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（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． ②式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()nn a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈②()(0,,)r s rsa a a r s R =>∈ ③()(0,0,)rr rab a b a b r R =>>∈（4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a > 01a <<定义域 R 值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数1、 对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O1y =（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且（5）对数函数函数名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域RxyO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．[例1]已知18log 9,185,ba ==求36log 45解：∵185,b=∴18log 5b = ∴1818183621818181818log 45log 5log 9log 451818log 36log 4log 92log ()2log ()99b a b a b aa a a++++=====+-++[例2]求函数361265xxy =-⋅-的单调区间. 解：令6xt =，则6xt =为增函数，361265x x y =-⋅-＝2125t t -⋅-＝2(6)41t --∴当t ≥6,即x ≥1时，y 为关于t 的增函数， 当t ≤6,即x ≤1时，y 为关于t 的减函数∴函数361265xxy =-⋅-的单调递减区间是(,1]-∞，单调递增区间为[1,)+∞ [例3]已知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 解：∵)2(log ax y a -=是由u y a log =，ax u -=2复合而成，又a ＞0 ∴ax u -=2在[0，1]上是x 的减函数，由复合函数关系知u y a log =应为增函数，∴a ＞1又由于x 在[0，1]上时 )2(log ax y a -=有意义，ax u -=2又是减函数，∴x ＝1时，ax u -=2取最小值是a u -=2min ＞0即可， ∴a ＜2综上可知所求的取值范围是1＜a ＜2 [例4]已知函数()log (3)a f x ax =-.（1）当[0,2]x ∈时()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围.（2）是否存在这样的实数a 使得函数()f x 在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.解：（1）由假设，ax -3＞0，对一切[0,2]x ∈恒成立，0,1a a >≠显然，函数g(x)= ax -3在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝32a -＞0得到a ＜32∴a 的取值范围是（0，1）∪（1，32） (2)假设存在这样的实数a ，由题设知(1)1f =，即(1)log (3)a f a =-＝1 ∴a ＝32此时3()log (3)2a f x x =- 当2x =时，()f x 没有意义，故这样的实数不存在.[例5]已知函数f (x )=1421lg 2+-⋅++a a a x x , 其中a 为常数，若当x ∈(－∞, 1］时, f (x )有意义，求实数a 的取值范围.解：14212+-⋅++a a a x x >0, 且a 2－a +1=(a －21)2+43>0, ∴ 1+2x+4x·a >0, a >)2141(x x +-, 当x ∈(－∞, 1]时, y =x 41与y =x 21都是减函数，∴ y =)2141(x x +-在(－∞, 1]上是增函数，)2141(x x +-max =－43,∴ a >－43, 故a 的取值范围是(－43, +∞).[例6]若1133(1)(32)a a --+<-，试求a 的取值范围.解：∵幂函数13y x-=有两个单调区间，∴根据1a +和32a -的正、负情况，有以下关系10320.132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩① 10320.132a a a a+<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩② 10.320a a +<⎧⎨->⎩③ 解三个不等式组：①得23＜a ＜32，②无解，③a ＜－1 ∴a 的取值范围是（－∞，－1）∪（23，32）。
高一数学第二章基本初等函数知识点整理高中学习数学重要的是基础的掌握，以下是第二章基本初等函数知识点，请大家仔细阅读。
一、指数函数(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(n th root)，其中 1，且 *. 当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radical exponent)，叫做被开方数(radicand).当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号- 表示.正的次方根与负的次方根可以合并成?( 0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。
注意：当是奇数时，，当是偶数时， 2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 3.实数指数幂的运算性质 (1)(2) ; (3) .(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数(exponential function)，其中x是自变量，函数的定义域为R.注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1. 2、指数函数的图象和性质 a1 0图象特征函数性质向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R 图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+ 函数图象都过定点(0，1) 自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快; 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢; 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： (1)在[a，b]上，值域是或 ;(2)若，则 ; 取遍所有正数当且仅当 ; (3)对于指数函数，总有 ; (4)当时，若，则 ;二、对数函数 (一)对数1.对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作： ( 底数，真数，对数式)说明：○1 注意底数的限制，且; ○2 ;○3 注意对数的书写格式.两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数 ;○2 自然对数：以无理数为底的对数的对数 . 对数式与指数式的互化 (二)对数的运算性质如果，且，，，那么：○1 ○2 - ; ○3 .注意：换底公式( ，且 ; ，且 ; ).利用换底公式推导下面的结论(1) ;(2) . (二)对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是(0，+). 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
学习目标 1.构建知识网络；2.进一步熟练指数、对数运算，加深对公式成立条件的记忆；3.以函数观点综合理解指数函数、对数函数、幂函数．[知识网络][知识梳理]1．分数指数幂(1)mna＝a>0，m，n∈N*，且n>1.(2)-1mnmnaa＝：a>0，m，n∈N*，且n>1.2．根式的性质(1)(na)n＝a.(2)当n 为奇数时，na n ＝a ； 当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.3．指数幂的运算性质 (1)a r ·a s ＝a r ＋s ：a >0，r ，s ∈R .(2)(a r )s ＝a rs ：a >0，r ，s ∈R . (3)(ab )r ＝a r b r ：a >0，b >0，r ∈R . 4．指数式与对数式的互化式 log a N ＝b ⇔a b ＝N ：a >0，a ≠1，N >0. 5．对数的换底公式log a N ＝log m Nlog m a：a >0，且a ≠1，m >0，且m ≠1，N >0.推论：log log m n a a b b ＝： a >0，且a ≠1，m ，n >0，且m ≠1，n ≠1，b >0. 6．对数的四则运算法则 若a >0，a ≠1，M >0，N >0，则 (1) log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．类型一 指数、对数的运算提炼化简方向：根式化分数指数幂，异底化同底． 化简技巧：分与合．注意事项：变形过程中字母范围的变化．例1 化简：()29321)-⨯ ()5log 33333222log 2log log 825.9－＋－ 解 (1)原式2239533222(2)(10)10⨯÷－＝511312221010210⨯⨯⨯－－－＝＝(2)原式52log 333332log 4log log 859＝－＋－ 5log 939log (8)532⨯⨯＝４－ ＝log 39－9＝2－9＝－7.反思与感悟 指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．跟踪训练1 计算80.25×42＋(32×3)6＋log 32×log 2(log 327)的值为________． 答案 111解析 ∵log 32×log 2(log 327)＝log 32×log 23 ＝lg 2lg 3×lg 3lg 2＝1， ∴原式31234422231⨯⨯＝＋＋＝21＋4×27＋1＝111. 类型二 数的大小比较 例2 比较下列各组数的大小： (1)27,82；(2)log 20.4，log 30.4，log 40.4. 解 (1)∵82＝(23)2＝26，由指数函数y ＝2x 在R 上单调递增知26<27即82<27. (2)∵对数函数y ＝log 0.4x 在(0，＋∞)上是减函数， ∴log 0.44<log 0.43<log 0.42<log 0.41＝0. 又幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是减函数， ∴1log 0.42<1log 0.43<1log 0.44， 即log 20.4<log 30.4<log 40.4.反思与感悟数的大小比较常用方法：(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．跟踪训练2比较下列各组数的大小：(1)log0.22，log0.049；(2)a1.2，a1.3；(3)0.213,0.233.解(1)∵log0.049＝lg 9lg 0.04＝lg 32lg 0.22＝2lg 32lg 0.2＝lg 3lg 0.2＝log0.23.又∵y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，∴log0.22>log0.23，即log0.22>log0.049.(2)∵函数y＝a x(a>0且a≠1)，当底数a大于1时在R上是增函数；当底数a小于1时在R 上是减函数，而1.2<1.3，故当a>1时，有a1.2<a1.3；当0<a<1时，有a1.2>a1.3.(3)∵y＝x3在R上是增函数，且0.21<0.23，∴0.213<0.233.类型三指数函数、对数函数、幂函数的综合应用例3已知函数f(x)＝lg 1＋2x＋a·4x3在x∈(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．解因为f(x)＝lg 1＋2x＋a·4x3在(－∞，1]上有意义，所以1＋2x ＋a ·4x >0在(－∞，1]上恒成立． 因为4x >0，所以a >－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，1]上恒成立． 令g (x )＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ，x ∈(－∞，1]． 由y ＝－⎝⎛⎭⎫14x与y ＝－⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，1]上均为增函数，可知g (x )在(－∞，1]上也是增函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝－⎝⎛⎭⎫14＋12＝－34. 因为a >－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，1]上恒成立， 所以a 应大于g (x )的最大值，即a >－34.故所求a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 反思与感悟 指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究． 跟踪训练3 函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求a 的值．解 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，解得－3<x <1，∴定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)]＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]． ∵－3<x <1，∴0<－(x ＋1)2＋4≤4. ∵0<a <1，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4. 由log a 4＝－2，得a －2＝4，1214.2a -∴＝＝.1．化简2lg (lg a 100)2＋lg (lg a )为( )A ．1B ．2C ．3D ．0答案 B解析 2lg (lg a 100)2＋lg (lg a )＝2lg (100·lg a )2＋lg (lg a )＝2[lg 100＋lg (lg a )]2＋lg (lg a )＝2.2．函数13y x ＝的图象是( )答案 B解析 ∵0＜13＜1.∴在第一象限增且上凸，又13y x ＝为奇函数，过(1,1)，故选B.3．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x与函数()12log g x x ＝在区间(－∞,0)上的单调性为( )A ．都是增函数B ．都是减函数C ．f (x )是增函数，g (x )是减函数D ．f (x )是减函数，g (x )是增函数 答案 D解析 f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在x ∈(－∞，0)上为减函数，()12log g x x ＝为偶函数，x ∈(0，＋∞)时()12log g x x ＝为减函数，所以在(－∞，0)上为增函数．4．已知322P －＝， Q ＝⎝⎛⎭⎫253，R ＝⎝⎛⎭⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是( ) A ．P ＜Q ＜R B ．Q ＜R ＜P C ．Q ＜P ＜R D ．R ＜Q ＜P答案 B解析 由函数y ＝x 3在R 上是增函数知，⎝⎛⎭⎫253＜⎝⎛⎭⎫123， 由函数y ＝2x 在R 上是增函数知，3332122()2－－＞＝， 所以P ＞R ＞Q .5．函数2111()2x y +＝的值域为( )A ．(－∞，1) B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎣⎡⎭⎫12，1 D.⎣⎡⎭⎫12，＋∞答案 C解析 因为x ∈R,0＜1x 2＋1≤1，所以2111()2x y +＝≥⎝⎛⎭⎫121＝12且2111()2x y +＝＜⎝⎛⎭⎫120＝1， 所以y ∈⎣⎡⎭⎫12，1.1．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题． 2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．一、选择题1．函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0]∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，得－1＜x ≤2，且x ≠0.即x ∈(－1,0)∪(0,2]．2．下列各函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝22x -B ．y ＝1－2xC ．y ＝x 2＋x ＋1 D ．y ＝311x +答案 A 解析 A 中，y ＝22x -＝⎝⎛⎭⎫22x的值域为(0，＋∞)． B 中，因为1－2x ≥0，所以2x ≤1，x ≤0， y ＝1－2x 的定义域是(－∞，0]，所以0＜2x ≤1，所以0≤1－2x ＜1， 所以y ＝1－2x 的值域是[0,1)．C 中，y ＝x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34的值域是⎣⎡⎭⎫34，＋∞. D 中，因为1x ＋1∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以y ＝31x ＋1的值域是(0,1)∪(1，＋∞)．3．已知f (x )是函数y ＝log 2x 的反函数，则y ＝f (1－x )的图象是( )答案 C解析 因为f (x )是函数y ＝log 2x 的反函数，所以f (x )＝2x ，所以y ＝f (1－x )＝21－x ＝⎝⎛⎭⎫12x －1，其函数图象可由函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象向右平移1个单位长度得到，故选C. 4．下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( ) A ．(－∞，1] B.⎣⎡⎦⎤－1，43 C.⎣⎡⎭⎫0，32 D.[1,2)答案 D解析 方法一 当2－x ≥1，即x ≤1时，f (x )＝|ln(2－x )|＝ln(2－x )，此时函数f (x )在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x ≤1，即1≤x ＜2时，f (x )＝|ln(2－x )|＝－ln(2－x )，此时函数f (x )在[1,2)上单调递增，故选D.方法二 f (x )＝|ln(2－x )|的图象如图．由图象可得，函数f (x )在区间[1,2)上为增函数，故选D.5．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |答案 C解析 A 项，y ＝1x 是奇函数，故不正确；B 项，y ＝e －x 为非奇非偶函数，故不正确；C ，D 两项中的两个函数都是偶函数，且y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，故选C. 6．函数f (x )＝4x ＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称答案 D解析 ∵f (x )＝4x ＋12x ＝2x ＋12x ＝2x ＋2－x ，∴f (－x )＝2－x ＋2x ＝2x ＋2－x ＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．7．设f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a ＝f ，b ＝f ，c ＝f (－2)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞a ＞b D ．c ＞b ＞a答案 C解析 因为1＝log 22＜log23＜log 22＝2,0＜log32＜log33＝1，所以log32＜log23＜2.因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以f (log32)＜f (log23)＜f (2)．因为f (x )是偶函数， 所以a ＝f ＝f (－log 23)＝f (log23)，b ＝f ＝f (－log 32)＝f (log32)，c ＝f (－2)＝f (2)． 所以c ＞a ＞b . 二、填空题8．已知a 12＝49(a ＞0)，则23log a ＝________.答案 4解析 ∵a 12＝49(a ＞0)，∴(a 12)2＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2322，即a ＝⎝⎛⎭⎫234， ∴log 23a ＝log 23⎝⎛⎭⎫234＝4.9．若函数y ＝log 12(3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．答案 (－8，－6]解析 令g (x )＝3x 2－ax ＋5，其对称轴为直线x ＝a 6.依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a 6≤－1，g (－1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－6，a ＞－8.10．如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎫22x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，14解析 由图象可知，点A (x A,2)在函数y ＝x 的图象上，所以2＝x A ，x A ＝⎝⎛⎭⎫222＝12.点B (x B,2)在函数y ＝x 12的图象上，所以2＝x 12B ，x B ＝4.点C (4，y C )在函数y ＝⎝⎛⎭⎫22x 的图象上，所以y C ＝⎝⎛⎭⎫224＝14. 又x D ＝x A ＝12，y D ＝y C ＝14，所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，14. 三、解答题11．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根，求lg(ab )·⎝⎛⎭⎫lg a b 2的值． 解 ∵lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根，∴lg a ＋lg b ＝2，lg a lg b ＝12，∴(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a lg b ＝4－2＝2，∴lg(ab )·⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(lg a ＋lg b )·(lg a －lg b )2 ＝2×2＝4.12．已知函数f (x )＝222x x a ＋＋ (－2≤x ≤2)． (1)写出函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值为64，求f (x )的最小值． 解 (1)令t ＝x 2＋2x ＋a ，则其对称轴x ＝－1， ∴t ＝x 2＋2x ＋a 在[－2，－1]上单调递减， 在[－1,2]上单调递增，又y ＝2t 在(－∞，＋∞)上单调递增，∴f (x )的增区间为[－1,2]，减区间为[－2，－1]． (2)由(1)知f (x )max ＝f (2)＝22222a ⨯＋＋＝28＋a . ∴28＋a ＝64＝26， ∴8＋a ＝6，a ＝－2，∴f (x )min ＝f (－1)＝2(－1)2＋2×(－1)－2＝2－3＝18.13．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13243ax x －＋. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13243x x －－＋， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减， 而y ＝⎝⎛⎭⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.。
第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符n 是偶数时，正数a 的正的n次方根用符号n次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mnaa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)rr r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义 ①若(0,1)xaN a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a xN =，其中a 叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0aa M N >≠>>，那么①加法：log log log ()aa a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-=③数乘：log log ()n aa n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤loglog (0,)bn a a nM M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a bN N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()xy ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()xf y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．(图象关．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x=是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x=是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x=是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．。
