高二数学空间向量及其运算

专题1.1空间向量及其运算知识点1空间向量的有关概念1．空间向量的定义及表示名称方向模表示法零向量任意0记为0单位向量11a ＝或=1AB 相反向量相反相等记为a 共线向量相同或相反//a b 或//AB CD 相等向量相同相等=a b 或=AB CD知识点2空间向量的线性运算1.空间向量的加减运算加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述减法运算三角形法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述2.空间向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a 的乘积a λ仍然是一个向量，称为空间向量的数乘几何意义λ>a λ 与向量a 的方向相同a λ 的长度是a 的长度的λ倍0λ<a λ 与向量a 的方向相反λ=0a λ=，其方向是任意的3.空间向量的运算律知识点3共线向量与共面向量1.直线l 的方向向量定义：把与a平行的非零向量称为直线l 的方向向量．2．共线向量与共面向量的区别共线(平行)向量共面向量定义位置关系表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量特征方向相同或相反特例零向量与任意向量平行充要条件共线向量定理：对于空间任意两个向量()0a b b ≠ ,，//a b 的充要条件是存在实数λ使=a bλ 共面向量定理：若两个向量a b,不共线，则向量p 与向量a b ,共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p xa yb＝＋对空间任一点O ，)1(OP xOA yOB x y =+＋＝空间中,,,P A B C 四点共面的充要条件是存在有序实数对(,,)x y z ，使得对空间中任意一点O ，都有(1OP xOA yOB zOC x+y +z ==++其中)重难点1空间向量的线性运算1．如图，在空间四边形ABCD 中，F ，M ，G 分别是BD ，BC ，CD 的中点，化简下列各式：(1)()12AB BC BD ++ ；(2)()12AG AB AC -+ ；(3)AC GD MB ++ ．【答案】(1)AG(2)MG(3)AF【分析】（1）由于G 是CD 的中点,所以()12BC BD BG +=，再根据空间向量的加法运算即可求出结果；（2）由于M 是BC 的中点,所以()12AB AC AM +=，再根据空间向量的减法运算即可求出结果；（3）由于M ，G 分别BC ，CD 的中点，所以11,22MB CB GD CD == ，又F 是BD 的中点，()12CD CB CF +=，再根据空间向量的加法运算即可求出结果；(1)解：因为G 是CD 的中点，所以()12BC BD BG +=，所以，()12AB BC BD AB BG AG ++=+=；(2)解：因为M 是BC 的中点,所以()12AB AC AM +=，所以，()1=2AG AB AC AG AM MG -+-= ；(3)解：因为M ，G 分别BC ，CD 的中点，所以11,22MB CB GD CD == ，又F 是BD 的中点，()12CD CB CF +=，所以，()111222AC GD MB AC CD CB AC CD CB AC CF AF ++=++=++=+=.2．如图，点M ，N 分别是四面体ABCD 的棱AB 和CD 的中点，求证：()12MN AD BC =+.【答案】详见解析.【分析】取BD 的中点P ，连接PM ，PN ，由12MP AD = ，12PN BC = ，MN MP PN =+即可求证.【详解】取BD 的中点P ，连接PM ，PN ，在ABD △中，12MP AD = ，在BCD △中，12PN BC =，所以()111222AD BC MN MP P D N A BC =+=+=+ .3．在正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -中，化简1AF AB BC -+，并在图中标出化简结果．【答案】1BE，作图见解析【分析】先利用正六棱柱的性质证得11BC F E =，从而利用空间向量的线性运算即可得解.【详解】因为六边形ABCDEF 是正六边形，所以//BC EF ，BC EF =，又在正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -中，1111,//E F EF E F EF =，所以1111//,BC E F BC E F =，故11BCE F 是平行四边形，则11BC F E =，所以111111AF AB BC AF F E AB AE AB BE -+=+-=-= ，向量1BE在图中标记如下，4．如图.空间四边形OABC 中，OA a,OB b,OC c === ，点M 在OA 上，且满足2OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN =（）A ．121232a b c-+ B ．221332a b c+-C ．111222a b c+- D ．211322a b c-++ 【答案】D【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.【详解】()1221123322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++.故选：D.5．如图所示，在长方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，11111,,A B a A D b A A c ===，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1，A 1A 的中点，求证：0EF GH PQ ++=.【答案】证明见解析.【分析】先利用基底,,a b c 表示出,,EF GH PQ ，进而证得0EF GH PQ ++=成立.【详解】11111,,A B a A D b A A c ===，则111111,,222222EF a b GH a c PQ c b =+=--=-，则1111110222222EF GH PQ b a c c b⎛⎫⎛⎫++=++--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.6．如图，设A 是BCD △所在平面外的一点，G 是BCD △的重心.求证：()13AG AB AC AD =++.【答案】证明见解析.【分析】连接BG ，延长后交CD 于点E ，利用G 是BCD △的重心即可得到AG与,,AB AC AD 之间的关系.【详解】连接BG ，延长后交CD 于点E ，连接AE，由G 为BCD △的重心，可得CE DE =，=2BG GE，则()=2AG AB AE AG -- ，则21=33AG AE AB + ，又()1=2AE AC AD + ，则()21111=32233AG AC AD AB AB AC AD ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭.7．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点．记AB a =，AD b = ，1AA c =则下列正确的是（）A ．1122AM a b c=-++ B ．1122AM a b c=+-C ．1122AM a b c=++ D ．1122AM a b c=++ 【答案】C【分析】利用平行六面体的性质以及空间向量的线性运算即可求解.【详解】由题意可知：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，所以M 为11A C 的中点，则1121122A M A C AC ==，所以1111111122AM AA A M AA A C AA AC=+=+=+ 111112222AA AB AC a b c =++=++ ，故选：C .重难点2共线问题8．设a ，b 是空间中两个不共线的向量，已知9AB m =+ a b ，2BC =-- a b ，2DC =-a b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数m =；【答案】3-；【分析】A ，B ，D 三点共线，故存在实数λ，使得AB BD λ= ，再由已知条件表示出BD 与AB,建立方程组可求出m 和λ值．【详解】因为2BC =-- a b ，2DC =-a b ，所以()223BD BC CD BC DC =+=-=----=-+a b a b a b ，因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数λ，使得AB BD λ=，即()93m λ+=-+a b a b ，所以93m λλ=-⎧⎨=⎩，解得3m λ==-．【点睛】本题考查了空间向量中三点共线问题，共线向量定理常常用来解决此问题．9．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是底面1111D C B A 和侧面11CC D D 的中心，若()10EF A D λλ+=∈R，则λ=．【答案】12-/－0.5【分析】作图，连接连接11A C ，1C D ，构造三角形中位线解题﹒【详解】如图，连接11A C ，1C D ，则点E 在11A C 上，点F 在1C D 上，易知1EF A D ，且112EF A D =，∴112EF A D = ，即1102EF A D -= ，∴12λ=-．故答案为：12-10．(多选)若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP=m OA +n OB ，其中m+n=1，则结论正确的有（）A ．P ∈直线ABB ．P ∉直线ABC ．O ，A ，B ，P 四点共面D ．P ，A ，B 三点共线【答案】ACD【解析】由题意可得1m n =-，代入向量式化简可得AP nAB =，可得向量共线，进而可得三点共线，可得结论．【详解】解:因为1m n +=，所以1n =-，所以OP=()1OA B n n O -⋅+⋅ ，即OP OA -=n (OB OA - )，即AP =n AB，所以AP AB 与共线.又AP AB ，有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈直线AB.因为OP=m OA +n OB ，故O ，A ，B ，P 四点共面.故答案为：ACD【点睛】本题考查平面向量的共线问题，熟练表示出向量共线的条件是解决问题的关键，属中档题．11．已知5a = ，a b λ=.（1）若b 与a的方向相同，且7b = ，则λ的值为；（2）若b 与a的方向相反，且7b = ，则λ的值为.【答案】5757-【分析】根据向量共线可得答案.【详解】由于57a b = ，所以当a ，b 同向时，57λ=；当a ，b 反向时，57λ=-.故答案为：①57；②57-.12．已知{,,}a b c 是空间的一个基底，下列不能与m a b =- ，n b c =-构成空间的另一个基底的是（）A ．a c- B ．a c+C ．a b+D ．a b c++ 【答案】A【分析】根据基底向量任意两向量不共线，三个向量不共面可判断求解.【详解】由m a b =- ，n b c =- ，两式相加可得a c m n -=+，即a c -r r 与,m n →→共面故a c -r r不能与m a b =- ，n b c =- 构成空间的另一个基底．故选：A13．已知平面单位向量1e ，2e 满足1212e e ⋅= ，且12a xe e =+，x R ∈，122(1)b e e λλ=+- ，若使1b a -= 成立的正数λ有且只有一个，则x 的取值范围为.【答案】{}2/2x =【分析】由向量的模的计算公式得223310x x λλ-+-=，再根据一元二次方程的根的判别式可求得答案.【详解】解：12a xe e =+，x R ∈，122(1)b e e λλ=+- ，则12||(2)(11)1b a x e e λλ-=-+--= ，所以212(2)1x e e λλ--= ，所以22(2)(2)1x x λλλλ---+=，故223310x x λλ-+-=.由于使||1b a -=成立的正数λ有且只有一个，故关于以λ为未知数的一元二次方程有且只有一个正实数根，故()2291210x x ∆=--=，解得2x =±，当2x =-时，0λ<故舍去，则2x =.故x 的范围是唯一一个实数{}2，故答案为：{}2.14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 在11A D 上，且112A E ED =，F 在对角线A 1C 上，且12.3A F FC = 若1,,AB A b c a D AA === .（1）用,,a b c表示EB .（2）求证：E ，F ，B 三点共线.【答案】（1）23a EB c b =--；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知得111112++++3EB EA A A AB D A A A AB == ，由此可得答案；（2）由已知得FB 35EB = ，由此可得证.【详解】解：（1）因为112A E ED =，1,,AB A b c a D AA === ，所以1111122+++++33EB EA A A AB D A A b A c a AB ===--，所以23a EB cb =-- ；（2）12.3A F FC = 11112++++5FB FA A A AB CA A A AB== ()112++++5CB BA AA A A AB =()2++5b ac c a =--- 323323555535a b a b c c EB ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭，又EB 与FB相交于B ，所以E ，F ，B 三点共线.15．如图，已知,,,,,,,,O A B C D E F G H 为空间的9个点，且OE kOA = ，OF kOB = ，OH kOD =，AC AD m AB =+ ，EG EH mEF =+，0,0k m ≠≠.求证：（1）//AC EG；（2）OG kOC = .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意，EG EH mEF =+ ，转化,EH OH OE EF OF OE =-=- ，代入结合题干条件运算即得证；（2）由题意，OG OE EG =+，又,OE kOA EG k AC == ，运算即得证【详解】证明：（1）()EG EH mEF OH OE m OF OE =+=-+-()()k OD OA km OB OA =-+- ()k AD km AB k AD m AB k AC=+=+= ∴//AC EG .（2）()OG OE EG kOA k AC k OA AC kOC =+=+=+= .重难点3向量的共面问题16．已知空间A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线，设P 为空间中任意一点，若64BD PA PB PC λ=-+，则λ=（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】B【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决.【详解】64BD PA PB PC λ=-+，即64PD PB PA PB PCλ=-+- 整理得63PD PA PB PCλ=-+由A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线，可得631λ-+=，解之得2λ=-故选：B17．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，1132OM xOA OB OC =++，则x =．【答案】16【分析】根据四点共面的知识列方程，由此求得x .【详解】由于M ∈平面ABC ，所以11132x ++=，解得16x =.故答案为：1618．已知,,A B M 三点不共线，对于平面ABM 外的任意一点O ，判断在下列各条件下的点P 与点,,A B M 是否共面．(1)3OB OM OP OA +=- ；(2)4OP OA OB OM =-- ．【答案】(1)共面(2)不共面【分析】（1）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；（2）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；【详解】（1）解：因为,,A B M 三点不共线，可得,,A B M 三点共面，对于平面ABM 外的任意一点O ，若3OB OM OP OA +=-，即111333OP OA OB OM =++ ，又因为1111333++=，根据空间向量的共面定理，可得点P 与,,A B M 共面.（2）解：因为,,A B M 三点不共线，可得,,A B M 三点共面，对于平面ABM 外的任意一点O ，若4OP OA OB OM =--，此时41121--=≠，根据空间向量的共面定理，可得点P 与,,A B M 不共面．19．已知12e e，为两个不共线的非零向量，且12AB e e =+ ，1228AC e e =+ ，1233AD e e =- ，求证：A B C D ，，，四点共面．【答案】证明见解析【分析】用共面向量定理证明,,AC AB AD共面，即可得四点共面．【详解】设AC x AB y AD =+，则()()1212122833e e x e e y e e +=++- ，()()1223830x y e x y e ∴--+-+= ，又12e e，为两个不共线的非零向量，230830x y x y --=⎧∴⎨-+=⎩，51x y =⎧∴⎨=-⎩，5AC AB AD ∴=- ，A B C D ∴，，，四点共面，故原命题得证．20．i ，j ，k是三个不共面的向量，22AB i j k =-+ ，23BC i j k =-+ ，35CD i j k λ=+- ，且A ，B ，C ，D 四点共面，则λ的值为.【答案】-3【分析】由题知存在实数s ，t ，使得CD sAB tBC =+，代入条件，比较系数列方程求解.【详解】若A ，B ，C ，D 四点共面，则存在实数s ，t ，使得CD sAB tBC =+，即()()35222-+3i j k s i j k t i j k λ+-=-++ ，所以232-52+3s ts t s t λ=+⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，解得1s =-，-1t =，-3λ=.故答案为：-3.21．下列条件中，一定使空间四点P ､A ､B ､C 共面的是（）A ．OA OB OC OP++=-uu r uu u r uuu r uu u r B ．OA OB OC OP++=uu r uu u r uuu r uu u r C ．2OA OB OC OP++=uu r uu u r uuu r uu u r D ．3OA OB OC OP++= 【答案】D【分析】要使空间中的P 、A 、B 、C 四点共面，只需满足OP xOA yOB zOC =++uu u r uu r uu u r uuu r，且1x y z ++=即可.【详解】对于A 选项，OP OA OB OC =---uu u r uu r uu u r uuu r，()()(1)1131-+-+-=-≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；对于B 选项，OP OA OB OC =++，11131++=≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；对于C 选项，111222OP OA OB OC =++，111312222++=≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；对于D 选项，111333OP OA OB OC =++ ，1111333++=,所以点P 与A 、B 、C 三点共面.故选：D.22．若{a ，b ，c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A ．b c +，b ，b c -r r B ．a ，a b + ，a b - C ．a b + ，a b - ，c D ．a b +，a b c ++ ，c 【答案】C【分析】由平面向量基本定理逐项判断可得答案．【详解】由平面向量基本定理得：对于A 选项，12= b ()+ b c 12+()-b c ，所以()+ b c ，b ，()- b c 三个向量共面；对于B 选项，12= a ()+ b a 12+()a b -，a ，a b + ，a b - 三个向量共面；对于C 选项，则存在实数,x y 使得()()()()=++-=++-c x a b y a b x y a x y b ，则,,a b c共面，与已知矛盾，因此C 选项中向量不共面；对于D 选项，()++=++ c a b a b c ，所以三个向量共面；故选：C ．知识点1空间向量的夹角如图，已知两个非零向量a b ,，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a b ,的夹角，记作a b ,，夹角的范围：[]0,π，特别地，如果π2a b = ,，那么向量a b ,互相垂直，记作a b ⊥ 知识点2空间向量的数量积运算1．空间向量的数量积已知两个非零向量a b ,，则cos ,a b a b 〈〉叫做a b,的数量积，记作a b ⋅ ，即cos ,a b a b a b ⋅= 〈〉．零向量与任意向量的数量积为0，即00a ⋅=.2．数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律()()a b a b Rλλλ⋅⋅∈＝，交换律a b b a ⋅=⋅ 分配律()a b c a b a c⋅⋅⋅ ＋=＋3．投影向量在空间，向量a 向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，||cos ||,bc a a b b =〈〉，向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量．4．数量积的性质若a，b 为非零向量，则（1）0a b a b ⊥⇔⋅= ；（2）()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向；（3）2a a a ⋅= ，a a a =⋅；（4）a b cos a,b a b⋅〈〉=；（5）a b a b⋅≤ 重难点4空间向量数量积的运算23．在正四面体-P ABC 中，棱长为1，且D 为棱AB 的中点，则PD PC ⋅的值为（）.A ．14-B ．18-C ．12-D ．12【答案】D【分析】在正四面体-P ABC 中，由中点性质可得()12PD PA PB =+ ，则PD PC ⋅ 可代换为()12P PA B C P ⋅+，由向量的数量积公式即可求解.【详解】如图，因为D 为棱AB 的中点，所以()12PD PA PB =+，()()1122PD PC P P C P A PB PA P C PC B ⋅=⋅⋅⋅+=+ ，由正四面体得性质，PA 与PC 的夹角为60°，同理PB 与PC的夹角为60°，1PA PB PC === ，111cos602PA PC P PB C ⋅⋅==⨯⨯︒= ，故21211122PC PD ⎛⎫⋅=⨯+= ⎪⎝⎭ ，故选：D.24．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，13BB =，E 、F 分别为棱AB 、11A C 的中点，则1EF BB =⋅.【答案】9【分析】分析可知1BB AB ⊥，111BB A C ⊥，利用空间向量数量积的运算性质可求得1EF BB ⋅的值.【详解】因为1BB ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，则1BB AB ⊥，同理可知111BB A C ⊥，所以，()111111111122EF BB EA AA A F BB BA BB A C BB ⎛⎫⋅=++⋅=++⋅ ⎪⎝⎭2211111111922BA BB BB A C BB BB =⋅++⋅==.故答案为：9.25．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1CC 上任意一点，则AM BC ⋅ =.【答案】1【分析】根据空间向量的线性运算及数量积的运算性质求解.【详解】如图，在正方体中，M 为棱1CC 上任意一点，则11CM CC AA λλ==，01λ≤≤，()()21001AM BC A AC CM AB AD AA D D AD A λ∴=+⋅=++⋅⋅=++= .故答案为：1.26．给出下列命题：①空间中任意两个单位向量必相等；②若空间向量,a b 满足a b =r r ，则a b = ；③在向量的数量积运算中()()a b c a c b ⋅=⋅r r r r r r；④对于非零向量c ，由a c b c ⋅=⋅ ，则a b =，其中假命题的个数是．【答案】4.【详解】对于①：空间中任意两个单位向量的方向不能确定，故不一定相等，故①错误；对于②：空间向量,a b 满足a b =r r ，但方向可能不同，故不能得到a b =，故②错误；对于③：数量积运算不满足结合律，故③错误；对于④：由a c b c ⋅=⋅，可得cos ,cos ,a c a c b c b c <>=<> ，所以cos ,cos ,a a c b b c <>=<> ，无法得到a b =，故④错误.所以错误的命题个数为4.故答案为：427．已知空间四面体D -ABC 的每条棱长都等于1，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则FE CD ⋅等于（）A ．14B ．14-CD．【答案】B【分析】由题意可得2DB FE =，再利用空间向量的数量积运算即可得到答案.【详解】因为点,E F 分别是,AB AD 的中点，所以//DB FE ，2DB FE =，所以2DB FE =，则12FE DB = ，又因为空间四面体D -ABC 的每条棱长都等于1，所以DBC △是等边三角形，则60BDC ∠=︒，所以111cos 60224FE CD DB DC DB DC ⋅=-⋅=-⋅︒=- .故选：B ．.28．设a 、b为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：①22a a = ；②2a b baa⋅=；③()222a b a b ⋅=⋅ ；④()2222a b a a b b -=-⋅+ .其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】利用空间向量数量积的定义可判断①、②、③；利用空间向量数量积的运算律可判断④.【详解】对于①，222cos 0a a a == ，①正确；对于②，向量不能作比值，即ba错误，②错误；对于③，设a 、b的夹角为θ，则()()2222222cos cos a ba b a b a b θθ⋅=⋅=⋅≤⋅，③错误；对于④，由空间向量数量积的运算性质可得()2222a ba ab b -=-⋅+，④正确.故选：B.【点睛】本题考查利用空间向量数量积的定义与运算性质判断等式的正误，属于基础题.29．已知向量a b ⊥ ，向量c 与,a b 的夹角都是60︒，且1,2,3a b c ===，试求(1)()22a b c +-；(2)()()323a b b c -⋅-．【答案】(1)11(2)72-【分析】（1）计算30,,32a b a c b c ⋅=⋅=⋅=，展开计算得到答案.（2）()()2323333223a b b c a b a c b b c -⋅-=⋅-⋅-+⋅ ，代入计算得到答案.【详解】（1）向量a b ⊥ ，向量c 与,a b 的夹角都是60︒，且1,2,3a b c ===，22231,4,9,0,cos60,cos6032a b c a b a c a c b c b c ===⋅=⋅=⋅︒=⋅=⋅︒=，()()22222222241169031211a b c a b c a b a c b c +-+++⋅-⋅-⋅=+++--==；（2）()()2277323333223081822a b b c a b a c b b c -⋅-=⋅-⋅-+⋅=--+=-30．在三棱锥D ABC -中，已知2AB AD ==，1BC =，3AC BD ⋅=-，则CD =【分析】用,AB AD 表示BD，根据条件列出方程建立,,AC BAC DAC ∠∠的关系，利用等量代换计算22||CD AD AC =- 即得.【详解】设,BAC DAC αβ∠=∠=，显然||||1AC AB BC -==，则222||||cos 1AC AB AC AB α+-⋅= ，即24||cos 3AC AC α-=-，而3AC BD ⋅=-，即()3AC AD AB AC AD AC AB ⋅-=⋅-⋅=- ，于是得2||cos 2||cos 3AC AC βα-=- ，2||cos 32||cos AC AC βα=-+，22222||244||cos CD AD AC AD AC AD AC AC AC β=-=+-⋅=+-2242(32||cos )104||cos 7AC AC AC AC αα=+--+=+-=，则有||CD =，所以CD =.重难点5用数量积解决夹角问题31．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AA 1的长度为4，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.用向量法求：(1)BD 1的长；(2)直线BD 1与AC .【答案】(1)【分析】（1）利用向量模的计算公式和向量的数量积的运算即得出BD 1的长；（2）分别求出11||,||,AC BD AC BD ⋅的值，代入数量积求夹角公式，即可求得异面直线BD 1与AC 所成角的余弦值．【详解】（1）∵111111BD BB B A A D =++，()22111111BD BB B A A D =++ 222111111111111111222BB B A A D BB B A BB A D B A A D =+++⋅+⋅+⋅ 222422242cos 60242cos120222cos 90=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯＝24，∴1BD的长为（2）∵AC AB BC =+，∴()22222222208AC AB BCAB BC AB BC =+=++⋅=++=，∴AC =∵1BD =()()111111111111111124cos12022cos18022cos9024cos1202AC BD AB BC BB B A A D AB BB AB B A AB A D BC BB BC B A BC A D ⋅=+⋅++=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⨯+⨯+⨯+⨯+2cos9022cos 08⨯+⨯=-，∴111cos ,=AC BD AC BD AC BD ⋅⋅所以直线BD 1与AC所成角的余弦值为3．32．（多选）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -，其中AB AD ==11AA =，60DAB ∠=︒，1145DAA BAA ∠=∠=︒，下列说法中正确的是（）A．1AC B ．1AC DB⊥C ．直线AC 与直线1BD 是相交直线D ．1BD 与AC所成角的余弦值为3【答案】ABD【分析】对选项A ，根据11AC AB AD AA =++，再平方即可判断A 正确，对选项B ，根据()110()AC DB AB AD AA AB AD ⋅=++⋅-=，即可判断B 正确，对选项C ，根据图形即可判断C 错误，对选项D ，根据空间向量夹角公式即可判断D 正确.【详解】对选项A ，111AC AB BC CC AB AD AA =++=++，则22221111222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅221cos 6021cos 4521cos 4511=+++︒+⨯︒+⨯︒=，所以1AC A 正确；对选项B ，()221111()AC DB AB AD AA AB AD AB AA AB AA AD AD⋅=++⋅-=+⋅-⋅-2112022=+-⨯-=，所以1AC DB ⊥，故B 正确；对C ，直线AC 与直线1BD 是异面直线，C 错误；对D ，111BD BA AD DD AB AD AA =++=-++ ，AC AB AD =+，1BD==AC = ()221111()BD AC AB AD AA AB AD AB AD AA AB AA AD⋅=-++⋅+=-++⋅+⋅2211222=-+++=，所以，111cos ,3||BD AC BD AC BD AC ⋅〉===〈，于是1BD 与AC所成角的余弦值为3.故选：ABD33．已知向量,a b r r 都是空间向量，且π,=3a b ，则3,4=a b -.【答案】2π3【分析】利用向量夹角公式、范围及已知求<3,4>a b -的大小.【详解】由题设1cos<,>==2||||a b a b a b ⋅，而121cos<3,4>==212||||a b a b a b -⋅-- ，<3,4>(0,π)a b -∈，所以2π<3,4>=3a b -.故答案为：2π334．已知不共面的三个向量,,a b c 都是单位向量，且夹角都是3π，则向量a b c -- 和b 的夹角为（）A ．6πB ．4πC ．34πD ．56π【答案】C【分析】根据题意计算得a b c --= ()1a b c b --⋅=-，进而计算夹角即可得答案.【详解】解：由题意，得11,2a b c a b a c b c ===⋅=⋅=⋅= ，所以a b c --()21a b c b a b b b c --⋅=⋅--⋅=-设向量a b c -- 和b 的夹角为θ，则()cos 2a b c b a b c bθ--⋅==---⋅ ，又[]0,θπ∈，所以34πθ=.故选：C.35．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AD A AB BAD ∠=∠=∠=︒，2AB AD ==，11AA=，点P 为线段BC 中点．(1)求1D P ；(2)求直线1AB 与1D P 所成角的余弦值．【答案】(1)1D P =【分析】(1)首先设AB a = ，AD b = ，1AA c =，得到112D P a b c =-- ，再平方即可得到答案；(2)由1AB a c =+，得1AB = 111111cos ,AB D P AB D P AB D P⋅=计算即可.【详解】（1）因为在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段BC 上，且满足BP PC =．设AB a = ，AD b = ，1AA c =，这三个向量不共面，{},,a b c 构成空间的一个基底．所以()()111D P AP AD AB BP AD AA =-=+-+ ()1122a b b c a b c ⎛⎫=+-+=-- ⎪⎝⎭ ．112D P a b c =-- ，22222111224D P a b c a b c a b a c b c⎛⎫∴=--=++-⋅-⋅+⋅ ⎪⎝⎭1111441222212141122134222=+⨯+-⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯=++--+=，1D P ∴=（2）由（1）知112D P a b c =--，1D P = 1a AB c =+ ，1AB === ()11111112cos ,a c a b c AB D PAB D P AB D P⎛⎫+⋅-- ⎪⋅∴=2211322214a ab ac a c b c c-⋅-⋅+⋅-⋅-== ，直线1AB 与1D P 所成角的余弦值为14．36．如图，二面角l αβ--的棱上有两个点A ，B ，线段BD 和AC 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l ．若4,6,8,AB AC BD CD ====α与平面β夹角的余弦值为．【答案】13【分析】设这个二面角的度数为α，由题意得CD CA AB BD =++，从而得到cos α．【详解】解：设平面α与平面β的夹角的度数为α，由题意得CD CA AB BD =++，且,CA AB AB BD ⊥⊥ ，即0,0CA AB AB BD ⋅=⋅= ∴22222||||cos(π)CD CA AB BD CA BD α=+++⋅-，2361664268cos α∴=++-⨯⨯⨯，解得1cos 3α=，∴平面α与平面β的夹角的余弦值为13．故答案为：13．重难点6投影向量37．在标准正交基{},,i j k 下，已知向量2a i =-+83j k + ，52b i k =-+ ，则向量2a b + 在i 上的投影为，在,j k上的投影之积为．【答案】-1256【分析】根据向量的加法求得21287a b i j k +=-++ ，即可得2a b + 在i ，j ，k上的投影分别为-12，8，7，即可得答案.【详解】解：易得21287a b i j k +=-++，所以2a b + 在i ，j ，k上的投影分别为-12，8，7，其在j ，k上的投影之积为8756⨯=．故答案为：-12；56.38．已知4a = ，向量e 为单位向量， 120a e <>=，，则空间向量a 在向量e 方向上投影为．【答案】2-【分析】根据投影的定义结合已知条件求解即可.【详解】因为4a = ，向量e为单位向量， 120a e <>= ，，所以向量a 在向量e 方向上投影为1cos1204()22a =⨯-=-．故答案为：2-39．如图，在长方体ABCD A B C D -''''中，已知1AB =，2AD =，3AA '=，分别求向量AC ' 在AB 、AD 、AA '方向上的投影数量．【答案】向量AC ' 在AB、AD 、AA ' 方向上的投影数量分别为1、2、3.【分析】分析可得A AB AD A C A =+'+' ，利用投影数量公式可求得向量AC ' 在AB、AD 、AA ' 方向上的投影数量.【详解】解：非零向量a 在非零向量b方向上的投影数量为cos ,a b a b a a b a a b b⋅⋅<>=⋅=⋅，由空间向量的平行六面体法则可得A AB AD A C A =+'+'，在长方体ABCD A B C D -''''中，0AB AD AB AA AD AA ''⋅=⋅=⋅=，因此，向量AC ' 在AB方向上的投影数量为()1AB AD AA AB AC AB AB AB AB'++⋅'⋅===，向量AC ' 在AD 方向上的投影数量为()2AB AD AA AD AC ADAD AD AD'++⋅'⋅===，向量AC ' 在AA ' 方向上的投影数量为()3AB AD AA AA AC AA AA AA AA ''++⋅''⋅'===''.40．如图，已知PA ⊥平面ABC ，120ABC ∠= ，6PA AB BC ===，则向量PC 在BC上的投影向量等于.【答案】32BC【分析】先求出PC BC ⋅，再根据投影向量的公式计算即可.【详解】PA ⊥ 平面ABC ，则PA BC ⊥，21()0666542PC BC PA AB BC BC PA BC AB BC BC BC ⋅=++⋅=⋅+⋅+⋅=+⨯⨯+= 向量PC 在BC 上的投影向量为||PC BC BC ⋅543.362||BC BC BC BC ⋅==故答案为：32BC.41．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，向量AB在向量11A C方向上的投影向量的模是．【分析】由正方体的性质可得向量AB 与向量11A C 夹角为cos 45 ，先求出1111AB A C A C ⋅的值，进而可得答案.【详解】棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中向量AB 与向量11A C 夹角为cos 45，所以1111AB A C A C =⋅111111cos ,cos ,AB A C AB AB A C A B ⋅=1cos 452=⨯=向量AB在向量11A C 方向上的投影向量是11111111AB A C A C A C A C ⋅⨯=1111A C A C向量AB在向量11A C1111A C A C =故答案为：242．如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，CB AB ⊥，AB BC a ==，PA b =．(1)确定PC在平面ABC 上的投影向量，并求⋅ PC AB ；(2)确定PC 在AB上的投影向量，并求⋅ PC AB ．【答案】(1)PC在平面ABC 上的投影向量为AC ，2PC AB a ⋅= ；(2)PC 在AB 上的投影向量为AB，2PC AB a ⋅= .【分析】（1）根据PA ⊥平面ABC 可得PC在平面ABC 上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算()AB PC A B B P B C A A =++⋅⋅的值即可求解；（2）由投影向量的定义可得PC 在AB上的投影向量，由数量积的几何意义可得⋅ PC AB 的值.【详解】（1）因为PA ⊥平面ABC ，所以PC在平面ABC 上的投影向量为AC ，因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂面ABC ，可得PA AB ⊥，所以0PA AB ⋅=，因为CB AB ⊥，所以0BC AB ⋅=，所以()PC AB PA AB PA AB AB BC AB BC AB AB =++=+⋅⋅⋅⋅+⋅ 2200a a =++=.（2）由（1）知：2PC AB a ⋅= ，AB a =r ，所以PC 在AB上的投影向量为：2cos ,AB PC AB AB PC AB AB a AB PC PC AB PC AB a a AB PC AB AB AB AB⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅=⋅，由数量积的几何意义可得：2PC AB AB a AB ⋅=⋅= .重难点7用数量积求线段长度43．棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）OABC 中，若M 是BC 的中点，N 在OM 上且ON MN =，记OA a = ，OB b = ，OC c =.(1)用向量a ，b，c 表示向量AN ；(2)若13AP AN =，求OP .【答案】(1)1144AN a b c =-++；(2)||OP =【分析】（1）根据空间向量基本定理进行求解即可；（2）根据空间向量数量积的运算性质和定义、结合空间向量基本定理进行求解即可.【详解】（1）因为M 是BC 的中点，N 在OM 上且ON MN =，所以11111()22244AN AO ON OA OM OA OB OC a b c =+=-+=-+⨯+=-++；（2）由（1）可知：1144AN a b c =-++ ，因为13AP AN =，所以1111211()334431212OP OA AP OA AN OA a b c a b c =+=+=+-++=++，而OP = OABC 的棱长为1，所以OP ==44．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB =，1AD =，11AA =，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，则线段1AC 的长为（）A ．5B ．3CD【答案】C 【分析】11AC AB BC CC =++ ，然后平方可算出答案.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB =，1AD =，11AA =，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，∵11AC AB BC CC =++ ，∴()2211AC AB BC CC =++ 222111222AB BC CC AB BC AB CC CC BC=+++⋅+⋅+⋅ 111110*********=++++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，∴1AC =故选：C.45．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a = ，AD b = ，1AA c = ，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，1a b c === ，则用{},,a b c 表示1AC uuu r 及线段1AC 的长为分别为（）A ．1AC c a b =++ ，15AC = B ．1AC a b c =+- ，13AC =C ．1AC c a b =++ ，1AC =D ．1AC a b c =+- ，1AC =【答案】C【分析】用向量的线性运算可直接求得1AC uuu r ；求整体的模长可平方再开根.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB =，1AD =，11AA =，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，∵11AC AB BC CC a b c =++=++ ，∴()2222111121222AC AB BC CC AB BC CC AB BC AB CC CC BC=++=+++⋅+⋅+⋅ 111110*********=++++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=,∴1AC = 故选:C ．46．如图，在直三棱柱111—ABC A B C 中，E F G ，，，分别为11A B ，1CC ，1BB 的中点，分别记AB ，AC ，1AA为a ，b ，c .(1)用a ，b ，c 表示EF ，EG ；(2)若12AB AC AA ===，AB AC ⊥，求2EF EG + .【答案】(1)1122EF a b c -=-+ ；1()2EG a c -= .【分析】（1）用空间向量的加减运算分别表示EF ，EG ，111111EF EA A F EA AC C F +=+=+ ，11EG EB B G =+ ，再转化为a ，b ，c 表示即可；（2）先把2EF EG + 用a ，b ，c 表示，然后平方，把向量的模和数量积分别代入，计算出结果后再进行开方运算求得2EF EG + .【详解】（1）连结1A F .在直三棱柱111—ABC A B C 中，11AB A B a == ，11AC AC b == ，111AA BB CC c === ，则1111111111111112222EF EA A F EA A C C F A B A C CC a b c ===-+-=+++-+- .11111111()222EG EB B G A B BB a c =+=--= .（2）如图，在直三棱柱111—ABC A B C 中，1AA ABC ⊥底面，AB ABC ⊂底面，AC ABC ⊂底面，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，又AB AC ⊥，所以10B AA A c a =⋅⋅= ，10C AA A c b =⋅⋅= ，0A A B a C b ⋅⋅== .1113()22222a b c a c F G b E a E c -+-++=-=+- ，()2222213193314912422442a b c a b c a b a c EF EG b c ⎛⎫=+-=+++⋅-⋅-⋅=++= ⎪⎝⎭+ ，所以2EF EG +=47．如图所示，在平行四边形ABCD 中，1AB AC ==，=90ACD ∠︒，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60︒角，则,B D 间的距离等于（）A B ．1C 2D ．1【答案】C 【分析】先利用向量的加法可得BD BA AC CD =++ ，等式两边进行平方，可求出24BD = 或22BD = ，从而可得结果.【详解】90,0ACD AC CD ∠=︒∴⋅= ,同理，0AC BA ⋅= ，又因为AB 与CD 成60︒角，,60BA CD ∴=︒ 或,120BA CD =︒ ，AC CD BD BA =++ ，2222222BD AC CD BA AC BA CD AC CD BA =+++⋅+⋅+⋅ 3211cos ,BA CD =+⨯⨯⨯= 31±，24BD = 或22BD = ，2BD = 或BD = 故选：C.48．平行六面体ABCD A B C D -''''中，4,3,5,9060,AB AD AA BAD BAA DAA ===∠=∠=''∠='︒︒，则AC '的长为（）A ．10B C D【答案】B【分析】由AC AB AD AA '=++' ，两边平方，利用数量积运算性质即可求解．【详解】如图，216AB = ，29AD = ，225AA '= ，43cos 900AB AD ⋅=⨯⨯︒= ，45cos 6010AB AA ⋅'=⨯⨯︒= ，1535cos 602AD AA ⋅'=⨯⨯︒= ． AC AB AD AA '=++'，∴2222222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA '=++'+⋅+⋅'+⋅'1516925202102852=+++⨯+⨯+⨯=，∴||AC '=即AC '故选：B ．49．棱长为2的正方体中，E ，F 分别是1DD ，DB 的中点，G 在棱CD 上，且13CG CD =，H 是1C G的中点．(1)求1cos ,EF C G ．(2)求FH 的长．【答案】153【分析】（1）将1,EF C G 分别用1,,DA DC DD 表示，再根据数量积的运算律分别求出11,,EF C G EF C G ⋅ ，再根据111cos ,EF C G EF C G EF C G⋅= 即可得解；（2）将FH 用1,,DA DC DD 表示，再根据数量积的运算律即可得解.【详解】（1）由题意，()11122EF ED DF DD DA DC =+=-++ ，11113C G C C CG DD DC =+=-- ，则EF ====1C G ，()111111223EF C G DD DA DC DD DC ⎡⎤⎛⎫⋅=-++⋅-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭22111111111142626263DD DD DC DD DA DA DC DD DC DC =+⋅-⋅-⋅-⋅-= ，所以11143cos ,EF C G EF C G EF C G ⋅= （2）()11111122FH FB BC CC C H DA DC DA DD C G =+++=+-++ ()11111223DA DC DA DD DD DC ⎛⎫=+-++-- ⎪⎝⎭1111232DA DC DD =-++ ，所以FH =3=，所以FH.。

第1讲空间向量及其运算新课标要求1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。

2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。

3.掌握空间向量的线性运算。

4.掌握空间向量的数量积。

知识梳理1.空间向量的概念与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模，空间向量用字母a,b,c ...表示.2.几个常见的向量零向量长度为0的向量叫做零向量单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记做-a 共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量。

我们规定：零向量与任意向量平行.相等向量方向相同且模相等的向量叫做相等向量3.向量的线性运算交换律：+=+a b b a ；结合律：()();()()λμλμ+=+=a b +c a +b c a a ；分配律：();()λμλμλλλ+=++=+a a a a b a b .4.共面向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量.5.空间向量的数量积||||cos ,⋅=<>a b a b a b 零向量与任意向量的数量积为0.2025高二上数学专题第1讲 空间向量及其运算（解析版）名师导学知识点1空间向量的有关概念【例1-1】（咸阳期末）已知是空间的一个单位向量，则的相反向量的模为A.1B.2C.3D.4【变式训练1-1】（龙岩期末）在平行六面体中，与向量相等的向量共有A.1个B.2个C.3个D.4个知识点2空间向量的线性运算【例2-1】（泰安期末）如图所示，在长方体中，O为AC的中点．化简：________；用，，表示，则________．【例2-2】（河西区期末）在三棱锥中，，，，D为BC的中点，则A. B.C. D.【变式训练2-1】（东湖区校级一模）在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则A. B. C. D.【变式训练2-2】（随州期末）如图，已知长方体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．；．知识点3共面向量【例3-1】（珠海期末）已知A，B，C三点不共线，点M满足．，，三个向量是否共面点M是否在平面ABC内【变式训练3-1】（日照期末）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：向量，，共面．知识点4空间向量的数量积【例4-1】（溧阳市期末）已知长方体中，，，E为侧面的中心，F为的中点试计算：．【变式训练4-1】（兴庆区校级期末）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：．名师导练A 组-[应知应会]1.（台江区校级期末）长方体中，若，，，则等于A. B.C. D.2.（秦皇岛期末）若空间四边形OABC 的四个面均为等边三角形，则的值为A. B. C. D.03.（定远县期末）给出下列几个命题：向量，，共面，则它们所在的直线共面；零向量的方向是任意的；若，则存在唯一的实数，使．其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.34.（葫芦岛期末）在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是A.； B.；C. D.5.（多选）（点军区校级月考）已知1111ABCD A B C D -为正方体，下列说法中正确的是()A ．221111111()3()A A A D A B A B ++= B ．1111()0AC A B A A -= C ．向量1AD 与向量1A B 的夹角是60︒D ．正方体1111ABCD A B C D -的体积为1||AB AA AD 6.（都匀市校级期中）空间的任意三个向量，，，它们一定是________向量填“共面”或“不共面”．7.（池州模拟）给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量，，满足，则；在正方体中，必有；若空间向量，，满足，，则．其中不正确的命题的序号为________．8．（未央区校级期末）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++ ，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t =．9．（天津期末）在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC 的值为．10.（三明期中）如图所示，在正六棱柱中化简，并在图中标出表示化简结果的向量化简，并在图中标出表示化简结果的向量．11.（都匀市校级期中）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD 为平行四边形，，，底面求证：．12．（西夏区校级月考）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别在1B B 和1D D 上，且11||||3BE BB =，12||||3DF DD =（1）求证：A 、E 、1C 、F 四点共面；（2）若1EF xAB y AD z AA =++ ，求x y z ++的值．B 组-[素养提升]1.（多选）（三明期中）定义空间两个向量的一种运算||||sin a b a b a =<⊗ ，b > ，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有()A ．a b b a =⊗⊗B ．()()a b a b λλ=⊗⊗C ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗ D ．若1(a x = ，1)y ，2(b x = ，2)y ，则1221||a b x y x y =-⊗第1讲空间向量及其运算新课标要求1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。

空间向量及其运算●考试目标 主词填空1.空间向量基本定理及应用空间向量基本定理：如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p 存在惟一的有序实数组x 、y 、z ,使p =x a + y b + z c .2.向量的直角坐标运算： 设a =(a 1,a 2,a 3), b =(b 1,b 2,b 3), A (x 1,y 1,z 1),B (x 2,y 2,z 2). 则a +b = ),,(332211b a b a b a +++. a -b = ),,(332211b a b a b a ---. a ·b =332211b a b a b a ++.若a 、b 为两非零向量，则a ⊥b ⇔a ·b =0⇔ 332211b a b a b a ++=0.●题型示例 点津归纳【例1】 已知空间四边形OABC 中，∠AOB =∠BOC = ∠AOC ,且OA =OB =OC .M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是 MN 的中点.求证：OG ⊥BC .【解前点津】 要证OG ⊥BC ，只须证明0=•BC OG 即可.而要证0=•BC OG ,必须把OG 、BC 用一组已知的空间基向量来表示.又已知条件为∠AOB =∠BOC =∠AOC ,且OA =OB =OC ，因此可选例1题OC OB OA ,,为已知的基向量.【规范解答】 连ON 由线段中点公式得：),(41)(212121)(21OC OB OA OC OB OA ON OM OG ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+=又OB OC BC -=, 所以•OG OB OC OB OB OA OC OC OB OC OA OB OC OC OB OA OB •--•-+•+•=-•++=22(41)()(41) =41(OA 22OB OC OB OA OC -+•-•). 因为AOC OC OA OC OA ∠••=•cos .AOB OB OA OB OA ∠••=•cos且OAOB OC==，∠AOB =∠AOC .所以BC OG •=0,即OG ⊥BC .【解后归纳】 本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力.【例2】 在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求：异面直线BA 1与AC 所成的角.【解前点津】 利用><⨯•=•AC BA AC BA AC BA ,cos 111，求出向量1BA 与AC的夹角〈1BA ,AC 〉，再根据异面直线BA 1，AC 所成角的范围确定异面直线所成角.【规范解答】 因为BC AB AC BB BA BA +=+=,11, 所以)()(11BC AB BB BA AC BA +•+=• =BC BB AB BB BC BA AB BA •+•+•+•11因为AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，例2图所以AB BB BC BA •=•1,0=0,AB BA BC BB •=•,01=-a 2.所以AC BA •1=-a 2. 又,,cos 111><••=•AC BA AC BA AC BA.2122,cos 21-=⨯->=<aa a AC BA 所以〈AC BA ,1〉=120°.所以异面直线BA 1与AC 所成的角为60°．【解后归纳】 求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.【例3】 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分 别是BB 1、DC 的中点.(1)求AE 与D 1F 所成的角； (2)证明AE ⊥平面A 1D 1F .【解前点津】 设已知正方体的棱长为1，且DA =e 1，DC =e 2，1DD =e 3，以e 1，e 2,e 3为坐标向量，建立空间直角坐标系D —xyz ,则：(1)A (1，0，0)，E (1，1，21)，F (0，21，0)，D 1(0，0，1)， 所以 AE =(0,1,21),FD 1 =(0,21 ,-1). 所以AE ·F D 1=(0,121),·(0, 21,-1)=0.例3所以AE ⊥F D 1，即AE 与D 1F 所成的角为90°． (2)又DA =(1,0,0)=11A D ， 且11A D ·AE =(1,0,0)·(0,1,21)=0. 所以 AE ⊥D 1A 1，由(1)知AE ⊥D 1F ，且D 1A 1∩D 1F =D 1. 所以AE ⊥平面A 1D 1F .【解后归纳】本题考查应用空间向量的坐标运算求异面直线所成的角和证线面垂直的方法.【例4】 证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分(此点称为四面体的重心).【规范解答】∵E ,G 分别为AB ,AC 的中点, ∴EGBC 21,同理HFBC 21，∴EG HF .从而四边形EGF H 为平行四边形，故其对角线EF , GH 相交于一点O ,且O 为它们的中点,连接OP ,OQ .只要能证明向量OP =-OQ 就可以说明P ,O ,Q 三点共线且O为PQ 的中点,事实上,HQ OH OQ GP OG OP +=+=, ,而O 为GH 的中点, 例4图∴GP OH OG ,0=+21CD,QH21CD,∴.21,21CD QH CD GP ==∴=CD CD HQ GP OH OG OQ OP 21210-+=+++=+=0. ∴OQ OP -==,∴PQ 经过O 点,且O 为PQ 的中点.【解后归纳】本例要证明三条直线相交于一点O ,我们采用的方法是先证明两条直线相交于一点,然后证明OQ OP ,两向量共线,从而说明P 、O 、Q 三点共线进而说明PQ 直线过O 点.●对应训练 分阶提升 一、基础夯实1.在下列条件中,使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OC OB OA OM --=2 B.OC OB OA OM 213151++=C.0=++MC MB MAD.0=+++OC OB OA OM 2.与向量a =(12,5)平行的单位向量是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛135,1312B.⎪⎭⎫⎝⎛--135,1312C.⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛135,1312135,1312或 D.⎪⎭⎫⎝⎛±±135,13123.若向量｛a ， b ，c ｝是空间的一个基底，向量m ＝a +b ，n ＝a -b ，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是( )A.aB.bC. cD.2a4. a 、b 是非零向量，则〈a ，b 〉的范围是 ( )A.(0，2π)B.［0，2π］ C.(0，π) D.［0，π］5.若a 与b 是垂直的，则a ·b 的值是( )A.大于0B.等于零C.小于0D.不能确定6.向量a ＝(1，2，-2)，b ＝(-2，-4，4)，则a 与b ( ) A.相交 B.垂直C.平行D.以上都不对7. A (1，1，-2)、B (1，1，1)，则线段AB 的长度是( )A.1B.2C.3D.48. m ＝｛8，3，a ｝，n ＝｛2b ,6,5｝，若m ∥n ，则a +b 的值为( ) A.0B.25C.221D.8 9. a ＝｛1,5,-2｝，b ＝｛m ,2,m +2｝，若a ⊥b ，则m 的值为( )A.0B.6C.-6D.±610. A (2，-4，-1)，B (-1，5，1)，C (3，-4，1)，令a ＝CA ，b ＝CB ，则a +b 对应的点为( )A.(5，-9，2)B.(-5，9，-2)C.(5，9，-2)D.(5，-9，2)11. a ＝(2，-2，-3)，b ＝(2,0,4)，则a 与b 的夹角为( )A.arc cos 85854 B.8569arcsinC.85854arccos-πD.90°12.若非零向量a ＝｛x 1，y 1，z 1｝，b ＝｛x 2，y ２，z 2｝,则212121z z y y x x ==是a与b 同向或反向的( )A.充分不必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件二、思维激活13.已知向量a , b , c 满足a +b +c =0,|a |=3,| b |=1,| c |=4.则ab +bc +ca = . 14.已知|a |＝22，|b |＝22，ab ＝-2，则a 、b 所夹的角为 .15.已知空间三点A、B、C坐标分别为(0，0，2)，(2，2，0)，(-2，-4，-2)，点P在xOy平面上且P A⊥AB，P A⊥AC，则P点坐标为.16.已知a＝｛8,-1,4｝，b＝｛2,2,1｝，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为.三、能力提高17.已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且与α所成的角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D之间的距离.18.长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、B1C1中点，若AB ＝BC＝2，AA1＝4，试用向量法求：的夹角的大小.(1)CFEA与1(2)直线A1E与FC所夹角的大小.19.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、DC 的中点，求证：D 1F ⊥平面ADE .20.如图所示,已知ABCD ,O是平面AC外的一点,OD OD OC OC OB OB OA OA 2,2,2,21111====,求证:A 1,B 1,C 1,D 1四点共面.第20空间向量及其运算习题解答1.C 由向量共线定义知.2.C 设此向量为(x ,y ),∴⎪⎩⎪⎨⎧==+x y y x 512122，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==13513121351312y x y x 或3.C4.D 根据两向量所成的角的定义知选 D.5. B 当a ⊥b 时，a ·b =0(cos 〈a , b 〉=0)6.C a =(1,2,-2)=-21·b ∴a ∥b .7.C |AB |=222)21()11()11(++-+-=3.8.C ∵m ∥n ,故(8,3,a )=k (2b ,6,5)，∴8=2bk ,3=6k ,a =5k ，∴k =21 故a =25,b =8,∴a +b =25+8=2219.B ∵a ⊥b ∴1·m +5·2-2(m +2)=0. ∴m =6. 10.BCA =(-1,0,-2),CB=(-4,9,0)，∴a +b =(-5,9,-2).11.C cos(a ·b )=2222242)3()2(24322+•-+-+⨯-⨯=-85854854-=.12.A 若212121z z y y x x ==，则a 与b 同向或反向，反之不成立.13.-13 ∵a +b +c =0,∴(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ca )=0,∴ab +bc +ca =-21(a 2+b 2+c 2)=-21(9+1+16)=-13. 14.π43cos 〈a , b 〉=22222222-=•-=•-ba .∴a ,b 所夹的角为43π.15.(-8,6,0) 由向量的数量的积求得. 16.95S=|a ||b |sin 〈a , b 〉求得.17.如图，由AC ⊥α，知AC ⊥AB .过D 作DD ′⊥α，D ′为垂足，则∠DBD ′＝30°， 〈BD CA ,〉＝１２０°， ∴|CD |2= 2)(CD AB CA CD CD ++=•＝BD AB BD CA AB CA BD AB CA•+•+•+++222222＝b 2+a 2+b 2+2b 2cos120°＝a 2+b 2. ∴CD ＝22b a +点评：本题把线段转化成向量表示，然后利用向量进行运算. 18.如图，建立空间坐标系，则D (0，0，0)、A (2，0，0)，B (2，2，0) 、C (0，2，0)、A 1(2，0，4)、B 1(2，2，4)、C 1(0，2，4). 由题设可知E (2，1，0)，F (1，2，4). (1)令CF E A 与1的夹角为θ， 则cos θ＝171611-=••CFE A CF E A .∴CF E A 与1的夹角为π-arccos 1716. (2)∴直线A 1E 与FC 的夹角为arccos 1716第17第1819.如图所示，不妨设正方体的棱长为1，且设DA ＝i ，DC ＝j ，1DD ＝k ， 以i 、j 、k 的坐标向量建立空间直角坐标系D —xy z ， 则AD ＝（－１，0，０），F D 1＝(0,21,-1)， AD ·F D 1＝(-1，0，0)·(0，21，-1)＝0，∴AD ⊥D 1F. 又AE ＝(0，1，21)，F D 1＝(0，21，-1)， ∴AE ·F D 1＝(0，1，21)·(0，21，-1)＝21-21＝0. ∴A E ⊥D 1F ，又AE ∩AD ＝A ， ∴D 1F ⊥平面AD E.点评：利用向量法解决立体几何问题，首先必须建立适当的坐标系.20.证明：∵)(22)(2221111AD AB AC OA OC OA OC OA OC C A +==-=-=-==2[])22()22(()(OA OD OA OB OA OD OA OB -+-=-+-=11111111)()(D A B A OA OD OA OB +=-+-∴A 1,B 1,C 1,D 1四点共面. 第19。

一．知识要点1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算：定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

b a B A OA OB +=+=；b a OB OA BA -=-=；)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则 3. 共线向量： （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝λb 。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ= <=>OB y OA x OC +=，其中1=+y x（4）与a 共线的单位向量为||a a ±4. 共面向量 ： （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使。

b y a x p += （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>OC z OB y OA x OP ++=，其中1=++z y x5. 空间向量基本定理：如果三个向量c b a ,,不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组z y x ,,，使c z b y a x p ++=。

若三向量c b a ,,不共面，我们{}c b a ,,把叫做空间的一个基底，c b a ,,叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

第3讲空间向量及其运算的坐标表示新课标要求①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

③掌握空间向量的数量积及其坐标表示。

知识梳理1.空间向量运算的坐标表示若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则：(1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)；(2)a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)；(3)λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)(λ∈R )；(4)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3；(5)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )；(6)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0；(7)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23；(8)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23.2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则：(1)AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；(2)d AB ＝|AB →|＝(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2.名师导学知识点1空间直角坐标系【例1-1】（武汉期末）点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点的坐标是()A ．(1，2，3)B ．(1，2-，3)-C ．(1-，2，3)-D ．(1-，2-，3)【变式训练1-1】（河南月考）在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1，2-，4)关于y 轴对称的点为()A ．(1-，2-，4)-B ．(1-，2-，4)C ．(1，2，4)-D ．(1，2，4)2025高二上数学专题第3讲 空间向量及其运算的坐标表示（解析版）知识点2空间向量的坐标运算【例2-1】（钦州期末）已知(1a = ，2，1)，(2b = ，4-，1)，则2a b +等于()A ．(4，2-，0)B ．(4，0，3)C ．(4-，0，3)D ．(4，0，3)-【例2-2】（济南模拟）已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值；(3)设|c |＝3，c ∥BC →，求c .【变式训练2-1】（菏泽期末模拟）已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(0，－1,2)．求：(1)a ＋b ；(2)2a －3b ；(3)a ·b ；(4)(a ＋b )·(a －b )．【变式训练2-2】（烟台期末）已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，若OA →＋λOB →与OB →(O 为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为()A.66B ．－66C ．±66D ．±6知识点3空间两点间的距离【例3-1】（淄博调研）已知△ABC 的三个顶为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为()A ．2B ．3C ．4D ．5【变式训练3-1】（温州期中）点(1M -，2，3)是空间直角坐标系Oxyz 中的一点，点M 关于x 轴对称的点的坐标为，||OM =．名师导练A 组-[应知应会]1．（安徽期末）空间直角坐标系中，点(2P ，1-，3)关于点(1M -，2，3)的对称点Q 的坐标为(()A ．(4，1，1)B ．(4-，5，3)C ．(4，3-，1)D ．(5-，3，4)2．（金牛区校级期中）点(3A ，2，1)关于xOy 平面的对称点为()A ．(3-，2-，1)-B ．(3-，2，1)C ．(3，2-，1)D ．(3，2，1)-3．（东阳市校级月考）已知点(1A ，2-，3)，则点A 关于原点的对称点坐标为()A ．(1-，2，3)B ．(1-，2，3)-C ．(2，1-，3)D ．(3-，2，1)-4．（茂名期末）已知向量(1,1,2)a =-- 及(4,2,0)b =- 则a b + 等于()A ．(3-，1，2)-B ．(5，5，2)-C ．(3，1-，2)D ．(5-，5-，2)5．（高安市校级期末）已知空间向量()()()1,,1,3,1,,,0,0,,(a xb yc z a b c xyz =-==+= 则的值为)A ．2±B ．2-C ．2D ．06．（丰台区期末）已知(2AB = ，3，1)，(4AC = ，5，3)，那么向量(BC = )A ．(2-，2-，2)-B ．(2，2，2)C ．(6，8，4)D ．(8，15，3)7．（多选）（三明期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4AD =，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则()A ．点1B 的坐标为(4，5，3)B ．点1C 关于点B 对称的点为(5，8，3)-C ．点A 关于直线1BD 对称的点为(0，5，3)D ．点C 关于平面11ABB A 对称的点为(8，5，0)8．（公安县期末）在空间直角坐标系中，已知两点(5P ，1，)a 与(5Q ，b ，4)关于坐标平面xOy 对称，则a b +=．9．（温州期末）在平面直角坐标系中，点(1,2)A -关于x 轴的对称点为(1,2)A '--，那么，在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '，则||B C ''=．10．（浙江期中）空间直角坐标系O xyz -中，点(1M ，1-，1)关于x 轴的对称点坐标是；||OM =．11．（兴庆区校级期末）已知(2a = ，3-，1)，(2b = ，0，3)，(1c = ，0，2)，则68a b c +-= ．12．（辽阳期末）已知向量(2,3,1)a =- ，(1,2,4)b =- ，则a b +=．13．（越秀区期末）已知点(1A ，2，0)和向量(3a = ，4，12)-，若2AB a = ，则点B 的坐标是．14．（黄浦区校级月考）已知向量(7,1,5),(3,4,7)a b =-=- ，则||a b +=15．（青铜峡市校级月考）已知点A ，B 关于点(1P ，2，3)的对称点分别为A '，B '，若(1A -，3，3)-，(3A B ''= ，1，5)，求点B 的坐标．16．（福建期中）已知空间三点(1A -，2，1)，(0B ，1，2)-，(3C -，0，2)（1）求向量AB AC与的夹角的余弦值，（2）若向量3AB AC AB k AC -+与向量垂直，求实数k 的值．17．（扶余县校级月考）（Ⅰ）设向量(3a = ，5，4)-，(2b = ，0，3)，(0c = ，0，2)，求：()a b c -+ 、68a b c +- ．（Ⅱ）已知点(1A ，2-，0)和向量(1a =- ，2，3)求点B 坐标，使向量AB 与a同向，且．B 组-[素养提升]1.（襄阳期中）已知向量a，b ，c 是空间的一个单位正交基底，向量a b + ，a b - ，c 是空间的另一个基底，若向量p 在基底a，b ，c 下的坐标为(3，2，1)，则它在a b + ，a b - ，c 下的坐标为()A ．15(,,1)22B ．51(,1,)22C ．15(1,,22D ．51(,,1)222.（安庆质检）已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)若AP →∥BC →，且|AP →|＝214，求点P 的坐标；(2)求以AB →，AC →为邻边的平行四边形的面积．第3讲空间向量及其运算的坐标表示新课标要求①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

高二数学空间向量公式总结一、定义1、空间向量：空间向量是一个课程名词，指在三维空间中的通用电流、力、速度、加速度等的一个平行的线段，由它的方向和大小构成，表示它指向的方向和大小。

2、空间向量的几何意义：空间向量的几何意义表明，一个空间向量可以由直角坐标的坐标轴的位移构成，它可以表示一个点从原点出发，在三维空间中的位移。

二、空间向量的算术运算1、空间向量的加法：空间向量的加法是指两个空间向量a、b相加，它的结果向量C=a+b，它的方向和大小是由向量a、b所决定的，其方向向量是a向量和b向量的加和，大小则是a向量与b向量的和。

2、减法:空间向量的减法即两个空间向量a、b相减，它的结果向量C=a-b,它的方向是由a向量和b向量之间的相对位置决定的，大小则是a向量减去b向量的和的差。

3、数乘:空间向量的数乘是指把一个空间向量a与一个实数k相乘，它的结果向量C=ka，其方向和大小是由a向量和实数k所决定的，其方向和a向量的方向一致，而大小则是实数k和a向量的大小的乘积。

三、空间向量的图象1、向量图：向量图是一种常见的表达空间向量的方式，它是用一个指示箭头或线段来表示空间向量，指示箭头由箭头头和箭头尾组成，箭头头表示空间向量的方向，而箭头尾则是空间向量的起点，箭头的大小则表示空间向量的大小。

2、向量图的平行、垂直：如果两个空间向量的方向相同，就称这两个向量为平行，而如果两个空间向量的方向完全垂直，就称这两个向量为垂直。

四、叉乘1、叉乘的定义：叉乘是指两个空间向量a、b相乘，它的结果向量C=a×b，它的方向与a、b两个向量的方向垂直，而大小则由a、b向量的大小和它们之间夹角的正弦值决定。

2、叉乘的运算法则：叉乘有三种基本的运算法则，即结合律、交换律和分配律，结合律表明 (a × b) × c = a × (b × c),交换律表明 a× b= b×a，而分配律是 (a + b) × c = a × c + b × c。