MN ＝ (－ 1,0,1) ． 又平面 BB 1C 1C 的一个法向量为n ＝(0,1,0) ，∵－ 1× 0＋0× 1＋ 1×0＝ 0，→ ∴MN ⊥ n ，∴ MN ∥ 平面 BB 1C 1C.应选 B. 答案： B→是平面 ABCD 的法向量，则以低等式中可能不可立的是( )4．在菱形 ABCD 中，若 PA→ → → →＝ 0A. PA ·AB ＝ 0B. PC ·BD → → → →＝ 0C.PC ·AB ＝ 0D.PA ·CD 分析： ∵ PA ⊥ 平面 ABCD ， ∴ BD ⊥ PA. 又∵ AC ⊥ BD ， ∴ PC ⊥ BD .应选项 B 正确，选项 A 和 D 明显成立．应选 C. 答案： C5．已知点 A(0,1,0) ，B(－ 1,0，－ 1)，C(2,1,1)， P(x,0，z) ，若 PA ⊥平面 ABC ，则点 P 的坐标为() A ． (1,0，－ 2) B ． (1,0,2)C ． (－ 1,0,2)D ． (2,0，－ 1)分析： 由题意知 → → →AB ＝ (－ 1，－ 1，－ 1)，AC ＝(2,0,1) ， AP ＝(x ，－ 1，z)，又由于 PA ⊥ 平面 → → ＝(－ 1，－ 1，－ 1) (x ·，－ 1， z)＝ 0，得－ x ＋ 1－ z ＝ 0 ① .ABC ，因此有 AB ·AP→ →＝ (2,0,1) (x ，·－ 1， z)＝ 0，得 2x ＋ z ＝ 0 ② ，AC ·AP联立 ①② 得 x ＝－ 1， z ＝ 2，故点 P 的坐标为 (－ 1,0,2)． 答案： C6．四菱锥 P － ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，→ →，AB ＝(2，－ 1，－ 4)， AD ＝ (4,2,0) → ＝ (－ 1,2，－ 1) ，则直线 PA 与底面 ABCD 的关系是 ()APA ．平行B ．垂直C ．在平面内D ．成 60°角→ →分析： ∵ AB ·AP ＝ 2× (－ 1)＋ 2×(－ 1)＋ (－1)× (－ 4)＝ 0，→ →AD ·AP ＝ 4× (－ 1)＋ 2× 2＋ 0× (－ 1)＝0.又∵ AB? 底面 ABCD ， AD? 底面 ABCD ， AB ∩ AD ＝A ，∴AP ⊥底面 ABCD .应选 B.答案： B217．在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中， E ，F 分别在 A 1D ，AC 上，且A 1E ＝3A 1D ，AF ＝ 3AC ，则 ()A ． EF 至多与 A 1D ， AC 中的一个垂直B ． EF ⊥ A D ， EF ⊥ AC1C ．EF 和 BD 1订交 D ．EF 与 BD 1异面→ →→分析： 以点 D 为坐标原点，分别以 DA ， DC ， DD 1的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系，1 12 1设正方体的棱长为1，则 A 1(1,0,1) ，D (0,0,0) ，A(1,0,0) ，C(0,1,0) ，E 3， 0，3 ，F 3，3，0 ，B(1,1,0) ，D 1(0,0， 1)，→→则A D ＝ (－1,0，－ 1)， AC ＝( － 1,1,0)，1→ 1 1 1 →EF ＝ 3，3，－ 3 ，BD 1 ＝(－1，－ 1,1)，→1 →→ →→ →EF ＝－3BD ，A D ·EF ＝ 0，AC ·EF ＝ 0，11进而 EF ∥ BD 1， EF ⊥ A 1D ， EF ⊥ AC ，应选 B. 答案： B8．在正方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1 中，若 E 为 A 1C 1 的中点，则直线 CE 垂直于 ()A ．ACB ． BDC ． A 1D D ． A 1A分析： 成立如下图的空间直有坐标系．设正方体的棱长为1.1 1则 A(1,0,0) ， B(1,1,0) ， C(0,1,0) ，D (0,0,0) ，A 1(1,0,1) ， C 1(0,1,1) ， E 2， 2， 1 ，→1 1 →→ → → ∴CE ＝ 2，－ 2， 1 ，AC ＝ (－ 1,1，0)，BD ＝ (－ 1，－1,0)，A 1D ＝ (－ 1,0，－ 1)，A 1A ＝ (0,0，－ 1)．→ →1 ＋(－ 1)× － 1 ＋ 0× 1＝ 0， ∴ CE ⊥ BD. ∵CE ·BD ＝ (－ 1)×2 2答案： B 二、填空题9．两平面 α、β的法向量分别为 μ＝ (3，－ 1， z)， v ＝( － 2，－ y ， 1)，若 α⊥ β，则 y ＋ z 的值是 ________．分析： α⊥ β? μ·v ＝ 0? － 6＋ y ＋ z ＝ 0，即 y ＋ z ＝ 6. 答案： 610．已知 A ，B ， C 三点的坐标分别为A(4,1,3) ， B(2，－ 5,1)，C(3,7， λ)，若 AB ⊥ AC ，则λ＝ ________.→ → → →分析： ∵ AB ＝ (－ 2，－ 6，－ 2)， AC ＝ ( － 1,6， λ－ 3)， AB ·AC ＝ 2－ 36－ 2(λ－ 3)＝ 0， ∴λ＝－ 14.答案： － 1411．已知点 A ，B ，C 的坐标分别为 (0,1,0) ， (－ 1,0,1)， (2,1,1) ，点 P 的坐标为 ( x,0， z)，若→ → → → PA ⊥ AB ，PA ⊥ AC ，则点 P 的坐标为 ________．→ → → → → → →＝ 0， 分析： PA ＝ (－ x,1，－ z)，AB ＝ (－ 1，－ 1,1) ， AC ＝ (2,0,1) ，∵ PA ＝ 0，PA·AB ·AC x －1－ z ＝ 0， ∴－ 2x － z ＝ 0，∴ x ＝13， z ＝－ 23.答案： 1， 0，－ 23 312．若正三菱锥 P － ABC 侧面相互垂直，则棱锥的高与底面边长之比为 ________．分析： 设高为 h ，底边长为 1，成立如下图的空间直角坐标系，则点P(0,0 ， h)，33 1 3 1→3 → 3 1A 3 ，0，0 ，B － 6 ，2，0，C －6，－ 2， 0 ，PA ＝ 3 ， 0，－ h ，PB ＝ － 6 ， 2，－ h ，→ 3 111PC ＝ － 6 ，－ 2，－ h ，得平面 PAB ， PAC 的法向量分别为3， 3，h ， 3，－ 3， h ，则1 63－ 9＋ h 2＝0，解得 h ＝ 6.答案： 6 6 三、解答题 13.CC 如下图，正三棱柱 (底面为正三角形的直三棱柱)ABC － A 1B 1C 1 的全部棱长都为 2，D 为的中点．求证： AB⊥平面 A BD.111证明： 如下图，取 BC 的中点 O ，连结 AO.由于 △ ABC 为正三角形，因此 AO ⊥ BC.由于在正三棱柱 ABC － A 1B 1C 1 中，平面 ABC ⊥ 平面 BCC 1B 1，因此 AO ⊥ 平面 BCC 1B 1.→ → →取 B 1C 1 的中点 O 1 ，以 O 为原点，分别为 OB ，OO 1，OA 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴成立空间直角坐标系，则 B(1,0,0) ， D(－ 1,1,0)， A 1 (0,2， 3)， A(0,0， 3)， B 1(1,2， 0)．设平面 A 1BD 的法向量为 n ＝ (x ， y ， z)， → →BA 1＝ (－ 1,2， 3)， BD (－ 2,1,0)．→ →由于 n ⊥ BA 1， n ⊥BD ，→－x ＋ 2y ＋ 3z ＝ 0， n ·BA 1＝ 0，故 ?→ － 2x ＋ y ＝ 0， n ·BD ＝ 0， 令 x ＝ 1，则 y ＝2， z ＝－ 3，故 n ＝ (1,2，－ 3)为平面 A 1BD 的一个法向量，→3)，而AB 1＝ (1,2，－ → →因此 AB 1＝n ，因此 AB 1∥ n ，故 AB 1⊥ 平面 A 1BD . 14.如图，在三棱锥 P －ABC 中，三条侧棱 PA ，PB ， PC 两两垂直，且 PA ＝ PB ＝PC ＝ 3， G 是△ PAB 的重心， E ， F 分别是 BC ， PB 上的点，且 BE EC ＝PF FB ＝1 2.(1)求证：平面 GEF ⊥平面 PBC ；(2)求证： EG 与直线 PG 及直线 BC 都垂直．证明： (1) 如图，以三棱锥的极点 P 为坐标原点，以PA ，PB ， PC 所在的直线分别为y 轴、 z 轴成立空间直角坐标系P － xyz.x 轴、则 A(3,0,0) ， B(0,3,0) ， C(0,0,3) ，E(0,2,1) ， F(0,1,0) ，G(1,1,0) ，P(0,0,0) ．→ →于是 EF ＝ (0，－ 1，－ 1)， EG ＝ (1，－ 1，－ 1)．→ n ⊥ EF设平面GEF的法向量是n ＝ (x ， y ，z)，则，→n ⊥ EGy ＋z ＝ 0∴，可取 n ＝(0,1，－ 1)．x －y － z ＝ 0 →明显 PA ＝ (3,0,0) 是平面 PBC 的一个法向量．→ →又 n ·PA ＝0， ∴ n ⊥ PA ，即平面 PBC 的法向量与平面 GEF 的法向量垂直，∴平面 GEF ⊥平面 PBC.→ → → → → → →(2)由 (1)，知 EG ＝ (1，－ 1，－ 1)，PG ＝(1,1,0) ， BC ＝ (0，－ 3,3) ，∴EG ·PG ＝ 0，EG ·BC ＝0， ∴ EG ⊥PG ， EG ⊥ BC ， ∴EG 与直线 PG 及直线 BC 都垂直 .能力提高15．如图，在四棱锥 P － ABCD 中， PD ⊥底面 ABCD ，底面 ABCD 为正方形， PD ＝DC ，E ，F 分别是 AB ，PB 的中点．(1)求证： EF ⊥CD ； (2)在平面 PAD 内求一点 G ，使 GF ⊥平面 PCB ，并证明你的结论．分析： (1) 证明：以DA ，DC ， DP所在的直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴成立空间直角坐示系 (如图 )，aa a a→设 AD ＝a ，则 D (0,0,0) ，B(a ，a,0)，C(0 ，a,0)，E a ，2， 0 ，P(0,0，a)，F 2，2，2 ，∴ EFa a → → → a a＝ － 2，0， 2 ，DC ＝ (0， a,0)， ∴EF ·DC ＝ －2， 0， 2 ·(0， a,0)＝0， ∴ EF ⊥ CD.(2)∵ G ∈ 平面 PAD ，设 G(x,0， z)，→ a a a∴FG ＝ x － 2，－ 2， z － 2.→→由(1) ，知 CB ＝( a,0,0)， CP ＝ (0，－ a ，a)．由题意，要使 GF ⊥ 平面 PCB ，→ → a a a a → → aaa只要 FG ·CB ＝ x － 2，－2， z － 2 ·(a,0,0)＝ a x － 2 ＝ 0， FG ·CP ＝ x － 2，－ 2， z － 2 ·(0，a 2 a－ a ， a)＝ 2 ＋a z － 2 ＝ 0，∴x ＝aa2， 0， 0 ，即点 G 为 AD 的中点．2， z ＝ 0.∴点 G 的坐标为16．如图，在直三棱柱 ABC － A B C中，∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ＝ a ， AA ＝ b ，点 E ， F1 1 11分别在棱 11 b ，当平面 AEF ⊥平面 A 1EF 时，求 λBB 1，CC 1 上，且 BE ＝ BB 1，C 1F ＝ CC 1.设 λ＝33a的值．分析： 成立如下图的空间直角坐标系Axyz.则由题意可知 A(0,0,0) ， b2b E a ， 0，3， F 0， a ，3 ，→ 故AE ＝b a ， 0， 3 ，→2b AF ＝ 0， a ， 3.设平面 AEF 的法向量为 n 1＝ (x ， y ， z)，→ →＝ 0，则 n 1·AE ＝ 0，且 n 1·AF bz 2bz 即 ax ＋ 3 ＝ 0，且 ay ＋3 ＝0.b2b令 z ＝1，得 x ＝－ 3a ， y ＝－ 3a .b 2b λ2λ故 n 1＝ － 3a ，－ 3a ， 1 ＝ － 3，－ 3 ， 1 .同理可得平面 A 1的一个法向量为EF2b b2λ λn 2＝ 3a ， 3a ， 1 ＝ 3 ， 3， 1 .∵平面 AEF ⊥ 平面 A 1EF ， ∴ n 1·n 2＝ 0.22∴－ 2λ－2λ＋ 1＝0，解得 λ＝ 3(负值舍去 )．9 9 23.∴当平面 AEF ⊥平面 A 1 EF 时， λ＝2。

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第2课时 空间向量与垂直关系[课时作业] ［A 组 基础巩固]1．设A 是空间一定点，n 为空间内任一非零向量,满足条件错误!·n ＝0的点M 构成的图形是（ ） A ．圆 B ．直线 C ．平面D ．线段解析：M 构成的图形是经过点A ,且以n 为法向量的平面． 答案：C2．已知AB ，→＝(2,2，1)，错误!＝(4,5，3）,则平面ABC 的一个单位法向量为( ) A.错误! B.错误! C 。

错误!D 。

错误!解析：设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z ）， 则有错误!取x ＝1，则y ＝－2，z ＝2. 所以n ＝(1，－2,2）．由于｜n |＝3， 所以平面ABC 的一个单位法向量可以是错误!.答案：B3．在正方体ABCD .A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于（ ) A ．AC B ．BD C ．A 1DD ．A 1A解析：建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1。